Pythagoras in spijkerschrift

A isis CET WETENSCHAP à K TECHNIE intermediair 9, 1 maart 2001 Pythagoras -in spijkerschrift do 0 vo «Dd N Wiskundigen vragen zich al vele jaren af, wat de sommen op een vierduizend jaar oud spijkerschrifttablet betekenen. Eleanor Robson denkt het te weten. Het bewijs voor haar stelling ligt echter in irakese bodem. Amerikaanse bommen gooien hopelijk niet al het bewijs aan scherven. FRANK VAN KOLFSCHOOTEN leanor Robson had de visa voor Irak net een uur binnen toen de Brits-Amerikaanse bombardementen op de radarinstallaties van Saddam Hoessein begonnen. Even zag de oriéntaliste | van Oxford University haar grote j | droom in duigen vallen. Al tien jaar lang wil ze niets liever dan een keer | afreizen naar het voormalige Meso{ potamié. De politieke situatie was de afgelopen tijd stabiel genoeg om in te gaan op een uitnodiging van Irakese archeologen voor een congres over de geschiedenis van het schrijven. ‘Ik kan niet wachten om het archeologisch museum in Bagdad te zien, daar hebben ze de prachtigste dingen. En ik wil de archeologische plaatsen in Zuid-Irak bezoeken waar de kleitabletten zijn gevonden waar ik de af- À elkaar vermenigvuldigt, op 1 uitkomen jaren twintig met vele andere spijkerschrifttabletten was opgegraven in Senkereh in Zuid-Irak. op de bij Ur. De meeste van die tabletten hadden administratieve doelen g. - 5,19 8,1 6 38,11 59,1 7 Plimpton wist te weinig van spijkerschrift om te kunnen begrijpen wat 1,41,33,45,14,3,45 13,19 20,49 8 1,38,33,36,36 8,1 1249 9 hij bezat, maar Neugebauer kwam wel een heel eind met de ontcijfering 1,35,10,2,28,27,24,26,40 1,22,41 2,16,1 10 1,33,45 45 1,15 11 1,29,21,54,2,15 27,59 48,49 12 1,27,0,3,45 2,41 4,49 13 1,25,48,51,35,6,40 29,31 53,49 14 1,23,13,46,40 28 53 15 van de tablet, al werd dat bemoeilijkt ‘In Bagdad hebben ze de prachtigste dingen’ in seconden, minuten en uren). Het simpelste voorbeeld van zo'n drietal is 3, 4. 5: de gehele getallen die eeuw verzamelde in zijn enorme huis horen bij een rechthoekige driehoek aan Park Avenue. Zijn collectie ommet korte zijde 3 en lange zijde 4 en vatte twintigduizend manuscripten hypotenusa 5 en die passen in de forvan de middeleeuwen tot de vroege negentiende eeuw en zesduizend kleitabletten uit de periode 2100 tot mule a? +b2 = c2, de stelling van Py- Otto Neugebauer de catalogus onder ogen kreeg, werd zijn aandacht vooral getrokken door tablet 322, die in de ton 322 de fantasie blijven prikkelen, vooral van professionele wiskundigen, die de betekenis ervan meenden ta kunnen doorgronden zonder zich te verdiepen in de geschiedenis en de goed uit de voeten te kunnen.’De fantasieén van die Holmes-achtige talen van Mesopotamié', zegt Robtablet gebruikten als inspiratie. Maar de persoon die de tablet rond 1800 voor Christus beschreef, had geen son, die behaive oriéntalistiek ook ' George Arthur Plimpton begin vorige toegankelijk te maken. — Toen historicus van de wiskunde 2 1,43,11,56,28,26,40 ken bij de onderverdeling van de tijd maakte om de schat ook voor publiek 1 1,20,25 1,47,6,41,40 Zestigtallig stelsel byloniérs rekenden (en dat wij tegenwoordig bijvoorbeeld nog gebruidie er in 1943 een catalogus van 1,53,10,29,32,52,16 1,48,54,1,40 thagoras. Op Plimpton 322 stonden wel vijftien voorbeelden van zulke drietallen, en daaruit concludeerde Neugebauer dat de bewoners van Mesopotamié al minstens 