Die Lehre vom Geraden und Ungeraden im Neunten Buch der Euklidischen Elemente

ce SR, © Ver Be Die Lehre vom Geraden und Ungeraden im Neunten Buch der Euklidischen Elemente. (Versuch einer Wiederherstellung in der ursprünglichen Gestalt). Von Oskar Becker (Bonn). (Eingegangen 8. Juni 1936.) 1. Am Ende des IX. Buchs der euklidischen Elemente steht eine Reihe von Sätzen (21—34), die von den geraden und ungeraden Zahlen handeln. Die Definitionen 6—11 am Anfang des VII. Buchs, die sich auf diese Dinge beziehen, d.h. die der Begriffe Aptos, zepıonds, Aprıaxız meproode, [meptacdnts dptiec], neprosanıg meptocós dptduds, werden entweder gar nicht (wie die beiden letzten) oder lediglich in den Sätzen IX, 21—34 verwendet (mit einer sogleich noch zu besprechenden Ausnahme). Der Inhalt der Sätze ist im Verhältnis zu den weit vordringenden und und sorgfältig durchgearbeiteten zahlentheoretischen Gedanken der vorangehenden Abschnitte der arithmetischen Bücher VII, VIII, IX außerordentlich elementar, um nicht zu sagen trivial, und bietet ihnen gegenüber im Grunde gar nichts Neues. Vom Gesichtspunkt des modernen Lesers aus betrachtet, ist es unerklärlich, wieso diese äußerst einfachen Dinge am Schluß einer hochentwickelten Theorie auftreten. Man muß sich aber erinnern, daß nach den Forschungen W. Jaeeines antiken Schriftstellers häufig gers!) am Ende eines „Buchs“ Nachträge stehen, die aus technischen Gründen dort am Rollenende am bequemsten Platz fanden. Solche Fälle gibt es in den metaphysischen Pragmatien des Aristoteles und auch sonst. Ja in den Elementen selbst findet sich ein weiteres Beispiel in dem letzten (nach der Baseler Ausgabe von 1533 dem 118,, nach der Oxforder Edition von 1703 dem 119.) Satz des X. Buchs über die Inkommensurabilität von Quadratdiagonale und -seite. Die modernen Herausgeber (so schon E. F. August 1829 und später Heiberg) haben mit dem Satz nichts anzufangen gewußt und ihn daher aus dem Text entfernt, ein o $. „Studien zur Entstehungsgeschichte der Metaphysik des Aristoteles“, Berlin 1912; 8, 38 ff. Quellen u. Studien Math. Bd, IT.

Verfahren, das nur dann berechtigt ist, wenn hinzugefügt wird, daß es sich hier um sehr altes, bei weitem voreuklidisches Gut handelt, das vielleicht von Euklid selbst, mindestens aber von seinen ältesten Herausgebern der Aufbewahrung am Ende der Rolle aus Pietätsgründen für würdig befunden wurde. Nun ist es sehr merkwürdig, daß in dem Beweis des genannten Satzes sich die einzige Stelle der Elemente findet, an der die Lehre vom Geraden und Ungeraden, nämlich Satz IX, 23, benutzt ist. Noch wichtiger erscheint aber die eigentümliche Stellung der Satzfolge IX, 21—34 in ihrer unmittelbaren Umgebung. IX, 20 ist der Satz von der Existenz unendlich vieler Primzahlen, der in der antiken Arithmetik ganz isoliert dasteht. Auch er ist also wohl ein Nachtrag; mit dem Vorhergehenden hängt er innerlich nicht zusammen. Auf unsere Folge IX, 21—34 aber folgen noch IX, 35—36, der Satz über die vollkommenen Zahlen (36) nebst vorangehendem Hilfssatz (35). Er gibt eine hinreichende Bedingung für die Existenz der téActot àptôwoi an und eine Konstruktionsvorschrift, die allerdings noch von dem Ersamkeit der Beweismittel fehlt. 535 Ein Beispiel aus den arithmetischen Büchern ist etwa VIII, 24, zu dessen Beweis VII, 18 (ein Satz über Bpoto Emimedo: aprdpot) VIII, 11 verwandt wird, (über die allein zahlen) genügen würde. wo doch der einfachere Satz in VIII, 24 eine Rolle spielenden QuadratWill man nun die ursprüngliche Form eines später in die systematische Gesamtdarstellung Euklids einbezogenen Satzgefüges wiederherstellen, so muß man vor allem alle zu hoch gegriffenen Hilfssätze durch die gerade hinreichenden einfacheren er- ' setzen, von denen man doch annehmen darf, daß sie früher als die später eingeführten allgemeineren Lemmata bekannt gewesen sind. Dieses Verfahren muß natürlich mit Vorsicht und unter Berücksichtigung des geschichtlich Möglichen und insbesondere der noch erhaltenen Spuren und Nachrichten (etwa der Scholien und späterer Autoren) angewandt werden. 3. Bevor wir auf den Zusammenhang von IX, 21—34 mit IX, 86 eingehen, ist noch das Satzgefüge IX, 21—34 selbst zu bereinigen. Wähfülltsein einer gewissen Primzahlbedingung abhängt. Auch dieser bis heute noch grundlegende Satz über die vollkommenen Zahlen ist ganz isoliert und steht mit der Zahlentheorie der vorangehenden Bücher VII, 1—IX, 19 in keinem inneren Zusammenhang. Umsomehr scheint Euklid versucht zu haben, ihn wenigstens in eine äußerliche Verbinder von Primzahlpotenzen (ap:dpoi óroso:obv and povádos ¿Emo Avádhoyov, dung zu bringen, dadurch, daß er in seinem Beweis reichlich Sätze aus den arithmetischen Büchern zitiert. Dagegen werden die unmittelbar vorangehenden Sätze IX, 21—34 zum Beweis von 36 überhaupt nicht herangezogen! wo 6 peta thy povada Primzahl ist) handelt. Da drängt sich nun die Frage auf, ob hier nicht eine Verdunkelung des ursprünglichen Gedankenaufbaus stattgefunden hat. Die Sätze IX, 21—34 haben kein Ziel und auch sehr wenig Interesse an sich selbst. IX, 36 seinerseits steht unverbunden am Ende: sollte da nicht ursprünglich der Satz von den vollkommenen Zahlen das Ziel und Ende der „Lehre vom Geraden und Ungeraden“ gebildet haben? Im folgenden soll nun eine Rekonstruktion des ursprünglichen Zu- IX, 21—34 hinaus. sammenhangs der Sätze IX, 21—36 versucht werden mit der ferneren rend es nämlich sonst ein in sich abgeschlossenes, ganz auf sich selbst gegründetes Ganze darstellt, wird diese Autarkie durchbrochen im Beweis von IX, 32, in dem Euklid auf den Satz IX, 13 Bezug nimmt, inacht denn auch von Der Beweis von IX, 13 den Eigenschaften der Primzahlen, die vorangehenden Zahlentheorie von Euklid abgeleitet werden, in der reichlich Gebrauch und geht erheblich über das elementare Niveau der Sätze : Es entsteht die Aufgabe, IX, 32 elementar innerhalb der Lehre vom Geraden und Ungeraden zu beweisen. Das ist nun iiberraschend leicht möglich und zwar dadurch, daß man einen der unmittelbar vorhergehenden Sätze IX, 30 oder 31 heranzieht. Der Satz IX, 32 lautet: „Die von der Zwei aus verdoppelten Zahlen sind sämtlich nur in zwei gerade Faktoren zerlegbar.“ IX, 31 besagt: „Wenn eine ungerade Zahl einer zweiten Zahl gegen- Absicht, ein Stück stilistisch sehr alter griechischer Mathematik wieder über (relativ) prim ist, ist sie auch prim gegen das Doppelte jener Zahl.“ Nun sei in der Reibe «, b, c, d,... jede Zahl das Doppelte der ans Licht zu ziehen. unmittelbar vorangehenden und a sei gleich 2. aussetzungen des Satzes IX, 32 erfüllt.) 2. Über die Methode einer solchen Wiederherstellung ist kurz folgendes zu sagen: An mancherlei Stellen der Elemente läßt sich beobachten, daß zu den Beweisen viel allgemeinere und weittragendere Sätze benutzt werden als notwendig ist; Sinn für Spar- (Dann sind die Vor- Alle ungeraden Zahlen, die zu « = 2 prim sind, sind also auch zu è, c, d, ... (d.h. zu 4, 8, 16... 2”) prim. Demnach teilt keine b, e, d,... (4,8, 16... 2"); zerlegbar. (Will man ungerade Zahl irgend eine der Zahlen sie sind also lediglich in gerade Faktoren den vielleicht nicht ganz elementaren Begriff „relativ prim zu ..“ vermeiden, so kann man statt der überlieferten

