Brunelleschis Domkuppel, Pythagoras und Fibonacci

Uta Schedler Brunelleschis Domkuppel, Pythagoras und Fibonacci MUEDL.ER palb >67Ai Bo s »Il cupolone«, die große Kuppel, wie die von 1420 bis chitekturgeschichte, das von der Verwirklichung eines 1436 erbaute Vierungskuppel des Florentiner Domes seit 1367 geträumten Traumes kinder und die Fachwelt S. Maria del Fiore als Mutter aller nachantiken Großin Atem hielt und hält.” Denn nach wie vor ist ihre Erkuppeln genannt wird, gilt noch heute als ein Wunderwerk (Abb. 1). Wenn man bedenkt, tiber welch beschränkte technische Möglichkeiten ihr Architekt und Konstrukteur Filippo Brunelleschi (1377-1446) nach heutigen Maßstäben verfügen konnte, sucht ihre bauliche Kúhnheit in der Tat ihresgleichen.’ Mit ihren 45 m im Durchmesser und 88 m Scheitelhóhe' ist sie überdies die größte jemals aus Stein gemauerte Kuppel. Ihre Entstehung ist eines der aufregendsten Kapitel der Ar- “ Mein herzlicher Dank an dieser Stelle an Dr. Christof Hangkofer, München, für die zahlreichen Gespräche über die Kuppel, insbesondere über die Bedeutung von Loten und den Einsatz mathematischer Vermessungsmethoden. Im Folgenden werden nur ungefähre Maße genannt, da in der Forschungsliteratur die Angaben teilweise erheblich differieren. S. dazu u.a. Howard Saalman, Filippo Brunelleschi. The Cupola of Santa Maria del Fiore, London 1980 (mit Angabe der älteren Literatur), S. 244. v NAD “ey

Uta Schedler Brunelleschis Domkuppel, Pythagoras und Fibonacci »Il cupolone«, die große Kuppel, wie die von 1420 bis chitekturgeschichte, das von der Verwirklichung eines 1436 erbaute Vierungskuppel des Florentiner Domes seit 1367 geträumten Traumes kündet und die Fachwelt S. Maria del Fiore als Mutter aller nachantiken Großin Atem hielt und hält.2 Denn nach wie vor ist ihre Erkuppeln genannt wird, gilt noch heute als ein Wunderwerk (Abb. 1). Wenn man bedenkt, über welch beschränkte technische Möglichkeiten ihr Architekt und * Mein herzlicher Dank an dieser Stelle an Dr. Christof Konstrukteur Filippo Brunelleschi (1377-1446) nach Hangkofer, München, für die zahlreichen Gespräche über die Kuppel, insbesondere über die Bedeutung von Loten und den Einsatz mathematischer Vermessungsmethoden. ! Im Folgenden werden nur ungefähre Maße genannt, da in der Forschungsliteratur die Angaben teilweise erheblich differieren. S. dazu u.a. Howard Saalman, Filippo Brunelleschi. The Cupola of Santa Maria del Fiore, London 1980 heutigen Maßstäben verfügen konnte, sucht ihre bauliche Kiihnheit in der Tat ihresgleichen.” Mitihren 45 m im Durchmesser und 88 m Scheitelhöhe! ist sie überdies die größte jemals aus Stein gemauerte Kuppel. Ihre Entstehung ist eines der aufregendsten Kapitel der Ar- (mit Angabe der älteren Literatur), S. 244.

bauung von Geheimnissen umgeben, zentrale Fragen sind immer noch unbeantwortet. Bis heute sind die Verfahren nicht bekannt, mit denen Brunelleschi die Kuppel während ihrer Entstehung vermaß, auch wenn hierzu mehrere Hypothesen vorgestellt wurden.3 Je mehr es gilt, solch ein im wörtlichen wie übertragenen Sinne herausragendes Bauwerk zu schützen, und für die Florentiner Domkuppel trifft dies in besonderem Maße zu, desto mehr sollte indes über Art und Weise ihrer Entstehung bekannt sein. I. Vorgeschichte Dimensionen und Form waren im Wesentlichen durch ein Modell aus dem Jahr 1367 festgelegt. Der Tambour sollte bei einer Höhe von 89 braccia (52 m, 1 braccia = 0,584 m) enden, die Kuppel dann 55 braccia (32 m) aufsteigen, so dass sich vom Vierungsboden bis zum Kuppelscheitel eine Gesamthöhe von 144 braccia ergab (84,1 m). Diese Maße wurden dann allerdings nicht eingehalten. Die Oberkante des Tambours liegt bei 54,3 m; die Kuppelhöhe misst 33,7 m und die Gesamthöhe 88 m. Die Abweichungen wurden hauptsächlich durch den zu hoch geratenen Tambour verursacht, der statt 9,9 m im Modell 13 m Höhe erreicht. Das Modell sah kein Rundgewölbe, sondern ein achteckiges Kloster- 2. Florenz, Schnitt der Domkuppel durch die Ecken des oktogonalen Klostergewölbes und mit offenem Scheitel für die spätere Laterne (Dieses Schema wird im Folgenden beibehalten). In fünf Teile geteilter Durchmesser mit Konstruktionspunkten des quinto acuto (Q). Bei den Kuppelschalen Ausrichtung der Bauglieder nach dieser Kriimmung. r = Radius des quinto acuto (= 36 m). a = zum Kuppelscheitel hin kontinuierlich ansteigender Neigungswinkel der Kuppelschalen, identisch mit dem Anstiegswinkel zwischen Radius des quinto acuto und Basislinie der Kuppel gewölbe vor, das eine eingeschriebene Halbkugel deutlich überragen sollte. Zur Ausführung kam das schon 1367 vorgesehene Profil des so genannten quinto acuto, Den Modellentwerfern diirfte jedoch bewusst geweeine in der Gotik häufig verwendete geometrische Fisen sein, dass der Plan fiir ihre Méglichkeiten utopisch gur, die folgendermaßen entsteht (Abb. 2, 3): Der Gewar. Sie setzten auf Gottvertrauen und hofften auf die wölbedurchmesser, bei der Florentiner Domkuppel durch die Ecken gemessen (45 m), wird in fünf gleiche Teile geteilt. Vier dieser Teile bilden den Radius der Kreisbögen, auf denen bei »il cupolone« die Eckrippen liegen. Der Radius des quinto acuto bei der lichten Kuppelweite beträgt also 36 m (45:5 = 9; 9 x 4 = 36), und der Abstand vom Mittelpunkt der Kuppel zu den Konstruktionspunkten des quinto acuto beträgt 13,5 m (45 : 2 = 22,5; 22,5 - 9 = 13,5). Sodann präferierte man schon 1367 eine Kuppel ohne äußere Stützen (Strebepfeiler) und offenbar auch aus berechtigten Gründen der Gewichtsersparnis statt einer massiven eine zweischalige Bauweise. * Die Geschichte über die Kuppel und ihren Architekten Brunelleschi wurde jüngst sogar zum Bestseller. Ross King, Brunelleschi’s Dome, London 2000. Zitiert wird im Folgenden nach der deutschen Ausgabe (R. King, Das Wunder von Florenz. Architektur und Intrige: Wie die schönste Kuppel der Welt entstand, München 2001). 3 Diese sind zusammengefasst in: Thomas Krämer, Die große Kuppel von Florenz, Stuttgart 2001, S. 76ff., sowie in: Andrea Chiarugi, La Cupola del Brunelleschi: problemi di tracciamento e costruzione; il modello dell’ ACMAR, in: INARCOS. Ingegneri Architetti Costruttori, Juni-September 1984; Demore Quilghini, La Cupola del Brunelleschi: la geometria, in: ebd. 4 Auch diese Maße sind nur als ungefähre Angaben zu verstehen.

den zwei ugen und Bauglieder beit (M) er Ausrichtung der Stoßf Grundriss mit radial 3. Florenz, Domkuppel. und Konlpunk Mitte Stern, er rablig Achtst acuto. = Konstruktionspunkte des quinto Kuppelschalen. Q s des quinto acuto struktionspunkte des quinto acuto (Q) waren im Vierungsboden markiert. r = Radiu (= 36 m). Nach Krämer 2001. schließlich durchsetzen. Mit seinen exzeptionellen Vorin einem Modell präsentierte, ren vermochte. Im Jahr 1418 schrieb die Dombauhiitte, schlägen, die er auch für die Ausführung angevorher was alles, die Domopera, einen Wettbewerb aus, um den Traum stellte er n. Die Frage, welche Schatte den n war, in von der Kuppel endlich Wirklichkeit werden zu lassen, dacht worde storische Forschung ernsthaft lange Zeit oder pragmatisch ausgedrückt: um das riesige Loch im die kunsthi h umgetrieben hat, ob die Kuppel noch goDom endlich schließen zu können. Nach zahlreichen hauptsächlic doch schon der Renaissance angehört, und hitzigen Debatten konnte sich Brunelleschi tisch ist oder Ankunft eines Architekten, der ihr Modell zu realisie-

