Die pythagoreische Zahlenlehre

Arbeiten gewidmet dem Andenken an Johannes Tropfke 2 Gefchichte Roy Die pptbagoreifche 3ablenlebre. ANGES. Bon Gujtau Junge in Berlin:Lid)terfelde. AAC @ I. Ginleituna. Die Frage, was die pythagoreijdhe Berebrung der Zahlen in Wahrheit bedenter, gebt nicht nur die Gefchichte der Philofophie an, foudern aud) die der Mathemarit. Der Narbe: matifer würde es gerne feben, menu fich aus den fdwankenden Angaben des Ariftoteles und dem Widerftreit der Meinungen darüber einige flare Ergebniffe ableiten liegen. Min: deftens módte er wifjen, ob jene bedeufungsvollen Zahlen immer ganze Zahlen waren. Dies fhien bis vor furzem felbftverftändlich. Aber ein englifcher Gelehrter ?) bat ver: fucht, die Ydealzablen Platos den reellen Zahlen der heutigen Mathematik gleicyzufegen, und er bat immerhin einigen Beifall gefunden ?). Um fo eher mag ein Berjud lohnen, über die pythagoreifde Sableulebre, wie fie Plato und Ariftoteles kannten, wenigftens in einigen Punkten zur Klarheit zu fommen. — Wir nennen fie ppthbagoreifd), dod) wer: den wir uns aud) mit vermandten Anfchauungen bei Plato und Uriffofeles befdaftigen, von denen nicht immer feftfteht, ob fie wirklidy pythagoreifch find. Unfere Sablenlebre ijt die alt-pythagoreifde und bon der neu:ppthagoreifchen zu unter: fdyeiden. Bald nad) der Zeit des Ariftoteles haben die legten alten Pytbagoreer gelebt *). Einige Jahrhunderte fpäfer blübte der Neu-Pythagoreismus, und gerade die geheimnisvolle Bablenlebre, die dem Zeifgeift lag, wurde von ibm gepflegt und meitergebildet. Gpatere Goriftíteller haben nidé immer alt: und neuspythagoreifche Lehren auseinandergebalten. Um ficher zu fein, daß wir nur die alten Gormen der Sablenlebre darftellen, werden wir uns möglichyft an Ariftoteles und jeine Ausleger halten. Die pythagoreifche Fablenlebre ift vom Aberglauben ausgegangen und bat fid) nie weit dabon entfernt. | Gewiffe einfache Zablen, vor allem die Sieben, wurden feit alter Beit für heilig und bedeutungevoll gehalten. Un diefen alten Bolfsglauben Enúpften die Pythagoreer an ®), aber fie haben ihn mannigfady umgebildet. Sie hielten an der Heiligkeit der Zahlen feft, verfuchten aber, diefen Glauben durdy vernünftige Überlegungen zu begründen. Teile gingen fie von einfachen Rechnungen aus, die fid) mit den Zahlen anftellen laffen, feils mur: den phofifalifhe Theorien, námlid das afuftifhe Grundgefeß und die Atomiebre, herange: zogen, und endlich wurden aud) logifdye Vorgänge, námiid) das Einfeilen der Begriffe, mif den Sablen in Berbindung gebradt. Es waren nur befdeidene mwiffenfhaftlihe Sufaten, die dem alten Zablenglauben zuge: patilwurden. Uber fie genúgten, ¡bu zu beleben und gleicdyfam [dulfábig zu machen. — —--__—__— e” A. €. Taylor, Gnomon 2 (1926), E. 386—105. — Mind 35 (1926), ©. 419—440 und 36 (1927), . 12—33; fiebe Anhang A. Me $. Leifegang, Platondeutuny der Gegenwart, Karlsruhe 1929, E. 117—136. 3) Diogenes Laertius, VIII, 46. 4) Daf der Pythagoreismus aud) fonjt auf alte, im Bolle überlieferte Vorftellungen zurüdging, betont A. Delatte, La politique pythagoricienne, Paris 1922, ©. 3.

Gufluv Sunge IWir werden aljo nad) der Are der rativnellen Grundlage vier Sormen des pythagoreifden RZablenglaubens unferfdeiden. Sir die erjte, redyueude Form nennen wir als Beifpiel die neue Begründung für die Wichtigkeit der Zahl Ciebeu: fie ift die einzige Zahl, die zu allen Zahlen bis zur Zehn teilerfremd ijt. — Die zweite Form entfpraug aus der Mufittheorie, es war der Glaube an das allgemeine Befteben einfacher Zablenverhälfniffe. Mit einer großarfigen Kühnheit wurde der Schluß gezugen: wie im Reid der Töne, fo ift aud) fonft in der Belt alles Schöne und Gute durch Zahlenverbältniffe beftimmt. Ariftoteles hat bier: für die Formel: die Zahl ift die Urfadye der Dinge. — Ym dritten Fall war die Atomlehre die Grundlage. Die Unnabine, daß die Körper aus getrennten Einheiten beffeben, deren Menge grundfaglidy zählbar ift, wurde gelegentlich durch den wunderlidyen Sag miederge: geben: die Dinge find Zahlen. — Unter den Rechnungen, die fic) mit einer Zahl vornehmen laffen, wurde das wiederholte Berdoppeln und Halbieren für Defonders wichtig gehalten. Sowohl die Pothagoreer wie Plato fmipffen daran ausgedehnte Spekulationen, die wir au vierter Gfelle als die Lehre von der Zweiteilung befonders behandeln werden. Plato und feine Schüler befagten fid) zeitweilig eifrig mit Definitionen und mit der Ein: teilung, befonders der Zweiteilung der gewonnenen Begriffe. Der Bergleidy mit der wieder: bolten Halbierung einer Zahl, wie fie efma bei 32 môglid ift, lag nahe genug. — Aud) die anderen Formen der Sablenlebre fuchte man für Definitionen auszuwerten. Das Bablen: verhältnis 2:1, das die Défave fennzeichnet, galt ale IBefensbeftimmung und nahezu als Definition der Dffave. Die Zahl der Atome, die cin Ding hat, wurde ebenfalls gelegeutlids als Definition des Dinges angefehen. Ariffoteles Elagt einmal, es werde wohl gejagt, man folle nur um anderer Dinge willen Mathematik treiben, in Wahrheit aber erfülle die Mathematik jest alle Wiffensgebiete 5). Wahrfcheinlidy zielte Arijfofeles biermif auf Xenofrafes, der wie er jelbft Schüler Platos mar und allerdings in der Mathematifierung der Philofopbie febr weit ging. Bon ibm rührt die Definition ber: „Die Geele iff eine fid) felbft bewegende Zahl.” Wie Xenotrafes, fo waren aud) viele feiner Zeifgenoffen nicht nur in einer pythagoreifierenden Zablenmnftif be: fangen, fondern auch von einem mabren Definitiousfieber ergriffen. Die Definitionen hatten fid in der Geometrie als zwedmäßig erwielen, aus einer richfigen, wenn aud fcheinbar inbalfsarmen Definition ließen fich alle Eigeufrhaften der Figur entwideln. Diefe Erfolge führten zur liberfchägung der Definitionen. Man verfuchte, die vorhandenen matbema: fifchen Definitionen immer mehr zu vereinfachen und auszuleeren, verfuchte audy für durd): aus nicht mathemafifcye Dinge, etwa für Lebewejen, auf ähnlichem Wege Definitionen zu finden, momôglid ihr 2Befen durch eine Fahl zu beftimmen. 5 Die vielerlei Gormen der pyfhagvreifchen Zableulehre haben einen gemeinfamen Ur: fprung: den uralten Zahlenaberglauben; zur Yeit von Plato und Ariftoteles hatten fie aud) ein gemeinfames Ziel: das Definieren der Begriffe. II. Älterer Zablenglanbe. Der Zablenglaube der Pythagoveer ift gefcbichtlich nichts Neues, fondern nur ein Höbe: puntt in einer jabrfaufendealten Entwidlung. Mande Züge der pyfhagoreifden oder fonftigen griechifchen Zahlenverehrung laffen fid) fon vorher in Borderafien nadyweifen. 5) Met. 1, 9; 992a 32.

