Das Problem des pythagoreischen Kommas in der arabischen Musiktheorie

der arabischen Musiktheorie ea ody Autor(en): Reinert, Benedikt Objekttyp: Article Zeitschrift: Asiatische Studien : Zeitschrift der Schweizerischen \ VY a\ Asiengesellschaft = Etudes asiatiques : revue de la Societe Suisse - Asie Band (Jahr): 33 (1979) Heft 2 PDF erstellt am: 21.07.2014 Persistenter Link: http://dx.doi.org/10.5169/seals-146555 Nutzungsbedingungen Mit dem Zugriff auf den vorliegenden Inhalt gelten die Nutzungsbedingungen als akzeptiert. Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die angebotenen Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungshinweisen und unter deren Einhaltung weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. Die Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schriftlichen Einverständnisses der Rechteinhaber. Haftungsausschluss Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständigkeit oder Richtigkeit. Es wird keine Haftung übernommen für Schäden durch die Verwendung von Informationen aus diesem Online-Angebot oder durch das Fehlen von Informationen. Dies gilt auch für Inhalte Dritter, die über dieses Angebot zugänglich sind. Ein Dienst der ETH-Bibliothek ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz, www.library.ethz.ch http:/retro.seals.ch

der arabischen Musiktheorie Autor(en): Reinert, Benedikt Objekttyp: Article Zeitschrift: Asiatische Studien : Zeitschrift der Schweizerischen Asiengesellschaft = Études asiatiques : revue de la Société Suisse - Asie Band (Jahr): 33 (1979) Heft 2 PDF erstellt am: 21.07.2014 Persistenter Link: http://dx.doi.org/10.5169/seals-146555 Nutzungsbedingungen Mit dem Zugriff auf den vorliegenden Inhalt gelten die Nutzungsbedingungen als akzeptiert. Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die angebotenen Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungshinweisen und unter deren Einhaltung weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. Die Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schriftlichen Einverständnisses der Rechteinhaber. Haftungsausschluss Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständigkeit oder Richtigkeit. Es wird keine Haftung übernommen für Schäden durch die Verwendung von Informationen aus diesem Online-Angebot oder durch das Fehlen von Informationen. Dies gilt auch für Inhalte Dritter, die über dieses Angebot zugänglich sind. Ein Dienst der ETH-Bibliothek ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz, www.library.ethz.ch http://retro.seals.ch

IN DER ARABISCHEN MUSIKTHEORIE 1. Prämissen 1.1. Das pythagoräische Komma tritt seinem Wesen nach nur in einem Tonsystem auf, dessen Toncharaktere durch reine Quintschritte auseinander ableitbar sind. Es lässt sich in dieser Umgebung auf zwei Arten definieren. Einmal als Differenz zwischen Apotome (chromatischer Halbton, z.B. c—cis) und Leimma (pythagoräischer Halbton, z.B. cis—d), den beiden Bestandteilen des pythagoräischen Ganztons (Differenz von Quinte und Quarte, z.B. c—d). Diese Art der Ableitung, die empirische, ist schon in den Fragmenten des Philolaos (530-470 v.Chr.) bezeugt!. Zum andern versteht man unter dem pythagoräischen Komma den Höhenunterschied zwischen zwei Tönen N und M, von denen der eine (M, z.B. his, resp. deses) dadurch gewonnen wird, dass man vom anderen (N, in diesem Fall c) zwölf Quinten aufwärts und sieben Oktaven abwärts (resp. vice versa) schreitet. In Schwingungsverhältnissen ausgedrückt _ 5 _ lautet der Vorgang ar 2 1 (A 7 27 ~ 524288 >": E 524288 531441 was ungefáhr 23,5 Cents ausmacht. Diese zweite, die arithmetische Art der Ableitung, wirft die meisten Probleme auf, die uns im Folgenden bescháftigen werden. Die Problemstellung ist seit Euklid (um 300 v.Chr.) sicher belegt?. Die entsprechende Rechnung wird allerdings erst in wesentlich späteren Quellen explizit durchgeführt?. 1 ? Vgl. Burkert, Weisheit und Wissenschaft 373 3ff. Sectio canonis 157f.; vgl. dazu van der Waerden, Harmonielehre 177 4ff.; Miinxelhaus; Pythagoras musicus 117. Burkert, 11 373, Anm. 48.