Oskar Becker Lehre vom Geraden und Ungeraden im IX. Buch der Euklidischen Elemente Fassung von IX, 31 die folgende, etwas schwächere setzen: „Eine unxerade Zahl, die eine andere Zahl nicht teilt, teilt auch nicht deren Doppeltes.* Da nun die Zwei von keiner ungeraden Zahl geteilt wird, ist dies auch mit keiner der Zahlen 4, 8, 16... der Fall.) Mit wenig mehr Mühe läßt sich IX, 32 auch direkt aus IX, 30 herleiten: Würde 2* durch die ungerade Zahl y geteilt, dann nach IX, 30 auch 2°, 2%"?,., 8, 4, 2, was unmöglich ist. Ein sehr altes Dokument dafür ist das folgende Dialogfragment aus Epicharm (fragm. 2 Diels): A. (al) mit’ Apıiaöv ts meptaséy, al dì Ago mot Apttoy wotiewery Ay pagos 7 nal tay brapyovsaw ha- Baty 7 donst xd tor 4 (897) wirds cipev: Der Zusammenhang von IX, 30, 31, 32 ist nach der dargestellten Beweisumformung ein so bruchloser und zwingender, daß sich wohl niemand dem Findruck entziehen kann, daß hier die ursprüngliche Verkettung zutage getreten ist. 24: D6, 0 31: 29, 30, D 18 25: D7, D7, 24 26: D7, D7, 24 27: D4, D7, 24 32: D8, 31, D 13 (oder D8, 30, D7) 33: D8, D9, 0 34: D8, DY 4, Wir miissen uns nun dem Inhalt und weisbarkeit!) Was die Methode der Ableitung dieser Sätze angeht, so spricht Alles dafür, daß sie mittels Rechensteinen (igor oder rssont), die auch als Spielsteine verwendet wurden, erfolgt ist. oder auch von den vorhandenen einen wegnehmen will, meinst du wohl, sie bliebe noch die- Ebputog Èrarte, tic Aprdpós rivoc ..., Morep of tobe aptbpohe Ayovres der Methode der Ableitung der Sätze IX, 21—34 zuwenden. Man kann den Inhalt des fraglichen Satzgefüges kennzeichnen als den Anfang einer Theorie der Kongruenzen modulo2 (z. T. auch mod4 und mod 8): 21—27 geben die Resultate der Addition und Subtraktion, 28—29 der Multiplikation gerader bzw. ungerader Zahlen in allen möglichen Fällen an; 30—31 stellen zwei methodisch wichtige Hilfssätze dar über die ungerade Zahl als Teiler: sie ist auch Teiler der (eventuellen) Hälfte und ist auch prim zum Doppelten; 32—34 endlich zeigen, daß die eigentümliche Einteilung der geraden Zahlen in lediglich gerademalgerade, lediglich ungerademalgerade und in gemischte nicht leer ist, d, h, daß jede der genannten Klassen wirklich Zahlen enthält, nämlich die Potenzen von zwei, die Zahlen mit ungerader Hälfte und die sonstigen geraden Zahlen. (Die Umkehrung dieser Sätze fehlt trotz ihrer überaus leichten Be- Wenn einer zu einer ungeraden Zahl, meinetwegen auch einer geraden. einen Stein zulegen selbe ?“ 28: D16, 21 29; Die, 28 30: D 16, 23, D6, D7 | A. , B. oùx êuiv ya xa. B. ,Bewahre!* Das soll offenbar nicht nur heißen, daß aus der vorliegenden Zahl x eine andere n+ 1 bzw. #—1 wird, sondern daß dabei aus der ungeraden Zahl x = 2m +1 eine geraden +1 = 2m +2 bzw. n—1 = 2m entsteht und umgekehrt aus der geraden 2m die ungerade 2m £ 1. Denn sonst hätte die Erwähnung der Geradheit und Ungeradheit gar keinen Sinn. Hier ist nun eine unmittelbare Beziehung zwischen der operativ wichtigen zweiten Definition des Ungeraden (VII, def. 7, zweiter Teil: [ApıdpAs zeptsods] .... Y 6 povdût Gapépwv aption Apdo) und dem Rechnen mit got festzustellen. Aber auch die bei späteren Schriftstellern (Nikomachos etc.) überlieferte Lehre von den „figurierten“ Zahlen und die altüberlieferte „pythagoreische* Verwendung der ,Gnomone* zur Bestimmung der Differenz aufeinanderfolgender Quadratzahlen u. a. m.?) zeigt dasselbe. Ein ausdrücklicher Hinweis darauf findet sich bei Aristoteles: Metaph. N 5 (1092b 10—14): os Die Geschlossenheit des nunmehr erreichten Satzgetiiges IX, 21—34 zeigt sich in der folgenden Aufstellung über die zum Beweise jeweils benutzten Sätze des IX. Buchs (einfache Nummer) und Definitionen des VII. Buchs (D mit Nummer); O bedeutet die Benutzung der Kommutativität und Assoziativität der Operation der Addition, wie sie bei Euklid V, 1 und VII,5 zu „beweisen“ versucht wird. 21: D5, D6, not. com. 2, O 22: D7, 21 23: D7, D7, 21 537 ele tk oy%jpata cpiyovov nal terpáyovoy, obtoç apouotdy taîs bh pore tag moppäs ray porav. (Vgl. auch [Alex.] zur Stelle!) Man kann sich von diesem Operieren mit 4ipor noch gut ein Bild machen: Jeder q%pos bedeutet eine povac. So wird auch die bei Aristoteles, da wo er von den Pythagoreern spricht, häufige Wendung otiyu ¿ori povàg Baty Eyovoa, povàc stuqui äderos*) verständlich. Der beliebig bewegliche Rechenstein ist die in ihrer Stellung unbestimmte „Eins“ (Monade). Wird er in einer Konfiguration fixiert, so stellt er einen „Punkt“ (ot) dar. n RES Tcniee Fes Daß die Monas &8etoc ist, das ist nichts anderes als ein Ausdruck für das assoziative und kommutative Gesetz der Addition, d.h. der Beliebigkeit der Anordnung der Einheiten in einer ,Anzahl* (Aputtös), die ja ein rArdos povidov (VII, def. 2), d. h. eben eine Gruppe von in ihrer Stellung nicht festliegenden Rechenstemen ist. Das Operieren selbst heißt «prnpilew oder pypopopia *). 2) Eine gute Zusammenfassung gibt Sir Thomas Heath, a manual of Greck Mathematics (Oxford 1931), Ch. III: Pythagoreen Arithmetic. 3) Vgl. beispielsweise Metaph. À 6; p. 1016b, 25—26, 29—31. 4) Vgl. den ‘Titel der allerdings späten Schrift des Maximus Planudes &rye-

