Die Entwicklung des Infinitesimalbegriffs

Ee ete ye . {25 \ VIEL, 6. b) Exakte Wissenschaften und Medizin. 159 2477 Diels, Hermann: Antike Technik. 7 Vorträge. 2. erw. Aufl. Mit 78 Abb., 18 Tiln u. 1 Titelbild. Leipzig u. Berlin: B. G. Teubner 1920. VIII, 243 S. 8% geb. 21.15 M. Rec. Bayer. BI. Gymn. 56: '20, 130-1 v. Eduard Stemplinger. Berl. phil. Wo. 40: ‘20, 1137-40 v. K. Tittel. Lit. Zentralbl. 71: ’20, 572-3 v. Hans Lamer. Naturw. Wo. N. F. 19: °20, 431f, v. Miehe. N. Jbb. 45: ’20, 237-40 v. J. I(lberg). Nord. Tidsskr. Filol. 4. R. 9: 20, 63. (v. Ungenannt.) Physik. Zeitschr. 21: '20, 645 v. G. Prange. Zeitschr. math. u. nat. Unt. 51:° 20, 286f. v. W, Lietzmann. Zeitschr. phys. u. chem. Unt. 33: ‘20, 155 v. F. Poske. ds.: s. Nr, 1050. 2478 Ferckel: Cor ultimurn moriens. Mitt. Gesch. Med. 19: ’20, 305-6 (bes. nach Aristoteles]. 2479 Fotheringham, J. K.: Astronomical Comments on Dr. T. Rice Holmes’s Note on the Julian Calendar. Class. Quart. 14: ’20, 97-9. <s. auch Nr. 2484. 2480 ds.: Cleostratus. A Postscript. [Vgl. B. ’19, 103}. Journ. Hell. Stud? 40: °20, 208-9 (Gerichtet gegen Nr. 2472). Ganszyniec, R.: s. Nr. 679. 2440. 2441. 2481 Garrison, Fielding, H.: The Greek Cult of the Dead and the Chthonian Deities in Ancient Medicine. Annals of Medical History. Spring Number 1917, 8. 35-53. 2482 Heiberg, J. L.: Naturwissenschaften u. Medizin im klassischen Altertum. 2. Aufl. Mit 25 Fig. i. T. Leipzig u. Berlin: B. G. Teubner 1920. 104 S. kl. 8°. (Aus Natur u. Geisteswelt. Nr. 370.) Kart. 2.80 M., geb. 3.50 M. Rec. Mitt. Gesch. Med. 19: '20, 275 v. Sudhoft. 2483 Hellmann, Gustav: Beiträge zur Gesch. d. Meteorologie. II. s. B. '18, 134. ’19, 103. Rec. Mitt. Gesch. Med. 19; ‘20, 35-6 v. Günther. Hirschberg, J.: s. Nr. 731, Hoffmann, E.: s Nr. 1001. 2484 Holmes, T. Rico: The Earliest Visible Phase of the Moon. Quart, 14: ‘20, 172. <s. auch Nr. 2479.> Class. 2485 ds.: A Supplementary Note on the Julian Calendar. Class. Quart. 14:. 20, 48-7. <s. auch Nr. 2479.> Holth, S.: s. Nr. 2655. 2486 Hoppe, E[dmund]: Die Bedeutung der vedcetg in der griechischen Mathematik. Mitt. der Mathemat. Gesellsch, in Hamburg. Bd. 5:7 11/20 (Heft 6), 299-304. Rec. Mitt. Gesch. Med. 19: ‘20, 115-6 v. Günther, 2487 ds,: Die Entwicklung des Infinitesimalbegriffs. Philol. 76: ’20, 355-359, 2488 Hübotter, Franz: 3000 Jahre Medizin. Ein geschichtl. Grundriß, umfassend die Zeit von Homer bis zur Gegenwart unter bes. Berücksichtigung der Zusammenhänge zwischen Medizin u. Philosophie. Berlin: Oscar Rothacker 1920. Autogr. Druck. 535 S. fol. 80.— M. Rec. Mitt. Gesch. Med. 19: ’20, 270-1 v. G. Sticker. 2439 Jeanselme, E.: Le chancre mou existait-il à Alexandrie au IVe siècle de l'ère chretienne? Bullet. soc. fr. hist. méd. 14: °20, 233-8. Anz. Mitt. Gesch. Med. 19: ’20, 276 v. Sigerist.

