Du monocorde de Pythagore aux frettes de guitare

7 notes dans une gamme… toujours ? Pourquoi ? Nicolas Minet Mais bien sûr ! Le système de Pythagore reliait l’arithmétique à la musique, et, au-delà, à toutes les parties de l’Univers, dans un vaste système philosophique. Cette vision du monde héritée des Grecs a dominé la culture scientifique de toute l’Europe médiévale : le Quadrivium (arithmétique, géométrie, musique et astronomie) constituait la base des sciences. Nicolas Minet dévoile pour PLOT les fondements de cette si ancienne liaison. Ce texte est le compte rendu d’un atelier qu’il a animé aux Journées Nationales de l’APMEP à Clermont-Ferrand en 2006. On trouvera à plusieurs reprises dans le texte un renvoi noté [ @ ], qui propose au lecteur de consulter la « Feuille à problèmes » de l’IREM de Lyon à l'adresse suivante : http://irem-fpb.univ-lyon1.fr/feuillesprobleme/feuille7/7notes/7notes.html On y retrouve les grandes lignes de ce texte, quelques compléments, photos, et surtout des fichiers audios qui illustrent les propos en musique, plus parlants (chantants ?) qu'un texte. Nicolas Minet enseigne les mathématiques au lycée Marcelin Berthelot à Châtellerault (86). Do, ré, mi, fa, sol, la, si... Si l’on dit aujourd’hui de ces 7 notes qu’elles forment, dans cet ordre, la « gamme diatonique de do majeur », cette succession de noms de notes dissimule un implicite, à savoir les « différences sonores » entre deux notes consécutives. Mais comment ces différences, qu’on appelle intervalles en musique, sont-elles déterminées ? Nous allons examiner deux choix de tels intervalles faits dans notre civilisation occidentale, l’un attribué à Pythagore, datant en tout cas de l’Antiquité grecque, l’autre présidant à la construction, du moins théoriquement, de la majorité des instruments actuels. Les mathématiques nécessaires sont à peu de choses près du niveau du collège, où la présence de professeurs de musique permet d’envisager ce sujet comme relevant de l’interdisciplinarité. Prélude … L’Histoire de la musique a été le théâtre de divers compromis, que ce soit par exemple au niveau de la forme des instruments (ce qui ne sera pas notre sujet) ou 20 du choix des notes. Pour faire de la musique, il faut en particulier déterminer « différentes hauteurs de sons », donc déterminer un système de notes avec lesquelles la musique sera exécutée. Intéressons-nous à deux attitudes qui s’offrent au facteur d’instruments : - il peut tâtonner, fabriquer différents modèles, les tester, et les modifier jusqu’à obtenir satisfaction… - …ou opter pour une méthode un peu moins empirique, qui consisterait à se fixer des principes a priori, avant la conception de l’objet désiré, ce qui n’exclut cependant ni les essais insatisfaisants ni, par conséquent, la nécessité de modifier les principes et de construire successivement plusieurs instruments ! Nous nous contenterons ici d’expliquer comment a été conçue l’échelle de sons appelée « gamme de Pythagore », de signaler en quoi elle peut paraître insuffisante, et nous terminerons par un aperçu de la « gamme également tempérée » qui domine depuis plusieurs siècles notre musique occidentale.

