Musique, nombres, cosmos: quelques reflexions

MRET À. 147 G Masa MUSIQUE, NOMBRES, COSMOS: QUELQUES REFLEXIONS »PYTHAGORICIENNES« JACQUES VIRET UDC: 78.01 Original Scientific Paper Université de Strasbourg II, Izvorni znanstveni rad Received: June 26, 1986 22, rue Descartes, Primljeno: 26. lipnia 1986. Accepted: 67000 STRASBOURG, France September 3, 1986 Prihvaéeno: 3, rujna 1986, Resume — Abstract La corrélation des nombres et des un son fondamental, dont le rôle équisons musicaux, mise en évidence par ‘vaut à celui Pythagore. n'est rigoureuse que si l’on envisage les rapports numériques des qui correspond à la prime de la série harmonique. Cette fondamentale s’actualise syntaxiquement en tant que tonique, et elle se rattache au symbolisme du centre principiel, tout comme l'unité numérique et le point géométrique. La notion de tonalité ressortit ainsi, très généralement, à l'essence qualitative des intervalles musicaux. intervalles sous un angle qualitatif et non purement quantitatif, c'est-à-dire en considérant la série fractionnaire (1/2, 1/3, 1/4 etc.) plutôt que celle des entiers (1, 2, 3, 4 etc.). La valeur signifiante de chaque intervalle — par delà son aspect quantitatif de distance — de l'unité numérique et suppose donc que celui-ci soit relié à Les intervalles sont des témoignages des premiers jours de création; mystérieux comme le nombre, de même essence que les concepts fondamentaux de la surface et de l'espace, étalons à la fois pour le monde audible et pour le monde visible; parties de l'univers, qui se propage Selon les mêmes rapports que ceux de la Série harmonique, de sorte que la mesure, la musique et le cosmos se confondent en une seule unité. Paul Hindemith, Unterweisung im Tonsatz Que la musique entretienne d’étroits rapports avec les nombres, ce n'est lá un secret pour personne depuis qu’au VI° siècle avant notre ère Pythagore a fait de cette corrélation l’une des pièces maîtresses de sa philosophie. Comme de plus il voyait dans les nombres le substrat de toute réalité — cette »métaphysique du nombre« lui a sans doute été

.. s IRASM 17 (1986), 2, 147—161 inspirée par les doctrines orientales auxquelles il fut initié! — la musique devenait à ses yeux un symbole privilégié du »cosmos«, terme qu'il fut le premier à utiliser pour suggérer l’ordre universel reflété par les sons musicaux? Adoptée par la culture chrétienne du Moyen Age, la philosophie pythagoricienne du nombre s'y perpétua au sein du quadrivium, groupe de quatre disciplines dont elle constituait la base commune et qui englobait la musique aux côtés de l’arithmétique, de la géométrie et de l'astronomie. Cette philosophie incluait l’idée d'une »musique cosmique«, harmonie abstraite inaccessible à l'oreille physique et modèle de la musique audible qui n’en serait qu’une image très imparfaite. Une semblable conception paraîtra fantaisiste ou extravagante à l’homme d'aujourd'hui: il aura tendance à s’en moquer d’un sourire condescendant, et cette réaction illustre toute la distance séparant notre optique prétendument »évoluée« et celle de l'homme médiéval, encore nourri des traditions premières de l'humanité archaïque. Si pourtant la mentalité moderne, façonnée par les conquêtes spectaculaires des sciences et des techniques, ne nous avait point rendus quelque peu blasés face aux mystères cachés dans les phénoménes les plus simples de la nature, nous serions capables, à l'exemple des antiques philosophes pythagoriciens, de nous émerveiller devant cette surprenante correspondance entre les sons et les nombres: comment ne pas nous étonner que l'ordonnance la plus rigoureuse et rationnelle qui soit se retrouve — sans que s'en doute le moins du monde quiconque n’en a pas été averti — dans l'art en apparence le plus libre et le plus spontané, celui qui pénètre notre vie affective et émotionnelle exactement entre l’ordonnance physique, acousti que des intervalles sonores, et celle des rapports numériques qui les sous-tendent. Prenons une longueur de corde quelconque‘ à laquelle nous attribu erons par convention le coefficient 1, quelle que soit cette longue ur effective. Si nous mettons la corde en vibration elle produira un son détermi né, quant à sa hauteur par la longueur vibrante. Doublons cette longueu r: nous obtiendrons Voctave grave de ce son, tandis qu’une longueur réduite aigué. Avec une longueur triple d’un cété, aurons ici et là une douzième, octave grave et à l’aigu 1 Sur les sources orientales de la pensée pythagoricienne, cf. Charles WERNER, La philosophie grecque, Payot, Paris, 1946, pp. 13—14; Matila GHYKA, Philosophie et mystique du nombre, Payot, Paris, 1952 (réédition 1985), p. 32. ® Sur la notion de »cosmos« selon Pythagore, voir le témoignage de PHILOLAOS (fragment 1 dans DIELS, Doxographi graeci, p. 327). 3 Il ne manque pas d'études sur la valeur archétypique et générative des nombres dans la nature, les sciences et les arts selon une perspective pythagoricienne plus ou moins fidèle. La plus connue est l'ouvrage de Matila GHYKA précédemment cité (cf. note 1), qui pourtant ne répond qu’imparfaitement à son titre et peut être contesté sur certains points. Voir également Jean CHEVALIER et Alain GHEERBRANT, Dictionnaire »nombre«, pp. 677—679. des symboles, nouvelle édition, Laffont, Paris, 1982, article de la quinte, et une longueur vibrante du son initial, avec des rapports inverses respectifs n (équivalent de n/1) et 1/n. La série des entiers corresp ond aux intervalles graves et tend vers l'infini, alors que celle des fractions se rattache aux intervalles aigus et tend vers zéro; entre les deux du son initial, fait figure d’axe de symétrie: séries le nombre 1, celui | — — Po 4 = > - o % DA 2 LB O