4. Florenz, Domkuppel. Stereometrischer Schnitt durch die zweischalige Kuppel in Saalman 1980 nach Hans Siebenhiiner: Schnitt durch die Ostwange. Südostwange (in gestrichelten Linien) mit Aufstieg bis zur Laterne. Súdwange mit Treppenanlagen, den Zwischenrippen und den Reihen der Horizontalbögen. Südwestwange mit den Durchgängen durch die Rippen auf verschiedenen Ebenen. sollte angesichts dieser Leistung ein für alle Mal abge- Insgesamt 24 Rippen, acht Hauptrippen in den Ecken hakt werden. und je zwei Nebenrippen pro Gewölbewange, bilden das vertikale Skelett beider Kuppelschalen. Die acht Haupt- oder Eckrippen treten an der Außenschale II. Grundzüge der Kuppelstruktur und der Ausführungsvoraussetzungen plastisch hervor und wurden mit Platten aus weißem Marmor verblendet (Abb. 1). Der horizontalen Verfestigung dienen bei der inneren Schale in das Mauer- Brunelleschi sah ein durchdachtes System aus Vertikalwerk eingebettete Ketten aus Sandsteinbalken und ein und Horizontalverstrebungen fiir die bis zur Laterne hölzerner Ringanker und bei der äußeren Schale kombegehbare, zweischalige Kuppel vor (Abb. 4), ein System, das zu Baubeginn im Jahr 1420 in einem 12- pakt gemauerte, horizontale Ziegelsteinbögen. Die mit Punkte-Bauprogramm schriftlich fixiert wurde. Eisenbahngleisen vergleichbar - längs und quer verlegt, Eisenklammern verbundenen Sandsteinbalken sind —

immer größer wurde. Die höchsten Ziegelschichten der cupola neigen sich in einem steilen Winkel von 60 Grad nach innen. So abenteuerlich dieses Vorgehen zunächst anmutet: Es ist von großem Vorteil, da die nach unten geneigten Steine sich gegenseitig abstützen und am Abgleiten hindern können. Die auf diese Weise gemauerten Steinschichten halten sich also selbst. Doch wie sollten die fraglos entscheidend verbesserten Mauertechniken zur Anwendung kommen? Die Kuppel setzt erst bei Schwindel erregenden 54,3 m Höhe an! Diese Höhe war mit Abschluss des Tambours über der Domvierung erreicht worden, der von 1410 bis 1413 mit einer Mauerstärke von 4,5 m und knapp 13 m Höhe errichtet worden war. Und - wie sollten die über 20000 Tonnen Material hinaufbefördert werden, die für den Bau der Kuppel benötigt wurden?‘ Brunelleschis Lösungsvorschläge irritierten zunächst zutiefst und brachten ihm sogar den Ruf eines Schwätzers und Narren ein. Ganz selbstverständlich waren die Meister des Modells von 1367 und mit ihnen die Verantwortlichen der Domopera im Jahr 1420 davon ausgegangen, dass die Kuppel mit Hilfe von hölzernen Lehrgerüsten, die auf dem Boden der Vierung verankert sind, errichtet werden sollte. Brunelleschi hingewobei die quer verlegten wie auch alle anderen quer gegen sah keinerlei Lehrgerüste vor (»sanza alcuna armasetzten Elemente radial zur Mittelachse der Kuppel dura«), sondern stattdessen Arbeitsplattformen, die an ausgerichtet sind, so wie Speichen in Richtung Radnabe den bereits errichteten Mauerringen — zuerst also am (Abb. 3), Tambour - befestigt wurden. Von ihnen aus wurden die Um die innere Stabilität der beiden Kuppelschalen zu nächsten Steinschichten gemauert, die dann wieder den gewährleisten, revolutionierte Brunelleschi die Mauertechnik. In den oberen Partien, ab 14 m Kuppelhöhe, 5 Das Konstruktionssystem wird im Folgenden nur so weit kam der so genannte Fischgrätverband zum Einsatz resümiert, wie es für die Argumentation erforderlich ist. Grundlegend hierzu wie auch zu Vorgeschichte, Bauorganisation, Logistik, zur praktischen Umsetzung, Rezeption, etc.: Saalman (wie Anm. 1) sowie jüngst Salvatore di Pasquale, Brunelleschi La costruzione della cupola di Santa Maria del Fiore, Venedig 2002 und Giovanni Fanelli, Michele Fanelli, Die Kuppel Brunelleschis. Geschichte und Zukunft eines großen Bauwerks, Florenz 2004. Auf die Laterne der Kuppel wird nicht eingegangen. Beabsichtigt ist lediglich eine Beschreibung der Prinzipien von Brun- (Abb. 5). Hierbei fungieren vertikal gemauerte Ziegelsteine wie Buchstützen für die horizontal gemauerten Lagen zu beiden Seiten. Vor allem aber ist das Mauerwerk, das bis zur Höhe von 14 m aus Sandsteinen und darüber aus Gründen der Gewichtsersparnis aus Ziegelsteinen besteht, nicht horizontal gesetzt. Die Steine der Kuppelwände sind vielmehr nach unten gekippt, und zwar in einem Winkel, den die geometrische Figur des quinto acuto diktierte (Abb. 2). Dies hatte zur Folge, dass der mit dem ansteigenden Winkel zwischen quinto acuto-Radius und Basislinie identische Winkel a zwischen Radius und aktuellem Kuppeldurchmesser elleschis Messverfahren beim Bau der Kuppel. a Frank D. Prager u. Giustina Scaglia, Brunelleschi. Studies in his technology and inventions, Cambridge/Mass./London 1970, S. 89. Ihre Studien über die Florentiner Domkuppel hat Giustina Scaglia zusammengefasst in: Der Bau der Florentiner Domkuppel, in: Spektrum der Wissenschaft, 1991, Heft 3, S. 106-112.

nach oben geschobenen Arbeitsplattformen Halt gagibt die Konstruktion der Kuppel immer noch Ratsel auf, und Kardinalfragen konnten bisher nicht überzeu- Trotz massiven Widerstands setzte sich Brunelleschi gend beantwortet werden. durch und baute die Kuppel ohne Lehrgeriiste. So irrwitzig sein Vorschlag den Zeitgenossen vorkommen Wie konnte die geometrische Figur des guinto acuto auf musste, er war nicht nur realisierbar, sondern auch pragmatisch und ökonomisch gedacht. Hölzerne Lehrdiese Krümmung kontrolliert werden, und zwar nicht gerüste für solche Dimensionen waren technisch ebennur bei der inneren, sondern auch bei der äußeren Kupdie riesige Kuppel übertragen werden? Wie konnte so fragwürdig wie logistisch und finanziell kaum machpelschale? Uberdies wird die Neigung jeder einzelnen bar. Durch das gewaltige Eigengewicht bei diesen Höhen hätten Lehrgerüste kaum die erforderliche Sta- Steinlage von der Figur des quinto acuto bestimmt. bilität garantieren können, und die lange Bauzeit hätte je einer an den acht Seiten des Klostergewölbes arzu zusätzlichen destabilisierenden Deformationen des beitete, die nach dem quinto acuto geneigten Mauern Holzes geführt. Außerdem war Holz rar und fast so teuer wie Marmor, und man hätte nicht weniger als 700 so aufeinander abstimmen, dass sie an der Spitze der große Baumstämme benötigt, die von weit her mit immensem Aufwand nach Florenz hätten transportiert chung im unteren Bereich von Zentimetern bei einer werden müssen.7 am Scheitel der Kuppel katastrophale Folgen nach sich Kurzum: Wie konnten acht Maurertrupps, von denen Kuppel zusammentrafen? Eine unkontrollierte Abweieinzigen Gewôlbewange gegenüber den anderen hatte Mit der Entscheidung gegen ein Lehrgerüst musste die gezogen, da die Abweichung sich mit zunehmender Entwicklung von neuartigen, tragfahigen Hebevorrichtungen einhergehen, die Tonnen schweres Material auch bis zur Scheitelhöhe von 88 m hinaufbefördern Höhe vervielfacht hatte. konnten. Wieder war es Brunelleschi, der einen außerhalb des Domchores und dicht neben diesem aufgestellten Lastenaufzug mit ausgeklügelter Mechanik konstruierte. Für die Verteilung des Materials auf der werdenden Kuppel erfand er zudem Kräne mit Auslegern, die gehoben, gesenkt und gedreht werden konnten. Diese Apparaturen wurden zu den meistbewunderten mechanischen Geräten der Renaissance, die von Im Folgenden werden Antworten auf diese Fragen vorgestellt, die überlieferte Dokumente und die gestellte Aufgabe des Kuppelbaus selbst nahe legen. 7 Roland J. Mainstone, Brunelleschi’s Dome, in: The Architectural Review, CLXII, September 1977, S. 158-166, hier: S. 159. a 2 pola« (1417-1436) transkribiert. Sie werden in Zusammenarbeit mit dem Max-Planck-Institut für Wissenwieder studiert und nachgezeichnet wurden. Mit Brunelleschis »Maschinen< konnte die Kuppel schaftsgeschichte Berlin im Internet zugänglich gemacht. URL: http://duomo.mpiwg-berlin.mpg.de. Die hier zur endlich in Angriff genommen werden und die gut dokumentierten Arbeiten schritten voran.” Die Maurer mussten allerdings stets so lange warten, bis der Mörtel der zuletzt gemauerten Schicht der in der Höhe anscheinend genormten Ziegelsteine? die erforderliche Festigkeit erreicht hatte, bevor die nächste Lage gemauert werden konnte. Der verwendete, schnell bindende Mörtel erlaubte eine durchschnittliche Geschwindigkeit von circa einer fertig gemauerten Ziegelsteinlage pro Woche.'? Auch wenn der Entstehungsprozess detailliert nachvollzogen werden kann, Margaret Haines (The Harvard University Center of Italian Renaissance, Villa I Tatti, Florenz) hat in jahrelanger Arbeit die mehr als 20000 Dokumente der »anni della cunachfolgenden Architekten und Ingenieuren, darunter Leonardo da Vinci und Giuliano da Sangallo, immer Diskussion stehenden Dokumente stehen allerdings noch nicht im Netz, weswegen sie nach Saalman (wie Anm. 1) u.a. zitiert werden. D S. hierzu weiter unten. ‘© Rowland J. Mainstone, Brunelleschi’s Dome of S. Maria del Fiore and some Related Structures, in: Transactions of the Newcomen Society, 42, 1969-79, S. 107-126, hier: S. 114. Dies ist durchaus eine beachtliche Leistung. Schließlich besitzt die innere Kuppelschale unten eine Mauerstärke von knapp 3 m und oben von 1,8 m und die äußsere unten eine Mauerstárke von knapp ı m und oben ca. 40 cm. Außerdem mussten im Unterschied zu einer gerade hochgezogenen Mauer laufend aufwändige Messungen durchgeführt werden.

