De l'idee de nombre

Numb DE L'IDÉE DE NOMBRE SAS 3 \Ra CONSIDEREE COMME FONDEMENT DES SCIENCES MATHÉMATIQUES! Ad "Aptôpos Yewuerpei. 1. Les spéculations mathématiques sont de deux sortes : les unes, réductibles à la seule notion de nombre‘entier, constituent dans leur ensemble la science du Nombre ou Analyse mathématique; les autres, quel qu'en soit l'objet, constituent dans leur ensemble les Mathématiques appliquées: la Géométrie, la Mécanique, la Physique mathématique sont les branches les plus importantes des Mathématiques appliquées *. En considérant sous leur véritable jour les extensions successives que reçoit l'idée de nombre dans l'Analyse mathématique, on conçoit assez facilement que l'Analyse tout entière puisse, comme nous mentale. Faute d'une exposition détaillée, que nous ne pouvons venons de le dire, se ramener à une seule et même notion fondaévidemment développer ici, nous nous bornerons à indiquer sommairement les traits essentiels de cette généralisation progressive. Nous examinerons ensuite ce que l’on doit penser des Mathéma2 3. Nous nommerons expression fractionnaire ou fraction la simple tiques appliquées. 2. Contrairement à l'usage, je considère la Géométrie comme une science 4. Ce mémoire, termine des le mois de décembre 1892, a Clé adressé à la Revue de Métaphysique et de Morale dans les premiers jours du mois de janvier 1893. appliquée; j’expose d'ailleurs plus loin les raisons de celle manière de voir. 3, Les considérations résumées dans les n° 2, 3, 4, 5, concernant l'extension progressive de l'idée de nombre, ont été développées par M. Méray dans diverses publications, dont voici les titres : 1800) fractions et les quantités négatives (Nouvelles Annales de Mathématiques, L Le sens qu'il convient d'attacher à l'expression «nombre incommensurable » Sur et sur de eritérium de Pexistence d'une limite pour une quantité variable de nature donnée (Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, 1887): Nouveau Précis d'Analyse infinitésimale, chap. 1. La partie la plus importante de cette même queslion a été également trailée C. RIQUIER. — DE L'IDÉE DE NOMBRE. 347 association, dans un ordre déterminé, de deux entiers dont le prezéro, dénominateur. La fraction qui a pour numérateur 7 et pour mier s'appelle numeraleur, et le second, essentiellement différent de dénominateur d sera désignée par le symbole | n, d |. Deux expressions fractionnaires, | n',d’ |, | n°, a’ ‚seront dites de même valeur, si les produits entiers n' d”, nd’ sont égaux entre eux. On démontre sans peine : 4° que deux fractions équivalentes à une même troisième sont équivalentes entre elles; 2° que la formule générale des expressions fractionnaires équivalentes à une expression donnée | n, d | est | vt, 0 {, où v. 3, désignent les quotients de autre, et l’on convient de dire que leur valeur commune est nulle. n, d'par leur plus grand commun diviseur, et f un entier arbitraire (différent de zéro). Les diverses expressions fractionnaires qui on! pour numérateur l'entier zéro sont toutes équivalentes entre elles sans l'être à aucune | | Has ds I, Considérons deux expressions fractionnaires dont les valeurs soient inégales, adjoignons par la pensée à chacune d'elles toutes les expressions qui lui équivalent, et désignons par G,. G, les deux groupes ainsi obtenus. Si dans ces groupes respectifs on choisil à volonté deux expressions, | N, d, ent different ilestfacile de se convaincre que l'entier », d,, forcém dira que la valeur commune des expressions du premie r groupe est de Y'entier »3 d,, lui est ou constamment supérieur, ou constamment s G,, Gs: inférieur, indépendamment du choix opéré dans les groupe cas, on suivant qu'on se trouvera placé dans l'un ou dans l’autre est supérieure à une seconde, et celle-ci supérieure à une troisième, du supérieure où inférieure à la valeur commune des expressions valeur second. On établit d'ailleurs fort aisément que si une première la première est supérieure à Ja troisième. e la plus Notre definition de l'équivalence nous fournit de la manièr ire À simple les diverses solutions du problème suivant : constru la notion de nombre irrationnel à par M. Kronecker, de Berlin, qui ramène adopté par M. Méray me semble celle de nombre rationnel: le point de vue orer encore, en modifiant toutefois préférable, el je me suis efforcé de l'améli arithmétiques, qui m'a paru avantageux la définition des fractions dans un sens es, la notion de valeur infinitésicelle de equivalence des variantes qualifié male, etc. ı U ies 11 ees mn

CONSIDÉRÉE COMME FONDEMENT DES SCIENCES MATHÉMATIQUES: "Act 6 “Aptpes yewperpet. 1. Les spéculations mathématiques sont de deux sortes : les unes, réductibles à la seule notion de nombre entier, constituent dans leur ensemble la science du Nombre ou Analyse mathématique; les autres, quel qu'en soit l’objet, constituent dans leur ensemble les Mathematiques appliquées: la Géométrie, la Mécanique, la Physique mathématique sont les branches les plus importantes des Mathématiques appliquées *. En considérant sous leur véritable jour les extensions successives que reçoit l’idée de nombre dans l'Analyse mathématique, on conçoit assez facilement que l'Analyse tout entière puisse, comme nous venons de le dire, se ramener à une seule et même notion fondax mentale. Faute d'une exposition détaillée, que nous ne pouvons évidemment développer ici, nous nous bornerons è indiquer sommairement les traits essentiels de cette généralisation progressive. Nous examinerons ensuite ce que l’on doit penser des Mathématiques appliquées. 2 3, Nous nommerons expression fractionnaire ou fraction la simple 4. Ce mémoire, terminé dès le mois de décembre 1892, a été adressé à la Revue de Métaphysique et de Morale dans les premiers jours du mois de janvier 1893. 2, Contrairement à l'usage, je considère la Géométrie comme une science appliquée; Pexpose d’ailleurs plus loin les raisons de cette manière de voir. 3. Les considérations résumées dans les n° 2, 8, 4, 5, concernant Pextension progressive de l'idée de nombre, ont été développées par M. Méray dans diverses publications, dont voici les titres : Les fractions et les quantités négatives (Nouvelles Annales de Mathématiques, », à l'expression « nombre incommensurable See le sens qu'il convient d’attacherlimite pour une quantilé variable de nature 4890) ; et sur le critérium de l'existence d'une donnée (Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, 1881); Nouveau Précis d'Analyse infinitésimale, chap. 1. La partie la plus importante de cette méme question a été également traitée