1.300 jaar voordat Pythagoras leefde, een goed begrip hadden van de stelling van Pythagoras. Maar de precieze betekenis van de kleitablet en het doel waarvoor deze 0 2,49 3 twee wetenschappelijke toptijdbliotheek van Columbia University, 1,16,41 4 5 Plimpton 322. Er staan publicaties in zijn dood in 1936 alles na aan de bi- 56,7 5,9,1 1,37 tablet onder meer Pythagorische drietallen stonden, genoteerd in het zestigtallige stelsel waarmee de Ba- 300 voor Christus, Plimpton liet na 1,59 1,56,56,58,14,50,6,15 1,55,7,41,15,33,45 3,31,49 15 diend, maar dit was een wiskundige tablet. Vanaf dit voorjaar zal Robson in Pr één adem genoemd worden met de beroemdste en meest gefotografeerde spijkerschrifttablet uit Irak: tieve verhalen die sinds 1945 de ronde hebben gedaan over dit vierduizend jaar oude kleitablet. Plimpton 322 was onderdeel van de indrukwekkende wiskundige bibliotheek die de Newyorkse uitgever 1,59,0,15 150,49 doordat aan de linkerkant ervan stukken ontbraken. Neugebauer, een uit Duitsland gevluchte jood, deed de opzienbarende ontdekking dat op de eind hoopt te maken aan de specula- Transcriptie van Plimpton 322 plaats waar indertijd Larsa lag. viak gelopen tien jaar aan heb gewerkt. Maar of dat nu nog doorgaat? We hebben de vlucht toch maar geboekt, afzeggen kan altijd nog’ schriften op stapel - American Mathematical Monthly en Historia Mathematica - waarmee Robson een _ Volgens Eleanor Robson Is spijkerschrifttablet Plimpton 322 een lijstje afleidingen van zogeheten reciproque paren: getallen die, als je ze met vriskunde heeft gestudeerd. Die ondeskundige bemoeienis heeft tot allerlei onzinnige interpretaties geleid. Laatst hoorde ik een wiskundige op cen congres in New Orleans beweren dat het ecn trigonometrische tabel voor astronomische observaties was, terwijl elke historicus van Mesopotamié je kan vertellen dat astronomische observaties pas duizend jaar na Plimpton 322 zijn begonnen. Maar vergeleken met de egyptologie mogen we in ons vakgebied niet klagen. Daar komen amateuronderzoekers zelfs aanzetten met verhalen over huitenaardse wezens.’ Robson vergelijkt de speurders die zich op haar vakgebied wagen spottend met Sherlock Holmes: amateurdetectives die op basis van hun eigen intuitie en deductieve vermogens in een weekendje de misdaad komen oplossen, waar domme politieagengemaakt was, kon ook Neugebauer ten falen. Maar in het oude Babylonié niet achterhalen.’Daarom is Plimpbleek Sherlock Holmes toch niet onderzoekers zijn gebaseerd op hun eigen begrip van de moderne wiskunde, waarbij ze de getallen op de toegang tot onze moderne wiskunde. Je moet daarom juist kijken naar de wiskundige technieken en concepten die vierduizend jaar geleden bekend waren; dan krijg je cen heel ander beeld.’ Wat Robson in haar aanstaande publicaties naar voren brengt is op zichzelf niet spectaculair, vindt ze. ‘Tk heb de bestaande historische, linguistische, archeologische en wiskundige kennis over Mesopotamié op een rijtje gezet en daar conclusies uit getrokken. Ik behandel Plimpton 322 niet als een soort eiland in de wiskunde. Ik kijk niet alleen naar de cijfers, maar ook naar de woorden die op de tablet boven de kolommen staan. Daar heeft sinds Neugebauer niemand meer serieus aandacht aan besteed, wat in feite onvoorstelbaar is. Zeg nou zelf: het is toch common sense dat die koppen vertellen waar de kolommen voor staan?’

