Histoire des espaces complets

Histoire des espaces comolets dea pi PEI hades Résumé RESUME. — C'est, semble-t-il, au Ve siècle avant notre ère qu'un Pythagoricien inconnu découvrit l'irrationalité de V2. Alors commence la longue histoire de la completion de l'ensemble des nombres rationnels où l'on retrouve, entre autres, les noms d'Euler, Bolzano, Cauchy, Méray, Heine, Cantor et Dedekind. L'étape suivante est la généralisation du critère de Cauchy aux espaces métriques par Fréchet, leur completion par Hausdorff et l'introduction des espaces de Banach. Enfin on aboutit aux espaces uniformes complets de Weil, aux espaces topologiques susceptibles d'être munis d'une structure uniforme d'espace complet de Dieudonné et a la completion des espaces vectoriels topologiques localement convexes de Grothendieck. Abstract SUMMARY. — In the fifth century B.C., it is said, an unknown Pythagorean discovered the irrationality of 2. There begins the long history of the completion of the rationale, to which are tied the names of Euler, Bolzano, Cauchy, Méray, Heine, Cantor, Dedekind, and many others. The next chapter opens with Fréchets generalization of the Cauchy criterion for metric spaces, Hausdorff's result on the completion of metric spaces, and the introduction of Banach spaces. This leads to the works of Weil, on complete uniform spaces, of Dieudonné, on topological spaces which can receive a complete uniform space structure, and of Grothendieck, on the completion of locally convex topological vector spaces. Citer ce document / Cite this document : DUGAC PIERRE. Histoire des espaces complets. In: Revue d'histoire des sciences. 1984, Tome 37 n°1. pp. 3-28. doi : 10.3406/rhs.1984.1972 http Amww. persee. fr/weblrevuesihomeiprescript/article/rhs_0 0151-4105_1984_num_37_1_1972 OO) ss creative.

In: Revue d'histoire des sciences. 1984, Tome 37 n°1. pp. 3-28. Résumé RÉSUMÉ. — C'est, semble-t-il, au Ve siècle avant notre ère qu'un Pythagoricien inconnu découvrit l'irrationalité de √2. Alors commence la longue histoire de la completion de l'ensemble des nombres rationnels où l'on retrouve, entre autres, les noms d'Euler, Bolzano, Cauchy, Méray, Heine, Cantor et Dedekind. L'étape suivante est la généralisation du critère de Cauchy aux espaces métriques par Fréchet, leur completion par Hausdorff et l'introduction des espaces de Banach. Enfin on aboutit aux espaces uniformes complets de Weil, aux espaces topologiques susceptibles d'être munis d'une structure uniforme d'espace complet de Dieudonné et à la completion des espaces vectoriels topologiques localement convexes de Grothendieck. Abstract SUMMARY. — In the fifth century B.C., it is said, an unknown Pythagorean discovered the irrationality of √2. There begins the long history of the completion of the rationale, to which are tied the names of Euler, Bolzano, Cauchy, Méray, Heine, Cantor, Dedekind, and many others. The next chapter opens with Frécheťs generalization of the Cauchy criterion for metric spaces, Hausdorff's result on the completion of metric spaces, and the introduction of Banach spaces. This leads to the works of Weil, on complete uniform spaces, of Dieudonné, on topological spaces which can receive a complete uniform space structure, and of Grothendieck, on the completion of locally convex topological vector spaces. Citer ce document / Cite this document : DUGAC PIERRE. Histoire des espaces complets. In: Revue d'histoire des sciences. 1984, Tome 37 n°1. pp. 3-28. doi : 10.3406/rhs.1984.1972 http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1984_num_37_1_1972

RÉSUMÉ. — C'est, semble-t-il, au ve siècle avant notre ère qu'un Pythagor icien inconnu découvrit l'irrationalité de д/2. Alors commence la longue histoire de la completion de l'ensemble des nombres rationnels où l'on retrouve, entre autres, les noms d'Euler, Bolzano, Cauchy, Méray, Heine, Cantor et Dedekind. L'étape suivante est la généralisation du critère de Cauchy aux espaces métriques par Fréchet, leur completion par Hausdorff et l'introduction des espaces de Banach. Enfin on aboutit aux espaces uniformes complets de Weil, aux espaces topologiques susceptibles d'être munis d'une structure uniforme d'espace complet de Dieudonné et à la completion des espaces vectoriels topologiques localement convexes de Grothendieck. SUMMARY. — In the fifth century B.C., it is said, an unknown Pythagorean discovered the irrationality of д/2. There begins the long history of the completion of the rationale, to which are tied the names of Euler, Bolzano, Cauchy, Méray, Heine, Cantor, Dedekind, and many others. The next chapter opens with Frécheťs generalization of the Cauchy criterion for metric spaces, Hausdorff s result on the completion of metric spaces, and the introduction of Banach spaces. This leads to the works of Weil, on complete uniform spaces, of Dieudonné, on topological spaces which can receive a complete uniform space structure, and of Grothendieck, on the completion of locally convex topological vector spaces. 1. APPARITION DU CRITÈRE « DE CAUCHY » Le critère « de Gauchy », qui conduira à la notion d'espace complet, est le théorème central sur lequel repose toute l'analyse classique. Rappelons son énoncé actuel concernant les suites de nombres : Pour qu'une suite (un) de nombres complexes ait une limite, il faut et il suffit que, quel que soit e > 0, il existe un entier positif N tel que m, n ^ N entraîne \un — um | ^ s. Faisons d'abord quelques remarques sur les notations utilisées dans cet énoncé et qui montrent le très long cheminement qui y conduit. Лео. ЯШ. ScL, 1984, хххуп/1

Les signes d'inégalités se trouvent déjà dans le livre Artis analylicae praxis de T. Harriot, paru en 1631, où cet auteur introduit ([1], 199) (1) les « signes de comparaison utilisés pour les suites ». La notation un se trouve d'abord chez Lagrange, en 1759 ([2], 41), sous la forme ym : « où les exposants des y dénotent leurs places », avant d'être fixée en 1800, sous la forme actuelle, dans le Traité des différences et des séries de S. F. Lacroix ([37], 3). Quant à la notation des valeurs absolues, elle fut introduite par Weierstrass, et nous en avons trouvé la première trace, dans un mémoire publié, lors de l'exposé de sa théorie des fonctions ana lytiques uniformes paru en 1877 ([3], 19). C'est au cours du xive siècle que les mathématiciens commencent à s'occuper des séries infinies, ce qui conduira à la recherche des critères de convergence portant sur les termes de la série et à l'él aboration de la notion de limite. Notons que la difficulté de la démonstration du critère « de Cauchy » provient de ce qu'il faut conclure que la limite existe, sans la connaître explicitement. La preuve exige une « construction » de la limite à partir de la suite considérée. Cette preuve sous-entend la « construction » de l'e nsemble des nombres réels, un des moments essentiels de l'analyse classique, et qui fut menée à bien dans les années 1860-1870. Remarquons que déjà au xive siècle N. Oresme démontre de la façon suivante que la série de terme général—, la série harmon ique, n'est pas convergente. Il groupe les termes de la série har monique « par paquets » dont la somme est supérieure ou égale à ~ : + + 2n+1 2' " " II en résulte que la somme de la série harmonique est supérieure àn^i quel que soit n ; donc cette somme tend vers l'infini avec n et la série n'est pas convergente. Plus précisément, Oresme écrit dans ses Questiones super geo(1) Les chiffres entre crochets renvoient à la bibliographie ci-après, p. 26-28.

