Die Geometrie des Pythagoras

G. Esıstmön: Über kritische Behandlung der Geschichte der Mathematik. 1. Die Zahl der unrichtigen, unzuverlässigen oder irreleitenden Ansaben der neueren zusammenfassenden Darstellungen der Geschichte der Mathematik ist so groß, daß besondere Maßregeln ergriffen werden sollen, um dieselben zu verbessern; 2. die fraglichen feblerbaften Angaben beruhen zum grüßten Teile darauf, daB die meisten bisherigen Verfasser solcher Darstellungen keine besondere Schulung gehabt haben und sich darum oft einer unwissenschaftlichen Arbeitsmethode bedient haben; 3. die kritische Behandlung der sehon vorhandenen Darstellungen der Geschichte der Mathematik soll zum Zwecke haben, nicht nur die Unrichtigkeiten zu verbessern, sondern noch mehr die Aufmerksamkeit der Fachgenossen auf den Wert einer mathematisch-historischen Schulung zu lenken; 4. mathematisch-historische Arbeiten, die eine solche Schulung voraussetzen, sollten nur von den eigentlichen Fachmiinnern besorgt und jedenfalls nicht ohne ihre Mitwirkung herausgegeben werden, wührend spezielle Untersuchungen, die in erster Linie bezwecken, neues Material zu bringen, in vielen Füllen von anderen Mitarbeitern ausgeführt werden künnen. doiq FRAGAI 1% Me VOGT, vi. r ah oaO Musica Voor: Die Geometrie des Pythagoras. lo aCReRd 1908 A) SOMIT <a rmSaAoi+Nef.aAyr)Sge Die Geometrie des Pythagoras. Yon Hrinaca Voor in Breslau. Inhalt. Einleitung. RE E fctaíenASsOA $ 1. Proxius Kommentar zu Ecru |, 47. § 2. Tendenz des Evxuin-Kommentars. Era N § 3. § 4. Entdeckung des Irrationalen. $ 5. Prokuus' Philosophie. Das Geometerverzeicbnis. Handhabung der Proportionen. Konstruktion der regelmiibigen Körper. Zusammensetzung der regelmübigen Körper. 86. Von Pyruaconas' Geometrie wissen wir nichts. Zusammenfassung. À RESLS 4 ri NenKT EINM RER er© Adlon a Die Geometrie des Pythagoras. Bibl. math. 9 Vogt gibt vom Anfang des Proklos-Kommentars zu Elem. neue 9. g und folgert, daß Proklos entschieden nicht an die Autorschaft des Pythagoras beziiglich des »pythagoreisch en Lehrsatzes“ geglaubt habe; die anschließenden Proklosstellen deutet er entsprechend und schließt, daß auch Eudemos sicher den Satz nicht dem Pythagoras zugesprochen habe; die sonstigen positiv en Zeugnisse haben geringen selbständigen Wert. Im Geometerverzei chnis, das unter Benutzung des Eudemos von Proklos selbst verfaßt sei, hält Vogt der Friedleinschen Lesung dAóywv die daneben überlie statt ferte Avadó yv für die richtige und übersetzt cotact mit Zusammenstel lung’, so daß Proklos anch die Entdeckung des Irrationalen und die Konstruktion | ivr kosmischen Körper dem Pythagoras nicht zuschri ebe; übrigens toni Be «ünnte der ganze Passus auch interpoliert sein. V „nangefochten geblieben. SdAalReI niaHU CS 1,47 eine ogts Ansicht ist nicht aCisetrie Zeugnisse für geometrische Entdeckungen des Pyruacoras liegen uns an etwa zwölf Stellen der alten Literatur vor. Aber die ältesten dieser Stellen sind im letzten vorchristlichen Jahrhundert, d. h. 500 Jahre nach Pyrnaconas, niedergeschrieben und haben nur zweifelhaften Wert. Die beweisende Kraft für unser Wissen um den Geometer Pyrmacoras liegt in den drei Stellen, in denen Proxirs (410—485), der Vorsteher der Neuplatonischen Schule zu Athen, in seinem Kommentar zum ersten Buche der Elemente des Euxıı geometrische Leistungen des Prrmacoras erwähnt. Dem Proxius standen gute alte Quellen, die für uns verloren sind, zu Gebote'), und er ist ein einsichtiger Berichterstatter. Er ist für die ältere griechische Mathematik unser zuverlüssigster und ergiebigster Gewihrsmann*); seine Angaben sind bestimmend gewesen für das Bild von den geometrischen Leistungen des Prrmacoras, wie es durch Einzeluntersuchungen allmählich ausgestaltet und in den zusammenfassenden Darstellungen der griechischen Mathematik niedergelegt ist. Wer Klarheit über Pyruacoras Geometrie schaffen will, der muB mit der Analyse des Proxuis einsetzen. Das habe ich getan.) Die Eroy 1) Vas Psscu, De Proczi fontibus, Leyden 1900, S. 86 — 37. 2) Vgl. Tannery, La géomftrie grecque, Paris 1887, S, 14—17. 3) Für sacbkundigen Rat in philologischen Fragen bin ich den Herren P. Frit un O. Rrnessons zu Dank verpflichtet.

Hirrsmen Von. Ex na Die Geometrie des Pythugoras. 17 ‘ett 4,2) po einzige Verbum Sie liegen in der prt E könnte, wäre écris evesir; — und so konstruieren Barocius und Burry “fi M seit der zweiten und dritten ZA 2 scuNemer Auflage seiner I’hilosophie der Griechen (1856 und 1869) über den Forscher Prraasonas und unser Wissen von ihm dargelegt hat; sie bestätigen und TA=LE webnisse meiner Untersuchung weichen vou der in der Geschichtschreibung , 4 der Mathematik herrschenden Auffassung durchaus ab. i UE .. . Y 2 LU Richtung der Gedanken, welche E. Zeiten Mg = p= ® TER À erweitern die ltesultate, zu welchen G, Jexce in seiner Schrift Wann haben Proxics zu finitum aber, welches als Prüdikat > auch: in Frage kommen . „wenn N .. wir hören, ® finden . wir“ — . . Das ist aber eine griechisch ganz unmögliche Verknüpfung statt «zovovorr (oder allenfalls dxovovrag) éotiv ebgeiv. Ferner fehlt bei dieser Zuordnung das Objekt zu ebosiv; man hat dazu die Genetive arameuxdvrar zul deydvror mil- E = Haxxr1*) übersetzt in offenbarer Anlehnung an Brerscuxeiven: „Wenn wir die, welche alte Geschichten erzählen wollen, hören, so finden wir, Buxiin 1, 47, dem sogenannten È daß sie dieses Theorem auf Pyrnacoras zurückführen“. § 1. Der Kommentar zu Euklid I, 47. Kommentar des e’ ite die Griechen das Irrationalı entdeckt? gelangt ist.) Der .. braucht, indem man den Genetiv Bovlouévor von dzovorreg abhängen lüßi. pythagoreischen Lehrsatz, hat lange Zeit nur in der Fassung der Ausgabe E Caxror*) gibt keine volle Übersetzung der Stelle, sondern nennt die, von Gryxanvs (Basileae 1533) vorgelegen (5.110): Tor piv icropeir re È „welche Progıus als seine Gewährsmänner anführi“: „die, welche Alterégyaiu Borvionéror éxotorreg roro els Mvdupuger dre ch tümliches erkunden wollen“") zeundrrwr forir evoele xcì Povtutein leydvtar abròr ¿xi ti sbgkoeı. Erst 1873 wurde aus besseren Handschriften in der Ausgabe von Fwrv- = ® scunniper mit den Worten: „Das Wort icropsir besitzt bei Prox1us nirgend eine spöttische Nebenbedeutung, man darf also nicht, wie es geschehen Mein?) e«xovorres ersetzt durch «xovortes, Bovdvreir durch Bovd vr», Ri ist, übersetzen ‘die alte Geschichten erzühlen wollen’, und akzeptiert im Stelle: „Si eos quidem qui antigua enarrare volunt audiamus, pruesens ES scunsrpersche Ubersetzung.*) Theorema ad Prruaceram referentes inveniemus, et dicentes eum cum id invenerit bovem immolasse“. à Pi Taxxenv*) übersetzt: „Si Pon écoute ceux qui veulent raconter l'histoire des anciens temps, on peut en trouver qui attribuent ce theo- Beersenseiper‘) gibt nebeneinander den Text nach Grvyxakrs und die zi rème à Pyrnacore et Jui font sacrifier un buuf après sa découverte“. Übersetzung nach Banos: „Hören wir die, welche alte Geschichten er- Aride:g To PedQnua Banozzi übersetzt in seiner lateinischen Ausgabe, des lroxivs*) unsere Er begründet diese Abweichung von Burrübrigen, wie auch nus der Ausnutzung der Stelle hervorgeht, die Burr- 1% Fast alle Autoren sehen, diesen Übersetzungen gemiib, in der Äußerung as des Prorzus die mehr oder minder bestimmte Versicherung, dab Pyrna- > zählen wollen, so ist dies Theorem auf Pyrnacoras zurückzuführen, der der Erfindung halber einen Stier geopfert haben soll“. | ? oras der Entdecker des Satzes vom Hypotenusenquadrat sei; sie zweileln nur die Glaubwürdigkeit des Stieropfers an. Bret-canripen") sagt: „Daß unter dem, der gern alte Geschichten erzählt, auch hier niemand anderes So sehen wir die Übersetzung des Baxocırs nach drei Jahrhunderten bei Brersonsenmo wieder aufleben; ihre Nachwirkung ist auch heute, nach als Erscheinen der Fivirixschen Ausgabe, noch nicht erloschen. Evpraus zu verstehen ist, leuchtet wohl unmittelbar em, ebenso Und doch ist die Barocius-Brerscanermensche Übersetzung unserer Stelle unmöglich; ja die Stelle gibt mit der Lesart «xovorres tiberhanpt LuAS ; a wie die Fabelhaftigkeit des Stieropiers, das allen pythagoreischen Grundsätzen geradezu widerspricht: Das Faktum selbst aber, daß Pyrmainna» keinen Sinn*) = à a jenen Lehrsat: erfunden habe, kann nicht bezierifelt werden, da es im yanzen Alterthum als Thatsache anerkannt wird“ Er weist hiernach die Ansicht Aus „Novae Symbolae Joachimiene“; vgl. Biblioth. a zurück, daß schon die Ägypter wegen Kenntuis des rechtwinkligen Drei- Mathem. &, 1907's, S. 62. — Wenn S. Ginrner in seiner jüngst erschienenen Geschichte der Mathematik ¡Leipzig 1908, 8. 56, 67) die Jesaxsche Richtung ale „der 4 £ : ecks 3, 4, 5 als die Entdecker des Quadratsatzes zu betrachten seieu. neuesten Zeit“ angelériy uni „radikal“ charakterisiert, so tibersieht er, duß der besonuene Zriiix diese Kichtung vor einem halben Jahrhundert cingeschlagen hat, El 4 Ebenso bezweifelt Taxxrry') nur die Verbindung des Stieropfers mit dem Quadratsatz”), „ee théorème auquel est resté attaché le nom du sage de und daß Philosophen unl Philologen ibm längst gefolgt sind. = 2 = Si N. ri . 8) Patavii 1560, 8. 250, culte “ur di Geomeler ‘vor Evxumrs, Leipzig 1870, S. 80. site ook et ns Le a re mm fase E a di Der einzige Nominativ @xovorres müßte Subjekt sein; das 1) Halle a. $. 1907. doch wind alles shwehrseheintich pa oir Aniinech ee nul Garuarrs stehen 1884 pa de a et Bost nt urch, daß er die Lesart fovdursiy des x 4 | x = : => 1) Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter, Leipzig 1874, S: 97. Hanseı hat die Fiarprensehe Ausgabe nicht mehr deuutzen können. 2) Vorlesungen über Geschichte der Mathematik I, Leipzig 1907, 8.158. 8) Ebeuso S.179,180. 6) La géométrie grecque, $. 103. 4, Ebenso Juxar, 3.2.0. 8. 88, 6, 2.2.0. $. 80. o 1) na. U. S. 105. 8) Jusar gibt (a. a. O. S. 29) Taxxenrs Ansicht nicht ganz richtig wieder. Bibliothoca Mathematica. ALL. Folge. IN 2

Hessnicn Voor. Samos. Tout semble indiquer au contraire, que, sil ne l'a pas emprunté aux Égyptiens, cette proposition ful une des premières qu'il rencontra el nullement le couronnement de ses recherches“. Caxror!) „will den pythaworeischen Lehrsatz unter dem wissen“. „Sei es darum, allen daB Umständen Pyrnacoras erhalten man den Zeugnissen des Virruvius, des ipratedOtiayiR.ELRoSEzi FAYapls: LELE, Pivranen, des Diocexrs Larrnos, des Proxzus*), so bestimmt sie auch dari lauten, wegen ihres späten Datums kein Gewicht beilegen dürfe. MEAtir fallen doch die in die Wagschale, Schwerer welche Pnoxius als seine Gewährsmiinuer apführt, die, welche AlterthiimJiches erkunden wollen, sei damit, wie man gewöhnlich annimmt, Ernenvs gemeint, oder nicht.“ „Wir haben uns schon darüber ausgesprochen, daß wir für den Satz vom rechtwinkligen Dreieck Pyrnaconas selbst als den Entdecker betrachten, und uns wesentlich auf den Bericht bezogen, diejenigen, welche Alterthümliches erkunden wollten, führten den Satz auf Pyraacoras zurück.“ Anders urteilt Haxser’!: „Jene berühmte Erzählung“ (vom Opfer)... „wird man demnach aufgeben müssen; doch möchte ich nicht so weit gehen, den Lehrsatz selbst dem Pyruacoras abzusprechen, obgleich keine einzige nur ebugermaßen ulaubiiirdige Nachricht darüber vorhanden ist.“ Und dazu die Anmerkung: ,,ProxLus, ein einsichtiger Schriftsteller, drückt sich auffallend unbestimmt so aus“ (folgt die S. 17 gegebene Übersetzung). „Auch ihm war, wie hieraus hervorgeht, keine sichere Quelle bekannt.“ TSEaAs 19 Die Geometrie des Pythagoras. Demnach übersetze ich wörtlich: „Unter denen, welche das Altertion erforschen wollen, kann man einige finden, welche denen Gchür geben, die dieses Theorem auf Prrnacoras zurückführen und ihn als Stieropferer bei dieser Gelegenheit bezeichnen“, und dem Sinne nach: „Zrniye Altertumsforscher schenken den Schriftstellern Glauben, welche diesen Lehrsatz bis zu Prruacoras hinaufräcken und von seinem Stieropfer erzählen“. Nach der früher angenommenen Übersetzung sieht P’rorırs die Gesumtheit der alten Autoren vor sich und findet unter ihnen einive, welche den Quadratsatz dem Pyrnacoras in Verbindung mit dem Stieropfer zuschreiben. Objektive Bedenken kann dies Zeugnis nur dadurch erregen, daß die Entdeckung des Quadratsatzes mit den ganz verdächtigen blutigen Opfer verknüpft wird, und daß nur ciuige Autoren, nach der Opferzutat zu schließen, nicht gerade die ältesten und besten. den Bericht geliefert haben; eine subjektive Unsicherheit des Psoxuvs kann nur in dem @xovorrus „wenn wir die hören“ oder „wenn wir denen Gehör schenken“ gefunden werden. Immerhin gibt diese Übersetzung jeder der verschiedenen oben dargelegten Auffassungen von der Zeugniskraft unserer Stelle Raum. Anders, wenn meine Übersetzung die richtige ist. Alsdann sicht Proxivs zwei getrennte Generationen von Schriftstellern vor sich; die einen, die totoosîr Bovdduevor, sind die Jüngeren, vielleicht sogar seine Zeit Stelle gibt, ihre Beweiskraft: „Ex quibus verbis... apparet ProcLo nondum genossen. Die Älteren sind die Gewährsmänner der Jüngeren; sie sind es, welche in Verbindung mit der Opfererzählung den Quadratsatz dem Prrusseras zugesehrieben haben. Nur einige aber von den Jüumren, so sagt Proxies, esse persuasum traditionem illam vera referre“. messen jenen Älteren Glaubwürdigkeit bei. In ähnlicher Weise bestreitet vas Pescn*), der keine Übersetzung unserer So gegensätzliche Urteile konnten aus einer Stelle herausgelesen werden; und doch ist sie unzweideutig, wenn auch geschraubt: stilisiert. Ich konstruiere so: der vorangestellte Genetiv tév lotopsiv Bovdoperar ist gen. partitivus, abhängig von éoriv evozir, dxovortas ist Objekt zu evosiv, die nachgestellten Genetive dvazeundvror xal Asyévror hängen von dxovorras ab.) Welches sind nun jene älteren Zeugnisse? Offenbar keine anderen als solche, wie wir sie heute in jenen oben (5. 15) erwähnten Sehriftstellen noch in Händen haben.) Die Nachricht von Prrussoras Stieropfer taucht für uns zuerst bei Ciceno®) (44 v. Chr.) auf, in Beziebung gesetzt zu einer geometrischen Entdeckung, nicht speziell zu dem Quadratsatz, aber wegen des blutigen Opfers schon bei ihren ersten Auftreten 1) a. a. O. S. 152, 179, 180. angezweifelt; 2) Ebenso ordnen Aızsas, On Greek geometry from THALES to Evxzin (Hermmit dem auf das rechtwinklige Dreieck 3, 4, 5 beschränkten Quadratsatz; zweimal bei Puvrarcu*) (ca. 46— 120) in unsicherer Zuordnung zum athena 8, 1879, 8.183) und Max Simox, Luxziy und die sechs planimetrischen Bücher, Leipzig 1901, S. 66, Proxtcs obne Unterschied in die Reihe der Zeugen Virruvius, sodann bei Virrrv*) (etwa 16—13 v. Chr.) verbunden Altertumsiissenschaft V,1 (Nördlingen 1888), 8.29 weist ohne Bedenken den Quadrat- 1) Diese Schriftstellen sind zusammengestell in allen Auflasen von ZELLER, Philosophie der Griechen; in 1,° 1892 stehen sie 8.320. 2. Die wichtigsten finden satz dem Pyruasonas zu; ebenso in seiner Geschichte der Mathematik (Leipzig 1908), “ich übersetzt in Animax, Greek Geometry, 8. 181—185, Tassem, La géométrie greeque, 5. 55, S.40$ und alle in Juxar, Wann haben die Griechen das Irrationale ents cht? 8.27 - 30, — Allvemeiver handeln über Pyruacoras' Mathematik: Divo. VIN, 11. Jauntacues, De vita Prru. 88, derselbe, De communi math. scientia XXII, XXIII und Proxits $ 65. Diocrxes Laerrier und Purtancu cin. — Auch $. Güxruex, Handbuch der klassischen Ebenso Tuorrxe, Geschichte der Elementar- Mathematik 1, Leipzig 1903, S. 71. 8) 2.2.0. $. 97. 4 a.a.0. S. 79. 5) So wird such das Gezwungene der Tanxenvechen Übersetzung vermieden, welche &xovorras im Sinue vou cxotevery nimmt, davon direkt rar Bovloufvor ab- 2) De natura deorum Ill, Kap. 36, $ 88. hängen lüßt und das Objekt zu ederiv in den an 3) De architectura IX, pruef. dvuxtgrórroy xal deydvtwy findet. Povlonfvw» attrabierten Genetiven 4) Non posse suaviter vivi sec. Eric. XI, 4. Quaest. convie. VII, 2. 4

