L'arithmatisme des Pythagoriciens

BARNI U. CHAPITRE dll L'ARITHMÉTISME, DES PYTHAGORICIENS LES NOMBRES-POINTS 48. — Les.allusions des anciens aux divers voyages de Pythagore sont trop éloignées des sources pour avoir une valeur historique; il appañait cependant qu'on ne saurait rendre comple dela formation de la doctrine pythagoricienne sans regarder du sèté | de l'Égypte, surtout peut-être du côté de l'Asie. En effet, el sans que nous puissions dire avec exactilude quelle y fut la pari de chacun, nous trouvons Jes penseurs icniens de la génération des Thalès et des Anaximandresoccupés à un travail astronomique qui se relie directement aux recherches favoriles des Chaldéens; ils dressent la carte du ciel cn connexion avec les divisions zodiacales; iis établissent le tableau des consteliations!. Ce travail, du point de vue où nous allons nous placer, présente un intérêt tout particulier. Observée à l'œil nu, en effel, uneconslellation a deux caractéristiques: le nombre des astres qui la constituent, et la figure géométrique qu'elle dessine dans le ciel. Ces caractérisliques sont au même tilre des données immuables el objectives; une association se forme entre elles qui se revêt de nécessité naturelle et qui-peut servir de base à une conception générale de l'Univers. Nous trouvons là, sinon _ l'origine, du moins l'illustration saisissante de Ja doctrine pythagoricienne. De même que les constellations ont un nombre qui leur est-propre, toutes les choses connues ont un nombre, puisque le nombre est la condition méme de leur connaissance. La formule de Philolaos que Stobée nous a conservée, est d'une remarquable précision ? : Kel xdvexz yx phy rá yyvucxdueva dpiipdy $. Paul Tannery, Pour l'Histoire de la Science helléne, 1887, ch. tv, £ 3, p. 84. si 11. Diels, Die Fragmente der Vorsahraliker, ts vol. 2 edit. Berlin, 1006, Buunscevico, — Les étapos.

Épovre où yàg vidv ts obddy bts vondijzar outs yvwcOrpey feu Tourou. lement, comme l'en accuse l'auleur du livre N de la Métaphysique, la parodie de la doctrine pythagoricienne!. I! ussit d'un tenu du pythagorisme. Non seulement toutes choses possédent des nombres; mais encore toutes choses soni des nombres. Entre autres lömoignages d'Arislote, il suffit de relever ce passage du chapitre consacré, dans le premier livre de la Mélaphysique, aux Pythagoriciens : Paívovra 3% xxl otto: tov Agidpdv vouitovrec d5yv eivaı xal de Glyy tote oda xal Gs maby ve xal Bec! Proposition qui procédé rapide el simpliste pour donner satisfaction à l'exigence psychologique que nous retrouverons dans plus d'un système de philosophie mathématique, pour offrir à l'esprit un objet qui fat à la fois, selon le langage des Cartésiens, objet de l'imaginalion el objet de l'entendement. : | Encore convient-il de préciser : tandis que la géométrie analydu temps d'Aristote déjà constituait un paradoxe’, qui devail prendre un air dé plus en plus étrange à mesure que la réflexion tique unira dans une synthèse originale ce qui avait été préalablement dissocié, idee algébrique et objel étendu, l'arithméligue séparaii davantage ce qui est de l'ordre de l'intelligence et ce qui est de l'ordre de la réalité. Le nombre est un concept; les choses sont des objets ou des substances, Commerit prétendre ” géométrique des pythagoriciens atieste simplement la con. nexion inséparable, l'implicalion spontanée et comme naive, de deux éléments que seule la réflexion ultérieure devait disjoindre. La pensée mathémalique, au lieu d'aller de la nécessité abstraite à l'application concrète, enveloppe toutes les fonctions de l'esprit dans une sorle d'intuition intégrale où elle trouve son équilibre et sa plénitude, Le nombre est présenté immédiateque le nombre soil à son tour objet ou substance? Le difficile, à dire le vrai, nous paraît ici que l'on sache ne pas s'engager dans le problème soulevé par un histbrien systémalique qui fai. sait entrer les conceptions des Présocratiques dans le cadre des catégories et des causes. Au lieu de chercher le passage d'une merit comme une somme de points figurés dans l'espace, et les * notion abstraite à la réalité concrète, il conviendrait sans doute d'enlever à la notion de nombre Is signification abstraite que nous sommes habitués à lui attribuer, de lui réintégrer en quelque sorte l'application intuitive qui, pour les Pythagoriciens, en était inséparable, de voir un point lorsqu'on parle d'une unité, et, lorsqu'on parle d'un nombre, de voir un groupe de points dessinant une figure de la facon dont les étoiles dessinent une constellation ?, Bref, avant de dire que les choses sont des nombres, figu — res lignes, surfaces ou volumes — qui se trouvent tracées par ces points sont immédiatement données comme des nombres. ® THEORIE DES NOMARES 19. — A cette conception générale du nombre, quelle qualité parliculiére de science répond chez les Pytbagoriciens? H importe d'entrer ici dans quelques détails; la question a plus les Pythagoriciens avaient commencé par concevoir les nombres comme des choses; les expressions de nombres carrés ou de nombres triangulaires ne sont pas des métaphores; ces qu'un intérét historique; elle sert à fixer la phys:onomie criginelle d'une doctrine que nous verrons réapparatire au cours de l'évolulion de la mathématique moderne ?, ~ Le premier trait de l'arithmétique pythagoricienne, «est qu'elle est une théorie des nombres. Et, en effet, puisque les uombres sont, non plus des auxiliaires du caleul, des moyens « logistiques », mais des réalités naiurelles, il convient de les considérer chacun à part, afin d'en déterminer les propriótés intrinsöques. Une fois qu'on se place ainsi à l'intérieur de chaque nombre, ses propriélés caractéristiques apparaissent conime les nombres sont effeclivement, devant les yeux et devant l'esprif, des carrés el des triangles‘. Aussi, lorsque Eurytos disposait des . cailloux en nombre déterminé de manièreà obtenir par Ja forme de leur assemblage le nombre constitutif de telle ou telle réalité, 1. 