Les formules de la puissance ….dans les mathematiques grecques et dans les dialogues de Platon

Manuscrit auteur, publié dans "DYNAMIS. Autour de la puissance chez Aristote, M. Crubellier, A. Jaulin, D. Lefebvre, P.-M. Morel {Ed.) (2008) 73-148" Les formules de la “puissance” (durayis, öcraodaı ) dans les mathématiques grecques et dans les dialogues de Platon” >de Bernard Vitrac, CNRS UMR 8567, Centre Louis Gernet SATTA ASS | 2e. À Introduction La 12m section du "dictionnaire" philosophique que constitue, pour nous, le Livre A de la Métaphysique d'Aristote est consacrée à la övraguıs, notion cardinale dans la doctrine du Stagirite en tant que « principe du mouvement et du changement qui est dans autre chose ou dans la même en tant qu'autre … »!. Incidemment, en 1019 b33-34, Aristote remarque «KaTa ueradopàv Bé n Ev yewpeTpia A€yeTat Öbvanıs », soit quelque chose comme « par transposition (ou « par extension de sens »?), on parle de puissance? en géométrie »*. A quoi le Stagirite fait-il allusion à propos de cet usage métaphorique ou homonymique® de la "puissance" par les géomètres ? Le lecteur français qui a recours à la fort utile traduction de J. hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 Tricot consultera sans doute la note explicative infrapaginale insérée à cet endroit : « (1) Par exemple, les carrés et les cubes. (ii) Cf, Alex., 394, 34-36 : Ta yap teTpdywva Buvdgers Kakoücıv' è yap Sivatar N mieupa, TOUTO divas, ékdoTn de Sbvatat TO at’ alts TETPAYWVOr, et (iii) Ascl., 325, 22-25, qui cite Euclide (X, 737) pour montrer que la ligne droite engendrant le rectangle est “Ce travail a été présenté au cours de la séance du 25 Mai 2002 du Séminaire « Puissance, Mouvement, Acte », organisé par M. Crubellier, A. Jaulin, D. Lefebvre et P.-M. Morel. Je remercie les participants de cette stimulante réunion. Je remercie également F. Acerbi, M. Caveing, A. Herreman, E. Mazet et N. Vinel qui ont accepté de lire une version préliminaire de ce texte et dont les remarques m'ont été très utiles, Pour les éditions et traductions de textes anciens fréquemment citées, j'utilise une série d'abréviations dont la liste se trouve dans la bibliographie en fin d'article, ainsi que les références complètes des ouvrages cités. en per dpxn kuoeus À petaBoatis à ev érépu à ù Etepor », 1019 a15-16. Aristote, Méraphysiques, Livre Delta. Texte, traduction et commentaire, M.-P. Duminil et A. Jaulin. Toulouse, Presses Universitaires du Mirail, 1991, p. 67, 2 C'est le choix de J. Tricot, dans Aristote, Lu Métaphysique. Paris. Vrin, 1974, pp. 287-288 et de W. D. Ross, dans The Complete Works of Aristotle. The revised Oxford Translation. Ed. by J. Barnes. 2 Vol. Princeton, Bollingen Series LXXI. 2, 19959, vol. II, p. 1610 (« extension of meaning »). 3 Traduction usuelle en français du terme "80vapus". L'un et l'autre partagent un sens faible de "capacité", “potentialité”, et un sens fort s'appliquant à celui qui possède beaucoup de pouvoir (qui culmine avec la Toutepuissance divine) ou à ce qui a beaucoup d'effets. De cette acception intensive dérive, dès l'Antiquité, la notion de force ou d'efficacité d'une machine (d'où « af mévre Suvdpeis », les cing puissances, pour désigner les cing machines simples), et, dans la physique actuelle, la notion de quantité de travail. Voir à ce sujet la notice « puissance » du Dictionnaire alphabétique et analogique de la langue française, dit aussi Grand Robert, Paris, Société du nouveau Littré— Le Robert, 1978, tome cinquième, pp. 543b-54Sa. Le mot grec a bien d'autres significations, notamment celle de "valeur" que l'on trouve aussi dans certains textes mathématiques anciens, par exemple dans la classification néo-pythagoricienne des nombres pairs en fonction de leurs parties, classification fondée sur l'opposition du "nom" (dvopa) et de la "puissance" (60vapis) = "valeur". V. par exemple Nic. Ar. Livre I, Ch. VII. 7, EX. 2, X. 5. 4 Traduction Duminil-Jaulin, op. cit., p. 73. 3 En Métaphysique, ©, 1, 1046 a6-9, Aristote dit qu'on parle de Suwdpers par homonymie (Ópwvbpws) ou selon quelque similitude (OporòTnTi Tur), que c'est le cas en géométrie et que de telles acceptions peuvent être écartées de la discussion qu'il mène à ce moment-là. 6 Note | page 288. l'y distingue trois assertions. 7 Le texte d'Asclépios dit : « kai i) durupern auTw dAbyus, KaAeiodu dè GTOTOLA », ce qui est censé être une citation de la Prop. X. 73. Mais dans le texte grec de ladite Prop. tel qu'il nous a été transmis, le terme "Suranern"n'y figure pas !

Manuscrit auteur, publié dans "DYNAMIS. Autour de la puissance chez Aristote, M. Crubellier, A. Jaulin, D. Lefèbvre, P.-M. Morel (Ed.) (2008) 73-148" Les formules de la “puissance” (duvnami", duvnasqai ) dans les mathématiques grecques et dans les dialogues de Platon* Bernard Vitrac, CNRS UMR 8567, Centre Louis Gernet Introduction hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 La 12ème section du "dictionnaire" philosophique que constitue, pour nous, le Livre ∆ de la Métaphysique d'Aristote est consacrée à la duvnami", notion cardinale dans la doctrine du Stagirite en tant que « principe du mouvement et du changement qui est dans autre chose ou dans la même en tant qu'autre … »1. Incidemment, en 1019 b33-34, Aristote remarque « kata; metafora;n de; hJ ejn gewmetriva/ levgetai duvnami" », soit quelque chose comme « par transposition (ou « par extension de sens »2), on parle de puissance3 en géométrie »4. A quoi le Stagirite fait-il allusion à propos de cet usage métaphorique ou homonymique5 de la "puissance" par les géomètres ? Le lecteur français qui a recours à la fort utile traduction de J. Tricot consultera sans doute la note explicative infrapaginale insérée à cet endroit6 : « (i) Par exemple, les carrés et les cubes. (ii) Cf. Alex., 394, 34-36 : ta; ga;r tetravgwna dunavmei" kalou`sin: o} ga;r duvnatai hJ pleurav, tou`to duvnami", eJkavsth de; duvnatai to; ajp j aujth`" tetravgwnon, et (iii) Ascl., 325, 22-25, qui cite Euclide (X, 737) pour montrer que la ligne droite engendrant le rectangle est * Ce travail a été présenté au cours de la séance du 25 Mai 2002 du Séminaire « Puissance, Mouvement, Acte », organisé par M. Crubellier, A. Jaulin, D. Lefebvre et P.-M. Morel. Je remercie les participants de cette stimulante réunion. Je remercie également F. Acerbi, M. Caveing, A. Herreman, E. Mazet et N. Vinel qui ont accepté de lire une version préliminaire de ce texte et dont les remarques m'ont été très utiles. Pour les éditions et traductions de textes anciens fréquemment citées, j'utilise une série d'abréviations dont la liste se trouve dans la bibliographie en fin d'article, ainsi que les références complètes des ouvrages cités. 1 « hJ me;n ajrchv kinhvsew" h] metabolh`" h] ej n eJtevr w/ h] h\/ e{teron », 1019 a15-16. Aristote, Métaphysiques, Livre Delta. Texte, traduction et commentaire, M.-P. Duminil et A. Jaulin. Toulouse, Presses Universitaires du Mirail, 1991, p. 67. 2 C'est le choix de J. Tricot, dans Aristote, La Métaphysique. Paris, Vrin, 1974, pp. 287-288 et de W. D. Ross, dans The Complete Works of Aristotle. The revised Oxford Translation. Ed. by J. Barnes. 2 Vol. Princeton, Bollingen Series LXXI. 2, 19956, vol. II, p. 1610 (« extension of meaning »). 3 Traduction usuelle en français du terme "duvnami"". L'un et l'autre partagent un sens faible de "capacité", "potentialité", et un sens fort s'appliquant à celui qui possède beaucoup de pouvoir (qui culmine avec la Toutepuissance divine) ou à ce qui a beaucoup d'effets. De cette acception intensive dérive, dès l'Antiquité, la notion de force ou d'efficacité d'une machine (d'où « aiJ pevnte dunavmei" », les cinq puissances, pour désigner les cinq machines simples), et, dans la physique actuelle, la notion de quantité de travail. Voir à ce sujet la notice « puissance » du Dictionnaire alphabétique et analogique de la langue française, dit aussi Grand Robert, Paris, Société du nouveau Littré—Le Robert, 1978, tome cinquième, pp. 543b-545a. Le mot grec a bien d'autres significations, notamment celle de "valeur" que l'on trouve aussi dans certains textes mathématiques anciens, par exemple dans la classification néo-pythagoricienne des nombres pairs en fonction de leurs parties, classification fondée sur l'opposition du "nom" (o[noma) et de la "puissance" (duvnami") = "valeur". V. par exemple Nic. Ar., Livre I, Ch. VIII. 7, IX. 2, X. 5. 4 Traduction Duminil-Jaulin, op. cit., p. 73. 5 En Métaphysique, Q, 1, 1046 a6-9, Aristote dit qu'on parle de dunavm ei" par homonymie (oJmwnuvm w") ou selon quelque similitude (oJmoiovthtiv tini), que c'est le cas en géométrie et que de telles acceptions peuvent être écartées de la discussion qu'il mène à ce moment-là. 6 Note 1 page 288. J'y distingue trois assertions. 7 Le texte d'Asclépios dit : « kai; hJ dunamevnh aujt w`/ ajl ovgw", kaleivsqw de; ajpotomhv », ce qui est censé être une citation de la Prop. X. 73. Mais dans le texte grec de ladite Prop. tel qu'il nous a été transmis, le terme "dunamevnh" n'y figure pas !

duvnami" au sens de poihtiko;n ai[tion … », qui ne dissipera probablement pas sa perplexité. (i) En quoi les carrés et les cubes constituent-ils des exemples de "puissance" ? N'y a-t-il pas là confusion avec la notion arithmétique ou algébrique de "puissance", en tant que « produit d'un nombre ou d'une autre quantité multipliée par elle-même un certain nombre de fois »8 ? Ces "puissances" successives, avant qu'on ne dispose d'écritures symboliques (x2, x3, …, xn), recevaient différents noms, et il est vrai que les deuxième et troisième puissances étaient (et sont encore) appelées "carrée" et "cube". Mais Aristote parle de géométrie, pas d'arithmétique, ni, bien entendu, d'algèbre9. (ii) D'ailleurs Alexandre dit seulement (juste avant la phrase citée par Tricot) que « les Anciens appelaient les carrés dunavmei" », et il n'existe pas, à ma connaissance, de texte mathématique grec ancien qui applique le terme "duvnami"" au cube. Cela dit, l'explication que donne le Commentateur, littéralement quelque chose comme : hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 « car ce que peut [produire] un côté, cela est "puissance" or chacun peut [produire] le carré décrit sur lui », ne paraîtra probablement pas si claire au lecteur moderne. (iii) Quant au Néoplatonicien Asclépius de Tralles (ou plutôt son maître Ammonius), il introduit certes une référence très importante — le Livre X des Éléments d'Euclide (ejn tw`/ dekavtw/ lovgw/ tw`n Eujkleivdou) —, mais son interprétation en termes de duvnami" ne correspond pas à la terminologie euclidienne. Mon propos n'est pas d'accabler l'infatigable traducteur français d'Aristote. Les explications que donne W. D. Ross ne sont guère plus éclairantes10 : il cite également Alexandre et Euclide, mais pour sa définition X, n°4, laquelle introduit la notion de dunamevnh et non pas celle de duvnami" (a priori ce n'est pas la même chose). Il ajoute quelques références platoniciennes qui ne font qu'embrouiller les choses. La confusion des commentateurs d'Aristote tient à ce que les dictionnaires, généraux ou spécialisés, proposent des notices suggérant des usages mathématiques assez peu cohérents des termes duvnami" (et duvnasqai)11. Ce faisant, ils ne font eux-mêmes que refléter les 8 Je reprends cette définition à la notice « puissance » de L'Encyclopédie Méthodique Mathématique, vol. III, Paris, 1789, rédigée par M. Dargenville. L'auteur n'hésite pas à citer Diophante à propos des noms des puissances successives de l'inconnue en algèbre. Il mentionne également la locution « commensurable en puissance » pour désigner des quantités incommensurables telles que les quarrés ou « une autre puissance » sont commensurables, ce qui, comme nous le verrons, ne correspond pas à l'usage grec de ladite locution. 9 Discipline développée par les mathématiciens médiévaux d'expression arabe (cf. [Vitrac, 2005]). Je désigne les travaux modernes par le nom de l'auteur suivi de la date de publication (originale en cas de réédition). 10 Voir Met., Ross, vol. I, p. 322. 11 Ainsi la rubrique « V. Math. » de l'entrée "duvnami"" du LSJ donne : … b. square number, Pl.Ti. 32a … 2. square root of a number which is not a perfect number, surd, opp. mh`ko", Pl.Tht 147d ». La notice consacrée à ce même terme dans [Mugler, 1958], vol. 1, pp. 148-150, commence en disant que ce nom exprime la mesure du carré construit sur un segment de droite par une aire choisie comme unité, donne quelques citations d'Euclide, d'Archimède, d'Apollonius, de Héron et de Pappus. Mais, dans sa rubrique « Avant Euclide », il traduit comme si dans le Théétète, 147d-148a (ainsi qu'en Polit., 266b; Timée, 54b), le terme duvnami" désignait les « segments racines carrées » (sic ), tout en affirmant que dans d'autres passages le sens est différent (Timée 32b : nombres carrés; Resp. 587d : élévation au carré).

flottements de la terminologie géométrique des anciens Grecs que les spécialistes croient percevoir chez Platon. Ainsi, dès 1876, Tannery écrivait12 : « … Dans le Théétète, [duvnami"] a le sens de racine incommensurable. Dans la République, livre IX …, il signifie au contraire carré; c'est la signification classique (Diophante)13. Voilà un exemple frappant de l'état flottant de la langue mathématique à l'époque de Platon ». D'autres ont ajouté que c'est à l'intérieur même du passage du Théétète qu'on observe un tel flottement sémantique. On peut donc craindre que notre hypothétique lecteur du Livre ∆ de la Métaphysique, cherchant à comprendre en quoi consiste l'usage métaphorique de la "puissance" chez les géomètres, ait bien du mal à se tirer d'embarras : les historiens des mathématiques grecques lui disent que duvnami", dans les classiques de la géométrie (post-aristotéliciens), signifie tout simplement "carré" — et on ne voit pas bien où réside la métaphore — tandis qu'avant le Stagirite, chez Platon, les usages mathématiques de ce terme n'étaient pas encore complètement fixés. Je propose donc de reprendre les deux aspects de la question, à savoir l'examen des usages mathématiques de duvnami" et duvnasqai dans le corpus des œuvres géométriques conservées et l'analyse des occurrences platoniciennes, notamment celles du Théétète qui jouent un rôle crucial dans ce dossier. Auparavant, pour expliquer pourquoi une question apparemment aussi spécialisée a suscité une littérature aussi abondante, tant de la part des philosophes que des historiens des sciences, je ferai un bref excursus sur le contexte historiographique dans lequel ces débats ont eu lieu. 1. Le contexte historiographique de la discussion du Théétète A la charnière des XIXe et XXe siècles, les éditions critiques des principaux textes mathématiques grecs conservés avaient été réalisées ou étaient en cours de réalisation. Les dernières grandes découvertes textuelles, du moins en grec, datent de la fin des années 1890 et concernent les Métriques de Héron et la célébrissime Méthode à Ératosthène d'Archimède. L'époque était donc propice à des interprétations renouvelées, ambitieuses et synthétiques, d'un ensemble textuel à peu près stabilisé. Les travaux de P. Tannery, J. L. Heiberg, H. Zeuthen, puis T. L. Heath, pour ne citer que quelques noms bien connus, ont durablement déterminé l'orientation de l'historiographie des mathématiques grecques anciennes. L'inventaire des sources primaires (textes mathématiques), conservées en grec ou en traductions (syriaque, arabe, latine, hébraïque, persane, arménienne …), fait apparaître plusieurs problèmes : 12 [Tannery, 1876], p. 33, note 2. 13 Comme nous le verrons infra, cette signification est tout sauf classique. L'importance accordée par Tannery à Diophante (IIIe s. de notre ère ?) tient sans doute à ce qu'il en était l'éditeur (voir Dioph. ) ! Observons également que le travail de Diophante relève de l'arithmétique, pas de la géométrie.

• Il n'existe aucun traité conservé antérieur à l'époque hellénistique. En ce qui concerne la géométrie grecque, les Éléments d'Euclide constituent l'ouvrage complet le plus ancien. • Par la suite, on peut mettre en évidence une très forte corrélation entre le fait qu'un traité soit conservé et que son auteur ait été en relation avec Alexandrie, voire même qu'il soit, pour l'époque romaine, alexandrin. • Les plus anciens textes conservés (ceux de l'époque hellénistique) font partie d'une tradition démonstrative assez homogène et enchaînent, d'une manière très austère et impersonnelle, principes (définitions, postulats …) et Propositions. Aucune considération méta discursive, heuristique, historique ou sociologique, n'y trouve sa place. De telles considérations ne peuvent apparaître que dans les préfaces quand elles existent. Lesdites préfaces sont donc extrêmement précieuses mais, cela va de soi, ne suffisent pas à reconstituer ne serait-ce que l'élaboration du traité préfacé ou, a fortiori, l'histoire des problèmes et des notions qu'il met en œuvre. Les historiens des mathématiques grecques se trouvent donc face à trois difficultés majeures (au moins) : l'inexistence de sources primaires pour les époques archaïque et classique, un doute quant à la représentativité de l'échantillon conservé pour les périodes suivantes, un déficit d'informations, en particulier en ce qui concerne les motivations des mathématiciens et les contextes dans lesquels ils travaillaient. Comme il est assuré que d'importants travaux mathématiques avaient été entrepris avant l'époque hellénistique, comme la tradition grecque des commentateurs anciens présentent les Éléments d'Euclide à la fois comme un nouveau point de départ et une sélection synthétique des connaissances antérieures en géométrie élémentaire et en théorie des nombres, reconstruire l'histoire pré euclidienne des mathématiques grecques est devenu un enjeu historiographique décisif. Depuis les années 1870, les historiens, dans leur très grande majorité, ont pour ce faire adopté une démarche combinant trois éléments principaux : 1) L'utilisation, pour les périodes les plus anciennes, de sources littéraires, notamment celles d'inspiration philosophique tels que les écrits de Platon et d'Aristote, et, surtout, les fragments rapportés aux Histoires composées par le péripatéticien Eudème de Rhodes avec toutes les incertitudes que comporte la détermination des fragments d'un auteur antique14. 2) Le recours aux commentateurs de l'Antiquité tardive (Pappus, Proclus, Eutocius) chez lesquels on trouve d'ailleurs lesdits fragments d'Eudème. 3) L'adoption d'un mode de lecture particulier des textes conservés — en particulier pour les Éléments d'Euclide —, que j'ai appelé "archéologique", car il s'agit de retrouver, au-delà de l'écran que constitue l'exposé axiomatico déductif de l'Alexandrin et, grâce aux particularités et aux supposées anomalies du traité, les contributions originales utilisées dans sa composition, leurs auteurs et leurs motivations. 14 Cela vaut tout particulièrement pour le célèbre fragment d'Eudème [Wehrli, 1969], N°133, sur lequel reposent toutes les histoires des mathématiques pré euclidiennes depuis Bretschneider, fragment transmis par Proclus (Pr., p. 64, l. 16—p. 68, l. 6) dans lequel, au demeurant, le nom d'Eudème n'apparaît même pas !

Ce modèle historiographique s'élabore dans les travaux des auteurs déjà cités auxquels on peut adjoindre C. A. Bretschneider (un pionnier) et G. J. Allman15. L'ouvrage de Tannery sur la géométrie grecque (1887) propose l'un des premiers, sinon le premier, schéma global d'interprétation archéologique des Éléments. Or, l'une des singularités du plan suivi par Euclide — ce qui ne veut pas dire qu'il s'agisse d'une "anomalie" — concerne sa manière d'introduire la théorie des proportions (Livre V) et l'exposé concernant l'irrationalité dans le monumental Livre X, lequel représente, à lui seul, un quart du traité. Dans l'interprétation de Tannery — acceptée par la plupart des spécialistes et qui culminera avec les célèbres Eudoxos-Studien d'O. Becker16 —, la mise en évidence de l'existence de grandeurs incommensurables, puis le développement d'une théorie des irrationnelles, la généralisation de la théorie des proportions qui en était la conséquence obligée, tout cela constitue le noyau central de l'histoire des mathématiques grecques dans sa période la plus ancienne. Tannery avança l'idée d'un « scandale logique », Hasse et Scholz parlèrent d'une « crise des fondements » dans les mathématiques grecques à la suite de la découverte de l'incommensurabilité, crise quelque peu paradoxale car, compte tenu de la chronologie, il ne pouvait s'agir, au mieux, que d'une crise fondatrice. Manifestement, le contexte mathématique contemporain — les débats autour des fondements de la récente théorie des ensembles — favorisait une telle grille d'interprétation, aujourd'hui très sérieusement remise en question17. Quoi qu'il en soit, le débat eut comme conséquence de mettre en avant un certain nombre de textes philosophiques puisqu'il se trouve qu'à plusieurs reprises, Platon et Aristote — même s'ils n'évoquent jamais le moindre "scandale" —, ont fait allusion à l'existence de grandeurs incommensurables. Dans ce registre, l'un des témoignages les plus important est celui qui se trouve au début du Théétète (147 d4—148 b8). Ainsi Heinrich Vogt, dans son très important mémoire de 1910, n'a pas hésité à présenter ce passage comme le texte fondamental pour la reconstruction de l'histoire de la théorie des irrationnelles18. Ce point de vue a été largement accepté et intégré dans le schéma proposé par Oskar Becker pour décrire le développement des mathématiques pré euclidiennes19. D'où de nombreux travaux sur les géomètres-personnages de Platon, Théodore de Cyrène et Théétète d'Athènes, l'étendue de leurs contributions respectives et leur lien mutuel, la nature des preuves évoquées mais non explicitement décrites par Platon, l'influence de ces travaux sur les Éléments. 15 Voir [Bretschneider, 1870] et [Allman, 1889]. 16 Voir [Becker, 1933a, 1933b, 1936a, 1936b]. 17 Voir [Freudenthal, 1966] et [Fowler, 1994]. 18 « Le passage mathématique du Théétète est l'acte de naissance de l'irrationnel dressé par un contemporain », [Vogt, 1909/1910], p. 131. 19 Voir [Becker, 1934], pp. 142-145.

Les irrationnelles interviennent en effet dans les Livres X et XIII du traité, ceux précisément que la tradition de l'Antiquité tardive20 rattachait aux travaux de Théétète ! Dès lors, le rapprochement — ou plutôt la confrontation — entre le passage du dialogue platonicien et l'ouvrage d'Euclide était inévitable. Entreprise dès l'Antiquité21, elle retrouva une nouvelle vigueur dans le contexte historiographique que je viens de décrire. L'enjeu historique et épistémologique était important, mais le débat fut d'autant plus nourri et incertain que l'on avait cru percevoir, dans le témoignage de Platon, le problème terminologique que j'ai évoqué en Introduction. Ainsi, aux discussions sur l'origine de la théorie des irrationnelles se sont superposées d'autres interrogations, concernant la détermination du concept mathématique de duvnami", l'histoire de la terminologie géométrique des Grecs, sa fixité relative à l'époque de Platon et donc la fiabilité (au moins sur ce plan) des témoignages que celui-ci nous transmettait. Mais d'abord, décrivons le corpus des textes géométriques conservés. 2. Le corpus mathématique : description de l'échantillon J'ai entrepris un examen des formules comprenant les termes duvnami" et duvnasqai (en particulier la forme nominale « hJ dunamevnh » chère à Euclide) dans l'acception propre aux géomètres grecs22 en explorant systématiquement le corpus mathématique suivant : les Eléments et les Data d'Euclide, les corpus géométriques d'Archimède et de Héron, les Livres I à IV des Coniques d'Apollonius, le Livre d'Hypsiclès devenu Livre XIV des Éléments, les Sphériques de Théodose, l'Expositio rerum mathematicarum de Théon de Smyrne, la portion géométrique de l'Almageste de Ptolémée et son commentaire par Théon d'Alexandrie, les Arithmétiques de Diophante, les deux traités de Sérénus, la Collection mathématique de Pappus, les commentaires d'Eutocius aux Coniques d'Apollonius, à la Sphère et cylindre et à la Mesure du cercle d'Archimède, autrement dit la plupart des traités mathématiques — au sens technique du terme —, rédigés entre le IIIe siècle avant notre ère et le VIe siècle qui nous sont parvenus en grec. L'échantillon obtenu n'est pas bien grand, environ un millier d'occurrences dans les textes mathématiques, mais il n'est pas non plus minuscule (on repère une douzaine d'occurrences chez Platon). Le fait d'avoir pris en considération à peu près la totalité du corpus mathématique conservé en grec ne doit pas faire illusion. Il y a de grandes inégalités entre traités. Les Coniques d'Apollonius ou le livre d'Hypsiclès sont des monographies qui ont assez peu d'occasions d'utiliser le concept de "puissance". La plupart des occurrences dans les Coniques 20 Pour le L. XIII, voir scholie n°1 (EHS, V, 2, p. 291, l. 1-9). Pour le L. X, voir Papp. in X. et scholie N°X, 62, qui en dérive (EHS, V, 2, p. 113, l. 23-25). 21 Elle est explicite dans le premier Livre du Commentaire au Livre X des Éléments attribué à Pappus (Papp. in X, §§ 10-13; cf. à ce sujet Eucl., Él., vol. 3, pp. 418-419). 22 J'exclus évidemment les occurrences du verbe dans lesquelles il a le sens simple de « il est possible … » (duvnatai) ou les autres usages mathématiques de duvnami", comme ceux signalés supra à la note 3*.