na 3 2 Le Y D 1/5 1/6 } 6 5 sagesse immémoriale, dont les enseignements n’ont rien perdu de leur actualité: les réflexions ci-après, nous l’esperons, en fourniront la preuve. Interrogeons-nous tout d’abord sur le fait même qui nous occupe, à savoir la corrélation entre les sons musicaux et les nombres, ou plus de moitié émettra l'octave réduite au tiers de l’autre, nous multipliée ou divisée par quatre donnera la double octave. On peut poursuivre ainsi l’agrandissement et le raccourcisseme nt de cette longueur théoriquement à l’infini dans les deux sens, de manière à engendrer deux séries symétriques où le même intervalle se retrouv e conjointement au et s’en fait l'interprète fidèle? Cette approche chasse maints prejugés et nous libère de multiples conditionnements dont nous sommes les victimes souvent inconscientes. Elle invite à un salutaire »retour aux sources«, grâce auquel est renoué le fil nous reliant aux fondements d'une I — Un curieux paradoxe 149 4 1 1/2 1/3 — 1/4 >» | Toutefois — et c'est là que nous voulo ns en venir — la symétrie n'est point aussi rigoureuse qu'elle le paraît de prime abord. Elle se manifeste d'une part entre les intervalles musicaux, d'autre part entre les fractions qui les traduisent numériquement (où le même nombre figure au numérateur d’un côté, au dénominateur de l’autre, le nombre complémentai re étant 1 dans les deux cas: 1/n a comme point entre les longueurs délimitées terme symétrique n/l), mais non sur la corde vibrante. En effet la des entiers revêt l'aspect d'une Progre série ssion rectiligne (ou “arithmétique«) _* La même expérience pourrait être faite sur la l’intérieur d'un tuyau, mais elle serait alors matériellementcolonne d’ai moins aisée AA Tii mesure des intervalles sur la corde vibrante s’effect uait au Moyen Age de la manière la plus simple gràce au monocorde, instrum ent d'usage surtout théorique hérité de la tradition pythagoricienne antique: »travaillez le monocordes aurait conseillé pythagore bi es, au momentde mourir (d’aprés Aristide Quintilien, dans Lausanne, , 186) IL p. poe. Cf. Jacques cq LLEY, Expli , xpliquer l’Harmo ie? éd. Rencontre,

dont chaque terme se déduit du précédent par l’adjonction à celui-ci d'une longueur invariable, celle-là même qui mesure le son initial et à laquelle nous avons attribué le coefficient 1; la série des fractions, quant à elle, se présente comme une courbe tendant vers l’asymptote zéro, ce qui résulte du fait que la longueur séparant deux termes consécutifs décroît régulièrement à mesure que l’on avance dans la série, et qu’elle tend elle aussi vers zéro. Or si l’on compare les séries numériques d'une part et celles des sons musicaux d'autre part, on constate que leur parallélisme ne vaut que pour la série fractionnaire mais non pour celle des entiers, puisque dans les deux sens les intervalles musicaux grandissent selon une progression analogue à celle de la série numérique des fractions. Par conséquent cette dernière seule semble réellement vérifier la corrélation entre les intervalles musicaux et les nombres: pourtant c'est au gré d’une démarche identique, fondée sur l'application des proportions numériques à la mesure d'une corde vibrante, que nous avons édifié l’une et l’autre serie... Il n'est guère possible d'expliquer ce déconcertant paradoxe sans se J. VIRET, MUSIQUE, NOMBRES, COSMOS...., IRASM 17 (1986), 2, 147—161 151 Les phénomènes perceptifs, tels que l’audition des intervalles musicaux, relèvent comme cela sem*le naturel de l'ordre dynamique de rapports, auquel néanmoins demeurent étrangers les faits matériels provoquant l’excitation sensorielle. La psychologie expérimentale a découvert la loi très simple et générale qui gouverne la relation entre excitant et sensation: c'est la loi de Fechner, selon laquelle l’excitation est proportionnelle au carré de la sensation, ce qu'on peut formuler autrement en disant que la sensation varie comme le logarithme de l’excitation.$ Pour l'audition cette loi se vérifie sur le double plan des intensités et des hauteurs. Sous l’angle de l'intensité on observe par exemple que ce ne sont pas vingt violons qui émettent un son deux fois plus puissant que dix, mais cent, soit le carré de dix; de même pour doubler l'intensité de cent violons il en faut mille, carré de cent. Ainsi le rapport proportionnel entre les deux grandeurs considérées reste le même, ce qui ne serait pas le cas si au lieu de multiplier on additionnait: 10 + 10 = 20 et 20 + 10 = 30, mais 20/10 n'égale pas 30/20, de sorte qu'avec une progression 10, 20, 30 généralité, deux types de symétrie que l’on pourrait appeler spatiale de juxtaposition (ou de contiguité) pour l’une et dynamique de rapports pour l’autre. Le premier type porte sur une constellation d’objets concrets ou on aurait affaire à une série non plus de rapports mais de quantités juxtapcsées (progression arithmétique de raison 10). La même loi explique qu'en multipliant par 2. 