Die paläographisch sehr leichte Aenderung von fulm- in culm- ist in der Handschrift von Statius silvae (Matrit. M. 31), die bekanntlich auch die Haupthandschrift des Manilius ist, Silv.2,7,60 schon von den Itali mit Evidenz vorgenommen. Umgekehrt ist falsch culm- statt fulm- überliefert Lucr. 6, 296 (korrigiert von Marullus). Amm. 24, 6, 14 (verbessert von Lindenbrog). Die Ueberlieferung schwankt Germ. fre. 4, 128 rumpuntur culmina nimbis (der Herausgeber mit M A* $, culminant imbres A, fulmina et imbres P. fulmina nimbis Wakefield). Der Ansetzung eines zu fulcio gehörenden fulmen, die schon in die neueste (9.) Auflage von Heinichens Schulwörterbuch eingedrungen ist, dürfte mithin endgültig der Boden entzogen sein. München. H. Rubenbauer. G. Dittmann 1), 3. Die Entwicklung des Infinitesimalbegriffs. Bekanntlich sagt Archimedes in seiner 1906 wieder aufgefundenen Epoöog!) in Bezug auf den Beweis des Eudoxos, daß die Pyramide der dritte Teil des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe, der Kegel der dritte Teil des Cylinders von gleicher Grundfläche und Höhe sei: „co pixpàv amovelpal dv tH Änpoxpitw pepida nowt TV anopastv tiv ep! tod etpnuévou Ox patos YwWols anocerCews anoprvanévw*. Aus dieser Bemerkung haben einige?) den Schluß gezogen: das Verfahren des Demokrit könne kein anderes gewesen sein als das des Cavalieri, „das Volumen ist das Integral, die Summe der unzählig vielen unendlich kleinen Prismen, deren Grundflächen die veränderlichen Querschnitte sind.“ Nun hat Archimedes die gleiche Sache aber noch einmal erwähnt in dem Buche rep! ogaipas nai nulivopov 3). Da sagt 1.1. IV p. 1292, 65 ff.); doch wird für das Synonymum fastigium die gleiche Verwendung von den alten Grammatikern ausdrücklich bezeugt (s. Thes. ling. lat. VI p. 321,72 ff.). Schon Bentley hat auf die ähnliche Ausdrucksweise Manil. 2,806 per latera atque imum templi summumque cacumen verwiesen (vgl. Housman z. d. St). 10) Der Aufsatz ist ursprünglich von meinem Kollegen Rubenbauer im Anschluß an seine Bearbeitung des Artikels fulmen im Thes. ling. lat. allein verfaßt worden und hat dann durch mich einige Erweiterungen erfahren. Da die äußerliche Scheidung der von jedem von uns beigebrachten Teile nicht tunlich erschien, haben wir uns entschlossen gemeinsam zu unterzeichnen, auch um zum Ausdruck zu bringen, daß unsere Auffassung des Problems die gleiche ist. [Dittmann.| 1) Archimedis Opera. (Heiberg) Il p. 430. 1913. 2) Simon, Geschichte der Mathem. im Altertum 1909, p. 181 und Heiberg, Hermes 42. 1907 p. 300. 3) Archimedes opera 1 p.4. 1900.

