Die Archai in der griechischen Mathematik

deo O. tas A Die Archai in der griechischen Mathematik Einige ergänzende Bemerkungen zum Aufsatz von K. v. Fritz?) (Archiv für Begriffsgeschichte, Bd. 1) aufzufassen ist. Schließlich wird die Hypothese ja auch so formuliert: Beispiel ei uév ¿ori rodro tó ywgiov towitor olov (a 3—4). 1. platonischen yoauur raparelvarra 2ilelneıw torott@ ywplw olov Gv adró rd naparetauévor 7, Ado ti ouußalverv por doxet, xai Aldo ad, de ddvvatdy dore» vabra nadeiv.)® Die Rahmenfrage ist: ei moid» ri dorıv tüv regi tiv puxay brr (87 b 5), so daß die Formel ét: éoré (86 ei) als $ Ti ¿ori „was sie (die Tugend) ist‘ — zu trennen von der Formel „wie beschaffen sie ist“ (oidy té dore) — el Eotiw dAoiov 7} olov ¿morían (b 7) — ganz analog wie im geometrischen Oskar Becker, Bonn Zum (el pév ¿oriw toito td ywelov tovobrov oloy ragà tiv Öodelsay avrai Hypothesis-Begriff (v. Fritz a.0.S. 38ff.) AuBer Rep. VI 510c ist fiir den Hypothesis-Begriff vor allem Meno 86e—87c heranzuziehen (was v. Fritz unterläßt), woselbst es sich ja gerade um ein mathematisches Beispiel handelt. Die Frage ist, ob die Tugend lehrbar ist. Sokrates móchte zuniichst untersuchen, was die Tugend ist; Menon ist dazu zu ungeduldig und Es handelt sich in beiden Fällen nicht um einen reinen Existenzsatz, doch es ist gewissermaßen zugleich davon die Rede, ob es so etwas — ein solches ywplov oder so etwas wie émoruy — im geometrischen Raum bzw. in der Seele gibt. Der Abstand zu Aristoteles, Physik O 3, 253b 5—6 (zitiert von v. Fritz S. 38, Anm. 46) ist nicht sehr groß; denn die dortige Hypothesis: dti % pio dex Tic xtmjoews kann ja auch so gedeutet werden, daß die Physis als Ursprung der „Bewegtheit‘ Wirklichkeit hat. Die Bewegtheit ist in der Erfahrung unmittelbar aufzuweisen, nicht aber ihr „physischer“, will gleich die Hauptfrage angreifen. Sokrates findet es bedenklich, nach der Beschaffenheit von etwas zu fragen, wenn man nicht weiß, (ob und) was es ist: oxentéor ... zoidy ti Eorw È uÿrw louer È ti &aılv (e 1): Er schlägt daher ein KompromiB vor: 2£ tnodécews adro cxorzioda: (e 7) und erläutert dies „hypothetische Verfahren‘‘ durch ein geometrisches Beispiel: Aéyw dé ¿E Unodécews ds, Goreo of yewuéroa nodAdxic OXOTMOVYTAL. Es handelt sich um die Aufgabe, ein Dreieck von gegebenem Fliicheninhalt in einen gegebenen Kreis einzuschreiben. Die dazu gehörige geometrische Hypothese lautet: „WenndiesesFlächenstück (ein Rechteck)sogestaltet (d.i. so proportioniert) ist, daß einer, der es längs einer gegebenen Linie hinstreckt (d. h. an eine gegebene Strecke anlegt), um ein so gestaltetes Flächenstück zurückbleibt, wie das hingestreckte selbst (gestaltet) ist, dann geschieht das Eine, wie mir scheint, und wiederum ein Anderes, wenn es unmöglich ist, daß es (das angelegte Flächenstück) diese Eigenschaft hat.‘ 2) Ich schreibe adró für überliefertes adrov (8784), weil erstens nur so das aktive Partizip mapurelvarra (a5) (das neben zagaterapévoy nicht gut intransitiv gemeint sein kann) ein Akkusativ-Objekt erhält und zweitens aÿroë auch mathematisch ohne Sinn wäre, da ja das Flächenstück (ein Rechteck) nicht an eine seiner gegebenen (Rand-)Linien angelegt wird, sondern an eine von ihm zunächst ganz getrennte Linie, nämlich den Durchmesser des gegebenen Kreises, in den das Dreieck eingeschrieben werden soll. — Die Wortstellung (des aÿrô) ist zwar ungewöhnlich, aber nicht unmöglich; sie ist wahrscheinlich gerade das gewesen, was die Verderbnis der Stelle veranlaßt hat. 3) Zu vergleichen ist eine weitgehend analoge Stelle bei Proklos (in Euclid. p. 419, 24—420,6 Friedlein), wo ovuraparelvy; vom zeichnenden Geometer gesagt wird und &Alelnew auch intransitiv — allerdings nicht vom Geometer, sondern vom Flächenstück — gebraucht ist. Platon selbst nennt Rep. VII, 5278, 8—9: rergaywviseır re xai nagurelvew xal nooorıdtvaı als angebliche „Aktionen“ (ned£eıs) des Geometers, was er freilich für eine „lächerliche und unnötige‘ Redeweise erklärt. Zur Sache selbst ist z.B. Sir Thomas Heath, A History of Greek Mathematics (Oxford 1921) I. p. 300 zu vergleichen. Aber schon K. B. Mollweide hat in seinen Commentat. mathematicophilologicae III, p. 33—64 (Leipzig 1813) den geometrischen Sachverhalt vollkommen richtig verstenden. Die gegenteilige Meinung A. Beneckes („Über die 1) Diefolgenden Bemerkungen zu der ausgezeichneten Abhandlung von K.v. Fritz sind zum größten Teil ergänzender, nur zum kleinsten Teil kritischer Art. In der Hauptsache stimme ich mit dem Verf. durchaus überein; besonders erscheint mir geometrische Hypothesis in Platons ‘Menon'“, Elbing 1867) ist m. E. nicht haltbar, weil zowobrov — oloy (tale, qale nicht tantum, quantum) nicht auf die die eingehende Erörterung des Verhältnisses der Euklidischen Axiomatik zu den entsprechenden Kapiteln der Analytica posteriora sehr aufschlußreich und wichtig, zumal dieses Thema seit T. Heath, Einleitung zu seiner Euklid-Übersetzung (Cambridge 1908), so viel ich weiß, nicht wieder behandelt worden war. lich anspielt (vgl. Zuklid, Elem. VI, def. 1 [Spora oyruara]). 210 14° Flächengleichheit, sondern auf die Ähnlichkeit der Figuren sachlich wie sprachZum eigenartigen, vom Deutschen und Englischen abweichenden Gebrauch des bestimmten Artikels in den Worten aoû tv dofeicay avrò yoauurnv vgl. Anm. 5