metriam Euclidis ([4], 6) que la « somme » de la série est « infinie », parce que « les 3e et 4e termes ont une somme supérieure à ~, de même les termes du 5e au 8e, et jusqu'au 16e, et ainsi à l'infini ». 1.1. Le critère d'Euler Ce qui est important dans la démonstration d'Oresme, c'est, d'une part, la mise en évidence que la condition nécessaire de convergence de la série, à savoir que le terme général tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini, n'est pas suffisante, elle ne v carac térise » pas complètement la convergence d'une série ; et, d'autre part, elle contient implicitement le critère « de Cauchy », plus précisément sa négation. Le pas suivant, vers la formulation de ce critère, sera fait par Euler, en 1740, dans son article De progressionibus harmonicis observationes, où il énonce pour la première fois, de façon certes incomplète, le critère « de Cauchy », un « principe » ([5], 88) lui permettant de conclure que « la somme d'une série considérée est finie ou infinie ». Euler n'envisage pas les séries divergentes dont les sommes partielles sont bornées, sujet dont l'étude mathémat ique a été amorcée par d'Alembert en 1768 ([6], 134) et qui aboutira au xixe siècle au théorème de Bolzano-Weierstrass. Euler considère la « série » ' ' " a' a + У a + 26' " ' *' a + (n — 1) b à laquelle est associée la suite Ощ~'а^' с £_, £, c , » c а + Ъ~*~ '" ^ a + {n — 1) b (il suppose, implicitement, que a > 0, b > 0 et с > 0). Il applique ensuite le critère « de Cauchy » à la différence Sni — S< ; le nombre de termes étant (n — 1) i, cette différence « sera plus r grande ° » que n — a -f-, {ni , .— — ,. 1) b,. « D'où l'on voit que ^ cette somme est finie », c'est-à-dire que lorsque i tend vers l'infini cette différence ne tend pas vers zéro. D'où Euler conclut que « la gérie proposée » tend « vers l'infini lorsque n tend vers l'infini ».

A. Pringsheim a déjà noté ([7], 252) que le critère d'Euler n'est pas une condition suffisante de convergence, car la série divergente & de terme général ь — п Log = n le vérifie. 1.2. Le critère de Bolzano C'est à Bolzano qu'on doit le premier énoncé précis du critère fondamental de convergence, ainsi que la démonstration qu'un ensemble infini borné de nombres réels conserve la propriété, immédiate pour les ensembles finis, d'existence des bornes supé rieure et inférieure. Ce dernier problème ouvre la voie à l'étude des sous-ensembles infinis de la droite, donc aux raffinements de la notion de limite. De plus, la démonstration de Bolzano de l'existence de la borne supérieure, basée sur le procédé de dichotomie et d'em boîtement des intervalles, procédé conduisant à la topologie génér ale, formera la base même de la rigueur weierstrassienne ([8], 95-99) qui a permis une refonte des fondements de l'analyse. C'est dans son mémoire sur le théorème des valeurs interméd iaires, publié en 1817 — affirmant que toute fonction réelle continue f définie sur un intervalle [a, b] prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et /"(&), — que Bolzano avait donné le meilleur de son œuvre d'analyste. Bien que ce mémoire fût ignoré des mathé maticiens jusqu'à la redécouverte de Bolzano vers 1865, il constitue un des pas essentiels vers l'arithmétisation de l'analyse. Ce mémoire de Bolzano est remarquable, car il fournit le premier énoncé précis du critère « de Cauchy », la première tentative pour le démontrer, et une belle application de ce critère à la démonstrat ion de l'existence de la borne supérieure. A cette occasion Bolzano élabore une chaîne de démonstrations d'une grande invention, chaîne qui, une fois « construits » les nombres réels, assoira l'analyse classique sur des bases solides. Lorsque Bolzano aborde dans ce mémoire la théorie des séries, il va considérer ([9], 148) les séries convergentes comme une sousclasse de la classe des séries dont toute somme partielle est bornée. Bolzano est le premier à insister sur les séries divergentes « dont la valeur, aussi loin qu'on veuille les prolonger, ne dépasse jamais une certaine valeur ». On est ici sur le chemin qui conduira au théo rème de Bolzano-Weierstrass. Ce qui est particulièrement remarquable dans ce mémoire,

c'est le premier énoncé dans l'histoire des mathématiques du cri tère « de Cauchy ». Bolzano note ([9], 150) par Fa;, que nous écri rons Fn(x), la somme des n premiers termes d'une série de fonctions, et il démontre d'abord que le critère « de Cauchy » est une condition nécessaire de la convergence d'une série. Bolzano tente ensuite de démontrer la réciproque, c'est-à-dire que ce critère est aussi une condition suffisante de convergence. Mais cette démonstration n'est pas et ne pouvait être correcte. Bolzano affirme ([9], 151) que l'hypothèse qu'il existe « une gran deur X, dont s'approchent d'aussi près que l'on veut » les termes de la suite (Fn(x)), « ne contient rien d'impossible : cela vient du fait que cette hypothèse permet de déterminer cette grandeur avec la précision que l'on voudra ». Ainsi, la démonstration de l'existence de X se transforme en une démonstration de la poss ibilité d'approcher X, que rien par ailleurs n'assure exister, avec une précision voulue d'avance. Or, tant que la théorie des nombres réels n'était pas élaborée, il était impossible d'établir l'existence de X. En effet, la démonstration de cette réciproque est basée, par exemple, sur le théorème que tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels. Par conséquent, tant qu'une théorie rigoureuse des nombres réels n'existait pas, on ne pouvait pas démontrer cette réciproque. Le cercle vicieux était inéluctable aussi longtemps que les mathématiciens ne prirent pas clairement conscience que, préalablement à la définition de la limite, il fallait bien définir les objets auxquels cette définition était applicable, à savoir l'ensemble des nombres réels. En tout état de cause, on était loin de la notion d'un corps commutatif totalement ordonné complet. Vers 1835, Bolzano écrit la Théorie des grandeurs, vaste ten tative, restée inachevée, pour élaborer un traité englobant l'ensemble des mathématiques de son temps. J. Berg a publié en 1976 la partie qui concerne la Théorie des nombres pure de Bolzano, où celui-ci expose sa théorie des nombres entiers, ration nels et irrationnels. C'est la première tentative menée avec esprit de suite pour fonder la théorie des nombres réels sur une base pure ment arithmétique, bien que cette théorie de Bolzano, basée sur une méthode d'approximation (idée qu'il avait déjà avancée dans son mémoire de 1817), ne soit pas rigoureuse. Après avoir construit l'ensemble des nombres « mesurables »,