FABINNICH VOLT, Gestalt und Fläche); bei Arurxazus!) (Anfang des IT. Saec. n. Chr.) mit Quadratsatz; zweimal bei Diogenes Larrriux*) (um 200 n. Chr. oder später), rechten Winkel im Halbkreise; endlich bei Porrurxrus*) (233 —304) mit Quadratsatz und dem Zusatz, daB nach Angabe der Gewissenhafteren der Stier aus Teig hergestellt war, also nur in effigie geopfert wurde. Alle diese Zeugnisse haben für uns nur den Wert eines Zeugnisses; sie tragen, worauf Taxsrry‘) und vas Prson®) hinweisen, deutlich die Herkunft aus dem Epigramm") des im übrigen unbekannten Arithmetikers AroLLopor (Avotnopot) an der Stirn, auf welches Pıurancn, ÁTHENARUS und Diocrsxs sich direkt berufen. Dieses Epigramm, dessen Spuren also UD 4} ille iam Evpenem contendisse theorema illud notissimum ipsius Pyrnacorar fuisse inventum“. Ich gehe weiter als van Pescu: Wenn Proxivs außer jenem Epigramm und seinen Verbreitern keine Quelle fiir das Anrecht tEieÈb,o des Pyrnacoras auf den Quadratsatz positiver Deweis dafür, zu nennen daß Evvescs den — schen wir aus der Proxivs-Stelle, daß es auch schon für die urteilsfähigen Historiker seiner ind der ihm dicht vorangehenden Zeit ebenfalls eine Legende, keine Geschichisquelle war. Ist nach der bisherigen Auffassung Proxivs in die Ricihe der Legendenverbreiter eingestellt worden, so steht er für uns jetzt als einziger ganz außerhalb derselben: er ist ihr Kritiker, und er lelmt sie ab. Und dieses legendenhafte Epigramm ist die einzige Aussage Pyruarcoras PREEaSA n Derselbe selbständig urteilende und sein Urteil nicht verbergende Prox1.0s pa fährt im Kommentar zu Evsuı J, 47 fort: eva dE Bavucdcto per xai tods IPÓTOVS EMLOTAVTUG ti) tovde tov Bemprjpatos dirbeie, pedvas dè üpe- EU pat Tor crorgeratizu, od udvor Gti du anodelkeng Evugyedtatys totto xareati, drjoato, Ghd’ Ore +Jetzl ist dies vin dem Er 233 13 Emborijuys éxtecev &v tO Estro fiBllo. kein Geschichtschreiber der Mathematik hat es anders angesehen. weiß, so Quadratsatz nicht zugeschricben hat. welcher mit dem Neuprthagoreismus auch gebildet. wurde‘), können wir nur als eine Legendenbildung ansehen, ad Ervemo abiudicandus est et iniuria vulgo adbibetur ad demonstrandum zuerst. im ersten vorchristlichen Jahrhundert auftauchen, in der Zeit, in die Pyrmacoras-Legende aus- Vida, knappes, wissenschaftliches Werk über Geschichte der Geometrie geschrieben hat, und in einem soleben Werk für Legenden kein Dlatz cewesen sein kann, vgl. van Pescu!): ,Procia ille locus, quem modo attuli, Quadratsatz oder einer anderen geometrischen Entdeckung des Pyruaconas (entweder Flichenanlegung oder Koustruktion einer Figur von gegebener einmal mit dem Quadratsatz des Pyruacoras, das andere Mal in Konkurrenz mit einem Opfer des Taarzs für Entdeckung des Satzes vom UCUVMLLSAL zai TO xudozuxotepop avrod trois aveleyxtots Adyotg „Auch ich bewundere die ersten Entdecker dieses Lehrsatzes; in höherem Grade aber staune ich über den Verfasser der Elemente, nicht nur weil er für diesen Satz einen ganz klaren, bündigen Beweis führte, sondern weil er auch den verallgemeinerten Satz durch unwiderlegliche Erkenntuisgriinde im 6. Buche festlegte.“ Mit Recht sieht van Pesca in diesen Worten, besonders Plural tots ériordrius „die Entdecker“ einen Ausdruck lroxius hat sich in dem des Zweifels: begniigt, festzustellen, daß einige an die Pyruagonasdes Legende glauben; er selbst spricht im weiteren nicht von Prruaconas, ja ganzen Altertums, an welche sich die Zuweisung des Quadratsatzes an Pyrnacoras knüpft; das gilt für unsere Kenntnis des Altertums; nicht nicht von einem bekannten oder unbekannten Entdecker, sondern von den anders war es zu lroxirs Zeit. zufällig Keinesfalls darf bei den dvamsuzovrsg xai Aéyovtes, den Legendenerzüblern, an Erpenus gedacht werden, was Brerscuxriner für sicher, Worten die Caxror für möglich bali. mindestens wahrscheinlich, daß Paoxıus in den bedingungslos angegebenen Erstens nicht, weil Eupewus für Proxuus die Entdeckern. selbst Dieser Plural kann in diesem Zusammenhange nicht als angesehen werden. Ist es sicher, daß in den vorangehenden Gewährsmänner, welche zuschreiben, als beste und sicherste Quelle ist und unmöglich unter solchen Schriftstellern smotevtes verstanden werden kann, denen nur wenige Glauben schenken; zweitens scheinenden Quelle Bezug nimmt.*) nicht, weil der Schüler und Mitarbeiter des Axısroreues, wie wir aus den Resten seiner Schriften und aus den Urteilen der Alten wissen®), ein auf die den Quadratsatz unzuverlássig charakterisiert Kollektivbezeichnung in dem Pyraasoras werden, einer ihm so ist es zuverlässig Von der besprochenen Pruxırs-Stelle ist die zwei Seiten später folgende, ebenfalls auf Euxum I, 47 bezügliche, nicht zu trennen; nämlich von den beiden Methoden zur Auffindung ganzzahliger rechtwinkliger Dreiecke 1) X, 41SF. o VII, 12; I, 25. 4) a. a. O. $, 105. 5 a. a. 0. 8. 80. 6) 3) Vita PyrHAcGoRarE 36. 'Hrixa Ilvdazöoong to wepexteds edoero yodupa, Keiv’ ég’ Ora depreiy ijyero Povtuainy. „Als l'yruaconas die berühmte Figur fand, jene, bei der er das glänzende Stieropfer darbrachte.“ 7) Zerıer a. 8, O. 1,*, S. 281; III,?, S. 81, 98 — 99. 8) Nüheres unten S. 26, 27. tiv pév eig Illarwra Gvaxéurovor, tiv dè ele v@aydear, „daß man die eine auf P’ı.aro zurückführt, die andere auf Pyruacoras% Puomius ist in seinen Quellenangaben sparsam; er pflegt, wenn er dieselbe Quelle mehrmals hintereinander benutzt, sie höchstens einmal zu bezeichnen. 1) a. a. 0.5. 80 2, Vgl. unten $. 52, Um so

Hrisuen Voar. =FRitne weniger ist zu erwarten, daß er die umstiindliche Charakterisierung von S. 426 auf S. 328 wiederholen sollte. Doch liegt in der Wiederaufnahme des Wortes dranguzovenw ein Hinweis auf die Gewährsmünner von $. 426 und damit auch die Andeutung der gleichen Stellungnahme des Proxnus. €Bader Brenknecnt > ‘. ES =dla 19u. 4 reat & 2. Tendenz des Euklid-Kommentars. ECh Proklus’ Philosophie. Die dritte und letzte der Proxzus-Stellen, durch welche Pyruacoras geometrische Entdeckungen nachgesagt: werden, findet sich in dem historischen Überblick, welchen Caxror das , Mathematikerverzeichnis% Juxux zutrefiender dus „Geometerverzeichnis“ nennt.') sy Dèsen eeLAtR sgeTer un, PASA aEmI GA Diese Pyruaconas-Stelle, wie das ganze Geometerverzeichnis, ist. richtig zu verstehen allein aus dem Zweck des Evxum-Kommentars und aus der Philosophie des Proxius heraus. Es ist deshalb nötie, auf beide einen Blick zu werfen. Ohne auf Einzelheiten einzugehen, will ich zuerst einige Stellen anführen, in denen an hervorragenden Punkten des Werkes Proxuvs sein Programm wit gar nicht miBzuverstehender Deutlichkeit entwickelt. Am Schluß von Prologus Il (84, 8--15), heißt es: „Indem ich mit der Einzeluntersuchung beginne, warue ich meine Leser, das bei mir zu suchen, wovon meine Vorgiinger so viel Wesens machen: Einzelannahmen, Einzelfille und derartiges. selten berühren. Übersättigt hiervon werde ich dergleichen nur Das aber, was theoretischen Gehalt hat und in Beziehung es, te a poet sxilneE,Si RDSn ii Vor dem Übergang zum ersten Lehrsatz (200, 10—18): „Ich wende mich Ich gebe wieder, was die Alten Vollendetes darüber geschrieben haben, indem ich uferlose Wortfülle kürze. voll ist, das Was technisch ausgezeichnet und erkenntnistheoretisch wertüberliefere arbeitung Wert lege als ich, weil ich mehr auf mustergültige Durchauf Mannigfaltigkeit der Fälle und Annahmen, durch die Neulinge sich gerade am meisten angezogen fühlen.“ worte des ganzen Werkes (432, 11—19): Schluß- „Wenn andere Aufgaben mich ablenken sollten, so fordere ich die Freunde dieser Studien auf, nach Klarbeit welche stiften nichts bisher umlaufen, zu strebeu. Denn die Kommentare, als Verwirrung, weil sie weder als das intelligible Unteilbare stehen (3, 14—4,8). Zu diesen Mitteldingen «ehören die mathematischen Gebilde; deshalb nimmt das mathematische Erkennen eine Mittelstellung zwischen dem sinnlichen und dem ideellen Erkennen ein (peodıng tar padnuerixów). Die Mathematik ist nicht selbst höchste Erkenntnis (modry éxeorjpy), aber sie kommt der höchsten Erkenntnis am nächsten; sie geht nicht auf das absolute Voraussetzungslose, aber auf die in der Eigenart der Seele liegenden Bedingungen und dadurch auf die Gründe des Mannigfaltigen und der Erscheinungswelt Denn die Praroxische Philosophie stellte sich dieselbe Frage wie die Kaxrische: Woher stammt die Genauigkeit und absolute Sicherheit dupifera, dopéñsu, érékeyxtov) der mathematischen Wahrheiten (12, 13—14)? Die Aniwort lautet zunächst so wie die Kaxrische: Die Genanigkeit und Sicherheit der Mathematik wire unerklirbar, wenn die mathematischen Wahrheiten aus der Wahrnehmung (aioÿrots) abgeleitet wären, die Seele also aus den materiell vorhandenen Dreiecken und Kreisen nachträglich in sich die Gestalt des Dreiecks und des Kreises und ihre Gesetze ableiten müßte!) (12—14). kenntnis unsicher (alo87013, Ööf«). Die Figur des Kreises, welche die Sinnenwelt bietet, entbehrt der Genauigkeit, Sicherheit und Reinheit; auch das Vorstellungsbild (6 ¿v puvracía xx40g) des Kreises ist nicht eines, sondern aus Einheit und Mannigfaltigkeit gemischt, nicht reine Form, Zurückführung auf das Ursichliche, noch dialektische Gliederung, noch philosophische Theorie bringen.“ Es gibt nach Prorius drei Stufen des Erkennens, die Vernunfterkenntnis (vonti) pya@oic), welche unvermittelt auf die reinen, einheitlichen, unteil1) Ep. Friepieix, S. 65 — 68. paren, immateriellen Ideen gerichtet ist, die Meinung, Wahrnehmung QUES ci69n01g), welche sich auf die sinnlichen, teilbaren, materiellen Dinge, bezieht, und dazwischen die vermittelte Erkenntnis, das Denken (didvong 10710165), dessen Objekte höher als das materielle Teilbare, aber niedriger Schmerzen geborenen Kinder der ewigen Ideen (13, 22 — 20). In der Erscheinungswelt aber sind die Ideen an das Wesenlose, Nichtseiende webunden, materiell, geteilt, voraussetzungsvoll, vergiinglich; ihre Erderselben Methode auch die folgenden Bücher auszulegen, dabei aber stets nach Bedeutsamkeit und 25 Von hier an aber ist die Puaroxische Wendung eine andere als die Kixrische, Nach Kawr liegen in der Seele Raum und Zeit als leere Formen, als Möglichkeiten, die angewendet auf die Erscheinung überhaupt erst Erfahrung liefern; außerhalb der möglichen Erscheinungswelt gibt es keine Erkenntnis. Nach Pravo aber liegen die Wesensvorbilder (auoudelyuare nav ovolar, 13, 9) der mathematischen Gestalten und Gedanken als reine, immaterielle, unvergängliche, unteilbare, voraussetzungslose Ideen in der Seele vorgebildet; die Seele erzeugt selbst die mathematischen Gebilde als Projektionen (xoofolui, 13, 10) der in ihr vorhandenen Formen. Die reinen mathematischen Gebilde sind die in zur Philosophie steht, das soll mein Kommentar vorzugsweise behandeln.“ zur Auslegung der Evenipischen Beweise Die Geometrie des Pythagoras. reat EHEN x Teca ua 1) van Person, a. a. 0. $.35: „Non parvam igitur similitudinem inter Proc sententiam et Kaxrianam doctrinam de spatii praenotionibus uostris deprehendimus“.

