Die stereometrischen Bucher der Elemente Euklids; Untersuchungen uber das mathematischen Aufbau und die Entstehungsgeschichte

Neney SCANEENDER , =. 4) Springer ‘xt Die stereometrischen Bücher der Elemente Euklids: Untersuchungen über den mathematischen Aufbau und die Entstehungsgeschichte Author(s): E. Neuenschwander Source: Archive for History of Exact Sciences, Vol. 14, No. 2 (31.X11.1974), pp. 91-125 Published by: Springer Stable URL: http://www jstor.org/stable/41 133425 Accessed: 27/10/2013 16:24 Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of the Terms & Conditions of Use, available at http://www jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp JSTOR is a not-for-profit service that helps scholars, researchers, and students discover, use, and build upon a wide range of content in a trusted digital archive. We use information technology and tools to increase productivity and facilitate new forms of scholarship. For more information about JSTOR, please contact support @jstor.org. Springer is collaborating with JSTOR to digitize, preserve and extend access to Archive for History of Exact Sciences. http://www jstor.org This cautent downloaded From 199 87 3120 an Sun 27 Ort 2013 16:94:40 PM

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Untersuchungen über den mathematischen Aufbau und die Entstehungsgeschichte E. NEUENSCHWANDER Vorgelegt von B. L. VAN DER WAERDEN Inhaltsverzeichnis Seite Einleitung. +... 91 I. Der mathematische Aufbau der stereometrischen Bücher . . 92 Schemal........... +... ee ee + . +. 92 Bei der Aufstellung der schematischen Darstellung befolgte Richtlinien. Schematische Darstellung der stereometrischen Bücher. . . . . . . . 92 93 II. Zur Entstehungsgeschichte der stereometrischen Bücher Kritische Betrachtung der Textüberlieferung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 . . . . . . . . . 98 Untersuchung der Bücher XI—XITI. ...... 2.2 2 2 . . . . . . . 101 Buch XIII... . 103 Buch XII ..................... . . . . .. 109 Buch XI......................... . .. . 118 Folgerungen für die Frühgeschichte der Stereometrie Literatur . . . . . . . . . . . . 120 00000. 123 Finleitung Die vorliegende Arbeit behandelt die stereometrischen Bücher der Elemente EuxKLIDS. Dabei wurde dieselbe Methode verwendet, wie in der vorangegangenen Untersuchung der planimetrischen Bücher!: Vorerst wird der mathematische Aufbau der Biicher analysiert und schematisch dargestellt, darauf die Zitierweise der einzelnen Propositionen untersucht und schlieBlich mit Hilfe der so gewonnenen Resultate und weiterer Angaben eine Rekonstruktion der Entstehungsgeschichte gegeben. Im Gegensatz zur vorangegangenen Arbeit wurde hier auf die explizite Wiedergabe von Schema II (Untersuchungen der Zitierweise) verzichtet. Die Zitierweise der planimetrischen Sätze in den stereometrischen Biichern ist bereits in der ersten Arbeit kurz gestreift worden; zudem werden die stereometrischen Sätze bedeutend weniger zitiert, so daß ein Vergleich ihrer Zitierweise im allgemeinen nicht sehr aussagekräftig ist. 1 E. NEUENSCHWANDER, Die ersten vier Bücher der Elemente Euklids, in Archive for History of Exact Sciences, 9 (1973). Arch. Hist. Exact Sci., Vol. 14

I. Der mathematische Aufbau der stereometrischen Biicher Schema I Bei der Aufstellung der schematischen Darstellung befolgte Richtlinien 1. In der schematischen Darstellung werden für jede Proposition der stereometrischen Bücher der Elemente alle Sätze, Postulate, Axiome und Definitionen, die EUKLID zu ihrem Beweis beniitzt, angegeben. Ubergeht EUKLID in einer Proposition einen Konstruktions- oder Beweisschritt stillschweigend und läßt sich mit Bestimmtheit oder großer Wahrscheinlichkeit feststellen, wie EUKLID diese Lücke geschlossen hätte, so werden die dazu benötigten Sätze im Schema notiert. Läßt sich diese Lücke mit Hilfe von EUKLIDs Postulaten, Axiomen und Sätzen nicht schließen oder läßt sich nicht feststellen auf welche Art EUKLID sie geschlossen hätte, so wird sie offen gelassen. Für die Diskussion der einzelnen Beweislücken sei auf die Kommentare zu den Propositionen in der Euklidausgabe von T. L. HEATH verwiesen. 2. Die zum Beweis einer Proposition benötigten Postulate, Axiome, Definitionen und Sätze werden in der schematischen Darstellung folgendermaßen angeordnet: Zuerst die Postulate und Axiome, dann die Definitionen und Sätze des I. Buches, dann die Definitionen und Sätze des II. Buches usf. Für die Notierung werden Abkürzungen verwendet, z.B. I Def 15 =15. Definition im ersten Buch, Zus = Zusatz. 3. Zur Eintragung der zum Beweis einer Proposition benötigten Postulate, Axiome, Definitionen und Sätze in die schematische Darstellung werden verschiedene Auszeichnungen verwendet: Fett: Falls der ganze Satz oder sein wesentlichster Teil wörtlich zitiert ist. Falls der ganze Satz zwar nicht wörtlich, aber dem Sinne nach genau zitiert ist. Normal: Falls der benötigte Satz im Text angedeutet wird. Kursiv: Falls der zum Beweis benötigte Satz ohne Hinweis benützt wird. Die in einer Proposition verwendeten Konstruktionsaufgaben werden somit im allgemeinen normal oder kursiv gedruckt, je nachdem ob die Ausführung der Konstruktion im Texte explizite verlangt wird oder nicht. Fett werden sie nur dann eingetragen, wenn eine komplizierte Aufgabenstellung auffallend genau wiederholt wird. 4. Wenn ein Satz (bzw. Postulat, Axiom, Definition) in einer Proposition mehrmals verwendet wird, so wird er jeweils in der Auszeichnung des besten Zitates in der schematischen Darstellung eingetragen. Nach diesen allgemeinen Richtlinien noch einige spezielle, die bei der Eintragung der Definitionen, Postulate und Axiome befolgt wurden. 5. Um die schematische Darstellung übersichtlicher zu gestalten, werden nicht alle beim Beweis einer Proposition verwendeten Definitionen in ihr angegeben. Es werden nur solche Definitionen in der schematischen Darstellung vermerkt,

die vollständig oder wenigstens dem Sinne nach genau zitiert sind, die also fett gedruckt werden miissen. 6. Postulat 2 wird in den stereometrischen Biichern der Elemente nie zitiert. Fir die Verlangerung einer Strecke werden neben dem in der Formulierung von Postulat 2 verwendeten &xßdAAsıy auch die Verben xoooexBalleir, dudyew und noootıdevaı benützt. Um die Nuancen im Gebrauch von Postulat 2 besser hervorzuheben, wird Postulat 2 nur bei der Benützung von &xßdAMeıw und noocex Ballet als angedeutet betrachtet. 7. Die Axiom 1—3 werden in den Elementen selten zitiert. Um die Nuancen in ihrem Gebrauch in der schematischen Darstellung besser hervorzuheben, wird folgendermaßen vorgegangen: Die Axiome 1—3 werden bereits als angedeutet betrachtet, falls bei ihrer Verwendung folgendes im Text steht: Ax. 1: a=bund b=c also a=c Ax. 2: a=bundc=d alsoa+c=b+d Ax. 3: a+c=b+dunda=b alsoc=d Axiom 5 und 6 werden von den meisten Autoren als unecht betrachtet!. Axiom 5 ist dabei leicht aus Axiom 2 herleitbar, während Axiom 6 nicht aus den Axiomen 1—3 gefolgert werden kann. Aus diesem Grunde setze ich bei impliziter Verwendung von Axiom 5 meist Axiom 2, bei Verwendung von Axiom 6 dagegen dieses selbst. 8. In Beweisen verwendet EUKLID immer wieder die Tatsache, daß gilt: AB=CD € (AB)? =(CD)?. DaB diese beiden Schliisse richtig sind, wird in den Elementen aber nicht bewiesen?. Falls EUKLID einen dieser beiden Schliisse in einem Beweis beniitzt; wird dies in der schematischen Darstellung durch die Abkürzung Q angegeben. Dabei wird Q normal gedruckt, falls explizite steht AB=CD, daher (AB)?=(CD)? (oder umgekehrt) und kursiv, falls einer dieser Beweisschritte stillschweigend verwendet wird. Schematische Darstellung der stereometrischen Bücher Buch XI Def. 1—28 XIl: Post 2 XI 2: Post 1 XI 1 XI 3: Ax 9 Post 1 XI 4: Axl Post 1 Post 6 I3 14 18 I 15 I 26 XI Def 3 XI 2 XI 5: Ax 8 Post 4 XI 2 XI 3 XI 4 XI 6: Ax1 18 Post 1 111 Post 4 I 28 I3 XI 2 14 XI 5 1 Vgl. z.B. T. L. HEATH, Euclid's Elements, Bd. 1, S. 223; als echt dagegen von A. SzAB6, Anfánge des euklidischen Axiomensystems, S. 73—78. 2 PROKLOS bringt in seinem Euklidkommentar (S. 461) einen Beweis dafiir.

Ax 9 XI 8: Ax 3 Post 1 Post 4 13 14 18 7 XI I 11 I 29 XI 2 XI 4 XI 3 XI 9: 111 XI 4 6 XI XI 8 XI 10: Ax 1 Post 1 13 I 8 I 33 XI 7 XI9 1 11 I 12 I 31 XI 2 XI 4 XI 11: XI 8 XI 12: 131 XI8 XI 11 XI 13: Ax8 Post 4 2 XI XI 3 XI 14: Post 1 117 1 XI XI 3 XI 15: Ax3 Post 4 1 29 1 31 XI 2 4 XI XI7 XI 9 XI 11 XI 14 XI 1 XI 3 XI 16: XI 17: Post 1 V 11 2 VI XI2 XI 16 XI 18: Ax ? 111 I 28 XI Def 4 XI 3 XI 19: 111 XI 3 XI 13 XI 20: Post 1 13 14 I 20 1 23 XI 8 125 XI 21: Ax2 Post 1 1 32 XI 20 XI 22: Axl Post 1 Il I3 I 20 I 22 123 I 24 Ax 1 Ax 2 3 Ax Post 1 13 14 18 I 47 I 13 I 22 Q III 1 125 IV5 VI4 XI 22 XI 12 XI 13 XI 20 VI 2 XI 21 A x 5 Post 1 14 I 34 XI 10 Ax 1 Ax 2 Ax 8 Post 2 13 1 36 V Def 5 XI 24 14 18 VI 12 VI 21 XI 23: I 29 V 16 XI 24: 14 XI 16 XI 25: XI 26: XI 27: Post 1 Post 4 13 I 23 XI 11 XI 12 I 34 V 22 VI 6 XI 24 XI 26 XI 28: I 34 XI 7 XI 24 XI 29: Ax 1 Ax 2 I 4 I 29 I 34 XI 24 XI 29 XI 30: Ax 1 Post 1 Post 5 XI 31: Ax 1 2 Ax Post 2 Post 4 Post 5 13 I 23 I 31 I 34 I 35 XI 24 XI 29 XI 30 I 44 V 11 XI 25 XI 11 V9 XI 31! XI 32: 1 Der erste Teil des Beweises wird im zweiten Teil wórtlich zitiert.

XI 35: XI 36: 95 Axl Ax 2 Post 2 Post 5 13 I 4 I 15 I 31 I 34 V Def 10 VI 1 XI 24 XI 25 13 V9 V7 V 11 Ax 1 Ax8 V 11 VI 1 XI 11 V 7 XI 24 XI 30 XI 31 XI 32 XI 34 Ax 1 Ax ? Ax 3 Post 1 Post 4 13 I 31 14 I 47 18 I 48 1 12 Q I 26 XI 8 XI 11 XI 26 V 11 VI 14 XI 26 XI 33 13 V7 XI 31 XI 35 Zus XI 25 XI 37: V 11 V 22 XI 27 XI 38: Ax 1 Ax 6 Post 1 Post 5 I 10 I 13 I 14 I 15 I 26 I 29 XI 9 I 33 I 34 XI 3 X17 Ax 1 Ax2 Ax 6 I 34 XI 28 XI 39: 14 XI 31 Buch XII XII 1: XII 2: XII 3: XIT 4: XII 5: Ax 1 Ax 3 Post 1 Post 4 I 32 III 1 III 27 III 31 V 11 V 22 VI4 VI 6 VI 20 Ax8 Post 1 Post 5 141 IIIl III 16 Zus III 30 IV 6 V 11 V 14 V 16 X 1 XII 1 Ax 1 Ax 8 Post 1 14 1 10 I 29 I 34 I 41 V 11 V 16 2 VI VI 4 VI6 XI 10 XI 39 Ax 2 I 29 V7 V 11 V 12 V 16 VI 2 4 VI VI 22 XIT 3 Ax 8 V 11 V 14 V 16 X 1 XII 3 XII 4 XII 6: Post 1 V 18 V 22 XII 5 XII 7: Ax 1 Post 1 I 34 XII 5 XII 8: I 34 v1 Vas XI 28 XI 33 VI 21 XII 7 XI Def 9 XI 24 Axl Ax 2 I 34 V7 V 11 V 16 XI 28 XI 34 XII 7 Ax 8 Post 1 III 30 Post 2 Post 5 IV 6 IV 7 V 11 V 15 XII 7 X 1 XI 28 XI 32 XII 2! Ax 8 V 11 XII 1 Post 1 III 30 IV 6 IV 7 V 14 XII 2 V 15 XII 6 V 16 X 1 XII 9: XII 10: I 41 XII 11: I 31 1 Die Stellen, die sich auf den Beweis von XII, 2 beziehen, sind vermutlich erst nachträglich interpoliert. Vgl. S. 101.

