Philologische Studien zu griechischen Mathematikern

PHILOLOGISCHE STUDIEN GRIECHISCHEN MATHEMATIKERN VON J. L. HEIBERG, III. p >? S — Ir. Yen (edet Pt Cope

PHILOLOGISCHE STUDIEN GRIECHISCHEN MATHEMATIKERN DR. PHIL.

‘Die Handschriften Georg Vallas von griechischen Mathematikern. Weit weniger bekannt und von weit geringerer Bedeutung als Laurentius Valla ist Georgius Valla aus Placentia, von einigen als Vetter des Laurentius bezeichnet, während andere die Verwandtschaft liugnen. Er studierte Griechisch und Medicin, worin er ums Jahr 1471 in Pavia, spätgr in Mailand Lehrer war. Spätestens 1486 ward er professor eloquentiae in Venedig. Wegen unvorsichtig laut gewordener Sympathie für Teodoro Trivulzi ward er auf Veranlassung Ludwig Moros verhaftet, aber bald wieder losgelassen. Kurz nachher starb er ganz plötzlich, wahrscheinlich im Jahr 1499.!) Ausser mehreren medieinischen Schriften und Erläuterungen zu Cicero (besonders den rhetorischen Schriften) hat er einige griechische Schriftchen meistens naturwissenschaftlichen und mathematischen Inhalts ins Lateinische übersetzt; sie erschienen gesammelt zu Venedig 1498 fol.?) Hierher gehört von dieser Sammlung nur Nr. 3 und 4, auf dem Titel als: Euclidis quartus decimus elementorum und Hypsiclis interpretatio eiusdem libri Euclidis aufgeführt, im Buche selbst in umgekehrter Ordnung als: Hypsiclis indeputatum Euclidi uolumen interprete Georgio Valla Placentino und Euclidis elementorum quartus decimus liber, d. h. Euclids Elementa Buch XIV und XV. Bemerkenswerth ist hier, dass nur Eucl. lib. XIV dem Hypsicles zugeschrieben wird, was gewiss richtig ist, während Valla Elem. lib. XV, ein Machwerk des 6. Jahrhunderts n. Chr., irrthümlich dem Euclid selbst als lib. XIV zuschreibt. Die Uebersetzung des Hypsikles ist an Albertus Pius Carpensis dediciert.*) Erst nach Vallas Tod besorgte der Sohn Johannes Petrus Valla*) die Herausgabe seines colossalen Hauptwerks: de expetendis 1) Tiraboschi: Storia della letterat. Ital. VI? S. 356 ff. Heeren, Geschichte des Studiums d. class. Litterat. I S. 221. — *) Hoffmann, Lexicon bibliogr. Graec. III S. 122. Hain, Repertorium Nr. 11748. — °) Noch findet sich darin: Nicephorus und Proclus de astrolabo, Aristarch, Cleonidis musica (d. h. die fälschlich dem Euklid zugeschriebene elcaywyh äpuovirn), Cleomedes de mundo etc. — *) Dessen Uebersetzung eines Schriftchens Galens mit des Vaters oben genannten Uebersetzungen 1498 erschien. Jahrb. f. class. Phil. Suppl. Bd. XII.

et fugiendis rebus. J. L. Heiberg: Venetiis 1501 fol.) Dieses bei Aldus sehr schön gedruckte Buch, an 1300 sehr grosse Folioseiten umfassend, enthält eine Encyclopädie, worin Musik, Arithmetik, Geometrie, Astronomie, Physik, Medicin, Grammatik und Philosophie wesentlich nach griechischen Quellen abgehandelt werden. Die griechischen Vorlagen sind sehr flüchtig und ganz willkürlich excerpirt und in wörtlicher, unglaublich schlechter Uebersetzung wiedergegeben, wie es von jeher erkannt ward. So findet sich bei Fabricius biblioth. Graec. XIII p. 169, wo er einige, wenig genaue Angaben tiber die Quellen des Buchs mittheilt, ein Epigramm, worin Jemand erklärt, er habe aus Valla’s Werk über die res expetendae und fugiendae nur so viel erfahren, dass das Buch selbst unbedingt zu den letzteren gehöre. Aber eben diese Schlechtheit der Uebersetzungen, die sich an die Worte halten, ohne viel nach dem Sinn zu fragen, ermöglicht es, die griechischen Vorlagen zu reconstruiren, und so wird das Werk für die Kritik der betreffenden Schriftsteller von einiger Bedeutung. Hier wollte ich nur für diejenigen der 42 Bücher, welche Arithmetik und Geometrie betreffen (d. h. I—IV und Xe-XV), auf diese Bedeutung aufmerksam machen; die Ausbeutung im Einzelnen für die Behandlung einzelner Stellen möge anderen überlassen bleiben. Bisher sind diese Uebersetzungen in dieser Beziehung soviel mir bekannt, nur zweimal benutzt worden: von Fr. Hultsch in seiner Ausgabe des Heron, aber nur an einer Stelle (p. 21, 5 zu defin. 59), und ohne weitere Erläuterungen, und von R. Hoche: Autolyci de sphaera quae movetur. Hamburgi 1877 (s. die Vorrede). Eine zusammenhängende Erörterung existiert meines Wissens noch nicht. Leider büssen die Uebersetzungen Vallas einen nicht geringen Theil ihrer Brauchbarkeit dadurch ein, dass Valla offenbar an schwierigen Stellen sich dadurch behalf, die ihm unverständlichen Worte einfach wegzulassen. Als Beispiele mögen folgende gentigen. I 14, wo er den Commentar des Proklos zum Euclid excerpirt, lässt er die durchaus unentbehrlichen Worte Kai mapa tiv árr\fiv dinpnnevwv p. 3, 2— 3 (ed. Friedlein) weg; ebend. werden die Worte p. 4, 11—13: dieZodever pèv yap (sc. h diévora) Kal dvarkoî Toû vod Thv duerpiav Kai dvediccer TÔ cuvecrreipauévov thc voepâc EmıßoAfic so wiedergeben: propagatur namque explicaturque a mentis immensitate intellectilique aspersa coniectatione satagit. I 17 endlich lässt er die Worte p. 15, 7—9 weg, ungeachtet dass die letzten Worte: Kai fl pèv Tv kat’ oùciav den nothwendigen Gegensatz zu den mitgenommenen Worten lin. 9: ñ dè Kat’ émivoiav Yevouévwy bilden. Zunächst gebe ich hier für die Bücher I—IV (Arithmetik) und X—XV (über Geometrie) ein Quellenverzeichniss: Buch I Cap. 14—23 Proklos zu Euklid p. 3—47. Nikomachos eicaywyn I. 5) An einen Trivulzi dedicirt. Brunet, Manuel IV p. 560'.

Buch III Cap. 1—9 379 Nikomachos II. Anatolios. » IV » n » & X y n 1 2—9 Maximus Planudes wnpopopia. » X „ 10—108 Die heron. Definitiones. » X n 109 Proklos p. 48—81, 22. Proklos p. 85 — 128; die heronischen Definitiones. Eigene Zusammenstellung über Nampn und Zeichen für Gewicht und Maass bei Griechen und Römern (nicht = Campanus’ Uebers. des Eukl. XIV, 8); als „ „ X & XI „ „ „ 110 111 1—2 Quellen werden erwähnt Plinius, Varro, Columella. Proklos p. 178—197. Proklos p. 200— 201, 9. Proklos p. 208— 213. » XI „ 3—7 Euklids Elem. I mit Proklos. » XI „ 8 Aus mehreren Quellen, wie Proklos p. 422—23, Eutokios zu Archimedes p. 204 ed. Torelli, p. 216, Simplikios ad Aristot. phys. (Spengel: Eudem p. 119 ff.), Ptolemäus cuvt. VI®), dann noch eigenes über » XI „9 » » XI XI , , » » XI XI „ „ Kreisquadratur. °) Eigenes (aliae de dimetiente demonstrationes). Eigenes (de area circuli). Der Anfang, wie es scheint, eigenes enthaltend (quo pacto circuli area inueniatur), dann Euklid Elem. I 47—48 mit Proklos’ Commentar und Elem. II 1—2. 12—18 Euklid IL 19 Euklid II 10—12; dann noch II 13 mit 10 11 Zahlenbeispielen und mehreren Beweisen, sodann 4 Sätze aus einer unbekannten Quelle. ®) 6) Simplikios und Ptolemaios werden mit Namen‚genannt, — 7) Nos quorundam latinorum indagationes de quadrato circuli huic loco subderemus, si quid modo nobis demonstrasse viderentur ... annitemur itaque ipsi succurrente deo hanc excutere ambiguitatem. — 5) Isoscelum et rectangulorum triangulorum rectum angulum subtendens latus duplum est perpendicularis (folgt der Beweis). — Si trianguli perpendicularis subdupla fuerit ea, quae maiori angulo subtenditur, rectangulum triangulum est et isosceles, eted est ab maiori angulo subtensa quadratum quadruplum est eius, quod est a perpendiculari (folgt der Beweis). — In data recta linea in infinitam dato rhombo aequale parallelogrammum rectangulum constituere (folgt die Construction). — In rec lis triangulis si constituatur alterum triangulum aequilaterum includens eandem

Buch XI » XIE Cap. 20 , 1 » XI „2 » AI, 3 Euklids Data. Euklids Elem. V. Elem. VI. Einiges aus Element. VII—VIII, wesentlich aber aus Element. X. „ XII „ 4—6 Euklids Elem. X. „Xu „ 1 Element, XI 33 und 36; XII; XIII 1 und 11; zum Theil XIII 18. „ XII „ 2 Archimedes de sph. et cylind. II 2°), Eutokios zu Archimed. p. 133—49, p. 169— 72; p. 2—3, 3. Philoponos zu Aristot. IV p. 209 — 10. Der Schluss aus einer mir unbekannten Quelle (dati quadrilateri -parallelepipedi aedificii dutae mensurae aream quantacunque sit inuenire; mit Berticksichtigung der Incommensurabilität und Commensurabilität der Seiten). » XII „ 3 Eutokios zu Apollonios p. 9—12. Apollon. » XII , 4 Serenos de sectione cylindri und de sectione » XI „ . 5 coni. Theodosios cpaıpırd. » » „ „ 1 2 Herons Geometrie cap. 3—6. Heron 7—11. con. I 1; 3; 5; 17; II 38—39. XIV XIV » XIV „ 3 Heron 12—13. » » » XIV XIV XIV „ 4 ,. 5 , 6 Heron 14—17. Heron 18—28. Heron 24—30, » XIV » XIV „ „ 7 8 Heron 31—33. Heron 37 —41. „ XIV „ 9 Heron 43—60. XIV „ 10 Heron 62—82. XIV „ 11 Heron 87—104. » XIV „ 12 Herons Stereometrie (I) cap. 1—61. Didy- „ mos mensurae marm. 1—11. Stereometrie (II) cap. 11—40. , 1 Herons spiritalia. » XV, » XV, » XV 2 8 Euklids xatomrpixd. Euklids émtixé. Herons cum rectangulo habens perpendicularem, quad est ab rectum asgalum subtendente latere quadratum maius est eis, quae sunt ab interioris trianguli duorum laterum quadratis ipso quater comprehenso rectangulo sub dimidio interioris trianguli latere et altera sectionum, qaibus excedit quae rectum subtendit angulum utrumque earum, quae sunt in ipsa et duobns a dicta sectione quadratis (folgt der Beweis). — °) At quoniam pluribus ille (Archimed.) complexus est, quam hic referre liceat, mittimus, qui scire cupiat ad libros de sph, et cyl. et de dimens. circuli,