sondern dargestellie Form; erst der Kreis im Denken ist einer und unteilbar und nicht auseinandergelegt (eig xual úxlodg zul aditoraros, 54, 5—13). Die Mittleraufgabe der Mathematik ist es nun, die unreine, in der Sinnenwelt anhebende Erkenntnis zur reinen Erkenntnis des Unvergiinglichen zu läutern und zu erleben. Dadurch wird sie zur unentbehrlichen Vorstufe der Philosophie: sie soll in einem besonderen Falle der Seele die Fesseln der Sinnenwelt abnelinen und damit überhaupt ihren Blick für die Erkenntnis des Ganzen 4 Ù Herxrien Voor. 24 reinigen (28, 3—T). &rovoi tno e Stoff betreffen.“ Er wandelt in den ausgetretenen Pfaden der Praroxischen Schule; aber gerade darum, weil seine Gedankenrichtung unfrei ist"), ist ES=5 RGTotSHPiVaaidtOe sie absolut zwingend für die Tendenz seines ganzen Werkes. AHUR rt ai ta 20 xai ris „So gehört es sich, das Ziel der Mathematik auf Diesen Ziele strebt die Mathematik zu, indem sie mit der Einzelerkenninis, die sich aus der Wahrnehmung, ja aus dem tato Le: Vernunfterkenntnis und die Weisheit als Ganzes zu richten.“ menschlichen meritRe SR Bedürfnis ergibt (29, 4—13), zwar beginnt, aber nicht bei ihr stehen bleibt. Die mathematische Vorstellungskratt wird äußerlich angeregt. zur Besinnung auf die in der Seele vorgebildeten Formen (&réumictg 18, 16-— 20); dann aber muß sie die Sinnenwelt, den Augenschein, welche den Ausgang bildeten, abstreifen; sie muß von dem, was seinem Wesen nach später und zufällig ist, aufsteigen zu dem, was Folgende, wesentlich aber das Vorangehende ist. matische Erkenntnis eine Stufenleiter genetisch dus Su baut die mathe- (35, 11—12) von der %ly zum eidog, vom idtov, éxi pégoz zum xaSôlov, von «aiodnsıs, Ödke durch divora zum voÿs; entsprechend dem pythagoreischen Merkwort: oyúue zei Baux (84, 17).1) Mit diesen Ausführungen über das Wesen der Mathematik macht Poxius keinen Anspruch auf Originalität (48, 1—5): Ta pèr di) xorvi xei ni múcav diatelvovia tiv padyuarixov Emorijuyv Ev toîs moostOnuevors Adyots tebedueta tH te IlAdrovı ovpxopevdpevor xai wage tov &llor avaleydpevor tà 10068 Ti xugotouy xoaypatelay tiv Gvvrelvorra vouure. „Das, was sich allgemein auf die gesamte Mathematik bezieht, habe ich in der Vorrede überschaut, indem ich mich an PLaro anschloB und auch von anderen*) die Gedanken aufnahm, welche den vorliegenden 1) ,,FigureGeometrie ist Stufe-Erhebung." 2) Wem Proxurk anßer Prato und Prorin gefolgt ist, scheint nicht niher untersucht zu sein. Vas Pesca geht anf die Quellen von Prologus 1 nicht ein (außer 70 mit dem Hinweis auf Prorix L 33 fiir Puorius 21, 19—24) Nic. Festa bemerkt in seiner Ausgabe vou Jaxsuients, De communi mathematica scientia (Leipzig 1891, Pracfatio IX, 2—7): „Il tamen mihi persuasum est Jammricus librum hune et Proc. in Evezmeu commentariorum purtem prologi priorem ex codem fonte manasse; fontem autem ipsum, ut plerumque, ex Platonicis et Aristoteliis rivulis fuisse deductum. de hoe alias.“ Sed Er gibt im Indes unter Pxocuus zehn zum Teil recht ausgedehnte, 95 is"eènalti uctypatixig to télos ¿lg voir Avansuzeır TPOGÍXEL xai Tir Oburasen copla» (28, 10—11). Die Geometrie des Pythagoras. elencaESURFRdtYEAN 246FILS0 ÈlDa.T,sePye EYE, rt DEfOSyTaDtiesEr richmire Crusae: pe EN, SidReSTNER tz ecaCpeAMEIUE Ver p+miDseoPnESLTEiern im a eDiAs Proxzus wollte nicht die Elemente aus rein mathematischem Interesse kommentieren; er wollte nicht geometrisch-historische Daten in möglichster lteinheit und Vollständigkeit der Nachwelt überliefern; — diese Daten lagen ja zu seiner Zeit vor aller Augen; er konnte nicht wissen, daB uns späten Nachkommen sein Werk der Ersatz für die verschütteten Quellen sein würde, und daß eine Zeile Evnexvs uns viel wertvoller sein würde als zehn Seiten Pnroivs Was er wollte und nach seiner Art wollen mußte, das war, seinen Zeitgenossen, ja seinen Studenten (den veagorperzis, elorónevot, drovovreg) das Beste zu geben, was er hatte: die Mathematik als Teil der Philosophie, die Analyse der Elemente als Einführung in die Philosophie.) Auf diesen Standpunkt müssen wir uns stellen, wenn wir ibn verstehen und ihm gerecht werden wollen. Aus Proxius' philosophierender Stellung zur Mathematik erklären sich auch manche Besonderheiten seines Urteils, die wir anders gar nicht verstehen würden, so die unbillige Hochschätzung der verallgemeinerten Lehrsätze gegenüber den besonderen. 250, 251 sagt er: „Wir sind zwar dem alten Tuares Dank schuldig für die Entdeckung der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck“; „höhere Bewunderung aber gebührt den Neueren (gemeint ist Geminus), welche diesen Satz verallgemeinert und seine Gültigkeit für alle in sich gleichartigen Linien (Onvropegys), d.h. auch für den Kreis und die zylindrische Spirale nachwewiesen haben.“ Die Ausdehnung des Quadratsatzes auf ähnliche Figuren über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks schätzt er höher ein als die Entdeckung des Quadratsatzes selbst (vgl. oben S. 21). Ja, für uns sehr interessante Einzelsütze, wie die Entdeckung Hrnes*), daß die drei Hilfslinien beim Evxispischen Beweise des Quadratsatzes sich in einem Punkte schneiden, haben für ihn kein Interesse (429, 12—15); er übergeht sie, weil sie nieht Ausgang für weitere Verallgemeinerungen sind. Wir urteilen in diesen Fällen anders. Wir haben vorzugsweise historisches und daneben psychologisches Interesse. Deshalb schätzen wir die Leistung des ersten Schrittes viel höher ein als die der folgenden. Auf Proxıus’ philosophischer Stufenleiter aber steht am höchsten der übereinstimmende Stellen an, die eich noch vermehren lassen. Die versprochene Untersuchung aber hat er nicht geführt. 1) Zeuxen, a. a. O. 3%, N. 787; vas Pesen, a. a. O. Kap. IV. 2) vas Pescu, a.a O. S. 55: „Mathematicen summam philosophiae studio utilitatem atferre censebat l'noczrs; ergo cam discipulos docebat“. 3) van Pescn, a. a. O. $. 45.

Heinzicn Voar. allgemeinste Satz; denn ihm ist xadólov, xadolinds, xadodinategor die Zauberformel, welche die Loslösung von #27 und «iodnoıs bedeutet. Kongruenzsuiz und anlegung der l’ythagoreer. Entfernungsmessung des Außerdem 27 Taaı.rs; 419, 15 Flüchenwerden ohne jeden Zweifel auf Euvemus' Geschichte der Geometrie vier weitere Proxics-Stellen zurück$ 3. weführt'): 157, 11 Halbierung des Kreises durch Tuarrs; 250, 20 Gleich- Das Geometerverzeichnis. heit der Basiswinkel Treten wir, so vorbereitet, an das Geometerverzeichnis heran: in seinem Prologus 11 zählt ProzLus von Tuares bis zu dem letzten Vorläufer Evans, Pararros von Mende, 21 Geometer auf. sagt er nichts, als daß sie eben Geometer waren. Von den meisten Er drückt dies in mehreren ganz inhaltlosen Wendungen aus, wie „er beschäftigte sich mit Geometrie“ (zweimal); „er erwarb sich Anerkennung durch geometrische irRENTE aRAUS ten im gleichschenkligen Dreieck von demselben; 283, 7—10 Lotfiillen des Öxormss; 305,3 Anlegen von Vielecken um einen Punkt herum zur Ausfüllung von hervor: alle neun Stellen liefern Angaben über ganz bestimmie geometrische 50 %CH a Entdeckungen. Dagegen kommt als Beglaubigung von theoretischen Spekulationen, woran Proxius doch reich ist, ja selbst von Definitionen, Evprucs’ Untersuchungen“ (sechsmal); „er vermehrte die Sätze“ (zweimal); „er Geschichte der Geometrie nie vor. erfand vieles“ (dreimal). (125, 7) beruft sich Bei denen, über die er nicht so kurz hinweggeht, macht Proxuus meist Bemerkungen über methodische Leistungen: Haften an der Wahrnehmung oder Loslösung davon, Verknüpfung mit philosophischer Erkenntnis und besonders Verallgemeinerung der Sätze. Dies geschieht vier Rechten durch die Pythagoreer. Aus diesen neun Zitaten geht der Charakter von Evvem s’ Werk deutlich umMraRn >. ict: sondern Für die Winkeldefinition des Eupenus Proxics nicht auf die Geschichte der Geometrie, auf ein anderes Werk desselben Verfassers xeoi yovias. Die ras Knishestire Pythagoreer werden im ganzen achtzehnmal erwiihnt: aber nur dreimal ist die Quelle Euvexus, und zwar gerade die dreimal, in denen es sich um bestimmte geometrische Entdeckungen handelt. Die anderen 15 Stellen zehnmal: bei Tuares, Prruacoras, Puaro, Leopamas, Arcuyras, Tararrer, geben Lros, Evpoxrs, Trevines. Punavrus. mystische und metaphysische Spekulationen der Pvthagoreer — all dieses Abfassung oder Verbesserung der Elemente wird vier Geometern zugeschrieben (Hirroxrates, Leox, Tuxvmus, Hermorimus). und Die Herkunft des am meisten behandelten Fragen der Geschichte Wir des Eunemus Geschichte der Geometrie nicht zu finden. besitzen ferner wichtigsten der griechischen in Betracht. Proxuus hatte sie, darin herrscht jetzt volle Übereinstimmung, noch langen Auszug des SiweLixics*) aus einen anderen von Evroxivs*) über die Würfelverdoppelung des Arcuyras. Alles bestätigt die Vorstellung von Proknus erhalten haben. Als Quelle kommt zunächst des Evnemus Geschichte der Geometrie zweifellos in Händen’); denn einen Evorm:s, betreffend die Quadratur der Möndchen des Hırrozrarzs, und Geometerverzeichnisses ist eine der Geometrie. hundert Jahre später war sie in den Händen von Sıwruikıvs und Evroxivs; er zitiert sie an vielen Stellen seines Werkes mit Namenangabe, an anderen benutzt er sie ohne Namennennung.”) war offenbar in Genau gekennzeichnete Einzelenideckungen finden wir nur dreimal: bei Pyraaconas, Hirroxnares und Eupoxus. ohne Ausnahme Definitionen, begriffliche Teilungen, methodische, Am Ende des Geometerverzeichnisses selbst weist der Satz of pty ody tag loroplez draponıparres péyor tovtov xoodyovor thy Tic émiotijuns tavıns teleioore „die Geschichtschreiber machen mit diesem eine Charakteristik Exdijoouae des Eunesvs Werk, die wir aus Zum Überfluß liefert uns Srsrimiust) noch der Darstellungsweise dè ta bad tod Evdijuov und xara des deb Stiles des Eupemus: deyópeva dilya tiva apocridels sic Gaprvere» ano tig tov Evxieldov croryelov avauvioeos dia tov brouvnuarınov toóxov tod Evômuov xare To Goyuïxov ¿dog Guvtouovs ¿xdepévov ths anoddosıs — „Ich werde das von Ecneuus Gesagte wörtlich mitteilen, jedoch zur Verdeutlichung einige Hinweisungen auf die Elemente des Evxuın hinzufügen, wegen der notizenhaften Art des Euvemus, welcher nach alter Sitte nur kurze Angaben macht.“ (Puinarrvs von Mende, einem Schüler Praros) den Abschluß ihrer Darstellung“, wie von niemand bestritten wird, auf Evoxsus hin. Proxius benutzt Evpremus’ Geschichte der (Geometrie mit 1) van Pesca, a.2.0. 8. 77—79. Quellen- 2) SIMPLICH in ARISTUTEL(S physic. libr. IV priores comment. ed. H. Driers, angabe im ganzen fünfmal: 299,3 Entdeckung des Scheitelwinkelsatzes Berolini 1882, durch Tuanıs; 333, 6 Winkelantragung des Oxormxs; 379, 2 Entdeckung Der Bericht des Sıurıicrvs über die Quadraturen des AXTIPH.S und des JJIPPOKRATEN, der Leipzig 1907. Summe der Dreieckswinkel durch die Pythagoreer; 352, 14—18 y. 54—69. Vgl. Neuerdivgs leicht zugänglich Biblioth. Mathem. 8,, 1902, Vgl. Hemenc, Philologus 43 1884), S. 345. 2) van Pescn, a.a. 0. S. 77—79. 3) In Hriperas Arcuuepes- Ausgabe III, 8. 98—103. 4) Diets, à. a. 0. S. 60; Revio, 2.2.0. $. 46. durch F. Rune, 7— 62, 342—349 und 4,, 1903, 13—18, 118—126. 1) Zusammenfassend und abschließend handelt hierüber van Pesen, a. a. O. Kap. III. gemacht

Hassnicn Vous. Das Geometerverzeichnis des ProxLus enthält nun als wesentlichsten Bestandteil methodische Räsonnements, welche dem Werke des Euprnvus bestimmt fremd gewesen sind; andrerseits fehlt in ihm jede Erwähnung von gewissen Problemen. welche Eupemus besprochen hat, und welche die 29 nehmung haften“’) Den entscheidenden Schritt der Loslósung von praktischen Zwecken zur immateriellen und damit rein intellektuellen Betrachtung tat Prruagoras; dadurch bahnte er der Geometrie als spekulativer Wissenschaft den Weg. Proxivs charakterisiert die einzelnen Geometer nur nach den Forischritten, die sic auf dieser Bahn gemacht haben, und ferner Geometrie der zweiten Hälfte des 5.’ Jahrlıunderts beherrscht haben, Wiirfelverdoppelung, Kreisquadratur, Dreiteilung des Winkels. So hat die Streitfrage entstehen können: Hat für das Geomelerdr der Elemente verdient gemacht haben. rerzeielmis dem Droxies cin entsprechender Teil der Geschichte der Geometric von Lunrses als Quelle rorgelegen? Hat er aus dieser direkten Quelle oder zur auch diejenigen, deren Entdeckungen zwar Fortschritte in der ihn interans einer abgeleitelen geschopft? smerit sie als Vorgänger des Evxzin sich durch Abfassung oder Verbesserung (UNI Hatte Taxxery bestimint. behauptet'), daB Proxnus seine Angaben nicht dem Erpemus selbst, sondern essierenden Verallgemeinerung sind, aber über die Elemente hinausgehen, dem die findet er mit bloßer Nennung des Namens ab, oder er übergeht sie Genuxux (1. Jahrhundert v. Chr.) entnommen babe, so kommt van Pescn?), der zuletzt diese Frage behandelt hat, nicht zu einer bestimmten Antad hanc quaestionem ad certum finem perducendam RG,aoe PrEeTRisELSPES patefaciam. Nam equidem, quamquam magis me inclinatum esse confiteor ad illam ex Eun:mo epitomen non ipsi ProcLo sed excerptatori alicui attribuendam, tamen pro certo id statuere non ausim.“ Caxtox dagegen?) sieht das über die Entwickelung der Geometrie nicht der Ort sein, in dem JLinzelleistungen aufgezählt werden dürfen, also aueh nicht der Ort für einen Auszug aus der (ieschichte der Geometrie des Erpemus. ProkLus hat offenbar nicht die Absicht, eine vollständige Übersicht über die Entwickelung der Methoden zu mentars an geeigneter Stelle‘), aber im Geometerverzeichnis war für sie kein Platz. Würfelverdoppelung, Kreisquadratur, Winkelteilung sind ungelöste Probleme, die Lüsungsversuche sind nicht exakt, die bloße Fragestellung ist für Prorivs keine methodische Leistuug. Die mechanischen Lösungen müssen ihm als Rückfülle in die Empirie und methodisch ganz “e. verwerflich erscheñfen; Lösungen durch Kegelschnitte und andere höhere Pt Kurven gabe der Mathematik in der Entwickelung der Erkenntnis und der hierauf basierten Tendenz seines Evkiin-Kommentars kann für ihn ein Überblick Die ihm nach Eunexrs wohlbekannten geometrischen Entdeckungen von Tuaixs, Öxorinex, Hırrıas erwähnt er wohl im Verlaufe des Kom- $i tit , Mathematikerverzeichnis als von Evnewrs herrührend an. Nach der in $ 2 dargelegten Auffassung des Prornus von der Aulganz. DStIetsah wort: „Haee fere sunt, quae de nostro loco observare velim, ut ita aliis viam Diejenigen Geometer, welche nur Einzeltatsachen entdeckt haben, und von mnaIruEeAt sind nicht elementar; also dürfen wir uns gar nicht wundern, diesen ihre Zeit aufs tiefste bewegenden Problemen im Geometerverzeichnis keine Spur zu finden. Bringt das Geomelerverzeichnis mithin gerade das. was Proxivs nach seiner Denkweise und nach der Anlage seines Werkes interessieren mußte, = uy, läßt er das weg, kam, so wird die, geben, aber bei seinem einseitigen Interesse was nach diesen Tücksichten für ilm nicht in Betracht andernfalls unverständliche, Eigenart des Geometerverzcichnisses am besten durch die Annahme erklärt, daß Proxivs selbst der für methodische Fortschritte stellt sich ihm ganz von selbst das geschicht- ER, liche Restimee unter das philosophische Leitmotiv (65, 1-3): ano aic®iGens ovy eig Aoytopoy zai dirò tovrov ¿xd vodv Y peráfacis yévorro Uv Verfasser dieses Geometerverzeichnisses ist. Seine Hauptgrundlage wird Eunemus' Geschichte der Geometrie gewesen sein; doch sind andere Quellen nicht ausgeschlossen, beruft er sich eluórcos „Die natürliche Entwickelung geht von der Wahrnehmung zur doch Überlegung‘) und von dieser zur Vernunfterkenntnis.* Praros; endlich kann manches Niederschlag von Meinungen sein, die, So sind die aus dem praktischen Bedürfnis hervorgegangenen GERA 1) So ist rots uèr xaSolxorepor émifidov, rolg dè alc&rtixaregoy gemäß der Denkweise des Proknus zu übersetzen. Wir dürfen hieriu eine Beziehung auf die ENMriee schen. Das ist auch die Auffassung T'axxenvs (0.2.0, 8.92. und dem entspricht seine Übersetzung (a. a. O. S. 67:: „ses tentatives d'un caractere tantôt plus général, tantôt plus restreint au concret. Dagegen ist die Übersetzung (Brerscunsipen, a. a, 0, §. 28, 42; Canton, 8. a. 0. 13 8.136): „das eine machte er ullgemeiner, das char andere sinnlich faBbarer" zu verwerfen. Messungen der Agvpter für Tuares der Anlaß zu geometrischen Beset trachtungen theAY Tei geworden: deshalb nimmt er eine Zwischenstellung ein: „Manches behandelte er allgemein, in anderem blieb er an der Wahr1) La geometrie grecque. chap, Y, 2) 2.0.0. S. 84. 8) a. a. O. 13, S. 257. 4) Zoyropos ist hier nicht alg „Berechnung“ aufzufassen; denn die Berechnung haftet nach griechischer Auffassung ganz an dem „Besonderen“, den Gegenständen der aisdncız und führt nicht über sie hinaus. Vgl. bierzu besonders 39, 20—40, 5. Hier ist Zoy:opos im Sinne von didvor zu verstehen. — 4a , selbst einmal auf Hirrias von Elis, ein andermal auf ein Werk terzi Les eAiHRrlEaNSMHTEQeAkftTeRLsEuRE Verwendung der Kongruenz zur praktischen Ausmessung der Entfernung (352, 16— 18) 2) Tnazes 167,11; 250, 20; 299,4; 852,15. — Uxoripes 283, 7; 383,6. — Hiprias 272,7; 856, 11.