XII 14: E. NEUENSCHWANDER Ax 8 V 14 VI 5 IV 6 V 15 VI6 XII 8 XIT 10 Axl Ax 2 Ax8 Post 2 V Def 5 XII 11 Post 2 XIT 10 13 V7 XII 11 XII 13 V7 vo XII 11 XII 13 Post 1 Post 2 I 4 I 11 112 128 III 3 III 16 Zus III 30 IV 1 Ax 1 Ax 3 Ax6 Post 1 Post 2 Post 3 Post 4 I 11 112 I 25 I 33 I 46 III 15 147 III 27 III 28 13 V 15 V 11 V 15 Q II 12 III 1 III 29 III 31 IV 1 V 12 1 VI XI 6 VI2 VIS VI 17 XI 9 XI 11 XII 16 V 16 V 11 XI 12 XI 18 7 XI XII 8 Ax 8 V 11 V 14 Ax 1 Ax 2 Post 1 Post 2 Post 5 I 3 I 10 I 30 I 31 I 34 I 43 I 46 II 4 II 4 Zus VI 1 VI 17 XI 2 XII 18: III 30 V 22 XI Def 9 XIT 10 XII 17: Post 4 V 12 VI 4 V 16 X 1 XII 15: XII 16: Post 1 V 11 XII 17 Buch XIII XIII 1: XIII 2: Ax 1 Ax À Ax 3 Post 1 Post 2 Post 5 I 30 I 31 I 34 I 43 II 4 II 4 Zus V 14 I 46 XIII 3: VI 1 VI 17 Ax 1 Ax 2 Post 1 Post 5 1 10 I 30 I 31 I 34 I 36 I 43 II 4 II 4 Zus VI 17 I 46 VI 30 XIII 4: XIII 5: XIII 6: Ax 1 Ax 2 Post 1 Post 5 I 30 I 31 I 34 I 43 I46 Q II 4 Zus VI 17 VI 30 Ax 1 Ax 2 Post 1 Post 5 I 30 I 31 I 34 I 36 I 43 I 46 II 4 Zus V 14 VI 17 VI 30 Post 2 I 3 I 10 I 44 VI 17 VI 30 X 6 X 9 X 73 X 97 Ax 1 Ax 2 Ax 3 Post 1 Post 5 14 I5 16 18 Ax 1 Ax ? Ax 3 Post 5 14 I 32 III 28 IV 14 V 14 VI 4 VI 33 XIII 1 XIII 7: XIII 8:

XIII 9: XITI 10: 97 Post 1 Axl Ax 2 Ax 3 Ax6 2 Post 18 I5 I 32 III 1 III 28 TIT 30 IV 11 IV 15 IV 15 Zus VI 33 V7 V 11 V 14 VI4 Ax 1 Ax 2 AX 3 Ax6 Post 1 Post 2 14 I 5 I 12 I 32 II 2 III 4 III 3 III 29 IV 11 IV 15 Zus III 26 VI 4 VI 17 Axl Ax? Ax 3 Post 1 Post 2 Post 4 13 I 4 I 32 III 27 III 28 III 29 III 31 III 1 IV 11 V7 V 11 V 15 V 18 V 24 VI4 VI 9 VI 17 VI 22 X 6 X 9 X 94 X 12 X 15 X 73 X 84a Def XIII 1 XIII 8 Ax 1 Ax 2 Ax 3 I 47 Q IT 4 III 28 VI 33 XIII 11: XIII 12: XIII 13: XIII 14: XIII 15: Post 1 IMA Post 2 III 28 III 31 IV 15 Zus Ax 1 Ax 2 Post 1 Post 2 Post 3 Post 4 13 I 4 I 10 I 11 Q III 1 III 31 V7 V 11 VI8 VI 8 Zus VI 9 VI 17 VI 19 Zus XI 12 XIII 12 Ax 1 Ax 2 Post 1 Post 2 Post 3 Post 5 13 14 110 111 I 46 I 47 Q III 31 VI 8 VI 19 Zus XI 12 Axl Ax? Post 1 Post 3 I3 I 10 111 I 46 I 47 Q III 31 VIS VI 9 VI 19 Zus XI 4 Axl Ax? Ax6 Post 1 Post 2 Post 3 13 110 I 11 I 13 XI 12 XIII 16: XIII 17: I 29 133 I 47 Q II 4 III 1 III 28 III 29 ITI 30 III 31 IV 11 IV 15 Zus V7 V 11 VI 8 VI 8 Zus VI 9 VI 19 Zus XI 6 XI 7 XIII 11 XI 12 XIII 3 XIII 9 XIII 10 Ax 1 Ax 2 Ax 6 Post 1 Post 2 Post 5 I 3 110 I 29 I 30 I 31 18 I 33 I 47 Q II 4 V7 V 11 V 14 V 15 VI 30 VI 32 XI 9 XI 1 XI 2 XI 12 XI 38 XI 6 XIII 4 XI 7 XIII 18: XIII 5 XIII 6 XIII 7 XIII 15 Axl Ax 2 Ax 3 Ax 8 Post 3 Post 4 13 I 11 I 12 I 19 I 32 I 47 Q II 4 III 14 VI 9 Post 1 III 31 IV 15 Zus VI 19 Zus XIII 13 VI 30 VI 4 X 111a XIII 9 XIII 14 XIII 15 XIII 16 Axl Ax2 Post 4 I5 I 32 IV 11 XI 21 XIII 10 XIII 17 XIII 18a:

II. Zur Entstehungsgeschichte der stereometrischen Biicher Kritische Betrachtung der Textiiberlieferung Betrachtet man in der Euklidausgabe von C. THAER die stereometrischen Bücher, so fallt auf, daB dort viele Textstellen! aus philologischen und mathematischen Gründen als verdächtig eingeklammert sind, die in anderen Editionen (HEIBERG, HEATH) als echt gelten. Diese Streichungen erreichen teilweise ein beträchtliches AusmaB. So wird z.B. der Beweis von XII,7 durch die Einklammerungen THAERS auf einen Drittel seiner urspriinglichen Lange reduziert. Bevor wir also die stereometrischen Biicher analysieren, ist unbedingt abzuklären, aus welchen Griinden diese Streichungen erfolgten und ob sie gerechtfertigt sind. Aus den Anmerkungen erfährt man?, daB THAER an den zur Diskussion stehenden Stellen jeweils arabische Uberlieferung mitberiicksichtigte, wahrend sich HEIBERG fiir seine Textausgabe ausschlieBlich auf griechische Handschriften beschrankte. Die Beantwortung der obigen Frage läuft somit auf das Problem hinaus, ob in gewissen Fällen die arabische der griechischen Textüberlieferung vorzuziehen ist. Dieses Problem wurde Ende des letzten Jahrhunderts von M. KLAMROTH in Angriff genommen. In seinem Artikel ,, Über den arabischen Euklid‘ untersuchte er die Überlieferung der Elemente bei den Arabern. Nach Angaben im Fihrist?, einem bio- und bibliographischen Handbuch des X. Jahrhunderts, wurden die Elemente von folgenden Autoren ins Arabische übersetzt. Es (das Buch der Elemente) wurde übersetzt von AL-HAGGAG IBN YUSUF IBN MATAR zwei Mal: die eine Übersetzung ist bekannt unter dem Namen der Härünischen und diese ist die erste, die andere trägt den Namen der Mämünischen, diese ist die zuverlässigere. Ferner übersetzte IsHAQ IBN HUNAIN das Werk, verbessert wurde diese Übersetzung von THABIT IBN QURRA ‘AL-HARRANI: auch übersetzte ABO ‘UTMAN AL DIMASHQI einige Bücher desselben . (nach SUTER) Von diesen Übersetzungen ist nur diejenige des IsHAQ (+ 910) in der Fassung von THABIT (+ 901) vollständig erhalten und zwar in mehreren Handschriften®. Von der Übersetzung des HAGGAG (um 800) besitzen wir aus der zweiten Fassung die Bücher I—VI in einem Leiden-Manuskript® und vielleicht XI— XIII in einer Kopenhagener Handschrift. Die übrigen Übersetzungen gelten als verloren. Aus späterer Zeit existieren noch die Euklidausgaben von AT-TOsi (+ 1274) und CamPANUS (13. Jahrh.). Nach einer genauen Examination der obigen Handschriften kommt KLAMROTH zu folgendem Resultat: Die Ausgaben von AT-TOsi und CAMPANUS sind für die Textkritik nahezu unbrauchbar. TUsi wie CAMPANUS sind beide Mathematiker; ihnen lag mehr an der Vermehrung des mathematischen Wissens als an der Reinerhaltung des Euklidtextes. Von den beiden älteren Übersetzungen ist diejenige des IsHAQ bei weitem die wortgetreuere. Sie weist eine einfache, konsequente Terminologie auf und wirkt eleganter als die mit ständigen Rückverweisungen auf frühere Sätze überlastete des AL-HAGGAG. Weiter stellt KLAMROTH fest, daß 1 besonders im XII. Buch. 2 THAER, Elemente, S. 467. 3 Siehe H. SUTER, Das Mathematiker-Verzeichnis im Fihrist des Ibn Abi Ja'kúb an-Nadim. 4 KLAMROTH benutzte die Codices Oxford 279 und Kjöbenhavn LXXXI. 5 Codex Leidensis 399,1 herausgegeben von HEIBERG und BESTHORN.

zwischen den verschiedenen arabischen Handschriften keine groBen sachlichen Differenzen bestehen, selbst dort nicht, wo der griechische Euklid einen wesentlich andern Text hat. Da nun die arabische Tradition bis ins VIII. Jahrhundert zurückreicht, zieht KLAMROTH diese in solchen Fallen der griechischen vor. Seiner Ansicht nach ergibt sich somit aus dem arabischen Euklid fiir die Textkritik der Elemente folgendes: 1) Alle Anuuara und oxóla, der Excurs hinter XIII 5, die meisten zogiopata und dAlws, 22 nootäoex und 17 door in unsern Ausgaben rühren nicht von Euklid her, sondern sind sehr späte Zusätze. 2) Bei den meisten Sätzen außer etwa in Buch 7—9 sind einzelne kleinere begriindende, erklärende, zurückverweisende und weiter ausführende Glossen in den Text gedrungen. 3) Nicht wenige Sätze, besonders in Buch 10 und 11—13, hatten früher einen viel kürzeren und einfacheren, bez. unvollkommeneren Beweis, der erst in späterer Zeit erweitert und vervollständigt wurde. (KLAMROTH, S. 326) HEIBERG ist nicht dieser Meinung!. Er glaubt, daß ‚‚die arabische Tradition bedeutend hinter der griechischen zurückbleibt und als mutiliert zu betrachten ist”. Dazu führt er folgende Gründe an: Erstens gibt es griechische Handschriften, die älter sind als die arabische Überlieferung (Palimpsest BM Add. 17211). Zweitens stehen die Auslassungen der Araber im Widerspruch zur Numerierung der Euklidzitate bei spätantiken Autoren (PAppos, PROKLOS, EUTOKIOS, SIMPLIKIOS). Drittens lassen die Araber auch solche Propositionen weg, die im weiteren häufig gebraucht werden. Selbst die Entdeckung einer griechischen Handschrift (Bologna Nr. 18—19, im folgenden mit b bezeichnet), die viele Gemeinsamkeiten mit den arabischen Übersetzungen hat (THAER folgte bei seinen Streichungen in den stereometrischen Büchern meist dieser Handschrift), änderte nichts an HEIBERGS grundsätzlicher Einstellung?. Er gibt zwar zu, daß demzufolge viele Abweichungen des arabischen EUKLIDs nicht der Willkür der Araber, sondern den von ihnen benutzten griechischen Handschriften zuzuschreiben sind. Doch die von den Arabern und dem Codex b gegebene Fassung der Elemente entspricht nach HEIBERG keinenfalls der ursprünglichen; sie ist vielmehr aus der Rezension eines byzantinischen Mathematikers entstanden, dem die euklidischen Beweise der Bücher XI— XIII zu lang und zu ermüdend schienen. Die vor allem in HEIBERGS erstem Artikel zu Tage tretende Skepsis gegenüber der arabischen Euklidüberlieferung hat sich vermutlich eher hemmend auf die Untersuchung der arabischen Codices ausgewirkt, obwohl HEIBERG den Wert einer solchen Untersuchung immer wieder hervorhob. Auf alle Fälle ist bis heute keine Ausgabe der ISHAQ-THABIT’schen Fassung der Elemente erfolgt, und weitere Arbeiten auf diesem Gebiete blieben aus. Spätere Autoren beziehen sich meist auf HEIBERG. So schreibt z.B. HEATH (Euclid’s Elements, Bd. 1, S. 82) ,,HEIBERG comes to the general conclusion that, not only is the Arabic tradition not to be preferred offhand to that of the Greek MSS., but it must be regarded as inferior in authority.“ Rückblickend stellt sich die Frage, ob HEIBERG’s Kritik gegenüber KLAMROTH gerechtfertigt war. Ich glaube ja, soweit sie eine absolute Priorität 1 Vgl. I. L. HEIBERG, Die arabische Tradition der Elemente Euklid’s, in Zeitschrift für Mathematik und Physik. 2 Vgl. HEIBERG, Paralipomena zu Euklid, S. 46ff.

