Mathematik in der Antike und im Mittelalter

Vase ©. 1. Mathematik in der Antike und im SS Mittelalter => 1.1. Mathematik in der Antike (Tafel I) ao In Nikaragua erschien 1971 eine 10 Marken umfassende Serie!) unter dem Motto „Die 10 mathematischen Formeln, die das Gesicht der Erde veränderten“. Am Anfang dieser Serie, auf die wir noch mehrmals zurückkommen werden, steht cine Marke, die mit der Formel „| + 1 = 2% an die Rechenkünste der alten Agypter erinnert. Einzelheiten über den Entwicklungsstand der Mathematik, die Art der Aufgaben und ihrer Lésung und auch über die Lehre und Anwendung mathematischer Kenntnisse in Agypten in der Zeit um 1700 v. u. Z. sind uns durch einige erhalten gebliebene Papyrusrollen bekannt, die 1832), dem ab 1822 unter Benutzung zweier durch glückliche den Charakter von zur Ausbildung bestimmten Aufgabensammlungen mit vorgerechneten Lésungen haben. Die Aufgaben sind nach heutigen Maßstäben sehr einfach, fast ausnahmslos auf unmittelbare praktische Bedürfnisse ausgerichtet und interessanterweise keineswegs nach ihrem mathematischen Kern, sondern nach Anwendungsbereichen gegliedert. Diese für das Verständnis der Frühentwicklung der Mathematik äußerst wichtigen Dokumente wären uns jedoch nutzlos, wenn nicht zu Beginn des vorigen Jahrhunderts die Entschlüsselung der altägyptischen Schrift gelungen wäre. 1972 erinnerte Frankreich mit einer Marke an Jean Frangois Champollion (1790 bis Zufälle gefundener mehrsprachiger Texte die Entzifferung der Hieroglyphenschrift gelang. Die Umwandlung der Mathematik aus einer auf unmittelbare praktische Bedürfnisse ausgerichteten Anhäufung von rezeptartigen Kenntnissen und Verfahren in eine deduktive Wissenschaft vollzog sich vor allem in der Zeit zwischen 700 v. u. Z. und 300 u. Z. in den von Griechen besiedelten Städten und Staaten des Mittelmeerraumes. Pythagoras von Samos (~ 580 bis ~500 v. u. Z.) ist einer der wesentlichsten Vertreter der ersten, sogenannten ionischen Periode (~ 700 bis ~450 v. u. Z.) 1) Natürlich ist diese Serie wie alle vom reaktionären Somoza-Regime ausgegebenen Marken weitgehend spekulativ und nicht nur vom philatelistischen, sondern auch vom fachlichen Standpunkt zu kritisieren.

I. Antike und Mittelalter dieser Entwicklung und trägt zugleich einen der in der Mathematik bekanntesten Namen. Genau betrachtet war Pythagoras jedoch alles andere eher als ein Mathematiker im heutigen Sinn. Nach langen Jahren des Umherstreifens gründete er in Kroton in Unteritalien den Geheimbund der Pythagoräer mit teils weltanschaulich-religiösen (insbesondere Lehre von der Seelenwanderung), teils politischen (Anhänger der Sklavennisse, z. B. die von ihnen untersuchten Zusammenhänge zwihalteraristokratie) Interessen und Zielen. Die Pythagoräer verallgemeinerten einige richtige naturwissenschaftliche Kenntschen harmonischen Tonintervallen und der Länge der schwingenden Saite, voreilig zu der These, daß alle Gesetze der Natur von natürlichen Zahlen und ihren Verhältnissen beherrscht werden. Auf Grund dieser These, die jedoch schon zu Lebzeiten des Pythagoras durch die Entdeckung inkommensurabler Strecken als falsch erwiesen wurde, beschäftigten sie sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen und in diesem Zusammenhang auch mit solchen Zahlen m,n, k, für die m? + = k? gilt, die demnach als MaBzahlen kommensurabler Seitenlängen von rechtwinkligen Dreiecken ín Frage kommen. Der geometrische Satz des Pythagoras und auch die systematische Erzeugung pythagoräischer Zahlentripel m,n,k war jedoch schon lange vorher den mesopotamischen Mathematikern bekannt. Griechenland gab 1955 einen vier Marken umfassenden Satz anläBlich eines Kongresses der heute noch existierenden Anhänger der idealistischen philosophischen Lehren der Pythagoräer heraus. Die Marken zeigen eine alte Münze mit dem sitzenden Pythagoras, eine Karte der Insel Samos, auf der Pythagoras geboren wurde, und eine Darstellung des Satzes von Pythagoras. Letzterer bildete