à partir des nombres entiers, l'ensemble qui devait correspondre à l'ensemble des nombres réels, Bolzano en déduit les théorèmes de base de l'analyse. A ce propos, il est intéressant d'examiner sa démonstration du critère « de Gauchy » ([10], 151-154). La façon d'énoncer et de démontrer ce théorème montre que Bolzano avait parfaitement compris l'enchaînement allant du critère « de Gauchy » à la « construction » de l'ensemble des nombres réels. Ainsi, il consi dère une suite de « nombres mesurables » (Xn) qui vérifie les hypo thèses de ce critère et il conclut qu'il existe un « nombre mesurable » A tel que lim X_ = A. Toutefois, dans sa démonstration, Bolzano fait une hypothèse supplémentaire de monotonie de la suite (Xn) qui l'amène à utiliser implicitement dans sa preuve le théorème qu'une suite croissante majorée admet une limite, théorème qui est une conséquence du critère « de Gauchy ». 1.3. Le critère de Cauchy Dans son Cours d'analyse, publié en 1821 et qui ouvre la voie à l'analyse moderne, Gauchy définit de la façon suivante la notion de limite ([11], 19) : « Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. Ainsi, par exemple, un nombre irrationnel est la limite des fractions qui en fournissent des valeurs de plus en plus approchées. » II est clair que, pour parler de la limite des nombres rationnels, il est nécessaire qu'au préalable l'ensemble des nombres réels soit défini, ce dont Gauchy, comme d'ailleurs tous les mathématiciens de ce temps, n'avait pas pris conscience. C'est le chapitre VI, « Des séries convergentes et divergentes », qui est parmi les plus importants de ce Cours d'analyse. Cauchy introduit ([11], 115-116), d'une façon si naturelle — après avoir codifié les notations actuelles — que son évidence pour lui n'étonne pas, le critère « de Gauchy » de convergence nécessaire et suffisante d'une série. Il n'y a rien à redire sur sa démonstration de la condition nécessaire ; quant à la démonstrat ion de la condition suffisante, elle se réduit à l'affirmation : « Réciproquement, lorsque ces diverses conditions sont remplies, la convergence de la série est assurée. »

Mais ce livre de Cauchy a eu un immense écho dans les mathé matiques du xixe siècle, et, grâce à lui, ce critère allait devenir le théorème central de l'analyse classique. 2. COMPLETION DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELS Nous allons voir qu'autour de l'année 1870 paraissent plusieurs exposés sur la « construction » des nombres réels à partir de l'e nsemble des nombres rationnels, muni de la topologie usuelle définie par la valeur absolue. Ces « constructions » sont le résultat de la prise de conscience que l'analyse ne repose pas sur des bases solides. La première tentative publiée et aboutie est celle de Charles Méray. 2.1. Les limites « fictives » de Méray C'est en 1868 et en 1869 que Méray publie deux mémoires, fruit d'années de réflexion. Le premier, Remarques nouvelles sur les points fondamentaux du calcul infinitésimal et sur la théorie de développement des fonctions en séries ([12]), esquisse sa doctrine d'analyse — qui est pour lui l'assise de toutes les mathématiques — fondée sur le développement des fonctions en séries de Taylor. Le second, Remarques sur la nature des quantités définies par la condi tionde servir de limites à des variables données ([13]), fournit une justification au premier en donnant une définition satisfaisante des nombres irrationnels. Dans son mémoire sur les nombres irrationnels, il indique d'abord ([13], 280) que deux « principes » étaient à cette époque le fondement essentiel de toutes les parties des mathématiques où intervient la notion de limite. Le premier principe était qu'une suite croissante majorée (resp. décroissante minorée) tend vers une limite. Le second principe était qu'une suite de Cauchy tend vers une limite. Méray écrit que « jusqu'à présent on a regardé ces pro positions comme des axiomes » et il ajoute ([13], 281) : « Toutefois, en les examinant avec attention, j'ai reconnu qu'on peut ramener la seconde à la première, dont le caractère d'évidence est plus prononcé, et même finalement qu'il est possible de se passer de l'une et de l'autre. En procédant de cette manière, on suit, il est vrai, une voie détournée, mais elle est plus sûre, et on échappe à la nécessité d'introduire dans le raisonnement la conception assez obscure de nombre incommens urable.

Méray commence d'abord par démontrer ([13], 281-283) que si l'on admet le premier « principe » — c'est-à-dire qu'une suite crois sante majorée (resp. décroissante minorée) est convergente — alors une suite de Cauchy est convergente. En fait, Méray démontre pour la première fois en histoire des mathématiques, dans un texte publié, le théorème de Bolzano-Weierstrass, à savoir que d'une suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente. Pour cela 11 démontre d'abord que la suite est bornée, puis qu'on peut extraire de cette suite bornée soit une suite croissante majorée, soit une suite décroissante minorée. Cette suite extraite converge donc vers une limite /, et comme la suite considérée est une suite de Cauchy elle converge donc aussi vers l. Méray démontre donc que le théorème sur les suites monotones entraîne le théorème sur les suites de Cauchy, et, comme la réc iproque est également vraie ([14], 230), il en résulte que les deux « principes » considérés par Méray sont équivalents. Il écrit ensuite ([13], 283) : « Revenons au premier principe. Toute méthode propre à constater l'existence d'une quantité remplissant des conditions déterminées repose essentiellement sur quelque procédé à l'aide duquel on pourrait calculer d'après les données la valeur même de cette inconnue. Or les notions four nies par notre axiome sur la nature de la variable ne permettent pas à elles seules à découvrir la valeur de sa limite ; donc elles ne suffisent pas non plus à en établir l'existence. » Mais, d'après Méray, ces énoncés « dissimulent des propriétés spéciales des nombres proprement dits », et « il suffira de les en extraire » pour tourner les obstacles rencontrés. Soit alors ([13], 284) une « variable progressive », c'est-à-dire une suite, v = (vn), n e N, vn étant un nombre rationnel, qui tend vers un nombre rationnel V, alors v est une suite de Gauchy. Si maintenant v est une suite de Cauchy, et s'il n'existe pas de nombre rationnel vers lequel converge y, alors on dira qu'une telle suite converge vers une « limite fictive ». L'introduction des « limites fictives » va permettre à Méray de compléter l'ensemble des nombres rationnels. En effet, il définit d'abord la notion de suites de Cauchy de nombres rationnels « équivalentes », et il écrit immédiatement qu'on voit que « deux variables équivalentes à une troisième le sont entre elles ». Ainsi, il s'agit, comme on le dit aujourd'hui, d'une relation d'équivalence. La définition de Méray des nombres irrationnels va correspondre à un passage au quotient par cette

relation d'équivalence (voir, pour un exposé moderne, [14], p. 215-221). Effectivement, il note d'abord ([13], 285) que si deux suites и et v ont des limites U et V qui sont des nombres rationnels, et « si u, v sont équivalentes, U, V seront égales ». Si, au contraire, u, v n'ont pas de limites rationnelles, « il y aura avantage » à dire « qu'elles ont des limites égales, si elles sont équivalentes ». Enfin, « un signe quelconque » désignera « commodément dans le langage la limite fictive », et « le même signe » pourra représenter « toute variable progressive équivalente à и ». Et Méray précise sa pensée ([13], 287) : a En résumé, à toute quantité dite incommensurable correspondent une infinité de variables progressives (commensurables) convergentes, dont l'équivalence peut s'exprimer en disant qu'elles ont pour limite commune la quantité dont il s'agit. » 2.2. Les « symboles de nombres » de Heine-Cantor E. Heine publie en 1872 Les éléments de la théorie des fonctions, un écrit d'ensemble sur les fondements de l'analyse, donnant la première démonstration correcte du théorème des valeurs interméd iaires. Il écrit au début de son mémoire ([15], 172) : « Le progrès de la théorie des fonctions est refréné essentiellement par le fait que même certains théorèmes élémentaires, bien que démontrés par le plus sagace des savants, sont toujours mis en doute, de sorte que les résultats de recherche ne sont pas regardés partout comme corrects, lorsqu'ils s'appuient sur ces théorèmes fondamentaux indispensables. J'en trouve l'explication dans le fait qu'à la vérité les principes de Mons ieur Weierslrass se sont seulement répandus dans de vastes cercles — directement par ses leçons et autres communications orales, indirec tement par des copies des cahiers contenant ces leçons — mais que ces principes n'ont pas été publiés dans une version établie par lui-même ; ainsi il n'existe nulle part d'endroit où on peut trouver les théorèmes développés systématiquement. Mais la vérité de cette explication repose sur le fait que les nombres irrationnels ne sont pas définis de façon complè tement rigoureuse. » Heine indique au début de son mémoire ([15], 173) que la théorie des nombres irrationnels qu'il va développer est due à G. Cantor ; cette théorie est, quant au fond, semblable à celle de Méray. Heine introduit d'abord ([15], 174) la notion de suite « de Gauchy » qu'il appelle « suite de nombres », puis celle de suites de Cauchy équivalentes ([15], 175) qu'il désigne par suites de nombres « égales ». Enfin, les « symboles de nombres » ([15], 176) sont