des arabischen Euklids bekämpfte. Sofern sie aber, eigentlich ungewollt, den Wert des arabischen Euklids herabsetzte, ist ihr nicht beizupflichten. Der Wert des arabischen Euklids kann meines Erachtens nicht hoch genug eingeschätzt werden; liegen den arabischen Übersetzungen doch eindeutig vortheonische Handschriften zu Grunde!. Im arabischen Euklid besitzen wir also eine Art zweite vortheonische Handschrift, die zur Textkritik verwendet werden kann. Es ist deshalb nicht erstaunlich, daß HEIBERG 20 Jahre nach der Veröffentlichung seiner ersten Arbeit, in der er den von KLAMROTH geforderten textkritischen Wert der arabischen Handschriften negierte, auf Grund von neuentdeckten Quellen diesen Handschriften in gewissen Punkten den Vorzug gegenüber der griechischen Überlieferung zugestehen mußte. So schrieb HEIBERG in seiner ersten Arbeit bei der Diskussion der Differenzen zwischen arabischem und griechischem Euklid noch folgendes: Zu Gunsten der Araber könnte man geltend machen wollen, dass EUTOKIUS in Apollon. S.44 III, 15 statt III, 16 citirt; denn bei den Arabern bilden III, 11+12 nureinen Satz; hier scheint aber bei EUTOKIUS nur ein zufälliger Fehler vorzuliegen, da der etwas ältere SIMPLICIUS in Aristot. phys. fol. 14a Elem. III, 33 mit dieser Nummer citirt. Dagegen ist es von grosser Bedeutung, daß, wenn die Angabe KLAMROTH'S S. 315 vollständig ist, von den im Griechischen vorhandenen Corollarien nur VI, 8; VIII, 2 und X, 3 auch im Arabischen enthalten sind, da wir doch mehrere der übrigen schon im III. und V. Jahrhundert nachweisen können. So ist das Corollar XIII, 17 von Pappus V S. 436, 5 angeführt, 77, 4 und 111,1 von Proklus S. 304, 2 flgg., das nach VII, 2 von demselben S. 303, 22; IV, 15 von Simplicius in Aristot. phys. fol 15. I, 15 kennt schon Proklus S. 301. (HEIBERG: Die arabische Tradition der Elemente, S. 5) In seiner zweiten Abhandlung? dagegen mußte er in beiden Fällen der arabischen Überlieferung den Vorrang geben, da 111,12 nach AN-NAIRIZI von HERON stammt und ein neuentdeckter Papyrus (Oxyrhynchus Papyri I, Nr. 29) II,4 Zusatz nicht aufweist, wie übrigens auch der ursprüngliche Codex P®. Aus diesen Fakten geht hervor, wie problematisch die von HEIBERG gezogenen textkritischen Rückschlüsse aus Euklidzitaten spätantiker Autoren sind. Offenbar existierten schon damals neben textgetreuen Euklidhandschriften verhältnismäßig stark überarbeitete. Denn nur so kann die unterschiedliche Numerierung und Zitierung spätantiker Autoren erklärt werden. In weit mehr Fällen, als HEIBERG zuerst wahrhaben wollte, dürften die Araber auch in den stereometrischen Büchern die ursprünglichere Fassung des Textes überliefert haben‘. So z.B. im XIII. Buch, wo sie den Würfel (XIII,15) vor dem Oktaeder (XIII,14) behandeln. Codex P geht nämlich auf eine Vorlage zurück, die dieselbe Anordnung besaß. Wie aus der Formulierung der Protasis in Codex P ersichtlich ist, müssen dem Oktaeder ursprünglich 2 reguläre Polyeder vorangegangen sein, dem Würfel dagegen nur eines, die Pyramide. Die alte Reihenfolge findet man übrigens im ersten Teil der Proposition XIII,18 wieder bei der Dar1 Vgl. dazu HEIBERG, Die arabische Tradition der Elemente Euklid’s,, S. 19. 2 HEIBERG, Paralipomena zu Euklid, S. 47f., S. 54. 8 Im Codex P ist II,4 Zus. nach HEIBERG von späterer Hand. 4 Vgl. dazu auch C. THAER, Euklidüberlieferung, Quellen und Studien, Bd. 3,

stellung der Kanten der regulären Polyeder. — Im weiteren ist die von Codex b gegebene kürzere Fassung, die mit der arabischen häufig übereinstimmt!, derjenigen der Vulgata aus mathematischen Gründen meist vorzuziehen. In XII,7 z.B. ist die Weitschweifigkeit der griechischen Fassung direkt verwirrend. Nachdem der Satz mit S. 174,21 (ed. HEIBERG) bewiesen ist, setzt der griechische Text nochmals an und zeigt explizite, daB dieselbe Pyramide, bei der man bloB eine andere Seitenflache und Ecke als Grundfläche und Spitze bezeichnete, ebenfalls ein Drittel des Prismas ist. Sämtliche im Codex b fehlenden, mit éxeônneo eingeleiteten Erläuterungen, die Konstruktion und Beweis immer wieder unterbrechen, dürften wohl eher von einem spätantiken Schulmeister als von EUKLID stammen. Besonders störend sind sie zu Beginn der Proposition XII,17; fehl am Platze in den Beweisen zu XII,10, X11,11 sowie XII,12. Denn dort werden für denselben Sachverhalt stets zwei Erläuterungen hintereinander gegeben. So wird z.B. in XII,10 (S. 367 ed. THAER) die Tatsache, daß das über dem Quadrat ABCD errichtete Prisma größer als die Hälfte des Zylinders ist, zuerst durch die in XII,2 bewiesene Ungleichung Quadrat ABCD >1/2 Kreis ABCD gestützt. Darauf folgt eine zweite mit énedmneo eingeleitete, längere Begründung, die im Gegensatz zur ersten mit den in den Elementen EUKLIDs bewiesenen Sätzen auskommt. Die mit Eneiönneo eingeleitete Begründung kann demnach unmöglich vor der ersten entstanden sein. Aber auch diese wird kaum von EUKLID stammen. Codex b, der beide wegläßt, dürfte hier die ursprüngliche Fassung bringen. Dasselbe gilt auch für die Stellen S. 374 unten sowie S. 383 unten (ed. THAER), wo Codex b die wörtlichen Zitate von V,12 nicht hat: Im vorangegangenen Beweis zu XII,4 fehlt nämlich das Zitat von V,12 in sämtlichen Codizes. Dagegen sind Elem. Bd. IV, S. 146, 10—12, S. 168, 3—6, S. 202, 6—8 und S. 214, 7—9 (ed. HEIBERG) mit den griechischen Handschriften vorläufig beizubehalten, denn auch Codex b bezieht sich später jeweils ausdrücklich auf den in ihnen erwähnten Sachverhalt?. Die von THAER in den stereometrischen Büchern eingeklammerten Stellen dürften also zumindest teilweise unecht sein. Eine genaue Beurteilung wird aber erst möglich, wenn die nach KLAMROTH beste Euklidübersetzung von IsHAQ und THABIT herausgegeben ist. Untersuchung der Bücher XI—XIII Die Zitierweise der planimetrischen Propositionen in den stereometrischen Büchern unterscheidet sich im groBen und ganzen nur wenig von derjenigen im planimetrischen Teil. So werden z.B. 1,8, 12, 23, 46 und III,30 auch hier mit derselben Normalform benützt. Im allgemeinen zeigt sich bloß eine durchaus verständliche Tendenz zur Abkürzung: Gewisse Sätze werden manchmal in gekürzter Form zitiert (z.B. 1,4 in XI,31, 33 und 38), andere oft überhaupt nicht mehr (1,13—15, 29, 43, 111,28, 29, 31 usw.). Ferner werden Beweisschritte hin und wieder übersprungen (z.B. in XII,17). Das Fehlen signifikanter Unterschiede in der Zitierweise deutet darauf hin, daß auch die stereometrischen Bücher zumindest sprachlich von EUKLID überarbeitet worden sind. ! Zur genauen Abklärung dieser Frage fehlt vorläufig eine vollständige Edition der Elemente nach IsHAQ und THABIT. 2 Vgl. HEIBERG, Paralipomena, S. 199.

Betrachten wir die 3 Bücher im einzelnen. Das älteste der stereometrischen Bücher ist das XIII. Es enthält eine in sich geschlossene Abhandlung über die regulären Polyeder und wird allgemein auf THEAITETOS zurückgeführt. EUKLID hat es in seine Elemente aufgenommen und teilweise überarbeitet. Die Formulierung der Lehrsätze selbst übernahm er dabei, vermutlich weil sich die in ihnen benutzte Ausdrucksweise bereits eingebürgert hatte. Dadurch erscheint in Protasis und Beweis eine verschiedene Terminologie. In der Protasis und ihren Zitaten werden Beziehungen zwischen Quadraten im allgemeinen! mit ôwaoÿa oder dvvduet elvaı ausgedrückt; im Beweis dagegen mit dem bei EukLID üblichen ro ano. Besonders deutlich tritt dies jeweils am Ende der Propositionen zu Tage, wo der Abschluß des Beweises mit tó áxó, und die auf die Protasis zurückgreifende, allgemeine Schlußzusammenfassung mit dvvacda: oder dvvduer elvaı formuliert ist. In der Protasis der Propositionen XIII, 1—5 blieb ebenfalls der Ausdruck evdela yoauun erhalten? Einzig in der Protasis von XIII,6 tritt eödeia auf (vgl. Tab. unten). Nach den von uns bei der Analyse des II. Buches gemachten Zum Ausdruck eddela yoauun XIII 1 Protasis Ekthesis evdela yoauur evdcia yao yoauur Zitate XIII 6: eddeta XIII 11: XIII 2 ev0cia yoauur evdela ydo yoauur (AT) —— XIII 3 eddela yoauur eddeia XIII 16: eödela yoauun XIII 4 eUdeia yoauur evdeia XIII 17,: eödela 2: (NZ) 3: eddeia yoauun XIII 5 eddcia yçauur evdela ydo yoauur XIII 17: eödela yoquuí XIII 6 eddeia Ont? eddela Inn XIII 17: 6nt7) yoauur Erfahrungen? müßte demnach XIII,6 späteren Datums sein. Dieses Ergebnis wird im nächsten Kapitel bestätigt werden. Ferner wird im XIII. Buch für die Abtragung einer Strecke häufig dparpeiv und nicht das in den planimetrischen Büchern übliche xeio dai verwendet‘. Im jüngern XII. Buch, welches größtenteils auf Eupoxos zurückgehen dürfte, ist die Terminologie einheitlicher. Beziehungen zwischen Quadraten werden hier stets mit ta and ausgedrückt. Das XII. Buch ist demnach in seiner heutigen Form noch stärker überarbeitet. Dies wird bestätigt durch die abweichende Fassung von 1 Die einzige Ausnahme bei der Protasis ist XIII, 4. In den Zitaten ist die Terminologie schwankend. 2 Wir finden ihn, abweichend von der normierten Form, auch im Zitat von I, 11 in XIII, 16. Vgl. dazu NEUENSCHWANDER, Die ersten vier Bücher der Elemente Euklids, S. 343. 8 NEUENSCHWANDER, Die ersten vier Bücher der Elemente Euklids, S. 371. 4 Vgl. NEUENSCHWANDER, Die ersten vier Bücher der Elemente Euklids, S. 357.

Codex b! sowie die Vertrautheit, mit der die Terminii Parallelogramm und Parallelflach verwendet werden?. Das XI. Buch schließlich bringt die Grundlagen der Stereometrie (XI,1—23) sowie die Parallelflachtheorie (XI,24—37). Einiges darin ist zweifellos sehr alt, anderes diirfte kaum vor EUKLID entstanden sein. Die Terminologie ist auch hier, von wenigen Ausnahmen abgesehen, durchaus die euklidische. Im folgenden soll die Entstehungsgeschichte der 3 Biicher in chronologischer Reihenfolge untersucht werden. Dabei wird zu priifen sein, welche Teile den beiden großen Mathematikern THEAITETOS und EUDOxos zugeschrieben werden können. Diese Ergebnisse werden später dazu beitragen, die Frühgeschichte der Stereometrie zu klären. Buch XIII Das XIII. Buch behandelt die regulären Polyeder. Der eigentlichen Untersuchung gehen 6 Sätze über die stetige Teilung (XIII, A—6), sowie 5 Sätze über das reguläre Fünfeck (XIII,7—11) voran. Aus dem Auftreten dieser planimetrischen Hilfssátze, sowie den abweichenden Formulierungen in der Protasis3, kann geschlossen werden, daß EUKLID das Buch als Ganzes von einem früheren Mathematiker übernommen hat, nämlich von THEAITETOS, wie man heute allgemein annimmt. Dieser schrieb nach einer Mitteilung in der SUDA als erster über die fünf regulären Polyeder. Ob er diese auch selbst entdeckte, war lange Zeit umstritten. Die Entdeckung der regulären Polyeder wurde früher meist den PYTHAGOREERN zugeschrieben, dies auf Grund einer Bemerkung in dem aus EUDEMOS entnommenen Geometerverzeichnis des PROKLOS: Ihnen folgte PYTHAGORAS, der ihren wissenschaftlichen Betrieb in das System der höheren Bildung einbezog. Seine Untersuchungen galten ihren obersten Prinzipien, und seine theoretischen Forschungen bewegten sich frei von materiellen Einflüssen im Bereich des reinen Denkens. Er war es auch, der die Lehre von den Proportionen und die Darstellung von den fünf Weltkörpern schuf. | (PRoKLOS, Euklidkommentar, S. 211, 17—23) Nach den kritischen Untersuchungen von Eva SACHs vertraut man heute eher dem folgenden Scholion zu den Elementen EUKLIDS: In diesem Buche, dem 13., werden die sogenannten fünf platonischen Körper konstruiert, die aber nicht von Platon sind, sondern drei von den eben genannten fünf Körpern sind von den PYTHAGOREERN, der Würfel und die Pyramide und das Dodekaeder, von THEAETET aber das Oktaeder und das Ikosaeder. Den Namen erhielten sie nach Platon, weil er sie im Timaios erwähnt. Den Namen des EUKLID trägt aber auch dies Buch, weil er ihm seine Stellung innerhalb der Elemente gegeben hat‘. (HEIBERG, Euclidis Elementa, Bd. 5, S. 654) 1 Siehe S. 101. 2 Vgl. NEUENSCHWANDER, Die ersten vier Bücher der Elemente Euklids, S. 364f. 3 Vgl. dazu S. 102. 1 BURKERT übersetzt den letzten Satz des Scholions wie folgt: ‚Nach Euklid ist auch dieses Buch betitelt, weil er ihm die oroixeiov-Ordnung gegeben hat (vgl. BURKERT, Weisheit und Wissenschaft, S. 420, Anm. 122).**