d. h. ihr aus der inneren Natur erwachsender Ursprung. Denn etwa die Atomisten glauben, daß alle Bewegung auf Zufall beruhe. Jedenfalls kann man nicht sagen, daß Plaion in der Mathematik lediglich die Existenz einzelner Gebilde (des Geraden und Ungeraden, der drei Arten der Winkel etc.) als Hypothesis aufgestellt habe, sondern er hat auch ganze mathematische Zusammenhänge darunter verstanden. Man kann ferner noch auf Phaedo 100a, 101de hinweisen; die dortigen Begriffsbestimmungen sind auch auf die mathematischen Wissenschaften anwendbar. (101d, 4—5: Widerlegung einer Hypothese durch ihre widersprüchlichen Folgen — so, wenn etwa aus der Kommensurabilität der Quadratdiagonale mit der Seite folgt, daß eine gerade Zahl gleich einer ungeraden ist!) fordert zu werden ; vielmehr wird bloß die bereits im 2. Postulat eingsführte Operation des Verlängerns in ihm verwendet. Aber es wird in ihm die Existenz des Schnittpunkts zweier konvergierender Geraden behauptet, der durch das Verlängern derselben hervorgebracht wird — weil sie nicht bewiesen werden kann. Anmerkung. Daß Speusippos die konstruktiven Postulate 1—3 eingeführt habe, wie v. Fritz (S. 97 mit Anm. 181) mit Berufung auf Proklos (in Euclid. p. 179) behauptet, scheint mir ganz unwahrscheinlich. Denn Proklos spricht nur davon, das Speusipp die Prinzipien (dgza/) von den späteren Sätzen durch ihre Einfachheit, Unbeweisbarkeit, Evidenz aus sich selbst heraus (rú adroniorw) unterschieden habe. Speusipp meint die Prinzipien überhaupt, nicht speziell die Postulate (alrjuzata) oder gar nur die Operationen einführenden Postulate 1—3. Das über diese 2. Zum 4.und 5. Euklidischen Postulat Die Einordnung der sog. „4. und 5. Postulate‘ unter die Kategorie der dıryuara im ersten Buch der „Elemente‘ hat schon in der Antike Bedenken hervorgerufen, man vgl. den Kommentar des Proklos (in Euclid. p. 178ff., 188ff., 191ff. Friedlein). 5 H. G. Zeuthens These, daß die Postulate Existenzsätze seien, scheint am 4. Postulat (das die Gleichheit aller rechten Winkel behauptet) zu scheitern und beim 5. (Parallelen-)Postulat jedenfalls nicht ganz zuzutreffen. Denn auch dieses weicht in seiner Form von den drei ersten Postulaten erheblich ab. a) Es werde zunächst das 5. Postulat diskutiert. Es stellt zweifellos einen Existenzsatz dar; denn es fordert ja die Existenz des Schnittpunkts zweier konvergierender Geraden. In der Form ist es aber von den Postulaten 1—3 verschieden. Denn diese drei fordern die Möglichkeit konstruktiver Operationen: 1. eödeiav yoeauur dyaysiv. 2. nenepaou£ınv ebderav Exßaleiv 3. xdxdov yodwai. Das 5. Postulat aber sagt nicht: ...¿xfaleiv rag dio evdelas Bote avunintew, sondern: éxballouévas ... ovunintew. Das Sich-Schneiden (ovurintev) ist aber keine Operation, sondern die Folge einer solchen, nämlich des Verlängerns der Geraden, wie es im 2. Postulat gefordert worden war. Von hier aus wird die abweichende Form des 5. Postulats verständlich; es braucht in ihm ja keine zusätzliche Operation zu den drei fundamentalen, in den drei ersten Postulaten eingeführten Operationen (des Verbindens zweier Punkte durch eine Gerade, des Verlängerns einer Geraden und des Schlagens eines Kreises mit gegebenem Mittelpunkt und Radius) neu ge212 Gesagte stammt von Proklos selbst oder allenfalls von Geminus. Vor allem aber würde die Zuschreibung konstruktivistischer Neigungen an Speusipp seiner Stellungnahme im Streit mit Menaichmos um den Vorrang der Theoreme oder Probleme (Procl. in Euclid. p. 77, 7—78, 19) widersprechen. Dort standen sich die Meinungen von Speusippos und Amphinomos einerseits und Menaichmos andererseits derart gegenüber, daß Spensipp als treuer Platoniker — entsprechend der so lebhaft im „Staat‘‘ (527a) geäußerten Auffassung Platons selbst — das konstruktive Tun (zoa&ıs) der Mathematiker für nur scheinbar und der theoretischen Wissenschaft eigentlich nicht angemessen erklärt (ol neo Enedoınnov xai Apglropor, jyotpevot taicdewperimals émotrpars oixetotépar elvar tir Tür Devendra mpoonyopiay 7} ti)» Tor ooßAnuaror [p. 77,16 —19]). Denn bei den ewigen Dingen, den Gegenständen der Mathematik, gebe es kein Werden (0% ydo dor yéveots Ev tois dlbors dote ovde To nodBAnua yópav éni tottwr Gv Exo, yéreow ènayyeMdpeviv ai nolnow Tod uno repóregor dvrog [77,20—78,1]). Nach Menaichmos dagegen sei die Intention der Mathematiker zweifach: dre uév zopivacda: to intovpevov Ste di nenopouévor (so ist wohl für meguoprapévo» zu lesen) aforras Weir, ñ rilcléotiv, Y xotdy te, Y vi nenovder, $) tivas Eyer noös Aldo Ayéoese (p. 78, 10—13). Also in erster Linie wird die konstruktive Lösung eines Problems und dann die Untersuchung des Konstruierten ins Auge gefaßt. Man sieht hier den Gegensatz des platonischen Philosophen, der um die Betrachtung der zeitlosen mathematischen Gebilde bemüht ist, und des schöpferischen Mathematikers Menaichmos, des Eudoxosschiilers, der die wirklich vollzogene Konstruktion allein als das Wesentliche gelten läßt. In der Tat hat ja auch derselbe Menaichmos das sog. Delische Problem der Würfelverdoppelung durch eine geniale Konstruktion