III. Erste Vermessungsmethode: das empirische Verfahren Die radiale Ausrichtung der Bauglieder, aber ebenso die Kontrolle des quinto acuto-Kreisbogens an allen acht Wangen setzten die präzise Bestimmung der Mittelachse der Kuppel voraus." Doch wie lässt sich diese gewinnen? Zu denken wäre zunächst an einen in der Mitte der Domvierung aufgepflanzten Mastbaum. Bäume, die eine Höhe von 88 m erreichen, wachsen im gesamten Mittelmeerraum natürlich nicht.'? Selbst wenn man einen kalifornischen Mammutbaum zur Verfügung gehabt hätte, der bis zu 100 m hoch werden kann auch dieser wäre unbrauchbar gewesen. Höhenwinde und Erschütterungen mittleren Ausmaßes am Boden, die sich durch das Transportieren des Tonnen schweren Baumaterials zwangsläufig ergaben, hätten die Baumspitze beständig zum Ausschwingen gebracht. Ein exaktes Messen wäre unmöglich gewesen. Diese Einschränkung gilt auch für die schlotartige Konstruktion an Stelle eines bis zum Kuppelscheitel hinaufreichenden Mastbaumes, mit deren Hilfe nach dem Modell Salvatore di Pasquales aus dem Jahr 2002 (Abb. 6) die Kuppel vermessen worden sei. Die Konstruktion, die in den Archivalien nicht einmal andeutungsweise ermittelbar ist, schließt mit einer Plattform 11 Giovanni di Gherardo da Prato, neben Lorenzo Ghiberti der Hauptkritiker Brunelleschis beim Bau der Kuppel, unterstellte Brunelleschi Ende 1425, er errichte die Kuppel angeblich nicht im Profil des quinto acuto, sondern des »mezzo acuto«, also halbrund, vgl. Saalman (wie Anm. 1), S. 124f. Giovanni ignorierte dabei, dass der quinto acuto gleichwohl eingehalten wurde. Gherardo da Prato warf Brunelleschi letztlich vor, dass er die Kuppel von ihrer Mittelachse aus vermaß, er bestätigte deren Einsatz also ausdriicklich. Sein Vorwurf ist jedoch insofern absurd, als die Mittelachse für die Konstruktion des quinto acuto im Kuppelschnitt zwar nicht benötigt wird, um aber zu garantieren, dass alle acht Wangen exakt dieser Krümmung folgen, war die Kenntnis der Mittelachse hingegen unbedingt erforderlich. Räumliches Denken war demnach Gherardo da Pratos Sache nicht. '2 Der höchste Baum im Mittelmeerraum ist im Übrigen die auf Korsika, Sizilien und in Kalabrien wachsende Schwarzkiefer, Pinus nigra Subspecies laricio Poiret. Sie hat in der Regel einen geraden Stamm und kann eine Héhe von bis zu 45 m erreichen. Herzlichen Dank fiir diese Auskünfte an Herrn Prof. Dr. Herbert Hurka, Fakultät fiir Biologie, Universitat Osnabriick.

ab, an der ein schwenkbarer Ausleger mit Loten be- Ecken heruntergelassen und stimmte unten am Viefestigt ist.'3 Wie folgenschwer beständig anhaltende rungsboden der Abstand der Lote zum dort fixierten Vibrationen am Boden sein kônnen, belegt die Tat- Mittelpunkt der Kuppel jeweils überein, entstand ausache, dass nicht Erdbeben der Kuppel bedrohlichen tomatisch ein gleichseitiges Oktogon. Selbstverständ- Schaden zufügten, wohl aber der inzwischen verbannte lich reagierten auch, oder vielmehr: gerade die Lote auf Massen- und Schwerlastverkehr in unmittelbarer Nahe Erschütterungen. Nur - und dies ist ihr Vorteil: Sie zeivon S. Maria del Fiore. Ihm ist hauptsächlich anzugen jede Erschütterung unmittelbar an. Pendelten die lasten, dass in den 7oer Jahren des 20. Jahrhunderts als Lote, gab es Vibrationen, und auf der Baustelle mussten Dehnungsfugen beabsichtigte Risse in der Kuppel sich für den kurzen Moment der Vermessung die Arbeiten alarmierend vergrößert hatten.'* eingestellt werden. Trafen sie in ruhigem Fall den vor- Brunelleschi hatte noch ein weiteres Problem zu lögesehenen Punkt, war buchstäblich alles ım Lot. sen. Der Tambour, auf dem er seine Kuppel errichten Der Einsatz von Loten mit Mafeinteilungen lässt sich musste, bildet kein gleichseitiges Achteck. Die Längen im Übrigen aus dem 12-Punkte-Bauprogramm von seiner acht Seiten schwanken zwischen 16,40 m und 1420 erschließen. In Punkt 8 wurde festgelegt, dass 17,40 m, sie differieren also bis zu einem Meter. "5 Das nach Erreichen einer Kuppelhöhe von 24 braccia (= Tambourachteck besitzt folglich keinen geometrisch 14m) aus Gründen der Gewichtsersparnis entweder exakten Mittelpunkt, der beim Kuppelbau jedoch für Ziegelsteine oder Tuffsteine benutzt werden sollten. die Festlegung der Mittelachse zur radialen Ausrich- (Man entschied sich dann für Ziegelsteine.) Wie aber tung der Bauelemente wie auch zur Bestimmung der hätte man die 24 braccia messen können, wenn nicht Konstruktionspunkte des quinto acuto unerlässlich mittels Loten mit Maßeinteilungen? Letztere mussten war (Abb. 2, 3). bei dieser Kuppelhöhe 68,3 m (= 117 braccia) anzeigen; die Meterzahl resultiert aus 14m Kuppelhöhe plus 54,3 m vom Vierungsboden bis zur Oberkante des III, A. Der Einsatz von Loten, der Kettenstern und die »cientine« Tambours. Auch die Bestimmung der Mittelachse erfolgte durch ein Lot, das am Vierungsboden den Mittelpunkt an- Dieser Mittelpunkt konnte bei 54,3 m Höhe am Kuppelfuß nicht gefunden werden,'* wohl aber am Boden der Vierung. Da auch das Vierungsoktogon keineswegs regelmäßig ist, existierten auf dem Boden außer dem '3 Di Pasquale (wie Anm. 5), Abb. 54. Abgeschen von dem gewaltigen materiellen und finanziellen Aufwand, der für diese schlotartige Konstruktion nötig gewesen wäre, stellt Mittelpunkt aller Wahrscheinlichkeit nach weitere Kontrollmarkierungen, und zwar: der Grundriss der sich die Frage, ob sie damals angesichts der Höhe von knapp 90 m technisch überhaupt machbar gewesen wäre. Kuppel in Form eines achtstrahligen Sterns, der außer dem Mittelpunkt die Rippen der acht Wangen des Klosseinen Loten ab circa 14 m Kuppelhöhe eingesetzt werden sollte, also beim Materialwechsel von Sand- zu Ziegelsteitergewölbes widerspiegelte und auch die Konstruktionspunkte des quinto acuto enthielt (Abb. 3). Weitere 20 m. Ein Ausleger mit 20 m Reichweite erscheint indes reichlich illusorisch. Hervorzuheben sind in di Pasquales Aus dem Modell ist zu erschließen, dass der Ausleger mit nen. Dort maß der halbe Durchmesser immer noch circa Modell aber die Lote, die auch bei den hier vorgestellten entscheidende Instrumente waren Lote, die alle am Seil exakte Maßeinteilungen aufwiesen und mit Senkbleien 4 Mainstone (wie Anm. 10), $. 121f. endeten. Mit Hilfe dieses Grundrisssterns und von Lo- '$ Krämer (wie Anm. 3), $. so. ten konnte Gewissheit darüber erlangt werden, ob die Steinlagen der Kuppel im Grundriss immer kleiner werdende gleichseitige Oktogone bilden, die jenem am Kuppelfuß konzentrisch eingeschrieben sind. Wurden die Lote von ein und derselben Steinlage, also in (mittels Loten messbarer) identischer Höhe in den acht Vermessungsverfahren eine gewichtige Rolle spielen. Um den Mittelpunkt zu eruieren, ware an cine durchgehende Plattform zu denken, die jedoch in 54,3 m Höhe und bei 45 m ım Durchmesser auszuschließen ist. Theoretisch möglich wären auch von den Ecken zu den jeweils gegenüberliegenden Ecken gespannte Seile, die aber bei 45 m Durchmesser zum einen erheblich durchhängen würden und zum anderen käme wegen der Unregelmäßigkeit des Tambouroktogons kein Mittelpunkt zustande.

problemlos in Kongruenz gebracht werden konnte Die Überprüfung der Deckungsgleichheit ließ sich jederzeit durchführen. Ob die Kettenarme in identischer Höhe eingehängt waren, konnte ebenfalls mittels Loten auf den Zentimeter genau gemessen werden. Waren die Lote, die an der für die Befestigung der Kettenarme vorgesehenen Stelle heruntergelass en wurden, jeweils gleich lang, war die Héhe identisch. Der eiserne Kettenstern hing aber stets deutlich unterh alb der gerade entstehenden Steinlage. Sein sicher beträchtliches Gewicht hätte sonst zu einer Destab ilisierung oder gar zum Herausbrechen frisch verma uerter Steine Die Bestimmung der Mittelachse genüg te für die Vermessung der Kuppel selbstverstä ndlich nicht. Ihre Krümmung wie auch die Neigung sämtlicher Steinschichten werden schließlich vom quint o acuto determiniert, Dessen Mittelpunkt liegt aber nicht auf der Mittelachse der Kuppel, sondern im vierten Punkt des in fünf Teile geteilten, von Ecke zu Ecke Durchmessers der Kuppel (Abb. 2, 3). auf den Kuppelbau musste also ein weiteres Messgerät angewendet werden, Abermals helfen in diesem Zusammenhang sterns und eines am Mittelpunkt des Kettensterns (MK) befestigt. Für die Ubertragung der Krümmung des quinto acuto 7. Florenz, Schnitt der Domkuppel mit Kettenstern (KS) an der Basis der Kuppel und mit Loten (L). Diese sind an den Aufhängungshaken des Kettengemessenen Q = Konstruktionspunkte des quinto die Quellen weiter. Wie beim Kettenstern gleich zu Baubeginn im Juni 1420, werden mehrmals acht »cientine« eracuto. wähnt. Gemeint sind Lehrbögen (centine), die nach der quinto acuto-Krümmung gebogen waren und für peilte und die Mittelachse der Kuppel bildete. Wo aber war es befestigt? Einen entscheidenden Hinweis liefert diese als Schablonen dienten (Abb. 8).!9 Sie bestanden aus Fichtenholz und waren etwa 2,60 m lang und 60 cm ein zu Baubeginn erstelltes, vom 20. Mai 1420 datierte s Dokument, in dem von einem Stern der großen Kuppel, einer »stella della Chupola grande«, und seiner ersten Eisenkette (»1° Chatena di ferro«) die Rede ist.!7 Dieser Stern wies demnach mehrere Eisenketten auf. Eine stella di catene di ferro, ein eiserner Kettenstern, wiirde sich in der Tat fiir die Anbringung eines zur Bestimmung der Mittelachse hervorragend Lotes eignen (Abb. 7). Er wies acht Arme auf, die zunächst in den Ecken der Kuppelbasis befestigt waren. Diese Arme verliefen radial zur Mittelachse der Kuppel . Dort zusammengefasst, markierten sie einen Punkt, der das Lot mit dem Mittelpunkt der Vieru über ng am Boden 17 Saalman (wie Anm. 1), S. 254. ** Einen vergleichbaren Kettenstern schlagen auch Wolfgan g Braunfels und Volker Hoffmann vor, ohne jedoch ein Lot als Mirrelachse zu thematisieren: Wolfgang Braunfel s, Drei Bemerkungen zur Geschichte und Konstruktion der Florentiner Domkuppel, in: Mitteilungen des kunsthistorischen Instituts in Florenz, 11, 1963-1965, S. 203-225; Volker Hoffmann, Filippo Brunelleschi: Kuppelbau und Perspektive, in: Saggi in Onore di Renato Bonelli, a cura di C. Bozzoni, G. Carbonara, G. Villeti, vol. 1, S, 317326, Rom 1992 (Quaderni dell’Istituto di Storia dell’Architettura. Dipartimento di Storia dell’Architettura, Restauro e Conservazione dei Beni Architettonici, Nuova Serie, Fascicioli 15-20, 1990-92). 12 Saalman (wie Anm. 1), S. 254; vgl. dazu auch Hoffman n (wie Anm. 18), S. 320.