Brefissimo point historique… Pythagore. Il serait erroné de croire que seul le mysticisme du nombre 7 explique le choix de 7 notes pour l’exécution musicale. La tradition accorde à la « gamme de Pythagore » une place récurrente dans des textes de la Grèce Antique, relayés au Moyen Âge par des personnages tel Boèce (VIème siècle) ; cette gamme, ancêtre de nos gammes « diatoniques » aurait été élaborée à l’École Pythagoricienne dans le cadre d’un culte voué aux nombres entiers et à la faculté qu’on leur prêtait de permettre la compréhension de l’Univers. C’est à sa rencontre que nous irons dans quelques lignes. Toujours dans la Grèce Antique, des systèmes englobant la gamme de Pythagore ont été proposés par des théoriciens tel Aristoxène (IIème siècle avant J.C.), avec Des nuances entre les gammes sont apparues (genres, modes,...), qui ont été conservées peu ou prou jusqu’au XVIème siècle, quand des exigences liées à la transposition d’une mélodie sont devenues prioritaires. Pour autant, des gammes heptatoniques ont subsisté, même si d’autres nombres que 7 ont été utilisés : ainsi, les pianistes nous étonnent sur un clavier organisé selon un schéma répétitif de 7 notes sur les touches blanches, touches blanches elles-mêmes interrompues par 5 touches noires selon une périodicité visible à l’œil nu. On parle alors de gamme chromatique lorsqu’on évoque cette gamme à 12 notes. Do, ré, mi, fa, sol, la, si, do… y a-t-il plusieurs « do » ? une « division du canon » ; ce canon tout Qu’on chante ou qu’on joue d’un instruà fait pacifique est un instrument rudiment, on dispose d’un nombre variable de mentaire également appelé « mononotes : si les pianistes n’ont pas d’autre corde » : le son est produit par une simple issue que d’utiliser les 80 à 90 touches de corde tendue au dessus d’une caisse de leur clavier, c’est une infinité de notes résonance en bois. On peut comparer ce qu’offrent la voix, un trombone, un vioson « de base » avec un second son, joué lon... car si l’étendue des sons potentiels ensuite en pinçant une corde plus courte, est limitée par la note « la plus grave » grâce à un chevalet, objet mobile figuré qu’on puisse produire et « la plus aiguë », par un triangle : aucune autre contrainte ne subsiste entre Longueur de corde pincée ces deux bornes. On parle parfois de « 8 notes » en disant : do, ré, mi, fa, sol, la, si, do. Peut-on considérer que les deux « do » sont deux notes différentes alors Des choix (cf [1]) de systèmes à 4 notes, qu’elles portent le même nom ? Bien sûr, appelés tétracordes, ont été faits, et l’asle 2ème do est plus aigu que le 1er, et voici semblage de deux tétracordes ayant une comment percevoir le lien entre deux « do note commune a fourni des gammes à... 7 » consécutifs : par exemple, on obtient le notes ! Malgré les raisons différentes des premier en pinçant une corde d’une lonchoix, on retrouve en particulier dans ces gueur donnée, et l’autre en pinçant la systèmes les intervalles de la gamme de même corde, mais deux fois plus courte.

On dit que le 2ème do est à l’octave supérieure du 1er, et que l’intervalle entre les deux notes est une octave. En faisant l’expérience, indispensable à quiconque ne se trouvant pas convaincue par le texte – à défaut d’expérience, voir [@] – on a, si son oreille a été un minimum exercée, une impression particulière de « ressemblance » en entendant ces deux notes… On s’autorise alors à leur donner le même nom ! L’intervalle d’octave est probablement le seul intervalle qu’on rencontre dans toutes les civilisations. Le choix de notes intermédiaires relève entre autres de la tradition, de la culture, de la science. Qu’entendrons-nous par « gamme » ? Prenons une corde dont nous notons 1 la longueur (l’unité). Nous produisons une note à l’octave (supérieure) de ce son si la corde est de longueur moitié. Petite parenthèse : fabriquer