les classes d'équivalence représentant les nombres irrationnels « construits ». Il donne ensuite ([15], 185-186), entre autres, une démonstration rigoureuse du théorème des valeurs intermédiaires, ainsi que du théorème qu'une fonction continue sur un intervalle fermé et borné atteint ses bornes supérieure et inférieure ([15], 186-188). Ce mémoire de Heine est également important pour la préhis toire de la topologie générale, car la démonstration ([15], 188) du théorème qu'une fonction réelle continue sur un intervalle fermé et borné [a, b] est uniformément continue sur [a, b] utilise le recouvrement de [a, 6] par un nombre fini de sous-intervalles, procédé qui conduira à la notion d'ensemble compact. 2.3. Les « coupures » de Dedekind En publiant en 1872 son livre Continuité et nombres irrationnels, Dedekind fait connaître, en plus de ses idées sur les fondements de l'analyse, une nouvelle théorie des nombres irrationnels. Dès le début de sa préface ([16], 3), Dedekind précise que les considérations qu'il va exposer datent de l'automne 1858, lorsque, professeur à l'Ecole polytechnique de Zurich, il se trouva dans l'obligation d'enseigner, pour la première fois, les éléments du calcul différentiel. En effet ([17], 24), il fait pendant le semestre d'hiver 1858-1859 un cours intitulé Première partie du calcul dif férentiel et intégral. C'est à cette occasion qu'il sentit « le manque d'une base réellement scientifique de l'arithmétique ». Le § 1 de son livre ([16], 5) a pour titre « Propriétés des nombres rationnels ». Dedekind suppose construite l'arithmétique des nombres rationnels. Il trace ([16], 6) un rapide panorama du déve loppement de l'arithmétique qui aboutit, après la « création » des nombres entiers négatifs et des entiers rationnels, à l'ensemble des nombres rationnels possédant la propriété de stabilité pour les quatre opérations élémentaires de l'arithmétique, propriété que Dedekind venait de donner comme caractéristique de la notion de « corps », introduite par lui dans la deuxième édition des Leçons sur la théorie des nombres de Dirichlet ([17], 32). Cet ensemble des nombres rationnels possède en particulier la propriété suivante ([16], 7) : Si a est un nombre rationnel, alors on peut partager l'ensemble des nombres rationnels en deux classes Ax et A2 de façon que, quel

que soit Oj e Av on ait ax< a et, quel que soit a2 e A2, on ait a2> a; le nombre a pouvant appartenir à volonté à A, ou à A2. Remarquons que cette définition de la coupure dans l'ensemble des nombres rationnels, faisant intervenir une partition de cet ensemble en deux sous-ensembles, base la définition dedekindienne des nombres sur la notion même d'ensemble. Dans le § 3, « Continuité de la droite », Dedekind rappelle ([16], 9) que déjà les Grecs connaissaient une infinité de points de la droite qui ne correspondent à aucun nombre rationnel. Ainsi la droite est « infiniment plus riche en points que le domaine des nombres rationnels en nombres » ; et, pour Dedekind, c'est cette « complétude » de la droite qui est à l'origine de la création de nouveaux nombres, afin que le domaine des nombres ait « la même continuité que la droite ». Refusant de suivre des méthodes étrangères à l'arithmétique ([16], 10), Dedekind va s'inspirer de ce qui a été déjà fait lors de l'introduction des nombres entiers négatifs et des nombres rationn els,« libres créations » de l'esprit humain. Ainsi, comme pour définir les nombres entiers négatifs et les nombres rationnels, on ne fait intervenir que les nombres entiers positifs, de même il faut que les nombres irrationnels puissent être entièrement définis en ne faisant appel qu'aux nombres rationnels. Or, la comparaison entre l'ensemble des nombres rationnels et la droite fait ressortir la continuité de cette dernière, et Dedekind se pose alors la question fondamentale : « En quoi consiste en défi nitive cette continuité ? » La réponse, selon Dedekind, permettra de trouver une base scientifique « à l'étude de tous les domaines continus ». Dedekind indique que c'est seulement après de longues réflexions qu'il « trouva finalement ce qu'il avait cherché », c'est que l'essence de la continuité réside dans l'axiome suivant : « Si l'on partage tous les points de la droite en deux classes, de façon que tout point de la première classe se trouve à gauche de tout point de la seconde, alors il existe un point, et un seul, qui engendre cette division de tous les points en deux classes, cette coupure de la droite en deux parties. » Le § 4 ([16], 11) est intitulé « Création des nombres irrationnels ». Ainsi, nous sommes avertis, par avance, qu'il s'agira de « créer » ces nombres. Soit maintenant un partage quelconque de l'ensemble des

nombres rationnels en deux classes A1 et A2 tel que tout nombre аг de Aj soit plus petit que tout nombre de A2, alors on dira qu'un tel partage est une « coupure », que l'on désignera par (A1} A2). Ainsi, on pourra dire qu'un nombre rationnel engendre une coupure, et cette coupure possède la propriété : ou bien Ax a le plus grand élément, ou bien A2 a le plus petit élément ; et, réciproquement ([16], 12), si une coupure possède cette propriété, elle est engendrée par le plus grand élément de Ax ou le plus petit élément de A2. Dedekind donne ensuite l'exemple d'une infinité de coupures qui ne sont pas engendrées par des nombres rationnels. Pour lui ([16], 13), c'est dans ce fait — que toutes les coupures ne sont pas engendrées par des nombres rationnels — que réside Г « incomplétude » ou la « discontinuité » du domaine des nombres rationnels, et il écrit : « Maintenant, chaque fois qu'il existe une coupure (A1? A2) qui n'est pas engendrée par un nombre rationnel, nous créons ainsi un nouveau nombre, un nombre irrationnel a que nous considérons comme entièr ementdéfini par cette coupure (A1? A2) ; nous dirons que le nombre a correspond à cette coupure ou qu'il engendre cette coupure. » Nous sommes ici au cœur de la conception dedekindienne des nombres irrationnels, et ce passage témoigne, à notre avis, de l'idée qu'il avait que l'ensemble des nombres réels n'est défini qu'à un isomorphisme près. Dans le § 5, « Continuité du domaine des nombres réels » ([16], 16), Dedekind précise que l'ensemble des nombres réels « construit » R possède la propriété suivante : Si a e R, alors on peut partager l'ensemble R en deux classes Aj et A2 telles que, quel que soit ax g Aa, on a ax < a et, quel que soit a2 g A2, on a a2 > a. Pour a lui-même, a = sup Аг = inf A2, on peut avoir soit a e A1? soit a e A2 ; et on dira que cette par tition sera « engendrée par a ». Dedekind démontre ensuite ([16], 17) que l'ensemble des nombres réels « construit » possède aussi la propriété de continuité, c'est-àdire que l'on a le théorème suivant : Si on partage l'ensemble R en deux classes Aj et A2 de façon que, quel que soit аг e Ax et quel que soit a2 e A2, on a аг< а2, alors il existe un nombre a unique qui engendre cette partition. Le dernier paragraphe du livre est intitulé « Analyse infinit ésimale » ([16], 20), ce qui indique clairement que Dedekind, une fois construite sa théorie des nombres réels, va l'utiliser pour éla-