mung an den centine. Er ließ laut Giovanni Battista Gelli ein Stück abwärts von Florenz am Ufer des Arno eine Fläche von ungefähr 800 m? ebnen, um dort an- 8. Florenz, Domkuppel. Schema einer der acht Schablonen (centine) fiir die Einhaltung der quinto acuto-Kriimmung. Angebracht an den acht plastisch vortretenden Eckrippen an der Außenseite der Kuppel (Abb. 1). Die Lehrbögen dienten der Kontrolle der Krümmung und wurden entlang der Eckrippen wie auf Schienen nach oben geschoben. schließend einen Aufrissplan der Kuppel im Maßstab 1:1 in den Sand zu ritzen.** Anhand dieses riesigen geometrischen Entwurfs dürften der Durchmesser an der Basis der Kuppel, ihr Mittelpunkt, der Radius des quinto acuto (= 36m) und damit der Schnitt und Grundriss der Kuppel inklusive der Konstruktionspunkte des quinto acuto sowie die präzise Form der Lehrbögen ermittelt worden sein. III. B. Der »gualandrino con tre corde« Ab 1426 wurde noch ein weiteres Messinstrument eingesetzt. Die Kuppel hatte eine Höhe von circa 14 m erreicht, und ihre Neigung kam in die kritische Phase. Für die Arbeiter wurde deshalb — Ergänzungen zum 12-Punkte-Bauprogramm von 1420 zufolge — an der Innenseite der Kuppel »per piu loro sicurtà« eine Briisbreit.2° An der gebogenen Seite wurden die centine mit tung aus Holz gezimmert. Dariiber hinaus heift es an Blechplatten versteift, so dass sie sich nicht verbiegen oder verziehen konnten. Befestigt wurden die Lehrbögen an der Außenseite der äußeren Kuppelschale,?! und zwar - ihrer Bezeichnung »cientine deglangholj«*? zufolge - an den Eckrippen. Hier wurden sie auch belassen und waren an der gebogenen, mit Blechplatten beschlagenen Seite wohl V-förmig gebildet.” Der Winkel zwischen den beiden Schenkeln des V entsprach dem Innenwinkel des Kuppeloktogons, d.h. dem Innenwinkel eines jeden regelmäßigen Oktogons, ob groß oder klein: es sind 135 Grad. Erleichtert wurde der Einsatz der Lehrbögen durch das plastische Vortreten der Eckrippen an der Außenseite der Kuppel (Abb. 1), wodurch die Eckrippen wie Schienen für die Schablonen fungieren konnten. Die Schablonen wiedieser Stelle in den Ergänzungen von 1426: »E murisi derum kontrollierten die Einhaltung der quinto acuto- Krümmung an den Eckrippen und trugen maßgeblich dazu bei, dass sie in der Höhe schließlich zusammentrafen. Um diese Kontrolle verlässlich durchführen zu können, ist anzunehmen, dass die centine nach jeder frisch gemauerten Steinlage für die nächste Steinlage um deren Höhe an den Eckrippen nach oben geschoben wurden. Brunelleschi bemühte sich offenbar um eine 100 %ige Wiedergabe der quinto acuto-Krümcon gualandrino con tre corde, faccia dentro e si di fuori«.2° Die innere und äußere Kuppelschale sollten demnach mit einem in seiner Funktion noch zu klärenden »gualandrino« mit drei Seilen gemauert werden. »Gualandrino con tre corde« ist zu Recht als Begriff für ein Messinstrument gedeutet worden.” Wie kam es mit seinen drei Seilen zum Einsatz? Optimale Ergebnisse lassen sich folgendermaßen erzielen (Abb. 9): 22 Die Länge entsprach 4,5 braccia und die Breite 1 braccia. Saalman 1980 (wie Anm. 1), S. 254. 2 Ebd. 22 Ebd. 3 Ebd., S. 125 ff. 24 Quelle für diese wichtigen Angaben ist der im 16. Jahrhundert entstandene Bericht von Giovanni Battista Gelli in den Brevi vite di artisti fiorentini, nach King (wie Anm. 2), S. 121 und Anm. so. Solche Zeichnungen im Maßstab 1:1 auf speziellen »Zeichenböden« waren durchaus schon zuvor geläufig, ebd. 2 »E da lato della volta dentro si pongha per parapetto assi che tenghino la veduta a’ maestri, per piu loro sicurtä. E murisi con gualandrino ...«. Saalman (wie Anm. 1), S. 76. 26 U.a. von Cornel von Fabriczy, Filippo Brunelleschi. Sein Leben und seine Werke, Stuttgart 1892, S. 538f., Anm. 2; und Hoffmann (wie Anm. 18), S. 320.

Die drei Seile waren am Mittelpunkt des Kettensterns befestigt und gleich lang, etwa 30 m. Damit hatte man über den Radius der lichten Kuppelweite von 22,5 m hinaus noch genügend Spielraum für die Mauerstärken der inneren und äußeren Kuppelschale gehabt.? Bei der Anwendung des »gualandrino con tre corde« sollten ja beide berücksichtigt werden. Die Seile, die ebenso wie die Lote mit genauen Maßeinteilungen versehen waren, wurden zu den centine, den Schablonen mit ihrem quinto acuto-Profil, geleitet. Mittels der Schablonen an den Eckrippen und den vom Mittelpunkt des Kettensterns und damit von der Mittelachse der Kuppel ausgehenden Seilen konnte der Neigungswinkel der Mauerschichten festgelegt und zugleich deren radiale Ausrichtung überprüft werden. Die Seile fungierten also gleichsam wie materialisierte Vektoren oder präziser: Sie mussten Teilstrecken des quinto acuto-Radius sein (vgl. Abb. 9). Zu diesem Zweck mussten sie allerdings gespannt werden. Die für die Einhaltung der quinto acuto-Krümmung an den Eckrippen benötigten, für die neu zu mauernde Steinlage immer ein wenig herausragenden Schablonen konnten einer Zugkraft nicht ausgesetzt werden. Gespannt wurden die Seile vermutlich über hölzerne Ständer, die auf den Arbeitsplattformen an der äußeren Kuppelschale postiert waren. An diesen Ständern wa- 9. Florenz, Schnitt der Domkuppel mit Kettenstern (KS), »gualandrino con tre corde« (G) und centine (C). L = Lot am Mittelpunkt des Kettensterns (MK). Q = Konstruktionspunkte des quinto acuto. X markiert in etwa die Höhe, bei der zum ersten Mal der »gualandrino con tre corde« eingesetzt wurde. ren Winden angebracht, mit denen die Seile aufgewickelt, gespannt und fixiert wurden. Anzunehmen ist überdies, dass alle drei Seile gleichzeitig festgezurrt zu bestimmen, in welcher Anordnung und Neigung die wurden, um leichter und schneller eine gleichmäßige Ziegel und der Mörtel vermauert werden mussten.«28 Außer der prinzipiellen Bestätigung der hier vorge- Spannung herzustellen. Die Gleichmäßigkeit konnte dabei jederzeit überprüft werden: durch die Mittelachse alias das Lot am Mittelpunkt des Kettensterns, das auf stellten Messmethoden liefert Scala einen weiteren bedeutsamen Hinweis: Mit dem Seil sei ein vollständiger Brunelleschis bisher beschriebene, jedoch keineswegs Kreis gezogen worden. Dies wäre ohne Schwierigkeit möglich gewesen und hätte sogar neben der Bestimmung des richtigen Neigungswinkels und der radialen schon vollständig vorgestellte Verfahren zur Gewin- Ausrichtung noch eine weitere Überprüfung zugelasden Mittelpunkt in der Vierung auftreffen musste. nung des richtigen Neigungswinkels werden im Wesentlichen bestätigt durch den Historiker, Dichter und Humanisten Bartolomeo Scala. Er schreibt in der zwischen 1492 und 1497 entstandenen Historia Florentisen. Die Seile wären in diesem Fall am Mittelpunkt des Kettensterns an einem Drehgelenk befestigt gewesen, und die Ständer mit den Seilwinden konnten auf Rädern bewegt werden. Geführt von den Seilen hätte man norum: »Als die Mitte [der Kuppel] bestimmt und markiert worden war, spannte Filippo ein Seil von der Mitte bis zur Kuppelwandung, um mit diesem Seil dann ei- 27 Vgl. Anm. 10. nen vollständigen Kreis zu ziehen und auf diese Weise 28 Nach Saalman (wie Anm. 1), S. 13. u. S. 164.