se rattache à la notion de "paramètre" dans le libellé de laquelle le verbe "duvnasqai" apparaît, [cf. Annexe23, formule 1. (ii')]. Quant à l'écrit d'Hypsiclès, il nous est parvenu sous une forme altérée, en particulier à la fin du livre. On y trouve une double série de récapitulations24 très probablement inauthentiques qui contiennent à elles seules 10 des 16 occurrences du terme "dunamevnh" que contient ce court traité. A l'inverse, on dit souvent que, dans les Eléments, les termes duvnami", duvnasqai, sont utilisés seulement dans les Livres X et XIII, avec l'idée que cela n'en représente que 2 sur 1325. Mais il ne faut pas perdre de vue qu'à eux seuls lesdits Livres représentent près du tiers de l'ouvrage et, de fait, presque les deux tiers de notre échantillon proviennent des Eléments La taille et la représentativité de celui-ci — et donc la pertinence de ce genre d'analyse "quantitative" — ne doivent donc pas être majorée. Je décris des formules utilisant les termes duvnami" et duvnasqai là où certains de mes prédécesseurs parlaient de « concept de puissance », parce que la langue géométrique des Grecs, ainsi que G. Aujac l'a bien montré26, est — comme celle de l'épopée — formulaire. Nous ne savons pas vraiment comment les géomètres grecs concevaient les choses, nous savons seulement (en partie) comment ils s'exprimaient dans leurs publications. Les choses étaient peut-être (sans doute) différentes dans les brouillons, les discussions informelles ou les correspondances privées entre mathématiciens, mais nous n'en savons à peu près rien. Nous n'avons accès qu'à quelques textes qui, bien que rédigés dans la langue naturelle, ont une expression très formalisée. Ce caractère formulaire permet des regroupements en fonction de différentes rubriques, étant entendu qu'il y a de nombreuses variantes grammaticales liées au genre et au nombre des objets dont il est question ou aux inversions syntaxiques, particulièrement fréquentes dans les textes mathématiques anciens. Plutôt que d'essayer d'en réduire le nombre à l'aide de notations symboliques modernes, j'ai préféré mettre l'accent sur la diversité des emplois en partant de distinctions mises en œuvre dans les textes mathématiques anciens et que certains auteurs, notamment les philosophes, explicitent en tant que telles : celle du nombre et de la grandeur, celle entre "objets" et "relations", entre ce qui est déterminé et ce qui ne l'est pas27 … La description d'un échantillon présuppose la constitution de classes (ici de formules) à partir de critères. Il ne s'agit pas d'un "fait" mais d'une construction que l'on pourra toujours contester. Il n'est d'ailleurs pas rare d'observer des incertitudes quant à l'identification de la classe à laquelle appartient tel ou tel individu. J'ai procédé de manière assez empirique, en me 23 Le lecteur trouvera l'inventaire des différentes formules comportant les termes (duvnami", duv nasqai ) utilisées par les géomètres grecs dans l'Appendice, en fin d'article. 24 EHS, V, 1, p. 20, l. 11—p. 22, l. 7. 25 [Mugler, 1958], dit même que duvnami" et duv nasqai, sont utilisés seulement dans le L. X (p. 150); il croit pouvoir y déceler l'influence de Théétète sur la théorie euclidienne de l'irrationalité. Celle-ci ne fait aucun doute, mais l'argument est faux. 26 Voir [Aujac, 1984]. 27 Comme les deux distinctions précédentes, la différence entre relations quantitatives déterminées et indéterminées (wJrismevna / ajovrista) est déjà soulignée par Aristote (Met., ∆, 15, 1020 b26—1021 a7).

laissant guider par les caractéristiques grammaticales des formulations et par certains critères logico-mathématiques : niveau de discours, nombre ou nature des objets mis en cause, homogénéité ou non des termes qui interviennent, spécification totale ou partielle des relations … Bien entendu certaines difficultés subsistent et il y avait certainement d'autres manières de faire. D'autres problèmes proviennent du fait qu'il s'agit d'écrits anciens, écrits techniques dont la transmission ne s'est pas toujours faite dans le strict respect de la littéralité des textes. Nous en avons vu un exemple avec le livre d'Hypsiclès. Il est donc possible de s'interroger sur l'authenticité de certains passages qu'il serait tentant d'écarter, ou de corriger, pour renforcer la cohérence des usages. Mais on risque alors de succomber à un cercle vicieux s'il n'y a pas d'autres arguments que la cohérence supposée des usages mathématiques pour trancher ces questions. A cet égard, puisque nous sommes partis d'Aristote, un exemple particulièrement significatif est celui du témoignage sur la quadrature des lunules par Hippocrate de Chio (Ve sa), transmis par Simplicius (VIe s) d'après les Histoires géométriques du péripatéticien Eudème de Rhodes (IVe sa). Même si nous ignorons le degré de fidélité d'Eudème par rapport à l'expression d'Hippocrate, même si le texte est remanié par Simplicius — celui-ci le dit explicitement —, reste que cet important témoignage atteste probablement d'usages pré euclidiens des termes duvnami" et duvnasqai. Il aurait peut-être fallu l'intégrer à notre échantillon, mais son utilisation, dans une enquête terminologique, s'avère suffisamment délicate pour que nous lui consacrions une étude séparée (voir infra, 8*). Dans le corpus considéré avant toute considération d'authenticité, les termes "duvnami"" et "duvnasqai", apparaissent environ un millier de fois, très grossièrement sur un pied d'égalité (respectivement 461 et 535 occurrences). On peut résumer ces données numériques sous forme de tableau (infra). J'ai cru bon d'introduire deux distinctions : • entre le nominatif "duvnami"" et le datif "dunavmei". Constatons que les occurrences du premier, employé pour désigner un objet mathématique, sont rares chez les mathématiciens : 23 occurrences, toutes tardives, dont 18 dans les seules Arithmétiques de Diophante28. Dans tous les autres cas (438), nos auteurs utilisent le datif "dunavmei", d'une manière quasi adverbiale pour qualifier des relations (registre 2) : « être plus grand que … » , « être plus (moins) que le double de … », « être dans un rapport numérique spécifié avec … », « être commensurables (incommensurables) avec … » … ou des proportions [3a-b] et inégalités de rapports [un seul exemple, 3c. (i)]. • j'ai fait un sort particulier au participe substantivé de "duvnasqai" (hJ dunamevnh, 196 occurrences), utilisé, pour l'essentiel, par trois auteurs : Euclide, Hypsiclès et Pappus. 28 Qui plus est, l'usage diophantien de “duvnami"” est très particulier; v. infra, 7*.

Corpus mathématique duvnami" dunavmei duvnasqai dunamevnh Total Nombre de formules Eucl., Éléments, L. X — 292 158 132 582 8 Eucl., Él. L. XIII — 32 16 1 49 9 Eucl., Éléments, Total — 324 174 133 631 13 Eucl., Data — — 4 — 4 2 Corpus archimédien — 25 35 2 62 12 Apoll., Coniques I-IV — 2 34 2 38 5 Hypsiclès, L. XIV — 3 1 16 20 4 Héron, Métriques — 12 1 — 13 3 Héron, Definitiones — 6 — — 6 3 Corpus "héronien" (Geom., Stereom.) 1 2 2 — 5 2 TheonSm., Expositio — 4 1 — 5 3 Ptolémée, Almageste — 2 1 — 3 2 Diophante, Arithmét. 18 — — — 18 — Sérénus, Sect.Cyl. — — 7 — 7 1 Pappus, Collection 1 47 54 42 144 18 TheoAlex, In Almag. — 3 3 — 6 4 Eutocius, In Apoll. C. & In Arch SC, DC 3 8 22 1 34 8 Total 23 438 339 461 196 535 38 996 Dans la dernière colonne j'ai fait apparaître le nombre des formules-types inventoriées, utilisées par un auteur. Si on le rapporte à la taille des textes, on voit que les formules, bien que globalement moins nombreuses, sont plus variées chez Archimède — mais aussi, à l'autre extrémité chronologique de l'échantillon, chez Pappus et Eutocius — que chez Euclide. Ces nombres ne doivent pas dissimuler certaines disparités : 10 formules n'apparaissent qu'une fois (dont 5 chez Pappus) tandis que celles dont il y a plus de 50 occurrences — elles sont six [1. (i), 1. (ii), 2c. (v), 2d. (ii-iii), 2e. (i)] — représentent, au total, 792 occurrences, soit près de 80 % de l'échantillon. Certains des hapax, notamment chez Pappus, suggèrent que notre corpus ne représente qu'une partie des travaux mathématiques dans lesquels intervenait le langage de la puissance; d'autres relèvent sans doute de la problématique de l'(in)authenticité29. A l'inverse, les six formules "fréquentes" apparaissent dans les Éléments, traité dans lequel l'emploi des termes (duvnami", duvnasqai) est plutôt standardisé. Première constatation, toutes les occurrences y apparaissent en connexion avec la thématique de l'irrationalité, elle- 29 Par exemple 2b. (i'), 2c. (ii).

même introduite dans les Définitions liminaires du Livre X. C'est par là qu'il nous faut commencer. 3. La théorie euclidienne de l'irrationalité Reproduisons lesdites définitions30. Deux des quatre formes distinguées dans le tableau ci-dessus s'y retrouvent : • "dunavmei" pour qualifier les relations binaires de commensurabilité et d'incommensurabilité entre droites (Df. 2-3). Euclide, dans l'ensemble de son traité, ne se sert jamais du substantif "hJ duvnami"" pour désigner un objet mathématique, quel qu'il soit. • le participe substantivé "hJ dunamevnh", mobilisé ici (Df. 4) pour dénommer des droites, associées d'une manière très particulière à des aires rectilignes. D'autres formes conjuguées du verbe "duvnasqai" apparaîtront dans les Propositions des Livres X et XIII31. hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 1. Sont dites grandeurs commensurables (suvmmetra megevqh ) celles qui sont mesurées par la même mesure, et incommensurables (ajsuvmmetra), celles dont aucune commune mesure ne peut être produite. 2. Des droites sont commensurables en puissance (dunavmei suvmmetroiv eijsin) quand les carrés (tetravgwna) [décrits] sur elles sont mesurés par la même aire, et incommensurables [en puissance] quand aucune aire, commune mesure aux carrés [décrits] sur elles, ne peut être produite. 3. Cela étant supposé il est démontré que par rapport à une droite proposée, il existe des droites, infinies en multitude, commensurables ou incommensurables avec elle, les unes en longueur seulement, les autres aussi en puissance (aiJ me;n mhvkei movnon, aiJ de; kai; dunavmei). D'une part donc que la droite proposée soit appelée (kaleivsqw) exprimable (rJhthv) , et celles [qui sont] commensurables avec elle, soit en longueur et en puissance, soit en puissance seulement, exprimables; d'autre part que celles [qui sont] incommensurables avec elle soient appelées (kaleivsqwsan) irrationnelles (a[logoi). 4. Et que d'une part soit appelé (kaleivsqw) exprimable le carré [décrit] sur la droite proposée et exprimables les [aires] commensurables avec celui-ci, irrationnelles d'autre part celles qui sont incommensurables avec celui-ci et irrationnelles les [droites] pouvant les produire (aiJ dunavm enai aujtav) : s'il s'agit de carrés (tetravgwna), les côtés (pleuraiv) eux-mêmes, s'il s'agit de certaines autres [figures] rectilignes (eujq uvgramma), celles qui décrivent (ajnagravfousai) des carrés [qui] leur [sont] égaux. Clairement il faut distinguer deux registres, celui de la comparabilité mutuelle quant à la mesure (commensurabilité, incommensurabilité) — introduit dans les Définitions 1-2 et couronné par l'affirmation existentielle de la première partie de la Définition 3 —, et celui de l'expression par rapport à un élément de référence préalablement fixé (exprimabilité, irrationalité). Ce second registre est fondé sur le premier, quand un des deux éléments comparés est considéré comme "étalon de mesure". Il ne constitue donc, à certains égards, qu'une série de conventions linguistiques (Cf. les occurrences de kalevw soulignées dans les Définitions 3-4). La comparabilité quant à la mesure est une question plus générale : elle concerne les grandeurs géométriques sans plus de précision (ce qui, chez les Grecs, veut dire : les lignes, 30 Selon la numérotation de l'édition de Heiberg. Voir EHS, III, p. 1, l. 2—p. 2, l. 4. Les termes définis (il y en a au moins six) sont mis en italiques. Sur certaines variantes dans les manuscrits et à propos des choix de traductions, voir Eucl. Él., vol. 3, pp. 25-42. 31 Voir l'exemple de la Proposition X. 23 donné un peu plus bas ou l'Appendice, notamment les formules [1. (ii), 2a. (i), 2c. (v-v'), 2e. (ii-ii')].

les surfaces, les volumes et les angles), à condition, cela va de soi, que l'on compare des grandeurs de même espèce. Tandis que les problèmes d'exprimabilité ne seront envisagés, du moins chez Euclide, que pour des droites et des aires rectilignes (donc quarrables d'après la Proposition II. 14). Le fondement de ces deux registres réside dans l'opération, abstraite et fondamentale, de "mesure". Les Définitions V. 1-2 et VII. 3, 5 montrent qu'il s'agit de « mesure exacte », i.e. quand l'une des deux grandeurs ou l'un des deux nombres — l'opération s'applique aux deux genres de la quantité mathématique — est une partie (aliquote) de l'autre (qui en est donc un multiple). Quand il existe une commune mesure à deux grandeurs, leur rapport (leur relation mutuelle quant à la taille, cf. Df. V. 3) s'exprime donc à l'aide de nombres entiers ou, pour le dire comme Euclide dans sa Proposition X. 5, leur rapport sera celui d'un nombre à un nombre. Pour donner un exemple archimédien célèbre, le volume du cylindre circonscrit à une sphère est, relativement au volume de ladite sphère, dans le rapport de 3 à 2. On voit que, là où les Anciens parlaient de rapports entre grandeurs géométriques commensurables, les Modernes privilégient une formulation numérique introduisant les nombres dits rationnels, dans l'exemple archimédien la fraction 3/2. De même, un rapport entre grandeurs incommensurables comme le côté et la diagonale d'un carré, correspond, d'une certaine manière, à ce que les Modernes appellent un nombre irrationnel, en l'occurrence √2. Mais la théorie euclidienne de l'exprimabilité et de l'irrationalité ne correspond pas vraiment à ces distinctions puisque si l'on choisit le côté du carré comme élément de référence, la diagonale sera exprimable : en effet le carré décrit sur elle est double du carré décrit sur le côté et donc commensurable avec lui ! La Définition 4 présuppose l'idée qu'une droite « peut [produire] » une aire (aiJ dunavmenai aujtav) et même — cas particulier — qu'elle [puisse] décrire (ajnagravfein) un carré. Dans la suite du traité, on trouve deux formules mathématiquement équivalentes. Ainsi, à la fin de la Proposition X. 23, Euclide affirme successivement : « Donc la [droite] pouvant [produire] le [rectangle contenu] par CD, DF (hJ a[ra to; uJp o; tw`n GD, DZ dunamevnh) est une médiale; et B peut [produire] le [rectangle contenu] par CD, DF (duvnatai to; uJpo; tw`n GD, DZ hJ B); donc B est une médiale » 32. On dira donc tout aussi bien que « la droite AB peut [produire] (duvnatai) l'aire X » ou que « la droite pouvant [produire] (hJ dunamevnh) l'aire X est la [droite] AB ». Pour bien comprendre de quoi il s'agit, il faut ici rappeler quelques évidences (parfois perdues de vue) concernant la géométrie grecque ancienne : — La droite (eujqei`a) est une espèce de la ligne (grammhv), laquelle est elle-même une espèce de la grandeur géométrique (mevgeqo"), celle qui n'a qu'une extension, la longueur (mh`ko"). Une droite spécifiée, hJ AB, a donc une position et une grandeur, sa longueur. — Le carré (tetravgwnon) décrit sur AB, to; ajJpo; th`" AB, est une figure (sch`ma), dotée d'une position — être ici ou là —, d'une forme (particulièrement éminente, puisqu'il s'agit 32 Voir EHS, III, p. 37, l. 17-19.

d'une figure régulière) et d'une grandeur : son aire (cwrivon, ejmbadov"). En tant que grandeur, l'aire du carré possède deux extensions : la longueur (mh`ko") et la largeur (plavto"), caractéristique de la surface (ejpifavneia). Le carré appartient à l'espèce des surfaces planes (ejpivpedo"). La droite AB, sur laquelle est décrit le carré, est appelée son "côté" (pleurav). Dans les Éléments (et dans les autres écrits géométriques), les termes "dunavmei" et "duvnasqai", contrairement à "carré", se rattachent à la seule problématique de la "grandeur", à l'exclusion de la forme et de la position. Ainsi, dans la définition X. 2, des droites AB et CD seront dites commensurables en puissance s'il existe deux aires commensurables égales respectivement aux carrés décrits sur AB et CD, ce que l'on montre soit sur les carrés euxmêmes, soit — et c'est le cas le plus fréquent — sur des aires qui leur sont égales, par exemple des rectangles équivalents en aire, appliqués sur une même droite (ce qui a l'avantage de ramener le rapport desdites aires au rapport de leurs largeurs). Sans ces présuppositions de substitution, la Définition perdrait tout caractère opératoire. Aucun texte géométrique ne dit que le carré décrit sur AB est la puissance de la droite AB ou que la droite AB est le côté de sa puissance. En revanche l'aire du carré décrit sur (par) AB est l'aire que peut [produire] la droite AB. La droite a une capacité à produire une grandeur d'une espèce autre que la sienne, en l'occurrence une aire ou une somme d'aires33. Elle est désignée grâce au terme "dunamevnh", utilisé et même explicité dans la Définition X. 434 quoique l'objet (au moins apparent) de cette dernière soit d'introduire des conventions linguistiques concernant les aires appelées "exprimables" et "irrationnelles". Mais il est bien précisé que la "dunamevnh" d'une aire irrationnelle sera dite elle aussi "irrationnelle". Cette convention interviendra dans la désignation même de deux des treize espèces de droites irrationnelles classifiées par Euclide : « la [droite] pouvant [produire une aire composée] d'une exprimable et d'une médiale (rJhto;n kai; mevson dunamevnh) » et « la [droite] pouvant [produire une aire composée de] deux médiales (duvo mevsa dunamevnh) », introduites respectivement dans les Propositions X. 40-41. 33 Contrairement à ce qu'affirme Szabó, cette assertion n'a rien d'absurde ni d'incompréhensible. Il s'agit d'une "personnification" comparable à celle que l'on introduit quand, à propos d'une expression ou d'un mot, on se demande « qu'est-ce que cela veut dire ? ». Le français introduit la "volonté" ou l'"intention", là où le grec envisagera la duvnami" (!) du discours (voir par exemple Platon, Cratyle, 408 a2). Ce genre de "personnification" relève de la métaphore, ce que les mathématiciens (et Aristote ! Cf. supra, le témoignage de Met. ∆ ) connaissent bien. 34 « … s'il s'agit de carrés, les côtés eux-mêmes, s'il s'agit de certaines autres [figures] rectilignes, celles qui décrivent des carrés [qui] leur [sont] égaux ». L'explicitation implique peut-être qu'il s'agit d'un usage nouveau ou du moins encore peu connu.

L'auteur des Éléments considère deux segments de droites contigus AB, BC et le carré décrit sur leur "somme" AC. D'après II. 4, celui se décompose en deux carrés, décrits sur AB, BC et deux rectangles dont on dit, par convention, qu'ils sont contenues par AB, BC35. Dans le Livre X, la somme des deux carrés est appelée « l'aire composée des carrés [décrits] sur elles », le rectangle, l'aire contenue par elles. Dans X. 40, la première aire est exprimable, la seconde médiale; dans X. 41, elles sont toutes deux médiales (mais mutuellement incommensurables). Leur somme constitue le carré décrit sur AC et est irrationnelle. La droite AC, qui A B C est donc bien la dunamevnh de la somme de ces deux aires, est aussi irrationnelle d'après la Df. X. 4. On peut dire que AC est une irrationnelle engendrée par composition (AC = AB+BC), mais dans les Propositions X. 77-78, Euclide procède par retranchement (AB = AC - BC). Il considère donc le carré sur AB comme la différence entre l'aire composée des carrés [décrits] sur AC, CB et deux fois l'aire contenue par elles (Cf. II. 7). Il fait les mêmes hypothèses concernant la nature desdites aires et en déduit deux nouvelles irrationnelles, engendrées par retranchement (telle AB), qu'il appelle selon les cas : • la [droite] produisant, par adjonction d'une [aire] exprimable, un tout médial (X. 77), • la [droite] produisant, par adjonction d'une [aire] médiale, un tout médial (X. 78). Les noms choisis [hJ meta; rJhtou` (resp. mevs ou) mevson to; o[lon poiou`sa] montrent, eux aussi, qu'une droite a une certaine « capacité à produire » (poiei`n) une aire, et même une aire d'une certaine nature36. Étant données deux droites, AB et CD, un certain nombre de questions en termes de comparaison mutuelle s'impose : sont-elles égales ou non ? Peut-on préciser l'excès de la plus grande sur la plus petite ? Dire si elles sont commensurables ou non et, si oui, déterminer numériquement leur rapport mutuel … Il s'agit de comparaisons immédiates des droites en tant que telles, c'est-à-dire en tant que longueurs déterminées. La prise en compte de leur "puissance" ou « capacité à produire une aire » permettra de résoudre le même genre de questions, mais cette fois d'une manière médiate, grâce aux aires qu'elles peuvent produire. Que cela soit mathématiquement pertinent est justifié par le fait que si le rapport de deux droites AB : CD est connu, par exemple celui de 4 à 3, celui de leurs carrés est également connu — dans l'exemple ce sera celui de 16 à 9 —, mais, inversement, si le rapport des carrés est numériquement déterminé, par exemple si l'un est le double de l'autre, celui des côtés ne l'est pas nécessairement de manière immédiate en tant que rapport de deux nombres entiers. C'est le phénomène de l'irrationalité quadratique, comme dans l'exemple évoqué du côté et de la diagonale d'un même carré. Cette impossibilité sera contournée par la médiation de la puissance : la diagonale d'un carré est dite double, en puissance, du côté de ce carré. On voit que la Définition X. 2 autorise à dire que des droites sont commensurables de deux manières, soit "immédiatement", c'est-à-dire quant à la longueur (mhvkei), soit "médiatement", en puissance (dunavmei). Et donc, une droite de référence étant fixée, seront dites exprimables des droites qui sont commensurables avec elle, d'une manière ou d'une autre, soit en longueur (et, a fortiori, en puissance), soit en puissance seulement (dunavmei movnon). Ce qui, d'un point de vue moderne rétrospectif (et anachronique), correspondrait à un nombre irrationnel quadratique (√n) est donc exprimable selon la terminologie euclidienne. Cette théorie très 35 Cf. Eucl., Él., Df. II. 1. En réalité lesdits rectangles sont contenus par des droites égales aux droites AB, BC. 36 Bien entendu AB n'est pas appelée "dunamevnh" car elle ne peut produire aucune des deux aires qualifiées [AC2 + CB2, Rectangle (AC, CB)] de médiale ou d'exprimable.

particulière de l'exprimabilité semble propre à Euclide. Ni Platon, ni Aristote ne l'évoquent. Ses successeurs de l'Antiquité romaine et tardive, puis du Moyen-Âge la critiqueront et l'abandonneront. Elle se justifie par l'usage qu'Euclide en fait, dans son Livre XIII, pour la comparaison des arêtes des polyèdres réguliers où ses Définitions un peu paradoxales s'avèrent efficaces37. 4. Les formules euclidiennes de la puissance hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 Remarquons, pour commencer, qu'aucune des treize formules utilisées dans les Éléments — la même chose pourrait être dite des 38 que l'on trouve dans l'ensemble du corpus géométrique — n'était inévitable. Chaque situation mathématique concernée pouvait en effet être décrite d'au moins deux manières différentes, avec la "même" signification mathématique, mais selon une formulation qui impliquait une nuance spécifique. Donnons quelques exemples. 1. Les Éléments énoncent le célèbre théorème de l'hypoténuse (I. 47) de la manière suivante : I. 47 : Dans les triangles rectangles, le carré sur le côté sous-tendant l'angle droit est égal aux carrés sur les côtés contenant l'angle droit, autrement dit en termes de carrés décrits sur des droites. La démonstration proposée implique la construction effective des figures en cause. Pourtant, la tradition38 connaissait une formulation en termes de "puissance" pour cette même Proposition : « … dans les triangles rectangles, le côté sous-tendant l'angle droit peut [produire] autant que ceux qui contiennent l'angle droit, pris ensemble (i[son duvnatai tai`" th;n ojrqh;n periecouvsai" ajm fotevrai") » 39. On comprend donc que nombre de ces égalités et autres relations « en puissance » pouvaient bien être formulées autrement, à l'aide de carrés décrits sur les segments de droites. Par exemple, au lieu de dire : XIII. 1 : Si une ligne droite est coupée en extrême et moyenne raison, le plus grand segment augmenté de la moitié de la [droite] entière peut [produire] (pentaplasion duvnatai) le quintuple du carré sur sa moitié. ou XIII. 10 : Si un pentagone équilatéral est inscrit dans un cercle, le côté du pentagone est, en puissance, égal (duvnatai) à celui de l'hexagone et à celui du décagone, ceux inscrits dans le même cercle. Euclide aurait pu énoncer : 37 Voir Eucl. Él., Vol. 3, pp. 43-86. 38 Et probablement Euclide lui-même. Il suffit de regarder comment il formule sa Prop. Data, 64 (EHM, VI, p. 116, l. 15-19) : « Si un triangle a un angle obtus donné, ce par quoi le côté sous-tendant l'angle aigu peut [produire] plus que les côtés contenant l'angle obtus, cette aire-là aura un rapport donné relativement au triangle ». L'aire en question est déterminée grâce à II. 12 (c'est deux fois le rectangle contenu par celui des côtés de l'angle obtus sur lequel tombe la perpendiculaire et par la droite découpée à l'extérieur par la perpendiculaire au-delà de l'angle obtus), elle-même libellée comme I. 47 en termes de carrés décrits sur des droites et de rectangles contenus par des droites. Cf. Annexe, formule [2c (v")]. 39 Simpl. in Phys., p. 62, l. 1-4. Cf. Annexe, formule [2a (iii)]. Simplicius précise d'ailleurs sans sourciller : « … comme cela a été démontré dans l'avant-dernier théorème du premier Livre des Eléments d'Euclide » ! Ou bien Simplicius ne s'attache guère à la littéralité des sources qu'il utilise, ou bien son exemplaire des Éléments différait sensiblement du texte édité par Heiberg.