Die porhagvreifche Zablenlehre Gebr alt ift die Conderftellung der Zabl Cieben. Wir fpredien von ,,jieben Gadyen” und meinen „alle Caen”. Dieje Berwendung der Zahl Gieben im Ginne von ,alle” ift in Babolonien fhon vor 2000 v. Chr. nachweisbar (fiebe Unbang B). Gieben Gortheiten hatten ihre befondere heilige Yabl. Dem oberften Simmelsgott war die Fahl 60 zuerteili, dann folgten weitere Gortheiren mic den Zahlen 50 und 40; 30 war die Zahl des Mondes, wegen der 30 Tage des Monats, 20 die Zahl der Gonne, und endlich gab es noch Bötter mit den Zahlen 15 und 10. Die drei erften Götter von deu Zablen 60, 50 und 40 batten aud einen Teil des Himmels zu eigen, nämlidy der erjte den Himmels: äquator, die beiden anderen ein Erüd nórdlid und füdlidy davon. Der Mondgotr vou der Zahl 30 war der Sohn des höchjten Gottes von der Zahl 60. Die Todter des Mondgotres war Ifdfar, und deren Zahl 15 war wieder die Hälfte von der Zahl des Vaters. — Aud, ein Meufch fonnte feine befondere Zahl haben. König Gargon 11. (722—705) bat den Umfang feiner Burg 16280 Ellen lang gemadt, weil diefe Zahl feinem Namen entipreche ®). Bon allen diefen Zügen babylonifchen Zahlenglaubens werden wir mebr oder mehr minder deufliche Spuren auf griecyifchem Boden wiederfinden. Die Bevorzugung der Zahl Sieben ift bei den Griechen fhon vor Pythagoras nadizu: weifen. Bei Homer kommt die Giebenzahl häufig vor: mehrere Helden haben 7 Göhne, Ajay’ Schild bat 7 Scyichten ufw. Ju einem Bedicht von Golon heißt es: mit 7 Jahren werbfelt das Kind die Zähne, mit 14 beginnt die Reife, mit 21 erfcheint beim Manne der Bart, und fo folgt weiter alle 7 Sabre ein wichtiger Abfchnitt, bis mit 70 Fahren der Tod erivarfef wird ?). Die Pythagoreer haben fid an diefer Stelle dem Bolfeglauben angefdylojjen. Mad) einer Bemerkung des Ariftoteles 9) faben fie die Siebenzabl als ,,Urfade” an für die 7 Bo: fale, die die griechifche Sprache unterfcheidet, für die 7 Geiten der Lyra, die 7 Plejaden, die 7 Jahre bis zum Zahnwechfel und die 7 Helden, die gegen Theben fodten. Die leßten drei Beifpiele find alt, die beiden erjten mögen von den Pyfhagoreern hinzugefügt fein. Ill. Der rechneude Zahlenglanbe. Aber die iralifhen Philofophen, wie fie Ariftoreles öfter nennt, haben verjucht, den Zahlen: glauben zu durchdenten und in ein Gyffem zu bringen. Weil die Zahl 7 in fo vielen Gallen die ridbtige Anzahl. war, jo erhielt fie den Namen „kairos“, das rechte Mag. Aud) ein Grund für ihre Bedeutung wurde gefunden: die Zahl 7 ift innerhalb der erften zehn Zahlen die einzige, die feine andere Zahl als Teiler enthält und die von feiner ein Teil ift; fie wurde darum als ,mutterfofe Jungfrau” bezeichnet und mit der Gôttin Athene verglichen *). $) Die Juweijung der Zahlen 10 und 30 ijt um 1500 nadpweisbar, die der Zahl 50 fdyon um 2300. — Benugt find u. a. Boll, Eternglaube und Sterndeutung, Leipzig 1918 (Natur und Geifteswelt 638). Der erfte Abfchnite (über Babylonien) ijt von Bezold gefihrieben. — B. Meißner, Babylonien und Affycien II, Heidelberg 1925, E.4—21 und ©. 278. — Der Berfafjer ijt aud) den Herren Dr. Moortgat und Dr. Galfen: ficin vom Borderajintifchen Mufenın in Berlin für mande Auskunft zu Dank verpflichtet. 7) Über den Zahlenglauben in Griechenland bat W. Rofdyer eine Reihe von Abhandlungen gejhrieben, die angeführt find bei Ed. Zeller, Philofophie der Griechen I (1923), ©. 453. — Einen Burgen Überblid für die Giebenzahl gibt Seiberg in Math. Tidsskrift B (1925), €. 1. 8) Metaph. 14,6; 1093a 13. — Die Putbagoreer find allerdings nidt genannt, dod) wahrfcheinlich gemeint. 9% Zeller, a. n. D., E. 496.

Guftao Junge un Außerdem wurde der Bercid) der verehrten Zahlen verändert. Die Zahl 60, in Baby: lonien als Recyunugseinheit bedeutungevoll, war für den Griechen bei der Rechnung keine ausgezeichnete Zahl, und fie war es audy nicht im Sablenglauben. Dafür wurden die 10 und die Zablen bis zur 10 ftärfer betont. Die Zahl 4 wurde der Gerechtigkeit gleichgeiegt, weil fie „Bleiches mit Gleidyem verailt”, ndainlid) aus zwei gleichen. Fattoren befteht. Aud) die Zahl 9 bat ja dieje Eigeufcyaft, ift eine Quadratzabl, aber, wie Ariftoteles uns jagt 1°), die Pptbagoreer hielten bei ihren Definitionen dasjenige, dem der fraglide Begriff zuerft zufommt, für die Gubftang des Dinges. 4 ift die erfte Zahl, der das ,gleid mit gleich” zu: fommf, alfo ift fie die ,Gubftang” der Gerechtigkeit. — Grundfaglid) galfen die geraden Zahlen als weiblidy, die ungeraden als männlich. 2 ift die erffe gerade Zahl, 3 die erfte un: gerade, denn die 1 wurde nicht als Zahl angefeben. Go ift 5 die erffe Bereinigung einer ge: raden und ungeraden Zahl, des Männlidyen und ABeiblihen, und 5 bief darum die Ehe 13), Der Vorrang der Zabl 10 berubte urfprünglidy wohl darauf, daß fie die Bafis des grie: chifchen wie unferes Zahlenfufteıns iff. Es wurden aber aud) andere Gründe angeführt, befonders die Beziehung 1 + 2 + 3 + 4= 10, wobei die Zahlen 1, 2, 3, 4 der Folge Puntt, Linie, Glace und Körper entfpradyen. Bei Plato finden fic) einige auffällige Beifpiele des rechnenden Fahlenglaubens. Die Hochzeitszabhl im 8. Buche des „Staates“ (G. 646b) ift den Hiftorifern der Mathematik be: fannt. Gie ift offenbar abfidyelidy geheimnisvoll eingefleidet. Ym 9. Bude (6. 587) bildet Plato eine Stufenfolge der Herrfchaftsformen vom Königtum über die Dligardie und Demokratie zur Tyrannis, und er rechnef uns vor, daß der König 9-9-9, alfo 729 mal glüdlicyer lebe als der Tyrann. — Platos legfes großes Werk, die ,,Gefewe” find fo reid) an pofbagoreifierendem Sablenfulf, dag Eduard Zeller, allerdings nur in einer Jugendarbeit 1°), darin einen Grund für die Unechtheit diefes Dialoges finden wollte. Wir führen zwei Bei: fpiele an. Ym 5. Buche (©. 737€) wird die paffende Zahl der Grundbefiger und Berfei: diger des Landes feffgefeGt: es follen 5040 fein; denn diefe Zahl ifé durdy alle Zahlen von 1—10 feilbar, und das ift nah Platos Anfidt ein großer Borteil für Fede des Krieges, aud) für Gteuern und fonftige Berfeilungen. Plato erwähnt nod), daß die Zahl 5040 im gangen 59 verfchiedene Teilungen zuläßt, aber nicht, daß fhon ihre Hälfte 2520, durd) die Zahlen von 1—10 teilbar iff. — Ym 11. Bud (E. 919—920) wird feffgefegt: wer durd) er: niedrigende Tafigfeit, etma Ausübung des Kramergewerbes, die Gamilie entehrt, der foll mit einem Jahr Gefängnis beftraft werden; im Wiederholungsfalle mit der doppelten Beit und fo immer weiter unter Verdoppelung der indica Zeit. — Auf die Verdoppelung werden wit nod) zurüdfonunen. Ariftoteles ift zwar fehr geneigt, den pythagoreifdyen und platonifden Zahlenglauben in allen feinen Gormen zu frififieren, aber bisweilen ermeift er (id) felbft in der Sablenmoftif befangen. Am Anfang des „Himmels“ will er uns erklären, daß die dreifache Teilbarkeit des Körpers foviel ift mie allfeitige Teilbarteit und auch mie Bollfommenbeit. Er beruft fi) darauf, daß nad) pothagoreifcher Lehre das AU durch die Drei begrenzt wird, denn Un: fang, Mitte und Ende beftimmen das All und beftimmen aud die Drei. Mit anderen Wor: fen: unfere Körperwelt mit ihren drei Dimenfionen iff deswegen efmas Bollfommenes, weil die Drei die erfte Zahl ift, die Anfang, Mitte und Ende bat. 10) Met. 1, 5; 987a 22, 2) Zeller, a. a. D., ©. 496. — Die Mutterfcjaft wurde mit der Teilbarkeit verglichen. Ein immecs bin ähnlicher Gedanfe wurde foeben in Babylonien nad)gewiefen: das Kind hat die halbe Zahl des Vaters. 12) Platonifhe Studien, Tübingen 1839; Zeller hat fpäter diefe Meinung verlaffen.