er: „Aalyàp TOUTUWV TPOUTAPYOVTWY PUITS mepl TADTA TÀ DXNpata, TOMÓ Y Tpè Hodogou yeyevypevwy Ary hoyou YEWeTpoy ouvepatvey Und névtwy Ayvociodal und Lp’ Evòs xatavondivar.“ Wie reimen sich diese beiden Ausspriiche mit einander? Man wird sagen unter dnéüetfts verstehe Archimedes den von Eudoxus gefundenen Exhaustionsbeweis, der habe freilich dem Demokrit gefehlt, aber statt dessen habe er denselben Weg beschritten, den auch Archimedes gegangen sei, nämlich die Summation der Schnitte vorgenommen. Allein dann hätte Archimedes in dem zweiten Ausspruch doch nicht den Ausdruck xxtavord-7vxt gebrauchen können. Freilich unterscheidet Archimedes bei geometrischen Erkenntnissen scharf zwischen deuwpeitat und arotelxvuta:; mit ersterem bezeichnet er eine geometrische Induktion, während das &Anoöelxvurat für den strengen geometrischen Beweis, für die Exhaustionsmethode, gebraucht wird. Aber unter das xatavondíva: gehört doch auch sicher die induktive Erkenntnis. Wir smd nun aber in der Lage, nachweisen zu können, woran die geometrische Induktion bei Demokrit gescheitert ist. Plutarch erzählt 4)), welche Schwierigkeit Demokrit nicht habe überwinden können: &vioot Ev Yap oda (at TOY Tunpatwv ETUPAVELOL) TEY XWYOV apodo TageE50US!, mods aTroyapaters \xppavovta pas eicelg AML TONYUTYTAS * LOWY À’ odo@®y, fam TWT- WATS ÉOTAL HA paveitoa, TO TOD AUÁVOPOL Terovibs 6 AGVOS, EC TOMMY ovyuelnevos nal odx Aviswv xvxAwY, Gnep ESTIV &TOnaratov. ’Evtadda 07 tov Aypönpt TOV ATOPAVOY ay YOOOVTE „Tas pèv em: paveias*, puoi, ENT Tous elvat UT dvisous, VIGA DE TX owuatrx TH pt loas eivar pt aviacug TAG Enicavelas“. Demokrit steht also vor der Schwierigkeit, den Kegel als Summe kleiner Prismen aufzufassen, und hat diese Schwierigkeit nicht überwunden; er kommt entweder zu der treppenförmigen Begrenzung, oder zu einem Cylinder. Dies Hindernis wäre nicht entstanden, wenn er den Infinitesimalbegriff gehabt hätte. Den Satz selbst, daß die Pyramide ein Drittel des Prismas ist, konnte Demokrit, der nach dem Zeugnis der Zeitgenossen viel experimentiert hat, sehr wohl durch Wagen oder ein Flüssigkeitsmaß finden, aber das wiirde Archimedes nicht unter das xxtavoeîv rechnen. So ist kein Zweifel, daB das Cavalierische Verfahren nicht von Demokrit angewandt ist. Den Infinitesimalbegriff finden wir aber nicht zuerst bei Archimedes, sondern bei Platon und ich halte dies für die wesentlichste Tat Platons auf dem Gebiet der Mathematik. Die klare Entwicklung desselben findet man freilich nicht im Timaios oder Theaetet oder im Staat, wo die mathematischen 4) Plutarch, De comm. notitiis adversus Stoicos c. 39. 1079 E.