borer les fondements de l'analyse. Dans ce dernier paragraphe, Dedekind a l'intention de faire la lumière sur la liaison qui existe entre les « considérations précédentes et certains théorèmes fo ndamentaux de l'analyse infinitésimale ». Il commence d'abord par donner une définition de la limite, et note que le théorème que toute suite croissante majorée (resp. décroissante minorée) admet une limite est équivalent au « principe de continuité », énoncé précédemment. Toutefois c'est seulement dans un manuscrit de 1882 que Dedekind donne ([17], 201) la démonstration — utilisant le coupures — du théorème que tout ensemble borné des nombres réels admet une borne supérieure et une borne inférieure. Ce théo rème entraîné immédiatement ([14], 230) le théorème précédent sur les suites monotones. Notons que nous avons déjà remarqué dans 2. 1 que ce théorème sur les suites monotones a comme consé quence le critère de Gauchy. Il en résulte, en particulier, que la théorie de Dedekind des nombres réels est équivalente à celle de Méray-Heine-Cantor. La correspondance que Dedekind a eue en 1876 à propos de sa théorie des nombres irrationnels avec R. Lipschitz est importante du point de vue où nous nous sommes placés ici, car Dedekind y insiste beaucoup sur la notion de completion. Dedekind résume ainsi sa théorie des nombres réels dans sa lettre du 10 juin 1876 ([18], 471) : supposant construit l'ensemble des nombres rationnels, on peut, sans y introduire d'éléments étran gers, le compléter grâce à la notion de coupure. L'ensemble R ainsi obtenu possède la propriété d'être « continu ». Répondant aux objections de Lipschitz ([18], 473-474) qu'on peut déjà trouver dans les Eléments d'Euclide une bonne théorie des nombres irra tionnels, Dedekind affirme que dans le cinquième livre des Eléments — que cite Lipschitz — on ne trouve rien qui permette de conclure qu'il existe un domaine de grandeurs « plus complet » que celui correspondant aux grandeurs rationnelles. Se rapportant alors au livre X des Eléments, où l'on considère les grandeurs « incommens urables », Dedekind fait alors l'objection essentielle à la théorie d'Eudoxe — exposée dans ce dixième livre — ainsi qu'à celles de ses successeurs : c'est qu'en complétant l'ensemble des nombres rationnels ils ne mentionnent jamais la « fermeture » de cette completion, à savoir la notion d'un domaine de grandeurs « conti nues » tel que si l'on partage l'ensemble de ces grandeurs en deux classes de façon que toute grandeur de la première soit plus petite

que toute grandeur de la seconde, alors il « existe » ou bien dans la première classe une grandeur qui est la plus grande, ou bien dans la seconde une grandeur qui est la plus petite. Si cette propriété n'est pas incluse « explicitement » dans le concept du domaine des grandeurs, il reste incomplet, et il est « impossible » de définir dans un tel domaine toutes les opérations arithmétiques. 3. ESPACES COMPLETS 3.1. Fréchet et la « généralisation du théorème de Cauchy » C'est Maurice Fréchet, créateur de la topologie générale, qui va introduire la notion d'espace complet dans sa thèse Sur quelques points du calcul fonctionnel, publiée en 1906. Fréchet considère ([19], 1) pour la première fois « un ensemble E d'éléments de nature quelconque », et il pose ([19], 2) très clairement le problème central de la « topologie générale », à savoir la générali sationde la notion de fonction continue : « Si on veut l'étendre à des opérations dont la variable soit un élément de nature quelconque, il faut savoir ce que l'on doit entendre par éléments voisins ou par limite d'une suite d'éléments. » II est très intéressant de noter comment Fréchet a « tourné cette difficulté » (ce qui montre encore la solidarité de toutes les parties des mathématiques) : par « une méthode analogue à celle qui permet dans la théorie des groupes abstraits de raisonner sur un mode de composition non défini explicitement ». Ainsi, il remarque que beaucoup de définitions classiques de la limite peuvent se traduire comme suit : « Pour la catégorie d'éléments considérés, on peut faire correspondre à tout couple d'éléments A, В un nombre (A, В) ^ О ayant des propriétés très analogues à celles de la distance de deux points, et tel que : 1° В coïncide avec A si (A, B) = 0 et 2° В tend vers A si (A, B) tend vers zéro. En adop tant cette hypothèse moins générale, mais cependant très étendue, on obtient des résultats plus précis et plus nombreux. « La voie que nous venons d'indiquer nous a conduit à la généralisation de presque tous les théorèmes sur les ensembles linéaires et sur les fonctions continues (du moins de ceux qu'on peut énoncer d'une manière indépendante de la nature des éléments que l'on considère). » Pour généraliser la notion de limite dans les « ensembles abstraits », Fréchet analyse le développement des notions de groupe et de loi de composition sur des cas particuliers et il écrit ([19], 5) :

« On ne peut arriver à une théorie commune qu'en s'abslenant de donner une définition générale de ce mode de composition, mais en recherchant les conditions communes aux définitions particulières et en ne retenant que celles qui étaient indépendantes de la nature des éléments considérés. » Fréchet examine ensuite les diverses définitions classiques de la limite et dégage ([19], 5-6) les deux propriétés suivantes qui vont caractériser la classe (L) d'éléments de nature quelconque : « I) Si chacun des éléments de la suite infinie A^Aa, ...,An, ... est identique à un même élément A, la suite a certainement une limite qui est A. « II) Si une suite infinie Ax, A2, . . . , Ал, ... a une limite A, toute suite d'éléments de la première pris dans le même ordre : Ani, АЯа, . . . , An , ... (les nombres entiers nx,n2, . . ., np, ... iront donc en croissant) a une limite qui est aussi A. » Mais ces classes (L) sont trop générales et on ne peut pas « leur étendre un grand nombre des propriétés des ensembles linéaires » ([19], 17). C'est pourquoi il faut leur imposer « de nouvelles restric tions», et cela de façon à vérifier les conditions suivantes : « 1° Ces restrictions devraient pouvoir s'énoncer indépendamment de la nature des éléments considérés ; 2° Elles devraient être satisfaites par les classes d'éléments qui interviennent le plus fréquemment dans les applications ; 3° Elles devraient fournir la généralisation cherchée des théorèmes sur les ensembles linéaires et les fonctions continues. » Fréchet introduit alors les classes (V) telles que, si A et В sont deux éléments de nature quelconque de la classe, on puisse leur faire correspondre un nombre (A, B) = (B, A) > 0, jouissant des propriétés suivantes ([19], 18) : « 1° La condition nécessaire et suffisante pour que (A, B) soit nul est que A et В soient identiques ; 2° II existe une fonction positive bien déter minée f(e) tendant vers zéro avec s, telle que les inégalités (A, B) < e, (В, С) < e entraînent (A, C) < /(e), quels que soient les éléments A, В, С Autrement dit, il suffit que (A, B) et (B, C) soient petits pour qu'il en soit de même de (A, G). Nous appellerons voisinage de A et В le nombre (A, B). » C'est Fréchet qui introduit la notion d'espace complet telle que nous la connaissons aujourd'hui, en la définissant pour les classes (V) ([19], 23) : « Nous dirons alors qu'une classe (V) admet une généralisation du théorème de Cauchy si toute suite d'éléments de cette classe, qui satisfait aux conditions de Cauchy, à un élément limite. »

