Theaetets Bedeutung als Mathematiker

Theaetetus Mathematicus. — HELLER S., Theaetets Bedeutung als Mathematiker : AGM LI 1967 55-78. | On a eu tort de douter de l’historicité du mathématicien Théététe : c'est lui qui avec Eudpxe redonna à la mathématique grecque une base solide aprés la crise provoquée par la découverte des grandeurs irrationnelles. Il fonda la théorie des grandeurs irrationnelles et du traitement des corps réguliers, théorie qui devait être développée par Eudoxe. " Theaetets Bedeutung als Mathematiker Von SIEGFRIED HELLER! Einleitung Uber das Leben und die wissenschaftlichen Leistungen des Mathematikers THEAFTET aus Athen liegen zahlreiche Berichte aus verschiedenen Jahrhunderten vor. Die älteste und wohl zuverlässigste Nachricht stammt von PLATON, der in dem nach seinem Freund benannten Dialog Theaetet diesem ein monumentum aere perennius gesetzt hat?. Nur wenig später tritt der Name THEAETETS wiederholt in dem Mathematiker-Verzeichnis des Eupemos (etwa 320 v.Chr.) auf. Von diesem Werk des Eupemos kennen wir nur Ausziige*, die aus späteren Jahrhunderten stammen und bei der Wiedergabe willkürlich geändert und ergänzt sein können. Der Kommentar des PArros von Alexandria (um 320 n.Chr.) über das X. Buch der Elemente EuKLIDs, fast 700 Jahre nach THEAETET entstanden, liegt uns nicht in griechischer Sprache, sondern nur in einer arabischen Übersetzung vor, von der es Übersetzungen durch Fr. Worrcke, H. Surer® und insbesondere eine englische Ubersetzung durch W. THomsox mit einer deutschen Einleitung von G. Junar® gibt. Zu erwähnen sind noch Scholien? zu Euxzips Elementen, die teilweise mit dem Parros-Kommentar übereinstimmen, der KommenIn dankbarem Gedenken an Oskar BECKER (5. 9. 1889 - 13. 11. 1964). 1 Nach einem Vortrag im 11. Internationalen Kolloquium zur Problemgeschichte der Mathematik am 20. September 1966 im Mathematischen Forschungsinstitut in Oberwolfach (Schwarzwald). 2 Platonis opera recogn. I. BURNET. Oxford 1900, I, 142a—210d. Deutsche Zitate nuch Theaetet, übers. von O. APELT, Leipzig 19213. 3 Prokli Diadochi in primum Euclidis elementorum librum commentarii, gr. ed. G. FrIEDLEIN, Leipzig 1873, 8. 16f. Deutsch von P. LEANDER SCHÔNBERGER, ed. M. Steck. Halle 1945, S. 212f. 1 Fr. WOEPOKE, Essai d'une restitution de travaux perdus d’Apollonius sur les quantités irrationnelles. In: Mém. de l'Acad. des Sciences, Sc. Math. et Phys. 14, Paris 1856. 5 H. Suter, Der Kommentar des Pappus. In: Abhdlg. 2. Gesch. d. Naturw. u. d. Med., IV., Erlangen 1922, S. 11-78. * W.THomson—G. JUNGE, The Commentary of Pappus on book X of Euclide elements, Cambridge (USA) 1930. ? Euclidis Elementa, ed. I. L. Hetpera, Bd. 5, Leipzig 1888, S. 414-592. TAS ONE RS

tar des PROKLOS Dravochos (410-485) zum I. Buche der Elemente, der den oben genannten Auszug aus dem Mathematiker-Verzeichnis schen so leicht, sicher und erfolgreich vonstatten gehe, dabei mit des Euprmos enthält, und schließlich einige Nachrichten über man sich wundern muB, wie jemand in so jugendlichem Alter es zu solcher Vollkommenheit bringen könne‘. Gleich darnach tritt 57 einer Ruhe, gleich dem Strome des geräuschlos flieBenden Üles, daB THEAETET aus späterer Zeit, wie z.B. bei Surpas?. THEAETET auf, und es folgt nun das Gespräch zwischen ihm, SOKRATES und THEODOROS, in dessen Verlauf THEAETET über eine 2. Platons Urteil über den Mathematiker Theaetet Unterrichtsstunde bei THEODOROS berichtet sowie über seinen eigenen Versuch, die Quadrate mit ganzzahligem Flächeninhalt in zwei Will man sich über ein Ereignis oder über eine Persönlichkeit aus früherer Zeit unterrichten, so greift man selbstverständlich, wenn irgend möglich, auf zeitgenössische Berichte zurück. Denn je weiter Klassen einzuteilen!!, (Hiervon wird weiter unten noch die Rede sich die Berichterstattung vom Zeitpunkt des Geschehens entfernt, ganz vorzüglichen Eindruck von dem raschen Auffassungsvermögen desto unsicherer wird sie. Selbst bei bestem Wahrheitswillen erfährt und der geistigen Beweglichkeit des jugendlichen THEAETET und sein.) SOKRATES gewinnt aus dieser Unterredung sogleich einen die Beurteilung weit zurückliegender Ereignisse durch neuere Erfindet die lobende Beurteilung, die THEODOROS zuvor von ihm gefahrungen und Vorkommnisse eine Trübung. Deshalb wird man dem geben hat, vollauf bestätigt !?, Bericht eines Zeitgenossen den Vorzug geben, vorausgesetzt, daß dieser nach seiner ganzen Persönlichkeit und seiner Sachkenntnis nachbarten Stadt Megara. Handelnde Personen sind zwei Bürger Die zweite Szene!® spielt dreißig Jahre später in der Athen beunser Vertrauen verdient. Handelt es sich überdies, wie im vorliegenden Falle, darum, das Lebenswerk eines Gelehrten aus alter von Zeit zu würdigen, so kommt noch die Schwierigkeit hinzu, einen gerechten Maßstab zu finden, an dem seine persönliche Leistung gemessen wird, sowohl hinsichtlich der Ausgangslage, aus der her- THEAETET verabschiedet, der schwerverwundet und an der im Heer aus seine Untersuchungen begannen, als auch hinsichtlich seiner Wirkung auf den Fortschritt der Wissenschaft. bald zu Ende gehen wird. Aus der Unterhaltung zwischen Eu- Im Falle des Mathematikers THEAETET sind wir nun in der glücklichen Lage, PLATON als denjenigen zeitgenössischen Bericht- Verlust dieses trefflichen Gelehrten wieder, und wir erfahren dabei, erstatter benennen zu können, der wie kein anderer fähig war, ein sachlich begründetes Urteil über die Bedeutung Theaetets als Mathematiker abzugeben. Megara, EUKLEIDES und TERPSION, beide seinerzeit mit SOKRATES bekannt und befreundet. Gerade hat sich EUKLEIDES von ausgebrochenen Ruhr leidend, aus dem Feldlager vor Korinth nach Athen zurückgebracht wird; es besteht kein Zweifel, daß es mit ihm KLEIDES und TerPsIon klingt die Trauer und der Schmerz um den -—_ daß EUKLEIDES vor dreißig Jahren das Gespräch zwischen SOKRA- TES, THEODOROS und THEAFTET, an dem EUKLEIDES selbst nicht teilnahm, nach den Mitteilungen des SOKRATES aufgezeichnet hat. An dieser Stelle des Vorberichts benutzt PLATON die Gelegenheit, PLATON benutzt in dem nach THEAFTET benannten Dialog die sein Urteil über die wissenschaftlichen Leistungen THEAETETs durch Kunstform der Rahmenerzählung, um die Persönlichkeit THEAETETS EUKLEIDES zum Ausdruck zu bringen und seiner Meinung durch die an zwei Zeitpunkten seines Lebens zu schildern, einmal im Jünglingsalter, das andere Mal im reifen Mannesalter. Einschaltung von SOKRATES besonderes Gewicht zu verleihen. EUKLEIDES weist auf die wunderbare Prophetengabe des SOKRATES Die erste Szene spielt in Athen im Jahre 399 v.Chr., als THEAETET hin, die sich wie in anderen Fällen so auch bei diesem Manne, etwa sechzehn Jahre alt war?. THEODOROS schildert dem SoKkATES THEAETET, bewährt habe. SoKRATES sei, wie er ihm seinerzeit erdie äußere Erscheinung und die Charaktereigenschaften des THEAETET sehr eingehend und hebt besonders die glänzende Aufzählt habe, durch das Zusammensein und die Unterredung mit fassungsgabe seines Schülers hervor, dem!® ‚das Lernen und Forgerissen worden und habe damals vorausgesagt, es könne gar nicht THEAETET zu lebhafter Bewunderung seiner geistigen Anlagen hinfehlen, daß THEAETET es zur Berühmtheit bringen werde, wenn er $ Surpas, Lexicon, ed. Tu. GAISFORD—G. BERNHARDY, Halle 1852, S. 1120. 1 PLAT. op. I, 147d3—148b2, 12 PLAT. op. 1, 148b 3—4. * PLAT. op. I, 143d—210d. Prat. op. I, 142a1—143c7. 4 PLAT. op. I, 142c4—d3. 19 PLAT. op. 1, 144b 3—7.