1, 5-086° 15. | 2. Voir le passage relatif aux Pythngoriciens, dans Afet., N.: 1090° 32 -: nace péveor to moulv di ácida ra ovoid oupara, èx pù Exövswv Bapos prot vovphtnre Éyovra xovobrata xal Bápos. . 3, De Carlo, MI, 1, 300218 : Évros yap thy guow E apıbuav cuneriow, orso vis Mulayopsicor tives. Suivant le livre M de In Métaphysique, les Pythagorieiene constituent le ciel tout entier avec des nombres; mais ces nombres ne gout pas des unités au sens spécifiquement arithmétique, ce sont des unité: conséquences des opérations par lesquelles le nombre lui-même qu: ont une grandeur : 7b; yao div odpavdy xataaxsudlouery EE Anıbeär, div va povabtady, GAA ri; povadas ExoaxpOdvouar Éyerv piyados, O 1008. $. Gf. paur cette interprétation du pythagorisme Milhaud, les Philosophes géomètres de lu Grèce, Platon ct ses prédécesseurs, 1000, p. 107. 35 le nombre de l'homme ou Je nombre du cheval 5, il ne faisait nni- “Cette formule n'exprime pas encore, semble-t-il, tout le con- . THÉORIE DES NOMBRES , 1. Met. N. 5, 1002 10, avec le commentaize d'Alexandre, Na. Hayduck, Bertin, 1991. p. 827, apud Diels, es. cit, p. 249. 2. Vide infra. |. V, ch. xv.

a été atteint et défini; ces opérations décident de la forme du groupe de points qui constitue le nombre dans son essence. Et eomme la plus simple et la plus féconde de ces opérations est la duplication, le principe de la classification pythagoriciennne est * emprunté à la considération des nombres qui sont produits par la duplication, et susceptibles par suite de dimidiation. Le nombre disait Philolaos, a deux formes propres, l'impair et le pair: "O yz pv pinos Equ Suo pv Tita ein, neprsmdy xal dpriov!. A celle distinction correspond une opposilion fondamentale qui, dans THEORIE DES NOMBRES 37 espéces de nombres, celle du pair dont le premier est 2, de l'émpair dont le premier est 3, du pair-impair qui est ici l'unité, du carré parfait dont le premier est 4. 20. — Enfin, puisque les Grecs ont ainsi rapporté la constitution des nombres à deux procédés de formation, l'un qui serait ia duplicalion ou-pour prendre la forme la plus générale, la multiplication, et l'autre qui serait l'addition, la trace de cette dualité doit-se retrouver dans leurs spéculations mathématiques. , o : la jeune école pythagoricienne au moins, rejoindra l'antithèse . L'un des principaux problèmes qui concernent la théoric des comment la connexion s'est établie entre l'impair et le limilé d'une part, entre le pair et Villimité d'autre part, si l'on consiposants, sous le double point de vue de la multiplication el de l'addition, et à comparer entre eux les résultats obtenus. Ainsi, on considère les divisours d'un nombre donné, l'unité comprise, mais- à l'exception toutefois de ce nombre lui-même (ce que l'on appellera ses parties aliquotes), el on en fait la somme; cosmologique du limité et de l'illimité, et fournira une base à Ta table des dix oppositions, qu'Aristole nous atransmise?, On peut entrevoir, d'une façon encore grossière sans doule, dére les classifications numériques que les historiens de la mathématique rapportent aux Pythagoriciens, Déjà Philolaos ajoulait au pair el à l'impair une troisiéme espèce : l'épriontpicvov. Cette dépomination qui a été quelquefois appliquée à *, désigne aussi, suivant Jamblique ‘, les nombres pairs l'unité tels que6 ou 10 qui à la première dimidiation donnent des nombres impairs. A cette acception se rapporle la dislinclion entre les nombres pairs qui comprennent parmi leurs facteurs un nombre impair intervenant 4 un moment donné pour mettre un terme à la dimidialion, xez:sciotto:*, et les nombres pairs qui ne sont pas sujels à cette limitation, qui se r&solvent complélement par dimidiation, priaxıs dprior. D'autre part, à côlé de la duplication, ou'de Ja dimidiation, l'addition joue un rôle dans la formation pythagoricienne des - nombres; Philolacs exalte la décade, norme de l'univers, puissance ordonnatrice des hommes et des dieux : Meydhe yap xai navredts al navrospyèc xal beim xxl oùsoviw Bin xai évhpuive dpy& xat Ayeudv xowipvodaz..: Sivants xai vis Bsxidos*, La veriu de la décade est qu'élant constiluée par la somme des quatre premiers _ noinbres-4.+2-+3+4, elle enferme la nature des diverses æ 1. Diels, op. cit., p. 240. ‘2. Met., 1, 5, 086* 22, Cf. Zeller, Philosophie des Grecs, trad. E. Boutroux, t. |, 1877, p. 343. 3. Théon de Smyrne. Éd. Hiller, Leipzig, 1878, p. 22. Cf, Zeller, tr. citée, 1. 1, p. 383, n. 3. na 4, In Nicom. Arithm. Ed. Pistelli, Leipzig 1304, p. 22. 