Sur les trois premieres oppositions pythagoriciennes

ions pythagoricipp. "sur les trois premières opposit ‘Auriac, O. Archiv für Geschichte der Philosophie 44 (1931), ennes." 28-37. Ali RiAC,0. Examines the principal Pythagorean pairs of opposites: e.9., es infinite-finite, odd-even, and unity-piurality. \ABO Conclud that they are all entailments of the primordial opposition of the One and the Many. Regards this aspect of Pythagoreanism as a bridge between the philosophy of Anaximander | Sur les trois premières oppositions pythagoriciennes des textes d'Aristote relatifs aux Pythagoriciens. 29 Citons le texte le plus caractéristique: il est de Philopon: “so pè» yäp æegrrôr xegaros xal dgibes, só dè deriov vig ax’ dxapor vous aistdy torso del spy dsyovoplay dexysusvov” (Ph. K. 11). Y. aussi and that of Parmenides. Simplicius. Phy. 105 a. Deux des plus récents historiens du pythagorisme (Burnet: Il, „L’Aurore de la Philosophie grecque‘, trad. fr., p. 332—333;— Gaston Milhaud: ,,Philosophes-géométres de la Grèce“) trouvent Sur los trois premiéres oppositions pythagoricionnes, cette explication traditionnelle tout 4 fait incompréhensible, „car le nombre pair se prête à une division par deux; mais Par nullement à une suite illimitée de pareilles divisions” (G. M. p. 114). 0. Aurise (Bordeaux). Des dix oppositions pythagoriciennes, les troi jé sont essentielles et se retrouvent chez tous les Prihagericiane De plus, elles paraissent seules logiquemen t liées. Ce sont les suivantes; nous les citons d'après Aristote: fini-infini: im- Pair-pair; unité-multiplicité (M. Z 5, 986a; xégas xal cme represor xal doviov, Ev xal 147905), I. Mais ce lien logique peut être entendu de manières dif Pour Zeller (Philosophie des Grecs, trad. a et suivantes), qui est partisan d'une interprétati arithmétique du on purement pythagorisme primitif, l'opposition fondamentale est celle du pair-impair. Car, si les choses sont des nombres et si les éléments des nombr es sont les éléments des choses, une pensée encore primitive n’aper çoit d'abord dans Jen nombres, comme éléments constituan ts, que le pair et l'impair; les notions complémentaires du limité et de l'illimité du fini et de l'infini ne peuvent être discernées dans la quantité discontinue que par une réflexion déjà exercé d'Aristote dont personne avant lui n’avait su tirer parti. Aristote vient de déclarer que les Pythagoriciens assimilent le pair à l'infini, parce qu'il confère le caractère de l'infinité aux choses où il entre (roëro .... ¿verrolopfavdpevov?) xagezesy sols odos sr drsspiav). passe-t-on de l'opposition pair-impair à l'oppo Il ajoute, à titre d'exemple, que c'est ce qui arrive pour les nombres. (oquelor d'elvas rovre só ovp- Baïvor ¿md sav our xequriPepevay yao tay yropdver reg) sò fy xal yaols Gre piv Go del yivecdas 10 sl00ç, Ore dé lv)”. La premiére opération indiquée ici par Aristote consiste, d'après tous les commentateurs anciens et modernes, à ajouter à l'unité successivement les nombres impairs appelés aussi gnomons, de manière à obtenir la série des carrés (V. Zeller p. 340, note 2). Mais, et c'est alors qu'intervient l'interprétation originale de G. Milhaud, il faut représenter géométriquement cette opération, représentation d'ailleurs familière aux Pythagoriciens et à tous les anciens, inventeurs de l’arithmetique et de l'algèbre géométriques”). conuorarrevizoegio restio aoionec i ciono--; corso A e. . G. Milhaud suggère de s’en rapporter à un texte store Mais comment sition infini-fini? D'après Zeller (p. 340), les Pythagoriciens „identifiaient l’impair avec le limité et le pair avec Villimité, met un terme à la division par deux, parce que l’impair ce que ne fait pas le pair“ Zeller prétend être d'accord avec les commentate urs grecs 1) Zeller entend, je ne eais pourquoi, ,impliqué dans l'impair”. 2) Burnet cite un texte plus net encore (p. 116), d'après Stobés I p. 22, 16, et qui cerrobore l'interprétation de G. M. n. 1.