59 das Mannesalter erreicht habe15, TERPSION stimmt seinem Freunde Verfasser mit der Gesamtheit dieser Einzelheiten erzielen will, soll bei, daß ,,SoKRATES hiermit die Wahrheit gesagt hat‘ !®, der historischen Wirklichkeit entsprechen. Und so oft uns die Bei THEAETET handelt es sich offenbar um einen besonderen Fall sonstige Überlieferung erlaubt, die Platonische Zeichnung zu kondes frühzeitigen Auftretens einer ungewöhnlichen Begabung für trollieren, läuft sie der historischen Wahrheit nicht zuwider.“ So dürfen wir die Frage, ob der Dialog Theaetet als Geschichtsmathematische Fragen !?. Aus diesem Grunde hat PLATON wohl auch neben den charakterlichen Eigenschaften die geistigen Anlagen quelle anzusehen ist, nach dem Vorgang von Ivo Bruns bejahen. THEAETETs so ausführlich geschildert, was etwas ganz Außergegendlichen THEAETET übereine Klassifikation der Zahlen erweist sich Seiner Auffassung pflichten auch die meisten Forscher bei, z.B. H. Voar in seiner Entdeckungsgeschichte des IrrationalenTM und H. G. ZEUTHEN in seiner Abhandlung über die arithmetischen als die Keimzelle der umfassenden Theorie der irrationalen Größen, Bücher in EukLIDs Elementen®, wöhnliches in seinen Schriften darstellt. Die erste Andeutung des judie das Werk des herangereiften THEAETET ist und die ihm bei seinen Schließlich könnten noch Zweifel auftauchen, ob PLatons Urteil Zeitgenossen den Ruf eines hervorragenden Gelehrten einbrachte. über THEAETET nicht zu günstig ausgefallen ist, sei es aus persönlicher Freundschaft, sei es, weil es sich hier um einen ‚Nachruf‘ Angesichts der dichterischen Freiheit, mit der PLATON die Vorgeschichte und den Dialog selbst gestaltet, ist die Frage berechtigt, wie weit man diese Darstellung als historische Quelle für die Beurauf den im Kampf für die Heimat gefallenen Mitbürger handelt. Nun besitzen wir aber in dem Dialog Menexenos ein Zeugnis für PLATONS teilung des Mathematikers THEAETET in Anspruch nehmen darf. Die Einstellung zu den damals üblichen Gedenkreden bei öffentlichen ganze Szene, in der THEAFTET durch THEODOROS mit SOKRATES Totenehrungen. In der Einleitung zu diesem Dialog? verspottet der zusammengeführt wird, ist doch der Phantasie des ‚Dichters‘ platonische SOKRATES die „Schönredner‘‘, die bei solcher Gelegen- PLATON entsprungen, und das gleiche gilt auch für das Zwiegespräch heit alle und alles über die Maßen loben und verherrlichen, und zeigt zwischen EUKLEIDES und TERPSION in Megara. Aber der Hinterdann an einer improvisierten, grund, vor dem sich alles abspielt, die geistige Atmosphäre, in der Leichenrede**, wie man es nach seiner Ansicht nicht machen soll. die Gespräche stattfinden, entspricht den Tatsachen. Nach dem Urteil eines so ausgezeichneten Kenners der Platonischen Dialoge Gegen das Ende der Rede, als er sich an die Väter der Gefallenen wendet, läßt er den Merkspruch Mnö&v äyar einfließen und hebt ihn wie Ivo Bruns" als ein ganz vortreffliches Wort in seiner Rede hervor“. Man könnte ist, ganz allgemein gesprochen, die Platonische scheinbar ernsthaft klingenden Szene, auch wenn sie erfunden ist, doch ‚ihrem Gehalt nach histofast glauben, PLATON habe durch SOKRATES mit der auffälligen risch. Wohl ist sie erfunden, aber sie will erfunden sein im Geist der Hervorhebung dieses Spruches die verspotteten Lobredner ermah- Wirklichkeit‘. Von den einzelnen zur Darstellung kommenden Pernen wollen, künftig bei ihren Reden maßzuhalten. Mag bei dem sonen sagt Bruns!?: „Alles, was sie tun und sagen, ist, einzeln be- Dialog Menexenos die Urheberschaft PLATONS auch umstritten sein, trachtet, unhistorisch, ist Dichtung. Aber der Eindruck, den der so entspricht die Forderung des Mnöe&v äyav doch sicherlich ganz dem Wesen PLATONS. Er wird nicht in den Fehler verfallen sein, bei 15 PLAT. op, I, 142d 1-3: elné re du näca dvdyxn ely tovtov EAAdyınov yevéoda:, etneo elç HAıxlav EAdor. seiner Darstellung THEAETETS zu übertreiben. Da zudem aus vielen Schriften PLATONS hervorgeht, wie innig 16 PLAT. op. I, 142d4: Kai 44797 ye, bg Former, einer. 17 E. FRANK, Plato und die sog. Pythagoreer. Halle 1923, S, 228, Anm.: Es ist nicht unmöglich, daß Theaetet tatsächlich schon in dem jugendlichen Alter von 16-18 Jahren, wie es Plato darstellt, diese großartige mathevertraut er mit den damaligen Problemen der Mathematik war, wie 20 H, Voor, Die Entdeckungsgeschichte des Irrationalen. In: Bibl. Math. (3), 10, Leipzig 1910, S. 117ff. und 127. matische Entdeckung gemacht hat. Die meisten großen Mathematikor — man 31 }. G. ZEUTHEN, Sur la constitution des livres arithmétiques des Éléments denke z.B. an Pascal und Gauß — haben die Grundzüge ihrer mathematischen d’Euclide et leur rapport à la question de l'irrationalité. In: Oversigt over de k. Erkenntnisse schon in frühen Jahren konzipiert (vgl. Révesz, in: Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger (= ODVS), Kopenhagen 1910, Früh. zettiges Auftreten der Begabung. Zeitschr. f. angewandte Psychologie 1920). 18 I, Bruns, Das literarische Porträt der Griechen. Berlin 1896, S. 241. 7], BRUNS, a.8.0., $. 241. S. 398. 22 Phat. op. III. 234c1—23505. 23 Prar. op. III, 236d 4ff. 24 PLAT. op. III, 2470 5-6. xdAa: yao dn) td Mydév dyay deyduevov xadde doxei Ayeodar: tp ydo dvre ed Adyerat.