Die betreffende Stelle im Geometerverzeichnis stammt nämlich, teilweise sogar wörtlich, aus JAMBLICHOS, wie Eva SAcHs und W. BURKERT zeigten!. Für die Mitteilung über die fünf Weltkörper kann somit nicht die Autorität des EUDEMos? in Anspruch genommen werden. PROKLOS dürfte bei EUDEMOS über PYTHAGORAS nichts vorgefunden haben, worauf er seine Vorlage aus Jamblichos ergänzte. Die Aussage des Scholions dagegen erweckt größtes Vertrauen gerade dadurch, daß sie etwas scheinbar mathematisch Unmögliches bringt. Sie kann somit nicht von einem späteren Kommentator erfunden worden sein, sondern muß auf eine alte Quelle zurückgehen. Bei einer genauen Prüfung erweist sie sich zudem als durchaus vernünftig. Eva Sacus* und W. C. WATERHOUSE? führen die folgenden Gründe dafür an, daß die PYTHAGOREER zwar das Dodekaeder, nicht aber das Oktaeder und Ikosaeder kannten: 1. Die Theorie der regulären Polyeder muß in zwei Stufen entwickelt worden sein. a) Studium einzelner regulärer Polyeder, die von ihrer Form her schon früh das Interesse auf sich zogen (Würfel, Tetraeder). b) Studium der regulären Polyederim allgemeinen. Vorbedingung für die zweite Stufe ist die Abstraktion des Begriffes des regulären Polyeders. Diese führte zur Erkenntnis, daß es nur fünf reguläre Polyeder gibt. Das Oktaeder gehört in die zweite Stufe; handelt es sich doch nur um eine doppelte Pyramide mit quadratischer Basis, die für eine nähere Untersuchung an sich zu wenig interessant war. 2. Für Würfel, Tetraeder und Dodekaeder hatten die alten Griechen populäre Bezeichnungen: Für Tetraeder ,Pyramide” und für Dodekaeder® ‚die Kugel aus den zwölf Fünfecken‘. Für die restlichen zwei Körper existieren dagegen bloß die systematischen Namen ‚Oktaeder‘‘ und ,,Ikosaeder“. 3. Nach der Überlieferung? muß das Dodekaeder bei den Pythagoreern eine besondere Rolle gespielt haben. Funde® von künstlichen Dodekaedern bestätigen die frühe Kenntnis dieses Körpers. Seine Form konnte von den in Italien häufigen Pyritkristallen übernommen werden. Die frühen PYTHAGOREER beschäftigten sich somit erst mit drei der regulären Polyeder. Sie haben sich dabei vermutlich mehr für ihre Form (Verhältnis von Diagonale zur Seite, Anzahl der Flächen usw.), als für die mathematische Kon1 Eva Sachs, Die fünf platonischen Körper, S. 23ff.; BURKERT, Weisheit und Wissenschaft, S. 386 ff. 2 EUDEMOS spricht stets nur von den PYTHAGOREERN und nicht von PYTHAGORAS. 3 Vermutlich auf Eupemos. Vgl. Eva Sachs, Die fünf platonischen Körper, S. 87 unten. 4 Eva Sachs, Die fünf platonischen Körper, S. 82ff. 5 W.C. WATERHOUSE, The discovery of the Regular Solids, S. 212—218. € Für Stellenangaben siehe: Eva Sachs, Die fünf platonischen Körper, S. 82ff.; sowie W.C. WATERHOUSE, The Discovery of the Regular Solids, S. 216, Randanmerkung 24. 7 TAMBLICHOS, Vita Pythagorica, 88 und 247. Zur Diskussion dieser Stellen siehe BURKERT, Weisheit und Wissenschaft, S. 433 ff. 8 Vgl. F. LINDEMANN, (1896), S. 625—768. Sitzungsber. Bayr. Akad. Wiss., Math.-Phys.

struktion interessiert!. Die erste Theorie der regulären Polyeder stammt nach der Mitteilung in der SuDA von THEAITETOs. Auf diesen diirfte im groBen und ganzen auch das XIII. Buch der Elemente Euklids zurückgehen. Zwar kann man, wie PAPPOS? zeigte, die regulären Polyeder auch anders als in den Elementen EUKLIDs konstruieren. Doch nach allem was wir wissen ist nicht anzunehmen, daß EUKLID eine von THEAITETOS abweichende Konstruktionsmethode benutzte: Erstens geht die Formulierung der Sätze und Hilfssätze und somit auch die Konstruktionsmethode des XIII. Buches auf einen älteren Mathematiker zurück. Zweitens hat EUKLID nach dem Geometerverzeichnis? für seine Elemente Vorarbeiten des THEAITETOS verwendet und drittens erwähnt keine der uns bekannten Quellen einen weiteren Mathematiker zwischen THEAITETOS und EUKLID, der eine Theorie der regulären Polyeder aufstellte. Wir wollen deshalb im folgenden voraussetzen, daß THEAITETOS dieselbe Konstruktionsmethode wie EUKLID benutzte und unter dieser Annahme analysieren, welche Teile des XIII. Buches auf THEAITETOS zurückgehen müssen. Die einzelnen Rekonstruktionen lassen sich anhand des Schemas auf S. 108 verfolgen. Geht man bei der Konstruktion des Tetraeders (XIII, 13) wie EUKLID und THEAITETOS vom gegebenen Kugeldurchmesser (KL) aus, so sollte man zuerst die Höhe des Tetraeders (KH) kennen. Dazu betrachtet man das rechtwinklige Dreieck KHG. KG ist Seite des Tetraeders; HG Radius des Kreises in den man ein gleichseitiges Dreieck mit der Tetraederseite einbeschreiben kann, also (nach XIII,12) HG? =1/, KG?. Damit ist das Verhältnis von KG? zu HG? und wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke auch von KL zu KH gegeben. Zur Konstruktion des Tetraeders benötigt man noch XI,12 sowie die speziell auf das XIII. Buch zugeschnittene Kugeldefinition XI, Def. 144. Die Analyse der Proposition XIII,13 1 Vgl. NIKOMACHOS, Introd. in arithm. II 26,2. 2 Pappos (Collectio III, S. 142—163 ed. Huttscn) schreibt die regulären Polyeder direkt in die gegebene Kugel ein. EUKLID errichtet jeweils zuerst ein Polyeder der gewünschten Größe und umschreibt diesem nachträglich eine der gegebenen Kugel gleiche. 3 PROKLOS, Euklidkommentar, S. 213, 23. 4 Die übliche Definition der Kugel (vgl. PLATON 33 B sowie ARISTOTELES 1033014) dürfte analog zu der des Kreises (Elem. I, Def. 15) gewesen sein. Das in Elem. XI, Def. 14 benutzte Verfahren geht jedoch auf einen Autor vor EUKLID zurück, wie man aus Arist. Meteor. IIIS 376512 entnehmen kann.

hat uns also unmittelbar auf den Hilfssatz XIII,12 geführt. Das gleiche wird sich auch bei den übrigen Propositionen zeigen. Die Hilfssätze müssen somit bei der Konstruktion der regulären Polyeder entstanden sein. Sie kénnen nicht, wie das Eva SACHS behauptet!, auf eine Schrift des EuDoxos über den goldenen Schnitt zurtickgehen. Sie selbst hat übrigens auf S. 30 die Authentizität jener Proklosstelle im Geometerverzeichnis in Frage gestellt, auf die sich ihre Behauptung stützt. Die Konstruktion des Oktaeders (XIII,14) und des Wiirfels (XIII,15) wird in analoger Weise durchgeführt. Aufbau und Formulierung der drei Propositionen stimmen größtenteils überein. In X111,14 wird X1,12, in XIII,15 die Sätze XI,4 und 12 wesentlich benutzt. Um zu zeigen, daB der konstruierte Kôrper ein Würfel ist, wären allerdings noch weitere stereometrische Sätze notwendig. Zur Konstruktion des Ikosaeders (XIII,16) sollte man das Verhältnis der Strecken YW, WV und VX kennen. Bei der Analyse des Problems stößt man bald auf die beiden rechtwinkligen Dreiecke YUW und UKO. WU ist gleich der Sechseckseite im Kreise RSTUQ, YU gleich der Fünfeckseite im selben Kreis. Im Dreieck UKO ist UO gleich der Fünfeckseite und OK gleich der Zehneckseite. Die beiden Dreiecke scheinen kongruent zu sein. Damit wäre das Quadrat der einem Kreis einbeschriebenen Fünfeckseite gleich der Summe der Quadrate der demselben Kreise einbeschriebenen Zehn- und Sechseckseiten. Dies ist genau die / ia x APE \ | | L \ | \ \ FERN À I, |, \ N I, Noe | 7 B Aussage des Satzes XIII,10. Nun kônnte man das Ikosaeder wie folgt errichten: Im Halbkreis ABCD konstruiere man das Quadrat ZKCD. Darauf, wie bei EUKLID, vom Kreis mit dem Radius LD aus das Ikosaeder. Daß der Ikosaederdurchmesser YX gleich dem Kugeldurchmesser AB wird, kann folgendermaßen begründet werden: Aus der Figur von 11,14 ergibt sich, daß LD in H stetig geteilt ist; und aus der Umkehrung eines zu XIII,9 analogen Satzes, daB LH, LD Zehn- bzw. Sechseckseiten in demselben Kreise sind. Da LD = WU ist, muß AL =WY sein, also auch AB = YX. DaB die Kugel dem Ikosaeder umbeschrieben, der Winkel ADB also ein Rechter ist, folgt wiederum aus 11,14, denn AL-LB muß nach 11,14 gleich LD? sein. Die oben gegebene Konstruktion beruht somit 1 Vgl. Eva Sachs, Die fünf platonischen Körper, S. 96.

wesentlich auf der Figur von II,11. Die übrigen Sätze des XIII. Buches zeichnen sich jedoch gerade durch ihre Unabhängigkeit von dieser Figur aus. HEATH! bemerkt, daß die Resultate von XIII,1—5 viel einfacher mit Hilfe des zweiten Buches hätten gewonnen werden können. THAER? sieht in dieser Unabhängigkeit ein Zeichen für die nicht vollständige Zusammenfügung früherer Vorlagen. Die Nichtbezugnahme auf das II. Buch dürfte also daher rühren, daß EUKLID THEAITETOS folgte, der das II. Buch nicht voraussetzen konnte. Die in den Elementen (XIII,16) gegebene Konstruktion des Ikosaeders, welche das II. Buch ebenfalls nicht benützt, und nicht die oben entwickelte, wird also diejenige des THEAITETOS sein. Bei ihr geht man analog wie bei den übrigen Polyedern vor. Man sucht eines der Verhältnisse YW, WV zu YX zu bestimmen (WV: YX ergibt sich leicht aus dem rechtwinkligen Dreieck ZUW) und konstruiert damit das Ikosaeder. Wenn die Kugel dem Ikosaeder umbeschrieben sein soll, muB der Winkel YUX ein Rechter sein. Also wäre YW:WU =WU:WX, YV in W stetig geteilt und es müßte daher Satz XIII,9 gelten. Untersucht man darauf die Gleichheit von Kugel- und Ikosaederdurchmesser, so stößt man auf Satz XITI,3. Auch beim Ikosaeder ergeben sich somit die Hilfssätze aus der Analyse des Problems. Die Konstruktion des Dodekaeders vom Durchmesser der Kugel aus ist kompliziert. EUKLID macht in seinen Elementen (XIII,17) von der Möglichkeit Gebrauch, das Dodekaeder über dem eingeschriebenen Würfel zu errichten. Diese Idee dürfte von THEAITETOS stammen, denn wenn dieser auch hier in analoger Weise vom Kugeldurchmesser ausgegangen wäre, hätte dies EUKLID sicher beibehalten. Aus der untenstehenden Figur ist ersichtlich, daß die Würfelseite x coko e” — ~ > r O gleich der Fünfeckdiagonale sein muß. Bei der Analyse des regulären Fünfecks folgt, daB sich seine Diagonalen gegenseitig stetig teilen und die grôBeren Abschnitte gleich der Fünfeckseite sind®. Dies ist die Aussage der Proposition XIII,8. NP ist demnach in R stetig geteilt, OH in T. Nun gilt es XP und WT zu bestimmen. Aus Symmetriegriinden diirften sie gleich sein. Wegen der Ahnlich1 T.L. HEATH, Euclid’s Elements, Bd. 3, S. 441 ff. 2 C. THAER, Euklid, S. 472. 3 Vgl. E. NEUENSCHWANDER, S. 3721. 8 Arch, Hist. Exact Sci., Vol. 14 Die ersten vier Bücher der Elemente Euklids,

keit der Dreiecke XHP und HWT ist HP:XP =WT: HT. Somit auch NP: XP = XP:NR und wegen der Eindeutigkeit der mittler en Proportionalen folgt XP = RP. Damit ergäbe sich BU? zu NP?+ NR?+ RP?, Es ist aber BU? =4RP2. Demnach wäre 3 RP? =N P?-+NR!, was durch Satz XIII,4 bestätigt wird. Damit ist die Konstruktion des Dodekaeders gefunde n. Fraglich bleibt, wie THEAITETOS im einzelnen gezeigt hat, daB das Fünfeck eben ist. Sicher beniitzte er die Gültigkeit der Proportion HP:XP=WT:H T, um daraus die Ähnlichkeit der Dreiecke XH P und den Satz VI,32 explizite ausgesprochen hat, ist diesen EUKLID zuzuschreiben!. H WT herzuleiten. Ob er aber zweifelhaft, da Gründe bestehen, Will man die Gleichwinkeligkeit beweisen, so muß ist. Nach dem man zeigen, daB BV = BC Lehrsatz ist BV2—NP? + NS? + PS?. Also ist, NS2+ PS? =3NP? sein. Analysiert man diese Bepythagoreischen müßte, damit BV = BC dingung, so stößt man auf die Propositionen XIIL4 und sich dann unter Benutzung von I,8 die Gleichheit XIII,5. Daraus läßt der Winkel BU V, UVC und s folgt schließlich aus XIII,7. BWC erweisen. Die Gleichwinkligkeit des Fünfeck Auch hier ergeben sich die Hilfssätze aus der Analyse des Problems. Schema zu Buch XIII X a 1 Vgl. S. 362. E. NEUENSCHWANDER, [X6,9,12,15,73,84a Def, 94,97| ersten vier Biicher der Elemente Euklids,