5. Nicom, Arithm. Jsag. Ed. Hoehe, 1806, § X, p. 21 et suiv. : nombres consiste à étudier le rapport d'un nombre à ses comcelle somme sera en général ou plus grande ou plus petite que le nombre lui-même, lequel sera appelé en conséquence abondant ou déficient. 42 est abondant parce que la somme de ses parties aliquotes est : 4+2 + 3+ 4 +6 ou 16; 8 est déficient parce que ses parties aliquols ajoutées produisent 1 + 2 +4 ou 7. Mais il ÿ a quelques ombres qui sont équivalents à la somme de leurs parties aliquotes : . 6=1+2+3 {avec cette particularité caractéristique du nombre 6, que l'on a également : 6= 4 >< 2>< 3). = B=1+2+4+7+14 406 == 4 4-2-4 4-4-8 ++ 46 -+- 31-6 + 124 + 2 248 Une correspondance aussi remarquable entre le procédé de multiplication et le procédé d'addition confére à ces nombres un caractère de perfection; 6, 28, 496 sont des nombres parfails. Dans Euclide Ja théorie des nombres parfaits est développée Jusqu'à fournir une relation d'ordre général entre la classe des nombres parfaits et la classe des nombres premiers : Si, partant de Punilé, on forme la progression géométrique de raison 2, et si la somme de ces termes est un nombre premicr, le produit de ce nombre premier par le dernier terme de la progression est un nombre parfait. Par exemple la somme 1+2-+ 44+-8+-16 donnant 34, qui est un nombre premier, le produit de 31 pay 16, ou 496, est un nombre parfait !. 6. Ibid., 5 VIH, p. 45. 7. In Diels, p. 243, cf. Arist., Met. I, 5, 986" 8. 1. Élém., 1X, 36. Ed. Heiberg, t. Il, Leipzig, 1584, p. 408.

" PROGRESSIONS ET MÉDIÉTÉS 21. — La théorie des nombres parfaits manifeste d'une façon saisissante le caractère spécifique de l'arithmétique grecque; le - savant mel. au jour la structure interne des nombres, de le même façon qu'il observe les propriétés des figures géométiques, ou qu'il décrit la forme des constellations célestes. A cette méthode est due la partie le piys solide et la plus bolle de la doctrine pythagoricienne, celle d'où se dégagent des lois comparables en simplicité et en fécondité aux formules de l'algèbre moderne. On prend l'unilé pour point de départ; on ajoute à l'unité ls PROGRESSIONS ET MÉDIÉTÉS 38 facteur augmenté de l'unité; la surface a donc ses deux côtés inégaux. elle est hétéroméque ou rectangulaire ifig. 2). Par já s'explique la dénomination de nombres hétéromèques donnée à la somme de ces nouvelles progressions arithmétiques, et l'introduction de l'opposition du . carré et de l'hétéromèque dans la © , série des dix oppositions qu'Aristote nous a iransmises, en corrélation directe avec l'opposition initiale de l'impair et du pair. De Je" ° là encore l'indicalion d'un nou- Fig. 4. ® . ore o . . . Pig. 2. veau lien entre le couple antithésérie ascendante des nombres impairs; la progression arithmélique impair-pair et le couple limile-illimité, lien moins direct des étapes où l'on s'arréle, la somme de l'unité et des nombres signaler et que l'on peut suvposer lui avoir succédé dans tique que l'on forme ainsi jouil de cette propriélé qu'à chacune impairs conslitue un nombre carré " mais plus logique que celui que nous avons eu l'occasion de l'enseignement de l'École. En effet, tandis que la somme des nombres impairs engendre des carrés toujours semblables à eux-mêmes, la somme des nombres pairs engendre des rec- 4-+3=4 tangles qui sont perpétuellement différents; de sorte que leur 1+3+3= 1+3-+-5-+7—=16 14-3+5+7-9—=% el que tous les nombres carrés sont donnés par ce processus de formation (fig. 1). Par la seule considération d'une progression arithmétique se trouvent donc consliluées toutes les surfaces carrées qui ont pour côlés des nombres enliers. De plus, puisque l'addition successive d'un nombre impair 3, 7 ou 9, permet de variation indéfinie fait contrasie avec la fixité du carré’. 22. — La portée philosophique de la doctrine pythagoricienne des médiétés n'apparett pas moindre. En outre du moyen arithmélique et du moyen géométrique, Jes Pythagoriciens intro- " duisent le moyen harmonique. La médiété = =; donne l'égalité passer d'un carré 4, 9 ou 46 au carré suivant, 9, 16 ou 25, tout nombre impair se définit comme la différence de deux surfaces carrées ayant respectivement pour côtés deux entiers consécutifs, c'est-à-dire comme un gnomon. Cette définition géométrique explique la constitution interne du nombre impair; il est la somme d'un carré ayant l'unité pour côté, el de deux rectangles égaux dont le plus petit côté est égal à l'unité : 5=41+24+2; 7=1+3+3; 0=1+4+4. Si nous additionnons d'autre part les nombres pairs consécutifs, nous obienons une série de nombres qui sont des sommes de progressions arithmétiques, et qui sont en méme temps des produits el par conséquent des surfaces; seulement les facteurs de ces produits sont égaux l'un à la moitié du dernier nombre pair de la progression, l'autre à ce premier Ainsi 8 est moyen harmonique entre 12 et 6 puisque i2—8 12 s-577 « Nous retrouvons là, dit M. Milhaud, l'origine de la dénomination d'harmonique*. Si en effet, au lieu de faire‘ correspondre 1 à la première note de Poctave, on fait correspondre 6 pour n'avoir ensuile que des nombres entiers, c'est 8 qui correspondra è la quarte, au lieu de à et 12 à l'oclave, au lieu de 23, » 1. Milhaud, op. cit., p. 115 et suiv. 2. Voir le fragment d'Archytas sur les médiétés (Porphyre, Commentaire aux re de Ptolémée, in Wallis, Opera, t, HI, Oxford, 1609, p. 267) et Diels, 4, Op. cit., p. 93.