un monocorde nécessite une caisse de résonance en bois, des trépieds pour ne pas la poser à même le sol, vis et mécanique de guitare (à acquérir ou à se faire offrir gracieusement dans un magasin de musique…) pour tendre la corde. On peut voir ci-dessous un objet qui serait en l’occurrence un bicorde (photo complète dans [@]) avec deux cordes aux caractéristiques identiques : même diamètre, même longueur et même tension, produisant ainsi le même son. L’intérêt d’avoir deux cordes identiques est de pouvoir faire une comparaison entre le son de référence, produit par la corde de longueur 1, et un autre son, obtenu en réduisant la longueur de la corde vibrante (sans la couper !) en utilisant un chevalet mobile (à droite sur les photos). Nous dirons qu’une gamme se définit par une échelle de sons entre deux notes à l’octave l’une de l’autre, ce qui revient donc, en pensant « longueur de cordes », à choisir un ensemble de nombres compris entre 1/2 et 1… 1 2 L’infini des possibilités peut laisser perplexe. Il faut donc se donner des critères de choix. L’idéal serait de posséder un tel instrument – et il y en a dans les laboratoires de physique de nombreux lycées, peut-être de certains collèges – de prendre le temps de déplacer le chevalet et de relever les positions donnant une note « agréable » lorsqu’il est joué à la suite de la note « fondamentale », cet « agrément » devenant un critère subjectif pour choisir des notes intermédiaires, sans fixer a priori de limite au nombre de notes. 7 notes : un idéal certain ? 7 est un nombre de notes retenu par l’Histoire... En pensant à une « régularité » des intervalles entre deux notes, on peut avoir au moins deux idées : une division arithmétique entre les cordes de

Deux notes, ce n’est pas assez pour faire Pour tout nombre k (ici de la musique... Voici le principe pour rationnel) compris entre poursuivre : puisque la corde de longueur 0 et 1, il existe une seule 2/3 « sonne bien » avec la corde de puissance de 2 telle que longueur 1 et 1/2 (la raison de la suite est 1/14) ou une division géométrique : entre les deux longueurs de cordes, un rapport 1 constant : 7 ([@] pour une écoute). 2 départ, une corde de longueur « les 2/3 On peut voir dans cette recherche de divides 2/3 » donnera la même impression sion en « parties égales » d’un intervalle avec la corde de longueur 2/3... On musical l’une des origines possibles de la obtient ainsi une corde de longueur 4/9. rencontre des « savants » grecs avec le Mais comme 4/9 n’est pas compris entre problème de l’irrationalité (cf [1]). On 1/2 et 1, on prend le même son… à l’ocresse pour la gamme de sera conscient ici d’avoir une méthode de tave inférieure en multipliant par 2 la lon- Pythagore. détermination des intervalles a priori, en gueur. On obtient donc une corde de lonse fixant un nombre de notes et en calcugueur 8/9 : lant les longueurs avant de concevoir 1 2 l’instrument ; une fois celui-ci terminé, il 2 3 2n x k soit entre 1/2 et 1 (en effet, soit c’est k luimême, soit 0 < k < 1/2 et donc 0 < 2k < 1, et on recommence). C’est ce 2n x k là qui nous inté- 8 9 1 faudra ensuite juger « à l’oreille » de la validité du choix ainsi fait. Et on n’a qu’à itérer le processus… Voici À la rencontre de la gamme de Pythagore Nous allons maintenant examiner le choix attribué à Pythagore, donnant au passage une explication de la prééminence du nombre 7 dans les gammes ; après la moitié (pour l’intervalle d’octave), quoi de plus simple que le tiers de la corde ? Mais 1/3 ∉ [1/2 ; 1], ce qui impose — c’est un les douze premières fractions obtenues selon ce principe : 2 8 16 64 123 → → → → → 3 9 27 81 243 4 096 16 384 512 2 048 → → → → 6 561 19 683 729 2 187 524 288 32 768 131 072 → → 531 441 59 049 177 047 1→ des nœuds de l’affaire — de prendre plutôt la note à l’octave inférieure, qui nous donne, on l’a dit, une impression similaire, d’où le choix du nombre 2/3. Pour les Pythagoriciens, considérer que des fractions formées avec les premiers nombres entiers 1/3 et 2/3 donnent des sons consonants avec le son émis par la corde de référence était un acte de foi, car ce sont des lois numériques — autour des nombres rationnels — qui étaient censées permettre de comprendre l’Univers. 1 2 2 3