Davon auszunehmen sind einzig Hilfssätze, die bereits vor Theaitetos bekannt waren (vermutlich XIII,8 z.B.) und allfällige spätere Ergänzungen. Auf letztere soll abschließend noch eingegangen werden. Nachträglich ausgearbeitet könnten einige Beweise sein, die zeigen, daß die konstruierten Körper die gesuchten regularen Polyeder sind. Besonders auffällig ist dies in XIII,17. Die Sätze VI,32 und XI,38, die dort zitiert werden, scheinen nicht auf THEAITETOS zurückzugehen. VI,32 stammt vermutlich von EUKLID und XI,38 fällt durch seine Stellung im XI. Buch sowie durch die das Zitat begleitenden Worte ‚dies ist nämlich im vorletzten Satz des XI. Buches bewiesen‘ aus dem Rahmen. Nachträglich ergänzt könnte weiter die Klassifizierung der Polyederkanten sein. Aufgrund des Kommentars von Pappos zum X. Buch der Elemente ist nicht klar, ob THEAITETOS bereits die vollständige Einteilung der Irrationalitäten kannte!. GewiB ist bloß, daß er nach dem dort überlieferten Zeugnis des EUuDEMOS ,,die in der Länge kommensurabeln Potenzen von den inkommensurabeln unterschied und die bekannten Irrationallinien nach den Medietäten einteilte, indem er die Mediallinie dem geometrischen, das Binomium dem arithmetischen und die Apotome dem harmonischen Mittel zuteilte‘. Die Sätze XIII,6 und XIII,11 sowie die betreffenden Stellen in XIII,18 (Vergleich der Polyederkanten) könnten somit nachtheaitetisch sein. Für XIII, 6 trifft das sicher zu. Die Proposition steht im Codex P an einem falschen Ort und fehlt im Codex b. Zu XIII,17, wo sie verwendet wird, findet man Scholien mit demselben Inhalt. HEATH? schließt daraus, daß XIII,6 nachträglich interpoliert worden ist. Entgegen der Ansicht von Eva Sachs? ist dem zuzustimmen; tritt doch in der Protasis von XIII,6 ausnahmsweise das neuere eddela OntyH auf, im angeblichen Zitat dagegen das alte 6717) yoauun*. THAER andererseits zweifelt an der Echtheit gewisser Teile der Proposition XIII,18, in welcher die Kanten der regulären Polyeder miteinander verglichen werden. Der Schlußsatz XIII, 18a dagegen, der feststellt, daß man nur fünf reguläre Polyeder errichten kann, muß zumindest dem Inhalte nach bekannt gewesen sein, denn er wird schon von PLATO im Timaios® vorausgesetzt. Die heutige Formulierung des Satzes mit der falschen Umschreibung® des Begriffs ‚reguläre Polyeder‘ wird aber auch hier kaum auf THEAITETOS zurückgehen. Buch XII Das XII. Buch behandelt die Lehre von den Rauminhalten, soweit sie mit elementaren Mitteln nicht mehr durchführbar ist. Es werden speziell die Volumen von Pyramide und Kegel bestimmt und eine Reihe von Sätzen über Verhältnisse 1 PAPPOS widerspricht sich in diesem Punkt selber: S. 13 oben (ed. Suter) meint er, daß ,,die genauen Unterscheidungen und die scharfen Beweise‘‘ zu den rationalen und irrationalen Größen hauptsächlich durch THEAITETOs festgelegt wurden, auf S. 13 unten schreibt er ‚die Errichtung der verschiedenen Ordnungen für die Irrationallinien‘‘ dagegen EUKLID zu, 2 T. L. HEATH, Euclid’s Elements, Bd. 3, S. 451. 3 Eva Sachs, Die fünf platonischen Körper, S. 112ff. 4 Vgl. die Tabelle auf S. 102. 5 PLATO, Timaios 55. 6 Vgl. dazu H. FREUDENTHAL und B. L. VAN DER WAERDEN, Over een bewering van Euclides, in Simon Stevin, 1 (1948), S. 115—121.

zwischen Pyramiden, Kegeln und Kugeln aufgestellt. Die Beweise verlaufen meistens! gleich: Zu zeigen ist, daß zwei nicht elementare Größen A und B in einem gewissen Verhältnis C:D stehen. Dazu werden die beiden Größen durch zwei gesetzmäßig steigende Folgen elementarer Größen a,, a,, 43... und b,, bg, bg... approximiert, für die stets a, :b, =C:D gilt. Darauf wird indirekt unter Benutzung des theaitetischen Lemmas (X,1) begründet, daß dann auch A:B=C:D ist. Diese Beweismethode, die in leicht modifizierter Form auch von Archimedes angewandt wurde, bezeichnet man heute als Exhaustion. Aus den Mitteilungen (1) und (2) bei ARCHIMEDES (siehe unten) wissen wir, daß Eupoxos die Sätze XII,7 und 10 erstmals exakt bewies. Er dürfte somit der Entdecker der obigen Beweismethode gewesen sein. Unter Benützung der Mitteilung (3) hat B. L. VAN DER WAERDEN weiter gefolgert, daß auch XII,2? und 18 von Eupoxos stammen müssen. Dieser Schluß wird beinahe zur Gewißheit, wenn man die von VAN DER WAERDEN? und HEATH nicht erwähnten Mitteilungen (5) und (6) noch herbeizieht 4. Bisher wenig beachtet wurde im weiteren die Aussage (4). Zudem wird das Auftreten der zwei Lemmata in (3) ganz verschieden interpretiert. Es sollen deshalb im folgenden sämtliche die Entdeckungen des Eupoxos im XII. Buch betreffenden Aussagen zusammengestellt und der ganze Problemkreis ausführlich diskutiert werden. (1) Diese Eigenschaften sind für die besagten Figuren von Natur aus vorgegeben, wurden aber verkannt durch die, welche sich vor uns mit der Geometrie abgegeben haben, da keiner von ihnen daran gedacht hatte, daß die Maße dieser Figuren vergleichbar sind. Daher möchte ich nicht zögern, die obigen Lehrsätze den Untersuchungen der andern Geometer zur Seite zu stellen sowie auch den stereometrischen Lehrsátzen des Eupoxos, die weit hervorzustechen scheinen <und besagen), daß jede Pyramide ein Drittel des Prismas mit derselben Basis und gleicher Höhe wie die Pyramide ist, und daß jeder Kegel ein Drittel des Zylinders mit derselben Basis und gleicher Höhe wie der Kegel ist. Denn obschon diese Zusammenhänge von Natur aus für jene Figuren vorgegeben sind und es vor Eudoxos viele erwähnenswerte Geometer gegeben hat, war es geschehen, daß sie allen unbekannt blieben und von keinem erkannt wurden. (ARCHIMEDES, Über Kugel und Zylinder, Vorwort) (2) Und daher sollte man von diesen Lehrsätzen vom Kegel und der Pyramide, deren Beweis Eupoxos zuerst gefunden hatte, daß der Kegel ein Drittel des Zylinders, bzw. die Pyramide des Prismas, mit derselben Basis und gleicher Höhe ist, einen nicht geringen Anteildem DEMOKRIT zuweisen, der als erster diese Aussage über die genannte Figur ohne Beweis dargelegt hatte. (ARCHIMEDES, Methode, Vorwort) 1 Einzig in XII,10 und 18 treten Abweichungen auf: In XII, 10 vereinfacht sich der Beweis, da das Verhältnis 1 wird; und in XII, 18 muß der Beweis aus sachlichen Gründen abgeändert werden. 2 Satz XII,2 war nach EupEMos bereits HIPPOKRATES bekannt. Einen exakten Beweis dürfte dieser aber kaum besessen haben (vgl. Dictionary of Scientific Biography „Hippocrates of Chios‘‘). 3 B. L. VAN DER WAERDEN, Erwachende Wissenschaft I, S. 307. 4 Vgl. F. LASSERRE, Die Fragmente des Eudoxos von Knidos, S. 30ff. Die übersichtlich zusammengestellten Fragmente sind mit einem ausführlichen Kommentar versehen. 5 Die Übersetzungen (1)—(4) stammen von W. D. MEIER.

. sofern fiir den Beweis folgendes Lemma angenommen wird: Die Differenz < zweier) ungleicher Flächen, um die sich die größere von der kleineren unterscheidet, vermag, wenn sie zu sich selbst hinzugefügt wird, jede vorgegebene endliche Fläche zu übertreffen. Auch die früheren Geometer haben dieses Lemma gebraucht: Daß nämlich die Kreise im zweifachen Verhältnis ihres Durchmessers zueinander stehen, haben sie bewiesen unter Benützung dieses selben Lemmas, sowie daß die Kugeln im dreifachen Verhältnis ihrer Durchmesser zueinander stehen; und dazu noch, daß jede Pyramide ein Drittel des Prismas mit gleicher Basis und gleicher Höhe wie die Pyramide ist, und daß jeder Kegel ein Drittel des Zylinders mit derselben Basis und gleicher Höhe wie der Kegel ist, zeigten sie unter Annahme eines dem vorhergenannten ähnlichen Lemmas. (ARCHIMEDES, Quadratur der Parabel, Vorwort) (4) 1. Kegel mit gleicher Höhe verhalten sich zueinander wie die Grundflächen. Kegel mit gleichen Grundflächen verhalten sich zueinander wie die Höhen. 2. Wird ein Zylinder von einer Ebene parallel zur Grundfläche geschnitten, so verhält sich Zylinder zu Zylinder wie Achse zu Achse. 3. Die Kegel mit denselben Grundflächen wie die Zylinder stehen im selben Verhältnis wie die Zylinder. | 4. In gleichen Kegeln sind die Grundflächen den Hôhen umgekehrt proportional. Und Kegel) in denen die Grundflächen den Höhen umgekehrt proportional sind, sind gleich. 5. Kegel, deren Grundflächendurchmesser sich wie die Achsen verhalten, stehen zueinander im dreifachen Verhältnis der Grundflächendurchmesser. All dies wurde von den Früheren bewiesen. (ARCHIMEDES, Über Kugel und Zylinder) (Lemmata zwischen Proposition 16 und 17) (3) In ihren Anfängen beschäftigte sich die Geometrie, wie der alte Bericht uns lehrt, mit den Landvermessungen und Landteilungen, wovon sie auch Geometrie (Landmessung) genannt ward. Da dies Geschäft für die Menschen nützlich war, so wurde sein Gattungsbegriff erweitert, sodaß die Handhabung der Messungen und Teilungen auch zu den festen Körpern fortschritt, und da die zuerst gefundenen Sätze nicht ausreichten, so bedurften jene Operationen noch weiterer Forschung, sodaß sogar bis zum gegenwärtigen Moment manches davon noch ungelöst ist, obwohl ARCHIMEDES und Eupoxos den Gegenstand vortrefflich behandelt haben. Denn vor des Eupoxos Entdeckung war es unmöglich, den Nachweis zu liefern, daß der Zylinder dreimal so gross ist, als der Kegel, der mit ihm dieselbe Basis und die gleiche Höhe hat, sowie dafür, daß die Kreise sich zueinander verhalten wie die Quadrate ihrer Durchmesser zueinander. Und vor ARCHIMEDES’ scharfsinniger Entdeckung ... (HERON VON ALEXANDRIA, Vermessungslehre, Vorwort) (6) Neben den Propositionen XII,2 und 10 findet sich in den Handschriften die Randbemerkung ‚„EuUDoxos“. (HEIBERG, Euclidis Elementa, Bd. 5, S. 622 und 628) Aus den Mitteilungen (1)—(6) ergibt sich, daB die Beweise des Eupoxos schriftlich fixiert waren. Entweder kannte ARCHIMEDES noch die Originalschriften oder dann entnahm er seine Angaben der Geschichte der Geometrie des EUDEMOS. Daß in der letzteren die stereometrischen Entdeckungen des Eupoxos behandelt sein mußten, läßt die Mitteilung (5) vermuten. Aus (5) oder einer gemeinsamen