3, 4 etc. une longueur vibrante quelconque on produise non point un échelonnement de sons équidistants, à l’image de la série numérique — ce devrait être une juxtaposition indéfinie d'octaves —, mais bien un éventail varié de sons se resserrant progressivement et régu ièrement vers l’aigu, où les octaves correspondent aux puissances abstraits distribués dans un ordre identique de chaque côté d'un axe cende 2 (4 = 2° pour la double octave, 8 = 2°? pour la triple octave, etc.). faire une idée claire des différents ordres de grandeur en présence, car c'est en cela que réside, selon toute vraisemblance, le noeud du problème. Il faut alors élargir notre champ de réflexion et distinguer, dans leur tral: on peut le symboliser par la succession des nombres positifs et négatifs, de telle sorte que l'axe de symétrie, représenté ici par le nombre zéro, s'obtient en additionnant les deux grandeurs opposées (positive et négative). Le second type concerne des grandeurs assimilables à des forces — en donnant à ce concept une extension aussi large que possible — car on ne saurait additionner deux forces de même nature, mais seulement les multiplier: on dit bien »redoubler d’intensite«, »frapper deux fois plus fort« et ainsi de suite. Il existe alors un état d’équilibre exprimé non par le nombre zéro (aucune multiplication de nombres autres que zéro ne donne un tel produit), mais par un. Si par exemple je roule 4 60 km/heure et que j’accélére pour parvenir à 120 km/heure, j'ai multiplié ma vitesse par deux; pour revenir à mon allure initiale (état d'équilibre) je dois réduire cette vitesse de moitié ou, ce qui revient au même, la multiplier par un demi (donc 2/1 X 1/2 = 1). Il s’agit ici non de quantités qui s’annullent, mais de forces qui s'équilibrent, ce que résument les deux nombres zéro et un jouant un rôle équivalent dans leur ordre respectif. On remarquera encore que la symétrie spatiale affecte un caractère statique et s’oppose par là au caractère dynamique propre à la symétrie de rapports.’ Il y a cependant une particularité digne d'attention qui différencie les perceptions musicales de hauteurs vis-à-vis des autres perceptions régies par la loi de Fechner: tandis que ces dernières affectent une nature essentiellement qualitative et ne peuvent être mesurées, c'est-à-dire quantifiées, que dans des conditions expérimentales, les perceptions d’intervalles sonores possèdent de par leur essence même un aspect quantitatif, grâce auquel la qualité spécifique d’intervalles quantitativement très proches est ressentie spontanément et de manière prononcée. Considérons par: exemple ce qui se passe, pour reprendre le cas de tout-à-l’heure, lorsqu'on augmente le nombre de violons: on se rend compte que l'intensité sonore de cent violons est très supérieure à celle de dix violons, mais quatre-vingt-dix ou quatre-vingt-quinze violons ne procureraient pas une impression sensiblement différente: la perception demeure donc approximative. Rien de tel pour l'audition des intervalles: la septième majeure et l’octave sont l’une la plus accusée des dissonances et l’autre la plus parfaite des consonances, bien que leurs longueurs vibrantes soient très proches. Très proches du moins si l’on ne considère que les longueurs elles-mêmes, à savoir leurs mesures: tout change si l’on envisage les rapports de ces mêmes longueurs, car alors celui de l’octave est le plus simple après l'unité (2/1), 5 Ces deux types de symétrie sont mis en évidence par René GUENON: cf. »Remarques sur la notation mathématiques, article reproduit dans le recueil posthume des Mélanges, Gallimard, Paris, 1976, pp. 98—101. $ Cf. Emile LEIPP, Acoustique et musique, 3ème éd., Masson, Paris, 1980, p.

tandis que la septième majeure a un rapport complexe (243/128 en système pythagoricien, 15/8 en système harmonique). On en déduit que l'oreille détient une capacité tout à fait spéciale d'appréhender les rapports quantitatifs sous-jacents à ses perceptions qualitatives de hauteurs, et que ce sont ces rapports quantitatifs, ressentis qualitativement par l'entremise d'une impression sensorielle de consonance et de dissonance, qui déterminent la valeur proprement musicale de chaque intervalle.’ L'intervalle musical paraît être en fait la seule donnée perceptive offrant une pareille intrication du qualitatif et du quantitatif, et c'est à elle qu'il doit son pouvoir d'expression à nul autre semblable, en vertu de sa faculté de créer de toutes pièces un langage entièrement formalisé et idéalisé, débarrassé de toute collusion obligée avec la réalité sensible du J. VIRET, MUSIQUE, NOMBRES, COSMOS...., IRASM 17 (1986), 2, 147—161 mique de rapports. Il s’ensuit que le caractére spatial de la serie numérique double des entiers 1/n et des fractions n/1 est illusoire, comme aussi par conséquent la dissymétrie qui nous posait est perçue comme un intervalle »plus grand« que la tierce ou la quarte, mais »plus petit« que la sixte ou la septième, exactement comme s’il s'agissait de distances spatiales; et effectivement les longueurs vibrantes varient spatialement d’une manière corrélative (mais non parallèle) aux »distances« subjectivement perçues au sein de cet espace imaginaire. Toutefois Yappréciation qualitative de ces distances ne ressemble en rien a celle de notre oeil percevant les distances de l’espace extérieur, appréciation qui n’est guère autre chose ordinairement que celle du »plus grand« ou du »plus petit«. Notre oreille, pour sa part, complète sa perception »spatiale« — celle des sons graves et aigus juxtaposés — par une autre perception, plus fine et plus signifiante, qui vient se superposer à la première pour l’enrichir. Cette perception qualitative se fonde directement sur les rapports numériques et introduit du même coup un ordre échappant aux quantifications spatiales: deux sons séparés par un intervalle d’octave sont probléme. Cette dissymétrie n'existe que par la transposition dans l’espace matériel — les longueurs de la corde vibrante — de quantités qui en soi relèvent de l’ordre dynamique de rapports inhérents à la perception auditive, et pour lesquels la série en cause se révèle normale et donc symétriq ue dans cet ordre particulier. Aussi ces quantités très spéciales posséden t-elles la propriété unique de transmuer l'espace imaginaire de la perception musicale en un »espace qualitatif«, où les distances mesurent des rapports et non de simples positions spatiales. monde environnant. Il doit également