7 notes : un certain idéal… de choisir une fraction plus grande ; la fraction la plus simple qui respecte ce Le fait que 7 astres — hormis les contrat est 3/4 ; notons d’ailleurs que les étoiles — étaient connus à l’époque aurait 2/3 de 3/4 redonnent 1/2. Cette correction été des faite — et elle a pu l’être — nous avons Pythagoriciens de s’en tenir à 7 notes, et (peut-être…) l’impression d’entendre une en annonçant que ces astres émettent des gamme « convenable »… Remarquons sons en se déplaçant, naissait une théorie, en tout cas que c’est la fraction la plus « l’Harmonie des Sphères », futur carre- « compliquée » qui est en cause, et penfour de la religion, de l’astronomie, de la sons à l’artisan qui aurait en charge la musique et des mathématiques en division en 729 d’une corde afin d’en Occident, et ce au moins jusqu’à la prendre 512 parties ; voilà un autre argu- Renaissance. ment pour lui substituer un autre nombre. fortement lié au choix Nous laisserons de côté cette approche (cf [2]), et constaterons plutôt que la 7ème Question légitime : peut-on, au bout d’un fraction obtenue est plus proche de 1 que nombre fini d’itérations, obtenir une note toutes les précédentes ! On peut considédéjà rencontrée ? Cela reviendrait à dire rer — en étant conscient que ce n’est pas que deux notes seraient obtenues l’une tout à fait vrai — qu’on a quasiment bouaprès n multiplications par 2/3 et n’ corclé la boucle ! Et la prochaine « bonne rections (tel le 4/9 devenu 8/9) et l’autre approximation » intervient à la 12ème avec p multiplications par 2/3 et p’ cornote ! La précédente intervenait à la 5ème rections, amenant à : note, car 128/243 est « suffisamment (2/3)n x 2n’ = (2/3)p x 2p’. proche » de 1/2. Cela revient à l’égalité entre une puis- On peut voir ici une raison de la place prisance de 2 et une puissance de 3, d’où vilégiée des nombres 5, 7 et 12 dans les l’impossibilité théorique du problème ; gammes (penser aux touches noires & mais la perception de l’oreille a ses blanches du piano par exemple). limites, ce qui permet, comme on l’a vu, Réordonnons les sept premières fractions 2048 obtenues en remplaçant par 1 ; 2187 nous obtenons : de considérer par « approximations » clée ». La jolie formulation : « le cycle des quintes ne se referme pas » provient, 1 128 16 2 512 64 8 < < < < < < <1 2 243 27 3 729 81 9 elle, du fait que la 5ème note de la gamme, À l’écoute des notes correspondantes, nue par la fraction 2/3, qui permet la jouées de la plus grave à la plus aiguë, la construction de toute la gamme. Et voici donc les rapports de la gamme de Pythagore (avec la notation « américaine » : C = do, D = ré, …) 4ème note peut heurter… en tout cas, peutêtre par rapport à nos habitudes occidentales – écouter dans [@] — qui amènent à 24 que, parfois, « la boucle est presque boula « quinte » (le sol : « G ») est obteconsidérer qu’il faut qu’elle soit rempla- C B A G F E D C cée par une note plus grave, ce qui impose 1 128 2 243 16 27 2 3 3 4 64 81 8