älteren Quelle diirfte schlieBlich der Scholiast (6) geschôpft haben. Diese Reihenfolge erklärt, warum die Scholien bloß bei den Propositionen XII,2 und 10 auftreten. Nimmt man dagegen mit LASSERRE! die umgekehrte Reihenfolge an, so ist nicht verständlich, weshalb beim eudoxischen Satz XII,7 kein Scholion mit entsprechendem Inhalt auftaucht. Die Arbeiten des Eupoxos müssen von seinen Zeitgenossen worden sein. ARCHIMEDES (1) spricht von bewundert „hervorragenden Lehrsätzen des Eudoxos” und HERON (5) teilt uns mit, daß Eupoxos die Stereometrie vorbildlich behandelte. Eupoxos selbst dürfte eher einen knappen Stil geschrieben haben. Für viele Schulmeister war er zu knapp; deshalb das Einfügen der vielen mit Eneiönneo eingeleiteten Erläuterungen in fast allen Codices des XII. Buches. XII,7 wurde durch diese Veränderungen bis zur Unkenntlichkeit verstümmelt (zur Textüberlieferung des XII. Buches siehe S. 101). Die von ARCHIMEDES gegebene Fassung der Protasis der Propositionen XII,2 und 7 ist für Eupoxos der euklidischen gegenüber vorzuziehen: Das archimedische dinAaolova Adyov in XII,2 stimmt mit dem archimedischen und euklidischen toizdaciova Adyov in XII,18 überein, und daß Archimedes XII,7 mit der Formulierung von Elem. XII,7 Zus. bringt, bestätigt die oben festgestellte Umgestaltung dieser Proposition. Eupoxos dürfte die Sätze (XII,2, 7, 10 und 18) mit demselben Lemma wie EUKLID bewiesen haben. Die Aussage der Archimedesstelle (3) über die Verwendung zweier verschiedener Lemmata ist nur schwer verständlich. Sicher hat HEATH? recht, wenn er bemerkt, daß das in den Elementen EUKLIDs benutzte Lemma auf dem archimedischen beruhe und damit ARCHIMEDES zu Recht sagen durfte, das von ihm verwendete Lemma liege bereits den eudoxischen Beweisen von XII,2 und 18 zugrunde. Das alles erklärt aber noch nicht, weshalb in dem analog zu XII,2 verlaufenden Beweis XII,10% von Eupoxos plötzlich ein anderes Lemma benützt werden sollte. Die von LASSERRE* vorgeschlagene Lösung, nämlich die Aufteilung der vier Sätze in die zwei bereits vor EuDoxos mit dem archimedischen Lemma bewiesenen (XII,2 und 18) und die beiden später von EuDoxos aufgestellten (XII,7 und 10), scheint mir ebenfalls wenig wahrscheinlich. Beruht doch der Beweis von XII,18 wesentlich auf XII,7. Ich neige eher dazu, die Textüberlieferung in (3) anzuzweifeln. Wäre es nicht möglich, daß die Erwähnung des zweiten Lemmas auf einen Interpolator zurückgehen kénnte®, der die von HEATH 1 LASSERRE, Die Fragmente des Eudoxos von Knidos, S. 172. 2 T. L. HEATH, Archimedes, S. xlviii; Euclid’s Elements, Bd. 3, S. 15. 8 In XII,2 wie 10 wird der Kreis durch reguläre Polygone von innen her approximiert. 4 F. LASSERRE, Die Fragmente des Eudoxos von Knidos, S. 173f. 5 Auch vom Text aus läßt sich, wie mir W. D. MEIER mitteilte, die Annahme einer Interpolation (urspr. Randnotiz?) rechtfertigen; neben einigen kleineren Auffälligkeiten legen v.a. folgende Beobachtungen eine solche nahe: — Der Satz von ¿ri dé xai Ste an — schwerfällig wirkt nicht nur diese Einleitung, auch der Schluß ist es — läßt die anschließende Wiederaufnahme sehr weit von abt® tovt® ra Anunarı bzw. tHde tH Anuyarı wegrücken. — Das Imperfekt ¿ypapov — hier in seiner sehr speziellen Bedeutung — erscheint schwach neben dem bedeutungsgleichen, aber viel eindeutigeren Perfekt dnodeöelxaow. — Die Theoreme 3 und 4 stimmen fast wörtlich mit Text (1) überein und weichen stark vom Stil in Text (3) ab.

gemachte Feststellung nicht beriicksichtigte und deshalb falschlicherweise die Aussage! des ARCHIMEDES berichtigen wollte. Soweit zur Interpretation der Mitteilungen (1)—(6). Im folgenden sollen aufgrund der Mitteilungen (1)—(6) die dem Eupoxos bekannten Sätze im XII. und XI. Buch der Elemente rekonstruiert werden. Im XII. Buch sind dies sicher die Sätze XII,2, 7, 10 und 18, wie wir bereits früher festgestellt haben. Sie bilden den Ausgangspunkt unserer Untersuchung und wurden zur besseren Ubersicht in der schematischen Darstellung auf S. 116 eingerahmt. Ihr Beweis erfolgte, wie oben dargelegt, unter Benutzung des Lemmas X,1. Ein Vergleich der Aussagen (3) und (4) wirft die Frage auf, ob auch die Sätze XII,41, 12, 13, 14 und 15 auf Eupoxos zurückgehen könnten. Sie werden von ARCHIMEDES, wie die als eudoxisch erkannten der Mitteilung (3), früheren Autoren zugeschrieben. Die letztere Frage soll zuerst tiberpriift werden, und zwar durch Analyse der Beweise der Sätze. Satz XII,12 besagt, daB die Inhalte ähnlicher Kegel und Zylinder zueinander dreimal im Verhältnis der Grundflachendurchmesser stehen. Da Eupoxos, wie wir später sehen werden, die entsprechenden Sätze für Parallelflache (XI,33), dreiseitige Pyramiden (X11,8) und für Kugeln (X11,18) aufstellte, ist anzunehmen, daß er auch XII,12 bewiesen hat. Der Beweis läßt sich in der gewohnten Weise durch Exhaustion unter Benutzung von XII,8 führen‘. Der Satz XII,15 lautet wie folgt: ‚In gleichen Kegeln sowie Zylindern sind die Grundflächen den Höhen umgekehrt proportional. Und Kegel sowie Zylinder in denen die Grundflächen den Höhen umgekehrt proportional sind, sind gleich“. Könnte Eupoxos diesen Satz anders als in den Elementen EUKLIDs bewiesen haben? Es wäre naheliegend, den Beweis mit Hilfe der Exhaustionsmethode zu erbringen: Man nähert die Kegel durch einbeschriebene Pyramiden an und versucht darauf die Aussage von XII,15 für vielseitige Pyramiden aus derjenigen von XII,9 für Pyramiden mit dreiseitiger Grundfläche herzuleiten. Dies gelingt aber nicht bei Pyramiden mit beliebiger Basis: Bei der Aufteilung in dreiseitige Pyramiden geht im allgemeinen die Gleichheit verloren. Man müßte also den entsprechenden Satz für vielseitige Pyramiden direkt beweisen. Dabei wäre man genötigt, gestützt auf XII,7, den Weg über das Prisma zu nehmen, wo man jedoch wieder auf dasselbe Problem stößt. Es bieten sich zwei Auswege: Entweder sucht man eine andere Beweismethode oder beschränkt den Hilfssatz auf Pyramiden mit ähnlichen Grundflächen. Bei der Durchführung des eigentlichen Exhaustionsbeweises treten noch weitere Schwierigkeiten auf: Aus der Gleichheit der Kegel muß auf die Gleichheit der einbeschriebenen Pyramiden mit ähnlicher Grundfläche geschlossen werden, usw. Es scheint mir daher wenig wahrscheinlich, daß Eupoxos zum Beweis von XII,15 die Exhaustionsmethode verwendete. 1 Die genaue Formulierung des Lemmas in dieser Aussage war natürlich für Archimedes auch durch die Anwendung in Quadr. 16 bestimmt. 2 Der Exhaustionsbeweis in XII 12 kann vermieden werden, wenn man die Beweismethode von XII,15 benutzt. Aus XII,13 folgt Z,:Z3,=d,:d, und aus XII 11 und 2 23:2, = (d,:d,)? (Z, ist ein Hilfszylinder mit der Höhe von Z, und der Grundfläche von Z,). Das einzige Problem stellt die Zusammensetzung der Verhältnisse. Dazu ginge man am besten von einer stetigen Proportion mit vier Größen aus: d,:d,=d,:....

Benützte er jedoch den Beweis der Elemente EUKLIDs, so muß er unbedingt die Sätze X11,11 und 13 besessen haben. Beide sind anschaulich klar. XII,11 kann mit Hilfe der Exhaustionsmethode über Kegel (XII,10) und Pyramide (XII,6) exakt bewiesen werden. Von den anfangs erwähnten Sätzen bleibt noch XII,14 übrig. Dieser ist eine leichte Verallgemeinerung von XII,13. Es ist daher fraglich, ob beide Sätze zur Zeit des Eupoxos bereits explizite bestanden haben. Der in den Elementen gegebene Beweis von XII,14 über XII,13 bietet sich sofort an. Es wäre möglich, X11,14 unabhängig von XII,13 mit Hilfe der Exhaustionsmethode zu beweisen. Da jedoch die dazu benötigten Hilfssätze für Pyramiden und Parallelflache fehlen, ist es wenig wahrscheinlich, daB EuDoxos diesen Weg beschritten hat. Falls somit Eupoxos XII, 12 und XII,15 aufstellte, wird er auch XII 11 und 13 gekannt haben. XII,12 (Lemma 5) wird von ARCHIMEDES in einer von den Elementen verschiedenen Form zitiert und in Sph. Cyl. 41 auch angewendet. Satz XII,15 (Lemma 4) benutzt ARCHIMEDES gleich in der nächsten auf die Lemmata folgenden Proposition in Sph. Cyl. 17. Diese beiden Sätze können also nicht nachträglich zu den übrigen Lemmata aus den Elementen hinzugefügt worden sein!. Für das 2.und 3. Lemma wäre dies dagegen denkbar. Sie handeln im Gegensatz zu den andern von Zylindern und werden von ARCHIMEDES nie direkt verwendet. Da jedoch das 2. Lemma, wie oben gesehen wurde, sowieso zum Beweis des 4. notwendig ist, hat diese Möglichkeit keinen Einfluß auf das Resultat unserer Untersuchung. Ganz allgemein spricht die von den Elementen abweichende Formulierung eher gegen eine nachträgliche Interpolation. Die betreffenden Sätze könnten also durchaus auf Eupoxos zurückgehen. Analysieren wir im weiteren die sicher von EuDoxos stammenden Sätze XII,2, 7, 10 und 18. Wie bereits früher gezeigt, hat EuDoxos diese Sätze mit Hilfe desselben Lemmas wie EUKLID bewiesen. Er wird daher in den meisten Fällen ähnlich wie EUKLID vorgegangen sein. Zum Beweis von XII,7 wird er ebenfalls die in XII,3—5 dargelegten Schritte benutzt haben. Formulierung und Gliederung der Propositionen XII,3—7 dürfte freilich anders gewesen sein. So wurde XII,7 von Eupoxos verschieden formuliert? und XII,6 war vermutlich erst viel später zwischen XII,5 und 7 interpoliert worden. Die Proposition fehlt im Cod. b und tritt bei den Arabern nur zum Teil und als bloBer Zusatz auf?. Zum Beweis der Sätze XII,3—5 sind die Propositionen XI,39 und 32 erforderlich. X1,39 könnte Eupoxos eventuell nicht explizite formuliert haben“. Der Satz ist eine einfache Folgerung aus X1,31. Der zweite Satz X1,32 beruht ebenfalls auf X1,31, der also Eupoxos bekannt gewesen sein muß. Den Beweis von X1,31 dürfte er ähnlich wie in den Elementen über die beiden Spezialfälle X1,29 und X1,30 geführt haben. Hätte EuDoxos einen einfacheren, direkteren Beweis gegeben, so wäre dieser von EUKLID sicher übernommen worden. Zudem ist es naheliegend, eine volumen1 XII, 12 wegen seiner abweichenden Formulierung und XII,15 weil durch seine Verwendung die Stellung der Lemmata bei ARCHIMEDES bestimmt wurde. 2 Siehe S. 112. 8 XII,8 Zus., der XII,8 auf Pyramiden mit vieleckiger Grundfläche verallgemeinert, dürfte ebenfalls interpoliert sein. In XII,12 wird XII,8 Zus. bei seiner Verwendung nochmals explizite bewiesen. 4 Der Satz scheint aufgrund seiner Stellung erst nachträglich zum XI. Buch beigefügt worden zu sein.

erhaltende Umwandlung des einen Kôrpers in den andern durch schrittweise Anpassung von Grundflächen und Kantenwinkel zu suchen, was zwangsläufig zu den beiden Hilfssätzen führte. Zum Beweis der Satzgruppe XI,29—31 müssen unbedingt die Aussagen der Sätze XI,24 und 25 bekannt gewesen sein. Der damalige, genaue Wortlaut dieser beiden Sätze ist fraglich. Er hängt bei XI,24 wesentlich von der zugrunde gelegten Definition des Parallelflachs ab!. Die uns überlieferte Fassung dieses Satzes ist ungenau?. Sie bringt im Gegensatz zu den Definitionen XI, Def. 9 und 10 und den Propositionen X1,27, 31, 33 und XII,8 nur loog und nicht das im XI. Buch üblichere {ooç xai óuotoc?. Anderseits soll XI,25 zur Zeit des Eupoxos nach BECKER noch mit Hilfe der Wechselwegnahme bewiesen worden sein. Für den Exhaustionsbeweis von XII,10 sind die Sätze XII,7 und XI,28 unbedingt erforderlich. XI,32 kann im gegebenen Fall auf XI,28 zurückgeführt werden. Die Analyse ergibt somit nur Sätze, die Eupoxos bereits früher zugewiesen wurden. Will man den Satz XII, 18 exakt beweisen, so bietet sich die Approximation der Kugel durch konvexe Polyeder an. Für letztere läßt sich die Aussage von XII,18 mittels XII,8° sofort herleiten. Damit ist der Exhaustionsbeweis durchführbar. Diese Lösungsmethode dürfte im großen und ganzen auch EuDOXOS verwendet haben: Die Inbeziehungsetzung von Kugel und Polyeder war ihm von den Atomisten her bekannt® und der Hilfssatz XII,8 ergab sich organisch aus den von ihm bereits früher bewiesenen Sätzen. Des weitern muß er, wie wir von ARCHIMEDES wissen, das Lemma X,1 benutzt haben. XII,8 und X,1 sind aber ebenfalls die wichtigsten Hilfssätze des euklidischen Beweises?. EUKLID könnte also auch hier in der Hauptsache EuDoxos gefolgt sein. Die Gliederung des Beweises, die Aufteilung in die drei Propositionen XII,16—18, dürfte freilich nicht auf Eudoxos zurückgehen: Der Hilfssatz XII,16 ist nämlich ungenau formuliert. Geleistet und auch gebraucht wird ‚ein gleichseitiges Vieleck von gerader Seitenzahl so einzubeschreiben, daß auch das gleichseitige Vieleck von halber Seitenzahl nicht an den kleineren Kreis rührt‘. Die für den Beweis von XII,18 wesentliche Aussage XII,17 Zus. ist in den Elementen mitsamt ihrem Beweis an die Proposition XII,17 angehängt worden. Das alles erweckt den Eindruck, als sei der ursprüngliche, eudoxische Beweis von XII, 16—18 später redigiert und in Propositionen aufgeteilt worden. Auf jeden Fall sind große Teile der 1 Eine solche Definition fehlt bei EUKLID. Vgl. NEUENSCHWANDER, Die ersten vier Bücher der Elemente Euklids, S. 366. 2 HEATH, Euclid’s Elements, Bd. 3, S. 324. ® Zur Entwicklungsgeschichte dieser beiden Termini siehe CH. MUGLER, Platon et la recherche mathématique, S. 45—108; sowie von FRITZ, Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft, u.a. S. 430ff. und Platon, Theaetet und die antike Mathematik, S. 84. Zu XI, Def. 9 und 10 vgl. auch S. HELLER, Uber Euklids Definitionen ähnlicher und kongruenter Polyeder, Janus, LI (1964). 4 BECKER, Eudoxos-Studien I, S. 326. 5 Satz XII,8 lautet: ‚Ähnliche Pyramiden mit dreieckigen Grundflächen stehen dreimal im Verhältnis entsprechender Kanten.‘ € DEMOKRITOS betrachtete die Kugel als Polyeder mit übersinnlich großer Seitenfláchenzahl. Vgl. dazu ARISTOTELES, de caelo 1118 30722 und 17 (=VS 68 B155a). 7 Vgl. Schema S. 116.

