Nombres irrationnels e nombres parfaits chez Vitruve

Melanges de l'Ecole francaise de Rome 1976 88 669-704 C8 numbers batca

Persée http://www.persee.fr Gros Pierre Mélanges de l'Ecole française de Rome. Antiquité, Année 1976, Volume 88, Numéro 2 p. 669 - 704 Voir l'article en ligne Pierre Gros,~~ Nombres irrationnels et nombres parfaits chez Vitruve~~, p. 669-704. La faible familiarité de Vitruve avec les irrationnels, et son goût pour les rapports arithmétiques élémentaires le conduisent à éviter le recours explicite aux schémas géométriques faisant intervenir des incommensurables; en face d'une construction complexe, comme celle de la volute du chapiteau ionique, il préfère s'en tenir, au niveau du discours, à une présentation incomplète, quitte à donner un dessin coté au terme du chapitre. Inversement, plusieurs rapports fractionnaires des livres III et IV du ~~De architectura~~ ne sont en fait que des approximations arithmétiques de montages géométriques simples. Les véritables formules opératoires se trouvent ainsi faussées, comme on le constate à propos de l'implantation du tribunal de la basilique de Fanum. Dans le passage du livre III concernant les nombres parfaits, Vitruve se fait l'écho des spéculations des euclidiens, sans s'aviser qu'il énonce des rapports harmoniques fréquemment mis en œuvre dans les ordonnances ioniques. Le plus souvent, dans son traité, l'atomisation modulaire entraîne une méconnaissance de ces rapports, pourtant toujours présents. Avertissement L'éditeur du site « PERSEE » – le Ministère de la jeunesse, de l'éducation nationale et de la recherche, Direction de l'enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation – détient la propriété intellectuelle et les droits d’exploitation. A ce titre il est titulaire des droits d'auteur et du droit sui generis du producteur de bases de données sur ce site conformément à la loi n°98-536 du 1er juillet 1998 relative aux bases de données. Les oeuvres reproduites sur le site « PERSEE » sont protégées par les dispositions générales du Code de la propriété intellectuelle. Droits et devoirs des utilisateurs Pour un usage strictement privé, la simple reproduction du contenu de ce site est libre. Pour un usage scientifique ou pédagogique, à des fins de recherches, d'enseignement ou de communication excluant toute exploitation commerciale, la reproduction et la communication au public du contenu de ce site sont autorisées, sous réserve que celles-ci servent d'illustration, ne soient pas substantielles et ne soient pas expressément limitées (plans ou photographies). La mention Le Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation sur chaque reproduction tirée du site est obligatoire ainsi que le nom de la revue et- lorsqu'ils sont indiqués - le nom de l'auteur et la référence du document reproduit. Toute autre reproduction ou communication au public, intégrale ou substantielle du contenu de ce site, par quelque procédé que ce soit, de l'éditeur original de l'oeuvre, de l'auteur et de ses ayants droit. La reproduction et l'exploitation des photographies et des plans, y compris à des fins commerciales, doivent être autorisés par l'éditeur du site, Le Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation (voir http://www.sup.adc.education.fr/bib/ ). La source et les crédits devront toujours être mentionnés.

NOMBRES IRRATIONNELS ET NOMBRES PARFAITS CHEZ VITRUVE PAR Pierre Gros Ancien Directeur des Etudes à l'Ecole Nombreuses sont les données chiffrées contenues dans le De architectura, du moins dans les livres III à VI qui traitent des édifices publics et privés. Elles se présentent le plus souvent comme des relations numériques simples, avec ou sans référence explicite à un module de base et à ses sous-multiples. A feuilleter les commentaires de A. Choisy et de A. Birnbaum on retire même l’impression que la matière de ces livres peut se réduire en dernière analyse à une série de rapports, et que la connaissance de ces rapports garantissait aux yeux de Vitruve la correction d'un entablement, la beauté d’un portique ou l'agrément d’une domus!. Tl y a cependant quelque légèreté à exploiter ces textes, si riches d'indications apparemment fort précises, comme de simples répertoires de proportions, sans s’interroger, avant d’en faire l’application directe aux vestiges archéologiques qu’on entend analyser ou restituer avec leur aide, sur la nature et l’origine des recettes qu’ils proposent 2. Car on s'aperçoit vite, et tous les commentateurs en ont fait l’expérience, que ces recettes ne sont pas toutes faciles à comprendre. Il arrive en effet, si l’on en tente loyalement la transcription graphique, que l’on bute sur des difficultés qui tiennent soit à la teneur même des développements, soit à leurs silences; d’où des hypothèses souvent contradictoires, et diverses corrections, qui 1 A. Choisy, baumn, Vitruve, t. II-III, Paris, 1909 (réédit. en Vituvius und die griechische Architektur, Vienne, 2 Un exemple récent d'utilisation maladroite, parce que lologiquement et peu fondée historiquement, des «cotes 1974); A. Birnassurée phivitruviennes» est fourni par le livre de N. Ferchiou, par ailleurs utile et bien documenté, Architecture romaine de Tunisie. L'ordre: rythmes et proportions dans le Tell, Tunis, 1975.

s’appuient à l’ordinaire sur deux types de postulats également invérifiables: la tradition manuscrite est fautive!; Vitruve a mal lu sa ou ses sources grecques 2. Il arrive en outre, même quand la presentation théorique est satisfaisante, que l’on reste perplexe devant le caractère peu «opératoire » de certains rapports, et des schémas de construction qu'ils impliquent, dès lors qu’on en imagine concrètement la mise en œuvre sur un chantier antique. Aussi est-on en droit de se demander si le caractère parfois déconcertant de certaines données chiffrées ne tient pas d’abord aux traitements qu’elles ont dû subir pour entrer dans la trame des développements vitruviens. Ces traitements peuvent avoir été imposés soit par la nature même du « genre » théorique, dont nous avons essayé de dégager quelques lois dans un article précédent 4, soit du fait des rapports très particuliers que — c’est l’un des acquis important des études les plus récentes sur le De architectura 5 — l’auteur latin entretenait avec les mathématiques grecques et hellénistiques qui restaient ou du moins auraient dû être celles de son temps. Autrement dit, malgré la succession linéaire des chapitres, et Vuniformité voulue de leur présentation, les chiffres fournis par Vitruve ne semblent pas avoir tous la même portée. Il convient de distinguer les données premières des données déduites, celles qui sont des points de départ inévitables de celles qui sont des points d’arrivée plus ou moins arbitraires. Il convient également de démêler ce qui, d’une construction arithmétique ou géométrique trouvée dans un manuel hellénistique, pouvait être absorbé par le discours vitruvien, de ce qui, pour des raisons de principe ou par manque de compétence, devait en être passé sous silence ou transformé. C’est une relecture de ce genre que nous proposons ici d’une série de passages significatifs, où nous essaierons d’abord de retrouver certains emplois masqués ou méconnus des nombres irrationnels. 1 Voir l'attitude de Choisy à l'égard du texte de III, 5,8 concernant les architraves ioniques (op. cit., I, p. 82 et II, p. 154). Cf. P. Gros, dans Latomus, 34, 1975, p. 995 sq. 3 Tendance assez bien représentée par A. Birnbaum, qui paraît souvent tenté de corriger le texte pour le rendre plus proche des préceptes présumés d’Hermogenés (cf. op. cit., p. 13 sq.). 3 C’est le cas pour la porte dorique (IV, 6,1). Voir infra, p. 692. 4 Structures et limites de la compilation vitruvienne dans les livres III et IV du De architectura, dans Latomus, 34, 1975, p. 986 sq. 5 Cf. J. Soubiran, Vitruve, De Varchitecture, IX, Collect. des Universités de France, Paris, 1969, p. XXVI sq.; E. W. Marsden, Greek and Roman Artillery, Tecnical Treatises, Oxford, 1971, p. 197 sq.

Mais auparavant, il convient de cerner au plus prés les connaissances théoriques de Vitruve sur ce point précis. Les difficultés éprouvées par cet écrivain pour concevoir et par suite nommer certaines notions mathématiques ont été rappelées par J. Soubiran dans son édition du livre IX. C’est en effet dans la préface de ce livre que se trouvent rassemblées les démonstrations les plus « savantes » de tout l’ouvrage, et que le théoricien aborde en particulier, à propos de la duplication du carré, le problème des nombres irrationnels 1. Ou plutôt qu’il devrait l’aborder, car on constate, à cette occasion, qu’il est incapable de définir clairement le carré d’un nombre et, à plus forte raison, la notion d’irrationnalité. « Si l’on a un emplacement ou un champ carré, et qu’on veuille le doubler, comme cela exige une sorte de nombre que les multiplications ne permettent pas de trouver — genus numeri quod multiplicationibus non invenitur — des tracés linéaires corrects amènent la solution » 2. Or le nombre qu'il faut trouver, en l’occurrence, est une surface, laquelle est par définition le produit d’une multiplication. Vitruve veut dire en fait, et il explique ensuite, que si l’on a un terrain de 100 pieds de côté et qu’on souhaite le porter à 200, on ne peut y parveair en multipliant 14 par 14 ou 15 par 15 3. Mais la façon dont il s’exprime prouve qu'il ne sait plus voir dans les irrationnels ce que Platon et Euclide appelaient des puissances — Suvduers — c'est-à-dire des longueurs qui ne sont commensurables que potentiellement, par les surfaces qu’elles «peuvent», comme disaient autrefois nos mathématiciens 4. Une fois constatée l’impossibilité d’une solution arithmétique, Vitruve expose donc la solution géométrique. Sans revenir sur le détail des ignorances d'ordre historique ou technique que révèle son texte, soulignons qu’il paraît n’avoir pas saisi le lien qui existe entre ce problème de la 1 IX, praef. 48q. 2 Ibid.: Locus aut ager paribus lateribus si erit quadratus eumque oportuerit duplicare, quod opus fuerit genere numeri quod multiplicationibus non invenitur, eo descriptionibus linearum emendatis reperitur. (= 213,14 sq.) 3 Ibid. (= 213,23 sq.). Vitruve peut sembler effleurer ici la méthode d'Archytas qui fait intervenir la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique de deux nombres inégaux pour former le nombre », non carré parfait, qui est le produit de ces deux nombres. Mais il est peu probable qu'il ait compris le principe de cette méthode, selon lequel une racine carrée est enfermée dans l'intervalle de deux nombres rationnels différents, dont la différence peut être réduite à Vinfini. Cf. P.-H. Michel, De Pythagore à Euclide, Paris, 1950, p. 426 et p. 520. 4 Cf. Théététe, 148 b, et note complémentaire, p. 264, de l'édition A. Diès, dans la Collection des Universités de France. Voir aussi A. Rey, La maturité de la pensée scientifique en Grèce, Paris, 1939, p. 330 sq.