Die puthagvreifhe Bablentebre Bei anderer Gelegenheit fheint Meiftoreles unficher, wie weit er dem Fablenglauben folgen fol. Qu der „Politit“ 19) erwähnt er, daß nach Angabe einiger Dichter, die das Le: ben nach der Giebenzabl bemeffen, die geiftige Entwicklung des Meufchen etwa mit 50 Jahren ihren Höhepunkt habe. Bald danach '*) heißt es, es fei nicht richtig, die Lebensalter nach der Giebengabl zu zählen, fondern man müffe der Natur folgen. Dagegen in der Rhe: forif 15) nenne er als günftigfte Zeit für das geiftige Schaffen das Alter von 49 Jahren, und zwar beruft er fid) bei der geuauen abi 49 = 7 - 7 nicht auf andere, fo dag man doch glau: ben muß, er äußert feine eigene Nleimung. Ghon bei diejer erften Form des Fahlenglaubens tônneu wir alfo bemerken, daß die pytbagoreifchen Lehren von Plato und Uriftoteles, wabrfdeiulidy aud) von anderen Beit: genofjen, durchaus nidw als fo fremdartig empfunden wurden wie von uns beute. III. Sablenverhaltuiffe. Das akuftiiche Grundgefes bildet in einer Weife einen licyfen Punkte in der pythagorcifen Sablenlebre: bier wiffen mir doch, was die Zahlen zu bedeuten haben. Greilich, welde Bedeutung die Zahlen für die Griechen batten, das ift fdyon weniger Har. Unfider iff es aud, wie fid die Renninis des Gefeges entwidelt bat. Gerwiffe einfache Galle find vermutlich lángft vor der Zeit der Pothagoreer betannt gervefen, denn jeder, der mit einer Glôte oder einem Gaiteninftrument umging, mußfe doch etwas von dem Sufammenbang zwifchen Lange und Tonbobe wiffen. Das Berdienft der Pythagoreer ift es mabrfdyinlid gemefen, daß fie die Aufmertfamteit auf die Zahlenverhältniffe ridyfeten. Sreilid) find die Zeugniffe recht unbeftimmt. Das tlarfte ift ein Fragment des Ardyyfas. Es begziebf fich auf die Glote und lautef: „Das Rohr gibt einen tiefen Ton, wenn man fein unferes Ende verftopft und bineinbláft; blajé man dagegen in die Hälfte oder fonft einen beliebigen Teil, fo flingt es body. Denn diefelbe Luft firomt durch einen lang: geftredten Raum fangfam aus, durd) einen fürzeren heftig” 19). Die Dffave wird nicht erwähnt, obwohl es zweimal nahe gelegen batte. — Un einer anderen Stelle fagt Ardyyfas: „Bon den Tonen, die an unfer Dhr dringen, (einen die, die fchnell und ftaré von dem Un: feblage ber zu uns fommen, body, die aber langjam und fac, fief zu fein.” Als Beifpiel wird u. a. eine Öerfe erwähnt, die einen fiefen oder hohen Ton gibt, je nad)dem man fie langfam oder fchnell Durd die Luft bewegt. — Plato eutwidelt im ,,Limaus” !?) ausführlich die Zahlenverhältniffe der Tonleiter, aber er bezieht feine Zahlen auf die Abftánde der Plaueten von der Erde und erwähnt dabei die irdifche Bedeutung der Zahlen gar nicht. Er erklärt auch das Gehör und fpricht-pon fehnellerer Bewegung der hoben Tone, fheint aber an fhnelleres Sortfhreiten zu Denken. Die Luftfdwingungen und ihre Gejeße waren den Alten unbefannt. Go war ihnen aud) der Grund unbefannt, weshalb die Zonhöhe bei Saiten: und Blas: Ynftrumenten fidy nad) ähnlichen Gefeben ändert. Ju dem Bemühen, die Erfheinungen zu erklären, famen fie auf die irrige Vermutung der verfhiedenen Sortpflanzungsgefdwindigteit. Die Unficherheif 13) 7, 16; 1336b 32. 16) 7, 17; 1336b 41. 15) 2, 14; 1390b 11. 16) Diels, Fragmente dec Borfofratifer, Berlin 1934, ©. 435; das andere Fragment ©. 433. 17) 6. 35—36. ©. 67b und 80a—b. — Boal. $. M. Cornford, Plato’s cosmology (Timaeus), London 1937, S. 320—326.

@uftav Junge n.| - — — > “= über die Jufammenbänge war vielleicht aud) der Grund, den Zahlen jelbft eine gebeimnisvolle Macht zuzufdyreiben. Das Klarfte, was Ariftoteles fagt, ift, dag „Höhe und Tiefe des Tons in einem Zahlen: verhältnis ftehen“ 19). Gewöhnlidy find feine Auferungen völlig uubeftimmf, etwa: die Po: die Eigeufchaften und Berbältuiffe der Harmonie in den Zahlen“ 19). Lehr: thagoreer „fanden reich ijt eine Stelle 2%), in dev er ihnen den berechtigten Bormurf madf, daß man nicht immer weiß, ob ihre „Zahl“ eine Anzahl oder ein Fahlenverhältnis fein fol. Er fragf: find die Zahlen Urfachen der Gubftangen im Sinne von Eurytus, der die Geftalt etwa des Meufchen mit Steinden auslegte und deren Anzahl beftimmte, — oder ift das Berbältnis von Zahlen die Gubftanz, wie in der Mufif und bei der Mifhung der Elemente, wenn efwa Geuer und Erde im Verhältnis 3:2 zufammentreien? — An diefer Stelle hebt Ariftofeles am Elarften die Mebrdeutigfeit des pyehagoreifchen Zablbegriffs hervor, die ja der Gegen: ftand unferer Unterfuchung ift. Gelegentlich begeht aber Ariftoteles felbft die Ungenauigteif, die er den Potbagoreern vormirft. Eine der vier Urfadjen, die er unferfcheidet, ift die Form oder der — durd Defini: tion feftzulegende — Begriff des Wefens. Als Beifpiel führt er an, für die Dffave fei in diefem Sinne Lirfade das Doppelte „und allgemein die Zahl“ 21). Der korrekte Ausdrud ware: allgemein ift für die mufifalifhen Intervalle ein Zahlenverhältnis die Urfadye. — Eine andere Stelle hat die gleiche Nadyläffigkeit des Ausdruds und zeigt aud), wie Arifto: teles felbft nad) pothagoreifhem Borbild überall Zahlen und Sablenverbältniffe feben mill: » Ulles wird von der Zahl begrenzt, und die Zahl für die äußere Form der Rede ¡ft der Rhythmus” ??), Gemeint iff wieder Jahlenverhältnis. Der Daffplus — Vu, fo beiff es, bat das Berbältnis 1:1, der Trochäus — © das Verhältnis 2:1; zwei Kürzen werden gleich einer Lange gerechnet. Aud in Ariftoteles Schrift „Über Ginn und Giuulihes” 23) erfcheint der Glaube an die Bablenverbaltniffe, und zwar in phanfaftifher Weife von den Tönen auf andere Sinnes: gebiefe übertragen. Dabei haf man den Eindrud, daß Ariftoteles einverftanden ift. — Es wird gefagt, daß die Farben durdy Mifdjung von Weiß und Schwarz entfteben. Diefe Mifbung erfolgt entweder nad) einem Fableuverháltuis oder nad) einem ,,infommenfurablen Übermaß und Mangel“. Nur im erften Galle, wenu nad) einem Verhältnis von Zahlen, ain beften von Eleinen Zahlen, wie 3:2 oder 3:4, gemifdyt wird, gibt es eine {gone Farbe. — Es ift alfo ganz wie bei den mufifalifden Tönen, worauf wir aud) befonders bingemiefen werden. — Bon den Gefchmadsarten heißt es, fie eutftehen aus der Mifchung von Gif und Bitter, und „wenn durd die Mifchung eine Luftempfindung bervorgebradyt wird, liegt immer ein Sablenverbaltuis vor”. Sind die Pythagoreer die erften gewefen, die den Gedanken von den feften Zahlenverhälf: niffen batten? Aud Empedolfes lief feine vier Elemente in beftimmten Berhältniffen ge: 18) 3weite Analyt. 2,2; 90a 18. 19) Met. 1, 5; 985b 31. 20) Met. 14,.5; 1092b 8. Wegen Eurptus (. unten E. 350 — Eine ábnlidje Stelle, Met. 1, 9; 991b 12, ift gegen Plato gerichtet. — Met. 1, 8; 990n 18--20 wird den Pythagoreern vorgeworfen, eine Zahl folle Urfade der Dinge fein und zugleid) das Ding felbft; auch folle eine Zahl die Meinung bedeuten, eine andere die redte Zeit ufw., und Diefelben Zahlen follen in verfcjiedenen Teilen des Himmels ver: förpert fein. = 22) Met. 5,2; 10130 28 und b 33; übereinfiimmend ‘Phyfit 2, 3. 22) Rhetorik 3, 8; 1408b 28. — Der Gedanke wird fdjon von Plato, Philebus 17d, angedeutet. 22) 3; 430b 30. — 3; 440b 20. — 4; 4420 12.

Die pothugoreifde Zublenfehre mifcht fein. Einige Berfe, die Ariftoteles oft erwähnt, bejagen, Daf die Knochen aus Feuer, Wafier und Erde im Verhältnis 4:2:2 bejtebeu. Nod einem anderen Sragment follen Zleifch und Blut ungefähr aus allen Elementen zu gleichen Teilen, alfo uad der Gormel 1:1:1:1, gebildet fein*). — Empedotles lebte auf Cigilien, aljo nicht weit entfernt von den Porhagoreern. Es wird fever zu entfcheiden fein, ob er der Gebende oder Nebmende mar. n einer bejenderen Verkleidung erfrheinen die Hableuverbältniffe in Platos oD bile: bus“ 25). Zunächft wird uns in feierlichen Worten verfündek, daß das Wifjen von Grenze uud Unbegrenzten ein Gefdren€ der Götfer an die Menjchen fei. Zum Unbegrengfen rechnet alles, was nach heutigem Spradigebraud) ffetig veranderfidy ijt: Warm und Kalt, Troden und Feudi, Mehr und Weniger, Grog und Klein. Sollen Drdnung und Gdyoubeit ent: jtehen, fo muß die Grenge iu das Unbegrengte eingefügt werden. Als Beifpiel wird die Ton: tunft genannt, und gemeint ijt: die Tone und aud) ihre Abftände find ein Unbegrengtes; une wenige Intervalle find mufifalifd) brauchbar, nämlich, die, die fich in Eleinen Zahlen aus: drüd'en laffen. Diefe Zahlen fiind alfo die ,Grenze”. — Die Anwendung auf andere Ginnes: empfindungen, vie wir fie foeben bei Ariftoteles fennenlernten, liegt nahe genug und es muß auffallen, daß Plato fie im „Philetus” nicht erwähnt und im „Zimäus” ablehnt *#). Die Grenze hat im ,,Philebus” mod; eine zweite Bedeutung. Aud) die Jahreszeiten, die uns vor einem Úbermaj der Hige wie der Kälte bewahren, find durd) die Grenze beftimmt, und (dou if€ efwas nicht uur im Berbältuis zum anderen, fondern ein Ding Faun aud) au fidy fon fein, wie ein wohl gerundetes Gerät. — Die Grenze bedeutet in diefen Fallen etwas Allgemeineres, recht Unbeftimmtes, namlid eine Gefegmäfigfeit, die nicht gerade durd) ein Sablenverbälfnis, foudern durch irgendwelche Größenbeziehung umfchrieben ift. — Aud die pyfhagoreifche Eterufunde müffen wir hier befprechen, denn Aftronomie und Mufif find verfchwiftert, fo lehren Ardyytas und Plato #), und Ariftoteles fagt: die Ppthba: gereer finden „Die Eigenfchaften der Fablen in der Mufif und am Himmel und an vielen anderen Dingen“ 28), vder auch: für fie fei „der ganze Himmel Harmonie und Zahl” 29), Die Tatfachen fpredien allerdings anders. Es gibt am Simmel feine fo einfachen Gefeße wie in der Mufif. Zwifchen Tag, Monat und Yahr beftehen feine einfachen Zablenbeziebungen, deswegen war ja immer die Zeitrechnung fo fdwierig, und erft vet unüberficht: lid) find die Planetenbabnen und zeiten. Dennord wurde mie großer Zuverficht cin Phan: taftebild gezeichnet. Iie jchon erwähnt, bat Plato im Timaus 29) die von ibm erdadfe Zonleifer gleich an den Himmel projiziert und danad den Planeten ihre Abftánde von der Erde vorgefchrieben. Die pajjenden Abftände find Borausfegung der Gphârenbarmonie, die von Ariffofeles ausführlich dargeftellt und befänpft wird. Die Gefhwindigfeiten der SHimmelstórper follen fid) wie ihre Abftände pom Nüttelpuntt des Weltalls verhalten, und durd) die Bewegung follen die Töne einer Touleiter entftehen 30). Da die Lehre von deu himmlifchen Zahlen durchaus fpielerifdy und phantaftifd, mar, jo ift es fein Wunder, daß fie in den verfhiedenften Formen auftrat. Zwei ziemlidy 24) Diels, a. a. O., S. 346, Fragment 96 und 98. 25) ©. 16c, 17, 25, 26, Sle. 27) Diels, a. a. D., ©. 432. — Etaat 530d. 26) Siehe Anhang .C. 29) Met. 14, 3; 1090a 25. 29) Met. 1, 5; 0868 3 und 21. — Met. 13, 6; 1080b 18 und Bom Himmel 3, 1; 300a 15 heißt es: der Himmel beftebt (oder wird erbaut) aus Zahlen. Hier wird der Himmel, uranos, wohl das Weltgebäude bedeuten, und nicht an Zahlenverhältniffe, fondern an Atome gedacht fein; f. S. 348. 30) G..35—36. Giehe oben G. 345. 31) Bom Himmel 2,9; die Pythagoreer werden S. 291a 8 genannt. — Zeller, ©. 537—542.