XIII. 1 : Si une ligne droite est coupée en extrême et moyenne raison, le carré sur le plus grand segment augmenté de la moitié de la [droite] entière est quintuple du carré sur sa moitié40. XIII. 10 : Si un pentagone équilatéral est inscrit dans un cercle, le carré sur le côté du pentagone est égal à ceux sur le côté de l'hexagone et sur celui du décagone, ceux inscrits dans le même cercle. hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 2. De même dire que la droite AB peut [produire une aire] (i[son duvnatai) égale au rectangle contenu par les droites (CD, EF) équivaut, comme ci-dessus, à l'égalité de deux aires : le carré décrit sur AB, le rectangle contenu par CD, EF, mais aussi, d'après la Proposition VI. 17, au fait que AB est une moyenne proportionnelle entre CD et EF. Telle est la terminologie choisie par Euclide dans ses Propositions VI. 13 (préparée par le Porisme = corollaire à VI. 8) et VI. 17, la formulation de cette dernière (cas d'une proportion continue en trois termes) étant calquée sur celle de VI. 16 (proportion discontinue en quatre termes)41. L'accent est mis, non pas sur l'équivalence d'aires, mais sur la proportionnalité qui dit la "même" chose et sur l'insertion ou l'adjonction de droites proportionnelles. 3. Dans ses Propositions VI. 19-20 Euclide établit que les figures semblables (et semblablement décrites) sont dites « dans le rapport doublé [du rapport] des côtés homologues »42. Deux corollaires font implicitement le lien avec la notion de droite troisième ou moyenne proportionnelle43 que nous venons d'évoquer. Dans les Livres XI-XII des résultats analogues sont énoncés pour les figures solides semblables, cette fois en termes de « rapport triplé [du rapport] des côtés homologues » (XI. 33 : parallélépipèdes; XII. 8 : 40 Dans une notice d'Eucl., Él., vol. 4, pp. 390-400, j'avais comparé les traditions grecque et arabo-latine des Propositions XIII. 1-5 et conclu que leurs textes avaient été passablement remaniés, probablement à plusieurs reprises, en particulier à l'initiative de Héron. J'accepte toujours cette conclusion. J'avais aussi suggéré (p. 398) que les formules en termes de puissance — absentes des énoncés dans les traductions arabo-latines — pourraient être le résultat d'un perfectionnement postérieur, ce qui ne serait pas sans conséquence pour l'analyse quantitative menée ici. Cette hypothèse me paraît désormais risquée : la Prop. XIII. 1 est effectivement énoncée en termes de "carrés" dans les traductions arabo-latines, mais elle est citée en termes de "puissance" au cours de la preuve de XIII. 11 ! (voir par exemple Eucl., GC, XIII. 12, p. 401, l. 13-14 ou Eucl., Ad. I, p. 364, l. 276-277), ce dont je n'avais pas tenu compte. Cela confirme bien les remaniements du texte, mais il devient difficile de se prononcer sur l'authenticité des formules en termes de puissance. La citation de XIII. 2 par Pappus suggère que lesdites formules figuraient déjà dans sa version des Éléments. Depuis j'ai travaillé sur le Livre XIV, une monographie d'Hypsiclès d'Alexandrie (IIe s.a) consacrée à la comparaison du dodécaèdre et de l'icosaèdre inscrits dans une même sphère, ajouté aux Éléments, probablement au cours de l'Antiquité tardive. Pour le Lemme XIV. 1/2 (EHS, V, 1, p. 4, l. 18-21) on observe le "même" phénomène : l'énoncé grec est formulé en termes de "puissance (dunavmei pentaplasiva) tandis que les versions arabo-latines le sont en termes de "carrés". Mais c'est aussi le cas de certains manuscrits grecs (notamment la famille PBVv, voir l'apparat ritique de Heiberg in loco), ce qui suggère qu'il a probablement existé deux familles textuelles grecques présentant la même divergence dans le Livre XIII. 41 VI. 8 Por. « A partir de ceci, il est évident que si dans un triangle rectangle, une perpendiculaire est menée à partir de l'angle droit sur la base, la [droite] menée est moyenne proportionnelle des segments de la base »; 13 : « De deux droites données, trouver [la] moyenne proportionnelle »; 16 : « Si quatre droites sont en proportion, le rectangle contenu par les extrêmes est égal au rectangle contenu par les moyennes; et si le rectangle contenu par les extrêmes est égal au rectangle contenu par les moyennes, les quatre droites seront en proportion »; 17 : « Si trois droites sont en proportion, le rectangle contenu par les extrêmes est égal au carré sur la moyenne; et si le rectangle contenu par les extrêmes est égal au carré sur la moyenne, les trois droites seront en proportion ». 42 Pour les triangles dans VI. 19, les polygones dans VI. 20. Un premier Porisme, inséré à la suite de VI. 20, souligne la validité générale du résultat. 43 Selon que l'on se donne un rapport de droites et que l'on cherche celui des figures semblables décrites sur elles ou, à l'inverse, étant donné un rapport de figures semblables, qu'on cherche celui de leurs côtés homologues.

pyramides; XII. 12 : cônes et cylindres; XII. 18 : sphères44). Très clairement, pour l'auteur des Éléments, il s'agissait de mettre l'accent sur l'analogie existant entre figures planes et solides à l'aide d'une terminologie plutôt "abstraite", en termes de rapports. Il aurait pu s'exprimer autrement, en introduisant le rapport des carrés (resp. des cubes) décrits sur les côtés homologues, ce qui constituait une deuxième formulation, mettant l'accent sur des figures. C'est d'ailleurs ce qu'il fait dans XII. 1-245 : Les polygones semblables [inscrits] dans des cercles sont l'un relativement à l'autre comme les carrés sur les diamètres. Les cercles sont l'un relativement à l'autre comme les carrés sur leurs diamètres. Mais, là aussi, la tradition connaissait une formulation en termes de "puissance" dans le cas des figures planes. Ainsi Archimède, dans la Proposition I. 13 de la sphère et le cylindre écrit : hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 « Et puisque les figures rectilignes inscrites dans les cercles A, B sont semblables, elles ont, l'une relativement à l'autre, le même rapport, en puissance (dunavm ei), que celui de leurs rayons » 46. Bref, il était possible de ne pas recourir au langage de la puissance et nous venons de constater qu'Euclide s'est dispensé d'y recourir dans un certain nombre de cas où il aurait pu le faire et pour lesquels il a préféré mettre l'accent sur autre chose : sur la description effective de figures (dans I. 47), sur l'insertion de moyennes proportionnelles ou sur le parallélisme des résultats que l'on peut établir au sujet des figures planes et solides, en utilisant, à chaque fois, une terminologie propre au contexte mis en jeu. D'où deux conséquences majeures : • Les termes (duvnami", duvnasqai) sont introduits au début de son Livre X, parce qu'Euclide a décidé qu'ils apparaîtraient seulement dans des contextes liés à l'irrationalité quadratique et à l'exprimabilité (au sens euclidien du terme). • Bien qu'elles transmettent près des deux tiers de notre échantillon, les treize formules utilisées dans les Éléments ne représentent qu'un tiers de l'ensemble (38) et, surtout, n'apparaissent pas dans certains registres pourtant très importants comme l'égalité en puissance entre droites et aires (2b) et la qualification de relations de relations (3). Les quelques exemples repris à Archimède ou Simplicius que nous avons vus au passage montrent que cela n'avait évidemment rien d'inéluctable47. Une fois introduites la qualification "en puissance" ou la capacité d'une droite à produire une aire, on peut les utiliser pour formuler, de manière concise — notamment sous forme d'égalités ou de proportions —, des conditions qu'un Moderne assimilera aisément à des formulations "fonctionnelles" 44 Dans ce cas il s'agit du rapport triplé des diamètres respectifs. 45 Cet exemple a frappé certains commentateurs modernes puisque le langage de la puissance, introduit au Livre X, était désormais disponible pour énoncer XII. 1-2. Voir l'explication que je propose dans Eucl., Él., vol. 4, pp. 269-271. 46 Arch., I, p. 60, l. 10-13. Pour une énonciation de "XII. 2" en termes de puissance, voir Spir., 25; Arch., II, p. 94, l. 7-9 et Annexe, formules [3a. (i-ii)]. 47 Bien entendu on retrouve cette connexion « puissance - irrationalité » chez des auteurs qui citent Euclide (Hypsiclès, Héron, Ptolémée, Pappus, Théon d'Alexandrie), généralement un énoncé appartenant au Livre XIII, — par conséquent lesdits auteurs n'ont pas cru utile de le reformuler autrement — , ainsi que dans quelques passages archimédiens [Sph.Cyl. II, Prop. 9 (Arch., I, p. 224, l. 5-6, l. 7); Dim.Circ. 3 (Ibid., p. 238, l. 1-2)].

générales, certes valides quand les aires ou les rapports ne sont pas numériquement exprimables (comme dans les Livres X et XIII), mais également quand elles (ou ils) le sont ! Ainsi on peut envisager la dunamevnh d'une aire quarrable, par exemple le rectangle contenu par des droites AB, CD, sans nécessairement s'interroger sur l'exprimabilité de ladite aire. Cela constitue un substitut particulièrement concis à d'autres formulations, par exemple en termes de détermination de la droite moyenne proportionnelle. Que l'on compare : « soit AB une moyenne proportionnelle entre CD et EF; donc le carré sur AB est égal au [rectangle] contenu par CD, EF » avec « que AB produise (duvnatai) le [rectangle] contenu par CD, EF ». Beaucoup des usages de duvnasqai [formules 1. (ii) et 2b. (i)] du premier Livre de La sphère et du cylindre 48, ainsi que les deux attestations de dunamevnh dans les Propositions II. 8-9 des Corps flottants, sont autant de façons de prendre une moyenne proportionnelle entre deux droites49 sans se soucier de la nature (exprimable ou non) du rectangle qu'elles contiennent. Dans la même perspective, des formules du type : « Ont le même rapport, les aires A, A' et les droites d, d' en puissance » ou « ce rapport qu'a la droite AB relativement à la droite CD, c'est celui qu'a, en puissance, la droite EF relativement à la droite GH »50 peuvent être satisfaites, que le rapport en question soit numériquement exprimable ou non. Elles correspondent à des écritures modernisées du type « A / A' = d2 / (d')2 », ou, si l'on préfère, A = k.d2, d'où l'épithète "fonctionnel" que l'on peut leur accorder. Archimède utilise une bonne vingtaine de formules "générales" en termes de "puissance" pour qualifier des proportions (registre 3), là où Euclide mentionnait les rapports doublés des côtés ou les rapports des carrés décrits sur certaines droites. Les formules [3b. (i-ii)] sont particulièrement bien adaptées à la formulation de la propriété caractéristique de la parabole. La vertu essentielle des formules en termes de "puissance", même dans l'usage restreint qu'en fait Euclide au Livre X, est la concision qu'ils apportent à l'expression, ce qui constituait un souci constant des mathématiciens grecs. Il est incontestablement plus expédient de dire : « la droite pouvant produire X » (hJ C dunamevnh) que « la droite décrivant un carré égal à X » (hJ eujqei`a i[son tw`/ C tetravgwnon ajnagravfei) ou « soit AB et CD deux droites commensurables en puissance seulement (suvmmetroi dunavmei movnon) », plutôt que « soit AB et CD deux droites incommensurables telles que les carrés décrits sur elles soient commensurables ». Or cette relation de « commensurabilité en puissance seulement » est fondamentale pour toute une partie de la classification euclidienne des irrationnelles, notamment pour distinguer les médiales, binomiales et autres apotomés. On peut évidemment 48 Resp. dans les Prop. I. 16, 24, 25, 29, 32, 35, 39Por. [1. (ii)]; I, 29, 35, 37, 40 pour [2b. (i)]. 49 Au demeurant, que l'on puisse utiliser la formule [1. (ii)] pour introduire une moyenne proportionnelle, c'était clair chez Euclide lui-même, par exemple dans X. 22 (EHS, III, p. 35, l. 19). La droite ainsi introduite est appelée "médiale". Mais le terme grec n'est autre que "mevsh" (= "moyenne"). La traduction "médiale", traditionnelle, est destinée à souligner la différence entre l'usage spécifique qu'en fait Euclide ici (irrationalité) et l'usage général de la prise d'une moyenne proportionnelle (Cf. Él. VI. 13 qui utilise le même terme "mevsh"). 50 Cf. Annexe, formules [3a. (i-ii); 3b. (i-ii')].

dire la même chose des usages ne s'embarrassant pas de la distinction « exprimable / irrationnelle » que l'on retrouve d'ailleurs dans les Data d'Euclide. Il me paraît extrêmement imprudent d'y voir la trace de formulations archaïques — entendez "pré euclidiennes" — comme certains l'ont défendu, en arguant du fait que l'on trouve une telle formulation (fonctionnelle et générale) dans le témoignage sur la quadrature des lunules par Hippocrate51. En effet, selon Eudème rapporté par Simplicius, le géomètre de Chio fondait son étude des lunules sur le principe suivant [formule 3a (i)] : hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 « … ont le même rapport, et les segments de cercle semblables, l'un par rapport à l'autre, et leurs bases, en puissance. Et ceci, il le démontrait à partir du fait qu'il avait démontré que les diamètres ont, en puissance, le même rapport que les cercles »52. Reconnaître, dans les différentes formulations du résultat pour nous contenu dans la Proposition XII. 2 des Éléments, l'opposition de deux terminologies, l'une "archaïque" (Hippocrate, Archimède) en termes de "puissance", l'autre "moderne" (Euclide), ne va pas de soi53. Nous ne savons même pas s'il s'agit de la formulation qu'Hippocrate utilisait plutôt que d'une reformulation d'Eudème. Il ne faut pas non plus oublier que ces formulations générales ont eu un certain succès durant toute l'époque hellénistique et romaine. Les mêmes usages "généraux" que nous avons relevés à propos d'Archimède se retrouvent chez Apollonius et dans les Livres V et VII de la Collection de Pappus, probablement à cause de leur concision, peut-être en corrélation avec le développement de la théorie des coniques, ce qui n'a finalement rien de spécifiquement archaïque. 5. Une dualité dunav m ei versus duv n asqai ? Nous avons vu que les deux formules « la droite … peut [produire] (duvnatai) l'aire … » et « la droite pouvant produire (hJ dunamevnh) l'aire … est la [droite] … » sont mathématiquement équivalentes, chacune mettant l'accent sur l'un des objets, la première sur l'aire, la seconde sur la droite "productrice". Existe-t-il une équivalence du même genre avec des expressions utilisant le marqueur dunavmei ? Et si tel le cas, cela vaut-il pour tous les registres d'utilisation ou non ? Observons d'abord que l'auteur des Éléments exprime toujours la capacité d'une droite à produire une aire [registre (1)] avec le verbe duvnasqai, jamais avec le marqueur dunavmei. 51 V. [Knorr, 1978], p. 196. La même thèse est défendue dans [Høyrup, 1990], pp. 204-205 (où il se réfère d'ailleurs à Knorr), p. 216, p. 217. 52 Simpl. in Phys., p. 61, l. 6-9. 53 La manière de citer le contenu de la Prop. XII. 2 des Éléments est un des arguments de Knorr pour établir une chronologie relative des œuvres d'Archimède. Selon K., le Syracusain utilisait les formules en termes de "puissance" avec une fréquence décroissante dans ses œuvres de maturité (réf. supra, in note 51*). L'affirmation est discutable. La formulation "archaïque" de Eucl. XII. 2 se trouve dans la Proposition 25 (Arch., II, p. 94, l. 79) du traité des Spirales, une œuvre de maturité selon Knorr lui-même. Dans le même ordre d'idées, un résultat voisin de Eucl. XII. 11 est appliqué dans une formule type [3a. (ii)] dans la Proposition 21 du traité des Conoïdes et Sphéroïdes, autre traité de maturité. Cela dit, dans la Proposition 27 des Spirales, la Proposition XII. 2 est appliquée avec une formulation euclidienne en termes de carrés (Arch., II, p. 112, l. 11-15). Même phénomène, cette fois pour Eucl. XII. 11, dans Con.Sph., Prop. 27 (Arch., I, p. 398, l. 5-10) !

S'il consulte l'Annexe, le lecteur se convaincra que cela vaut aussi pour l'ensemble des auteurs du corpus, à de très rares exceptions près. La validité d'une telle assertion dépend de la manière dont nos classes de formules ont été constituées. Ainsi certaines formulations portant sur l'égalité en puissance entre droites et aires — de fait entre deux aires dont l'une seulement est rapportée à la droite qui peut la produire (registre 2b) —, pourraient être placées dans le registre (1), en considérant qu'il n'y apparaît pas de comparaison explicite, mais seulement le lien entre une droite et l'aire qu'elle peut produire. Une incertitude du même genre vaut également pour la formule [2e (ii')] : hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 « to; … pentaplavsion duvnatai tou` ajp o; th`" … » (Le [segment] … peut [produire] [le] quintuple du [carré] sur la [droite] …) ». J'aurai pu la considérer comme un cas particulier de [1. (ii)], en identifiant l'aire produite X au quintuple d'un carré. J'ai préféré la rattacher à [2e. (ii)] pour des raisons grammaticales et mathématiques. On les trouve dans le même contexte — la division en extrême et moyenne raison — et dans le même passage — le début du Livre XIII54. Linguistiquement, ces formules sont proches de [2b. (i)] [avec « pentaplavsion duvnatai » au lieu de « i[son duvnatai »], le génitif (à cause du rapport) remplaçant le datif caractéristique de l'égalité55. Dans la formule [1. (ii)], un trait essentiel est que le verbe "duvnasqai" est transitif. Précisément, les formules [2b. (i), (i'), (ii)] se distinguent de [1. (i-ii)] par la présence de i[son et par l'utilisation du datif dans la désignation de l'aire. Il s'agit donc d'une comparaison implicite entre l'aire qu'une droite peut produire et une autre aire (tw`/ …) qui lui est égale. C'est pourquoi je les ai rattachées au registre (2), qualification de relations, en l'occurrence de l'égalité. Même si ce genre de décision est probablement discutable56, la catégorie (1) s'en trouve ainsi mieux définie : la capacité d'une droite à produire une aire se définit par une forme transitive du verbe duvnasqai, sans usage du datif caractéristique (tw`/ …) pour désigner l'aire dans une égalité. Pour en revenir à la question initiale de ce paragraphe, on voit qu'il y a une seule exception à l'emploi d'une forme verbale : il s'agit de la formule [2b. (ii')] : « eJkatevra a[ra tw`n AD, DG dunavm ei ejs ti;n d' tou` uJpo; EDH (Et donc chacune des [droites] AD, DC est [égale] en puissance au 1/4 du rectangle contenu par ED, DH) ». On n'y trouve ni le datif pour l'aire, ni i[sa. Mais c'est un hapax, attesté dans un lemme de Pappus pour le Livre V des Coniques. Qui plus est, on peut penser que le texte en a été altéré et qu'au lieu de « dunavmei ejsti;n d' », on avait « dunavmei i[sa tw`/ d' ». En résumé, l'usage du marqueur dunavmei est réservé pour qualifier des relations ou des relations de relations, autrement dit des formules dans lesquelles plusieurs (au moins 2) droites ou aires sont impliquées dans une comparaison mutuelle. Comme je l'ai déjà dit en 54 Il s'agit d'évoquer un rapport spécifié, exprimable en puissance seulement, en termes modernes, le nombre irrationnel √5. 55 En grec, quand on veut dire que A est égale à B, on écrit A i[ son tw`/ B. 56 Dans Sph.Cyl., I, 29, 35, Archimède introduit certaines droites à l'aide de la formule [1. (ii)], puis, quand il en rappelle la propriété caractéristique, le fait grâce à [2b. (i)] (autrement dit en ajoutant "i[s on" à "duvnatai").

discutant la théorie euclidienne de l'exprimabilité, ceci constitue une différence avec l'utilisation du terme "carré" puisque la considération du carré décrit sur une droite n'implique pas que cette dernière soit engagée dans une comparaison avec une autre. De fait, il semble bien que la prégnance des formes verbales s'exerce sur un ensemble plus large d'utilisations, non seulement celles du registre (1), mais aussi celles où la comparaison des termes impliqués met en jeu une relation complètement déterminée. On peut le faire apparaître sous forme d'un petit tableau à double entrée : Usages déterminés ou hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 partiellement déterminés dunav m ei dunamev n h, duv n asqai (424) (533) [2b. (ii-ii')] [2c. (iii)] [2c. (vi)] [2e. (i-i'-i")] [2e. (iv-iv')] [3a. (iii-iii')] [3b. (iii)] 3 3 68 (90) Usages indéterminés [1] [2a] [2b. (i-i')] [2c. (iv)] [2c. (v-v'-v")] [2e. (ii-ii')] 20 10 138 9 (533) [2c. (i)] [2d. (i-i'-i", ii, iii)] [2e. (iii)] [3a. (i, ii, iv)] [3b. (i, ii-ii')] — (334) Pour la qualification de l'égalité (registres 2a-b) nous avons vu qu'il n'y a finalement que trois exceptions sur 33 [dont l'hapax 2b. (ii')]. Le registre de l'« excès en puissance » s'exprime presque exclusivement avec duvnasqai [138 occurrences de 2c. (v-v") contre 3 de 2c. (vi)]. Or il faut remarquer que si les formulations linguistiques relèvent de l'inégalité, mathématiquement il s'agit d'exprimer des égalités57. A l'inverse, le marqueur dunavmei est utilisé lorsque la relation reste indéterminée. C'est le cas dans les formules de commensurabilité ou d'incommensurabilité (registre 2d) et dans les relations de proportionnalité (registre 3). En revanche, dans l'expression de rapports donnés exprimables en puissance (registre 2e), le recours au marqueur dunavmei n'est pas inévitable. Mais il est également justifié quand ledit rapport, quoique donné, n'est pas numériquement spécifié [2e. (iii)], ou quand les formules font intervenir l'opposition « mhvkei / dunavmei » [2e. (iv-iv')]. Il est donc possible de percevoir des choix terminologiques cohérents et plutôt constants dans le temps, en particulier en qui concerne l'usage de la dualité « dunavmei versus duvnasqai ». L'exception à la règle est donc d'autant plus frappante : pour l'expression de rapports exprimables en puissance seulement [2e. (i-ii')] —, on constate qu'il y a apparemment deux 57 J'aurai donc pu les ranger dans les registres 2a. ou 2b. plutôt que dans 2c (qualification de l'inégalité).

formulations possibles équivalentes, l'une avec le qualificatif "dunavmei" portant sur la relation R en cause (R dunavmei ei\nai), l'autre avec le verbe "duvnasqai", où c'est la relation R, exprimée par un adjectif, qui, en quelque sorte, "qualifie" la puissance d'une droite (duvnasqaiR ). Ainsi, seraient synonymes58 : « être, en puissance, plus grande que … » et « pouvoir [produire] plus que … »; « être, en puissance, double (triple …) de … » et « pouvoir [produire] le double (triple …) de … » … De fait, il faut être extrêmement circonspect car cette dualité s'accompagne d'une certaine singularité statistique : les formules avec "dunavmei" du registre (2e) [(i, i', i")] représentent 68 des 77 occurrences concernées et les 9 utilisations du verbe "duvnasqai" (formules [2e. (ii, ii')]) sont toutes liées aux seules Propositions XIII. 1-3 (dont une citation de XIII. 2 par Pappus)59. L'analyse quantitative précédente a permis de dégager un certain nombre de traits relatifs aux usages des formules en termes de puissance : • Dans les Éléments, les formes verbales (y compris le participe substantivé hJ dunamevnh ) servent à mettre l'accent sur la "capacité" d'une droite à produire une aire quand celle-ci est impliquée dans un contexte où se manifeste le phénomène de l'irrationalité quadratique. Les géomètres hellénistiques en feront un usage moins circonscrit, peut-être en relation avec la théorie des coniques. • Le marqueur dunavmei sert à qualifier des relations, avec la même limitation d'emploi chez Euclide, l'application à des relations de relations, en particulier des proportions, chez ses successeurs. • Le choix entre l'une ou l'autre de ces formulations semble assez fortement corrélé avec la nature indéterminée ou non de la relation qualifiée. Pour l'instant j'ai pris en considération des usages "purement" géométriques au sens où, dans les formules considérées, interviennent seulement des lignes et des figures60. D'autres font intervenir simultanément des objets géométriques et arithmétiques, par exemple des figures ou des grandeurs et des nombres ou des rapports numériques61; on pourrait appeler "mixtes" de tels usages. Les distinguer est certainement important pour discuter des relations qui existent entre le vocabulaire de la puissance et l'irrationalité, et ce, y compris chez Platon. Nous verrons que le célèbre passage du Théétète institue un tel usage mixte puisqu'il associe étroitement nombres et droites. Mais tournons-nous d'abord vers les mathématiciens alexandrins de l'époque romaine, souvent considérés comme "hétérodoxes", y compris en ce qui concerne l'usage des formules en termes de puissance : Héron et Diophante. 58 C'est à peu près ce que j'avais admis précédemment. V. Eucl., Él., 3, pp. 32-33. 59 Cf. supra, note 40*. 60 Même si le phénomène d'irrationalité quadratique dans lequel elles interviennent chez Euclide a bien entendu un lien avec des conditions arithmétiques comme on le voit dans le Livre X. 61 Voir Annexe les formules [2b. (ii-ii'), 2c. (iii), 2e. (i-iv), 3a. (iii-iii'), 3b. (iii)].

6. Héron et les formules mixtes L'identification des écrits authentiques du célèbre mécanicien d'Alexandrie est une question notoirement difficile62. C'est pourquoi, dans mon inventaire, j'ai distingué d'une part les Métriques, traité unanimement attribué à Héron, les Definitiones dont une partie seulement serait authentique si l'on suit les auteurs les plus optimistes63, et d'autre part les recueils de problèmes transmis sous son nom (Geometrica, Stereometrica ), qui se rattachent probablement à son enseignement sans que l'on sache très bien dans quelle mesure d'autant que, pour chacune de ces collections, nous disposons d'au moins deux recensions assez divergentes. L'intérêt des Métriques pour la question des formulations en termes de puissance a été mis en évidence par J. Høyrup. Il a souligné trois points : • selon lui on peut détecter une certaine ambiguïté dans l'usage du terme duvnami", et ce, tant chez Platon que chez Héron64. • Mieux encore, un terme mathématique babylonien ("mithartum"), ainsi qu'un sumérogramme (ibsi8) utilisé dans des tables numériques, présenteraient la même ambivalence que duvnami" : quand on essaie de les traduire, ils sont eux aussi rendus tantôt par "carré", tantôt par « côté du carré ». Pour Høyrup, la similitude des concepts babyloniens et grec s'explique par l'emprunt65. • Il faut distinguer deux concepts de duvnami", liés mais distincts, celui des géomètres (pour Høyrup, le carré identifié par son côté) et celui des calculateurs (2e puissance d'une quantité)66. La mobilisation de Héron dans cette discussion possède à peu près la même fonction argumentative que les hypothèses chronologiques : Høyrup veut montrer que la même ambiguïté existe chez Platon et chez Héron parce que cette ambivalence grecque de longue 62 Voir l'état de la question dressé par G. R. Giardina in Erone di Alessandria. Le radici filosofico-mathematiche della tecnologia applicata. DEFINITONES. Catania, CUECM, Symbolon N°26, 2003, pp. 31-74. 63 Selon Heiberg (dans l'introduction de son édition critique de ladite collection, Hero, vol. IV, p. 4), les Définitions N°1 à 132 seraient authentiques. La même opinion est défendue par Heath, Drachmann (dans l'article "Heron" du DSB ) et Giardina. L'authenticité a été contestée par P. Tannery. Récemment [Knorr, 1993] a proposé d'attribuer ce recueil à Diophante ! Pour ma part je crois que les N°1 à 129 dérivent probablement d'un écrit authentiquement héronien. La Définition N°129 correspond assez bien aux Df. X. 2-4. Malheureusement, la portion intéressante pour le sujet dont nous traitons ici est la section 136. 34, a priori inauthentique, et qui coïncide partiellement avec une scholie aux Éléments (N° X. 9). Voir Eucl., Él., vol. 3, p. 44, note 8. 64 Voir [Høyrup, 1990], p. 206. 65 Ibid., pp. 208-209 et 217. 66 Ibid., pp. 206-207, 216, 217. Comme je l'ai signalé au passage, à l'instar de Knorr, il considère que les formulations en termes de puissance sont archaïques et "démodées" à l'époque hellénistique, sauf dans quelques formules figées. Dans son argumentation, cette considération chronologique sert très clairement à renforcer l'hypothèse de l'emprunt (ibid., en particulier pp. 216-217), l'abandon progressif de ces formules par les géomètres grecs correspondant à leur perception du caractère exogène du concept de duvnami". Ces thèses sont incontestablement suggestives, mais il me paraît difficile d'y adhérer sans réserves. L'idée de distinguer deux concepts de duvnami", correspond en quelque sorte à la distinction que j'ai introduite entre usages "purement géométriques" et "mixtes". J'ai déjà dit pourquoi qualifier les expressions en termes de puissance de "figées" me paraissait assez peu pertinent.