duplication du carré et le théorème de Pythagore, dont il traite pourtant dans le paragraphe suivant. Et de même qu'il ne voit pas dans la première démonstration un cas particulier — celui du triangle rectangle isocèle — de la seconde, il ne dit rien qui puisse nous empêcher de douter qu'il a vraiment compris le caractère constant de la propriété des triangles rectangles, puisque seul le triangle « égyptien » 3-4-5 est invoqué ?; on s'étonne de surcroît que ce praticien ne fasse aucune allusion à deux autres figures semblables, souvent mises à contribution en architecture car elles possèdent aussi des côtés à nombres entiers, les triangles 5-12-13 et 48-55-73 3, Méme en tenant compte de la maladresse ou de la sottise de sa source — une compilation orientée sans doute vers aspect anecdotique des «grandes découvertes »* — on conviendra que le maniement des irrationnels et leur construction géométrique ne lui sont guére familiers. Au niveau des principes, du reste, existence de ces êtres mathématiques devait constituer pour Vitruve, comme pour beaucoup d’esprits antiques, une maniére de scandale. Dans la mesure oú la beauté d'un édifice réside d'abord dans la symmetria ou commodulatio, c'est-á-dire dans la commensurabilité de toutes ses parties entre elles et des parties avec le tout, les irrationnels trouvaient difficilement place au sein d'un systéme, qui nous apparait fondé sur la transparence arithmétique des relations modulaires 5. Aussi s’étonnera-t-on que plusieurs auteurs aient cru devoir postuler l'existence de modules irrationnels, dans un contexte où la proportio implique, dans toutes les mensurations d’un édifice, la présence d’une unité, la rata pars, qui en constitue une partie «aliquote » en ce qu’elle y est contenue un nombre exact de fois. D’une littérature abondante, et parfois ésotérique, on nous permettra de ne retenir que trois exemples, 1 IX, praef. 6. 2 J. Soubiran, op. eit., p. XXVII et p. 47. 3 Cf. F. W. Schlikker, Hellenistische Vorstellungen von der Schonheit des Bauwerks nach Vitruv, Berlin, 1940, p. 54. 4 Comme le note J. Soubiran (p. XXIX, n. 4) on retrouve des séquences du méme ordre chez Plutarque (Non posse suaviter vivi secundum Epicuri decreta, XI = Moralia 1094 BC), issues sans doute d'un manuel de compilateur comparable sinon identique. 5 III, 1,1. Sur la notion de symmetria chez Vitruve, cf. F. W. Schlikker, op. cit., p. 60-61 et p. 68-71. Pline, HN, 34, 65, note: non habet latinum nomen symmetria. Cf. en dernier lieu Th. Lorenz, Polyklet, Wiesbaden, 1972, p. 57 sq. $ III, 1,1 (= 65,3 sq.): proportio est ratae partis membrorum in omni opere totoque commodulatio, ex qua ratio efficitur symmetriarum busch). (texte de C. Fenster-

qui ont en commun un mode de lecture plus ingénieux que rigoureux des textes sur lesquels ils prétendent s’appuyer. J. Hambidge ', et après lui M. Ghyka®, ont tiré parti d'une brève notation de I, 1, 4 sur l'utilité de la géométrie, pour faire de Vitruve le représentant d’une théorie «dynamique» de la symétrie des surfaces, fondée sur la notion platonicienne de « puissance ». Quand on sait le faible degré de conceptualisation auquel était parvenu l’écrivain latin en ce domaine, on mesure d'emblée le caractère hasardeux d’une telle hypothèse. D'autant que le passage en question ne lui offre qu’une base des plus minces: « Grâce à l’arithmétique, dit Vitruve, on calcule le prix des constructions et on développe le système des mesures; quant aux questions difficiles de symétrie (c’est-à-dire de commensurabilité), on les résout par un raisonnement et des méthodes géométriques » 3. Replacée dans son contexte, cette phrase offre une signification concrète: Vitruve donne à savoir que les éléments qui n’auront pu être réduits à un ensemble de relations numériques simples (certaines difficiles quaestiones, précisément), il se contentera de les dessiner; la géométrie, comme il le rappelle dans le même paragraphe, se définit pour lui comme l’ensemble des techniques faisant intervenir la règle, le compas et l’équerre; c’est un moyen d'exécution, et non une source de réflexion 4. Ainsi l’entasis des colonnes ® ou le renflement central des stylobates (les trop fameux scamilli impares ®) doivent Virritante concision des développements qui leur sont consacrés au fait qu’ils étaient l’objet d'un croquis, forma descripta, à la fin du livre III’. Relevés dans 1 J. Hambidge, The Parthenon and other Greek Temples. Their dynamic Symmetry, New Haven, 1924. 2 M. Ghyka, Le nombre d'or, rites et rythmes pythagoriciens dans le développement de la civilisation occidentale, 2 vol., Paris, 1931. Voir particulièrement I, p. 40 sq. et p. 52 sq. 3 I, 1,4: per arithmeticen vero sumptus aedificiorum consummantur, mensurarum rationes explicantur, difficilesque symmetriarum quaestiones geometricis 4 I, 1,4: geometria autem plura praesidia praestat architecturae; et primum rationibus et methodis inveniuntur. ex euthygrammis circini tradit usum, e quo maxime facilius aedificiorum in areis expediuntur descriptiones normarumque et librationum et linearum directiones. 5 III, 3,13. $ III,4,5. On ne compte plus les interprétations auxquelles ce texte a donné lieu depuis celle de Barbaro dans son édit. de 1567. Les dernières en date sont celles de H. Altrogge, dans AA, 1963, col. 717 sq., de S. Sinos, dans AA, 1974, p. 157 sq. (à propos de la courbure du stéréobate du Parthénon), et de S. Stucchi, Architettura Cirenaica, Rome, 1975, p. 25, fig. 14 et p. 28 (temple de Zeus à Cyrène). ? Sur les formae descriptae du livre III, cf. III, 3,13 (entasis); III, (scamilli impares); III, 5,8 (volutes du chapiteau ionique). On saisit mal pour-

des manuels hellénistiques, ces croquis dispensaient le théoricien de toute mise en forme discursive: ils représentaient à eux seuls les geometricae rationes. Cette prédilection pour l’arithmétique et les nombres entiers, imposée dans une large mesure par les responsabilités financières auxquelles l’architecte était confronté 1, trouvait sa caution dans l’idée, chère 4 Vitruve, que les mensurations idéales de l’être humain, réduit pour les besoins de la cause à un seul plan, sans aucune prise en compte des volumes ?, manifestent l’attachement de la nature à des conceptions où triomphe la transparence des rapports, le commensus. Ces rapports, tirés pour l’essentiel du «Canon » de Polyclète, mais présentés en III, 1,2-3, comme des données physiques permanentes, et non pas comme des choix esthétiques, constituaient à ses yeux le fondement légitime du système modulaire en architecture 8, Or tout récemment E. Lorenzen à voulu définir, à partir du « Canon » vitruvien, deux sortes de «grilles», l’une rationnelle, applicable aux schémas architecturaux, l’autre irrationnelle, plus particulièrement réservée à la sculpture 4. Sans entrer dans le détail d’un raisonnement complexe, rappelons que cet auteur, féru des théories de Le Corbusier sur le «modulor » 5, s'attache d’abord à évaluer numériquement le diamètre du cercle quoi W. Sackur (Vitruv und die Poliorketiker, Berlin, 1925, p. 12-19) met en doute l'existence d'illustrations dans l’œuvre originale. Comme le note C. H. Krinsky, dans Journal of The Warburg and Courtauld Institute, 30, 1967, p. 43, n. 65, il est difficile d’imaginer que Vitruve aurait pu présenter à l'Empereur un livre où les illustrations promises n'étaient pas données. Sur ce problème voir aussi J. Soubiran, op. cit., p. 46. Les croquis qu’on relève dans quelques manuscrits du De architectura sont de pure fantaisie (Voir par exemple les dessins de corniches et de chapiteaux prétendant illustrer III, 5, dans le Scletstatensis 1153 b nunc 17). A cet égard, la situation est très différente de celle des IloAiomxntixé d’Apollodore de Damas, où l’on peut tirer parti des très nombreux croquis dont s’agrémente la tradition manuscrite, et qui semblent remonter pour la plupart à des archétypes antiques (cf. R. Schneider, Griechische Poliorketiker, 1, Berlin, 1908, (= Abhandlungen der Kôniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Géttingen, Philolog.-Histor. Klasse, Neue Folge, X, 1)). 1 Voir le passage déjà cité de I, 1,4, sur l’utilit de l’arithmétique pour le calcul des sumpius aedificiorum. 2 III, 1,2-3. Cf. Th. Lorenz, op. eit., p. 57. 3 III, 1,2 (= 65,9 sq.): corpus enim hominis ita natura composuit. Cf. P. E. Arias, Policleto, Florence, 1964, p. 47. 4 E. Lorenzen, Technological Studies in the Ancient Metrology, Copenhage, 1966, p. 9 sq. et p. 23 sq. Voir aussi, du méme, Along the Line where Columns are set, Copenhague, 1970, p. 17 sq. et p. 30, et Th. Thieme, dans Opuscula Romana, XI, 1976, p. 127 sq. 5 Technol. Studies, p. 23, fig. 6.

où, selon Vitruve, doit s’inscrire le corps humain: il parvient au résultat de 214,66 cm, soit, nous dit-il, quarante fois la valeur du module architectural de base, lequel se déduit, d’ailleurs laborieusement, d’un examen métrologique de la planimétrie du Parthénon!. En manière de justification d’une démarche qui laisse perplexe, Lorenzen évoque les phrases où Vitruve établit, à un niveau d’extréme généralité, un parallèle entre la «symétrie » des temples et celle de la figure humaine?. Constatant ensuite que cette ordonnance modulaire ne s’applique pas à la statue du Doryphore — ce qui, convenons-en, est fâcheux, pour un «Canon » dérivé de celui de Polyelète — l’auteur imagine un second cercle, de 240 cm de diamètre cette fois, impliciment postulé, nous affirme-t-on, par Vitruve lui-même, qui se trouve être dans le rapport irrationnel Vs avec le rayon du cercle précédent?. Il y a lá, au total, un échafaudage d’hypothéses qui repose sur une série de manipulations textuelles et sur la contamination de données hétérogénes. A titre d'exemple signalons que, pour obtenir le côté du carré tangent au cerele où s’inscrit le corps humain, Lorenzen limite la hauteur de ce dernier à la racine des cheveux 4, alors que Vitruve parle explicitement du summum caput >; sans méconnaître la difficulté, l’auteur passe outre, invoquant «des études récentes concernant la statuaire égyptienne »*. La crédibilité d'une telle recherche demeure done faible. Plus convaincante apparaît en ce secteur l’analyse que R. Tobin vient de donner du «Canon » polyelétéen 7; bien qu’elle ne se réfère nullement à Vitruve, on peut en inférer la démarche réelle de celui-ci, qui consiste précisément à éliminer les éléments irrationnels. Selon Tobin en effet, la mystérieuse phrase de Pline sur les statues « carrées » de Polyclète n’exprimerait pas un jugement esthétique, mais serait en quelque sorte le résidu incompris d’une méthode de construction desdites statues 8, 1 Ibid., p. 111 sq. 2 III, 1,3: similiter vero sacrarum aedium membra ad universam totius magnitudinis summam ex partibus singulis vonvenientissimum debent habere commensus responsum; III, 1,4: ergo si ita natura composuit corpus hominis [..... ] cum causa constituisse videntur antiqui, ut etiam in operum perfectionibus singulorum membrorum ad universam figurae speciem habeant commensus exactionem. 3 Ibid., p. 25 sq. 4 Ibid., p. 24, n. 11. 5 III, 1,3: nam si a pedibus imis ad summum caput mensum erit... $ Ibid., p. 448q. ? R. Tobin, The Canon of Polykleitos, dans AJA, 79, 1975, p. 307 sq. ® Pline, HN, 34,56: quadrata tamen esse ea (sc. signa) ait Varro et paene ad unum exemplum. Sur les interprétations antérieures, voir le commentaire ad loc. de H. Gallet de Santerre, dans Collection des Universités de France, p. 222-223.

