Sur l'histoire de quelques definitions de la geometrie grecque et les rapports entre la geometrie et l'optique

Mugler, Charles Sur l'Histoire de quälques definitions de la géométrie Greque et les rapports entre la géométrie et l'optique In: L'Antiquité Classique, 26 - 1957 -p.331-345 [aaa © ‚ANR, EC AST Dore Mugler Ch. sp ILA, MUGLER CH, Sur l'histoire de quelques définitions de la géométrie grecque {chez les Pythagoriciens] ; cf. Sciences : Malhématigugs. MucLER Cu., Sur l'histoire de quelques définitions de la géométrie grecque et les rapports entre la géométrie el optique, 1: La ligne droite, &oıs, nurpóoGros, EXtytotov : AC XXVI 1957 331-345. | La définition de la ligne droite donnée par Euclide a été précédée d’une définition par la représentation statique de la täats et d’une autre, chez Platon, qui fait appel à la représentation optique de l'érirpéo@ros. Elle a été suivie, chez Archimède, par la définition de la droite comme chemin Je plus court entre deux points. La science optique des Grecs a dû retourner souvent à la définition par la vdaug. KAUM 457 51-45 Fau2g

L’Antiquité Classique ENTRE LA GÉOMÉTRIE ET L'OPTIQUE Author(s): Charles Mugler Source: L’Antiquité Classique, T. 26, Fasc. 2 (1957), pp. 331-345 Published by: L’Antiquité Classique Stable URL: http://www.jstor.org/stable/41644824 . Accessed: 07/09/2013 13:41 Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of the Terms & Conditions of Use, available at . http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp . JSTOR is a not-for-profit service that helps scholars, researchers, and students discover, use, and build upon a wide range of content in a trusted digital archive. We use information technology and tools to increase productivity and facilitate new forms of scholarship. For more information about JSTOR, please contact support@jstor.org. . L’Antiquité Classique is collaborating with JSTOR to digitize, preserve and extend access to L’Antiquité Classique. http://www.jstor.org This content downloaded from 192.87.31.20 on Sat, 7 Sep 2013 13:41:44 PM All use subject to JSTOR Terms and Conditions

SUR L'HISTOIRE DE QUELQUES DÉFINITIONS DE LA GÉOMÉTRIE GRECQUE ET LES RAPPORTS ENTRE LA GÉOMÉTRIE ET L’OPTIQUE par Charles MuGLER I La ligne droite: tactic, Enınpoochnaug, EAdXıoTov La littérature scientifique des Grecs a conservé plusieurs définitions de la ligne droite; une définition qu’on pourrait qualifier d’economique et dont la forme la plus ancienne est l’assimilation de la droite à un fil tendu ; une définition optique, où la ligne droite est assimilée à un rayon de lumière ; et, enfin, une définition cinématique ou phoronomique, où la ligne droite apparaît comme le lieu des points qui restent immobiles dans le mouvement d’un corps solide suspendu par deux de ces points. Ces trois représentations de la droite se trouvent réunies dans la description de l'édifice céleste du mythe d’Er, au 10€ livre de la République de Platon. Le fuseau de la Nécessité est « tendu » à travers le ciel et la terre (1) et affecte donc la figure d'un fil soumis à la tdovg par laquelle se définissait, à cette époque, comme nous le verrons, la droite ; mais il apparaît aussi comme une «lumière directe » (2), c'est à dire comme un faisceau délié de lumière n’ayant subi ni réflexion ni réfraction, et satisfait par conséquent aux conditions de rectitude que Platon lui-même formulera un peu plus tard dans le Parménide ; faisant, enfin, fonction d’axe du monde (3), le fuseau de la Nécessité (1) did ravrós tod ovpavod xal yc rerauevov 616 B. (2) pòs ed0v ibid. (3) é dé TGV dxowv tetauévov ’Avdyxns droaxtov, dv’ od mdoas Entotoépeobar Tas repupopds, 616 C.

répond aussi à la définition cinématique de la droite formulée par Platon au livre IV de la République (*). Deux de ces trois représentations sont réunies, entre autres, dans une notation du Timee, où l’axe du monde est caractérisé comme étant « tendu » à travers l'univers (). L'examen du rapport mutuel de ces trois définitions au point de vue de l'existence mathématique est un problème du plus haut intérêt philosophique. Mais nous ne pouvons nous y arrêter ici. Notre tâche doit se borner à une enquête historique sur la présence de ces trois représentations géométriques dans la pensée des savants grecs. L'histoire de la troisième définition, comme axe d'un corps solide animé d’un mouvement de révolution, se réduit à très peu de choses. Elle n’a pas été retenue telle quelle par les géomètres. Elle est implicitement contenue dans le premier postulat d’Euclide qui, en demandant qu’on puisse mener une droite de tout point à tout point, emploie le singulier eödeiav yoauunv, dans l’axiome apocryphe [9], d’après lequel deux droites ne peuvent enfermer entre elles aucune aire finie, et dans une définition citée par Proclus (3), d’après laquelle la droite est la ligne qui « reste quand les extrémités restent». Les deux premières, au contraire, occupent une place très importante parmi les premiers principes sur lesquels les géomètres, de Thalès à Ptolémée, ont fondé leur science, et leurs destinées, souvent étroitement liées, peuvent se poursuivre à travers plusieurs siècles dans les travaux des mathématiciens, des astronomes et des opticiens. L’idee de définir la droite comme la figure prise par un fil tendu a été suggérée aux géomètres grecs par les procédés de certains artisans et des ingénieurs topographes. Maçons, charpentiers, architectes travaillaient éxi otabunv, ou xara oraßunv (*), dire en se servant d’un cordeau tendu. c’est à Les Egyptiens auraient désigné (5) leurs constructeurs par un nom que les Grecs rendaient (1) xai xata pév to ed00 Eotdvat. xtA. 436 E ; sur ce passage, cf. mon Platon et la recherche etc., p. 27. (2) megi tov did mavtòs nôÂoy tetapuévov, 40 B. (3) p. Ty negdtwy uevövrwv xai avr pévovoa. In Eucl., ed. FRIEDLEIN, 110. (4) La ota0un, le cordeau, figure déjà dans les comparaisons homériques, cf. Iliade, XV, 410; Ulysse travaille le bois ¿xi otdOuny, cf. Odyssée, V, 245 et XVII, 341. (5) Cf. Clem. Strom., I, 15, 69; D.V.? 68 B 299.