Die Bestätigung des Gesagten ist die Möglichkeit, die einfachsten und für die anderen grundlegenden Sätze über das Gerade und Ungerade mittels Yrpopspia abzuleiten, Beispielsweise lautet Satz 21: „Es seien gegeben die geraden Zahlen a, b, e, d; ich sage, auch ihre Summe e = a +6-+-¢+ d ist gerade.“ Beweis: „Da jede der Zahlen a, è, c, d gerade ist, hat sie eine (ganzzahlige) Hälfte, letzten Satzes von X unter Benutzung lediglich dieser primitiven Beweismethode durchgeführt werden. Dabei werden die Sätze IX, 21—34 mit ausgenutzt, die ja auch durch «rgogopix bewiesen gedacht werden müssen. sodaß auch die Summe eine Hälfte hat, also gerade ist." 0020000... ceceas ll) vos. (2) 0966000868 310I90*e#66G® 0.0 5. Dies sieht, mit Lior ausgelegt, so aus: es sel @ = 4, b= fh, ¢ = 10, d=2;e=4+6+10+2= 2, Da die ¿prior dprdpot àlya Ftarposfl oo0ovvouoccesseessse.ss pevot sind, werden sie zur Hälfte mit weißen, zur anderen Hälfte mit schwarzen Steinen gelegt (Stellung I). Im ersten Operationsschritt werden sie zusammengeschoben (Assoziativitàt: Stell. 2). Im zweiten Schritt werden sie umgeordnet (Kommutativitit; Stell. 3). Ähnlich läßt sich 24 darstellen. Während bis jetzt die Steine jeweils in einer Dimension, längs einer geraden Linie, angeordnet wurden, ist im folgenden eine zweidimensionale, flächige Anordnung zugrunde gelegt worden. Kin Beweis für die zweidimensionale Anordnung von viver ist verschiedentlich überliefert, so in den gonannten Fällen der figurierten (Dreiecks-, Quadrat-, Pyramiden-) Zahlen, der „Gnomone« u. dgl.*), besonders auch im Terminus und Begriff der fipocor erlredor xat grenenl dpidpol in den Elementen VII, 17—20, 22, Es handelt sich dabei um Zahlen, dic durch ähnliche Rechtecke bzw. Rechiflache bei der Auslegung mit Steinen darzustellen sind. (Vgl. VII, def. 22: „Spore Eniredor a orepeol dptduoi claw ci dvakoyov Eyovres tac mhevods* mit VI, def. 1: “po syhpata eblôypauua éotty, dor tas te yuvías ts2¢ Eye xavi pla», xal tag megh vis loas puma; mhevpac dvdhoyov® 9). Wir haben uns also rechteckige Schemata von Yigor vorzustellen, wenn wir uns die Begrifle äprısxıs dpteoc, dpridate repesaée mit und ohne uóvov anschaulich machen wollen. Die Zerlegung einer Zahl in zwei Faktoren kann immer dargestellt werden als ein Rechteck aus soviel Steinen wie die Zahl angibt und mit Seiten, deren jede mit der Zahl ihrer bio einen Faktor darstellt. Beispielsweise heißt es im Beweis von IX, 30: a mißt è gemäß einer geraden Zahl c, also wird @ auch die Hälfte von b messen. o © 0 0 0 a e e € è b: 2 0 9 0 0 e © © e © a—3 oo 0 9 0 e + es s + c= 10 Zahl in der wagerechten Seite. Zahl der Steine des Rechtecks. welche keine suchen; zuvor soll nun der Beweis von IX, 36 und dann noch der des „das Rechenbuch 1865, p. 15 (nach Hankel, Zur Gesch. d. Math. in Altertum des Max. Plan. Halle und Mittelalter (Leipzig 1874), S. 188, Anm. 3) Vgl. Aristoteles, Phys. Ill, 4; p. 203a 1 ff, — Plutarch (?) in Stob, eclog, I pr. 10 p. 22, 16W (= Diels, Vorsokr. Pythag. Schule B 28). Verdoppelt bis die Summe der erzeugten Zahlen eine Primzahl ergibt, und multipliziert man die gebildete Summe mit der letzten Zahl — oder verdoppelt man weiter von jener Primzahl beginnend so oft als zuvor von der Eins aus —, so ergibt sich eine vollkommene Zahl (d.h. eine solche, die gleich der Summe ihrer echten Teiler inbegriffen 1 ist)*. Die Aufgabe, die dem Beweis dieses Satzes obliegt, ist eine doppelte: 1) Sämtliche Teiler der nach der gegebenen Vorschrift gebildeten Zahl zu ermitteln. 2) zu zeigen, daß ihre Summe gleich der Zahl selbst ist. (Wir benutzen zum Beweis zunächst die zweite gegebene Formulierung des Satzes; die Äquivalenz beider Formulierungen wird sich nebenher aus dem zweiten Teil unseres Beweises ergeben.) I. Teil des Beweises. Die zunächst verdoppelten Zahlen seien 1, 2, 4,8, 16,..., 2", ihre Summe 1+2+4+8+16+---+2"= p, einer Primzahl: die von p ab verdoppelten Zahlen sind also p, 2p, 4p, 8», 16p,...,2"p. Dann ist 2*p die gebildete vollkommene Zahl, und zwar hat sie zu Teilern genau die beiden angeführten Reihen von Zahlen, unter Weglassung der Zahl 2"p selbst, die ja kein echter Teiler ihrer selbst sein kann. Daß sämtliche genannten Zahlen wirklich Teiler von 2"p sind, ist offenbar; denn sie treten ja sämtlich im Verlauf des zweiten Verdoppelungsprozesses selbst auf oder sind evidente Faktoren der erscheinenden Zu beweisen ist aber, daß 2"p keine weiteren Teiler außer den genannten besitzt. Proportionen benutzt, werden wir am Schluß dieser Arbeit vergopla zat’ *lvóoóg (her. v. Gerhardt u. d, T. man von | beginnend so lange, Zahlen (2p = 2.p). Zahl in der senkrechten Seite, Die grundsätzliche Würdigung dieser Methode, Der Satz IX, 36 tiber die vollkommenen Zahlen lautet: , Jeder Teiler ist nun entweder eine ungerade oder eine gerade Zahl und im zweiten Fall hat er entweder eine ungerade Hälfte (er ist dann aptıäxıg meptacds pdvov IX, 33) oder ist eine Zweierpotenz (alsdann apd äprios póvov IX, 32) oder endlich keins von beiden findet statt (der Fall von IX, 34). Diese vier möglichen Fälle werden wir nacheinander behandeln. 1. Fall: Ungerader Teiler: Ein ungerader Teiler « teilt nach Dazu Heath, the thirteen IX, 30 mit der geraden Zahl 2"p zugleich auch ihre Hiilfte 2""p, aus books of Euclids Elements Vol. I, p. 359 f, — Eine Andeutung findet sich schon bei Phidemselben Grunde deren Hälfte 2”* und so fort, bis schließlich die Anfangszahl der Reihe, p selbst, erreicht ist, u teilt also p; da aber lolaos fr. B 11 (Diels-Cranz, Vorsokr.5 I, 411, 14—412, 3), wo man allerdings S, 412, 1 abweichend von Diels-Cranz ,xatá yyapaovas qua Amepyáferar cwuérw lesen mul, *) Hier ist aber zu bemerken, daß der Begriff der „geometrischen“ Proportion der alten „pythagoreischen“ Yipo-Arithmetik noch fremd ist. p nach Voraussetzung prim ist, kann # nur entweder 1 oder p sein.

2. Fall: Gerader Teiler. der eine ungerade Hilfte hat: Nach einer Bemerkung im Beweise von IX, 33°) teilt die Hiilfte jedes geraden Teilers auch die Hälfte des Dividenden. Der gerade Teiler 2u mit der ungeraden Hälfte « messe 2"p; dann mißt also (IX, 30, vgl. Fall 1!) « auch 2%*p, 2**p, ..., 4p. 2p, p. Demnach ist « entweder 1 oder p; 2x also 2 oder 2p. 3. Fall: Gerader Teiler, der weder eine ungerade Hälfte hat noch eine Zweierpotenz ist. Man halbiere den Teiler, seine Hiilfte, dessen Hälfte (falls sie existiert) und so fort, bis man zu der ungeraden Zahl « kommt. Eine solche existiert (> 1), denn andernfalls nicht wie bei Euklid IX, 35 mittels Proportionen, zu bewältigen. Dazu genügt es nun, zunächst von einem hingelegten Stein ausgehend, ihn zuerst selbst und dann immer die jeweils daliegende Menge der Steine zu verdoppeln, ganz wie beim ,Dublieren* des Einsatzes beim Glückspiel. Wie untenstehende Figur ergibt, ist bei einem solchen Verfahren die jeweils letzte Zahl der entstehenden Reihe gleich der Summe der vorhergehenden Zahlen; d.h. (1) 1+1+2+2+2+24+...42" = 2 oder zB l+p = 2"; p= 21]; 1+1+2+4+8+16 = 32; 1+2+4+8+16 = 31 wäre der Teiler eine Zweierpotenz (vgl. den Beweis von IX, 34), gegen die Voraussetzung. Ist i die Anzahl der Halbierungen, die nötig waren, um * zu erreichen, so ist der Teiler selbst 2°u. Nach dem Vorher- (vgl. Fig. 1). gehenden kann aber # nur 1 oder p sein; also ist der Teiler 2° oder ginnt, beim fortgesetzten ,Dublieren“: 2'p, wo im zweiten Fall ¿ notwendig kleiner als » sein muß, denn (2) sonst wäre 2'p