Reprenant les mensurations du Doryphore de Naples, la copie la plus soignée du célébre « Canon », il montre que toutes ses dimensions entretiennent des rapports irrationnels et que plus précisément deux mesures voisines sont liées par la relation dite des «carrés dynamiques »: c’est en rabattant la diagonale du carré formé sur la longueur de la petite phalange qu’on obtient la phalange médiane, et ainsi de suite, jusqu'aux plus grandes mensurations. Si nous prenons l’exemple du visage, nous parvenons au tableau suivant (mesures exprimées en cm)! : racine des cheveux : 20,09 medium supereiliorum : 14,2 milieu de l’arête nasale : 10,4 base du nez : 7,1 ligne de séparation des lèvres : 5,02 base du menton : 0 Toutes ces mesures se déduisent les unes des autres en multipliant la plus petite par 12 pour obtenir la suivante, avec une marge d'erreur qui oscille entre 0,01 et 0,08. Mettons en regard le texte de Vitruve: « Quant au visage, on mesure le tiers de sa hauteur du bas du menton jusqu’à la base du nez; le nez, de la base des narines jusqu’au milieu de la ligne des sourcils en mesure autant; de cette limite jusqu’à la racine des cheveux on obtient de même un autre tiers » 2. Qu'est-ce à dire, sinon que le théoricien, au prix d'approximations minimes, et d’ailleurs imperceptibles dans le système d'unités qu’il utilisait, a choisi un type de subdivisions qui certes ne rendait plus compte du mode de calcul originel, mais assurait entre les divers points remarquables des relations arithmétiques simples ?. Tout en reconnaissant le caractère essentiellement répétitif de la division modulaire, et son apparente incompatibilité avec les irrationnels, l’architecte J. Vicari 4 n’en présente pas moins une restitution du temple 1 R. Tobin, loc. eit., p. 315, fig. 10. 2 III, 1,2: ipsius autem oris altitudinis tertia est pars ab imo mento ad imas nares, nasum ab imis naribus ad finem medium superciliorum tantundem, ab ea fine ad imas radices capilli frons efficitur item tertiae partis. 3 Pour les subdivisions du pied, Vitruve (III, 1,8) ne descend pas en-dessous du digitus, qui vaut environ 1,85 em. Il avait le choix, en l’occurrence, entre deux types de progressions: 1-2-4 (5,02; 10,4; 20,09) et 1-2-3 (7,1; 14,2; 20,09). Il est remarquable qu’il ait choisi la progression la plus linéaire. 4 J. Vicari, Actualité de Varchitecture gréco-romaine, lart, Lausanne, 1976, p. 335 sq. dans Mélanges

eustyle de Vitruve qui fait intervenir le nombre 9 (= 1,618), lequel définit comme on sait la «relation dorée » de la Renaissance italienne, et n'est autre que la transposition arithmétique de la division euclidienne «en moyenne et extrême raison » 2. Selon lui le module vitruvien hérité d’Hermogénès serait un élément variable multiplié par cette constante, ce qui revient à le transformer évidemment en un nombre irrationnel 3. L’ensemble de sa démonstration s’appuie en fait sur l’idée que le mot &vadoyia désigne toujours et uniquement la relation p+. C’est là une définition inacceptable car, pas plus chez Platon que chez Vitruve, la notion d’« analogie » ne s’applique exclusivement à cette médiété géométrique d’un type particulier: dans le « Timée », où l’on en trouve les applications les plus explicites, elle définit la psadtys yewpetpxy à caractère continu qui permet de réaliser, de multiples façons, la récurrence analogique des formes, des longueurs ou des volumes 5. Chez Euclide, son acception n’est guère moins large, puisqu'elle désigne l’«identité rationnelle »6, et lorsque Vitruve la recueille, il n’en limite pas davantage le champ sémantique, puisqu’il l’assimile, dans le seul passage du De architectura où il en fasse mention, à la notion de proportio 7. Autrement dit, et quelles que soient les réserves qu’on puisse faire sur cette équivalence, établie en premier lieu par Cicéron, semble-t-il, entre le mot latin et le mot grec 8, ’dvoAoyia 1 Cf. L. Pacioli di Borgo, De divina proportione, Venise, 1509. Voir sur ce point M. Ghyka, op. cit., I, p. 43 sq. et P.-H. Michel, De Pythagore à Euclide, Paris, 1950, p. 600 sq. 2 P.-H. Michel, op. eit., p. 523 et p. 526 sq. (où toutes les constructions proposées par Euclide Pon trouve explicitées de ce partage en extrême et moyenne raison, &xpov xal uésov Adyov (Eucl. VI, défin. 3)). Voir aussi J. Vicari, loc. eit., p. 336-337. 3 J. Vicari, loc. cit., p. 340 sq. et fig. 6, p. 341. 4 C’est du moins ce qui ressort des notations des p. 336 et 340. 5 Timée, 31c, 32a-c. Voir sur ce point les remarques de M. Ghyka, op. cit., I, p. 77, n. 1. L’&vaAoyia définit une chaîne de relations conçue de telle façon que, dans une progression, tous les termes jouent le même rôle les uns par rapport aux autres. Ainsi des quatre composantes du monde qui sont « accordées par l’analogie », &v& tov abröv Aóyov. Voir de même, en 31c, la définition de la progression de trois nombres selon ces normes: c'est l’&vdoyla xdAMota. $ Cf. P.-H. Michel, op. eit., p. 367 sq. 7 III, 1 (= 65,2-3): ea autem paritur a proportione, quae graece dicitur. 8 Cf. Cicéron, Timaeus, IV, 13 (p. 217 édit. Mueller): id optime adsequitur quae graece dvadoyia, latine (audendum est enim, quoniam haec primum a nobis novantur) comparatio proportiove dici potest. Voir sur ce point la note ad loc. de S. Ferri, Vitruvio, p. 94 sq. Il est piquant de relever, dans un tout autre contexte, cette remarque de R. Barthes, qui ne songe sans doute guère à Vitruve: « En

n’implique rien d’autre, chez Vitruve, que la présence d’un module dans une construction. C’est surinterroger gravement le texte que de lui demander une spécification de ce module. Une fois écartées ces diverses interprétations, il convient de garder en mémoire, pour essayer de reposer le probléme sur des bases plus saines, les modalités du maniement des irrationnels dans la pensée grecque, et le caractère empirique de leur découverte comme de leur utilisation. Les travaux de A. Rey! et de P.-H. Michel? ont retracé l’histoire de cette question: si les Pythagoriciens avaient constaté depuis longtemps l’incommensurabilité de la diagonale du carré, 22, il fallut attendre la fin du Ve s. pour qu’une méthode graphique de détermination des irrationnels fût mise au point. Platon nous apprend que c’est à Théodore de Cyrène, mathématicien contemporain de Socrate et du néo-pythagoricien Philolaos de Tarente, qu’on en doit l’invention : « Théodore, que voici, avait fait devant nous (c’est le jeune mathématicien athénien, Théétète, qui parle) les constructions graphiques relatives montré que f/3 et j/5 à quelques-unes des puissances, ne sont point commensurables à l'unité, et continué à les étudier une par une jusqu’à racine de 17; il s’était, pour une certaine raison, arrêté là »3, Anderhub a montré que la figure de Théodore n’était certainement pas celle des «rectangles dynamiques » (Fig. 1) qu’on lui attribue encore souvent‘, mais celle de la genetrix irrationalium, qui présente le double avantage de requérir seulement l'emploi de la règle et dehors de ces transgressions, ce qui s'oppose bénéfiquement à la perfide Analogie, c'est la simple correspondance structurale: l’Homologie, qui réduit le rappel du premier objet à une allusion proportionnelle (étymologiquement, c'est-à-dire en des temps heureux du langage, analogie voulait dire proportion) » (Roland Barthes par lui-même, Paris, 1975, p. 48). En fait, dans le sens où l’utilise ici Barthes, le mot proportion a déjà perdu sa signification originelle; la seule équivalence réelle eût été un composé de ratio, et non pas de portio, qui eût désigné valablement un phénomène de correspondance. Plus qu’à l’étymologie, c’est à l'usage que le mot proportion doit le sens qu’on lui prête maintenant. 1 A. Rey, op. cit., p. 330 sq. 2 P.-H. Michel, op. cit., p. 412 et p. 420 sq. 3 Théétète, 147 d: repl Suvdpedv tt hulv Ozódwpos Bis Eypape, tHe te Tpimodog mépt xal mevréroSos drropalvov Ste pixel ob cbupetptot TH modtalg, xal obtw xard ulav Éxéornv mpomtpotyevos péxpr Tic éxtanatdexdmodog: dv Sé tatty mag Evfoyeto. Cf. P.-H. Michel, op. cit., p. 455 sq. 4 J. H. Anderhub, Jocaseria aus den Papieren eines reisenden Kaufmanns, gewidmet den Freunden des Hauses Kalle und C.A.G., Wiesbaden-Biebrich, 1941, p. 159 sq., cité par J. Bousquet, Le trésor de Cyréne, Fouilles de Delphes, II, Paris, 1952, p. 79 et

de l’équerre, et d’expliquer pourquoi Théétète s’est arrêté à 171; comme le rappelle J. Bousquet, la construction ainsi définie (Fig. 2) contient en elle-même l’explication de l’irritant rws du texte platonicien, puisque, audelà de [/17,, les triangles se chevaucheraient, dtant ainsi clarté et valeur pédagogique à la figure tout entière 2. v2 Va Va Vs Ve 1 Fig. 1 - LES « RECTANGLES DYNAMIQUES ». Mais parallélement 4 ce procédé fort simple, il existait sans doute, dès l'époque de Platon, de Théététe et d’Archytas de Tarente, des formules d’approximation des premières racines = Théon de Smyrne, ce glossateur du II® s. ap. J.-C., nous en a conservé une, celle des deux colonnes d’entiers appelés respectivement «côtés» et «diagonales »4 On en trouve du reste un exemple chez Platon lui-même, qui présente 7 comme la «diagonale rationnelle » de 5, c’est-à-dire comme la valeur entière la plus proche de la diagonale du carré de côté 5, à une unité près ®. 1 J. Bousquet, op. cit., p. 102. Sur les raisons antérieurement invoquées pour l'arrêt à 1/17, cf. P.-H. Michel, op. eit., p. 463 et p. 477. 2 Ibid., fig. 16. 3 A. Rey, op. cit., p. 335. 4 Théon de Smyrne, Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium (édit. E. Hiller, Teubner, 1878), I, chap. 31: rrepì rAeupixdiv xal diapetpv dpuduöäv. Cf. P.-H. Michel, op. cit., p. 427. 5 République, VIII, 546 c: &xaröv uèv dprdudv drrd Stayétpwv Aytav reurddog, Seouévov évèc ixdorov ... 7 = | 49 alors que la diagonale du earré de côté 5 vaut V50. MEFRA 1976, 2.