mn Gufiav Junge 0 ähnliche Varianten bieten ein befcheidenes ınafhematifches Intereffe. — Die erfte findet fid) in den „Problemen“, die unter Ariftoteles’ Namen überliefert und wohl bald nad) feiner Zeit gefehrieben find. Hier heigé es: Ju 10 Analogien gibt es 4 Kubifzablen, und aus ihnen, wie die Pythagoreer fagen, beftebt das Weltall, das ift die 10 Himmelsforper. — Gemeint iff, daß unter den ganzen Zahlen 1, x, n°, - - n° vier Ruben find, nämlid, 1, n°, 7°, 92, — Plutard neunt die Zablen 1, 3, 9, 27, ujw. Mad) pyehagoreifcher Lehre be: deute die Eins das Sentralfeuer; die Zahlen 3, 9 bedeuten aber nidyf, wie man erwartet, die Himmelskörper felbjt, fondern ihre Abftinde: Die Gegen-Erde hat den Abftand 3, die Erde 9, der Mond 27, Merkur 81, Venus 243, Sonne 729 ufw. Die Goune wire nQuadraf und Kubus” genannt, weil 729 zugleich Dnadraf und Rubus ift. — Es wird alfo dod) wieder ein Himmelsförper einer YFahl gleichgefegt **). Die Furzen Angaben des Ariftoteles find gerade auf diefem Gebiet oft fhwer zu deuten. Eine Stelle der Metaphufit fpricht von Zahlen an verfchiedenen Orfen des Himmels. Ein alter Grélarer bat hierbei an die verfcjiedenen Sphären gedadf, die nach der Reihe mit Bablen 1, 2, 3... verfehen wurden. Vielleicht foll aber angefpielf fein auf die Zahl der Ele: mentarkörper Feuer, Luft ufo. an den verfchiedenen Stellen. Eine weitere Môglidfeit if, daß nad) babylonifcher Weife Sternbilder mit Zahlen verfehen wurden ®). V. Die Utomzabl. Ariffofeles befpricdht die Pythagoreer ausfübrlid im erften und in den beiden leßfen Biicern der Metbapofit. Yin 1. Bud) ermabut er ihre Atomlebre nicht deutlid 8), dagegen im 13. und 14. Bud) an etıva vier Stellen, die wir wegen der Gtriftigfeit der Deufung bier wiedergeben wollen. — Die Pythagoreer „bilden das ganze Weltall aus Zahlen, aber nicht aus monadifrhen, fondern fie laffen die Monaden Größe haben”. Gleich danad heißt es: fie feßen die Zahlen „als ausgedehnt, wie fveben erwähnt murde” 35). Un den beiden anderen Gtellen werden die Pythagoreer getadelt: „Daß die Körper aus Zahlen zufammengefegt fein follen, und daß diefe Babi mathematifrhe Zahl fei, ¡ft unmöglich. Denn die Unnabme von unfeilbaren Größen ijt falfdy, und wenn es wirtlid foldhe Orófen gäbe, fo haben dod) die Monaden gewiß feine Größe” 39). — Wenn die Pythagoreer „aus Zahlen die Natur: förper enfffeben laffen, alfo aus dem, was feine Schwere noch Leichtigkeit bat, dasjenige, mas fhmer oder leicht iff, fo fcbeinen fie von einem anderen QBeltall zu fpredyen und von anderen Körpern, nidt von deu finnlichen“ 37). — Ganz abulidy laufet eine Stelle in der Schrift ¿Bom Himmel”, Nur beißt es bier „einige Pythagoreer” 38). Diefe Stellen befagen dod) offenbar: nach der Lehre der Pofbagoreer, vielleicht nur einiger unter ihnen, befteben die finulichen Dinge aus Einheiten, denen raumlide Ausdehnung, 33) Probleme 15, 3; Y10b 36. — Plutard, Ccclenfhôpfung im Zimäus 31. — Bal. Heibery, Mathematifdes zu Ariftoteles, Abbandi. Sed. math. Wiff. 18 (1904), S. 34. — 6. BD: Chiaparelli, Borläufer des Kopecnifus, überf. von A. Surge, Leipzig 1876, E. 95. — Zeller, ©. 540. 33) Met. 1,8; 990a 18. — Bgl. Aristotle's Metaphysics, comm. by W.D. Ross, I, Orford 1924, G. 185. — Die legte Bermutung nad) Arift. Wetaph., überf. v. E. Rolfes (Phil. Bibl. Bd. 2), Leipzig 1920, ©. 171. 3) Das Wort ,Etoff”, hyle, in Niet. 1,5; 986a 17, bedeutet wohl das Unbegrengte der Pythagoreer (fiehe unten ©. 361). Etwas fpäter, Met. 1,7; 088a 23—27, heißt es ausdrüdlid, daf das Unbegrengte für die Pothagoreer Prinzip und aud) Gtoff mar. 36) Met. 13, 6; 1080b 18 und 32. 26) Met. 13, 8; 1083b 11. 37) Met. 14, 3; 1090a 32. 38) Bom Simmel 3, 1; 300a 15.

Die pgrbogoreifipe Bahteniehee _ Gdywere und Unteifbarteit beigelegt werden. Ariftoteles jcheint fid) zu wundern, daß diefe Körperchen als Zahlen bezeichnet werden. Wir werden aber fogleid feben, daß er felbft und aud) Plato gelegentlich denjelben Gpradigebraud) haben 9, Bei Plato heißt es: „Die Zahl eines Plefbron und das ‘Metbron find dasfelbe; ebenfo beim Stadion; aud) die Zahl des Heeres und das Neer und in abulichen Fallen. Denn die gefamte Zahl bedeutet aud den gefamfen Bejtand des Dinges” 4). — Die Ausfage: „Die Zahl des Heeres ift das Heer” ijt durchaus vergleichbar mit dem pythagoreifchen Cage: „Die Dinge find Zahlen“. Unter Zahl wird das Gezáblte verjtanden. Wenn ein Mar einer ganzen Zahl gleichgefegt wird, fo ift zu bedenken, daß nad griedyifcher Auffaffuna jedes Maß, efma das Stadion, fo lange man danad) mift, als unteilbar angefehen wird. Wenn das Stadion in feine 600 Fuß gefeilt wird, fo wird es „vernichtet“ 4), es zerfálle in die Zuß, die jest als unfeilbar gelten. Go Éonnte man fagen: „Die Zahl 600 — namlidy Fug — und das Stadion find dasfelbe”. Auffchlußreich ift eine Stelle in Ariftoteles Schrift , Bom Himmel”, in der zunächjt von Ceufipp und Demofrit gefagt wird, dag für fie „die urfprünglich erften Körper der Menge nad) unbegrenzt viele, der Größe nach unteilbar find”. Weiter heißt es 2): „Yu gemiffer Weife maden aud) fie alles Geiende zu Zahlen und laffen es aus Zahlen beftehen; wenn fie dies auch nicht deutlid) ausfprechen, fo wollen fie es dody eigentlid) fagen.” —. Hieraus ift erftens zu fehliegen, daß Ariftoteles es ganz natürlid findet, wenn man fagt: „Die Dinge find Zahlen” oder „fie beftehen aus Zahlen”, und damit meint: fie beffeben aus zählbaren Einheiten. Zmeitens if zu fihließen, daß die Pyfhagoreer felbft diefe Redemweife brauchten. Wenn fich alfo bei Ariftoteles mit Bezug auf die Pofbagoreer diefe und ähnliche Wendungen finden *),fo befteht immer mindeftens die Möglichkeit, dag er auf ihre Utomiebre bindeutet. Der Bormurf des Ariftoteles gegen die Pythagoreer ift faum der, daß fie die Dinge als Zahlen bezeichnen, fondern vielmehr der, daf fie ausgedehnte und fdmere Atome aus ausdebuungs: und gewichfslofen Einheiten, den Monaden, entfteben laffen. „Wie die erfte Eins fi zur Größe gebildet babe, darüber (einen fie feine Ausfunff geben zu fonnen” *). Bon einem Pythagoreer wird ausdrüdlid, bezeugt, dag er Atome annahm. Cfpbhantus, mobi ein älferer Zeitgenoffe Platos, bat nad) dem Bericht des Gtobúus gelehrt: „Bon allem die Anfänge find die unteilbaren Körper und das Leere”. Weiter erfahren mir, er babe als erfter die pythagoreifchen Monaden als förperlidy bezeichnet 45). 3°) Siehe Anhang D. 40) Theátet 204d. Das Plethron war als Lingenmafi = 100 Zuß; es wurde außerdem als Fladenmaf gebraucht. — Sufaé bei der Korrektur: arithmos ift wohl am Anfang mit „Maß“ (oder „Betrag”) zu überfegen. Diefe Bedeutung ift nicht felten, [. Gtephani, Thes. ling. gr., II, Paris 1831—1866. 41) Met. 7, 10; 10352 18 bon einer Linie, die halbiert wird. 12) Bom Himmel 3, 4; 303a 8. 43) Rof, a. a. D., 1 E. 146, führt 17 Stellen an. Bei der unbeftimmten Ausdrudsweife fowohl des Urifto» teles wie der Pythagoreer Fann die Ausfage „die Dinge find Zahlen” gelegentlich aud) bedeuten, daß folde uDinge” wie Gerechtigkeit und Ehe Zahlen gleicygefegt werden. 44) Met. 13, 6; 1080b 20; vgl. Met. 14, 3; 1091a 16. 45) Zeller, Phil. der Grieden I (1923), S. 490 und 604f. Seller hat in feiner Darftellung der pythago: reifchen Lehre auf dies Zeugnis fein Gewicht gelegt, weil er, wie bis vor Furzem die meiften Korfcher, glaubte, af Ariftoteles vorwiegend den älteren Pythagoreismus fdjildere. — Tannery nimmt an, die älteren Pytha» goreer hätten die Körper aus Punkten beftehen laffen, und er fopliefit dies daraus, daß Beno diefe Lehre babe be: kämpfen wollen. Uns fheint diefe Begründung fehr fhwad, und wir meinen aud), man darf den Pythagoreern nidt foldjen Widerfinn zutrauen. Giehe Zeller, a. a. D., ©. 747 und 762. Dentfde Matbematit. Jabrg. 5, deli 4.