par dorredovartai, ce qui veut dire « ceux qui attachent et tendent des cordes » (1). Cette habitude de réaliser dans la pratique la ligne droite au moyen du cordeau se traduit dans la langue par de nombreuses expressions formées avec la racine ten-, du verbe simple te/very à des composés comme idvrerns (2), ou eößörovog (4). idvrevera (3) Nous ne savons pas à quel moment de l’histoire de la géométrie pré-euclidienne, ni par qui, la définition de la droite par la tension d’un fil a été formulée pour l’usage des géomètres. Tout ce que nous pouvons affirmer c’est que cette définition a existé. Proclus, dans son commentaire à Euclide, cite parmi d’autres définitions de la droite, une définition présentant la droite comme «la ligne tendue vers une extrémité » (6), sans indication ni de date, ni d’auteur, et il se réfère plusieurs fois dans ce livre à la tdoic, à la tension, comme propriété fondamentale de la droite (6). Cette représentation est visiblement à la base d’une partie de la terminologie géométrique de Platon. Dans l'interrogation de l’esclave du Ménon, Socrate désigne ainsi la diagonale du carré comme le segment « qui est tendu d’un sommet au sommet » (7) opposé, avec un emploi de reiveıv que nous retrouverons dans certains cas dans la construction de l’expression verbale par laquelle les géomètres remplaceront plus tard l’ancien reivew, de Enılevyvüvaı, érubvyyver. L'opération consistant à inscrire une aire donnée dans un cercle donné est désignée par lui par êyteiveuv (8), et le nom (1) Cf. Th. HEATH, A history of greek mathematics I, pp. 121, 122. L’auIl ne suffit pas de nouer teur a raison de traduire par « rope-stretchers ». et d’attacher les cordes, il faut les tendre. Sur la valeur de ce texte comme source historique, en particulier sur l’authenticité douteuse de la partie attribuée à Démocrite, cf. W. Kranz, D.V.’, II, p. 209. (2) Cf., entre autres, Ptolémée, Géogr., 9, 23. (3) Cf. entre autres, Ptolémée, Géogr., 9, 29; le fragment attribué à Géminus dans Damianos Schrift über Optik, éd. R. ScHONE, Berlin 1897, p. 24. (4) Cf. Athénée Méc., éd. WESCHER, p. 5. (5) En’ dxoov ¿ori tetauévn yoauun, éd. FRIEDLEIN, p. 110; adry ydo éotuw... nv xai Erepol... Er’ dxoov tetauévnv eipmxaouv, p. 117; cf. aussi pp. 198, 215, 316. (6) Tor ed0eidy ... TH En’ äxoov tdoei, p. 301; Eni de Tv evberov 7 én’ dxpov tdoic, ibid. ; dua thy En’ dxpov tdow Tc edbeiac, p. 316. (7) tic éx ywvías eis ywviay Teıvovong tod rergdnoöog, 85 B. (8) ei oldv te és tévde TOY xixAov Tode TO xwolov Tolywvoy Evradıjvaı, 86 E.