er den systematischen Aufbau der Geometrie und Arithmetik gefördert und die Schaffung einer Körperlehre vorangetrieben hat so können wir überzeugt sein, daß Platon in seinem Dialog Theaetet ein sachlich wohl begründetes und in der Form mafvolles und zutreffendes einem ,,Anschaulichmachen im geistigen Sinne‘, aber nicht von einem droöeıxvivaı, einem „Beweisen“. Darauf weist bereits E. Sachs mit Nachdruck hin®®, 60 61 THEAETET äußert nun den zunächst fast trivial anmutenden, für die Folge aber, wie sich zeigen wird, äußerst wichtigen Gedanken, einen zusammenfassenden Begriff aufzusuchen, durch den alle Urteil über die wissenschaftlichen Leistungen Theaetets der Nachwelt überliefert hat. Darnach besaß Theaetet, als er in der Vollkraft seiner Jahre aus dem Leben schied, auf Grund seiner Forschungsergebnisse ganzen Zahlen hinsichtlich ihrer Eigenschaft, die Flächengröße von Quadraten anzugeben, in zwei Klassen eingeteilt werden: Dieden Ruf eines hervorragenden Mathematikers. jenigen Zahlen, die ein Produkt aus gleichen ganzen Zahlen darstellen, sollten unter Vergleichung mit der Quadratfigur ,,Quadratzahlen‘‘ oder ,,gleichseitige Zahlen‘ heißen. Die dazwischenliegenden Zahlen wie 3 und 5 und jede Zahl, die kein Produkt gleicher Faktoren ist, sondern durch Multiplikation einer größeren mit einer kleineren ganzen Zahl entsteht, sollten unter Vergleichung mit der 3. Aus der Vorgeschichte der Irrationalitätslehre Von dem Werdegang THEAETETS wissen wir, daß er, etwa 415 v.Chr. in Athen geboren, Schüler des Mathematikers THEODOROS in Kyrene war und nach einem mehrjährigen Aufenthalt in Herakleia am Schwarzen Meer, wo er Mathematik und Astronomie lehrte, Figur eines Rechtecks, das von einer größeren und einer kleineren etwa 375 v.Chr. in seine Vaterstadt zurückkehrte®®. Hier gehörte er der Akademie „als eines jener älteren Mitglieder an, welche vor Seite gebildet wird, die Bezeichnung ,,Rechteckzahlen‘ oder ,,ungleichseitige Zahlen‘ erhalten. allem auf dem Gebiete ihrer Wissenschaft neben PLATON eine selbständige Rolle als Lehrer spielten‘. Sein Tod fällt nach den Untersuchungen von E. Sachs”, denen sich auch Herr v. FRITZ znRE Nun wird jede Strecke, über der man ein Quadrat mit einer durch eine Quadratzahl ausdrückbaren Fläche errichten kann, „Länge“ (uñxoc), diejenige Strecke aber, die zu einem Quadrat mit einer u.a. anschließen ®, in das Jahr 369 v.Chr. Rechteckzah! für den Flächeninhalt führt, ‚Quadrat‘ (dvvauıc) Die wissenschaftlichen Leistungen THEAETETs liegen auf dem mathematischen Gebiet. Nach allen uns überlieferten Berichten genannt; sie ist nämlich mit jener, d.h. mit der erstgenannten kann es keinem Zweifel unterliegen, daß er wesentliche Beiträge zur Begründung und Ausbildung der Lehre von den irrationalen Größen geliefert und damit zusammenhängend die Konstruktion der fünf regelmäßigen Körper in eine für die damalige Zeit endgültige Form gebracht hat. Zur Beschäftigung mit irrationalen Größen war THEAETET nach Strecke (Länge) der Länge nach nicht kommensurabel, sondern nur hinsichtlich der Quadrate, die man über ihr und jener Strecke errichten kann. Damit wird das von THEopoRos oben nur für Quadrate mit 3,5,... 17 Quadratfuß Flächeninhalt ausgesprochene Ergebnis auf alle Quadrate erweitert: Seiten von Quadraten, deren Flächeninhalte sich nicht durch (ganze) Quadratzahlen ausdrücken lassen, sind mit der Einheitsstrecke nicht meßbar. PLatqns Darstellung durch THEODOROS angeregt worden. Dieser hatte seinen Schülern begreiflich gemacht, daß die Seiten der Quadrate mit 3, 5, ... 172° Quadratfuß Fläche nicht mit der Ein- Zahlen auch hinsichtlich eines räumlichen Unterscheidungsmerkheitsstrecke, d.h. mit der Strecke von ein Fuß Länge, meBbar sein können. PLATON spricht übrigens hier nur von einem diropalvew, von Kuben, deren Rauminhalt sich nicht durch eine Kubikzahl aus- 25 K. v. Fritz, Theaitetos 2). In: Real-Enzykl. d. klass. Altertumsw. Va, Lehrers THEODOROS über die Quadratseiten /3, 5, ... 17 zog, ist THEAETETs zusätzliche Bemerkung*!, daß diese Einteilung der mals möglich ist, hat den entsprechenden Satz zur Folge: Kanten drücken läßt, sind nicht mit der Einheitsstrecke meBbar. Die Folgerung, die THEAFTET aus den Feststellungen seines 1934, Sp. 1351/52. 26 K, v. Fritz, a.2.0., Sp. 1352, 60-64. 21 E. Sacus, De Theaeteto Atheniensi mathematico (Diss.), Berlin 1914, S. 40: Evicimus-cum intra annos 394 et 369 solos nobis dicernendum esset-Theaetetum 28 K, v. FRITZ, a.8.0., Sp. 1352, 7. 369 ad Corinthum cecidisse. 2 Von den Quadratzahlen 9 und 16 ist abzusehen. sachlich richtig und widerspruchsfrei. Aber sie ist unvollständig und genügt daher nicht für den Aufbau einer Irrationalitätslehre. Denn 30 E. Sacas, a.a.0., S. 57. 31 PLAT. op. I, 148b 2: xal neoi rd oteged dAAa rowürov,

63 wenn z.B. für zwei Quadrate mit den Flächeninhalten a bzw. b und von Quadraten, die kein Verhältnis wie eine Quadratzahl zu bekannt ist, daß sowohl die Seite des ersten Quadrats, Va, wie auch die Seite des zweiten Quadrats, Vb, mit der Einheitsstrecke inkomeiner Quadratzahl zueinander haben, können auch die Seiten nicht mensurabel ist, so läßt sich daraus noch keine SchluBfolgerung für die Kommensurabilität der Seiten beider Quadrate ziehen. Dies wurde bereits frühzeitig als ein Mangel der Aussage THEAETETS im linear kommensurabel sein, Ein Vergleich von X, 9 mit dem Satz des jungen THEAETET zeigt, daB hier wie dort eine Einteilung der Quadratseiten in zwei Klassen surabeln Strecken aber eine irrationale Strecke, nämlich V2, als vorliegt. Aber der Einteilungsgrund ist in beiden Formulierungen gänzlich verschieden. In der urspriinglichen Fassung nimmt THEAETET die Einheitsstrecke zu Hilfe und teilt die Quadratseiten in die mit ihr kommensurablen bzw. inkommensurablen ein. Bei der abgeänderten Fassung dagegen wird vom Verhältnis ganzzahliger Quadratinhalte auf die Kommensurabilität der Quadratseiten geschlossen. Die Verwendung des Verhdltnisbegriffes ist der gemeinsames Maß besitzen, also zueinander kommensurabel sind, wesentliche das wußte der THEAETET des Dialogs offenbar nicht. Aber wir Theaetet. Dialog festgestellt. Darauf verweist z.B. PAPPOS in seinem Kommentar zum X. Buche der Elemente EukLivs, unter Heranziehung der Quadrate mit den Flächeninhalten 8 und 18°°?, Sowohl die Seite Vs wie auch die Seite /18 ist nach TazAETET inkommensurabel mit der Einheitsstrecke. Daß die beiden in dieser Hinsicht inkommen- Unterschied gegenüber der Aussage des jugendlichen dürfen ihm deshalb keinen Vorwurf machen; denn er konnte es da- Mit der Entdeckung irrationaler GréBen um die