association, dans un ordre determine, de deux entiers dont le premier s'appelle numerateur, et le second, essentiellement different de zéro, dénominateur. La fraction qui a pour numérateur n et pour dénominateur d sera désignée par le symbole | n, a i. Deux expressions fractionnaires, | n’, d' I, | n", dl” |, seront dites de même valeur, si les produits entiers n’ d", n’d’ sont égaux entre eux. On démontre sans peine : 4° que deux fractions équivalentes à une même troisième sont équivalentes entre elles; 2 que la formule générale des expressions fractionnaires équivalentes à une expression donnée { n, d | est | vi, dE |, ott y, è, désignent les quotients de n, d par leur plus grand commun diviseur, et ¢ un entier arbitraire (différent de zéro). Les diverses expressions fractionnaires qui ont pour numérateur l’entier zéro sont toutes équivalentes entre elles sans l’être à aucune autre, et l’on convient de dire que leur valeur commune est nulle. Considérons deux expressions fractionnaires dont les valeurs soient inégales, adjoignons par la pensée à chacune d'elles toutes les expressions qui lui équivalent, et désignons par G,, G, les deux groupes ainsi obtenus. Si dans ces groupes respectifs on choisit à volonté deux expressions, | n,, d, I, | Ny, da h il est facile de se convaincre que l’entier n, da, forcément different de l’entier me d,, lui est ou constamment supérieur, ou constamment inférieur, indépendamment du choix opéré dans les groupes G,, G, : suivant qu'on se trouvera placé dans l’un ou dans l’autre cas, on dira que la valeur commune des expressions du premier groupe est supérieure ou inférieure à la valeur commune des expressions du second. On établit d’ailleurs fort aisément que si une première valeur est supérieure à une seconde, et celle-ci supérieure à une troisième, la première est supérieure à la troisième. Notre définition de l’équivalence nous fournit de la manière la plus simple les diverses solutions du problème suivant : construire A % par M. Kronecker, de Berlin, qui ramène la notion de nombre irralionnel à celle de nombre rationnel; le point de vue adopté par M. Méray me semble toutefois préférable, et je me suis efforcé de l'améliorer encore, en modifiant dans un sens qui m'a paru avantageux la définition des fractions arithmetiques, celle de l’équivalence des variantes qualifiées, la notion de valeur infinitésimale, etc.

expressions fractionnaires de méme dénominateur, dont les valeurs soient données. Cela posé, si l’on désigne par les h expressions fractionnaires dont l’ensemble constitue une solution quelconque du problème dont il s’agit, l'expression fractionnaire déduite des précédentes par l'addition des numérateurs, varie, il est vrai, avec la solution considérée, mais garde une valeur constante, qui est, par définition même, la somme des valeurs proposées. Si, des valeurs fractionnaires quelconques étant données, on en considère des expressions respectives quelconques | a, b I, | c,d desc... | I, m I, l'ex pression fractionnaire } (ac.... 2), (bd..... m) |, déduite des précédentes par la multiplication des termes semblables, varie encore avec les expressions choisies pour les valeurs proposées, mais garde une valeur constante, qui est, par définition méme, le produit des valeurs proposées. Quant à la soustraction et à la division des valeurs fractionnaires, nous les définirons, suivant l'habitude, comme les opérations inverses de l'addition et de la multiplication. Retrancher d'une valeur donnée une autre valeur donnée, c'est trouver une troisième valeur qui, ajoutée à la seconde, régénère la première. Diviser une valeur donnée par une autre valeur donnée, c'est trouver une troisième valeur qui, multipliée par la seconde, régénère la première. En résumé, le point de vue purement arithmétique auquel nous venons de nous placer conduit exactement aux mêmes règles que le point de vue physico-arithmétique auquel on se place presque toujours. Finalement, et bien qu’en fait la notion de fraction ait sa source incontestable dans la recherche d'un procédé commode pour mesurer les grandeurs concrètes, on peut lui assigner, comme origine logique, la recherche d'une commodité analytique. Effectivement, si dans le monde des valeurs entières, addition et la multiplication sont des opérations toujours possibles, il n’en est pas de même, à beaucoup près, de la soustraction et de la division : il n’existe, par exemple, aucun entier qui, ajouté à 4, reproduise 3; il n'existe non plus aucun

entier qui, multiplié par 5, reproduise 7. Or il résulle des règles posées ci-dessus que, dans le monde des valeurs fractionnaires, cette impossibilité éventuelle n'existe plus quand il s'agit de la division *. D'autre part, il résulte de ces mêmes régles que si l’on a à effectuer sur des valeurs données, dans le monde des entiers, une suite quelconque d'opérations (toutes possibles), l’entier qui en résulte finalement peut être obtenu à l'aide d'un artifice consistant : 4° à se transporter du monde des valeurs entières dans celui des valeurs fractionnaires, et à substituer respectivement aux entiers donnés les valeurs des fraclions ayant pour numérateurs ces entiers mêmes et pour dénominateur l'unité ; 2° à effectuer, au lien des calculs indiqués sur les entiers primitifs, les calculs parallèles sur les valeurs fractionnaires ainsi obtenues; 3° à prendre le numérateur du résultat, préalablement réduit à sa plus simple expression. Supposons maintenant qu'on ait à résoudre une question quelconque ressortissant au monde des entiers, et admeltons, pour fixer les idées, que l'énoncé de cette question se traduise analytiquement par un groupe d'équations reliant certains entiers connus à d'autres entiers inconnus : on peut, d’après ce qui précède, assimiler tacitement ces diverses valeurs entières à autant de valeurs fractionnaires, puis chercher les solutions du nouveau système ainsi obtenu (ou plutôt celles d'entre elles dont les dénominateurs deviennent égaux à l'unité après réduction). Toute question ressortissant au monde des valeurs entières peut donc se ramener à une question ressortissant au monde des valeurs fractionnaires; la plupart du temps elle se trouve ainsi généralisée, et l’on s’assure en tous cas l’avantage de ne jamais être arrêté dans les transformations analytiques par des divisions impossibles. 3. Voici comment il convient de définir les quantités positives et négatives. A toute valeur fractionnaire non nulle on fait correspondre deux valeurs, que l'on qualifie l’une de positive, l'autre de negative; à la valeur nulle on fait correspondre une seule valeur, que l’on qualifie de neutre : les diverses valeurs qualifiées ainsi obtenues sont, par convention, toutes distinctes entre elles. Deux valeurs qualifiées, l'une positive, l’autre négative, correspondant à une même valeur absolue, sont dites opposées; la valeur neutre est considérée comme étant son 1. Excepté toutefois si le diviseur est nul.