abstrait de cette opération, l'inscription, est 7 éytacic (1). De même l'opération consistant à appliquer une aire le long d'un segment de droite est désignée par Platon par napareiveıv (?), sans doute parce que cette opération se réduit à une série de constructions, de tdcec, de segments de droite. Une partie des expressions formées avec la racine rev- disparaîtra du vocabulaire géométrique au moment où les géomètres remplaceront l’ancienne définition de la droite, par la raoıs, par des définitions nouvelles. Les deux opérations de l’Evreivew et du napareivew s’appelleront ainsi éyvodper et rapaBdAAew. L'image du fil tendu reste cependant encore directement présente dans les termes Önoreivew, 7 drnoteivovoa qui se maintiennent après Platon (*) chez Aristote (*), Eudème (5) et dans toute la littérature géométrique à partir d’Euclide. Elle est indirectement présente dans l'expression verbale ému evyvévai, énibevyvderv, qui se substitue à l’ancien reiveıw à partir d’Aristote. Désignant à l’origine la construction d’un pont ou d’une route rectiligne entre deux points au moyen du cordeau, ce terme passe dans la terminologie géométrique, où il est réservé à la ligne droite à l’exclusion de toute autre ligne. En général, les géomètres emploient émubevyvdvar, EniCevyvdery d’après le schéma énilevyvivat edbetay and tivos omuelov ni ti onpetor (6) mais, à partir d’Archimede surtout, la droite peut elle-même être le sujet de cette expression verbale, et on dira 7 edbeta 7 Enılevyvvovoa tá onueta (7), comme Platon avait dit 7 yoauun 17 telvovoa &% ywviag eis ywriar (8). Dans les traités de géométrie, le verbe émbevyvdvar, émblevyvverv désigne donc tantôt l'opération consistant à joindre deux points par une droite, tantôt la propriété de la droite de relier d’une façon unique deux points. (1) neol tig évrécewc aúro (sc. Tod ywelov) sic tov xUxAor, 87 B. (2) rerpaywvlleı te xal nagatelvery, Rep. VII, 527 A; naga nv doGeicay attod yoauuy nagatelvayta EAkelneıw tovovtm xwelw olov dy aúto tO napatetauévoy 7, Ménon, 87 A. (3) Cf. Timée, 54 D. (4) Cf. Meteor., 376 a 12. (5) Cf. Simplicius Phys., 62, 32. (6) Cf. Aristt. Meteor., 375 b 21; 376 a 17 et p.; Eudéme dans Simpl. Phys., 64, 20; 67, 22 et p.; Autolycus, De Sphaera prop., 2, 6 et p.; Eucl. Elem., I, prop. 1, 2, etc. (7) Cf. tas Enılevyvvodoag tà xégata adräv, Archim., De lineis spir. prop., 28, et p. (8) Cf. plus haut.

Mais en dépit de ces survivances, la définition de la droite par la tdois avait été remplacée entre temps par d’autres définitions. A la représentation de la droite comme figure d’équilibre d’un fil tendu s’etait d’abord substituée celle de la droite comme forme du rayon lumineux ou, dynamiquement parlant, comme trajectoire de la lumière dans sa propagation d'un point de l’espace à un autre. Le premier énoncé scientifique de cette définition se trouve chez Platon. Dans le Parménide (!), à une date, par conséquent, sensiblement postérieure à celle du Ménon, où la terminologie relative à la droite est encore entièrement déterminée, comme nous venons de le voir, par la représentation de la rdoıs, effet la droite en ces termes: Platon définit en xai unv 6000 ye, où dv TO uéoov ápqolv tolv écydtow (äxoouw) éximpocdéor (?) 7), qui présentent la droite comme une ligne telle que si on y choisit deux points au hasard, tout point intermédiaire entre ces deux éclipse chacun des deux. Aristote (*) cite cette définition platonicienne sans en nommer l’auteur, Proclus (*) Pattribue formellement à Platon, et les deux citations contiennent une forme du verbe Enınooodelv. Ce texte est de la plus grande importance pour l’histoire non seulement de la géométrie, mais aussi de l’optique. Nous avons dit plus haut que la réalité physique à laquelle la ligne droite se trouve assimilée dans cette nouvelle définition est le rayon lumineux, c’est a dire un faisceau trés délié d’une lumiére émise par un corps incandescent. Ceci résulte de l’emploi de la métaphore astronomique de l’enınodoßnoıs, c'est à dire de l’éclipse ou de l’occultation. Dire qu'un point J’ d'un segment de droite AB éclipse, Enınoooßei, chacune des deux extrémités A et B revenait à affirmer, d'après le sens des termes Enıngoodeiv, Enınoooßnoıs dans les textes astronomiques (5), que J'intercepte pour B la lumière qui serait émise par A et, réciproquement, pour A la lumière qui serait rayonnée par B. Or l’enınoooßnoıs des astronomes est indépendante de toute hypothèse sur le mécanisme de la perception visuelle. Dans (1) 137 E. (2) Sur la restitution, au point de vue philologique, de la forme éxuxo000éov au texte de Platon, cf. mon article Sur deux passages de Platon, R.E.G., t. LXIX, 1956, fasc. 1, pp. 20 sq. (3) Top., 148 b 26. (4) In Eucl., p. (5) Pour une analyse plus détaillée du sens de ces termes, cf. Sur deux passages de Platon.