une intensité et une fréquence propre, dépendant des propriétés du corps mis en vibration. Dans cette multitude, on peut mettre en évidence expérimentalement des sons appelés harmoniques du son de fréquence N, qui ont théoriquement pour fréquence les multiples de 1 N. L'inverse proportionnalité entre longueur de corde et fréquence étant approximativement acceptable, avec des hypothèses sur la nature d'une corde (longue, fine,..) on donne dans le tableau ci-dessous des fréquences et non des longueurs ; on reconnaîtra dans la première colonne les inverses de fractions dont certaines nous ont accompagnés depuis l'évocation de la gamme de Pythagore. Voici donc un instrument possible – esthétique mise à part — à huit cordes, chacune de longueur l’une des fractions ci-dessus. C B A G F E D C 1/2 Des notes « justes »… Une raison physique… Cette gamme de Pythagore a des avantages : elle utilise un principe naturel, celui de la voix humaine, dit des « quintes justes ». On l’a dit, la fraction 2/3 , base de la construction de la gamme, est la cinquième note de la liste, une fois réordonnées les notes dans l’ordre croissant des fréquences. Quant au mot « juste », en voici deux interprétations : premièrement, il a été constaté que, lorsqu’un son est émis, des personnes à qui on demandait de le chanter émettaient spontanément, non pas ce son, mais… sa quinte ! Mais que le rapport de quinte ait été dans de nombreuses cultures considéré comme consonant a aussi une explication « scientifique » : alors qu’on pourrait penser produire avec un instrument un son à la fois, disons de fréquence N, par exemple en appuyant sur une touche d’un piano, c'est en fait une multitude de sons superposés qui sont émis et que notre oreille perçoit globalement, chacun ayant Harmoniques d’une note (disons : do) Ce tableau (dont on peut imaginer le prolongement vers la droite) permet par exemple de constater que la note de fréquence kN avec k rationnel, ayant le maximum d’harmoniques en commun avec une note, est celle de fréquence 3N/2 — la quinte de cette note (rappelons que si k est une puissance de 2, alors la note de fréquence kN porte le même nom que celle de fréquence N, cas que nous exclurons donc). Du coup, lorsqu’une note et sa quinte sont jouées ensemble, quoi de plus naturel qu’elles semblent consonantes, étant donné que les sons qu’elles génèrent sont, théoriquement, pour moitié, les mêmes ! 4N 5N 6N 7N 8N 9N 10 N Harmoniques de la tierce majeure Zarlino (XVIème s.) (mi) 5/4 N 5/2 N 15/4 N 5 N … … … 10 N … … Harmoniques de la quarte de Pythagore (fa) 4/3 N 8/3 N 4N … … 8N … … 12 N … Harmoniques de la quinte de Pythagore (sol) 3/2 N … 6N … 9N … 12 N … 15 N APMEP - PLOT n° 21 N 2N

La gamme de Pythagore : vraies notes, fausse route ? La gamme de Pythagore est restée une référence tout au long du Moyen-Âge et jusqu’au XVIème siècle, de même que le monocorde est resté l’instrument de base du théoricien de la musique, le « musicus » qui était finalement seul véritable musicien, par opposition au « cantor », simple exécutant. Deux inconvénients sont apparus à cette gamme : il y eut le développement — notamment pour la liturgie — de la polyphonie, c’est-à-dire le fait de jouer plusieurs notes simultanément et non plus l’une après l’autre, comme lors du choix des notes sur le monocorde. On a considéré que les notes de la gamme de Pythagore ne répondaient pas à cette première exigence, et on a pris d’autres fractions, plus simples pour former des accords « parfaits » (cf [2]). Par ailleurs, lors de l’avènement des instruments à clavier, s’est posé le problème de la transposition ; on peut le rencontrer dans la situation courante que voici : que fait une personne qui commence à chanter et réalise finalement qu’elle est partie « de trop haut » et qu’elle doit s’interrompre car la suite de la mélodie est trop aiguë ? Il lui faut reprendre le chant en partant d’une note plus grave, décalant d’autant les autres notes vers le grave — de manière instinctive ? — et elle reconsti- 26 tue un air donnant l’impression d’entendre la même mélodie. Mais peut-on, sur un instrument fabriqué avec une échelle de notes fixées (comme par exemple celui à 8 cordes de la page précédente), changer la note de départ et décaler toutes les notes en donnant l’impression de conserver la mélodie ? Ou bien cela impose-t-il des règles pour l’échelle