mit den Ständern tatsächlich kreisförmige Bahnen ziehen und zugleich die korrekte Aufmauerung der zahl- S. Jacopo oltr’Arno erprobt. Bei dieser habe er als reichen Ziegelsteinbögen (Abb. 4) kontrollieren könund für die Kreislinien der Ziegelschichten einen Mess- Messinstrument fiir die radiale Ausrichtung der Ziegel nen.*? Der von Rowland J. Mainstone und Salvatore di Pasquale nach intensiven Untersuchungen in den 7oer Jahren des 20. Jahrhunderts gewonnene Eindruck, das oktogonale Klostergewölbe der Kuppel sei wie eine Rundkuppel konstruiert, die man um die Mittelachse rotieren lassen kann (»Rotationskuppel«), lässt sich dadurch plausibel begründen.3° Die Eigenschaft einer Rotationskuppel erhält die Kuppel aber bezeichnenderweise erst ab einer Höhe von circa 14 m, als der »gualandrino con tre corde« zum Einsatz kam. Bet dieser Höhe wurde auch die erste Reihe von Horizontalbogen gemauert (Abb. 4). In dieser Höhe wurde zudem das Material von Sand- zu Ziegelsteinen gewechselt und begonnen, im Fischgratverband zu mauern. In diesem Zusammenhang lässt sich auch die Funktion des »gualandrino« klären. Er war dieses am Mittelpunkt des Kettensterns fixierte Drehgelenk, an dem die als Winkelmaße für die geometrische Figur des quinto acuto fungierenden drei Seile befestigt waren und unabhängig voneinander einzeln bewegt werden konnten.3' Ob man dabei zwei oder alle drei Seile kreisen ließ oder nur eines, was sich aus Scalas Angaben erschließen lässt und was bei korrekter Ausrichtung und Spannung des Seiles gleichfalls zu verlässlichen Ergebnissen geführt hätte, bleibt offen. Das Drehgelenk des »gualandrino« wies allerdings drei Seile auf. Denn wie hätte mit einem einzigen Seil eruiert werden können, ob es schon genügend gespannt ist oder noch durchhängt? Und wie hätte der für die Kontrolle erforderliche Stillstand des am Kettenstern befestigten Mittellotes, eine der wichtigsten Messinstanzen überhaupt, gewahrt werden können, wenn mit diesem einen Seil Kreise gezogen worden wären? Die Kontrollanforderungen verlangten vielmehr ein sich selbst korrigierendes Messsystem, das nur über drei gleichmäßig gespannte Seile möglich war, so wie es sich aus der Quelle zum »gualandrino con tre corde« erschließen lasst.>” Aufschlussreiche Angaben zur Kuppelvermessung liefert auch der Biograph Brunelleschis, Antonio dı Tuccio Manetti. Er behauptet, Brunellschi habe die Messmethoden der Domkuppel beim Bau der Kuppel der im 18. Jahrhundert zerstörten Ridolfi-Kapelle in 29 Vgl. hierzu die in den Quellen in diesem Zusammenhang geforderte »perfectione del cerchio che gira intorno la Cupola di fuori«, Saalman (wie Anm. 1), S. 75. 3° Mainstone (wie Anm. 7), S. 164; Salvatore di Pasquale, Primo rapporto sulla Cupola di Santa Maria del Fiore, Florenz 1977. Angesichts der hier vorgestellten neuen Vermessungsverfahren bedürfte es allerdings neuer Untersuchungen. Vgl. dazu auch Marvin Trachtenberg, der für diese Konstruktionsweise die Kuppel des Pantheon in Rom als Inspirationsquelle in Erwägung zieht: Marvin Trachtenberg, On Brunelleschi’s Choice: Speculations on Medieval Rome and the Origins of Renaissance Architecture, in: Architectural studies in memory of Richard Krautheimer, hrsg. v. Cecil L. Striker u.a., Mainz 1996, S. 169 173, hier: S. 171. 3! Der »gualandrino con tre corde« war also in der Tat cin dreiarmiges Winkelmaís, wie Fabriczy diese Formulierung übersetzte: Fabriczy (wie Anm. 26), S. 538f. Und er ist vom Aufbau her identisch mit dem schon in der Antike gebräuchlichen »triquetrum« (Hoffmann [wie Anm. 18]; vgl. dazu weiter unten Anm. 32) und dem späteren »calandrino« mit drei über cin Gelenk drehbaren Armen; Fabriczy (wie Anm. 26), S. 538f. Das Gerät des »calandrino« ist nur erheblich kleiner geworden und die Arme bestehen nicht aus Scilen, sondern aus festem Material, aus Holz oder Metall. Demnach ging der Begriff »gualandrino« für das Drehgelenk auf das ganze Instrument über. Generell ist eine noch zu begründende etymologische Herkunft des Wortes »gualandrino« vom Monte Gualandro am Trasımener See in Erwägung zu ziehen. Der Monte Gualandro war Ort einer ebenso berühmten wie vernichtenden Niederlage der Römer gegen die Truppen Hannibals 217 v. Chr. im zweiten Punischen Krieg. 2 Auch Hoffmann (wie Anm. 18) und Mainstone (wie Anm. 7), S. 164, sowie Saalman (wie Anm. 1), $. 162-164, sehen im »gualandrino« eine Messvorrichtung. Ihre Deutungen crlauben hingegen nicht annähernd die Genauigkeit, die mit der hier vorgestellten Methode méglich ist. Bei Mainstones bzw. Saalmans Rekonstruktion werden die Seile in komplizierten Dreiecksformationen horizontal durch die Kuppel gespannt. Das Verfahren ist jedoch ebenso aufwändig (und letztlich nicht durchweg nachvollzichbar) wie unpräzise für die erforderlichen Messungen an beiden Kuppelschalen; vgl. dazu auch Hoffmann (wie Anm. 18), S. 320. Hoffmann glaubt im gualandrino ein schon in der Antike gebräuchliches »triquetrum« zu erkennen. Das Instrument »bestcht aus drei Stäben, von denen zwei gegeneinander bewegt werden können; der eine ist mit einer Skala versehen, der andere mit cinem Diopter, also einer Peilvorrichtung, besetzt. Das Gerät dient zu Erd- und Himmelsbeobachtungen und kann für Winkelmessungen, folglich auch für trigonometrische Höhen- und Entfernungsmessungen verwendet werden.«

stab benutzt, der »in Kreisen nach oben bewegt wurde, acuto-Radius über den Mittelpunkt des Kettensterns wobei er nach und nach verkürzt wurde, je nachdem, auf die Kuppelwandung übertrugen: Die Seile mussten wie er mit seiner unbefestigten Seite gegen das Mauerdeshalb vom Mittelpunkt des Kettensterns an Teilwerk der Kuppel drúckte.«33 Die »befestigte Seite: strecken des Radius sein und stetig in Richtung Kupkonnte sich nur an einer Stange, sozusagen einem verpelscheitel wandern. Sollten die Seile bet den neuen mutlich aus Holz konstruierten Stativ befinden, das die Steinlagen Teilstrecken des Radius bleiben, musste Mittelachse der Kuppel bildete. Mit der Stange war der auch der Mittelpunkt des Kettensterns kontinuierlich Messstab mittels eines Drehgelenks verbunden und ansteigen, wofür es eine einfache Methode gab. entlang dieser wurde er horizontal Steinlage ftir Stein- Die stella di catene bestand, wie der Name sagt, aus lage nach oben geschoben. Die Ridolfi-Kapelle unter- Ketten, deren Glieder mit Sicherheit in der Größe geschied sich jedoch in wesentlichen Punkten von »il cunormt waren. Jeder der acht Arme wurde um die gleipolone«. Sie war von kleinem Format mit circa 4 x 4m che Anzahl von Kettengliedern verkürzt und an dem Grundfläche und besaß kein Klostergewölbe, sondern vorhandenen Haken in den Ecken des wachsenden nach Manetti eine Sonderform der Pendentifkuppel, Klostergewölbes eine Schirmkuppel mit halbkreisförmigem Schnitt. Beı Mittelpunkt des Kettensterns automatisch entlang der ihr war ein »Mastbaum« als Mittelachse ebenso möglich Mittelachse nach oben rückte (Abb. 10). Über die Anwieder eingehängt, wodurch der wie cin stabiler, schwenkbarer Ausleger, der im rechten zahl der ausgehängten Kettenglieder konnte die An- Winkel zur Mittelachse kontinuierlich nach oben gestiegshohe gesteuert werden. Mit dem Mittelpunkt des schoben wurde. Die Domkuppel hingegen hat nicht Kettensterns rückte zugleich der »gualandrino« mit nur gigantische Dimensionen, sondern die Konstrukseinen drei Seilen nach oben. tionspunkte ihrer Krümmung liegen obendrein nicht Des Weiteren war die Hohe der nächsten Steinlage beauf ihrer Mittelachse. Bei der Domkuppel konnte wekannt. So wurde selbstverstandlich kein beliebiges Bauder mit einem Mastbaum noch mit horizontalen Auslegern operiert werden, sondern nur mit Loten und den Das Instrument erlaubt mehr oder weniger genaue Anpeilungen von Punkten, was für den Bau der Kuppel jedoch wenig dienlich sein konnte. Benötigt wurden vielmehr sozusagen materialisierte Vektoren, wie sie in den gespannten Scilen realisiert waren, die jederzeit und überall einsetzbar waren und Teilstrecken des guinto acutoRadius darstellten (s. dazu weiter unten). Außerdem vergisst Hoffmann die Beifügung »con tre corde, die ein triquetrum ausschließt. Hoffmanns Verdienst ist es jedoch, auf die Absurdität einer matertalisierten Mittelachse in Form eines Mastbaums hingewiesen zu haben, und dies schließt auch di Pasquales Konstruktion eines »Fabrik- Seilen des »gualandrino«, die zwar in der Mitte befestigt waren, aber wegen der Krümmung des quinto acuto nicht horizontal kreisen konnten. IV. Die mathematischen Vermessungsverfahren nach Pythagoras und Fibonacci Überzeugend ist Manettis Information, wonach beim schlots< mit ein. Unzutreffend ist des Weiteren die Annahme Battistis, der gualandrino sei kein Messinstrument gewesen, sondern ein Sicherheitsgurt, der von den Mau- Kuppelbau der Ridolfi-Kapelle der Messstab Steinlage für Steinlage entlang der Stange als Mittelachse nach oben geschoben wurde. Auch der Kettenstern in der rern getragen wurde: Eugenio Battisti, Brunelleschi. The Complete Work, London 1981, S. 361. Sicherheitsgurte waren nicht erforderlich; im Satz vor der Erwahnung des wachsenden Domkuppel mit dem daran befestigten Mittellot und dem »gualandrino con tre corde« wurde gualandrino werden ausdrücklich Holzbrüstungen »per la sicurità< der Arbeiter erwähnt, s. o. hinaufgezogen. Dies geschah allerdings nur alle paar Höhenmeter.’* Überdies konnte er wegen seines Gewichts an den frisch vermauerten Steinlagen ohnedies nicht befestigt werden. Außerdem sorgten nicht die Ketten für die Einhaltung des quinto acuto-Kreisbogens, sondern die centine an den Eckrippen und die Seile des »gualandrino«. Sie waren es, die den quinto 3 —_ Manetti/Saalman, nach Howard Saalman (Hrsg.), The life of Brunelleschi by Antonio di Tuccio Manetti, The Pennsylvania State University Press, University Park/London 1970, Zeile 665 ff. 34 Genaueres hierzu lässt sich nicht sagen, da bekannt sein müsste, wie weit der Kettenstern bei der jeweils erstmaligen Einhangung nach unten sackte. Die beabsichtigte Computer-Simulation dürfte mehr Klarheit bringen.