kein echter Teiler von 2"p. (Über 2 als Teiler siehe den 4. Fall.) 4. Fall: der Teiler Gerader Teiler, der eine Potenz von 2 ist. eine von der Zwei aus verdoppelte Zahl, Ist Ebenso ergibt sich, wenn man‘ mit p (etwa 31) als „Einsatz“ be- 2 pp Pp+P +27 +2 pp 2 tp = 2"p. Da nun p = 14+24+2*4+2%p...4 2", so ist 2*p in der Tat gleich der Summe ihrer sämtlichen Teiler: so kann er nur 2, 4,8,..., 2", 2", aber nicht 2"* oder eine höhere Potenz sein. Denn wäre 2"* ein Teiler von 2"p, so wäre auch, da jede gerade Zahl halbiert die Hälfte des 541 z.B. 496 Dividenden mißt, 2" ein Teiler von 2""p, 2-1 1+2+4+16+31+62+124+248 (Fig. 2) 16-31. Teiler von 2"*p,... schließlich 2 Teiler von p, was unmöglich ist. Damit ist die Aufzählung aller Möglichkeiten beendet: es haben sich keine Teiler außer den anfangs genannten ergeben $). II. Teil des Beweises. Es ist nun noch zu zeigen, daß die Summe der Teiler gleich 2“p ist. Die genannte Summe ist: (1+244+---+42°'+2")+(p+2p+4p+---+2°p) wo wiederum: p=1+244+-..+2%!+2". Setzt man, wie Euklid, beispielsweise » = 4, (1)+1+2+4+8+16 = Fig. 1, prim und 2"p eine vollkommene Zahl: 1+4+8+16 = 31 142+4+8+16431+62+124+ 248 = 4% so wird in der Tat p 16-81. Vig. 2. Damit ist auch der II. Teil der Beweise durch yngogopiz vollständig (Primzahl) 1+4+8+16 + 81+ 62 + 124 4 248 = 496 (vollkommene Zahl). durchgeführt. Diese Rechenaufgaben, die auf die Summierung einer geometrischen Kennzeichnend für diesen ganzen Beweis ist eine gewissermaßen Reihe mit dem Quotienten 2 hinauslaufen, sind mittels der Yio, nicht ndyadische“ Arithmetik; die spezifischen Eigenschaften der Zahl 2 sind entscheidend. Es gilt nämlich nur für die Zwei: 7) el yap Estar 4 A val domeduts dprucs, perprndígera Um’ dprlov xara Zottav dprilp.dv* 22-22-2241 -2. 2-29. date zal à pesos 25700 petpnÜoetar bx’ dprivo prod, 8) Vgl. mit diesem Beweise den Euklids (2. Teil) und die von Platon, 737 E—738 À angedeutete Methode für die Aufzählung sämtlicher Teiler einer beliebigen vorgegebenen Zahl, worüber 8. u. S. 553. MED DD = 2 Gesetze % Damit sicher gestellt. ist zugleich die Aquivalenz der beiden Formulierungen des Satzes 36

Kine Ubertragung des Summierungsverfahrens aut allgemeinere geometrische Reihen ist unmöglich: allgemein gilt bekanntlich die Formel: portionslehre und einer entwickelteren Arithmetik beruht, Die Umkehrung des euklidischen Satzes ist von Iamblichos ausgesprochen gl” Das ist wieder ein sehr charakteristisches Beispiel eines ,zu hoch gegriffenen Hilfssatzes“! Man kann sich endlich noch die Frage stellen, wie man den Satz Da wird man nun wohl von der Beobachtung ausgegangen sein, daß die aprdpol axd povádos dixdacals- &vög Géovroç °). „fast vollkommene Zahlen" sind, téAstor &prdpot In der Tat bleiben ja die Zweierpotenzen hinsichtlich der Summe ihrer Teiler nur um eine Einheit hinter dem eigenen Betrag zurück; z. B, ()+1+2+4+8+16 = 32, Analog bleiben die Zahlen der Form 2"p, wo p prim sein muß(!), entsprechend um p zurück; z. B.: (P)+p+2p+4p+8p = %p. Hier fehlt zur „Vollkommenheit“ von Euler bewiesen worden: eine gerade vollgerade Zahlen notwendig und hinreichend die also für zur Vollkommenheit ist. Nun läßt sich der Eulersche Beweis leicht in eine unserer Rekonstruktion ganz entsprechende Form bringen, sodaß es durchaus glaubhaft erscheint, daß die Alten auch diesen Beweis bereits in archaischer Zeit (g_1):1 = (a"-1):(1+9+@+---+9"). p.evor gewissermaßen und kommene Zahl genügt stets der euklidischen Bedingung, Nur für q = 2 fällt der Nenner g—1 weg. In seinem Lemma IX, 35 gibt Euklid in der Tat diese allgemeine Formel in der Form ciner Proportion: X, 36 überhaupt hat finden können. in deren Mittelpunkt die eindeutige Zerlegang in Primfaktoren steht (VII, 30). g"*' —_ 1 l+atd4td = 543 besessen haben. Die Betrachtung ist kurz folgende. Eine gerade Zahl ist entweder eine Zweierpotenz oder von der Form 2"v!%), worunter hier der Kürze halber auch der Fall 2» subsumiert werden soll, obwohl ihn die Alten gesondert zu betrachten pflegten. Daß 2” nicht vollkommen sein kann ergibt sich sofort aus Gleichung (1). (3) Im Falle 2"v gilt aber die zu (2) analoge Beziehung: 0404204 Put... +2942" vo = Qo, Links ist hier der Teiler v doppelt aufgeführt, andrerseits fehlen noch eine Anzahl Teiler wie sich aus folgender, dem Beweisgang des euklidischen Satzes ganz entsprechenden Überlegung ergibt. Die ungeraden Teiler von 2"v teilen notwendig auch 2 selbst, sind also 1, v,, v,, v,----,, wo die v, sämtliche von 1 verschiedene echten Teiler von v bedeuten sollen. Die geraden Teiler mit ungerader Hälfte sind dementsprechend 2, 2v,, 2»,, 2v,...2v,; die Teiler von einerseits einmal p als Summand, der Form 2'u, wo w ungerade, aber sind 2, v,,2v,,..„2v,, wo è andrerseits sind die (bis auf die 1 neu entstandenen) Teiler 1, 2, 4, von 1 bis » läuft, und endlich die schon oben angeführten v, 2», 2v, 8,16 zu usa viel da. Diese Mängel gleichen sich aus, wenn die Summe der „überflüssigen“ Teiler gerade den „fehlenden“ Summanden p ersetzt. D.h. wenn von v sind, genau v beträgt; es gilt also: p=1+2+4+8+16 ist; wobei dann allerdings » eine Primzahl sein muß, was im Beispiel „glücklicherweise“ zutrifft. A Aus der Gleichung (8) folgt nun, daß 2"v dann und nur dann vollkommen ist, wenn die Summe derjenigen Teiler, die nicht Mutipla So ergibt sich die Konstruktion der vollv=1 42 +2 +2 +42" 4% +, +20, + 20, +20, +... +2" ty +2", = 254.1 + (2"* — )o, kommenen Zablen „ganz logisch“; nur die Primzahlbedingung läßt sich +0,+20,4+280,4280,4+---+2 0,420, + (2% — 1)», nicht erzwingen. + vy +20, + 20, +20, +... + 2 0,+20, + (2"*' — 1)», +, + 2v, + 2? v, + 2'v, +--+ + 2" + (2* — Du Auch hier stützt sich der ganze Gedankengang durchaus auf die „Dyadik“, 10) Vgl. während der Euklidische Beweis auf der Proa) die Einteilung in „vollkommene“, (deren Teilersumme die Zahl selbst darstellt, Arithmetikern Nikomachos (Kap. 14—16), „übermäßige“ und „mangelhafte“ sie übertrifft bzw. unterschreitet) bei den Theon von Smyrna (p. 45, 9 ff. Hiller) und Domninos (§ 34), b) Proklos, Euklid-Kommentar p. 61, 13—17: ebprivres dy Jewperpla veTpdywvev tetpaybvou rrAdotov, Ev dprilpuoîz BE ob Eyoutes ¿vós déovtTés papa: Ao dio, Benddgenv Saipyeri, onep ToS and the zevráños 4 ad The Encades Girhaotoc Evôs Séovtos. (2.5? —1 = 7?; ein Beispiel der Pelischen Gleichung.) + 2" v, Ss Oder: v= (2-1) (140,40,+0,4 Der zweite Faktor rechts ist nun tn). einerseits einer der echten Faktoren von v, andererseits aber die Summe aller echten Faktoren von v. Das ist nur dann nicht widerspruchsvoll, wenn der zweite Faktor der 102) Wo v keinen geraden Teiler hat.

