A matematica em Alexandria: convergencia e irradiacao

sas pal Gana, A MATEMATICA EM ALEXANDRIA: CONVERGENCIA E IRRADIACAO Carlos Alberto Duarte Gamas* GAMAS, C. A. D. (2013). A Matematica em Alexandria: Convergência e Irradiagäo. Archaï, n. 11, jul-dez, p. 47-54. * Depertamento de RESUMO: Com este trabalho pretende dar-se um panorama do que foi a actividade científica, no dominio da Matematica e Matematica ‚Iniversidade de Coimbra Portugal das ciéncias que the andavam ligadas (Geografia, Astronomia, compreender sem ter em conta dois factores: o Mecänica), no grande centro cultural que foi o Museu e a Biblio- 1. Mio é objective deste teca de Alexandria, nos tempos dureos e até ao declinio definitivo trabalho ocuparse e discutir as linhas da ciëncia nesse espago. Pretende-se igualmente sublinhar as descobertas e progressos que abriram caminho para posteriores daminio Mundo Antigo helenizado, assim como dos próprios textos, que também circulavam, numa sociedade xe veje-se Comelli (2011) va conta do cruzamento de saberes e da grande mobilidade de bibliogratia que serviu de suporte ac autor cientistas matemáticos e relaçôes entre si, alguns provenientes 2. Sobre à actividade de muitos espagos e sediados em Alexandria, outros formados matemitica na Academia PALAVRAS-CHAVE: Matematica, Elementos, Trigonometria, Algebra, Cälculo infinitesimal. primeiro é a tradiçäo que a antecede, o segundo a extraordinaria mobilidade de cientistas, oriundos do dos Pitagöricos. Para tal, seja © estádios de desenvolvimento da Matematica, assim como dar em Alexandria e regressados ao seu espaco de origem. 0 florescimento da Matematica no universo da Cultura Helenistica de Alexandria nao se pode veja-se, sobretude, Fowler que era, ja, à altura, sociedade do livro e do leitor. Quanto ao primeiro factor, sublinhe-se, ainda na Grécia do Periodo Classico, a importancia da 11990). Academia, fundada por Platäo (que nao era, propria- 3, Cite o conceite usado por mente, matematico, mas incrementava a actividade Lasserre, 1964, p.22-23. matematica dos seus discipulos e amigos) em 385 a. C., e por onde circularam os mais notäveis espiritos ABSTRACT: The aim of this paper is to provide a survey of scientific activity in the domain of Mathematics and related sci ences in Hellenistic culture (Geography, Astronomy, Mechanics), . in the great cultural space of the Alexandria Museum and Library, from their golden times to their definitive dectine. It also aims to underline the discoveries and progresses that opened a way da &poca, vindos da Asia Menor ou das ilhas do Mediterräneo Oriental, ou da Sicilia, cada qual com a sua formaçäo de origem’, posta em confronto e discutida com os seus pares na Academia. A Mathematika compreendia, entäo, a Aritmêtica, a Geometria, Asto the future development of Mathematics, as well as to point tronomia e Harmonia. Aristóteles, por sua vez, após a out the interaction of knowledges and the extraordinary mobility frequéncia da Academia, vem a fundar, pouco depois of mathematicians and the relationships between them. Several de chegar de novo a Atenas, em 322 a. C., o Liceu. A scientists came from very different and distant locations and sua orientagäo metodológica afasta-se daquilo a que remained in Alexandria, other scientists studied in Alexandrio and came back to their place of origin. KEYWORDS: Mathematics, Elements, Trigonometry, Algebra, se pode chamar ‘Matematica ontolégica”, do círculo : de Platäo, e, de acordo com a sua metodologia de base, valoriza a observaçäo, o experimentalismo, Infinitesimal calculus.