LE PYTHAGORISME La merveilleuse découverte de la merveilleuse corresponsur l'infini‘. Nous n'avons pas à suivre le développement de dance entre les nombres et les sons (découverte qui semble remonter à Pythagore lui-même *) est ainsi incorporée à l'arithmétique pythagoricienne, et elle achève d'en fixer le caractère. Les rapports des nombres qui se manifestent dans les accords musicaux sont aussi ceux qui sont inscrits dans les figures de - 4 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE . 40 la géométrie : suivant une observation que Nicomeque rapporte A Philolaos, le cube, parfaitement harmorticux en soi puisqu'il est parfaitement identique à lui-même suivant les trois dimensions, présente la connexion des nombres composent à médiété que nous venons de décrire : il a 12 arêtes, 8 sommets, 6 faces. Harmonie géométrique et harmonic musicale se correspondent : ce qui est intelligible pour l'arithméticien, est aussi visible aux yeux que sensible sux oreilles. cette doctrine; ce que nous ne pourrions faire d'ailleurs ‚sans aborder une période de l'histoire où les disciples éloignés de Pythagore se rencontrent, et parfois se confondent, avec les successeurs de Platon. Nous nous contenterons de rappeler les représentations numériques par lesquelles les Pythagoriciens prétendaient expliquer la nature des réalités sociales : justice, occasion, mariage?, sans insister sur l'extraordinaire floraison de symboles el d'analogies procédant de celle méthode et prósentant ce mélange de précision rigoureuse el d'arbitraire absolu qui est l'essence du mystérieux. Si ce sont là les traits: les plus populaires du py!hagorisme, il n'est pas sûr que cen soient les plus originaux; el il est probable qu'on peut appliquer ici la remerque pénétrante de M. Rivaud sur les doctrines présocraliques du devenir : « le cadre et la matière sont fournis par la cosmogonie ancienne. L'observation 23, — On conçoit que de semblables correspondances soient apparues aux Pythagoriciens comme susceptibles d'universalité. qu'ils se soient autorisés par exemple des lois numériques de l'harmonie terrestre pour supposer une sorte de concert céleste, engendré par les nombres astronomiques : l'harmonie des sphères célestes dont la légende veut que Pythagore, seul entre tous les mortels, ait jamais eu la perception *. On conçoit comment leur imagination spéculative a entouré le noyau lumineux que formaient les théories positives de l'arithmétique, de la géométrie, de l'acouslique — et il faut y ajouter l'esquisse de l'astronomie copernicienne — d'une zone infiniment plus vaste gi, sans hésitation, une solution était donnée à tous les problèmes humains ou divins. Avec Philolaos , le nombre, qui par nature est incapable de recevoir le mensong e, devient le principe de la vérilé; tandis que le mensonge et l'envie appartiennent à l'infini, à l'insensé, à Virrationnel*. L'avènement de l'harmonie dans le monde est la victoir et l'expérience n'inlerviennent guére que dans le détail. Pow-'ensemble, elles LE PYTHAGORISME e du nagbre laissent intactes les images anciennes * ». En fail, les loviens fet les Babyloniens par dela) ont transmis à Pythagore l'héritage des opposilions cosmologiques, des correspondances astrologiques et morales. Méme si les Pythagoriciens n'ont vu dans leurs découvertes proprement mathématiques, dans leurs expériences acousliques, gue des confirmations pour l'ensemble de leurs croyances supranaturelles, ce sont ces découvertes et ces expériences d'ordre rationnel qu'il est équitable de retenir ei de considérer comme l'apport caractéristique de leur pensée. Cette pensée, cristallisant dans un système qui n'est plus tout à fait le nôtre, n'en avait pas moins le droit de se croire assez forte pour porler le poids de l'univers; car elle avait effectivement atteint la plus haute qualité de vérité dont l'homme est capable. Si l'idéal d'une science pesilive est de reposer sur des principes à la fois clairs et délimités, de se développer dans le cadre des principes déjà posés, et de maintenir le contact avec l'expérience qui la confirme et la contrôle, le mathématisme pythegoricien contenait de quoi satisfaire à cet idéal. En impliquant dans la conception du nombre et le géométrique et le - 1. Tivdnyópas, Ge enor Sevoxparns, suptoxe xa tz dv pavor Braotipara, où xupis deibpod viv yéveow Éyovta dol Jap oiypxioi moro) #90: moody. Porph, in Ptolem. harm. op. cit., 213, et Heinze, Xenokrates, Darstellung der Lehre und Sammlung der Fragmente. Leipzig, 1802, p. 162. 