Hemxnicu Von. so stehen in ihr die Einzelentdeckungen nur als Gelegenheitsbezeichnung auf keine Quelle zurückführbar, als Schulüberlieferungen von Generation zu Generation gelaufen waren. verzeichnis nur insoweit zu Als Auszug aber ist das von methodischen Fortschritten. Geometerbetrachten, als bloße Namen und besonders ist es, soweit Buvemus in Betracht kommt, nicht Auszug, sondern Jieflerton Riisonnements des Geometerverzeichnisses hat im Evprunus bestimmt nichts gestanden. Ich glaube mit dieser Erklärung dem Tatbestande besser gerecht zu werden als Taxxenv?): „Si Procius avait eu ces Livres (d’Erpit) entre les mains, il n’aurait point fait l'extrait que nous avons, et il nous aurait fourni en temps et lieu beaucoup plus de détails tirés d'Evnèxe que nous n’en trouvons malheureusement chez lui“. Geradezu als Ausnahmen sind die Angaben über geometrische Einzelleistungen bei drei Geometern des Verzeichnisses, bei Euvoxus, HirpoxrATES Als rein sachliche geometrische Einzelleistungen bleiben dann allein die dem Hurroxrares und dem Pyrrnacoras zugewiesenen Entdeckungen übrig Beide aber werden in ganz eigenartiger Weise eingeführt 66, 4—8: Namen von Verfassern längst verschollener Werke vorkommen; im übrigen über die Angaben des Erbruex; von den methodischen Bemerkungen und 31 ren ty ots “Imrozpdrys 6 Xiog 6 roy tod pyvléxey Tergayavıouor Edo, zat Geddaoos 6 Kvonvuios Éyévovto aéol yewperolar éxigervtis. pros ; co 6 LITOXPATIS tev uvipovevouevov xui Grouyeïe Guvsyoawer. — „Nach diesen machten sich in der Geometrie bemerkbar der als Entdecker der Möndehenquadratur bekannte Hivpoxrates von Chios und Tueonores von Kyrene. Denn Hirroxratrrs war der erste unter den Genannien, welcher auch Elemente verfaBte.“ Man beachte: der Hauptgrund der Erwähnung des Hırrornates liegt in der Abfassung von Elementen. Daß Hirroxrarrs einer der erfindungsreichsten Köpfe war, daß er sich mit Erfolg an die avañoyiars &ilus tosis tovcEetdyxey zul TA sreol THY topiv doyi,v Außdrra schwierigsten Probleme seiner Zeit wagte, daB er die Wiirfelverdoppelung auf die Konstruktion der zwei mittleren Proportionalen zurückführte, daß er durch die Quadratur der Möndchen in genialer Weise die Kreisquadratur mapa Iheravos sig ados moojyayer nai Teig dvulvosciv ta’ abrov zu erzwingen suchte, gonocuevos „er vermehrte zuerst die Zahl der als ‘allgemein’ bezeichneten quadratur Probleme und fügte zu den bekannten drei Proportionen drei neue hinzu; Lesers, sondern, wie es die Art einer solchen partizipialen Apposition ist, auch vermehrte cr die Kenntnis des auf den “Schnitt” Bezüglichen, welches in Parenthese als Gedächtnishilfe, als Berufung auf eine bekannte Tatsache. und Pyruasoras, anzusehen Von Eupoxus beißt es (67, 3—8): weöreg tay xaddlov xalovpévov Dempnudrwv to idos blow zul Teig reiely bei Piaro seinen Anfang genommen analytischen Methode bediente“. gegebene Zusammenfassung der Weise: ebenso Die hatte, indem er sich hierbei der in meiner Übersetzung wieder- Satzteile rechtfertige wie im letzten Teil der Periode die davon sagt Proxivs kein Wort. selbst erwähnt er, aber wie! Die Möndchen- Nicht als eine Belehrung des 65, 15— 21: ¿xi dé tovroıs Ivdayóous tiv xepi uùriv quriocogpiav tis ogxiua aadelas Elevtioov petéstycev, Üvadev TU; apyag abrig émtfolgende OxoxovpEevos xal ávlos zul voseds ta Deopiuara dispervauevos, Og di) Beschäftigung mit zei tiv tay addyay (alii dvaléyor) Tpayuerelav xai tiv TÜV xoguixòv ich auf analytischen Griudtov Gvetacw Gvedper. — „Nach diesen verwandelte Pyruaconas die Erfindung dreier neuer Proportionen eine Untersuchung geometrischer Fragen in eine freie (d.h. von praktischen Verallgemeinerung des Proportionsbegriffs und also selbst ein Beispiel für Zielen losgelöste) Wissenschaft, indem er deduktiv die ersten Gründe erdie Vermehrung der allgemeinen Theoreme“) forschte dem ‘Schnitt’*) nur die Methode ist, ebenso ist (Gelegenheit zur Anwendung der die Faßt man die Stelle so, und die Lehrsätze immateriell und intellektuell untersuchte. Derselbe hat bekanntlich auch die Handhabung des Irrationalen (andere 1) 2.0.0. S. 75. 2) Nach Brerscuxemer (a. a. O. S. 167, 168) und Cantor (a. a. O. 1%, S. 240—241) die stetige Teilung; nach Taxseny (a. a. O. S, 68,3; 76—78) Schmitt des Kegels oder Lesart: der Proportionen) und die Zusammensetzung (Konstruktion?) der kosmischen Figuren entdeckt.“ Der Hauptsatz Zylinders. 3) Cantor (a. a, (0, 13, S, 238): ,,Eunoxus ... war der erste, welcher die Menge der Lehrsätze überhaupt vermehrte. Ich kann dies nicht für eine sinnentsprechende Übersetzung ansehen. Tasseny ja.a O. 5.96): ,, Lu théorie des proportions, conçue généralement et comme applicable a l'Arithmetique et à la Musique aussi bien qu'à la Geometrie . c’est saus doute par la qu'il faut expliquer l'expression de théorèmes généraux enthält das methodische Räsonnement. Was für Quellen Proxzus hierfür gebabt haben mag, ob er sein eigenes Urteil, ob er Schulüberlieferung gibt, wage ich nicht zu entscheiden. Auf zweierlei aber möchte ich hinweisen, erstens, daß bestimmt nicht an Eubemus zu denken ist, zweitens, daß in Jaxsuichus?) (gest. um 333 n. Chr.) das Ich glaube mit Taxsery, daß in dem xa9ólor in der Tat Bezug genommen Wesen der Geometrie des Prruanoras ganz ebenso geschildert wird: „Er wird auf die durch Evpoxvs vollzogene Verallgemeinerung der Proportionslehre; aber betrieb die Geometrie philosophisch“; „als Schönstes in ihr begegnet uns (xadédov)". ich glaube nicht, daß es sich Musik und Geometrie bezieht auf die Ausdehnung der Theoreme auf Arithmetik, Dem widerspricht der Gebrauch des Wortes xaSólov als eines terminus technicus innerhall der Geometrie. 1) De communt mathematica scientia, herausgeg. von Nic. Festa, Leipzig 1891, XXXII, XXXIII (S. 67— 68, 70).

Hrixmen Vour. das erhabene (UmyAdrorv) Wesen, welches zu den ersten Gründen hinaufführt (dm) ta moore aïria dvayduevor), der Theorie wegen die Forschung betreibt und nach dem rein Seienden greift.“ Besonders heißt es wörtlich wie bei Proxius: IrBa;doas thy zepi tà pudruata pilocoglur eis oyîjpu xart)elag ¿levbégor perédry Ger. Der Nehensat: aber og di)... dvsügev bringt, genan wie das Partizipium bei Hirroxrares, die tatsiichlichen Angaben in Parenthese als etwas von der theoretischen Detrachtung vollständig Losgelöstes, nicht als Belchrung, sondern als Berufung auf ein populäres Wissen, über welches allgemeine Uberein- Leistungen setzen unbedingt Kenntnis und Handhabung des Quadratsatzes 32 PATaATrELItOos RR An voraus. Läßt diese Stelle keine andere Lesung oder Deutung zu, so steht sie in umbeilbarem Widerspruche zum Ein solcher Widerspruch aber wäre unerträglich Er wäre erstens so dentlich, daß ProxLrs ihn notwendig gemerkt haben müßte. Zweitens handelt es sich nicht um zwei Aussagen anderer, denen Paoxivs indifferent segenüberstehen könnte, sondern er bringt in beiden Stellen seine ganz persönliche Ausieht zum Ausdruck, S. 426 zweifelt er persönlich die Über- Diese Art, wie die einzigen isolierten Einzelentdeckungen nicht im Mir scheint aber, die Entdeckung des Irrationalen eigentlichen darstellenden Text, sondern nebenbei gegeben werden, so daß ihre populäre Verbreitung als Mittel zur Kennzeichnung der Persönlichkeit dient, bestätigt meine Auffassung von der Tendenz des Geometerverzeichnisses und erhält umgekehrt von dieser Tendenz her ihre Beleuchtung. Die Fremdartigkeit beider Stellen legt den Gedanken nahe, daß sie erläuternde Zutaten eines Uberarbeiters oder Abschreibers sein künnten. Auf sie dürfte die Bemerkung von HwisEnc bezüglich Frizpteiss ProkirsAusgabe!) passen: „für den Text im einzelnen ist aber vieles aus Handschriften und durch Konjekturalkritik nachzutragen“. Vergleichung der Handschriften ist mir nicht möglich. Der Verpflichtung, die Prrnacoras- Stelle auf ihren inneren Wert und ihre Glaubwürdigkeit kritisch zu prüfen, würden wir auch dann nicht überhoben sein, wenn sie nicht von Prokirs selbst geschrieben sein sollte. Entdeckung des Irrationalen. struktion Konstruktion der regel- Nach der von Friepiers in den Text aufgenommenen Lesart &26ywv und der üblichen Übersetzung hat Prruaconas „die Handhabung (Theorie) des Irrationalen und die Konstraktion der kosmischen (regelmäßigen) Körper entdeckt“. Zunächst ist bemerkenswert, daß an dieser Stelle,‘ welche auf bekannte, für Pyrnaconas charakteristische Entdeckungen Bezug nimmt, die Aussage fehlt, die man, wenn die allgemeine Ansicht richtig ist, als erste erwarten sollte: Auffindung und Beweis des Quadratsatzes durch Prruagonas Dieses Schweigen, ganz unverständlich, wenn Proxicvs dem Prraasoras diesen populärsten aller Lehrsätze zuschriebe, ist eine höchst bedeutsame Bestätigung meiner in $ 1 dargelegien Auffassung von Prexurs’ Kommentar zu Evxum I, 47. Dagegen vertragen sich die Entdeckung des Irrationalen und die Konstruktion der regelmäßigen Körper mit ihr in keiner Weise. Beide der regelmäßigen Körper durch Pyrnaconas und die steht in Konebenso unheilbarem Widerspruche mit allem, was Proxnes selbst und was andere aersd q gute Quellen uns über die Entwickelung der ältesten griechischen fieometrie lehren. Àsa i+>v3Ee?aP Nach Proxius hat Tuarn:s (um 640— 548) den Lehrsatz von der ee po LiSyateETs)Le y] iTta Rohe Fmp+yeS1q2 iTnEsaN e mäßigen Körper. 1) Philologus 48, S. 827. Kommentar über den Quadratlieferung an, 8. 65 beruft er persönlich sich auf die Überlieferung. stimmung herrscht. § 4. 33 AE FE (ileichheit der Scheitelwinkel (299, 3—4), die Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Kreises durch Dreieck (250, 20—251, 2), die Halhierung des den Durchmesser (157, 10—11), die Kongruenz zweier Dreiecke aus Übereinstimmung einer Seite und der anliegenden Winkel (352, 14—16) entdeckt und die Kongruenzansehuuung praktisch zur Bestimmung des Abstandes von Fahrzengen auf See benutzt (352, 16— 18). Öxoripex, den das Verzeichnis als wenig jüngeren Zeilgenussen des Axaxacoras nennt, hat zuerst die Aufgabe gelöst (283, 7—101, von einem Puukte auf eine Gerade das Lot zu fällen, und zwar als Hilfsaufgabe zu astronomischen Zwecken: er hat ferner die Konstruktion der Winkelantragung geleistet (333, 5—6). Für alle diese Angaben ist Ervemus als Quelle entweder genannt oder unzweideutig gekennzeichnet. Da Anaxaconas um 500 geboren und 428 gestorben ist. dürfen wir die (iehurt des Oxormrs 470—450. etwa 490 ansetzen, also seine Blütezeit frühestens Mag nun das Ansehen, welches Öxormrs sich als Geometer erworben hat, mit diesen beiden Konstruktionen zusammenhängen oder nieht”), mögen wir diese Konstruktionen selbstverstiindlich so verstehen, daß Öxorimes sie nicht überhaupt zuerst, sondern als erster mit strenger Beschränkung auf Lineal und Zirkel gelöst hat?), sc geht doch aus den wohlbezeugten und unbezweifelbaren Angaben des J'aoxirs so viel mit Sicherheit bervor, daß um 470 noch so einfache Erfindungen zu machen waren, also wie Brerscuxemin*) sagt, „die Geometrie noch immer in 1) Canton, a. a. 0. 15, S. 191; vgl. unten $. 42. 2) Brerscuxripen, a. a. O. S, 65 Bibliotheca Mathematica, 111, Folge. 8, à. a. 0.5 65

gta|tTeÍr ePA Beiseren Vonr. AaeS,aoh den ersten Stadien der Entwickelung war“, und „noch nicht weit aus: “ebildet sein konnte“. Zwischen Tuares 570— 500); mögen und Oxormes | steht seine Anhiinger ihn zeitlich schon Pvrrauonas früh (etwa für einen Gottbegnadeten und Wundertäter gehalten haben, wir können nicht anders als ihn in eine Entwickelungsreihe mit seinen Vorgüngern und Nachfulgern stellen. Auch durch die angebliche Geheimhaltung seiner geometrischen Entdeckungen innerhalb seiner Schule dürfen wir ihu nicht der historischen Reihe entrücken, denn diese Gieheimhaltung ist eine späte Erfindung.) Für Caxron*) und Tannery sind die primitiven Konstruktionen des Üxomwes eine große Verlegenheit. Tannery’) die Abfassung der Wegen Oxorines schiebt altpythagoreischen „Tradition touchant Die Gcometrie des Pythagoras. 35 daß von regelmäßigen Figuren allein sechs Dreiecke, vier Quadrate, drei npidt=aora Sechsecke sich um einen Punkt herum so zusammenschieben lassen, dub sie Ffisn" Flächenanlegung im weitesten Sinne (zegußoAr, brepßoir;. EL 2erpig; Proxies an ssi rsrer iaAFY vier Rechte ausfüllen (Proxies 301, 305). Einer ganz anderen 419, 420) au. Gedankenreihe aber gehört die pythagorcische Flüchenmessungen, Flachenvergleichungen und Verwandlungen werden gewiB schon im Anfang der griechischen Geometrie gestanden haben, da ja die ersten griechischen Geometer, was gut bezeugt und von niemand bestritten wird, ihre Anregung durch die praktische Meßkunst der Ägypter erhalten haben. Aber von den einfachen Flüchenvergleichungen und Antragungen bis zur allgemeinen Flächenanlegung, welche mit der Lösung der quadratischen Gleichung gleichwertig ist und lyrnacorr“, des ältesten ,cadre des élémens“, bis in die Mitte des 5. Jahrdie stetige Teilung unter sich begreift, ist ein sehr weiter Wer. hunderts, aber frotz Ösormes glaubt er an weitreichende geometrische die Flüchenanlegung durch ProxLrs-Eupemus ganz allgemein den Prtha- Entdeckungen des Prrnacuras, von denen der Quadratsatz eine der zeitigeren und geringeren sein soll. Auch Brerscuxemer begeht mit den zwischen Tuar:s und Osorves lebten und die Winkelsumme des Dreiecks oben wiedergegebenen Urteilen eine starke Inkonsequenz. $. Guxruer") Wird goreern zugeschrieben, so können wir den iilteren unter ihnen, welche und der Polygone feststeliten, im Sime einer historischen Entwickeluny behandelt die Entdeckung des „Hekatombensatzes“ durch Pyrnacouas als nur die Elemente ganz gesicherte Tatsache und spricht von Oxormrs, „auf den die Leyende spätere gelvistet haben. einige der elementarsten Konstruktionen zurückführt“. Das ist konsequent; aber die Konsequenz ist durch eine nicht zu rechtfertigende Verkehrung soll, wenn die übliche Auffassung der Stelle des Geumecterrerzeichnisses recht In dieser Entdeckungen die Zeit nun zutrauen; den Abschluß müssen der ältesten Pythagoreer, ja des Pyrnaveras selbst, des Wertes der Quellen erkuuft.*) Auch die Entdeckungen, welche nicht dem Prrzagonas selbst, sondern hat, auch die Entdeckung des Irrationalen fallen. Das Vorhandensein von Strecken, mebbar den Pythagoreern im allgemeinen zugeschrieben werden, müssen wir, wenn wir verstehen, nicht Wunder glauben wollen, erstens in die allgemeine Messen Entwickelung der Geometrie einreihen und zweitens in sich vom Einfacheren zum Verwickelteren ansteigend denken. Unter diesen Gesichtssolcher Strecken ist auch durch die Vorstellung absolut unfaßbar; auch punkten fügt sich der Satz von der Winkelsumme im Dreieck (Proxnus 379) erst uls das Denken ein beherrschendes Übergewicht über das Anschauen gut zwischen die Entdeckungen des Tuares und Öxorines ein; an die gewonnen hatte, war diese großartige Abstraktion möglich. Ausdehnung dieses Satzes auf Polygone und an den Satz des Tnaixs über genug die Scheitelwinkel schließt sich ebenso natürlich der pythagoreische Satz, tatsache, i mn 1) Erwin Roum, Kleine Schriften 1, 108— 112. — ZeLuen, n. n, 0,19, S, 829-831, 111,9, S. 81, 1; 112. Zetex widerlegt (1*, S. 880, 2) unrettbar die Deutung, welche Tannery, Jaumacius, De vite Pri, S. 89 gegeben hat. Damit fallen die „weiteren Kombinationen“ nus der ticheimichre, also auch „La tradition touchant Prruasone“. der welche priuzipiell durch nicht festzustellen; denn unmeBbaren Strecken ist kein Maß sind, ist durch das Messen sowohl der meßbaren wie gleichermaßen ungenau. Die Existenz der geschulte Geist sträubt sich stets aufs neue gegen dieses Zugestiindpis: damit; nicht die Auffindung des etwa Pyrnacoxas der Diagonale zuschreiben, des sondern rv tay Handhabung oder Theorie des Irrationalen“ Idee des Irrationalen in Irrationalen Quadrats, soll didpor als Aber nicht einer Einzelunsere Stelle dem spappuretev clic Also Pytnacoras müßte die das Gedankensystem eingetügt, sie theoretisch durchgearbeitet, ihre Konsequenzen verfolgt und sie praktisch verwertet Dagegen spricht auch Puokius (66, 7—8) moûros yee O “Ixmoxedtys tor uynuorevhaben. outro» xal orotysia ovrereuver. dem Pythagoreer und Lehrer Praros, Turarrer, dem Altersgenossen Pıars, 2) a. a. O. 15, S. 190—191. 3) a. a. 0.5. 86, 105. 4) Handbuch der klassischen Altertumswissenschaft 6:1, Nördlingen 1888, S. 29, 80. 5) Suren, Geschichte der mathematischen Wissenschaften 1°, Zürich 1873, S. 26 sucht sich dadurch zu helfen, dali er „entweder die Angaben des Eupenus als unrichtig betrachtet oder die Lebenszeit dee Uxoripes viel weiter hinaufriickt“. Das alles sind Leistungen, welche die sichere Ül.rlieferung Turonores, und Euvoxus, dem Schiller Praros, zuschreibt; — sie stehen am Ende einer Entwickelung, welche von Prruacoras an gerechnet über hundert Jahre umfaßt! Zu einer Zeit, als man noch nicht gelernt hatte, exakt einen Winkel anzutragen und ein Lot zu fällen, soll Prrzacoras ferner die Krone aller