Die Tatsache, dass man durch die angegebene Prozedur von 12 Quint- weniger 7 Oktavschritten auf einen Ton M stôsst, der sehr nahe bei dem Ausgangston N liegt, stellt zwischen M und N eine Ahnlichkeitsbeziehung her, die über die verwandtschaftliche Entfernung der beiden Töne hinwegsehen und unter gewissen Bedingungen sogar ihre Tonhôhendifferenz vernachlässigen lasst. Erklingen die beiden Tône unmittelbar nacheinander, so wird ihr Unterschied allerdings deutlich wahrgenommen und erlaubt keine Vertuschung. Unser Ohr kann hôchstens dann über ihre Differenz hinwegsehen, wenn ein anderes Intervall als die Prim um das Komma vermehrt oder vermindert wird, wenn also ein Fall wie das Verhältnis von Leimma zu Apotome vorliegt (vgl. 4.5.). In solchen Fallen ist unter Umständen die Substitution von M durch N oder umgekehrt möglich. Man könnte dies als indirekte Gleichsetzung von M und N bezeichnen. Sie spielt eine Rolle bei Melodietranspositionen im Bereiche eines beschrankten, festgelegten Tonmaterials (vgl. 3.6.). Auf das damit berührte Problem der Fahigkeit unseres Gehôrs, einen Ton M im Sinne von N umzudeuten, kann ich hier nicht eingehen? . 1.3. môglich, Eine direkte Gleichsetzung von M und N wenn man den zwólfmal ist praktisch nur dann durchgeführten Quintschritt derart verkleinert, dass die sieben Oktaven Riickweg tatsáchlich zum Ausgangston N zurückführen. Eine solche Quinte misst statt annáhernd 702 Cents genau 700. Sie ist ein künstliches, nicht durch einen spontanen Gehörsakt, sondern auf technischem Wege hervorgebrachtes Intervall, dessen musikalische Wirklichkeit bezweifelt werden kann’. Vereinfacht man den geschilderten Vorgang der zwölffachen Quintenreihung durch Wechselwegnahme, d.h. durch sechsmalige Verminderung einer Quinte um eine Quarte, so ergibt sich eine Reihung von sechs temperierten Ganztönen zu je 200 Cents (700-500 Cents). Anders ausgedrückt wird sechsmal hintereinander das genaue Sechstel einer Oktave gesetzt. Eine entsprechende Reihung von sechs pythagoräischen Ganztönen erzeugt das Intervall einer Oktave + pythagoräisches Komma. 4 Vgl. hierzu etwa die noch vor der Auflösung der Tonalität geschriebenen Bemerkungen von Helmholtz, Tonempfindungen 488ff. ° Ich spreche hier nur vom grundsätzlichen Problem der musikalischen Wirklichkeit abstrakter temperierter Intervalle, nicht etwa von der Frage, inwieweit unser Gehör bei einer Quinte noch den Unterschied von knapp 2 Cents wahrnehme. 12-stufig temperierte Intervalle dürften nur in der Atonalität einen musikalischen Eigenwert besitzen (vgl. Pfrogner, Zwölfordnung 16ff.).

1.4. Die genaue Sechsteilung der Oktave hat aber zwei Aspekte. Den einen könnte man die naive Sechsteilung nennen. Sie besteht darin, dass man mit ungefähren Intervallen rechnet: man geht von intuitiven Begriffen wie Ganzton und Halbton aus, um aus diesen Elementarintervallen die übrigen Intervalle zusammenzusetzen. Dabei wäre der Halbton als zwölfter, der Ganzton-als sechster Teil der Oktave zu verstehen und die Quarte als zweieinhalb, die Quinte als dreieinhalb Ganztöne definiert. Den gedanklichen Hintergrund dürfte die geometrische Vorstellung einer einfachen Streckenteilung bilden®. Diese zwar anschauliche, aber unserem tatsächlichen Hören nicht entsprechende Betrachtung ist an den Namen von Aristoxenos (Mitte 4. Jht. v.Chr.) geknüpft”, aber wahrscheinlich älter. Aristoxenos hat sie jedenfalls zur Grundlage einer differenzierten Intervalltheorie gemacht. 1.5. Der andere Aspekt betrifft die arithmetische Realisierung der naiven Oktavteilung, d.h. die Suche nach sechs, resp. zwölf gleichen Schwingungsverhältnissen, die miteinander multipliziert das Schwingungsverhältnis der Oktave (2 : 1) ergeben®. Für den Halbton resultiert dabei 23, für den Ganzton 2}, beides irrationale Zahlen. Die Tatsache, dass sich natürliche Intervalle durch rationale Zahlen nicht in zwei — geschweige denn mehr — gleiche Intervalle teilen lassen, war selbstverständlich schon den Griechen bekannt. Das Gewicht der ““pythagoräischen” Anschauung hatte aber dafür gesorgt, dass eine derartige Teilung als “unméglich abgelehnt wurde? , obwohl man von der Geometrie her bereits mit der Vorstellung einer Proportion zwischen einer rationalen und einer irrationalen Grösse vertraut war!°. So kommt es, dass noch Ptolemaios (Mitte ° Burkert, 1.1. 351,1; 349,6f. 7 In den erhaltenen Stoicheia des Aristoxenos sind nicht alle diesbezüglichen Überlegungen ausgeführt. Sie zeigen aber, dass er die Quarte als 2 Ganztöne + 1 Halbton und die Quinte als Quarte + 2 Halbtöne auffasste (Elementa 56,14 bis 58,5 = ed. da Rios 70ff.). Dass eine Oktave für ihn aus sechs Ganztönen bestand, erwähnen u.a. Ptolemaios (Harmonielehre, ed. Düring 21,24) und Boéthius (De institutione musica V, 13 = ed. Friedlein 363; zitiert von da Rios, Elementa 111). ® hältnis Ich beziehe die Intervall-charakteristischen Zahlenproportionen auf das Verder Schwingungsfrequenz, obwohl die Griechen normalerweise mit dem Verhältnis der Saitenlängen rechneten. Das Prinzip der Frequenz-Proportion scheint ihnen jedoch relativ früh schon bekannt gewesen zu sein (vgl. Burkert, 1.1. 357ff.). 2 van der Waerden, Erwachende Wissenschaft 1, 260, —9ff.; Burkert, LL 375, —4ff.; 349, Anm. 5. 10 Vgl. dazu van den Waerden, 11. 261; 276ff. Besondere Verdienste scheint sich Eudoxos (1. Hälfte 4. Jht. v.Chr.) auf diesem Gebiet erworben zu haben (vgl. Burkert, LL 352, Anm. 20;Pauly-Wissowa 6/1, 935).