2. Nicom.,.Arith., $ XXVI, p. 135 et Diels, op. cit., p. 238. * 3. Arist. de Costo, 11, 9, 200° 12 et Simplicius, Comm., Ed. Heiberg, Berlin, 1883, p. 468. Cf. Zeller, op. cil., p. 409 et suiv. i A. Weite: è oir Biyetar & 76 ápibas puo: abit ápuovia où yap olxsiov aussis tori. Tag 10 Aneipw xal “+. dvoízw ual ahiye oua:os zo paldo; xal è hévoc deci. Diels, op. cit., p. 244, Voir Newbord, Philolaos, Archiv für Geschichte der PhiloSophie, année 1906, t. XIX, p. 177. = 1. ‘A pio div rot xósgor &pnéyôn UE dnsipuy se xxi sreparvivuov xal F205 % «topos xal rà iv aûrê edyra, in Diog., Loërt. VIII, p. 85 ct Diels, p. 239. — Cf. M, Simon, op. cit., p. 132 et suiv. y 2. Met., M. 4. 1078° 21. 3. Le problème du Devenir et la notion dc la Matière dans ta philosophie grecque depuis les origines jusqu'à Théophraste, 1903, p. 267 (Paris, F. Alcan).

LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE physique, il avait du même coup conçu l'étude des nombres comme une étude de la réalité concrète, érigé la découverte des rapports arithmétiques en découverte de rapports naturels. La vérité mathématique est une /ci, au sens objactif du mot; elle se dégage par l'observation, elle revèt progressivement la forme générale qu'elle comporte; Ja nolion du nombre parfait et la notion de'l'accord parfait, les formules de Parithmétisme géométrique et celles de l'arithmétisme acoustique ont exactement le même caractère. Et ces lois qui régissent à titre égal el . unissent dans une synthèse homogène Jes différents ordres de la réalité sont d'une telle simplicité qu'elles semblent adaplées à la nature de l'esprit, et destinées à assurer l'équilibre définitif de toutes ses fonctions. L'harmonie de l'univers se réflète dans l'harmonie des idées, ou plutôt l'une et l'autre se fondent dans l'unité, dans l'iudistiuction qui, pour les Pythagoricions constitue le xéouss

LIVRE II GEOMETRIE CHAPITRE IV LE MATHÉMATISME DES PLATONICIENS SECTION À. — Lia position du problème platonicien. IMITATION ET PARTICIPATION 24. — Le platonisme est comme le pythagorisme une philosophie de type mathématique. A cet égard même, et s'il fallait en croire Aristote, la différence du pythagorisme et du platonizme serait purement verbale. Suivant les Pythagoriciens les choses imitent les nombres, suivant Platon les choses participent aux nombres; Je nom seul serait changé‘, Mais il faut reconnaître que, pris en soi, les mots d'imifalion et de parlicipalion sont équivoques, au point de pouvoir être interchangés. Si limitation suppose avant tout la séparation de l'original et de la copie, les idées platonicienhes sont des « paradigmes », dont les choses sensibles sont des imitations; le Timée est, à cet égard, aussi explicite que possible : réte pv yp Bio «lbn Bisdépedz,... Ev pay dx rapabelyuaros eIdoc úxorabiv, vonröv xai aut xark vabrà èv, pinza dt napatelyperos Sebregor, yévscer Lov xol bparóv *, D'autre partla notion ‘ „1. OF piv ye Tudayóperos pruños rà Svra pacir slvar av ¿pb poo, Méruv dt padéte, robvopa perafirdosv, Mel., A. 6. O87" 14, 2, 43 E. Dang une série d'analyses qui ont paru de $88! à 1885 dans Ic Journal of Philology (vol. X, XI, XH, XIV, XV), 30us ce titre : On Plaza's Inter theory of ideas, M, Jacksun a mème proposé une distinction radicale eutre les dialogues où Platun expose la théorie de în participation aux Jdées, le Phédon Ct la République, et lea dialogues tels que le Thédtète, lo Philebe, le Politigue, le

de participalion est empruntée au vocabulaire d'Anaxagore, el elley a un sens purement matériel!. Idvra avrès poîpav perize, cette parole exprime que tous les éléments de l'univers, le vo%; excepté, se mélangent effectivement les uns aux autres, que l'univers est 4 cvppuix révruv ysmuéruv?. En ce sens, et si l'on faisait fond sur l'interprélalion méme que les livres M et N de la Métaphysique donnent du pythagorisme il conviendrait de lui restiluer, par contraste avec le platonisme la thèse de la . participation des choses aux nombres. Of sì Iubayfsstor dt ré Bpliv noll& tov apar mil ivurdazovia tote aleUnroïs odiuaciv, elvat * pay dptOuobs éxotqoay 12 dura, où yosearobs El, GAN! di Apra vd Évra Le vocabulaire respeclif qu'Aristote attribue aux Pythagoriciens el aux Plaloniciens pourrail donc être interverti sans trop de difficulté; mais, par delà les ressemblances verbales, subsiste l'opposition profonde de l'immanence pythagoricienne et de la transcendance plalonicienne : 8 pév sole deiduods mus ta diobara, ol BaprOwobs civai gaorv avrà tk moiyuars *. Lorsque les Pythagoriciens disent que les choses imilent les nombres, ils mettent sur le méme plan la réalité numérique et Ja réalité naturelle; ils conslatent une ressemblance entre l'ensemble de nombre et l'ensemble de la chose : "Ev 32 set: az:Qucts