Oskar Becker einzige echte Faktor von v und demgemäß 1 ist. Denn wäre jener zweite Faktor nicht 1, so würde er eines der +, sein und man hätte Dann wird für alle i die Gleichung bestehen: die Gleichung (solange sich die Halbierungen durchführen lassen.) v = nach Voraussetzung natürliche Zahlen > | sein sollen. D. h. die Unterfaktoren von +, die v,, existieren gar nicht, » ist Primzahl und gleich Damit kommen wir aber gerade auf die euklidische Bedingung zurück. Der Beweis benutzt nicht den Satz von der eindeutigen Zerlegharkeit in Primfaktoren und auch sonst nichts, was nicht in den Sätzen IX, 21—34 enthalten wäre. Nun gibt es nach 1. Man stößt bei der fortgesetzten Halbierung entweder auf eine ungerade Zahl d, = «>1 oder zuerst auf eine solche ,—=»v>1. Dann wird im 1. Fall D. = «.u ungerade (als aprdpdc reprosknio meptocós IX, 29). Es steht dann in der Gleichung D, = 28; links eine ungerade, rechts eine gerade Zahl, was unmöglich ist. (Ebenso, wenn man zugleich auf d, = « und s, =v stößt.) Im 2. Fall steht aber rechts 2v.v, d.h. ein Apribuós tov furany meprocdv Eyov (da jn v.v reprocán:s zeptasds), Auch das ist unmöglich; denn links steht ein Quadrat und dieses ist offenbar (vgl. die dñpot- Konfiguration!) stets entweder als aprdpds apriva Apriog oder reprosäxıg meprocós darstellbar, während die 6. Es bleibt noch übrig, d.d = 28.5; IX, 32-34 nur zwei Möglichkeiten: L+v,+---+4,+---+2, und das Ganze wäre nicht größer als der Teil, da ja alle », 2"*— 1. D, = 28: 545 zu fragen, oh nicht noch andere wichtige Sätze mit den Mitteln der „dyadischen Arithmetik“ hergeleitet werden Zahl rechts nach IX, 33 aptidue moprocós n óvov ist. 2. Man stößt entweder zuerst auf d, = 2 oder zuerst auf s; = 2; können und wahrscheinlich in alter Zeit auch hergeleitet worden sind. d.h. auf d.,, = 1 bzw. auf s,, = 1. Es bietet sich da vor allem dar der schon öfter erwähnte Schlußsatz möglichkeiten, denn es kann weder 1.1 = 28 noch D,,, = d,,.d,,, = 2.1 jemals sein (oder auch: 2.2 = 25,s, also 2 = s;.s; aber 2 ist des X. Buchs der Elemente, von der Inkommensurabilität der Seite des Quadrats mit seiner Diagonale. Dieser läßt sich wie folgt „dyadisch“, mittels $ypopopiz, beweisen !!). kein Quadrat; oder: d;.d, = 2s;.s = 2.2.2 = 8: d.h. links ein Quadrat und rechts keines!) Wäre die Seite mit der Diagonale meßbar, so gäbe es ein ganzzahliges (durch dies: darzustellendes) Quadrat D, welches das Doppelte eines anderen ganzzahligen Quadrats S wäre. D=d.d, Das führt natürlich auch auf Un- S =s.s und D = 28; Es sei nun: Y. Damit haben wir ein Stück ältester griechischer Arithmetik wiederhergestellt und zwar ein solches von wirklichem mathematischen also d.d = 25.5. Wert; denn weder der Satz über die vollkommenen Zahlen noch der von der Man halbiere nun fortgesetzt die mAevpai d und s und es sei: „Unmeßbarkeit“ mathematisch trivial. der Quadratdiagonale mit ihrer Seite ist Die aus Platon wohlbekannte ,Lehre vom Geraden und Ungeraden“ hat damit über ihren etwas nebelhaften „philosophischen“ einen genau faßbaren mathematischen Sinn gewonnen und ihre allein erhaltenen Trümmer haben sich zu einem sinnvollen Ganzen, das nicht ohne Anmut ist, zusammenfügen und ergänzen lassen. D dd = ped yd = 1 D: = sa, = us 48 Das enthebt uns aber nicht der Aufgabe, die kennzeichnenden Züge des gewonnenen Ganzen in ihrer historischen Bedeutung zu würdigen und damit zugleich das erzielte Ergebnis sicher zu stellen. Das soll in 11) Außer der im Text gegebenen Form sind noch andere, aber nicht wesentlich veraller Kürze geschehen, u. a. auch mit Rücksicht darauf, daß vor Kurzem schiedene Varianten des Beweises denkbar; auf alle läßt sich aber die aristotelische eine groß angelegte Arbeit von Jacob Klein „Die griechische Logistik und die Entstehung der Algebra“ erschienen ist"), die ein- Charakteristik (Anal. priora I, 23; p. 41 a 26. 1, 44; p. 50a 37) anwenden, nach der der alte Beweis für die Inkommensurabilität der Quadratdiagonale zeigt, „die ungeraden Zahlen den geraden gleich würden“, daß andernfalls Der von Euklid (am Schluß des schlägiges Material in großem Umfang ausbreitet. X. Buchs) gegebene Beweis benutzt zwar (in einer seiner Formen) einen Satz der „dyu- Die von uns wiederhergestellte Lehre hat drei kennzeichnende Züge: dischen Arithmetik* (IX, 23; nebenbei die einzige Stelle der Elemente, wo ein solcher 1. die Aufspaltung der Beweise in eine Reihe von Fallunterschei- Satz Verwendung findet), aber auch den Begriff der kleinsten Terme eines gegebenen Verhältnisses (2.dyistoe tiv tiv abzuv Adyov éy4vtey}, was über den Bereich der dyadischen Arithmetik hinausführt. 12) 5, diese Zeitschr. B. 3, S. 18ff. (I. Teil d. Abhandl.) — Eine kritische Würdigung kann hier nicht versucht werden.

547 yon Theorie der ,figurierten* Zahlen, sondern auch zur Addition der Reihe Rechensteinen und das Operieren mit diesen; 3. die entscheidende der geraden und ungeraden Zahlen (deren Summen sich als die Qua- Verwendung der beiden ,dyadischen* Grundprozesse der fortgesetzten Verdoppelung und der fortgesetzten Halbiedrate n* und ,Heteromeken* n(n-+1) ergeben), rung als Hauptinstrumente der Gedankenführung der Beweise. reihige Gnomone, dungen; 2. die Zugrundelegung Alle drei von Konfigurationen Eigenheiten zeugen zunächst für das hohe Alter, die „archaische“ Haltung der Theorie; dann bieten sie eine Reihe wichtiger Die Fallunterscheidung als archaisches Kennzeichen ist seit langem mentar zu bekannt). + +4 zum Beweise der eleganten Beziehung 1° + 2*+ 3° = (1+2+3+---+%), die in dem arabischen Werk „ul Fahri“ des Al Karki (um 1000) überliefert ist u. a. m.’®), Auch die Beziehung auf gewisse platonische Stellen darf nicht historischer Beziehungen dar. Zu 1.: zur Bestimmung der rationalen ,pythagoreischen* Dreiecke der beiden Typen durch doppel- Eutocius überliefert in seinem Komden Conica des Apollonius (ed. Halley p. 9) eine Notiz übergangen werden. In ,Gorgias* 450 CD werden unter den réyvat, at 0% yoo nav repaivovow erwähnt: 7; aprdyytxd xal Aoyıorıan nal yewperprxr xat xetteotixy, d.h. neben Arithmetik, Logistik und Geodes Geminus, nach der „die Alten für jede besondere Form des metrie die Kunst des Brettspiels mit Spielsteinen (rerrot); Dreiecks das Theorem der zwei Rechten speziell bewiesen, zuerst für besteht offenbar eine engere Korrelation zwischen der Logistik (bei des gleichseitige, dann für das gleichschenklige und zuletzt für das der die Verhältnisse (Aéyot) eine besondere Rolle spielen) und Geometrie, entsprechend ist eine solche zwischen Arithmetik und Brettspielkunst ungleichseitige* 14). Weiterhin kann an die Proportionslehre erinnert werden, die nach der bekannten Stelle der zweiten p. 74a, 17—21) in früherer Zeit aristotelischen Analytik (I, e. 5: gesonderte Zahlen, Beweise für zu erwarten — und in der Tat operieren ja beide mit „Steinchen“. Noch bedeutsamer ist die