Bau der Kuppel benötigt wurden, übertreibt Manetti sicherlich. Doch waren für Brunelleschi Form und Qualität des verwendeten Baumaterials offenbar sakrosankt. Die centine waren fraglos funktionstüchtige Richtmaße für die Einhaltung der quinto acuto-Krümmung an der Außenseite der Hauptrippen. Doch sich ausschließlich auf diese Schablonen zu verlassen, wäre viel zu riskant gewesen. Wie leicht konnte es passieren, dass eine Schablone nur wenige Zentimeter von der Krümmung abwich. Die Folgen wären verheerend gewesen, weil sich die Abweichung nach oben potenziert hätte. Diese Gefahr verlangte es vielmehr, auch die Lage der centine immer wieder zu kontrollieren. Es wird daher noch auf anderem, nämlich mathematischem Wege ermittelt worden sein, dass 1. die centine präzise sitzen, 2. die Seile im richtigen Winkel zur neu entstehenden | L 10. Florenz, Schnitt der Domkuppel mit Kettenstern (KS), dessen Ketten dreimal verkürzt werden (bei gleich bleibenden Aufhängungshaken), wodurch der Mittelpunkt (MK) und damit auch der »gualandrino con tre corde« (G) nach oben rückt. C = centine. Q = Konstruktionspunkte des quinto acuto. Steinlage aufsteigen und somit ein Teilabschnitt des quinto acuto-Radius von 36 m sind (nur als solche Teilabschnitte konnte man sie dann mittels der Ständer kreisen lassen), 3. folglich auch der Kettenstern-Mittelpunkt, dessen Höhe über die Anzahl der ausgehängten Kettenglieder steuerbar war, exakt auf diesem Radius lag. Der Einsatz von Loten, des Kettensterns und Drehgelenks des »gualandrino«, dessen Seile an der obersten Steinlage über die Eckrippen gespannt wurden, legte material verwendet. In Florenz waren die mattone, die Ziegelsteine, gemäß eines Statuts von 1325 in ihrer die Anwendung mathematischer Methoden zur Überprüfung des vom quinto acuto diktierten Neigungs- Größe genormt. Ihre Länge musste circa 29 cm betrawinkels sogar nahe (Abb. 11). Und so wurde ein Sysgen, ihre Tiefe die Hälfte davon (14,5 cm) und ihre Höhe temwechsel vollzogen - von der schlichten Aufmauedavon noch einmal die Hälfte (7,25 cm). Nur mit einem rungstechnik hin zur Mathematik, zur angewandten Gütesiegel versehen, das ihre korrekte Größe garan- Geometrie. tierte, durften sie von den Ziegeleien ausgeliefert werden.35 Zwar wurde beim Kuppelbau dieses Basismodell offenbar kaum und stattdessen in Form, Länge und IV. A: Nach dem pythagoreischen Lehrsatz Tiefe sehr unterschiedliche Ziegel (dreieckige, geknickte für die Oktogonecken oder Ziegel mit Verzahnungen) Zur Durchführung des ersten Verfahrens bedurfte es verwendet, doch die Höhe von 5 cm} wurde anscheizum einen der Kenntnis des pythagoreischen Lehrsatnend beibehalten, was den komplizierten Messbedingungen nur dienlich sein konnte. Selbst wenn von dieser Höhe abgewichen wurde, geschah dies mit Bedacht 35 Alle Angaben nach Richard A. Goldthwaite, La costruund kontrolliert. Manetti berichtet, Brunelleschi habe zione della Firenze rinascimentale. Una storia economica e sociale, Bologna 1984, S. 295 f. jeden einzelnen Ziegelstein persönlich begutachtet.’ Angesichts der etwa vier Millionen Ziegel, die für den 36 Vgl. dazu Fanelli (wie Anm. 5), S. r8ff. 37 Manetti/Saalman (wie Anm. 33), Zeile 1033-1041.

3. der halbe Durchmesser bei der aktuellen Kuppelhöhe (r) Konstant bleibt der Abstand von den Konstruktionspunkten des quinto acuto (Q) zum Mittelpunkt (M) (= 13,5 m). Und eine Binsenweisheit ist es, dass durch den Einsatz des Lotes die Strecken k + r und H bzw. k und MMK jeweils einen rechten Winkel bilden. Gemäß dem pythagoreischen Lehrsatz ergeben folglich (k + r)? + H? = QG? und h? + r? = GMK?. Entsprach QG: dem Quadrat über dem Radius des quinto acuto von 36 m (= 1296) und GMK? dem Quadrat über der bekannten Lange des gualandrino-Seiles, stand fest: GMK, das gespannte Seil vom Mittelpunkt des Kettensterns bis zur obersten Steinlage, ist ein Teilabschnitt des vorTambour gegebenen quinto acuto-Radius. Und der Winkel a entsprach dem kontinuierlich ansteigenden Neigungswinkel, der identisch ist mit dem Anstiegswinkel zwischen dem Radius des quinto acuto und der Basislinie der Kuppel. Entsprach (k + r)? + H? nicht 36? und h? + 1? nicht dem Quadrat über der bekannten Länge des Sei11. Florenz, Schnitt der Domkuppel: Q = Konstruktionspunkte des quinto acuto, M = Mittelpunkt der Kuppel, markiert im Kuppelgrundriss am Vierungsboden, G = Anschlagstelle der Seile des »gualandrino« an oberster Steinlage, MK = Mittelpunkt des Kettensterns mit Drehgelenk, dem »gualandrino« für die drei Seile (»gualandrino con tre corde«), L = Lote, KS = Kettenstern, S = Schnittpunkt von Basislinie und Lot bei G, H = über das Lot ermittelte aktuelle Kuppelhöhe (= Gesamthöhe bei G vom Vierungsboden, davon abgezogen die 54,3 m Höhe des Unterbaus mit Tambour), h = Gesamthöhe H minus MKM (über Lot ermittelt, davon abgezogen die 54,3 m Höhe des Unterbaus mit Tambour), r = über das Lot ermittelter halber Durchmesser (durch die Ecken gemessen) bei der aktuellen Kuppelhöhe, k = konstant bleibender Abstand von Q zu M (= 13,5 m), a = Neigungswinkel les, gab es nur eine Größe, die korrigiert werden muss- 3% Darunter der angesehene Mathematiker Giovanni dell’Abaco. Er wird zusammen mit Brunelleschi am 19. Mai 1417 für Ratschläge bezüglich der Kuppelwölbung bezahlt: vgl. Fabriczy (wie Anm. 26) S. 543f. Zu den Beratern ist auch einer der berühmtesten Gelehrten der Florentiner Frührenaissance, Paolo dal Pozzo Toscanelli (1397-1482), zu zählen, der nach Manetti u.a. mit Brunelleschi befreundet war: vgl. Manetti/Saalman (wie ff. Anm. 33), Zeile 409 39 Vitruv beschreibt im 9. Buch seiner De Architectura Libri Decem (Vorrede, 214, 6ff., Edition von Curt Fensterbusch, Darmstadt 1981) ausführlich den pythagoreischen Lehrsatz (inklusive des klassischen Modells 32 + 42 = 52), sogar mit der Empfehlung, ihn etwa beim Treppenbau praktisch umzusetzen. In Florenz war Vitruv seit Mitte des 14. Jahrhunderts gut bekannt. Sowohl Petrarca als auch Boccaccio besaßen eine Vitruv-Handschrift, und Lozes, die man bei Brunelleschi und seinem Beraterstab3® voraussetzen kann.39 Zum anderen waren ein konstantes Maß sowie zwei leicht ermittelbare Maße erforderlich (Abb. 11): 1. 36 m. Das ist der vorgegebene Radius des quinto acuto (in der Zeichnung die Strecke QG) 2. die jeweils aktuelle Höhe der Kuppel (H) renzo Ghiberti, Brunelleschis schärfster Konkurrent beim Bau der Domkuppel, rezipierte den Traktat ausgiebig in seinen Commentarii: vgl. u.a. Hanno-Walter Kruft, Geschichte der Architekturtheorie, München 71986, S. 42. Bei Evers und Thoenes findet die Vitruv-Rezeption vor Alberti keine Erwähnung: vgl. Bernd Evers und Christof Thoenes u.a., Architekturtheorie von der Renaissance bis zur Gegenwart, Köln u.a. 2003. Außer der Domkuppel verweisen auch Brunelleschis andere Bauten auf eine Auseinandersetzung mit Vitruvs De Architectura Libri Decem, worauf an dieser Stelle jedoch nicht weiter eingegangen werden kann.