une éclipse de lune, par exemple, la lune cesse d’être éclairée parce que la terre s'interpose, émimgoo0ei, entre elle et le soleil, et non pas parce qu’un obstacle empéche le flux visuel, qui conditionne la perception visuelle dans certaines théories optiques de l’antiquité, d'aller de notre œil jusqu’à la lune. La définition platonicienne de la droite est donc fondée exclusivement: sur la loi physique de la forme rectiligne du rayon lumineux et ne présume rien sur la forme d'un éventuel (!) rayon visuel (%). Cette constatation est indispensable pour la compréhension des traités d'optique. A moins de faire cette distinction entre le rayon lumineux et le rayon visuel et de borner la représentation physique, sur laquelle est fondée la définition de Platon, au rayon de lumière, la proposition fondamentale de certains de ces traités, à savoir la rectitude du rayon visuel, se réduit, comme nous le verrons, à une tautologie. Mais avant que Platon ait pu songer à identifier ainsi la droite, qu'il avait d’abord lui-même conçue, avec ses contemporains, comme la figure d'équilibre d'un fil tendu, à la trajectoire de la lumière, il avait fallu vérifier par l'expérience si le rayon lumineux était effectivement orienté dans la direction d’un fil tendu entre la source lumineuse et l’objet ponctuel atteint par la lumière. Cette expérience a certainement été faite avant Platon ou du temps de Platon. Elle a été reprise plusieurs fois au cours de l'histoire de la science optique. La préface à la réédition du traité d'optique d’Euclide par Théon d'Alexandrie nous décrit une pareille expérience (3). Il est vrai que l’auteur omet d'indiquer le point crucial pour nous, à savoir la manière dont l’experimentateur vérifiait si le centre de la source lumineuse, le trou percé dans le premier écran et la tache de lumière sur le second écran étaient en ligne droite. Mais nous savons par d’autres textes que la vérification se faisait xatà otadun», par un fil tendu entre la source lumineuse et la tache éclairée sur le second écran. L'auteur d'un fragment traitant d'optique, qu’on a quelquefois attribué à Geminus et que (1) Sur l’histoire de la représentation des rayons visuels cf. entre autres, A. E. Haas, Antike Lichttheorien, dans Archiv für Gesch. der Philos., 1907, pp. 345-386; A. LEJEUNE, Euclide et Ptolémée, Louvain 1948, pp. 18 sq. et passim; Ch. MUGLER, Sur quelques fragments d’Empedocle, dans Revue de Philol., t. XXV, 1951, fasc. 1, pp. 54 sq. (2) Sur la nature du rayon visuel, cf. A. LEJEUNE, op. laud., pp. 33 sq. (3) Cf. Euclidis Opera omnia, éd. HE1IBERG, VII, p. 146.

R. Schöne a édité à la suite des pages de Damien sur des questions d’optique, se sert, à propos de la propagation rectiligne de la lumière qui est selon lui la loi commune à toutes les théories optiques, des trois expressions xata otadunv, Y ¡Dutévera et y Tacız (1), ce qui prouve bien que la ligne droite, 4 laquelle les théoriciens assimilaient la trajectoire de la lumiére, était définie par eux comme la figure d’équilibre d’un fil tendu et que, conséquemment, leur moyen de vérification était le cordeau. De même Proclus, en parlant de la réalisation matérielle d’une droite, nomme côte à côte le moyen « plus gros » des cordes et des fils et celui, « plus fin », des rayons de soleil 2). Ce n’est qu'une fois qu'on eut reconnu l'identité, démontrée par ces expériences, entre la figure d'équilibre d'un fil tendu et la trajectoire de la lumière, qu’on put substituer à l’ancienne definition de la droite par la tdovc la nouvelle définition par l’Erınoooßnoig- La découverte de cette identité eut des conséquences considérables pour la langue scientifique des Grecs. Nous avons déjà vu qu'un certain nombre d’expressions, formées au moyen de la racine ten, disparaissent de la terminologie géométrique après Platon, à la suite de l’abandon de l’ancienne définition de la droite par la tdous. Les opticiens, au contraire, accusent la tendance à fixer la loi physique de la forme rectiligne du rayon lumineux dans leur terminologie en appliquant au rayon lumineux et, par extension, au rayon visuel, la métaphore de la tension. Aristote dit ainsi, dans une page de polémique contre les partisans de l'émission de rayons visuels par l’œil, qu’il est absurde de prétendre que la perception visuelle s’opère par une substance matérielle sortant de l'œil et « tendue jusqu'aux astres » (3). Plutarque, cherchant a (1) elite anopoeovra eidwia ... low td» dyewy eiodveraı Hara ota Ounv £Evexdevra ... wovoy de oxonei (sc. 7 óntixn) ei owberar nad’ Exdornv vndbeow YN idutéveta Schrift über Optik, éd. tho woods Y tadoews, Damianos R. Schöne, Berlin 1897, p. 24. (2) du’ evGerdy ... alodnTöV, TÓTE uEv dxoıßeoteowv, dc dià THY daxtivwv TOY Titax@y, In Eucl., p. 39, tote ÖE naxvreowv, olov did ondetwy xai orábunc, 40. (3) dAoyov dé ÖAws TO ÉÉLOvTI Tuvi Ty Gyw body, xai aGnotEivecoda uéyor T@v dotowr, De sensu 438 a 25 ; cf. aussi 7) Gwic uévn dobeveotéoa ylveraı xai EAdrrwv, Meteor. 374 b 11; uaxootéoav yao dnoteLrvopuévn ÉXTELVO- N òvyic, ibid., 375 a 32; dnd yao pixgod Evon- Tgov nöggw GNMOTELYOMEVN Hope dodevns ylveraı, ibid., 377 b 33;