durée est à rapporter à un phénomène similaire, bien plus ancien puisque babylonien, mais aussi à un même contexte d'origine, la pratique des calculateurs. Nous reviendrons bientôt sur le cas de Platon. Pour voir ce qu'il en est chez Héron, il nous faut examiner ses usages du vocabulaire de la puissance. Les formes verbales sont rares. Le participe substantivé "dunamevnh" n'apparaît pas dans le corpus héronien et il n'y a que trois (autres) emplois de "duvnasqai". Ils devraient être "orthodoxes" puisqu'il s'agit simplement de citer Euclide (XIII. 10) et Archimède. Cela dit, le texte de renvoi au traité des Conoïdes dans la Proposition 34 du Livre I des Métriques : hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 « … dans les Conoïdes, Archimède démontre que le rectangle contenu par les axes peut [produire] un cercle égal à l'ellipse » (ejn toi`" kwnoeidevsin jArcimhvdou" deikvnutai o{ti to; uJpo; tw`n ajxovnwn duvnatai kuvklon i[s on th`/ ejlleivyei) 67, est corrompu. Heiberg et Schöne (l'éditeur des Métriques ) affirment qu'il s'agit d'une citation de la Proposition 5 des Conoïdes et Sphéroïdes 68. Ce n'est pas tout à fait exact. Dans ladite proposition, Archimède démontre que le rapport entre une ellipse d'axes AB, CD et un cercle de diamètre EF est le même que celui du rectangle contenu par les droites AB, CD relativement au carré décrit sur EF. On en déduit donc très facilement ce que Héron utilise ici : l'ellipse est égale au cercle si et seulement si Rect (AB, CD) = Carré sur EF, autrement dit si EF peut [produire] l'aire Rect (AB, CD)69. Il en va probablement de même dans les Stereometrica : « … dans les Conoïdes, Archimède démontre que le rectangle contenu par les axes peut [produire] le carré sur le diamètre du cercle égal à l'ellipse » (ejn toi`" kwnoeidevsin jArcimhvdou" deikvnusin o{ti to; uJpo; tw`n ajxovnwn duvnatai to; ajpo; kuvklou diamevtrou i[sou th`/ ejlleivyei) 70. * L'unique occurrence de "duvnami"" au nominatif se trouve dans les Geometrica d'authenticité contestée. Expliquant qu'il existe trois genres de mesure : linéaires (eujqumetrikovn), surfaciques (ejmbadometrikovn) et stéréométriques (stereometrikovn) dont il donne une sorte de définition — les mesures surfaciques sont celles de ce qui a longueur et largeur, à partir de quoi la surface est connue (to; e[con mh`ko" kai; plavto", ejx ou| kai; to; ejmbado;n gignwvsketai) —, le texte affirme au passage que la surface est aussi appelée "duvnami"" (o} dh; kai; duvnami" kalei`tai)71. Ce qui précède et ce qui suit montrent qu'il s'agit 67 Metr., L. I, ch. 34 (Hero, III, p. 82, l. 26-29). 68 Voir Arch., I, p. 281, note 5 et Hero, III, p. 82, l. 27. 69 On attend donc ici quelque chose comme : « o{ ti to; uJp o; tw`n ajxov nwn duvnatai hJ tou` kuv klou diavmetro" i[sou th`/ ejlleivyei (le diamètre du cercle égal à l'ellipse produit le rectangle contenu par les axes) » [formule 1. (ii)]. La correction proposée par Heiberg : < diavmetron > kuvklou i[s ou me paraît inadéquate. 70 Stereom. I, 92, 1 (Hero, V, p. 80, l. 19-22). On pourrait aussi maintenir le texte en admettant que "duv nasqai" — ici — ne signifie pas « pouvoir [produire une aire] », mais simplement "équivaloir". Le sens mathématique serait préservé. 71 Ch. 3, sect. 20, l. 1-2 (Hero, IV, p. 180, l. 6-7).

de faire le lien entre la terminologie de la mesure (arpentage ?) et les espèces numériques les plus simples telles qu'elles sont exposées par Diophante (ajriqmov", duvnami", kuvbo"). Cette tentative, vraisemblablement tardive, n'affaiblit donc pas notre premier constat. Sans doute est-elle liée à un usage arithmétique, lui aussi tardivement attesté72, qui donne à "duvnami"" le sens de « produit de deux nombres », et ce, sans doute à partir d'une description laconique de "duvnami"" (en réalité il s'agit d'une règle de multiplication des espèces) que certains ont cru pouvoir lire dans l'introduction de Diophante : « Un nombre multiplié par un nombre produit une puissance » (jAriqmo;" me;n ejpi; ajriqmo;n poluplasiasqei;" poiei` duvnamin)73. * hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 Jens Høyrup croit pouvoir mentionner un autre exemple, dans un traité héronien authentique cette fois, en l'occurrence dans le problème 17 du Livre I des Métriques 74. Il y serait question du carré sur une duvnami". Le texte édité par Schöne est : « hJ a[ra ajpo; th`" BG dunavmew" pro;" to; ajp o; th`" BG ejpi; to; ajp o; th`" AD … »75. Mathématiquement il s'agit de désigner le rapport BG4 : (BG2 x AD2). Celui-ci est repris, après substitution pour le conséquent, par la formule : « hJ a[ra ajpo; th`" BG dunamoduvnami" pro;"… »76. Celle-ci, calquée sur celle de la désignation du carré, est la formule correcte. Pour qu'il soit question du carré sur une duvnami", il faudrait « to; ajpo; th`" (ajpo; th`") BG dunavmew" », avec, en début de phrase, l'article neutre "tov", et non l'article féminin "hJ". Pour la moins probable duvnami" d'un carré, il faudrait « hJ tou` ajpo; th`" BG duvnami" », avec le nominatif et non le génitif. Il faut donc corriger dunavmew" en dunamoduvnami" dans la première formule qui ne constitue donc pas un nouvel exemple d'usage du substantif duvnami". C'est bien fâcheux pour l'interprétation de Høyrup car cette occurrence était la seule des Métriques dans laquelle on pouvait lire « duvnami" = carré ». Elle permettait donc à notre collègue de retrouver, chez Héron, l'ambiguïté « carré — racine carrée » qu'il décelait, comme beaucoup d'autres, chez Platon. Après l'analyse qui précède, cette thèse me paraît dépourvue de support textuel. * 72 V. par ex. Jamb. in Nic., p. 108, l. 27. En 82, l. 6-8 Jamblique qualifie de "dunavmei"", non seulement les nombres carrés, mais aussi les hétéromèques. Je remercie N. Vinel d'avoir attiré mon attention sur ce passage. On retrouve cet usage dans une scholie au Livre X, N°X, 25 : « Tout côté, multiplié par lui-même, ou par un autre, produit une puissance » (Pa`sa pleura; ejf j eJauth;n pollaplasiazomevnh h] ejf j eJtevran duvnamin poiei`) , EHS, V, 2, p. 101, l. 24-25. 73 Dioph., p. 8, l. 1-2. Mais à cet endroit "ajriqmov"" désigne le nombre indéterminé cherché — la règle équivaut donc à notre « x.x = x2 » —, et non pas un nombre entier quelconque. 74 [Høyrup, 1990], p. 206. 75 Hero, III, p. 48, l. 5-6. 76 Ibid., l. 10-12 ("th`"" manque et le préfixe "dunamo-" a été ajouté en marge par la première main) et l. 18-20 (avec une erreur de flexion, mais le terme "dunamoduvnami"" est entier !).

Restent les autres emplois de duvnami" (autrement dit du datif dunavmei) qui sont plutôt intéressants et idiosyncrasiques. Héron utilise trois formules : (H. i) — « hJ (to;) … e[stin dunavmei N » (la [droite] (l'[aire] … est, en puissance, [le nombre] N) 77. (H. ii) — « … dunavmei N » ([ce qui], en puissance [est] N). (H. ii') — « … dunavm ei N, mhvkei n » ([ce qui], en puissance [est] N, en longueur [est] n). Les formules (H ii-ii') sont des quasi hapax. Elles apparaissent seulement dans une séquence très particulière du problème 1578 : hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 « … Il est produit, en puissance79, 4356 … Et retranche de [ce qui est,] en puissance, 121, [ce qui est,] en puissance, 36, il reste [ce qui est,] en puissance, 25 et qui, en longueur, est 5 » (… givgnetai dunavmei ,dtn" … kai; a[fele ajpo; dunavmei rka dunavmei l" … loipa; dunavmei ke, a{ ejs ti mhvkei e). Une transcription moderne sera : « √121 — √36 = √25 = 5 »80. L'expression « dunavmei N » équivaut à l'extraction de la racine carrée. Ces formules ont le mérite de montrer sans ambiguïtés que le marqueur "dunavmei", porte sur le nombre qui suit. Elles permettent donc de lever l'apparente ambiguïté des formules de type (H i) où, dans « X dunavmei N », on pourrait tout aussi bien lire, selon la signification qu'on veut donner à "dunavmei" : « X, au carré, vaut N » ou « X vaut la racine carrée de N ». Même en termes anciens la chose n'est pas tout à fait sans importance. Ainsi dans l'exemple héronien où il s'agit de l'aire d'un triangle (Métriques, I. 9), il ne revient pas au même de traduire « l'aire du triangle, au carré, vaut 1575 » ou bien « l'aire du triangle vaut √1575 », puisque dans le premier cas on fait apparaître une grandeur de "dimension 4". Cela dit, nous avons vu que c'est justement l'une des originalités des Métriques que la prise en considération de telles entités, et pas seulement dans le cas particulier des puissances quatrièmes (dunamodunavmei") d'une quantité, par analogie avec ce qui se passe dans les nombres81. La caractéristique la plus intéressante des usages héroniens de dunavmei est qu'ils portent aussi bien sur des lignes que sur des nombres. Les textes classiques distinguaient fermement entre grandeurs et nombres, les premières étant des quantités indéfiniment divisibles, tandis que la division des seconds s'arrête avec l'unité. Aussi les formules que j'ai 77 Voir Métriques, L. I, Ch. 9 (Hero, III, p. 26, l. 26-27 : aire d'une triangle); Ch. 15 (ibid., p. 42, l. 8-10, 19, 26 : droites). On trouve également une formule de ce genre dans les Geometrica, 16. 9 (Hero, IV, p. 305, l. 24-25), dans les Stereometrica, I, 33 (Hero, V, p. 34, l. 8-9), et dans un lemme du Livre V de la Collection de Pappus (Papp., p. 432, l. 6-7). 78 Voir Métriques, L. I, Ch. 15 (Hero, III, p. 42, l. 21-24). 79 Il s'agit probablement d'une erreur. On a multiplié 180 par 24 1/2 et on dit qu'il est produit, dunavmei, 4356. Ce que Schöne, dans sa trad., transcrit « (180 x 24 1/5)2 = 4356 ». Manifestement il n'avait pas de calculette sous la main ! Le terme dunavmei n'a rien à faire à cet endroit. 80 C'est en tout cas celle de la traduction allemande de Schöne (Hero, III, p. 43). 81 Le point de départ de telles considérations pourrait résider dans la mise en œuvre calculatoire de la célèbre formule dite de Héron — mais que certaines sources arabes attribuent à Archimède — pour calculer l'aire d'un triangle à partir de la donnée de ses côtés. En termes modernes, si on note a, b, c les côtés et p le demi-périmètre du triangle, sa surface S est [ p( p ! a) ( p ! b) ( p ! c ) ] . Cette formule est l'objet de la section I. 8 des Métriques (Hero, III, p. 18, l. 12—p. 24, l. 29); on y trouve des expressions comme « l'aire du triangle …, multipliée par elle-même, sera égale au produit du carré sur … par le carré sur … ».

qualifiées de mixtes ([2b. (ii-ii')], [2c. (iii], [3a. (iii-iii')], [3b. (iii)]) associaient-elles nombres et grandeurs par le seul biais des rapports. Car un rapport de grandeurs peut être le même qu'un rapport de nombres (si et seulement si elles sont commensurables. Cf. Eucl., Él., X. 56). Ici, dans la perspective métrologique qui est la sienne, Héron identifie droites, aires et volumes avec leurs mesures, exprimées en nombres. Ne serait-ce qu'à cause de règles de calcul aussi simples que celle que l'on peut dériver du théorème de l'hypoténuse (I. 47), cette détermination calculatoire effective oblige Héron à poser la question de l'exprimabilité des irrationnelles quadratiques (et cubiques) dans des termes autres que ceux de l'approche théorique développée par Euclide dans les Livres X et XIII. Celui-ci pouvait se permettre d'affirmer que des quantités que nous, Modernes, écrivons √N étaient exprimables (médiatement, c'est-à-dire commensurables en puissance seulement avec l'élément de référence). Héron doit dire combien ça fait (approximativement) ! C'est probablement pour cette raison qu'il utilise une autre conception de l'exprimabilité que celle d'Euclide. Est dit "exprimable" ce qui est exprimable en nombres. Cette conception alternative — "métrologique" — est également repérable chez Pappus82, Théon d'Alexandrie, Proclus, Marinus et dans certaines scholies aux Éléments 83. On la trouve aussi dans les sections 134.34-35 du recueil des Definitiones dont nous ne connaissons pas vraiment l'auteur, mais avec lesquelles nous clôturerons notre inventaire "héronien". Elles introduisent de nouvelles qualifications que l'on peut comparer aux formules euclidiennes du registre 2d, l' « exprimabilité en puissance » et l'« exprimabilité en puissance seulement »84. Elles représentent sans doute une tentative de compromis entre les deux conceptions de l'exprimabilité dont nous venons de parler85. 82 Ou plutôt dans le commentaire au Livre X attribué à Pappus, notamment dans les §§ I. 4, 12, 17 et II. 11. Mais l'unicité d'auteur, tout particulièrement pour la partie I. 1-19, me paraît très peu probable. Voir Eucl., Él., vol. 3, pp. 418-419. J'y vois une composition à plusieurs voix dont l'une, au moins, appartenait à l'école néoplatonicienne d'Athènes, peut-être Proclus lui-même ou son disciple Marinus. La conception "métrologique" s'imposait pour les Platoniciens dès qu'il s'agissait de commenter des passages comme celui du nombre nuptial dans le Livre VIII de la République puisque c'est cette même conception que le Maître utilisait. On ne s'étonnera donc pas de voir Proclus parler de l'inexprimabilité de la diagonale du carré quand il commente ce passage (Voir Pr. in Remp., XIIIe Dissertation, § 23, II, p. 24, l. 16-18; § 27, II, p. 27, l. 1-2, 7-8; §35, II, p. 38, l. 13-16). Il n'est pas toujours facile de savoir si les auteurs de commentaires adhéraient à cette conception ou s'ils s'astreignaient simplement à adopter les modalités d'expression de leurs modèles. Le commentaire du premier Livre des Éléments par Proclus n'est guère explicite quoiqu'il évoque à plusieurs reprises, mais en termes plutôt vagues, la question des irrationnelles. La même incertitude prévaut dans l'Expositio de Théon de Smyrne. 83 Eucl., Él., vol. 3, pp. 45-48. 84 Voir annexe, formules [2d. (i'-i")]. 85 Voir Eucl., Él., vol. 3, pp. 48-49. Bien entendu on retrouve de telles formules dans de nombreuses scholies aux Éléments (par exemple les N°I. 155, X. 9, 166, 181, 182, 219) mais, il faut le noter, aucune d'entre elles n'appartient, de manière assurée, à une collection ancienne.

7. Le cas Diophante Diophante adhère également à cette conception (non euclidienne) de l'irrationalité86, mais ce n'est pas à ce titre que nous en parlerons ici. J'ai déjà souligné la singularité statistique qu'il représente : la plupart des occurrences du substantif "duvnami"" autres que le datif se trouve dans les Arithmétiques. Les treize87 livres de problèmes étaient précédés d'une préface tout à fait décisive pour ce qui nous intéresse ici. Diophante rappelle à son dédicataire Dionysos que tout nombre est composé d'une certaine multitude d'unités (Cf. Eucl., Él., Df. VII. 2), que leur constitution procède à l'infini. Il énumère alors une (première) liste d'espèces de nombres avec leurs définitions : les carrés (tetravgwnoi), les cubes (kuvboi), les dunamodunavmei", les dunamokuvboi et les kubovkuboi. A partir de ceux-ci, par leur composition (≈ addition), excès (≈ soustraction), multiplication et rapport mutuel (≈ division), mais aussi relativement à leurs propres côtés, il adviendra que beaucoup de problèmes arithmétiques seront constitués. Diophante ajoute que : « chacun de ces nombres, ayant acquis une désignation abrégée, a été approuvé comme étant un élément de la théorie arithmétique » ( jEdokimavsqh ou\n e{kasto" touvtwn tw`n ajriqmw`n suntomwtevran ejpwnumivan kthsavmeno" stoicei`on th`" ajriqmhtikh`" qewriva" ei\nai) 88. Suit alors la "même" liste de cinq espèces, accompagnées de leurs abréviations respectives, mais avec une importante variante pour la première entrée : « Ainsi le carré est appelé "puissance", et sa marque distinctive est un D ayant comme indice U; la puissance [est] : DU » (kalei`tai ou\n oJ me;n tetravgwno" duvnami" kai; e[stin aujth`" shmei`on to; D ejpivshmon e[con U, DU duvnami")89. C'est seulement après cette nouvelle énumération que Diophante introduit sa notion (très personnelle) d'"ajriqmov""90, de « nombre contenant une multitude indéterminée d'unités » et dont on ignore, par conséquent, s'il possède ou non l'une des structures multiplicatives qui viennent d'être décrites. Il précise ensuite le signe de l'unité (M°) qui servira à indiquer les nombres spécifiés dans les calculs, par exemple "M°d" pour "4", puisque Diophante a fait un sort particulier à "ajriqmov"". Puis vient une liste des (espèces de) parties homonymes aux (espèces) de nombres qui viennent d'être nommés (… kai; tw`n nu`n ejponomasqevntwn 86 Voir Eucl., Él., vol. 3, p. 48, note 29. 87 Six sont conservés en grec (Cf. Dioph. ) et quatre ont été retrouvés dans une traduction arabe. Voir Sésiano, J., Books IV to VII of Diophantus' Arithmetica in the arabic translation attributed to Qus†æ ibn Lºqæ. New York, Heidelberg, Berlin, Springer-Verlag, 1982 et Diophante, Les Arithmétiques, Tomes III-IV. Texte établi et traduit par R. Rashed. Paris, les Belles-Lettres, 1984. 88 J'essaie de rendre le texte de manière assez littérale, l'élégance de l'expression dût-elle en souffrir. La paraphrase que donne [Høyrup, 1990], p. 207 : « In agreement with general convention, however, the second and third power of the unknown number are spoken of as dynamis and cube » (c'est lui qui souligne) me paraît un peu forcée, voulant suggérer qu'il y a là une (longue) tradition. D'ailleurs il affirme au même endroit que les conventions générales de Diophante (en ce qui concerne l'usage de duvnami") étaient déjà familières aux calculateurs du temps de Platon. 89 Dioph., p. 4, l. 14-16. 90 Ce point est souligné par Rashed, op. cit., p. 113 qui en déduit que « le terme "duvnami"" a donc deux significations : le carré d'un nombre, et "le nombre provisoirement indéterminé" élevé au carré ». [Høyrup, 1990], p. 218, note 9, le suit sur ce point.

ajriqmw`n ta; oJmwvnuma movria klhqhvsetai paromoivw" toi`" ajriqmoi`")91. Ainsi, à la duvnami", correspond le dunamostovn. Diophante expose ensuite les règles de multiplication entre ces nombres (aujtw`n)92. Dans ces règles préliminaires, il s'exprime donc comme si le terme duvnami" désignait une espèce de nombres, en l'occurrence ceux que l'on appelle aussi "carrés" (tetravgwnoi). Cette espèce est donc singulière car, contrairement aux quatre autres, ses membres pourraient recevoir deux désignations interchangeables. Cette description se heurte à une difficulté : la synonymie que l'on peut déduire des règles préliminaires ne correspond pas à ce que l'on observe dans les problèmes. Soulignons d'abord que la plupart des problèmes de Diophante comporte une condition en termes d'espèce de nombres, par exemple : « Partager un carré proposé en deux carrés »; « Trouver deux nombres tels que le cube du premier, accru du second nombre, forme un cube, et que le carré du second nombre, accru du premier nombre, forme un carré »; « Trouver un triangle rectangle tel que le nombre de l'hypoténuse, diminué de chacun des nombres des perpendiculaires, forme un cube » … Ces conditions d'espèces sont donc très importantes dans son exposé mais, pour les formuler dans les énoncés, Diophante utilise seulement les termes "carrés" (tetravgwnoi) et "cubes". Jamais n'y apparaissent les dunavmei", ni les dunamodunavmei", dunamokuvboi et autres kubovkuboi, non plus que les abréviations qui les désignent93. D'où un énoncé tel que : « Trouver deux nombres carrés tels que la somme de leurs carrés soit un cube » alors qu'il était expédient de dire « Trouver deux dunamodunavmei" dont la somme soit un cube ». Autrement dit, les termes "duvnami"", "duvnamoduvnami"", "dunamovkubo"", "kubovkubo"" ne désignent jamais un nombre spécifié, mais seulement une des puissances du nombre inconnu — on devrait dire de la quantité inconnue —, quand elles interviennent dans les calculs94. On voit donc que la dualité « tetravgwno" — duvnami" » sert à en manifester d'autres : celle de l'indéterminé et du spécifié, celle de l'énoncé et de la procédure, sans oublier l'usage abréviatif manifeste. Il s'agit donc d'une problématique très particulière et dire, avec, ou à la suite de Tannery, qu'il s'agit là de l'usage classique du terme "duvnami"", n'est ni plus ni moins qu'une plaisanterie. Après l'avoir évoqué pour Platon et Héron, faut-il admettre que le terme possède deux significations distinctes chez Diophante ? Ce n'est pas sûr. Si l'on suit Rashed95 et qu'on s'attache à l'ordre d'exposition suivi dans l'introduction, on voit que Diophante veut d'emblée préciser les espèces (multiplicatives) de nombres à prendre en compte. Cela se conçoit bien 91 Dioph., p. 6, l. 9-19. 92 Dioph., p. 6, l. 22—p. 12, l. 18. 93 Le mot "duvnami"" entier, en dehors de l'introduction que je viens de décrire, apparaît seulement dans le problème VI. 12 en deux occurrences (Dioph., p. 418, l. 20, l. 21-22), le mot "dunamoduvnamii"" entier, une fois dans le premier Lemme qui suit VI. 11 (Dioph., p. 414, l. 2). 94 [Heath, 1921], vol. II, p. 458, en avait déjà fait la remarque. 95 Référence supra, note 90*.

car dans les traditions arithmétiques euclidienne et néo-pythagoricienne, n'étaient mentionnés que les carrés et les cubes96. Or la première liste mentionnée a quelque chose d'incongru : les noms des puissances supérieures à 3 sont formés par concaténation, mais à partir d'un seul des deux noms qui précèdent : kuvbo". Ainsi la quatrième puissance d'un nombre ne s'appelle pas tetragwnotetravgwno", mais duvnamoduvnami", appellation que nous avions déjà rencontrée chez Héron97. Pour justifier la cohérence de ces désignations, l'auteur des Arithmétiques introduit donc la remarque (simple déduction étymologique) précédemment citée : « le carré s'appelle aussi duvnami" ». Il le fait avant d'introduire la notion de nombre indéterminé car le mouvement de l'exposé va de l'énumération des cinq structures multiplicatives pertinentes à leur absence ("ajriqmov""), pour finir avec une simple convention graphique : la position de l'abréviation de l'unité (M°) dont Diophante ne donne d'ailleurs aucune caractérisation. Même si l'ordre de l'exposé est quelque peu singulier, cela nous paraît assez peu significatif en comparaison des usages constamment observés dans les quelque 260 problèmes conservés. Bien entendu, quand bien même on prétend ainsi décrire et relativiser l'utilisation diophantienne de duvnami", reste que son sens est bien celui de l'élévation à la deuxième puissance et que l'on a opté, à une certaine époque, pour duvnamoduvnami" en lieu et place d'un possible tetragwnotetravgwno". Diophante n'a probablement pas inventé l'équivalence « tetravgwno" = duvnami" » qui, chez lui, ne n'oublions pas, concerne les nombres. Nous la trouvons en effet dès la fin du Ier siècle avant notre ère dans la tradition exégétique du Théétète. Avant d'en arriver à Platon et à ses commentateurs, il nous faire un excursus au sujet du fragment d'Eudème sur la quadrature des lunules par Hippocrate (vers 430a). J'aurai pu (dû ?) l'inclure dans mon corpus géométrique, mais dans la mesure où l'étude dudit corpus a mis en évidence certaines inflexions historiques dans l'usage des formules en termes de puissance, ainsi que dans les théories de l'exprimabilité et de l'irrationalité (euclidienne ou "métrologique"), il m'a paru plus prudent de différer l'examen d'un texte a priori composé à 3 voix : Hippocrate, Eudème et Simplicius. Les inflexions que je viens d'évoquer impliquent qu'il faudrait au moins pouvoir distinguer ce qui est imputable à Eudème et ce que l'on doit au Commentateur de l'Antiquité tardive. 96 Euclide définit aussi les nombres plans et solides et particularise ceux qui sont semblables. Nicomaque s'intéresse également aux espèces définies de manière additive, nombres polygones auquel Diophante consacrera d'ailleurs un traité partiellement conservé. 97 On pourrait donc affirmer qu'elle est antérieure à Diophante en admettant la chronologie habituellement retenue pour l'Auteur des Arithmétiques : le IIIe s. de notre ère. Mais celle-ci repose sur des bases bien incertaines. Je remercie Fabio Acerbi d'avoir attiré mon attention sur ce point.