Reste l'expression:: xaì Sur les trois premières oppositiona pythagoriciennes xuwoi c1. et) par la »autrement qu'autour de l'un G. Milhaud entend ité“, c'est-à-dire une opération qui consiste à entourer les nomb res pairs de gnomons qui pai cette fois, représentent des nombreses pairs. des rectangles®): Zz o On obtient alors de celui qui nous occupe. 31 Signalons cependant qu'ils l'ont connu (V. Zeller, p. 340, n. 2) et qu'ils en ont tiré la mème conclusion immédiate que G. Milhaud, à savoir la variabilité infinie des nombres constitués avec des facteurs pairs. Il est vrai que l'explication de G. Milhaud paraît plus rigoureuse et se conformer au sens géométrique du texte: par là, il rend compte littéralement des expressions: xegstiPepercor et aldog; 1. ensuite, il étend la notion de gnomon aux nombres pairs aussi bien qu'aux nombres impairs. Extension légitime, Dans la première opération, les fi I , même ordre, c est-à-dire que le rapp gures puisque le gnomon, pris dans sa généralité, est toute figure qui, ajoutée à une autre, donne une figure semblable A la pre- | sont toutes de ort des cétés dans chaque carré est invariable; il est égal à l’uni té. Dans la deuxième opération, au contraire, on obtient un nombre infini de rectangles tous dissemblables. „Le rapport des deux côtés semblable à lui-même: il devient toui ujours | ne reste à 3 ED 2 n+1 varie constamment, de sorte que le rectangle autre” (G. M. page Mais, dès lors, pour G. Milhaud, l'opp osition fondamentale n'est pas tant celle du pair et de l'imp air que celle du même et de 1 autre. Celle-ci enveloppe les dix oppositions, les domine et 8 exprime dans chacune d'elles; qu implicitement. seulement, elle n'est donnée „Le même et l'autre, ces sortes de catégories er rns de la pensée plato nicienne, sont a quelque dpra ri la apart des catégories pythagoriciennes Ja avec les Caractères essentiels qu’ils avai “ Seer ha lent chez Platon. L'interprétation est ingénieuse et séduisante, et il est pes que les comm entateurs grecs qui avaient sous es yeux tous les textes d’Ari stote n'aient pas su tirer parti 1) Burnet propose de lire: re: rai; zeeat yo s (zupa N ou La Li est grammaticalement arbitraire ous avons modifié légèrement G. Milhaud se prononce, contrairem ent à Zell conception plus platonicie nne que pythagoricienne. l'homogénéité; celle du pair avec le pair engendre, au contraire, la diversité à l'infini. La présence du pair dans un nombre est donc cause d'infinité. Mais, réduite à ces termes, l'explication d’Aristote manque de généralité. On voit bien comment le pair introduit l'infinité dans les nombres: on ne voit pas comment il l'introduit dans les choses. Dans la pensée d’Aristote, du reste, il ne paraît s'agir que d'un exemple très particulier (oguetoy), d'autant qu'il se réfère à la dernière des oppositions !), comme s’il voulait montrer qu’en elle aussi on retrouve l'opposition fondamentale du fini et de l'infini, — celle-là même qui figure au premier rang de sa liste et qui constitue, jusqu'à un certain point, l'essence des choses. | usb ui:ns métique, plus platonicienne ou néo-pythagoricienne que proprement io» rect. i ' G. Ha un la rendre plus significativlae. rePEAR AE } Mais cette interprétation nous paraît conférer au texte d'Aristote une portée exagérée, et conduire à une assimilation trop complète du pythagorisme au platonisme. L'explication donnée par Aristote, à l'aide des gnomons, n'embrasse qu'un côté de la question. Elle tend à établir que la combinaison de l’impair avec l'impair comporte nécessairement la fixité, Pour Burnet (p. 333), qui s'en rapporte à un texte de Stobée (I, p. 22, 19) et à un autre de Plutarque (de E apud Delphos, 388a), la relation entre le pair et l'infini, d'une part, et entre l'impair et l'infini, d'autre part, s'explique de la manière suivante: et, or ti a) prétation géométrique du pythagoriame. Or, le pr mière. : 2) Opposition plus géométrique (carrés et hétéromèques) qu'arithpythagoricienne.