2. Jh. n.Chr.) die Môglichkeit von Intervallen mit irrationalem Schwingungsverhältnis gar nicht in Erwägung zieht. Ebenso verfuhr auch die griechisch beeinflusste arabische Theorie, Farabi (st. 950) eingeschlossen (vgl. 2.1.). Avicenna (st. 1037) hält dann zwar fest, dass eine genaue Intervallhälftung nur bei einer Proportion zwischen Quadratzahlen in Frage komme!!, denkt aber genau so wenig wie Ptolemaios an die grundsätzliche Möglichkeit einer Halbierung durch Wurzelziehen. Indirekt reflektiert die prinzipielle Ignorierung irrational definierter Intervalle die Tatsache, dass die ‘‘temperierten’’ Aristoxenischen Intervalle keinen realen, sondern nur einen theoretischen Wert haben (vgl. 2.5.). 1.6. Ob es unter solchen Umständen berechtigt ist, Aristoxenos als den geistigen Vater unserer Temperierung zu feiern!?, bleibe dahingestellt. Uns interessiert hier nur die unmittelbare Wirkung seiner Theorie. Der Versuch, sie mit der älteren pythagoräischen Proportionenlehre in Verbindung zu bringen, endete mit der frustrierenden Feststellung, dass sie sich gegen eine arithmetische — und damit auch musikalische — Verwirklichung mit natürlichen Intervallen sperre!?: anstelle einer sauberen Lösung fand man den Sand des Kommas im Getriebe der Intervalle. Entwicklungsgeschichtlich darf man dies vielleicht in dem Sinne interpretieren, dass erst die naive Betrachtung des Aristoxenos die arithmetische Definition des pythagoräischen Kommas bewusst machte, während vorher die empirische genügte (vgl. 1.1.). Gegen eine solche Annahme scheint mir nichts Konkretes zu sprechen. Wie dem auch sei, die missliche Erfahrung mit dem Versuch, der Aristoxenischen Vorstellung mit pythagoräischen Mitteln arithmetische Nachachtung zu verschaffen, führte zu einer entsprechend kritischen Auseinandersetzung damit. So noch bei Ptolemaios (Mitte 2. Jht. n.Chr.)!*, und Ptolemaios spielte eine bedeutsame Rolle bei der arabischen Adaption der griechischen Musiktheorie!5. Ich 11 Sifa’, übers. d’Erlanger 2, 136, 2ff. Eine Präzisierung des Gedankens findet man bei Avicennas Schüler Ibn Zaila (st. 1048) (Kafı, Ms. Brit. Mus. 225a, 1ff.). 12 Vel. hierzu etwa Hans Kayser, Lehrbuch 237a; etwas differenzierter wird die Lehre des Aristoxenos von Pfrogner, Zwölfordnung 89-105, evaluiert. 13 Seinen arithmetischen Ausdruck findet dieses Dilemma in der zahlentheoretischen Unmöglichkeit, aus dem Ausdruck E . 3yn (Reihung von n Ganztônen, der Ganzton als Differenz von Quinte und Quarte verstanden) bei natiirlichem n eine Potenz von 2 zu gewinnen. 14 Ptolemaios, Harmonielehre 21ff.; vgl. a. Husmann, Grundlagen 40. 15 Neben Euklid, Aristoxenos und Nikomachos (vgl. Farmer, History 152; Farmer, Sources 15f.).