mittels zweier Kegelschnitte gelöst, eine Methode, die für viele spätere die Eindeutigkeit der im 1. Postulat geforderten Operation der Ver- Lösungen kubischer Aufgaben, wie etwa der Archimedischen Kugelteilung, vorbildlich geworden ist. Und sein Bruder Deinostratos, Schiiler des Eudoxos wie er, hat als erster eine Konstruktion mittels der Quadratrix bindung zweier Punkte durch eine Gerade. : Mir scheint daher die Sache eher umgekehrt zu liegen: Dié Gleichheit der rechten Winkel ist nicht der Grund, sondern die Folge der Eindeutigkeit der Streckenverlingerung. Bei der Verlängerung einer angegeben, die die Länge eines Kreisbogens mit beliebig genauer Annäherung zu bestimmen erlaubt. nicht im Euklidischen Urtext enthalten, sondern späteren Datums; noch Proklos kannte sie nicht. Es ist also durchaus möglich, daß das Strecke AB iiber B hinaus bis C entsteht das, was wir heute einen ,,gestreckten Winkel“ nennen. Die Alten kannten diese Bezeichnung zwar nicht — nach der 8. Definition ist der ebene Winkel ,,die Neigung (»Aloıs) zweier Linien gegeneinander‘ —; jedoch faBten sie die Summe zweier Nebenwinkel als eine bestimmte Größe auf. Und diese ist eindeutig bestimmt, weil die Streckenverlängerung eine eindeutige Konstruktion ist. Jeder rechte Winkel ist aber nach Definition 10 die Hälfte eines ,,gestreckten“ bzw. der Summe zweier Nebenwinkel, die infolge ihrer eindeutigen Bestimmtheit ein absolutes Maß darstellt, sodaß dies 4. und 5. Postulat ursprünglich eine Einheit bildeten. Es ist ja auch die auch vom rechten Winkel gilt. In der Tat wird diesem auch von Proklos Einführung des 4. Postulats nötig, um der Bedingung des 5. Postulats kleiner als zwei Rechte macht‘) einen präzisen Sinn zu verleihen. Denn hier wird „zwei Rechte“ offenbar als absolutes Winkelmaß benutzt. Man könnte sich nun denken, daß diese letztgenannte. Tatsache — der Charakter des absoluten Maßes ausdrücklich, wiederholt und eindringlich, zugesprochen — im Gegensatz zur Unbestimmtheit eines spitzen oder stumpfen Winkels. (Vgl. z.B. Procl. in Eucl. p. 131,13 Tic uër (doc) ward tó loov xai tadróv xai duo apwptopérns: p. 133,14 Foti (1) x«áderos) xai pétoov Déov xai voegod ovupodor. cf. p. 132,9 u. daß zwei Rechte ein absolutes Maß darstellen — besser am Anfang des andere Stellen.) 5. Postulats, etwa in Form eines Genitivus absolutus, stünde (xaca@y tor dobar yordyv lody d&AAjAas odor), aber das würde doch einen Rückunmittelbaren Anschluß an die Definition 10 (des rechten Winkels) ausgesprochen denken, analog wie am Ende der Definition 17 (des Jedoch war eine derartige Aussage im unmittelbaren Anschluß an Definition 10 (analog der oben erwähnten Halbierung des Kreises durch den Durchmesser im Anschluß an Definition 17) logisch nicht möglich, weil die Eindeutigkeit der Streckenverlängerung ja erst im 2. Postulat enthalten ist. Erst nach diesem Postulat konnte also die Gleichheit aller rechten Winkel ausgesprochen werden, und das ist auch geschehen! Durchmessers eines Kreises) gesagt wird, daß ein Durchmesser seinen Höchstens könnte man bemängeln, daß sie nicht unmittelbar nach Kreis in zwei gleiche Teile teilt. Daß dies nicht geschehen ist, muB seinen Grund haben. Postulat 2, sondern erst nach Postulat 3 (Konstruktion des Kreises) gebracht wird. Hier wird nun wohl der engere Zusammenhang der drei eine Operation einführenden Postulate 1—3 und die nahe Beziehung Die operative Form der drei ersten Euklidischen Postulate scheint also viel eher aus der Menaichmosschule zu stammen als von Speusipp. b) Welche Rolle spielt nun aber das 4. Postulat, das doch offenbar weder eine neue Operation einführt noch ein Existenzsatz ist? Ich möchte mich der Ansicht derer anschließen, die das 4. Postulat mit dem 5. eng zusammenstellen. Die Numerierung der Postulate ist ja (,,-.. wenn die schneidende Gerade die inneren Winkel zusammen weis auf eine frühere Behauptung desselben Inhalts besagen. Andererseits könnte man sich die Gleichheit aller Rechten auch im H.G. Zeuthen hat (vgl. v. Fritz 8.61, Anm. 74) behauptet‘, daß das 4. Postulat die Eindeutigkeit der Streckenverlängerung, die das des 4. zum 5. Postulat; maßgebend gewesen sein. 2. Postulat fordert, aussage. Man hat mit einigem Recht (so auch v. Fritz - Die Formulierung Euklids ist äußerst knapp und setzt beim Unter- 2.0.) dagegen eingewandt, daß diese Eindeutigkeit schon im 2. Postulat selbst mit enthalten sei. Auch das sog. 6. Postulat, nach dem zwei richt offensichtlich die mündlichen Erläuterungen des Lehrers als Ergänzung voraus, dem es oblag, auf die Verbindung des sogenannten Gerade keinen Raum einschließen, wurde ja von Heiberg unter anderem 4, Postulats zum 2. zurück und zum 6. voraus hinzuweisen. aus dem Grunde für unecht erklärt, weil es nichts anderes besage als c) Die eigenartige Zusammenstellung des 4. und 5. Postulates fordert dazu auf, sich die Frage der historischen Entstehung der Euklidischen 1) Geschichte der Mathematik im Altertum und 1898) 8. 123fF. 214 Mittelalter i (Kopenha o Formulierung vorzulegen. Hat das 5. Postulat immer so ausgesehen wie bei Euklid? Haben Theudios oder gar Leon es auch schon so gefaßt? 215 iu