opposée à elle-même. L'addition et la multiplication des valeurs qualifiées se définissent par des règles conventionnelles, dans le détail desquelles il est inutile que nous entrions; la soustraction et la division sont les opérations respectivement inverses des précédentes. Enfin, la valeur qualifiée a, distincte de 5, lui est dite supérieure ou inférieure, suivant que la différence a — b est positive ou negative: on démontre sans peine que si une premiere valeur qualifiée est supérieure à une seconde, et celle-ci supérieure à une troisième, la première est supérieure à la troisième. On peut assigner aux quantités qualifiées une origine analogue à celle des fractions. Effectivement, si, dans le monde des valeurs fractionnaires, il se présente souvent des soustractions impossibles, cetie impossibilité éventuelle se trouve entiérement supprimée dans le monde des valeurs qualifiées, en vertu des regles conventionnelles qui président à leur calcul. D'autre part, il résulte de ces mêmes règles que si l’ona à effectuer sur des valeurs données, daus le monde des fractions, une suite quelconque d’opérations (toutes possibles), le résultat cherché peut s’obtenir à l'aide d'un artifice consistant : I» à se transporter du monde des valeurs fractionnaires dans celui des valeurs qualifiées, et à substituer aux valeurs absolues données les valeurs positives ou neutres qui leur correspondent respectivement; 9° à effectuer, au lieu des calculs indiqués sur les valeurs absolues primitives, les calculs parallèles sur les valeurs qualifiées qui leur ont été substituées; 3° à prendre la valeur absolue du résultat. Toute question ressortissant au monde des valeurs absolues peut donc se ramener à une question ressorlissant au monde des valeurs qualifiées: la plupart du temps, elle se trouve ainsi généralisée, et l'on s'assure en tous cas l'avantage de ne jamais être arrêté dans les transformations analytiques par des soustractions impossibles. 4, Nous nommerons variante qualifiée une valeur qualifiée variable dépendant de certains indices, c'est-à-dire de certains entiers indéterminés auxquels on peut attribuer tous les systèmes possibles de valeurs > 0}. Une variante qualifiée «a, »,., dépendant des indices m, n,... est dite infiniment petite, si à toute valeur positive « on peut faire corrique 4. Par exemple, le mTM* terme d'une progression arithmétique ou géomét rs dont le premier terme et la raison sont donnés, la somme des m premie dont termes de cette progression, leur produit, etc., sont autant de variantes plude fois chacune dépend de l'indice m. Souvent une variante dépend à sieurs indices.

C. RIQUIER. — respondre des entiers DE L'IDÉE DE NOMBRE. déterminés E, Ve... tels, que 351 les relations simultanées MZ PNT poo entrainent comme conséquence nécessaire la relation val. abs. Gm, n... < val. abs. e. En d'autres termes, une variante qualifiée est dite infiniment petite, si, à partir de valeurs suffisamment grandes de tous ses indices, sa valeur absolue reste constamment inférieure à celle d’une quantité positive donnée. | Une variante qualifiée Om, n... dépendant des indic es mM, Ri... est dite convergente, si la variante qualifiée nn tot a m syne TA m sous dépendant des indices m', n',..., m”, n',..., est infiniment petite. Telles sont, en particulier : 4° une variante infiniment petite; 2° une variante immobile, c'est-à-dire qui gard e toujours la méme valeur qualifiée, indépendamment des valeurs entières que l’on attribue aux indices. Une variante qualifiée est dite divergente lorsq u'elle n'est pas convergente. Deux variantes qualifiées Om... Baur) b LATE Prova) pouvant avoir un certain nombre d'indices communs, p,..., sont dites de méme valeur infinitésimale, si la vari ante b Y tà Russes Pag TT A Mis P gered dépendant des indices m.,..., Marcos p',......, p",..., est infiniment petite. On tire de ces définitions d'importantes cons équences, que nous allons énumérer. Deux variantes qualifiées équivalentes à une même troisième sont équivalentes entre elles. Deux variantes qualifiées équivalentes entre elles sont nécessairement convergentes. Toute variante convergente se transfor la simple addition d'un infiniment petit, me en une équivalente par et définit dès lors quelque valeur infinitésimale (on évitera de conf ondre la valeur infinitésimale . d’une variante avec ses valeurs actu elles, obtenues en attribuant aux indices des valeurs particulières quelconq Une variante divergente n’a pas de valeur infinitésimale, car elle

ne peut satisfaire, vis-a-vis d'aucune autre variante ni seulement d’elle-méme, à notre définition de l’équivalence. Toutes les variantes infiniment petites sont équivalentes entre elles, sans l'être à aucune autre variante convergente. Si l'on ne considère une variante convergente non infiniment petite qu’à partir de valeurs suffisamment grandes de tons ses indices, ses valeurs actuelles possèdent la double propriété : 1° de conserver des valeurs absolues constamment supérieures à celle d'une quantité positive convenablement choisie; 2° de conserver une qualification constante, qui est la mème pour la variante dont il s'agit et pour toutes ses équivalentes. Si l'on désigne par (4) A, B,..... L des valeurs infinitésimales données, et par (2) a, b,..., i des expressions quelconques de ces valeurs, chacune des expressions a, 6,..., l est une variante convergente dépendant de certains indices, et toute combinaison déterminée Q d’additions, soustractions et multiplications à exécuter sur a, b,..., l fournit une nouvelle variante ayant pour indices tous ceux des indices de a, b,..., E qui sont distincts entre eux. Cela posé, la variante ainsi engendrée est sa valeur infinitésimale est indépendante des diverses convergente, et manières dont peuvent être choisies les expressions (2) des valeurs données (1); cette valeur infinitésimale constante est, par définition, le résultat de l’opération Q exécutée sur les valeurs données. Si l’on désigne par A, B deux valeurs infinitésimales données, dont la seconde ne soit pas la valeur commune aux diverses variantes infiniment petites, si Pon désigne en outre par a, b, deux expressions quelconques de ces valeurs, le quotient de a par b est une variante convergente dont la valeur infinitésimale ne dépend pas du choix que l’on peut faire parmi les expressions diverses des valeurs données A, B; cette valeur infinitésimale constante est, par définition, le quotient de A par B. La valeur infinitésimale qui appartient exclusivement aux diverses variantes infiniment petites sera dite téléo-neutre. Toute autre valeur infinitésimale sera dite téléc-positive ou téléo-négative, suivant que les valeurs actuelles de l’une quelconque de ses expressions finissent par rester constamment positives ou constamment néga-

C. RIQUIER. — DE tives. De deux valeurs infinitésimales distinctes , la premiere sera, dite supérieure ou inférieure à la seconde, suivant que la diffé rence obtenue en retranchant la seconde de la première est téléo-positive ou téléo-négative : on démontre d'ailleu rs sans peine que si une première valeur infinitésimale est supérieure à une seconde, et celle-ci supérieure à une troisième, la première est supérieure à la troisième. On nommera opposée d'une vale ur donnée celle qui, par son addition aÿec la première, fournit une somme téléo-neutre, Enfin, une valeur infinitésimale sera dite comm ensurable ou incommensurable, suivant qu'elle admettra ou non quelque variante immobile au nombre de ses expressions : á tout e valeur qualifiés correspond ainsi une valeur infinitésimale commensur able, et réciproquement. L'extraction de la racine g”° d'une quantité sidérée comme l’origine logique des quantités positive peut être coninfinitésimales. Si, étant donnée une valeur positive (invariable), on se propose d'en trouver une autre qui, par son élévation à la puissance 4, puisse régénére r la première, le problème, ainsi posé, n’a dmet de solution qu'exceptionnellement, et pour un choix tout spécial de la valeur positive sur laquelle on doit opérer. Mais, dans le monde des valeurs infinitesimales, le problème change entierem ent d’aspect, et l’extraction de la racine ge d’une valeur positive, au lieu d’étre impossible dans immense majorité des cas, devient au contraire toujours possible. On peut effectivement démontrer qu'étant donnée une valeur infinitésimale non téléo-négative, il exis te une valeur de même nature, et une seule, régénérant la pro posée par son élévation à la puis sance q. | D'un autre côté, si l’on a à effectue r sur des valeurs qualifiées données une suite quelconque d'opérat ions (toutes possibles), le résultat peut s’obtenir à l'aide d'un artifice consistant: 4° à se transporter du monde des valeurs qual ifiées dans le monde des valeurs infinitesimales, et à substituer aux valeurs qualifiées données les valeurs infinitésimales commensurabl es qui leur correspondent respectivement; 2% à effectuer, au lieu des calculs indiqués sur ces valeurs qualifiées, les calculs para llèles sur les valeurs infinitésimales qui leur ont été substitwées ; 3° à repasser du résultat, forcément commensurable, à la valeur qualifiée correspondante. Toute question ressortissant au monde des valeurs qualifiées peut donc se ramener à une question ress ortissant au monde des valeurs infinitesimales; la plupart du temps, elle se trouve ainsi généralisée,