Leistungen Platons gewöhnlich gesucht werden, sondern in dem nach allgemeiner Ansicht später als all die genannten Dialoge geschriebenen Philebos. Zunächst beklagt sich Platon, daß die modernen Weisen ohne weiteres von der Einheit zum Unbegrenzten übergehen wollen: of GE vOv THv avopwrwv copol Ey EV, ÖnWg av TÙYWOL, tà mod dattov nai Ppadbtepov matado: tod Géovtoc, peta D ev drepa cuyos °). Es sei vielmehr nötig, die Idee der Einheit und Vielheit von der Idee des Unbegrenzten (Ateipov) zu trennen. Denn, so führt er fort: Eu yao Ev Ottodv ei tig Tote AXdcı TOÜTO, dg (Paper, 00% En’ dreipau pba dei BAÉTTELV evhds aA’ En! tiva apro or, ctw xal TO évavtiov . . (18 A). Darum unterscheidet er die beiden Begriffe durchaus: Aéyw TOLVUY TÀ Tuo, & mpotidepnat, TabT elvar, drep vov di, TO pèv dretpov, to dì népas éyov (24 A). Um dies an einem Beispiel klar zu machen, wählt er die Bezeichnung: wärmer — kälter, zwischen denen es keine Begrenzung gibt: Deppotepov HAL puxpotépou TEP TOWTOV opa mépas elmote tl vorjsats dv. Immer istin dem Wirmeren wie in dem Kälteren ein mehr oder weniger, beide haben kem Ende, sondern in steter Fortbewegung ist das Wärmere und ebenso das Kältere: Tpoxwpel yao “ai OÙ EVEL TO Te deppotepov del ua! To buypötepov waadtws (24 D). Alles dagegen, was sich wie Zahl zu Zahl oder Maß zu Maß verhält, gehórt zum Begrenzten. Dagegen stellt das Unbegrenzte einen Werdeprozeli dar fiir ein Begrenztes : GUY vo . TO [ETH TAÓTA Thy adtod népatos yEvvav (25 D). Darum besteht alles Sein aus der Gesamtheit des von der Begrenzung umschlossenen Unbegrenzten: Gvpravtwy TOV Anelpwv Und TOD repatos dedepevwv (27 D). Hätte Demokrit diese Erkenntnis gehabt, so würde sich die Summation der vielen kleinen Prismen innerhalb der Pyramide verwandelt haben in die Integration, d. h. die unendliche Summierung der sich stetig ändernden Flächen. — Ich lege besonderen Wert darauf, daß Platon für alle begrenzten Dinge die Entstehung durch die stetige Bewegung des” ATTELPOV lehrt. Das ist ein gewaltiger Fortschritt gegenüber den Pythagoreern, welche durch fortgesetztes Hinzufügen von Einheiten der Zahlenreihe schließlich zum Unendlichen durchdringen wollten. Ebenso groß aber. ist der Gegensatz gegen Demokrit, welcher durch fortgesetztes Halbieren zu unendlich klein zu gelangen hoffte. Mit Recht sagtt Platon, was sich wie Zahl zu Zahl verhält, i pérpo 7 rpès párgor, TADTA Sopravræ eis TO HÉPAS ATOLOYLwird nie ein Are: pov: Tav Ô TI meo AY mpùs aordudyv apte Gopevot narös &v Goxoipev cozy tosto 2) Platon, Philebos 17 A. ff. Copyright (c) 2005 ProQuest Information and Learning Company Denn in

beiden Fallen ist immer das Verhältnis von Zahl zu Zahl vorhanden. Ebensowenig wie Aristoteles in seiner Metaphysik (M u. N) Platons Unendlichkeitsbegriff verstanden hat und immer wieder die Demokritische Vorstellung von den fortgesetzten Teilen zur Grundlage des Platonischen &retpov nimmt, ebensowenig ist Simons *) Vorstellung, „daß das Demokritische Atom das Differential der Maße sei“, mit dem Infinitesimalbegriff vereinbar, vielmehr ist eine endliche Anzahl von Atomen in jedem Körper vorhanden. Dagegen geben die von mir hervorgehobenen Stellen des Philebos uns das Verständnis für den von Proklos”) in seinem Kommentar hervorgehobenen Satz: onpetov KpXM Years. Völliges Verständnis für Platons Unendlichkeitsbegriff finden wir erst wieder bei Archimedes. Zunächst tritt Aıchimedes der pythagoreischen Vorstellung entgegen, daß man durch fortgesetztes Hinzufügen von Zahlen zum Unendlichgroß gelangen könne, in dem Pappirns. Oft wird der Sinn dieses Buches so aufgefaßt, als ob es Archimedes Absicht sei, das Gebiet der griechischen Zahlzeichen zu erweitern. Eine solch