heutigen Proposition X11,17 neuern Datums!. Dies trifft vermutlich speziell zu für die in dieser Proposition gegebene ausführliche Begründung der Ebenheit der Vierecke sowie für den Beweis, daß das konstruierte Polyeder nicht an die innere Kugel rührt. Letzterer ließe sich unter Zuhilfenahme der exakten Formulierung von XII,16 sofort aus der Figur ablesen. Der Exhaustionsbeweis von XII,18 unterscheidet sich in einem wesentlichen Punkt von demjenigen in XII,2 und in den übrigen Propositionen. Während in XII,2 die Exhaustion im einzelnen schrittweise durchgeführt wird, bezieht sich XII,18 auf einen Hilfssatz (XI1,17), der besagt, daß man zwischen zwei Schema zu Buch XII V Def4 X 1 XI 2,6,7,9,10,11,12,16,18 XI 28 lly 29 — ll X31C | XI 30 X1 32 XI 33 XI 39 1 Beruht noch auf X 1 und XII 1 2 Beruht noch auf X 1 1 Vgl. dazu S. 101.

konzentrischen Kugeln stets ein konvexes Polyeder konstruieren kann, welches der äußern einbeschrieben ist und nicht an die innere rührt. XII,2 könnte unter Benutzung des Hilfssatzes XII,16 analog wie XII,18 bewiesen werden. Aus unserer Analyse ergeben sich folgende Resultate (vgl. Schema S. 116): I. Die meisten Sätze der Parallelflachtheorie (XI,24—37) müssen Eupoxos bekannt gewesen sein. II. Das XII. Buch geht größtenteils auf Eupoxos zurück. Nimmt man speziell an, daß ARCHIMEDES in (3) und (4) mit oi xxpórepor jeweils Eupoxos meinte, so läßt sich das ganze XII. Buch Eupoxos zuschreiben. Das Resultat I ist von der Interpretation der Archimedesstellen (3) und (4) weitgehend unabhängig. Ein Verzicht auf die unsicherste Mitteilung (4)! ändert überhaupt nichts und die Weglassung von (3)? nur wenig bezüglich seiner Aussagekraft. Fügt man die anderorts® gemachte Feststellung hinzu, daß die Parallelogrammtheorie erst kurz vor EUKLID entstanden sein kann, so lassen sich die Sätze unter I Eupoxos selbst zuschreiben. Eupoxos wäre demnach der Schöpfer von Parallelogramm- und Parallelflachtheorie sowie der Sätze des XII. Buches gewesen. Scholien* zum Buch V entnimmt man, daß dieses ebenfalls auf EuDoxos zurückgeht’. Damit dürften auch große Teile des VI. Buches (Anwendungen der Proportionen- und Parallelogrammtheorie) von Eupoxos stammen. Der so erhaltene Komplex erweist sich als ein abgeschlossenes Ganzes. Neben der Aussage für den ebenen Fall im I. oder VI. Buch stehen meist die analogen räumlichen Sätze (für Parallelflach, Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, Kegel Koyrespondenz zwischen den Sätzen der Parallelogrammtheorie, der Parallelflachtheorie und des XII. Buches eben I 34 I 36 VI18 VI22 I 38 VII VI 1 VI 33 VI19 VI14 VI20 VI15 XII 1 XII 2 raumlich Parallelfach XI 24 XI 31 XI27 XI37 XI25 XI32 XI33 XI 34 XIIS XII8 XII9 XII 11 XII 12 XII 15 XI 28 Pyramide mit dreieckiger Grundfläche Kegel und Zylinder XII 13 Kugel XII 18 1 Die aus dieser Mitteilung gezogenen Schlüsse sind im Schema auf S. 116 gestrichelt eingetragen. 2 Es fielen die eingerahmten Sätze XII, 2 und 18 sowie die aus ihnen gezogenen Folgerungen weg. 3 E. NEUENSCHWANDER, Die ersten vier Bücher der Elemente Euklids, S. 366. 4 HEIBERG, Euclidis Elementa, Bd. 5, S. 280f. und S. 282, 13ff. 5 Die Frage, ob Eupoxos das V. Buch vor dem XII. verfaBte ist umstritten: Dafiir ist LASSERRE, Eudoxos-Fragmente, S. 173; dagegen BECKER, Eudoxos-Studien I, S. 326ff.

und Zylinder) im XI. und XII. Buch. Analoge Sätze werden in den Elementen fast immer mit denselben Worten formuliert, was die Einheitlichkeit hervorhebt. Einige Beispiele mégen dies erläutern: In VI,1 wird der Satz behandelt, daB sich Parallelogramme unter derselben Höhe zueinander verhalten wie die Grundlinien. X1,32 bringt den entsprechenden Satz für Parallelflache, XII,5 für Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche und XII,11 für Kegel und Zylinder. Dem ebenen Satz VI,22 entspricht der räumliche XI,37. Die Beweise der sich entsprechenden Sätze VI,1, VI,33, XI,25 und XII,13 stimmen in großen Teilen wortwörtlich überein. Sie beruhen alle auf der eudoxischen Definition V Def. 5. Weitere Beispiele lassen sich der Zusammenstellung auf S. 117 entnehmen. Diese auffallende Konkordanz! bestätigt m.E. daß die wesentlichsten Teile des obigen Komplexes auf die Schule des Eupoxos zurückgehen. Buch XI Das XI. Buch gliedert sich in 2 Teile: Im ersten werden die Grundlagen der Stereometrie behandelt, im zweiten die Lehre von den Parallelflachen. Letztere haben wir im vorangehenden Kapitel analysiert und erkannt, daß sie hauptsächlich auf Eupoxos zurückgeht. Nachfolgend wollen wir uns mit dem ersten Teil (Propositionen XI,1—23) befassen. Sein Aufbau ist im Schema auf S. 119 dargestellt. Bei genauer Betrachtung desselben fällt auf, daß einige Propositionen des ersten Teils in den Elementen nirgends benutzt werden (z.B. X1,15, 17, 23). Diese könnten z.T. erst nachträglich beim Ausbau der Grundlagen entstanden sein. Andere Sätze freilich müssen auf die Frühzeit der Stereometrie zurückgehen (z.B. die bereits THEAITETOS bekannten X1,12 und 21). Der erste Teil enthält somit Propositionen ganz verschiedenen Datums. Da zudem wesentliche Angaben über die Herkunft der Sätze bei antiken Schriftstellern fehlen, ist die Rekonstruktion seiner Entstehungsgeschichte problematisch. Am besten geht man dabei von der Proposition XI,12 aus. Für die Konstruktion der regulären Polyeder muß THEAITETOS eine Methode besessen haben, mit der er die Senkrechte zu einer Ebene in einem gegebenen Punkt errichten konnte. Es wäre möglich, hierfür das von HADAMARD? und Hajós? angegebene Verfahren zu benutzen: Man zieht in der gegebenen Ebene zwei sich schneidende Hilfsgeraden, errichtet zu ihnen durch den gegebenen Punkt die Normalebenen und bestimmt die Schnittgerade der letzteren. Diese ist dann (vgl. Elem. X1,19) die gesuchte Normale. — Nun fehlt jedoch in den Elementen eine Proposition, welche die Konstruktion der Normalebene behandelt. Diese wird in den Propositionen XI,9 und 11 zwar sorgfältig durchgeführt, aber nicht als solche bezeichnet. Es scheint mir daher unwahrscheinlich, daß THEAITETOS das von HADAMARD und Hajós angegebene Verfahren benutzte. Viel eher dürfte er so wie EUKLID vorgegangen sein und hätte damit die Propositionen XI,4, 8 und 11 ebenfalls gekannt. ı Im allgemeinen zeigt sich in den Elementen häufig die entgegengesetzte Tendenz. Vgl. z.B. S. 107 sowie E. NEUENSCHWANDER, Die ersten vier Bücher der Elemente EUKLIDS, S. 355. 2 J. HADAMARD, Géométrie élémentaire, Bd. 2, S. 22. $ G. Hajós, Einführung in die Geometrie, S. 220.

kl Eu te en em El r de er ch Bü en ch Die stereometris zu XI, 1-23 Schema xist, 914038 XI 2 x13 1 XI xii? ==. 17 UT X16 7 KNIT X0116,17 XI,38 ae xi 28 X13I Xi 16,17 28,38 X1 10 Ku 17 XML ST XI26,31,34,35 X124 X113 Y 12 xi x1 23,26 X1117 X11113,14,1516 x113 \| EN 28 b. st Ari913 XI 14 Autot. sph.4 15 XI XI 16 XI 17 a x1X1112180 AT XIAuto24l. Sph.7 XI 18 Autot| .Sph.7 XI 19 12\ 2123 | er ist die wie meditre imischTeenxt Büherbchr eierAugentozoveregermn.neerktn ,Stsoellen aAn r de i be ch si e di e, ag ss Au de . en ,6 eg XL dl n un vo gr g ne un ei hr gt ke in br Um e ,4 di x1 t n is io ,8 m it X1 iu os er op t. it Pr ng e Kr rä s Di fd de au en ig ch uf ei lä nr gs hi e an wi zw s 3 . ge f e di D nt en , se tw XI we n n no lyDisee bevoiden Sätzeaterzwgeeibeern Gezurasademmn.enBeeiidne werden inunspätd er17,enwePrlcopheosauitfioTHneEAITETOSfliiichr dibeenüPatzrallt;elX1it,6imunBeterweanisdevorenmX1au,6ch inwiXIedIIer,1um6 stbeößlet gtmainst.unTHmiEAttITelbaETrOSauwäf derenn zuHilfrüssckatgezhex1n.,5Be, dedir ezuPrmiopndosesittiofünernARX1IS,4TO, TE5, LE6,S!8, 110—23undvo12n ihzumzustscamhreimeben;n.X1,21 demnDeacshwevoitreerrsentdiirftmaeioeisnTevoilradeusrgeSasetztzgrt.upDap®geXIge,2n ist fraglich, ob er die im XIII. yoreuklidische wird1 inARISPLTOATTEONLESS,TiMeteor. 1113 373214.

Buch ebenfalls benutzten Propositionen XI,1—3!, 7 und 9 bereits explizite formulierte. Aufgrund ihrer Zitierweise? und ihres Inhaltes könnte man vermuten, daB diese Sätze zunächst der Anschauung entnommen und erst später bewiesen worden sind’. Einen weitern Ausbau dürften die Grundlagen der Stereometrie bei der Entwicklung der Sphärik und der Parallelflachtheorie erfahren haben. AUTOLYKOS verwendet in seiner rotierenden Kugel neben den Lehrsätzen der voreuklidischen Sphárik* auch Elem. X1,145, X1,16 und XI,19®; ferner werden die Propositionen XI,10 und 16 in der Parallelflachtheorie (X1,24) benötigt. Große Teile sind somit auch hier der Schule des Eupoxos und nicht EUKLID zuzuschreiben. Folgerungen für die Frühgeschichte der Stereometrie Die zur Frühgeschichte der Stereometrie überlieferten Mitteilungen und Fragmente konzentrieren sich hauptsächlich auf die PYTHAGOREER und DEMOKRITOS. Die ersteren haben sich mit den regulären Körpern sowie der Würfelverdoppelung beschäftigt; letzterer untersuchte die durch den Atomismus bedingte Gestalt der Körper, bestimmte ihre Volumina und schrieb Abhandlungen über die Perspektive. Wir wollen im folgenden die wenigen dazu überlieferten Mitteilungen zusammenstellen und anschließend versuchen, mit ihrer Hilfe ein Bild vom damaligen Zustand der Stereometrie zu entwerfen. Dieses soll darauf mit den Folgerungen, die sich aus unserer Arbeit ziehen lassen, verglichen werden. Die Beiträge der PYTHAGOREER zur Entwicklung der Theorie der regulären Polyeder wurden bereits früher diskutiert”. Es scheint, daß diese sich mehr für die den Polyedern innewohnenden Verhältnisse als für ihre exakte mathematische Konstruktion interessierten. Eva SAcHs® z.B. glaubt nicht, daß Hippasos das Dodekaeder in einer gegebenen Kugel konstruierte. Sie übersetzt die IamblichosStelle (V. Pyth. 88) mit: „Er zeichnete die Kugel aus den 12 Fiinfecken”. In die gleiche Richtung weist eine Bemerkung bei NIKOMACHOS?, die zeigt, wie PHILOLAOS den Würfel behandelte: Einige aber glauben, in Übereinstimmung mit Philolaos, daß das Mittelharmonisch genannt werde, weil es jeweilen geometrische Harmonie begleitet; als geometrische Harmonie bezeichnen sie den Würfel, weil er in den drei Dimensionen dreimal mit sich selbst multipliziert aufgebaut ist. Denn in jedem Würfel wird dieses Mittel 1 XI, 1 wird inden Problemata (914238), welche nicht auf ARISTOTELES zurückgehen, mit abweichendem Wortlaut zitiert. 2 Die Zitierweise dieser Sätze ist sehr unterschiedlich innerhalb der stereometrischen Biicher. Besonders auffallend sind die isoliert dastehenden Zitate von XI,1, 7 und 9 im neuern Satz XI,38 sowie in den überarbeiteten Propositionen XII,17 und XIII, 17. 3 Älter ist allenfalls noch XI,13. Ein ihm verwandter Satz wird in ARISTOTELES, Problemata 913528 zitiert. | 4 Eine Rekonstruktion dieser Sphärik, von den einen Eupoxos und von andern ARCHYTAS zugeschrieben, wurde von verschiedenen Seiten versucht. Vgl. dazu F. LASSERRE, Eudoxos-Fragmente, S. 179. 5 AUTOLYKOS, Die rotierende Kugel, Prop. 4. 6 AUTOLYKOS, Die rotierende Kugel, Prop. 7. 7 Vgl. S. 103 ff. 8 Eva SACHS, Die fünf platonischen Körper, S. 82f. 9 NIKOMACHOS, Introductio arithmetica, 11 26,2 = (VS 44 A 24).