à sa dimension quantitative de pouvoir engendrer un espace imaginaire, l’espace sonore« où se déploient les intervalles sous leur double visage mélodique et harmonique: la quinte 15: De l'intervalle à l’ordre tonal | Lorsqu'une mélodie passe d'un son à un autre elle franchit dans l’espace sonore imaginaire une distance équivalente à l'intervalle compris entre ces deux sons, intervalle qualifié en conséquence d’»ascendant« si le second son est plus aigu que le premier, de »descend ant« s’il est plus grave. Ainsi le parcours de la ligne musicale apparaît comparable au d’un objet ou à la marche d'un être animé dans l’espace déplacement réel. C’est pourquoi l'intervalle de seconde (majeure ou mineure), celui du »plus court chemin«, a de tout temps été considéré comme le plus conforme à essence du mouvement mélodique, à savoir la continuité sonore du glissement: indifférencié vers l’aigu ou le grave Cependant une mélodie entièrement: »glissée« ne serait pas proprement musicale, ou du moins elle ne répondrait: pas a la définition traditionnelle de cette notion: elle relévera it plutôt du bruit organisé, quand bien même un glissando occasio nnel et très limité demeure possible comme facteur d'expression (le »port de voix«) ou comme: moyen d'accroître le legato. Par delà le simple mouvement spatial d'un! spatialement éloignés l’un de l’autre, mais un lien étroit les unit pourtant en vertu de leur rapport numérique très simple, qui fait de leur combison á un autre le facteur musical intervi ent sous les dehors de la discon-' naison Une »consonance parfaite«. En somme deux quantités hétérogènes interferent, l'une qui découle de la situation réciproque des sons en présence, de leur proximité ou de leur éloignement mutuel, l’autre qui comil faut que deux sons spatialement distincts soient mande les rapports de ces mêmes sons entre eux, rapports conditionnés par leurs liens d’affinité à la fois qualitative et quantitative. On saisit dès lors la raison du paradoxe signalé plus haut, raison qu'il faut chercher dans l’ambivalence de l’espace sonore où s'inscrivent les intervalles. Cet espace comme tel assigne une position propre à chaque son perçu et définit une distance entre deux sons rapportés l’un à l’autre: mais les quantités mesurant ces positions et distances n’y sont que la projection spatiale, pour ainsi dire, de quantités issues d’un ordre dynatinuité inhérente au concept même d'interv alle: pour qu'il y ait intervalle! et qu’une affinité soit perçue entre eux indépe rapportés l’un à l'autre, ' ndamment de leur éloignement dans l’espace. Or cette affinité ou ce rapport sont directement tributaires des longueurs de cordes vibrantes ou des fréquences vibratoires: la possibilité de mesurer avec précision le nombre de vibrations effectuées par la corde mise en branle a révélé que ce nombre ou »fréquence« est inversement proportionnel à la longue ur de la corde: par exemple l’octave aigué d’un son quelconque sera émise par une corde longue de moitié et vibrant selon une fréquence double de celle du son initial; rapports de ® Voir à ce sujet Hugo RIEMANN, Les éléments de l'esthéti i Paris, 1906, p. 51. L'importance du glissement comme élément primordial de la . I , que 7 C'est pourquoi LEIBNIZ pouvait écrire avec raison que »la Musique est un exercice d’Arithmétique secréte, et celui qui s’y livre ignore qu’il manie des Nombres« (lettre à Goldbach du 17 avril 1712, citée par GHYKA, op. cit., p. 219). musicale, Alcan, mélodie est mentionnée entre autres par Walter WIORA (Les quatre âges de la musique, Payot, Paris, 1963, p. 14) et par Jacques CHAILLE Y (Eléments de philologie musicale, Leduc, Paris, 1985, p. 68).

VIRET, MUSIQUE, NOMBRES, COSMOS...., IRASM 17 (1986), 2, 147-161 J. VIRET, MUSIQUE, NOMBRES, COSMOS...., IRASM 17 (1986), 2, 147—161 Jongueurs de cordes et fréquences vibratoires représentent donc bien deux Si donc nous demeurons fidèles à . otre ligne générale de pensée, consistant dans la corrélation entre l'ordonnance des sons et celle des nombres telle que l'ont mise en lumière et explicitée les philosophes pythagoriciens de l'Antiquité, nous nous souviendrons aussi que les mêmes mécanismes rationnels se font jour dans chacun de ces deux domaines. De la sorte les lois d'organisation décelables ar sein des nombres vaudront également pour l'explication des structures sonores, à condition bien entendu d'éviter toute extrapolation abusive capable de mener le raisonnement à des conclusions erronées: ainsi en irait-il, très particulièrement, si nous tombions comme beaucoup dans le piège d’une confusion entre les ordres aspects corrélatifs d'un seul et même phénomène acoustique. Si deux sons acquièrent un sens musical en vertu du rapport physique sous-tendant leur situation réciproque au sein de l’espace sonore, il va de soi qu’un semblable ordre de rapports doit s'établir. à un niveau structural plus élevé, pour les intervalles entre eux. Lorsque l’on passe son à un autre, puis de celui-ci à un troisième, d'un comme entre ces deux derniers un nouvel intervalle se trouve énoncé — donc un nouveau Tapport — le lien intelligible entre les deux intervalles ne peut être que d’une même nature relationnelle que celui qui se manifeste entre deux sons. Il en va de même, de proche en proche. pour tous les sons appartenant à un ensemble syntaxique, qu'ils soient perçus dans la succession ou la simultanéité. ou en d'autres termes mélodiquement ou harmoniquement (la perception harmonique se fonde exclusivement sur le rapport intervallique et non sur la position spatiale des sons considérés). Le contenu musical ou sémantique de cet ensemble syntaxique, quelle que soit son ampleur (ce peut étre une simple phrase mélodiq ue, aussi bien qu'un mouvement entier de symphonie), sera déterminé quant a l'organisation des hauteurs par la résultante globale de tous les rapports intervalliques s’établissant entre les sons constitutifs de l'ensem ble en cause. D'où il découle qu'il n'est pas plus faux de réduire une mélodie à une succession d’intervalles — et à plus forte raison à une succession de notes isolées —, ou de prétendre analyser un accord comme une superposition d'intervalles autonomes, que de ramener une structure sonore complexe à la somme de phénomènes ponctuels. juxtapos relation de contiguité.