et l'on s'assure en tous cas l'avantage de ne jamais être arrêté dannes les transformations analytiques par l'impossibilité d'extraire la raci d'une quantilé posilive. 5. Une valeur imaginaire est la simple association, dans un ordre déterminé, de deux valeurs infinitésimales que l'on nomme respecdans le | tivement son premier et son second élément. Sans entruler des imadétail des règles conventionnelles qui président au calc ginaires, nous nous bornerons à en signaler cette conséquence, que si Pon à effectuer sur des nombres infinitésimaux donnés une suite quelconque d'opérations (toutes possibles), le nombre infinitésimal qui en résulte finalement peut être obtenu à Taide d’un artifice consistant : 4° à se transporter du monde des valeurs infinitésimales dans le monde des valeurs imaginaires, et à substituer aux nombres donnés des valeurs imaginaires ayant pour premiers éléments les nombres dont il s’agit avec des seconds éléments téléo-neutres; 2° à effectuer, au lieu des calculs indiqués sur les nombres primitifs, les calculs parallèles sur les imaginaires ainsi obtenues: 3° à prendre le premier élément de l'imaginaire résultante. Toute question ressortissant au monde des valeurs infinitésimales peut done se ramener à une question ressortissant au monde des valeurs imaginaires; la plupart du temps, elle se trouve ainsi généralisée, et Pon s'assure en tous cas l'avantage de ne jamais être arrété dans les transformations analytiques par l'impossibilité de décomposer un polynome entier è une variable en facteurs du premier degré. 6. 11 conviendrait peut-être de nommer Analyse infinitésimale l'ensemble des théories ressortissant au monde des valeurs infinitésimales ou de leurs accouplements en imaginaires; cette partie de l'Analyse comprendrait alors essentiellement, outre le calcul différentiel et intégral, un certain nombre de théories élémentaires, telles que le calcul des radicaux arithmétiques ou la résolution de l'équation du second degré. Conformément aux observations finales des n* 2, 3, 4, 5, rien n’empéche de recourir à des moyens tirés de Analyse infinitésimale pour traiter une question analytique dont l'objet mème ne ressortirait pas au monde infinitésimal. Après avoir montré, suivant notre dessein, comment les théories analytiques sont basées sur la seule notion du nombre entier, il nous reste à rechercher la véritable nature des Sciences mathématiques appliquées; quelques exemples, pris parmi les plus simples, suffiront à nous éclairer sur ce point.

C. RIQUIER. — DE 7. Une proposition bien connue de géométrie élémentaire nous apprend que si les trois nombres côtés d'un triangle au moyen d'une unité commune, rectangle sont évalués en le carré du nombre qui égal a la somine des carrés des nomb res qui mesure Uhypoténuse est mesurent les deux côtés de l'an gle droit. La proposition, ainsi formulée, semble ne pouvoir viser que des nombres actuels : le plus habile physicien, disposant des meil leurs instruments, et mesurant avec toute la précision possible les trois côtés de notre n’en trouvera effectivement jamais d'autres pour triangle, en exprimer les longueurs. Pourtant, si tel est hie n le sens de l'énoncé, la proposition tombe en défaut dans mainte circonstance : en sup posant, par exemple, les deux cót és de l'angle droit respectivement éga ux à l'unité de longueur et au dou ble de cette unité, le nombre actuel qui mesure l’hypoténuse devrait avoir pour carré 4 +4 ou 3, ce qui est impossible. Il y a là une contradiction apparente qu'i l importe de faire cesser; mais nou s devons, pour y parvenir, examiner préalablement deux questions. 8. Traduction en segmen ts qualifiées et infinitésimales. rectilignes des valeurs fractionnaires, Le première idée qui vie nt à l'esprit, pour tradui re à segment rectiligne une expres sion fractionnaire In, d |, c'est d'imaginer une demi-droite de lon gueur indéfinie, sur laquelle portés bout à div partie de l'aide d'un on suppose bout, à partir de l'origine , n segments égaux l'unité de à la longueur. En exécutant phy siquement l'opération dont il s’agit sur un certain nombre d'express ions fractionnaires, on constate que des expressions équivalentes donnent toujours le même segment rectilign e; mais il est bien des cas où la possibilité méme de cette exé cution n’est plus concevabl e, car, pour une valeur de d suffisamm ent grande, la div partie de l'unité de longueur semble se réduire à un point, c'est-à-dire à une portion d'étendue presque imperceptibl e. D’autres procédés sont plu s fréquemment praticables : ainsi, en désignant par f une fracti on donnée, et par fu la plu s grande fraction de dénominateur m qui ne lui soit pas supéri eur F— fm est inférieure a {4, à l'aide du segment rectil suffisamment éloignée, de e, la différence m }, et Pon peut convenir de représenter f igne qui Correspond à un e valeur actuelle, la variante fractionnaire fin | Dans les limites où ces proc éd physiquement exécutables, e és et autres du même genre l'expérience nous permet sont de constater :