nenne daher die Gegenposition von Pythagoräern und Arithmetikern gegeniiber Aristoxenos kurzerhand ptolemdisch. Dass aber weder bei den Griechen noch bei oppositionellen den Arabern Standpunkte jemand vollzog die und mit Synthese der beiden einer Temperatur die Aristoxenische Vorstellung verwirklichte, ist bemerkenswert. 1.7. Zum Abschluss sei auf einen Punkt hingewiesen, der in besonderer Weise die grundsätzliche Verschiedenheit der beiden Standpunkte zu veranschaulichen vermag. Er betrifft die Zahl der Toncharaktere. Diese ist identisch mit der Zahl der verschiedenen Intervalle, die von einem festen Ausgangston aus möglich sind, sofern man Oktavversetzungen ausseracht lässt. Bei der aristoxenischen Betrachtung ist diese Zahl endlich, und dies wiederum besagt, dass man durch die Reihung ein und desselben Intervalls nach einer Anzahl von Schritten — es sind höchstens so viele wie es Toncharaktere gibt — wieder zum Toncharakter des Ausgangstons zurückkehrt. Ein aristoxenisches System ist in diesem Sinne geschlossen, zyklisch. Demgegenüber erzeugt dieselbe Art der Intervallreihung in einem pythagoräisch-ptolemäischen System immer neue Toncharaktere und damit unbegrenzt viele verschiedene Intervalle, auch wenn Toncharaktere und Intervalle von einem gewissen Punkt an so nahe beieinander liegen, dass unser Ohr Mühe hat, sie zu unterscheiden. Ein ptolemäisches System wäre demnach offen und bis zur Grenze unserer Hörfähigkeit erweiterungsfähig (vgl. Erkenntnis: 3.7.; 4.3.ff.). Aus dem Gesagten folgt eine wichtige Da nach Voraussetzung die hier betrachteten Intervalle bijektiv auf die entsprechenden Toncharaktere abbildbar sein sollen, sind sie gegenüber Oktavdifferenzen invariant. Dann aber bilden aristoxenische und ptolemäische Intervalle je eine kommutative Gruppe, jene eine endliche mit dem Halbton als Erzeugungsintervall, diese eine unendliche mit dem Erzeugungsintervall der Quinte. Gruppenoperation ist die Intervallverknüpfung, neutrales Element die Prim (identisch mit Oktave, Doppeloktave etc.), Inverses das jeweilige Komplementärintervall zur Oktave; die Verknüpfung aristoxenischer Intervalle ergibt aristoxenische, die Verknüpfung ptolemäischer Intervalle ptolemäische. Im übrigen erhält man in beiden Fällen eine Untergruppe, wenn man anstelle von Halbton, resp. Quinte als Erzeugungsintervall den (temperierten, resp. pythagoräischen) Ganzton nimmt. Die Ausführung des Gesagten sieht im Einzelnen so aus: Wir bezeichnen den Toncharakter des Ausgangstons mit to und indizieren die weiteren Toncharaktere mit der Zahl der Schritte, die zu den betreffenden Tönen führt. Dann bedeuten t1, 12,13, t4, ... im Falle to = c aristoxenisch die Töne cis/des, d, dis/es, e, . . . und ptolemäisch