GROS PIERRE Fig. 2 _ La « GENETRIX IRRATIONAL IUM Be

Il paraît légitime de penser que les architectes du IV* s. ne sont pas restés étrangers à ces recherches, et qu’ils ont essayé d’en tirer un profit à la fois théorique et pratique. Sans évoquer le cas très particulier du ou des bâtisseurs du trésor de Cyrène, à Delphes, qui semblaient travailler, si du moins on accepte l’ingénieuse reconstitution de J. Bousquet, dans la droite ligne des spéculations de leur compatriote Théodore, on peut supposer qu’un Pythéos de Priéne, qui se prétendait, au témoignage de Vitruve, le dépositaire de la culture de son temps ?, avait tenu à exploiter les applications possibles de ce progrès des mathématiques. Or, si les études abondent sur son temple d’Athéna Polias, elles ne font guère apparaître, parmi les très nombreuses relations arithmétiques qui s’établissent entre tous ses éléments, un recours patent aux irrationnels 3. De même la monographie récente d’A. Bammer, sur l’Artémision du IVe s. à Ephèse, insiste avec raison sur l'aspect « atomiste » du système modulaire qui rend toutes les composantes interchangeables au sein de la structure d’ensemble, et ne fait nullement apparaître des éléments non commensurables ou seulement approchés 4 On constate en fait un recul devant l'emploi des irrationnels, qui s’explique sans doute, indépendamment des raisons idéologiques ou métaphysiques que l’on se plaît parfois à imaginer 5, par une nécessité pratique, liée aux exigences du devis, du cahier des charges, et de la facturation des travaux: le caractère minutieux des comptes, dont l'épigraphie nous conserve quelques exemples $, excluait 1 J. Bousquet, op. cit., p. 77 sq. Voir aussi S. Stucchi, Architettura Cirenaica, Rome, 1975 (= Monografie di archeologia libica, IX), p. 61 sq., et p. 95 sq. (à propos du Strategeion de Cyréne). Sur Théodore et ses épigones, cf. F. Lasserre, The Birth of Mathematics in the Age of Plato, Londres, 1964, p. 65 sq.; P. M. Fraser, Ptolemaic Alexandria, Oxford, 1972, p. 381; S. Stucchi, op. cit., p. 99. 2 I, 1,12: ideoque de veteribus architectis Pytheos, qui Prieni aedem Minervae nobiliter est architectatus, ait in suis commentariis architectum omnibus artibus et doctrinis plus oportere posse facere, quam qui singulas res swis industriis et exercitationibus ad summam claritatem perduxerunt. 3 Cf. par ex. Th. Wiegand, H. Schrader, Priene, 1904; G. Gruben, Die Tempel der Griechen, Munich, 1966, p. 357 sq.; M. Schede, Die Ruinen von Priene, Berlin, 1964, p. 25 sq. 4 A. Bammer, Die Architektur des jiingeren Artemision von Ephesos, Wiesbaden, 1972, p. 34 sq. Sur Paeonios d’Ephése et l’architecture du IVe s., cf. W. Voigtlander, Der jiingste Apollontempel von Didyma, Tübingen, 1975, p. 14 sq. 5 On ne lit pas sans quelque réticence les analyses sociologiques et idéologiques de A. Bammer, dans Architektur und Gesellschaft in der Antike, Vienne, 1974, particulièrement p. 83 sq. $ Voir entre autres les comptes de construction du temple d'Asclépios à Epidaure (IG IV, 2,102) présentés par G. Roux, L'architecture aux IV et IIIe s. av. J.-C., Paris, 1961, p. 424 sq. de lV Argolide

l’intrusion de mensurations importantes, qui n’eussent pas été transposables en des nombres entiers de modules, lesquels, pour des raisons de commodité faciles 4 comprendre, étaient le plus souvent des multiples ou des sous-multiples d’unités de mesure courantes 1. Au IITe et au IIe s. les choses évoluent cependant; les temples d’Hermogénès à Magnésie présentent un réseau de rapports dont la clarté arithmétique est moins nette que celle de Priène?, et de fait le retour à certains montages géométriques s'accorde bien avec la recherche archaisante d’une époque où l’on s'efforce de se dégager de l’emprise des schémas hérités du tardo-classicisme. La notion même d’eurythmie, qui semble présider aux compositions de cette période, tend à briser, F. W. Schlikker l’a bien montré, les cadres rigides de la symmetria, et à gauchir les données quantitatives dans un sens harmonique, où peuvent intervenir des données irrationnelles 3, Mais au moment où Vitruve recueille ces traditions, elles se sont souvent dégradées, coupées désormais de la réflexion théorique qui les avait vu naître, en de simples conventions dont la raison d’être n’apparaît plus à ceux même qui en recommandent l’emploi. Aussi est-ce à l’état de traces, parfois volontairement dissimulées sous des rapports numériques, que subsistent dans son texte les montages irrationnels. Les rares passages où il recommande l’emploi de schémas géométriques faisant intervenir la diagonale du carré sont étrangement syncopés, et l’on n’y rencontre jamais un développement qui tire les conséquences des prémisses. Le seul cas vraiment clair est celui des atria de la troisième catégorie, dont la longueur est obtenue par le rabattement de la diagonale d’un carré construit sur la largeur 4. Vitruve évoque done explicitement la valeur Vv2, mais pour en faire le dernier terme d’une série numérique, non pas pour en exploiter les propriétés spécifiques; en cela l’indication n’est pas différente de celle du livre IV où l’on apprend que les périptères doriques de six colonnes sur neuf présentent un rapport longueur/largeur compris entre 1,409 et 1,429, selon qu’on englobe ou non dans le calcul du dénomi- 1 Cf. sur ce sujet les notations de W. Hoepfner, dans AM, 84, 1969, Martin, dans Grèce lateribus describatur p. 165 sq., à propos du module adopté au temple d’Athena à Ilion. 2 G. Gruben, op. eit., p. 364 sq. 3 F.-W. Schlikker, op. cit., p. 72sq. Voir aussi R. hellénistique, Paris, 1970, p. 36 sq. 4 VI, 3,3: tertium, uti latitudo in quadrato paribus inque eo quadrato diagonios linea ducatur, et quantum spatium habuerit ea linea diagonii, tanta longitude atrio detur (texte de C. Fensterbusch).

nateur le rebord du stylobate de part et d’autre du portique des longs cótés 1; choisissant indifféremment la construction géométrique ou sa valeur approchée, Vitruve révéle qu’il se préoccupe assez peu du caractére hautement opératoire de v2, et ne prétend en exploiter les ressources ni au niveau du «design», ni à celui des recettes de chantier 2. Dans trois autres cas la construction qu’il suggère implique le recours à V2, mais il n’est pas sûr qu'il s’en soit avisé. En tout cas il ne juge pas utile de l'indiquer, et affecte d'ignorer que son schéma comporte une mesure irrationnelle. 1. - La construction des volutes du chapiteau ionique: « Que la ligne verticale soit divisée en 9 parties et demie et que huit d’entre elles soient affectées aux volutes. Ensuite, au point de séparation entre 4,5 et 3,5, qu’on place le centre de l’oculus, et qu’on trace depuis ce centre une circonférence dont le diamètre ait la longueur d’une de ces huit parties. Que dans cette circonférence qui délimitera la grandeur de l’oculus, on tire un diamètre horizontal répondant à la ligne verticale. Ensuite que le tracé de la volute, commencé par le haut, tangentiellement à l’abaque, diminue, à chaque quart de cercle, de la moitié du diamètre de l’oculus, jusqu’à ce qu’on rejoigne le premier quart, situé sous l’abaque » 3 (Fig. 3). Tous les commentateurs ont noté que la description de Vitruve était incomplète en ce qu’elle n’indiquait pas le moyen de placer les centres de chacun des quarts de cercle qui composent cette volute 4. Mais pourquoi ne l’indique-t-il pas? C'est là ce qui importe. De la lecture d'un croquis facial coté trouvé dans un « Skizzenbuch » hellénistique, il ne retient que des rapports simples, calculés à partir de points remarquables répartis sur 1 IV, 3,3, et IV, 3,7. Cf. F..W. Schlikker, op. eit., p. 144 sq. 2 L'étude récente de J. J. Coulton, Towards Understanding Doric Design: the Stylobate and Intercolumnations, dans Ann. of the British School of Athens, 64, 1974, p. 61 sq., a mis en évidence le caractère discontinu des préceptes vitruviens concernant le projet en plan et en élévation, même dans le livre III, le plus unitaire. Voir particulièrement p. 67 sq. 8 III, V, 5-6: tune ex novem partibus et dimidia (...) reliquae octo volutis constituantur (...) Tune in eo loco, qui locus dividit quattuor et dimidiam et tres et dimidiam partem, centrum oculi; signeturque ex eo centro rotunda circinatio tam magna in diametro quam una pars ex octo partibus est. Ea erit oculi magnitudine, et in ea catheto respondens diametros agatur. Tunc ab summo sub abaco inceptum ‘schema volutae) in singulis tetrantorum actionibus dimidiatum oculi spatium minuatur, doneque in eundem tetrantem, qui est sub abaco, veniat (texte de C. Fensterbusch). 4 Cf. en dernier lieu C. Fensterbusch, Vitruv, zehn Bücher über Architektur, Darmstadt, 1964, fig. VII, 3.