Mitte des mals gar nicht wissen. Dies wird sofort klar, wenn wir die spätere 5. Jahrhunderts v.Chr. hatte ja die alte Proportionslehre, die auf Formulierung heranziehen, die sich im Satz X, 9 der Elemente vordem Begriff der ganzen Zahl aufgebaut war, ihre allgemeine Gültigkeit verloren. Daher durfte THEODOROS bei seinen Untersuchungen findet und die höchstwahrscheinlich auch von THEAETET, aber aus einer späteren Forschungsperiode herrihrt*, Der Lehrsatz X, 9, keine Sätze der alten Proportionslehre verwenden. Er hätte ja sonst der an die Stelle der Aussage des jugendlichen THFAFTETS tritt, die Rationalität derjenigen Strecken voraussetzen müssen, deren Irralautet 54: tionalitüt er beweisen wollte! Offenbar hatte man aber zu der Zeit, Die Quadrate über linear kommensurablen Strecken haben zueinander ein Verhältnis wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl; als die mathematische Szene in PLarons Dialog spielte, noch keine Erklärung für die Verhältnisgleichheit irrationaler Größen gefunden. und von Quadraten, die zueinander ein Verhältnis haben wie eine Hätte Taroporos nämlich über eine auch für irrationale Größen Quadratzahl zu einer Quadratzahl, müssen auch die Seiten linear gültige Proportionslehre verfügt, so wäre ihm der Nachweis für die Irrationalität von Vn (n nicht gleich einer Quadratzahl) wahrscheinkommensurabel sein, Die Quadrate über linear inkommensurablen Strecken hingegen lich leichter gefallen, und er hátte nicht bei yı7 haltgemacht. Aber haben kein Verhältnis zueinander wie eine Quadratzahl zu einer ohne eine derartige Definition der Verhältnisgleichheit mußte er zu Quadratzahl; einem umständlichen geometrischen Verfahren greifen, das nach der 32 THOMSON-JUNGE (1930), S. 73f. ($ 10). Vgl. auch Scholion 62 zu Buch Vermutung von H. G. ZEUTUEN% und O. ToxPLırz?’ auf eine Kettenbruchentwicklung der Quadratwurzeln hinausläuft und bei X der Elemente, Eucı. El. Bd. 5, S. 452, 1 ff. 33 Vgl. hierzu CL. THABR, Die Elemente von Euklid, IV. Leipzig 1936, 35 Aus X, 9 folgt sofort, daß sich die Seiten der Quadrate mit 8 und 18 S. 108, Anm. zu X, 9, insbesondere den Hinweis auf H. HANKEL, Gesch. d. Quadratfuß Inhalt wie 2:3 verhalten und durch die Diagonale des Einheits- Math. i. Altert. u. Mittelalter. 2. Aufl. Hildesheim 1965, S. 103, Anm. 2. Nach quadrats meßbar sind. Hankeıs Meinung gestattet die mathematische Stelle in PLATONS Dialog 3 H. G. ZEUTHEN (1910), S. 423ff. und Sur l’origine historique de la Theaetet nicht die Auslegung, daß dem Pythagoriker THEODOROS das allgeconnaissance des quantités irrationnelles. In: ODVS, Kopenhagen 1915, 8. 346 ff. meine Theorem X, 9 unbekannt gewesen sei. Man muß hierbei aber unter- 37 Als Ergebnis aus einem gemeinsamen Kieler math.-geschichtl. Kolloscheiden, ob THEoporos den Satz nur vermutungsweise ausgesprochen oder quium veröffentlicht in der Abhandl.: H. Hasse—H. ScHoLz, Die Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik. In: Kantstudien X XXIII, Berlin 1928, ob er ihn auch bewiesen hat. Ersteres kann man ihm zugestehen, letzteres aber m. E. nicht, da ihm eine Erklärung der Verhältnisgleichheit für irratio- 8. 28f. Vgl. auch 0.BEOKER, Eudoxos-Studien I (3. Anm. 46), S. 332 f., insbesonnale Größen noch fehlte, dere S. 333, Anm. 29. % CL. THAER, a.a.0., IV, S. 7.

V19 schon zu einem Kettenbruch mit sechsstelliger Periode führt 38, Wenn aber Turoporos damals noch nicht über eine geeignete Proportionslehre verfügte, so ist dies auch nicht von seinem Schüler THEAETET anzunehmen. Daher trifft diesen keine Schuld, daß seine Aussage über die Kommensurabilität von Quadratseiten noch unvollkommen war. PLATON hat hier mit feinem psychologischem Gefühl ein Zwischenstadium in der Entwicklung der Irrationalitätslehre herausgegriffen, um die geistige Wendigkeit des THEAETET aufzuzeigen. Und er ist dabei nicht in den Fehler verfallen, seinem Freund, dem doch dieser „Nachruf“ galt, zu viel des Lobes zu spenden, sondern er hat auch hier bei der Gestaltung der Szene ,,die historische Treue‘‘ gewahrt. 4. Theaetet als Begründer einer voreudoxischen allgemeinen Proportionslehre Nun beruht die Irrationalitätslehre des X. Buches der Elemente, das THEAETET zugeschrieben wird, auf der Proportionslehre des Eupoxos, die von EuxLip als V. Buch in die Elemente eingereiht wurde, Eupoxos, der mehr als zwanzig Jahre jünger als THEAETET war, ist aber erst nach dessen Tode nach Athen gekommen. Selbst wenn trotz der räumlichen Trennung ein Gedankenaustausch zwischen THEAETET und Evpoxos stattgefunden haben sollte, so konnte sich THEAETET bei den Beweisen seiner Theoreme doch unmöglich auf die Proportionslehre des Eupoxos stützen. Dagegen spricht einmal der Altersunterschied beider Forscher sowie THEAE- TES früher Tod, zum andern liegen sichere Anzeigen dafür vor, daß Eupoxos erst in höherem Alter seine Proportionslehre aufgestellt hat 40, Herr v. Fritz hat die Beziehungen zwischen THEAETET und Eupoxos eingehend untersucht. Nach seiner Ansicht?! ‚wäre es falsch, anzunehmen, daß THEAFTET keine wirklichen Beweise für die höhere Irrationalität jener Größen (gemeint sind Mediale, Binomiale und Apotome, von denen weiter unten die Rede sein wird) gegeben, sondern diese etwa nur durch experimentierendes Zu- 38 Das algobraisch-geometrische Verfahren hierfür findet sich bei S. HEL- 65 sammensetzen von irrationalen Längen des ersten Grades gefunden habe. Denn schon das Aufsuchen dieser Größen und das Aufstellen des Satzes, daß sie auch im Quadrat inkommensurabel sind, erfordert eine exakte Betrachtung, wie sie ohne Beweisschema nicht möglich ist. Umgekehrt setzt wiederum die neue Grundlegung der Lehre vom Irrationalen durch Eupoxos voraus, daß schon reichliches Material vorhanden war, um eine solche neue Grundlegung aufkommen und als notwendig erscheinen zu lassen. Während also zwar sachlich die Sätze des Eupoxos die Grundlage der Euklidischen Beweise über die éon usw. bilden, kann man es umgekehrt historisch als Voraussetzung für die Aufstellung der Eudoxischen Sätze betrachten, daß jene Beweise schon vorhanden waren und nur hinsichtlich der begrifflichen und axiomatischen Grundlegung: von Eupoxos ergänzt zu werden brauchten. Wie die Beweise des THrarTET, die also mit den Euklidischen nicht ganz übereingestimmt haben können, da diese nach Eudoxischen Voraussetzungen umgearbeitet sind, konkret ausgesehen haben, wird sich im einzelnen nicht mehr feststellen lassen. Sie brauchen sich aber im formalmathematischen Beweisschema nicht von jenen unterschieden zu haben. Auf der anderen Seite ist auch unabhängig davon die historische