8. Le cas particulier du fragment d'Eudème Ce fragment est transmis dans les pages 60-68 du Commentaire de Simplicius à la Physique d'Aristote. Le Commentateur affirme qu'il suivra Eudème « mot à mot »98, mais en utilisant les Éléments d'Euclide pour pallier le style selon lui particulièrement concis des Anciens. Et l'on trouve en effet plusieurs citations d'Euclide, accompagnées d'explications très élémentaires pour montrer comment les résultats établis dans lesdites Propositions99 interviennent dans le contexte des lunules. Ces portions de textes sont donc à exclure, si l'on cherche à circonscrire le compte-rendu d'Eudème, ce à quoi se sont employés Diels, l'éditeur de Simplicius (aidé par Usener et Tannery), mais aussi plusieurs historiens des mathématiques anciennes, avant et après lui : Bretschneider, Allmann100, Tannery101, Rudio102, Becker103, Thomas104 … L'étude de ce fragment est inévitable dans la mesure où lesdites pages du Commentaire de Simplicius contiennent 32 ou 33105 formules en termes de puissance ! Deux d'entre elles106, au moins, sont incontestablement à rapporter au Commentateur et l'on comprend bien que le problème de l'extraction du fragment d'Eudème à partir de ces pages est essentiel pour pouvoir parler des usages de la puissance avant Euclide. Or, force est de constater que les différents auteurs que je viens de citer ne sont pas d'accord entre eux. Par 98 Peut-être Eudème, mais apparemment pas Euclide ! Nous avons vu comment Simplicius formule le théorème Eucl., I. 47 (voir supra, note 39*). Simplicius injecterait-il parfois la terminologie d'Eudème dans ses citations d'Euclide ? Ce n'est pas toujours le cas comme on le voit dans la citation, cette fois littérale, qu'il fait d'Eucl. XII. 2 (ibid., p. 61, l. 11), après en avoir rapporté (l. 8-9) une formulation en termes de "puissance" [3a (i)]. 99 Successivement : Eucl. Él., XII. 2, III. 33, Df. III. 11, I. 47, I. 9, II. 14, I. 13, I. 32, NC 3, III. 1Por., I. 29, III. 3, IV. 5, I. 5, III. 31, IV. 15Por. 100 Le travail original de Allman a été publié en 1881 sous forme d'articles. Ses différents travaux sur la géométrie préeuclidienne ont ensuite été réunis dans [Allman, 1889]. Pour le fragment d'Eudème, voir en particulier les pages 69-75. 101 [Tannery, 1883] retrace l'histoire des différentes tentatives d'attribution antérieures à la sienne et sa collaboration avec Diels, en particulier pp. 339-344. 102 Rudio, F., Der Bericht des Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates. Leipzig, B. G. Teubner, 1907 (Réimp. Vaduz, Sändig, 1968), a légèrement modifié les identifications établies par Diels. Il a aussi proposé une reconstruction pour un passage corrompu (Simpl. in Phys., p. 66, l. 15-24), op. cit., p. 66. Dans son édition des fragments d'Eudème, [Wehrli, 1969], N°140, s'est contenté de reproduire la version de Diels. 103 La tentative de [Becker, 1936c] m'a été signalée par F. Acerbi à la lecture d'une première version de ce texte et je l'en remercie. Il m'aurait été difficile d'en tenir compte dans l'étude que je fais ici car il introduit a priori un critère en termes de puissance pour distinguer entre Simplicius et Eudème : ce dernier utilisait seulement les formules en dunavmei tandis que Simplicius recourait, en outre, aux formes verbales (op. cit., Kriterium 2, p. 412). Ce critère conduit Becker à rejeter d'emblée la formule contenue dans Diels, p. 63, l. 11-13 (voir infra ). Cela dit, constater après coup que je propose les mêmes exclusions que Becker est rassérénant. 104 Thomas, I., Greek Mathematical Works. 2 vol. Cambridge Massachusetts, Harvard University Press & London, W. Heinemann, Loeb Classical Library, 1939, pp. 234-252. Bien qu'il critique le travail de Rudio (ibid., p. 237, note b), il en reproduit pourtant le choix (y compris la reconstruction du passage corrompu), à l'exception de deux petites phrases (Simpl. in Phys., p. 63, l. 10-11; l. 14-15), soit un peu plus de deux lignes de texte sur un total de 263 ! Mais ces deux petites phrases (Rudio les attribuait à Simplicius, Thomas croit qu'elles proviennent d'Eudème) contiennent chacune une formule avec "duvnasqai". 105 A condition de rétablir, comme cela est (mathématiquement) nécessaire, le marqueur "dunavm ei" p. 66, l. 1-2 (hJmioliva ga;r <dunavmei> uJpovkeitai hJ EZ th`" ...), l. 4-5 (wJ" de; eujq ei`ai pro;" ta;" eujqeiva" <dunavmei>, tmhvmata pro;" ta; tmhvmata) et l. 25 (hJmioliva de; <dunavmei> hJ ZE th`" ...). On peut aussi le faire p. 67, l. 3637 (hJ de; QH ejxaplasiva <dunavm ei> th`" ejf j h|/ AB ...), mais ce n'est pas obligatoire, d'où l'incertitude. 106 Simpl. in Phys., p. 62, l. 1-4 (citée infra ) et p. 63, l. 25-26.

conséquent, sur le nombre des formules en termes de puissance que l'on pourrait rapporter à Eudème, il n'y a pas unanimité : Diels en retient 29, tandis qu'Allmann en attribue seulement 14 à l'Auteur des Histoires géométriques, Tannery 17, Rudio 22, Becker 13, Thomas, 24 ! Il faut rappeler brièvement les critères d'attribution que ces différents érudits ont utilisés. Pour l'essentiel, il y en a deux : le premier est herméneutique et stylistique — on écarte les citations d'Euclide ajoutées par Simplicius et les explications très élémentaires qui s'y rattachent —, le second est formel, il touche au lettrage des schémas géométriques. Le texte de Simplicius contient en effet deux types de désignations des objets géométriques, les unes que l'on peut qualifier de "complexes" [« le [point] auprès duquel (ou sur lequel) [est] A » (to; ejf j w|/ A), « la [droite] auprès de laquelle (ou sur laquelle) [est] BG » (hJ ejf j h|/ BG)], les autres, simples [« le [point] A » (to; A), « la [droite] BG » (hJ BG)], que l'on trouve dans les textes des géomètres de l'époque hellénistique, du moins tels qu'ils nous sont parvenus. Selon Allman et Tannery, les notations "complexes" sont à rapporter à Eudème107 et constituent un bon critère de discrimination, du moins pour les portions de textes dans lesquelles intervient le lettrage des diagrammes. Il faut d'ailleurs remarquer que l'on ne trouve aucune notation complexe dans les explications sur les quadratures d'Hippocrate que Simplicius a précédemment reprises à Alexandre d'Aphrodise108. Les notations simples n'appartiennent pas nécessairement à Simplicius mais, quand elles apparaissent dans des explications très élémentaires, on peut, en combinant les deux critères, attribuer celles-ci à Simplicius. C'est ce qui a permis à Allmann, Tannery et Becker de rejeter des portions englobant douze formules qui font la différence entre les décomptes que j'ai menés sur leurs découpages, quand ils sont d'accord, et celui de Diels. Pour ma part, j'ajouterai une autre indication stylistique. Dans mon travail sur l'histoire du texte des Éléments, j'ai établi une typologie détaillée des séquences textuelles que les commentateurs et autres scholiastes ont portées dans les marges des manuscrits d'Euclide et qui, trop souvent, se sont trouvées incorporées dans le texte au cours de la transmission ultérieure109. Mon hypothèse est que Simplicius, en explicitant le laconique compte-rendu d'Eudème, a probablement utilisé le même type de formulations. Or, si on reprend les douze formules en termes de puissance écartées par Allmann, Tannery et Becker, on constate que huit d'entre elles110 — au moins111 — interviennent dans ce que j'ai appelé des explications 107 Voir [Allman, 1889], p. 72, note 45 et [Tannery, 1883], pp. 339-344. [Bretschneider, 1870], p. 114, note 2, les attribuait à Hippocrate lui-même. Allman et Tannery ont fait valoir que le recours à des formules complexes de désignation se trouve encore chez Aristote. J'ai repris la question en détail, à propos du célèbre passage des Météorologiques consacré à l'arc-en-ciel, et souligné que cette pratique des notations complexes s'est poursuivie plus tardivement que ne le croyaient Allman et Tannery, probablement jusqu'à l'époque d'Apollonius et Hypsiclès. Voir [Vitrac, 2002], pp. 245-254. 108 Simpl. in Phys., p. 55, l. 25—p. 60, l. 21. 109 Voir Eucl., Él., vol. 4, pp. 45-69. 110 V. Simpl. in Phys., p. 63, l. 14-15; p. 66, l. 1-2; p. 66, l. 24-25 et l. 26-27; p. 68, l. 6-7 et l. 9. 111 En fait c'est toute la séquence 66, l. 24—p. 67, l. 2 (qui contient cinq formules de puissance) qui peut être considérée comme une grande explication postposée "en cascade", avec plusieurs indicateurs caractéristiques (gavr, 2 occurrences de ejpeidhv) . Il y a donc tout lieu de l'exclure comme l'ont fait Allmann, Tannery, Becker

postposées et des rappels d'hypothèse, voire une combinaison de ces deux items caractéristiques de l'annotation des textes mathématiques dans l'Antiquité tardive112. En admettant qu'il y a là un bon critère, nous pouvons donc, avec Allmann et Becker, exclure également la séquence 67, l. 32-36 — une double explication postposée — qu'avait maintenue Tannery, sans doute parce qu'il privilégiait le second critère, en termes de notations du lettrage. Or il n'y en a pas dans cette séquence. De fait, il s'agit bien d'une explication plutôt élémentaire qu'il est donc logique d'exclure déjà d'après le premier critère (c'était déjà le point de vue de Allmann113). En outre, remarquons que sur les trois formules en termes de puissance qu'elle contient, deux sont immédiatement "suspectes" : • l'une, que j'aurais pu numéroter [2a. (iii') : « duvnatai hJ … i[son th`/ … »], dont l'unique autre occurrence appartient à une séquence déjà rejetée114; • la clause « à cause du fait que les doubles en longueur sont quadruples en puissance » (dia; to; ta; mhvkei diplavsia ei\nai dunavmei tetraplavsia), remarque évidente si le langage de la puissance était commun à l'époque d'Eudème, mais passablement fréquente dans les scholies aux Éléments 115, où il s'agit, à plusieurs reprises, de faire le lien entre cette formule et la notion euclidienne de « rapport doublé d'une rapport »116. En consultant l'Appendice le lecteur observera que le fragment d'Eudème contient (p. 63, l. 11-13) une formule ([2c. (ii)]) qui est un hapax en deux sens : — c'est le seul usage indéterminé de duvnasqai que nous observerions dans notre corpus si l'on y incluait le fragment d'Eudème; — c'est la seule forme verbale des formules de la puissance dans le fragment d'Eudème tel qu'il a été circonscrit par Allman et Tannery. Pour cette raison, Becker n'hésitait pas à la rejeter d'emblée comme un ajout de Simplicius. En analysant l'ensemble de la séquence (p. 62, l. 30—p. 63, l. 18), nous pourrons confirmer l'hypothèse de Becker. mais aussi Rudio et Thomas. Même chose pour la séquence p. 68, l. 6-9 qui contient quatre formules de puissance qu'acceptent Diels, Rudio et Thomas, mais que rejettent Allmann, Tannery et Becker, à juste titre. 112 On peut remarquer que cela vaut aussi pour deux des quatre formules unanimement attribuées à Simplicius (p. 62, l. 1-4, citée supra, une explication postposée sous forme de renvoi livresque explicite, et p. 63, l. 25-26, une explication postposée combinée avec un rappel d'hypothèse). 113 V. [Allmann, 1889], pp. 74-75, note 50. 114 Simpl. in Phys., p. 68, l. 6-7. 115 Voir scholies N°II. 29 (EHS, V, 1, p. 172, l. 3-4), V. 1 (ibid., p. 212, l. 3), V. 29 (ibid., p. 220, l. 16-18); VI. 36 (EHS, V, 2, p. 23, l. 7-8), X. 80 (ibid., p. 119, l. 21-22), X. 105 (ibid., p. 130, l. 22, p. 131, l. 8-9), X. 107 (ibid., p. 132, l. 19), X. 115 (ibid., p. 136, l. 20), X. 116 (ibid., p. 136, l. 21-22, p. 137, l. 3-4), X. 117 (ibid., p. 137, l. 56, l. 8), X. 406 (ibid., p. 212, l. 13), XIII. 7 (ibid., p. 292, l. 9-10), XIII. 10 (ibid., p. 292, l. 15-16), XIII. 17 (ibid., p. 293, l. 7-8), Appendix Scholiorum III, n°10 (ibid., p. 350, l. 11). 116 Ce que font explicitement les scholies aux Livres V et VI citées dans la note précédente. La N° V. 29 dit même que cette assertion sera démontrée dans la suite et c'est effectivement le cas dans la scholie N°X. 105, présentée comme le premier des quatre Lemmes à la Proposition X. 17. Or les scholies N°V. 1, 29, X. 105 appartiennent à la collection — dite Vaticane — des scholies les plus anciennes dans les manuscrits des Éléments (cf. à ce sujet, [Vitrac, 2003], pp. 283-288). Il se pourrait donc que Simplicius les ait connues par sa version d'Euclide.

D Eudème décrit la construction de la 2e lunule d'Hippocrate — son arc extérieur doit être plus grand qu'un demi-cercle — de la manière suivante : on décrit un trapèze ayant les trois côtés BA, AG, GD égaux entre eux et le quatrième, BD, triple en puissance de chacun d'eux (BD = 3BA2). On le circonscrit par un cercle, ce qui déterminera 3 segments de cercle égaux sur BA, AG, GD et on construit un segment de cercle semblable sur BD, d'où une lunule. La première étape consiste à démontrer que le trapèze est inscriptible dans un cercle et que le segment de cercle ainsi décrit, BAGD, est plus grand qu'un demicercle (et ce, parce que l'angle qu'il contient, BGD, est aigu). Eudème commence par affirmer (p. 62, l. 30—p. 63, l. 1) : « (i) … que ledit segment soit plus grand qu'un demi-cercle, c'est évident (dh`l on), une diagonale ayant été jointe dans le trapèze. Car nécessairement (ajnavgkh) celle-ci, sous-tendue par deux côtés du trapèze est, en puissance, plus grande que le double (meivz ona h] diplasivan ei\nai dunavmei) de celui qui reste » (i.e. BG2 > 2GD2). hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 Suit une explication embrouillée de Simplicius, avec les citations de deux théorèmes d'Euclide (I. 13, I. 32), sans doute pour justifier que l'angle sous la petite base du trapèze isocèle (en G) est obtus, ce qui, par II. 12 apparemment non identifiée par Simplicius117, permet de justifier a posteriori (i) et d'affirmer (ii) : « (ii ) donc BG (la diagonale) peut [produire] plus que le double de chacun des BA, AG, et donc aussi de GD. (iii) Et donc le plus grand des côtés du trapèze, BD, nécessairement (ajnagkai`on) peut [produire] moins (e[latton dunasqai) que la diagonale et celui des autres côtés, par lequel, et avec la diagonale, le côté susdit est sous-tendu (i.e. BD2 < BG2 +GD2).. (iv) Car BG, GD peuvent [produire] plus du triple de ce que peut produire GD, la droite BD, le triple. (v) Donc l'angle appuyé sur le plus grand côté du trapèze est aigu … ». Diels attribuait toute la séquence à Eudème. Allmann, Tannery et Rudio ne conservaient que (i), (iii) et (v), et les deux premiers, fidèles à leur principe, excluent le lettrage simple "BD", au demeurant inutile dans (iii), que Rudio laisse subsister. Leur idée est que (iii) est la suite logique de (i) à laquelle elle est connectée par "kaiv" — de plus "ajnagkai`on" dans (iii) répond à "ajnavgkh" dans (i) — et que, grâce à (la converse de) II. 13 qui n'est pas non plus citée, (iii) permet de conclure (v). Le raisonnement mathématique est impeccable. En outre, il est clair que (i) et (iii) présupposent l'un et l'autre que l'on n'utilise pas de lettrage (simple) du diagramme, sinon pourquoi utiliser une telle périphrase (« … celui des autres côtés, par lequel, et avec la diagonale, le côté susdit est sous-tendu ») là où il suffirait de dire "GD". Mais, si l'on admet que (ii) et (iv) sont des ajouts de Simplicius formulés avec une formule en duvnasqai, alors que (i) l'était avec le datif "dunavmei", il est raisonnable de penser que la forme verbale dans (iii) est le fruit d'une altération, voire d'une adjonction, de la part de Simplicius quand il a inséré (ii) et (iv). Avant son intervention, les deux séquences (i) et (iii), dans notre hypothèse, étaient conjointes et le datif "dunavmei" qui se trouve dans la première pouvait être "en facteur" pour qualifier les deux inégalités118 — c'est finalement la solution que retient Becker — ou être répété : 117 Mais le texte semble avoir souffert à cet endroit. 118 On peut d'ailleurs tenir le même raisonnement pour la formule p. 67, l. 36-37 (pour laquelle j'ai restitué un "dunavmei" mais qui, avant l'insertion par Simplicius des lignes 32-36 discutée supra, coordonnée avec la formule [2e. (i)] de la ligne 31. était directement

« … Car nécessairement (ajnavgkh) celle-ci, sous-tendue par deux côtés du trapèze est, en puissance, plus grande que le double de celui qui reste, et donc le plus grand des côtés du trapèze [est] nécessairement moindre, [en puissance] (dunavmei), que la diagonale et celui des autres côtés, par lequel, et avec la diagonale, le côté susdit est sous-tendu. Donc l'angle appuyé sur le plus grand côté du trapèze est aigu ». Il y aurait alors entre 12 et 14 formules selon que restitue ou non un ou deux marqueurs "dunavmei" possiblement sous-entendus. hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 En résumé, les 4 formules en termes de puissance dans le témoignage d'Eudème sur Hippocrate font partie de celles que nous avons distinguées à partir du corpus géométrique conservé : [2c. (i)], [2c. (iii)], [2e. (i)], [3a. (i)]). Elles servent à qualifier l'inégalité, des rapports numériques spécifiés (dans lesquels, comme chez Euclide, l'irrationalité quadratique intervient : hémiole, triple, sextuple en puissance) et des proportions. Toutes sont libellées avec le datif dunavmei et les formes verbales n'apparaissent pas. Huit de ces formules ont recours au lettrage complexe et aucune d'entre ces huit n'apparaît suspecte au regard des trois critères retenus. Parmi les formules sans lettrage, la seule exception à cette règle est la seconde : « Et ceci, il le démontrait à partir du fait qu'il avait démontré que les diamètres ont, en puissance, le même rapport que les cercles » 119, une explication postposée que tous les exégètes, y compris Allmann et Becker, ont maintenue dans le fragment d'Eudème, mais qui pourrait bien être le résultat d'une inférence de la part de Simplicius. Ne torturons pas ce texte davantage. Bien entendu, dans la perspective qui nous intéresse ici — l'examen des formules en termes de puissance dans le corpus géométrique et chez Platon —, il serait extrêmement intéressant, pour l'histoire de la terminologie, de pouvoir distinguer entre Eudème, disciple d'Aristote, et Hippocrate lui-même, géomètre antérieur au fondateur de l'Académie. A cette étape de mon travail, je ne vois pas comment faire. Le corpus aristotélicien n'est pas non plus d'un grand secours : on y trouve bien une ou deux formules (verbales) en termes de puissance, et même l'évocation d'une classification des lignes irrationnelles dans l'inauthentique traité Des lignes insécables 120, mais ces usages sont évidemment postérieurs aux travaux de Théétète. Il est temps d'en venir à Platon. 9. Les formules de la puissance dans les dialogues Les occurrences platoniciennes sont-elles (toutes) conformes aux usages des géomètres, en particulier à ce que l'on observe dans les Livres des Éléments censés dépendre des travaux de Théétète ? Ou bien cela ne vaut-il que pour certaines d'entre elles ? Ces usages renvoient-ils à un concept unifié ou non ? Pour ma part je ne le crois pas. Je distinguerai et analyserai donc successivement : (i) l'usage de dunamevnh en Resp. VIII, 546 b5; (ii) l'utilisation de l'expression « kata; duvnamin » en Tim., 54 b5-6, Resp., IX, 587 d7-11, Polit., 119 Simpl. in Phys., p. 61, l. 8-9. 120 Formules [2a. (ii)] dans Marche des animaux, 709 a1, [2a. (i)] dans Lin. ins., 970 a13-14. Classification distinguant "exprimables" et "irrationnelles" et citant en exemple l'apotomé et la binomiale, ibid., 968 b15-21.

266 b5-6; (iii) les cinq occurrences du terme "duvnami"" dans le Théétète, 147d-148b et celle de Polit., 266 b3121. La mention de dunamevnh dans le célèbre passage du Livre VIII de la République portant sur le nombre nuptial (Resp. VIII, 546 b5-c7), malgré le caractère cryptique du morceau, paraît conforme à un usage, dit pythagoricien, pour désigner l'hypoténuse (et les côtés de l'angle droit ?) dans les triangles rectangles grâce à l'expression quelque peu énigmatique : « … dunavmenaiv te kai; dunasteuovmenai … » (546 b6). C'est ce qu'affirme Alexandre d'Aphrodise : les Pythagoriciens appelaient l'hypoténuse "dunamevnh" parce qu'elle était, en puissance, égale, aux côtés de l'angle droit, appelés quant à eux "dunasteuovmenai"122. C'est aussi en relation avec le triangle rectangle que Plutarque comprend le passage de la République, la doctrine étant, selon lui, connue des Egyptiens123. L'exégèse très détaillée qu'en fournit Proclus confirme bien qu'il s'agit d'un système numérique associé à un triangle rectangle dont les côtés (7500, 10000, 12500) sont proportionnels au triplet (3, 4, 5)124. Lui aussi affirme que l'hypoténuse est appelée dunamevnh 125 et rattache ce mystérieux savoir à l'Égypte126. Le terme "dunasteuovmenai" n'a pas été maintenu dans la langue géométrique grecque et on peut se demander si l'identification proposée par Alexandre est fondée sur une véritable connaissance de la terminologie archaïque ou sur une simple déduction personnelle. Ainsi, dans l'étude détaillée qu'il a consacrée à ce locus platonicien127, M. Caveing propose une autre traduction pour "dunasteuovmenai" : le terme, calqué sur le modèle de "dunamevnh", désignerait à cet endroit l'élévation à la troisième puissance128. Cette interprétation avait d'ailleurs déjà été suggérée dans le Dictionnaire Grec-français de Bailly, à la fin de l'entrée "dunasteuvw"129. Platon réserverait "cube" au cas du nombre entier (il mentionne immédiatement à la suite le cube de 3 = 27), tandis que cette terminologie de la puissance constituerait une expression générale. Je ne suis pas vraiment convaincu. Grammaticalement "duvnasqai" est un verbe déponent; ce n'est pas le cas de "dunasteuvw"; le participe du premier 121 Les inventaires traditionnels des occurrences platoniciennes de "duvnami"" au sens mathématique y incluent généralement celle de Timée, 31 c5. Je suis complètement convaincu par [Vinel, 2003], qui réfute cette interprétation. Je n'inclus donc pas ce locus dans mon étude. 122 Alex. in Met., p. 75, l. 30-32 (ejsti tw`n periecousw`n ojrqh;n gwniv an pleurw`n hJ me;n triw`n hJ dej tettavrwn, hJ de; uJpoteivnousa pevnte. ejpei; toivnun hJ uJpoteivnousa i[son duvnatai ajmfotevrai" a{ma, dia; tou`to hJ me;n dunamevnh kalei`tai, aiJ de; dunasteuovmenai, kai; e[sti pevnte). 123 Isis et Osiris, 56, 373F-374A. Le fait que le langage de Platon soit plus arithmétique que géométrique ne saurait constituer une difficulté : il s'agit, comme dans certains problèmes de Héron ou de Diophante, des nombres que l'on peut associer à des droites (voir par ex. Arithmétiques, VI, 16 dans lequel Diophante considère le « nombre de la bissectrice d'un angle d'un triangle rectangle » (oJ th`" temnouvsh" th;n gwnivan ajriqmov" , Dioph., p. 430, l. 25), en l'occurrence les côtés de triangles rectangles exprimables en nombres. Diophante appelle "exprimables" (rJhtov") de tels triangles. V. op. cit., Problème VI. 6, p. 402, l. 22. 124 Voir Pr. in Remp., XIIIe Dissertation, §§ 24 et 35. 125 Ibid., § 24, II, p. 25, l. 17. 126 Ibid., § 35, II, p. 45, l. 24. 127 Voir [Caveing, 1982], pp. 1201-1205 ou [Caveing, 1998], pp. 65-69. 128 [Caveing, 1982], p. 1204 et p. 1360 ou [Caveing, 1998], p. 68. 129 Le LSJ, plus prudent, dit que le terme signifie « to be concerned with powers of numbers » !

désigne donc « ce qui a puissance », tandis que le participe passif du second renvoie à ce qui « subit la domination »130. En outre, dans ce passage, Platon utilise l'expression « tri;" aujxhqeiv" » pour signifier l'élévation à la troisième puissance et c'est également ce que fait Proclus dans son Commentaire131 (et Platon, au Livre IX du même dialogue, v. infra ). Platon n'avait donc aucune raison d'utiliser deux formules aussi différentes. Quant au contexte, il n'est pas si général que cela (pace Caveing) puisqu'il s'agit de triangles rectangles exprimables en nombres. Quoi qu'il en soit des incertitudes concernant "dunasteuovmenai", l'usage du terme "dunamevnh", pour désigner l'hypoténuse d'un triangle rectangle, est au demeurant avéré chez Aristote132. Cette utilisation pré euclidienne, "pythagoricienne" si l'on suit Alexandre, dans laquelle une droite peut produire autant que des droites133, ne correspond pas à la notion introduite dans la Définition X. 4 des Éléments : la dunamevnh d'une aire irrationnelle. Le syntagme « kata; duvnamin » est fort intéressante. Dans la définition des triangles élémentaires du Timée 134, l'expression « triplh`n kata; duvnamin e[cein » rempli le même rôle mathématique que la formule « triplasiva dunavmei ei\nai » d'Hippocrate-Eudème et d'Euclide. Mais le point le plus important est que l'expression, chez Platon, s'applique aussi bien aux droites (Tim., 54 b5-6)135 qu'aux nombres. Ainsi, au Livre IX de la République, elle est utilisée dans un contexte numérique, par opposition à deux autres formules : « kata; to;n tou` mhvkou" ajriqmovn » (selon le nombre de la longueur) et à « [kata;] trivthn au[xhn » (selon 130 Aussi, pour traduire le couple (dunavmenai, dunasteuovmenai), Festugière (dans Proclus, Commentaire sur la République, 3 volumes. Paris, Vrin-CNRS, 1970, t. II, page 144) utilise l'expression « les nombres pouvant exercer un pouvoir et les nombres dominés ». 131 A plusieurs reprises le Diadoque paraphrase le Maître et reprend l'expression « dunavmenaiv te kai; dunasteuovmenai » (Pr. in Remp., II, p. 36, l. 9-12, l. 24-25; p. 37, l. 1; p. 51, l. 12). Mais il ne dit jamais rien de très défini à propos des dunasteuovmenai. Pire encore, p. 51, l. 4-5, la remarque « … duvnantai me;n ga;r oiJ pleurikoiv, dunasteuvontai de; oiJ ejk touvtwn … » pourrait suggérer que les "dominants" (dunavmenai) sont les côtés du triangle rectangle, les "dominés" (dunasteuovm enai), les aires des carrés décrits sur ceux-ci. Même dans cette interprétation il n'est pas question d'élévation à la troisième puissance. 132 Arstt, Marche des animaux, 709 a1. Même chose dans l'explication de Plutarque, op. cit., 373 F 6. 133 On retrouve cet usage dans la tradition textuelle des Éléments et du Livre XIV. Voir Annexe, note 186*. 134 Tim., 54 b5-6 : « … to; de; triplh` n kata; duv namin e[con th`" ejl avttono" th; n meivz w pleurav n … » (l'autre [triangle] ayant le plus grand côté triple, en puissance, du plus petit …). 135 Et Polit., 266 b5-6, encore qu'il ne soit pas tout à fait évident de savoir sur quoi porte la formule. Il s'agit en effet d'une séquence humoristique (266 a9—b7) dans laquelle l'Étranger d'Élée et Socrate le Jeune divisent l'ensemble du genre animal en deux catégories selon la modalité de leurs marches. Le critère plaira aux géomètres précise l'Étranger car on divisera « selon la diagonale et la diagonale de la diagonale (th`/ diamevtrw/ kai; pavlin th`/ th`" diamevtrou diamevtrw/, a 9-10) ». Évidemment il y a un premier raccourci pour « la diagonale et la diagonale du carré décrit sur la diagonale ». La marche des humains (bipèdes) est alors associée à la diagonale, la [droite], en puissance, de deux pieds (hJ dunavm ei divp ou"). Celle des autres animaux (quadrupèdes) procède donc, par l'élévation à la deuxième puissance (kata; duvnamin), selon la diagonale de notre puissance (hJ hJmetevra" dunavmew" diavmetro") car elle est de deux fois deux pieds (duoi`n podoi`n div") ! La métaphore est plutôt géométrique (c'est pourquoi j'ai sous-entendu "droite") ou, si l'on préfère, mixte (la diagonale est celle du carré d'un pied de côté), mais il y a d'évidents jeux de mots sur "duvnami"", à la fois "capacité naturelle" et "puissance" géométrique : "dunavmew"" et « kata; duvnamin » jouent donc sur les deux registres. [Høyrup, 1990], p. 204 y voit la confirmation de l'ambiguïté du terme "duvnami"" chez Platon, à la fois "ligne" et "carré", puisqu'elle possède une diagonale.

la troisième augmentation)136. « Kata; duvnamin » correspond donc à notre élévation à la deuxième puissance, mais plutôt envisagée en tant qu'extension spatiale. Le passage — une parodie des associations numériques pythagoriciennes ? — distingue clairement entre ces extensions successives et leurs résultats, des nombres d'espèce spécifiée, car la représentation du plaisir du tyran, considéré selon la longueur (kata; tovn tou` mhvkou" ajriqmovn) sera d'emblée un nombre plan (ejpivpedon). Dans ces occurrences il s'agit certes de nombres, mais envisagés selon une représentation géométrique, puisque selon trois extensions dimensionnelles et trois seulement137. L'accent est mis sur le processus multiplicatif de formation du nombre. Se multiplier soi-même implique, pour un nombre, une capacité d'engendrer d'autres nombres — ses puissances successives — ce qui distingue le nombre de l'unité138. Dans l'usage géométrique, la même expression est appliquée à la ligne droite qui pourra produire une certaine aire si l'on décrit le carré dont elle est le côté, manifestant par là une capacité d'extension spatiale sur une largeur qui ne saurait être ni plus petite ni plus grande qu'elle-même, analogue à celle du nombre quand il se multiplie lui-même. Cette analogie a l'avantage d'être compatible avec les opérations de mesure quand celles-ci sont possibles, c'est-à-dire quand la droite est numériquement exprimable en fonction de l'unité de mesure linéaire. Un moderne, raisonnant algébriquement, s'étonnera peut-être du lien privilégié entre droite et carré décrit sur elle et se demandera pourquoi la procédure n'a apparemment pas été poursuivie, au moins pour les cubes139. Si les indications concernant les définitions des Anciens Pythagoriciens contiennent un noyau de vérité, on répondra que la surface est le flux d'une ligne — et donc le carré peut être considéré comme engendré par son côté (c'est encore ce que dit la fin de la Df. X. 4 d'Euclide) — mais que le volume est, non pas le résultat de la multiplication par une troisième coordonnée, mais le flux d'une surface : c'est le carré qui engendrerait le cube selon une troisième extension (kata; trivthn au[xhn), pas le côté. 136 Resp., IX, 587 d7-11. V. aussi [Epin.], 991 a 2-5 et ce que nous venons de voir sur le nombre nuptial. 137 Mais dès l'époque de Héron (peut-être avant), on a envisagé l'élévation à des puissances supérieures à 3. 138 C'est l'une des étymologies que Théon de Smyrne donne du nom “monade”. V. Eucl., El., vol. 2, p. 269. 139 Cela dit, la fin du passage du Théétète (148 b1; assertion vii dans le découpage que je propose infra ) affirme explicitement le contraire. L'auteur d'un Commentaire anonyme à ce dialogue (Anon. in Theaet., voir infra, note 162*) consacrera tout un développement (col. XLII-XLIII) à ce sujet. Il semble qu'il s'agisse d'une reconstruction entièrement conditionnée par l'exégèse du dialogue qui n'implique pas une référence à une pratique mathématique avérée par ailleurs. Cela dit, Nicolas Vinel a attiré mon attention sur un passage des Théologoumènes arithmétiques du Pseudo Jamblique (Theol. ar., p. 2, l. 6-12) dans laquelle on trouve une formule à "trois places" que l'on peut transcrire « wJ" ta; mhvkei N-uple, dunavmei me;n N2-uple, sterew`/ de; N3uple », énoncée à l'aide de deux exemples (N = 2, 3) et applicable selon l'auteur à tous les nombres et même aux parties aliquotes (ta; movria). Le contexte est arithmétique et je n'ai trouvé aucune occurrence de ce genre de formules pour exprimer des rapports triplés entre éléments ou figures géométriques (elle généraliserait les formules [2e. (iv-iv')]). Mais ceci pourrait n'être que la conséquence du caractère lacunaire de nos sources.