auch das Motiv eines ‚Wertes aus der schon erwähnten Serie von Nikaragua und einer Marke u von Surinam (1972). Die ebenfalls bereits in der Antike entstandene materialistische Richtung der Philosophie, auch in ihrer Anwendung auf Mathematik und Naturwissenschaft, repräsentiert Demokrit von Sondermarken (Ansicht des Instituts; Porträtbüste von Demo- Abdera (460 bis ~370 v. u. Z.). Als wesentlichster Vertreter der damals natürlich noch rein spekulativen Atomlehre gab er dem 1961 eröffneten griechischen Atomforschungsinstitut seinen Namen und diese Eröffnung den Anlaß für die Ausgabe zweier krit und Atommodell). Markenmotive und Ausgabeanlaß lassen nicht vermuten, daß Demokrit auch einer der bedeutendsten 1.1. Mathematik in der Antike 13 Mathematiker an der Schwelle zur sogenannten athenischen Periode (450 bis ~ 300 v. u. Z.) der griechischen Mathematik war. Ausgehend von atomistischen Vorstellungen, fand er das und nach diesem benannte Prinzip des Volumenvergleichs später von F. B. Cavalieri (~1598 bis 1647) wiederentdeckte Kegel und Kugel an. und gab als erster die richtigen Formeln für das Volumen von Der exakte Beweis dieser Volumenformeln gelang allerdings erst Archimedes von Syracus (287-212 v. u. Z.), dem bedeutendsten Vertreter der hellenistischen Periode (~ 300 v. u. Z. bis ~150 u.Z.) der griechischen Mathematik. Archimedes gelangte durch die Wiedergabe zweier Gemälde auf Briefmarken. Spanien zeigte 1963 das Bild ,,Lachender Archimedes“ von Jusepe de Ribera (1591-1652), einem berühmten spanischen Maler vieler religiöser, mythologischer und historischer Szenen und Personen. DDR zeigte 1973 das im Besitz der Dresdner son sind angezweifelt worden.) Natürlich können beide Bilder Galerie Alte Meister befindliche Archimedesbild von Domenico Fetti (1589-1624), einem italienischen Zeitgenossen Riberas mit etwa gleicher Stil- und Genreausprägung. (Sowohl die Urheberschaft Fettis als auch die Identität der dargestellten Perkeine Porträtähnlichkeit beanspruchen und sind auch im historischen Detail nicht völlig korrekt. Zum Beispiel waren Bücher, wie man sie auf dem Bild von Fetti sieht, zu Archimedes’ Zeiten unbekannt, vielmehr waren Papyrus und Wachstäfelchen neben dem gerade aufkommenden Pergament das übliche Schreibmaterial. Eine wesentliche Triebkraft für die Entwicklung der Mathematik und bis über das Mittelalter hinaus fast unlösbar mit ihr verbunden war seit Beginn der Klassengesellschaft die Astronomie. Im Altertum herrschte das geozentrische Weltbild, und der griechische Philosoph Platon (427-347? v. u. 2.) erhob die Forderung, die scheinbaren Bahnen von Sonne, Mond und den damals bekannten Planeten auf dieser Grundlage durch die Überlagerung von Kreisbahnen so zu erklären, daß ihre Vorausberechnung möglich wurde. Diese Aufgabe wurde unter Benutzung eines umfangreichen, von mesopotamischen Astronomen in Jahrhunderten gesammelten Beobachtungsmaterials von den griechischen Mathematikern Eudoxos von Knidos (~408 bis ~355 v. u. Z.), Apollonios von Perge (~262 bis ~190 v. u. Z.) und Claudios Ptolemaios in Alexandria (~85 bis ~165 u. Z.) gelöst. Letzterer bildete das prinzipiell falsche,

1. Antike und Mittelalter aber praktisch für die damals mögliche Beobachtungsgenauigkeit ausreichende „ptolemäische‘ astronomische System rechnerisch zu solcher Vollkommenheit aus, daß sein später von den Arabern unter dem Titel „Almagest“ übersetztes und ver- Astronomen Hipparch (= 190-125 v. u. Z.), der als bedeutender breitetes Standardwerk bis ins Mittelalter mit gewissen Korrekturen den Bedürfnissen der Astronomie genügen konnte. ‚Als „Gegenspieler““ von Copernicus kamen so im Copernicusjahr 1973 auch Eudoxos, Aristoteles, Apollonios, Ptolemaios und ihr System auf verschiedene Briefmarken (u. a. Liberia, Burundi). Griechenland selbst widmete 1965 eine Marke dem 1.2. Mathematik im mittelalterlichen Europa 1.2. Mathematik im mittelalterlichen Europa (Tafel 11) 15 Die Einverleibung der hellenischen Staaten in das römische Weltreich versetzte der hochentwickelten griechischen Mathematik den ersten schweren äußeren Schlag: Die griechische Mathematik war im wesentlichen praxisfremd, die Römer aber waren im allgemeinen theoriefeindlich und höchstens an im Bauwesen, im Krieg und in der Verwaltung verwertbaren Ergebnissen interessiert. Im Jahre 324 wurde das Christentum Staatsreligion im römischen Reich. Damit geriet die Mathematik als Bestandteil heidnischer Philosophie und Kultur auch in ideologischen Mißkredit. 