Hxixricu Voar. Zahlenlehre schon so fest und so umfangreich geworden, daß die Entelementaren Konstruktionen, die Konstruktim der regelmäßigen Polyeder geleistet haben! Außer allen elementaren Konstruktionen würde dies die exakte Konstruktion des regelmüßigen Fünfecks, also die stetige Teilung, d. h. die allgemeine Flächenanlegung und Konstruktion der quadratischen deckung des Irrationalen ihr nichts mehr anlıaben konnte. Aber zur Zeit ihres Entstehens hätte die Lehre von den Zahlenverhiiltnissen das Irrationale schwerlich ertragen können. Und ganz unglaublich ist es, daß der Begründer der Schule und des Zahlenkultes, daß Pyrnacenas selbst These und Antithese nebeneinander aufgestellt haben soll“ — „In dem halben (Gleichung voraussetzen! Das alles glaube, wer kann! Dem Proxius aber, welcher zwar kein schöpferischer Geometer, aber doch ein in geometrischen Dingen urteilsfühiger Kopf war und verstand, was er schrieb, können wir nicht zutrauen, daß er so krasse Widersprüche, solche Zickzackspriinge der Geometrie, die bald eine wunderbare Findigkeit, bald eine wunderbare VergeBlichkeit voraussetzen und jedem Entwickelungsgedanken hohnsprechen, nicht bemerkt haben sollte. Deshalb müssen wir, zunächst um der inneren Übereinstimmung der verschiedenen ProxLus-Stellen willen, mit Zweifeln und Verbesserungsvorschlägen an dieser Stelle ansetzen, welche durch keinen Zusammenhang, durch keine Quellenangabe gesichert ist. Entdeckung des Irrationalen, Konstruktion der regelmäßigen Körper durch Pyruasoras sind aber auch unverträglich mit allem, was wir aus Spen PeSAe,tEdears Na) Aà è, StaàLISlEVnSEi i x fj anderen Quellen über die Entwickelung der griechischen Geometrie wissen. Indem Jrxex alle direkten Berichte über die Entwickelung der Lehre vom Irrationalen im 5. Jahrhundert heranzieht, stellt er fest!): die Annuhme, daß schon ,, Durch Pyrnagoras die Theorie des Irrationalen begründet hat, wird die Entwickelung dieser Theorie auf unnatürliche Art auseinandergezerrt. Das Bild wird einfach, sowie man annimmt, daß das Irrationale erst zur Zeit Turopors, also jedenfalls nach 450, entdeckt ist.“ — „Alles ist Zahl’, das war der Fundamentalsatz der pythagoreischen Philosophie.“ Die Lehre von der metaphysischen Allherrschaft der Zahlen „muß schon einige Ausbildung und einiges Alter gehabt haben, als die Gegenlehre vom Irrationalen auftauchte“. Denn darin eben besteht: die Eutdeckung des Irrationalen, daß es Größen gibt, welche kein gemeinschaftliches Maß haben (@ovupergo:) und &loyov, to údoyror). sich nicht verhalten wie Zahlen (70 Wir Modernen haben uns gewöhnt, die Schärfe Jahrtausend nach Pyruasoras’ Tode ist nicht die kleinste geometrische Entdeckung von ihm mit einiger Sicherheit festzustellen.“ „In der nun folgenden Zeit des Neupythagoreismus flossen, um mit ZerLer zu sprechen, die Quellen über Prruacoras und seine Lehre reichlich. Aber nicht einmal aus dieser Zeit ist mir außer der Proxiis-Stelle irgendeine Nachricht bekannt, die die Entdeckung des Irrationalen Prraasoras zuschriebe.“ — Erheblichen Zweifeln ist die angebliche Konstruktion der fünf regelmäßigen Körper durch Pyrrnagoras begegnet!) Haszer und Caxron suchen wenigstens die Konstruktion des regelmäßigen Zwölfflüächners vou Prruaconas auf seine Schüler zu verschieben’); erstens wegen der Schwierigkeit, an die Ausführung der stetigen Teilung durch Pyrnaconas selbst oder seine Zeitgenossen zu glauben, zweitens weil eine Überlieferung?) die Konstruktion des regelmäßigen Zwölfflächners dem Pytha- Diese allgemeinere Untersuchung hat in vortrefflicher Weise G. Jrxcx geführt in seiner Schrift: Wann haben die Griechen dus Irrationale entdeckt? 37 ceDine voreer Hiprasus zuschreibt, und endlich wegen der Zuordnung der regelmäßigen Körper zu den Elementen, der sie ihren Namen „kosmische Körper“ verdanken.) Die vier Elemente Erde, Wasser, Luft, Feuer wurden nach der bestimmten Angabe des Anisrorees”) zuerst durch Exprpories (geb. um 490) als die materiellen Prinzipien der Welt aufgestellt: also konnten die regelmäßigen Körper von Pyruacoras wenigstens noch nicht als „kosmische“ erkannt und bezeichnet werden. Erst nach Exrrpox.es’ Auftreten konnte diese Zuordnung geschehen, und auch nur dann, wenn die Elementenzahl mit der Zahl der regelmäßigen Körper übereinstimmte, also beide die Vierzahl hatten. Folglich war der Zwölffächner zu der Zeit, als ExrrvokLes mit der Elementenlehre auftrat, noch nicht entdeckt. Nachdem er dann entdeckt war, mußte man ihm, wenn man nicht den ganzen Parallelismus von Elementen und Körpern aufgeben wollte, irgendeine dieses Gegensatzes zu verdecken, indem wir den Zahlbegriff auch auf das Irrationale ausdehnen Für die Griechen aber ist das «Aoyor eben nicht „Zahl“®); deshalb ist in griechischen: Sinne noch mehr als in unserem die metaphysische Zahlenlehre unverträglich mit dem Irrationalen. Zur Zeit der Entdeckung des Irrationalen „war also die ... pythagoreische 1) 2.2.0.8. 9, 10, 12, 80, 31. 2) Evecw, Elem. X, 6: ,,Kuminensurable Größen verbalten sich zueinander wie X,7:,,Inkommensurable Größen verhalten sich nicht zueinander wie Zablen" Zahlen“. S. 50: „Dab man sie auch sämtlich 1) $. Güöxtuen, Geschichte der Mathematik, nach strenger Vorschrift aufzubauen imstande gewesen sei, +) damit nicht gresagt werden". 2) Hasker, 0.0.0. $. 95, Anm. 3; Caxton, a. a. 0.1%, $, 175. 3) Jawaucuvs, De vita Prrz., $. 88. 4\ Juxcr, a. a. O. $ 9. 5) ArisroreLes, Metaphysik 1, 4. Gegen das ganz bestimmte Zeugnis des Musroreses fallen die Angaben von Virruy (De Architectura VII. pracf.) und anderen zar nicht ins Gewicht (ZeLLer, n. a. O. 3”, S, 406— 408, 759).

Herxuicn Voar. Bedeutung für die Konstitution Die Geometric des Pythagoras. der Welt zuweisen. Noch i P ant ist i unausgeglichene Schwierigkeit zu erkenn en. Prato weist LP die Notwendigkeit und AusschlieBlichkeit der vier rEbukLEISChen Elemente Feuer, Luft, Wasser, Erde aus dem im Raume geltenden Gesetz der zwei mittleren Proportionalen und setzt zu il die vier schönsten Körper, Tetraeder, Oktueder, Ikosaeder und Wast I. die dureh ihre Begrenzungen bestimmt sind, in Beziehung h3-5> Ñ e den fiinften Kórper aber, das Dodekaeder, beruft er pai oa metrische Einsicht, daß er der letzte Mögliche ist von Ei ' ih eri sprechendes Element hat er nicht, sondern weist ihm due Au ovens Evordcems mits méumens ext to nav 6 Beds abrij n y “ik » ke a éxeivo dtafoypug&r“ — „Da noch eine, die fiinfte Zusa mm i lane fia war, 50 benutzte Gott diese zum Umriß des Weltganzen si _ = Fb; sehen nn È + hrs Angalen über die ältere Geschichte der enÙ mere po me apa mpern ber den ee Griechen vom vertragen Irrationalen und den regelübliche Geomderrerzeichnisses ‚ durch welche beide nid De Pe da | “ee gewiesen werden. $ 5. Handhabung der Proportionen. die Zusammensetzung der regel mäßigen Körper. ; a Hat ca Lesart addyay sich als giinzlich unglaubwürdig erwiesen, so egt es nahe, die Lesart dvatsyav , welche ebenfalls in den Hands elı fe vorkommt, auf ihre Brauchbarkeit zu prüfen.!) Die Proportionslehre (rö dvéloyor, i dvaloylu) war bei den Alt an die Lehre von den Mittelwerten gekniipft. 2) Diese Lehre ube de nicht allein auf dem Gebiete der Geometrie, sondern auch in der Arith. metik und Musik entwickelt; dementsprech end unterschied man “dl i metische, geometrische und harmonische Mittel . Es wird nun du| h bestimmte Zeugnisse dem Pyrmacoras und seine n Schülern die Auf. Erg dieser drei Mittelwerte zugeschrieben; es wird ferner berich tet. aß die späteren Pythagoreer Hırrasıs und AxcHyras und nach ¡loe Ka És statt dldyor finde ich zuerst bei Fasnicius, Bibliotheca ame iat ti eaei 5ape ii 108 ist weiter bezeugt durch Avorst im Anhang II zu seiner pars À (1869 und 1876 res ‘Berlin 1826—1829, 8. 290). Zerzen in der 8. und 4. Auflage rer pi dr und 294} hemerkt: „wo stati so a i = I &2670r wohl dvaldyar zu teiam u E ne) fehlt diese Bemerkung. ecorum 111, Muacn, Fragmenta philo- Varis 1881, S. 266 schreibt dvaddyor, Brass, athematico, Bonn 1861, S. 5 &valoyiàv, wofür auch Juxce eintritt (S, 2) Hierfür und für da moi Tita, i È. De Platone 48), me s Folgende vgl. Canton, a. a, O. 1°, 8. 165—166, 238— 240, 39 Eunoxus den Namen des dritten Mittelwertes geiindert haben, so daß jene drei Bezeichnungen ihre jetzigen Bedeutungen erhielten. Prorwus selbst erzählt (67), daß Euvoxus die vorhandenen drei Proportionen durch drei neue vermehrte. Werden so die Mesoteten und Proportionen direkt an Pyrnacoras und seine Schule angeknüpft, so haben wir in dem teils bezeugten, teils erschlieSbaren Entwickelungsgange der Elemente zwar indirekte, aber durch ihre innere Übereinstimmung überzeugende Beweise dafür, daß die Entstehung der Proportionslehre auf die ältesten Pythagoreer zurückgeht. Nach Proxivs’ Bericht sind die Elemente vor Erin keineswegs ein äußerlich abgeschlossenes, innerlich gefestigtes System gewesen. Hırroxkares von Chios (um 450) schrieb zuerst Elemente; dann stellte Lxox, Sehüler des Nuvxixmss, weleher selbst jünger als Prato gewesen sein muß, die Elemente zusammen, „er bewies große Sorgsamkeit durch lille und Brauchbarkeit des Gebotenen“. Als dritter ordnete Tununus von Magnesia die Elemente „in lobenswerter Weise“; Henmotimus von Kolophon schloß sich in der Vervollkommnung und Vermehrung der Elemente an Evnoxus und Tuxarrer an. Endlich trat Evi auf (68): b tà Grotyeta Gvvayuyor xai moilè uèv tòv Evddtov Gurrdias, xolà dì ray Geamitov telewodueros, Fri dì ta palaxbtegor dexvipera toîs iurgoodev sig dreléyrrovs dxodelfets dvayayav — „er stellte die Elemente zusammen, ordnete viele Erfindungen des Evnoxvs ein und brachte viele Giedanken des Tngarrer zum Abschluß; endlich führte er das von seinen Vorgängern weniger scharf Bewiesene auf unwiderlegliche Beweise zurück“. Zweimal werden als Buxims Vorläufer Tueserer und Evnoxrs genannt; wir sind noch bestimmter dahin unterrichtet). daß das fünfte Buch der Elemente, die Proportionslehre, auf Ervuxus, das zehnte, die Theorie des Irrationalen, auf Turarrer zurückgeht.') So erkennen wir die Richtung, in welcher die allmähliche Umgestaltung der Elemente erfolgte: es ist die Bewältigung und Verarbeitung der neu erworbenen Ideen des Irrationalen und Inkommensurabeln, dieses „veritable scandale logique“*) Durch diese Entdeckungen waren viele Beweise, die man bisher für zwingend gehalten hatte, nicht mehr scharf. Dies gilt besonders für die Proportionslehre. Die Vorstellung der Ähnlichkeit und der damit verknüpften Gleichheit der Streckenverhältnisse ist ganz fundamental und in der Anschauung vorhanden”), solange das Inkommensurable ganz außerhalb des Gesichts1) Castor, a. a. O. 15 S, 236, 241, 275; Tanneny, a. a. O. 5. 96, 99 —102 2) Taxseny, u.a O $, 98. 8) Taxxeur, a. a. O. 5,92: „La notion de la similitude est incontestabloment une des premières que l'homme ait acquise“.