te: GMK. Denn k blieb konstant (= 13,5 m) und r war praktiziert wurde. In seinem gegen 1220 verfassten ebenso gegeben wie die aktuelle Kuppelhôhe H. In Werk Practica geometriae setzt sich Fibonacci ausdiesem Fall musste ftir die korrekte Lage der nachsten giebig mit Euklids Elementen auseinander und liefert Ziegelschichten der Mittelpunkt des Kettensterns über u.a. einen weiteren Beweis für den pythagoreischen das Aushangen der entsprechenden Anzahl von Ket- Lehrsatz. Außer geometrischen Theoremen behandelt tengliedern so lange austariert werden, bis er an der Fibonacci darin aber auch praktische Fragen zur Land- Stelle saß, die zur richtigen Lange der gespannten guavermessung, zur Berechnung von Polygonen oder zur landrino-Seile führte. Höhenberechnung hoher Objekte mit Hilfe ähnlicher Dreiecke. Deren Basisdefinition lautet: Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn man sie durch Kongruenzabbil- IV. B: Mit Hilfe geometrischer Figuren Fibonaccis dungen zu einer Strahlensatzfigur ergänzen kann. Nichts anderes gilt für die Dreiecke QMKM und QGS. Auf Theoremen des Pythagoras aufbauend entwickelte Dass Brunelleschi Fibonaccis Practica geometriae zu Euklid in seinen Elementen die Geometrie über Stre- Rate zog, als er es sich in den Kopf gesetzt hatte, das ckenverhaltnisse, deren Anwendung auf anderem Wege, aber mindestens genauso einfach, die Bestimmung knapp 90 m hohe Objekt der Kuppel ohne Lehrgeriiste zu hauen, liegt auf der Hand. Fibonaccis Schriften der richtigen Position des Mittelpunkts des Kettensterns ermôglichte. Die hierfür erforderliche Strahlenwaren in Florenz schon seit dem Ende des 13. Jahrsatzfigur war gegeben (Abb. 11): Der Radius des quinto acuto (36 m) und die Basislinie der Kuppel schneiden übertrug Cristofano di Gherardo di Dino die Practica geometriae ın die italienische Sprache und fügte zum sich in Q und das Mittellot verläuft parallel zu H. Die Kenntnis von Euklids Geometrie der Streckenhinzu.43 Die Zeichnung Nr. 141 zeigt eine gleichfalls verhältnisse dürfte Brunelleschi allerdings indirekt verauf ähnlichen Dreiecken basierende Figur mit acb / ade mittelt worden sein — über den vielleicht bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters, Leonardo da Pisa, bes- (Abb. 12),44 die der Strahlensatzfigur QMS / QMKG hunderts bestens bekannt.** Zwischen 1389 und 1443 besseren Verständnis auch geometrische Figuren ser bekannt als Leonardo Pisano Fibonacci (ca. 1170- ca. 1240).4° Fibonacci erlernte im heutigen Algerien indische Zahlenzeichen einschließlich des Zeichens o und arabische Berechnungsmethoden. Die Einführung sowohl der indischen Zahlen als auch der arabischen Berechnungsmethoden im Abendland ist maßgeblich ıhm 4° Marcello Morelli und Marco Tangheroni (Hrsg.), Leonardo Fibonacci. Il tempo, le opere, l’eredità scientifica, Pisa 1994. 4 = ct oder Lesevergniigen eines Mathematikers, Mannheim 1992. 4 he zu verdanken. Er entdeckte sodann eine nach ihm be- Door, lange Zeit als das Lehrbuch der Rechenkunst schlechthin.* Dies hatte zur Folge, dass gerade in Florenz das Rechnungswesen von den in den zahlreichen AbacıSchulen ausgebildeten Kaufleuten auf höchstem Niveau und mit einem legendären ökonomischen Erfolg in: Renaissance Quarterly, 28, 1976 (Winter), S. 483-503. Darin wird u.a. auch eine bisher offenbar kaum näher beachtete Handschrift in italienischer Sprache die Addition der beiden vorausgehenden Zahlen ergibt - also 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc. Zum geometrische Proportion des Goldenen Schnitts. Sein Liber abaci von 1202 (1228 ergänzt) galt in der Toskana Vgl. dazu Diane Finiello Zervas, The trattato dell’Abaco and Andrea Pisnano’s Design for the Florentine Baptistry nannte und im Folgenden noch bedeutsame Zahlenfolge, bei der eine beliebige Zahl dieser Folge sich durch Komplex dieser Zahlenfolge gehört die von Fıbonaccı gleichfalls beispielhaft theoretisch fundiert erklärte Vgl. hierzu Heinz Liineburg, Leonardo Pisani Liber Abavon circa 1290 mit dem Titel Aritmetica e geometria di Leonardo Fibonacci in der Florentiner Biblioteca Riccardiana (Codex 2404) erwähnt: ebd., S. 486. 4 Las Gino Arrıghi (Hrsg. u. Einführung), Leonardo Fibonacci: la pratica di geometria. Volgarizzata da Christofano di Gherardo di Dino, cittadino pisano. Dal codice 2186 della Biblioteca Riccardiana di Firenze (Testimonianze di Storia delle Scienze, 3), Pisa 1966, hier: S. 95. 44 Ebd., S. 95: »Se vuoj sapere la latitudine d’alcuno fiume, o d’altra cosa, piglia uno legnio che cti giungha in fine agli occhy et abbine un altro che sia minore uno ghovito. Et pone lo primo legnio, cioé lo maggiore, alla riva dell’acqua et tu sta’ presso a lluj et sia lo legnio a.b.. Et or pone altro legnio diricto dal lato .a., si come tu vedi questo

metrischen Entwurfs dürften alle erforderlichen Vorgaben für den Kuppelbau bestimmt worden sein: der Durchmesser an der Basis der Kuppel, ihr Mittelpunkt, der Radius des quinto acuto (= 36 m), dessen Konstruktionspunkte, die Form der certine und damit der 12. Figur 141 aus Schnitt der Kuppel sowie deren achteckiger Grundriss. Fibonaccis Practica geometriae nach der Auch für die Konstruktion eines gleichseitigen Okto- Fassung von Cristogons großen Ausmaßes liefert Fibonacci nach Gherfano di Gherardo di Dino aus Pisa (entstanden zwischen ardo di Dino im Kapitel über »Ragione della tersa parte della misura delle terre che änno piü latj« im Übrigen 1389 und 1443) mit eine verlässliche Methode (Fig. 54, 55).*° Was und wied viel Brunelleschi von Schnitt und Grundriss der Kupden Proportionen gemäß dem erläuternden Text: ac: cd = acb : be. Die Figur ist zum besseren Verständnis in diesem Zusammenhang um 90° gegen den Uhrzeigersinn gedreht. pel bei der Vermessungsaktion am Arnoufer in den Sand einritzen ließ, könnte ohne Weiteres im Versuch eruiert werden. Dabei sollte auch eine Art Vorform des Theodoliten eingesetzt werden — hölzerne Stangen als Distanzmesser, wie sie Fibonacci empfahl: »Se vuoj sapere la latitudine d’alcuno fiume, o d’altra cosa, a c b piglia uno legnio che cti giungha in fine agli occhj et abbine un altro che sia minore uno ghovito. ...«47 Fibonacci war keineswegs nur dem Konstrukteur der entspricht (Abb. 11); man muss Figur 141 nur um 90° Domkuppel bekannt. Dokumentiert ist dies im Jahr gegen den Uhrzeigersinn drehen, wie es in Abbildung 1436 und abermals fiir kein anderes Objekt als den Flo- 12 geschehen ist. rentiner Dom und seine soeben fertig gestellte Kuppel. Fibonacci gibt hierfür folgende Proportionen an: Wie schon erwahnt, waren 1367 144 braccia als Maf fiir ac:cd = acb:be. Auf die Strahlensatzfigur zur Kuppeldie Gesamthöhe vorgesehen. Auf die Distanz vom Vievermessung rungsboden bis zum Tambour sollten 89 braccia entübertragen, heißt dies: k:MMK = (k + r):H oder 13,5 m:MMK = (13,5 m + r):H. fallen und auf die Kuppel selbst 55 braccia. 55, 89 und Für die Einhaltung des quinto acuto-Radius (QG) bei 144 stellen aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen dar. den nächsten Steinschichten musste lediglich eine Welche Bedeutung der Zahlenfolge beigemessen wur- Strecke bestimmt werden: MMK, denn H und r waren de, zeigt in frappanter Weise die eigens fiir die Domüber das Lot leicht zu ermitteln. Mit dieser Gleichung weihe am 25. März 1436 von Guillaume Dufay (ca. konnte die gesuchte Höhe MMK »sansa dubbio«* er- 1400—ca. 1474) im Auftrag Papst Eugens IV. komporechnet werden und damit auch die Position des Mitnierte Festmotette Nuper rosarum flores. Dufay, fühtelpunktes des Kettensterns (MK) auf dem quinto render Musiker und Komponist seiner Zeit, nimmt im acuto-Radius sowie die Länge GMK. Es mussten dann nurmehr so viele Kettenglieder ausgehängt werden, wie es die neue Höhe MMK erforderte. Figur 141 war für die Ermittlung der Breite eines Flusses gedacht - allerdings auch für »d’altra cosa«. So spricht auch nichts gegen ihre Verwendung beim Kuppelbau. In Erinnerung gerufen sei, dass Brunelleschi nach Informationen Giovanni Battista Gellis am Ufer des Arno einen Aufrissplan der Kuppel im Maßstab 1:1 in den Sand einritzen ließ. Anhand dieses riesigen geo- .c.d., et or considera di vedere per .a.d. infine al’altra ripa del fiume segniata .e.. Inperciò ch’io ti pognio che lo .b.e. sia la larghessa del fiume et lo .a.e. è lo verso indirecto. Et però considera quant lo .a.c. al .c.d., chè così come è lo .a.c. al «c.d. così è lo .a.c.b. al .b.e.; pensa: se’ .c.d. è doppio del'.a.c. che ’1 .b.e. è doppio del .b.c.a. et s’è tre tanto l’uno, tre tanto l’altro et se tanto, tanto. Et questo è sansa dubbio.« 45 »... Et questo è sansa dubbio«, S. Anm. 44. 46 Arrighi (wie Anm. 43), S. 62f. 47 Vgl. Anm. 44.