expliquer l'inaptitude des vieillards à voir de près dans l’hypothèse des rayons visuels, dit qu’un cône (!) formé de tels rayons est « tendu de chacun de nos yeux » (?) vers les objets. Dans l’aperçu de la perception visuelle que Galien donne dans son traité de physiologie, il compare constamment les rayons visuels à des cheveux ou à des fils d’araignee tendus entre l'organe de la vue et les objets sensibles, et il parle de la « tension » de ces rayons (9). La métaphore de la tdo: des rayons, tant lumineux que visuels, est particulièrement fréquente chez les commentateurs d’Aristote. Dans son commentaire au De sensu d’Aristote, Alexandre caractérise ainsi la théorie de l’émission de rayons visuels en disant que « des rayons... sont tendus entre notre ceil et les objets visibles » (4), et dans son traité De l’âme, il est question de la raoıs et du róvoc A . des rayons et de la tovix7 xlymois du flux visuel (5). gage chez Olympiodore (8). Dans son petit livre Même lansur l'optique, cf. aussi, dans le corpus artistotélicien, vió yap utxpod évontoov TÓPQOw dnotervouévn dodevng yiveta (sc. N dyic), Probl. phys. 912 b 33 ; et passim. (1) Sur le cóne visuel cf. LEJEUNE pp. 33 sq. (2) dxtivwy ... uéyor TOY dowpuévav GNOTELVOMEVwWY. In de sensu, éd. P. WENDLAND, Berlin 1901, p. 28, 3; cf. aussi: to did t&v ó¿p0alduwv ÉXTINTOY pic ... Alex. Scripta minora, Aphrod., xal uÉYOL TOY àOTOWY éd. J. adnoteivecbat Bruns, Berlin 1887, nepvxer. p. 127, 37; et passim. (3) ênei yào dnotelvetat thy 6pbadudy éxatégov xdvoc, Quaest. Conv., I, 8, 625 F. (4) dao Tic xdons ... GAdac evbelas yoauuas rauróldac vas tivas Aentac épeëñc dido éxtetauévas, libri, XVII, éd. G. HELMREICH, Leipzig 1909, X, 815; apayınv dáxpifós dlatetauévnv ano tic tolya xdons Eni tov xvxAov ibid. ; 6006 evbela ... und’ Extpenouevn Ts aoewc, donep dody- De usu partium xar’ Jentiw TO N xEvroov edbeiac Ta - vyevouévns, ATA. ibid. ; et passim. (5) dte pr) ovveyodc Eni Scripta min. 130, 29; tov ta négata TuS TÁCEWC td vO” TOY drrò T6 GpEews lovra, ibid., 132, 4; Y tovixn xivmoic, ibid., 130, 27 ; 131, 6 ; et passim. (6) tov ovpavòv xvavobr yoœua doxoDuev Eye ... did TO Emi ndéov È x - Tervouévny (sc. Troy) didotnua E£aodeveiv, In Arist. Meteora, éd. G. STUVE, p. 234, 18; éneuôn Eni ndéov Exteivetat... Y Öyıs noıxlda yowpata 004 xtA., ibid. 234, 24 ; adtau (sc. ai dxtives) EvTOVÓTEPAL odcaı diaAvovor ta nepi tov dpitovta véqn xtA, ibid. 259, 23; Eneiön oùx eioıw Exeivaı Evtovot Ota tO Exi nAéov duiotaobar xtÀ, ibid. 259, 26; et passim ; pour l’affaiblissement du rayon visuel, Olympiodore se sert des expressions dtovoc, drovla, dtoveiv; cf. pp. 219, 21; 237, 31; 239, 10; 250, et p. et passim.

Damien désigne la propagation rectiligne de la lumière solaire par le verbe anoreiveodaı et par le nom 7 énéxraouc (1). Ces quelques exemples, dont la liste pourrait encore étre augmentée, nous donnent une idée de la fréquence que la métaphore de la raoız des rayons atteint dans la littérature optique. Le grec avait, certes, forme, indépendamment de toute optique théorique, un certain nombre d’expressions fondées sur la représentation de rayons tendus entre l’œil et l’objet. Euripide fait ainsi adresser à Iphigéniè la prière à son père de « tendre » vers elle un regard affectueux (©). On peut citer dans le même ordre d'idées l’adjectif drevyjc, attesté depuis Hésiode et employé plus tard dans la locution drevéc Bléneuv, et les expressions verbales dtevifew et Evarevilew (?). Mais dans les textes optiques, la métaphore de la tdoucg est fondée sur une analyse théorique des phénomènes de la lumière et de la vue, et l'intuition populaire reçoit une sanction scientifique. Mais la géométrie grecque ne s’est pas arrétée a la définition de la droite donnée par Platon. Euclide adopte une nouvelle définition de la droite, d’aprés laquelle cette ligne « est située de la même manière par rapport à tous ses points » (*). Cette définition euclidienne ne semble plus rien contenir de l’ancienne représentation de la droite comme figure d’équilibre d’un fil tendu entre deux points, et elle cache aussi soigneusement la seconde propriété de la droite, celle de coïncider entre deux de ses points avec le rayon lumineux. Peut-être l'expression 2& icov xelodaı désignait-elle, dans la pensée d’Euclide, la constance de cette deuxième propriété sur toute l’étendue de la ligne et son indépendance du couple de points particuliers choisi. pas claire. Mais elle n'était Elle pouvait aussi désigner la propriété, bien plus générale, de l’homéomérie, c’est à dire la possibilité d'amener (1) 6009 uév yao didotnua td nAaxòv anoreiveraı pac, Damianos, éd. R. ScHóNE, 16, 5; 7) tod mlaxod pwrös ¿éxéxtacic, 16, 11. (2) MéOec viv dgovy Gupa T’ Exteıvov qpiloy, I.A., 648. (3) dia Ti Oatégov xatadngbévtoc dpy0aduod 6 Erepos Aov; Corpus Aristt. probl. phys.. 957 b 18; atevilovtec, dteviler pad tH öyeı noös pev ta GAda ibid. 959 a 24; cf. aussi les expressions dtovoc, atovia, atoveiy servant à caractériser la fatigue de la perception visuelle, en particulier dans les pages optiques d’Olympiodore, par exemple In Aristt. Meteora, éd. STUVE, pp. 219, 22 ; 230, 19; 237, 32; et passim. (4) eùbeia yoauun éotiv, ris EE icov toig Ep éavtie onuelois AEÍTAL, I def., 4.