Fig. 3 — LE SCHEMA DE CONSTRUCTION DES QUATRE PREMIERS SEGMENTS DE LA VOLUTE IONIQUE D’APRES VITRUVE.

des lignes perpendiculaires 1. Et il interrompt son discours, 685 lorsqu’il serait contraint d’évoquer des constructions ou des mesures irrationnelles. Nous avons là exemple type de ces difficiles quaestiones qui requièrent des croquis. Un peu plus loin, conscient d’avoir été incomplet, Vitruve, comme saisi d’un remords, reprend la question en ces termes: « Au sujet des volutes, un croquis méthodique indiquera à la fin du livre comment les tracer, pour qu’elles présentent un enroulement correct, exécuté au compas » 2, Dans la pratique, les choses sont assez simples. Comme le notait déjà Lohde en 18735, les architectes de la fin du XVIe s., Palladio, Vignola et Delorme, sans se référer directement au texte vitruvien, avaient trouvé empiriquement, en praticiens habiles qu'ils étaient, ce qui peut se démontrer par l’arithmétique, à savoir que les centres des quatre premières volutes doivent se trouver au milieu de chacun des côtés du carré inscrit dans l’oculus, et dont les diagonales sont les deux lignes perpendiculaires qui se croisent en son centre4 (Fig. 4). Vitruve laissait d’ailleurs entendre que ce carré devait être construit, en mettant en place un diamètre horizontal: type de notation apparemment inutile puisqu'elle waboutit à rien dans le texte, mais qui représente en réalité l’embryon, ou le résidu, d’une construction géométrique préalable à la localisation des centres; si cette construction reste hors de portée du discours vitruvien c’est qu’elle comporte une mesure irrationnelle, non réductible à un multiple simple du petit module qui régissait jusqu'ici tout le montage: si le diamètre de l’oculus est égal à d, le côté du carré inscrit vaut en effet d/ÿ/ 2. 1 Cf. P. Gros, Structures et limites de la compilation vitruvienne dans les livres III et IV du De architectura, dans Latomus, 34, 1975, p. 990 sq. 2 III, 5,8: de volutarum descriptionibus, uti ad circinum sint recte involutae, quemadmodum describantur, in extremo libro, forma et ratio earum erit subseripta. 3 A. von Mauch, Die architektonischen Ordnungen, Nachtrag, 1873, Taf. 18 sq. avec explication de M. Lohde. 4 Voir à ce sujet R. Martin, Chapiteaux ioniques de | Asklépidion d'Athènes, dans BOH, 68-69, 1944-45, p. 340 sq. et D. Constantinidés, A propos d'un chapiteau de Délos: le problème du tracé des volutes ioniques dans l'Antiquité, dans Etudes Déliennes, Supplément I au BOH, Paris-Athénes, 1973, p. 137 sq.; on consultera aussi l'excellente étude de W. Hoepfner, Zum ionischen Kapitelle bei Hermogenes und Vitruv, dans AM, 83, 1968, p. 213 sq. Claude Perrault, dans les notes de son édition de Vitruve de 1673 (p. 94 et pl. XXI), avait repris l’ensemble de la question et rappelé les solutions proposées par ses prédécesseurs. (Ces notes n’ont malheureusement pas été reproduites dans la réédition de 1965). Pour Philibert de l’Orme, qui offre également une bonne illustration du texte vitruvien, cf. Architecture de Philibert de Orme, Rouen, 1648, V, 27, p. 162 sq.

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2. - Le tracé de la cannelure dorique. «Si les colonnes doivent être refouillées, on obtiendra le gabarit des cannelures en procédant ainsi: que l’on dessine un carré dont le côté ait la même dimension que la largeur d’une cannelure, qu’au milieu de ce carré soit placée la pointe d’un compas avec lequel on tracera une courbe qui touche les angles du carré, et que la distance entre la portion de circonférence et le côté du carré soit celle dont les colonnes doivent être refouillées au gabarit »1. Si l’on donne la valeur 1 au côté du carré, la distance en question, h, qui indique la profondeur des cannelures, sera égale à Pt (Fig. 5). Prenons garde qu’une telle figure n’est pas, par définition, opératoire, puisque, après Fig. 5 — LE TRACK DES CANNELURES DE LA COLONNE DORIQUE D'APRÈS VITRUVE. 1 IV, 3,9: sin autem excavabuntur sic est forma facienda, ita uti quam magnum est intervallum striae, tam magnis paribus lateribus quadratum describatur; in medio autem quadrato circini centrum conlocetur et agatur linea rotundationis, quae quadrationis angulos tangat, et quantum erit curvaturae inter rotundationem et quadratam descriptionem, tantum ad formam excaventur (texte de C. Fensterbusch).

son exécution sur la planche à dessin, elle devait donner lieu à une approximation (h = 1/5 du côté du carré) pour pouvoir être utilisée. En fait l'intérêt de la notice vitruvienne est de verser une pièce an dossier de la polygonisation des colonnes doriques, en ce qu’elle implique le dégagement préalable d’une série de facettes sur les tambours; les exemples archéologiques ne manquent pas d'une telle pratique, et W. Dinsmoor a mis en évidence l’importance technique de cette phase intermédiaire 1, Mais il est certain qu’elle devait présenter aussi, aux yeux des bâtisseurs, l'avantage de faciliter, füt-ce au prix d’approximations, la réinsertion dans le système rationnel d'éléments qui, de par leur forme circulaire, tendaient naturellement à lui échapper ?. Le plan théorique des théâtres grecs ou latins, avec l'inscription dans un cercle de trois carrés ou de quatre triangles, définissant sur la circonférence une douzaine de points remarquables où s’accroche le tracé régulateur, participe certainement d'une recherche du même ordre 3. Dans le cas particulier de la colonne à vingt cannelures, la détermination de la longueur de la facette peut d’effectuer encore plus simplement, sans recourir à l’un des procédés employés par les mathématiciens grecs pour la résolution géométrique du problème de la quadrature du cercle, au moyen d'un montage très simple, dont la fig. 6 donne le schéma 4. 1 W. B. Dinsmoor, The Architecture of Ancient Greece, 2e édit., 1960, p. 176, fig. 65. 2 Cf. $. Ferri, op. cit., p. 122 sq. 8 V, 7 et 8. 4 Un schéma du même type est suggéré par F. Rakob, pour la mise en place de l’axe des colonnes de la tholos du Forum Boarium (Der Rundtempel am Tiber in Rom, Mainz a/Rhein, 1973, Beilage 21). On notera que le montage géométrique ne permet d’atteindre qu’une valeur approchée de la longueur théorique du côté (x) du polygone régulier à vingt côtés, qui doit s'inscrire dans le cercle. En effet: AB = 2x = ye + XP _ 4 t2 gi x T, ce qui correspond à: 0,618.. r. En procédant par la trigonométrie (x étant considéré cette fois comme la base d’un triangle isocèle dont les deux côtés égaux sont des rayons formant un angle de 18°), la valeur de 2 x est en réalité de 0,627... r. L'erreur, de 0,008, soit 1,3%, n'empéche pas une construction satisfaisante. Ce qui est intéressant, c'est que la valeur approchée de 2 x fait intervenir V5 — le rapport 9, puisque m2 at , et l’on sait que J.-P. Adam a mis en évi? dence une construction simplifiée du « rectangle d’or » qui s'apparente au montage de la fig. 6 (cf. Le temple de Hera II à Paestum, dans RA, 1973, p. 226). Que Vitruve ne fasse état ni du caractère irrationnel de ladite facette, ni des particularités remarquables de sa détermination graphique, nous paraît

p une nouvelle confirmation indirecte du faible intérêt qu'il porte à ces questions, et de l’incertitude des moyens dont il dispose pour les appréhender. Il est peu probable que la figure annoncée en IV, 3,10 (= 94,8 sq.), pour expliquer l’entasis, ait aussi présenté un procédé de polygonisation de la colonne.

3. - La construction de l’abaque du chapiteau corinthien. Ce dernier exemple nous parait, plus que d’autres, révélateur de la volonté vitruvienne de gommer la présence des irrationnels: « La largeur de l’abaque doit se calculer ainsi: que les diagonales qui vont d’angle en angle mesurent deux fois la hauteur du chapiteau»!. Comme cette dernière est égale à un diamètre de base de la colonne, l’indication vise à préserver la transparence modulaire de l’élément, füt-ce aux dépens de celle de son schéma de construction. Car on attendrait plutôt, d’un point de vue pratique, une indication précise concernant le côté de ce carré qu’est le tailloir, du moins dans sa phase initiale. Mais si l’on pose que la diagonale vaut 2D, le côté n’entre plus dans la symmetria d'ensemble, puisqu'il vaut, lui, D {/ 2. Jean Goujon à présenté depuis longtemps la seule figure qui réponde au texte vitruvien, et permette une construction rapide: un carré de côté D sur la diagonale duquel on développe un second carré; les mesures de celui-ci répondront exactement aux préceptes du théoricien 2 (Fig. 7). Nous retrouvons donc ici un cas d'application du procédé de la duplication du carré. Mais Vitruve, s’il s’en est avisé, n’en souffle mot, et affecte même d'ignorer le caractère irrationnel du côté, puisqu'il propose ensuite de prendre 1/9° de sa mesure pour la profondeur de la lunnle qui déterminera la concavité des faces du tailloir, dans leur état définitifs, * * * Au total, qu’elles soient latentes ou explicites, les constructions irrationnelles de Vitruve ne dépassent pas le stade élémentaire du rabattement de la diagonale du carré ou de la duplication de celui-ci: l'attitude est sans doute davantage dictée par la prudence que par un principe quelconque, mais les effets limitatifs de cette prudence sont accrus par les silences et les syncopes d’un discours qui, de toute évidence, n’est pas fait pour absorber les incommensurables, et tend à en minimiser l’importance, voire, chaque fois que cela est possible, à les faire participer à la commodulatio. Aussi paraît-il légitime de chercher, derrière certaines relations numériques, des rapports irrationnels approchés traduisant des montages géométriques simples à valeur harmonique; ce mode de décryptage s’im- 1 IV, 1,11: abaci latitudo ita habeat rationem, ut, quanta fuerit altitudo, tanta duo sint diagonia ab angulo ad angulum. 2 Jean Goujon, p. 50 de l'édition de J. Martin, Architecture ow art de bien bastir de Marc Vitruve Pollion, autheur romain antique, Paris, 1547. 3 Ibid.: frontes simentur introrsus ab extremis angulis latitudinis nona. abaci suae frontis

NOMBRES IRRATIONNELS NOMBRES PARFAITS CHEZ VITRUVE DV2 Fig. 7 - LA CONSTRUCTION DE L’ABAQUE DU CHAPITEAU CORINTHIEN PAR LA MÉTHODE DE LA DUPLICATION DU CARRÉ.