Guftav Junge Hiernady war der Atomismus zur “cit des Ariftoteles nod) eine giemlid neue Wendung innerhalb der pythagoreifdyen Lehre. Wir werden jest einige Nebenwege der pythagoreifcyen Atomlebre befpredyen, zunddii einen Jrrmweg. Es ift das Verfahren des Pythagoreers Eurytus, der wohl efma gleichzeitig mit Efphantus gelebt bat. Um die „Zahl“ des Menfden oder des Pferdes zu beftimmen, zeichnete er einen Umrig der Geftalt und füllte die Fläche mit Steinchen verfchiedener Farbe aus. Wenn er dann für den Meufchen 250 Gteine brauchte, dann erklärte er 250 für die Zahl des Menfchen *). Vielleidyt paßt hierzu die fdyon erwähnte Angabe des Ariftofeles 4), wonad) die Pytbagoreer das, dem efivas zuerft gufommt, für das Wefen des Dinges hielten. Wenn nun 250 Gteinchen die Eleinfte Menge find, mit der man die Geftalt des Meufchen aus: legen Éann, dann gibt diefe Zahl das Wefen des Menfchen an. Eher verftändlicy ifé es, wenn für die Pythagoreer und Plato die Zahl 1 den Puntt be: deufefe, 2 die Linie, 3 die Glade, 4 den Körper. Man fam wohl darauf, weil die Ctrede durd) 2 Punkte beftimmt ift, das Dreied, die einfachfte ebene Figue durd 3 Punkte, das Tetraeder durd 4 Punkte. — Plato ging nod) weiter. Da Gleiches durd) Gleiches erkannt wird, fo ordnete er der Zahl 4, der Körperzahl, die finnlide Wahrnehmung zu, der Zahl 1 das wahrhafte Denken, das die Ulleinbeit erfaßt, und den Zahlen 2 und 3 die mittleren Stufen der Erkenntnis, nämlidy die Wiffenfdaff und die Meinung *). Gir die Gleicyfeßung der Linie mit der Zwei gibt Uriffofeles eine Erklärung, die uns gut in die damalige Borffellungswelt bineinfübrf, namentlid) das Yntereffe für die Wathematit und ihre Definitionen kennzeichnet 4). Die Kreife, die wir feben, fo heißt es, find feils aus Erz, teils aus Holz oder anderen Etoffen. Go ift es natúrlid), daß wir bei der Definition des Kreifes vom Stoff abfehen. Wenn mir ausfcyließlicdy eherne Kreife fähen, fo würden wit vielleich€ zweifeln, ob nidyé das Erz in die Definition aufzunehmen fei. Ebenfo farm man beim Menfchen, der immer in Gleifh und Knodyen erfiheint, zweifeln, ob diefe Stoffe zur Definition gehören. Go tragen aud) manche Bedenken, ob es richtig fei, Kreis und Dreied durch Linie und Gfetiges zu definieren, ob man nicht von dem allen abfeben müffe und fagen: der Begriff der Linie ift der der Zwei. VI. Die Zweiteilung. Da die Zahlen bei den Pythagoreern wie bei Plato und feinen Nadfolgern fo große Be: deutung batten, fo war aud) die Ableitung der Zahlen aus der Eins eine viel erdrferfe Frage. Ariftoteles fchildert diefe „Entftehung” einmal ziemlich genau, allerdings an einer Stelle, die wohl gegen andere Platonifer gerichtet ift. Aber die Ableitung wird ungefähr mit der poftbagoreifchen übereinftimmen. Es heißt ©): „Wenn die Eins auf eine gerade Zahl falle”, nämlid zu ihr addierf wird, „fo enffteht die ungerade Zahl. Wenn die Bmei darauf falli”, nämlidy mit einer geraden multipliziert wird, „fo enfíteben die von der Eins an verdoppelten Zahlen. Endlidy, wenn die uugeraden Zahlen darauf fallen”, d. b. mit den Potenzen von Bivei multipliziert werden, „jo entíteben die anderen geraden Zahlen.” 45) Diels, a. a. D., E. 420. 47) Met. 1, 6; 987a 22. 48) Ariftoteles, Bon der Crele, 1, 2; 404b 16. — Zeller, a. a. O. II, 1, 1922, ©. 768ff. 49) Met. 7, 11; 1036b 8. Nad) dem AriftutelessErblárer Alerander ift von Pythagoreern die Rede. Siehe Rofi, a. a, O. II, ©. 202. 50) Met. 13, 8; 1084a 3. — Vermutlid) hatte Plato felbft eine andere Ableitung; fiebe Rofi, a. a. O. I, ©. LIX, aud unten Unm. 64.

Die pothagoreitthe Zablentehre mm me — 351 - Die etwas nadhläffige Faffung bedeufeé dod) wohl, dag man, um zu irgendeiner Zahl zu gelangen, von der 1 aus abwedfelnd die Berdoppeluug und die Addition der 1 ausführen mug, die Verdoppelung unter Umftänden mehrmals nacheinander, die Addition immer nur einmal. Bu der Zahl 37 3. B. gelangt man auf folgende Weife 9): 12 4 8 9 18 36 37. Die in unjerer Stelle angedeutete Dreiteilung der Zahlen erfiheint audy in einem Pbilofaus:Gragment 5): „Die Zahl hat gunachft zwei befondere Formen, das Ungerade und das Gerade, dann nod) eine drifte aus beiden gemifcyre Formen, das Serade:Ungerade”. Mit dem Geraden können nur die Pofenzen von 2 gemeint fein, mit dem Gerade-Ungeraden die anderen geraden Yahlen 53). Hiernady werden wir aud eine andere fhwierige Ariftoteles:Gtelle erklären können 5): Gur die Pptbagoreer „find Elemente der Zahlen das Gerade und Ungerade, von denen das eine begrengf, das andere unbegrengzt iff; die Eins aber beftebt aus diefen beiden, denn fie ift fomobl gerade wie ungerade; die Zahl aber entfteht aus der Eins”. — Daf die Eins fowobl zum Geraden wie zum Ungeraden gehören fol, wird verftändlid), wenn das Gerade die Po: fengen von 2 bedeutet. Sn der Tat gehört die 1 fomobl zu der Reihe 1, 2, 4, 8... wie zu der gewöhnlichen Reihe der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7... 55). — Wenn es am Anfang beißt: „Die Elemente der Zahlen find das Gerade und Ungerade”, fo liegt es nahe, an die geraden und ungeraden Zahlen zu deuten. Aber zunächft fagt Ariftoteles Eurz vorher an zwei Stel: len 59): die Elemente oder auch Prinzipien der Zablen find zugleidy die Elemente oder Prin: zipien alles Geienden. Die geraden und ungeraden Zahlen fonnen hiermit nicht wohl gemeint fein. Gerner heißf es): das Gerade ift unbegrenzt, das Ungerade begyenzt. Hierzu paßt es am beften, wenn wir das Gerade und Ungerade als erzeugende Kraffe auffaffen, namlid) die eine Kraft immer verdoppelnd, die andere 1 bingufügend. Die Verdoppelung führt fdynell zu febr großen Werten, weshalb die Griechen fagten, fie breite fid) aus wie das Geuer®*). Hierin liegt der Ginn der Bezeichnung „das Unbegrengte”. — Die Zufügung der 1 verhindert zwar nicht weiteres Berdoppeln, mob! aber die Umfehrung, das Halbieren, und dies galt immer als eng verbunden mit dem Berdoppeln. Go erklärt fic) aud, weshalb die ungeraden Zahlen begrengt beißen, die Addition der 1 zu einer geraden Fabi Begrenzung. $1) Um die Zahlen zu finden, geht man von 37 ridwarts. 53) Diels, a. a. D., ©. 408. $) Go aud) Tannery, Mém. scientif. 2 (1912), ©. 111. 54) Met. 1, 5; 986a 17. 56) Wad) Theo heißt die 1 deswegen gerade und ungerade, weil fie zur geraden Zahl addiert, diefe ungerade madt, und zur ungeraden addiert, diefe gerade. Diefe Erflärung ift offenbar nidts wert, denn danad; wären ja aud) 3,5... . fomobl gerade wie ungerade. — Seller bemerkt, dai das Gerade und Lingerade der Pythagorecr nicht dasfelbe ift wie die geraden und ungeraden Zahlen. Er verfucht aber nicht, das Rátfel zu löfen; a. a. O., ©. 458 und 505. 56) Met. 1, 5; 985b 25 und 986a 1. 87) Uufier an unferer Stelle auch Phofil 3, 4; 203a 10: Die Pythagoreer fagen, das Unbegrengte fei das Gerade, denn (von den Dingen) aufgenommen, und begrenzt bom Ungeraden, verleihe es den feienden Dingen die Unbegrenztheit: — „Bon den Dingen“ ift erflárender Zufaß; fiehe Zeller, a. a. O., ©. 456. — Auf diefe Stelle folgt im ariftotelifchen Lert die Umlegung der Gnomonen um die 1, die mabrfdeinlid irrtümlich biers ber geraten ift und nichts zu tun bat mit der Frage, weshalb das Gerade unbegrenzt, das Ungerade begrenzt if. Bgl. Heidel, Ard. für Gefhid. der Philofophie 14 (1901), ©. 384. 88) Ariftoteles, Zweite Analyt. 1, 12; 77b 40. Hier wird der Bergleid der geometrifdyen Proportion (wo: von ja die wiederholte Verdoppelung ein befonderer Fall ift} mit dem Feuer erwähnt.

Ouflav Junge Stas mehr Lidi Eomme in die Sarhe, wenn wir an die mufifalifhen Intervalle und den Aufbau dec Tonleiter denten. Wir ftellen uns cine tönende Gaife von beftimmter Lange. vor. Wenn wir auf diefe „Das Gerade” oder die wiederholte Verdoppelung anwenden, fo erhalten wir die Lángen 2, 4,8... und als Tone die tieferen Difaven. Die Addition der 1 zu 2, 4, 8 ergibf die neuen Zahlen 3, 5, 9 und Damit die Hauptintervalle der Mufit, namlids 2:3, 3:4, 4:5, 8:9, aljv Quint, Quart, Terz und den großen ganzen Ton. Erinnern wir uns, daß das ,,Geiende”, das von Fahlen beberrfcyf wird, nid)t nur die Lowe umfaßt, fondern aud) den Himmel mit feiner Spbarenbarmonie, die rhyfbinifche Rede, vielleiht aud Farben und Gefdmadearten und die Mifchung der Elemenfe — dann bat der Gas: „Das Gerade und das Lingerade find die Prinzipien der Zahlen und der Dinge“ immerhin etwas von feiner pythagoreifcdyen Dunkelheit verloren. Er könnte be: deuten: von den beberrfhenden Fablen werden die wichtigften gewonnen durd) wiederholte Verdoppelung der 1 und Addition der 1 zu den drei erften erhaltenen Zahlen. Bei Plato haben wir im „Pbilebus“ eine andere Auffaffung von ,,Grenge und Unbegrenzf“ fennengelernt 59). Das Unbegrengte bedeutet hier beliebige Veränderung der Saite, die Grenze ¡ft fo viel wie Geftfegung eines beftimmten Zablenverhältuiffes zmifchen der alten und der neuen Lange. Yn den anderen Dialogen ift von „Grenze und Unbegrenzt” nichts zu finden, aud) nidfs von der wiederholten Berdoppelung und Halbierung ©). Nad dem Bericht des Ariftoteles hat aber Plato diefe „Prinzipien“ allerdings angewandt. Er fagte nur nicht „das Unbegrenzte”, fonderu „die unbeftimmte Smeibeit” *) oder „das Große und das Kleine” 93), „Im Phado” 8) beift es: die Frvei fan dadurd) entftehen, dag ein Ding gefeilt wird, und aud) dadurch, daß ein neues Ding binzutritt. Die wahre Urfade des mei-Geins ift aber weder die Gpaltung nod) das Sufammentreten, fondern vielmehr die Teilnahme an der Zweibeit. — Verdoppeln und Halbieren follen alfo im Wefen dabfelbe fein: aus einem Teil werden zwei Teile. Um diefen Gedanken anzudeuten, haben mir ale Überfchrift diefes Abfchnitts das Wort „Fweiteilung” gewählt 8). Eine weitere Ausführuug mit einer jpielerifcyen Paradorie findet fil) bei Theo 5): Wenn die Eins geteilt wird, fo wird fie als Körper verkleinert, denn die entftebenden Sfide find fleiner als die Eins war; dagegen als Zahl wadhft die Eins, aus der Eins entfteht vieles. — 5) Giehe oben ©. 347. 60) Jn den Gefegen wird die Berdoppelung einmal erwähnt, dod) nur nebenbei; fiehe oben ©, 344. 61) Met. 13, 7; 10820 13. — Met. 1, 6; 987b 33 (hier nur „Ziveiheit”). — Met. 14, 3; 109la 5. 63) Met. 14, 3; 109la 10. — Niet. 1, 7; 988a 26. — Phyfil 3, 4; 2030 15. 3) G. 97a und 101b. 64) Plato hatte wohl das pythagoreifihe „Werade“, wenn aud unter anderem Namen, aber nidjt das „Ungerade”. Er lehnte die pythagoreijdye Tonleiter und die entipredende Entftebung der Zahlen ab. Die Tonleiter, die er im ,,Limaus” Ponjtruicrt, enthält die Terz nicht, alfo aud) die Zahl 5 nicht. Plato wollte mit den Zahlen 2, 3 und deren Potenzen ausfommen, vielleicht wegen der Beziehung 1 + 2 + 3 + 4 == 10 (vgl. E. Frank, Plato und die fog. Pothagoreer, Halle 1923, bef. S. 166). — Rad) Ariftoteles (Met. 1, 6; 987b 25 und Phofif 3, 4; 203a 15) bat Plato, zum Lnterfhied von den Pythagoreern, zwei ln: begrenzte angenommen. Diefe waren das Berdoppeln und Halbieren. Er Fonnte ndmlid) aud) das Halbieren unbegrenzt ausführen, da er es aud) auf Stred'en anwandte. Go mufite ibm erfi recht eine „Entfiehung der Zahlen” mififallen, bei der nur an die Berdoppelung der Cinheits-Gaite gedadt war. — Zeugnijje, griebifd und deutfch, bei Gtenzel, Zahl und Geftale, Leipzig 1933, G. 64 und 67; die Ausdride ,An: fpannen und Nadlaffen”, die Gimplizius auf die gefpannte Gaite bin. 6) Ed. Hiller, ©. 18. für das Halbieren (3ufag bei der Rorreftur.) und Berdoppeln braudt, deuten vielleidt

Die pothagoreijiieBablenlehre Go ¡ft die etwas Lünftlidye Lehre von der ,unteilbaren” Eins, zugleid) das ängftlidie Bemühen, Brüche zu vermeiden. Wenn der Fug in Zoll geteilt wird, fo ijt nach der Teilung die alte Eins, der Su$, nicht mehr da; die neue Eins ijt der Boll, und deren find mehrere. Dieje Betrachtungen erfdeinen efvas verjtändlicher, wenn mir an die Begriffsfpaltung denten, die von Plato zeitweilig fehr ernjt genommen wurde. Denken wir une nad) grie: hifher Weife die Linien eingeteilt in gerade und frumme. Dann ift der neu gewonnene Be: ariff der geraden Linie an Umfang geringer als der einfache Begriff der Linie: die Gefamt: heit der gezeichneten Linien ift in zwei „Hälften“ geteilt. Dagegen inhaltlich, in dem, was die Definition ausdrückt, ift der. neue Begriff reicher als der alte, — und ein zahlenbegeijterter Grieche mochte wohl finden, daß er das Doppelfe des alten war. Um weiteften gefrieben ift die Begriffsfpaltung in Platos „Staatsmann“ *), Hier wird der Begriff der Wiffenfchaft immer wieder giveigeteilt, im ganzen neunmal: erft die Wiffen¡draft überhaupt in erfennende und praftifche, die erfennende wieder in zwei Teile ufw., bis ichlieglich die Otaatetunde erfcheint als die Wiffenfchaft von der Gemeinfchafts: Zúdtung der Menfchen. — Auch die Zahl 512 lift neunmalige Halbierung zu, und es mare damals fein großer Schritt gemefen, diefe Zahl dem Begriff der Wiffenfdyaft gleicyzufegen. Ariftoteles macht zu folder Gleidhfegung einige grundfaélid billigende Bemerkungen 97): Die Definition oder Wefensbeftimmung ift eine Art von Zahl, denn mie die Zahl feilbar ift bis zur Eins, fo gibt es aud) Begriffe, die fid) teilen laffen, bis man auf einen unteilbaren ftößt. Und mie eine Zahl, wenn man efivas wegnimmt oder zufeßt, nicht diefelbe bleibt, fo wird auch die Wefensbeftimmung verändert durdy Wegnehmen oder Zufügen. Endlid gibt es für die Zahl etwas, wodurd) fie eins ift ®), und ebenfo ift die Wefensbeftimmung eine. Aud) ein Beifpiel fonnen wir anführen. An einer anderen, übrigens nicht völlig verftind: licyen Stelle 9) heißt es: da die 2 ein Teil der 4 ift, „fo folgt, daß der Meufd ein Teil des Pferdes ift, falls 4 die Hdee von etwas iff, wie von Pferd oder Weiß, und 2 die dee des Menfchen”. — Die Bemerkung ift tritifdy gemeint und zeigt jedenfalls fopiel, daß die Hal: bierung der Zahl 4 mit der Spalfung eines Begriffs verglichen wurde. — Wahrfcheinlidy hatten im Geifte Platos die Begriffsfpaltung und ihr Abbild, die Zahlen: teilung, nod) eine viel höhere und weitere Bedeutung. Beltgefhebens. Gie find ibm ein Bild des ganzen Wie aus der Eins durch Verdoppelung und Wieder-Berdoppelung die nahen und fernen Zahlen entíteben, fo ftrömt von der Sonne die Wärme, die der Erde das Leben fchentt, und das Licht, das ein Erkennen ermöglicht, und in gleicher Weife ift die dee des Guten Mittelpunkt und Urfprung alles Werdens und Bergebens. — Es ift der Gedanke der Emanation, den Plato nur einmal, im „Staat“ angedeutet bat, während er fpáter, nad) bitteren Enttäufcdyungen, das Höchffe für unausfpredylich erklärte. Es ift derfelbe Gedanke, den fpäfer der Neuplatonifer Plotin in begeifterten Worten verkündet bat. VII. Sbluf. Auf Widerfpriide innerhalb der pythagoreifden Fablenlebre ift fon oft aufmert: fam gemacht worden. Aber Eduard Beller hat fid) mit feiner großen Autorität bis zulegt für die Cinheitlidfeit der pythagoreifden Lehre eingefcét. Er und mit ibm viele andere 6) Am Anfang. 67) Met. 8, 3; 1043b 34. 9) Wenn man fagt: „fee Pferde”, fo hat man einen Grund, diefe 6 zujammenzufaffen. 4) Met. 13, 8; 1084a 23. — Zur Gleidfegung von Begriff und Zahl fiehe befonders Stengel, Zahl und Geflalt bei Platon und Ariftoteles, Berlin 1933.