Stellung des THEAETET in der Entwicklung, die zu diesen Beweisen führt, mit ziemlich großer Genauigkeit bestimmt“. Herr v. Fritz sucht auch nach einer Erklärung für diese merkwürdige Sachlage, indem er die Frage aufwirft, wie es mit der Autorschaft des Satzes X, 9 der Elemente steht. Nach seiner Ansicht ist dieser Satz im wesentlichen auf THEAETET zurückzuführen %, Wenn man dieser schr plausibel klingenden These beipflichten will, muß man zuvor bedenken, daß dieser Satz allein nicht ausreicht, um alle Theoreme im X. Buche der Elemente zu begründen. Vielmehr bedarf es dazu einer allgemein gültigen Proportionslehre, wie man aus der Euklidischen Fassung des X. Buches ersieht, die vielfach auf Sätze des V. und VI. Buches zurückgreift. Hine wirklich befriedigende Erklärung läuft daher m. E. auf die Beantwortung der Frage hinaus, ob es bald nach Theodoros und noch, bevor Eudoxos seine Theorie entwarf, bereits eine Proportionslehre gab, die auch irrationale Größen miteinbegriff. Hinweise auf eine solche Lehre finden sich ganz vereinzelt bei ARISTOTELES®? und im ARISTOTELES-Kommentar LER, Ein Beitrag zur Deutung der Theodoros-Stelle in Platons Dialog „Theaetet“, 42 A.a.O., Sp. 1359, 48-50. Kopenhagen 1956. In: Centaurus 5, S. 5ff. 43 ARISTOTELES, T'opik, 8. Buch, 3. Kap., 158b, 29-35, und ARISTOTELES, 39 EucL. El. Bd. 5, S. 282, 13—20 (Scholion 3 zu Buch V der El.). 40 K. v. Frirz (1934), Sp. 1358, 25-28. 41 A.a.O., Sp. 1358, 28-62. Zweite Analytik, 1. Buch, 5. Kap., 74a, 17—25. Sudhoffs Archiv 51/1

des ALEXANDER von APHRODISIAS“, Die betreffenden Stellen wurden lange Zeit nicht richtig verstanden. Erst H. G. ZEUTHEN * sah darin Spuren einer voreudoxischen Proportionslehre. Auch O. TorrLitz äußerte nach 1928 gelegentlich einer Gastvorlesung in Kiel diese Ansicht, ohne noch etwas von ZEUTHENS Deutung dieser Nach heutigem Sprachgebrauch besagt die ‚Definition der Alten“: Zwei (rationale oder auch irrationale) Verhältnisse werden als gleich bezeichnet dann und nur dann, wenn sie dieselbe Kettenbruchentwicklung haben ®. O. BECKER wirft nun die Frage auf, ob sich die beiden Definitionen der Verháltnisgleichheit, die eben angeführte der ‚Alten‘ und die Euklidische im V. Buche, Def. 5, den beiden bahnbrechenden Forschern zuschreiben lassen, nämlich die anthyphairetische dem THEAETET und die jüngere des V. Buches der Elemente dem 66 Stelle zu wissen. Aber erst durch die eingehenden Untersuchungen O. Beckrrs** wurde die bisherige Vermutung zu einer zwingenden Gewißheit. Die entscheidende Stelle in ALEXANDERS Kommentar lautet: 67 „Es ist aber die Definition der proportionalen (Größen), deren sich Eupoxos. Das letztere trifft nach allen Überlieferungen, die wir die Alten bedienten, folgende: In Proportion stehen Größen zueinbesitzen, sicherlich zu. Das erstere scheint aus mancherlei Gründen, die O. BECKER im einzelnen anführt, zwar auch sehr wahrscheinlich zu sein. Aber es läßt sich dagegen einwenden, daß im X. Buche ander, denen dieselbe ,,Anthyphairesis‘* zukommt. ARISTOTELES aber nannte Anthyphairesis ,,Antanairesis''. Gesagte sogleich einleuchtend. Denn dieselbe ‚‚Antanairesis‘‘ haben doch vielfach auf die Lehrsätze der Eudoxischen Theorie zurückgegriffen werde. Das ältere X. Buch des THEAETET wäre also von dem jüngeren V. Buche des Eupoxos abhängig, was aber (wegen des Altersunterschiedes beider Forscher) doch nicht sein könne. Diesen Einwand widerlegt nun O. BECKER, indem er eine auf der anthyphairetischen Definition der Verhältnisgleichheit begründete Proportionslehre entwickelt und nachweist, daß sich mit ihrer Hilfe alle Beweise des X. Buches streng durchführen lassen. Zugleich zeigt die Flächen und die Linien. Es ist aber die (erste?) Definition deser aber auch die Begrenztheit dieser nach seiner Überzeugung von selben (d. i. des gleichen) Verhältnisses diese (d. i. die soeben ange- THEAETET* herrührenden Theorie auf. Eupoxos gelang es dann, mittels einer Neufassung der Definition der Verhältnisgleichheit über ALEXANDER bezieht sich hier auf die Stelle in der Aristotelischen Topik (0.3, p. 158b 29-35): ,,Es scheint aber auch in der Mathematik Einiges wegen des Fehlens einer Definition nicht leicht zu beweisen zu sein, wie z. B. daß die ein Parallelogramm parallel zur Seite schneidende Gerade die Linie und die Fläche (d. i. die anliegenden Seiten und die Fläche des Parallelogramnıs) in demselben Verhältnis teilt. Wenn aber die Definition ausgesprochen ist, ist das die ältere Proportionslehre des THEAETET hinauszugehen. Unerheblich sind allenfallsige Bedenken, daß keine Berichte über 44 ALEXANDER von Aphrodisias, Aristoteles-Kommentar (WALLIES-Ausg.), S, 545, 917. die Urheberschaft THEARTETS 45 H. G. ZEUTHEN, Hvorledes Mathematiken i Tiden fra Platon til Euklid blev national Videnskab. D. Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Skriften, naturbetreffs der anthyphairetischen Theorie vorliegen. THEAETET mußte diese Hilfstheorie aus dem 46 O, BECKER, Eudoxos-Studien I: Kine voreudorische Proportionenlehre und einfachen Grunde aufbauen, weil er sie für seine Irrationalitätslehre notwendig brauchte, Sie entstand wahrscheinlich während ihre Spuren bei Aristoteles und Euklid. In: Qu. u. St. B, II, 4, Berlin 1931, seines Aufenthaltes in Herakleia am Schwarzen Meere, fernab von vidensk. og mathem. Aft. 8. Raekke, 1.5, Kopenhagen 1917, S. 108 (306) ff. S. 311-333. 47 O. BECKER, 8.0.0., S. 312. Der griechische Text bei ALEXANDER lautet: Foti dé dorouòds rar dvalbyur, $ of doyato Exowvro, obtog* dvdloyor Exer usyéOn noûs diinda dv 1) adın avdvpalgecis: avròs dé thy drBvpalpsciv üvravalgeoıy elonxe. 48 O. BECKER, 0.8.0., S. 311. Der griechische Text bei ARISTOTELES lautet: forxe dé xal év taic padijuaci Eva de doranod EAkeıyıv od daölws yodpeabat, allen Fachgenossen. 'THEAETET hat sie dann seinem Hauptwerk eingegliedert, so daß von ihr als einem Bestandteil dieses Werkes keine besondere Erwähnung zu erwarten ist. Später wurde das Kapitel mit der älteren Proportionslehre (wahrscheinlich von EukLID) aus dem THEAETETschen Werk herausgelöst und dafür die Eudoxische Proportionslehre als V. Buch in die Elemente eingefügt. olov [xal] dti y ragà thy nAevoav téuvovoa tò Eninedor duolwg ÖLaugsi tir TE yoauphy xai ró ywplov. tod de dorapod Sndévros evdéws pavepóv td Aeydpevor. tr yao adınv avravaigeciv Eye ta ywola xal al yoaupal. Earı dS’ detopds tod Durch die Untersuchungen von O. Becker in seinen Hudoxos- Studien I ‚Eine voreudoxische Proportionenlehre und ihre Spuren 49 O. BECKER, 0.0.0., S. 313. avtoù Adyov <xg@tos> oùros. 50 Y), BECKER, a.a.O., S. 215 und 226.