pose lorsqu’on observe à la fois le caractère faiblement opératoire de l’indication chiffrée et l'embarras éprouvé par Vitruve pour la transcrire dans le langage arithmétique qui lui est propre. Il n’est pas inutile à ce propos de rappeler la façon dont s’énoncent, à l’ordinaire, les fractions et les rapports fractionnaires dans le De architectura: l’auteur s’efforce presque toujours de maintenir le numérateur égal à l’unité, quitte à devoir garder des dénominateurs non entiers; par exemple il préfère dire 1/12,5 à 2/25 1, Cette convention le conduit à une présentation paratactique des rapports les plus élémentaires: au lieu de 2/3, il parle de 1/2 + 1/6*?; au lieu de 3/16°, de 1/82 + 1/1683, ete... Lorsque Vitruve doit se résoudre à modifier ses habitudes, il recourt à une circonlocution qui consiste à répéter la définition même du nombre fractionnaire: « Divisez l’unité en tant de parties, et prenez tant de ces parties »*. Mais le plus souvent il évite, et plus de 80% des rapports présentés dans les livres III à VI conservent le chiffre 1 comme numérateur 5. Aussi peut-on admettre qu’a priori une fraction présentant un numérateur supérieur à l’unité trahit, d'une certaine façon, une difficulté de transcription. Voyons par exemple le rapport hauteur/largeur de la baie de la porte dorique, tel qu'il est donné en IV,6,1: «Que la hauteur soit divisée en douze parties, et que de celles-ci on prenne cing et demie pour obtenir la largeur de l’ouverture à la base » 9. Cette relation de 12/5,5, assez difficile à mettre en œuvre, perd son étrangeté si l’on constate qu’elle correspond à une valeur approchée très satisfaisante de 4/5, rapport qui, lui, se construit avec beaucoup de facilité, par le rabattement de la diagonale d’un rectangle de côtés 1 et 27. L’approximation, à 0,055 près, est plus satisfaisante, notons-le, que celle de 7 pour V50 proposée par Platon 8. 1 III, 5,8 (= 80,14-15). 2 IV, 3,6 (= 92,20); IV, 6,5 (= 98,19). 8 III, 5,8 (= 78,5). 4 Ch. A. Choisy, Vitruve, I, Paris, 1909, p. 337 sq. 5 Cf. les remarques de J. J. Coulton, loc. cit., p. 62. $ IV, 6,1: haec autem (sc. altitudo) dividatur in partes XII et ex eis quinque et dimidia latitudo luminis fiat in imo. 7 V5 = 2,2360... et 12/5,5 = 2,181... Je dois remercier ici l’architecte G. Hallier, qui attira mon attention sur la parenté de ces deux rapports. Sur les proportions des portes doriques, cf. J.-P. Michaud, Le trésor de Thèbes, Fouilles de Delphes, II, Paris, 1973, p. 71 sq. et n. 1 (avec bibliogr.) et Ch. Llinas, Inter duas ianuas à la Maison du Lac, dans Supplément I au BOH, 1973, p. 291-328. On notera que la baie de la porte dorique du « Donario degli Strateghi » à Cyrène offre un rapport hauteur/largeur de base égal à 2,171. fig. 87, p. 98). 8 1/50 = 7,071... Stucchi, op.

Un autre ensemble de relations nous aide & mieux comprendre le type de gauchissement numérique que Vitruve se plait apparemment à faire subir à ces procédés géométriques dont tous les ateliers devaient posséder depuis longtemps le secret. Dans le chapitre 3 du livre III, ot il décrit les divers types de colonnades, il utilise comme une sorte de postulat non formulé mais très efficient une curieuse règle aux termes de laquelle la somme de la hauteur de la colonne (H) et de la distance entre les axes de deux colonnes voisines (E) doit toujours valoir 12,51. Dinsmoor considère cette équation, H + E = 12,5, comme dérivée de la théorie d’Hermogénés ?, ce qui est une hypothèse vraisemblable mais non certaine si l’on songe que l’architecte des temples de Magnésie est précisément celui qui a brisé le schéma contraignant des anciennes ordonnances classiques en réintroduisant une différence sensible entre les entrecolonnements latéraux et l’entrecolonnement axial: il devait done se soucier peu d'établir une constante aussi abstraite entre le plan et l’élévation de chacune des composantes de la péristasis 3. Ce qui, de plus, est irritant, c'est l'aspect peu satisfaisant et non signifiant d’une telle convention: quel intérêt peut en effet présenter pour le constructeur le fait que la somme de deux mesures perpendiculaires soit invariable? Plus que les sommes, ce sont en fait les rapports qui ont un rôle pratique. Or examinons les rapports: H E rythme pycnostyle 10 2,5 HE = 4 rythme systyle 9,5 3 H/E = 3,166 rythme diastyle 8,5 4 H/E = 2,125 rythme araeostyle 8 45 H/E = 1,77 On constate que les deux premiers sont remarquables, et se construisent aisément, puisqu’il suffit, pour obtenir la dimension verticale, de quadrupler la dimension horizontale dans le rythme pycnostyle, et, dans le rythme systyle, de rabattre la diagonale d’un carré de côtés 3 et 1, puisque 3,166 est selon toute apparence une approximation, au reste excellente, de 4/104. On entrevoit dès lors comment procédait Vitruve: à partir d'énoncés sans doute fort simples, relevés dans ses sources grecques parmi les procédés couramment employés pour établir une élévation en prenant pour 1 III, 1,2-5 et 10. 2 W. B. Dinsmoor, op. eit., p. 273 sq. 8 Cf. G. Gruben, op. 4 Y10 = 3,1622...

base de calcul une dimension horizontale, il ne se contente pas de transposer en rapports numériques les schémas géométriques, mais il entend également tirer de ces rapports une donnée contraignante, qui lui permette des applications systématiques 4 d’autres cas, non envisagés par sa source. Peu lui importe que ladite donnée — en l’occurrence une somme — n’ait aucune utilité pratique, pourvu qu’elle soit constante. Elle lui fournit un cadre rigoureux, quoique implicite, où faire entrer les proportions des autres rythmes de colonnades, le diastyle et l’araeostyle. Un dernier exemple, à titre de contre-épreuve, nous paraît éclairant, en ce qu'il concilie l’hypothèse philologique et l’hypothèse « opératoire ». Le texte de IV, 6,1, qui présente les proportions relatives de la hauteur de la porte du temple dorique et du mur de fond du pronaos est fautif. Les manuscrits donnent en effet: quae altitudo aedis a pavimento ad lacunaria fuerit, dividatur in partes tres semis et ex cis duae partes lumini valvarum altitudine constituantur 1. Ce rapport de 3,5/2 entraîne la mise en place d’un couronnement décoratif au-dessus des piédroits d’une hauteur parfaitement démesurée, si l’on essaie de la concilier avec l’indieation de la phrase précédente, qui préconise un méme niveau pour le sommet de la porte (corona summa) et celui des chapiteaux du pronaos ?. Comme cette dernière notice trouve de nombreuses cautions archéologiques, en milieu grec ou italique 3, il convient de corriger la première. Les éditeurs ou commentateurs n’y ont pas manqué: Choisy propose de lire 2,5/2 (rapport 5/4); Birnbaum 3/2,5 (rapport 6/5). Hypothèses qui contraignent 4 une correction arbitraire du texte. Depuis Rode les philologues préfèrent la leçon: in partes tres semis et ex eis duae partes <semis) 4... Et avec raison: c'est évidemment la solution la plus satisfaisante, dans la mesure où le mot semis, souvent noté par un simple s, surtout lorsqu’il doit être répété dans une méme phrase, peut étre facilement absorbé par la finale du mot qui le précéde, si celle-ci est précisément un s. Dans un autre passage, 1 IV, 6,1 (= 96,22 sq.) Texte de C. Fensterbusch. 2 IV, 6,1 (= 96,19 8q.): uti corona summa, quae supra antepagmentum superius inponetur, aeque librata sit capitulis summis columnarum, quae in pronao fuerint. Déjà J. Goujon (appendice à la traduction du De architectura par J. Martin, Paris, 1547) notait: « Au regard des portaulx, ouvertures ou lumiéres, mon advis est que le texte de Vitruve n’est guére facile & entendre ». 3 Cf. F. W. Lehmann, Samothrace, The Hieron, Princeton, et p. 1969, p. 58-68, 189 sq. Pour le temple dorique de Cori, cf. P. B. Vitucci, Cora, Forma Italiae, I, 5, Rome, 1968, p. 80 sq. et fig. 141, p. 81. 4 La lecture de Rode (Berlin, 1800) a été suivie par V. Rose et H. MiillerStrübing, Leipzig, 1867; par V. Rose, Leipzig, 1899; par F. Krohn, Leipzig, 1912; par S. Ferri, Rome, 1960; par C. Fensterbusch, Darmstadt, 1964.

en VI, 3,4, la même correction, par adjonction d’un semis est imposée, dans les mêmes conditions, par les données du contexte!. Or cela nous conduit à un rapport de 3,5/2,5 qui équivaut à une bonne approximation de V2, ou si l’on préfère à un rapport 7/5, où l’on retrouve au numérateur la «diagonale rationnelle » et au numérateur le «côté du carré », selon la terminologie déjà évoquée, que Platon avait vraisemblablement héritée d’Archytas de Tarente 2. Concluons done: étant donné l’affinité de l’irrationnel et du géométrique, reconnue depuis longtemps par les Grecs, Vitruve ne pouvait, pour des raisons à la fois pratiques et théoriques, qu’accorder une place quasi clandestine à ces notions particulières que sont les nombres irrationnels: faciles à construire, ils ne sont qu’exceptionnellement énongables, du moins avec les ressources limitées de la langue technique qu’il maîtrise 4. Le but de Vitruve est de présenter en un discours élémentaire, tout entier transmissible en termes arithmétiques simples, les principes qu’il glane dans des manuels hellénistiques. C'est le devoir des exégètes du De architectura que d'essayer de retrouver, quand le besoin s’en fait sentir, la réalité géométrique ou harmonique impliquée par certains de ses montages ou le ses relations numériques. Cela non pas pour corriger le texte, mais au contraire pour le mieux saisir tel qu’il est, et comprendre derrière lui le dynamisme de formules dont il ne nous laisse trop souvent qu’une image figée. Rien ne donne une meilleure idée des conventions que le théoricien croit devoir s'imposer dans ce domaine des chiffres que le passage concernant l’exèdre du tribunal de la basilique de Fanum. S'agissant d'une cons- 1 VI, 3,4 (= 141,13): longitudo dividatur in partes tres semis. 2 Sur Archytas de Tarente, cf. M. Timpanaro Cardini, Pitagorici, testimonianze e frammenti, Florence, 1962, II, p. 262 sq. Sur ses liens avec Platon, ef. E. Frank, Platon und die sogenannten Pythagorder, 1923, p. 133 sq. et F.-W. Schlikker, op. eit., p. 63. 3 Cf. P.-H. Michel, op. eit., p. 414 sq. 4 Sur la terminologie grecque concernant les irrationnels Suvuetc mentionné p. 671, cf. P.-H. Michel, op. outre cit., p. 414, le mot qui recense les emplois de &éntov, &obuuetpov, ¿hkoyov. Sur les emplois de radix dans le latin des architectes de la Renaissance, voir par ex. L. A. Alberti, De re aedificatoria, Florence, 1485, IX, 6 (= 168 v): haec enim quanta sit ad numerum, ignoratur; sed esse hanc constat radicem areae octonariae (à propos de f/8, diagonale du carré de côté 2). MEFRA 1976, 2.