A MATEMÁTICA EM ALEXANDRIA: CONVERGÊNCIA E IRRADIAÇÃO Carlos Alberto Duarte Gamas* GAMAS, C. A. D. (2013). A Matemática em Alexandria: Convergência e Irradiação. Archai, n. 11, jul-dez, p. 47-54. RESUMO: Com este trabalho pretende dar-se um panorama do que foi a actividade científica, no domínio da Matemática e das ciências que lhe andavam ligadas (Geografia, Astronomia, Mecânica), no grande centro cultural que foi o Museu e a Biblioteca de Alexandria, nos tempos áureos e até ao declínio definitivo da ciência nesse espaço. Pretende-se igualmente sublinhar as descobertas e progressos que abriram caminho para posteriores estádios de desenvolvimento da Matemática, assim como dar conta do cruzamento de saberes e da grande mobilidade de cientistas matemáticos e relações entre si, alguns provenientes de muitos espaços e sediados em Alexandria, outros formados em Alexandria e regressados ao seu espaço de origem. PALAVRAS-CHAVE: Matemática, Elementos, Trigonometria, Álgebra, Cálculo infinitesimal. ABSTRACT: The aim of this paper is to provide a survey of scientific activity in the domain of Mathematics and related sciences in Hellenistic culture (Geography, Astronomy, Mechanics), in the great cultural space of the Alexandria Museum and Library, from their golden times to their definitive decline. It also aims to underline the discoveries and progresses that opened a way * Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Portugal 1. Não é objectivo deste trabalho ocupar-se e discutir as linhas de força dessa tradição, como seja o complexo domínio dos Pitagóricos. Para tal, veja-se Cornelli (2011) e a bibliografia que serviu de suporte ao autor. 2. Sobre a actividade matemática na Academia veja-se, sobretudo, Fowler (1990). 3. Cito o conceito usado por Lasserre, 1964, p.22-23. O florescimento da Matemática no universo da Cultura Helenística de Alexandria não se pode compreender sem ter em conta dois factores: o primeiro é a tradição que a antecede, o segundo a extraordinária mobilidade de cientistas, oriundos do Mundo Antigo helenizado, assim como dos próprios textos, que também circulavam, numa sociedade que era, já, à altura, sociedade do livro e do leitor. Quanto ao primeiro factor, sublinhe-se, ainda na Grécia do Período Clássico, a importância da Academia, fundada por Platão (que não era, propriamente, matemático, mas incrementava a actividade matemática dos seus discípulos e amigos) em 385 a. C., e por onde circularam os mais notáveis espíritos da época, vindos da Ásia Menor ou das ilhas do Mediterrâneo Oriental, ou da Sicília, cada qual com a sua 1 formação de origem , posta em confronto e discutida 2 com os seus pares na Academia . A Mathematika compreendia, então, a Aritmética, a Geometria, Asto the future development of Mathematics, as well as to point tronomia e Harmonia. Aristóteles, por sua vez, após a out the interaction of knowledges and the extraordinary mobility frequência da Academia, vem a fundar, pouco depois of mathematicians and the relationships between them. Several de chegar de novo a Atenas, em 322 a. C., o Liceu. A scientists came from very different and distant locations and sua orientação metodológica afasta-se daquilo a que remained in Alexandria, other scientists studied in Alexandria se pode chamar ‘Matemática ontológica’ , do círculo and came back to their place of origin. de Platão, e, de acordo com a sua metodologia de KEYWORDS: Mathematics, Elements, Trigonometry, Algebra, 3 base, valoriza a observação, o experimentalismo, Infinitesimal calculus. 18/6/2013 17:23:39

aproximando a aplicação prática dos conhecimentos do pitagórico Filolau, provocou forte indignação e matemáticos à própria Matemática. acusação de impiedade (antecipando-se a Galileu), A mobilidade trouxe a Atenas Hipócrates ao defender que é a Terra a mover-se à volta do Sol, de Quios, no séc. V a. C., o primeiro autor de uma fixo. No seu tratado Sobre distâncias e magnitudes, compilação de Elementos, em que parecem já figurar calculou as dimensões do Sol da Terra e da Lua, investigações ligadas à resolução do problema de bem como a distância entre os tês astros, ainda que Delos (a duplicação do cubo) e à quadratura do círcusem absoluta exactidão, por processos geométricos lo. Por altura da morte de Platão, um seu discípulo, adequados. Calculou o