® La signification és selon une pure sémantique devra être nécessairement envisagée comme découla de cette structure nt d'une relation dynamique entre tous ses éléments constitu tifs, ce qui s'agissant des hauteurs équivaut à étendre le champ de validité des princip es régissant l'intervalle isolé à la totalité de la structure organiquement agencée. Or ces principes ne Sauralent être autres en commençant. à propos du que ceux que résume la figure présentée parallélisme entre l’ordre l'ordre sonore. À ce parallélisme avait trait notre premier xion, qui nous a mis sur la voie de la distinction numérique sujet de réflefondamentale entre les deux ordres rationnels, celui de juxtaposition et celui de rapports. La suite logique en sera l'extension de cette dualité de points de vue present étudiée au niveau élémentaire de l'interva lle simple séquences qu'elle et entraîne à celui du langage et des limites jusqu'à ‘de juxtaposition et de rapports. Revenons à la série numérique dont procède l’ordonnance hiérarchisée des intervalles musicaux: I/n... 1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4... n. Nous avons vu que la symétrie de cette série n’existe véritablement que dans la mesure où on la considère comme représentative non point de quantités spatiales, mais de rapports dynamiques conçus à partir d'un état d'équilibre exprimable par le nombre 1. Ce nombre central est obtenu par multiplication réciproque des deux termes appartenant à chaque couple symétrique: 1/n X n = 1. Hors de cette relation terme à terme la symétrie s’&vanouit: si l’on réduit la série double à son apparence extérieure, celle d'une juxtaposition »spatiale« de grandeurs croissantes d'un côté, décroissantes de l'autre, on s’achoppe à Villusoire dissymétrie qui nous a intrigués. Considérée sous cet angle la série des fractions revêt la forme d’une courbe alors que celle des entiers suit une progression rectiligne; la distance entre deux termes consécutifs diminue dans le premier cas et reste constante dans le second. Mais cela suppose qu'on assimile les entiers à des grandeurs juxtaposées, donc avant tout spatiales, chacune d'entre elles étant alors issue de la précédente par addition d'une quantité invariable, en l'occurrence l'unité. Il n’en va pas de même pour la série des fractions: ici unité n'est point une simple quantité que l'on peut additionner ou soustraire, mais bien une valeur-limite, une référence première en fonction de laquelle tous les autres termes sont exprimés non par une addition mais par une multiplication ressortissant a un ordre de rapports. Et les fractions successives ne sauraient se déduire les unes des autres à l'instar des entiers: aucune opération arithmétique ne permet de déduire 1/3 à partir d'1/2, ni 1/4 à partir d’1/3. En revanche 1/4 peut se déduire et les cond’1/2 (ou vice-versa), parce qu'entre ces deux fractions intervient une naturelles relation autre qu’additive ou soustraciive, donc de rapport: 1/4 est la moitié d’1/2 (rapport 1/2). 1/2 le double d’1/4 (rapport 2/1): la série fracsusceptibles de lui être assignées. * Ces considérations rejoignent l'approche »gestaltis te: de la mélodi avons exposée en un précédent article: »Mélodie et ‘Gestalt’, pour une nouvelle approche de 1 analyse mélodique«, Internati onal Review oj the Aesthetics and Sociopoy of Music, XIII, 1982/1, pp. 39—53. Voir aussi, dans une perspective similaire acques CHAILLEY, »La notion d'échelle d'observa tion appliquée a l'analyse musicale«, Mélanges Georges Jamati, C.N.R.S., 1955 (reproduit dans De la musique à la musicologie, éd. Van de Velde, Tours, 1980, pp. 127—129). 155 tionnaire s’ordonne ainsi selon un réseau relationnel infiniment plus riche et complexe que celle des entiers, réseau qui est, on l’a vu. le seul a régir l'ordonnance numérique des intervalles musicaux. L'unité sart aussi de principe d’engendrement pour la série des entiers, mais ici son rôle et sa fonction ne sont point les mêmes que pour la série des fractions: cette ambivalence de l'unité est à l'origine de la difference de perspective existant entre les deux séries, et elle mérite qu'on s'y

J. VIRET, MUSIQUE, NOMBRES, COSMOS...., IRASM 17 (1986), 2, 147—161 attarde un instant en raison des trés importantes implications qu’elle recèle. En effet ces deux séries, si on les envisage non plus quant à la symétrie dynamique qui les unit mais relativement aux propriétés qui les distinguent, correspondent aux deux aspects complémentaires du nombre en soi, aspects qui sont également ceux de l’unité même. Du côté des entiers l’unité amorce la série des nombres comme le plus petit d’entre eux, et elle les fait naitre au gré d’une indéfinie duplication d’elle-méme: ce sont les nombres de l’arithmétique vulgaire, concepts purement quantitatifs renvoyant à une multiplicité matérielle, c'est-à-dire non rapportée à un principe unificateur transcendant leur développement cumulatif. L'unité joue ici le rôle d'une simple »unité de mesure«, d’un »dénominateur commun« entre tous les nombres qui la contiennent. Au rebours, du côté des fractions l’unité contient tous les