Diese Quellen, die Valla nur selten ausdrücklich angiebt, sind simmtlich sehr ungleichmissig excerpirt; an einigen Stellen ist fast alles mitgenommen, an anderen nur weniges, ohne dass hierbei irgend ein anderer Grund anerkannt werden kann, als die eigene Willktir des Compilators. Von allen hier aufgeführten mathematischen Schriften war zu Valla’s Zeit keine griechische herausgegeben, ja sie lagen tiberhaupt nicht gedruckt vor ausser den Elementen Euklids, von denen die lateinische Uebersetzung des Campanus bereits 1482 zu Venedig erschienen war.!°) Valla hat also lediglich nach Handschriften gearbeitet, von denen er eine beträchtliche Sammlung besass,. die nach seinem Tode an Albertus Pius, den gelehrten Fürsten von Carpi, kamen. Wir wollen jetzt für die einzelnen von ihm benutzten Schriften die Stellung seiner Vorlagen unseren Handschriften gegenüber im Allgemeinen charakterisiren. Was zunächst seine ‘sehr alte’ Archimedeshandschrift betrifft, die für mich die Veranlassung zu dieser Untersuchung gab, habe ich in meinen Quaestiones Archimedeae (Hauniae 1879) wahrscheinlich zu machen versucht, dass sie mit dem cod. Florentinus identisch sei. Ich hatte dabei vorausgesetzt, dass die Angabe des Bandini über das Alter dieser Handschrift richtig sei. Jetzt, nachdem ich sie gelbst untersucht habe, bin ich sowohl wegen des Charakters der Buchstaben als wegen äusserer Gründe überzeugt, dass cod. Florent. nicht die alte Handschrift Valla’s selbst ist, sondern eine im XV. Jahrhundert gefertigte Copie, die jedoch nicht nur den Inhalt des Originals viel getreuer als die anderen Copien wiedergiebt, sondern auch die äussere Gestalt der Buchstaben u. s. w. mühsam nachahmt. Wie genau cod. Florent. im Allgemeinen mit den Uebersetzungen Valla’s stimmt, wird sich aus der folgenden Collation '') derselben ergeben; wo die betreffenden Uebersetzungen Valla’s zu finden sind, ist aus dem Quellenverzeichniss ersichtlich; Archimedes ist nach Torelli's Ausgabe citirt. P. 132, 20: è B kúhtvòpoc F al.!), — ‘cylindrus b’ Valla. P. 133, 5: oürw om. F al, — ‘gh ad mn’ Valla. P. 133, 20: ñ B] à HB F — ‘gh’ Valla. P. 133, 27: eineîv] mote F, al. — ‘facere’ Valla. P. 133, 43: AF kwvou F al. — ‘ac coni’ Valla. . P. 134, 1: où déov Èctw] oùde dv ectw F — ‘sit quod non est” Valla. P. 134, 12: tfic ZH] tm ZH FV — ‘ipsi fg.’ Valla. 19) Von Valla mehrfach erwähnt; so XII 3: quem errorem putauimus corrigendum et in primis Campani, quem constat multos Euclidis locos tum praeteriisse tum non commode interpretatum et sua non satis examinate aliquando subdidisse etc. Vgl. XII 1: ne quidem a Campano recte exposita. — !!) Nicht berücksichtigt sind die Stellen, wo Torelli eigene Conjecturen in den Text gesetzt hat; auch an diesen stimmt Valla immer mit F. — !*) Hierunter sind, wenn nicht alle unsere Handschriften (VABCD), doch wenigstens immer BC einbegriffen.

ro Es BE by PD SOMO oY P. 134, 16: nepiyeypépôw] yeypapôw F, al. — "describatur’ Valla. . 134, 3 v. u. PE] PO FV — ‘ro’ Valla. 135, 11: ypépev] ypapnv F VD — ‘scripta’ Valla. 135, 22: AB, Bf] ABF F — ‘abc’ Valla. 135, 29: tò OM] tw OM F — ‘ipsi hm’ Valla. 135, 35: tod KA] twv KA F — ‘ipsorum kl’ Valla. 135, 36: tovtwv] Twv F A — ‘huic’ Valla.!*) 135, 44: BA] BE F — ‘be’ Valla. 135, 49: AA] EA F — ‘ea’ Valla. . 135, 50: A, €] AE FV — ‘le’ Valla. . . 135, 51: BE — €B — BA — AB] BA — AB — BE — EB bd — db — be — eb’ Valla. 136, 15: tac EH] ta EH F — ‘ipsa eg’ Valla. 137, 25: ZIJ FZ F — ‘ef’ Valla. F— 137, 39: noAù yap] moAU ye FD — ‘utique’ Valla. . 137, 40: tà A,Z] to KZ F, al. — ‘ipsum kf’ Valla, . 138, 28: AE] AB F, al. — ‘ab’ Valla. . 138, 48: éuoiwc] ouoiwv F, al. — ‘similibus’ Valla. 138, 4 v. u.: Wc] om. F, al. — ‘puncta in’ Valla. . 138, 3 v. u: Tapadécer] mapoßeceıc F, al. — ‘regulae appositiones’ Valla. P 139, 13: AOZ] AEZ F — ‘def’ Valla. P. 139, 32: mpötacıv] mpößecıv F V — ‘propositionem’ Valla, P. 139, 33: dmö] om. F ACD — ‘quae sunt ipsi demonstrationis’ Valla, P. 139, 45: cnueîov] c. écrw FACDV — ‘punctum, sit autem as) pars reliqua’ Valla. . . 140, 8: tH AH] om. F, ACDV — ‘parallelus igitur est bd’ mmm Valla. . 141, 17: EM] OM FV — ‘hm’ Valla. 141, 29: EB] OF FV — ‘he’ Valla. as) 141, 31 u. 32: AB] AO FV — ‘ah’ Valla. 141, 41: eipnuévn] yeypauuevn F al. — ‘descripta’ Valla. 141, 43: A, E] A, E FV — ‘ae’ Valla. 141, 45: AH] AH F — ‘dg’ Valla. **) 141, 49: TÔ árró] to ano F — ‘quod ex b’ Valla. . 141, 51: &mi napaßoAfic] ere: m. F — ‘quoniam comparatione igitur’ Valla, P. 142, 3: &mi ümepßoAfic] eme umepBoknc F — ‘quoniam hyperbole’ Valla. 15) Valla hat hier das in F an dieser Stelle angewandte Compendium T = tüv als tH gedeutet. Lin. 88 lässt er ywviac, das in F mit einem Compendium geschrieben ist, und tuxöv weg. Auch die beiden Figuren p. 136 hat Valla in derselben Gestalt wie F. — !*) So sind auch folgenden a und d wie in F vertauscht.

P. 142, 4: tò ©] tw © F — ‘ipsi h’ Valla. P. 142, 26: ñ B] fi HB FV — ‘gb’ Valla. hed P. 142, 20: icov.... A,T] ıcov ect — AAZ FD — ‘aequale est ei, quod est sub daf’ Valla. P. 142, 42: dZova Thv] & thc FA — ‘axem ipsius’ Valla. . 142, 47: thc AZ] mc EZ FV — ‘ef’ Valla. 142, 50: kai] om. F, al: — ‘data igitur’ Valla. . 142, 53: BA, BE] om. FV — om. Valla. 5) 143, 3: téuvouci] teuouct F, al: — ‘secabunt’ Valla. HO MS SO Bee: He PU PU rg CT" rr n 143, 7: TÔ dnd] To amo F — ‘quod ex bd’ Valla. 143, 11: AB] BA F — ‘bd’ Valla. . 143, 19 u. 20: AA, [] ABF FVD — ‘abe’ Valla. 143, 22: ti amò] tnv amo F — ‘ipsam ex d’ Valla. . 143, 34: tH... eùBeiq] tnc — evderac FVACD — ‘ipsius ap rectae lineae’ Valla. P. 143, 41: dé] dn F — ‘utique’ Valla. . 143, 43: 16] to uev F al. — ‘quidem’ Valla. . 144, 2: BMZ] EMH F — ‘emg’ Valla. P. 144, 5: OA, Ol] OAI F, al., — ‘hai’ Valla. . 144, 6: &crı dpa] apa ecru F — ‘igitur est’ Valla. . 144, 27: mpwtov] npwroc FACD — ‘primus’ Valla. . 144, 31: aùtó] avtov F — ‘ipsius’ Valla. P. 144, 34: diarreuwouévouc] diaueuyauevouc F al. — ‘increpante obiurganteque’ Valla. P. 144, 42: òpyavikh] opyavırn Anwic F, al. — ‘acceptio’ Valla. P. 144, 46: cxnuariZeiv] peracynuatiZerv F, al. — ‘transfor“ mare’ Valla, : P. 145, 3: uéMer] peder F, al. — ‘curae sit” Valla. » n Boh] n BouAn F — ‘si voluerit quis’ Valla. . 145, 25: KH] ZH F — ‘fg’ Valla. . 145, 27: HK] ZK F — ‘fk’ Valla. . 145, 29: HK] KH F — ‘kg’ Valla. 145, 33: FH] KH F — ‘kg’ Valla. 147, 7: &MNov] aAhov de F — ‘autem’ Valla. . 147, 18: A] Z F — ‘f’ Valla, . 147, 28: xuAivdpiw] xuAivdpiov FAD — ‘cylindrum’ Valla. . 147, 33: AMN] AMN F — ‘amn’ Valla. . 147, 2 v. u. ON] OH F — ‘hg’ Valla. 6) . 148, 3: M, N] MH F — ‘mg’ Valla. . 148, 6: =Z] ZN F — ‘xn’ Valla. P. 148, 2 v. u. möAw] moAAw F — ‘multo magis’ Valla. P. 149, 10: AA] AA F — ‘al’ Valla. i P. 149, 13: OK tH AA] OKAAH FVAD — ‘hkadg’ Valla. 15) Auch die Figur p. 142 ist die von F gebotene. — 1%) Auch die Figur p. 147 ist ganz wie in F; ausserdem fügen sowohl F als Valla noch eine Figur hinzu p. 148.