ments 4° quà une même valeur fractionnaire correspondent dess seg fractioneur rectilignes d'apparence identique; 2° qu'à deux val pondent deux naires dont la première surpasse la seconde, corres , & moins segmenis rectilignes dont le premier surpasse Je secceondana ique toutefois qu’une petitesse excessive dans la différen siqlyt ue des des valeurs ne rende imperceptible la différence phy ne comsegments; 3° que lorsqu'une valeur fractionnaire résulte d'u le segment binaison additive et soustractive de plusieurs autres,por t rectiligne correspondant au résultat peut s'obtenir en tant bou dent aux à bout, chacun dans Je sens voulu, ceux qui corresponjou ces diverses fractions combinées, etc. Nous supposerons tou rs | diverses concordances réalisées. Pour traduire physiquement une valeur qualifiée, on imaginera une droite, indéfinie dans ses deux sens, sur laquelle on supposera resporté, à partir d’une origine fixe, le segment rectiligne qui cor s le pond à sa valeur absolue, soit dans tel sens déterminé,itsoitde dan résens opposé, suivant que la valeur qualifiée qu'il s’ag e rep espèce senter est positive ou négative. A toute valeur de cett iss ance correspond ainsi un segment affecté de sens, et à toutedépcro lacement ou décroissance algébrique de la valeur considérée, un tif, à moins de l'extrémité du segment dans le sens positif ou négaana e ne toutefois qu'une petitesse excessive de la variation lytit.iquLor srende imperceptible le déplacement physique dont il s'ag et sousqu'une valeur qualifiée résulte d'une combinaison addititve s’obtenir tractive de plusieurs autres, sa traduction physique peu gueurs en portant bout à bout, chacune dans le sens voulu, les lon tés comqui correspondent aux valeurs absolues des diverses quanti ves retranbinées : pour les quantités positives ajoutées, ou négati sens chées, les longueurs dont il s’agit doivent être portées dansvesle ajoupositif; pour les quantités positives retranchées, ou négati tées, elles doivent l'être dans le sens négatif. Enfin, les valeurs infinitésimales elles-mêmes sont susceptibles aperd'une traduction physique de même nature. Effectivement, ongrandes amment coit sans peine: 4° qu'à partir de valeurs suffis te qualides indices, la traduction des valeurs actuelles d’une var2°ianque , sous fiée infiniment petite semble se réduire à un point; ante cette méme réserve, la traduction des valeurs actuelles d’une vari convergente conserve une apparence invariable; 3° que, pour deuonx variantes équivalentes, les apparences invariables auxquelles

aboutit de part et d’autre sont identiques. Si donc, une valeur infinitésimale étant donnée, on convient de ne considérer chacune de ses expressions qu'à partir de valeurs suffisamment grandes des indices dont elle dépend, les segments rectilignes correspondant aux valeurs actuelles restantes des expressions dont il s'agit n’offrent à l'œil aucune différence perceptible, et ce segment rectiligne unique peut des lors être considéré comme la traduction physique de la valeur donnée. Les mêmes observations doivent être faites à ce sujet que dans le cas des valeurs qualifiées. 9. Mesure des aires planes à contours rectilignes. La mesure des aires, planes ou courbes, se ramène indirectement à celle des segments rectilignes; on leur substitne à cet effet des rectangles ayant pour base commune l'unité de longueur, et que Pon puisse regarder comme leur étant respectivement équivalents; il ne reste plus alors qu'à mesurer les hauteurs de ces rectangles. Quant à formuler dans un énoncé les conditions de cette équivalence toute physique, cela nous semble tout à fait impossible, et nous nous en abstiendrons; nous admettrons seulement, à titre de postulats: 19 que si nous sommes conduit, pour telles ou telles raisons, à considérer deux aires comme équivalentes à une même troisième, nous pourrons, sans qu'il faille recourir à des raisons nouvelles, les considérer comme équivalentes entre elles; 2° que si nous sommes conduit, pour telles ou telles raisons, à considérer une aire S comme supérieure à une deuxième 8’, et celle-ci comme supérieure ou équivalente à une troisième 8”, nous pourrons, sans qu’il faille recourir à des raisons nouvelles, considérer S comme supérieure a8”, ete. Le premier cas qui se présente dans la mesure des aires est celui des aires planes à contours rectilignes, que nous avons actuellement à examiner. Tout polygone est, comme on sait, décomposable en triangles; tout triangle est décomposable en deux fragments qui, juxtaposés d’une autre manière, le transforment en un parallélogramme de même base et de hauteur moitié moindre; enfin tout parallélogramme non rectangle est décomposable en deux fragments qui, juxtaposés d'une autre manière, le transforment en un rectangle . de même base et de même hauteur. Toute aire polygonale équivaut donc à une somme (physique) de rectangles, et nous nous trouvons ainsi ramené à un cas unique. Nous établirons à ce sujet la propo-

sition suivante : Le rectangle construit sur les segments rectilignes qui correspondent aux deur valeurs téléo-positives A, B, équivaut au rectangle construit sur l'unité de longueur et le segment rectiligne qui correspond au produit A.B (on suppose essentiellement perceptibles les trois segments dont il s’agit). A cet effet, nous désignerons par a, la plus grande valeur commensurable de dénominateur m qui ne soit pas supérieure 8 A; par è la plus grande valeur commensurable de dénominateur m qui ne soit pas supérieure à B; par «„, fn les numérateurs respectifs de dn, bm; enfin par 0, gm. le quotient et ‘le reste de la division du produit 2.8, par m. Nous dirons en outre, pour faciliter le langage, qu’un rectangle est construit sur deux nombres, s'il a pour dimensions les segments rectilignes qui correspondent physiquement à ces deux nombres. Cela posé, le rectangle construit sur a, et du, c'est-à-dire sur À Lay M i et | Emo m Is peut se décomposer en a... fim carrés égaux construits sur la mie partie de l'unité de longueur, et la relation Um Em =m. Im + Ems (3) où Pon a (4) Em <M, montre qu’une juxtaposition convenable des carrés dont il s’agit le transforme en une somme de deux autres rectangles respectivement construits sur le couple 1, | On, ml (3) et sur le couple (6) | om, mt, A, m |. Donnons maintenant & m des valeurs sans cesse croissantes. Les variantes @,,, 6, ayant pour valeurs infinilésimales A, B (il serait facile de le prouver), le rectangle construit sur an et dm finit par devenir physiquement identique au rectangle construit sur A et B. Les relations (3), (4) donnent d’ailleurs | Lng Be i . | Emo m $ = | Om; M | + | Em; m? I, bom mt < { 4, mj, d’où résulte que la variante i Ou, Fe | a pour valeur infinitésimale A.B; et dès lors, le rectangle construit sur le couple (3) finit par devenir physiquement identique au rectangle construit sur 4 et A.B.

Enfin, le rectangle construit sur le couple (6) a pour base un segment moindre que l’unité de longueur, et pour hauteur la mi partie de cette unité; il finit donc par devenir physiquement nul. On en déduit immédiatement la proposition à démontrer. Si, au lieu d'un seul rectangle, on en considérait un nombre quelconque, trois par exemple, respectivement construits sur les couples de valeurs téléo-positives A et B, Cet D, E et F, leur ensemble équivaudrait à un rectangle unique construit sur les valeurs 1 et A.B-+-C.D-LE.F. 10. Désignons maintenant par A, B, C trois valeurs téléo-positives vérifiant la relation A? + B =, et par sa, cs; oc les segments rectilignes, supposés perceptibles, qui correspondent physiquement à ces trois nombres. du numéro précédent que le Il résulte carré construit sur cc équivaut à l'ensemble des carrés construits sur Sa, og: Car ces deux surfaces équivalent à un même rectangle ayant pour base l'unité de longueur, et pour hauteur le segment rectiligne qui correspond à la valeur infinitésimale A? + B® ou C?. Considérant d'autre part le triangle rectangle qui a pour côtés de l’angle droit sa, op, el construisant un Carré sur chacun de ces côtés et l’hypoténuse, on démontre de la manière la plus simple que le dernier carré équivaut à l’ensemble des deux premiers, et par suite au carré construit sur oc. On ne fera d'ailleurs aucune difficulté d'admettre que deux carrés équivalents doivent avoir le même côté. On observera enfin que tous nos raisonnements sont indépendants du choix de l'unité de longueur, sous la réserve expresse que les segments ca, og oc, restent perceptibles, et l'énoncé de la célèbre proposition pourra dès lors se formuler comme il suit : Si trois valeurs infinitésimales A, B, C, vérifient la relation A? + B® = C?, les segments reclilignes, supposés perceptibles, qui en sont les traductions physiques, nous paraissent, quelle que soit d'ailleurs l'unité, respectivement superposables aux deux côtés de langle droit et à Uhypoténuse de quelque triangle rectangle. 11. Il imports, en vue de ce qui va suivre, de fixer avec la dernière précision le sens analytique du mot limite, comme aussi d’en traduire physiquement la définition. Nous nommerons à cet effet variante infinitésimale une expression de tous points semblable à une variante qualifiée, si ce n'est qu’à