truction dont il affirme avoir été à la fois le commanditaire et l’architecte 1, on est en droit d’espérer y découvrir la formule génératrice, dans l’état exact où il l’a utilisée, puisque aucun relais livresque ne peut être invoqué ici pour expliquer un éventuel raidissement des données de base, ou une mauvaise compréhension des recettes. Il n’en est rien. Relisons le texte de V, 1,8: « De même le podium absidé (tribunal) qui est dans cette construction est formé par une courbe en forme de segment de cercle; sur la corde de ce segment de cercle on mesure une distance de 45 pieds, la profondeur de la courbe étant de 15 pieds »?. Ces deux indications chiffrées ne permettent pas de construire immédiatement une abside semi-cirenlaire en plan, puisque, cette fois encore, l'élément principal fait défaut, à savoir le centre. Certes il est facile de le déterminer géométriquement en abaissant les médianes des deux côtés égaux d’un triangle isocèle de base 40 et de hauteur 15 (Fig. 8b), selon l’application de la vieille méthode dite des «points perdus », familière à Philibert de l’Orme par exemple?. Mais les valeurs numériques présentées par Vitruve laissent à penser qu’il procéda autrement: la première donnée de départ est celle des 46 pieds de la corde, qui correspondent à l’espace libéré par les deux colonnes centrales du portique interne (Fig. 8a), dont l’auteur nous dit qu’elles ont été supprimées pour laisser libre la vue vers l’aedes Augusti*. Mais un autre élément décisif doit être tiré de V, 1,6 où l’on apprend que la largeur du promenoir périphérique, entre colonnade et murs extérieurs, est de 20 pieds*. Or si l’on admet que le triangle rectangle dontles cathétes mesurent respectivement 10 et 23 pieds et l’hypothénuse 1/629, devait être considéré par les architectes antiques, coutumiers de ce genre d’approximation, comme équivalent d’un triangle rectangle remarquable à trois côtés entiers, la valeur approchée de l’hypothénuse étant de 25 €, on est en droit d’ima- 1 V, 1,6 (= 2 V, 106,12): conlocavi curavique faciendam... 1,8: item tribunal, quod est in ea aede, hemicycli schematis minoris curvatura formatum; eius autem hemicycli in fronte est intervallum pedes XLVI, introrsus curvatura pedes XV... Sur le plan de la basilique de Fanum, ef. en dernier lieu l’étude précise de K. F. Ohr, dans Bonner Jahrb., 175, 1975, p. 113 sq. 3 Philibert de l’Orme, op. eit., p. 55 et fig. p. 56. 4 V, 1,7 (= 107,2-3). 5 V, 1,6 (= 106, 16). $ y629 = 25,0798... Certes 25 n'entre pas dans la série des « nombres diagonaux » du systéme dont Théon de Smyrne nous a conservé le souvenir (ef. P.-H. Michel, op. cit., p. 427-428), mais il constitue une approximation aussi satisfaisante. Il est certain que des triangles rectangles de ce type devaient être utilisés dans la pratique: un autre exemple est fourni par le triangle 48-55-73, déjà mentionné, dont on semblait admettre, pour en simplifier la construction, que ses cathètes étaient dans le rapport 8/7. Cf. F. W. Schlikker, op. cit., p. 54,

NOMBRES IRRATIONNELS ET NOMBRES PARFAITS CHEZ VITRUVE Fig. 8a — PLAN PARTIEL DE LA BASILIQUE DE FANUM, D'APRÈS K. F. 697 OHR. 7 \ \ N |/ £ i Y ; ' La méthode du triangle isocele Fig. 8b — LA DÉTERMINATION DU CENTRE DE L'ABSIDE, SELON LA MÉTHODE DES « POINTS PERDUS » (Philibert de l’Orme, op. eit., p. 56), OU DU TRIANGLE ISOCÈLE. | 46 23 La méthode du triangle rectangle remarquable Fig. 8c — LE TRIANGLE RECTANGLE REMARQUABLE DE 10 x 23 x 629 (225).

giner un mode de construction de l’exèdre particulièrement simple et efficace: prenant pour centre le milieu du promenoir périphérique, sur l’axe perpendiculaire à la corde, on obtenait, en joignant ce centre à l’une des extrémités de ladite corde, un cerele dont le rayon, très proche de 25 pieds, permettait le tracé d’une courbe de 15 pieds, à moins de 8/100€ près (Fig. 8c). Autrement dit, le nombre 15 a toute chance d’être, dans le schéma opératoire, une résultante plus qu’une donnée première, et une résultante approchée. Ce qui nous paraît instructif en l’occurrence c’est que Vitruve présente comme une donnée brute, et immédiatement exploitable, ce qui n’est que l’aboutissement d'une technique de mise en place qu'il ne croit pas devoir décrire en tant que telle, parce qu’elle met en jeu un irrationnel ou son approximation. Il préfère, là encore, et sans y être contraint par les déformations simplificatrices d’un manuel intermédiaire, l'apparence de clarté à l'efficacité pratique, un logos lourd d’illusoire rigueur à une praxis concrète. L'autre versant de la réflexion vitruvienne sur les nombres semble décidément coupé de toute pratique architecturale réelle, c’est celui des nombres parfaits. Plus qu'ailleurs on constate ici un divorce entre des passages théoriques elliptiques et partiellement fautifs, et, dans la suite des développements, des indications chiffrées qui semblent ne rien leur devoir. Le divorce est tellement patent que plusieurs commentateurs, parmi les plus récents, ont décidé que toute la fin du ITI, 1,6, consacrée aux propriétés du chiffre 6, était interpolée, ce qui les autorise à ne pas la commenter 1. En réalité Vitruve s’y fait l'écho — un écho bien amorti, et apparemment peu concerné par ce qu’il répercute — d’une querelle, interne aux écoles mathématiques grecques, entre les tenants du nombre 10, le téAcov des pythagoriciens, appelés antiqui, et ceux du chiffre 6, les mathematici, c'est-à-dire les néo-pythagoriciens et les euclidiens?. Entrer 1 C’est le parti adopté par A. Choisy, op. eit., p. 127, n. 2 et dans les S. Ferri, p. 89-90. op. cit., p. 98, à la suite de V. Rose, dans son édition de 1899, p. 66. 2 Cf. F. W. Schlikker, op. cit., p. 63 et J. Bousquet, op. cit., Sur le nombre 10 des pythagoriciens, cf. Aétius, Placita, I, 38 (H. Diels, Doxographi Graeci, p. 280-281 Philolaos, (= = Id., Die Fragmente der Vorsokratiker, 1%, p. 349); Theologumena arithmetica, p. 81, 15 sq. et p. 82, 10, édit. De Falco M. Timpanaro Cardini, op. eit., II, p. 138, 1. 206 sq.); Théon de Smyrne,

méandres de cette querelle n’aurait guére d’intérét pour notre propos, mais il faut constater que la série, présentée par le théoricien, des sousmultiples de 6 et des chiffres entiers qui jalonnent la voie de 6 à 12 est riche de substance. Si fastidieuse qu’elle soit, avec ses cascades de mots grees et d’approximations latines, elle atteste que l’auteur a eu accès à une source assez bien informée: «Les mathématiciens, quant à eux, raisonnant d’une façon différente, ont déclaré parfait le chiffre appelé 6, pour la raison qu’il présente, d’après leurs calculs, des divisions en accord avec lui-même: ainsi le sixième est un, le tiers deux, la moitié trois, les deux tiers, appelés par les Grecs Síporpos, quatre, les cinq-sixièmes, appelés revtéuotpoc, cing, et le chiffre parfait, six. En augmentant celui-ci jusqu’à la duplication, on rencontre après six, par l’adjonction de l’unité, le chiffre Épextoc, sept; lorsque huit est accompli du fait de l’adjonction d’un tiers, c’est le chiffre sesquitierce, en grec érirerroc; par l’adjonetion de la moitié, quand neuf est accompli, c'est le chiffre sesquialtére, appelé fu6Aoc; lorsque deux tiers sont ajoutés et la dizaine accomplie, c'est le bessaltère, nommé ëmêtuotpoc; dans le nombre onze, obtenu par l’adjonction de cing, on a le second quintarium, appelé énineurroc; douze enfin, réalisé par Vaddition de deux chiffres simples, est le dimAdcotos » 1. p. 106, 10-11, édit. Hiller. J. E. Raven, dans Class. Quarterly, 44, 1951, p. 151, montre que la liaison entre le développement vitruvien sur le « Canon » de Polyelète et le nombre 10 atteste une ancienne liaison entre le sculpteur et les cercles pythagoriciens. La force de la « tétraktys » est précisément de contenir le nombre 10, qui est lui-même la somme des quatre premiers chiffres. Sur les spéculations platoniciennes autour de la « tétraktys », cf. Timée, 35, b-c et 36 a; Théon de Smyrne p. 94 sq. de l’édit. Hiller. Voir J. Bousquet, op. eit., p. 86, n. 2. Sur le chiffre 6 chez Euclide, ef. Morris R. Cohen et J. E. Drabkin, A Source Book in Greek Science, Cambridge (Mass.), 2e édit., 1969, p. 10 sq. Théon de Smyrne, p. 44, 4-15, édit. Hiller, affirme que 6 est préférable à 10, car ce dernier est supérieur à la somme de ses facteurs. Cf. P.-H. Michel, op. cit., p. 343 sq. (Voir infra, p. 700, n. 2). On trouve un écho tardif de ces recherches chez Augustin, Civitas Dei, XI, 30. 1 III, 1,6: mathematici vero contra disputantes ea re perfectum dixerunt esse numerum, qui sex dieitur, quod is numerus habet partitiones eorum rationibus sex numero convenientes sic: seriantem unum, trientes duo, semissem tria, besem quem diuorgov dieunt quatiuor, quintarium quem nevreuowov dicunt quinque, perfectum sex. Cum ad duplicationem crescat, supra sex adiecto asse, epextov; cum facta sunt octo, quod est tertia adiecta, tertiarium alterum, qui enirgiros dicitur; dimidia, adiecta cum facta sunt novem, sesquialterum, qui modos appellatur; duabus partibus additis et decusis facto bes alterum, quem emdiporgor vocitant; in undecim numero quod adieti sunt quinque, quintarium, quem enıneuntos dicunt; duodecim autem, quod ex duobus numeris simplicibus est effectus, dınAaowva. sterbusch, p. 139-140). (Texte de C. Fen-

Cette curieuse échelle numérique reflète à sa façon les spéculations des euclidiens, qui faisaient de six leur chiffre parfait pour les raisons suivantes: il est la somme de ses parties aliquotes, 1,2,3; il est lui-même épimore de 4 et de 5, et a pour épimores les chiffres 7, 8 et 91. Autrement dit, tout nombre entier peut prendre l’une de ces formes: 6 n, 6 n +1, 6n + 2, 6n +32. Vitruve ne veut rien dire d'autre, mais à son habitude, au lieu de généraliser, et de dégager, en s'élevant au niveau des principes, Vintérét des propriétés qu'il énonce, il s’en tient à la littéralité des données numériques; cédant à la pesanteur, il dépasse même le terme significatif de 9 pour chercher dans 10 et 11 des rapports avec 6 qui n’ont plus d'interêt; son embarras, à cet endroit, se traduit par une impropriété: le mot ¿ntreyrrog est abusivement employé pour le nombre 11, alors qu'il signifie, chez Théon de Smyrne, glossateur de Platon, un entier plus un cinquième 3; appliquée à 6, cette définition ne peut valoir que 7,2. Les autres équivalences grecques proposées tout au long du texte, pour être plus correctes, ne sont pas cependant satisfaisantes, en ce qu’elles ne devraient désigner que des rapports. Mais, comme si souvent chez Vitruve, la ratio, réduite à une valeur numérique, perd sa portée universelle. En fait, l'ërirorros est le rapport épimore 4/3, l’hurdatog est le rapport épimore 3/2, le Siraaouos est le rapport épimore 2/1 4. Tous les trois représentent d’abord des médiétés harmoniques, et doivent leur importance au fait que, chez Philolaos, Archytas ou plus tard Théon de Smyrne, ils correspondent aux accords consonnants de cithare, ceux qui, obtenus par le mélange de deux sons, créent la cuupovia, c’est-à-dire une seule émission tonale 5. Le lien entre le Aöyog et le dı&ompa, entre le rapport arithmétique et l’intervalle musical était fourni — les pythagoriciens l’avaient 1 Sur la définition de l’értuopiog A6yos ou ratio superparticularis (rapport d’inégalité défini par la formule "Ssh, ef. Théon de Smyrne, p. 76,21-77,2, 1 edit. Hiller. Voir Timpanaro Cardini, op. cit., II, p. 262 sq. 2 P.-H. Michel, op. eit., p. 359. Le chiffre 6 possédait aussi d’autres propriétés, qui lui avaient valu une faveur particulière dans le néopythagorisme: sa prétendue puissance « paychogonique » est attestée dans plusieurs textes (cf. M. Timpanaro Cardini, op. eit., II, p. 124 sq.). On en trouve une trace chez Vitruve, qui évoque en V, praef. 3-4, le principe de la composition poétique en cube (216 vers — 6°); sur l’origine sans doute varronienne de ce passage, cf. E. Oder, dans Philologus, Supplementband VII, 1899, p. 366, n. 186. 3 Sur la terminologie des rapports chez Théon de Smyrne, cf. p. 22, 1. 20 sq. de l’édit. Hiller: 6 38 tie &&&d0g npdg thy revrdda Enineuntog. 4 Sur la terminologie des rapports épimores, cf. P.-H. p. 353. 5 Cf. A. Rivaud, Timée (Belles Lettres), p. 42 sq. Michel,

montré depuis longtemps! — par les longueurs respectives des cordes appelées à consonner: c’est elles qui définissent la quarte (4/3), la quinte (3/2) et octave (2/1), soit en grec, Sid tecodpwv, did mévre et Sid aodiv ?. Or il est remarquable qu’en V, 4,7, évoquant les problèmes de l’harmonie à propos de la construction des théâtres, Vitruve parle de ces accords, en les désignant par les locutions que nous venons d’indiquer3. Mais il n’etablit aucun rapprochement avec les rapports numériques qui ne sont que leur transcription arithmétique, et auxquels il avait fait une allusion, maladroite il est vrai, au livre III. Nous rencontrons ici une autre caractéristique de la réflexion théorique chez Vitruve: l’imperméabilité des sources 4. Dans le livre V, il recourt à une source, issue, il nous le dit lui-même, d’Aristoxéne de Tarente 5, lequel, dans son traité, ne se soucie en effet que des écarts tonaux: c'est avant tout un musicien, qui part des faits acoustiques, et l’on a pu dire de lui qu’il était l’homme de Vato9no:s 6. Dans le livre III Vitruve suivait vraisemblablement une tradition un peu antérieure, dérivée d’Archytas ou de tout autre mathématicien contemporain de Platon, et ne s’intéressait alors qu’aux rapports numériques. Mais il ne s'est pas avisé qu’il parlait à chaque fois de la même réalité, envisagée sous un angle différent. 1 Voir par exemple R. Da Rios, Aristoxeni elementa harmonica, Rome, 1955, Appendice, p. 103 sq. 2 Sur l’&quivalence entre les consonances et les médiétés, voir par ex. le fragment 6 de Philolaos (M. Timpanaro Cardini, op. cit., II, p. 208-210); Théon de Smyrne, p. 56, 11-12; p. 59, 1-2; p. 79, 15-24, ete.... de l'édition Hiller; Piutarque, De E delphico, 10 (= 389 D), p. 24 de l’édit. Flacelière (Belles Lettres, 1974). Pour les textes platoniciens, cf. essentiellement A. Rivaud, Timée (Belles Lettres, 1925), p. 45-46. Aristoxène, Elem. harmon., I, 22,2-5 (= R. Da Rios, p. 28) remarque que l’expression 3% tecodpwv est déjà vieillie en son temps, car elle appartient à une époque où l’on ne mesurait pas encore les intervalles réels; mais elle marque un progrès sur les locutions de Philolaos (fragment 6 déjà cité): & dt cuMafà Exitprtov, ro Sì SV S£ZeTav huródov, Tb Sid macy Sì durado. 8 V, 4,7 (= 113,15-19): eoncentus, quos natura hominis modulari potest, graece quae cvupuviar dicuntur, sunt sex: diatessaron, diapente, diapason et disdiatessaron, disdiapente et disdiapason. 4 Voir notre étude dans Latomus, 34, 1975, p. 995 sq. 5 V, 4,1 (= 110,20 sq.): itaque ut potuero quam apertissime ex Aristoxeni scripturis interpretabor... $ Cf. M. Timpanaro Cardini, op. cit., II, p. 310 sq. Sur Aristoxène, outre l'édition déjà citée de Da Rios, les études les plus importantes sont celles de L. Laloy, Aristoréne de Tarente, disciple d’ Aristote, et la musique dans l'antiquité, Paris, 1904, avec le très utile Lexique d' Aristoxéne, et de F. Wehrli, Die Schule des Aristoteles, Texte und Kommentar, IT, Aristorenos, Bâle-Stuttgart, 1945,

Pourtant les architectes tardo-classiques faisaient un grand usage des médiétés harmoniques; elles constituaient un élément essentiel des tracés régulateurs et des ordonnances décoratives. A cet égard les travaux de A. Bammer sur l'architecture d’Ephöse au IVe s. ont mis en évidence, à Ventablement de l’Artémision ou sur la frise du grand autel, de nombreux rapports épimores, qui attestent une recherche concertée des dimensions harmoniques !; sans sortir du système modulaire, elles assuraient entre les composantes des modénatures ioniques un lien organique dont la «valeur musicale » devait contribuer, du moins le croyait-on, à la beauté de l’ensemble: des rapports de quarte, de quinte et d’octave, avec leurs dérivés, la grande tierce (5/4), la petite tierce (6/5) et la seconde (9/8), se décèlent à tous les niveaux de l’ordre ?. Il est d’autant plus étonnant que Vitruve, dans sa description de l'ordonnance ionique, qui occupe pratiquement tout le livre III, n’en fasse pas mention. Là encore, les procédés de présentation nuisent à Vappréhension des schémas originels, les seuls qui pourtant méritaient qu'on s’y arrêtât. Souvent cependant les rapports qu'il propose semblent appeler d'eux-mêmes une transcription «harmonique »: à l’intérieur de Parchitrave, la media fascia est dans un rapport de quarte (4/3) avec Vima fascia®, de même que l’architrave, considérée dans son ensemble, avec la frise non décorée‘; le rapport hauteur/largeur des denticules définit une octave (2/1) 5, cependant que le rapport entre les pleins et les vides, sur la face antérieure de ces mêmes denticules, définit une quinte (3/2) 9. Parfois Vitruve est conduit à diviser la modénature en une série de portions trés petites, et cette atomisation fait disparaitre toute relation vivante entre les diverses moulures: le cas le plus significatif est celui de la base attique, pour laquelle le théoricien préconise une division en quatre parties, assez inattendue si l’on songe que la spira, c’est-à-dire la partie ondée de ladite base, à l’exclusion de la plinthe, ne comporte 1 A. Bammer, op. cit., p. 34 sq. et Geometrie und Ornament als Antithese bei Doppelmäander in Ephesos, dans Festschrift für F. Eichler, Vienne, p. 1967, 148q. 2 On notera que tous ces rapports sont épimores et, à ce titre, répondent au principe de la consonance (M. Timpanaro Cardini, op. cit., I, p. 102 sq. et II, p. 310 8q.). 3 III, 5,10 (= 81,6 sq.). 4 A condition qu’on ne corrige pas abusivement le texte de III, 5,10 {= 81,8 aq.) comme le fait Choisy, qui prétend lire septima au lieu de quarta. 5 III, 5,11 (= 81,16 8q.). 6

que trois éléments * (Fig. 9). Il faut, nous dit-il, réserver 1/4 de la totalité pour le tore supérieur; 3/4 pour la scotie et le tore inférieur, qui devront être égaux entre eux ?. Cela signifie que tore et scotie se trouvent chacun dans un rapport de quinte (3/2) avec le tore supérieur. De la méme fagon, on peut relever que, dans les bases ioniques, les deux scoties seront avec le tore dans un rapport de quarte (4/3) 3, etc. ... Il serait aisé de multiplier les exemples 4. seh (tore supérieur % = —————— — D — — — — — scotie El tore inférieur Division . Division plinthe vitruvienne harmonique Base attique Fig. 9 — DIVISION VITRUVIENNE ET DIVISION HARMONIQUE DE LA BASE ATTIQUE. Sans doute, ce type d’ordonnance ne rencontrait-elle plus beaucoup de faveur chez les contemporains de Vitruve, et si l’on observe encore un rapport épitrite entre le tore inférieur et le tore supérieur des bases de l’Odéon d'Agrippa, à Athènes, rien ne permet d’affirmer qu'il n’était pas 1 III, 5,1 (= 77,684.) 2 III, 5,2 (= 77,13 sq.) 3 III, 5,3 (= 77,20 sq.): reliquumque praeter plinthum, quod erit tertia pars crassitudinis columnae, dividatur in partes septem, inde trium partium torus qui est in summo, reliquae quatiuor partes dividendae sunt aequaliter, et una pars fiat cum suis astragalis et supercilio superior trochilus, altera pars inferiori trochilo relinquatur. 4 Dans l’ordre dorique, on retrouve des mensurations qui s’ordonnent selon les mêmes rapports: la hauteur des triglyphes vaut 1,5 module et leur largeur 1 module, ce qui donne là encore une quinte (3/2). Cf. IV, 3, 4 (— 92,1-2).

fortuit +, Mais les sources sur lesquelles s’appuyait l’auteur latin devaient, elles, en garder un souvenir précis, voire en préconiser l’emploi. Nous retrouvons en fait par une autre voie la conclusion à laquelle nous avait conduit l’examen des irrationnels: Vitruve ne nous donne que l’état amorphe d’une réalité qui a été vivante. Il est encore possible, sans gauchir ni surinterroger le texte, de la retrouver derrière les sèches formules d’un théoricien, qui ne saisit plus toujours la portée des informations qu’il manipule. Encore faut-il, pour ce faire, considérer les livres du De architectura, non pas comme un point de départ, mais comme un lieu de convergence, où se seraient stratifiées, et fossilisées, diverses traditions. Pierre Gros 1 Voir J. Travlos, Bildlexikon zur Topographie des antiken gen, 1971, p. 370, fig. 475. Athen, Tübin-