Guftao Junge Sorfcher haben deren Wefen allerdings in einer Abfurditát gefebeu, udmlidy in der Gleid: feßung der begrifflicen, immateriellen Zahl mit finulidjen, greifbaren Dingen. Es fcheint uns dod, dag Zeller in doppelter Weife Unrecht hatte. Die pythagovreifdye Rablenlebre ift widyt einheitlich. Mindeftens find Galle zu unferjcheiden, in denen eine ein: ¿elne Zahl und in denen ein Zahlen-Berhältnis das Wefeu der Dinge beftimmen fol. Aufierdem ift der Ausfprud): „Die Dinge find Zablen” feinesmegs finnlos. Sreilidy ift die Bedeutung nicht immer diefelbe. Wir werden zufrieden fein, wenn dieje beiden Ergebuiffe unferer Unterfudyung au: erkannt werden 7°), Anhang A (zu ©. 341). Die irrafionalen YFahlen von A. E. Taylor. A. E. Taylors Hypothefe läßt fic) wohl fo wiedergeben. 1. Die mathematifde Stelle der Epinomis (990d) meift auf irrationale Zahlen bin. 2. Die irrafionalen Zahlen find von Plato oder feinen Schülern für aftrouomifche Reduungen benugf worden, und 3. fie find identifd mit den Hdealzablen Platos. 1. Die Epinomis bezeichnet es als Hauptaufgabe der Geometrie, gmei Quadrate zu zeid): nen, die fidy nicht mie Quadratzablen verhalten. Der Ausdrur dafür ift: „zwei von Natur nicht ähnliche (ebene) Zahlen ähnlich zu machen”. Es handelt (id) alfo um die ganz elemen: tare Aufgabe, ein Quadrat zu zeichnen, das das 2, 3, 5 . . .-fache des gegebenen ift. — Ent: fprechend foll es Aufgabe der Sfereometrie fein, ,unäbulide (Förperlicye) Zahlen ähnlich zu machen“, aljo einen Würfel zu verdoppeln vder zu verdreifadyen ufm. Nun haben wir ohnehin verfdiedene Anzeichen, daß Plato die Verdoppelung des TBürfels febr am Herzen lag. Er bat fid über die vorhandenen Löfungen abfállig geäußert 1). Go ¡ft es gang verftändlidy, wenn in der Epinomis der Oreis den TBunfch ausfpridht, man möchte dod) eine einfache Ausführung der Wirfelverdoppelung fuen — mombglid fo einfad) wie die Berdoppelung oder Berdreifachuug eines Quadrats. — Die Griedyen verlangten cine Löfung von idealer Genauigkeit und eine foldye founte nur geometrifd) fein. Wir haben wirflid) keinen Grund, an eine angenáberte uumerifche Löfung zu denken. Taylor fiebt einen folchen Grund darin, daß an unferer Stelle gleid) nad) den Bemerkungen über Geometrie und Gfereometrie auf das avithmetifde und barmouifrhe Mittel binge: wiefen wird. Diefe find in der Lat vou den Griechen zur Berednung von Näherungsmwerten für die Quadratwurzel benußt worden. 2Benn nämlich a ein Feiner pofitiver Wert ift und Y1+ zu berechnen, dann iff das arithmerische Mittel zwifchen 1 und 1+ a, namlid) x=1 +3» eine erfte Näherung. Eine Annäherung von der anderen Geite ift das barmo: nifche Mittel y, das definiert ift durch 1:2 = y:1 + a. — Werden zwifchen x und y wieder 70) Berfchiedene Richtungen innechalb der pyeh. Lehre wollte Brandis fon 1828 feftftellen, y. Zeller ©. 450; -- über Entwidlungsftufen, wie fie Burnet und Döring vermuteten, |. Zeller ©. 435—440 (von Neftle gefchrieben). — Wir find auf die Zeitbeftimmungen wenig eingegangen, denn das Ziel unferer Arbeit follte die Klärung der Lehren fein. Ymmerhin hat fid) gezeigt, daß die von Urifioteles als pythagoreifd) bezeichneten Lebren zu feiner Zeit nod) fehr lebensfähig waren, und Dies deutet darauf bin, daf fie großen: teils neu waren. Diefe Anficht vertrat Frank a. a. O, aud) [jon Tannery, Mém. scient. 7 (1925), E. 347. 22) IN. Cantor, Borlef. zur Gefch. der Math. I, Leipzig 1907, ©. 233,

Die pythagoreifihe Zahlenlehre arithmetijches und barmonijdyes Mittel beredynet ufw., fo erhält man Paare von Nähe: ??). rungsmerten DON rafd wachfender Genauigkeit xür die Würfelverdopplung, die viel wichtigere Aufgabe, ijt die Berednung der Kubit: wurzel nôtig. Hierzu iff aber das arithinetifcdhe Mittel nicht brauchbar. Vielmehr gibt go pa: E” a eine Annäherung für }14 a. — Jrithmetifhes und harmonijdes Mittel tóunen aljo wohl zur Berednung der Quadrafwurgel, aber nicyt der Kubitwurzel dienen. Außerdem erklärt fid) das Auftreten der beiden Mittel ganz einfach) durd die mufitalifdye Bedeutung der Zahlen 6, 8, 9, 12: fie bezeichnen Grundton, Quart, Quint und Dffave. Linjere mafbemafifhe Stelle wird námlid) eingeleitet durdy die Bemerkung (©. 990c), dap für das Verjtändnis der Ajtronomie eine Vorbereitung nötig fei, und als deren Begenftánde werden nacdjeinander furz charakterifiert Arifbmetif, Geometrie, Sfereomefrie und zuleßt die Murit. 3, Taylors Gedanke, dafi die Grieden verfud)t haben werden, die Berhältniszahlen der Geijticnsumläufe mit Quadrat: oder Kubifwurzeln in Verbindung zu bringen, bat sunächft etwas Beitechendes. Da uns immer verfichert wird, der ganze Himmel fei Harmonie und 3abl, fo wird man foldye Zahlen aud) gefudyt haben. Zu Platos Zeit ftand aber die Theorie des Jrrationalen in hoher Blüte. Fir das Verbalfnis von Monat zu Tag hatte man etwa die Zahlen 19756:669 7°). Gewiß lag es uabe zu fragen, ob bier vielleicht eine Duadrat: wurgel oder das Verhältnis zweier Wurzeln verborgen lag. Aber Kepler hat fein Gefeg nidyé durch Wurzeln ausgefprochen, fondern durch Quadrate und Ruben, und entfprehend werden die Alten verfahren haben. Gie haben vermutlid) nicht nad) Taylor eine Lifte der Quadrafrourzeln aufgeftellt und geprüft, ob etma zwei das obige Verhältnis haften, — fon: dern fie haben jene Zahlen quadriert und unferjucht, ob die fo erhaltenen Zahlen (nahezu) im Berbaltnis zweier einfaden ganzen Fahlen jtebeu. Eine genaue empirifche Beftimmung der bimmlifchen Umlaufszeiten lag überhaupt nicht in Platos Ginu. Im „Staat“ (&. 529—530) fpoffet er über die Leute, die mit offenem Munde nad oben bliden und die Berzierungen an der Dede betrabten; man müffe die Er: fheinungen am Himmel beifeite laffen und fic) höheren Aufgaben zuwenden, — d. 5. Zahlen: fpetulationen über den Himmel anftellen. Wir haben Platos Phanfafie über die Planeten: abjtande erwähnt. Bezeichneud ifé aud) feine Verurteilung der Verfuche, die Zufammenfegung der Farben praftifd zu prüfen 74). 3. Waren die dealzahleu Platos unfere reellen Zahlen, aljo keine Sablen im griechifchen Einne, keine ganzen Zahlen? Kein alter Crriftfteller deufet darauf bin, und was wir oben von Platos Sablenglauben mitgeteilt haben, das waren fpielerifche Rechnungen mie die mit der Zahl 9-9-9, der Glaube an die Allberrfchaft der mufifalifchen Berhältniszahlen, endlich — wahrfcheinlich — die Deutung der Begriffsfpaltung durd Eigenfchaften der Zahlen. Ammer find es ganze Zahlen. Ziwar wird im Pbilebus die beliebige Veränderung ffefiger Größen angedeutet, aud) wohl das Verhältnis folder Größen. Aber audy Euklid bat Ibn: lies, und die irrafionale Zahl ift das nod) nicht. Go müffen wir Tanlore Thefe ablehnen, wie aud) Dijffterbuis 75) und andere Matbe: mafifer es gefan haben. 1) Tannery, Mém, scientif. 3 (1915), ©. 82. 13) Bon Ptolemäus angegeben; Handbuch der Aftconomie, überf. pon Manitins, Leipzig 1912, ©. 198 f. 14) Zimäus 68d; fiehe Unhang C.