édérou hempeiv ônouspara wok tots oda xal yryvoudvers... xal civ Boy oUsIviv Sppovizn eva; xal apibuóv”, Au contraire suivant Plalon, la science des nombres porte non pas sur les choses prises en sci, mais sur les caractères des choses, qu'elle réussit à comprendre dans ses déterminations. Le principe de ces déterminaiions, c'est le ripa: dont le-domaine est défini avec précision dans te Pkilèbe « l'égal et l'égalité, el après l'égal le double et tout ce qui serait rapport de nombre à nombre et de mesure à mesure‘. » Au même objet, suivant l'étalon-de la mesure ou de la numération, s’appliquerout différenis types de détermination; mais ces types idéaux sont, pris en soi, des réalités antonomes; ils constituent le plan Timés ou les Idées seraient remplacées par les types*naturels, les paradigmes (t, XIII, p. 262), et où la pébates seraiten réeli:é pipers (t. X, p. 280). Zeller a montré les diflicuités d’une Séparation aussi compléte dans un mémoire Veber die Unterscheidung einer doppelten Gestalt der fácentehre in den Pluionischer. Schriften, (1887), Kleine Schriften, t. I, 1910, p. 364, et suiv. vee . 1. Diels, op. cit., p. 310. . 2. Ibid., p. 315. 3, N. 1000" 20. . 4, Met., A 0 987* 27, ef. Phys. Ill, 4, 203° 6. 5. Mél., A 5 08527. 6. 25 A. Mparov pv 10 Esov xat loire, peta El cè Too d iso rai mar 3 vi map Iv radi dp:Oydy dpidpds Y pérpov n mpg pérpov, sadra Eprave’ els tb nipa; Anoloyılöpevor ads av Soxoducy 8 hy = SEhtyaeDtes 45 : LA DECOUVERTE DES IRRATIONNELLES supérieur de vérilé ou d'existence dont procède la participaoù sous tion. Que ce soil par présence, par communicat€ion la granest moyen’, autre quelque quelque autre forme ou par sse pelile lo el c cela, que grand plus est deur qui fait que ceci | qui fait qu'une chose est plus pelile qu'unc autre”. Telie est, dans la lumière brutale des textes, la distinction spérifique qui nous conduit à l'étude directe du mathématisme pla-s tonicien. Nous avons à déterminer d'une façon précise le progrè accompli par la réflexion de Platon. Comment de la méditation de la mathématique a-t-il tiré une doctrine de la connaissance qui déborde par deli le domaine mathémalique, qui se projonge même au delà de l'antiquité, puisque quelques-uns des le germe interprètes les plus profonds du platonisme y ont décelé sme idéali al reliée être d e capabl elle, univers ologié d'une méthod avénement critique des modernes? Mais comment, d'aulre part, |Brillan t que si début au de cette philosophie, dont le succès ful In mathématique semblait avoir absorbé la philosophie *, a-t-il été suivi, à bref délai, de la disparition de la philosophic mathématique? Comment la science des connexions entrles idées — la science réelle — a-t-elle paru pendant près de vingl siècles, subordonnée à la science apparente — à la science des classifications verbales? Cette seconde, question ne doit pas ètre séparée de la première; nous ne serons pas éloignés de saisir le sens du mathématisme piatonicien si nous nous rendons capables de i satiefaire à cette double curiosité. LA DÉCOUVERTE DES IRRATIONNELLES 25. — Directement ou indirecténfent, la considération de la technique est intervenue dans l'élaboration de la philosophie platonicienne. L'identification exacte que le pythagorisme, an moins sous sa forme primitive et, en quelque sorte, à l'élal pur, avait établie entre le nombre et la grandeur, entre la pensée arithmétique et la réalité concrète, se trouve rompue, à l'époque où Théodore de Cyréne enseignait les malhémaliques è 1. Cf. Phédon, 100 G: paivera: ydo pot, af <i = Bide er sag’ adrò +, oubk St’ Ev ¿Ao xadov civas Y Srdrs pstéyer Exsivoy vos zadod. _ m D: ote rote motel dtr nadvv 7% exsivoy tod vadod cite Rapovota ale av, Ott où pev oudty do Devis Y,dt: ” pa ° 3. Ibid, 104i î front oùbrvl Ai peitiv tav 7 perde nai Ur toro peizo», dv, T+ E ' bn nettav riv Exepov tripov val Esos mpocyiyverat. 2s vo péystos, th PMaerrav... Ba Thy apınplmzs. . on 4. yiyove za padfipara cote viv A gidogozia, Mel., Av