nombres, ceux-ci désignant alors autant de qualités ou de déterminations particulières de l'unité. Par opposition à la série des entiers, image d’une multiplicité matérielle et quantitative, celle des fractions se rattache à une multiplicité qualitative que l’on peut appeler »spirituelle« puisqu'elle maintient un contact direct et permanent avec l'unité, laquelle est ici le symbole du Tout, du Principe, du Centre générateur, réellement »unique« au contraire des »unités« arithmétiques, éléments constitutifs des nombres quantitatifs. Ainsi, de même que »dans l’ordre principiel, toute multiplicité est comprise synthétiquement dans l’unité«,1° de même chaque nombre émane en quelque sorte de l’unite et tire d’elle sa réalité. De par son rapport essentiel et vital que l'ordonnance des intervalles musicaux ignore la multiplicité quantitative, puisque la série numérique des entiers, traduite en longueurs de corde vibrante, correspond à la même série intervallique que celle de lz série fractionnaire. Il s'ensuit que les »nombres musicaux« sont bel ei bien les concepts qualitatifs envisagés par la doctrine pythagoricienne, ei non point ceux, quantitatifs, de l’arithmetique ordinaire. Cette constatation entraîne comme conséquence que seul un emploi des intervalles accordé à l'essence qualitative de leur fondement numérique se révèle naturel et légitime, et la limitation introduite par là n'est autre en fait que celle du principe tonal dans son extension la plus générale. La notion de tonalité, éclairée sous son jour véridique, se rattache par là directement au concept du centre générateur, dont l'unité arithmétique d'une part et le point géométrique de l’autre représentent des symboles parfaitement adéquats, et elle en fournit l'équivalent exact dans le domaine des intervalles musicaux. De même que l’unité engendre la suite indéfinie des nombres et que l’espace entier émane d’un point central (les figures géométriques y transposent spatialement les nombres dont chacune procède), de même la totalité des intervalles musicaux sont contenus en puissance dans un seul son, dont le rôle ou la fonction sont analogues dans son ordre à ceux de l’unité numérique et du point géoavec l’unité le nombre acquiert une dimension signifiante, symbolique et métrique dans le leur; et ce rôle ou cette fonction correspondent aux caractères attribués à la tonique non seulement par la théorie de l’harmonie occidentale mais aussi, et même plus nettement encore, par ‘celle des systèmes modaux d'Orient (auxquels il convient de rattacher la mo nodie du Moyen Age occidental, qui s'apparente à eux par sa nature archétypique — celle-là même sur laquelle Pythagore fondait toute sa »traditionnelle«), Cette essentielle similitude ressortit au phénomène acousmétaphysique du nombre« —, et il possède de ce fait une individualite et tique de la corde vibrante, tel qu'on la précédemment décrit: à partir d’une longueur de corde quelconque, émettant un son déterminé, les diverg intervalles seront produits en multipliant ou divisant cette longueur selon des rapports numériques rationnels; cette opération n'est autre en réalité une signification autonomes: dans la série fractionnaire, en effet, deux m consécutifs sont toujours irréductibles l'un à l’autre, excepté 1 et 1/2. On voit par là qu’une analogie inverse relie entre elles l’unité arithmétique des entiers et celle, »metaphysique«, de la série des fractions, ce qui s'accorde parfaitement avec la relation réciproque des deux domaines considérés: le plus grand sur le plan quantitatif et matériel est le plus petit au point de vue qualitatif et spirituel, et vice-versa. Il en va exactement de même pour le point géométrique qui constitue, tout comme l’unité numérique, un symbole du Principe suprême: le »point primordial qu'une transposition matérielle de l’engendrement des nombres par l’unitej Mais la nature physique du son musical offre une illustration plus évidente et plus immédiate du même processus: en effet un son n’est normalement jamais unique mais il s'entoure, comme on sait, d'une quantité variable de sons concomitants appelés harmoniques ou partiels et qui s'échelonnent selon l’ordre même que nous avons découvert en prélevant des longueurs engendre l’espace par rayonnement selon un processus similaire à celui décroissantes sur la corde vibrante. En d'autres termes le son produit par celle-ci, dans sa longueur totale, contient materiellement les sons corresdes nombres émanant de l’unité.!! Il est frappant d'observer à ce sujet pondant aux longueurs de cordes qui entretiennent avec elle des rapports 10 René GUENON, Le règne de la quantité et les signes des temps, Gallimard, numériquement simples. La répartition des sons harmoniques ou partiels à l’aigu du son fondamental recoupe donc exactement l’organisation hiérarchisée des intervalles selon leurs rapports de fréquences: octave = 2/1, | Paris, 1970 (réédition), p. 118. 11 Tel est le sens profond de la parabole évangélique du «grain de sénevé« quinte = 3/2, quarte = 4/3, tierce majeure = 5/4, tierce mineure = 6/5, (Matthieu, XIII, 31—32); le »Royaume des Cieux« est comme ce grain, »la plus petite de toutes les semences« qui devient en croissant un grand arbre; la doctrine hindoue utilise la même image (Chändogya Upanishad, III, 14, 3). Cf. René GUENON, »Le grain de sénevé«, dans Symboles fondamentaux de la Science sacrée, Gallimard, Paris, 1962, pp. 433-440; sur le symbolisme du centre, cf. ibid., pp. 83-141. 12 L'absence de séparation stricte entre consonance et dissonance (ou ja relativité d'une telle séparation) est signalée par Paul HINDEMITH, Unterweisung im Tonsatz (Theoretischer Teil), 2ème éd., Schott, Mayence, 1940, p. 108.