bei Aristoteles und Euklid‘ ist der sichere Nachweis erbracht, daß wir Theaetet nicht nur als den Schöpfer der Irrationalitdtslehre, sondern auch als den Vorläufer des Eudoxos bei der Begründung einer allgemein gültigen Proportionslehre ansehen dürfen. Dieser Zusammenhang der Forschungsarbeiten von 'THEAETET und Eupoxos bei der Bewältigung des Irrationalen deckt sich auch mit den Nachrichten, die uns PROKLos Drapocuos aus der Mathematikgeschichte des Eupemos überliefert hat. Dreimal wird hier THEAETET genannt, davon zweimal in Verbindung mit Eupoxos. Zuerst hören wir von THEAETET als dem Zeitgenossen des LEopamMas von Thasos und des ARCHYTAS von Tarent; von diesen drei „wurden die Lehrsätze vermehrt und in ein wissenschaftlichen 5. Anforderungen entsprechendes System gebracht‘ Dann wird Hermorimos von Kolophon erwähnt®?, der ,,die Ergebnisse des Eupoxos und des THEAETET weiter entwickelt und einen beträchtlichen Beitrag zu den Elementen geleistet hat‘. So weit benutzt ProkLos den Euprmos als Gewährsmann für seinen Bericht. Er fährt dann fort: ,,Nicht viel jünger als diese ist EUKLID, der die Elemente zusammenstellte, viele Ergebnisse des Eupoxos zusammen faBte, viele des THEAETET zum Abschluß brachte“. Eine sehr aufschlußreiche Ergänzung zu diesem Bericht des Proxtos bietet der Kommentar des Parpos von Alexandria zum X. Buche der Elemente EugLIDS. Hier heißt esTM: ,, Diese Theorie 51 ProxLos Diadochos (s. Anm. 3), griech. ed. FRIEDLEIN, S. 66, deutsch von SCHÖNBERGER, S. 212, 52 ProxLos Diadochos, a.a.O., griech. S. 67, 20, deutsch $. 213. 53 ProxLos Diadochos, a.a.O., griech. $. 68, 7, deutsch $. 213. science (or knowledge) had its 54 THOMSON-JUNGE (1930), S. 63 ($ 1): This origin in the sect (or school) of Pythagoras, but underwent an important development at the hands of the Athenian, Theaetetus, who had a natural aptitude for thia as for other branches of mathematics most worthy of admiration. One of the most happily endowed of men, he patiently pursued the investigation of the truth contained in these [branches of] science (or knowledge), as Plato bears witness for him in the book which he called ajter him, and was in my opinion the chief means of establishing exact distinctions and irrefragable proofs with reapect to the above-mentioned quantities. For although later the great Apollonius whose genius for mathematics was of the highest possible ordre, added some remarkable species of these after much laborious application, it was nevertheless Theaetetus ensurable in which are who distinguished the powers (i. e. the squares) length, from those which are inc able (+. e. in length), and who divided the more generally known irrational lines according to the different means, ial to arithmetic, and the apotome assigning the medial line to geometry, the bi to harmony, as is stated by Eudemus, the Peripatetic. Theaetets Bedeutung als Mathematiker 69 (d. h. der rationalen und irrationalen Größen) nahm ihren Anfang in der Pythagoreischen Schule, erfuhr dann eine wichtige Entwicklung in den Händen von THEAETET, dem Athener, der für diesen und andere Zweige der mathematischen Wissenschaft eine natürliche Fähigkeit besaß, welche die größte Bewunderung verdient. Als ein ganz hervorragend veranlagter Mensch bemühte er sich unablässig um die Erforschung der Wahrheit, die in diesen Zweigen der Wissenschaft enthalten ist, wie PLATON dies von ihm in dem nach ihm benannten Dialog bezeugt. Nach meiner Ansicht hat er dabei durch seine Einführung genauer Unterscheidungen und unumstößlicher Beweise hinsichtlich der oben genannten (rationalen und irrationalen) Größen die Hauptarbeit geleistet. Denn wenn auch später der große APOLLONIUS, der im höchsten Grade für Mathematik veranlagt war, nach sehr mühevoller Arbeit einige bemerkenswerte Arten zu diesen (Definitionen und Beweisen) hinzufügte, so war es nichtsdestoweniger THEAETET, der die sog. Potenzen (Quadrate), welche der Länge nach kommensurabel sind, von den der Länge nach inkommensurablen unterschied und der die allgemein bekannten Irrationallinien entsprechend den verschiedenen „Mitteln“ einteilte, indem er die Mediale dem geometrischen, die Binomiale dem arithmetischen und die Apotome dem harmonischen Mittel zuwies, wie dies von EubEmos, dem Peripatetiker, festgestellt ist“. Bemerkung: Aus der Seite und Diagonale des Einheltequadrate erhält man z.B. als geometrisches Mittel die Mediale | y2-1 = y2, als arithmetisches Mittel die Binomiale BH! = È E > als harmonisches Mittel die Apotome TS = 2/2 (2-1) = 4-2/2. Legt man eine Ausgangsstrecke, hier etwa die Quadratseite 1, als rationale Strecke zu Grunde, so sind offenbar diese drei Mittel auch quadriert nicht kommensurabel mit der ,,Rationalen“. 5. Ein „Hauptstück‘‘ der Theaetetschen Irrationalitätslehre Das X. Buch, mit seinen 115 Paragraphen, das umfangreichste der Elemente EvkLips, enthält die von TurAETET begründete Theorie der einfachen und doppelten quadratischen Irrationalitäten, die zur Berechnung und Konstruktion regelmäßiger Vielecke und Vielflache erforderlich sind. Da den Griechen eine mathematische Symbolsprache fehlte, waren sie genötigt, die verwickelten alge-

71 braischen Operationen durch Worte wiederzugeben, was das rasche Bei den Binomialen und Apotomen wird noch unterschieden, ob Eindringen in den Inhalt und den Überblick über die ganze Irradas größere bzw. kleinere Glied linear oder nur quadriert kommentionalitätslehre ungemein erschwert. Das Buch ist andrerseits aber so sorgfaltig und unter Beriicksichtigung aller méglichen Arten von surabel mitder Rationalen ist. Dies gibt die Möglichkeiten a + Vb, Ya +b, Va + Jb. HeatH® und Herrn B. L. v. p. WAERDEN 56, als ein ganz besonders Ein weiterer Einteilungsgrund folgt aus der Feststellung, ob die größere Strecke quadriert um das Quadrat einer mit ihr linear gelungenes Werk bezeichnet wird. kommensurablen Strecke die kleinere Strecke quadriert übertrifft Die Begriffe der Kommensurabilität und Rationalität werden im X. Buche bei allgemeinen Größen und bei Flächen im üblichen oder nicht. Der Existenzbeweis für die verschiedenen Arten irrationaler Sinne gebraucht, nicht jedoch bei Strecken. Hier wird neben den Strecken wird durch ihre Konstruktion erbracht. Als Beispiel diene die Aufgabe X, 2957: Zwei nur quadriert kommensurable rationale | irrationalen Strecken verfaßt, daß es von Sachkennern, wie Tu. L. der Länge nach kommensurablen bzw. inkommensurablen Strecken eine neue Art, nämlich die quadriert kommensurablen bzw. inkommensurablen Strecken definiert. Zur Definition rationaler bzw. irrationaler Strecken nimmt THEAETET eine vorgelegte rationale Strecke zu Hilfe und bezeichnet die mit ihr, sei es linear und quadriert, sei es nur quadriert, kommensurablen Strecken als rationale (dntdc), die mit ihr inkommensurablen als irrationale (dA0y05). Strecken zu finden, daß quadriert die größere um das Quadrat einer mit ihr linear kommensurablen Strecke die kleinere übertrifft. Ausführung (stark gekürzt wiedergegeben): Zu Grunde gelegt werden die Rationale AB und die beiden Quadratzahlen CD und DE, deren Unterschied CE keine Quadratzahl ist (Fig. 1). Mittels der Sätze VI, 2 und V, 17 konstruiert man BF so, daß Als Mediale (X, 21) definiert THEAETET diejenige Strecke, welche quadriert gleich dem Rechteck aus nur quadriert kommensurablen BF?:AB?=CE:CD ist. rationalen Strecken ist: (Va s VE). gezogen. Als Binomiale (X, 36) wird die Summe, als Apotome (X, 73) die Differenz zweier nur quadriert kommensurablen rationalen Strecken bezeichnet: (a + }/b). BF wird im Halbkreis über AB als Sehne eingetragen und AF Fig.1 | F Die folgende Zusammenstellung gibt eine Übersicht über die verschiedenen im X. Buche verwendeten Strecken. (vorgegebene) Rationale (Strecke) — % nooredeica eddeia Onth A Strecken eddelaı 73 rational óntal irrational dAoyot = lin. u. quadr. komm. nur quadr. komm. une Oöuuerooı duvduer aduperpor 4 quadr. inkommensurabel dovpperoor Mediale uéou 8 C Binomiale . E G D altr 492 E Apotome En dio dvopdtmy drotopi) 5 Tu. L. HEATH, A manual of Greek mathematics. New York [1931], S. 241: Book X is perhaps the most remarkable, as it is certainly the most finished, of all the Books in the Elements. 56 B. L. van DER WAERDEN, Erwachende Wissenschajt. Basol 1956, S. 271 ff. Weil BF? der Strecke CE entspricht, die keine Quadratzahl ist, so ist BF nur quadriert mit AB kommensurabel. Da zudem AB die Rationale ist, so ist BF auch rational, 57 CL. THAER (1936), IV, S. 22f.