LA DÉCOUVERTE DES IRLATIONNELLES Platon !. Chose curieuse et qui manifesle la fécondité de leurs procédés scientifiques, c'est aux Pythagoriciens eux-mêmes qu'est due la découverte capilale qui devait mettre fin au règne du nombre, la découverte des grandeurs incommensurables, Dans la plus harmonieuse des figures qu'ils aimaient à considérer, dans le carré, ils devaient rencontrer un élément géométrique qui n'élait plus une somme de points. Comment s'est révélée cette difficullé? Autant qu'on peut le présumer, ce serait par l'établissement de la formule générale connue sous le nom de théorème de Pythagore : a ct b élant les côtés d'un triangle, c l'hypoténuse, a* + 6* = ct, Cette relation était connue des Hindous, à une époque que M. Bark, dans son introduction à l'édition et à la publication des Sulvasutras d'Apastamba?, faitremonteaur vie siècle avant l'èré chrétienne (et la date est acceptée par les derniers historiens de la mathématique). Mais si les Hiudous ont exprimé le théorème de Pythagore dans sa généralité, nous ne ‘pouvons pas affirmer qu'ils en possédaiont une démonstration générale. Peut-être se contentaient-ils de poser la loi par induction, en remarquant is copnoxion entre les différentes valeurs, exprimées en nombre: entiers, que l'on pouvait donner aux cotés de l'angle droit du triangle (ou plutôt du rectangle) et des valeurs nyrodriques “entières qui leur correspondaient pour l'hypoténese (ou pour la diagonale). L'induction devail leur parattre d’aulant moins douteuse que, suivant la remarque de Zeuthen, ls devaient ne pohésiler « à croire que loujours il était possitle Fexprimor |» trois côtés d'un triangle comme des multiples entiers dui unité assez petite * ». Au contraire pour Pythagore. dont ee fu: là sans doute l'apport original, le théoréme esi une vérité qu: _ est indépendante de celle particularité que les côtés du Lrianpie rectangle peuvent être représentés par des nombres entiers. De: iors, les Pythagoriciens se trouvaient engagés dans ni: domain ou Je parallélisme du concept numérique et de la représents_Hon géométrique ne peut plus se maintenir. Le carré es! la figure rectangulaire la plus simple; le carré numériquement. le 3. Diog. Laért, Ill, 6. ‘ 2. Voir 2, Wie alt ist der Satz von Quadrat der Hypotenuse bei den Indern“ Zeitschrift der deutschen morgenländischen Gesellschaft, 1. LV, année 1001. p. 550 et suiv. 3. Théorème de Pythagore, origine de la géométrie scientifique (Congrès Inter. national de Philosophie, 11° session, Ragports et comptes rendus, Genève, 1907 p. 846) Voir égaloment Milhaud Lo GÆhétrie d'Apastamba, Revue Générale deSciences, 1910, p. 512, et suiv., el Nouvelles Hiudss «ur Pilistnire de la Pers scientifique, 1911, p. 108 el suiv. ” A-BOAmtaSenr,aEtYMoseci 1 47 plus simple est celui dont on suppose que le côté est égal à l'unité; or, l'observation empirique a dû le faire facilement découvrir, si la diagonale du carré, qui a l'unité pour cole, est rise à son lour comme côté d'un nouveau carré, l'aire de ce carré est égale à deux; quelle sera donc la longueur exacte dc le diagonale? ou si l'ou préfère, quelle sera la longueur exacte de l'hypoténuse du triangle rectangle isoscèle dont les côtés sont égaux à l'unité? Tous les essais faits pour trouver une expression fractionnaire dont le carré soil équivalent à 2, échouent les uns après les autres. L'échec est-il définilif, el ne pourrat-on en choisissant des unités de mesure de plus en plus faibles finir par découvrir une racine exacle de 2? Les Grecs se son! posé la question; ils l'ont tranchée à l'aide d'une démonstration qui donne une idée claire de leurs ressources logiques, et qu'il esi d'autant plus intéressant de reproduire ici qu'une allusion d’Aristote! permet de la faire remonter & une dale très voisine de l'époque pythagoricienne. Si la diagonale est commensurable* au côté du carré, le rapport peut être mis sous la forme d'une fraction irréductible =A Le théorème de Pyihagore d* = 2c* > siepi montre immédiatement que d est pair, d'où Pon conclurait, puisque d et-c sont premiersæntre eux, que c est impair. Mais la parité de d permet d'exprimer le Ih&or&me sous la forme sui- KrRaAR vanle : Sia pes relatdred . (5) medi : ou 2(5) =e? ce qui en{ratnerait la parité de c. Si d ete sont supposés commensurables, il résulte de l'hypothèse que c est à la fois impair et pair. Ainsi se trouve élablie è la pleine lumière d'un raisonnement rigoureüx l'impossibilité de faire correspondre un nombre déterminé. d'unités à fa diagonale d'un carré quia l'unité pour côté.. Un tel nombre devrait êlre celui qui a pour carr: 2; il devrait être pair et il devrait être impair en même temps; il . n'a'pas d' « état civil », il est en dehors de l'intelligibilité. Et pourtant. la grandeur que l'on se voit condamné à ne jamais pouvoir mesurer avemexactilude est géémétriquement construite el déterminée. Le domaine de l'existence déborde le type de lintelligibilité; la rupture de l'équilibre où s'était tenu le dogmatisme pylhagoricien est inévitabie. 1. Premiers Analyliques, 1. 23, 41°28. "Acdupecgzo; Y, Crapersog Bra sè viscosa: 22 wepitsz Cow sol; doztote cupuirpos cebcions. 2. Voir la proposition iutroduite dans les Éléments d'Buzlide (X, 11D apud Heiberg, X, App. 26, t. III. Leipzig, 1888, p. 408.