Heinuich Voor. kreises liegt. So dürfen wir mit Taxxenr') Ähnlichkeit und Proportionen zu den ältesten Bestandteilen griechischer Geometrie rechnen und dürfen die stetige Teilung enthalten. Ich habe bewiesen: es ¿st höchst unwahrscheinlich, daß Pnoxnus diese Leistungen dem Prrussoras zugetraut hat; es annehmen, daß in den älteren Elementen die Proportionen sehr zeitig ist gunz unmöglich, daß Prruacoxas sie ausgeführt hat. 40 eingeführt wurden, daß sie ein sehr weitgehendes Beweismittel waren, und daß z. B. die Flächenlehre und der Satz vom Quadrat der Hypotenuse Aennses durch Ähnlichkeit begründet wurde.?) >. War dies so, gerade dann und nur dann ist es verständlich, daß die Enideckung des Inkommensurabeln eine fundamentale Umgestaltung der Elemente zur Folge hatte. Die Proportions- und Almlichkeitslehre, ja selbst die Flächenlehre samt dem Quadratsatz, war nun zum kulaxarzpor, UEN AS nopfloe ae art, erkannten Wahrheit zu erheben, muBten entweder neue Beweise ohne portionslehre umgestaltet werden. Den ersten Weg schlug man fiir die Flächenlehre ein: wenn der neue, auf Flächenvergleichung ohne Abnlichkeit gestützte Beweis des Quadratsatzes von Proxirs Evxiin zugeschrieben wird, so dürfen wir vermuten, daß ein Verdienst Evxrins um die Verschärfung der Elemente gerade in der Neugestaltung der Flächenlehre liegt. Den anderen Teil der Arbeit hatten Evnoxus und Tuxaerer geleistet; an sie schloß Evsum sich an. Idee einer organischen Entwickelung Pyrnaconas zerder griechischen Geometrie; wir erhalten das Bild einer verständlichen und durch die Quellen beglaubigien Entwickdung, wenn das dvéloyor lange ror dem ükoyov entdeckt wurde. Deshalb ist die Lesart rar dlóyov nicht nur als unmiiglich zu beseitigen, sondern ieE e LrerTeiESc*Ok RHaELt+eIrÀ,air: dx APOAteg!WilyaAteeD teu ER [Het = Die Annalıme der Entdeckung des &4oyov durch störte jede TetraAsLPEOS: bat ei tati wir haben ausreichende positive Stülzen für ihren Ersatz durch tüv dvaispav. — ds; par BEa più: 1CheMuiySe,tete arPesto iy " gfSI, pS THY tay xoouixdy Hynuaraov overaciy avsügev hat man bisher stets übersetzt „er erfand (fand) die Konstruktion der kosmischen (regelmäßigen) Körper“ und gemäß der geometrisch-technischen Bedeutung des Wortes „Konstruktion“ darin die Aussage gesehen: PnoxLus schreibt dem Pyruacoras die exakte Konstruktion der möglichen regelmäßigen Körper zu, etwa so, wie das 13. Buch der Elemente sie lehrt; als Vorstufe ist darin selbstverständlicl: die Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks und griechischen Text als in der üblichen Übersetzung; sie ist also vermeidbar. Die Worte ovoraoız, cvorijonota: haben bei Proxivs wie hei Erin mdiirlich meist die geometrisch-technische Bedeutung „Konstruktion, konstruieren“, Zunächst aber haben sie einen allgemeineren Sinn, und dieser ist bei ProkLus keineswegs vergessen. Das Substantivum ovorasız kann einmal die Wirkung des Zusammensetzens bedeuten: das „Zusammenwesetzte in seiner Eigenart“, was wir wörtlich genau und im Sinne zuà© émi péoos Derxrúperor geworden; um sie wieder zur dveléyxros, xatdlov Benutzung der Ähnlichkeit gefunden werden, oder es mußte die Pro- Tatsächlieh liegt diese Schwierigkeit weniger im Al treflend durch das lateinische Wort „Konstitution“ wiedergeben können, 7. B. ov6rasis xdopov. Zweitens bedeutet es die Tätigkeit des Zusammensetzens ganz allgemein, nicht nur in dem Sinne „geometrische Konstruktion“; ja für den engsten Sinn „Werstellung der Figur“ im weiteren Rahmen einer geometrischen Aufgabe gilt gar nicht das Wort ovorucig, sondern xaragxevy.') Abgesehen von dem ganz allgemeinen Gebrauch (z.B. ovoracis ris Exrıörijung 64,13) werden nebeneinander gestellt cverdoets, yeréoers, duupéoeis, Vécers, taoaPodal (56, S—10); ovor«szız, roual, Deben, acoufolat, tootesets, apatgésers (18, 25—26); S. 423, 21—22 definiert Prornus: TO piv ydo ws dx 10226v ovyxeotovpevor cvaracets Deira „das aus einer Vielheit gewissermaßen Zusammengeschlagene bedarf der „Zusammensetzung“. Die Verbindung r@r xocuxdr cyrudror everuors ist eine feste; zweifellos bedeutet sie in den meisten Fällen die Konstruktion der regelmäßigen Körper im Sinne von Buch XIII der Elemente*), und sie ann auch an unserer Stelle diese Bedeutung haben. Aber sie muß nicht diese Bedeutung haben — mehr will ich nicht beweisen —, und es ist nicht nötig, daß Proxivs, wenn er von den geometrischen Leistungen der Vorzeit spricht, den engsten, rein technischen Sinn vor Augen hat. Ou! Wir werden dem durch die Übersetzung gerecht werden, wenn wir das Asche Wort „Konstruktion“, welches für uns #: den technischen Sinn hat, a Ded durch ein allgemeineres, etwa „Zusammensetzung“, ersetzen. Dieses Wort hat auch den Vorzug, daß in ihm außer der Tätigkeit des ovorijou6fat auch das Resultat „die Konstitution“ enthalten ist. Daß ich an dieser Stelle dem allgemeinen Wort vor dem technischen Ausdruck den Vorzug 1) Taxxeny, 0.0.0 8.97. Ich kann Taxneuvs absoluter Datierung der pythagoreischen Entdeckungen nicht zustimmen; aber diese relative Anordnung halte ich für in sich wohl begründet. Ebenso Hemena, Philologus 43, $. 383. 2) Taxxexy, 2.2.0. $. 105. Ebenso Zeurnes, Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter, Kopenhawen 1896, S. 50, und Zeurnen, Théorème de PYTHAGURE, origine de la géométrie scientifique. vehe, muß natürlich durch sachliche Gründe gerechtfertigt werden. Nach unserem Wissen von der älteren griechischen Geometrie müssen wir für ihre Operationen vielmehr das allgemeine Wort „Zusammensetzung“ als „Konstruktion“ im engeren Sinne gebrauchen. Es unter- Il. Congrès international de philosophic, Genève 1904; Comptes rendus du cougrès $. 834, 849, 853-854. 1) Die Definition ProxLus 208. 2) So Proxivs 68, 28— 24 und 70, 26.

Hermnicn Voor. zusammenstoBenden Quadraten des Würfels vorlag, auch mit weuiger als liegt keinem Zweifel, daß die prinzipielle Beschränkung auf den Gebrauch von Lineal und Zirkel für geometrische Konstruktionen sich sehr allmählich, etwa im Zeitraum von 500 bis 400 vollzogen hat. Die Bestimmung der Schifisentfernung durch Tuanx:s!) operiert mit Herstellung von Geraden, rechten Winkeln, Halbieren einer Strecke im Terrain; gewiß sind diese Operationen in indisch-ägyptischer Weise mit Ililfe von Seilen sechs Dreiecken und drei Sechsecken zu versuchen. Hırrorkarzs benutzte für die Herstellung der Möndchen. welche kleiner als ein Halbkreis sind, die Methode, welche Zevrues „Einschiebung“ nennt. Zeuruex versteht darunter „die Konstruktion einer Strecke, deren Eudpunkte auf gegebenen Linien liegen, und die selbst oder in ihrer Verlängerung durch einen gegebenen Punkt geht“. Diese Konstruktion lüßt sich durch gleichzeitige Drehung und abstrahierte Idee des regelmäßigen Körpers entdeckte man durch mechanisches Zusammenfügen das regelmäßige Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder. MESE CACOITIGRE Jener systeauch, wie Proxuvs um einen Punkt “Lisutnd naRnSo PsLSA¿e mäßige Siebeneck, Neuneck usw., welche sie auch untersucht haben mußten, herum in der Ebene zusammenfügen lassen. Um diese Erkenntnis zu die Pythagorecr das regelmäßige Finfeck nicht geometrisch konstruieren zu können‘): haben sie doch ganz bestimmt das regelnoch lange in Gebrauch gewesen?) «icdyors, die aber gewinnen, brauchten um ‚jenen und schloß ecke, Siebenecke usw. sich überbaupt nicht lückenlos probiert. Erst Piaro scheint, entsprechend pythagoreische Winkelsatz berichtet, die Erkenntnis ein, daß andere regelmäßige Vielecke, also lünf- Schiebung eines Lineals mechanisch leicht ausführen und ist praktisch seiner Trennung der Geometrie von Technik Es ergab sich, daB drei, vier, fünf Dreiecke eine Ecke bilden; und geleitet durch die vom Würfel x und Visierstangen ausgeführt worden. 43 auch Satz allgemein auszusprechen, nicht konstraiert, sondern aus- Kamen sic weiter auf den nunmehr nicht fern Tiegenden Gedanken, diese regelmäßigen Vielccke zu einer Ecke zusammenzufügen, so matische Einschränkung der Konstruktionswerkzeuge auf Lineal und Zirkel gelangten sie zum regelmäßigen Dodckaeder (Hirrasvs) und zugleich zur Eingefordert zu haben.) sicht, daß mit den gewonnenen fünf Körpern die Reihe der regelmäßigen Als seinen Vorgänger in dieser Beschränkung dürfen wir Ösorpes ansehen.) So wird auch das Lob verständlich, welches nach Proxivs (66) Pıaro dem Osormes gespendet hat: es galt nicht der hörper abgeschlossen ist?) Leistung, sondern der Reinhaltung der Methode. Körper Hat Proxivs nun in diesem Sinne Pyruaconas die Kenntnis und Daß selbst zu Piaros Zeit die Zusammensetzung der regelmäßigen noch nicht eine Konstruktion Elemente war, können im Sinne des 13. Buches der wir aus der Darstellung des Tyre, 53 —55 Herstellung der fünf regelmäßigen Körper zugeschrieben, so hat er zwar deutlich erkennen. Abgeselen vom Dodekaeder, welches als letzter möglicher geirrt, denn regelmäßiger Körper nur erwähnf wird, begnügt sich Piaro für die vier wegen der Zuordnung der Körper zu den vier Elementen können bis auf die Zeit des Eurepoxies nur vier regelmüßige Körper bekannt gewesen sein: aber er befindet sich nicht mehr im Widerspruch mit sich selbst. Vielmehr ergibt sich jetzt aus allen einschlägigen Proki.us- Stellen zusammen mit anderen Berichten ein durchaus verständliches Bild für die Entwickelung der Kenntnis von den fünf regelmäßigen Körpern. Die Grundvorstellung und den Begriff des regelmäßigen Körpers hat, ohne daß wir andere Körper zu Hilfe zu nehmen brauchten, der Würfel geliefert. Hatten die Psthagoreer früh erkannt, daß sechs regelmäßige Dreiecke, vier Quadrate, drei Sechsecke die Fläche um einen Punkt herum füllten, so lag der Versuch nahe, was schon bei den drei in einer Ecke Vil auch geometrie 11, Leipzig 1907, Art. VII $4 Esuques, Fragen der Elementarund Reno, Bericht des SIMPLICIUS, Leipzig 1907, $. 59. 3) Haske, a 0.0.5, 156; Canton, a. a 0,1%, 8. 284; S. Gixrnen, Geschichte der Mathematik, S. 67. Die Quelle ist Pruraren. 4) S. oben $. 33. des S.178) für einen Beweis anschen, daB sie es greometrisch konstruiert, also die stetige Teilung usw. gekannt haben. Ebenso urteilt (zegen Taxseny) Hemerc, Philologus 43, S. 333. 2) Ich halte mit Hasrez (a.a.0. 8.95, Anm.) und Juxcr {a.a.0. 8.33) gegen Caxrox (a. a. O. 13, S. 174), Trorrre (Geschichte der Elem.-Mathem. 11, S. 400) und N. Sox (Etvazin und die sechs planimetrischen Bücher, Leipziz 1901, S. 6) diese Einsicht auf Grund des Satzes von den allein möglichen Polygonen um einen Punkt herum tir eine durchaus primitive, ohgleich ihre exakte Begründung den Abschluß der Elemente Evkums bildet. Nicht auszuschließen ist ale Anregune des geometrischen Nachdenkens die empirische Anschauung des regelmäßigen Tetrasders und des regelmäßigen Oktacders (Caxron, 2.2.0.1, S. 175), und vielleicht auch die des Dodekaeders, welches als Kristallform des Pyrits vorkommt und nach F. Lixpemaxx von 1) Tasse. a, a. 0. 5, 90— 92, 2) Zecrues, a. a, 0 5,80—82 1) Ebensowenig kann ich den für die Pythagoreer bezeugten Gebrauch l'entagramme als Erkennungszeichen (Brersenzemen, n. a. 0.8.85. 86: Caston, a. a. O. 15, Etruskern künstlich hergestellt und mit Zahlzeichen versehen sich als Kultgegenstand schon in der ersten Eisenzeit (1000— 900 v. Chr.) in Uberitalien vorfinden soll (Zur Geschichte der Polyeder und Zahlzcichen; Sitzungsber. der bayr. Akademie der Wisseusch (Math. Phys. Kl) 26, 1896, S. 625— 756) Lispexass nimmt an, daß Pytnaconas (ich würde sagen: die Pythagoreer) durch die Gallier mit dem Dodekaeder bekannt geworden ist, aber es nicht konstruiert hat (S. 72%, 733, 755).

aEsIE;R Hewuicn Voar. ‘Körper mit der Herleitung der Dreiecks- und Quadratfliichen aus den Elementardreiecken, dem gleichschenklig-rechtwinkligen und demjenigen rechtwinkligen, in welchem die Hypotenuse das Doppelte der kleineren Kathete ist. Die Ecken aber werden einfach zusammengefügt; auch für die des Oktaeders und Ikosaeders, welche durch die in der Ecke zusammenstoBenden vier oder fünf Dreiecke nicht vollständig bestimmt sind, wird nieht wie bei Ecxu die Möglichkeit und Eindeutigkeit der Konstruktion durch Bestimmung der räumlichen Diagonalen gesichert, jx nicht einmal angedeutet.') Als wichtigster Beweis für die frühe Kenntnis des Dodekaeders bei den Pythagoreern hat bisher ein bei Srosarvs erhaltenes Fragment des Putnonsos, eines Zeitgenossen des Sox®Ùares, gegolten. xal tie Er tá oquipu Gúpara mevrs Evil. Dasselbe lautet*): tO dv rá ogalon ndo, Údoo, xıi yù, xai ajo, xai è (&) tig opatous úlxag meuntov, und ist bisher verstanden worden: „Die Körper in der Kugel sind fünf (die fünf regelmäßigen Körper, Ze..ex); die Körper in der Weltkugel (die Körper in der Well, Zensur), Feuer, Wasser, Erde und Luft, und als fünfter das Lastschiff der Kugel. Viele Verbesserungsvorschlüge sind zu diesem Fragmente gemacht worden; besonders knüpfen sie sich an das Wort &Axds. die größte Schwierigkeit Doch liegt darin, daß Gpuio@ zuerst als geometrische Kugel, dann als Welthugel, couara erst als geometrische Körper, dann als Elemente der materiellen Körper wechselnden Sinne ist bart, verstanden aber möglich.) werden. Dagegen opeiex in dem bedeutet cape seinem Begriff nach den physischen Körper, den geometrischen nur mit erkliirendem Zusatz, z. B. copa oregedv"); der geometrische Raumteil heißt Orepedy, Gyiua, cidos, téxog, yoou. Schlagend geht dies aus Hexoxs Definitionen hervor®): c@pe pèv ody padıuarındv tori rd zer) didoraror, 1) lu den 82 Zeileu dieses Abschnitts (Ausgabe von Bexken, Berlin 1817, III, 5. 66—70) gebraucht Prato elimal die Worte oveicracta:, svvésrnxer, ovoracis und damit abwechselnd völlig gleichbedeutend dreimal covapuócucdar, einmal cuvtiPecPat, einmal ovrdyer, zweimal svpruyeiv, neunmal die ganz allgemeinen zoselv, yiyvecdar, yévecss yd als Gegensatz einmal Adsodar und einmal diedveota:. Ich sehe in dem durchaus sinnlich anschaulichen, nicht terminologisch festgewordenen Gebrauch dieser Die Geometrie des Pythagoras. 2) Boëcru, Pursozans, Berlin 1819, S. 160. Berlin 1884, 1, 18. Wacnewvtu, Szovazi Anthologium, Körper ist das dreifach Ausgedehnte; ein Körper schlechthin (ohne Zusatz) ist dus dreifach Ausgedehnte mit Gegendruck“ (d. h. mit Widerstandsfähigkeit, materieller Undurchdringlichkeit). Dasselbe wie diese auf Erikux zurückgehende Definition’) drücken die Aristotelischen Bestimmungen aus: advvatov dio scopata Upa Ev th avr sliver — zwei Körper können nicht tLafexFpoiSsnhiajedbeyntfEvÙcpaeFdgriAtTLsicetnIGraREbAsDPrealOCitcSoEdaT|teA,DptTPoewlcserteiSdeshcaeteh:d IT rat + pi zugleich an demselben Orte sein“; cdpa Exav datév — „jeder Körper ist beriibrbar“; to xevóv i. e. T6mog éormosuevos Guaros sive yOQu Gouurog --- „das Leere ist der des Körpers Korpers“.*) beraubte Ori oder der Raum des Dagegen werden die Elemente der physischen Körperwelt (der Gamera) ganz gewöhnlich selbst schlechthin td cóure genannt.*) Wenn also in dem Porsos-Fragment der Wechsel in der Bedeutung des Wortes opaiga unwahrscheinlich ist, so ist es ganz unglaublich, daß ra Gwmpata zuerst die geometrischen Körper, dann die Elemente bedeuten sollten. Als eine walıre Erlösung sehe ich die Form an, welche Diers dem Pnuinoaos-Fragment gegeben hat‘): zul ta pév TèS oqutons Guara mevre Erri, ta dv tie ogyalpuı ade (xul) boue xal ya nai ao, nul è ths opatods Ande, xéuxtov — „Und zwar gibt es fünf Elemente der Weltkugel: die ix der Kugel befindlichen, Feuer, Wasser, Erde und Luft, und was der Kugel Lastschiff ist, das fünfte“.°) Damit sind in geradezu glänzender Weise die erwähuten Schwierigkeiten überwunden: opaig« ist nur die pythagoreische Weltkugel, ra cóuura nur die Elemente der Materie; zugleich ist durch die scharfe Gegentiberstellung der vier Elemente in der Weltkugel gegen das fünfte, den Triiger Asi, des Alls, sowohl der dreimalige Gebrauch des Wortes sgeip« wie das Rara! auffällige öAxdg gerechtfertigt. > RvrIhe>lZtUEM A A Aber jede Beziehung auf die fünf regelmäßigen Körper ist durch Dies Interpretation aus dem Purzozaos- Fragment ausgeschieden, und dadurch gens ta winnt die kleine Dir.ssche Konjektur eine große geometrische Dedeutung. ath HI der Frage, ob die fünf regelmäßigen Körper pythagoreische oder platonische de oete in fü ez FF Worte eine Rechtfertizung meiner oben dargelegten Auffassung des Wortes cúsracig. compa dè axddg tò toi dvdoratov perà dvurunlag — „ein mathematischer TtSHSeiyErrkRe 4. A 45 OSKu Ahie Von Boxcku an bis in die neueste Zeit hat man die Entscheidung Entdeckung sind, neben der ProkLus-Stelle S. 65, l'innoLaos-Fragment gesehen. vorzugsweise in dem Borckn sagt"): „Das ehemals von mir über- Zenuen, a. a. 0. I,", $, 406— 408 Anm. A) Grspensass, Kheinisches Museum 59, 1904, S. 145 sucht die Beziehung 1) Vgl. Sexrus Eurmucvs, Ade. mathematicos III, sect. 21. zwischen den beiden Bedeutungen von cp«ïgx herzustellen durch die Lesart xerrû 2) Entnommen aus Busırz, Index Aristotelicus 742* 39, 742* 42, 381" 9— 12. ty rq cpualoa sopra. 4) Vgl. Passow, Handwórterbuch der griechischen Sprache, Leipzig 1867, 1, 2, 4) Dire, S. 1804. 6) HERONIS Alerandrini geom. ct stercom. religuiae, ed. Husrscu, Berlin 1864, S. 11 def. 18. 8) Z. L, Bosıtz, Index Aristotelicus 742" 6— 87. Fragmente der Vorsukratiler, Berlin 1903, S. 264, und noch entschiedener in der 2. Auflage, Berlin 1906, I, $. 244. 5) An Viens schließt sich Nester, Die Vorsokratiker, Jeua 190%. 5. 162 an. 6) Purzosaos des Pythagoreers Lehren, Berlin 1819, S. 162.