395 wurde das römische Reich in vium (lat. „Vierheit‘) umfaßte die vier mathematischen Lehrgebiete Arithmetik, Geometrie (beide in sehr bescheidenem Umfang), Astronomie (der das ptolemäische System zugrunde Kirche sanktionierten mittelalterlichen Bildung. Das Quadristinus (354-430), dem 1954 anläßlich des 1600. Geburtstages vom Vatikan und von Algerien (wo Augustinus als Bischof gewirkt hat) Marken gewidmet wurden, Augustinus hat recht widersprüchliche Äußerungen über die Mathematik hinterlassen, jedoch wurden die naturwissenschaftlichen Lehren und die Logik des Aristoteles und Mathematik im Umfang des sogenannten Quadriviums zu festen Bestandteilen der von der Mathematik in die nur noch in Klosterschulen vermittelte höhere Bildung einfließen durfte, hatte der Kirchenvater Augudene Bewahrung und Pflege des antiken Erbes. Einen entscheidenden Einfluß auf den Umfang, in dem antike Leistungen, sondern auf ihren Verdiensten um eine bescheiund ihre Bedeutung beruht nicht auf großen wissenschaftlichen christlichen Glaubens gerichtete geistige Tätigkeit. Die wenigen Personen jener Epoche, die in der Geschichte der Mathematik eine gewisse Rolle spielen, waren fast ausnahmslos Geistliche, Kenntnisse wurden jahrhundertelang kaum benötigt. Überdies verurteilte die Kirche jegliche nicht auf die Festigung des Reiches auf einen sehr primitiven Stand zurück, mathematische ein ôstliches Teilreich mit der Hauptstadt Byzanz und ein Vorläufer von Ptolemaios u. a. einen Fixsternkatalog aufstellte und die Kreiselbewegung der Erdachse entdeckte. zum Andenken an Aristoteles von Stagira (384-322 v. u. Z.) mindest zu ihren Grenzgebieten, so sind hier einige Marken Zählt man, wie heute üblich, die Logik (genauer: die Methodologie der deduktiven Wissenschaften) zur Mathematik oder zuwestliches Teilreich mit der Hauptstadt Rom gespalten. Letzteres ging nach schweren inneren Krisen gegen Ende des 5. Jh. zugrunde. In Europa wurde die Sklavereigesellschaft durch den Feudalismus abgelöst. Handwerk, Handel und Verkehr gingen in den ehemals hochentwickelten Provinzen des römischen zu erwähnen (Belgien 1932, Griechenland 1956 und 1978, zum 2300. Todestag 1978 auch Mexiko und weitere Länder). Aristoteles hat in der Geschichte der gesamten Naturwissenschaften eine gewaltige Rolle gespielt, die im folgenden noch gelegentlich anklingen wird. Daß im Mittelalter mit seinem Namen sehr negative Tendenzen verbunden waren, kann man ihm selbst kaum zum Vorwurf machen. Uns interessiert, daß Aristoteles als erster Regeln des formalen logischen Beweisens formulierte, die bis in die Neuzeit sowohl als wissenschaftliche Substanz als auch als methodische Anregung für die Logik wesentlich waren. Man hat gute Gründe anzunehmen, daß Euklid (über dessen Leben sonst sehr wenig bekannt ist) ein direkter Schüler des Aristoteles war und daß die wissenschaftstheoretischen Ansichten des Aristoteles bedeutenden Einfluß auf die formale und methodische Gestaltung der „Elemente“ hatten, jenes von Euklid um 300 v. u. Z. in Alexandria verfaßten Gesamtlehrbuchs der damaligen Mathematik, das über 2000 Jahre lang das erfolgreichste und bekannteste mathematische Lehrbuch war und die allgemeinen Auffassungen vom Wesen der Mathematik mehr beeinflußt hat als jedes andere Werk. Wußing, H.: Mathematik in der Antike. 2. Aufl. Leipzig: Teubner 1965. Literatur: Eine Besprechung des Archimedesbildes von Fetti befindet sich in der mathem. Schülerzeitschrift alpha 1974, Heft 6.