en coincidence n’importe quelle partie d’une droite avec n’importe quelle autre partie. Mais cette propriété là, la droite la partage, comme certains geometres après Euclide le reconnaitront, avec la circonference et avec la spirale cylindrique (*). Le soin qu’Euclide avait pris, en renchérissant sur les principes de Platon, pour affranchir la définition de la droite 4 la fois de la représentation tactile du fil tendu et de la représentation visuelle du rayon lumineux, l'avait ainsi conduit à une formule obscure et inutilisable. La page embarrassée que Proclus lui a consacrée (7) nous donne une idée de la gêne qu'elle causait dès l’antiquité aux esprits réfléchissant sur les fondements de la géométrie. L’insuffisance de la définition euclidienne fut surtout ressentie par les savants qui, à la suite d’Euclide lui-même, cherchaient à faire profiter la science optique de la rigueur et de l'ordonnance que la géométrie avait reçues dans les Éléments. Euclide se contente, il est vrai, de postuler dans la première définition de son traité d'optique, comme s’il avait à traiter un problème de géométrie pure, que «les droites menées à partir de l’œil » s’étendent à de grandes distances (*). Il assimile ainsi implicitement la forme du rayon visuel sortant de l'œil à une droite, c'est à dire à la ligne définie par lui dans les Éléments comme nous l’avons vu. Étant donné le caractère neutre de cette définition, l'hypothèse fondamentale de l’Optique d’Euclide n'implique aucune affirmation de caractère physique ou physiologique sur le rayon visuel, ni l’identité de sa structure avec celle du rayon lumineux, théoréme physique qui n’allait pas de soi et qu’il fallait au moins énoncer, sinon prouver, ni la propriété de la taouc qui avait été le fondement de la première définition de la droite. Le rayon visuel chez Euclide est simplement une ligne qui ¿£ îoov xeitat pour tous ses points, et dès lors toute l’optique se réduit à une géométrie de droites soumises 4 certaines conditions. Les successeurs d’Euclide, en optique, ont vu que, pour parer a cette neutralité physique, 4 ce refus de se prononcer sur la nature de ces rayons visuels avec lesquels ils avaient à opérer, il fallait abandonner la définition euclidienne de la droite et revenir, en (1) Cf. Proclus in Eucl., pp. 105, 112 et passim. (2) Ibid., pp. 109 sq. (3) únoxelo0w tac anò Tod dupuaros éÉayouévac eddelas yoauuacs géoeodaı didotnua peyedóv peyddAwy, Optica, def. 1.

les modifiant au besoin, à l’une ou à l’autre des définitions anciennes de la droite. Il y avait a priori plusieurs possibilités. Si on revenait à la définition de Platon, l'identification du rayon visuel, au commencement d'un traité d'optique, avec une droite revenait à affirmer directement l'identité de structure du rayon visuel avec le rayon lumineux que représentait la droite du Parménide de Platon, de l’öyıs avec l’axtis (1), et à étendre, indirectement, la propriété de la raoıs du rayon de lumière, pour lequel elle avait été vérifiée xata otaßunv comme nous l’avons vu, au rayon visuel. Si on définissait, au contraire, la droite, à l’ancienne manière, comme la figure d’équilibre d'un fil tendu, c'est la racız qui se trouvait affirmée d’emblee pour le rayon visuel, dès la première phrase du traité d'optique, et l'identité de structure avec le rayon lumineux s’en suivait. Le premier de ces deux chemins fut suivi par Théon d'Alexandrie dans sa réédition de l’Optique d’Euclide et par l’auteur de la Catoptrique dite d’Euclide (?). Théon, obligé de respecter dans la mesure du possible le texte d’Euclide, se borne à substituer — pour nous limiter strictement au problème qui nous préoccupe ici — au passage d'Euclide tas azo tod duuatos éfayouévas edbeias yoauuas pEoeodaı rédigé dans un style purement géométrique, les mots TAS darò TOD Gupatos Ópers wat’ edbelas yoauuas pépecdal, où l'assimilation des rayons visuels à des droites est au moins posée sous forme d’équation. Mais dans la préface à sa recension, que Heiberg considère comme une rédaction de notes prises par un des disciples de Théon (*), il précise qu'il entend concevoir la ligne droite, dans le sens de la définition de Platon, comme la forme que prend dans l’espace le rayon lumineux et que, dès lors, le premier Gooc de l’Optique d’Euclide a pour lui la valeur d’une proposition de physique, puisqu'il consiste à étendre la loi qui régit les rayons lumineux aux rayons visuels (4). plus énergique. L’auteur de la Catoptrique est Il pose dans la première phrase de son traité l’iden- (1) Sur l'emploi de ces deux termes, cf. LEJEUNE, pp. 19 sq. (2) Sur l'attribution de cet ouvrage à Théon, cf. J. L. HEIBERG, dans les Prolégomènes à son édition des traités optiques, Euclidis Opera, Leipzig 1895, VII, pp. XLIII sq. (3) Cf. ibid., p. 145, note. (4) uetafaivewv Eni thy Gyw ... xaì tac ax’ abtijc éxyeouévas dxtivas xal ópodoyelv xat’ evbelas péoeodai ypauuas xai tavtac, ibid., p. 146.