Heisnien Voar. sehene Bruchstück des Prutonaos entscheidet mir zugleich die Streitfrage, ... ob die Lehre von den fünf Körpern als Formen der Elemente Pythakörper gezcichnet (konstruiert)“, und finde durch Thrarter den Abschluß 46 41 der langen Entwickelung vollzogen, den wir bei Pato noch vermissen. goreisch oder ursprünglich Platonisch sind“; Brass’): „Ineidimus in quaesti- Ich folge mit meiner Ubersetzung des Wortes Eypaye Borckn'): „Denn onem utrum Pıare ea (quinque solida) primus exeogitaverit an Pythagoricae der sonderbare Ausdruck kann nichts anderes heißen, als daß er entweder das sint originis. erste wissenschaftliche Werk darüber geschrieben oder zuerst ihre richtige Sed iam Borcknius, vir in his rebus facile prineeps, rem diindicavit eum ex fragmento Philolaico hanc doctricam ex schola Pytha- Zeichnung und Projektion auf einer Fläche gelehrt habe.“ gorica wie mir scheint, der Sinn der Stelle besser getroffen als durch Berxuanpy: fluxisse convicerit“; Caxron*): „Auch das Ikosaeder und nicht Damit wird, minder das Dodekaeder muß wohl oder übel den l'ythagoreern bekannt primus scripsit de quinque solidis, quae sic vocantur“. gewesen sein. schließen sich Brerscusemer?), Castor?) und Taxxerv!) an. Sonst könnte nicht Pinnorsos schon von den fünf Körpern in der Kugel reden.“ An Bersuarpy Mag man aber die Stelle so oder so übersetzen, sie bildet für diejenigen, welche Redet nun Punorios tatsächlich nicht von den fünf Körpern der I'vrnacoras die Konstruktion der regelmiBigen Körper zuschreiben wollen, geometrischen Kugel, so ist diese Argumentation hinfällig; denn nunmehr eine nicht geringere Verlegenheit als Proxits’ Bericht von den unzeitist das älteste Zeugnis von den fünf regelmäßigen Körpern und zugleich ihrer gemiiBen Konstruktionen des Óxormes. Haben Pyrnagonas oder die ältesten Verknüpfung mit den Elementen der Piatoxische Tiwaros, Für Pıaros l’vthagoreer die regelmäßigen Körper entdeckt, so ist es unglaublich, daß Priorität spricht jetzt die erste Veröffentlichung, ferner das Zeugnis des erst 100 Jahre später das erste Werk über diesen wichtigen und besonders Parros*) und die im Altertum gebräuchliche Verknüpfung der fünf Körper dureh seine Verknüpfung mit den Elementen der Materie allgemein intermit seinem Namen und seiner Schule) essanten Gegenstand geschrieben sein sollte Für die Pythagoreer zeugt Prok1.c> Will man aber mit Buerim Geometerverzeichnis und Pruranen?), sodaun die Tatsache, daß Paro die SCHNEIDER und Taxxeny Turaerets Leistung auf die Lerechnung der Be- Lehre von den fünf Körpern einem Pythagoreer in den Mund legt; das ziehungen wichtigste Zeugnis aber sind die oben dargelegten Momente historischer längen der regelmäßigen Körper beschränken”), so ist zu bedenken, daß Entwickelong. gerade auf diesen Beziehungen die stereometrische Konstruktion der fünf Die Pythagoreer sind durch ihre eigentümliche an die regelmäßigen Polygone angeknüpfte Fragestellung”) so dicht an zwischen räumlichen Körper beruht, und die Er- Diagonalen, V’yruauoras®), die Konstruktionsbedingungen Polyeder herangerückt, daB lebenden Turaetet zuzuweisen. inneren Gründen schwer füllt zu glauben, sie hätten diesen letzten Schritt nicht getan. Wem und Kantendaß es ein Widerspruch ist, die Kunstruktion dem kenntnis der Existenz, und zwar der ausschließlichen Existenz der fünf es aus Kugelradien diese sachlichen Gründe nicht aber dem stark 100 Jahre später genug sind, um das Kann mich demnach der Wegfall des PuroLsos- Arguments nicht bestimmen, den Pythagoreern die Entdeckung und Kenntnis der regelmäßigen formelle Bedenken zu überwinden, daß Prorivs in einer sonst technisch Polyeder abzusprechen, so ist doch nicht zu leugnen, daß die exaktgebraucht, der muß eben annehmen, daß ProkLes mit seiner Zuweisung geometrische Arbeit Piatos und seiner Schule auf diesem Gebiete eine erhöhte Bedeutung gewinnt. Diese erhöhte Bedeutung wird auch einer Notiz des Svipas über Turarrer zugute kommen, welche aussagt'): mo@ros dè rá xévre xalovpeva oregea Eygaws. Ich übersetze: „Er hat zuerst die sogenannten FünfcgjiatElDRearis:MArOaedESTe FRS 1) C. Brass, De Prarox£ Mathematico diss., Bonn 1861, $, 22. 2) aa. O. 1°, S. 175. 8) Parres, Collectiones math. V, 19 ed. Huursen, $. 352. der Körperkonstruktion einen Irrtum begeht. Tatsächlich, wenn auch stillsebweigend, tun dies Haxker, Jusur und Gexrner, die aus sachlichen Gründen nicht Pyriacoras „an ein Aufbauen glauben können. Nach nach strenger Vorschrift“ durch meiner Ansicht von der Natur des Geometerverzeichnisses erscheint ein solcher Irrtum sehr wohl möglich. Es gibt aber noch eine dritte, radikale Lösung, nämlich die, den ganzen Relativsatz 6¢ di)... @veüger, der ja so wie so durch Fremdartigkeit und Schwanken der Lesarten verdächtig ist (s. oben 5,32, 38) und 4) Proxies, S. 68, 20 — 28 5) De placitis philosoph festen Verbindung das Wort ovoreo:s einmal nicht im technischen Sinne dureh Zuweisung der regelmäßigen Körper an Prriuacoras in Widerspruch V, 6: Iidrur di nai du rodrorg avPuyoplge. Vel. Zeiten, 8.2.0 1,5, S. 289 Aum. 6) Proxies, $, 304, 11— 305, 3. 8 sal SUIDAE Lexicon, gracce ct latine rec. Beuxnanpx, Berlin 1864. mit S. 68, 22: ray xedovutror Iliaronxüv oynudrov tritt, für den Ein1) Partoraus 3. 168 @ealzyrog L, 2) a. a. 0, 8.148. 8) a. a. 0. 1%, 8.287. 4) a. a. O. 8. 99—102. 5) Casron wagt in dieser Frage keine Entacheidung. 6) Taxxeny, 0. a. O. 8. 101, Zeile 1, 2.

Heinzicn Voat. schub eines unbekannten Überarbeiters zu erklüren. 49 Jedoch, mag man Es ist denkbar, daß Einzelfälle des Quadratsatzes (z. B. das rechtsich zu dieser formellen Frage stellen, wie man will, meine sachlichen tründe und Ergebnisse bleiben davon unberührt. yriechischen Kulturwelt gehört haben; es ist denkbar, daß die Auffindung $ 6. winklige Dreieck 3, 4, 5) zum uralten allgemeinen Besitz der asiatischdieser geometrischen Tatsachen an verschiedenen Stellen der Erde unab- Von Pythagoras’ Geometrie wissen wir nichts. hängig voneinander erfolgt ist; es ist endlich denkbar, daß eine Uber- Wird die Pyrnaconas-Stelle des Geometerverzeichnisses so gelesen und lieferung dieser Tatsachen von Volk zu Volk in der alten Kulturwelt übersetzt, wie ich es gerechtfertigt zu haben glaube, „derselbe hat bekannterfolgt ist. lich auch die Handhabung der Proportionen und die Zusammensetzung der kosmischen Körper entdeckt“, so stimmt sie zusammen mit Proxius’ Urteil vorliegt, ist nicht zu entscheiden. im Kommentar zu Erxuın 1, 47, wonach die Entdeckung des Quadratsatzes durch Pyrnacoras nicht glaubwürdig bezeugt ist. Welcher von diesen Füllen für die Anfünge des Quadratsatzes Griechen von Das aber ist absolut sicher, daß die den Orientalen nicht erhalten nicht besaßen. konnten, was diese selbst Mögen sie die Einzeltatsachen als geistiges Rohmaterial aus der Fremde bezogen haben, die Geometrie als Wissenschaft und der Die erste sichere Kunde vom Vorhandensein des Quadratsatzes bei deu Griechen geben uns die geometrischen Leistungen des Hirroxnares Quadratsatz als geometrische Wahrheit ist in Griechenland geboren. von Chios. Dieser verwendet in seiner Möndchenquadratur den Quadratsatz in sehr freier Weise, nicht nur für das rechtwinklige Dreieck, sondern auch zu Schlüsse. über Spitzwinkligkeit und Rechtwiukligkeit von Dreigoreischen Schule, welcher Hirroxrares in seiner Jugend selbst angehört ecken aus dem Verhalten ihrer Seitenquadrate. Spekulationen über Zahlengesetze, ihre ebenso gesicherten Flächenunter- Derselbe hat das Problem der Würfelverdoppelung behandelt und es auf die Konstruktion der zwei mittleren Proportionalen zurückgeführt. Das setzt voraus, daß die Quadratverdoppelung und die Konstruktion einer mittleren Proportionalen sehon geleistet war. Hirroxrarrs ist Zeitgenosse des Turovorus, jünger als Osorives; sein Aufenthalt. in Athen wird um 450—430 angesetzi.!) diese Zeit also muß der Quadratsatz eine wissenschaftlich Die Geburtszeit fällt nach dem Obigen in die ültere Zeit der pythahaben soll. Die Mathematik hatte im physischen und metaphysischen System der Pythagoreer eine große Bedeutung; ihre sicher beglaubigten suchungen konnten sich naturgemäß zur Erkenntnis des Quadratsatzes zusammenschlieBen. So weist alles, was wir wissen, auf l’ythagoreer als die Entdecker des Quadratsatzes hin.') die älteren Näheres aber ist uns nicht bekannt. Um Speziell über Pyruacoras’ geometrische Leistungen versagen alle Zeugnisse. gesicherte, ° Selbst das, was Proxivs und andere von Pyruaconas’ Geometrie zu wissen nicht mehr isolierte Tatsache, also gewiß schon seit mehreren Jahrzehnten bekannt gewesen sein. glauben, miissen wir als nicht genügend bezengl ansehen. Ja, ich behaupte weiter: wir werden nie lernen, Prruswonas von seiner Schule zu unterscheiden; Andrerseits aber wissen wir bestimmt, daß die Entdeckung des Quadratsatzes eine Blüte griechischen Geistes ist, nicht, wie behauptet worden ist, ein Erzeugnis indischer oder ägyptischer Spekulation, dem Abendlande etwa durch Weisheit suchende, reisende Griechen oder im Gefolge von Handels- oder allgemeinen Kulturbeziehungen übermittelt. denn schon Paro, AnrisrorELES und Arıstorzirs‘ Schüler haben das nicht vermocht. j Wenn schon von den frühesten Zeiten an bis Prato und AristoTELES kein einziges Zeugnis für bestimmte wissenschaftliche und speziell geometrische Entdeckungen spricht?), so ist ausschlaggebend für mich die Es muß zwar zugestanden werden, daß Inder und Ägypter Einzelfälle negative Rolle, welche Prrmasoras bei AristorELEs spielt. pin den erbaltenen echten Schriften von ArnisroreLes kommen die des (Juadratsatzes sehr früh (die Inder spätestens im 8. vorchristlichen Jahrhundert, vielleicht schon einige Jahrhunderte früher) gekannt und zu Pythagoreer ungezählte Male, dagegen Prruacoras selbst nur ein- oder Konstruktionen von rechten Winkeln benutzt haben. zweimal vor. Aber wenn die Inder den Satz auch bedingungslos und allgemein ausgesprochen haben, Einmal bei der Aufzählung von Männern, die besonders verehrt werden, heißt es, die Italiker verehren Pyrnaconas; und das andere so war er bei den Orientalen doch nur ein aus Einzelfällen glücklich Ma} an einer Stelle, die vielleicht eingeschoben ist, Aukmäox sei etwas erratener Zusammenhang, jünger nicht eine wissenschaftlich, auschaulich oder deduktiv begründete Tatsache, nicht ein geometrischer Lehrsntz.*) 1) Caxron, a. a. 0.7? 8. 201. Pyruacoras. In den Fragmenten des AxisroreLEs wird 1) Deshalb ist die Beibehaltung der Bezeichnung , Pytbagorcischer Lehrsatz" tiir den Quadratsatz angemessen als fir eine Glanzleistung der pythagoreischen Schule. 2) Siehe meine Abhandlung: Haben die alten Inder den Pythagoreischen Lehrsalz und das Irrationale gekannt? als Biblioth. Mathew. 7,, 1906/7, 8. 6— 28. 2) Juxoe hat alle in Betracht kommenden Stellen besprochen, a. a. O. S. 26—27. Vgl. Diets, Fragmente der Vorsokratiker unter Prrnagoras. Bibliotheca Mathematica LIT. Folge.