4. Die Mathematik wird zum Beruf werden kann, wonach sich durch je drei nicht auf einer gemeinmit einer repräsentativen Marke geehrt. Auch seine Bemühungen um das Parallelenproblem — wie die vieler anderer Mathematiker — brachten, wenn keine Lösung, so doch viele brauchbare Einsichten und Ergebnisse. So stammt von ihm der Satz, daß das Parallelenpostulat gleichwertig durch das Axiom ersetzt samen Geraden befindliche Punkte ein Kreis legen läßt. Sein Sohn Janos (Johann) v. Bolyai (1802-60), der als Offizier der österreichischen Armee zwischen Violinspiel, Duellen und eigenbrötlerischer Beschäftigung mit Mathematik ein unglückbaren Unverständnisses der Zeitgenossen nicht veröffentlicht liches, zerrissenes Leben führte, veröffentlichte 1832 als Anhang zu einem Lehrbuch seines Vaters seine Überlegungen zum Parallelenproblem. Gauß, dem diese Arbeit in der Hoffnung auf Anerkennung und Unterstützung zugesandt wurde, lobte sie sehr, schrieb aber zugleich, daß er selbst schon seit 20 Jahren die gleichen Gedanken gehabt und sie wegen des voraussehhätte. Der enttäuschte Janos kehrte daraufhin nicht, wie man häufig liest, der Mathematik den Rücken, aber er beschäftigte sich, verbittert und wissenschaftlich isoliert, zunehmend mit Problemen, deren Unlösbarkeit entweder damals schon bekannt war oder später bekannt wurde, z. B. einer einheitlichen Formel zur Erzeugung aller Primzahlen, der Lösung der allgemeinen Gleichung 5. Grades oder der elementaren Integrierbarkeit aller elementaren Funktionen. Ein authentisches Bild J. v. Bolyais existiert nicht. Zum 100. Todestag gaben jedoch die ungarische und die rumänische Post je eine Gedenkmarke heraus, die das Porträt eines unbekannten Altersgenossen J. v. Bolyais zeigt. Seitdem haben diese Briefmarken kurioserweise als Quelle für Bolyai-Bilder in zahlreichen mathematischen und mathematikhistorischen Büchern gedient. Die gleiche Lösung des Parallelenproblems wie J. v. Bolyai fand schon 1826 der in Nishni-Nowgorod (heute Gorki) geborene Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (1793-1856), der DIE DER UND TAI Sam Ri enne LA MERE EL ENT were nach dem Studium an der damals gerade gegründeten Universität Kasan dort bis zu seiner Pensionierung als Professor für Mathematik und zeitweise als Dekan bzw. Rektor wirkte. Im Gegensatz zu Bolyai kämpfte Lobatschewski bis zum Tode für seine Ideen, veröffentlichte immer wieder darüber und bemühte sich um Anwendungen seiner Theorie. Die erste Übersetzung eines seiner Bücher ins Deutsche 1840 war Grund genug für Gauß, noch im Alter die russische Sprache zu lernen, um AW. NANA = Sati See. en Er: \ AAS TINS butN HUE Les y CHAM