chaque systeme de valeurs particuliéres des indices correspond une valeur infinitésimale au lieu d'une valeur qualifiée. Considérons une variante infinitésimale Un . dépendant des indices m,n,... et désignons par en, »,,, une variante qualifiée aux mêmes indices, arbitrairement choisie sous les seules conditions d’être infiniment petite et de ne jamais atteindre la valeur neuire. A un système quelconque de valeurs particulières de m, n,... correspond pour v», ».. une valeur infinitésimale susceptible de diverses expressions : on choisira, suivant telle ou telle loi, quelqu'une des expressions dont il s’agit, et à la variante qualifiée convergente a, ainsi choisie, on fera correspondre, suivant telle ou telle loi, une valeur qualifiée dont la différence à a finisse par devenir moindre en valeur absolue que <p, a, à partir de valeurs suffisamment grandes de tous les indices de a : cette valeur qualifiée, qui change avec les valeurs attribuées à m,n,..., engendre une variante qualifiée Bm, n, dépendant des mêmes indices que la variante infinitésimale proposée. Or le choix variable des éléments arbitraires que comporte l'opération précédente fournit diverses variantes qualifiées analogues à Jn, n.. lesquelles sont forcément, comme on le démontre, ou toutes équivalentes, ou toutes divergentes. Cela étant, on dira que la variante infinitésimale proposée est convergente dans le ‘premier cas, divergente dans le second; dans le cas de la convergence, on dira en outre qu’elle a pour limite (ou qu'elle fend vers) la valeur infinitésimale commune aux variantes qualifiées telles que bm, Ret Passons à l'interprétation physique. En attribuant à m, n,... des valeurs particulières déterminées, on obtient respectivement pour Vn, ms Om, rnd Em n. trois valeurs particulières dont la premiére est infinitésimale (4), et les deux autres qualifiées (3), mais à chacune desquelles correspond, comme nous l'avons va (8), un certain segment rectiligne porté (dans un sens ou dans l’autre) sur une droite indéfinie à partir d’une origine fixe; d'ailleurs, et par la manière même dont la seconde a été déterminée, la distance entre les extrémités finales des deux premiers segments rectilignes nous apparait comme physiquement inférieure au troisième. Or les variantes qualifiées Um, a... Em, n. étant, l'une convergente et l’autre infiniment petite, on voit qu'à partir de valeurs suffisamment grandes de m, n,... le troisième segment devient imperceptible, tandis que le second conserve une apparence invariable : donc, à partir des mêmes

valeurs, le premier conserve une apparence invariable et identique au second. En d’autres termes, les segments rectilignes qui traduisent les diverses valeurs particulières d'une variante convergente infinitésimale aux indices m, 2,... coincident, pour m, n,... suffisamment grands, avec le segment rectiligne qui traduit la valeur de sa limite. 12. Nous placant désormais dans le monde des valeurs infinitésimales, nous nommerons intervalle de x, à X l’ensemble des valeurs qui ne sont ni inférieures à la plus petite, ni supérieures à la plus grande des deux valeurs données xo, X; nous nommerons en outre amplitude de cet intervalle la différence (téléo-positive) entre les deux valeurs extrêmes. Si à toute valeur x faisant partie de Vintervalle on fait correspondre, suivant quelque loi déterminée, une ‘ valeur / (x), cette loi définit une fonction de la variable x dans l’intervalle considéré. La fonction f (x) sera dite continue dans l'intervalle de x, à X, si, la variante infinitésimale v étant arbitrairement choisie sous les seules conditions d’être constamment située dans l’intervalle et de tendre vers quelque valeur a de cet intervalle, la variante f (o) a pour limite / (a). On peut démontrer en toute rigueur la proposition suivante, que nous allons d’abord énoncer, et dont nous donnerons ensuile une interprétation physique : Si la fonction f (x) est continue dans l'intervalle de x, à X (où l'on suppose x, < X), on peut, une valeur téléopositive « étant donnée, assigner une valeur téléo-positiveB telle, que les relations simultanées Le SX, to Sz" SX, opp. 6 <a'-2' < Bh, entrainent la double relation opp. a <f(z")—f@')<«. En désignant par x une valeur quelconque appartenant à l’intervalle de x, à X, et par y la valeur correspondante de notre fonction, il est facile de représenter graphiquement le couple des valeurs x, y: à cet effet, on tracera dans un plan deux axes rectangulaires Ox, Oy, dont chacun soit indéfini dans deux sens opposés; sur ces deux axes on portera respectivement à partir du point O, et chaque fois dans’ 4. Nous désignons par les notations opp. 8, opp. «, etc., les valeurs infinitésimales respectivement opposées à £, a, etc. TOME 1, — 1893.

le sens voulu, les deux segments rectilignes OA, OB qui traduisent physiquement les valeurs infinitésimales x, y; on mènera enfin par le point A une parallele à Oy, par le point B une parallèle à Or, et le point M où se coupent ces deux droites traduira à la fois, par sa seule position relativement aux axes, et la valeur x attribuée à la variable et la valeur correspondante y de la fonction. Cela posé, désignons par « un nombre téléo-positif assez petit pour que le segment rectiligne correspondant ait une étendue imperceptible; puis par 9 un nombre téléo-positif inférieur à e, et tel que les relations simultanées a <e<X, % £a SX, opp.8<Taæ—2x < 4, entrainent la double relation opp.e < f(z") — f(x") <8; intercalons alors, de x, à X, certaines valeurs choisies à volonté sous la seule condition que, dans la suite résultante (7) : Loy Fay Los corer oy By X, formée de termes sans cesse croissanis, la différence d’un terme au suivant soit toujours moindre que 6; désignons enfin par a, 2,41, deux valeurs consécutives quelconques de la suite (7); par yu Figs les valeurs correspondantes de la fonction ; par Oa, Oa:41, Obs, Odin, les traductions physiques de a, at?! sur Ox, et de Yu, Yuga sur Oy; | par ys, vi les quatrièmes sommets des deux rectangles respectivement déterminés par le groupe des trois points O, a, & et par celui des trois points O, dizi, bips. Il résulte de la manière même dont les nombres e, 0 ont été choisis, que les points a, au, de Ox nous paraissent coïncider l’un avec l’autre, et que le même phénomène a lieu pour les points di, bu de Oy; on peut donc l’affirmer également des points ya, its, et dès lors la suite des points Bor Bar Mes see Urs M, correspondant respectivement aux valeurs (7) et en nombre limité comme elles, présente à notre œil l'aspect d'une courbe sans solution de continuité. Que si l'on nous demande comment il peut se faire que la coincidence apparente du premier point po avec le second y»