triviale Aufgabe halte ich nicht für Archimedes würdig. Mir scheint die Tendenz des Buches vielmehr aus der Einleitung hervorzugehen; da sagt er, der Zweck sei, Gelon begreiflich zu machen, daß das %reipoy nicht durch die Háufung von Sandkörnern erreichbar sei®). Die Erweiterung der Zahlzeichen ist also nur Mittel zum Zweck. Vollständig führt er die Platonische Idee erst aus in der Epoöog, wo er die erste Integration zwischen bestimmten Grenzen am Parabelsegment mit den Ordinaten auf der Achse ausführt und dann nach der gleichen Methode die folgenden Aufgaben behandelt. Ob Archimedes Platons Ideen gekannt hat, läßt sich nicht feststellen, er zitiert ihn meines Wissens nie. Da aber die Parabelquadratur schon vorher in einem besondern Buche von Archimedes angeführt war, ist es durchaus möglich, daß Archimedes unabhängig zu dem Infinitesimalbegriff gekommen ist. Aber Archimedes ging es mit seinem Infinitesimalbegriff gerade so wie Platon, beide wurden von ihren Nachfolgern nicht verstanden. Nur ein griechischer Mathematiker hat die &p050: benutzt, das war Heron von Alexandreia, der Satz 1, 11 und 12 in seiner Metrik benutzt ?). Bei dieser Gelegenheit sei es mir gestattet, eine Bemerkung in meiner jüngst veröffentlichten Arbeit über die nach Heron $) 7) 8) *) Simon, Gesch. der Mathem. im Altertum 1909 p. 181. Proklos, Comm. in Euklid I p. 88. Archimedis opera. (Heiberg) II p.216. Heronis opera III p. 80,84 und 130.

genannten Definitionen und Geometrie!) zu ergänzen. Ich habe dort gesagt, daß Heiberg in dem 4. Bande von Herons Werken, in welchem diese untergeschobenen Machwerke veröffentlicht sind, nichts über die Echtheit aussage, und habe, da er die Echtheit der Definitionen ausdrücklich anerkannt hat, daraus den Schluß gezogen, echt. er halte die Geometrie auch wohl für Die Bemerkung ist richtig, aber es freut mich konstatieren zu können, daß Heiberg im fünften Bande, in welchem die gleichfalls ganz unechte Stereometrie veröffentlicht wird, auf die Geometrie noch einmal zurückkommt und zu dem Schlusse kommt 11): adparet igitur, Geometriam ex varus Collectionibus problematum et expertis Heronianis Euclidianisque coaluisse, quorum partes nonnullae nondum coniunctae adhuc extant etc. Ich habe inzwischen in jener genannten Arbeit nachgewiesen, daß ganze 7 Reihen des Buches auf Heron zurückgehen. Göttingen. 4. E. Hoppe. Zur Medea des Euripides. Wenn die Rüge in der Poetik des Aristoteles 1461 b 19 opty 0” emTints nai ahoyin nai pordnpia, Otay py avayung avons pndev yprontal TH ahoyw wonrep Edpiriôns ta A!yet der Aegeusszene der Medea, nicht dem Drama Atyeds gilt, so hat schon Szene Aristoteles an der mangelhaften Motivierung dieser Anstoß genommen sein Urteil wird ziemlich allgemein anerkannt 1). In einer scharfsinnigen Abhandlung * Medea- Probleme“ (Verh. der Sächs.. Ges. d. Wiss., Philol. hist. KI. 1918) reinigt Erich Bethe den Dichter von dem Vorwurf mangelnden Kunstverständnisses geiz, dessen heißen und macht nur dessen Ehr- Wunsch den Athenern zu gefallen für diesen Flecken des ausgezeichneten Dramas verantwortlich. Vgl. S. 15 meiner Ausgabe: „Offenbar wollte der Dichter in der Person des Aegeus nur den athenischen Zuschauern eine interessante Rolle "vorführen, wie er an diese Szene das Lied von den Schönheiten und Vorziigen des attischen Landes angeknüpft hat“. Bethe geht aus von den V.386—394, nach denen sich die V. 395 ff. weit besser an 385 anschließen; denn Hekate, 10) Philologus 75, 1919 p. 202. 11) Heronis opera V p. XXII. 1) Chase will im American Journal of Philol. V (1884) S. 87 die Szene damit rechtfertigen, daß sie uns inbetreff des künftigen Schicksals der Medea beruhige und deren Schicksal dem des Jason gegenüberstelle.