en question ? Les réponses sont « non » à la 1ère question et « oui » à la 2nde. Autrement dit, si on joue les trois premières cordes, puis les trois dernières, sur un instrument accordé selon la gamme de Pythagore, on n’a pas nécessairement l’impression de jouer le « même air », transposé. Précisons : on peut à partir d’une mélodie, imaginer la rejouer transposée (« décalée ») : - par exemple en gardant le même rapport de longueurs de cordes, d’une note à l’autre, que dans la mélodie de départ : la mélodie étant jouée sur des cordes de longueur a, b, c , sa transposée est : d, db/a, dc/a, - ou encore en gardant la même différence de longueurs de cordes, d’une note à l’autre, que dans la mélodie de départ : si la mélodie est a, b, c alors la transposée est : d, d + (b – a), d + (c – a). Si l’on accepte ainsi que ce qui compte pour reconnaître une mélodie transposée, c’est d’avoir une échelle géométrique (car la seconde version, transposition « arithmétique », heurte l’oreille en général ; écouter [@] pour se faire une opinion), on constate que la gamme de Pythagore ne convient pas car les fractions ne sont pas les termes d’une suite géométrique…

La gamme également tempérée Les cases des guitares… On appelle gamme également tempérée On lit souvent dans un manuel de 1ère S une gamme dont les n notes ont pour fréque la suite longueurs des cases des guiquence les termes d’une suite géométares est géométrique… trique : l’intervalle entre deux notes En voici l’explicaconsécutives est solution de l’équation xn tion sur une guitare = 1/2. Le nombre a = 12 1 est l’intervalle 2 appelé demi-ton pour la gamme égaleclassique : cet insment tempérée qui préside à la conception de telle sorte que la « théorique » de la plupart des instrulongueur de chaque ments à notes fixes actuels (piano, guicorde tare, instruments à vent munis de clés...). posant son doigt sur Mais pourquoi 12 et plus 7, alors ? la douzième case (située à la « jonction » On peut se rappeler qu’on a proposé dans un paragraphe précédent une échelle à 7 notes dont les fréquences forment une trument est conçu pincée en entre le corps de la guitare et le manche) est égale à la moitié de la corde complète ; suite géométrique ; si le résultat n’a pas on obtient ainsi l’octave de la corde jouée été considéré comme satisfaisant (voir [@] « à vide » ; de plus, la division en 12 cases pour se faire une opinion), c’est peut-être parce que trop peu de notes se rapprochent des quintes « justes » dont on a raprespecte le principe de la transposition, ce qui fait que les douze longueurs de pelé l’importance avec la théorie des harcordes, obtenues en posant le doigt sur la moniques ! En fait, ce défaut est assez 1ère case, puis la 2ème… et qui sont figubien atténué en passant à 12 notes ; en rées par les flèches sur le schéma ci-deseffet, le nombre a7 est une valeur approproche de 1 que toutes les précédentes ! sus, forment une suite géométrique de raison 12 1 . Il reste à vérifier que cette rai2 son est aussi celle la suite des longueurs Ainsi, 12 est un nombre « médiateur », de cases… chée de 2/3 à 0,001 près. Constatons de plus que la 12ème fraction obtenue est plus offrant à la fois un nombre de notes relativement important, la possibilité de transposer, et une approximation satisfaisante des quintes naturelles. C’est l’avènement des instruments à clavier qui, au début du XVIIème siècle a imposé ce choix de 12 notes en Europe ; On peut se demander si la différence entre sa paternité est attribuée à différents le système pythagoricien et le système noms : Werckmeister, Stévin… tempéré est perceptible. La réponse est En conclusion, une gamme est une affaire oui, pour certains intervalles… et pour de compromis, le nombre de notes n’étant une oreille (un peu) exercée. qu’un paramètre parmi d’autres. APMEP - PLOT n° 21 Voir la bibliographie en bas de la page