Un autre mérite important de Fréchet est l'introduction de la notion d'espace métrique. En effet, il définit ([19], 30) la notion ď « écart », c'est-à-dire de distance, en faisant « correspondre à tout couple d'éléments A, В un nombre (A, В) ^ О » vérifiant les propriétés suivantes : « a) L'écart (A, B) n'est nul que si A et В sont identiques ; b) Si A, В, С, sont trois éléments quelconques, on a toujours (A, B) < (A, G) -J- (G, B). » II démontre ensuite que l'écart est un voisinage, c'est-à-dire que « toute classe (E) est une classe (V) » (les classes (E) étant définies par la donnée d'un écart sur elles). Fréchet va ouvrir avec sa thèse une nouvelle époque en analyse, caractérisée par un foisonnement d'espaces nouveaux et par la recherche des propriétés caractéristiques de ces espaces conduisant à des « structures » à la fois assez souples et assez riches pour répondre aux applications les plus importantes en analyse. 3 . 2. Hausdorff et les espaces « complets » C'est dans son livre sur les Eléments de la théorie des ensembles, publié en 1914, que Hausdorff développe une théorie qui formera la base de toutes les mathématiques où intervient la notion de limite et ses généralisations. Hausdorff y introduit ([20], 213), pour la première fois, le mot « espace topologique », espace topologique séparé ou espace « de Hausdorff », qu'il définit de la façon suivante : « Un espace topologique est un ensemble E dont les éléments (points) x sont associés à des sous-ensembles Ux, appelés voisinages, vérifiant les axiomes de voisinages suivants : « (A) A tout point x correspond au moins un voisinage Ux ; tout voi sinage Ux contient le point x. « (B) Si Ux, Vj,. sont deux voisinages du même point x, alors il existe un voisinage W^ qui est sous-ensemble des deux. « (G) Si le point y appartient à Ц„, alors il existe un voisinage Utf qui est sous-ensemble de \]я. « (D) Pour deux points distincts x, y, il existe deux voisinages Us, Uw dont l'intersection est vide. » Hausdorff définit également ([20], 211) la notion d'espace métrique : « Un ensemble E est un espace métrique si à deux éléments (points) quelconques x, y on fait correspondre un nombre non négatif, leur distance » d(x, y) (nous employons ici la notation

actuelle), de sorte que les « axiomes de distance » soient vérifiés. A savoir : (a) (« axiome de symétrie ») on a toujours d(x, y) = d(y, x) ; (P) (« axiome de coïncidence ») on a d(x, y) = 0 si, et seulement si, x = y ; (y) (« axiome triangulaire ») on a toujours d(x, z) š d{x, y) + <%, z). Hausdorff définit ensuite ([20], 315) le concept d'espace métrique « complet » : c'est un espace métrique dans lequel toute suite fonda mentale converge, une suite « fondamentale » étant une suite « de Cauchy ». Il rappelle que Fréchet a nommé un tel espace une « classe » qui « admet une généralisation du théorème de Gauchy ». Hausdorff démontre ([20], 315-316) dans son livre que tout espace métrique E peut se « prolonger » en un espace métrique « complet » E, et cela par une méthode analogue à celle de G. Cantor et G. Méray pour construire l'ensemble des nombres réels : E étant l'ensemble des suites de Cauchy de E. Il démontre d'abord que si a = {ax , a2 , . . . , an , . . . ) et , P = (blf 62, . . ., bn, . . .) sont deux suites de Cauchy, alors la suite des distances (pn = d(ani bn)) est aussi une suite de Gauchy de nombres réels. D'où, en utilisant le critère de Cauchy pour les nombres réels, il en résulte que lim pn est un nombre réel, et, par définition, ce nombre sera d(a, (3). Soient maintenant trois suites de Cauchy a, (3, y> alors on a d(a, y) < d(a, (3) + d(p, y)Pour que l'axiome de « coïncidence » soit vérifié, il faut consi dérer que, dans E, a = (3 si d(a, (3) = 0. En identifiant la suite {a, a, . . . , a, . . . ) avec a, l'ensemble E devient un sous-ensemble de E. Hausdorff montre ensuite que E est dense dans E, et si on appelle une suite d'éléments de E « séquence », alors, si les an forment dans E une suite de Cauchy a, les suites constantes [an,an, . . . , an , . . . ) formeront dans E une séquence convergente de limite a. Il prouve ensuite que E est complet, en notant d'abord que si l'on a deux séquences oij , <x2, . . . , an , . . . et ^ , p2, . . . , pn , . . . telles que lim d(an, (3n) = 0, alors si l'une est une séquence de Cauchy l'autre l'est également. Soit maintenant 04 , . . . , <xn , ... une séquence de Cauchy de E, comme E est dense dans E, on peut associer à toute ocn une suite

constante (xn) telle que d(a„, (xn)) < — . Donc les suites cons tantes (xn) forment également une séquence de Cauchy dans E. Il en résulte que les xn forment dans E une suite de Cauchy l = (ж, , . . . , xn , . . . ). Or Jùmjfc, (xn)) = 0, d'où Jm^dfë, <xn) = 0, c'est-à-dire que la séquence de Cauchy vers £ e E. ocj , . . . , <xn , ... converge 3.3. Banach et les espaces vectoriels normes complets Dans sa thèse de 1920, publiée en 1922, S. Banach développe la théorie des espaces vectoriels normes complets. Il commence ([21], 135) par définir axiomatiquement la notion d'espace vectoriel et introduit ensuite le concept d'espace vectoriel norme complet, où il utilise la notation déjà employée par F. Riesz, en 1918, dans son article Sur les équations fonctionnelles linéaires ([22], 72) : « II existe une opération appelée norme (nous la désignerons par le symbole ||X||), définie dans le champ E, ayant pour contre-domaine l'ensemble des nombres réels et satisfaisant aux conditions suivantes : I|X||^O, ||a.X||= 1 1 X 1 1 = 0 équivaut |a à X = 0, « Si 1° (X_) est une suite d'éléments de E, 2° fPlim w*m 00 1 1 Xr — X_ || = 0, il existe un élément X tel que lim 1 1 X — Xn 1 1 = 0. » S. Banach publie, en 1932, son livre sur la Théorie des opérations linéaires ([23]), le livre de chevet de toute une génération de mathém aticiens. Banach introduit ([23], 53) les mots « espace vectoriel norme » et « espaces de type (B) » qui sont des espaces vectoriels normes complets et qu'on désigne aujourd'hui par « espaces de Banach ». 4. ESPACES UNIFORMES 4.1. André Weil et les espaces uniformes A. Weil introduit en 1936 la notion d'espace uniforme dans sa note Les recouvrements des espaces topologiques : espaces complets, espaces bicompacts ([24]) ; le mot « bicompact », utilisé avant 1940,