Guftav Junge Anbang B (zu ©. 343) Die Giebeugabl in Borderafien. IBeldes der erfte Grund für die Auszeichnung der Yah! Cicben gemefen ift, wird Faum feftzuftellen fein. Man hat an die Mondphafen, an das Eiebengeftirn und an die 7 Pla: nefen gedadyt. Auf die Mondpbafen wurde bei kultifcyen Handlungen in Babylonien jun vor 2000 v. Gb. Rüdfidyt genommen. Aber man mußte dod) bald bemerfen, daf man mit der Rediuung von 7 Tagen von Phafe zu Phafe nicht auskommt, und dag der fyuodifdre Monat 291/, Tage hat. Bielleidse war alfv die Zeitrechnung nad) 7 Tagen vielmebr ein Berfuch, fid) der fon vorhandenen Verehrung der Giebenzahl auzupajjen. — Um 2000 er: feheint ein befonderes Jeichen für das Giebengeftirn. Aber die 7 Gottheiten, deren Sinn: bild es war, wurden fon vorher verehrt, und außerdem haben griechifcdye und römifdye Schriftfteller darauf bingemiefen, daß fic) in den Plejaden keineswegs 7 Eterne deutlid) abheben 79). Auch wer fie heute beobadytet, wird gewöhnlich nicht 7 Sterne zählen, fondern entweder 6 oder mehr als 7. Freilich find gufe Augen oder ein Glas dazu nötig. Go find Name und Bedeutung des Siebengeftirns wahrfcheinlidy aud) etwas Mbgeleitetes. — Die Jufammenfaffung vou Sonne und Mond mit den eigentlichen Planeten zu einer Giebenzahl ift in Borderafien eta felt 650 v. Shr. nadjweisbar, alfo verhälfnismäßig fpàf. Gir den unbefangenen Beobachter fteben ja aud) Gonne und Mond zunächft für fid). Beide werden in Babylonien feit dem 14. Jahrhundert mit Venus als Gonnenbegleiter zu einer Dreibeit vereinigt 7). Erft als fi in dem Jabrfaufend vor Chr. die Gferndeutung entwidelte, ge: wannen die 7 beweglichen Sterne cine gemeinfame erhöhte Bedeutung. Bei Gonne und Mond wurden die Berfinfterungeu, übrigens aud) atmofpharifde Trúbungen, als propbes tifche Zeichen angefeben, bei den eigentlichen Planeten ihre Stellung am Himmel. Gu diefer Reit bat fid) langfam die Verbindung der 7 Planeten zu einer Einheit durchgejegt. Die Be: nennung der 7 Wochenfage mit deu Namen der Planeten, wie fie beufe in den Kulfurfpraden beftebt, ift erft nad) Beginn unferer Yeitredynung nachweisbar. Durd die Verehrung der Plejaden und der 7 Planeten ¡ft ficherlid) das Anfehen der Sieben: zahl nod) befeftigt worden, aber als Urfade ihrer Auszeichnung haben wohl nur die Mond: phafen einige Wahrfcheinlichkeit für fid). Wenn man aud) fie ablehnt, wie Eduard Meyer es fut 7), fo bleibt nod) eine matheinatifche Erklärung: Gieben ift die erffe eigenmillige Zahl, die weder zum Sebner: nod) zum môlferfoftem paßf, die zu den beiden babylonifchen Ein: beiten, 10 und 60, feilerfremd ijt. + Anbaug C (zu ©. 347) Die Berbäléuisgablen der Farbenmifdung. Die Übertragung der akuftifdyen Gefege auf Farben und Gefdmadsempfindungen, die Ariftoteles ohne Quellenangabe und ohne Sritlt mittelt, ift vielleidt nicht pythagoreifdy. 76) Glementen van Euflides II, Groningen 1930, E. 272. 79) Earl von Littrow, Das Zurüßbleiben der Alten in den Naturwiff., Reftoraterede, Wien 1869, ©. 9. 77) War Merkur, der dod) aud) ein Gonnenbegleiter ift, damals nod) unbelannt? Yn unferen Breiten ifi er fdiver zu feben, und es ift fraglich, ob die atmofpharifdjen Bedingungen im Sweiftromland viel beffer find. Neuere Korfchunggreifende fcheinen darin einig, daß die Klarheit des dortigen Himmels oft übertrieben wurde, dafi der Horizont dort durd) Staub nicht weniger getrúbt ift als bei uns durd) Wafferdunft und Rauch. Frei: lid) war damals mehr Land bebaut ale heute, aber das frudjtbare Land dod) aud) von weiten Waften um: geben. — Für feühe Entdedung fprechen immerhin zwei unanfedtbare Gründe: die (ieilere Ctellung der Gternbabn zum Horizont in niederen Breiten und die guten Augen der Bewohner.

Die pythagoreifhe Zahlenlehre Mertwürdig ift jhon, aR Uriftoteles die Potbagoreer in diefem Sufammenbange nidyt nennt, wohl aber in demjelben Abjdynirt erwähnt, jie hätten die Oberfladye als Farbe be: zeichnet (439a 30). Bor allem aber gibt Plato im „Zimäus” (S. 68) eine andere Farben: lebre. Die Farben follen nicht nur durch Mifchung von Schwarz und 2Beifi entiteben, fonderu das Feuer und dns Glanzende müffen noch dazutommen. Die Angabe von Zablenverbaltniffen wird abgelehnt: „Wieviel das Mag für jedes einzelne berrage, das zu fagen batte, auch wenn man es wüßte, feinen Cinn”. Es folgt nod) die Bemerfung, dag es frevelbaft ware, die Farbenmifdung durch Berfude prüfen zu wollen. Da Plato nad allgemeiner Anjicht im „Zimäus“ pytbagoreifhe Lehren vortragt und er ficherli dem Bunde nabeftand, jo ftanunte die Farbenfebre, die er angriff, kaum aus diefer Quelle. Ym „Philebus” wird von der Gache nichts erwähnt, weder bei der Er: flarung der Grenze und des Unbegrengten (fiebe oben ©. 347) nod) bei der Bejpredyung des reinen Weif (©. 538). Bielleicht ift die Lehre von den rafionalen Mifchungsverhältnifjen bei Sarben und Gefbhmadsarten, auf dürftige Berfude geftügt, aufgeftellt vder jedenfalls Plato befannt geworden, nadydem er den Philebus vollendet hatte und bevor er den Zimäus ichrieb. Vielleicht waren es perfönlicye Gründe, die ihn zur Ablehnung veranlagten. Gary: lite Gründe find faum eingufeben, denu die Lehre lag in der Richtung des pytbagoreifchen Denkens, und phyntaftifcher als Platos himmlifche Touleiter war fie aud nicht 79). Anbang D (zu ©. 349) Zahl und Gezäbltee. „Die Zahl hat eine doppelte Bedeutung, denn fomobl das Gezählte und Zählbare nennen wir Zahl, wie aud) das, mittels deffen mir zählen“, fo fagt Ariftoteles 9°). Die Zahl im erften Sinne ijt feft verbinden mit den gezáblten Gegenftänden, fo daß wir fogar erfahren: Die Zehn if eine andere, wenn man von 10 Schafen als wenn man von 10 Hunden fpridt; die Zahl allerdings ift beidemal diefelbe *). -- Die „Zehn“ baftet alfo an den Gegen: ftänden, die zuleßt genannte „Zahl“ ijf die mehr abftrafte Zahl, nad der gezählt wird. Allerdings war die griechijhe „zählende” Fahl nicht fo völlig abftraft wie unfere Zahl. Aud) fie zählte efwas, nämlid unteilbare, unfereinander völlig gleiche Monaden $2). Numerus numerans und numerus numeratus wurden nod) zu Replers Zeit von der Schule — dod) wohl von Sdholajrifern — unterschieden 83). 18) Gejhidte des Altertums 1, 2, "Stuttgart 1926, ©. 587. — Far die übrigen Angaben fiehe oben G. 343 Anm. 6. 29) Bal. D. Beer, Quellen und Studien zur Def. der Math., B 3 (1936), ©. 400—410. Beder will die rationale Garbenmifdung dem Eyporus zufchreiben. Die Stelle im Timäus ift nicht berüdfichtigt. 20) Phofit 4, 11; 219b 5; Purg wiederholt 4, 14; 2238 24. 31) Phnfit 4, 14, 224a 2; — der Gedanfe wird fchon vorher angedeutet 223b 5. 62) Dies betont Jacob Klein, Quellen und Studien zur Gefd. der Math., B 3 (1936), namentlid) ©. 53f. 53) Kepler, Mysterium cosmographicum, überfegt von Cafpar, Augsburg 1923, E. 26f. — Ermabnt feien nod) zwei Arbeiten, von denen der Berfaffer leider erft fpät erfahren bat: Jenny die fogenannten Pothagoreer des Ariftoteles, Diff., Zürich 1925; und D. $. Hopper, Bollinger, Medieval number symbolism, New Yor? 1938.