Grosse Terz, Oktave und Harmonie

Von B. L. van der Waerden, Zürich aa bu | ave und Harmonie G2auy ge W DERDEN GroBe Terz, Okt ‘ ae ie I. Die große Terz In einem sehr lesenswerten Aufsat z über «Harmonie und Tetraktys» (Mus. Helv. 16 [1959] 238) schreibt H. Koll er: «Das Fehlen der Terz in der griechischen The orie der symphonen Intervalle wird all gemein als der bedeutendste Unterschied der altgriechischen zur abendländischen Mus ik betrachtet. Es hat daher nich nicht berechtigt. Bei meinen Unt ers t an Versuchen gefehlt, die Terz doch in den Res ten griechischer Mus ikt heo rie auf zuw eisen.» Dazu zitiert er, neben Frank und Ahlver s, meine «Harmo nie leh der re Pyt hagoreer» (Hermes 78 [1943] 163ff.) und schr eibt: « Gegen alle diese Versuche ist einzuwenden. daB sie ausdrücklichen Zeu guissen musiktheoretischer Litera tur widersprechen.» Die letzte Bemerkung scheint mir uchungen über die Rolle, die die groBe Terz und die verminderte klei ne Ter z (die den Verhältnissen 5:4 und 7:6 entsprech en) in der Musiktheorie des Arc hyt as von Taras spielten, war ich von den bei Ptolem aios in der Harmonik I 13 über lief erte n Tonleiterberechnungen des Archytas aus gegangen. Im enharmonischen Tonges chlecht des Archytas kommt das Intervall 5:4 explizit vor. Das räumt auc h Koller ein: «So zeig t es sich , daß Arc hyt as einmal das der groBen Terz zugehö rige Saitenzahlverhältnis 5:4 errechnet» (S. 239). Terz Aus der weiteren Argumentation bei Koller ergibt sich, daB es ihm vor all em chischen Musiktheoretiker die darauf ankommt, nachzuwei sen, daß die grie «Harmonielehre der Pyt rvall betrachtet haben. In diesem Punkte stimme niemals als ein symphones Inte ich ihm vollständig bei. In meiner hagore er» (He rmes 78 [1943] 163) habe ich auf S. 166 aus drücklich betont, daB die groBe und kleine Terz nicht symphon sind. «Über die sen Punkt sind ler und ich demnac alle unsere Que lle n sich einig», schrieb ich damals und führte auß er Ptolemaios und Aristoxenos auc h noch Nikomachos, Eubulides und Hippasos als Zeugen an. In diesen zwei Punkten sind Kol h einer Mei nun g: Die große Terz kommt bei Archytas als Interval l in einer Touleiter vor, abe r sie wur de allgemein nicht als symphon betrachtet. Wenn Koller nun meint, daß mei n «Versuch» ausdrücklichen Zeugnissen widerspr icht, so muß er mich mißversta nden haben. 2. Die Epinomisstelle 990 E-991 B In meiner erwähnten Hermes-A rbeit habe ich, Mittel zu erklären versucht. Teil t man nämlich eine Hypothese von Tannery weiter verfolgend, die Intervalle (5:4 ) und (7:6) des Archytas aus der Lehr e vom arithmetischen und harmonischen

B. L. van der Waer:len ‘roße Terz, Oktave und Harmonie isohe Me die Quinte und die Quarte durch das arithmetische oder harmon ei we ae we genan (6:4) Quinte die für man erhält je zwei Teilintervalle, so 12:8=9:6=3:2 12:9 =8:6 =4:3 die in der griechischen Musiklehre und im Text Hemiolion und Epitriton heißen. 