la division par deux du nombre pair laisse entre les deux un champ vide, marque d’imperfection. parties Au contraire, si on divise le nombre impair en deux parties égales, il subsist e entre elles une unité; ce nombre ayant ainsi un commencement un milieu et une fin est donc fini et parfait. | ais cette explication nous paraît viser, d'aprè texte, que Burnet a omis volontairement de traduire, la sam entre le mâle et l’impair et larelation entre la femelle - et le pair Elle Parait aussi répondre à ce besoin de représentation géométrique du pair et de l’impair que nous rencontrons chez les Pytagoriciens les plus récents. G. Milhaud semble avoir Connu ces textes et les avoir utilisés dans ce dernier sens. | Mais c'est s'embarrasser de complications, à la vérité très ingénieuses, mais assez vaines, L'interprétation des plus anciens commentateurs grecs (qui avait été reprise sommairement par Zeller) n'est pas aussi incompréhensib le qu'on l'a prétendu. Il suffit de bien l'entendre et de la préciser. Ds n'ont pas voulu dire que chaque nombre pair 8e prête à une suite illimitée de dichotomies, ce qui serait, en effet absurde. par Ils ont dit que tout nombre pair est divisible deux (so may dersov) et perd 33 Sur les trois premières oppositions pythagoriciennes O. Auriac 32 ainsi son individualité son unité. L'impair, au contraire, arrête la division par deux, soit qu'il l'empêche (xwits) tout de suite: c'est le cas de tout hombre impair, — soit que la division d’un nombre pair se heurte, 4 un moment donné, 4 un nombre impair (50: 2 = 25) Nne faut pas confondre le pair et l’impair conçus dans leur ware , ol le genre onpair eet le genre genre iimpair, i avec leurs i diverse s guaient pas ces deux points de vue). Elle reste entiere. L’opposition du méme et de l’autre, trop savante, ne peut avoir été familière à des penseurs primitifs; elle n'est, du reste, mentionnée par aucun pythagoricien. Par contre, celle du pairimpair ne nous paraît pas devoir être posée comme première, — non plus, du reste, que celle du fini-infini. Tout est nombre. Sans lui, rien n'est pensableni connaissable (où yao olov se oddiv ovte vogdijper oUse yrwodiper dyev rovre. Philolaus in Ritter et Preller 64.) Mais il y a quelque chose qui est antérieur au nombre lui-même. C'est l'un. De l'un, sortent les nombres, donc le pair et l'impair. L'un s'appelle d'ailleurs pair-impair, précisément parce qu'il les engendre l’un et l'autre. L'opposition fondamentale, c'est donc celle de l'un et du multiple dont les caractères respectifs sont le fini et l'infini, le limité et l'illimité manifestes dans le pair et l'impair, comme il apparaît dans la figure, synthèse des deux termes (limite et intervalle divisible à l'infini) et dans le nombre. Cette priorité de l'un est très nettement indiquée par Aristote: „Les éléments du nombre sont le pair et l'impair constitués eux-mêmes par le limité et l'infini; pour l’un, il participe (peréxsi») de lun et de l'autre, étant pair et impair (pour la raison, pensons-nous, qu'il se retrouve dans tous les nombres, pairs ou impairs?).) „Le nombre procède de l'unité.“ (sot di despot orosgela só . se dossov xal cd sregirtòv, soúzov di sd piv srersoacpévor £0 di Grescor, vo 0’ Ev EE apgoréguy elvas covrey (xal yag agror elvas xa) mepsrröv) tov d dosduov de sot bros .... Aristote. Mét. I, 5, 986 a 17.) Ainsi précisée, l'interprétation traditionnelle prés caractère suffisant de généralité. Toute chose pit par un nombre. Si le nombre est pair ou contient des facteurs pairs, il participe et la chose avec lui, à l’infinité de la dyade car, pour les Pythagoriciens, la division par deux est privilégiée, la dyade étant le symbole de l’infinite. II | Reste maintenant 118 la question de l'ordre logique et ontologique des oppositions (les Pythagoriciens primiti fs ne distin- Il faut donc partir de l'unité, opposée à la multiplicité, comme du principe d'où naît le nombre, synthèse du fini et de l'infini représentée géométriquement dans la figure, synthèse aussi du pair et de l'impair qui n'est qu'une forme, une détermination de l'opposition précédente. Théon de Smyrne, qui ge rattache à la tradition pythagoricienne, observe que la première idée de l’impair est dans l'unité”). Avant de déclarer 1) V. Théon, p. 30, cité par Zeller (p. 383, n. 3) qui trouve l'explisubcation bizarre! V. aussi Zeller (p. 358, n. 1) dont nous rejetons les 34. 2) Ed. Dupuis, Hachette. p. tilités. Archiv für Geschichte der Philosophie. XXXIX, 1. u. 2

O. Auriao que tout est nombre, c'est-à-dire ordre et harmonie, il fallait bien que les Pythagoriciens aient, comme leurs prédécesseurs. constaté la diversité infinie, la multiplicité des choses, et l'aient opposée à l’idée et au besoin mental, à la catégorie de l'unité. III, La priorité de l’un permet de résoudre une difficulté relative à l'essence des nombres et de l'unité elle-même. Les Pythagoriciens composent les choses avec les nombres. 36 Sur les trois premières oppositions pythagoriciennes on tend pas qu'ils leur ont attribué une étendue, mais qu'ilsnt, usent — indüment —, comme s'ils en avaient une. Comme en effet, dit -Aristote, peut-on prétendre faire du corporel ginon avec du corporel? Et s'il dit que le monde des Pytha leurs que là goriciens n'est pas Je monde réel, il entend bien par avec éléments des choses, les nombres, n'ont rien de commteunqu'en objec leur Il | ts. les corps qui sont légers ou pesan faisant ¿E destuiv sd puxa copasa ils font in pi éyovrer Búpos podi xoupérqra Exovra xovpodrgra xal Pagos. Mét. 1, 8, Il s'ensuit, suivant certains, qu’ils ont conçu les nombres comme corporels ou comme ayant une grandeur ou, plus exactement, une étendue. C’est, par exemple, la doctrine des plus récents 990b, 21. Pythagoriciens et, en général, de ceux qui interprètent géomé- D'ailleurs, le verbe tzodepfavesv signifie littéralement comprendre là-dessous", c'est-à-dire, admettre imtriquement le Pythagorisme (V. G. Milhaud, p. 108, et Burnet, p. 333, 19). 8é01y Sxov) Ceux-ci regardent l'unité pythagoricienne (rò E» comme un point matériel occupant une portion d'espace. Dès lors, l'espace et ses déterminations, les figures, se réduisent à une collection de points matériels. On aboutit ainsi à une espèce d’atomisme spatial assez voisin de celui du Timée. Cette interprétation se fonde sur certains textes d’Aristote. Les Pythagoriciens, dit-il, ont traité des nombres comme de grandeurs étendues (rag porddaç Snokapfavovow Eye péyeSos). Ailleurs, Aristote mentionne les figures géométriques comme étant la substance des corps: 42Ad unv vo cúpa ÿrroy odola sis Imparifaz sal aùrg vis yeappijs, xa) 1) yeappr) sic povddos sal sig orsyuijs roósos yap prosa: ro cope, xal sa pir Gvev omporog évdéyecdas doxst elvas dduvarov. Arist. Met. III, 1002 a 4. Mais le témoignage d'Aristote n'est pas aussi décisif qu'il y paraît à première inspection. D'abord, ces philosophes qui font des figures les éléments des corps, ce sont vraisemblablement les Platoniciens, non les Pythagoriciens!). (Il n'est pas toujours facile de distinguer dans le texte d’Aristote les deux écoles.) Quand Aristote déclare que les Pythagoriciens traitent des nombres comme s'ils avaient une étendue, il n'en- 2) V. Zeller, p. 364—5 n. 3. Il signale, du reste, l'embarras dont ils ont conscience: Grreos dè FO repúro» Ev ouvécry Egon péysdos, drsopstv bolxacıy. Met. XIII, 6, 1080b, 20). sible plicitement”. Enfin, Aristote affirme qu'il siestlesimpos es nombr que les nombres soient les éléments des corps, , 8: rò dè 1083b sont purement mathématiques. (Mét. XII, 8, desdp ov sourer cœuara EE desdpdy sivas ovyxelpsva xai vor sivas podquarmóv dövvasov $055»). et Or les nombres pythagoriciens sont mathématiques -ci que celles ne sont pas composés de vraies monades, parce elvas mávses pots ont une grandeur. (Movadızoüs dé Tousbydesd avorzelov xa) dex riba, nv viv Hvdayogelwr, 600 so pady sivas sav Üvewr dxsivon d° Eyovras péyedog xadareo | elonras apórepor, Met. XIII, 6, 1080b, 30.) D'ailleurs, si la raison, la justice, etc. sont des nombres, ils ne peuvent pas être corporels. ambiguite Enfin, d'autres textes dépourvus de toute istor dit: corroborent cette interpretation. Alexandre Polyh des res; nomb les de la monade, la dyade indefinie; d’elles, lignes, les plans nombres, les points; des points, les lignes; despovada* be Nr, etc. (V. Ritter et Preller, 71b): dex)» pèv dre: dro povddos dögıarov Övaide de dy viqy sí povadı alsio os sovs derÿduad ocre” Ex dè tig povadog mal sis dogiorovcoure ur sac yeappac, pots, ix dì zo» dostpòv tà oqueta, dx di gE dy va éxineda oxjpota eth...