WETENS & TECHNIEK intermediair 9, 1 maart 2001 De file staat op het dashboard MARK MIERAS raatje zich met zijn filemeldingen tot dat traject beperkt.’ We zijn inmiddels aan versie 1.49 toe’, aldus Skaie ‘s ochtends achter de file naar z'n werk rijdt. wint zeeén aan tijd. Tijd om Tustig te ontbijten, het ochtendblad te lezen en zich te verheugen op liks.'Dat is een versie die ook mensen die amper weten hoe een Gsm-telefoon werkt, kunnen bedienen. Nederland is het eerste land waarnaar de TMC-chip wordt geéxporteerd. De importeur, John Gold International te Almere, vertaalde alle tekeen voorspoedige rit. Het enige probleem was altijd de bepaling van het sten. Rijkswaterstaat leverde een juiste moment van vertrek. Maar daarvoor ligt sinds deze maand de filemelder naast het ontbijtbord. Om acht minuten over negen geeft het apparaatje een piep en meldt op het display ‘file Amsterdam-Utrecht opgelost‘. We kunnen vertrekken. bestand met aanvullende hamen van Nederlandse wegen en afslagen. Skaliks laadde die in de chip en de Nederlandse versie was gereed. Tot nu toe verkocht GNS, waar inmiddels zeven man werkt, in Duitsland vierduizend filemelders. Als de prijs verder daait, verwacht Skaliks De Duitse elektrotechnicus Peter Skaliks begrijpt zelf ook niet waarom het apparaatje er niet eerder was. De verkeersinformatie tapt de filemelder gewoon af van het FM-signaal van radiozenders, in Nederiand onder andere van Radio 3. De file-code (TMC) is een paar jaar geleden bedacht en verordonneerd door de Europese Unie, en in een reeks van Euro-landen braaf ingevoerd. Maar afgezien van een enkele producent van chique autonavigatiesystemen en onbetaalbare autoradio's maakt niemand er gebruik van. Skaliks begrijpt die laksheid eigenlijk wel, want de tientallen pagina's tellende technische standaard van TMC is niet om doorheen te komen. ‘Je moet het tien tot twintig keer lezen voor je _ het begrijpt’. zegt de techni- Product: Bedrijf: Een handzaam apparaatje dat files bijhoudt Gus te Würsilin, bi) Aken Ontwikkelingstijd: " Verwachting: 3 manjaar *Alleen al op de Duitse markt verwachten we 200.000 exemplaren af te zetten’ files, voor spookrijders, voor ongelukken en codes voor wegen en afslagen. Die laatste mag elk land zelf indelen, volgens de eigen wegenkaart. De codes bij een Duits radiozender betekenen dus iets anders dan die cus, die zich in het Duitse Wiirselen in 1998 in de Brusselse code heeft verdiept. Samen met Bernd Bierwisch heeft Skaliks een bedrijfje dat routeplanners maakt, Gns. Samen bebij een Nederlands station. : sluiten ze het erop te wagen, en een wegen van de Duitse Autobahn inclusief afslagen te kunnen benoemen. filemelder te gaan maken. Omdat de TMC- fileinformatie- . | In 1998 begint Skaliks chips te: * programmereh, die dè Brusselse do”: Kat de moeten omzettenin begrijpelijke. taal. Die chips dienen dus alle hoofdwordt meegestuurd in de marge van En even soepel moeten ze ook de codes uit Nederland en nog zo'n acht een radiosignaal, is de ruimte voor de file-informatie krap bemeten. Brussel construeerde daarom een hermetisch systeem van codes: codes voor en interpreteren. Zo nodig zelfs gelijktijdig. wanneer een filemelder in een grensstreek wordt gebruikt. andere Europese landen herkennen sel is de reciproque van 2 bijvoor- Met behulp van bovenstaande belangrijkste serieuze interpretaties . eenvoudigweg langslopen en beoordelen op hun houdbaarheid. De theorie van Neugebauer dat de tabel waarden van een functie weergeeft, valt niet te riimen met de opbouw van de kolommen en kan bovendien de betekenis van de vierde kolom (een eenvoudige reeks van 1 tot en met 15) Ervolgt een lange reeks van verbeteringen: programmeerfouten worden opgelost, voor ‘s nachts wordt een lampje aangebracht, en in een reeks van stappen wordt de melder uitgebreid, onder andere met de mogelijkheid om een vaste reisroute te programmeren, waarna het appa- PRODUCT natuurlijk dat je je de aanschaf van de filemelder (380 gulden) bespaart. ' Een ander nadeel van GSM: je moet eerst het sus-bericht openen voor je weet waar de file staat. Was de ANWB niet tegen gehannes met telefoons in de auto? ‘Jazeker’, zegt de woordvoerder. ‘Onze fileberichten zijn uitdrukkelijk bedoeld om te raadplegen voordat je in de auto stapt.’ a 0;30. De reciproque van 3 is dan 0;20, van 4 0:15, van 10 0;06 enz. Robson die bekend staan als ‘probleemlijstjes laat zien dat dan ook de woorden boven de kolommen op hun plaats vallen. Deze interpretatie sluit goed aan bij andere bewijzen dat reciproque paren een sleutelrol speelden in de Mesopotamische wiskunde. Robson doet in haar artikelen ook een poging om de identiteit van de schrijver van de tablet op te heideren. Ze rekent overtuigend af met de mythe dat het een eenzaam genie was dat zijn tijd ver vooruit was. Afgaande op de vormgeving van de kovan leraren'. In die hoek hoort de die restanten nog een keer opduiken, kleitablet dan ook thuis, denkt ze. want ze hebben er wel aan vast geze- ‘Plimpton 322 is een vijftienvoudige ten, dat kun je zien aan lijmsporen. In het British Museum heb ik wel eens een hoekje gevonden van een tablet in Jeruzalem en er zijn meer voor- Plimpton 322 is wellicht een nakijklijstje van een wiskundeleraar naar een speld in een hooiberg, want alleen al in het British Museum liggen een half miljoen stukjes. We zouden ook nog verder kunnen komen met de interpretatie van Plimpton vinden. Er moet nog veel in de grond zitten in Zuid-Irak, al heeft wat dat rij rond de tempel in Larsa. Een man herhaling van dezelfde wiskundige in elk geval, want vrouwen waren in deze regio niet actief in dit soort beopzet, met steeds een verschillende mee kon een leraar zijn leerlingen verschillende oefeningen van hetwoord, want die bestonden nog niet. Ook was het geen amateur-wiskundige, iemand uit de hogere klassen die ven, en hun tussenoplossingen en Eenzaam genie? tijd over had om voor zijn plezier wiskunde te bedrijven, want ook daar zijn geen voorbeelden van bekend uit de geschiedenis van Mesopotamié. Volgens Robson moet het iemand beelden van. Maar het is wel zoeken 322 door vergelijkbare tabellen te lommen moet het iemand geweest zijn die bekend was met de ambtenaroepen. Het was geen professionele met elkaar vermenigvuldigd worden op 1 uitkomen. In ons tientallige steldat vijftig cent). Daartegenover staat ste klant voor deze ‘bétaversie’ is de bestelt om daarmee de invoering van TMC in de Unie te controleren. wiskundige in onze zin van het ren bevat. Dat zijn getallen die als ze niemand maakt er gebruik van.’ Probleem is volgens de Duitse technicus dat je voor iedere filemelding moet betalen (in Nederland is Europese Unie, die er direct vijftig niet verklaren. Plimpton 322 kan vol-, gens Robson ook geen trigonometrische tabel zijn, want dan zouden er meer bewijzen moeten zijn gevonden van hoekmetingen in Mesopotami£. Robson denkt dat de tabel afleidingen van zogenaamde reciproque pade website van de ANWB aanmelden, en aangeven voor welke route en tijdstippen ze filemeldingen willen ontvangen. ‘Zonde’, zegt Skaliks. "Zonde van de investeringen. In Duitsland is een dergelijk systeem al wat eerder geintroduceerd. Haast haar artikelen het laatste woord gezegd is over Plimpton 322. Tk weet niet wat er stond in de eerste afgebrokkelde kolom. Daar kan ik alleen maar naar gissen. Ik sluit niet uit dat wordt die reciproque genoteerd als achtergronden kon Robson de drie foons. Weggebruikers kunnen zich op geweest zijn wiens werk te maken had met taal, rekenen en wiskunde. Qua opbouw doen de documenten denken aan wiskundige documenten beeld 0,5. In het zestigtallig stelsel >» Wiskunde in spijkerschrift Al die informatie moet ook nog zo overzichtelijk worden gepresenteerd, dat je er met de handen aan het stuur iets aan hebt. Eind 1999 is versie 1.01 van Skaliks’ Tuc-chip gereed. Collega Bierwisch heeft een kunststof doosje geconstrueerd waar batterijen en elektronica keuriginpassen. De eerdat de verkoop stijgt tot 200.000 exemplaren. Is dat niet wat optimistisch? In Nederland komt de ANWB reeds komende maand met een concurrerend systeem, dat file-informatie via SMS verstuurt naar GSM-teledefinitieve oplossingen controleren betreft de Golfoorlog ook veel kwaad gedaan. Niet door bombardementen maar doordat er een bloeiende illegale handel in kleitabletten is ontstaan op antiekmarkten. Op die manier moeten al tienduizenden tabletten het land verlaten hebben, zonder dat iemand weet waar ze precies zijn zonder zelf de berekeningen over te opgegraven. Als ik in maart inderhoeven doen.’ Een nakijklijstje van een wiskundeleraar dus. Kan het gewoner? daad naar Irak afreis, ben ik bang dat ik bij plaatsen als Larsa veel sporen van illegale opgravingen zal aantrefgroep van regelmatige getallen. Hierzelfde wiskundige probleem opge- Robson wil niet beweren dat met