comprimento dos lados do Têudio de Magnésia, escreveu nova compilação de triângulo formado pelos três astros quando a Lua se Elementos. Do mesmo modo, um matemático de encontra em quadratura, considerando que esta se origem desconhecida, Leonte, que frequentou a situa no vértice de um triângulo rectângulo e que os Academia entre 365-360 a. C., foi autor de uns Eleoutros dois vértices correspondem à posição da Terra mentos. É à luz desta tradição que há que entender e do Sol. Isto pressupõe, de qualquer modo, cálculos o trabalho de Euclides. trigonométricos. Identificou planetas do sistema Quanto ao segundo factor, a mobilidade vem solar e observou o solstício de 280 a. C. Frequentou já, como se percebe, de muito longe, tendo como o Museu e a Biblioteca de Alexandria e o seu prestígio fulcro grandes centros, como a Sicília, ou, no extrelevou o rei a nomeá-lo tutor de seu filho. mo oposto do espaço à volta do Mediterrâneo, já nas Mas o grande pioneiro dos estudos de Matemámargens do Mar de Mármara, a escola de Cízico (de tica em Alexandria foi Euclides, cuja obra se há-de que era fundador e mestre Eudoxo de Cnidos, depois manter actual até a modernidade e de quem se sabe vindo a Atenas, onde se tornou amigo de Platão, que esteve activo durante o reinado de Ptolomeu I, tendo deixado discípulos na Academia). que subiu ao trono do Egipto em 330 a. C., dois anos O próprio Aristóteles teve, ao longo da sua após a morte de Alexandre. Segundo a tradição, foi vida, como se sabe, um percurso amplo, na sua acconvidado por Demétrio de Faléron, após a fundação tividade científica e pedagógica, e a sua escola em do Museu, para aí criar uma escola de Matemática Atenas atraiu discípulos das mais variadas paragens, e formar discípulos. Escreveu várias obras, entre que depois se disseminaram. Um deles – Demétrio elas Dados, Fenómenos, Porismos, Óptica, Calóptica de Faléron – virá a viver em Alexandria, na corte de e considerações sobre planos e secções do cone, 4 Ptolomeu I Soter , e terá sido quem aconselhou o matéria que o seu discípulo mais notável, Apolónio rei a fundar a Biblioteca, pouco depois do Museu . 5 de Perga, retomará. Mas a principal obra de Euclides, A consciência da riqueza do património cultural que o tornará um dos matemáticos mais famosos da e científico grego cria o espírito de arquivo, de Antiguidade, com repercussão até à modernidade são colecção, de compilação. os Elementos, expostos em treze volumes (os vols. O desenvolvimento dos estudos de Matemáti- XIV e XV são apócrifos). ca, em Alexandria, há-de caracterizar-se, também, Que representam os Elementos euclidianos por dois factores: a preocupação em recuperar na História da Matemática? Uma das mais notáveis tradições de investigação desenvolvida e dar-lhe obras, que concilia a compilação dos conhecimensequência; a aproximação entre a investigação tos matemáticos mais relevantes de uma tradição matemática e a sua aplicabilidade prática. Por isso, herdada da Grécia Clássica e registada, na sequência grande parte dos matemáticos alexandrinos ou, da prática de compilação de Elementos, iniciada de modo mais geral, dos matemáticos da Cultura pelo menos dois séculos antes, associada a novos Helenística, são, simultaneamente, geógrafos, estudos e às aquisições decorrentes das investigaperitos em Mecânica ou astrónomos. Estes estudos ções matemáticas de Euclides. Na verdade, Desde a mantêm-se florescentes por cerca de meio milénio. Antiguidade só a Bíblia e, talvez, Homero, conheceu Assim acontece com Aristarco de Samos (ca. maior difusão que os Elementos de Euclides, suporte 310-230 a. C.) que, inspirado nas antigas doutrinas de ensino de Matemática por mais de dois milénios . 4. O primeiro dos Ptolomeus reinou de 305 a 285 a. C. 5. Espaço de cultura e de culto às Musas, cerca do qual ou adjacente ao qual se construiu a Biblioteca. A tradição de associação de culto e cultura está já presente na Academia onde, segundo parece, existia também um espaço de culto às Musas. Em Alexandria é posteriormente fundada outra biblioteca, menor, junto ao templo do deus Serápis. 6. A edição aqui utilizada é a da tradução de Heath-Densmore (2007). 6 18/6/2013 17:23:39

Como sublinha Dugac, que comprova a sua afirmação considerado por alguns estudiosos «perhaps the com passos dos Elementos de Euclides, «il parle greatest, and certainly the most comprehensive, of une nouvelle langue mathématique» (DUGAC, 2003, all the Alexandrian scholars» (MARLOWE,1971, p.70). p.9). Os Elementos fizeram parte dos incunábulos Pela versatilidade do seu saber torna-se comparável do séc. XV, com duas edições. Só no séc. XIX virão a Aristóteles . Viveu entre 276-194 a. C. Cultivou a surgir, com Lobachevsky, Bolyai e Riemann, geoo que hoje se designa por ‘Humanidades’, teoria metrias não-euclidianas. da música, também a poesia, bem como as Ciên- Os quatro primeiros livros ocupam-se de cias Matemáticas, mas estas prevaleceram sobre a geometria plana, a saber: o livro I, para além de restante actividade – o que constitui assinala uma se ocupar de triângulos, paralelas e paralelogramas nova era que começa em meados do século. Estudou conclui com o famoso Teorema de Pitágoras; o livro em Cirene, sua cidade natal, e veio para Alexandria, II tem como conteúdo a transformação de figuras chamado por Ptolomeu III, o Evérgeta, onde viveu e formas geométricas e apresenta a resolução de até ao reinado de Ptolomeu V. Desempenhou o cargo equações algébricas de segundo grau; o livro III de director da Biblioteca. Para além de estudos ocupa-se do círculo; o IV de polígonos regulares sobre os primeiros poetas gregos e sobre comédia, inscritos ou circunscritos no círculo; os livros V e concentrou-se em formas de cálculo que lhe permiti- VI expõem a teoria geral das razões e proporções, ram chegar à medição e forma da Terra, que concluiu sendo que o livro V constitui uma exposição da teser esférica, tendo escrito, entre outras obras, um oria das proporções de Eudoxo de Cnidos. Tem como tratado Sobre a medição da Terra, e Geográficas, em conceito central a noção de ‘razão igual’. O livro VI três livros. É por isso considerado o pai da Geograaplica a teoria das proporções de Eudoxo à geomefia Matemática. Calculou o eixo da Terra com uma tria plana. A teoria euclidiana sobre a proporção precisão notável, e a distância entre a Terra e o Sol. fornece bases a estudos diversificados, na área da A aplicação dos seus conhecimentos levou-o a criar teoria das equações, das propriedades de fracções instrumentos de medida de longitudes e latitudes, (ainda que o conceito de ‘fracção’ seja anacrónico, determinando distâncias (terá sido de sua autoria a aplicado a Euclides), da natureza do sistema do primeira carta geográfica com marcação de longitude 7 7. KATZ, 1993, p.72. 8. Fowler (1990, p.19), com toda a pertinência, procede à leitura de uma profunda interrelação entre Elementos V (teoria das proporções) e Elementos X, para uma esclarecida compreensão da comensurabilidade/ incomensurabilidade segundo Euclides. 9. Para uma revisão crítica da leitura do significado da descoberta dos incomensuráveis veja-se. Gonçalves-Possani (2009). Os autores defendem e demonstram, recorrendo também à autoridade de Fowler (1990, p.21), que esta descoberta não provocou, ao contrário do que alguns investigadores pensam, uma «crise de fundamentos da matemática». 10. PFEIFFER, 1968, p.156. 11. Trata-se de um instrumento que permitia determinar mecanicamente médias proporcionais. Veja-se: http:// www.mat.uniroma2.it/mep/ Animaz/Mesolabio/Mesolabio.html. 12. Cf. LESKY, 1995, p.828 13. MIELI, 1945, p.100. 10 ‘número real’ . Os livros VII, VIII, IX ocupam-se de e latitude). A Eratóstenes se deve o calendário de aritmética e de números racionais, iniciando-se o 365 dias, considerando um dia acrescentado ao livro VII com o que ficou conhecido por ‘algoritmo correspondente ao mês de Fevereiro, de quatro em euclidiano’. O livro X é o mais extenso e complexo. quatro anos solares. Criou instrumentos de cálculo Contém cento e quinze proposições, ocupa-se das de proporções, o mesolábio , que permitia chegar 8 11 grandezas comensuráveis e incomensuráveis . Suà duplicação do cubo (objecto de pesquisa já entre blinha Mieli (1945, p. 97) que a demonstração, nele os antigos Pitagóricos) e inventou o «crivo matecontida, da incomensurabilidade da diagonal do mático», uma grelha que lhe permitia identificar os quadrado em relação ao lado do quadrado levou os números primos até um certo limite. Sobreviveram Gregos do Período Helenístico a tomarem contacto escassos fragmentos da sua obra. 9 com grandezas irracionais . Os livros XI, XII, XIII Arquimedes, «the greatest mathematical contêm proposições referentes à geometria no espagenius of Antiquity» (PFEIFFER, 1968, p.155) , só 12 13 ço, usando com frequência o método a que Eudoxo comparável a Galileu e Newton , nasceu em Siracusa de Cnidos já havia recorrido – o da exaustão. O livro por volta de 287 a. C., sendo filho de um astrónomo. XIII demonstra que são cinco e só cinco os sólidos Com toda a probabilidade frequentou a Biblioteca regulares que se podem inscrever ou circunscrever e o Museu de Alexandria, na sua juventude, onde na esfera, estudando a sua construção. São eles o privou com cientistas da época. Ainda que seja dos cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. cientistas de quem se conhecem mais pormenores A versatilidade de saber destas figuras tem sobre a sua biografia, graças à Vida de Marcelo, do um exemplo eloquente em Eratóstenes de Cirene, escritor grego Plutarco, não há dados biográficos 18/6/2013 17:23:40

que testemunhem a sua presença em Alexandria , as proporções mecânicas), dedicado a Eratóstenes; mas ela é mais que provável, tendo em conta que Sobre a esfera e o cilindro (2 livros); Sobre as espirais; um invento seu – a espiral hidráulica – tem uso e Sobre os conóides e os esferóides (designação dos sópresença documentada no Egipto, para irrigação das lidos obtidos por revolução – elipsóide, parabolóide, terras, e que algumas das suas obras são dedicadas a hiperbolóide); Sobre os corpos flutuantes (2 livros, figuras da ciência alexandrina, como o seu Método, em que são enunciados os princípios da Hidrostática, 15 dedicado a Eratóstenes , em que expunha como entre eles o que ficou conhecido por ‘Princípio de chegou a muitas das suas conclusões e das quais não Arquimedes’); Dimensão do círculo; Arenário: cujo fala em mais nenhum lugar. Mas é em Siracusa que principal valor consiste num prefácio com informase fixa e desenvolve os seus estudos e a aplicação ções sobre a teoria pressuposta do heliocentrismo, prática deles, sob a forma de engenharia militar, de Aristarco de Samos. É esta, aliás, a única fonte em defesa da sua cidade, até à sua morte, em 212 informativa sobre tal teoria. O Arenário trabalha a a. C., quando os Romanos sitiaram e conquistaram expressão de quantidades particularmente grandes. Siracusa. É famoso o uso de espelhos, calculado O seu nome deve-se à proposta de contagem de para reflectir os raios solares de modo a incendiar os grãos de areia que cabem no universo, pressupondo navios romanos, assim como uma forma de catapulta, o apuramento das dimensões deste. baseada no princípio da alavanca. 14. KATZ, 1993, p.97. 15. Atribui-se a Arquimedes a apresentação de um problema, em forma de poema, também em honra de Eratóstanes: o «Problema dos bois», no âmbito da teoria dos números, e referente à contagem das rezes do rebanho do Sol, já mencionado no episódio da Odisseia, XII. 16. MIELI, 1945, cap. XI. 17. Cf. MIELI, 1945, p.102. 18. Segundo Marlowe (1971, p.74), a astronomia de Cónon deixa-se influenciar, posteriormente, pela astrologia oriental. 19. MARLOWE,1971, p.72. Das numerosas aplicações práticas da investi- A sua riquíssima e diversificada investigação, gação de Arquimedes e de outros cientistas não se da teoria à aplicação prática, que o torna um dos sabe o quanto seria desejável, já que a preocupação matemáticos-engenheiros mais famosos da História deles incidiu, sobretudo, no registo dos conhecida Ciência, reparte-se por vários domínios. Comecementos teóricos. -se pelo domínio da Aritmética e da Geometria. A Duas figuras de referência de matemáticospartir do processo da ‘quadratura do círculo’, Arqui- -astrónomos do universo de Alexandria são Cónon medes inscreve e circunscreve polígonos regulares de Samos (ca. 280-ca.220 a. C) e Apolónio de Perga no círculo (até 384 lados), até encontrar o valor (ca. 262. A. C. -190). O primeiro, nascido em Samos, aproximado de p, recorrendo a um método já utié atraído pelo prestígio e pela actividade científica lizado por Eudoxo de Cnidos, no tempo de Platão: de Alexandria. Virá a ser, provavelmente, o astróo método da exaustão que, pela sua aplicação em nomo da corte de Ptolomeu III, o Evérgeta. Como Arquimedes, o levou muito perto do futuro cálculo astrónomo, identificou a constelação a que deu o infinitesimal. O cálculo de p foi continuado por nome de ‘Cabeleira de Berenice’, em honra da rainha Apolónio de Perga e por outros matemáticos da consorte . Apolónio refere que Cónon se dedicou ao Antiguidade e da Idade Média. estudo da Geometria, em particular às secções do 18 Arquimedes procede também ao cálculo de cone, e que os resultados do seu estudo contribuíram áreas de figuras sólidas. É esse o objecto do seu para a investigação e a obra do próprio Apolónio, tratado em dois livros Sobre a esfera e o cilindro em nas suas Cónicas. Este matemático e astrónomo, o que demonstra que, inscrevendo-se uma esfera num mais ilustre dos discípulos de Euclides e seu possível cilindro equilátero a área total e o volume do cilindro sucessor no Museu , continuou as investigações do é 3/2 da área e volume da esfera. Neste sentido, mestre, tendo escrito um tratado sobre as Secções recorreu, implicitamente, ao cálculo integral. do cone. Fixou terminologia geométrica relacionada Os seus estudos sobre a espiral converteram� -no em precursor do cálculo diferencial . 19 com o resultado dos seus estudos, como ‘parábola’, ‘elipse’, ‘hipérbole’. Para além do Problema dos bois, que a tradição Escassas informações nos chegaram sobre � lhe atribui, Arquimedes foi autor de uma vasta obra : Zenodoro, astrónomo e geómetra, que terá vivido Sobre o equilíbrio dos planos (dois livros, em que não muito depois de Arquimedes e que terá frequenencontramos enunciados os primeiros princípios de tado os círculos de cientistas da Atenas da época. estática); A quadratura da parábola; Método (sobre Apenas aqui é citado pelo facto de vários dos seus 18/6/2013 17:23:40

teoremas serem referidos nos comentários de Téon do Neopitagorismo na sua obra deixa supor a sua de Alexandria a Cláudio Ptolomeu. permanência e estudo em Alexandria . Há notícia 21 Hiparco da Bitínia, nascido em Niceia (ca. de ter escrito uma Introdução à Aritmética, tratado 190 -120 a.C), foi considerado por Gow (apud MARsobre a teoria dos números, e uma Introdução à LOWE, 1971, p.75) «one of the greatest geniuses of Harmonia. Outras fontes referem que terá escrito antiquity», que mudou substancialmente o estado introduções à Geometria e Astronomia, perfazendo, de arte da astronomia. Esta relevante figura, de assim, o quadrivium da velha Academia platónica. Na cuja biografia pouco se sabe, desenvolveu a sua sua Introdução à Aritmética, que permaneceu como actividade científica como geógrafo, matemático e uma autoridade escolar por um milénio, apresenta astrónomo no reinado de Ptolomeu VII, repartindoa mais antiga tábua de multiplicação grega. Foi tra- -se entre Alexandria e a ilha de Rodes, cuja vida duzido para latim por Apuleio e, depois, por Boécio cultural era, então, também notável. Aí instalou e foi utilizado até ao Renascimento. um observatório astronómico. Identificou para cima O famoso Cláudio Ptolomeu tinha origens grede oitocentas estrelas, determinando a sua posição co-romanas. Pouco se sabe da sua biografia. Nasceu por coordenadas astronómicas, e elaborou mesmo no fim do séc. I e viveu até 168, aproximadamente. um catálogo estelar. Deu conta da precessão dos Viveu e desenvolveu a sua actividade científica em equinócios e da nutação do eixo da Terra. A ele se Alexandria, já sob o domínio romano. Repartiu a deve (herdando conhecimentos vindos da Babilónia), sua investigação pelos domínios da Matemática, a divisão da Terra em paralelos, a partir do equador, Astronomia e Geografia, mas também da Óptica e da e meridianos, a partir do meridiano que passa por Acústica, cujos resultados registou, sendo a sua obra Rodes, permitindo, assim, calcular e dar a localizamais importante numa obra a Syntaxis Mathematika, ção de lugares. Não retomou a tese heliocêntrica de ou Tratado de Matemática, em treze livros, referido Aristarco, mas regressou ao geocentrismo. Inventou como «o grande tratado», graças à fama e prestígio instrumentos de medição como o astrolábio. Criou a de que Ptolomeu gozava na Antiguidade e, mesmo, esfera armilar, como instrumento para suporte dos entre os receptores e transmissores a ocidente seus cálculos astronómicos. destas áreas científicas: os Árabes . Por isso estes 22 O desenvolvimento dos seus estudos de Astrocontinuaram a designar o tratado de Ptolomeu por nomia e de Geografia matemática está, naturalmen- ‘O maior’ – adaptando o superlativo grego megistos, te, em profunda interrelação com o desenvolvimento a que antepuseram o artigo árabe: Al-magistos, da sua investigação no domínio da Geometria, entre daí Almagesto. A sua influência perdurou através a aplicação prática e o aprofundamento teórico dos séculos e só com Nicolau Copérnico se virá a desta. Hiparco é considerado o fundador da Trigonoreconhecer definitivamente o heliocentrismo, com o metria, ainda que a designação seja posterior e que correspondente movimento dos planetas do sistema esta Trigonometria difira da moderna. Os elementos solar, incluindo o da Terra. básicos da Trigonometria de Hiparco baseavam-se 20 20. KATZ, 1993, p.135 21. KATZ, 1993, p.158. 22. A sua obra foi traduzida para árabe em 827. 23. KATZ, 1993, p. 138-144. Ptolomeu incorporou grande parte das teorias no estudo da relação de um arco e da sua corda . e descobertas astronómicas e geográficas de Hiparco Hiparco elaborou uma tabela trigonométrica. no seu Tratado, sendo que o primeiro dos livros e Os seus cálculos vão ser retomados e desenvolvidos mais tarde por Cláudio Ptolomeu. parte do segundo é dedicado, essencialmente, à Matemática. Desenvolveu e consolidou conhecimen23 Já na nossa era ganha relevo a figura de tos da Trigonometria esférica e plana . É de referir Nicómaco de Gerasa, nascido na correspondente o «Teorema de Ptolomeu»: «Dado um quadrilátero à actual Jordânia, deve ter vivido entre 60-120. inscrito num círculo, o produto das diagonais é igual Quase nada se sabe da sua biografia. Ele encarna à soma dos produtos dos lados opostos». uma nova tendência: a de um Neopitagorismo Ainda que Ptolomeu não tenha discutido a que busca propriedades místicas dos números, em noção geral de ‘função’, apresenta exemplos de profunda consonância com a música. Esta presença tabelas em que se estabelece uma relação funcional 18/6/2013 17:23:40

entre conjuntos. A corda é expressa como função do livro). Citando palavras de Marlowe (1971, p.74), arco, a declinação do Sol como função da longitude . � «in this collection he has preserved the analytical Héron de Alexandria, nativo desta cidade, method which the ancients employed in their reviveu durante o séc. I (ca. 10-70). Ficou conhecido searches, he made use of the centre of gravity, and como matemático e engenheiro, como homem dado has preserved the works of a number of otherwise ao experimentalismo e à construção de máquinas, unknown mathematicians». No entanto, nota Katz como uma máquina a vapor. Exerceu o seu ensino no (1993, p.176), é estranho que Papo não cite os Museu e a ele se ficou a dever a chamada ‘fórmula Arithmetika de Diofanto, estritamente algébricos, de Héron’ para encontrar a área do triângulo a partir como um primeiro exemplo de análise, já que os da medida dos seus lados. problemas equacionados na obra de Diofanto são Diofanto, que viveu na sua cidade natal, Alexandria, durante o séc. III, e atingiu os oitenta e por ele solucionados de acordo com o modelo de Papo. quatro anos de idade, é considerado o pai da Álgebra. Téon de Alexandria, de origem greco-egípcia, Pouco se sabe da sua vida. A sua obra mais relevante, pai de Hipácia, viveu no séc. IV e terá sido o último Arithmetika, era constituída por treze livros, dos director da grande Biblioteca de Alexandria. Foi, quais só alguns chegaram até nós (seis em grego, essencialmente, um comentador e editor. Assim, 25 provavelmente os que Hipácia comentou , e quatro editou, com adaptações e comentou, os Elementos em tradução árabe). No entanto, os ensinamentos aí de Euclides, bem como o Almagesto de Ptolomeu, contidos influenciaram bastante as épocas posterioentre outras obras. O saber matemático cristaliza, res, até a modernidade. Começa com uma introdução agora, na também valiosa actividade de preservação geral sobre os polinómios e as operações entre eles. e de comentário aos resultados da actividade de Apresenta uma série de problemas em primeiro e cientistas matemáticos anteriores (uns registados, segundo grau, bem como de análise indeterminada. outros talvez não). Sem dúvida que essa actividade Diofanto deu um grande avanço para a solução foi incrementada pela consciência de que esta hede equações ao introduzir o simbolismo. Note-se rança, para ser preservada, teria de passar, registada que os seus símbolos algébricos começam por core comentada, para outros transmissores, mesmo fora responder a abreviaturas de conceitos numéricos. de Alexandria – o que acontecerá. Posteriormente chega ao uso dos referidos símbolos, Com a actividade e o destino de sua filha se associado ao símbolo c, para assinalar reciprocifecha um ciclo. Hipácia, na linha de pensadores 26 yc 2 dades . Ex. D , que representa 1/x . 