112 6:5 und 5:4 und fiir die Quarte (8:6) ebenso 8:7 und 7:6. Als Suite de Nese den Iı Hypothese von Tannery führte ich eine Epinomisstelle an, die bisher pretatoren große Schwierigkeiten geboten hatte. cy ty teh noo On € yt péop 7 Der Schinfisatz dieser Epinomisstelle lautet: zoörwr adrav an Kelle dppdtepa otoeponér Tof dripdsrois spone zon a . bone i M qopeig rt eddaipo ydow g üpnoria zul te Gc pudnod jr die Werte wai oiyuecoo vee FR weg und übersetzt so: «Die Auer en den in ihrer Mitte, die sich nach beiden Seiten wendet, giht den Mensch aber ‘ “en der Konsonanz und dem seligen Tanz der Musen die Gunst der oaren a in einer FuBnote: «Anders B. van der Waerden: ‘Wenn man, ausgehend vont Verhältnis 3:2, noch einmal ein arithmetisches oder harmonisches en we re: so erhält man die Verhältnisse 5:4 und 6:5. ane in der Sprache der Musikleh i inte wird in große und kleine Terz geteilt .» - dies Zusammenstellung von Kollers Übersetzung mit meiner Interpretation zuerst scheint mir irreführend. Koller und ich haben beide den fraglichen Satz n Komme zu lung Beurtei en gerecht einer zu Um übersetzt und dann interpretiert. mi etation Interpr und chen verglei tzung Überse mit sollte man Übersetzung one “Toemataung lautete: «Indem sie sich. von eben diesen Aignan ° ausgehend, selbst wieder von der Mitte aus nach beiden Seiten veneer “ om\ sie (die entgegengesetzte Kraft) den Menschen die wohlklingenc 7. e “ e met und ebenmäßige Anmut von Spiel, Rhythmus und Harmonie, hingegeben eigen der Musen.» ückseli atk Subjokt dices Satzteils fassen Toeplitz und ich « die Kraft ud ae ie nach jeder der Proportionen entgegengesetzte Kraft, die sich immer um die 5 „oppe lung drehen» auf. So wie der Text überliefert ist, scheint das die einzige u i keit zu sein. Die Arten von Proportionen sind nach der antiken Tradition die ge metrische aix = x:b, die arithmetische a—y = y—b und die harmonische Proportion (a—z):a = (z—b):b. Das arithmetische Mittel y und das harmonische Mittel z werden jm Text selbst definiert. Bildet man, so sagt uns der Text, zu den Zahlen 6 und 12, “ im Verhältnis des Doppelten stehen, das arithmetische und das harmonische Mitte (9 und 8), so erhält man die beiden Verhältnisse Studien 1 [inen ausführlichen Kommentar zu dieser Stelle gab O. Toeplitz in Quellen und Gesch. Math. B 2, 334. 113 Musikalisch gesprochen, erhält man durch Teilung der Oktave (12:6) die Quinte und Quarte. So weit stimmt unsere Interpretation mit der von Koller überein, nur konstruiert Koller das Subjekt: des Satzes anders. Nun heißt es im Text. daß dieselbe (Kraft), von den eben genannten Verhältnissen (3:2 und 4:3) ausgehend, in der Mitte (stehend) sieh nach beiden Seiten wendet. Das deute ich so, daß dieselbe mittelbildende Kraft, die die Verhältnisse 3:2 und 4:3 hervorgebracht hat, nun ihrerseits auf eben diese beiden Verhältnisse angewandt wird. Indem sie sich von der Mitte aus nach beiden Seiten wendet. teilt sie einerseits das Verhältnis 3:2 (Quinte) durch das arithmetische oder harmonische Mittel in die Teilverhältnisse 6:5 und 5:4, die der großen und kleinen Terz entsprechen, andererseits das Verhältnis 4:3 (Quarte) in 8:7 und 7:6. Aus diesen vier Teilverhältnissen lassen sich. wie ich in Hermes 78 gezeigt habe, alle Intervalle der Tonleitern des Archytas konstruieren. So schenkt uns die verdoppelnde und mittelbildende Kraft in der Tat die wohlklingende Gebundenheit von Harmonie und Musik, wie es im Text gesagt wird. Der Zweck dieser Ausführungen ist nicht, die Kollersche Interpretation zu widerlegen. Vielleicht kann sie mit dem Text in Einklang gebracht werden. Das müßte aber näher begründet werden, und zwar durch eine vollständ ige Übersetzung und Interpretation der ganzen Epinomisstelle, nicht nur des letzten Satzes. Was ich wollte, ist nur, meine eigene Interpretation in ein besseres Licht setzen, als sie bei Koller erscheint. 