Theastete Bedeutung als Mathematiker SIEGFRIED HELLER 72 Weil im rechtwinklichen Dreieck ABF die Kathete AF der Strecke Es wird auf den Satz II, 5 (Fig. 2) zurückgegriffen: Teilt man eine ED entspricht, die Quadratzahl ist, so ist AF kommensurabel mit Strecke sowohl in gleiche als auch in ungleiche Abschnitte, so ist das Rechteck aus den ungleichen Abschnitten (der ganzen Strecke) AB, also auch rational. zusammen mit dem Quadrat über der Strecke zwischen den Teil- AB und BF sind die gesuchten Strecken. Wird AB um BFbisG verpunkten gleich dem Quadrat über der halben Strecke®: längert, so wird AG als ,, Erste Binomiale‘‘ bezeichnet (X, 47, def. 1). AD: DB + CD? = CB?. Zu bemerken ist hierbei, daß zur Durchführung dieser Konstruktion mehrere Lehrsätze der Proportionslehre des V. und VI. Buches Fig.3 der Elemente benötigt werden. Die Hauptaufgabe, die im X. Buche gelöst wird, ist folgende: TN Wenn man das Rechteck aus der Rationalen und einer der irratigefunden werden, die quadriert gleich diesem Rechteck ist, oder ZN nach heutigem Sprachgebrauch : Aus den Binomialen und Apotomen A onalen Strecken bildet, soll die einfachste Form derjenigen Strecke M soll die Quadratwurzel gezogen und auf die einfachste Form ge- Die Erste Binomiale AC zerfalle (Fig. 3) im Punkte B in die größere mit der Rationalen linear kommensurable Strecke AB = a dratwurzel aus einem irrationalen Binom wieder in der Form eines Binoms darzustellen. In welch eleganter Weise THEAETET diese Aufund die kleinere linear inkommensurable Strecke BC = b, und es sei gaben mit den Hilfsmitteln seiner Zeit löste, soll an einem Beispiel AB? — BC? = a? — b? = []. gezeigt werden. In den Halbkreis über AB wird BC als Sehne BD eingetragen; Der Satz X, 54 lautet: Wird eine Fläche von der Rationalen und dann ist AD = Ya? — b? eine linear kommensurable Strecke. Ich einer Ersten Binomialen umfaßt, dann ist die Strecke, die quadriert mehr muß auch der Teilungspunkt gefunden werden, durch den die E*,n=eF+eS3]te diede Quadratseite in zwei Glieder zerfällt, von denen wenigstens eins a? und vervollständige die Figur. Dann ist p? bis AG : GB + MG? = MB? oder AG : GB = 7 — 4 -G). 2 wodurch der Teilpunkt G eindeutig bestimmt ist. AG:BH =BH:GB. zerlegt zu diesem Zweck das Rechteck in vier Teilrechtecke und eck derart, daß sich aus ihnen ein Quadrat zusammensetzen läßt. mm Halbiert man noch BC in H, so ist schlieBlich nicht mit der Rationalen linear kommensurabel ist. THEAFTET verwandelt jedes einzelne in ein flächengleiches Quadrat bzw. Recht- 1 ziehe den Radius ME senkrecht zu AB, mache MG = a Va? — bi die Fläche ergibt, eine Irrationale, wie man sie Binomiale nennt 8, Es ist also nicht nur die Länge der Quadratseite zu bestimmen, C H (AG: BH=8H:GB) bracht werden. Dies erfordert die Lösung der Aufgabe, die Quawas ja leicht mittels EuxLm, El. II, 14, durchzuführen wäre, Viel- GB ina Nun werde das Rechteck aus der Rationalen AA’ und der Binomialen AC mit den Teilpunkten G, B und H hergestellt, und durch diese Teilpunkte werden die „Parallelen zu AA’ gezogen (Fig. 4). Fig.2 Das Rechteck aus AG = -+ — b? und der Rationales AA’ = 1 wirdin das Quadrat LA de Seite MN= E +=> Vara verwandelt (Fig. 5). Aus dem Rechteck mit der Seite GB = =—-- | a?— b? erhält man das Quadrat mit der Seite NT = reYa? —b?. ol A c D B (AD-DB-c02-c8à 5° CL. Tuarr, a.4.0., I, S. 36f. 58 Cr. THAER, a.a.O., IV, S. 41f.

Fig.5 Fig.4 A à M 2 N T (ya — b? linear kommensurabel mit Ya) z. B. wird Bimediale genannt, weil diese Strecke in zwei Mediale zerfallt. Beispiel: N Yız +3 4 3 2| Die eine Quadratwurzel darstellenden Strecken werden im allgemeinen nach der Art ihrer Zusammensetzung benannt. | Va +b 3 1 s c H 8 G 4 1 A G' B' H' 4 c' Q A (a+Ya?- 69 P E (a-132-53 Beide Quadrate werden, mit der Ecke N zusammenhängend, so hingelegt, daB die Quadratseiten sich paarweise geradlinig fortsetzen; die Figur werde zum vollen Quadrat erganzt. Nun folgt aus der Streckenproportion AG:BH=BH:GB die Flächenproportion AG’:BH’=BH’:GB’. Also ist Rechteck BH’ mittlere Proportionale zwischen den Rechtecken AG’ und GB’, folglich auch mittlere Proportionale zwischen den ihnen flächengleichen Quadraten QN und NS. Zwischen diesen Quadraten ist aber auch Rechteck MR bzw. PT mittlere Proportionale; also ist MR = BH’ und PT = HC’. Somit ist das Rechteck AC’ = (a + b). 1 flächengleich mit dem Quadrat QS = VE (a + Ya2— b?) +}: (a — Va?— D!) Vian yore = |/(3(a+ 75 A I 4 En E V3 + BE = VE + Vi. Auffälligerweise wird die zur Vierten Binomiale gehôrige Quadratseite Major genannt (X, 57) und entsprechend die zur Vierten Apotome gehörige Quadratseite Minor (X, 94). Da die Minor bei der Berechnung der Seite des regelmäßigen Fünfecks (XIII, 11:8, = > V u6-V5) und der Ikosaederkante (xm, 16:k = A | 10(5—V) auftritt, sind vermutlich die Minor und ihr Gegenstiick, die Major, zuerst von THEAETET untersucht worden, weil er die Minor zur Berechnung der regelmäßigen Vielflache benötigte®!. Die Systematik der Irrationalen ist nach THEAETETS frühem Tode von HERMOTIMOS und EUKLID vervollständigt worden, wobei auch mit der Ersetzung der THEAETETischen durch die Eupoxische Proportionslehre das X. Buch seine endgültige Form erhielt. 6. Theaetets Konstruktion der fünf Platonischen Körper Eine weitere bedeutende Leistung THEAETETS ist die zusammenfassende Darstellung der Konstruktion der fünf regulären Körper, 5, die den Inhalt des XIII. Buches der Elemente ausmacht. Die Nach- Es läßt sich schließlich zeigen, daß MN und NT nur quadriert kommensurable Strecken sind. Also ist MT eine Binomiale®, 1 i = V5 +1. +4) + VENE, Beispiel: Ve +2Y5= 1/5(6 m Alle Arten irrationaler Strecken werden in dieser Weise untersucht und auBerdem wird der Nachweis erbracht, daB alle Binomialen nur in einem Punkte in zwei nur quadriert kommensurable rationale Strecken zerfallen (X, 42—47) und alle Apotomen nur auf eine Weise sich als Differenz zweier nur quadriert kommensurablen rationalen Strecken darstellen lassen. (X, 79—84). richten darüber widersprechen sich zwar zum Teil; was ihnen aber als Wahrheitsgehalt zu Grunde liegt, läßt sich doch mit einiger Wahrscheinlichkeit ermitteln, wenn man das XIII. Buch mit Buch II und IV einerseits und mit Buch X andrerseits vergleicht® und außerdem bedenkt, daß es ein weiter Weg war von der ersten Konzeption regelmäßiger Figuren und Körper über ihre nur bildhafte bzw. körperliche Darstellung bis zur geometrisch begründeten Konstruktion und Berechnung ihrer Seiten und Kanten. In einem Scholion zum XIII. Buche der Elemente wird mitgeteilt, daß die fünf sog. Platonischen Körper nicht von PLATON stammten; vielmehr stammten drei derselben, nämlich Würfel, Pyramide und Dodekaeder, von den Pythagoreern (/Ivdayopei- 0 In X, 54 wird der Toilungspunkt G mittels X, 17 bestimmt; X, 17 wird auf II, 5 zurückgeführt. Der Beweis ist hier stark verkürzt wiedergegeben. 1 THOMSON-JUNGE (1930), S. 25. 62B. L. VAN DER WAERDEN (1956),S.282ff. Euct. El., Bd.5,5.654, 1—10.