10. Le passage du Théétète Il n'est peut-être pas inutile de reproduire une fois encore le texte de ce célébrissime témoignage. Pour la commodité de la discussion qui suit, j'introduis une division en séquences qui n'existe évidemment pas dans l'original grec. J'ajoute les expressions placées entre crochets droits pour faciliter la compréhension, mais je maintiens provisoirement trois des termes en discussion (mhvko", duvnami", duvnasqai) sans les traduire. (i) « QEAI. Ú Peri; dunavm ewvn ti hJmi`n Qeovdwro" o{de e[grafe, th`" te trivpodo" pevri kai; pentevp odo" ajpofaivnwn o{ti mhvkei ouj suvmmetroi th`/ podiaiva/, kai; ou{tw kata; mivan eJkavsthn proairouvmeno" mevcri th`" eJptakaidekavp odo": ejn de; tauvth/ pw" ejnevscetw . (ii) hJmi`n ou\n eijs h`lqev ti toiou`ton ejpeidh; a[peiroi to; plh`qo" aiJ dunavmei" ejfaivnonto, peiraqh`nai sullabei`n eij" e{n, o{tw/ pavs a" tauvta" prosagoreuvs omen ta;" dunavmei". (iii) SW. Ú \H kai; hu{retev ti toiou`ton; QEAI. Ú [Emoige dokou`menv … QEAI. To;n ajriqmo;n pavnta divca dielavbomen: to;n me;n dunavmenon i[son ijsavki" givgnesqai tw`/ tetragwvnw/ to; sch`ma ajpeikavs ante" tetravgwnovn te kai; ijsovpleuron proseivpomen v … (iv) (v) QEAI. To;n toivnun metaxu; touvtou, w|n kai; ta; triva kai; ta; pevnte kai; pa`" o}" ajduvnato" i[s o" ijsavki" genevsqai, ajll j hJ pleivwn ejl attonavki" h] ejlavttwn pleonavki" givgnetai, meivzwn de; kai; ejl avttwn ajei; pleura; aujto;n perilambavnei, tw`/ promhvkei au\ schvm ati ajpeikavs ante" promhvkh ajriqmo;n ejkalevsamen … (vi) {Osai me;n grammai; to;n ijsovpleuron kai; ejpivpedon ajriqmo;n tetragwnivzousi, mh`ko" wJrisavmeqa, o{s ai de; to;n eJteromhvkh, dunavmei", wJ" mhvkei me;n ouj summevtrou" ejkeivnai", toi`" dj ejpipevdoi" a} duvnantai. (vii) kai; peri; ta; sterea; a[llo toiou`ton. « Théét. : Théodore, devant nous, avait exposé à l'aide de diagrammes quelque chose à propos des dunavmewn, montrant, de celle de trois pieds et de celle de cinq pieds, qu'elles ne sont pas commensurables en longueur avec celle d'un pied, les considérant ainsi séparément, une à une, jusqu'à celle de dix-sept pieds. Et, pour une raison ou pour une autre, il s'arrêta à celle-ci. Dès lors nous vint à l'esprit quelque chose comme ceci : puisque les dunavmei" sont clairement infinies en multitude, [il faut] essayer de les rassembler en un terme unique par lequel nous désignerions toutes ces dunavmei". Socr. : Et avez-vous trouvé un tel terme ? Théét. : Oui, je crois … Théét. : Tout ce qui est nombre, nous l'avons partagé en deux : d'une part celui qui peut être produit d'un égal, un nombre égal de fois — assimilant sa figure au carré — nous l'avons appelé nombre "quadrangulaire et équilatéral" … Théét. : Maintenant, celui qui est intercalé, comme trois et cinq, et tout [autre] qui, incapable d'être produit d'un égal, un nombre égal de fois, mais soit d'un plus grand, un plus petit nombre de fois, soit d'un plus petit, un plus grand nombre de fois, celui-ci, toujours un côté plus grand et un plus petit le contiennent — l'assimilant, quant à la figure, au rectangle — nous l'avons appelé "nombre rectangulaire" … D'une part toutes ces lignes qui réalisent la quadrature du nombre équilatéral et plan, nous les avons définies mh`ko", d'autre part, toutes celles qui réalisent celle du nombre oblong, [nous les avons appelées] dunavmei", en tant qu'elles ne sont pas commensurables, en longueur, avec les premières, mais que [les aires] qu'elles duvnantai [le sont] avec les aires planes [que duvnantai les premières]. Et à propos des solides [nous disons] quelque chose d'autre du même genre ». Si l'on suit Tannery140, le problème de traduction se pose d'abord et essentiellement pour "duvnami"" et il y a trois raisons à cela : • les sens différents que le terme est censé avoir chez Platon; • les indications à première vue contradictoires que donne le passage lui-même; • le fait qu'on ait voulu rapprocher, autant que faire se peut, le contenu mathématique du fragment des distinctions introduites par Euclide au début de son Livre X puisque Théétète, 140 Voir supra, note 12*.

dont il est question ici, est censé avoir été l'initiateur des travaux sur les irrationnelles qu'a repris et développés l'Auteur des Éléments. Constatons tout de suite une différence entre le témoignage platonicien et le corpus géométrique que nous avons précédemment exploré : "duvnami"", employé successivement au génitif pluriel et trois fois au nominatif pluriel141, désigne apparemment un objet mathématique. Le terme n'est pas employé adverbialement, comme il l'est chez Euclide et ses successeurs (mais aussi Hippocrate-Eudème), pour qualifier des relations ou des proportions. Le parallélisme « "Théétète" // Euclide » ne pourra donc être maintenu qu'en prenant de la distance vis à vis des formulations platoniciennes. Ainsi, pour suivre les développements successifs de l'historiographie : (a) Tannery remit en cause l'authenticité du texte et proposait de remplacer "duvnami"" dans ses cinq occurrences du Théétète par "dunamevnh"142. (b) Allmann, signalant la correction de Tannery sans se prononcer, doutait que Platon ait parfaitement saisi la distinction entre "duvnami"" et "dunamevnh"143. (c) Vogt estimait que "Théétète", dans (vi), s'exprime de manière relâchée, mhvko" et dunavmei" n'étant que des expressions abrégées pour « mhvkei rJhto;n ei\nai » (être exprimable en longueur) et « dunavmei rJhtai; ei\nai » (être exprimables en puissance)144. (d) Szabó va dans le même sens, mais affirme qu'il s'agit d'abréviations des formules euclidiennes « mhvkei suvmmetroi » et « dunavmei suvmmetroi »145. Puisque nous avons examiné en détails les usages euclidiens, nous voyons bien ce que les deux dernières propositions ont d'inadéquates : la formule « mhvkei rJhto;n ei\nai » n'est pas euclidienne (pace Vogt). Celles que retient Szabó le sont, mais il n'a pas compris que la problématique de Théétète — telle que Platon l'expose — est celle de l'exprimabilité (rJhtovn) et non pas celle de la commensurabilité mutuelle (summetriva). Nous avons vu que ce n'est pas la même chose, et sur ce point, mais sur ce point seulement, Vogt avait raison. Leurs difficultés tient clairement au fait qu'ils ont décidé de plaquer l'opposition classificatoire (« mh`ko" / dunavmei" ») [occurrence dans (vi)] sur une polarité euclidienne. Si l'on estime que cette quatrième occurrence, de par son statut définitionnel, est la plus importante — c'est ce qu'ont cru, chacun à leur manière Tannery et Heath146 —, si l'on admet que "duvnami"" désigne bien un objet mathématique, alors il n'y a aucun doute possible : il s'agit de droites, d'un certain type de droites, celles qui sont capables de faire la quadrature 141 Le terme revient une cinquième fois au génitif singulier en 148 b7-8, un simple rappel de ce que Théétète vient d'exposer en 148 a7-b2. 142 Voir [Tannery, 1884], p. 92 et [Tannery, 1889], p. 402. 143 [Allmann, 1889], p. 208, note 5. 144 [Vogt, 1909/1910], p. 114. 145 [Szabó, 1972], pp. 70-71 et 91. [Burnyeat, 1978] cite et suit Szabó sur ce point (p. 500). 146 Heath considère donc que, dans l'ensemble de ce passage, "duvnami"" signifie « racine carrée ». Voir [Heath, 1921], I, pp. 203-204. C'est aussi (par conséquent ?)) le choix retenu par F. Cornford (The Collected Dialogues of Plato. Edited by E. Hamilton and H. Cairns. Bollingen Series LXXI. Princeton University Press, 1961, pp. 852-853). Cette traduction a le désavantage d'induire une interprétation très arithmétisante de l'irrationalité, anachronique mais courante à l'époque, alors que, dans l'état actuel du texte, il s'agit d'un objet géométrique.

d'une aire rectangulaire dont la mesure — par rapport à une unité surfacique — s'exprime par un nombre promèque (i.e. non carré). Ce choix induit cependant une difficulté dans l'occurrence (i) car Théétète y parle de la duvnami" de 3 pieds et de celle de 5 pieds. Il est clair que les mesures indiquées ne peuvent pas être des mesures linéaires, mais qu'il s'agit d'aires. Dans cette interprétation, il faut supposer une ellipse dans l'expression et comprendre « th`" te trivpodo" » = « celle de trois pieds » comme « la ligne (ou la droite ou le côté) pouvant produire une aire de 3 pieds (carrés) », autrement dit, restituer, non pas « th`" te trivpodo" dunavmew" », mais « th`" te trivpodo" dunavmei [grammh`"] »147. Si l'on s'astreint à choisir dans la galerie des objets géométriques euclidiens, le choix « dunavmei" = carrés »148 introduira une difficulté symétrique dans l'occurrence (vi), sans doute la plus importante, et aura deux autres inconvénients : • elle affaiblira le parallélisme recherché car ces dunavmei" = carrés sont dites « non commensurables en longueur », expression qui, chez Euclide, est réservée à des droites. Il faudra donc, là aussi, admettre une ellipse de la part de Platon : ce seraient des carrés [dont les côtés ] sont non commensurables en longueur. • Si l'on n'ajoute pas d'autres précisions (par exemple que l'on se limite à des cas d'incommensurabilité), l'équivalence posée transforme les occurrences dans (ii) en trivialités affligeantes car la multitude des carrés est évidemment infinie. L'expression elliptique du témoignage platonicien rend donc délicate l'entreprise de traduction. Les choix tranchés et uniformes (sur l'ensemble des cinq occurrences) tels que "racine incommensurable" (ou "square root") — c'était la première proposition de Tannery, reprise par Heath — ou "carré" sont difficilement praticables. C'est pourquoi traducteurs et historiens ont adopté d'autres solutions : • Rendre différemment les quatre occurrences149, mais c'est admettre qu'il y a un problème 147 Je m'inspire ici de la formule du Sophiste (cf. supra, note 135*) : « hJ dunavm ei divpou" » (sous-entendu grammhv ou pleurav ou eujqei`a). Théodore avait produit des constructions ou des preuves relatives peri; tw`nJ dunavmei trivp odo", pentepovdo", …, eJptakaidekavp odo" », ce que Théétète subsume en « peri; dunavmewn ». 148 L'équivalence « duv nami" = carré » ou « valeur en carré » (?), aussi bien pour le texte du Théétète que pour le corpus géométrique conservé, a été soutenue par A. Szabó. Pour lui, "duvnasqai" signifierait donc « équivaloir" en carré »; voir [Szabó, 1972], pp. 36-39. [Knorr, 1975], pp. 65-69 et Burnyeat ont accepté l'équivalence « duvnami" = carré », y compris pour le texte du Théétète. Le second (voir [Burnyeat, 1978], pp. 497-498) croit renforcer cette thèse en s'appuyant sur le témoignage des commentateurs tardifs. A l'inverse, M. Caveing a refusé cette équivalence, tant pour le texte de Platon que pour les mathématiques classiques, et considère qu'elle ne s'est imposée que tardivement (voir [Caveing, 1982], Vol. 3, p. 1368). 149 Nombreux sont les interprètes qui ont adopté ce parti. Voir par exemple [Allman, 1889], pp. 207-210 (pour les occurrences dans (i-ii) : “squares”; pour l'occurrence dans (vi), il garde “dunavm ei"”); choix semblable chez [Vogt, 1909/1910], pp. 99-100 (“Quadrate” / “Potenz”). Dans son édition du commentaire de Pappus (Papp. in X), Thomson traduit “power” mais ajoute “square” après ce qui correspond à une citation par Pappus de (i) et “surd” (irrationnel) après ce qui correspond à une citation de (vi). Curieusement A. Szabó, bien qu'il soutienne que le sens de “duvnami"” soit “carré” (note précédente), adopte la même solution qu'Allmann (v. [Szabó, 1972], pp. 40-43 : aux pp. 40-41 “dunavmei"” est traduit "carrés", repris par les démonstratifs "ceux", "celui"; à la p. 43 pour l'occurrence dans (vi), Szabó maintient “dunavmei"” en le translittérant, repris par le démonstratif "celles". L'antécédent est évidemment "lignes". Étrange retournement !).

terminologique dans le passage platonicien ou, pour le dire autrement, c'est affirmer que le terme en cause est ambigu150. C'est quelque peu fâcheux si, comme la plupart des interprètes, on admet que la compréhension du terme "duvnami"" est essentielle pour reconstruire l'histoire de l'irrationalité et donc celle des mathématiques pré euclidiennes151. • Conserver "puissance", comme je l'ai fait moi-même pour les différentes occurrences de "duvnami"" que nous avons rencontrées jusqu'ici. Ce choix a aussi la faveur des traductions françaises de Platon152. Il correspond à l'un des sens usuels et généraux du terme grec "duvnami"". Il a été utilisé depuis longtemps en français, mais aussi en latin (potentia ) par les traducteurs médiévaux pour rendre les formulations euclidiennes153. Contrairement à "racine incommensurable" ou "carré", il a l'avantage de pouvoir être utilisé dans les quatre occurrences du Théétète sans paraître induire d'antinomie entre le début et la fin du texte. Il a l'inconvénient mineur d'introduire une possible confusion154 avec la notion mathématique moderne de puissance (a → ak), ce que nous avons cru percevoir, en commençant, dans la note de Tricot. Surtout il exige que l'on précise en quel sens on doit entendre cette "puissance". • Reste la correction proposée par Tannery. Elle aussi visait à renforcer le parallélisme « "Théétète" // Euclide » en homogénéisant leurs lexiques. Elle avait un mérite : rattacher la distinction « mhvko" / duvnami" » à celle d'« exprimable / irrationnelle » (Él. Df. X. 3-4) et non pas à l'opposition « commensurables en longueur / commensurables en puissance » (Df. X. 12), puisqu'une droite de référence est posée, dite “pied”. "Théétète" ne décrit donc pas les propriétés de commensurabilité mutuelle d'un couple quelconque de droites (contra Szabó). Mais cette homogénéisation entre "Théétète" et Euclide ne serait que partielle, voire illusoire, car le champ d'application du terme "duvnami"" ("dunamevnh" si on accepte la correction) chez le premier est, a priori, beaucoup plus circonscrit que celui de "dunamevnh" chez le second. Dans la présentation de Platon [occurrence dans (vi)], "duvnami"" désigne une droite qui peut [produire] (dunamevnh) une aire exprimable par un nombre (entier) non carré. Du point de vue moderne, il s'agit d'un nombre irrationnel quadratique. Dans la terminologie d'Euclide une telle droite n'est pas une irrationnelle; elle est exprimable (rJhthv) car commensurable en puissance (seulement) avec la droite de référence (celle d'un pied). Les dunavmenai des Éléments correspondent à des irrationnelles plus complexes. 150 Cf. supra la citation de [Tannery, 1876], p. 33, note 2. Voir aussi [Gow, 1884], p. 78, note 1; [Allmann, 1889], p. 208, note 5; [Heath, 1921], I, p. 209, note 2; [von Fritz, 1934], col 1354; [Høyrup, 1990]. 151 Voir [Szabó, 1972], introduction, en particulier pp. 10-19 et toute la première partie, pp. 31-108. 152 C'est celui de A. Diès (dans Platon, Œuvres complètes. Collection des Universités de France. Paris, Les Belles Lettres. Tome VIII — 2e partie : Théétète, 1926, pp. 164-165), de L. Robin (dans Platon, Œuvres complètes. Bibliothèque de la Pléiade. 2 volumes. Paris Gallimard, 1950, p. 91) et de M. Narcy (dans Platon, Théétète. Paris, GF-Flammarion, 1994, pp. 143-144). 153 Voir Eucl., Él., vol. 3, pp. 32-33, en particulier note 46. 154 C'est la raison pour laquelle Heath (Euclid, The Thirteen Books of Euclid's Elements. Cambridge University Press, 1908; 2e ed. 1926. Reimpr. New York, Dover Publications, 1956, vol. 3, p. 11) et [Szabó, 1972], pp. 36-37 la rejettent. Heath, à la différence de Szabó, récuse par conséquent le parallélisme « "Théétète" // Euclide » : pour le premier il traduit "duvnami"" par "square root"; chez le second il rend « dunavmei suvmmetroi » par « commensurables in square ».

Reprenons notre passage et essayons d'en proposer une interprétation, si possible sans recourir à l'hypothèse ad hoc que Platon s'exprime de manière relâchée (Vogt, Szabó), pour dire mal ce qu'Euclide dit fort bien. Comme le supposaient déjà Tannery et Heath, l'indication la plus forte réside très certainement dans la définition des dunavmei" [séquence (vi)] proposée par "Théétète". Là il n'y a, dans l'état actuel du texte, aucun doute possible : il s'agit de droites. Dans ce cas, comme dans celui de l'expression « kata; duvnamin », la désignation renvoie au processus de "production" de l'objet (par le biais de la quadrature d'une aire dont la mesure s'exprime par un nombre promèque). Ceci justifie peut-être le choix lexical de l'ami de Platon. Dans cette interprétation, ce que Platon attribue à son héros, ce n'est pas un critère d'incommensurabilité linéaire (il en était peut-être question dans la leçon de Théodore), mais l'étape initiale — la plus simple (car le dialogue n'est pas un traité de géométrie) — d'une tentative de classification des droites irrationnelles. Or, qu'une telle tentative ait été faite par Théétète (en utilisant la théorie des médiétés), nous le savons par d'autres sources que le dialogue platonicien grâce au témoignage transmis par Pappus sous l'autorité d'Eudème de Rhodes155. Cette interprétation ne dissipe pas toutes les difficultés. Ainsi, on peut se demander si, lors des trois premières occurrences des dunavmei", Platon autorise son personnage à anticiper sur la Définition d'un terme qu'il va donner ensuite ou bien s'il veut suggérer que le terme était déjà utilisé en mathématiques, par exemple par Théodore, et que Théétète en a introduit ensuite une acception plus précise ou plus particulière. Au début du passage nous lisons que la leçon de Théodore était « au sujet des dunavmewn », et qu'elle portait sur l'incommensurabilité linéaire de certaines d'entre elles. Ceci suggère évidemment qu'il s'agit plutôt de droites que de carrés ou d'autres choses. De même, la troisième occurrence (indiquant la nécessité de rechercher un terme commun) me paraît aller en faveur de la première hypothèse : Théétète anticipe. Un autre scénario possible est d'envisager la correction proposée par Tannery, du moins, une variante de sa suggestion. Caveing l'a refusée parce que le terme "duvnami"" apparaît cinq fois, selon trois flexions différentes et il faudrait donc supposer une même quintuple confusion, de la part d'un copiste156. Tannery proposait en effet de corriger les cinq occurrences. Mais on pourrait imaginer une version plus faible : le terme "dunamevnh" figurait seulement en 148 b1 pour introduire une innovation terminologique de Théétète. Avant, et après, quand il s'agissait d'évoquer la leçon de Théodore, Platon utilisait "duvnami"" (avec le sens de « hJ N-podo" dunavmei [grammhv] » où N est un entier non carré). Cet hypothétique 155 Papp. in X, Livre I, § 1, p. 63 = fragment d'Eudème, [Wehrli, 1969], N°141 I, II. 156 Voir [Caveing, 1982], p. 1334 ou [Caveing, 1998], p. 165.

scénario a quelques avantages : • La corruption textuelle — en fait une uniformisation lexicale s'il y avait quatre occurrences de "duvnami"" et une de "dunamevnh" — est beaucoup plus facile à admettre. • l'introduction de "dunamevnh" par Théétète — éventuellement empruntée à la thématique pythagoricienne très particulière des triangles rectangles en nombres — se serait faite, conformément à ce qu'on lit dans le dialogue, en corrélation avec celle du verbe "duvnasqai" pour désigner la capacité d'une droite à produire une aire, comme dans la Définition X. 4 d'Euclide. Comme chez ce dernier, l'utilisation des formules verbales (registre 1) serait à rattacher à l'entreprise de classification des irrationnelles. Il s'agirait bien d'une nouveauté car, dans l'usage pythagoricien de "dunamevnh" pour désigner l'hypoténuse des triangles rectangles, il n'est pas nécessairement question d'irrationalité. L'exemple platonicien de la République, fondé sur le triangle (3, 4, 5), le montre bien157. • Certaines des formules en termes de puissance du fragment d'Eudème (intervenant dans un contexte d'irrationalité quadratique et concernant seulement la qualification de relations ou de proportions), libellées avec le marqueur "dunavmei", pourraient remonter à Hippocrate. Quand bien même on refuserait de corriger le texte, si l'on accepte les grandes lignes de cette interprétation (nous avons vu qu'il suffit d'admettre que Platon autorise son personnage à "anticiper"), on aboutit à la conclusion que l'Auteur du Théétète se fait le témoin somme toute assez scrupuleux du travail de son ami auquel il voulait rendre hommage dans ce dialogue, travail que nous ne retrouvons certes pas à l'identique dans les Éléments, ni dans les autres textes mathématiques, mais qui y a laissé des traces parfaitement identifiables : les premières divisions de la classification euclidienne des lignes irrationnelles (médiales, irrationnelles par composition; irrationnelles par retranchement) sont introduites d'une autre manière, mais il est tout à fait clair qu'elles correspondent aux trois médiétés fondamentales qu'avait utilisées Théétète158. Cela dit, entre temps, l'étude des irrationnelles s'est approfondie et si les projets de Théétète et d'Euclide sont apparentés, voire historiquement liés, il faut constater que les choix terminologiques des deux géomètres ne sont pas tout à fait les mêmes. Vouloir rabattre le lexique de l'un sur celui de l'autre ou invoquer l'ambiguïté du langage mathématique de Platon, c'est créer, me semble-t-il, des difficultés plutôt imaginaires. Les Modernes ont cherché à tout prix un ultime et commun noyau de signification. La tentative la plus ambitieuse est certainement celle de M. Caveing qui tente même de faire le lien avec la notion aristotélicienne de "puissance". Pour lui, la duvnami" ne désignerait, dans 157 Cet exemple montre aussi que l'emploi d'un vocabulaire rattaché à la notion de "puissance" (dunavmenai, dunasteuovmenai) tient probablement à des association symboliques dont les Pythagoriciens étaient coutumiers et non pas à un emprunt, de la part des mathématiciens, d'un usage propre au lexique de la finance, comme le proclame Szabó, en se fondant sur un autre sens général de "duvnami"", "duvnasqai" = "valeur", "valoir". Cette acception implique alors une certaine "plasticité", une dépendance vis-à-vis du contexte — comme dans les usages linguistiques de "duvnami"" (= sens d'un mot, valeur sémantique) —, ce qui s'observe dans l'usage mathématique néo-pythagoricien que j'ai signalé supra (note 3*), mais pas dans la thématique qui nous intéresse 158 Voir Eucl., El., vol. 3, pp. 68-70.