g, d, a, e, ... Auf Intervallebene entspricht dem Toncharakter tn das Intervall in, wobei ij, i2, i3, ig, ... aristoxenisch kleine Sekunde, grosse Sekunde, kleine Terz, grosse Terz etc. bezeichnen und ptolemäisch Quinte, grosse Sekunde, grosse Sexte, grosse Terz etc. (ij2 wäre das pythagoräische Komma). Für die Intervallerzeugung nach der umgekehrten Richtung führen wir negative Indices ein. Aristoxenisch gilt dabei i_] =ij1,i-2 =i10, i_3 = ig etc., oder allgemein in = ik, fiir n= 12 m+ k, wenn m, n ganze Zahlen sind und k eine natürliche Zahl, die > 0 und < 11 ist. Ptolemäisch bezeichnet i_n die Reihe der Unterquinten, also i_] die Quarte, i_2 die kleine Septime, i_3 die kleine Terz etc. Mit diesen Symbolen lassen sich jedwelche Intervallverknüpfungen darstellen und ausrechnen: das Resultat ergibt sich durch Addition und (Oktav-)Reduktion der Indices. Z.B. wäre B-A-C-H (mit B = to) aristoxenisch i]]° i3° ij] =i25 =ij (oder i_jo i3o i_j= ij) und ptolemäisch iso i_30 is = i7. 2. 2.1. Die Komma-Theorie Farabis Der erste arabische Musiktheoretiker, von dem sich eine Erörterung des Komma-Problems erhalten hat, ist Farabi (st. 950)! . Besonderes Interesse verdient dabei die Tatsache, dass er die Entwicklung vom aristoxenischen zum ptolemäischen Gesichtspunkt (vgl. 1.5. Ende), d.h. das theoriebezogene Bewusstwerden des Komma-Problems, nochmals nachvollzieht. Er betrachtet zunächst die Zusammensetzung und Teilung musikalischer Intervalle aufgrund aristoxenischer, naiver Grössenvorstellungen wie Halbton und Ganzton, nach denen dieser doppelt so gross wie jener wäre und sechsmal aneinandergereiht eine Oktave ergäbe?. Hieran knüpft er eine zweite Erörterung, die von der arithmetischen Intervallkombination und -teilung des Ptolemaios ausgeht und die naiven Begriffe durch exakte Saitenlängenverhältnisse ersetzt. Die Bezugnahme auf die erste, die naive Betrachtung führt Farabi zwangsläufig zum Problem des pythagoráischen Kommas?, wogegen er, wie bereits angedeutet, nicht einmal Ansätze zum dritten Schritt, dem der arithmetischen Auswertung der aristoxenischen Vorstellung zeigt (vgl. ! 1.5.). Spricht er etwa von Die Frage, ob Farabi tatsächlich der erste arabische Musiktheoretiker war, der sich mit dem Komma-Problem beschäftigt hat, muss wegen des weitgehenden Verlusts der älteren Quellen offen bleiben. Möglicherweise wurde das Problem schon von Abu 1-‘Abbas as-Sarahsi (st. 899) in seinen Kitab al-Musigi al-kabir (vgl. Farmer, Sources, Nr. 66) erörtert. 2 K. al-Mus. al-kab. 142-163. ib. 163,-3ff.

“Halbierung” eines Intervalles, so meint er damit nie eine arithmetische Hälftung, sondern nur eine annähernde, nämlich die “harmonische Teilung”*, d.h. die Unterteilung eines Ingervalls in zyei verschiedene, emander ungefähr gleiche Intervalle wie 37 und 30. 19 und 13 oder 45 und 42 : 2.2. Bis hierher also bringt Farabis Theorie gegenüber dem griechischen Erbe nichts Neues. Nun baut er aber den Gedanken der Unstimmigkeit zwischen Aristoxenischer Anschauung und Ptolemäischem Rechnen weiter aus. Da den sechs Ganztonschritten nach naiver Vorstellung sechs unter sich gleiche Teile der Oktave entsprechen, stellt er sich die Frage, ob die Differenz zwischen Ganzton und Oktavsechstel, d.h. der sechste Teil eines pythagoräischen Kommas, vom menschlichen Gehör ebenfalls registriert werden könne, oder ob es erst die Summe, das pythagoräische Komma selbst, wahrzunehmen imstande sei. Er entscheidet sich dezidiert für die zweite Möglichkeit der Alternative gegen die erste”. 2.3. Bevor wir an die Frage nach deni Grund von Farabis Position herantreten, seien kurz die Vergleiche vorgestellt, mit denen er die beiden Aspekte des Problems zu veranschaulichen sucht. Den allgemeinen Fall der ersten Möglichkeit sieht er darin, dass eine Wirkung, die eine Menge minimaler Objekte ausübt, in entsprechender Verkleinerung auch vom einzelnen Minimalobjekt verursacht wird, auch wenn dies für uns unter der Wahrnehmungsschwelle liegt. So höre man beispielsweise beim Ausgiessen von Hirsenkörnern einen Laut; einen entsprechenden, wenn auch wesentlich schwächeren, müsste auch das einzelne Hirsenkorn hervorbringen. Als Autor dieses Vergleichs vermerkt Farabi Zenon®. Für das Bild der zweiten Möglichkeit fehlt eine derartige Quellenangabe. Farabi exemplifiziert sie damit, dass zwanzig Männer ein Schiff (vom Ufer aus) flussaufwärts ziehen können. Würde dies jedoch ein Einzelner versuchen, so brauchte er nicht zwanzigmal mehr Zeit, sondern vermöchte das Schiff überhaupt nicht von der Stelle zu bewegen, auch wenn er ein ganzes Jahr lang zöge?. * Zum Problem der “harmonischen Teilung” vgl. Handschin, Toncharakter 211ff. SK. al-Mus. al-kab. 281,—1ff.; 283,1ff.; 283,—1ff. ©a0= ib. 166,—1ff. ib. 167,—Sff.