puis du second u, avec le troisième p,, et ainsi de suite, n’entraine pas la coïncidence apparente de tous ces points avec le premier wo, nous répondrons qu’un semblable raisonnement, dont la forme est calquée sur certains raisonnements analytiques, n’a plus aucune valeur quand on l’applique à des objets physiques. 13. Lorsqu’une fonction de x est continue dans un intervalle détermine, on peut établir par un raisonnement en forme l’existence de deux valeurs c,, C(c, SC), jouissant de la double propriété que nous allons énoncer : 4° toute valeur c remplissant la double condition CO Se est atteinte au moins une fois par la fonction pour quelque valeur de x située dans l’intervalle dont il s'agit; 2° aucune valeur infé_rieure à €, ni supérieure à € ne peut être atteinte par la fonclion pour aucune des valeurs de x situées dans le même intervalle. Désignons alors par f (x), comme précédemment, une fonction continue dans l'intervalle de x, à X {x, << X). On peut, d'une infinité de manières, diviser cet intervalle en intervalles partiels, c’est-à-dire former une suite de valeurs croissantes dont la première soit x, et la dernière X. Imaginons que de semblables états de division, respectivement désignés par les symboles as Aa see) im ... se succédent indéfiniment suivant une loi A, arbitrairement choisie sous la réserve expresse que, un nombre téléo-positif quelconque « étant donné, on puisse assigner pour m une valeur a partir de laquelle les intervalles partiels correspondant aux états de division successifs demeurent tous d'amplitude inférieure à x. A tout intervalle partiel fourni par quelqu'un des états , faisons correspondre, suivant une loi déterminée Y, l’une des valeurs que prend la fonction dans l'intervalle partiel considéré. Désignons enfin par v, la somme des résultats obtenus en considérant successivement chaque intervalle partiel de l'état 2 et multipliant son amplitude par la valeur de f(z) qui lui correspond en vertu de la loi Y. Cela posé, on démontre que la variante infinitésimale v,, tend vers une limite indépendante des lois A et W. Cette propriété, essentiellement analytique, est susceptible d’une application physique que nous allons faire connaitre, en supposant, pour plus de simplicité,

que la valeur de f(x) ne soit jamais téléo-négative quand æ varie de e aX. Il résulte, en premier lieu, du numéro précédent que la valeur de notre fonction dans l'intervalle de x, à X se trouve figurée par un are de courbe continu et limité, et les intervalles partiels analytiques dont il s'agissait tout à l'heure par autant de segments rectilignes portés bout à bout sur l'axe Ox et occupant toute la partie de cet axe située entre les ordonnées extrèmes de l'arc. À chacun de ces segments partiels correspond d'abord un arc partiel de la courbe, puis, en vertu de la loi W, une ordonnée particuliére dont la longueur se trouve physiquement comprise entre les distances maximum et minimum des points de l'arc partiel à Or. Quant à la quantité v,,, elle mesure, comme nous l'avons établi (9), la somme des divers rectangles qui, dans l'état 2,,, ont pour bases les segments partiels marqués sur Ox et pour hauteurs lesordonnées particuliéres correspondantes; en d’autres termes, cette quantité v,, se trouve physiquement traduite par Ja hauteur d'un rectangle Rn, équivalent à la somme des précédents et construit sur l'unité de longueur comme base. Or la propriété analytique ci-dessus énoncée nous montre qu'à partir d'une valeur de m suffisamment grande, la hauteur du rectangle R,,, et par suite ce rectangle lui-même, conservent une appa - rence invariable, et que cette limite physique R du rectangle R, est indépendante du choix qu'on a pu faire pour les lois A et W. Cela étant, si, pour une même loi A, on nomme w', Y” les deux lois particulières qui à chaque intervalle partiel d’un état de division quelconque font correspondre respectivement la plus petite et la plus grande des valeurs que prend f (x) dans cet intervalle, si Pon désigne en outre par Un dn ce que devient è, et par R’ ins R'm ce que devient R,, pour les deux lois W*, 4”, il est de toute évidence physique que l'aire S comprise entre l'axe Ox, Vare de courbe et ses deux ordonnées extrémes est, pour toute valeur de m, supérieure & la somme de rectangles qui a pour mesure v'», mais inférieure à la somme de rectangles qui a pour mesure v’,; elle se trouve donc t comprise entre R', et Rn, et, comme ces deux rectangles finissen par conserver une même apparence invariable R, qui d’ailleurs ne dépend nullement de la loi A, rien ne semble plus naturel que de considérer l'aire § comme équivalente au rectangle R. 14, Nous pourrions, après la mesure des aires planes, rechercher celle des volumes, puis, adjoignant à la notion infinitésimale de

continuité la notion, également infinitésimale, de dérivée, étudier la rectification des lignes courbes, la complanation des surfaces courbes, considérer un point matériel soumis à un mouvement quelconque, et définir, pour un instant quelconque, la vitesse, l'accélération, la force, etc. Sans entrer dans le détail de toutes ces questions, indiquons brièvement quelques-uns des résultats auxquels elles conduisent. Pour mesurer un are de courbe, on déduit de sa définition analytique une valeur analytique à l’aide de considérations infinitésimales tellement imaginées, qu'il semble on ne peut plus naturel de regarder comme équivalents en longueur Parc curviligne physique qui traduit cette définition et le segment rectiligne physique qui traduit cette valeur. Pour mesurer une aire ou un volume, on procède de façon analogue, et la valeur analytique qui en résulte fournit, par sa traduction physique en un segment rectiligne, soit la hauteur d’un rectangle équivalent ayant pour base l'unité de longueur, soit la hauteur d’un parallélépipéde rectangle équivalent ayant pour base le carré construit sur Punité de longueur. On nomme point matériel une portion de matière contenue dans une portion d’étendue presque imperceptible. Cela étant, si l'on désigne par zx, y, 5 trois fonctions d'une même variable ¢, et que l’on traduise les variations analytiques simultanées de #, x, y, s par les variations physiques simultanées 1° du temps, 2° de la position d'un point matériel (considéré isolément) par rapport à trois axes rectangulaires (considérés comme fixes) : on obtient comme figuration un mouvement du point. Attribuant alors à la variable £ une valeur particulière quelconque, considérons, avec les valeurs correspondantes des trois fonctions x, y, z, celles de leurs dérivées premières; puis, à partir de la position du point qui traduit physiquement le système des valeurs considérées de x, y, z, portons, parallèlement aux trois axes et chaque fois dans le sens voulu, les segments rectilignes qui traduisent physiquement les valeurs des trois dérivées premières; construisons sur ces trois segments un parallélépipede, et considérons en longueur, direction et sens la diagonale qui part de leur commune origine pour aboutir au sommet opposé : la grandeur géométrique ainsi obtenue se nommera la vitesse du point matériel à l'instant considéré. La même construction, effectuée en substituant aux dérivées premières les dérivées secondes de x, y, 3, nous fournira, pour l'instant dont il s’agit, la valeur de