De cette crise il démeure un lémoin, Zénon d'Elée. Quelle qu'en ait été l'intention, quelle que soit la Base positive qu'elles recouvrenit ', les apories de Zéno n d'Elée ont signifié pour l'anti - quité grecque l'impossibilité de faire coïncider la pluralité discontinue, pluralité pythagoric ienne des points arithmétiques ou encore pluralité démocritéenne des atomes étendus, avec la * donnée concrète, avec la réalité continue de ‘l'espace où les choses se déplacent; elles ont marqué l'échec de la science telle que la mathématique paraissait en avoir jusque-là fixéle modèle: elles-onl provoqué une conception nouvelle de la connaissance et de la vérité. . 26. — A travers les Dialogues de Platon, plus d'un indice vient témoigner que la découverte des irrationnelles n'est: pas étrangère à la doctrine platonicienne de “la science. Dans l'introduction du Theeiete, dialogue destiné à marquer les premiers degrés de l'analyse qui remonte de l'apparence sensible à-la vérité, Platon rappelle les écrits de son maitre Théodore, qui établit l'irrationalité de yö. de y7 cl poursuiv it LA RÉGRESSION ANALYTIQUE 49 double. — Mais la longueur double est 4, la surface double est 16. du carré sera donc plus grand que 2, plus petit que 4, — Le côté c'est-à-dire 3. — Mais cette réponse, qui épuise en quelque sorle les ressources de l'imagination proprement numérique, esl encofe inexacte; le carré de trois pieds de côté aurait une surface de neuf pieds. — Socrate suggère N | |: (fig. 3), nous pouvons lui juxtaposer trois Di 5 carrés égaux de façon à obtenir la surface, © quadruple AEGF. En prenant les diagonales BC, CI, IH, HB, nous coupons en deux chacune des quatre surfaces égales au carré primitif. Le carré BCIH est donc double du carré primitif; le cdté, dont la a 5 „ alors une’ considération exelusivement géométrique. ‘Soit le carré-ABCD* | A , Fig. 3. longueur serail égalé à v8, est la ligne que les Sophistes appellent hd c'est du diamètre que se forme donc la surface double?. jusqu'à 11 la recherche des racines carrées irralionnelles®, Au VIE livre des Lois, il se plaint, comme d'un crime contre la patrie, qu'on laisse ignorer aux jeunes Hellènes, qu'on lui ait laissé longtemps ignorer à lui-même, la distinction des grandeurs commensurables entre elles et des grandeurs incommensurables ?, distinction dont il fait la base des « humanités ». Surtout il convient d'insister sur l'exemple du Afénon : le problème, l'un des plus simples qui pouvaient se présenter après la découverte de l'incommiensurabililé, consiste à déterminer la longueur du côté d'un carré qui serait double d'un autre carré ayant quatre pieds de surface. Ce qui est significatif, c'est le but auquel cet exemple est destiné : il s'agil de prouver la thèse de la réminiscence. Le Socrate platonicien fait introduire un esclave . auquel, sans rien apprendre direclement, par le seul effel de la lumière naturelle qui se révèle à elle-même, il prétend faire retrouver la véritable solution du problème ‘. Les premières réponses deJ'esclave sonl empruntées aux cadres de l'arithmétique “pure: Le carré de surface double paraît avoir un côté de longueur y Vide infra, § 95. . : . Théétèle, 147 D. Voir l'étude de Zeutben : Sur la constitution des livre arithmétiques des Éléments d’Buclide et leur rapport à la question de l'irrationalite, Académic Royate des Sciences et des Lettres de Danemark, 1910; p. 395 et suiv. | > pi : Ta sav patpnrüv te xal dpérpev poe anda, rim puote: yiyove. . en ms ni, éxéceo’ Xv coi patvira:; 5 évatipymonépevos È — La méthode platonicienne. Section B. LA REGRESSION ANALYTIQUE 27. — Reconnaltre que ce qui est au delà du nombre n'est plus au delà de. Pintelligibilitó, faire une place à la solution exacte de la géométrie là même où celle solution ne peul se ramener à la forme simple d'un rapporl arithmétique. c'est élargir la base de la science, et c'est en transformer la notion. Il est devenu: impossible de maintenir dans toute sa rigueur, dans toute sa naïveté, l'identificalion que le pythagorisme avait affirmée entre les nombres et les choses: mais,il est également impossible d'accepter dans toute sa simplicité, dans toute sa crudité, l'opposition établie par Parménide entre je monde de l'être ou de la vérité etle monde de l'apparence ou de l'opinion. Sans rien relâcher de la sévérité dialeclique avec laquelle lesEléates avaient manié le principe de contradiction, la philosophie plalonicienne se proposera de reconstiluer le syslcine organique où toujes les sciences trouveront désormais’ leur harmonie et leur unité.: Elle commencera donc par suivre à ° | 1. Cf. Cantor, 13, p. 21%. 2. Kahoüsı dl Tadınv tidpespov of gapiozal, tas’ ti tatty Étiperpos ovean, axe vis Biapispos Em WE OÙ PA © rat Mévuvoc, yiyvort' Gy ‘to Giradogon 4wpiev. 85 B. Bassacuvica. — Les étapes. 4. anASE erTl<Aatmsvasi)dıDoindlpcai: