Les geometres de l'academie

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chrétienne, un Traité géométrique (ou d'arpentage?) écrit en latin et présenté comme traduit du grec du vieil Archytas. L'existence d'écrits apocryphes d'Archytas, sur d’autres sujets, acceptés pourtant comme authentiques au v® ou au vie siècle après J.-C., peut bien nous porter à croire qu’en effet les auteurs de ces écrits y auront joint, pour épuiser le cercle parcouru par Archytas, un traité géométrique qui ne devait pas leur coûter davantage à composer. Si Pabacus du moyen age est bien, comme il semble, une invention connue au moins des Romains de l’Empire, il ny aurait rien d'étonnant à ce que le pseudo-Boèce ait trouvé cette invention décrite dans ce traité du pseudo-Archytas; mais, même en adoptant cette conjecture, on n’en pourrait Lirer aucune conclusion relativement à l’origine, soit des apices dits de Boèce, soit de nos chiffres modernes. Malgré la liaison historique entre ces chiffres et Pabacus, il y a là en effet deux questions essentiellement dislinctes; tout semble prouver en effet que les apices de Boéce dérivent des chiflres arabes occidentaux, tandis que si Pabacus a été connu des Arabes, c’est qu'ils Pont emprunté aux Latins. LES GÉOMÈTRES DE L’ACADEMIE; Par M. Pauz TANNERY. 1. Si Pon excepte Eudoxe de Cnide, la plupart des géomètres de l’Académie, qui figurent sur la liste de Proclus, sont des personnages peu connus. Sans Proclus, nous ignorcrions les noms de Néoclide, de Theudios, d'Athénéc de Cyzique et d'Hermotime de Colophon (1). On connaît deux platoniciens du nom de Léon; mais l’un, sophiste de Byzance et peut-être l’auteur du dialogue PAleyon (?), est de la génération suivante; l'autre (aussi appelé Léonidas) était (1) Pai déjà parlé de Léodamas, de Thasos. ainsi que de Théétète. (2) Dans les Olluvres de Lucien. nage. Voir Philostrate (Fit. Soph.) sur ce person-

PARTIE. Wiléraciée et, avec son compatriote Chion, périt en assassinant le tyran Cléarque; cependant, on ne peut faire ici aucune identification assurée. Amyclas d’Héraclée est cité par Diogéne Laéree (III, 46) comme disciple de Platon; mais (IX, 40) il le donne, d’après Aristoxéne, comme pythagoricien et comme ayant, avec Clinias, empéché Platon de brûler les écrits de Démocrite; fable qui, malgré son ancienneté, ne mérite aucune créance. Ménechme d’Alopéconnèse ou de Proconnèse ('), qui passe pour l'inventeur des sections coniques, et sur lequel revient Proclus, fut certainement, après Eudoxe, le mathématicien du v* siècle le plus en vue. Le grammairien Sérénus (J. Damasc., Zlor., 115) lui attribue d’avoir fait à Alexandre le Grand la réponse que Proclus met dans la bouche d’Euclide devant Ptolémée; on peut voir là un indice de la célébrité de Ménechme, en même temps qu'une preuve de la non-véracité de l’anecdote, soit d’un côté, soit de l’autre. Un témoignage de Théon de Smyrne (Astronom., p. 330) nous donne Ménechme comme introduisant dans le système astronomique d’Eudoxe les sphères dites &2%.i77cu52:, ordinairement attribuées à Aristote, et dont l'effet supposé était parement mécanique. Ce témoignage est une preuve des relations qui, au dire de Proclus, existaient entre Eudoxe et Ménechme; mais les rapports de ce dernier avec Platon sont également confirmés Suidas; Ménechme aurait en par Vindication de effet, d’après celui-ci, composé, entre autres écrits philosophiques, trois Livres sur la République. Eutocius (sur Ancurmipe, Sphère et Cyl., Il, 2) nous a conserve deux solutions du problème de Délos, attribuées à Ménechme, l’une au moyen de deux paraboles, l’autre au moyen d'une parabole et d’une hyperbole. Comme je Pai déjà dit, ces deux solulions ne proviennent pas d’Eudéme, et leur authenticité est loin d'être suffisamment garantie; toutefois il est certain, par la lettre d'Évatosthène, que Ménechme avait employé les sections coniques pour résoudre le probléme. (1) Suidas, v. Mévarypos. — Alopéconnése est une ville de la Chersonnèse de Thrace, Procounése une ile de la Propontide, deux localités en tous cas voisines de Cyzique. où Eudoxe onda son école,

Dinostrate, frère de Ménechme, est cité par Pappus (IV, 250) comme ayant obtenu la quadrature du cercle avec la courbe connue sous son nom, mais qui fut probablement inventée auparavant par Hippias d’Elis. Enfin Philippe de Medma (ou d’Oponte) fut un des disciples les plus chers de Platon; on le considère comme l'éditeur des Lois et comme l’auteur de l’Epinomide; il s'occupa surtout d’Astronomie, et Geminus, à la fin de son Introduction aux phénomènes, a conservé certaines dates fixées par lui pour les levers et couchers des fixes, d’après des observations faites, au dire de Ptolémée (Pise arhavüv) dans le Péloponnèse, en Locride et en Phocide; Suidas (v. oAécegeg) nous a conservé vingt-trois titres de ses nombreux écrits, les dix suivants intéressent les Mathématiques : Arithmétiques. — Médiétés. — Sur les nombres polygones. — Cycliques. — Optiques, 2. — Enoptriques, 2 (sur les miroirs). — Sur la distance du Soleil et de la Lune. — Sur Véclipse de la Lune. — Sur la grandeur du Soleil, de la Lune et de la Terre. — Sur les planètes. D’après un texte d'Aétius (Doxographi greci, éd. Diels, p- 360), on pourrait conclure qu'il aurait le premier établi la théorie complète des phases de la Lune. 2. Eudoxe paraît être né vers 407, mort vers 354 avant J.-C. Son voyage en Égypte, avant lequel il n’était guère connu, semble - devoir être fixé vers l’an 378. Mais, > contrairement à Popinion de 7 l Boeckh (Sonnenkreise, > PI pp. 140-148), >]je croirais volontiers q qu'il ouvrit son école de Cyzique presque immédiatement après son retour et qu'il vint à Athènes vers 367. Cette école de Cyzique eut une grande célébrité, surtout en Astronomie; Eudoxe y eut, entre autres, comme disciples deux habitants de cette ville, Hélicon qui prédit une éclipse de Soleil à la cour de Denys y (!), > et Polémarque qui lui suecéda, > lorsqu'il | I 4 partit pour Athènes, et qui fut le maitre de Callippe (?). Il faut (+) Plutarque (De Genio Socratis) donne Eudoxe ct Hélicon comme les géomètres auxquels Platon aurait renvoyé les Déliens. Le réformateur du cycle de Méton et du systeme d’Eudoxe; il vint à son

aussi évidemment rattacher à cette école Ménechme, Dinostrate et Athénée de Cyzique. Voilà donc un centre scientifique important en dehors d'Athènes et de la véritable école de Platon; si Athènes finit par absorberce centre par sa puissante attraction, il faut bien remarquer qu’Eudoxe s'y posa en rival de Platon ct que si, surtout après sa mort, ses disciples purent subir l'influence du chef vénéré de l’Académie, ce fut plutôt en Philosophie qu’en Mathématiques. Remarquons d'autre part que, si Théétète fut l'ami de Platon, il ne fut nullement son disciple, qu'il paraît s'être spécialement consacré aux Mathématiques et qu'il alla les professer à Héraclée (1). 11 semble dès lors que c'est d’après une légende que nous a été tracé ce tableau conservé par Proclus, de géomètres vivant ensemble à l'Académie, c’est-à-dire sous la haute direction de Platon et faisant leurs recherches en commun. Athènes est sans doute, au 11° siècle, le foyer scientifique dont l'éclat efface tous les autres : tout géomètre devait peut-être y passer; mais on faisait de la Géométrie ailleurs, et d'autres villes cherchaient déjà à attirer des professeurs. Enfin la prééminence scientifique d'Athènes est due, avant tout, à la prépondérance commerciale qu’elle conserve encore à cette époque; ces géomètres qu'elle réunit sont étrangers pour la plupart et, si Platon lui-même est Athénien, il n’y a là qu’un accident heureux, non pas la cause déterminante de cette réunion. Dans la liste de Proclus, i] n’est guère que Philippe qui soit véritablement son disciple, sur lequel il ait dû exercer une influence bien marquee. A la vérité, nous devons ajouter à cette liste, sinon le neveu et successeur de Platon, Speusippe, qui écrivit sur les Vombres pythagoriques (?), mais ne paraît pas s'être particulièrement occupé de Géométrie; au moins son second successeur, Nénotour s'établir à Athènes, où il se lia avec Aristote, après la mort de Polémarque, (per? Exelvov, Simplicius, Comment. in Arist. de Calo). On a jusqu'ici compris ce passage, en admettant qu'il était venu avec Polémarque (pez? à mal vou) et simplement pour conférer avec Aristote. (*) Voir le numéro d'août 1886, p. 187, note 2. (2) Voir mon étude sur le fragment conservé dans les Theologoumenes (Annales de la Faculté des Lettres de Bordeaux, t. V. p. 375-382:

crate ('), et aussi Héraclide du Pont (2), platoniciens, qui prit d’ailleurs une un des position plus brillants personnelle et se rapprocha des doctrines adoptées par une fraction de l’école pythagoricienne. Mais, même après cette adjonction, le rôle de Platon dans l'histoire de la Géométrie paraît singulièrement effacé vis-à-vis de celui d’Eudoxe. 3. Si nous pouvons essayer d'émettre quelques conjectures sur les progrès qu’accomplirent en Géométrie tous ces mathématiciens intermédiaires entre Eudoxe et Euclide, il semble qu’en faisant abstraction des perfectionnements de détail apportés aux £/éments, et du développement de la Sphérique, lie à celui que prenait alors l’Astronomie, on devra distinguer : 1° Les éléments de la théorie des coniques, tels qu’on peut, dans une certaine mesure, les reconstituer en éliminant, des quatre premiers Livres d’Apollonius, Pinvention de ce dernier; ce qui apparaît comme étant de en effet, d’après ce que dit Pappus (VIT, p. 676-677), il semble qu’Enclide ait composé ses propres Coniques comme il a fait pour les Zl&ments, sans y mettre beaucoup de nouveau, tandis que son contemporain Aristée, en écrivant cinq Livres Sur les lieux solides, avait, au contraire, déjà poussé la théorie plus loin et même abordé des questions laissées en dehors par Apollonius; 2° Les théorics de la Géométrie plane (droites et cercles) correspondant aux Ouvrages perdus d’Euclide et d’Apollonius, qu'énu- (:) La liste des Ouvrages de Xénocrate pour ce qui concerne les Mathématiques (Diog. Laörce, IV, 13, 14) est Livres dialectiques), quinze quinze premiers paraissent sciences; les seize loin d'être claire. On Livres, en seconds comprendre [en y y voit d'abord (après les puis scize autres sur neuf relatifs à ajoutant deux autres les mathemes; les la logique, six aux Livres sur l'intellect (Gidvorw)?] semblent comprendre : 1° cing Livres géométriques, Commentaires. — Contraires. — Sur les nombres. — Theorie des nombres. — Intervalles (musicaux ?); 2° six Livres sur l’Astrologie; 3° une série d'autres Livres adressés à Alexandre, à Arybas, à Méphestion (deux sur la Géométrie). (2) Diog. Laërce (V, 89) en cite des écrits géométriques. Héraclide parait avoir présidé PAcadémic lors du troisième voyage de Platon en Sicile, en 361 (Suidas); il professa la rotation de la Terre autour de son axe et la circulation de Mercure et de Vénus autour du Soleil.

mère Pappus comme précédant les Coniques dans la collection analytique des anciens; bon nombre de ces Livres touchaient en effet des problèmes assez simples pour avoir été abordés de très bonne heure, et, quand nous voyons, dans le résumé de Proclus, Hermotime, de Colophon, donné comme ayant écrit sur les lieux, nous pouvons bien croire qu'il élaborait la matière des deux Livres d’Apollonius sur les Lieux plans. Il est possible au reste de donner à cette conjecture un fondement plus assuré; Eutocius nous a conservé de ce Traité, dans son Commentaire sur les Coniques, p. 11-12, une proposition relative au cercle comme lieu des points dont les distances à deux points donnés sont dans un rapport donné. Or, dans la Meteorologie d’Aristote (IIT, Ch. V, § 6-11), nous trouvons déjà l’une des deux parties de cette proposition (*), et, quoique la rédaction soit loin d’être la même, la marche de la construction et de la démonstration est identique. A la vérité, le passage d’Aristote en question doit, à mon avis du moins, être regardé comme interpolé (?); mais l’interpolation est sans doute très ancienne et bien antérieure à Apollonius. Si d’ailleurs le rapprochement n’a pas encore été fait, c'est que les commentateurs d’Aristote se sont tous trouvés assez peu compétents pour ne pas reconnaître le but de la démonstration; mais l'indication que je donne doit suffire à tout géomètre pour se retrouver dans un passage qui n'offre pas en réalité de difficulté sérieuse, et je crois inutile d’entrer dans des détails plus circonstanciés. 4. Un troisième ordre de questions que nous voyons apparaître dans le même siècle se rapporte à la technologie, et l’on verra peut-être dans la nature des discussions poursuivies un indice de l'influence de Platon, c’est-à-dire d'un penseur plus philosophe (+) Que les points du cercle jouissent de la propriété en question; l’autre partie, que les points en dehors de la circonférence ne jouissent pas de cette propriété, ne se retrouve que dans Apollonius. (2) MM. Par suite de Papplication du Allman et Uscner même critérium de distinguer le texte linguistique qui a d’Eudème permis à des interpolations de Simplicius dans le fragment sur la quadrature des lunules. J'ai étudié la question dans la Revue de Philologie, 1886.

que géomètre. En tout cas, ce n'est pas son nom, mais c'est principalement celui de Ménechme qui se trouve lié à ces discussions, dont Proclus nous a conservé un écho d’après Geminus. La première mention se rapporte au terme même d'£léments (s2:yzix). Voici comment Proclus l’introduit : Immédiatement après le résumé historique (p. 70), il se propose de définir le but des éléments; ce but, dit-il, peut être envisagé soit d’après l'objet même du Traité, soit relativement à étudiant. D'après l’objet, le but est la théorie des cinq polyédres réguliers qui, comme on le sait, jouent un rôle capital dans la physique pythagorisante de Platon (T'imée). Partant de là, quelques subtils philosophes avaient imaginé d’assigner, à chacun des treize Livres d’Euclide, un but spécial dans la théorie physique de Punivers. Proclus fait exceptionnellement ici preuve de bon sens en se contentant de cette indication, et passe à définir le but relatif à l’étudiant; il trouvera dans le Traité d’Euclide les éléments de la science géométrique, il y puisera les connaissances fondamentales sur lesquelles s’appuient tous les travaux postérieurs et ceux d’Archimède (*) et ceux d'Apollonius. Le terme d'éléments (czoryeia) s'applique proprement à ces théorèmes qui, dans toute la Géométrie, sont primordiaux et principes de conséquences qui s'appliquent partout et fournissent les démonstrations de relations en grand nombre; on peut comparer leur rôle à celui des lettres (également nommées 5+21y2tx en grec) .dans le langage. On doit, des éléments proprement dits, distinguer les théorèmes élémentaires (77072107) qui.sont également généraux, simples et remarquables, mais n’ont pas la même valeur en tant que leur application dans la Science n’est pas universelle : telle est la proposition que les perpendiculaires abaissées des sommets d’un triangle sur les côtés opposés se coupent en un même point. Après avoir développé les considérations que je viens d'analyser, Proclus emprunte à Geminus le passage suivant : (') Proclus vise spécialement la citation des Éléments (XU, 2) dans le Traité de la Sphère et du Cylindre, 1,6.

P. 72, 23-73, 14. « D'ailleurs, élément se dit en deux sens, comme le remarque Ménechme; car ce qui sert à obtenir est élément de l’obtenu: ainsi, dans Euclide, la première proposition Vest de la seconde (problèmes), la quatrième de la cinquième (théorémes). Dans ce sens, beaucoup de propositions peuvent être réciproquement appelées éléments les unes des autres. Ainsi de Pégalité à quatre droits de la somme des angles extérieurs d’un polygone, on conclut le nombre d’angles droits que vaut la somme des angles intérieurs et inversement ('). Dans cette signification l'élément ressemble au lemme. Mais on appelle autrement élément ce qui est plus simple et en quoi se décompose le plus complexe; dans ce sens, on ne peut plus dire que tout est élément de tout, mais seulement ce qui est primordial par rapport à ce qui est régulièrement la conséquence : par exemple, les postulats seront éléments des théorèmes. C’est dans ce dernier sens qu'Euclide a composé des éléments, les uns pour la Géométrie plane, les autres pour la Stéréométrie, et que de nombreux auteurs ont de même écrit des éléments d’Arithmétique ou d’Astronomie. » 5. Le second fragment où apparaît le nom de Ménechme se rapporte à une assez curieuse discussion sur la nature des propositions géométriques : P. 77, 15-78, 13. « Déjà, parmi les anciens, les uns, comme Speusippe et Amphinome, proposaient de tout appeler théorème, pensant que ce terme convient mieux que celui de problème aux sciences théorétiques (contemplatives) et surtout traitant des choses éternelles; car, pour de telles choses, il n’y a pas de génération; il n'y a donc pas de place pour le problème où il s’agit d’engendrer et de faire quelque chose comme si elle n’était pas auparavant : par exemple, construire un triangle équilatéral, décrire un carré sur une droite donnée, placer une droite (donnée) à partir d’un pointdonné (Zldm., |, 2). Il vaut mieux, disaient-ils, regarder toutes ces choses comme existant déjà (2), et dire que nous consi- (1) Ces théorèmes ne figurent pas dans les Elements d'Euclide; l'exemple doit ètre de Ménechme. Ce passage prouve suffisamment, au reste, que le titre d’Zlements devail ¿tre usilé avant Euclide, ce qu'on pourrail autrement mettre en question. he in Ji (2) P. BR 78,7; je lis ar: x, roy u . 2 ta cabra doce au lieu de 63 vta cedri tore.

dérons leurs générations non pas en fait, mais relativement a la connaissance, si nous supposons soumises au devenir des choses qui sont toujours; il convient donc de dire que nous les traitons toutes par des théorèmes, non par des problèmes. » « D’autres, an contraire, comme les mathématiciens de l’école de Ménechme, étaient d'avis de tout regarder comme des problèmes, tout en en distinguant deux formes : tantôt en effet il s’agit de fournir (xopicas0x:) quelque chose de cherché, tantôt au contraire, prenant quelque chose de déterminé, de voir ce que c’est, ou quelle en est la nature, ou ce qui lui arrive, ou quelle est sa relation à quelque autre chose (*). » Le troisième ct dernier fragment n'appartient plus au prologue de Proclus, mais bien au commentaire sur les propositions (I, 6): P. 253, 16-254, 5. « Il faut remarquer à ce sujet que beaucoup de réciproques sont fausses ct ne sont donc pas de véritables réciproques; ainsi tout nombre hexagone est triangle, mais il n’est pas vrai que Lout nombre triangle soit hexagone. La raison en est qu’un des termes est plus général, autre plus particulier, et la proposition universelle n'est vraie qu’en établissant la relation dans un seul des deux sens. Pour qu'il y ait réciprocité, il faut que le premier terme soit identique au second. C’est ce que savaient déjà les mathématiciens de l’école de Méncchme et d’Amphinome. » 6. Il résulte de ces trois fragments que Ménechme avait dû traiter philosophiquement des principes et des méthodes de la : Géométrie. A côté de lui et discutant les mêmes questions, nous voyons paraître le neveu de Platon Speusippe, ainsi qu'un autre personnage, Amphinome, dont le nom ne nous est pas connu d’ailleurs. Proclus cite encore Speusippe au début de son commentaire sur les postulats et axiomes : P. 179, 12-23. « Il faut, en tout cas, que les principes different de ce quí les suit en ce qu’ils soient simples, indémontrables, et se reconnaissent immédiatement comme vrais: car, en général, dit La suite du passage, où Proclus justifie successivement les deux opinions, ne parait pas empruntée à Geminus.

Speusippe, l'intelligence, dans ses poursuites, sans parcourir des stades successifs, met en avant et, pourlesrecherches subséquentes, dispose des propositions dont elle a une connaissance plus claire que n’en a l'œil des objets visibles, ou bien au contraire, ne pouvantsaisir immédialement la vérité, elle essaye d’v parvenir successivement et par degrés, en partant des premières propositions. » Amphinome est cité deux autres fois, et pour des questions plus intéressantes : P. 202, 9-25 (Commentaire sur I, 1). « Beaucoup d'auteurs pensent que la Géométrie ne considère ni la cause, ni le pourquoi; ainsi c'est l'opinion d'Amphinome qui l’emprunta d’ailleurs à Aristote (! ). Mais on peut, dit Geminus, rencontrer en Géométrie des recherches sur ces questions. Comment ne serait-ce pas en effet au géomètre à chercher par quelle cause il est possible d’inscrire dans le cercle une infinité de polygones équilatéraux, tandis que dans la sphère il n'est plus possible d'inscrire une infinité de polyèdres équilatéraux, équiangles et formés par des faces polygonales pareilles entre elles? Qui peut chercher et trouver cela, sinon le géomètre? D'autre part, les géomètres peuvent raisonner par réduction à l’absurde : alors ils se contentent de trouver ce qui a lieu; ils peuvent au contraire procéder par démonstration régulière (xpeqyoupéyy), et, dans ce cas, si cette démonstration sc fait sur des hypothèses particulières, la cause n’apparait point encore; mais, si le raisonnement est général et fait pour tous les cas semblables, aussitôt le pourquoi devient évident. ». P. 220, 7-221,6. ( Commentaire sur I, 1). «Nous considérerons qu'en général les problèmes peuvent recevoir des solutions uniques, multiples ou en nombre indéfini. » « Les premiers sont appelés réguliers (<s5xyuévx) par Amphinome, ceux dont les solutions sont multiples, mais en nombre détermind, sont dits ¿ntermédiatres (y¿sa), ceux enfin qui offrent une variété indéfinic de solutions sont nommés irréguliers (dara). Comment un problème peut être unique ou multiple, on le voit (*) Ce passage est insuffisant pour établir qu'Amphinome n'ait pas été contemporain d'Aris

immédiatement pour les triangles précités ; car l’équilatéral se construit d’une seule façon, l’isoscèle de deux, le sealéne de trois ('). Quant à un problème indéfini, en voici un : Dieiser une droite donnée en trots segments en progression. Si Von divise en effet cette droite suivant le rapport double (c’est-à-dire si Pon divise la droite c en deux segments a, b, tels que b = 24) et qu’on fasse la parabole du carré du plus petit segment par rapport au plus grand en ellipse d'un carré (si Pon résout a= bx — x, d'où x= a), la division se fera en trois parties égales. Mais, si le rapport du plus grand segment au plus petit est supérieur au double (autrement le problème serait impossible), comme triple, ete., et qu'on fasse la parabole du carré du plus petit segment par rapport au plus grand en ellipse d'un carré, on aura la division en trois parties indgales. | Soit b= ma, ces parties seront m — Vm? — 4 1, A; Y i, Mm+Vmi— 5 2 . Puis done que l’on peut faire - la division en deux d’une infinité de façons, de telle sorte que Je plus grand segment soit supérieur au double du plus petit, triple, etc., car le rapport de multiplicité progresse indéfiniment, la division en trois parties en progression se fera d’une infinité de facons. » 7. De ces diverses citations deux points surtout paraissent à retenir. La distinction d’une troisième forme de proposition, le porisme, ‘a côté du théorème et du problème, est étrangère aux géomètres du 1v° siècle avant J.-C., et elle n’a probablement résulté plus tard que du choix fait par Euclide de cette expression pour désigner un de ses Ouvrages. Toutefois, le germe de cette distinction apparaît déjà dans le second fragment de Ménechme. La classification des problèmes d’après le nombre des solutions (*) Ceci se rapporte aux constructions faites par analogie à celle de l'équilatéral donnée par Euclide I, 1, constructions que nous étudicrons plus tard. La base de Visoscéle qui est donnée peut être plus petite ou plus grande que les côtés égaux dont la longueur est d’ailleurs arbitraire. La base donnée du scalène peut être plus petite, plus grande ou supposés d'ailleurs arbitraires. intermédiaire entre les deux autres côtés Pour nous, ces problèmes seraient indéterminés.

mest nullement conçue d'après nos habitudes modernes. Ainsi le problème I, 1, d’Euclide, construire un triangle équilatéral sur une base donnée, a pour nous deux solutions symétriques par rapport à cette base; pour les anciens, la solution est unique (ucvxy®2), elle est donnée par l'intersection de deux cercles et ils ne s'inquiètent pas du nombre de points donnés par cette intersection. Si, sur la base donnée, il s’agit de construire un triangle isascèle, cette base n’étant pas un des deux côtés égaux, le sommet est pris arbitrairement sur une droite déterminée, soit au-dessus, soit audessous du point qui donnerait le triangle équilatéral : de là deux figures, dont chacune compte pour une solution unique. De même, la construction d’un triangle scalène sur une base donnée, si indéterminée qu’elle soit, ne comptera que trois cas distincts. L'exemple du problème indéterminé (anz:¢2y0¢) nous présente au contraire un problème qui devient parfaitement déterminé, une fois que l’on s’est donné une certaine relation entre deux inconnues; mais il offre ceci de remarquable que la solution est conçue comme indépendante de cette relation arbitraire. C’est donc sous cette forme que les anciens concevaient la généralisation des problèmes particuliers, et cette forme doit être regardée comme analogue aux solutions ¿y &spisrw de Diophante, alors qu'il arrive à la valeur de l’inconnue en fonction d’une variable arbitraire. Il est certain que cette façon d'envisager les problèmes est remarquable par sa profondeur, si elle laisse à désirer sous le rapport de la netteté et de la précision. FIN DE LA PREMIÈRE PARTIE DU TOME X.