tité de structure entre le rayon visuel et le rayon lumineux en assimilant lys à une droite, mais en précisant de suite qu'il entend la droite, à la manière de Platon, comme la ligne dont tous les points intérieurs éclipsent les points extrêmes (7). loin. Il va plus Au cours de la démonstration de la proposition 16, il se réfère à la définition de la droite donnée par Platon en ayant soin, pour qu'il ne reste pas le moindre doute sur sa source, de désigner la droite par l'expression archaïque to ev60 employée par Platon (?). On ne saurait exprimer plus clairement que la définition euclidienne de la droit: est inutilisable pour les fins poursuivies par la science optique, en rendant en même temps hommage au génie de Platon. La deuxième solution pour faire rentrer la théorie des rayons visuels dans la physique générale de la lumière eût consisté à retourner à la définition de la droite antérieure à celle de Platon, telle qu’elle a été conservée en partie par Proclus. Personne, cependant, ne semble avoir emprunté directement ce chemin. Mais la représentation de la rdouc était implicitement liée à un principe qu'il suffisait de dégager pour aboutir à une nouvelle définition de la droite, d'une généralité telle que les définitions antérieures en apparaîtront comme des applications particulières. Ce principe est celui de l’économie, et le penseur qui en reconnut pour la première fois la portée pour la géométrie de la droite fut Archiméde. Sa conception de la droite servira chez certains théoriciens de l’optique de pont entre les concepts de rayon lumineux et de rayon visuel. La propriété économique de la ligne droite était depuis longtemps un fait d'expérience (3). Architectes, marins, constructeurs de toute espèce avaient observé dès l’origine de leurs arts que la réalisation de la ligne tendue entre deux points était chaque fois accompagnée d'une économie sur la longueur de la corde, et bientôt ce fut en vue de cette économie, dans la fin de réduire au minimum le chemin, le temps, le matériel à employer, que les constructeurs traçaient des droites sur les plans de leurs routes, de leurs ponts et de leurs édifices. L’adjectif edè05c = direct, immédiat, attesté (1) öyır elvaı edbeiav, ic ta udoa ndvra toic dxçoic Enınoooßet, ibid., p.285. (2) Unéxeto yàp juiv td £600, 0d To uEoov toíc dxpors Enınpoodei, ibid. (3) Il est probable, comme l’a fait observer A. Rome, que sa découverte remonte trés loin dans la préhistoire.

comme qualificatif de la droite depuis Platon (*), exprime cette idée d’économie. Mais personne, avant Archimède, n’avait songé a fonder la représentation de la droite sur l’économie comme propriété essentielle. Chez Euclide, la propriété économique de la droite, ou la propriété géodésique, comme on l'appelle souvent aujourd'hui, est l’objet d'une proposition démontrable dont la démonstration est commencée (7) effectivement dans le théorème I 20 des Éléments. Archiméde, au contraire, admet d'emblée que la droite est « la plus courte de toutes les lignes ayant mêmes extrémités » (3) dans un postulat qu'il place, avec d’autres premiers principes, dont un postulat analogue pour le plan, au commencement de son traité De la sphère et du cylindre. Il serait intéressant de savoir par quelles considérations le géomètre syracusain a été amené à cette réforme de la conception de la droite. On sait que parmi d’autres branches des mathématiques appliquées, il s’est occupé aussi d’optique et qu'il a écrit une Catoptrique, perdue à quelques fragments près, dans laquelle il avait déjà anticipé certains résultats de Ptolémée (*). A. Lejeune a réussi à reconstituer les procédés techniques d’Archiméde dans la construction de son appareil optique et aussi, en partie, la critique à l’égard des représentations optiques antérieures que ses recherches personnelles avaient dû lui suggérer. Il est probable que cette critique s’etait étendue jusqu'aux propositions fondamentales de l’optique, concernant la forme rectiligne (*) du rayon (1) Sur historique de ev0%c, cf. mon Platon, pp. 25 sq. (à la p. 28 il convient de rétablir les références des notes 1 et 2, qui ont été interverties par une faute d'impression). (2) Elle n’est pas achevée. Pour la parfaire, il faut étendre la proposition I, 20 à des contours polygonaux et passer à la limite. Cf., entre autres, J. HADAMARD, Leçons de géométrie élémentaire, I, p. 28. (3) Aaußavw dé taùta * a. tÓvV ta atta népata Exovo®v yoauuwy élaylotnr elvaı tv edbetar. (4) Cf. A. LEJEUNE, ibid., pp. 52, 53 et passim, et du même auteur La dioptre d’Archiméde, dans Annales de la Société scientifique de Bruxelles, série I, tome LXI, 1947, pp. 27-47. (5) D’après un passage de la Catoptrique, conservée par Théon d’Alexandrie, Archiméde admet que le rayon visuel se propage en ligne droite et est susceptible de xAdoeuc, de réfractions; Théon d’Alexandrie, Commentaire sur les livres 1 et 2 de l’Almageste, éd. A. Rome, dans Studi e Testi, 72, Rome 1936, p. 347. Cf. A. Rome, Notes sur les passages des Catoptriques d’ Archiméde conservés par Théon d’Alexandrie, dans Annales de la Soc. scient. de Bruxelles, 52, 1932, pp. 3-41.