ton entier — 9/8, les autres intervalles se déduisant de ceux-ci par multiplication ou division (lesquelles correspondent respectivement à l’addition ou à la soustraction acoustique des intervalles considérés). Du parallélisme entre l'organisation hiérarchisée des intervalles et l'étagement des harmoniques issus d'une fondamentale résulte, autre conséquence digne d'intérêt, le fait que les rapports de fréquences ou de longueurs de corde affectés à chaque intervalle s'expriment par des nombres qui sont précisément ceux des numéros d'ordre occupés au sein de cet étagement par les deux sons de l'intervalle; par exemple la quinte (rapport 2/3) relie les second et troisième sons de la série, tandis que les troisième et cinquième sons de celle-ci produiront la sixte majeure (rapport 3/5). Par ailleurs l'impression sensorielle de consonance et de dissonance — sans qu'il y ait de séparation tranchée entre lune et l'autre! — se fonde conjointement sur les rapports numeriques d’intervalles et sur le phénoméne acoustique des harmoniques: un intervalle sera d’autant plus consonant que son rapport s'exprimera par des chiffres simples (proches de l'unité) et que ses deux sons constitutifs seront proches du son fondamental au sein de la série harmonique. Ainsi se fait jour entre l’ordonnance des intervalles — avec la qualité consonantique qui la rend perceptible par l'oreille — et le fait physique des harmoniques (se dégageant d'un son unique) une parenté rigoureuse et parfaite, déterminée par l’unicité de la base numérique sur laquelle reposent ces deux phénomènes complémentaires. La prééminence de l'unité en tant que source génératrice de tous les nombres se concrétise auditivement dans la primauté du son fondamental comme terme de référence pour tous les intervalles, et la notion de tonique, qui s’actualise à l’échelle du discours, ne fait qu’expliciter sur le plan syntaxique cette méme primauté d’un son central et générateur. La multiplicité qualitative des intervalles procède de l'unisson, équicomme valent du son fondamental exprimable par le rapport 1/1, tout dégage et l'unité de émane entiers la succession indéfinie des nombres autant de »particularisations« de celle-ci. L'essence qualitative des nombres, traduite numériquement par la permanence de l'unité au numérateur J. VIRET, MUSIQUE, NOMBRES, COSMOS ...., IRASM 17 (1986), 2, 147—161 159 séparant les deux sons dont il se compose dans l'espace sonore imaginaire). Pour la méme raison un intervalle ne saurait étre envisagé comme une donnée autonome, douée d'un sens indépendant de celui des autres intervalles. Sa valeur signifiante implique obligatoirement qu'il s’insere dans un ensemble, et c'est au sein de ce contexte global qu'il acquiert un sens qualitatif. Cet ensemble, cette structure cohérente d'éléments étroitement solidaires investit l'espace sonore d'un réseau qualitatif, en lequel précisément réside ce que l'on peut appeler l’ordre tonal des sons. À la lumière de ces considérations qui en éclairent les propriétés les plus naturelles, les plus profondes et les plus générales, le concept de tonalité se révèle 4 nous non comme le déterminant contingent d'un style mais comme un caractère essentiel de langage, inhérent en tant que tel au matériau sonore constitué par l'intervalle. Il instaure entre les sons un ordre supérieur préexistant à tout principe particulier de structuration et à toute application spécifique en telle époque ou tel lieu déterminés. Grâce à cet ordre chaque intervalle, par delà sa valeur propre, s'intègre à un tout organique auquel il renvoie implicitement, et que résume le »Son premier« sous sa double forme de centre de référence dans le schéma intervallique (longueur totale de la corde vibrante) et de fondamentale dans la série harmonique. La présence constante d’une tonique — füt-elle mobile comme dans l'harmonie tonale — paraît dès lors une nécessité impérieuse dictée par le recours aux intervalles naturels: seule elle est à même de transformer une com.inaison d’intervalles successifs ou simultanés en une structure signifiante. S'il en est ainsi c'est que deux sons isolés ne peuvent se transmuer en intervalle — au sens plein du terme — que dans la mesure où ils sont perçus en tant que rapport sonore (et ; non comme simple distance entre deux hauteurs): cela présuppose leur; mise en relation avec une unité de base qui les englobe tous deux et permet j de les rapporter l’un à l’autre, de même que deux nombres ne sont reliés y entre eux que par leur commune référence à l'unité. i la série des sons harmoniques. L'unité demeure implicite et sous-jacente dans chaque nombre, et chaque intervalle musical porte en lui un lien On voit par là que le postulat de Schônberg, prétendant créer une: musique dépourvue de toute relation tonale et de toute hiérarchie entre’ les sons, repose sur un contresens flagrant puisqu'il va de pair avec le maintien des intervalles traditionnels de l'échelle tempéré. La loi tonale se trouve en effet inscrite dans ces intervalles de manière indéfectible, de sorte que s'évertuer à les en affranchir ne peut être le fait que d'une entreprise contre nature. Une musique véritablement atonale devrait logidevient réellement un élément de langage, ce qu'il ne serait pas si on ne oeuvrer dans le domaine du son brut, ce que tentent effectivement les d des fractions dont chaque nombre constitue le dénominateur, correspon tique dans le domaine des intervalles musicaux à la dimension consonan de ceux-ci, dimension directement tributaire de leur hiérarchie naturelle, exprimée corrélativement par les rapports de longueurs vibrantes et par signifiant qui Vunit au son fondamental.!* En vertu de ce lien l’intervalle considérait en lui que son aspect spatial, c’est-a-dire quantitatif (la distance 5 Cela ne signifie pas que la fondamentale propre de chaque intervalle (mélodique ou harmonique) corresponde dans tous les cas á la tonique de l’ensemble auquel il appartient: cette fondamentale est en rapport avec la qualité consonantique de l’intervalle, mais elle ne régit nullement le rôle syntaxique qu'il joue au sein de l'ensemble en cause. quement écarter de façon radicale le système des intervalles naturels et compositeurs expérimentant les techniques électro-acoustiques: ces techniques éliminent ainsi toute ordonnance signifiante capable de dépasser la dimension purement sensorielle du timbre, elle-même étrangère à tout contenu conceptuel; elles se révèlent de ce fait inaptes à engendrer autre chose que des amalgames sonores chaotiques et artificiels, quel que soit