l'ensemble du corpus platonicien, ni une droite, ni une aire, mais une capacité de transformation liant une droite et l'aire du carré décrit sur elle. Je ne crois pas que les occurrences du Théétète se réfèrent à un objet aussi abstrait. Pour que la notion de puissance comme transformation soit pleinement conceptualisée, on devrait en parler au singulier. Une conception de genre vaut pour l'expression « kata; duvnamin » chez Platon, peutêtre aussi pour la forme adverbiale "dunavmei" dans les textes géométriques, mais cela ne s'applique pas à "duvnami"" dans ce dialogue (si, comme Caveing, on ne corrige pas le texte). Il me paraît plus économique d'accepter l'idée que Platon utilise trois ou quatre formulations distinctes (« kata; duvnamin », "dunamevnh" ou le couple « dunamevnh, dunasteuovmenai », « hJ … dunavmei », "duvnami"") pour l'expression de la "puissance" mathématique, sans aucune ambiguïté dans les usages qu'il fait de chacune d'elles. Négliger ces différences, c'est probablement chercher à trop unifier des usages au bout du compte irréductibles dans une période où la terminologie mathématique n'était pas (pace Tannery ) totalement fixée. Finalement les géomètres ne maintiendront ni l'usage de "duvnami"" introduit par "Théétète" (si l'on ne corrige pas le texte), ni celui de "dunasteuovmenai", ni la formule « kata; duvnamin ». Conclusions L'intérêt de la notion mathématique de duvnami" telle que nous l'avons vue à l'œuvre déjà chez Platon, Euclide et Hippocrate-Eudème, paraît être, sinon, comme le dit Caveing, d'indiquer des potentialités de transformation, du moins de "transgresser" certaines séparations, notamment celle qu'instaure la distinction des espèces de la grandeur géométrique comme les longueurs, les aires et les volumes (Cf. Lois, VII, 819 d—820 c) quand on ne les confond plus avec les nombres exprimant leurs mesures, ce qui n'est plus permis dès lors que l'on connaît l'existence de grandeurs incommensurables. Elle a permis de dépasser certains obstacles concernant les problèmes d'expression numérique nés de l'étude de l'irrationalité quadratique. Si l'utilité de la puissance était primairement d'assurer une forme de corrélation transspécifique (« droites ↔ aires »), on peut décrire autrement les difficultés ou l'ambiguïté que les Modernes ont cru y percevoir159. Selon le contexte il est utile de mettre l'accent sur l'un des deux "versants" de la corrélation : l'expression « kata; duvnamin » le met de gauche à droite, "duvnami"" dans le Théétète et "dunavmei" chez Euclide mettent l'accent sur les droites. Bien entendu, dans les deux cas, les Définitions sont libellées en termes d'aires mais, 159 Voir en particulier [Høyrup, 1990]. L'ambiguïté qu'il croit percevoir chez Platon, à la suite de beaucoup d'autres, est essentielle pour sa reconstruction : elle permet de placer à haute époque l'emprunt auprès des Babyloniens qu'il postule. Un certain syncrétisme entre mathématiques grecques et babyloniennes dans les premiers siècles de notre ère n'étonnerait personne. L'hypothèse d'un tel emprunt, vers la fin du Ve siècle avant notre ère, est certainement envisageable, mais elle n'a certainement ni la nécessité, ni la vertu explicative que lui prête Høyrup. Cela dit, notre collègue a d'autres arguments, en particulier concernant les connotations communes des termes “mithartum” et "duvnami"", que je ne suis pas capable de juger.

précisément, il faut distinguer entre definiens et défini : il s'agit de droites et, même si c'est en un sens différent, leur définition permet d'évoquer leur irrationalité160. Mais si tel est le cas, alors il faut admettre qu'il y a une inversion de sens ou, du moins, une spécification unilatérale dans la corrélation signalée un peu plus haut, pour aboutir à cette conclusion, inévitable si l'on s'appuie sur Diophante, que « "duvnami"" = "carré" ». hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 Il me semble qu'on peut en trouver une explication, au moins partielle, dans la confrontation des deux textes essentiels pour cette histoire — le Théétète et les Éléments d'Euclide — telle qu'on l'a entreprise dès l'Antiquité. J'ai déjà indiqué que Diophante n'a probablement pas inventé l'équivalence susmentionnée. En tout cas, il n'en a pas l'exclusivité : l'explication qu'Alexandre a donnée161 du passage de Métaphysique ∆ par lequel nous avons commencé adoptait la même identification. Avant lui162, un commentaire anonyme consacré au Théétète affirmait : « les Anciens appelaient les carrés dunavmei" ; car la puissance est puissance de quelque chose ; or ce qui peut [produire] la surface carrée, c'est une ligne, celle sur laquelle elle est produite (oiJ palaioi; ta; tetravgwna dunavmei" wjnovmazon: hJ ga;r duvnami" tinov" ejstin duvnami": duvnatai de; to; ejpivp edon tetravgwnon grammhv, ajf j h|" ejgevneto) » 163. Je crois que l'explication avancée — la relation de "puissance" qu'il y a entre le côté d'un carré et ce dernier — est inspirée par la confrontation avec la tradition euclidienne. L'auteur de ce commentaire connaissait très certainement les Éléments. Même s'il ne les cite pas explicitement, il en reproduit certaines argumentations (notamment la preuve de II. 14 à l'aide de II. 5)164. Convaincu qu'en la première occurrence (« dunavmei" de 3, de 5 pieds ») il ne peut s'agir que de surfaces, il maintiendra obstinément l'équivalence « duvnami" = carré » dans l'ensemble de son texte, y compris dans le commentaire surréaliste de la quatrième occurrence, affirmant à plusieurs reprises que l'opposition classificatoire instituée par Théétète entre mh`ko" et dunavmei" portent sur des figures ou des surfaces165 avec ce paradoxe (au moins terminologique) que certains carrés seront donc appelés "longueurs"166. La cohérence de l'exégèse n'est pas évidente : un peu plus loin167, les dunavmei", conformément au texte de Platon, sont des lignes. Mais notre commentateur persiste avec une belle obstination lorsqu'il veut détailler la généralisation pour les solides simplement évoquée à la 160 Par conséquent, même si elle est historiquement inadéquate, la traduction par "irrationnelles" ou "racines", proposée par Tannery et Heath, me paraît mathématiquement moins fausse que celle par "carrés". 161 Alex. in Met., p. 394, l. 34-36. 162 Partiellement conservé dans un papyrus de la première moitié du IIe siècle (Papyrus Berol inv. 9782), mais dont le texte avait probablement été composé dès la fin du I er siècle avant notre ère. Voir Anon. in Theaet., pp. 254-256. Sur les 75 colonnes (partiellement) conservées, 20 sont consacrées au passage mathématique sur les irrationnelles. 163 Voir Anon. in Theaet., p. 334, col. 27, l. 31-38. 164 Voir Anon. in Theaet., pp. 340-344, col. 29, l. 42—col. 31, l. 21. 165 Ibid., p. 332, col. 26, l. 33-35 et l. 47-48; p. 350, col. 33, l. 8-16; p. 384, col. 45, l. 9-14. 166 Ibid., p. 372, col. 40, l. 39-41. 167 Il s'agit de commenter la séquence (vi) de notre témoignage. Voir ibid., p. 372, col. 41, l. 8-16.

fin de l'exposé de "Théétète" : certains cubes seront à leur tour appelés des "longueurs"168 ! L'identification « duvnami" = carré » est faite dans de nombreuses scholies aux Éléments, sans que l'on puisse dire, dans la plupart des cas, si elles proviennent ou non de l'Antiquité169. Mais l'une d'elles, la N°X. 135170, appartient à la collection dite vaticane, ce qui est un garant d'ancienneté. On en connaît même la source : elle dérive du commentaire au Livre X attribué à Pappus171. Elle oppose les dunavmei" aux dunamevnai comme les carrés à leurs côtés172. Elle explique l'identification reconnue par tous nos auteurs tardifs : ceux-ci ont voulu prendre en compte la terminologie euclidienne, notamment la notion de dunamevnh pour désigner le côté du carré égal à une aire. Dès lors, comme on le voit dans notre scholie, si l'on tient compte de ce terme, le couplage : « duvnami" ≈ carré; dunamevnh ≈ racine ou "côté du carré" » devient quasi obligatoire. Dans le même ordre d'idées, on pourrait rappeler une autre identification que nous avons rencontrée dans le Commentaire à la République par Proclus : celui-ci interprétait la paire (dunavmenai, dunasteuovmenai ) comme celle des côtés du triangle rectangle et des carrés décrits sur eux173. Dans les deux cas, comme plus tard chez les interprètes modernes, il s'agit d'appliquer les notions euclidiennes faisant couple aux dualités dont les termes (duvnami", dunasteuovmenai ) ne sont pas définis dans les Éléments et ne sont plus très bien compris. * Dernier point à souligner : certaines formules en termes de puissance n'avaient peutêtre pas seulement une fonction transspécifique, mais aussi un usage transgénérique. Les mathématiciens grecs ont eu recours à différentes formules qui coordonnaient — quand cela était possible — les domaines a priori séparés de l'arithmétique et de la géométrie. On le voit avec la notion de médiété, de rapport et de proportion. Ce pourrait être aussi le cas avec la formule « kata; duvnamin ». On objectera peut-être que "dunavmei" ne semble pas avoir hérité du caractère "transversal" de ladite formule. Mais ceci n'est peut-être qu'une illusion due à la pauvreté de nos sources, au fait que, pour l'époque hellénistique, nous disposons seulement de textes géométriques cantonnant les usages 168 Ibid., p. 378, col. 42, l. 46-51. 169 Voir par exemple les scholies N°I. 153, V. 22, VI. 52 et 55, X. 25, X. 181, 293, 340. 170 Voir EHS, V, 2, p. 142, l. 24—p. 143, l. 29. 171 Comparer respectivement : EHS, V, 2, p. 142, l. 24—p. 143, l. 4 et Papp. in X, L. I, § 9, p. 71, l. 26—72, l. 7; EHS, V, 2, p. 143, l. 5-12 et Papp. in X, L. I, § 19, p. 83; EHS, V, 2, p. 143, l. 13-29 et Papp. in X, L. I, § 20, pp. 83-84. 172 Nous privilégions la scholie par rapport au texte de Pappus parce qu'elle nous donne accès au vocabulaire grec. Dans la version anglaise de Thomson (p. 83, l. 25-28) : « … in every case he derives the names of the powers (i. e. the square-areas) from the lines upon which they are the squares, he names the area on a rational line rational and that on a medial line medial ». Dans la scholie : « kai; o}ti ta;" dunavmei" pantacou` parwnuvm w" ajp o; tw`n dunamevnwn kalei`: rJhtovn me;n ga;r to; ajpo; rJhth`" , mevson de; to; ajpo; mevs h" » (EHS, V, 2, p. 143, l. 10-12). 173 Voir supra, note 131*.

"mixtes" à l'expression de rapports. Cela dit, au premier siècle de notre ère, dans les Métriques de Héron, nous avons vu que "dunavmei" pouvait s'utiliser aussi bien pour des grandeurs géométriques que pour des nombres. Je ne suis pas sûr qu'il faille distinguer deux concepts de "duvnami"", celle des calculateurs et celle des géomètres, comme le veut Jens Høyrup174. C'est pourquoi j'ai préféré parler d'usages "mixtes". 174 Dans sa perspective, cette distinction, comme l'"ambiguïté", sert à renforcer l'idée de continuité historique de Platon à Diophante, en passant par Héron, et à circonscrire un contexte commun avec les Babyloniens, de type calculatoire, qui pourrait être un contexte originel. Ses arguments ne sont pas toujours très convaincants. Ainsi, notre collègue fait grand cas de ce que Glaucon, en corrélation avec l'une des occurrences de la formule « kata; duvnamin » mentionne le "logisticien" (587 d 11). Il suggère même qu'il faut y voir une différence entre calcul et arithmétique théorique. Voir [Høyrup, 1990], p. 206. Le terme "logistique" désignera effectivement le calcul appliqué dans l'Antiquité romaine puis tardive. Mais, à l'époque de Platon, et tout particulièrement dans la République, "logistikhv" et "ajriqmhtikhv" sont interchangeables.

Annexe : les formules et registres de la puissance175 1. Droite pouvant [produire] une aire; aire que peut [produire] une droite (i) —« hJ X dunamevnh » (la [droite] pouvant [produire] X), X étant un carré, un rectangle ou plus généralement une aire quarrable; (ii) — « hJ … duvnatai to;n X » (la [droite] … peut [produire] X, un rectangle ou plus généralement une aire). Ces deux formules sont particulièrement fréquentes dans les Eléments, respectivement 133 et 30 occurrences176. De 1. (ii) dérive une expression figée, utilisée dans la théorie des coniques pour désigner une droite appelée “paramètre”. La formule complète (toutefois non attestée) est : « hJ eujqei`a par j h}n paravkeitai ta; cwriva a} duvnantai aiJ katagovmenai tetagmevnw" eujq ei`ai ejpi; th;n diavmetron » (la droite sur laquelle sont appliquées les aires que peuvent [produire] les droites menées de manière ordonnée jusqu'au diamètre). Elle apparaît, plus ou moins abrégée ou aménagée, dans les variantes suivantes177 : (ii') — « hJ par j h}n duvnantai aiJ katagovmenai tetagmevnw" ejpi; th;n diavmetron » (Coniques, I. 11); hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 « hJ par j h}n duvnantai aiJ katagovmenai tetagmevnw" » (Coniques, I. 12); « hJ par j h}n duvnantai aiJ katagovmenai » (Coniques, I. 12, 13, resp. 14); « hJ par j h}n duvnantai » (Coniques, I. 13). 2. Qualification de relations a. Égalité en puissance entre droites (i.e. égalité d'aires toutes rapportées aux droites qui peuvent les produire) : (i) — « hJ … duvnatai th;n … kai; th;n … ». Exemple (Eucl., Él., Prop. XIII. 10) : « Si un pentagone équilatéral est inscrit dans un cercle, le côté du pentagone peut produire celui de l'hexagone avec celui du décagone, ceux inscrits dans le même cercle ». 175 Dans cette Annexe le lecteur trouvera les différentes formules utilisées dans le corpus géométrique décrit supra, en 3, auquel j'ai ajouté le fragment d'Eudème sur la quadrature des lunules par Hippocrate et quelques références à des auteurs divers qui citent un résultat mathématique à l'aide d'une formule en termes de puissance. En revanche, les occurrences arithmétiques diophantiennes ne sont pas prises en compte ici car elles n'interviennent pas dans des formules-types (voir supra, note 93*). Je n'ai pas non plus répété celles qui sont propres à Héron et qui sont discutées dans 6. 176 Respectivement : [1. (i)] dans Df. X. 4, Prop. X. 21, 23, 38, 40, 41, 54-59, 64, 69, 71, 72, 72 Por., 75, 78, 9196, 108-110, 111 Por., XIII. 11; [1. (ii)– dans les Prop. X. 22, 23, 38, 41, 54, 55, 57-59, 75, 78, 81, 84, 91-96, 114; XIII. 11. On trouve en outre 8 occurrences de [1. (i)] dans le Livre d'Hypsiclès [EHS, V, 1, p. 14, l. 17-19; p. 17, l. 2-4 (avec de grosses divergences textuelles entre mss et corrections); p. 20, l. 12-14; p. 21, l. 10-12], une seule chez Apollonius [Coniques, II, 1 (Apoll., p. 192, l. 15)], mais 42 dans la Collection de Pappus. Elles apparaissent en particulier au Livre VII, dans les Prop. 17 à 21 qui sont des Lemmes pour La section de rapport et la section d'aire d'Apollonius et dans les Prop. 60, 62, 64, qui se rattachent au second Livre de la section déterminée du même auteur. Il y a seulement 2 occurrences de [1. (i)] chez Archimède [Fluit. II, Prop. 8 (Arch., II, 370, l. 3) et Prop. 9 (ibid., 380, l. 11)] mais une bonne vingtaine d'occurrences de [1. (ii)] existent dans le premier Livre du traité de la Sphère et du cylindre [Prop. 16 (Arch., I, p. 70, l. 18, 19, 25, 26; p. 72, l. 1), 24 (Arch., I, p. 94, l. 6-7, 18, 23, 25, 27; p. 96, l. 1, 3, 5, 15, 19, 21, 23), 25 (Arch., I, p. 98, l. 16), 29 (Arch., I, p. 110, l. 12), 32 (Arch., I, p. 116, l. 25), 35 (Arch., I, p. 132, l. 23; p. 134, l. 4,12), 39 Por. (Arch., I, p. 146, l. 8)], une quinzaine dans les Coniques d'Apollonius, 7 dans La section du cylindre de Sérénus (Sereni, p. 16, l. 2-4; p. 22, l. 10-12; p. 42, l. 15-16; p. 46, l. 21-23; p. 48, l. 2-3; p. 50, l. 27-29, p. 54, l. 4-7), 47 dans la Collection de Pappus (L. IV. : 3; L. V : 41; L. VII : 3); 13 dans le Commentaire d'Eutocius à la Sphère et du cylindre, plus une dans le Commentaire aux Coniques. On pourrait y adjoindre 2 occurrences du corpus héronien [Metr., I, 34 (Hero, III, p. 82, l. 28-29); Stereom., I, 92 (Hero, V, p. 80, l. 20-22)], pour deux citations d'un résultat d'Archimède, à condition d'accepter de corriger le texte. Voir supra, 6, note 69*. 177 Une petite vingtaine de formules dans Apollonius, une dans Pappus [L. IV, Prop. 33 (Papp., p. 278, l. 20— p. 280, l. 3)], huit dans le commentaire d'Eutocius.

La formule de la conclusion est citée, sous la même forme, par Hypsiclès178, Ptolémée179, Pappus180, Théon d'Alexandrie181 et dans le corpus héronien 182. C'est aussi de cette manière que l'on applique le théorème de l'hypoténuse dans le traité pseudo-aristotélicien des Lignes insécables 183. (i') — « hJ … duvnatai ta;" … » 184. (ii) — « hJ dunamevnh th;n (ou to;) … kai; to; (ou th;n) … » (la [droite] ayant la puissance de la [droite] (ou du [segment]) … et du [segment] (ou de la [droite]) … ). La formule est proche de [2a. (i)]. Plusieurs auteurs mentionnent le fait que les Pythagoriciens appelaient “dunamevnh” l'hypoténuse du triangle rectangle185. La formule (ii) se retrouve aussi dans la tradition manuscrite des Éléments et dans le Livre d'Hypsiclès186. (iii) « hJ … i[son duvnatai tai`" … » (la [droite] … peut [produire] autant que les [droites] …); On l'utilise pour citer, de manière concise, le théorème de l'hypoténuse. La formulation d'Euclide (I. 47) ne l'éclipsera pas187. hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 b. Égalité en puissance entre droites et aires (i.e. égalité d'aires dont l'une seulement est rapportée à la droite qui peut la produire) : (i) — « hJ … i[son duvnatai tw`/ uJpo; tw`n … periecomevnw/ » (la [droite] … peut [produire] [une aire] égale au [rectangle] contenu par les [droites] …) 188. (i') — « aiJ i[son dunavmenai tw`/ uJpo; tw`n … » (les [droites] … pouvant produire [une aire] égale au [rectangle contenu] par …) 189; (ii) — « hJ … dunavmei i[sa tw`/ uJp o; ta`n … periecomevnw/ kai; tw`/ trivtw/ mevrei tou` ajp o ta`" … ) » (la [droite] … [est], en puissance, égale au [rectangle] contenu par les [droites] … et à la troisième partie du carré sur ...) 190. 178 Voir EHS, V, 1, p. 16, l. 10-12. 179 Voir Ptol., I, p. 33, l. 18sq. 180 Voir Papp., L. III, Prop. 57, p. 152, l. 22—p. 154, l. 1 (formulation abrégée : duvnatai ajm fotevra" hJ … ) et L. V, Prop. 48, Ibid., p. 440, l. 13-16. 181 Theo in Alm., p. 466, l. 11-13. 182 Voir Stereometrica, II, 63. 5, Hero, V, p. 152, l. 3-5. 183 Voir Lin. ins., 970 a13-14. 184 Theo in Alm., p. 466, l. 13. 185 Voir supra, 9*. 186 Voir l'ajout au lemme lui-même inauthentique {X. 13/14} qui décrit l'hypoténuse comme la "dunamev nh" des cotés de l'angle droit (voir EHS, III, p. 22, l. 13-14; l. 16; 18 et Eucl., El., vol. 3, p. 136), la fin altérée de la Prop. XIV. 4 (EHS, V, 1, p. 17, l. 7-8) et les secondes récapitulations finales (Ibid., p. 21, l. 17—p. 22, l. 7), respectivement 2 et 6 occurrences. 187 Voir Plutarque, Non posse suaviter vivi secundum Epicurum, 11, 1094 B6-7 (<hJ uJpoteivnousa> i[s on duvnatai tai`" periecousai`" th;n ojrqhvn); Alex. in Met., p. 75, l. 30-31 (cité supra, note 122*), Athénée de Naucratis, Banquet des Sophistes, X, 418 F (« hJ … duvnatai i[son tai`" … »); Theo in Alm., p. 467, l. 19. Voir aussi Simpl. in Phys., p. 62, l. 1-4 (cité plus haut à l'appel de la note 39*) et ibid., p. 63, l. 25-26. 188 Arch., Sph.Cyl. I, Prop. 29 (Arch., I, p. 110, l. 4), Prop. 35 (Arch., I, p. 132, l. 6-7, 17-18, 27-28; p. 134, l. 10-11), Prop. 37 (Arch., I, p. 136, l. 25-26), Prop. 40 (Arch., I, p. 146, l. 25-26; p. 148, l. 3-4), Con.Sph., Prop. 3 (Arch., I, p. 274, l. 1). 189 Coniques, I. 5 (Apoll., I, p. 20, l. 4-6). La formule est un hapax. A noter qu'Eutocius, lorsqu'il cite cette assertion dans son commentaire (Eut. in Apoll., p. 208, l. 8-9), utilise « i[son duvnantai » conformément à (i). 190 Arch., Spir., Prop. 25 (Arch., II, p. 94, l. 4) et Prop. 26 (ibid., p. 102, l. 25).

(ii') — « eJkatevra a[ra tw`n … dunavmei ejs ti;n d' tou` uJpo; … » (Et donc chacune des [droites] … est [égale] en puissance au 1/4 du rectangle contenu par …) 191. c. Inégalité en puissance • non spécifiée (i) — « hJ … meivz wn ejsti; dunavm ei tw`n … » (La droite … est, en puissance, plus grande que les [droites] …) 192; (ii) — « th;n … e[l atton duvnasqai th`" … kai th`"; … » (La [droite] … produit une [aire] plus petite que la [droite] … et la [droite] …) 193; • partiellement spécifiée (iii) — « hJ … th`" … meivz wn (ejl avttwn) h] diplasivwn ejsti dunavmei th`" … » (La [droite] … est, en puissance, plus grande (petite) que le double de la [droite] …)194; Une droite d est, en puissance, plus que le double d'une autre droite, d', signifie que le carré décrit sur d est plus hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 grand que 2 fois le carré décrit sur d', et non pas qu'il est plus grand que le carré décrit sur 2d' [= 4 fois le carré décrit sur d'], auquel cas on aurait d > 2d' en longueur (mhvkei). (iv) — « duvnatai hJ … th`" … doqevnti mei`z on h] ejn lovgw/ » (La [droite] … peut [produire] plus en rapport que la [droite] … par une [droite] donnée) 195. Cette formule réclame quelques explications. La relation « être plus grande en rapport que … par une [grandeur] donnée » est introduite dans la définition 11 des Data : « Une grandeur est plus grande en rapport qu'une grandeur par une [grandeur] donnée, quand en retranchant la donnée, le reste a relativement à la même [grandeur] un rapport donné ». Il est facile de comprendre ce que veut dire, pour une grandeur A, d'être plus grande qu'une autre grandeur B par une donnée D (doqevnti mei`zon ei\nai); cela signifie que A — D = B ou si l'on préfère que A — B est une donnée en grandeur 196. Mais, comme on le voit dans la proposition Data 10, la clause supplémentaire « h] ejn lovgw/ » spécifie que c'est le rapport A — D : B (où D est donnée) qui est donné ! Ici la présence du verbe “duvnasqai” signifie que la relation est appliquée aux carrés sur des droites d, d' : alors, ∆ désignant une aire donnée et T(d) le carré décrit sur d, le rapport T(d) — ∆ : T(d') est donné. • totalement spécifiée (Excès en puissance d'une droite sur une droite plus petite) (v) — « hJ … meivz wn duvnatai th`" … tw`/ ajp o; th`" … » (La [droite] … peut [produire] plus que la [droite]… par le [carré] sur la [droite]…); (v') — « hJ … meivz wn duvnatai th`" … th`/ … » (La [droite] … peut [produire] plus que la [droite]… par la [droite]…); 191 Papp., L. VII, Prop. 204 (p. 956, l. 7-8). 192 Dans Hipp./Eud./Simpl., Simpl. in Phys., p. 66, l. 23-24. 193 Ibid. p. 63, l. 11-13. 194 Ibid., p. 62, l. 33—p. 63, l. 1; p. 66, l. 19-20, l. 21-22. Arch., Sph.Cyl. II, Prop. 9 (Arch., I, p. 224, l. 5-6). Eut. in Arch SCII. 9 (Arch., III, p. 216, l. 14-15, cite le précédent); Simpl. in Phys., p. 66, l. 26-27. 195 Eucl., Data, Prop. 86 (EHM, VI, p. 168, l. 14). 196 Cf. Data, Df. 9.

La formule (v) est l'énoncé canonique de l'excès en puissance dans les Eléments 197: 126 occurrences198 contre 5 seulement pour (v') dont 3 dans un lemme vraisemblablement interpolé199. (v") — « w|/ mei`zon (e[l asson) duvnatai hJ … th`" … » (Ce par quoi la [droite] … peut [produire] plus (moins) que la [droite] … ) 200. (v") permet d'énoncer en termes de puissance toutes les égalités du type : T(a) = T(b) + Rect (c, d), par exemple II. 5-6. Ce que font les deux occurrences des Data pour II. 12-13 (généralisations du théorème de l'hypoténuse dans le cas des angles obtus et aigu). (vi) — « aiJ diavmetroi tw`n pleurw`nn … monavdi meivzou" (ejlavttou") h] diplavsiai dunavmei » (les diagonales sont plus grandes (petites) que les doubles des côtés par une unité) 201. d. Qualification des relations comm. et incomm. pour deux droites (i) — « dunavm ei suvmmetroi ei\nai » (être commensurables en puissance); hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 (ii) — « dunavmei ajs uvmmetroi ei\nai » (être incommensurables en puissance); (iii) — « suvmmetroi dunavm ei movnon ei\nai » (être commensurables en puissance seulement). Ces formules sont très fréquentes dans les Eléments (près de 300 occurrences). (d. i) est la moins utilisée: 24 occurrences202 dont 20 appartiennent à des passages du texte certainement inauthentiques. Quant à (d. ii) et (d. iii) elles apparaissent au moins une fois dans chaque Proposition des n°27 à 113, en particulier dans toutes celles de la classification des irrationnelles (n°36 à 111) et dans XIII. 6, 11 203. * Signalons quelques occurrences de formules qui ne correspondent pas à la théorie euclidienne de l'exprimabilité : 197 Également trois occurrences dans les Prop. 2-3 du Livre IV de la Collection de Pappus qui se rattachent à la classification euclidienne des irrationnelles (Papp., p. 180, l. 14-15; p. 182, l. 22-23; p. 184, l. 10-11). 198 Prop. X. 14, 17, 18, 30-33, Df. X. ii 1, 4, 48, 50-66, 71, 72, Df. X. iii, 1-4, 85-103, 108-113; XIII. 11. 199 Lemme X. 13/14 et une dans chacune des Prop. X. 29 [en non conformité avec la Prop. parallèle X. 30 qui utilise la formulation (v)] et XIII. 11. 200 Eucl., Data, Prop. 64 (EHM, VI, p. 116, l.15-18); Prop. 65, (ibid., p. 118, l. 21—p. 120, l. 2); Prop. 67, (ibid., p. 122, l. 16-18). Arch., Con.Sph., Prop. 9 (Arch., I, p. 300, l. 21). 201 Trois occurrences dans la célèbre description des nombres dits latéraux et diagonaux par Théon de Smyrne; Expositio, p. 44, l. 18—p. 45, l. 2; p. 45, l. 2-6; l. 7-8. La "même" formule est reprise dans Pr. in Remp., p. 24, l. 16-18 (avec renvoi aux Pythagoriciens), mais il manque "dunavmei". 202 Df. X. 2, X. 9 Por. et son ajout (« être commensurable en puissance » y est appliquée aux carrés), X. 18/19, l'ajout à X. 23 Por., X. 55 [EHS, III, p. 95, l. 15; une occurrence supplémentaire (ibid, p. 95, l. 8) qui n'existe pas dans le ms P ]. 203 Une occurrence de [2d. (iii)] chez Théon de Smyrne (Expositio, p. 117, l. 10-11) et dans les Definitiones attribuées à Héron (Hero, IV, p. 84, l. 24); trois dans les Prop. 2-3 du Livre IV de la Collection de Pappus (Papp., p. 180, l. 13-14; p. 182, l. 21-22; p. 184, l. 10). Les textes de Héron et Pappus se rattachent à la classification euclidienne des irrationnelles.