Wir glauben, diese Frage ist zu verneinen. Und man kann die frühere napeyôuevor Tic Tüv eddeur ovvedoews ral cvurr@aews. p. 192,15--17: TO pév NAarroyuerum Tor Cody avvedeıw tac eödelas dAndès nai àvayxator, Formulierung auch noch erraten. Sie wird gelautet haben: ,,Konver+ gierende Gerade schneiden einander, wenn unbegrenzt verlüngert‘“ [griechisch etwa: eddelas ovrevovoas. éxBallouérvas En’ Gregor avuniatew (¿is? & uéon cvrevovaw)]. In dieser Formel kommen Winkel gar nicht vor, das 4. Postulat war damals also überflüssig — zum mindesten an der Stelle unmittelbar vor dem 5. Postulat. Daß eine solche Fassung des 5. Postulats wirklich existiert hat, kann man mangels erhaltener Quellen nur wahrscheinlich machen, nicht streng beweisen. Für einen solchen Wahrscheinlichkeitsbeweis aber liefert der Euklidkommentar des Proklos, diese fast unerschöpfliche Fundgrube, reiches Materia]. Dazu kommt noch eine Stelle aus dem Kommentar des Johannes Philoponos zu den Analytica priora des Aristoteles. Zunächst ist auf das vevew, das Sich-Richten auf einen bestimmten Punkt wie auf ein Ziel (pos Eva oxônor vevew bei Polybios bedeutet: „nur auf ein Ziel gerichtet sein“) hinzuweisen, das von Proklos als ein wesentliches Charakteristikum der Geraden angesehen wird; in Euclid. p. 179,22— 180,1: 76 uév and onuelov yoauur ebdeiar Eni onuetor ws xp6zetoov Aaußäreı xai eundgıiorov. ti yap duadjj déc tod onuelou avyxtvovpéeyn xai ovungowüca TH undauod uaÂloy xai Ärrov dstoveverw» els To Exegov xaTAaYTE ONUEÏOY. TO di ovvevodoac éxi nAéov Ev tO ¿xfPálleoda ovurecsiodal nore maven, GAR oùx avayxaior. Dazu kommen noch einige Stellen iiber den Zusammenhang des Konvergierens zweier Geraden und des Zuriickbleibens der Summe der inneren Winkel hinter zwei Rechten: Zwei Gerade stehen senkrecht auf einer dritten. Wenn ein Dreieck entstehen soll, müssen sie konvergieren (p. 311, 3). Aber dieses Konvergieren vermindert die inneren Winkel so, daß ihre Summe unter zwei Rechten bleibt (311,5—7). e©otaso2èar?eo Ausführlicher drückt sich eine spätere Stelle (p. 384, 14-21) aus: ¿ar yüp voñowpev eddeiav xai Eni Tüv negárov adrijs twas pds: debas Eotwaas, elta aunovoas eis terydvov yéveor», dedper Gt: è xaddoov ovvetovoir xatà tooodtor éAatrobor tas doddc, ds Enolovv noòs ti ebbeia, dote doov Eye (5 Exeiv)av àgetlor, tocovrov noooAaßoucaı xard Tr pos TH xopupí ovrevoiv LE Grayxn, TOS toeis novovow dvoir dpdaig loas. Hier wird gesagt: Um wieviel die Geraden konvergieren, um so viel vermindern sie die — — urspriinglich rechten — inneren Winkel. Es wird so verständlich, daß die Konvergenz bei Euklid durch das Zurückbleiben der beideninneren Winkel unter zwei Rechten ersetzt wird. Der Konvergenzbegriff ist zunächst noch anschaulich beschreibend und wird noch nicht auf die anderen genau definierten Grundbegriffe zurückgeführt. Das korrigiert dann Huklid, wie er ja auch die vetors als Kon- Die Gerade ist charakterisiert durch eine bestimmte unveriinderliche Richtung. (Vgl. p. 106,20—25, wo die Gerade als einfacher als der Kreis bezeichnet wird, der wegen des Hohlen und Erhabenen an ihm ein , Anderswerden” (étegoiwais) zeige, das die Gerade nicht besitze.) struktionsmittel (die sog. „Einschiebung‘) nicht mehr verwendet. Endlich muß noch kurz auf die erwähnte Philoponos-Stelle einge- Entsprechend werden die Parallelen nach Poseidonios als weder gangen werden. (Vgl. dazu Th. Heath, Mathematics in Aristotle (Oxkonvergierende noch divergierende Gerade (in einer Ebene) gekennford 1949), p. 27—30.) zeichnet. (176,6 6 dé JTooeıdwviog napdAAnAoı, gnoir, eloir al ute ovvevovaal pate dnovvevovoa èv Évi Enınedw.) Diese Definition wird Poseidonios kaum erfunden, sondern sie als ‚naive‘ Kennzeichnung der Parallelen, die aus einer viel älteren Zeit stammt, wiederaufgenommen haben. Es kann sehr wohl eine stoische Tradition, die sich nicht in dem Maße wie die akademisch-peripatetische in mathematicis auf Euklid stützt, bestanden und bei Proklos einen teilweisen Niederschlag gefunden haben, was durch öftere Erwähnuhg der Stoiker Poseidonios und Geminus erhärtet wird. Weiterhin findet sich in der Erörterung des 5. Postulats selbst durch Proklos der Begriff des Konvergierens oft verwendet. (Hier übrigens auch eine Erwähnung des Geminus p. 192,5). So p. 192,4: tiv xiour 216 Aristoteles führt als Beispiel einer petitio principii in den Analytica m“©s=-eA | priora II, 16 (65a, 4—9) eine gewisse Konstruktion von Parallelen mißbilligend an, die offenbar zu seiner Zeit noch diskutiert wurde. Er selbst gibt keine näheren Angaben, aber Philoponos erzählt in seinem Kommentar zur Stelle (p. 454,4ff.) von der Konstruktion von Parallelen durch Ausrichtung zweier (horizontaler) Geraden nach dem Meridien (genauer nach dem Nord- und Südpunkt am Horizont): onueiov ds eineiv npoonintov nepi TO éninedov Exeivov (scil. rod peonuBpro xdxdov). Er ist offenbar der Meinung, daß zwei von verschiedenen Standpunkten in der Nord-Süd-Richtung gezogene horizontale Gerade parallel sind, weil sie dieselbe Richtung haben. Wir haben also hier (bei Aristoteles) eine Richtungstheorie des Parallelismus vor uns.

Im Ganzen genommen sind also sehr wohl Gründe vorhanden, eine (mehr) des Unendlichen — sie brauchen es nämlich nicht — sondern nur einer begrenzten Strecke, die so groß ist, wie sie wollen (donr dy Bovlwvra: nexeoaouéryr). Denn in demselben Verhältnis wie die größte (Strecken)-Größe kann man eine beliebig größere oder kleinere andere primitivere Theorie des Parallelismus als die Euklidische anzunehmen, die dieser vorausging. Parallele wurden als Gerade gleicher Zielrichtung (rear) angesprochen, infolgedessen auch als weder konvergierende Größe teilen. So daß es für den geometrischen Beweis nichts ausmacht, daß er innerhalb der „wirklichen‘‘ Größendimensionen (d.i. im Raumgebiet innerhalb der Himmelskugel, der Fixsternsphäre) geführt wird. (to dè ueylorw peyéder tov adrör Fou Terujeda Adyor Önnlıxorodr - noch divergierende Gerade definiert. So kann mit nicht geringer Wahrscheinlichkeit die Urform des 5. Postulats rekonstruiert und auch von dieser Seite her verständlich gemacht werden, daß das jetzige 4. und 5. Euklidische Postulat eine Einheit bilden, die aus jener Urform entstanden ist. Anmerkung. Auch Schopenhauer hat in seinem Bestreben, den „Grund des Seyns“ elementar-geometrischer Sätze unmittelbar anpéyedos Erepor. dote nods pév TO delta: éxeivoig older droivet ‘T0[6’) elvas Er toîs oda ueyédeow.) Hier ist durchaus klar das Prinzip ausgesprochen, daB die Proportionen einer geometrischen Figur unabhängig von ihrer absoluten GrôBe sind und daher die geometrischen Beweise an einer beliebig kleinen Figur ebenso gut durchgeführt werden können wie an der allergrôBten. Dem entspricht auch die ausführliche Erläuterung der Aristoschaulich zu machen, auf den Richtungs- bzw. Neigungsbegriff rekurriert. Vgl. „Über die vierfache Wurzel des Satzes vom zureichenden Grunde‘ (1813), 8 39. 3. Der mutmaBliche Beweis des Hippokrates von teles-Stelle durch Simplicius (in Phys. p. 510, 15—512, 36). Chios Wir können nun auf Grund dieses Aristotelischen ,,Ahnlichkcitsfür die Proportionalität von Kreisfliche und Durchmesserhalten, nur durch ein Exhaustionsverfahren bewiesen werden könne und prinzips" dieselbe Konstruktion gewissermaßen mit verschiedenen Zirkelöffnungen ausführen, ohne daß sich die Proportionen innerhalb der jeweiligen Figuren ändern. Das ist besonders einleuchtend bei Konstruktionen mit fester Zirkelöffnung. Nun kann man wirklich einen Kreis mit umgeschriebenem Quadrat mit fester Zirkelöffnung folgenderdaß demgemäß Hippokrates eine unvollkommene Vorform des Eudozimaßen konstruieren: quadrat (vgl.v. Fritz S. 92) Es wird ziemlich allgemein, auch von ®. Fritz, angenommen, daß der Satz, daß sich zwei Kreise wie die Quadrate ihrer Durchmesser verschen Beweises für den Satz (Euclid. Elem. XII, 2) vorgelegt haben müsse. Indessen ist das wenig wahrscheinlich. Denn Hippokrates versuchte A ja (um 440), den Kreis zu quadrieren durch Ausmessung endlicher Teilflächen, aus denen sich der Kreis durch Addition oder auch Subtraktion herstellen läBt — was nicht gelingen konnte. Auch ist wohl der erste Entwurf eines Exhaustionsverfahrens durch den Sophisten Antiphon (etwa 430) oder vielleicht durch Anaxagoras (wie überliefert, im Gefängnis Ke e ’ der Quadratur der „Möndchen‘ durch Hippokrates. möglich, sondern such historisch denkbar? Eine Bemerkung des Aristoteles, Physik 111,7 (207b, 29—34) führt hier weiter. Es ist eine von jenen Anspielungen auf elementare, den Zuhörern bekannte mathematische Tatbestände, an denen die Aristotelischen Pragmatien so reich sind. In seiner charakteristischen, bloß andeutenden Art sagt Aristoteles: Die Mathematiker bedürfen jetzt nicht 218 % LI 4 ‘ y Wie ist nun aber ein Beweis unseres Satzes ohne Exhaustion oder irgendeinen unendlichen Prozeß möglich? Und nicht nur rein sachlich ® je a K etwa 434) angegeben worden, also wohl erst ungefähr zehn Jahre nach x iN \ {ir y 7" ni fa / \ \ ’ \ i Man nehme eine Gerade an (der Anschaulichkeit halber etwa horizontal) und auf ihr einen Punkt P. Nun trage man von P mit der festen

Zirkelöffnung a die Strecke PQ = a ab. Dann konstruiere man (gemäß . sElem.I, 1) nach beiden Seiten, oben und unten, die gleichseitigen Dreiecke PQR und PQS über PQ als Basis, mit den beiden Spitzen R sich durch seine Zweckmäßigkeit zur Begründung von Theoremen, die als gültig anzusehen seien. „Es zeigt sich aber”, sagt Archimedes, „daß jeder von diesen Sätzen (wie der, daß der Inhalt eines Kreises dem den Kreis, der die beiden Geraden PQ, RS in den vier Punkten K, L, M, N schneiden möge, und schlage wiederum um X, L, M, N Kreise mit der Quadrat des Radius proportional ist) ebenso zweifelsfrei ist wie die Sätze, die ohne diesen Hilfssatz bewiesen worden sind. Es genügt mir, wenn die von mir gefundenen (neuen) Sätze denselben Grad der Zweifelsfreiheit besitzen.‘ Hier zeigt sich doch wohl eine von der aristotelischen erheblich Zirkelöffnung a, welche sich offenbar in den vier Eckpunkten A, B, C, verschiedene Auffassung, wenn auch noch keineswegs der moderne D des dem Kreise um 7 umgeschriebenen Quadrats schneiden werden. Flächeninhalt nach mit q bzw. q', so muß wegen der Gleichheit der „konventionalistische‘‘ Standpunkt Helberts und H. Poincarés erreicht ist. Man kann diesen Auffassungswandel, der im 3. Jh. einsetzt, in Parallele setzen zu einer gleichzeitigen Umformung fundamentaler Anschauungen auf dem Gebiet der Logik, wie sie sich im teilweise gegensätzlichen Verhältnis der stoischen Logik zur aristotelischen darstellt. Es sei auf die eingehenden Untersuchungen von J. Lohmann über dieses Thema hingewiesen (Lexis II,2: „Vom ursprünglichen Sinn der aristotelischen Syllogistik“; III,1: „Das Verhältnis des abendliindischen Proportionen, die innerhalb der beiden Figuren jeweils gelten, nach Menschen zur Sprache; Österreich. Zeitschr. f. öffentl. Recht VI,3: und S. RS steht dann auf PQ senkrecht und halbiert sie im Schnitt‘punkt 7. Nun schlage man um 7 mit derselben festen Zirkelöffnung a Dieselbe Konstruktion wiederholt man nun in allen Einzelheiten mit der von a verschiedenen Zirkelöffnung b und erhält so die den Punkten der ersten Konstruktion genau entsprechenden Punkte P’, Q'; R’, 8’, 7’; K,L,M', N'; A’, B’, C’, D'. Bezeichnen wir nun die Flächeninhalte der Kreise um 7 bzw. 7” mit den Radien a bzw. b mit & bzw. k' und die ihnen umschriebenen dem Aristotelischen Quadrate ABCD Ähnlichkeitsprinzip die k:q=k :q, bzw. A'B'C'D' Proportion ihrem bestehen: „Denkform und Sprache‘), die den Gegensatz des 4. und 3. Jh.s - indessen vielleicht doch allzustark betonen; es dürfte doch auch Übergangserscheinungen, repräsentiert durch Männer wie Theophrast, geworaus durch Vertauschung der Innenglieder (2va4A&rrew, nach Elem. V, geben haben. 16) folgt: Zu S. 27. Zum Begriff der zoıra: Es dürfte sich bei den xomd weniger um implizit definierte Begriffe als um ‘logical constants’ im k:k—g:q, was zu beweisen war. Sinne Berirand Russells handeln. Es lassen sich mehrere Varianten dieses Beweises denken, so daB die Zu S. 57. Zur Datierung archimedischer Schriften. — Ist Einzelheiten des Hippokratischen Beweises nicht mit Sicherheit zu redie „Quadratura parabolae“ wirklich früher als die „Methodus ad Eratosthenem“? Für diese allgemein verbreitete Annalıme sprechen konstruieren sind. Aber das Grundsätzliche daran läßt sich durchaus noch mit großer Wahrscheinlichkeit vermuten. Einzelbemerkungen zweifellos die Widmungsbriefe, die Archimedes den beiden Schriften vorausschickt. In der Vorrede zur Parabelquadratur wird diese Quadratur als eine neue Entdeckung hingestellt, als „ein Problem, das bisher noch nicht, jetzt aber durch mich in Angriff genommen worden ist“. Im S. 24 Anm. 20; vgl. auch S. 21, Anm. 16 und S. 59. Zum Widmungsschreiben an Eratosthenes wird dagegen nur die benutzte Verhältnis der antiken Axiomatik zur heutigen ist zu sagen, Methode als offenbar neu bekannt gemacht, die Quadratur der Parabel daß es auch in der Antike selbst verschiedene Auffassungen gegeben zu aber gleich am Anfang ohne besonderen Hinweis gebracht. Also scheint haben scheint. Die Stellung des Aristoteles (und auch wohl Euklids) ist die Sache klar: in der früheren Schrift ,,quadr. parab.‘ wurde die Panicht dieselbe wie die des Archimedes. Auffassung (Hilberis u. a.) näher zu stehen; man denke an die bekannte rabelquadratur zuerst veröffentlicht, in der späteren ,/Eqodos” als Beispiel für die neue Methode nochmals — unter anderen Beispielen — Bemerkung in der Vorrede zur ,, Quadratur der Parabel‘ über das Axiom vorgeführt. des Messens (das sog. ,,archimedische Axiom“). Dieser , Hilfssatz“* wird Indessen steht dieser so plausibel erscheinenden Argumentation doch ein schwerwiegendes Bedenken entgegen, das sich aus dem mathe- Zu Dieser scheint der „modernen“ durchaus nicht als aus sich heraus evident betrachtet, sondern empfiehlt

matischen Inhalt der beiden Schriften ergibt. Die Eratosthenes mitgeteilte „mechanische“ Methode ist nämlich in der ,,Egodos' in viel ° “primitiverer Form dargestellt, als in der ,,quadrat. parab.“, wo sie ja bekanntlich auch auftritt, aber mit regelrechten Exhaustionsbeweisen ‚versehen. Die „mechanische“ Methode legt Archimedes also in zwei verschiedenen Formen, mit ganz verschiedenen Graden von Strenge dar. Es ist undenkbar, daß in seinem Geiste die Methode zuerst in der strengen und dann erst in der unstrengen Form entstanden ist, zumal die unstrenge Form historisch bei Demokrit (Fragm. B 155 Diels, wozu Hero, Metrica. II praef. (p. 94,7—96,11 Schöne) zu vergleichen ist) nachzuweisen ist, bei demselben Demokrit, den Archimedes in der Vorrede der »Égoôos“ erwähnt. Jch weiB aus diesem Dilemma nur einen Ausweg: Man muB annehmen, daß Archimedes seine „mechanische Methode‘ schon in früher Zeit, angeregt durch Vorläufer wie Demokrit und vielleicht auch Praktiker in der Art des (späteren, dem 1. nachchrist]. Jahrh. angehörigen) Heron, besessen hat, sich aber scheute, sie in dieser unvollkommenen Form zu veröffentlichen. Er gab daher zunächst die „quadr. parab.“, die dem Dositheos, einem „erfahrenen Mathematiker‘, gewidmet ist, heraus. Erst später entschloß er sich dann zur Herausgabe der ursprünglichen, wenig strengen, aber schnellen und eleganten Methode, die als Forschungsmittel ihre Bedeutung bewahrte. So erklärt sich vielleicht die Widmung gerade an Eratosthenes, der zwar ein sehr vielseitiger und weitschauender Gelehrter, aber eigentlich kein Mathematiker von Rang war — Archimedes bezeichnet ihn ja auch sehr fein als ‚einen hervorragenden philosophischen Forscher und Lehrer, der auch mathe- "nm sEILFAuTZer—ITE=.ASI Diese Aufgabe hat Hippokrates von Chios nicht gelöst; er quadrierte zwar die Summe eines gegebenen Kreises und eines Méndchens, aber keines beliebigen Möndchens, sondern eines ganz bestimmten, folgendermaßen konstruierten: Sein äußerer Rand ist ein Kreisbogen von 120° mit dem Radius r]/6 und sein innerer Rand ist ein Bogen von 60° mit dem Radius 3]2.r, wo r der Radius des gegebenen Kreises ist. Die „nicht gut zuzugestehenden“ Hilfssätze (00x sönapaywenra Ajppata) dürften in unzulässigen Verallgemeinerungen des sehr speziellen Satzes des Hippokrates bestanden haben. b) Die Worte ,,ywgior te tag SAov tod xcbvov Tonäz xui ebdeias mepregópevor werden sich wohl auf die Quadratur des Ellipsensegments beziehen. Denn nur die Ellipse ist unter allen Kegelschnitten eine ganz im Endlichen gelegene Figur, und nur in ihr wird daher der Kegel — im Endlichen, was die Griechen allein anerkannten — ganz durchschnitten. Die Geometer vor Archimedes scheinen da etwas falsch gemacht zu haben, vielleicht durch vorschnelle Verallgemeinerung leicht einzusehender Spezialfälle. Näheres wissen wir nicht. Zu 8.86, Anm. 163. Zur Frage der „Wechselwegnahme“ (ártavaígeo:s) ist zu sagen, daß bei Nikomachos (Introductio arithmetica I, XIII, 11; bei der Behandlung von Euklid, Elem. VII, 1.2) neben dem Verbum érragaigeir auch das Substantiv drtugaigeots steht; daß aber ärrapameiv und érfvpægeir gleichbedeutend sind, wird durch Zamblichos, in Nicomach. 28,24 (Pistelli) bezeugt, der ardugameir ohne weiteres zur Wiedergabe von drrapaigei bei Nikomachos benutzt. Da nun Alexander von Aphrodisias (in Aristot. Topica p. 545, 9—17 Wallies) dytavaigects gleich drdvpalgenıs (d. h. dem Euklidischen Teilerverevdsyoaypor icov' bedeutet: „Eine gradlinig begrenzte Figur zu finden, fahren, El. VIL, 1.2 und X, 2. 3) setzt, ist die Identität von &rraraigeois und dvtapaípeo:s vollständig, auch rein von der Terminologie her, bewiesen. Ferner geben die drei arabischen Euklidkommentatoren AlMahani*), An-Nairizi und Al-Hajjami bei ihrer Erläuterung des V. Buchs der „Elemente“ sämtlich eine genaue Darstellung der Definition gleicherVerhältnisse — auchimirrationalen Fall— dadurch, daB die die gleich ist der Summe eines beliebig gleichen Zahlenfolgen bei dem Prozeß der » Wechselwegnahme" auftreten. matische Betrachtungen, wenn sie irgendwann auftauchen, hochschitzt*. Gerade bei einem solchen Mann konnte Archimedes vielleicht am ehesten auf Verständnis hoffen. Zu 8.60f. Archimedes, Opera II, p. 262 (Heiberg). a) ,xóxlw tH doDéve: xai xdxdov tuduari tH doVévt: xupior edpsiv gegebenen Kreises und eines beliebig gegebenen Kreisabschnitts“ (d. i. eines sog. ,,Méndchens“). Zum eigentümlichen Gebrauch des griechischen Artikels in — me + adtds nor’ dilula voy tugBérra Adyor Exew where we translate: “Po cut a sphere by mathematischen Texten ist auf eme Bemerkung von Sir Thomas Heath a plane so that the segments of it have one another a given ratio’. Weitere Beispiele bieten die Formulierungen von Problemen in Euklids (Mathematics in Aristotle, p. 108) hinzuweisen5). „Elsmenten“ wie 1,1—2.9—12 und öfters. noting an assigned magnitude, where we use the indefinite article. Cf. Archimedes $) Die Stelle bei Alexander wiederholt Suidas, Lexicon ruh verbo araZoyor wörtlich; Al-Mähäni schreibt bereits um 820, so daß die Kontinuität zeitlich gewahrt erscheint. — Zu den Arabern vgl. E. B. Plooij, Euclid’s conception of ratio (de lin. spir. 4,13 Heiberg) tav dodeioav opuipar Erundöw tenets Gore tà Tudnara as critisized by Arabian commentators (Rotterdam 1950). hi. „Ihe Greek idiom always favours the definite article with the word de-

Somit dürfte trotz der Bedenken von K. Reidemeister und Th. Heath (Mathematics in Aristotele p. 80—83) die aristotelische Definition gleicher Verhältnisse (Top. VIII, 3 p. 158b, 29 ff.) endgültig aufgeklirt sein. Zu $. 87 (mit Anm. 165) u. S. 88. Zu Alexanders v. Aphrod. Bericht über Brysons Kreisquadratur (in Soph. El. p. 90,10ff.) sind die abfälligen Bemerkungen von Th. Heath (Math. in Aristotle p. 47—50) zu vergleichen. Die von v. Fritz für müglich gehaltene stetige Zunahme eines dem Kreise zunächst eingeschriebenen Quadrats bis zu seiner Flächengleichheit mit einem dem Kreise umgeschriebenen Quadrat scheint mir doch eine allzu moderne Vorstellung zu sein, als daß ich sie dem Alexander zutrauen könnte. Es wird z. B. die dogıoros óvás, die sich aus Platons púldov xai ffrtov im Philebos (p. 24a—d) entwickelt hat, im Philebos-Kommentar des Porphyrios (an der sog. Ellen-Teilungsstelle : Simplicius, in Phys. Aristot. p. 453, 30—454, 16) sofort in ein unstetiges Fortschreiten nach oben und unten hin, im Sinne der Folgen 3, î: # 16 . und 3, 3, 4, + ... umgewandelt. | | Das Problem liegt eigentlich in der Frage, ob bei einer immer enger werdenden Intervallschachtelung innerhalb sämtlicher Intervalle ein genau bestimmter Punkt existiert. (Das ist das, was man auch heute _ noch unter Cantorscher Stetigkeit versteht.) Ob beim Übergang vom Größeren zum Kleineren stets ein Durchgang durch das Gleiche stattfindet, war den antiken Mathematikern und Philosophen zweifelbaft. (Procl. in Euclid. p. 234, 12—19, cf. Plato, Parm. 1652, 3—5; Joh. Campanus, Kommentar zu Euklid, Elem. 111, 16.) In einer früheren Arbeit? glaubte ich auf Grund des bei Proklos und den Aristoteles-Kommentatoren erhaltenen Materials feststellen zu kônnen, daß die griechischen Mathematiker (vermutlich schon des 4. Jh.s) die die entscheidende (notwendige und hinreichende) Bedingung für eudes keit Geltung des angeführten Stetigkeitsprinzips in der Gültig doxisch-archimedischen Axioms des Messens in der fraglichen Mannigfaltigkeit gesehen haben, die demnach nach heutiger Ausdrucksweise als ein „archimedisch geordneter Körper‘ anzusehen wäre. Sachlich bringt das jedoch eine gewisse Schwierigkeit mit sich. Das „archimedische‘“ Axiom des Messens ist gleichwertig mit dem sog. „EinschlieSungssatz“, nach dem jedes beliebige Verhältnis beliebig eng zwischen rationalen Verhältnissen eingeschlossen werden kann; d. h. geometrisch-g anschaulich ausgedriickt: jeder Punkt einer Strecke kann beliebi eng zwischen solchen Punkten eingeschlossen werden, die durch die 7) Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik (B), Bd. II, S. 369—387. 224 Teilung der Strecke in eine bestimmte Anzahl gleicher Teile entstehen. Nun ist es aber auch bei Geltung des EinschlieBungssatzes nach unserer heutigen Auffassung noch durchaus fraglich, ob auch seine Umkehrung gilt; d.h. ob jede sich beliebig verengernde Einschachtelung von Strecken in ihrem Inneren überhaupt einen Streckenpunkt enthält. Es sieht nun zunächst so aus, als ob die Alten diese Umkehrung des Einschließungssatzes sofort aus der Geltung des Satzes selbst gefolgert bätten. Aber haben sie wirklich die Existenz eines Punktes innerhalb einer sich unbegrenzt zusammenziehenden Intervallschachtelung zum mindesten in denjenigen Fällen angenommen, wo der SchachtelungsprozeB effektiv konstruktiv ausgeführt werden kann? Es scheint doch so zu sein, daß z.B. die Punkte einer Strecke nach Aristoteles — und, soviel ich sehe, allen Späteren — nicht etwa im Sinne der heutigen Cantorschen Mengenlehre als aktuell in der Strecke von vornherein vorhanden angesehen werden (die Strecke ist ja nach Cantor nichts anderes als eine aktual-unendliche Punktmenge), sondern nur als durdue: övra da sind und erst durch den Teilungsakt selbst als Teilpunkte — oder entsprechend durch eine andere geometrische Konstruktion genau definierter Art — in die aktuelle Wirklichkeit gerufen werden. Damit mußte den Alten, so möchte ich vermuten, die ausdrückliche Annahme der „wirklichen“ Existenz eines Punktes innerhalb aller ineinander geschachtelten Intervalle überflüssig, ja eigentlich geradezu sinnlos erscheinen, zumal ja auch die Intervalle selbst nie (nach antiker Auffassung) in unendlicher Zahl aktuell existieren können. Aber bezüglich der Existenz des Verhältnisses x von Kreisumfang und Durchmesser ist die Tatsache entscheidend, daß die Alten den Kreis als eine einfache Figur ansahen, an deren Existenz gar nicht zu zweifeln war. Von da aus ergab sich notwendig die Existenz von Kreisfläche und -umfang und damit von x. So scheint man sich in diesem Fall über die Schwierigkeit hinweggeholfen zu haben. Daß es freilich auch skeptische Stimmen gab, beweisen die Einwände, die Sporos (nach Pappos, Collect. math. IV, p. 252ssq.) gegen die Konstruktion des Verhältnisses 2:2 durch Deinostratos mit Hilfe der Quadratrix erhob, eine Konstruktion, bei der es sich um die immer engere, unbegrenzt fortsetzbare EinschlieBung eines (problematischen!) Punktes auf einer Strecke durch schrittweise effektiv konstruierte Punkte handelt. Man muB vielleicht doch in den Einwänden des Sporos cine Art Zweifel an der Existenz des Verhältnisses 2 : x sehen. 15 Bausteine 4

gemeinen Proportionen der Vedexmusouvn a... nahekommt, niemals wie Dedekind die Existenz simtlicher denkbarer Verhältnisse gefordert. Dedekind hat das sehr woh] empfunden, wie aus einem aufschluBreichen Briefwechsel mit Lipschitz®) hervorgeht. Die Formulierung des ,,Axioms des Messens“ durch Eudoxos als Definition (Euklid, Elem. V, def. 4, die wir als eudoxisch ansehen dürfen): »Adyor Eye nods GAnda peyédn Aéyeros, E divara: roMMarZacialbueva GAdijAwy dnepéyen vermeidet offenbar eine allgemeine Existenzsetzung von Verhältnissen in konkreten Fällen; z. B. sagt Eudoxos nirgends, daß zwei beliebige Strecken immer ein Verhältnis haben. Und wenn das auch für Strecken gelten sollte, so doch nicht für alle Arten geometrischer Gebilde, z. B. nicht für die gemischtlinigen Winkel (vgl. Procl. in Euclid. p. 121, 4—122,3). Im vorliegenden Fall scheint also die Formulierung des „Maßaxioms'‘, das ja Aristoteles als ein wirkliches Axiom ausspricht (Phys. III, 6 (206b, 11); VIII, 10 (266b, 2—4)), durch Eudoxos als Definition doch eine wesentliche Bedeutung zu haben. 8) R. Dedekind an R. Lipschitz, am 10.6. und 27.7.1876 (Rich. Dedekind, Gesammelte mathematische Werke, Bd. III, Braunschweig 1932, $. 469ff.). " Hippocrates Mathematicus, — Becker O., Die Archai in der griechischen 59 Mathematik [et une démonstration due à Hippocrate de Chios] ; cf. Sciences : Mathématiques. — Die Archai in der griechischen Mathematik. Einige ergänzende Bemer-" kungen zum Aufsalz von K. von Fritz (cf, APh XXIX 554) : ABG IV 1959 210226. | A propos du concept d’hypothèse chez Platon. Sur les postulats 4 et 5 d'Euclide, A propos de la preuve fournic par Hippocrate de Chios de la proportion entre deux cercles égale à la proportion des carrés de leurs diamètres. Notes de détail. Ù . Archiv £ Begni Papeabiidt |