Warum Farabi den Sachverhalt im Sinne der zweiten Möglichkeit deuten wollte, erklärt er weder explizit noch anhand seiner Vergleiche. Vielleicht könnte eines seiner naturwissenschaftlichen Werke einen Hinweis darauf enthalten!®. Die betreffenden Handschriften sind mir im Augenblick jedoch nicht zugänglich!!. Fest bleibt jedenfalls die Tatsache, dass Farabi zwischen der Tonhöhendifferenz eines pythagoräischen Kommas und der von Ganzton und Oktavsechstel nicht bloss einen quantitativen, sondern einen wesentlichen, qualitativen Unterschied sah, und dass für ihn dieser Unterschied in der grundsätzlichen Apperzeptionsfähigkeit des Menschen lag, nicht etwa in der individuell verschieden entwickelten Fähigkeit, kleinste Tonunterschiede wahrzunehmen (vgl. unten 2.6.). In dieser Richtung wird denn auch die Antwort auf unsere Frage zu suchen sein. 2.5. In der Tat unterscheiden sich die beiden Tondifferenzen in prinzipieller Hinsicht. Beim pythagoräischen Komma werden zwei natürliche musikalische Intervalle verglichen: das eine, die Oktave, ist ein äusserst einfaches Intervall, das andere, der sechsfache Ganzton, ein sehr viel komplizierteres, aber nichtsdestoweniger durch eine rationale Zahl darstellbar. Anders verhält es sich beim Sechstelkomma. Dort verdient nur das eine der beiden miteinander verglichenen Intervalle das Prädikat natürlich, der Ganzton. Das andere dagegen, die Sechsteloktave, ist irreal, durch ein irrationales Schwingungsverhältnis gekennzeichnet. Es stellt in dieser Eigenschaft eine bloss theoretische Grösse dar und ist von unserem Ohr wahrscheinlich gar nicht genau verifizierbar (vgl. 1.3.; 1.5. Ende). In der musikalischen Praxis dürfte dieses Intervall, der temperierte Ganzton, — von seiner atonalen Interpretation in moderner abendländischer Musik einmal abgesehen — wohl immer nur im Sinne eines Näherungswertes, als approximative Darstellung eines realen, natürlichen Intervalls benützt worden sein. 2.6. Unter solchen Umständen liesse sich die von Farabi vermerkte Unempfindlichkeit unseres Gehörs gegenüber der Differenz von Ganzton 10 Er erklärt im Anschluss an seine Erörterung: “Diese Dinge wurden ausführlich in der ‘Physik’ untersucht.” (ib. 168,7) 1! Ich denke hier an Werke wie die -Maqalat ar-rafi‘a fi usul ‘ilm at-tabi‘a (vgl. Ates, Fardbinin eserlerinin bibliografyası, Nr. 75) oder die Bücher über sama”, soweit sie sich erhalten haben (vgl. ib. Nr. S. 135, b)2). 112, 113 und 134; ferner Steinschneider, Al-Farabi,

und Sechsteloktave damit erklären, dass der Ganzton selbst eine von den möglichen Interpretationen jenes künstlichen, irrationalen Intervalls darstellt, und dass dieses Intervall dementsprechend zu wenig musikalischen Eigenwert besitzt, um überhaupt als Pendant, als Alternative zum Ganzton empfunden werden zu können. Damit würde sich auch Farabis Feststellung erklären, dass jene Unempfindlichkeit unseres Gehörs nicht auf eine individuelle Schwäche zurückgehe sondern grundsätzlicher Natur sei!?. Dass Farabi das Problem tatsächlich so gesehen hat, geht freilich nicht mit Sicherheit aus seinen Worten hervor. 2.7. Die skizzierte Betrachtung ordnet dem pythagoräischen Komma in gewisser Weise die Stellung eines Intervallatoms zu, allerdings nicht in dem Sinne, dass das Komma als “unteilbarer Teil” verstanden würde, oder dass ihm gar der Wert eines konstruktiven kleinsten Elements im Tonsystem zukäme (vgl. Kap. 4), vielmehr nur insoweit, als Farabi das Differenzphänomen Komma als musikalisch unteilbar betrachtet und ausserdem in seiner Theorie keinen kleineren musikalischen Intervallwert kennt. Auf diese Möglichkeit der Deutung hinzuweisen, erscheint deshalb nicht ganz überflüssig, weil Husmann die Komma-Betrachtung Färäbis im Sinne einer “Schwellen”-Theorie verstehen will und auch seine beiden Vergleiche (Zenons Hirsenkörner und das Schiffziehen) in diesen Zusammenhang stellt!?, damit jedoch den springenden Punkt übergeht, nämlich den fundamentalen Unterschied der beiden Aspekte, den Farabi mit Hilfe seiner Vergleiche veranschaulichen wollte. Wäre es Farabi bloss um die Schwellen-Theorie gegangen, so hätte er sich wohl anders ausgedrückt. 3. Das pythagoräische Komma als praktisches Problem 3.1. Die bisher behandelten Probleme, die in bezug auf das pythagoräische Komma aufgeworfen wurden, hatten theoretischen Charakter. Es stellt sich nun die Frage, inwiefern auch die praxisbezogene arabische Musiktheorie auf das Komma-Problem gestossen ist, und in welcher Weise sie es zu lösen suchte. 12 K. al-Mus. al-kab. 168, 3-8. 13 Husmann, Grundlagen 97.