Aufbau dieser Motette vielfach Bezug aut die Archiacuto = ca. 36 m, k = ca. 13,5 m) in der bisherigen Fortektur und spielt in der Anzahl der den einzelnen Stimschungsliteratur eine neue Vermessung, dic, was bisher men zugeteilten Tönen, in der Tonhöhenstatistik und kaum geschehen ist, vor allem den Unterbau, die Vieselbst in der Anzahl der Textbuchstaben unverkennbar rung, einbeziehen sollte.5! Es wurden in jüngerer Zeit auf die Fibonacci-Zahlenfolge und den mit dieser eng zwar mehrere neue Kuppelmodelle vorgestellt,5? doch verbundenen Goldenen Schnitt an.4® Die Festlegung sagen diese trotz erkenntnisreicher Detailinformatiovon 55, 89 und 144 braccia als Maße für die zu erbaunen aus fotogrammetrischen Kurvenanalysen u.a. weende Kuppel bereits im Jahr 1367 klärt zudem, dass nig über die angewandten grundsätzlichen Vermesschon damals Fibonaccis Zahlenfolge bekannt war. Insungsverfahren aus. Zudem gerät dabei die Kuppel als sofern verwundert es nicht, dass auch der tatsächliche Architekt und Konstrukteur der Kuppel Brunelleschi eine Ganzheit, als der krönende Abschluss des archiauf die mathematischen Erkenntnisse des Leonardo da Pisa zurückgriff, zumal da Brunelleschi den Eid auf das Modell von 1367 leisten musste, wie es in den Statuten der Domopera festgeschrieben war.” Dass die Maße dann nicht eingehalten wurden, ist weniger Brunelleschi als vielmehr den Baumeistern des Tambours zuzuschreiben. # Rolf Dammann, Die Florentiner Domweihmotette Dufays (1436), in: Wolfgang Braunfels, Der Dom von Florenz, Olten 1964, S. 73-85. Hans Ryschawy, Guillaume Dufay, München 1988 (edition + text), passim. Aufnahme/CD Sampler »The Hilliard Ensemble« EMI reflexe CDZ 767118-2. Zu Dufay s. a. die jüngst erschienene umfangreiche Monographie von Peter Gülke, Guillaume Du Fay. Musik des 15. Jahrhunderts, Stuttgart 2004. 49 Saalman (wie Anm. 1), S. 45 ff. $2 Leon Battista Alberti konsultierte Fibonaccis Practica geometriae offenbar für sein Malercitraktat, der gegen V. Die Domkuppel und die zentralperspektivische Konstruktion Mit den vorgestellten Messmethoden konnte die Kuppel dreifach kontrolliert erbaut werden. Die empirische Methode lieferte die Basis, d.h., sie lieferte mit dem Grundriss der Kuppel im Vierungsboden, dem Kettenstern, den Loten, den »cientine« und dem »gualadrino con tre corde« die erforderlichen Instrumente für die mathematischen Verfahren nach Pythagoras und Fibonacci. Vor allem Letzterer dürfte mit seinem Lehrbuch über angewandte Geometrie für die Berechnung des 1436, im Jahr der Domweihe entstand: vgl: Leonardo Olschki, Die Literatur der Technik und der angewandten Wissenschaft. Geschichte der neusprachlichen wissenschaftlichen Literatur vom Mittelalter bis zur Renaissance, Heidelberg 1919, Bd. 1, S. 67. Zur Fibonacci-Rezeption Albertis in seinen »Mathematischen Spiclen« siche Pierre Souffrin, La geometria practica dans Les ludi rerum mathematicarum, in: Albertiana, 1, 1998, S. 87-104. In der Brunelleschi-Forschung spielte Fibonacci bisher keine Rolle. Trachtenberg halt bei der Domkuppel die Fibonacci-Zahlenfolge (55, 89, 144) fiir zufallig, und bei der Motette Dufays wird die Zahlenfolge nicht erkannt: Marvin ‘Trachtenberg, Architecture and Music Reunited. A New Reading of Dufay’s Nuper Rosarum Flores and the Cathedral of Florence, in: Renaissance Quarterly, LIV/3, 2001, S. 741-775. Auf Trachtenbergs überzogenen ikono- Neigungswinkels entscheidend gewesen sein. Diese logischen Deutungen des Domes wird an anderer Stelle bestätigt Brunelleschis schon zu Lebzeiten gerühmten außerordentlichen Fähigkeiten nicht nur als Architekt geometriae Fibonaccis auf Florentiner Stadtgriindungen und Ingenieur, sondern auch als Mathematiker auf den Spuren des großen Pisaners, wobei die kunsthistortschen Forschungen zur Rezeption der angewandten Geometrie Fibonaccis allerdings generell noch am Anfang stehen.5? Beabsichtigte computergestützte Simulationen tiber die hier abgebildeten schematischen Darstellungen hinaus sollen Brunelleschis Vermessungsverfahren noch deutlicher und anschaulicher demonstrieren. Einhergehen miisste angesichts der divergierenden oder fehlenden Maßangaben (Radius des guinto cingegangen. Friedman hat einen Einfluss der Practica im 14. Jahrhundert erwogen (David Friedman, Florentine New Towns. Urban Desings in the Late Middle Ages, Cambridge/London 1988, S. 125-130). Zu Andrea Pisanos Auseinandersetzung mit Fibonaccis liber abaci s. Zervas (wie Anm. 42). Eine aufschlussreiche Grundlage besonders ftir Pisaner Bauten des Mittelalters ist Luigi A. Radicati di Brozolos (Hg.) Aufsatzband (Fibonacci tra arte e scienza, Pisa 2002). $1 Die Neuvermessung erscheint auch geboten im Hinblick auf das von Margaret Haines und anderen zur Zeit durchgeführte Projekt einer Präsentation aller Dokumente zum Kuppelbau der Jahre 1417 bis 1436 im Netz. URL: http://duomo.mpiwg-berlin.mpg.de. $2 Vel. dazu di Pasquale (wie Anm. 5), Abb. 21 ff.

tektonischen und liturgischen Zentrums des Domes, Tafeln nicht wie ein Maler mit der verkleinerten Abder Vierung, ins Hintertreffen. Welche Bedeutung gebildung der Wirklichkeit begnügte. Ihm ging es vielrade die Vierung für den Bau der Kuppel hatte, belegen mehr um die totale Illusion mit der zugegeben provodie angewandten Messmethoden. kanten Vermutung: Brunelleschi hätte bewegte Bilder, Der im Vierungsboden markierte Kuppelgrundriss den Film, schon erfunden, wenn er gekonnt hatte. Weil mit den Konstruktionspunkten des quinto acuto, der er es nicht konnte, ließ er Malerei Malerei sein und beviclfältige Einsatz von Loten und nicht zuletzt die schäftigte sich spätestens ab 1418 nicht mehr mit illumathematischen Methoden zeugen von einem Denken sionistischer, sondern nur mehr mit der wahrhaften in Projektionen, wie es zu Beginn des 15. Jahrhunderts Raumkunst, der Architektur. nur dem Erfinder der mathematisch entwickelten zentralperspektivischen Konstruktion zuzutrauen war.3 Diese steckt auch hinter Brunelleschis Vorgehen - VI. Nachtrag allerdings in umgekehrter Anwendung: Ein dreidimensionales Objekt wird nicht auf eine zweidimensio- Um die Leistung der ohne Lehrgertiste erbauten Kupnale Oberfläche projiziert, sondern die Projektion, der pel von S. Maria del Fiore ermessen zu kônnen, môge Grundriss der Kuppel im Vierungsboden von S. Maria man die 1945 zerstörte, inzwischen wieder hergestellte del Fiore, dient der Errichtung des dreidimensionalen Frauenkirche in Dresden, dem Elbflorenz, besuchen. Körpers, der Kuppel. Projektion und Kuppel haben Ihre allerdings — im Unterschied zu den verkleinerten spruchsvolle, aber deutlich kleinere Kuppel als jene des konstruktionstechnisch gleichfalls höchst an- Scheinwelten zentralperspektivisch angelegter Bilder - Florentiner Domes wurde beim Wiederaufbau mit imein und denselben Maßstab. Seit sich Brunelleschi spämensem testens 1409 aktiv in das Geschehen um die Kuppel ein- Computerprogramme mischte,S* dürften Kuppelkonstruktion und zentralschließlich perspektivische Konstruktion in seinen Überlegungen Lehrgeriisten, die vom Fußboden der Frauenkirche bis deshalb parallel geschaltet gewesen sein, oder vielmehr: zum Kuppelscheitel reichten. Hichtech-Aufwand, aus mit dem Hilfe spezieller Flugzeugbau ein- 3-D-Simulationen errichtet — und: mit Die Überlegung von der zweidimensionalen Projektion, aus welcher der dreidimensionale Körper der Kuppel entstehen sollte, war die Voraussetzung für den Bau der Kuppel. Dass die Erfindung der zentralperspektivischen Konstruktion auch die Malerei revolutionteren würde, war Brunelleschi selbstverstindlich bewusst, doch für ıhn anscheinend von geringerem Interesse als das Gelingen der Kuppel. So schuf er zwar gegen 1413 zwei nur durch Beschreibungen bekannte 53 Vgl. hierzu Manctti/Saalman (wie Anm. 33), Zeile 143 f., 149, 167t., 204f. Giorgio Vasari, Le vite de pin eccellenti pittori, scultori e architettori, (1568) Nachdruck hg. v. Paola della Pergola, Luigi Grassi und Giovanni Previtali, 9 Bde., Novara 1967, hier: Bd. 2, S. 245 ff. Auch für Brunelleschis Perspektivexperimente dürften Euklids Lehrsätze (vgl. hierzu Samuel Y. Edgerton, Die Entdeckung der Perspektive, München 2002, S. 124ff.) im Übrigen über Fibonacci vermittelt worden sein. Dazu ist eine eigene Bildtafeln mit dem Florentiner Baptisterium respektive Untersuchung in Bearbeitung. Auch Hoffmann (wie dem Palazzo Vecchio, bei denen er u.a. durch den Ein- Anm. 18) sicht einen Zusammenhang zwischen Kuppelsatz von Spiegeln alle erdenklichen Register illusionistischer Möglichkeiten eines zentralperspektivischen Bildaufbaues zog. Doch die experimentelle, auf optische Täuschung angelegte Anwendung der Zentralperspektive legt nahe, dass sich Brunelleschi bei diesen bau und zentralperspektivischer Konstruktion, jedoch in cinem vollkommen anderen Verständnis. 54 Saalman (wie Anm. 1), S. 246. Zusammen mit Ghiberti und anderen erstellte Brunelleschi schon 1404 ein Gutachten betreffs cines Fehlers, der bei der Aufmauerung der Strebemauern der Chortribunen des Domes begangen worden sein soll, vgl. Fabriczy (wie Anm. 26), S. 541.

Summary lines and templates pushed upwards along the ribs on Up to now it is not understood, how the Cupola of describe a circle at the uppermost course of brick, thus the outside of the cupola. The ropes were made to Florence cathedral was surveyed while construction creating in effect a >rotation cupola. Similar triangles was in progress. This thesis postulates that Brunellewere generated with ropes and plumb lines, by which schi used mathematical procedures according to Pymeans the essential measurements could be monitored: thagoras and above all Fibonacci. His surveying inthe 36-metre radius of the guinto acuto, the geometric struments were a chain-star hung across the cupola to figure prescribed in 1367, and, therefore, the increase in converge at the centre, a pivot joint fastened to this centhe angle of inclination of both rising shells as well as tral point with three ropes leading to the course of brick the radial alignment of the building elements and their being laid and stretched taut there, as well as plumb downwards tilt. Abbildungsnachweis: 1: Archiv der Verfasserin. — 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11: Krämer (wie Anm. 3). — 4: Saalman (wie Anm. 1). - 6: Di Pasquale (wie Anm. 5), Abb. 54. - 12: Arrighi (wie Anm. 43), Fig. 141.