a été remplacé, dans la terminologie bourbachique, par « compact » — toutefois l'espace considéré n'était pas nécessairement séparé. La théorie de Weil, comme l'ont remarqué A. Weil lui-même ([24], 1004) et L. M. Graves ([25], 61), contient comme cas parti culiers plusieurs conceptions qui ont été développées entre 1923 et 1935 ; en particulier, celle des espaces vectoriels topologiques localement convexes exposée par J. von Neumann, en 1935, dans son article Sur les espaces iopologiques complets. Dans l'introduction à son mémoire, J. von Neumann note ([26], 1) que la notion de « completion » implique « une certaine « uniformité de la topologie » de l'espace », et que les espaces vectoriels topologiques « offrent une possibilité ď « uniformisation » pour leur topologie : à cause de leur homogénéité, tout peut être discuté au voisinage de 0 ». A. Weil a développé la théorie des espaces uniformes dans son livre Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale, paru en 1937. Dans son introduction, Weil « s'explique mal » ([27], 147) que la notion de distance joue a un pareil rôle dans une branche des mathématiques où elle n'est, à proprement parler, qu'une intruse ». Cela est dû à l'emploi du dénombrable, « malfai sant parasite qui infeste tant de livres et de mémoires dont il affaiblit la portée tout en nuisant à une claire compréhension des phéno mènes ». Mais, « lorsqu'on quitte le dénombrable, il n'est plus lég itime de faire des notions de suite et de limite l'outil essentiel, et on doit les remplacer par d'autres dont le champ d'action soit moins restreint. A plus forte raison faudra-t-il abandonner la notion de distance ». Or, beaucoup de propriétés des espaces métriques « ont une origine commune, qui est simplement la poss ibilité de comparer entre eux les voisinages donnés en tous les points de l'espace ». Les commentaires d'André Weil dans ses Œuvres scientifiques sont très précieux pour éclairer le développement de la topologie générale. En effet, il écrit ([28], 537-538) que, « déjà depuis 1934, le projet se dessinait des Eléments de mathématiques auxquels Nicolas Bourbaki allait donner son nom bientôt prestigieux », et il ajoute : « La nécessité apparut immédiatement de mettre au point, pour ces Eléments, un exposé de topologie générale qui ne retînt, du fatras de notions disparates dont on disposait alors en ce domaine, qu'un minimum de principes vraiment utiles. Il devenait visible en particulier que les premiers essais d'axiomatisation de la topologie générale avaient attribué une importance excessive à la notion traditionnelle de limite. »

Le temps était aussi venu « d'élargir de même les notions d'uni formité, de completion, d'espace complet ». Ainsi, « vers 1936 », les membres du groupe Bourbaki, dont André Weil, « s'étaient mis d'accord pour adopter la notion de structure, et celle d'isomorphisme qui lui est liée, comme principe fondamental de classification des théories mathématiques » ; et Weil précise : « Je pensai faire œuvre utile en introduisant en topologie générale une nouvelle structure, dite « uniforme », plus précise que la simple structure topologique, et tout juste suffisante pour servir de support à la construc tion d'espaces complets. » Quant au dénombrable, le « malfaisant parasite », A. Weil écrit ([28], 540) : « Avec le recul que donnent les quarante dernières années, on sourira sans doute du zèle que j'apportais alors à l'expulsion du dénombrable ; chassé par la porte, il a fini par rentrer par la fenêtre. » Dans son livre Sur les espaces à structure uniforme, Weil consi dère ([27], 148) les espaces uniformes « qui sont ceux où la notion de continuité uniforme a un sens : on a là une structure, beaucoup plus faible qu'une structure métrique, mais plus forte qu'une structure topologique ». Il donne ensuite une définition d'un espace topologique, telle que N. Bourbaki venait de l'adopter, c'est-à-dire un ensemble « où se trouve donnée une famille de sous-ensembles, dits ensembles ouverts », vérifiant les axiomes : toute réunion d'ensembles ouverts est un ensemble ouvert ; toute intersection finie d'ensembles ouverts est un ensemble ouvert. (Notons qu'en 1935 Alexandrov et Hopf appellent ([29], 26) un ensemble « ouvert », si « son complémentaire est fermé » ; le concept d'ensemble fermé pour les espaces euclidiens de dimension finie a été introduit par G. Cantor.) Puis A. Weil introduit ([27], 150-151) la notion de « système uniforme de voisinages », défini de la façon suivante : « On dira que dans un ensemble E on a défini un système uniforme de voisinages si l'on a fait correspondre à tout a pris dans un certain ensemble (non vide) d'indices, et à tout élément p de E, un sous-ensemble Va(p) de E, qui sera dit le voisinage de p ď indice a, et si les axiomes que voici sont satisfaits : « (их) Quels que soient p et l'indice a, on a p eVa(p); quels que soient p, q distincts dans E, il y a un indice a tel que q $ Va(p). « (Un) Quels que soient les indices a, p, il y a un indice y tel que V() <ïuel 4ue soit P-

« {Uni) A tout indice a on peut faire correspondre un indice (3 tel que les deux relations p e Vp(r), q e Vp(r) entraînent q e Va(p). » Si (E, d) est un espace métrique, alors les boules ouvertes de centre p et de rayon a forment un système uniforme de voisi nages (Ve(p)). A Weil reformule ensuite les définitions précédentes, en se plaçant dans l'ensemble E2 = E x E : « Tout sous-ensemble С de E2 définit une correspondance entre él éments de E : G étant donné, on fera correspondre à tout élément p de E tous les éléments q de E tels que (p, q) soit dans G ; l'ensemble de ces éléments q sera noté G(p), et plus généralement, si A est un sous-ensemble quelconque de E, l'ensemble des points q qui correspondent aux points p sera noté C(A) : c'est la réunion des G(p) quand p décrit A. Nous noterons par A l'ensemble de tous les éléments (p, p) de E2. » Si maintenant С et D sont deux sous-ensembles de E2, il désigne par CD « l'ensemble tel que l'on ait, quel que soit p, GD(p) = G[D(p)], c'est-àdire l'ensemble de tous les éléments (p, r) de E2 tels qu'on puisse choisir g dans E de façon à avoir à la fois (p, q) e G et (g, r) e D ». De même, on désigne par G"1 l'ensemble des éléments (g, p) tels que (p, q) appartient à G. A. Weil se donne après cela une nouvelle famille d'ensembles qui définira une « structure uniforme » sur E ([27], 152), en dési gnant par Va l'ensemble des éléments (p, q) de E2 tels que q e Va(p) : « Au lieu de se donner le système de voisinages Va(p) de E, il revient évidemment au même de se donner la famille d'ensemble Va dans E2 ; ceux-ci doivent satisfaire aux axiomes que voici, respectivement équival entsaux axiomes (U) : « (UJ) On a П Va = A. oc * (Un) Quels que soient a, P, il y a y tel que VY С Va П Vp . « (U£n) A tout a on peut faire correspondre (3 tel que Vp Yj1 С Va. « Tout sous-ensemble W de E2 contenant l'un des Va sera appelé un entourage de A dans E2 ; on dira qu'une propriété des couples (p, q) est vérifiée dès que p, q sont suffisamment voisins l'un de l'autre si l'ensemble des couples (p, q) qui possèdent cette propriété constitue un entourage de Д dans E2. » Une telle famille (Va) définit une « structure uniforme », et « un espace E où a été définie, au moyen d'une telle famille Va, une structure uniforme sera appelé un espace uniforme ».