berühmte Stelle der „Gesetze* (819 D—820 D) über die Lehre vom Irrationalen, die „einen viel hübscheren Zeitver- Strecken, Körper, Zeiten etc. enthielt, während das validé „jetzt im treib für alte Leute darstellt als das Brettspiel“. Ganzen bewiesen wird“ (viv xadóloo dzixvotar) ©), ausdrücklich: Man könnte hier immerhin einwenden, daß es etwas anderes sei, wenn verschiedene Fälle eines bestimmten Theorems getrennt bewiesen als wenn zum Beweise eines Satzes verschiedene Hypothesen der Reihe nach aufgestellt und durchgeprüft würden. Aber auch für das zweite Verfahren lassen sich Beispiele aus archaischen Argamentationen beibringen. Erinnert sei an das bekannte Fragment des Gorgias xepi tod pi Övrog Y mepi pbozug (Diels, Vorsokr., Gorgias B 3). Die ganze Art der Beweisführung geht auf den Eleaten Zenon zurück (wenn auch der Sophist die Art des ernsthaften alten Dialektikers parodistisch übertreibt), wie man aus dem Reflex des zenonischen Philosophierens es in Platons Dialog „Parmenides“ (in der sog. yopvaaia) Kleinias sagt dort „Es scheint mir, daß das Brettspiel und diese Lehre (von den „meßbaren* und „unmeßbaren“ Größen !?) voneinander nicht viel verschieden sind“ (Éotxev % te nettsia xai tadta GAMjAwy tà patata où Zaprodkv xsywpiodar). Wenn diese Worte — und man muß dies bei Platon erwarten — einen präzisen Sinn haben, so können sie sich nur auf den mit Steinchen geführten, von uns wiederhergestellten Beweis der Inkommensurabilität von Seite und Diagonale des Quadrats beziehen; nur dieser ist so einfach, daß er den alten Herren und den Schulkindern zugemutet werden kann, wie das ja Platon verlangt. Die sehr schwierige Lehre des X Buchs der Elemente, die nach der 160 5. Heath a, a, O. (Anm. 2). 17) Ges. 8200: ci civ perpnrüv te xal dpérpwv npèç Ana, i tul póser yéyove. und auch noch einigermaßen aus Zenons wörtlich überlieferten Frag- Vgl. dazu ‘Toeplitz, d. Verhiltnia v. Mathematik u. Ideenlchre bei Plato; d. Ztschr. menten und den aristotelischen Berichten über ihn ersehen kann. B. 1, S. 13—15, abweichend von I, Sachs (n. a. O. Anm, 18). (Vgl. Diels, Vors., Zenon A 21ff., B 1ff.) „in welcher Entwicklung {7 twi póce) sich die Theorie der meßbaren etc. Größen auf- Zu 2.: Daß das Operieren mit gÿyot oder zzrrot eine ,altpythagoreische“ Methode ist, ist ebenfalls seit langem bekannt und hier nicht von neuem zu beweisen. Ein Sonderhinweis auf mathematisch besonders wertvolle derartige Entwicklungen sei aber gestattet: wir meinen die Verwendung der ,Gnomone“, nicht nur in der baut“, Toeplitz übersetzt dort: Jedoch ist m. E. ose einfach im bekannten Gegensatz zu dése zu verstehen, wie die folgenden Parallelstellen zeigen: a) Ges. 817 E: av dorpwv meptéôcu (pipa) mis Dinka de répuxe nopedecitar (E. Sachs, a. a. O. S. 177), Gra Evtwv GE Spolwy ¿Años picer dpr tpolwag .... b) Epinomis 990C: <av €) Scholia in Eucl. EI. lib. X (ed. Heiberg, Euel, Opera Vol. V) p. 414, 3—4: ob yap zabróv dobpperpa xal dhoya, ulti za piv poser doriv, ta dì Akoya xal Anta Déceu perpov poser dv ely abzots xxl dobpperpov, cò BE p. 416, 14—16 è tó iv odpprov xal ddoyov Décer, 19) Vel. Jlankel, a. a. O. (Anm, 4), S. 95 ff. 10; 418, 10—12. 14 Übersetzt von Hankel a. a. O. Gesch. d. Naturw. u. Med. H.IV. 15) Vgl. O. Becker, Eudoxos-Studien |; ds, Ztschr, B. 2, S. 329f. schr. B. 3, S. 12 („per naturam“ — .per positionem“). Vgl. den Pappus-Komm. zu Euklid X, übers. v. H, Suter (Abh. z. Erlangen 1922), 8, 17—18, 20; lat. Übers. ds. Zeit-

o Ansicht von Eva Sachs'®) gemeint ist, kommt (ganz abgesehen von chronologischen Griinden) nicht in Frage, wenn von Platon auch die allgemeine Perspektive auf das ganze Irrationalitätsproblem offen gehalten wird. Zu 3.: Die dyadische Eigenart der ältesten griechischen arithmetischen Theorie ist von besonderer Bedeutung. a) Was zunächst ihre Herkunft anlangt, so ist mit Sicherheit die ägyptische Rechenkunst als Ursprung zu vermuten, denn in dieser spielen, wie u, a. die Forschungen O. Neugebauers völlig klargestellt haben, die beiden Grundoperationen der sukzessiven Verdoppelung und Halbierung, des Auf- und Absteigens längs den Reihen 2, 4, 8,16... und "a, 1/4, Us, io... eine ausschlaggebende Rolle. Die „dyadische Arithmetik“ ist gewissermaßen die der ägyptischen Rechenpraxis entsprechende Theorie, ebenso wie die ,theaetetische“ Zahlentheorie der Primfaktoren der Rechentechnik des Einmaleins (Multiplikationstabellen, xeyad:opoi!) zuzuordnen ist. Auf die ägyptische C) als Vorbild hin; Rechenkunst weist Platon in den „Gesetzen“ (819 andererseits ist ihm aber auch die eindeutige Zerlegung in Primfaktoren bekanut, wie aus der Stelle 787 E—738 B der „Gesetze“ hervor- Lehre vom Geraden und Ungeraden im IX. Buch der Euklidischen Elemente 544 (Arten) der Zahl (also das X%prrow, meprttév, aptiduts Aptıcv usw.). die mit ihnen gebildeten Konfigurationen und die Verhältnisse aber als Ausgangspunkt der Geometrie und Musik. Weiterhin heißt es auch hier, daß die Logistik das „Wieviel in den Zahlen“ und den „Stoff“ in ihnen behandelt. Zahl nicht dem Eidos nach vervielfacht, „Denn es wird Zahl mit sondern nach den stofflichen Monaden und sie wird nach ihrem Wieviel geteilt, aber nicht nach nach dem sich die Zahlen dem Logos (der begrifflichen Bestimmung), voneinander unterscheiden.“ Ahnlich sagt Olympiodor, die Arithmetik beziehe sich auf das Kidos der Zahlen, die Logistik auf die Hyle; die Eid@ der. Zahlen scien das Gerade usw., die Hyle die „Menge“ (z\ñdoc) der Einheiten, und erläutert das an Zahlenbeispielen. Der Hauptpunkt der hier erscheinenden Unterscheidung ist die Gegenüberstellung der auf die Qualität (das Eidos) der Zahlen *!) bezogenen Arithmetik und der auf ihre Quantitätsbeziehungen (xa Eyet riñdovs) gehenden Logistik; aber als ein Nebengedanke taucht auch der (Gegensatz der „reinen“ ideenhaften Arithmetik und der empirisch-praktischen Logistik auf, wo für die erste die absolut gleichen, unteilbaren Einheiten, für die zweite konkrete Gegenstände (Apfel ete.) geht (s. u. S. 553). als „Einheiten“, die natürlich weder genan gleich noch unteilbar sind, b) Zweitens ist die Beziehung zu Platons mannigfacher Erwähnung des „Geraden und Ungeraden“ als des Themas der „Arithmetik“ und „Logistik“ von Wichtigkeit. Die klarste Stelle ist hier die im „Gorgias* 451 A—C samt einem anonymen Scholion, in zweiter Linie auch in Frage kommen. ein Scholion des Olympiodor, wozu auch noch Nikomachos und spätere Arithmetiker heranzuziehen wären. Da diese Dinge bei J. Klein ausführlich behandelt sind *®), beschränken wir uns auf das Notwendigste. Die „Arithmetik“ handelt nach Platon vom Geraden und Ungeraden, „was wohl ein jedes ist“; die „Logistik“ betrachtet im Unterschied dazu außerdem auch noch: „wie sich das Gerade und Ungerade zu sich selbst und zueinander der Menge nach verhält“. Dies heißt offenbar, die Logistik handelt von den