gespiegelt. Jeder Würfel hat nämlich 12 Kanten, 8 Ecken und 6 Flächen. Also ist 8 das Mittel von 12 und 6 beim harmonischen Mittel. (nach W. D. MEIER) Die Wiirfelverdoppelung wurde nach PRoKLOS und EuToxios! durch HIPPOKRATES von CHios? auf die Konstruktion zweier mittlerer Proportionalen zurückgeführt. Dieses Problem löste aber erst ARCHYTAS und zwar vermutlich nicht vor den stereometrischen Arbeiten des THEAITETOS?. DEMOKRITOS hat aufgrund einer Mitteilung des ARCHIMEDES als erster das Volumen von Kegel und Pyramide bestimmt. Diese Mitteilung des ARCHIMEDES wird gern mit dem folgenden DEMOKRITfragment® kombiniert: Wenn ein Kegel parallel zur Grundfläche mit einer Ebene geschnitten wird, wie soll man sich die entstehenden Schnittflächen vorstellen, gleich oder ungleich? Sind sie ungleich, dann werden sie den Kegel ungleichmäßig machen, da er viele treppenartige Einschnitte und Vorsprünge erhält; sind sie dagegen gleich, so werden (auch) die Schnitte gleich sein und der Kegel wird die Erscheinung eines Zylinders darbieten, insofern er aus gleichen, nicht aus ungleichen Kreisen bestehen wird, was doch sehr ungereimt ist. (nach Luria) Daraus wird dann abgeleitet, daß DEMOKRITOS das Volumen des Kegels unter Zuhilfenahme der Methode von CAVALIERI bestimmte®. Diese Annahme ist sehr verlockend, doch sollte man dabei nicht übersehen, daB beide Aussagen auch einzeln in befriedigender Weise in die Entstehungsgeschichte der Stereometrie eingegliedert werden können: Aus der kürzlich von PARKER herausgegebenen Sammlung demotisch-mathematischer Texte geht hervor, daß der Faktor */, für das Pyramidenvolumen in Ägypten zur Zeit des DEMOKRITOS bekannt war”. DEMOKRITOS, für den ausgedehnte Reisen nach Ägypten und Babylonien belegt sind®, hätte somit seine Formel, vielleicht mitsamt eines heuristischen Beweisverfahrens, in Ägypten kennenlernen können. Auf die obige Kegel-Aporie sowie zur Ansicht, daß die Kugel ein konvexes Polyeder mit übersinnlich großer Seitenflächenzahl ist®, könnte er gekommen sein, als er die Auswirkungen seiner atomistischen Theorie bezüglich der mathematischen Körper untersuchte. Auf alle Fälle hat DEMOKRITOS den Satz über das Pyramidenvolumen nach der Meinung des ARCHIMEDES nicht bewiesen und ein allfälliger heuristischer Beweis wäre zudem nicht sehr verbreitet gewesen. Kennt doch ARCHIMEDES einen solchen bei der Abfassung seiner ersten Mitteilung (1) noch nicht 1. 1 PROKLOS, Euklidkommentar, S. 315, 27ff.; Eutoxios, Archimedeskommentar, ed. Heiberg Bd. 3, S. 104, 11 =(VS 42 A 4). 2 HIPPOKRATES stützte sich dabei wahrscheinlich auf Vorarbeiten der Pythagoreer (vgl. Dictionary of Scientific Biography ,,Hippocrates of Chios"). 3 Vgl. E. NEUENSCHWANDER, Zur Archytas-Lösung des delischen Problems, S. 1. 4 Mitteilung (2) auf S. 110. 5 PLUTARCH, de comm. notit. 39,1 =(VS 68 B155). 6 Vgl. z.B. S. Luria, Die Infinitesimaltheorie der antiken Atomisten, S. 138 ff. 7 Vgl. dazu VAN DER WAERDEN, Erwachende Wissenschaft I, S. 54—57, sowie R. A. PARKER, Demotic Mathematical Papyri, Problem 40 (S. 52), wo das Volumen einer Pyramide berechnet wird. 8 Vgl. DIELS, VS 68; speziell B299. ® Vgl. ARISTOTELES, de caelo III,8 30722 und 17. 10 Der Vergleich der beiden Archimedesstellen [(1) und (2)] bedingt eine Umstellung in der bisher angenommenen Reihenfolge der Werke des ARCHIMEDES. Fiir letztere siehe z.B. HEATH, Greek Mathematics, Bd 2, S. 22 oder Dictionary of Scientific Biography, Bd. 1, S. 214.

Das Verfassen einer Schrift über Perspektive! setzt ebenfalls keine allzugroßen Kenntnisse der Grundlagen der Stereometrie voraus, wie man aus der Behandlung der Probleme in der Optik des EUKLID? ersehen kann. Es steht somit nichts im Wege, die unten zitierte Rüge PLATONS3 auf den damaligen aktuellen Zustand der Stereometrie (um 375 v.Chr.) zu beziehen.? (Sokrates:) «Gerade vorhin nach der Geometrie wahrten wir die richtige Reihenfolge nicht!» (Glaukon:) «In welcher Hinsicht denn? » (Sokrates:) «Als wir auf die Lehre von der Ebene gleich die vom umlaufenden Körper folgen ließen, bevor wir noch den Körper für sich selbst betrachtet hatten! Und doch wäre die richtige Folge die, daß wir nach der zweiten Ausdehnung die dritte hinstellten. Es gilt ja wohl hier der Ausdehnung der Würfel und allem, was Tiefe hat. » (Glaukon:) «Schon! Indessen scheint mir, Sokrates: das ist noch nicht gefunden. » (Sokrates:) «Allerdings, und zwar aus doppelter Ursache: weil kein einziger Staat diese Wissenschaft in Ehren hält, wird ihre Erforschung der großen Schwierigkeit wegen nur matt betrieben; sodann bedürfen die Forscher des Leiters, ohne den sie schwerlich etwas erreichen. Aber erstens, daß uns ein solcher Geist erstehe, ist kaum anzunehmen, und zweitens: auch wenn er erstünde — so, wie die Dinge jetzt liegen, würden ihm die Fachgelehrten in ihrem Eigendünkel doch nicht folgen! Nur wenn ein ganzer Staat, der diese Wissenschaft in Ehren hielte, die Gesamtleitung übernähme, würden sie folgen, und auch in diesem Wissensgebiet würde dann durch beständiges und angestrengtes Forschen klar werden, wie die Sachen liegen. Wird dieser Wissenszweig doch auch jetzt schon, obwohl vom großen Haufen verachtet und in den Hintergrund geschoben, doch von solchen, die ihn erforschen wollen, ohne dabei an seinen praktischen Nutzen zu denken, allen Hindernissen zum Trotz seines hohen Reizes wegen durch kräftiges Studium gehoben! Und da wäre es nicht verwunderlich, wenn er an das Licht hervorträte. » (nach VAN DER WAERDEN) Die bisherigen Ausführungen zeigen, daß vor PLATO bloß vereinzelte stereometrische Sätze bekannt gewesen sind (Die Pythagoreer untersuchten einige der regulären Polyeder; DEMOKRITOS anderseits bestimmte das Volumen verschiedener Körper). Es fehlte aber eine systematische Grundlagenforschung, wie sie in der Geometrie schon lange üblich war. Die Rüge PLATONS ist deshalb gut zu verstehen. Sie hat ihre Wirkung auch nicht verfehlt: Kurz nach der Abfassung des „Staates‘“ löste ARCHYTAS das delische Problem und entwickelte THEAITETOS seine Theorie der regulären Polyeder, die PLATO bereits im nachfolgenden ,,Timaios” benutzte®. 1 Nach Vitruvius (De Architectura, Bd. 7, Vorwort) schrieben DEMOKRITOS und ANAXAGORAS über das Thema, ,,wie man Geraden in natürlichem Verhältnis dem scharfen Blick und der Ausbreitung der Strahlen entsprechen lassen muß, nachdem man einen bestimmten Ort als Mittelpunkt angenommen hat, damit bestimmte Bilder einer unbestimmten Sache auf den gemalten Kulissen den Schein von Gebäuden geben und damit das, was auf der ebenen Vorderseite abgebildet ist, teils zurückweichend, teils nach vorne gerückt erscheint‘. Nach DioGENES LAERTIOS (IX,47) verfaBte Demokritos ein Buch mit dem Titel &xnerdouara (Projektionen). 2 Vgl. dazu A. LEJEUNE, Euclide et Ptolémée, deux stades de l'optique géométrique grecque. 3 PLATO, Staat 528 A—D. 4 Zur weiteren Begriindung vergleiche die interessanten Ausfiihrungen von Eva SACHS, Die fünf platonischen Körper, S. 146—160. 5 Vgl. dazu Eva Sachs, Die fünf platonischen Körper, S. 207ff.

Die so aufgrund der Quellen rekonstruierte Entwicklung der Frühgeschichte der Stereometrie deckt sich mit den Resultaten unserer Untersuchung der stereometrischen Biicher. Nimmt man in den letzteren, die von uns THEAITETOS, Eupoxos und Späteren zugeschriebenen Teile weg, so bleibt auBer gewissen Grundlagensätzen und allfälligen bereits friiher bekannten Einzelergebnissen nichts mehr übrig. Es ist jedoch nicht anzunehmen, daß bedeutende Teile der Grundlagen (Elem. XI,1—23) bereits vor THEAITETOS entwickelt worden sind, erwecken diese doch selbst bei EUKLID einen noch wenig überarbeiteten Eindruck!. So wurden Postulate für die Stereometrie erst von PAPPOS aufgestellt und die den Dreiecksätzen entsprechenden Kongruenzsätze für Dreikante erst von MENELAOS gegeben. Literatur Ausgaben der Elemente Euclidis opera omnia, ediderunt I. L. HEIBERG et H.MeENGE, Teubner (Leipzig 1883—1916). Euclidis elementa, post I. L. Heiberg edidit E. S. Stamatis (Leipzig 1969—1973). The Thirteen Books of Euclid’s Elements, T. L. HEATH (Cambridge 1908, 1926; repr. New York 1956). EUKLID, Die Elemente, übersetzt von C. THAER (Darmstadt 1962). Literatur über die Elemente Antike: PAPPOS VON ALEXANDRIA: Der Kommentar des Pappus zum X. Buche des Euklides, iibersetzt von H. SUTER, in Abhandlungen zur Geschichte der Naturwissenschaften und Medizin, IV (Erlangen 1922). PAPPOS VON ALEXANDRIA: The Commentary of Pappus on Book X of Euclid’s Elements: Arabic Text and Translation, Harvard Semitic Series, VIII (Cambridge, Mass. 1930; repr. 1968). PROKLOS DIADOCHOS: Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii, ed. G. FRIEDLEIN (Leipzig 1883, repr. 1967). PROKLOS DıADocHos: Proklus Diadochus Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen, übersetzt von P. L. SCHÖNBERGER, herausgegeben von M. STECK (Halle 1945). PROKLOS DIADOCHOS: Proclus, A Commentary on the First Book of Euclid's Elements, translated by GLENN R. Morrow (Princeton 1970). Neuere: FREUDENTHAL, H. und VAN DER WAERDEN, B. L.: Over een bewering van Euclides, in Simon Stevin, 1 (1948). HEIBERG, I. L.: Litterargeschichtliche Studien über Euklid (Leipzig 1882). HEIBERG, I. L.: Paralipomena zu Euklid, in Hermes, 38 (1903). HEIBERG, I. L.: Die arabische Tradition der Elemente Euklid’s, in Zeitschrift fiir Mathematik und Physik, Hist.-lit. Abt., 29 (1884). HELLER, S.: Uber Euklids Definitionen ähnlicher und kongruenter Polyeder, in Janus, LI (1964). KLAMROTH, M.: Über den arabischen Euklid, in Zeitschrift der Deutschen morgenländischen Gesellschaft, 35 (1881). MURDOCH, J.: Euclid: Transmission of the Elements, in Dictionary of Scientific Biography (New York 1971). 1 Vel. auch I. T6TH, Das Parallelenproblem im Corpus Aristotelicum, S. 288, Randanmerkung 79. Arch. Hist. Exact Sci., Vol. 14

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