Aus der Definition des pythagoräischen Kommas (1.1.) dürfte klar geworden sein, dass sich das Problem nur dann stellen kann, wenn innerhalb eines Oktavraums mindestens zwôlf verschiedene Toncharaktere durch Quint- (und Oktavschritte) gewonnen werden. Fiir die autochthone, d.h. die nicht griechisch befruchtete arabische Musiktheorie, wie wir sie etwa bei Ishaq al-Mausili (st. 850) antreffen, war diese Bedingung noch nicht erfüllt. Ishaqs Tonsystem, das sich auf die Praxis der klassischen arabischen Musik bezog, bestand aus zehn Toncharakteren, die durch Quintverwandtschaft aus einander abgeleitet werden können. Ishaq bezeichnet sie mit den Buchstaben des arabischen Alphabets, die die Zahlenwerte 1—10 haben! . In unserer Bezeichnungsweise ausgedrückt sind es die Töne f gasab c’ des’ d’ es’ e’ Die ersten neun Töne (f bis es’) werden durch die Schnittpunkte der beiden oberen, im Quartverhältnis gestimmten Lautensaiten (matna und zir) mit den vier klassischen Lautenbünden plus leere Saite erzeugt, wobei der Zeigefingerbund einen grossen Ganzton, der Mittelfingerbund eine kleine, der Ringfingerbund eine grosse pythagoräische Terz und der Kleinfingerbund eine Quarte vom Sattel aus markieren. Den zehnten Ton (e’) erhält Ishaq ohne Bund durch Streckung des kleinen Fingers? . Was die Töne anbetrifft, die die vier Bünde auf den beiden tieferen Saiten (bam und matlat) erzeugen, so scheinen sie Ishaq nur soweit interessiert zu haben, als handelt. es sich um Oktavversetzungen der genannten zehn Töne Unter solchen Umständen konnte sich das Problem des pythagoräischen Kommas im Rahmen seines Tonsystems gar nicht stellen. 3.3. Anders steht die Sache bei Ishags jüngerem Zeitgenossen Ya‘qub al-Kindi (st. nach 870). Während sich Ishaq für die Darstellung seiner Toncharaktere auf den Raum einer Oktave beschränkt, geht Kindi vom Tonmaterial einer Doppeloktave aus. Die Töne der beiden Oktaven bezeichnet er auf zwei verschiedene, völlig heterogene Arten. Einerseits benennt er sie durchgehend vom untersten bis zum obersten Ton, wobei er ! Eine Darstellung von Ishaqs Tonsystem verdanken wir seinem Schüler Ibn al-Munaggim (st. 912), Risala fi l-musiqi 192ff. 2 Vgl. hierzu die Bemerkung ib. 201,1ff.

den einzelnen Ton, nicht dessen Toncharakter als Individualitát behandelt*. Andererseits weist er den einzelnen Toncharakteren je einen arabischen Buchstaben zu, derart, dass Tóne im Oktavabstand denselben Buchstaben erhalten’. Die Herkunft der beiden Bezeichnungsweisen ist durchsichtig. Die erste hat Kindi von den griechischen Theoretikern; dies erhellt sowohl aus strukturellen als auch aus terminologischen Parallelen® . Bei der zweiten ist er der autochthonen arabischen Musiktheorie verpflichtet, wenn er deren System auch etwas abgewandelt und erweitert hat. Von den Griechen also hat Kindi den Tonbereich der Doppeloktave übernommen, von den Arabern das Prinzip, nur die Toncharaktere zu bezeichnen, was den Tonraum praktisch in zwei Oktaven auflöst. Und diese Kontamination von griechischem und arabischem System konfrontierte Kindi mit dem Problem des pythagoräischen Kommas. 3.4. Den Ausgangspunkt bildet Kindis Absicht, zwei gleichgebaute Oktaven zu konstruieren. Um den Raum einer Doppeloktave zu erhalten, braucht er neben den vier klassischen Lautensaiten noch eine fünfte, hadd oder zweite zir genannt’. Die Schnittpunkte dieser fünf, in Quarten gestimmten Saiten mit den klassischen vier Bünden (s. 3.2.) ergeben die Töne G Man sieht A B g as a b g as [a] leicht ein, H c c’ dass des damit d es d’ es’ e f g f ges’ g’ zwar die zwôlf Toncharaktere gewonnen sind, die im Raum einer Oktave zwôlf Halbtonschritte bilden kônnen, dass sich diese Toncharaktere aber auf zwei Oktaven verteilen, wobei in der unteren As, des und ges, in der oberen h und e’ fehlen. Die Vollständigkeit der zwôlf Toncharaktere in beiden Oktaven, die wegen der damit erreichten Strukturgleichheit ein notwendiges Ziel Kindis sein musste®, lässt sich jedoch durch einen weiteren Bund gewinnen. Er liegt 4 Sina'at at-talif, ed. Sauqi 88,5 bis 93,4. S 6 7 Vel. ib. 73-75. ib., Kommentar, S. 153—56; ed. Lachmann/Hefni, Einleitung 15,1ff. Es ist hier nicht der Ort, auf das Problem der fünften Lautensaite einzugehen. Erwogen wurde dieses Mittel, den Tonraum zu erweitern, u.a. von Ishaq al-Mausili (st. 850) (vgl. Ibn al-Munaggim, Ris. fi l-mus. 194,—2ff.; 197,2). Für die fünfte Saite, die Ziryab (st. um 845) den klassischen vier Lautensaiten hinzufügte, werden jedoch andere Gründe angegeben (vgl. Maqqari, Nafh 2, 86f.). $ Vgl. seine Ausführungen in Sind at at-ta Tif, ed. Sauqi, S. 73 bis 75,—2.