Verhältnissen der Zahlen zu sich selbst (1:1, n:%) und zueinander (1:2, 2:3 u. dgl., allgemein m:n). Dies bestätigt auch das anonyme Scholion mit den Worten: „Die Arithmetik betrachtet nach ihrer eigenen Natur die Gestalten Bei Platon spielt dieser Nebengedanke aber keine wohl aber bei den späteren Arithmetikern?). entscheidende Rolle, Fragen wir nun nach dem mathematischen Hintergrund der platonischen Unterscheidung der beiden um das Gerade und Ungerade bemühten Wissenszweige, so ist offenbar mit der ,Arithmetik“ die alte dyadische proportionenfreie Theorie gemeint, die lediglich die Zahlenarten in ihrer Erzeugungsweise und ihren Eigenschaften behandelt und von der IX, 21—36 der euklidischen Elemente ein Stück darstellt; mit „Logistik“ aber die Proportionenlehre und ihre Anwendung auf die Zahl. Einen weiteren Beleg dieser These und zugleich ein anderes, echt platonisches philosophisch - mathematisches Stück einer proportionenfreien Lehre vom Geraden und Ungeraden ist die eigenartige Erzeugung der „sämtlichen® Zahlen im ,Parmenides* 143 E—144 A: dort wird zunächst aus dem seienden Einen, da Kins und Sein zweierlei sind, die Zwei, aus ihr durch Hinzufügung des Einen die Drei, 18) Die fünf Platonischen Körper (Philotog. Untersuch. her, von KieBling u. Wilamowitz, H. 24), Berlin 1917, S. 169 #f., insb. $. 177. 19) Aristoteles, Top. VIII, 14; p. 163b, 24—26 cò rept Tobe xepatispods npoyelpws Eyew péya Btapéper mpde th xal tov ¿Mov dpipiv yıyvnazeıv roarhasoïpevov, cf. Scholia (ed. Brandis, Ed, Acad. Boruss, Vol, IV, p. 296a, 4 (Alex. Aphrod.): xepahtsuabs Aye todo tiv mpritwy ddr Tüv péypr tis dexddos noAAamhactaspods. Gemeint ist offenhar das kleine Einmaleins| 20) a, a, O, 8. 23—35 (88 2-3). dann weiter vermöge des „Zweimal“ und „Dreimal“ jedes der Produkte 2.2, 3.3, 2.3, 3.2 erzeugt. Man erhält so Gerademalgerades, Ungerademalungerades, Gerademalungerades und Ungerademalgerades und damit #1) Vgl. Aristoteles, Met. A 14; p. 1020b, B—7: ot dpritpot tool zıves, oïov ot oiv- Petar xat pi pdvov Ep? Ev dvrec AI) thy plana 10 ininedov xal ti orepedy lodror 8” eisly ot mogdzu modo) Y rossa noodats 090), xat Chws 6 rapa to mosov Sndpyer év zy odola. 2% Vgl. die Darstellung J. Kleins a. a. O. (Anm, 20). Quellen u. Studien Math, Bd. Ill.

angeblich sämtliche Zahlen®). In Wahrheit ergeben sich aus den genannten multiplikativen Erzeugungspriuzipien auch durch unbegrenzt wiederholte Anwendung lediglich die Zahlen von der Form 2.3* Lehre vom Geraden und Ungeraden im IX. Buch der Euklidischen Elemente durch den „eudoxischen Schnitt“ (Euel. El. V, def. 5 u. 7). Diese Periodisierung hier im einzelnen Rahmen dieser Arbeit überschreiten; zu begriinden, läuternde Bemerkungen hinzugefügt werden. Musik Irrationalitätsbeweise von V3 bis Y17. Allgemeine Proportionenlchre, getrennt nach den Eidé der Gebilde (Strecken, Zahlen etc.) III. Theätetische Stufe: Anwendung der Antanairesis in der Zahlentheorie: „Euklidisches Teilverfahren*, Beweis der Eindeutigkeit der Zerlegung im Primfaktoren (Euklid El. VII, 30). IV. Endoxische Stufe: Allgemeine und für alle Eid& einheitliche „abstrakte“ Proportionslehre. Definition der Verhältnisgleichheit 23) Parm. 144 A: el ody tabta odtus Eyet, oîer tiva dprituòv brodelnesden, Ëv aba Avayın eva; — Midapo ye. Zu I.: Die Herkunft der Proportionenlehre aus der Geometrie und entspricht einer altpythagoreischen Überlieferung, späten Niederschlag noch die einen in der Disposition der arithmetischen Lehrbücher des Nikomachos und des Theon von Smyrna (vgl. J. Klein a. a. O, $ 4) findet. Ferner ist hinzuweisen auf die Terminologie der Proportionenlehre: nämlich die Ausdrücke „geometrische Proportion‘, „geometrisches Mittel“ usw.; Gtäormua-intervallum (im musikalischen Sinn!) für das spätere Aöyos-Verhältnis; beides schon bei Archytas, fragm. 2; ferner auf die oóvdzaw und die drzipests Adyov. (s. Eucl. El. Y, def. 15—16, vgl. Plato, Tim. 35B: #pyero Statpeiv ode. — Vgl. den Hinweis von E. Frank, „Platon und die sog. Pythagoreer* S. 158, Anm. 1, * wiirde den indessen sollen einige kurze er- Gerademalungerades nicht wesentlich verschieden sind). Es kommt also hier Plato auf die Erzeugung sämtlicher Zahlqualitäten, nicht Zum Schluß unserer Ausführungen soll versucht werden, die Stufen der historischen Entwicklung anzugeben, die sich nunmehr in den Wandlungen der griechischen Arithmetik und Proportionenlehre im Verlauf des 5. und der ersten Hälfte des 4. Jahrhunderts verfolgen lassen. Es sind vier Stufen zu unterscheiden, die nach den Namen der führenden Mathematiker bezeichnet werden sollen: I. Altpythagoreische Stufe: ,Dyadische“ Arithmetik ohne Proportionen (Lehre vom Geraden und Ungeraden als Grundlage; noch keine eindeutige Primfaktorenzerlegung). Davon getrennt, von musikalischen und geometrischen Fragen herkommend, eine Theorie der rationalen Proportionen. („Dyadischer“ Beweis der Inkommensurabilität der Quadratdiagonale.) I. Theodorische Stufe: Allgemeine Definition der Inkommensurabilität durch Antanairesis von Maßstrecken (Eucl. El. X, 2, 3). Formulierung des divisiven Axioms des Messens (Kuel. EL X, 1). Multiplikatives Axiom des Messens (sog. archimedisches Axiom, El. V, def. 4.) (i, k = 0,1, 2, 3,...); also nicht alle Zahlen, wohl aber alle Zahlentypen der dyadischen Arithmetik (da ja Ungerademalgerades und sämtlicher Zahlquantitäten an. c) Drittens ist hinzuweisen auf die enge Beziehung der altarithmetischen Dyadik und der aéprsto¢ dvág der platonischen Lehre von den Ideenzahlen. Die unbegrenzten Reihen 2, 4, 8, 16 ...; "Ja, Ys, Us, 1/16, ..., die unbegrenzt oft wiederholte Verdoppelung und Halbierung, diese (Grundzüge der Operationen der proportionenfreien Zahlentheorie finden sich auch in der platonischen Doktrin wieder. Es sei nur auf Stenzels Ausführungen und Belege in „Zahl und Gestalt bei Platon und Aristoteles“?, S. 50 ff. und 64 ff. verwiesen. 551 wo die Timäusstelle freilich angegeben ist.) infolge Druckfehlers als 25 B Auch das Problem der Irrationalität von V2 kann sowohl aus der Geometrie wie aus der Musiktheorie stammen (P. Tannery)”). Zu 11.: Hier würde die Zeuthensche Hypothese *) über die Kennzeichnung der Quadratwurzeln aus 3,5,7,...17 durch ihre Kettenbruchentwicklung einfiigen; (= Antanairesis) seitens des Theodoros sich gut insbesondere, wenn man die Taylor-Toeplitzsche Interpretation **) der Epinomisstelle 990 C, die in ihr ein Approximationsverfabren mittels einer angenäherten Lösung der Pellschen Gleichung angedeutet findet, nicht zu akzeptieren geneigt ist. Die Stelle scheint sich ungezwungener als eine vereinfachte Darstellung der musikalischen Harmonien durch die platonische Tetraktys des Timäus (36 A) erklären zu lassen ?”). 24 Vgl. P. Tannery, Mémoires scientifiques (her. v. Heiberg u. Zeuthen) Bd. III (Paris-Toulouse 1915), Nr. 71 „Du rôle de la musique grecque dans le développement de la mathématique pure“, S. 6811. insb. S. 83—89, — Daß Archytas über die altpythagoreische Stufe wesentlich hinaus war, scheint Fragm. A 19 (Diels) zu bezeugen: vgl. Tannery, Mém. IH, 244 ff, 23) S.H.G.Zeuthen, Notes sur l'histoire des Mathématiques VIII (Sur la constitution des livres arithmétiques des Éléments d'Euclide et leur rapport à la question de Pirrationalité), Bulletin de l'Académie R. de Danemark, 1910, Nr. 5 (bes, S. 423 ff.) — Sur l'origine historique de la connaissance des quantités irrationelles, ib. 1915, Nr. 3—4, bes. S. 346 ff. 2) De. Zeitschr. B. 2, 334 ff,, „Die mathematische Epinomisstelle“. 37) Die entscheidende Stelle lautet: 4 32 erhagiou (sc. divapto) piv elo pésor, ising SE tod ¿hárrovos rhéov ¿harióv Te tod pelZovoc, tó 4% Eteoov facil. wégov) TH an péper Tüv dupwv adtay Srepéyo. te xxl Srepeybpevov (dv péom 42 toi BE cpic ta dbdeza