3..Die Harmonie Jetzt noch ein Wort über den Begriff éouovia. Ich habe ihn in meiner Arbeit immer durch «Tonleiter» übersetzt, Koller übersetzt «Oktave», Auf Grund sämtlicher Belegstellen scheint mir jetzt. daß in beiden Interpretationen etwas Wahres steckt, daß aber beide zusammengenommen werden müssen. Überbliekt man die von Koller angeführten Belegstellen für dguovia = Oktave, so sieht man, daß an allen diesen Stellen die Harmonie nicht einfach dem Intervall der Oktave gleichgesetzt wird, sondern daß es sich um eine gegliederte Oktave handelt, die in ganz bestimmter Weise aus Teilintervallen zusammengefügt ist. So sagt Aristoteles: «Die Harmonie ... wird von vier Gliedern hervorgebracht und weist zwei Mittel auf … denn sie gliedert sich in zwei Tetrachorde.» In der Epinomis fällt das Wort Harmonie, nachdem von der Teilung der Oktave in Quinte (Hemiolion) und Quarte (Epitriton) durch das harmonische und arithmetische Mittel die Rede war. Ebenso heißt es bei Philolaos: «Die Harmonie ist als Größe eine Quarte und eine Quinte.» Auch Koller scheint der Meinung zu sein, daß die «Harmonie» eine durch bestimmte Zwischentöne gegliederte Oktave ist. Denn er schreibt (8. 243): «Nun

B.L. van der Waerden: Große Terz, Oktave und Harmonie kann natürlich diese doyovía, diese Oktave, von jedem Ton aus angesetzt werden, wobei aber die beweglichen Intervalle je nach rózog andere Werte bekommen. ‘Oktaven’, die in die beiden Tetrachorde gegliedert: sind. bleiben sie trotzdem.» So spricht er auch von den Oktavengattungen und führt als Beispiele die äolische, lydische. mixolydische, … Tonart an. Wäre die Harmonie nur eine ungegliederte Oktave, bestehend aus zwei Tönen im Verhältnis 2: 1, so könnte man nicht von «Oktavengattungen» reden. Auch Platon gebraucht den Ausdruck ai doa dopoviae (Staat 400a, Koller 8. 243), während es natürlich nur ein Diapason, nur ein Intervall der Oktave gibt. Im Abschnitt «Tetraktys» benutzt Koller selbst den Ausdruck «gegliederte Oktave». Allerdings ist auf S. 244 unten von der «Symphonie der Oktave, der Harmonie» die Rede. Eine Symphonie im griechischen Sinne ist einfach ein symphones Intervall, sonst nichts. Der Unterschied zwischen der gegliederten und der ungegliederten Oktave, der Harmonia und dem Diapason. scheint also bei Koller nicht klar herausgearbeitet zu sein. Geht man davon aus, daß «Harmonia» eine in zwei Tetrachorden gegliederte Oktave oder eine Tonleiter im Umfang einer Oktave ist. so versteht man auch Platon, wenn er im Staat 617 B sagt, daß die acht Töne der Sirenen auf den Sternenkreisen «zu einer Harmonie zusammenklingen» oder wenn er im Phaidon von der «Harmonie der gestimmten Lyra» spricht. Mit der Übersetzung. die Koller in der Übersicht am Schlusse seiner Arbeit gibt. nämlich dguorfa = «Fügung zweier Tetrachorde», bin ich ganz einverstanden.