br, ap a (et NS TEE rre dE The y IA Vile ASFe 2 A arte, Un 86 « “ ep SE tee s à . “e La monade est le principe (povas) Inst. Arithm, II, er Preller, 77i. ) 6 u 4®iPoint sera le principe de la ligne et de lint pr co être l'un ou l'autre: sò oyustor dex) ply voaupîic wei à ns core de ronppi) ofd? Öidarnpe, Aphiss obte onpsion wa cuvrsdév ndetoy ss nowt (ibid.). Nicomaque ajoute: la monade | | Es h : | Jade: | est ab i aay -Le premier intervalle parait avec pi edworasos sol ume dea 7 povàs crgpa sdeloxeras wad palvera: xa aogossdife. nt nobrov sim ple di dv dudo», (Ibid.) didx a lui-même dit que Ja grandeur procède du fini e l'infini: la monade Pythag oricienne n'a donc pas de grandeur: Èrs 62 elre dolm 556 avrots [2vdayogelos] Ex sovrwy (xégaros wal cxsigov) ev sò péredos, size desySely roòro 2), Mét. I, 8, 990a 12. La grandeur de la monade, si andeur il 2, wa ri de commun avec l'étendue. L'étenqu e, divisible i Tinfini, c'est ser un? l'un et au ‘ Ainsi, limité. | l'interprétation arithméti ue, quelque chose d’inetendu, paraît plus confer qui fai ‘uni mo an ee Elle est sans doute un peu déconcertante pour une pensée equ a distinguer le réel éte ndu de simples concepts, comme E Some et il est certain que l’atom isme géométrique de rali sacinte lligible. pd ee y he > diva; nn que, no! ù 2 font Mais la distinetion les Pythagoricie ns Anaxagore, et elle était du corporel récents ne date , étrangère, comme eller, aux Premiers rep résentants de la spéculat ion C’ wea est dire um les Pyth ee N Si agoriciens l’avaien t admis sans dém onsi Pi ) =bad Perna adme = ‘Sophie mess TAC Pavone TARN is me jet Mig aX patent a = Pie. FIRE Ndi ve gat Se“o ttre, comme Renouvie tervalles a une espèce de ancienne, T. I, p. 182 aq.). um iS Ea Ps. ane OCR wii geitems Te tar SGA, mn ET ERS Br . à o Sur les trois premiàres oppositions pythagoriciennes des nombres et des interval orgua 0363 dos uds. (Nicomaque. |. ni ci: Mea . les : sans. être l’un ou l'autre: of» 1 povás Ogpetov «dxop pS Artena sal sedzov dog piv Ömaryuirev xal desIpov, odre E | dict . + ja mn = gemU ice" the set a td tou RE Ion oi FOSTE ORE A O. Auri du point métrique (06709): énigdvaa xa reapps xab Ortyun sai pons sivas ovcias (Mét. VII, 2, 1028b, 15.) ag à cdi SR i oi Aristote lui-même distin gue l'unité no wu de r, que le nombre fait grandeur. (V. manuel de philo pz 37 grecque. Ce qui a pu faire illusion, c'est leur goût de l’arithmétique géométrique et leur habitude de représenter géométriquement les nombres, c'est-à-dire par des points. Mais cela indique simplement comment les Pythagoriciens déduisaient les figures étendues des unités inétendues. L'unité, en devenant le point, sert à limiter l’espace: en tant que telle, elle est indivisible et sans étendue. Pour les Pythagoriciens; la génération de la figure par l'unité n'est pas celle du même par le même, du semblable par le semblable. Si l’un est premier et, par sa pénétration du multiple, engendre la dyade, puis successivement tous les nombres et avec eux les choses numérables, il n'est pas étendu. engendre la ligne, sans être la ligne (Nicomaque). . Le point I n'y a rien là qui ressemble à un atomisme spatial et ce n’est pas par là que le Pythagorisme s'apparente au Platonisme. Mais, en partant des deux notions opposées, l'un et le mutiple ou infini, — dont le propre est, en effet, d'être indéfiniment divisible (ce qui est aussi, en un sens que nous avons mis en évidence, le caractère du pair), le Pythagorisme fait la transition entre la philosophie d’Anaximandre qui, n'étant qu'une théorie de l' ¿xewpov n'arrive pas à expliquer, l'ordre, l'harmonie, l'unité de l'être, et l'éléatisme qui, pour les expliquer, sacrifie à l'unité pure cet infini des Ioniens et des Pythagoriciens jugé contradictoire et partant illusoire. Mais, en outre, dans la théorie pythagoricienne des oppositions ramenées à l'opposition de l'un et du multiple-infini, il y a l'annonce et comme la préfiguration des grands systèmes dualistes, le platonisme et l'aristotélisme, qui ont su opposer l'esprit et la matière, le vrai principe de l'ordre et de lunification au principe de l'indéterminé.