Zu 111: Es ist wichtig für das Verständnis des Übergangs von der „theodorischen® zur „theätetischen“ Stufe, sich klar zu machen, daß die Verwendung der Antanairesis im X. Buch der Elemente die primäre ist, ebenso die divisive Form des Axioms des Messens (X, 1). Das euklidische Teilerverfahren (VII, 1, 2) und gar das „archimedische* Axiom sind später; letzteres ist durch Archimedes als eudoxisch ausdrücklich bezeugt; es liegt freilich latent schon dem ersten Schritt jeder Antanairesis zugrunde, aber das ist zunächst anscheinend gar nicht bemerkt worden. Für die Zahlentheorie ‘Theitets gibt es einen noch wenig beachteten platonischen Hinweis (außer den bekannten "l'heitetstellen), nämlich in den „Gesetzen“ 737 E—735 A, wo von der vollständigen Aufzählung sämtlicher Teiler der Zahl 5040 die Rede ist. Das ist ein ganz analoges, nur allgemeineres Problem, wie das im zahlentheoretischen 3538 Teil des Beweises von IX, 36, wo es ja nur für Zahlen der speziellen Form 2" p gelöst wird. Vie entscheidenden Worte Platos lauten: Meyer 51, tov mhelstac xal egedis udhtsca „Wir wollen Gravopas dv abtp xextypevor, dic Zahl nennen, die die meisten und auch (außerdem) die meisten unmittelbar (in der Zahlenreihe) aufeinanderfolgenden "Weiler besitzt.“ 6 piv Al) más els mdvra névras tomas eldınyev „Jede Zahl (Toeplitz: „die ganze Zahl“) 4 58 civ sertapdzovia al nevraxıayıllav ... gelangt nun zu allen Teilungen nach allen 0) mhelnug pets Seovsiby Éffxovra Bv” 2 (ihren) Primfaktoren hin; tenvesdar topdy, Euvegsis dì and pds péypr tiv Ölxa. (insbesondere) aber kann durch eine nicht um mehr als um einen hinter der 60 zudie Zahl 5040 rückbleibenden Anzahl von Teilern geteilt werden, Aufeinander unmittelbar folgende Teiler sind aber die Zahlen 1 bis 10,5 Der Sinn der Stelle ist von 'l'oeplitz gedeutet worden”), Das Verfahren der Auffindung aller Teiler einer Zahl ist folgendes: guvéBn ti te fueihiov zat Enbrprron), todtwv avr Ev op pio En’ dpydtepa stipe gouévn Toi avipérnt suppavon ypelav xal suppétpov dneveluate, mais pullpo te wat ápuovias yépiv, eddaipove opeiz Mous&v dedouevn. „Die Macht des Zweifachen schreitet fort zu einem mittleren Term m, der um den gleichen Betrag größer ist als der kleinere a und kleiner als der größere Randterm 6 {sodali also: m—a = b— m}, der andere Mittelterm Ah übertrifft bzw. unterschreitet dagegen um denselben Anteil die l'erme an den Enden {sodaß hier: (k—a):a = (b —h):b) — in der Mitte der Terme im Verhältnis 6:12 sind es gerade das 1!/¿- und 1'/y-fache von 6 {sodaß man die Folge hat 6, 3, 9, 12} —; von diesen Termen in der Mitte selbst wendet sich die Macht des Zweifachen nach beiden Seiten hin fd. h. von À und m aus nach außen auf a bzw. D zu, also in die Zwischenräume zwischen a und h bzw. m und è hinein) und gewährt so dem Menschen die zusammenklingende und proportionierte Notwendigkeit, um der rhythmisch-harmonischen Bildung willen, dem seligen Reigen der Musen hingegeben.* — Nur so lassen sich die entscheidenden Worte todtwy ais (Gen. separ.) tv tH pésw (gegenüber els pécov am Anfang und übereinstimmend mit &v pés» im Zahlenbeispiel} En’ dupörepa orpepopévn (nicht dx’ duportpwy „von beiden Seiten“, d.h. nicht konvergierend, sondern divergierend !) richtig übersetzen, Sachlich besteht ebenfalls nur so enge Übereinstimmung mit der entsprechenden Timáusstelle 36 A ff. Wie das Stallbaum-Apeltsche Diagramm (s. Apelts Übers. S. 156) zeigt, ergeben m und h in jeder der drei ersten Oktaven pésy und zapauésr ohne Hilfe der Dreiteilung (des rechten Flügels der Tetraktys 3, 9, 27). Da nun in der Epinomis (unmittelbar vor unserer Stelle) gerade nur die drei ersten Oktaven durch die Zahlen 1, 2, 4, 8 (d. h. 1:2, 2:4, 4:8) gegeben werden, stimmt alles zusammen; wir haben in der Epinomis eine vereinfachte Darstellung der platonischen Tonleiter, die dafür hier rein dyadisch begründet ist. Das ist für die heorie der Dyas in der platonischen Schule von Bedeutung. Es sei endlich noch darauf hingewiesen, daß nur unsere Deutung der Tätigkeit der „entzweimachenden Zweiheit* (du25 dvizato;) gerecht wird; würde man Es sei beispielsweise » = p?*g3, wo p,q die Primfaktoren sind. Dann ergibt sich folgende Tafel für alle Teiler: 5 4 A P. PI. PI Diese Tafel stellt die els xdviq raga: zopal dar, von denen aber 4 der PA letzte als Pa pd pd) Analog ergibt sich nicht-echter Teiler weggelassen werden muß, es ist also die Formel für die Zahl der Teiler Za}: Zim) = 2+1)B8+M)—1 für den allgemeineren Fall, dal m = p‘g’r°s%, wo p, q, r, s die Primfaktoren darstellen: Z(m) = ta + I+ I) e+ I d+ 11; also für 5040 = 2*.3°.5.7: Z (5040) = 44 1)(2-+ 1)}(1+1)}(1 +1) —1= 5.3.2.2—1 = 60-1. Diese Ableitung erscheint dadurch als die platonische gesichert, dali die Teilerzabl im Text ausdrücklich in der Form 60—1 erscheint, genau, wie die Rechnung sie entstehen läßt. — Diese Ableitung setzt offenbar die eindeutige Zerlegung in Primfaktoren voraus, wie dies auch der im übrigen etwas anders verlaufende euklidische Beweis für IX, 36 tut. Zu IV.: Für die eudoxische Proportionenlehre vgl. unsere , EudoxosStudien“, insb. 1%). ®» In einer Vorlesung über .Platos Wintersemester 1931/32, vorgetragen. Ideenlehre und die Mathematik* Fine freilich sehr kurze Darstellung in Bonn, ist in dem Werke „Von Zahlen und Figuren“ von H. Rademacher und O. Toeplitz (Berlin 1930), S. 10Lf. (§ 17a, Nr. 10) veröffentlicht worden. 29) A. a, O. (Anm. 15). mit Toeplitz die beiden neuen pésa zwischen m und A annehmen, hätte man eine Dreiteilung des Intervalls [k, m], während wir, wie es sein muß, eine doppelte Zweiteilung (der beiden Intervalle [a, A| und [m, b)) erhalten. einer Approximation in der entsprechenden 'imäus-Stelle (36 A), sammenhang werden muß. So glaube ich, des geometrischen Mittels (das ja weder in stehenden Fragment B 2 daß der Gedanke der Epinomis- noch sondern nur in dem in einem anderen Zu- (Diels) des Archytas auftritt) fallen gelassen GES OW E FIATO So AN DEU DD Mec NE PAYS, ve