(i') — « rJhth;v dunavmei ei\nai » (être exprimables en puissance)204, dans X. 22 et XIII. 11 205, dont il y a toutes les raisons de penser qu'il s'agit de gloses interpolées. (i") — « rJhth;v dunavmei movnon ei\nai » (être exprimables en puissance seulement) 206. e. Expression de rapports spécifiés, exprimables en puissance seulement (i) — « hJ … th`" … ejpivtrito" (hJmioliva, diplasiva, triplasiva … , eJxaplasiva) dunavmei ei\nai » (La [droite] … est, en puissance, épitrite, hémiole, double, triple … sextuple de la [droite] …); (i') — « to; th`" … dunavm ei dwdekaplavsion mei`z ovn ejstin tou` dunavmei pentaplavsiou th`" … » (Le dodécuple en puissance de la [droite]… est plus grand que le quintuple en puissance de la [droite]… ) 207. (i") — « (hJ, aiJ) … trivton mevro" dunavmei (th`", tw`n) … ei\nai » 208; (ii) — « hJ … pentaplavsion (triplavsion, tetraplavsion, … , eJxaplavsion) duvnatai th`" (tou`) … » (La [droite] … peut [produire] [le] quintuple, ([le] triple, [le] quadruple … [le] sextuple] de la [droite] (du [segment]) …)209; hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 (ii') — « to; … pentaplavsion duvnatai tou` ajpo; th`" … » (Le [segment] … peut [produire] [le] quintuple du [carré] sur la [droite] …) 210. Cette rubrique est importante dans le fragment d'Hippocrate211 et dans les Eléments. La formule (e i) revient 28 fois, entre autres dans les énoncés des importantes Propositions XIII. 12-15 et du Porisme à XIII. 16212. On en trouve une chez Archimède213, 3 dans le Livre d'Hypsiclès214, 2 dans l'Almageste 215, 24 dans la Collection de Pappus (dont plusieurs références à des résultats du Livre XIII), 2 dans le commentaire de Théon à Almageste 216, une dans le commentaire d'Eutocius à la Proposition II. 9 de La sphère et le cylindre d'Archimède217. 204 Quatre occurrences dans la section 136. 34 des Definitiones (auteur inconnu) [Hero, IV, p. 138, l. 4 (opposition avec « mhvkei a[logo" »), l. 6-7, l. 24 (couplée avec « mhvkei rJhtaiv »), l. 24-25]. On les retrouve dans la scholie N°X. 9 aux Éléments (EHS, V, 2, p. 96, l. 25-26, l. 26-27; p. 97, l. 12, l. 12-13). 205 EHS, III, p. 36, l. 13 et IV, p. 157, l. 3 respectivement. Cf. Eucl., El., vol. 3, p. 155, note 179 qui parle d'une unique occurrence car curieusement Heiberg maintient la première dans son texte mais rejette la seconde. 206 Voir Definitiones, 136. 34 (Hero, IV, p. 140, l. 5-6); Theo in Alm., p. 471, l. 7. 207 Papp., L. V, Prop. 43 (p. 422, l. 29-33). 208 Papp, L. III, Prop. 57 (p. 154, l. 8-15; l. 23-25); 58 (p. 162, l. 1-3; l. 13-14); L. V, Prop. 39 (p. 412, l. 26-29). 209 Eucl., El., Prop. XIII. 2 (3 occurrences); Papp., L. V, Prop. 45 (citation instanciée de Eucl., El., Prop. XIII. 2, p. 430, l. 26). 210 Eucl., El., Prop. XIII. 1, 3, 11 (citation instanciée de XIII. 1), 16 (même chose pour XIII. 3). Nous avons traduit comme si on avait : « to; … duvnatai to; pentaplavsion tou` ajpo; th`" … ». Voir supra, 5, notre commentaire. 211 Sept occurrences de e (i) : Simpl. in Phys., p. 62, l. 16-18; p. 64, l. 18-19; p. 66, l. 16-17, 22-23; p. 67, l. 1618, l. 31, l. 36-37 (restitution). 212 V. Eucl., El., vol. 3, not. « Sur le L. X », C, 9, notes 88-92. 213 Arch., SC II, 9 (Arch., I, p. 224, l. 7). 214 L'énoncé de la Prop. XIV. 2 (EHS, V, 1, p. 4, l. 18-21), une citation de XIII. 16 Por. dans XIV. 3 (Ibid., p. 6, l. 8-10), une référence à XIII. 12 dans XIV. 9 (Ibid., p. 15, l. 20-23). 215 Ptol., I, p. 35, l. 8, 10; la seconde est également une référence à XIII. 12. 216 Theo in Alm., p. 467, l. 18-19; p. 467, l. 20—p. 468, l. 2 ( évidemment une référence à XIII. 12 !). 217 Arch., III, p. 220, l. 14-16.

(iii) — « hJ … eujqei`a eij" to;n doqevnta lovgon dunavmei tevm nein »218 (Couper la droite … dans le rapport donné en puissance). (iv) — « hJ … th`" … triplh` mhvkei, dunavm ei ejnnaplh` » (La [droite] … est triple de la [droite] … en longueur, nonuple en puissance) 219; (iv') — « ta; triplasiva (ejpivtrita) mhvkei, dunavmei ejnnaplavsia (e[nnata) » 220 (Ce qui est triple (épitrite) en longueur [est] nonuple (épinone) en puissance). 3. Qualification de relations de relations (proportions, inégalités de rapports) a. Proportions où l'un des rapports est qualifié "en puissance" (i) — « to;n aujto;n lovgon e[cein ta; X kai; aiJ d dunavmei » (Ont le même rapport, les X, et les d, en puissance) 221; (ii) — « X pro;" X' to;n aujto;n lovgon e[cein o}n hJ d pro;" th;n d' dunavmei » (X, relativement à X', a le même hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 rapport que d relativement à d', en puissance). En règle générale (X, X') sont des figures ou des aires et (d, d') des droites. Ces formules sont bien attestées chez Archimède (14 occurrences222), même si, à plusieurs reprises, il s'agit simplement de rappeler un résultat, entre autres, le porisme à Conoïdes et sphéroïdes, Prop. 6. (iii) — « lovgo" ejsti;n th`" … pro;" th;n … dunavmei o}n M pro;" N » 223 (Le rapport de la [droite] … relativement à la [droite] … est, en puissance, celui de M relativement à N); (iii') — « hJ … pro;" … dunavmei lovgon e[cei o}n M pro;" N »224; On peut considérer que les formules (3a. iii-iii') représentent un élément de (3b. iv) ou une étape dans l'énonciation d'une telle formule225. Version plus sophistiquée dans les Coniques d'Apollonius226. Le rapport "en puissance" intervient dans un rapport composé de rapports : (iv) — « to; uJpo; tw`n … pro;" to; ajpo; th`" … lovgon e[c ein to;n sugkeivmenon e[k te tou`, o}n e[c ei th`" … pro;" th;n (to;) … dunavmei, kai; tou`, o}n e[cei to; uJpo; tw`n … pro;" to; téevtarton mevro" tou` ajp o; th`" … » 218 Papp., L. VIII, Prop. 6 (p. 1044, l. 27). 219 Papp., L. V, Prop. 45 (p. 430, l. 19-21). 220 Papp., L. V, Prop. 53 (p. 456, l. 21-22). Formule analogue (avec diplasiva / tetraplasiva) dans Simpl. in Phys., p. 67, l. 36, mais qui appartient très probablement aux explications de Simplicius. 221 Dans Hipp./Eud./Simpl., Simpl. in Phys., p. 61, l. 6-7, 8-9; trois occurrences dans le commentaire d'Eutocius à la Prop. I. 13 de La sphère et le cylindre d'Archimède (Arch., III, p. 28, l. 29—p. 30, l. 4; p. 30, l. 7-10; l. 2326). 222 [3a. (i)] : Sph.Cyl., I. 13 (Arch., I, p. 56, l. 6, p. 60, l. 13, l. 15); Sph.Cyl., I. 14 (Ibid., p. 64, l. 1-2, p. 66, l. 10); [3a. (ii)] : Con.Sph. 6 Por. (Arch., I, p. 284, l. 6-7); Con.Sph. 21 (Ibid., p. 348, l. 19—p. 350, l. 1, p. 352, l. 21-22); Con.Sph. 22 (Ibid., p. 360, l. 8-9, 10-11); Con.Sph. 25 (Ibid., p. 376, l. 19-20); Con.Sph. 26 (Ibid., p. 388, l. 18-19); Spir, 25 (Arch., II, p. 94, l. 7-9); Spir., 26 (Ibid., p. 102, l. 31). 223 Papp., L. V, Prop. 45 (p. 430, l. 16-22; p. 432, l. 7-8; 8-9); L. VI, Prop. 35 (p. 546, l. 21-27). 224 Eut., In Arch. Dim.Circ. 3 (Arch., III, p. 236, l. 8-9). 225 L'occurrence de (iii') est une citation partielle de la formule (3b. iii) de la Mesure du cercle citée infra note 230*, reprise, entière par Eutocius un peu plus loin (réf. in note 230*). 226 Prop. III. 54 (p. 440, l. 9-16); III. 56 (p. 446, l. 23—p. 448, l. 3).

(Le rectangle [contenu] par les [droites] …, relativement au carré sur la [droite] … a, comme rapport, le composé de celui qu'a la [droite] …, en puissance, relativement à la [droite] …, et de celui qu'a le rectangle [contenu] par les [droites] …, relativement à la quatrième partie du [carré] sur la [droite] …). b. Proportions où intervient l'opposition « mhvkei / dunavmei » (i) — « wJ" hJ … pro;" th;n … mhvkei, ou[tw" hJ … pro;" th;n … dunavm ei » (comme la [droite] … est relativement à la [droite] … en longueur, ainsi est la [droite] … relativement à la [droite] … en puissance) 227; (ii) — « to;n aujto;n lovgon e[cein, hJ … pro;" th;n … mhvkei, o]n hJ … pro;" th;n … dunavmei » (Ont le même rapport, la [droite] … relativement à la [droite] … en longueur, celui de la [droite] … relativement à la [droite] … en puissance) 228; (ii') — « o}n e[cei lovgon hJ … pro;" th;n …, tou`ton e[cei to;n lovgon dunavmei hJ … pro;" th;n … » (ce rapport qu'a la [droite] … relativement à la [droite] …, c'est ce rapport-ci qu'a, en puissance, la [droite] … relativement à la [droite] …) 229; hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 (iii) — « hJ … pro;" th;n … dunavmei lovgon e[c ein o}n M pro;" N, mhvkei a[ra o}n m pro;" n » (La [droite] … , relativement à la [droite] …, a, en puissance, comme rapport, celui du [nombre] M à N, et donc, en longueur, celui de m à n) 230. La formule (iii) intervient dans la problématique de l'approximation de racines carrées; on doit donc avoir M : N ≈ m2 : n2. On trouve le même genre de formule chez Héron231. c. Inégalité de rapports où intervient l'opposition « mhvkei / dunavmei » 232 (i) — « hJ BG pro;" th;n GA meivzona lovgon e[cei h[per hJ EZ pro;" th;n ZD, kai; dunavmei kai; dielovnti kai; mhvkei hJ a[ra BA pro;" th;n AG meivzona lovgon e[cei h[per hJ ED pro;" th;n DZ » (BC, relativement à CA, a un rapport plus grand que celui de EZ relativement à FD, et en puissance, et, par séparation, BA, relativement à AC, a un rapport plus grand que celui de ED relativement à DF en longueur). 227 Arch., Quadr. 3 (Arch., II, p. 268, l. 2). Papp., L. IV, Prop. 17 (p. 230, l. 9-12); Eut., In Arch. Sph. cyl. I. 13 (Arch., III, p. 30, l. 25). 228 Arch., Sph.Cyl., I. 13 (Arch., I, p. 56, l. 9); Sph.Cyl., I. 14 (Ibid., p. 64, l. 3); Quadr. 4 (Arch., II, p. 268, l. 14, 16); Quadr. 19 (ibid., p. 302, l. 23-25). 229 Papp., L. IV, Prop. 16 (p. 230, l. 2-4). 230 Arch., Dim.Circ. 3 (Arch., I, p. 238, l. 1-2); Eut., In Arch. Dim.Circ. 3 (Arch., III, p. 236, l. 16-18). 231 « triplavsion a[r a ejsti; to; ajpo; th`" AD tou` ajpo; th`" DB. lov go" a[r a th`" AD pro;" th`" DB dunavmei wJ" e[ggista o}[n] tou` mq pro;" i": kai; mhvkei lovgo" th`" AD pro;" th`" DB, o}n z pro;" d » (le carré sur AD est donc triple de celui sur DB. Donc le rapport de AD, relativement à DB, est, en puissance, voisin de celui de 49 à 16; et en longueur, le rapport de AD relativement à DB est [voisin ?] de celui de 7 à 4). Metr., L. I, Lemme 19/20 (Hero, III, p. 54, l. 15-19). 232 Papp., L. VI, Prop. 41 (p. 568, l. 22-25).

Bibliographie 1. Editions et traductions : abréviations et références complètes Pour les textes anciens les plus fréquemment cités, nous nous référons aux éditions classiques à l'aide d'abréviations dont on trouvera la liste ci-dessous ainsi que les références complètes desdites éditions. Alex. in Met. = Alexandri Aphrodisiensis in Aristotelis Metaphysica commentaria = Ed. M. Hayduck (Comm. in Arstt. Græca I), Berlin, 1891 Anon. in Theaet. = Commentarium in Platonis « Theaetetum»Édition par G. Bastianini dans le Corpus dei Papiri Filosofici Greci e latini. Parte III : Commentari. Firenze, Leo S. Olschki, 1995, pp. 261-479. hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 Apoll. = Apollonii Pergaei quae Graece exstant cum commentariis antiquis (Eutocius), I-II. Ed. I. L Heiberg. Lipsiae, in aed. B. G. Teubner, 1891-1893. Réimpr. Stuttgart, 1974. Arch. = Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii, I-III. Iterum ed. I. L. Heiberg. Lipsiae, in aed. B. G. Teubner, 1910-1915. Réimpr. Stuttgart, 1972: I. De Sphaera et Cylindro libri I-II (Sph. Cyl. ), Dimensio Circuli (Circ. ), De Conoidibus et Sphaeroidibus (Con. Sph. ); II. De Lineis Spiralibus (Spir. ), De Planorum Aequilibriis libri I-II (Aequil. ), Arenarius (Aren. ), Quadratura Parabolae (Quadr.), De Corporibus Fluitantibus libri I-II (Fluit. ), Stomachion (Stom. ), Ad Eratosthenem Methodus (Eratosth. ), Liber Assumptorum, Problema Bovinum (Bov.), Fragmenta ; III. Prolegomena, Eutocii commentarii in libros De sphaera et cylindro, Eutocii commentarius in Dimensionem Circuli, Eutocii commentarius in libros De Planorum Aequilibriis, Scholia, Indices. Dioph. = Diophantus Alexandrinus, Opera omnia. Ed. P. Tannery, Lipsiae, in aed. B. G. Teubner, 1893. Réimpr. Stuttgart, 1974. EHM = Euclidis opera omnia. Ed. I. L. Heiberg & H. Menge. Lipsiae, in aed. B. G. Teubner : I. Elementa i-iv (1883); II. El. v-ix (1884) ; III. El. x (1886) ; IV. El. xi-xiii (1885); V. El. xiv-xv, Scholia, Prolegomena critica (1888); VI. Data, Marini Commentarius in Eucl. Data (1896) ; VII. Optica, Opticorum recensio Theonis, Catoptrica (1895) ; VIII. Phaenomena, Scripta musica, Fragmenta (1916) ; IX. Supplementum. EHS = Euclidis Elementa. Post Heiberg ed. E. S. Stamatis, Leipzig, in aed. B. G. Teubner : I. El. i-iv (1969) ; II. El. v-ix (1970) ; III. El. x (1972) ; IV. El. xi-xiii (1973) ; V,1. El. xiv-xv, Scholia in lib. iv (1977) ; V, 2. Scholia in lib. vi-xiii (1977). Eucl., Ad. I = The first Latin Translation of Euclid's Elements commonly ascribed to Adelard of Bath. Ed. H. L. L. Busard. Toronto, Pontifical Institute of Mediaeval Studies, 1983. Eucl., Él. = Euclide d'Alexandrie, Les Eléments. Paris, PUF, Bibliothèque d'histoire des sciences. Introduction générale par Maurice Caveing (Vol. 1). Traduction et commentaires par Bernard Vitrac. Volume 1, 1990 : Livres I à IV; Volume 2, 1994 : Livres V à IX; Volume 3, 1998 : Livre X; Volume 4, 2001 : Livres XI à XIII. Eucl., GC = The Latin translation of the Arabic version of Euclid's Elements commonly ascribed to Gerard of Cremona. Ed. H. L. L. Busard. Leiden, E. J. Brill, 1984. Hero = Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia. Ed. W. Schmidt, Lipsiae, in aed. B. G. Teubner. III. Metrica, Dioptra (1903, H. Schöne); IV. : Definitiones, Geometrica (1912, I.L. Heiberg); V. : Stereometrica (1914, I.L. Heiberg). Jamb. in Nic. = Iamblichi in Nicomachi Arithmeticam Introductionem Liber. Ed. H. Pistelli. Lipsiae, in aed. B. G. Teubner, 1894. Réimpr. Stuttgart, 1975. Theol. ar. = [Iamblichus], Theologumena Arithmeticae. Ed. V. de Falco. Lipsiae, in aed. B. G. Teubner, 1922. Réimpr. Stuttgart, 1975. Nic. Ar. = Nicomachi Gerasini Introductionis Arithmeticæ Libri II. Ed. R. Hoche. Lipsiae, in aed. B. G. Teubner, 1866.

Papp. = Pappi alexandrini collectionis quae supersunt. Ed. F. Hultsch, Berlin, Weidmann, 1876-78 : I. Libr. ii, iii, iv, v, rel. ; II. Libr. vi, vii, rel. ; III. 1. Libr. viii, rel., schol., suppl.; III. 2. indices. Réimpr. Amsterdam, A. M. Hakkert, 1965. Papp. in X. = The Commentary on Book X of Euclid's Elements. Ed. et trad. anglaise W. Thomson; Introduction, notes, et glossaire par G. Junge et W. Thomson, Cambridge, Harvard Univ. Press, 1930 Pr. = Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum Commentarii. Ed. G. Friedlein. Lipsiae, in aed. B. G. Teubner, 1873. Réimpr. Hildesheim, 1967. Pr. in Remp. = Procli Diadochi in Platonis Rempublicam Commentarii. Ed. W. Kroll. Lipsiae, in aed. B. G. Teubner, vol. 1, 1899; vol. 2, 1901. Ptol. = Claudii Ptolemaei opera quae exstant omnia. Ed. I. L. Heiberg. Lipsiae, in aed. B. G. Teubner. Volumen I, Pars I. : Syntaxis Mathematica, Lib. I-VI, 1898; Pars II. : Syntaxis Mathematica, Lib. VII-XIII, 1903. Volumen II. Opera Astronomica Minora, 1907. Sereni. = Sereni Antinoensis opuscula. Ed. I. L. Heiberg, Lipsiæ, in aed. B. G. Teubner, 1896. hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 Simpl. in Phys. = Simplicii in Aristotelis Physica lib. I-IV commentaria. Ed. H. Diels (Comm. in Arstt. Græca IX), Berlin, 1882. Theo in Alm. = Théon d'Alexandrie, Commentaires sur l' Almageste. Ed. A. Rome. L. I-II, Studi e Testi n° 72. Cité du Vatican, Biblioteca Apostolica Vaticana, 1936; L. III-IV, Studi e Testi n° 106. Cité du Vatican, Biblioteca Apostolica Vaticana, 1943. [Wehrli, 1969] = Fragments d'Eudème dans Wehrli, F., Die Schule des Aristoteles, Texte und Kommentar. Schwabe & Co. Basel/Stuttgart. Vol. VIII. : Eudemos von Rhodos, 1969. 2. Littérature moderne Allman, G. J., Greek Geometry from Thales to Euclid. Dublin, Hodges, Figgis, 1889. Réimp. New York, Arno 1976. Aujac, G., « Le langage formulaire dans la géométrie grecque ». Revue d'Histoire des Sciences, 37, 2, 1984, pp. 97-109. Becker, O., « Eudoxos-Studien I. Eine voreudoxische Proportionenlehre und ihre Spuren bei Aristoteles und Euclid ». Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie, und Physik. Abteilung B, 2, 1933, pp. 311-333. Becker, O., « Eudoxos-Studien II. Warum haben die Griechen die Existenz der vierten Proportionale angenommen ? ». Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie, und Physik. Abteilung B, 2, 1933, pp. 369-387. Becker, O., « Die Lehre vom Geraden und Ungeraden im Neunten Buch der Euklidischen Elemente ». Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abteilung B, B. 3, 1934, pp. 533-553. Repris In [Becker, O. (ed.), Zur Geschichte der griechischen Mathematik. Darmstadt, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1965, pp. 125-145. Becker, O., « Eudoxos-Studien III. Spuren eines Stetigkeitaxioms in der Art des Dedekindschen zur Zeit des Eudoxos ». Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie, und Physik. Abteilung B, 3, 1936, pp. 236-244. Becker, O., « Eudoxos-Studien IV. Das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten in der griechischen Mathematik ». Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie, und Physik. Abteilung B, 3, 1936, pp. 370-88. Becker, O., « Zur Textgestaltung des eudemischen Berichts über die Quadratur der Mönchen durch Hippokrates von Chios ». Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie, und Physik. Abteilung B, 3, 1936, pp. 411-418.

Bowen, A. C., Compte- Rendu de [Szabo, 1969]. Historia mathematica, 11, 1982, pp. 335-344. Bretschneider, C. A., Die Geometrie und die Geometer vor Euklides. Leipzig, B. G.Teubner 1870. Réimp. Wiesbaden, Sandig, 1968. Burnyeat, M. F., « The Philosophical sense of Thaetetus' Mathematics ». Isis 69, 1978, pp. 489-513. Caveing, M., « A propos des débuts des mathématiques grecques (Compte- Rendu de [Szabo, 1969]) ». Revue d'Histoire des Sciences, XXXII, 2, 1979, pp. 163-168. Caveing, M., La constitution du type mathématique de l'idéalité dans la pensée grecque. Thèse soutenue le 29/10/77, (3 volumes). Atelier national de reproduction des thèses de Lille, 1982. Caveing, M., L'irrationalité dans les mathématiques grecques jusqu'à Euclide. Lille, Presses Universitaires du Septentrion, 1998. Fowler, D. H., The story of the Discovery of Incommensurability, Revisited, In Christianidis, J., Gavroglu, K., & Nicolaïdis, E., (eds), Trends in the Historiography of Science. Dordrecht / Boston / London. Kluwer Academic Publ. Boston Studies in the Philosophy of Science, Vol. 151, 1994, pp. 221-235. hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 Freudenthal, H., Y avait-il une crise des fondements des mathématiques dans l'Antiquité ? Bulletin de la Société mathématique de Belgique, 18, 1966, pp. 43-55. von Fritz, K., art. «Theaitetos » de la Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft. G. Wissowa (ed.), 2 série, Band V, 1934, col 1354. Gow, J., A Short History of Greek Mathematics. Cambridge, 1884. Rééd. révisée, New York, Chelsea Pub. Comp., 1968. Hasse, H. et Scholz, H., « Die Grundlagen-Krisis der griechischen Mathematik ». Kants-Studien 33. Berlin, 1928, pp. 4-34. Heath T. L., A History of Greek Mathematics, Oxford, Clarendon Press, 1921 : I. From Thales to Euclid; II. From Aristarchus to Diophantus. Réed. New York, Dover Pub., 1960. Høyrup, J., « Dynamis, the Babylonians, and Theaetetus 147 c7 - 148 d7 ». Historia Mathematica, 17, 1990, pp. 201-222. Knorr, W. R., The Evolution of the Euclidean Elements. Dordrecht, Boston. D. Reidel, 1975. Knorr, W. R., « Archimedes and the pre-Euclidean Proportion Theory ». Archives Internationales d'Histoire des Sciences N°28, 1978, pp. 182- 244. Knorr, W. R., « "Arithmêtikê stoicheiôsis" : On Diophantus and Hero of Alexandria ». Historia Mathematica, 20, 1993, pp. 180-192. Mugler, Ch., Dictionnaire historique de la terminologie géométrique des Grecs, 2 vol. Paris, Klincksieck, 1958. Rudio, F., Der Bericht des Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates. Leipzig, B. G. Teubner, 1907. Réimp. Vaduz, Sändig, 1968. Szabó, A., Anfänge der griechischen Mathematik. Budapest, Akadémiai Kiado, 1969. Traduction : Les débuts des mathématiques grecques. M. Federspiel. Paris, Vrin, 1972. Taisbak, C. M., Coloured Quadrangles. A guide to the Tenth Book of Euclid's Elements. Copenhagen, Museum Tusculanum Press, 1982. Tannery, P., Mémoires scientifiques, 17 vol. J. L. Heiberg et H. G. Zeuthen (eds). Paris/Toulouse, Gauthier-Villars, 1912-1950. Sciences exactes dans l'Antiquité, I. (1876-1884 ), 1912. II. (1883-1898 ), 1912. III. (1889-1913 ), 1915. N° 2 (publication originale, 1876) : « Le nombre nuptial de Platon »;

N°25 (publication originale, 1883) : « Le fragment d'Eudème sur la quadrature des lunules »; N°34 (publication originale, 1884) : « Sur la langue mathématique de Platon »; N°48 (publication originale, 1889) : « L'hypothèse géométrique du Ménon de Platon ». Vinel, N., « Sur les o[gkoi et les dunavmei" du Timée 31 c5. Contre les interprétations modernes ». Revue des Études classiques, 2003, N°71, fasc. 1, pp. 51-70. Vitrac, B., « Note Textuelle sur un (Problème de) Lieu Géométrique dans les Météorologiques d'Aristote (III. 5, 375 b 16—376 b 22) ». Archive for History of Exact Sciences, 56, N°3, May 2002, pp. 239-283. Vitrac, B., « Les scholies grecques aux Éléments d'Euclide ». Revue d'Histoire des Sciences, 2003, vol. 56/2, pp. 275-292. Vitrac, B., « Peut-on parler d'algèbre dans les mathématiques grecques anciennes ? ». Mirror of Heritage (Ayene-ne Miras), Téhéran, New Series Vol. 3, N°1, (28), Spring 2005, pp. 1-44. hal-00290623, version 1 - 2 Feb 2010 Vogt, H., « Die Entdeckungsgeschichte des Irrationalen nach Plato und anderen Quellen des 4. Jahrhunderts ». Bibliotheca Mathematica 10 (3è série), 1909/1910, pp. 97-155.