Si (E, d) est un espace métrique, alors les Va sont des ensembles d'éléments (p, q) de E2 tels que d(p, q) < a. Pour introduire la notion d'espace « uniforme complet », Weil définit d'abord celle de « famille de Cauchy » ([27], 161) : « On dira qu'une famille d'ensemble C, dans un espace uniforme, est une famille de Cauchy si : 1° l'intersection d'ensembles Cx, Ca, . . ., Gn de la famille, en nombre fini, n'est jamais vide, et si 2° à tout a correspond au moins un ensemble G de la famille tel que l'on ait (p, q) e Va quels que soient p et q dans C. » Soient (E, d) un espace métrique et (un) une suite de Gauchy de E. Alors les ensembles Cl == (Ul» U2> U3> • • •» "n> "n+U G2 = (и2, и3,и4, ..., и„, " U ) forment une famille de Gauchy dans E. On dira ensuite que « deux familles de Gauchy G, D sont équi valentes si les réunions С и D d'un ensemble С et d'un ensemble D forment une famille de Gauchy ». Comme ([27], 162) « une famille réduite à un seul point p est évidemment une famille de Gauchy », on cherche alors les condi tions pour qu'une famille de Cauchy (C) soit « équivalente à la famille réduite au point p » : pour cela « il faut et il suffit qu'à tout a on puisse faire correspondre un С tel que CcVa(p) ». Alors on dira que « la famille est convergente ». On aboutit ainsi à la notion d'espace uniforme complet : « un espace uniforme est complet si toute famille de Cauchy est convergente ». Pour compléter un espace uniforme A, A. Weil considère ([27], 163-165) l'ensemble A des « classes de familles de Cauchy équivalentes » de A ; il définit sur A une structure d'espace uni forme telle que « la structure uniforme, induite sur A par celle de A », soit celle « qu'on s'était initialement donnée dans A au moyen des Va ». Il démontre ensuite que A est dense dans A et que A est complet. Weil ajoute à ce propos : « L'importance de l'opération qui consiste à compléter un espace uni forme tient en grande partie à la possibilité de prolonger continûment, à l'espace complet, certaines fonctions continues données sur l'espace

initial : par exemple, on engendre, au début de l'analyse, l'ensemble des nombres réels comme espace complet sur le corps des rationnels, et on le définit comme corps en y prolongeant les fonctions somme et produit. » 4.2. J. Dieudonné et les espaces topologiques susceptibles d'être munis d'une structure uniforme d'espace complet A la fin de son livre ([27], 182), A. Weil a posé la question sui vante : « Quels sont les espaces topologiques susceptibles d'une structure uniforme pour laquelle ils sont complets ? » Le mémoire de J. Dieudonné de 1939, Sur les espaces uniformes complets, est consacré à cette question. Notons d'abord que l'auteur, dans ses « Préliminaires » ([30], 144), renvoie à l'exposé «didactique et détaillé de ces questions dans la partie du Traité d'analyse de N. Bourbaki consacrée à la Topologie générale qui paraîtra pro chainement », mais le titre du traité de Bourbaki deviendra, dans la note de J. Dieudonné Sur les espaces topologiques susceptibles d'être munis d'une structure uniforme d'espace complet ([31], 163), Eléments de mathématiques. J. Dieudonné démontre ([30], 150), dans son mémoire Sur les espaces uniformes complets, qu'il est possible de « munir tout espace métrisable d'une structure uniforme d'espace complet, compatible avec sa topologie », mais cette structure uniforme n'est pas néces sairement métrisable. Il prouve ensuite ([32], 160) l'existence d'un espace normal — c'est-à-dire ([33], TG IX, 41) d'un espace topologique séparé X tel que, quels que soient les ensembles fermés disjoints A, В de X, il existe une application continue de X dans [0, 1] égale à 0 en tout point de A et à 1 en tout point de В — qui n'est pas susceptible d'une structure uniforme d'espace complet. Il démontre enfin ([31], 162) le théorème suivant : « Tout espace topologique uniformisable, dont la topologie est plus fine qu'une topologie d'espace métrisable, est susceptible d'être muni d'une structure d'espace complet. » 4.3. D'un pythagoricien inconnu à Alexandre Grothendieck T. Heath, dans son Histoire des mathématiques grecques, croit ([34], 157) que l'irrationalité de \/2 « a été découverte par

un des pythagoriciens, à une date sensiblement antérieure » à l'époque où vivait Démocrite (460-370 avant notre ère). Peut-être pourrait-on dater de ce temps la préhistoire de la completion de l'ensemble des nombres rationnels et celle des espaces complets. Quant à un des derniers résultats dans la théorie des espaces complets, il a été obtenu par A. Grothendieck pour la completion des espaces vectoriels. Il a été publié en 1950, et J. Dieudonné nous disait le 15 juin 1982 : « Grothendieck avait vingt ans et il est venu nous trouver à la fin d'un séminaire Bourbaki en disant : « Voilà ce que j'ai trouvé. » » Soient E un espace vectoriel localement convexe, E' dual de E et H une partie équicontinue de E' (pour tout voisinage V de 0 dans E', il existe un voisinage U de 0 dans E tel que m(U) С V pour tout и e H). On munit E de la topologie faible : si (x, x') i-> < x, x' > est la forme bilinéaire canonique sur E x E', alors c'est la topologie la moins fine sur E rendant continues toutes les formes linéaires x b+ < x, x' > lorsque x' parcourt E'. Alors A. Grothendieck a énoncé ([35], 606) et démontré ([36], 98) le théorème suivant : « Pour que E soit complet, il faut et il suffit que toute forme linéaire sur E', dont les restrictions aux parties équicontinues sont faiblement continues, soit déjà faiblement continue, i.e. soit élément de E. » Notons que dans cette démonstration intervient la propriété qu'un sous-espace uniforme fermé d'un espace complet est complet. Pierre Dugac. BIBLIOGRAPHIE [1] F. Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. I, Chicago, Open Court, 1928. [2] J. L. Lagrange, Sur l'intégration d'une équation différentielle à différences finies, qui contient la théorie des suites récurrentes, Miscellanea philosophicomathematica Societatis privatae taurinensis, 1, 1759, p. 33-42. [3] K. Weierstrass, Zur Théorie der eindeutigen analytischen Functionen, Math. Abhandlungen K. Akad. Wissenschaften Berlin, 1876, 1877, p. 11-60. [4] N. Oresme, Questiones super geometriam Euclidis, Leiden, 1961. [5] L. Euler, De progressionibus harmonicis observationes, Comm. acad. sci. Petropolitanae, 7, 1734-1735, 1740, p. 150-161 = Opera omnia, (1), vol. XIV, p. 87-100. [6] J. d'Alembert, Opuscules mathématiques, vol. IV, Paris, 1768. [7] A. Pringsheim, Ûber Eulersches Konvergenzkriterium, Bibl. Math., (3), 6, 1905, p. 252-256.

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[30] J. Dieudonné, Sur les espaces uniformes complets, Annales sci. Ecole normale sup., 56, 1939, p. 277-291 = Œuvres mathématiques, t. I, Paris, Hermann, 1981, p. 144-158. [31] J. Dieudonné, Sur les espaces topologiques susceptibles d'être munis d'une structure uniforme d'espace complet, Comptes rendus Acad. Sci. Paris, 209, 1939, p. 666-668 = Œuvres mathématiques, t. I, Paris, Hermann, 1981, p. 162-164. [32] J. Dieudonné, Un exemple d'espace normal non susceptible d'une structure uniforme d'espace complet, Comptes rendus Acad. Sci. Paris, 209, 1939, p. 145-147 = Œuvres mathématiques, t. I, Paris, Hermann, 1981, p. 159-161. [33] N. Bourbalri, Topologie générale, chap. 5 à 10, Paris, Hermann, 1974. [34] T. Heath, A history of Greek mathematics, vol. I, Oxford, Clarendon Press, 1921. [35] A. Grothendieck, Sur la completion du dual d'un espace vectoriel localement convexe, Comptes rendus Acad. Sci. Paris, 230, 1950, p. 605-606. [36] A. Grothendieck, Espaces vectoriels topologiques, Sâo Paulo, Soc. Mat., 3e éd., [37] S. F. Lacroix, Traité des différences et des séries, Paris, 1800.