25. MIELI, 1945, p. 251. 26. O exemplo é extraído de KATZ,1993, p.163. como Plotino, retoma a tradição da Academia – ela Um dos últimos grandes matemáticos de foi, de resto, educada em Atenas, o que mostra que Alexandria foi Papo. Nada se sabe da sua biografia o peso e preponderância cultural de Alexandria já e é até incerto o período em que viveu. De acordo começara, há tempo, a perder importância. Esta com informações díspares poderá ter exercido a mulher culta, que não foi um exemplo isolado, sua actividade científica em Alexandria no último dedicou-se à Matemática e Astronomia (a segunda, quartel do séc. III ou na primeira metade do séc. a bem dizer, era entendida, já na Academia, como IV. Não foi, propriamente, um espírito inovador, sendo um dos ramos da primeira), assim como à mas enquadra-se mais no perfil do cientista que Filosofia. Como foi referido, Hipácia segue a traregista e organiza o património de informação dição do trabalho de comentário a matemáticos científica, numa época em que se começam a fazer de relevo, como Diofanto e, também, Apolónio de sentir sintomas de declínio da actividade científica Perga. A sua actividade científica, em Alexandria, é em Alexandria. Desempenha, assim, um papel de complementada com a leccionação, no Museu, onde grande importância pela informação matemática e quer que ele se situasse, já reconstruído, à data da de Mecânica teórica, que passou à posteridade na sua existência (ca. 350/370-415). Essa leccionação sua obra em oito volumes, a Colecção Matemática compreendia a Matemática e a Filosofia. De facto, (de que se perdeu o primeiro e parte do segundo Hipácia tornou-se como que a grande referência 18/6/2013 17:23:40

alexandrina do Neoplatonismo, na sua época. Estamos numa época em que o Cristianismo tinha passado já de religião perseguida a religião oficial do Império, com Constantino. Ao breve período de reposição do paganismo com Juliano o Apóstata, morto em 363, e a quem sucedeu um imperador cristão, Joviano, o Cristianismo voltou a ser reposto como religião oficial, e impôs-se uma nova lógica de religião perseguidora de heresias e do paganismo. O prestígio de Hipácia como representante da classe intelectual pagã neoplatónica converte-a em alvo de suspeitas, a abater. Assim foi morta por uma multidão exaltada pela fúria persecutória do patriarca Cirilo. O triste fim de Hipácia representa, quase simbolicamente, o declínio definitivo da ciência – no caso em apreço da Matemática – em Alexandria. E este seu destino estimulou a lenda. BIBLIOGRAFIA: CORNELLI, G. (2011). O Pitagorismo como categoria historiográfica. Coimbra, CECH. DUGAC, P. (2003). Histoire de l’Analyse. Paris, Vuibert, p. 8-18. FOWLER, D. H. (1990). The Mathematics of Plato’s Academy. A new reconstruction. Oxford, Clarendon Press. GONÇALVES, C. H. B.; POSSANI, C. (2009). Revisitando a descoberta dos incomensuráveis na Grécia Antiga. Matemática Universitária, São Paulo, USP, n 47, p. 1623, dez. HEATH, Th.; DENSMORE D. (ed.) (2007). Euclid’s Elements. 3 ed. Santa Fe, Green Lion Press. KATZ, V. (1993). A history of Mathematics. New York, Harper Collins College Publishers. LASSERRE, F. (1964).The birth of Mathematics in the age of Plato. London, Hutchinson & CO. LESKY, A. (1995). História da literatura grega. Tradução de Manuel Losa. Lisboa, Fundação Calouste Gulbenkian, p. 822-834. MARLOWE, J. (1971). The golden age of Alexandria - From its foundation by Alexander the Great in 331 BC to its capture by the Arabs in 642 AD. London, Victor Gollancz Limited. MIELI, A. (1945). Panorama general de Historia de la Ciencia. I. Mundo Antiguo. Buenos Aires, Espasa-Calpe Argentina. PFEIFFER, R. (1968). History of Classical Scholarship - From its beginnings to the end of the Hellenistic Age. Oxford, Clarendon Press. Recebido em abril de 2013 e aprovado em junho de 2013. 18/6/2013 17:23:40

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