Hrixrien Voar. Pyruacoras ‚mehrmals erwähnt. Doch von wissenschaftlichen Leistungen ist nicht die Rede“!) Im ersten Buche der Metaphysik bespricht welchem Rechte dürfen wir erwarten, daß Evpemus, ebenfalls Schüler des Anistorrius, imstande sein sollte, uns Mitteilungen über geometrische Entdeckungen des Pyrmacoras zu machen? Evvemus hat mit Turornrast dem Anisrorkixs von allen seinen AxıstoreLes systematisch die alten Philosophen, welche nach den metaphysischen Gründen des Seins und Geschehens geforscht haben; er zählt jeden einzelnen mit seiner Lehre namentlich auf. So gehen an uns vorüber Tnazes, Áxaxmeses, Hirrasve, Heraxut, EnpevokLes, PARMENIDES, |. Asaxacoras, Henuorisus, Leuxirrus, Demoxerr. Dann fährt er fort*): Ev dt tovrors xal mod Todrwv ol xalovpevor Ilvdaydpsıoı toy uadyudrav dupdpevo: APArot Teure coojyayor — „zu den Zeiten dieser Männer und vor ihnen haben die sogenannten Pythagoreer sich zuerst mit Matlıematik befaßt und sie gefördert“. Dies Verschweigen von Pyruaconas’ Namen in diesem Zusammenhange kann nicht zufällig sein. ZerLer urteilt: „Die Pythagoreer überhaupt werden so bezeichnet, als ob der Berichterstatter nicht wüßte, ob und wieweit ihre wissenschaftlichen Ansichten auf Prraacoras zurückzuführen sind“) Ähnlich Erwıs Roune: „Wir können — freilich durch einen Schluß ex silentio, wie es aber wohl nie einen gerechtfertigteren gab — mit Bestimmtheit erkennen, daß die besten Kenner pythagoreischer Lehre, ArisroreLes und Arisroxexus, nichts von physischen und ethischen Doktrinen des Prruacoras selbst wußten: Ar:isroreLes redet ausdrücklich immer nur von Ansichten der Pyfhagoreer, und AzrisroxENvs, noch vorsichtiger, referiert sogar nur, was die ihm bekannten letzten Pythagoreer von den ethischen Prinzipien älterer Mitglieder der Schule aussagten“.*) Früh schon, ja, noch ehe er seine ionische Heimat verließ, hatte die Sage um Piruagoras, die übermächtige und unverstandene Persönlichkeit, den Seher und Wundertüter, ihren Schleier gehiillt*); früh schon war das, was er an wissenschaftlichen Leistungen hervorgebracht haben mag, in der Gesamtheit seiner Schule verborgen. Wenn Ansrorezes und sein Schüler Anısroxexus dieses Dunkel nicht haben erhellen können, mit 1) Jenox, à. a. 0.8, 26— 27. 2) AristoreLes, Metapbysik, Ausg. von Bexger, Berlin 1881, I, 6, S. 985. 3) ZerLen, a. a. O. S. 280. 810 ° 4) E. Rouve, Kleine Schriften 11, S. 108. 5) Zetren 1,5, S. 280, 810, 811, 812. Rouvr, Kleine Schriften II, 3. 105, 106. Derselbe, Psyche 2. Aufl, II, 8. 99, 160. Nesrre, Die Vorsokratiker in Auswahl, Jena 1908, S. 26. So erklärt os sich auch, daß Jsoxnarzs (um 898) in seiner Lügenrede (Busing) gerade den Prruauonas nach Ägypten reisen und dort sein Wissen schöpfen lüßt. Zu dem famosen König Bısınıs paßte besser Prrnsaonas, von dem man schon damals viel fabelte und wenig wußte, als ein im hellen Lichte der Geschichte stehender Maun. Gerade für Prrnacoras durfte Jsoxnatex die an sich unverftingliche Erzüblung vom Aufentbalt in Ägypten in seine Übertreibungen auslaufen lassen, ohne Lügen gestraft zu werden (Zerxen, a.8.0.1,°, 8. 804, 2; anders urteilt Canton, à. a. 0.1", 8. 149). 51 Schülern am nächsten gestanden. Er hat die Metaphysik des AnisroreLes herausgegeben"), das Werk, in welchem das Nichtwissen um P’yruasoras so handgreiflich zutage tritt. Eine Durchmusterung der Fragmente des Eupemrs”), zunüchst abgeseben von den durch Proxıvs überlieferten Zitaten, lehrt, daß in sicheren Eunemus-Stellen die Pythagoreer viermal erwähnt werden, dreimal der l’ythagoreer Ancuvras, aber nicht einmal Pyruacoras selbst.) Am überzeugendsten wirken die Fragmente der &srgo- Aoyıxı) ioropía. Darin werden mit fester Namenzuordnung astronomische Lehren von Oxermes, Tuaues, ÁNAXIMANDER, ÁNAXINENES, ANAXAGORAS, Evpoxvs, Kaumpus, Euxremox, Merox erwähnt; dann heißt es (ed. Srexcen 141, 16--18): 09 Edónuos lorogel tiv ris Péceoz tati els tods Jlvdayogpelovs moBtovg dvayéoay — „so erzählt Erreurs, welcher die erste Kenntnis der Reihenfolge (der Planeten) den Pythagoreern zuschreibt“. Es ist deutlich zu erkennen, daß Evpeurs Wissen um Pyruaconas in keiner Weise über das seines Lehrers hinausgeht. Ebensowenig wie dieser weiß er Pyruacoras von seiner Schule zu trennen — natürlich: denn wo die Überlieferung fehlt, können historische Angaben wohl bei Phantasten und Legendenschöpfern, wie die Neupythagoreer waren, aus dem Nichts auftauchen, aber nicht bei einem exakten Forscher wie Eupemus. Er hat im Auftrage und unter den Augen ArisroreLts seine Geschichte der Geometrie als Teil des großen enzyklopädischen Werkes verfaßt, welches sich die Darstellung der Geschichte aller Wissenschaften zum Ziele setzte‘) Derselbe Mann bat unmöglich in dem einen Werk sagen können, wozu ihm die Quellen in dem anderen versagten. 1) Zeuten, à. a. 0. II,°, 8. 84. Rouvr, Kleine Schriften II,, S. 441, 2. PauLyWissowa, Realensyklopiidie des klassischen Altertums VI,, S. 896, 897. 2) Evoeur Rhodii Peripatetici Fragmenta collegit Srexcrı., Berlin 1866, iterum 1870. Muisacu, Fragmenta philosophorum graecorum 111, Paris 1881, 222—292, 296— 297. 3) Eine Bestätigung liefern die Werke Tueorunasrs, des anderen tratgos *Agicroréioug (herausgeg. von Winsen, Leipzig 1854—1862 und Paris 1866). Darin werden 76mal Philosophen zitiert, davon 56 mal vorsukratische, einmal die Pythagoreer (416, 88 in der Verbindung TAurov dt xal ol Mvdeyógeror., nicht einmal Pytnaconas selbst. 4) Zsızen, 8.2.0. J1,?, S. 869, 870. Dirrs, Hermes 2S, 1893, S. 408, 409. Paunr-Wissowa, Realenzyklopädie VI,, 8.897. Die Angabe des Dioceses Laentics (Y, 48), daß auch Tneorsnast eine Geschichte der Geometrie verfaßt habe, beruht nach Ussxen (Analecta Theophrastea, diss. Bonn 1858, S. 17) auf Verwechslung mit Evpeurs. An Usewex schließen sich an Zeuer a. a, O. 11,2, S. 810, Hemenc, Philologus 43, S. 346, Tassenx, a. e. O. S.78. Vgl dagegen Cantor, a a. 0.1? 5. 118, 257.

Qt Ww Heisnicn Voar, Bestätigt sehen wir diesen Schlu durch das verschiedene Verhalten i Si des Puoxirs da, wo es sich um geometrische Leistungen der Pythagoree r, 2 und da, wo es sich um Pyruasoras selbst handelt. Dreimal weist er den Ye Pythagoreern geometrische Entdeckungen zu; zweimal davon beruft er &: sich auf Ernemus, das drittemal muß er nach dem ganzen Tone des Be- B richts eine sichere Quelle vor sich haben, welche wohl keine andere als we als Geometer erwiihnt, aber nicht einmal mit Berufung auf Exvpenvs. Ich Es: die Zaghaftigkeit, Umstindlichkeit, Verklausulierung, : À erinnere auch an mit der ProxLus in der Besprechung von Evxuw I, 47 den Pyrnaconas ÉÉ selbst berührt, und im Gegensatz dazu an die Sicherheit und Klarheit, & mit der er dicht hinterher von der Mehrzahl der émordvres spricht?), È welches nur die Pythagoreer sein können: man merkt, daB er von dem = schwankenden Boden der Legende auf den festen Grund der Geschichte a hinübertritt. 53 durch Fleraxiir (um 500) sichergestellt, und zwar um so sicherer, als Il:rarırr ihm in zwei bissigen l'ragmenten') nicht lobend, sondern von seinem Standpunkte aus tadelnd seine zoAvuadin — „Vielwisserei“ — vorwirft. Diesen Zeugnissen scheint Jrnce nicht genügend Kechnung zu tragen?) Wir dürfen an Pyrnaconas’ wissenschaftliche Bestrebungen glauben; „ler wir müssen eingestehen, daß wir Einzelnes oder Bestimmtes über diese Bestrebungen oder ihre Ergebnisse auf keinem Gebiete des Wissens erkennen können. Was speziell die Mathematik betrifft, so kann das Ergebnis meiner Untersuchung nicht zutreffender ausgedrückt werden als mit den Worten Zerrens?): „So wenig wir aber auch bezweifeln können, duß Pyruacoras zu der erfolgreichen Entwickelung der Mathematik in seiner Schule den Anstoß gegeben hat, so unmöglich ist es doch, «us den abgerissenen mel durchaus unzurerlässigen Angaben über ihn eine Vorstellung von seinem mathematischen Wissen zu gewinnen, welche auch nur annähernde geschichtliche Sicherheit hätte“. Die geometrische Pyruaconas-Frage ist eben keine andere wie die ¡1 :lologische und philosophische: der Unterschied ist nur, daß die MatheZeugnisse fehlten damals wie heute: junge Nachrichten gab es, aber sie waren schlecht beglaubigt und weniy vertrauenswürdig durch legendarisches Bei werk; “E ihnen glauben wir nicht, und auch Proxıos hat ilinen nicht geglaubt. So 3 wissen wir nichts Gewisses von Prruacoras dem Geometer, und Proxics ER hat ebensowenig gewußt. matiker sich immer noch nicht zu den Konsequenzen verstehen können, welche Philologen und Philosophen längst gezogen haben. Zwar macht jeder Geschichtschreiber der alten Geometrie formell den Quellen das Zugestindnis der Unsicherheit und Unzuverlissigkeit, aber keiner kann sich entschließen, den lieben alten Glauben an Pıruaconas, den Schöpfer der Geometrie, aus dem Herzen zu reißen. Solche Anhiinglichkeit an bestimmte geometrische Entdeckungen, die Proportionen und die regel- Altgewohntes hat HaxxeL*), der von allen am weitesten im Zweifel geht, die überlieferung, nicht auf alte Zeugnisse gestützt haben. Wir miissen heute i (nfimlieh den Quadratsatz) dem Pyriacoras abzusprechen, obgleich keine einerseits zurückhaltender sein ale ProxLvs, indem wir uns ganz auf den BS Aristotelischen Standpunkt zurückziehen und nicht das Unmigliche ver- HE einzige, nur einigermaßen glaubwürdige Nachricht darüber vorhanden ist“. suchen, trennen. réelle des connaissances géométriques de Pyruacore ne peut être niée“; aber Anderseits aber werden die vorhandenen geschichtlichen Überlieferungen statt diese Beweise wegen ihrer Unzulänglichkeit zu verwerfen, findet er, mäßigen Körper, zuweist, so kann er sich nur auf nacheudemische Schul- + Pyruauoras’ Leistungen von denen seiner Schule zu Worte diktiert: „Doch müchte ich nicht so weit gehen, den Lehrsatz selbst Taxseny®) gesteht zu: , L'insuffisance des preuves relatives à l'extension und unsere Einsicht in den notwendigen Werdegang einer Wissenschaft + „que ces preuves ont été un peu trop negligées“; und der geistreiche Mann es uns läßt aus ihnen „le premier Ouvrage ermöglichen, in die gesamte griechische Geometrie die Geo- & 4 metrie der Pythugoreer organisch einzureihen und innerhalb dieser eine ¿2% Entwickelung vom Einfachen zum Komplizierten zu konstruieren. Daß freilich Pyruaconas in den Augen seiner Zeitgenossen nicht BR Y bloß Seher und Wundertäter war, daß er nicht blof ethische und theo- & "Joi sophische Tendenzen verfolgte, sondern eine starke Richtung auf das Sem Wissenschaftliche hatte, scheint durch die wissenschaftliche Betätigung a seiner Schule und durch den ältesten Zeugen, der sich über ihn äußert, Y |a 1) Vgl. oben S. 27. 2) Vgl. oben $. 21. seine „Tradition 1) Diets, Fragmente der Vorsokratiker, Berlin 1903; Henaxsar fragm. S. 40 u. 129, Wenn fragm. 129, in welchem Pyrnaconas’ iorogin „Forschung“ uls zolupaBin, xe»orsgrin, „Vielwisserei, eine üble Kunst“ — (,,Rabulisterei Dies, ,,Spitzfindigkeit + stud eee mathématique“, LiarAc"Cp etDares, Nasrii) — bezeichnet wird, nach Diets (I1,, 5 666) unecht und eine teilweise Wioderholung von fragm. 40 ist, so bleibt doch eben dieses bestehen, in welchem Henaruır in bezug auf Hestup, Prruaconas, Nesoruanes und Heratarvs erklärt: modvuadir vdor iger ob didaoxeı — „Vielwisserei lehrt nicht Verstand haben“. 2) Junge, a. a. O. S 44 3) a. a. O.1,', S. 320,2. 821. Nesta, a, n. O, $. 27, Vgl. E. Ronve, Psyche, 2. Aufl. II, 8. 159, 4) a. a. O. $. 97; vgl. oben 5.18, 5) a.n. O. 8. 106.

ilei ES: Heimen Voor: Die Geometrie des Pythagoras. Vicron Monter: Le plus ancien traité français d'algorisme. 5D touchant Prrussore“ erstehen. Für derartige Konstruktionen hatte bisher SI schon die Grundluge gefehlt; sie fehlt erst rechi, wenn der Kckstein See Prontes-Ervemos nicht mehr standhält. = Die Geschichtsforschung der Mathematik hat sich in der Pyrnaconas- Frage im “E Eifer des Kombinierens, im Glauben an eigene und fremde # geniale Inspiration in (iebiete vorgewagt, in denen die Widerlegung = aufhört, aber auch der Beweis und sogar die haltbare und fruchtbare ¿A . Hypothese. Sie wird sich darauf besinnen müssen, daß sie keine anderen i} Handhaben besitzt, wie gesicherte Überlieferung und das Gesetz der Entwickelung des Schwierigeren aus dem Leichteren. Wo beide versagen, muß sie den Mut haben, ein „ignoramus“ auszusprechen. 1. Von wissenschaftlichen und speziell geometrischen Entdeckungen des Prruanonas hat weder Evorses, der älteste Geschichtschreiber der griechischen Geometrie, noch sein Lehrer Antsroreces, noch überhaupt die klassische Zeit chicas gewußt. Alle Angaben über solche Entdeckungen sind spite erfolglose Versuche, Prruaconas Leistungen von denen seiner Schule zu trennen. II. Dem Geometerrerzeichnis des Proxsws liegt hauptsächlich Evrsurs Geschichte der Geometric, daneben Schalüberlieferung zugrunde. es Namenrerzeichnis ist. auch andere Quellen und quellenlose Doch ist es Auszug aus Ervewes nur, saceil Im wesentlichen ist es ein von Proxics selbst vere fuBles Jeäsonnement über die Angaben des Evreuvs. LT], Proxivs hat im Geometerverzeichnis Pyruanonas nicht die Ent deckung des Irratimalen (tev &Adyar) und die geometrische Konstruktion sind wir auferstande, die des Irrationalen, Konstruktion der regelmäßigen Körper, allgemeine Flächenanlegung, Konstruktion einer Figur von gegebener Gestalt und Größe, nicht gemacht haben kann. plus ancien traité français d’algorisme a été publié pour la delle scienze matematiche e fisiche.") comme étant à la Bibliothèque Sainte-Geneviève par l'abbé Leueur*) et par Darsor.3) Après avoir porté successivement les cotes BB2, (in-4°) et R.1. 17, il est désigné actuellement par la notation 2200. A la suite u Aa se 1 BAi2tdS1nLej8r:e+IHtslEAT.R1UYeBEiNpsas“rLinEeRtTIaS; RN bestimmte geometrische Entdeckung, 2. B. die des Quadratsatzes, zuzuschreiben. Wohl aber wissen wir von der Entwicklung EB der griechischen Geometrie genug, um behaupten zu können, daß er gewisse | wie Le ei Prruaiunas irgendeine Entdeckungen, Par Vicror MortET à Paris. | Für den Entdecker des Quadratsatzes hat Proxzus Be + den Pyrruasoras nicht gehalten. Quellen . première fois, en 1882, dans le Bullettino di bibliografia e di storia regelmäßigen Körper, alten , Ko? ver regelmäßigen Kür zuerkannt, sondern höchstens «die Handhabung È der Propurtionen (civ ävaléyor) und Kenninis der Zusammensetzung der 4] IV. Bei dem Versagen aller . & = Zusammenfassung. na Le plus ancien traité francais d'algorisme. omeÈpSRae“alyErRiEt de cet opuscule français sur l’algorisme (150 r°— 151 r°), se trouve un traité de géométrie, également écrit en français, qui est aussi le plus ancien qui soit connu, et que nous publions ailleurs. Nous n’entrerons pas ici dans la description du manuscrit 2200 de la Bibliothèque Sainte-Geneviève; nous renverrons à ce sujet aux observations 1882, dans le Bullettino di eontenues dans la publication faite, en bibliografia e di matematiche e fisiche, du Mais nous avons à signaler aussi un autre ms. du XIII siècle plus ancien traité français de géométrie qui s’y trouve de Valgorisme en question, celui de la Bibliothèque Nationale, qui porte le no. 2021 (Mazarin) du fonds français (anc. 7929), où ce traité occupe les f° 154 r°PRE — 155 r° , | Il est d’autant plus nécessaire de publier avec soin le plus ancien traité français d’algorisme que dans l'édition qui en a été donnée, d'après le seul ms. 2200 de la Bibliothèque Sainte-Geneviève, différents passages 1) M a été édité dans ce recueil par M. Cnanres Hesny. 2) L'Etat des sciences en France depuis la mort du roy Ronrrr ... jusqu'a celle de Pnnurre de Bel..., 1741, p. 93; cf. Collection LERER (1838), p. 540: „Le traité voudra*, E scienze conservé, “I A delle donnerons LReD]sE i LE storia nu Catalogue des mss.*) de cette Bibliothèque, et enfin à l’édition que nous anonyme Er Il avait déjà sé signalé de l'algorisme eonservé à Sainte-(ieneviève et rédigé au plus tard sous Putre le Hardi en langue vulgaire, enseigne l'usage de la multiplication selon les chitires arabes, et les règles pour chercher la racine cube de quel nombre on 3) Discours sur l'élat des lettres en France au XIII siècle, dans V Hist. littéraire de la France, t. XVI (1824), p. 114. 3. Voy. ce Catalogue . .. par M. Cu. Koucen, t. II (1896), y. 283