wv éotiv), das Oktaeder und das Ikosaeder aber von THEAETET (Ogarrítov goriv). Dagegen lesen wir bei Surpas®, daß THEAETET als erster die sog. fünf Körper gezeichnet (konstruiert) habe (noörog dé ta nevre xadovueva otepea Eypaye). Wollte man beim Scholion an eine Konstruktion der regulären 77 Aufmerksamkeit der Geometer auf sich gezogen haben. Schwieriger war die Auffindung des Ikosaeders, weil — nach meiner Kenntnis — Kristalle dieser Form in der Natur nicht vorkommen. Diesen Körper wird man wohl erst entdeckt haben, als man nach der Anzahl der überhaupt möglichen Arten regulärer Körper fragte. Die Ant- Körper denken, so wäre es doch sehr merkwürdig, daß die Pythawort gibt der Satz XIII, 18 der Elemente (Außer den genannten goreer bereits die schwierige Konstruktion des Dodekaeders, aber fünf Körpern gibt es kein weiteres reguläres Polyeder), der nach nicht die ganz einfache des Oktaeders gekannt hätten. Wahrscheinden Untersuchungen von E. Sacns®, E. J. Disksteruvis®, Herrn v. Frirz® u. a. unzweifelhaft THEAETET zuzuschreiben ist. Beim Beweis dieses Satzes findet sich erstmals die Feststellung, daß sich lich hat der Scholiast bei seinem Bericht nur an die aus der Erfahrung gewonnene Kenntnis der Form des Dodekaeders gedacht. Dafür spricht die Tatsache, daß der Pyrit (Schwefelkies) hemieaus vier gleichseitigen Dreiecken die körperliche Ecke des Oktaedrische Kristallformen bildet, die mit dem im mathematischen Sinne ders?® und aus fünf gleichseitigen Dreiecken die körperliche Ecke regulären Dodekaeder zwar nicht identisch, ihm aber doch sehr des Ikosaeders bilden lasse”!. Das oben genannte Scholion zum ähnlich sind. Gut ausgebildete Pyritkristalle finden sich vor allem XIII. Buche entspricht also den Tatsachen; denn es besagt nur auf der Insel Elba und in Norditalien; sie haben, wie Funde bezeuetwas über das erstmalige Auftreten der regulären Körper, aber gen, etwa 500 v. Chr. Veranlassung zur Nachbildung des Dodekaenichts über ihre Konstruktion, von der Surpas berichtet. ders in Speckstein gegeben. Vermutlich hat auch Hırrasos aus 7. Zusammenfassung Metapont, dessen Name IAmBLicHos® mit dem Dodekaeder in Das Verdienst THEAETETs liegt vornehmlich in der Begründung Verbindung bringt, vom Pyritkristall her die Anregung zur Beschäfund Durchführung der Lehre von den irrationalen Größen und in tigung mit dem Dodekaeder erhalten (um 450 v. Chr.). Dadurch der damit eng zusammenhängenden Behandlung der regelmäßigen könnten HIPPASOS und seine Schüler, die sog. ‚Mathematiker‘, zur Körper. Darüber sind sich alle Mathematikhistoriker”? einig bis auf Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks und zur Entdeckung der Inkommensurabilität seiner Seiteund Diagonale geführt worden sein. Aber damit ist noch nicht die Frage beantwortet, wieso unter den zuerst entdeckten regulären Körpern nicht das Oktaeder genannt wird. Der Grund könnte vielleicht der gewesen sein, daß man anfangs die Frage nach den regelmäßigen Vielecken stellte, aus denen sich reguläre Polyeder herstellen lassen. Nach der Erkenntnis, daß dafür nur das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und das regelmäßige Fünfeck in Frage kämen, begnügte man sich zunächst mit der (vielleicht modellmäßigen) Herstellung der entsprechenden Polyeder aus einer Mindestzahl der gefundenen Flächen. Dies führte zur Feststellung, daß es entsprechend den drei möglichen erzeugen- 47 E. SacHS (1914), S. 112, e E. J. DIJKSTERHUIS, De Elementen Bd. 1. Groningen 1929, $. 60. ® K. v. FRITZ (1934), Sp. 1365, 61-62. 7 Euct. El., Bd. 4. S. 336, 21. 1 Koc. El. Bd. 4, S. 336, 22. 7? Außer der bereits genannten werde noch auf folgende Literatur zu THEAETET hingewiesen: O. Becker—J. E. Hormann, Gesch. der Mathematik. Bonn 1951,S.66und 69. O. BEOKER, Das mathematische Denken der Antike. Göttingen, 1957,S.16u. 18. ©. Broker, Größe und Grenze der mathematischen Denkweise. Freiburg} München 1959, S. 77. O. BECKER, Zur Geschichte der griechischen Mathematik. Darmstadt 1965, 8. XVII. H. Hasse, Proben mathematischer Forschung. Frankfurt/Pinneberg 1955, S. 37 ff. den Vielecken auch drei verschiedene typische reguläre Polyeder G. Hauser, Geometrieder Griechen von Thales bis Euklid. Luzern 1955,8. 138 ff. gebe, nämlich die Pyramide, den Würfel und das Dodekacder. Die Oktaederform, von der sich in der Natur Kristalle aus Bleiglanz, Kupfer, Silber und Gold vorfinden, wird bald darnach die I. L. HerBEROo, Geschichte der Mathematik und Naturw. im Altertum. Miinchen 1925, S. 8 und 19. J. E. Hormann, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl. Berlin 1963, S. 41f. Fr. LASSERRE, The birth of Mathematics in the Age of Plato. London 1964, 54 Surpas (1852), unter QOeaitytos. 8. 17 und 65. 65 E. Sacus, Die fünf Platonischen Körper, Berlin 1917, S. 84f. 86 Tamblichi de vita Pythagorica liber, ed L. Deuuner. Leipzig 1937,5. 52. 3-5. Heidelberg [1960], S. 82. P. LORENZEN, Die Entstehung der exakten Wissenschaften. Berlin/Göttingen/

Herrn K. REIDEMEISTER?3, der „sich nicht des Verdachts erwehren kann, daß Theaetet der Mathematiker nur eine Legende ist, die sich um den Theaetet des Platonischen Dialogs kristallisiert hat‘. Auf die Einwendungen und Bedenken, namentlich von Altphilologen, zu denältesten Nachrichten über die bahnbrechenden Leistungen THEAETETs soll hier nicht eingegangen werden. Das Wesentliche darüber findet man bei E. Sacus”*, und Herrn v. Fritz’ eingehend dargestellt. Hier und da auftauchende Zweifel, ob eine bestimmte Einzelleistung wirklich TBEAETET gehört, können an dem Gesamtbild, das wir von seinem Wirken gewonnen haben, nichts ändern. THEAETET und Eupoxos werden in der Geschichte der altgriechischen Mathematik oft zusammen genannt und ‚als die beiden größten Mathematiker der Zeit PLarons“ bezeichnet’®. Ihre Arbeiten ergänzen einander, und ihnen gebührt nach dem Urteil namhafter Mathematikhistoriker das Verdienst, der griechischen Mathematik nach der Grundlagenkrisis, in die sie durch die Entdeckung des Irrationalen gestürzt war, wieder eine sichere Grundlage gegeben zu haben. Bei der Beurteilung dieser Sachlage konnte aber frü- * her vielfach noch nicht die aufschluBreiche Arbeit O. BEcKERs (1933) über eine Voreudoxische Proportionenlehre berücksichtigt werden. Auf Grund deren Ergebnisse kann man THEAETET als den Initiator, Eupoxos aber als den Vollender der neueren griechischen Mathematik zu PLATONS Zeit bezeichnen. Selbst wenn philologische Akribie aus dem gewaltigen Lebenswerk THEAETETs einige kleine Stückchen herausbräche, so würde dies doch nichts an der Tatsache ändern, daß Theaetet neben Eudoxos als einer der größten Mathematiker längst in die Geschichte der Mathematik eingegangen ist. P.-H. MicH®eL, De Pythagore à Euclide. Paris 1950, S. 278-281, bes. S. 279 und 280, E. Stamatis, Euklids Elemente, Bd. 3. Athen 1956, S. 15. A. Szabo, Der älteste Versuch einer definitorisch-axü tischen. Grundlegung der Mathematik. In: Osiris 14 (1962), S. 316. O. TOEPLITZ, Mathematik und Antike. In: Die Antike, 1, 1925, S. 201. O. Toerruitz, Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Berlin 1949, 8. 6. H. WIELEITNER, Geschichte der Mathematik I. Berlin/Leipzig 1922,S. 13 u. 19. 73K. REIDEMEISTER, Die Arithmetik der Griechen. Loipzig/Berlin 1940, (Hamburger Math. Einzelschr. 26), S. 13. 14 E. Sacus (1914) und (1917). 25 K. v. FRITZ (1934). 76 B. L. van DER WAERDEN (1956), S, 271. Anschrift des Verfassers: Oberschulrat i. R. Dr. Siegfried Heller, 238 Schleswig, ChemnitzstraBe 72