au demeurant l'agrément ou le désagrément que procurent à l’oreille les ‘ combinaisons de timbres ainsi réalisées.!4 Si de semblables expérimentations restreignent volontairement la portée de leur message à l'horizon le plus limité qui soit, celui de la matière inerte, la soumission des structures sonores a l’ordre tonal les rend participantes d’une vision spirituelle du monde: les phénomènes matériels y sont appréhendés dans une globalité qui leur confère un sens, en vertu des affinités sous-jacentes les unissant entre eux par delà leur déterminisme superficiel. Envisagés selon l'optique matérielle et spatiale — c’est-à-dire quantitative —, les intervalles ne sont que des grandeurs, des segments prélevés dans l'échelle continue des sons: c'est ainsi que les met en oeuvre la musique atonale, méconnaissant leur nature qualitative fondée sur l’organisation hiérarchique qui les sous-tend. Si en revanche on aborde ces mêmes intervalles comme ce qu'ils sont réellement, à savoir des rapports qualitatifs d’affinite indépendants en soi de la spatialité sonore, on respecte en eux l’ordre caché qui préside à leur engendrement et qu’explicite la série des nombres. En vertu de cette dimension qualitative l'intervalle est envisagé comme un »être« individualisé, analogue en son domaine à ce que sont les nombres dans le leur: un son isolé n’a aucune signification sémantique et il n’en acquiert une qu’en entrant en relation avec un autre son, ce rapport entre deux sons étant le matériau élémentaire du langage musical sur le plan des hauteurs; de même un nombre n'existe qu'à la faveur d’un rapport implicite établi par l'esprit entre la multiplicité spécifique à ce nombre et l’unité ayant valeur de terme commun de référence pour tous les nombres. Un nombre quelconque ne saurait être considéré indépendamment de la place qu'il occupe au sein de la série numérique, J. VIRET, MUSIQUE, NOMBRES, COSMOS ...., IRASM 17 (1986), 2, 147—161 161 l'évaluation des intervalles à l’aune de la consonance — indépenda mment de leur déploiement dans la succession ou la simultanéité —, la construction sonore de l'oeuvre musicale s'échafaude en reflétant à sa façon la cohérence souveraine de l'univers cosmique, et la transcendante rationalité du nombre dont elle est le symbole audible. Summary MUSIC, NUMBERS, SPACE: SOME »PYTHAGOREAN« MEDITATI ONS The first part of the article shows that music intervals, if looked upon spatially, (above or below a central tone which was agreed on as a point of reference), organise themselves irto a certain rational arrangement which is not spatial, but is a result of a dynamic arrangement of relationships. Thus a correlation among numbers and music tones, which Pythagoras observed and denoted with the lengths of vibrating chords, is not strictly valid unless we have in mind a series of fractions (1/2, 1/3, 4/4 etc), which are basically qualitative, and not a series of whole numbers (1, 2, 3, 4 etc), which are quantitative. Spatial or quantitative assesment of an interval is doubled by a qualitative assesment which arises from a consonant nature of every interval; this ambivalence is a characteristic of a music assesment in itself. The second part of the article deals with the impact this observation has in the field of music speech. Here the idea of unity is stressed, it being a basic concept unifying an analogy of numbers and intervals. Qualitatively, numbers represent aspects of unity (fractions with a numerator 1); they are a symbol of a basic centre, which equals a gecmetrical point. Numerical unity produces numbers, while a geometrical point protluces space by radiating air; in the same manner a basic tone causes musical intervals (the lengths of vibrating chords, a series of natural aliquots). Its syntactic equivalent is tonic; therefore the principle of tonality does not arise as an accidental phenomenon of the style, but as a fundamental feature of an utterance; inseparanle from the basic nature of musical intervals in their qualitative dimension. tout comme l'intervalle musical renvoie au système hiérarchisé dont il est partie intégrante et qui lui confère un sens qualitatif. Les affinités d'intervalle à intervalle sont alors corrélatives à celles des rapports numériques qui les sous-tendent: par exemple l'octave entretient une relation plus étroite avec la quinte qu'avec la tierce majeure, car son rapport numérique (2/1) se rapproche davantage de celui de la quinte (3/2) que de celui de la tierce majeure (5/4). Pour la même raison la double octave s'apparente de plus près à l'octave simple (2/1, soit la moitié de 4/1) qu’à la douzième (3/1, sans rapport rationnel avec 2/1 ou 4/1). De par l'organisation tonale gouvernant l'agencement des sons, elle-même tributaire de 1‘ On objectera que certaines musiques d'Extréme-Orient font elles aussi retour au »son brutx, et nous pensons notamment au jeu du shakuhachi japonais, pratiqué par certains adeptes du bouddhisme zen comme moyen de méditation. Mais il ne faut pas oublier à ce propos qu'un même phénomène peut avoir deux aspects opposes, l’un lumineux et bénéfique et l’autre sombre et maléfique, selon le principe de l'analogie inverse; en l'occurrence la musique du shakuhachi procède de la volonté d'échapper aux déterminations de la forme musicale pour retrouver quelque chose qui ressemble à ia vibration primordiale de l’Ether originel, et permet ainsi à l'âme d'accéder à l'indétermination principielle, tandis que les musiques électro-acoustiques explorent les bas-fonds les plus ténébreux de la matière, démarche qui en est donc l'exacte antithèse. Saëetak GLAZBA, . BROJEVI, SVEMIR: NEKA »PITAGOREJSKA« RAZMISLJANJA Prvi dio tlanka pokazuje da se glazbeni intervali, shvaéeni prostorno (vise ili nize od jednog srediënjeg tona, izabranog sporazumno kao totku referencije) ipak ureduju prema jednom racionalnom rasporedu koji nije prostoran nego proizlazi iz dinamitkog poretka odnosa, Tako korelacija izmedu brojeva i glazbenih tonova, koju je uotio Pitagora i izrazio duZinama Zice koja vibrira, nije striktno valjana osim ako se ne misli na seriju raziomaka (1/2, 1/3, 1/4, itd.), &ija je bit kvalitativna, a ne na seriju cijelih brojeva (1, 2, 3, 4, itd.), tija je bit kvantitativna. Prostorni ili kvantitativni opaZa; intervala podvostruéava se, dakle, za jedan kvalitativni opazaj koji proizlazj iz konsonantne prirode svakog intervala; ova ambivalentnost pripada po sebi glazbenom opazanju. Drugi dio Clanka izlaZe posljedice ove primjedbe u podrutju glazbenog govora. Ovdie se insistira na ideji jedinstva, temeljnom pojmu koji sadrZi analogiju brojeva i intervala. Kvalitativno brojevi predstavljaju aspekte jedinstva (razlomci s brojnikom 1): ovi se dovode u vezu sa simbolizmom osnovnog centra, jednakog geometrijskoj totki. Brojtano jedinstvo proizvodi brojeve, a geometrijska toèka proizvodi prostor isijavanjem zraka; na isti je natin temeljni ton uzrokom glazbenih intervala (duZine titrajuéih Zica, serija prirodnih alikvota). Njegov sintaktitki ekvivalent je tonika; prema tome, princip tonalitetnosti ne pojavljuje se kao Sluéajni fenomen nego kao bitno svojstvo govora, nerazdvojiv od temeljne prirode glazbenih vala u njihovoj kvalitativnoj dimenziji. stila inter-