Pensiero pitagorico e visione dualista della matematica

VAS a Umberto Bartocci PENSIERO PITAGORICO E VISIONE DUALISTA DELLA MATEMATICA $ Gentili Signore, Signori ho ascoltato con molto interesse gli interventi degli illustri relatori che mi hanno preceduto, e mi congratulo vivamente con gli organizzatori che hanno avuto il merito, e direi il coraggio, di promuovere un Convegno su un tema tanto interessante € trattato, come opportuno, sotto tanti diversi punti di vista. Non è frequente che l’ambiente universitario, dal quale provengo, e che dovrebbe essere per sua natura preposto al progresso ed alla diffusione della cultura, tenti di fare qualcosa di simile, poiché purtroppo la specializzazione divide le diverse culture ed i diversi istino un po’ eccezione le relazioni dei Proff. Haase e Lazzeroni). E vengo ad illustrare più in concreto quello che voglio dire, con riferimento soprattutto al campo matematico. Si è messo l'accento in molte delle relazioni sul fatto che nel pensiero pitagorico ‘‘il numero è l'essenza di tutte le cose’’, ed è stata a volte di conseguenza presentata tale concezione come una riduzione di tipo 772075574, giacchè per l'appunto la conoscenza appare tutta fondata su un unico principio. Ad esempio nella introduzione dell'Avv. Gaito si è parlato di una parentela scientifica tra i pitagorici ed A. Einstein, a proposito deltuti, quando addirittura la conoscenza non venga utilizzata ai soli fini di carriera e di potere la reductio ad unum da questi operata, ma preaccademico. zio/tempo/energia (vorrei invero aggiungere in Ciò detto, vorrei rivolgere un paio di domande a, diciamo, tutti i relatori, ma in particolare forse ai Proff. Conci e Szabo, ma debbo prima di tutto illustrare brevemente lo sfondo nel quaquesto contesto che nè ad Einstein è mai veramenferirei dire tentata, a proposito dei concetti di spate riuscito di dare una teoria unificata di tutti 1 fenomeni fisici, nè in siffatta impresa è mai riuscito qualcuno dei suoi successori; personalmenle situare il mio intervento nel dibattito in corso, te condivido anzi il parere espresso dal Prof. Hofche, a dirla breve, si riferisce sostanzialmente a ciò: si è parlato qui sovente di dualismo in riferimento al pensiero pitagorico, e tale carattere duasommer, ma anche adombrato nelle parole del lista è stato approfondito nei vari interventi di natura storica-filosofica-filologica, ma pochi mi semsono state da lui pronunciate: ‘‘è la matematica, sia pure in certa misura, l'essenza nascosta delbra abbiano tentato di pronunciarsi sul doveroso interrogativo se tale chiave di interpretazione duatata ontologica, o più semplicemtne, si rivela lista dell'esperienza umana possa essere ancora attuale per l’uomo del 2000, alla luce delle più recente conquiste della scienza (mi sembra faccia- Prof. Conci, che vorrei leggere visto che esse compaiono nel testo scritto della sua relazione ma non l'Universo, possiede, cioè, essa una diretta porun’ardita, ambigua e rischiosa metafora mediante la quale noi, womuni dell'occidente, cerchiamo di cogliere solo aralogicamente e di padroneggiare

alterandolo tecnicamente un mondo che ci è promente a tale concezione, la scienza preposta per fondamente estraneo?’’, che le avanzate teorie eccellenza all'indagine del mondo fisico è /'aritespresse dalla fisica moderna a proposito dei granmetica, ed immagino che anche concetti di deridi problemi dell'universo, quali ad esempio la così citata teoria del big-bang, altro non siano, sotto vazione aritmetica come i memeri razionali, espresil linguaggioe la veste di tipo scientifico, che dei tentativi di risolvere quegli antichi problemi attraverso una ben precisa opzione filosofica, consistente nell'eliminazione di ogni concetto inerente alla divinità nella storia dell'uomo e dell'universo). A me sembra invece che il pensiero di Pitagora si inquadra più propriamente in una visione di tipo dualista, visto che il Maestro e i suoi seguaci ancor prima di essere scienziati erano dei ‘‘religiosi’’, e che questo carattere dualista è ciò che divide il pensiero pitagorico dal pensiero scientifico attuale. La bipartizione fondamentale di cui si parla è naturalmente quella tra anima e corpo, spirito e materia, ed è apparentata nella tradizione pitagorica a tutte le altre coppie di opposti, pari/dispari, limitato/illimitato, buono/cattivo, etc. In altre parole, vorrei dire che, se è un principio che il numero sia l'essenza di tutte le cose (a simiglianza del pensiero galileiano che scorge nella matematica il linguaggio dell'universo), bisognerebbe forse aggiungere, per interpretare più coerentemente l'atteggiamento pitagorico verso il problema globale della realtà, di tutte le cose materiali, ma non viene mai dimenticato che esiste anche un ben preciso regno dello spirito che è diverso da quello e che è sottoposto a leggi di natura diverse. sioni di rapporti di numeri naturali, venissero interpretati in un modo fisico come szoz:, e non, come suggerito attraverso considerazioni di natura geometrica, dalla suddivisione dell'uno pensato come grandezza, ciò che sarebbe appunto incompatibile con la sua indivisibilità. Al contrario, tutto ciò che è legato all'immagine di un punto senza parti, di una linea senza spessore, ovvero di tutto ciò che è relativo a quella razionalizzaztone degli enti geometrici di cui ha parlato il Prof. Szabo, ivi compresa la scoperta della necessità di concepire coppie di grandezze tra loro incommensurabili, appartiene soltanto alla categoria del pensato, ovverosia dello spirito, e la scienza preposta al suo controllo è la geometria. A conferma di ciò, si potrebbe riportare la circostanza indubirabile che la teoria delle proporzioni fra grandezze, effettuata dei successori di Pitagora come Archita ed Eudosso, e poi ripresa nel famoso Libro X degli Elementi di Euclide, non conduce mai a considerare come proprio risultato degli enti che si possano chiamare e trattare come numeri vert. In parole moderne diremmo oggi che i zuert reali, in quanto espressioni di misure e non di quantità, sono numeri di origine diversa dai numeri naturali, concetti di derivazione geometrica appartenenti alla categoria del pensato e non del materiale, con la circostanza che numeri razionali e numeri naturali si ritrovano anche come espressioni di misure contenuti nei Coerentemente a ciò, quando si parla di nunumeri reali, ma diversi, benchè ssozzorfi, da mero si intende essenzialmente parlare di un numero intero positivo, ossia di quello che si chiama oggi un »umero naturale, espressione di una quelli introdotti in un contesto aritmeticomateriale (il numero 1, pensato come misura di un segmento rispetto a se stesso, è cerramente divisibile come suggerisce l'intuizione spaziale, al contrario del numero 1 pensato come potenza di un insieme finito, e basta pensare al bambino di quantità, e, come tale, originato dall'uno indivisibile, corrispondente alla mzomade che genera con le sue aggregazioni tutte le cose. Conforme-

UMBERTO BARTOCCI Salomone!). In altre parole, noi usiamo oggi un termine indifferenziato di numero nel quale si celano in realta due caratteristiche del tutto distinte ed irriducibili l'una all'altra (naturalmente per chi condivida siffata filosofia! ), corrispondenti se si vuole alla bipartizione spazio/tempo, il primo dando origine ai numeri come misura, ovvero alla geometria, scienza dell'ideale, il secondo dando origine ai numeri come quantità, ovvero all’aritmetica, scienza del materiale, con la sz»tesz tra aritmetica e geometria implicita nella considerazione dell'isomorfismo di cui si diceva poc'anzi. A me sembra che ai nostri tempi, nel pensiero scientifico e filosofico dominante, tale impostazione sia andata perduta, con tutto ciò che la determinava in campo filosofico, come ad esempio la visione di sostanziale armonia tra uomo/ divinità e divinità/cosmo, alla quale armonia Keplero aveva dedicato le sue Harmonices Mundi, senz'altro fraintese e derise, come ben ha detto il Prof. Haase, dal pensiero illuministanaturalistico che tanta parte ha avuto nei fondamenti della scienza moderna. È mia opinione invece che tale intuizione piragorica, probabilmente anche usata in forma assai ingenua ai suoi tempi, possa essere ancora considerata come un valido principio-guida per orientarsi ad esempio nei meandri del moderno pensiero matematico ricordati dal Prof. Conci, a proposito ad esempio delle antinomie derivanti dall'introduzione di nuzzeri cardinali transfiniti, ovvero dei paradossi dell'infinito derivanti dalla manipolazione di infiniti non costruibili. Ricordiamo ad esempio che è stato già espresso infatti un offerta dall'insieme di tutti i numeri reali, i quali costituiscono un infinita più che numerabile (ma bisogna pensare che anche la concezione di un singolo numero irrazionale comporta qualche problema di tipo filosofico sulla natura del tempo, visto che per enumerare tutte le cifre del suo sviluppo decimale, che si susseguono senza periodo, sarebbe necessario tutto z/ tempo della storia! ). In altre parole, ritengo che il pensiero pitagorico, ancorchè essere giudicato superato, dovrebbe essere considerato come del tutto attuale in relazione proprio, e non nonostante, gli Sviluppi storici e gli approfondimenti successivi, che possono anzi in detto modo di inquadrare la situazione essere meglio compresi e risolti. Per sconfinare un po’ dal campo strettamente matematico a quello pid propriamente filosofico, che appartiene però per sua natura a tutti gli uomini senza eccezioni, indipendentemente dalla specializzazione professionale, trovo anche assai attuale per l’uomo del 2000, sconcertato e depresso da tutte le dottrine di tipo materialistico-nichilista ugualmente imperanti sia in Oriente che in Occidente, l’identificazione di cui ha parlato il Prof. Bianca tra categorie dell'essere e categorie dell'intelletto (alle quali ultime apparterrebbe la matematica), identificazione certamente soltanto supposta, ma alla quale forse non vale la pena di rinunciare a cuore leggero, visto anche il suo altissimo valore antropologico (e non mi pare che | risutati della scienza moderna , come dicevo, ci costringano necessarimente ad abbandonare una siffatta ipotesi, visto che è molto più quello che l’uomo non conosce della struttura dell'universo di quello che conosce, e non bisogna scambiare rifiuto da parte di un certo pensiero matematico, per progressi della conoscenza i progressi nel paquello cosidetto zmtuizionista, associato ai nomi di J. Brouwer ed H. Weyl, della possibilità di considerare come infinità attualmente date quelle corrispondenti a totalità non fornite in un modo costruttivo, quale potrebbe essere ad esempio quella droneggiamento delle forze naturali). Per concludere, le domande che vorrei rivolgere al Prof. Szabo sono le due seguenti: 1. - non ritiene che, se è vero che l’interazione tra scuola eleatica e scuola pitagorica è quella

che ha originato la matematica e la sua metodoza alcuna distinzione tra piano teorico e piano pralogia come oggi la conosciamo, è pur vero che nel pensiero pitagorico la matematica viene vista sotto tico, renuto conto che, da parte di alcuni, e forse non del tutto a torto, i concetti astratti prodotti una luce essenzialmente dualista, conformemente dalla matematica ‘‘con una sola gamba’’ in quelli ad una visione globale della realtà, e che tale cache sono stati i suoi sviluppi storici sono stati derattere dualista è invece scomparso nella trattafiniti come fa/s: ed inutili rispetto alla realtà fisizione esclusivamente ‘‘formalistica’’ e ‘‘struttuca? (chiarisco questa seconda domanda dicendo ralista’’ della matematica d’oggi? 2. - (e con questa domanda spero di collocarsofica della matematica, anche alle possibilità che mi nell’autentico spirito del Convegno, il cui tesarebbero offerte dal privilegiare ad esempio un ma interpreto come possibilità di guida offerta dal concetto di zrfinitesimo che abbia una forma propensiero pitagorico agli uomini del III millennio) priamente quantistica come nella primitiva connon ritiene che tale carattere dualista potrebbe incezione leibniziana, o ad una matematica che pervero essere ulteriormente svilupparo, senza restare soltanto limitato al problema dei fondamenti, fino a suggerire la costruzione di una matematica più mettesse di evitare l’usuale identificazione tra spaparticolarmente significativa ed adatta alle rappresentazioni matematiche della realtà fisica, sentamento di entrambe queste due forme a quello che penso, oltre ad un'adeguata fondazione filozio e tempo, che avviene attraverso il concetto di numero reale, ma che al contrario riconduca il tratdi quantità discrete, e così via). La risposta di Arpad Szabo a Umberto Bartocci Ringrazio anzitutto per la Sua allocuzione davvero molto ricca e così istruttiva per me. Non posso bra che Lei abbia del tutto ragione, dicendo che adesso rispondere a tutti i punti, ma, per quanto meri naturali, ma mi sembra che la matematica riguarda la dualità, mi sembra che essa sia la dualità della scienza e della religione. I pitagorici sodopo Pitagora ha fatto diversi passi in avanti e la no stati non soltanto ricercatori ma nello stesso tempo anche molto religiosi. Purtroppo questo dovrebbe essere il nostro ideale, ma non vorrei dire che è adesso la realtà. È per il futuro il nostro ideale, almeno per quanto mi riguarda. Ma su un’altra cosa che Lei ha detto mi seml’aritmetica pitagorica non conosce soltanto i nucosa che lei ha sfiorato era la riforma di Eudosso e, se noi parliamo adesso della matematica, non possiamo rimanere nel cerchio pitagorico. Mi sembra d'altra parte che questi due punti siano stati soltanto due piccoli punti interessantissimi per me. La ringrazio molto.

DOMENICO ANTONINO CONCI La risposta di Domenico Antonino Conci a Umberto Bartocci Ritengo di poter rispondere contemporaneamente sia a lei, prof. Bartocci, ringraziandola per so, univocamente o metaculturalmente - e in tale osservazioni mosse alla mia relazione, e sia ai dosi ai parametri antropologici dei diversi modelli proff. Lazzeroni e Bianca. Probabilmente per mia culturali e delle loro specifiche articolazioni. colpa, per il modo, cioé, con cui ho formulato Un pitagorico evidentemente risponderà in un modo, Euclide già, forse, cambierà, in una certa la relazione, ho indotto a degli equivoci interprele formulazione resta inevasa -, ma solo riferentativi. Vorrei, anzitutto, precisare questo: io non ho inteso presentare in alcun modo un discorso misura, la natura della risposta, Galilei ne darebbe sulla natura del numero e delle cose, ma ho intepotremo rispondere come hanno risposto tutte so comunicare i risultati di una analisi fenomequeste persone. Cosa significa, questo? nologica di due modelli culturali differenti, il mo- Significa, in fondo, che quando noi ci poniamo dei probelmi, dobbiamo tener presente la cordello del realismo segnico o della identità e quello una ancora diversa e noi oggi, evidentemente, non nice linguistico-culturale all’interno della quale della metafora o del tropo che presuppone, invece, la divaricazione crescente tra i segni e gli enti designati. Precisando che il primo corrisponde grossolanamente al mondo pre-greco e non gresenso commensurabile alla domanda. Desidero, co - grossolanamente perchè poi ci sono delle ricinoltre, insistere sulla necessità di un'esemplare che articolazioni all’interno di questo continente distinzione tra un tipo di analisi storico-filologica, culturale - mentre l’altro corrisponde, invece, al modello nostro, cioè a quello greco, europeo ed che svolge una precisa funzione sia sul piano del atlantico. questi remi sono nati e all’interno della quale soltanto le risposte che noi diamo possono avere un metodo che su quello dei risultati, e un tipo di riflessione speculativa o, nel nostro caso, esoteri- Ora, chiarito questo, è evidente che alcune ca. In questo secondo caso la prima analisi serve delle obiezioni e delle osservazioni mosse alla mia come cava di materiali per le costruzioni teoretirelazione non stanno più in piedi. lo mi sono liche e speculative, seguendo l'impulso delle nomitato, infatti, a descrivere fenomenologicamente questi due continenti culturali, a mostrare, cioè, le loro strutture di identificazione e anche quando ho usato il termine ‘‘regressivo’’, io non l’ho mai inteso in senso negativo. Ho mostrato soltanto che se per scienza s'intende quel tipo di attività che noi abitualmente riscontriamo in Occidente, ebbene questa scienza non può nascere se non all'interno di una cultura della divaricazione tra segni ed enti designati. Allora la risposta che Lei, giustamente, prof. Bartocci, sollecitava al questito da me stesso posto: ‘‘la matematica è una metafora dell' universo o è un rispecchiamento vero e proprio di esso?’’, non la si può dare, a mio avvistre esigenze filosofiche, religiose, esoteriche, ecc. Ma i due atteggiamenti non devono essere confusi, perchè poi si rischia di porsi dei porblemi che sono in realtà degli pseudo-problemi. Nulla vieta che io possa immaginare, per i miel intenti teoretici, delle affinità tra lo Sfero di Empedocle e il mondo chiuso di Einstein. È, però, evidente che l’idea di Sfero in Empedocle nasce in un contesto linguistico-culturale profondamente diverso da quello in cui Einstein pensa il mondo. Io credo che eludere questa attenzione critica alle differenze culturali conduce a porsi problemi falsi e quindi a darsi delle risposte equivoche

tm we — ed inconcludenti. Noi sappiamo benissimo,e parlo qui al prof. Bartocci, che già all’interno del mondo della divaricazione tra segni ed enti, un momendella scienza gli universi linguistici sono diversi l'uno dall’altro e se i termini traslano, passano, comprensione implica una profonda trasformaziocioè, da un linguaggio scientifico ad un altro, ciò Quando poi ho accennato agli aspetti regrespuò avvenire correttamente solo a condizione che sivi del pensiero greco, precisando, appunto, che questi rermini vengano sottoposti, appunto, a delesso € regressivo se per modello di pensiero noi le profonde alterazioni semantiche, di significaimmaginiamo quello nato con l’evoluzione meto. Così, ‘‘punto’’, ‘‘retta’’, ‘‘piano’’, ‘‘parallela””, nella geometria di Euclide hanno un signitodologica di Galilei, ripresa da stein, ecc., attraverso tutta una serie di trasforficato diverso da quei termini apparentemente simazioni teoriche e sperimentali, non mi sono mai mili che ritroviamo all’interno delle geometrie non sognato di affermare che il pensiero occidentale euclidee, l’iperbolica, l’ellittica. Analogamente il termine ‘‘massa’’ quando passa da Newton alcorrisponde senz'altro alla vera natura razionale la meccanica quantistica muta profondamente la valenza semantica tradizionale che possiede nella fisica classica. to di sviluppo molto più avanzato, per cui la sua ne del modello culturale originario greco. Newton e da Eindell’uomo ouf court. Ecco perchè nella relazione, parlando non di ‘‘primitivi’’, ma di ‘‘cosiddetti’’ primitivi, |’ ho fatto perchè, a mio avviso, tali popoli hanno una razionalita - umana ovvia- Ed allora, se è vero questo discorso, è difficile mente - che é solo diversa culturalmente dalla noche io possa seguire il prof. Bianca - seguito qui stra e non gia ‘‘inferiore’’. Anche se ho citato dal prof. Lazzeroni - quando dice: ‘‘i Pitagorici, anticipando di molti secoli alcune asserzioni at- Lévy-Bruhl, a proposito della teoria degli insiemituali della scienza secondo cui il sistema nervoso condivido nel modo più categorico, la immagine centrale proprio per il modo in cui è scientificamente strutturato produce forme come l'armonia, la simmetria, ecc., ritenevano che nel mondo naturale si ritrovassero forme riconducibili proprio a questo modo di funzionare del sistema nervoso centrale””. Se mi rifaccio alle testimonianze è difficile affermare che i Pitagorici pensavano già in tal senso. La stessa testimonianza aristotelica, inoltre, non è chiara, e noi non abbiamo altro. Aristotele, come è noto, quando parla di altri pensatori parla sempre pensando a se stesso. Poi, quando parla dei Pitagorici, li mescola con i Platonici, e in un brillante studio J. A. Philip si è che lo studioso francese ha dato della mentalità sforzato di isolare gli elementi propriamente pinostre azioni, i nostri pensieri, i nostri linguaggi tagorici delle testimonianze aristoteliche. Ora, benchè il prof. Bianca dia del pensiero pitagoriche usiamo per formulare temi e problemi, queco antico una interpretazione in un certo qual modo tarda, di tipo platonizzante, tuttavia il tema che espone appartiene in realtà alla fase matura modelli culturali all’interno dei quali, appunto, numero, non per questo io condivido, e non la ‘‘primitiva’’ come ‘‘prelogica’’. No, il ‘‘primitivo’’ ha una logica vera e propria, così come ha un’ arte, una scienza, una tecnica, benchè esse siano completamente diverse da quelle che per tutta una serie di motivazioni culturali si sono imposte nel mondo occidentale, proprio a partire dai Greci. Non mi sogno, ripeto, di immaginare che la razionalità dell’uomo coincida con la struttura della dimostrazione. Vorrei concludere dicendo questo: bisogna, ormai, secondo me, guardarsi del fare una metacultura. Ecco, bisogna sempre immaginare che le siti e risposte, sono immersi inevitabilmente nei noi siamo educati, abbiamo pensato ed abbiamo costruito degli ‘‘oggetti’’ culturali.

MARIANO BIANCA Lee] We th La risposta di Mariano Bianca a Umberto Bartoccı e a Domenico Antonino Conci fossero fondati su caratteristiche proprie della specie umana. A questa domanda rispondo che i di- Il prof. Conci ha formulato due tesi con le quali mi trovo d’accordo e per questo vorrei agversi modelli antropologici di sapere rappresentano diverse possibilitä di operare del sistema nergiungere qualche breve commento. La prima di queste tesi afferma che per la navoso umano; in altri termini, i diversi modelli culturali potrebbero costituire diverse strutturazioscita della scienza moderna é stata fondamentale la distinzione tra il linguaggio e le cose; cid è vero per svariati motivi e anche perchè senza di essa non sarebbe stata possibile la formulazione di ni del cervello umano di fronte a condizioni diverse. Da questa considerazione scaturisce imme- Oltre a ciò è utile sottolineare che la scienza diatamente quell’altro problema, che ho indicato nella mia relazione, relativo alla possibile analogia tra la struttura del sistema nervoso centrale moderna si caratterizza anche per il superamendell’uomo e quella delle cose e del mondo natuto della conoscenza sensoriale: in altri termini, per conoscere il mondo non è necessario che le conoscenze che formuliamo concordino coni dati della percezione (la teoria copernicana è l'esempio classico di questo superamento dei sensi). rale. Se € vero, come sembra sia, che nel mondo vi siano moduli organizzativi riscontrabili in realtà Il Prof. Conci poi sottolinea che anche la scienlogia strutturale tra cervello e mondo che ci perza (così come la filosofia e l’arte) è legata a modelli di sapere fondati su categorie proprie di ogni cultura: per questo vi sono diversi modelli antropologici di sapere. Su ciò non si può non essere d’accordo, tuttavia, nella mia relazione andavo al di là e mi chiedevo se i modelli di sapere non mette di asserire, per esempio, che vi sia un ordiuna teorizzazione astratta che prescindesse dalle particolarità di ogni singolo fenomeno. ‘nà. PAT ADA XI apparentemente diverse (per esempio, la spirale delle galassie e la spirale del guscio di alcuni molluschi) allora si potrebbe sostenere che è una anane del mondo riconoscibile da un ordine proprio del cervello umano. In ogni caso, tuttavia, si tratterebbe sempre di un’analogia supposta e non considerabile come definitivamente accertata. Wy Se) AXE Na ue FT: 226 — 222