l'accélération. Nommons enfin masse du point matériel certaine constante téléo-positive idéalement et invariablement liée au point, multiplions les dérivées secondes de x, y, 3 par cette constante, et répétons une troisième fois notre construction en substituant aux dérivées secondes les produits ainsi obtenus : la résultante géométrique de l'opération nous donnera, pour Vinstant considéré, la valeur de ce qu’on est convenu d'appeler la force agissant sur le point. Une vitesse, de même qu'une accélération ou une force, ne se trouve entièrement déterminée que si l’on suppose à la fois connues la longueur, la direction et le sens du segment rectiligne qui la représente : en d'autres termes, elle se trouve physiquement mesurée, non par un segment rectiligne absolu, mais par un système de trois segments rectilignes respectivement comptés, dans tel ou tel sens, sur trois axes rectangulaires. La manière toute conventionnelle dont nous venons de définir la force qui agit sur un point matériel considéré isolément, fixe le sens exact de certaines locutions qui peuvent sembler étranges au premier abord. Lorsqu'on dit, par exemple, que le mouvement observé d’un semblable point matériel est produit par l'attraction d'un centre fixe, s’exercant en raison inverse du carré de la distance, cela signifie simplement qu'on peut assigner trois fonctions x, y, 5 d'une même variable t, possédant conjointement les deux propriétés suivantes : 4° si l'on mène par le centre, considéré comme fixe, un système de trois axes rectangulaires, également considérés comme fixes, la traduction physique ci-dessus indiquée des variations simultanées de t, x, y, 5, reproduit le mouvement du point; 2° la construction physique ci-dessus indiquée pour obtenir la force à un instant quelconque du mouvement donne un segment dirigé du point matériel vers le centre fixe, et mesuré en longueur par l’ex» où p désigne une constante téléo-positive *. pression Lorsqu'on dit que les mouvements observés de trois points matériels HA sont produits par leurs attractions mutuelles s’exercant en raison directe des masses et en raison inverse du carré des distances, cela signifie simplement que Von peut assigner neuf fonctions L,, Yır Zas Lar Yor Les Lay Yar & d'une variable £, possédant conjointement les 1. Nous voulons dire que le segment dont il s'agit est superposable à celui qui traduit physiquement le nombre PER

propriétés suivantes : 4° si par un point de l'espace, considéré comme fixe, on mène un système de trois axes rectangulaires également considérés comme fixes, la traduction physique des variations simultanées de ces dix quantités reproduit les mouvements simultanés des trois points; 2° en désignant par A,, A,, A, les points dont il s'agit, par m,, my, m, les masses respectivement attribuées à ces points, et par f une constante téléo-positive, la diagonale du parallélépipède rectangle que nous sommes convenus de construire pour obtenir à un instant déterminé la force agissant sur le point A,, se trouve être en même temps la diagonale d'un parallélogramme ayant ses côtés respectivement dirigés suivant les demi-droites A, Aj, A, As, et respectivement mesurés par les nombres fin, my | | (aaa) + (Y, —Y2) + (a — fa)? (1,—2)*+ fm, m, (Y, — Ys)? . (5, — 23) Les forces agissant respectivement sur les points A,, À, jouissent d’une propriété géométrique toute semblable. 15. Les divers exemples traités ou indiqués dans ce qui précède nous semblent éclaircir suffisamment la véritable nature des sciences appliquées : elles ne sont, au fond, qu’un ensemble d’objets analytiques auxquels s'adaptent telles ou telles illustrations physiques. Aucune ne peut, en bonne philosophie, être envisagée autrement, et il n’est pas jusqu’à l'antique Géométrie qui, sous peine de demeurer inintelligible, ne doive se plier à cette conception. Qu'est-ce en effet que les idées de point, de ligne, de droite, de surface? On n’y peut voir, indépendamment de l'Analyse, quelesimple souvenir de certaines images physiques, telles qu’une pointe d’aiguille, un fil délié, un fil à la fois délié et fortement tendu, une plaque extrémement mince, une gaze extrêmement fine. Comment s'expliquer, avec de pareilles definitions, que le côté et la diagonale du carré n’aient pas de commune mesure? Comment concevoir que la longueur de la circonférence soit la limite du périmètre d'un polygone inscrit variable dont le plus grand côté diminue indéfiniment, alors que les côtés de ce polygone, tant qu’ils sont perceptibles, se distinguent de la circonférence, et, des qu’ils ne le sont plus, cessent par la même de pouvoir être mesurés? Si l'on ne subordonne entièrement la Géométrie à l'Analyse, tout n'y est que confusion et contradiction; tout s’explique et s’éclaircit au contraire, si l'on consent à ne lui attribuer qu'une existence d'emprunt. Dire que le côté et la diagonale du carré sont entre eux

dans le rapport incommensurable Ya, c'est dire que deux segments perceptibles, physiquement déduits des valeurs infinitésimales A, A V2, nous paraissent, quelle que soit Punité de longueur, respectivement superposables au côté et à la diagonale d'un carré. Dire que le périmètre d'un polygone inscrit variable dont le plus grand côté diminue indéfiniment a pour limite la longueur de la circonférence, c’est substituer à la définition analytique de telle fonction et aux propriétés analytiques de telles variantes certaines images physiques qu'elles évoquent naturellement dans l'esprit. Partout ailleurs que dans l'Analyse, les considérations infinitésimales sont vides de sens; le raisonnement subtil à l’aide duquel on s'efforce parfois d'établir, contre toute évidence, que le plus rapide coureur ne saurait atleindre une tortue, n'est donc qu'un vain sophisme, puisque des considérations de ce genre y sont faussement appliquées au temps et à l’espace. Nous demandons qu’on en finisse avec les points inétendus, les pures lignes, les pures surfaces, les durées physiques indéfiniment décroissantes, et autres chimères du même genre; l'état d'esprit que leur contemplation suppose était sans doute fort excusable chez les Grecs d'il y a deux mille ans : y persister aujourd’hui serait du pur fétichisme. 16. En résumé, donc : 4° La notion de nombre entier étant supposée acquise, on peut r nombre fractionnaire, le nombre qualifié, le définir tour à toule nombre infinitésimal et le nombre imaginaire, sans avoir à faire intervenir jamais la moindre considération relative aux grandeurs concrètes; l'édifice analytique se trouve ainsi exclusivement basé sur la notion fondamentale de nombre entier. 9° L'élément mathématique de toute science appliquée est exclusivement analytique, mais donne lieu à une évocation continuelle de certaines images ou apparences physiques. Quant aux réalités qui peuvent se cacher sous ces apparences, il n’en saurait être question ici : en dépit du préjugé contraire, la Science, impuissante à les atteindre, n’a rien à déméler avec l'Absolu. CG. RIQUIER, Professeur à la Faculté des Sciences de Caen.