149, 24: TE, EF] FEZ F — ‘cef” Valla. 149, 25: KE, EZ] KEZ F — ‘kef” Valla. 149, 33: AA] AB FV — ‘ab’ Valla. 149, 34: FK] KT F — ‘ko’ Valla, VERE veg 149, 35: Hr] MF FV — ‘mc’ Valla. 149, 40: TÔ uév] to pev F — “illud quod’ Valla. 149, 40: BMA] BM F, al. — ‘bm’ Valla. 149, 43: tò dnö AA] Grd om. F. al. — ‘quorum ad’ Valla. 149, 44: TÔ àmd FZ] to ano FZ F — “quod ex cf” Valla. , 149, 47: dpa ñ FA] apa n AF F — ‘le’ Valla. ibid: oërwc] om. FVA — om. Valla. 170, 22: Ten écriv] ectiv icn F — ‘est aequalis’ Valla. 170, 32: ZM, AH] AM, AH FV — ‘In, ag’ Valla. 170, 32: ZM] ZH FV — ‘fg’ Valla. VERNO 170, 33: fi MA] ovtwc n MA F, al. — ‘ita ml’ Valla. 170, 40: oùtwc] où F — “cuius circulus’ Valla. 170, 44: AH] AB F — ‘ab’ Valla. 170, 48: BM] AM FV — ‘am’ Valla. 171, 11: ZM] BM FV — ‘bm’ Valla. 171, 12: tò B] to A FV — ‘@ Valla, . 171, 44: Thy aùrhv] kwvw Tnv FA — ‘cono quam? Valla. . 171, 45: xopu@fic] xopupnv F — ‘uerticem’ Valla. 171, 51: EA, AZ] EZ, ZA FV — ‘ef, fa’ Valla. . 172, 1: ZA] ZA FV — ‘fd’ Valla. . 172, 4: ZO] OZ F — ‘hf’ Valla. . 172, 15: Bácic] Bacıc ectt F, al. — ‘basis est’ Valla. . 172, 21: ZB] ZE F — ‘fe’ Valla. . 172, 29: doBeîcav] 808. evderav F, al. — ‘data recta linea” Valla. Aus obiger Collation geht hervor, dass Valla sehr oft mit F auch da tibereinstimmt, wo die beiden Pariser Hdss. B und C, die nach ‘der sehr alten Handschrift Valla’s’ abgeschrieben sind (Quaest. Arch. p. 124 ff), andere (bessere) Lesarten haben. Hieraus mtisste geschlossen werden, dass B und C an solchen Stellen unabhängig dieselben Emendationen gefunden haben, was gar nicht unmöglich ist, wenn man die Art der verbesserten Fehler des cod. Florent. bedenkt; sie sind fast alle so in die Augen springend, dass selbst eine sehr bescheidene Kenntniss des Griechischen gentigt, um sie zu erkennen. Aber wahrscheinlich würden genaue Collationen von BC zeigen, dass C an den meisten Stellen mit F tibereinstimmt, und B ebenso ursprtinglich dieselbe Lesart gehabt hat, aber nachträglich corrigirt ist (doch mit der ersten Hand) 17); so haben z. B. p. 132, 20, wo die Collationen Torelli's schweigen, sowohl B als C 6 B xülıvdpoc wie F und Valla, aber in B ist B in € corrigirt worden. 17) Quaest, Archim. p. 128.

Jedenfalls ist es aus den angeführten Stellen ersichtlich, dass F mit der grössten Treue der Vorlage nachgemalt ist, ohne dass der Schreiber sich wissentlich von derselben entfernte; denn viele der in F wiederholten Irrthümer der Handschrift Valla's sind so albern, dass es kaum anzunehmen ist, der Schreiber habe sie nicht corrigiren können. Wir dürfen also selbst wo BC gegen F übereinstimmen, nur mit der grössten Vorsicht auf die Lesart des Archetypus aus BC schliessen. Jedoch muss zugestanden werden, nicht nur dass der Schreiber von F natürlich aus Nachlässigkeit irren konnte, sondern dass er nachweisbar geirrt hat. Ich will hier die verhältnissmässig wenigen Stellen aufführen, wo Valla augenscheinlich nicht die unrichtige Lesart des cod. Florent. vor sich hatte, sondern die richtige der Hdschr. BC: P. 2, 15: &ptwpevov] BC, aptwyev F'?) — ‘elevatus” Valla. P. 136, 7: aùtùv] BC, autov F — ‘ipsarum” Valla. P. 137, 3 v. u. repipépera] BC, mepipeperav FV — “ambitus’ Valla. i P. 144, 27: ‘Innoxpérnc] ‘Imtoxparic F — ‘Hippocrates’ Valla, P. 148, 7: ON] BC, OH F — ‘hn’ Valla. P. 149, 41: tò ünö BMA] tò ünd BM BC, ta uno BM F; ‘quod est sub bm” Valla. P. 170, 21: fi uèv HN] BC, n uev n HN F — ‘gn’ Valla. Nicht beweisend sind: P. 136, 20: téuverai] B, tétuntar C, teuntar F — ‘secat’ Valla. . P. 144, 4 v. u.: erpnriv uédiuvov] BC, uetpnmnv nediuvwv F — ‘metretas et modios’ Valla. P. 141, 47: f ZO] BC, OZO E — ‘hf’ Valla, zeigt wenigstens eine gewisse Uebereinstimmung mit F (wo nur das zweite © unrichtig ist) gegen die übrigen Hdss., wenn den Collationen hier zu trauen ist; ebenso p. 134, 19: =O] BC, 200 F — ‘fh’ Valla, d.h. ZO. Die ganz einzelnen Stellen, wo Valla gegen FBC allein das Richtige bietet, sind einem günstigen Zufall zuzuschreiben: P. 140, 8 v. u.: à MN] V aus Coniectur, HM FBC — ‘nm’ Valla. P. 147, 5: Kai pécnv] mpoc (Compendium) FBC — ‘et’ Valla. Sonderbar genug finden wir drei Stellen, wo Valla mit der einen Pariserhds. der anderen und F gegenüber zusammentrifft: P. 143, 28: téuver] B, teuer FC (besser) — “secat” Valla. P. 144, 32: émpPadouévync] B, empPaddAouevnc F, émpPaddouévouc C (richtig) — ‘cum ab oraculo iuberentur’ Valla. P. 141, 1: Cnôpoc] FC (richtig) TIöpoc B — ‘Porus’ Valla. In den beiden ersten Stellen scheint eine ungenaue Uebersetzung Valla's vorzuliegen, wie es sicher der Fall ist, wenn p. 137, 29: tò 18) Der Schreiber hat das Compendium für -ov tibersehen.

aùté Ecrı TD Anpeevrı Emmi (diese beiden letzen Worte lassen ed. Basil. und Torelli gegen alle Quellen weg) tijc “Hpwvoc karackeufic mit ‘idem est, quod in constitutione fuit Heronis’ wiedergegeben wird. Den Namen Porus (nach Wc) statt Sporus zu substituiren veranlasste vielleicht sowohl Valla als den Schreiber von B die Stelle bei Eutocius p. 216 (von Valla XIII, 2 übersetzt), wo TIópoc 6 Nikareúc genannt wird, Sonderbar ist auch: P. 138, 7 v. u.: Terayuéva] B, tayevaueva F (ohne Zweifel richtig), C — ‘constutata’ (sic) Valla. Wahrscheinlich hat Valla Tayevaueva flüchtig als tetayuéva oder sonst eine Form von TATTW gelesen, ebenso wie der Schreiber von cod. Norimbergensis des Archimedes, der sicher eine Abschrift von F ist, aber doch hier tetayuéva hat. Der Schreiber von B ist dann zuftillig auf dieselbe, für einen flüchtigen Leser naheliegenden Quasi-emendation gekommen. Aus dieser Untersuchung geht hervor, dass F nicht die Handschrift Valla’s selbst ist, aber die zuverlässigste von allen auf uns gekommenen Copieen dieser jetzt verschollenen Urquelle unseres Archimedestextes, und dass somit dem cod. Florent. der erste Platz in der kritischen Behandlung desselben gebührt, jedoch unter Zuziehung von Valla und codd. Paris. B und C. Die Nikomachoshandschrift Valla’s scheint der Classe SHI bei Hoche p. VI am nächsten gestanden zu haben, aber an einigen Stellen zeigt sie eine gewisse Verwandtschaft mit der Haupthandschrift G. Ich will einige Beispiele von beidem geben. Nikom. I 2, 4 p. 4,-16 ed. Hoche: Z@ov, xöcuoc, dévòpov] L@ov, dévdpov, x6cuoc SHI; ‘animal arbor mundusque’ Valla II 1. Nikom. I 6, 1 p. 12, 5: napadeiyuatoc olov Aéyov rpoxapéYuatoc] napadeiynaroc Apxhv Kai Aóyov olov mpoxapdypatoc H; ‘gunt stabili et inconcusso exemplo prineipium proportionemque et tamquam impressionem’ Valla II 1. Nikom. I 10, 4 p. 22, 19: mAelova uèv yap tod évòc TuuaTa Ev TÔ pueiZovi péper &xwv Öpätaı (Órrápxer S), mieiova dè TOO évoc ätunta Ev tH ékattovi] Ev TW ueiZovi — dtunta om. G; ‘nam et plures una habet sectiones in maiori parte et in minori plures habet quam unam quae secari in duo aequalia neutiquam possunt’ Valla II 5. 111, 2 p. 26, 16: è u&v yap Y uóvov Tpitov Tod Éavtoù TapwWvupov Kai TOUTO mavtwc povdda, è dè e udvov Treuntov Kai 6 Z uóvov éBdouov Kai 6 1a ubvov Évdékatov, Kai Ev mac TAÙTA TÀ uépn uóvac Úrrápxer] kai 6 Z uóvov éBdouov steht nur in C; nach évdéxatov fügen SH hinzu: xaì 6 Aa Tprakocropóvov; “nam in tribus sola pars tertia, quae a tribus nominatur. Itidem quinarii sola quinta pars et ea unitas et 31 trigesima una in omnibusque hoe modo reliquis idem invenias’ Valla II 6. I 13,8 p. 33, 23: oötor oùv Ecovtar deutepor Kai cUVBETOL

finden sich nicht in GH; aber Valla II, 8 hat: ‘iique secundi ac compositi”. I 14, 3 p. 37, 14: xakeitaı] xAntéoc SH; ‘uocandus est’ Valla II 10. I 16, 1 p. 38, 15: idibminta] duoidtnta CSH; ‘similitudinem’ Valla II 11. I 16, 4 p. 41, 20 hat auch Valla II 13 wie GS die Reihe von Zahlen, die schon p. 41, 5 stand, wiederholt, aber nur acht Glieder. I 17, 4 p. 44, 21: à tic icötntoc CSHF; “hoc est aequalitas’ Valla II 14. Dagegen fehlt die in CI p. 45, 15 beigefügte Glosse bei Valla II 14. I 19, 11 p. 52, 4 und 5: yauuoeiddc] Ypaupoedùc mit getilgtem p G; ‘lineatim” Valla II 17. P. 52, 11: Kai Toto péxpic Ökou dkóhouBov eüprceic] ÖAou om. G, téXovc CSH; ‘hoc totum ita consequi invenies” Valla II, 17. I 18, 1 p. 47, 1: kai 6 e mevtamAdcioc PC; ‘et 5 quincuplus ” Valla II 16. I 19,1 p. 49, 2: deutepov TH pÜce eldoc Kai TH THEE] CSH “vertauschen TáZet und @ücei; ebenso Valla II 17: ‘species numeri secunda in ordine et natura’. I 19, 2 p. 49, 7 finden sich in CSH nach ùrenitpitoc die Worte: éav dE TÉTAPTOV, émitétaptéc te Kai Unemitétaptoc; ‘si quartam, sesquiquartus maior dicitur, minor subsesquiquartus” Valla II 17. Il 1, 1 p. 73, 6: &E où édaxictou cuvicrataı] é& où mpwrtictou äpxeraı C; “ex quo quidpiam constat primordio” Valla III 1. Ebend. Lin. 9 fehlen die Worte: Kai eic atta Ecxata àvarverar in G; “et eadem postremo in suum resolvitur principium’ Valla III 1. II 2, 1 p. 74, 16: &v hrivoöv cxécei] È. fi. Oécer G; “in quacunque affectione” Valla IH 1, was auf cx&ceı deutet. Ebend. Lin. 18 fehlt das Wort no\\ar\acemiuopiw in GH; Valla III 1 hat es: “multiplici superparticulari, inquam, sive superpartiente’. II 3, 4 p. 77 hat die Figur bei Valla III 1 dieselben Aufschriften, die CS bieten: ‘duplares omnes in latitudine’ (dimAdcıoı Kata mAdtoc), ‘triplares omnes diagonii’ (TpımAdcıor of diaywvior návrec), ‘sescupli inferni supernorum’ (fiuòMor TÔv émévw ot Katw); aber die in denselben Handschriften hinzugefügte achte Reihe fehlt bei Valla. II 4, 1 p. 78 hat Valla III 1 wieder dieselben Aufschriften auf der Figur, wie CS: ‘triplares in latitudine omnes’ (tpurhácior katà TAdtoc), ‘sesquitertii superiorum inferni’ (€nitpitor tv êrrávw oi xétw), ‘quadrati omnes diagonii” (retparAëcior of diario); auch hat er nur sechs Reihen, wie dieselben Handschriften. Freilich kann hieraus tiber die Stellung und ‘den Werth dieser Handschrift wenig geschlossen werden; es dürfte aber der Mühe werth sein bei einer ktinftigen Ausgabe des Nikomachos auch die Uebersetzungen Valla's zu Rathe zu ziehen.

Die Planudeshandschrift Vallas bot nicht die yngogopfa in der uns vorliegenden Gestalt, aber in einer andern Redaction mit Zustitzen aus andern gemischt; so hat das Capitel über Subtraction (Valla IV 3) bedeutende Erweiterung gelitten, während das über Division (IV 5) sehr verkürzt ist, wie auch namentlich der Schluss über Quadratausziehung; das muss aber vielleicht Valla selbst angerechnet werden; aber die Darstellung der Multiplication (IV 4) ist durchgängig so abweichend, dass man daraus auf eine andere Recension durchaus schliessen muss, vielleicht die von Gerhardt p. XII besprochene, worin Ausztige aus Nicolaus Rhabda aufgenommen sind.!?) Aber dennoch finden sich viele Stellen der une vorliegenden Recension wörtlich wieder, und Vallas Handschrift scheint vielfach besser als die unsrigen gewesen zu sein. So hat er offenbar die Lacune p. 5, 5 ff. ed. Gerhardt nicht gehabt; denn er übersetzt (IV 2): ‘relinquuntur 2. haec ascribe superioris uersiculi numeris. inde te ad secundum conuerte versiculum et dic 5 et 6 faciunt 2 (sic! 11 hat er als Römerzahlen gelesen). aufer 9. relinquitur 2. et die 2 et 8 faciunt 10. aufer 9. relinquitur 1”. Also ist die Lticke so zu ergänzen: |P Kai ypáwov tadta épeziic tH dvw crixw kat narıv eine W Kai Y, Il’ Ópehe ta 9 Kal Èvatereipon P Kai eimt P Kai A, lo’ Üpeke 9 èvaredeipon. Die Worte xai méAtv hat Valla auch p. 5, 7 durch: ‘et te ad ultimum converte versiculum” wiedergegeben. Auch die Lacune p. 26, 4 hat er nicht gehabt; er übersetzt (IV 8): “et rursus 54 ab 59. reliqua sunt 5. scribe ipsa. et rursus 9 ab 3”. Dagegen fehlte p. 30, 19 das von Gerhardt ergänzte tetpéxic auch in Valla's Handschrift (‘et rursus duo octava unum’ IV 11). Was er in der Lücke p. 24, 5 gelesen hat, ist aus seiner Uebersetzung nicht klar: ‘scribe signa, partes, scrupulos et secundos, quae omnia in notis comperies astronomicis. quae igitur ibi comperies, nota et infra haec cett.” IV 6. Als Probe, wie er seine Quellen behandelte, mag die Stelle p. 45, 3 ff. == Valla IV 13 __hierher gesetzt werden: ‘Etépa uéBodoc uiyua oùca praeceptio altera miscelanea de tic Te ’Ivdixfic Kai tod Oéwvoc | indica Theone plerisque aliis Kai Tic fuetépac. sumpta authoribus. Auch seine Handschrift von den cpaipiká des Theodosios scheint zu den bessern gehört zu haben. Wie im codex Savilianus fehlt I 1 das mépicua a’ (p. 2 ed. Nizze); ebenso fehlt I 6, b p. 7 wie bei Dasypodius, weil aber auch I 7 weggelassen ist, hat vielleicht Valla selbst beide tibergangen. I 8, p. 8 steht richtig: ‘et producatur in utramque partem’, wie Pena, Hunt und Nizze haben (xaì xBAn6fj én’ Gupdtepa, nicht dy0f) I 9 p. 10 ebenfalls richtig: ‘in abe Diesen wird besonders deshalb wahrscheinlich, weil in Cap. IV über Multiplication) die Fingerrechnung berücksichtigt wird, worüber habda bekanntlich geschrieben hat (Gerhardt a. O. Note).

lineam’, während Pensa und Hunt AB haben. I 13 p. 12 hat Valla die von denselben weggelassenen Worte: TÙV Ev ti cpaipg vor sich gehabt: ‘orbem aliquem in sphaera’. I 18 p. 16 findet sich wenigstens eine Spur des von Nizze in der Note a p. 16 vermissten Beweises, wenn es heisst, ‘verum qui sub def ei, qui sub dgf aequalis est. in eadem namque sectione per 21 Euclidis’ (s. Eukl. Elem. III 21; cfr. Nizze p. 98, a); es scheint aber eher von einem Scholiast (oder Valla selbst?) herzurtihren als von Theodosios selbst, der nie Euklid mit Namen citirt. Der jedenfalls unechte Satz I 22 p. 19 fehlt bei Valla, der doch I 21 und 23 mitgenommen hat. I 23 p. 20 fübrt die Uebersetzung: ‘in orbem’ eher auf &mi Tòv KUKAov wie Dasypodius hat, als auf émi tod xuxAou (Pena, Hunt, Nizze). Il 3 p. 22 stimmt Valla: ‘ipsa cf” mit Pena: f TZ, während Hunt und Nizze f HZ haben. Dagegen hat er II 4 p. 23 richtig: ‘sit ut fbg’, während Hunt und Pena úc weglassen. II 20 p. 45 scheint er eine Lücke gehabt zu haben; denn: duvaraı dè deryofivar, Kai Mi) vpapóvrwv fiuùv, pdvov dè npocavarAnpoüvrwv Toùc HOT, HKA, EZ, dc év tH Gewphpari übersetzt er nur: ‘possibile sit demonstrare et non scribentibus nobis solum uero complentibus ef’. Die beinahe vollständige Uebersetzung der heronischen Definitionen scheint nach einer den unsrigen sehr &hnlichen Handschrift gemacht; denn wir finden die meisten Fehler der unsrigen Ueberlieferung auch bei Valla. Namentlich hat auch sie alle die von Hultsch als unecht bezeichneten Stellen mitenthalten, wie def 1 und 2 == Valla X 2; def. 10 (mit der vorhergehenden verbunden) == VallaX 5 (‘generales quaedam sunt superficierum differentiae”); def. 17 = X 10; 24 — X 16; 25 = X 18; 28 == X 21; 29 == X 22; 34 == X 27; 100 = X 86 (‘totidemque angulis”); weggelassen ist nur def. 23 und der Schluss von def. 30 (Valla X 23). Dass def. 122, 124 und 125 und das meiste von 127—128 nicht mitgenommen sind, darf wohl Valla’s eigener Willkür angerechnet werden. Inwiefern er die unechten Schlusscapitel 130—33 in seinem Codex gehabt hat, steht dahin; Spuren davon scheinen doch in X 109 vorvorhanden zu sein, wo Valla selbst aus Plinius u. a. vieles zusammengetragen hat. Für die Uebereinstimmung mit den offenbaren Schreibfehlern unserer Handschriften mögen folgende Belege gentigen: def. 14 p. 11, 21: où cuuninter] où fehlt in den Hds., ‘quae producta per sese sibi coincidit” Valla X 7; def. 25 p. 14, 20: edcynuaticuévov codd., ‘et bene figuratum dici solet’ Valla X 18; 32 p. 16, 19: peiZovoc codd., ‘et circumferentia maiore hemicyclio” Valla X 25; 47 p. 19, 11: ywviac om. codd., ‘oxygonium est tres acutos habens’ Valla X 40; 59 p. 21, 5: GpiOudv codd., ‘omnis assumens sibiqualemcunque numerum figura’ Valla X 44; 64 p. 21, 18: ueiïouc codd., ‘quaecunque maiores habet” Valla X 53; 71 hat auch Valla X 59 die Ueberschrift: ‘de parallelis’; 90 p. 26, 10 À où tundévtoc] À où tu. F, ‘uel non secta’ Valla X 76; ebenso F 92 p. 26,

19, wo aber Valla ‘uel quo secto’ hat, während er 91 p. 26, 15 wiederum ‘uel non secti’ giebt, F aber où tu. hat; 75 p. 23, 21: ñ TE kwvikh] hj TexToviKi codd., ‘mixtae vero fabrilis’ Valla X 62; 105 p. 29, 26: tà dd Bácewc eùBuYpóuuWV codd., ‘quae a basi rectilineorum’ Valla X 91; 108 p. 30, 9 hat auch Valla X 93: ‘quae parallelepipeda’, und zum Anfang wie F: ‘parallelepipeda sunt’; Lin. 11 steht in den Hds. statt oic Ycwv das unverständliche Wort oiZwv; auch Valla scheint nicht ofc fcwv gelesen zu haben; denn er übersetzt: ‘aut coeuntibus triangulis aliquibus descriptis’; 118 p. 32, 28: eiciv. Óuora tufpara KÚKÀot codd., ‘sunt similia segmenta. Circuli sunt’ Valla X 101; p. 33, 1: éuoiwc codd., ‘itidem” Valla; 117 p. 32, 13: kúBor codd., ‘cubi’ Valla X 100. Doch geht es aus einigen Stellen hervor, dass die Handschrift Vallas auch bessere Lesarten bot, als die unsrigen; von solchen Stellen habe ich folgende gefunden: def. 19 p. 12, 23: èn” fehlt in den Hds., ‘quos recta facit linea super. recta insistens’ Valla X 12; 49 p. 19, 16: à dè d&uyúvia om. FB, ‘alia oxygonia’ Valla X 41; 102 p. 29, 15: crepedv om. codd., ‘figura est solida” Valla X 88; 118 p. 32, 22 hat Valla X 101 das von Hultsch geforderte duofwv st. Ycwv gehabt; denn er übersetzt: ‘de similibus et reciprocis figuris’, während er {coc durch aequalis wiedergiebt; 120 p. 33, 28: mapadeintéov scheint auch Valla X 103 gelesen zu haben (‘abiiciendum’), nicht rapoAnnteov mit unseren Quellen. Auch stimmt Valla zuweilen mit Dasypodius überein gegen unsere Handschriften, woraus wenigstens so viel hervorgeht, dass Dasypodius das seinige aus Handschriften, nicht aus Coniectur hat. Von dieser Art sind folgende Stellen: def. 24: Und Evöc cnueiou xerkacuevn Ermipaveig Dasypodius, ‘fore ab uno puncto fracta in lineam superficie’ Valla X 16; def. 30: mepatouuévn &p’ Exdtepa TA uépn Und tic TOD KUKAOU Trepı@epeiac Dasypodius, ‘terminata utrobique in cirouli ambitu’ Valla X 23; À duo xukAwv uh Tepì Td aùrò Kévtpov Svtwv’ ÜTEPOXN xolAnc Kai xuptfic Dasypodius, ‘vel duarum circumferentiarum cirea idem centrum excessus caui et conuexi’ Valla X 25 (hier ist jedoch die Uebereinstimmung nur theilweise); def. 117: Aéywuev Dasyp., ‘dicamus’ Valla X 100; ibid. uövw éufadb® Dasyp., ‘et soli areae” Valla; def. 120: ti biauétpw Dasyp., ‘ad rectos angulos diametri” Valla X 103. Dass aber Dasypodius und Valla nicht nach einer und derselben Handschrift arbeiteten, ist hingegen aus andern Stellen ersichtlich; namentlich hat Valla die von Dasypodius vortibergegangenen Capitel 32 (Valla X 25), 74 (X 61) und 111 (X 95); auch bat Dasyp. def. 120: &xtöc, aber Valla X 103: ‘intra’. Schliesslieh mögen noch die Uebersetzungen von zwei kritisch bedenklichen Stellen hier stehen, aus denen es hervorgeht, dass Valla etwas anderes gelesen hat, als was in unseren Quellen steht,

ohne dass ich die Lesart seiner Handschrift zu reeonstruiren mir getraue: def. 110: pBoywvia piv ody eicıv «rA.; ‘rectangula igitur sunt, quaecunque lineam habent rectangulorum sub tribus continetur angulis’ Valla X 95; def. 115: 6tav mpòc macac Tac Órmropévac aùrfic Ev TO aúT@ émimédw xth.; ‘cum in omnibus, quas in plano attingit ibi rectos angulos facit” und weiter unten p. 31, 22: ‘superficie communi sectione superficiem tangens ad rectos angulos lineas rectas ostendit et ubi ad rectos coiere angulos plana parallela sunt minime coincidentia’ Valla X 99. Für die Geometrie Herons benutzte Valla eine Handschrift, die mit D bei Hultsch (Parisin. 2013) gänzlich übereinstimmte. Nicht nur fehlte darin, wie in D, Geom. VI 3 (Valla XIV 1), XII 2—5 (Valla XIV 3), XLII (Valla XIV 9), IL (Valla XIV 9), LXIV (Valla XIV 9) die Worte p. 99, 12: à ÖöpBroc Tieupà frouv à KdBetoc cyowiwv 18°, und CII 11 ‘(Valle XIV 11), während Valla mit D Geom. V 8—9 (XIV 1), VI 4 (XIV 1), den Zusatz zu XVII 3 (Valla XIV 4) und zu XXXIII 3 (Valla XIV 7: ‘sciendum, inquit Heron, est ulnam habere spithamas 9'/ aut palaestras’ u. s. w.), was alles in A fehlt, aufgenommen hat, wie er auch Geom. CI in der von D gebotenen Form (Hultsch p. 134) giebt (XIV 11); sondern auch in den übrigen Abweichungen stimmt er stets aufs genaueste mit D überein. Ich will davon einige Beispiele geben, indem ich der Kürze wegen die Lesart von Codex D nicht mit aufführe: Geom. III 11 p. 44, 22: ‘perpendicularis, quae ad rectos angulos vocata, quae desuper in basim acta binos utrobique angulos facit aequales’ Valla XIV 1. Geom. VI 1 p. 52, 8: ‘multiplica latitudinem in longitudinem, id est 3 in 8. fient 24. tantundem erit area ipsius parallelogrammi rectanguli’ Valla ibid. Geom. VI 2 p. 52, 16: “ducito 20 in 15 fient 30° (!) Valla ibid. Geom. VI 5 p. 53, 3: ‘quadrangulum parallelogrammum, quod etiam’ Valla ibid. Geom. VII 2 p. 53, 17: ‘sume dimidium basis, hoc est duo cubita’ Valla XIV 2 (sollte D nicht dúo cyoivia haben?). Geom. IX 2 p. 54, 28: ‘inde connecte utriusque lateris multiplicationes, hoc est 64 et 36’ Valla ibid. (ebendaselbst fehlen die Schlussworte wie in D). Geom. X 1 p. 55, 1: ‘triangulum sit rectangulum’ Valla ibid, X 2 p. 55, : ‘quod si uelis inuenire subtensam’ Valle ibid. Geom. XIII 1 p. 57, 10: ‘facito” Valla XIV 3. Geom. XIII 2 p. 57, 18: ‘et ab hoc collectum noris esse aream rectanguli trianguli, ut sit trianguli regtanguli basis cubitorum 20° Valla XIV 3. Geom. XIII 2 p. 57, 24: ‘ita facito. dimidium basis, hoc est 10, multiplica” Valla ibid. XII 4 p. 58, 6: ‘quorum dimidium erit 30’ Valla ibid. Geom. XV 1 p. 58, 28: ‘et reliquum noris esse numerum perpendicularis. inde multiplica dimidium basis in perpendicularem et a multiplicatione collectum est area’ Vall. XIV 4. Geom. XVII 1 p. 60, 6: ‘ipsa 30 unius lateris’ Valla ibid. Geom. XIX 2 p. 61, 21: ‘multiplica

perpendicularem in dimidium basis, hoc est in 4, et fient 12. estque area totidem cubitorum, quorum dimidium est 6” Valla XIV 5. Geom. XX p. 62, 5: “multiplica dimidium basis, hoc est 6, in sese. fient 36. haec subtrahe a lateris multiplicatione etc.” Valla XIV 5. Geom. XXXVII p. 82, 19: ‘de quadrangulis aequilateris quidem, sed non rectangulis seu rhombis’ Valla XIV 8. Geom. XLIII p. 86, 5: ‘parallelogrammum sit rectangulum’ Valla XIV 9. Geom. LXXXVII p. 114, 18: ‘de circularibus figuris’ Valla XIV 11. Dass Valla zuweilen mehrere Capitel vorbeigeht, die sich in D finden, scheint auf ihn selbst zu kommen und stimmt ganz mit seiner Weise die Quellen zu benutzen. Ausser den Capiteln, deren Fehlen aus dem oben gegebenen Quellenverzeichniss ersichtlich ist, lässt er z. B. Cap. 65—73 weg (XIV 10). Schliesslich sei es nur angemerkt, dass wenn er XIV 1 gleich zum Anfang schreibt: ‘Euticium, Didymum, Heronemque imprimis secuti’, so ist unter Euticius jedenfalls nicht Eutocius, wie man glauben konnte, zu verstehen; denn von ihm findet sich in Buch XIV auch nicht die geringste Spur. Eher michte ich glauben, dass sich in diesem verschriebenen Namen der Name TTarpikioc verbirgt, und dass diese Angabe sich auf Heron: Geom. 104: mpocOyjxn Tlatpixiou Aaurporätou Bewpñuartoc bezieht, welchen Schlussabschnitt Valla XIV 11 ohne Ueberschrift hat. — In der heronischen Stereometrie I zeigt Valla eine durchgängige Aehnlichkeit mit der Pariserhandschrift 2475, bei Hultsch B genannt. Als Beispiele seien hier folgende Stellen angeführt: Stereom. I 14, 1 p. 156, 26: noıncac B; ‘aream faciendo in sese 6” Valla XIV 12; Stereom. 26 p. 160, 24: näxouc B; ‘similiter etiam duo crassitudinis’ Valla; 27 p. 160, 31: B’ nAdtouc B; ‘compone 2 latitudinis? Valla; 28 p. 161, 5: eüpeiv — yivovraı hat B zweimal; ‘si uelis huius solidum inuenire fac ita. multiplica latitudinem et crassitudinem. fient 10. ut inuenias ipsius solidum fac hoc modo. multiplica latitudinem et crassitudinem. erunt 30’ Valla; 33 p. 162, 27: c@° y’ B; ‘erunt 209'/;’ Valla; 38 p. 165, 1: tpiywvou, où h ép8oybvioc B; “triangulum, cuius rectangulus perpendicularis’ Valla; 38, 2 p. 165, 5; mepitptywvou B; ‘ipsius peritrigoni’ Valla; 44, 1 p. 168, 1: o dMiw O€atpov B; ‘theatrum aliud sit’ Valla. Jedoch scheint die Handschrift Valla’s eher die Quelle von B gewesen zu sein, als umgekehrt; denn 14, 1 p. 156, 27, wo B statt d” xn” unrichtig 0” n” hat, giebt Valla: ‘fitque 28!/,, 28/,’, wo wenigstens 284, richtig ist; 17 p. 157, 28 fehlen in B die Wogte: Ag’: Kai ta B &p’ aùtà yYivovraı, während Valla hat: ‘6 in sese fiunt 36, et 2 in sese euadunt 4”; such p 158, 1, wo B: mpocéenxa toic u'* yivovto. vp’ weglässt, hat Valla: ‘et haec adde ipsis 40. fient 52”. Von einer wesentlich besseren Ueberlieferung, als die unsrige, findet sich keine Spur; so hat Valla die von Hultsch an- - gefochtenen Stellen 5, 3; 22,3; 24; auch die verdorbene Stelle 5, 1

lag Valla in derselben Gestalt vor; von Schreibfehlern, die bei Valla wiederkehren, bemerke ich noch folgende: 14, 2 p. 157, 1: Gua Kúvou; ‘cum cono’ Valla; 16 p. 157, 21: küKkAoic; “ut in supra descriptis circulis’ Valla; 27 p. 160, 30: daktúhouc Z'; ‘digitos 7° Valla. Dasselbe Verhältniss treffen wir bei den Auszügen aus Didymos und der heronischen Stereometrie II, eine vollstindige Aehnlichkeit mit unsern Handschriften, besonders B, worin gleichfalls diese Sammlungen enthalten sind, aber so, dass die Handschrift Valla’s als Quelle von B betrachtet werden darf. Einige Beispiele werden die Sach-: lage am besten erläutern. Didymos 2 p. 239, 1: uúkouc codd., 19° statt 17’ B; ‘longitudinis pedum 16° Valla XIV 12; Didym. 3 p. 239, 10: &v ánaë \ B; “hoc est unum semel 30° Valla; 4 p. 239, 12: mnxWv codd., wie auch p. 239, 17; 8 p. 240, 14; 9 p. 240, 16 und 22 u.s. w.; Valla hat überall: ‘cubitorum’; 7 p. 240, 9: nodWv À xv codd.; ‘totidem pedum erit aut cubitorum’ Valla; 9 p. 240, 22 hat B statt y’: tov; auch Valla, der sonst Zahlzeichen braucht, hat hier: ‘trium’. Abweichungen finden sich Didym. 3 p. 239, 8: “longitudinis pedum 5, latitudinis pedum 2° Valla; 5 p. 239, 19: ‘crassitudo seu altitudo’ Valla richtig, während die Handschriften fehlerhaft: näxouc {ror Úwouc bieten; 9 p. 240, 20 stimmt Valla (‘quorum 92”) mit M. Stereometr. II 11 p. 174, 17: nov € B mit Weglassung von na’—yivovraı (so auch M); ‘pedum 5. haec in sese sunt 26. reliqua 56” Valla XIV 12; Stereom. 12 p. 174, 24: tpuòv B, ‘pedum trium’ Valla; p.175, 1: xwpñcet B in marg.; ‘quot fidelias continent” Valla; 24 p. 177 hat bei Valla denselben Schluss, den die Handschriften bieten; 26 p. 178, 9 fehlen dieselben Worte, welche die Hds. weglassen; 32 p. 181, 8: &paipod uèv and tod ddovu TETpaywWvou, And Tüv ,ack’ B; “haec aufero a toto quadrato ab 1260’ Valla; p. 181, 18: meiZwv B; ‘sin autem maior semieirculo’ Valla; 36 p. 182, 22: xùkAov M, kükAwv B; ‘describito circulum’ Valla; p. 182, 23: &cto: B, ‘huius erit perpendicularis’ Valla; p. 182, 30—31: Ac’—yivovraı fehlt in B; ‘6, hi in sese pedes sunt 100” Valla; 36, 6 hat auch Valla in ganz derselben corrupten Gestalt; 36, 7 p. 183, 18: é£aywvou B; ‘pyramis hexagoni’ Valla; p. 183, 27: ‘aream oxygoni aequilateri trianguli” Valla; auch der Schluss ist in derselben Weise verstümmelt. Bessere Lesarten bietet die Handschrift Valla’s an folgenden Stellen: 13 p. 175, 19 scheint sie nicht die Worte tpiaxdcia Öydonkovra mévte gehabt zu haben (‘totidem fidelias comprehendit id uas’); 32 p. 181, 13: “multiplica in 3’ Valla (1° om. MB); 35 p. 182, 12, wo B eine Lticke hat, giebt Valla vollständig: ‘fac 30 in se. fiunt 900. horum / est 300. et 20 in sese faciunt 400’; 39 p. 186, 6: mapadAnAou Emmedou codd., aber Valla hat richtig: “parallelepipedi”. Abweichende Lesarten, ohne jedoch einen befriedigenden Sinn zu geben, hat sie z. B. 21 Jahrb. f. class. Philol. Suppl. Bd. XII.

p. 177, 10 gehabt: ‘fac ita, si crassitudinem uelis. maior crassitudo in sese est 2”, und 31 v. 180, 8: ‘oppone soli uirgam rectam minimeque incuruam’ oder p. 180, 16: ‘tametsi differunt uerum tamen ut uirga ad suam habet umbram’. Daraus, dass Valla auch hier mehrere Capitel vorbeigeht, darf man, wie schon öfters bemerkt, auf die-Handschrift keinen Schluss ziehen wollen (es fehlen von Stereom. II die Capitel 14—20, 22—23, 27, 29—30 und 33). Was die Data des Eukleides betrifft, die XI 20 excerpiert sind, will ich nur darauf aufmerksam machen, dass auch Valla’s Handschrifi die von Xylander lateinisch herausgegebenen, kurzen und wenig bedeutenden Scholien (mit abgedruckt in Hardy's Ausgabe) enthielt; sie sind unmittelbar an den Worten Euklid’s hinten angeknüpft. Es findet sich: Scholium 2 zu den Definitionen (p. 20 ed. Hardy); Scholium 1 zu Satz 10; weiter die Scholien zu Satz 24, a; 39; 40; 50; 52; 61 (beide); 67; 69. Aber Valla hatte diese Scholien in einer ausführlicheren Gestalt; denn er giebt zweimal Scholien, die sich bei Xylander nicht finden, nämlich zu Satz 58 folgendes: ‘Nam quoniam ac ipsi ipsi (!) cf est aequalis, commune ponatur cd. totum igitur kd ipsi ak est aequale, quoniam etiam ae ipsi ed aequalis. bifariam namque secta est; et dk igitur ipsi bf ut commune ponatur kb. totum igitur ac ipsi gnomoni est aequale, hoc est ipsi be et bf. item commune ponatur kh. ipsa ac kh aequalia sunt ipsi ef”; zu Satz 78 hat er folgendes Scholium: “nam sicut fg ipsi eg ratio est data, ita igitur ipsius ed ad eg ratio data. proinde ob hoc ipsius ce ad eh ratio est data per conuersionem primae 7 libri elementorum’. Bemerkenswerth scheint nur noch, dass Valla Satz 74 zwischen 77 und 78 stellt. Der Schluss des 90. Satzes hat eine abweichende Form; denn p. 170, 4 (ed. Hardy) übersetzt er: ‘quoniam datus est qui sub bac angulus estque ipsius duplus qui sub bac’(!), und p. 170, 12: “datum igitur est de. positione igitur etiam abc circulus. datum igitur est c punctum’. Uebrigens sind die Data nur sttickweise benutzt; es fehlen, ausser den GAAwc zu Satz 34, 67 und 80, die Sätze 15—16, 18—23, 27—28, 30, 32—33, 35—38, 41—42, 44—46, 49, 51, 53—54, 56— 57, 59, 62—66, 68, 70, 78, 82— 84, 86—88, 92—95. Die Auszüge aus der Optik des Eukleides zeigen einige bemerkenswerthe Abweichungen von unserer Ueberlieferung; namentlich findet sich nach Satz 10 folgender Satz, der in unsern Ausgaben der Optik gänzlich fehlt: ‘magnitudinis spectatae superficiei uisae latitudinem, quantacunque fuerit, inuenire’ (es folgt der Beweis). Auch hat Valla Satz 60—61 in einem vereint; danach folgt dann erst Saiz 56 in doppelter Fassung, sodann Satz 57 und ein nicht erkennbares Bruchstück. Von den in der Ausgabe des Gregorius herausgegebenen Scholien hat Valla die beiden Scholien zu Satz 1 und 4 und das erste zu Satz 6; das Scholium zu Satz 2 fehlt bei ihm, während er etwas ähnliches gelesen hat, wie ms. Savilianus

(Gregorius p. 606 not. 1), der auch jenes längere Scholium nicht hat; denn am Schluss hat er: ‘nam quoniam qui radii in ed prociderunt extra kl erunt non ipsi triangulo incidentes kl et perinde a pluribus spectatur cd’. Aber ausserdem scheint er noch andere Scholien gehabt zu haben; denn die Sätze 19, 20, 21, 22, 23 und 36 erscheinen bei ihm mit bedeutenden Erweiterungen, die ganz den Charakter von Scholien tragen; ich will hier nur ganz kurz die Anfänge dieser Zusätze angeben: zu Satz 19: ‘mechanica ratione hoc modo” und weiter unten: “aliter quoque per astrolabum possis perspicere’; zu 20: ‘mechanici autem hoc modo’; zu 21: ‘mechanici hoc modo’; zu 22: ‘Sane ad connexam circumferentiam incidentibus rectis lineis’ (hier fehlt dagegen der Beweis des Pappos, den Gregorius hat); zu 23: ‘Sane uterque ad h angulus rectus colligetur esse; nos igitur hoc modo’; zu 36 (im Anfang): “non dubium sane est, quin non omnes omnibus diametri aequales ... aequalis proposito plano fa’. Abweichend ist auch die Gestalt des 20. Satzes: ‘quantitatem datam est nosse quanta sit deiectu ac profunditate’; Gregorius hat nur: TO doBëv Badoc Émyvdvar rnAikov écti; der Beweis ist aber derselbe, der oben erwähnte Zusatz ausgenommen. Es fehlen von der Optik die Sätze 5, 7—9, 11, 15—17, 25, 30—32, 34, 37—51, 56—59. Die Katoptrik ist ebenfalls nur theilweise aufgenommen (XV 2; die Optik steht XV 3); es fehlen die Sätze 7 (von dem zweiten Beweis an)—9, 11, 14—15, 18, 20—22, 26, 28—29. Von bedeutenden Abweichungen habe ich nur eine bemerkt, nämlich in Satz 5: Gregorius. ° "Ev toic koiXorc évérrtpoic Av Valla. Si rursus in cauis speculis ad éni tic mepipepeiac À êvròc Thc | centrum uel in circumferentia nepipepeiac Orc duua, TOÛT' | uel extra circumferentiam positus écti uetazù tod xévtpou Kai Tñc | oculus hoc est inter centrum et Tepipepeiac. circumferentiam. Am Schluss der Vorbemerkungen (paıvöneva bei Gregorius) zur Katoptrik hat Valla einige nicht unwichtige Notizen, deren Quelle ich nicht habe entdecken können. Bis das geschieht, glaube ich, dass Valla hier in seiner Handschrift ein aus alter Quelle stammendes Scholium hatte. Nach dem letzten paıvönevov: ‘Si in uas iniectum sit quidpiam et caeperit interuallum, ut neutiquam uideatur eodem existente interuallo si aqua infundatur iniectum, tum demum spectabitur’ folgt unmittelbar: ‘Diximus sane centrum sphaerae ac non centrum speculi’ etc. Nach einem Citat aus Theodosius’ cpaipiká folgt weiter unten vor Satz 1, aber auf die dazu gehörende Figur sich beziehend: ‘Sane Archimedes inquit, quod f angulus ipsi e aut aequalis est aut minor aut maior. sit sane prius maior f quam e. Ponatur itaque oculus d et ab oculo rursus refringatur in rem uisam b. erit igitur e angulus maior quam f. Atqui erat minor, quod plane ab26*

surdum est, uel quod ceratoides angulus omni angulo minor uel si a centro iungamus ad contactum totus qui est sub kl aequalis erit qui semicirculi ei qui est semicirculi aequalis superimpositus et ei accommodatus. Reliquus igitur A ipsi ml aequalis, sumpto e non amplius spectatur spectatum, quod plane extrorsus spectatur d, censetur uero spectari in coincidentia. ipso e sumpto non amplius ‘d.. à spectatur spectatum quod est d, quod certe spectatur in loco e regione posito ipsius b. apparens autem in coincidentia’. Wenn auch dieses bis zur Unverständlichkeit verstümmelt und verworren ist, so viel lässt sich doch deutlich erkennen, dass wir hier ein Fragment von der Katoptrik des Archimedes haben; nur lässt es a c \ n aA YN sich nicht mit Sicherheit bestimmen, wie viel von dem angeführten dem Archimedes zuzuschreiben ist. Ueber seine Katoptrik besitzen wir auch sonst Nachrichten (Quaest. Arch. p. 33), aber dieses Fragment (dass ein Strahl sich unter gleichen Winkeln bricht) ist, soviel mir bekannt, neu; das bei Theon aufbewahrte geht nur auf die Strahlbrechung im Allgemeinen hinaus. Zu Proklos habe ich die umfangreichen und zerstreuten Excerpte des Valla nicht vollständig verglichen; so viel ich bemerkt habe, weicht er nicht bedeutend von unserem Text ab, und seine Uebersetzungen verlieren an Werth dadurch, dass er vieles, sowohl ganze Sätze als einzelne Worte, willkürlich weglüsst, so auf p. 8 ed. Friedlein Lin. 11—12: xaì dpiOuotc ... dvogoiouc, Lin. 12: dvapaivetor, Lin. 13—14: TÔV uév ... duvacrevouevwv, Lin. 17—20: Kai TpocTncapevoc ... Katapaiveran. Von Einzelheiten sei es angemerkt, dass er p. 12, 16—17 übersetzt: ‘in iis siquidem multo maiore opus est examine”; p. 14, 25 hat er ‘formis’, wie Zamberti, Barocius und ed. princeps; p. 16, 16 giebt er ‘inspiciens’ (iduwv ed. pr.); Lin. 24 hat er mit Barocius ‘animales’; p. 17, 23 wie ed. pr. (ua@ngaTik@v st. waOnudtwv) “mathematicarum’; auch p. 20, 21 stimmt er mit ed. pr. wépuxe; denn er fügt ‘solet” hinzu; p. 33, 10 hat er, wie unsere Quellen, sinnlos ‘per se accidens’; p. 65, 12 hat er ‘Ameristus’. Weil man in Handschriften der Elemente, die mit Scholien versehen sind, oft zum I. Buch Excerpte aus Proklos findet, könnte man glauben, Valla habe nach einer derartigen Vorlage gearbeitet; das ist aber deshalb unwahrscheinlich, weil Proklos auch ausserhalb der das I. Buch der Elem. enthaltenden Capitel benutzt ist (s. das Quellenverz.). Diejenige Handschrift von den Elementen Euklids, welche Valla’s Uebersetzungen zu Grunde liegt, verdient mehrfach Beachtung. Erstens ist zu bemerken, dass er durchgängig die Sätze Euklids, nachdem er die euklidischen Beweise vorgetragen hat, in Zahlen tibersetat, ‘der Deutlichkeit wegen’, wie er meistens hinzusetzt; diese Zahlenbeweise rühren gewiss nicht von ihm selbst her; denn von dem dazu erforderlichen Verständniss der euklidischen Sätze kann bei Valla

nicht die Rede sein. Aber auch sonst enthielt seine Handschrift viele Scholien und Lemmata. Einige derselben finden wir auch anderswo wieder, namentlich bei Commandinus; die meisten aber sind noch nicht herausgegeben. Ich begnüge mich hier damit, eine Uebersicht der bei Valla sich vorfindenden Scholien u. dgl. zu geben; genauere Auskunft über dieselben hoffe ich später einmal bei Gelegenheit einer projectirten Ausgabe der nicht unwichtigen Euklidscholien, die in zahlreichen Handschriften vorliegen, geben zu können. Zu II 3 ein neues Scholium XI 12. Zu II 4 ein anderer Beweis, — August I p. 285. Zu II 5 das Scholium des Commandinus tiber Gnomone, und einige Erweiterungen. . Zu II 6 das Scholium des Commandinus. Zu II 11 Commandinus, aber weitläuftiger. Zu II 13 ebenfalls. Zu V, def. 10 und 6 mit Zusätzen aus Heron. defin. 125 (“quod ita Euclides nempe est, quod inquit Eratosthenes’ etc.). Valla XII 1. Darauf folgt dann def. 11 (mit Scholium), def. 9 (ebenfalls), def. 5 und def. 1, diese mit dem Scholium des Commandinus; ebenso hat Valla zu def. 3 dasselbe Scholium als Commandinus. Zu V 4 ein Lemma, das Corollarium des Command. Zu V 8 ein Scholium (neu); ebenso V 17. Zu V 19 das Corollarium des Commandinus. Zu VI 5 einiges aus dem Scholium bei August II p. 333. Zu VI 20 dAdwc August I p. 288. Zu VII 4 ein neues Scholium. Zu X zu den Definitionen scheint er mehrere, eigene Scholien gehabt zu haben, auch giebt er gleich zum Anfang die Spor devtepor und Tpitor mit den Spoic mpwrorc zusammen, während er sie dann später weglässt. Zu X 1 hat Valla den von August gestrichenen Zusatz (II p. 354) und das &AAwc, und dazu noch das Scholium des Commandinus, aber in abweichender Fassung. Zu X 5 das Scholium des Command. in anderer Form. Zu X 9 den Anfang des Scholium des Command. (über Theaetet) und einiges aus dem von Knoche p. 25 angeführten (nur ein Paar Zeilen); ausserdem findet sich der zweite Beweis und der Beweis des Corollariums (August II p. 282—83); endlich ein Scholium. Zu X 10 hat er das dritte Lemma des Commandinus, aber mit dem Schreibfehler ‘similes’ statt dissimiles. Hinter X 10 hat Valla ein umfangreiches Stück mit der Ueberschrift: “de rationalibus et irrationalibus’, woraus ich nur folgende Stelle heraushebe: ‘Pythagorei igitur propter continui in infinitum diuisionem recte incommensurabilem inuenerunt et commensurabilem’. Zu X 17 hat Valla das Lemma August II p. 19.

Zu X 19 zwei Lemmata (Commandinus). Zu X 21 Lemma 2 des Command. mit drei Beweisen. Zu X 22 Lemma Command. und ein neues Scholium. Zu X 33 ein neues Scholium. Zu X 37 das Scholium des cod. Vatic. bei August II p. 289. Zu X 38 ein neues Scholium über den Namen èk duo uécwv Tpwrmn. Zu X 39 Scholium Commandini. Zu X 42 ausser den beiden Scholien und dem Lemma des Commandinus noch ein neues Scholium. . Zu X 43 ein neues Scholium. Zu X45 hat folgende abweichende Fassung: ‘ex duabus mediis gecunda ad punctum non dirimitur in nomina’. Der von August ergänzte Schluss lautet bei Valla: ‘quoniam non est eadem sed altera alibi ac alibi diuisa in nomina nec eadem in alio et alio puncto nec erat propositum aliam et aliam diuidi in nomina sed eandem in alio ac alio puncto’. Zu X 49 ein neues Scholium. Zu X 54 fehlt das Lemma, und das zu X 60 gehörige findet sich erweitert zu X 61. Zu X 63 ein kurzes neues Scholium. Zu X 71 das Scholium bei August II p. 292. Zu X 72 ein kurzes Scholium (neu). Zu X 74 die Ueberschrift: ‘secundus ordo aliorum, qui per ablationem’. Zu X 117 August II p. 296—97 hat auch Valla und zwar mit den beiden Beweisen. Dagegen fehlen von Buch X folgende Sätze: 2—4, 6—8, 11—17, 20, 25, 27, 29, 40—41, 44, 47, 77, 83, 84, 95—111, 112 das Porisma, 113—116. Zu XII 2 das Lemma August II p. 202. . Zu XII 10 ein Scholium (neu). Zu XII 17 das Corollarium August II p. 239 und der andere Beweis August II p. 301. Zu XIII 18 Schluss vielleicht ein Scholium; am Ende eine Bemerkung über die symbolische Bedeutung der platonischen Körper: ‘pyramis ignis. octahedron aer. cubus terra’ etc. Ueber die zum Theil sehr kurzen Excerpte aus Apollonios, Serenos und die spiritalia des Herons?°) habe ich nichts hinzuzufügen, und wende mich daher zu der letzten der von Valla benutzten Quellen, dem Anatolios. Von Anatolios besitzen wir, ausser dem kleinen Fragment bei Fabricius: bibl. gr. II p. 275—77, einige Excerpte über die symbolische Bedeutung der zehn ersten Zahlen, aufbewahrt in den Theologumena arithmeticae (ed. Ast, Lipsiae 1817). Nun finden wir auch 30) In diesem Werke hat er prop. 65 Commandin. vor 64.

bei Valla einen Abschnitt, III 10—20, der folgende Ueberschrift hat: ‘de numeri denarii deque intra denarium numerum qui continentur numerorum proprietate’. Dieses Stück stimmt weder mit den Excerpten aus den Theologumena des Nikomachos gleichen Inhalts bei Photius: bibl. p. 142 —45 ed. Bekker, noch mit den uns überlieferten Theologumena, noch mit dem hierher gehörigen Capitel bei Theon Smyrnaeus (Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium p. 99, 24 bis 106, 11 ed. Hiller: de numerorum proprietatibus), während es mit den erwähnten Fragmenten des Anatolios zum Theil wörtlich tibereinstimmt. Als Belege fiir die behauptete Uebereinstimmung will ich folgendes hierhersetzen: Theologumena arithmeticae. Valla. P. 6: “Om ’AvaróMoc yoviv adrnv (Tv povdda) pncì xadeîcôo kai ÜAnv we veu avtijc un Svtoc undevöc &piOpod. Cap. XI: monas — numeri omnis prima et unde reliqui omnes propagantur. Cum tamen ipsa foetus expers esse recte dicatur, quippe quae numerorum silua est, ea siquidem perempta numerus non est. Cap. XI: Praeterea aiebant ad elementorum quattuor medium iacere quoddam profundum flagrans cubum cuius certe medie- P. 7: mpôc TOUTOIC paci Tepì TO uécov TWV Teccápwv CTOIxelwv keicdai tiva Évadikòv didTUPOV KÜBOV, OÙ TV MECOTNTO tc Oéac Kai “Ounpov eidevaı- tatem situs?!) Homerum nosse Aéyovra Tóccov Evepd’ didoc, Scov oùpavöc &ct’ ard yainc. *Eoixact dè KATI Ye Tadta KATnkoAovenké vat Toîc TTuBayopeiotc ot Te Tepì ’EutedoxAéa kai TTapueviònv Kai cxedöv oi Trheîcror TÜV TAG COPWY, Pänevor TV movadikhv púcuv ‘Ecriac tpdtrov Ev pécw idpücôa Kai dia TO icópporrov @uAäcceıv Tv avtiv Edpav: Kai di Eùpuridnc, de ‘AvaEarópou yevógevoc pa@nTic, OÙTW TAC Yfic uéuvnrar: éctiav dé Ye où copoi BpoTwv vouilouciv. putabant, cum inquit Tumque inferna uidet longe legata sub umbras A terra quantum fugerunt sydera caeli. In hac parte pythagoricos secuti uidentur qui Empedoclis et Parmenidis fuere studiosi ac certe priscorum philosophorum quam plurimi, quippe quod unitatis naturam in uestae modum in medio constitui eamque sedem propter aequale libramentum custodiri dixerunt. Quin et Euripaedes qui Anaxagori discipulus fuit hoc modo terrae comminiscitur* sapientiores te putauerunt uestam. 31) Statt des jedenfalls corrupten 0éac scheint Valla Bécewc gelesen zu haben, was wohl aufzunehmen ist.

P. 7: "Avatodiou Tepì duddoc. | Cap. XII. Dias ... composita "Or f duàc cuvredeica ica aequalem uim habet cum illo, quod ab ea nascitur, huius siquidem compositio multiplicatioque idem quod ille colligit, cum in aliis multiplicatio compositione dúvarar TÔ An’ aùtfic YLVOUÉVW” fl yap cúvBecic TaúTnc Kai 6 moAAarAacıacuöc TOÔTO AUTO moreî, frouv Tov bd’, Kaltoı Emi Tv GAdwv 6 ToMatiaciacuòc i maior euadat. ... similem uirtuTC cuvôécewc peiZwv. EikaZov tibus facientes eam fortitudini dt aùtiv Ev dperaîc dvòpeia: ; compararunt et perinde docaetolnpoBéBnke vàp dn emi mpazw, i mon”), dicamus nos andaculam, d10 Kai TO av KG OUV Kai Ópurv. | uocitarunt et commotionem. P. 14: ’AvatoMiou* : Cap. XIII: — primusque est “On ó Tpia mpwroc Tepiccòc impar numerus, qui a nonnullis xadeîtar Um’ éviwv TÉheroc, Str npWToc Ta mévta cnuatverau äpxñv Kai uécov Kai TÉ\oc. Ta ëEaicia and Taúrnc CEUVUVOVTEC kakoüct TpicoÂBiouc, Tpicuákapac’ eùxaì Kai crovdai Tpic Yi- VOVTOL. | finis appellatur, quod primo omnia significet, principium et media et finem. praeterea hoc decorare, hoc solemus uenerari cum dicimus ter beatos [uicissimque detestari abominarique ut triscuria patriciorum].*°) hoc numero preces, hoc numero sacrificia fiebant [die?*) aduentante, meridie et sole abeunte]. P. 65: *Avaroliou: ‘H dekàc yevväraı duväneı EE ápriou Kai mepiccod* TTEVTÄKIC yap duo déka. Kúkhoc écti mavtoc dpiduoò Kai Trepac. Trepi aùròv yap eiloüpevor Kal dvaKGUTTOVTEC ÜCTEP KauTTHpa doMyevouci. “Ott ópoc écti Tñc Cap. XX: decas potentia gignitur ex pari et impari, siquidem quinquies duo decem. omnis numeri circulus est ac finis. circum namque ipsum conuersi ac refleri per decussionem quandam producuntur. est praeterea numerorum infinitatis terminus ...... aneipiac Tv âpiBu@v. Kakeîror Vocatur autem decas fortitudo et dè Kpdtoc Kai Travréheia. | consummatio. Nach diesen Stellen, die mit leichter Mühe sehr vermehrt werden können, ist es wohl ausser Zweifel gesetzt, dass Valla den Anatolios benutzt hat, so dass wir auch dasjenige bei Valla, was sich in den Theologumenis nicht findet, derselben Quelle zuschreiben dürfen. Bei aller Uebereinstimmung bleiben nämlich nicht wenige Verschiedenheiten zurück, sowohl so, dass wir bei Valla etwas finden, das in den Excerpten der Theologumena nicht steht, also auch umgekehrt. Hierbei ist aber zu bedenken, einmal dass die Theologumena eben nur Excerpte bieten, zweitens dass auch Valla entweder %) Offenbar nur ein alberner Schreib- oder Lesefehler für diò xal zóhuav. — **) Vallas eigene Zuthat aus Juvenal VIII 190. — **) Eigene uthat.

selbst aus Anatolios, wie aus seinen übrigen Quellen, sporadische Auszüge machte, oder, was mir wahrscheinlicher ist, nach einer Handschrift arbeitete, die nur Excerpte aus Anatolios enthielt. — Schliesslich will ich nur noch eine Uebersicht des Verhältnisses zwischen den beiden Quellen geben. Valla III 10, tiber die zehn ersten Zahlen überhaupt, findet sich nicht in den Theologumenis; ich hebe folgende Stelle aus: “illud autem primo ducimus admonendum, pythagoreos ad numerum denarium prorsus cuncta conuocasse, quando quidem supra denarium nullus iam numerus, sed numeri omnis aceruus est nobis ad unitatem semper redeuntibus decademque instaurando complentibus. caeterum quod ex quaternario decas constet, quaternarium in primis et obseruarunt et coluerunt’. Valla IIT 11 = Theolog.p. 6, 19 Sti — 21 GprOpod (etwas abweichend), dann ein in den Theolog. nicht vorkommendes Stück, darauf Theolog. p. 6, 27 611 — 28 Evi, dann p. 6, 28 év — 29 ev ausführlicher, endlich p. 6, 29 ExdAouv — p. 7, 16 äp@uoûc (mit vielen Fehlern). Valla III 12 nach einem neuen (kurzen) Stück Theolog. p. 7, 30 611 — p. 8, 5 dvadoyig; endlich p. 8, 6—7 etwas abweichend. Valla III 13 nach den Worten: ‘trias fit cum dyade coeunte unitate’ folgt Theolog. p. 14, 23 ötı — 27 yivovraı; dann nach der Wiederholung: ‘primus nobis indicat principium medium et finem’ Theolog. p. 14, 27 eikwv éctiv émimédou, p. 14, 28 Kal mpwrou — 31 tpia, p. 14, 31 elkaZov — 33 èMeiwewc, p. 14, 33 &ı — 35 GprOudc, mit eingeschobenen Ergänzungen. Valla III 14 = Theolog. p. 23, 15 xadeitaı — 20 éAdttwv, p. 23, 21 npütn — 23 cÒua, p. 23, 23 npWToc — 28 TÉccapec, p. 23, 28 &AAoı — p. 24, 6 cuupwvia mit Einschiebseln und einer Schlussbemerkung, die wenigstens zum Theil Valla selbst zuzuschreiben ist. Valla III 15: de pentade hat nichts entsprechendes in den Theolog. Valla III 16 = Theol. p. 33, 2 ñ éEác — 22 & (sehr fehlerhaft); Schlussbemerkung. Valla III 17 = Theol. p. 41, 30 Ótt — uovädoc (abweichend); p. 41, 31 cuvredeic — TeXeıov, p. 41, 32 dnd — p. 42, 3 ye’; p. 42, 3 &rı — 12 mAavntec ‘Ent; D. 42,12 énta Spey _ 13 créav, p. 42, 13 kivñceic — 15 KÜKA OI, p. 42, 15 TTAátwv — 16 yuxnv, p. 42, 18 hAıkiaı — 28 yépwv (abweichend), mit Einschiebseln, wovon wenigstens eins, ein Citat aus Terpander (fr. 5 Bergk), von Valla herrührt, wie das aus Vergil III 14 und aus Juvenal III 13 (s. oben). Valla III 18: nach den Worten ‘ogdoas primus cubus’ folgt. Theol. p. 55, 35 h — Édpacuo, p. 56, 1 crépua — 2 diptioc, p. 56,2 terpddı — 7 pnciv (im Anfang fehlerhaft), mit Einschiebseln.

Zu Valla III 19: de ennade haben die Theolog. nichts entsprechendes. Valla III 20 = Theol. p. 63, 24 fi — 28 dpi@udv, p. 63, 28 xadeitor — 32 Kakoü, p. 63, 32 ti — 34 0; p. 63, 34 in — p. 64, 12 Entankäcıov, p. 64, 14 éEác — 18 B’, p. 64, 19 Err — 27 éctiv (etwas abweichend), mit eingeschobenen Stellen und einer Schlussbemerkung, die von Valla selbst, wenigstens zum Theil, herrührt; sie enthält ein Citat aus Aristoteles und eine Bemerkung gegen ‘Petrus Ebanus’(?). — In der Münchener Hds. Nr. 384 (Hardt I° p. 197) findet sich: "Avatodiou mepi dexddoc kai TÜV Evröc aùrfic ápr0udv, was wohl bei der Uebereinstimmung der Titel (s. oben p. 399) das von Valla übersetzte Schriftchen sein wird.%), 15) Hardt sagt a. O., dass die Abhandlung des Anatolios nach Fabricius bibl. Gr. IV p. 9 zu Paris 1543. 4. erschienen ist. Hiermit sind die Theologumena gemeint, die jedoch, wie gesagt, nur Fragmente aus Anatolius enthalten.