visuel ou du rayon lumineux et que, par conséquent, la conception nouvelle de la droite a été inspirée à Archimede en partie par des réflexions sur les fondements de l’optique. Ce qui est certain, c'est que la représentation géodésique de la droite s’applique à l'optique avant toutes les autres branches de la physique mathématique. Aussi voyons-nous certains théoriciens de cette science se référer à Archiméde pour énoncer les propriétés physiques des rayons visuels ou lumineux. Nous avons vu, en effet, qu’en partant des définitions de la droite d’aprés Platon ou d’aprés Euclide, affirmation de la forme rectiligne du rayon lumineux risquait de se réduire soit à une tautologie, soit à une proposition géométrique dépourvue de signification physique. La seule utilité physique de la droite ainsi définie avait été de servir de terme de comparaison entre le rayon de lumière et le rayon visuel. Avec la nouvelle conception d’Archiméde, au contraire, l'affirmation de la forme rectiligne du rayon de lumiére devenait une proposition de physique, puisqu’elle revenait à dire que la lumière réalise la plus grande économie possible, soit de dépense en matière ignée, si on se plaçait au point de vue statique, soit de temps pour ceux qui se plaçaient à un point de vue dynamique. Par extension, le rayon visuel se trouvait soumis au même principe d'économie. Dans son opuscule sur les fondements de l’optique, Damien souligne ainsi le caractère « brachistochrone » du rayon visuel en disant que la propagation rectiligne du flux visuel est non seulement un fait prouvé expérimentalement, de dgydvwy, par Ptolémée, mais une exigence de la raison, puisque, si le rayon visuel doit arriver le plus rapidement possible à l’objet de la vue, il suivra comme trajectoire la ligne droite (*) qui est, — et l’auteur cite ici presque textuellement Archimède — la plus courte de toutes les lignes ayant mêmes extrémités. (1) ei yao uéllor taytota Nöyıs noûs TO dbpatoòv agixveiobat, én’ Oeias éveyOjoetat, Damianos, éd. R. SCHÔNE, p. 4. eü- Malheureusement, le raisonnement de Damien souffre beaucoup du fait que dans la suite il prétend que la propagation de notre rayon visuel, comme celle de la lumière dans le rayon de soleil, semble se faire instantanément et en quelque sorte en dehors du temps, 7 tH¢ muetéoac Gpews nodoödos à y 0 Ô v w ç énttedciobar doxet, ibid., p. 16. Damien aurait évité cette faute, s’il avait appliqué le principe d'économie à la dépense de matière ignée dans la réalisation physique des rayons au lieu de l’appliquer au temps de propagation.

Mais la nouvelle conception de la droite comme ligne géodésique de l'espace transformait maintenant aussi la définition la plus ancienne de la droite, par la raoıs, en une proposition de physique. On ne dira plus désormais, confondant l’objet géométrique et le moyen pour le réaliser, que la droite est un fil tendu, mais l’image du fil tendu deviendra l'illustration de ce théorème de physique qu'un corps flexible et inextensible, soumis à une tension, réagit contre cette tension en occupant le moins de place possible entre deux de ces points. L'initiative d’Archimede, qui fait ainsi apparaître désormais la técis à son tour comme un phénomène soumis au principe d’économie et apparenté, de ce fait, aux phénomènes de la lumière et de la vue, a sans doute contribué à répandre l’image de la tension dans la littérature optique avec la fréquence que nous avons vue plus haut. Elle présentait pour les théoriciens de l’optique géométrique l'avantage de ne rien présumer sur les représentations précises, à l'échelle de l’imperceptible, sur lesquelles les partisans des différentes écoles entendaient fonder les phénomènes optiques observables. Elle s’appliquait tout aussi bien aux flux matériels qui sont le substratum de ces phénomènes chez Empédocle, chez les atomistes et chez Platon, qu’à la perturbation du milieu par laquelle Aristote explique la lumière et la vue. Elle pouvait impliquer aussi bien la notion d’une daxdyy minima en matière ignée que celle de la brachistochrone. La représentation de la droite inventée par Archimède est donc la plus parfaite de celles que l'antiquité nous a léguées. Le Syracusain a eu le génie de voir que le principe d'économie, lié chez ses prédécesseurs à la réalisation matérielle d’une figure géométrique, était applicable à l’espace lui-même, et que la notion de ligne droite était parfaitement claire par cette représentation du chemin le plus court ou de la distance minima entre deux points. C'est un fait remarquable de l’histoire de la pensée scientifique que la définition la plus abstraite, la plus immatérielle de la droite a été trouvée non pas par Platon ni par les partisans de l’idéalisme géométrique, Euclide et ses disciples, maïs par l’homme qui fut chez les Grecs le défenseur le plus résolu de l’application de la science à la réalité matérielle et le créateur de la mécanique rationnellle. (à suivre)