zwischen Sattel und Zeigefingerbund und sei der Kiirze halber Zusatzbund genannt?. Er liefert die vorher erwähnten fehlenden Töne und ermöglicht damit auf der Laute die Darstellung der beiden gleichgebauten Oktaven G As A B gas a b H c des d e des’ d’ h es es’ > e eo f f? ges ges’ g g° 3.5. Nun ist dieser Zusatzbund, wie schon Manik feststellte, in Wirklichkeit ein Doppelbund!°. Bei den drei unteren Saiten trennt ihn der Abstand eines Leimmas (90,2 Cents) vom Sattel; er erzeugt damit die drei Tône As, des und ges. Bei den beiden oberen Saiten jedoch beträgt sein Abstand vom Sattel eine Apotome (113,7 Cts), da er die beiden Tône h und e’ bezeichnet. Die Distanz zwischen den beiden Teilen dieses Doppelbundes wiederum entspricht genau einem pythagoräischen Komma. Im übrigen kann man anstelle des Doppelbundes auch einen einfachen Bund mit einer Knickung zwischen der drittuntersten und der zweitobersten Saite annehmen. So oder so aber ware zu erwarten, dass Kindi das Problem dieser doppelten Bundlage in irgendeiner Weise berührt, besonders in seiner Abhandlung über die Melodiekomposition, in der er Herleitung und Nomenklatur seines Tonmaterials in extenso behandelt. Dies ist jedoch nicht der Fall. Allenfalls könnte es im verloren gegangenen Anfang jenes Werks geschehen sein. Doch mag Kindis diesbezügliches Schweigen tiefere Griinde haben. 3.6. Zunächst einmal dürfen wir festhalten, dass jemand, der sich wie Kindi in der griechischen Musiktheorie auskannte, mit der theoretischen Seite des Komma-Problems vertraut sein musste. Unsere Frage lautet also nur, ob sich Kindi auch durch die praktischen Gegebenheiten der arabischen Musik mit dem Problem des pythagoräischen Kommas konfrontiert sehen konnte. Wir dürfen sie nicht ohne weiteres bejahen. Zunächst einmal lässt Kindi keinen Zweifel darüber, dass der Zusatzbund fiktiv ist. Er erklärt nämlich, dass fünf von seinen 24 Tönen gar nicht gebraucht wiirden!!, und zwar sind es, wie aus anderen Stellen hervorgeht, ? Die arabischen Theoretiker nennen ihn mugannab as-sabbaba, eigtl. “Handpferd des Mittelfingerbundes”. 10 Tonsystem 30,—6ff. 1 Sind at at-ta lif, ed. Saugi 82,1.

gerade die Töne des offenbar inexistenten Zusatzbundes!?. Danach wäre Kindi von der Praxis und damit vom Ohr her gar nicht auf das Problem des pythagoräischen Kommas gestossen worden. Hierzu passt ein zweiter Punkt. Kindi scheint auf Intervallschwankungen vom Grad eines pythagoräischen Kommas nicht empfindlich gewesen zu sein, nimmt er doch keinen Anstoss daran, in seiner Melodielehre den Ton h im Sinne von ces’ mit ges zu verbinden!?, obwohl die Intervalle ces’—ges und h—ges gerade in einem pythagoräischen Tonsystem empfindlich differieren!*. Wenn aber Kindi das pythagoräische Komma als Faktor des praktischen Tonsystems ignoriert, dürfen wir vermuten, dass seine zwölfstufige Tonleiter nicht ptolemäisch, sondern naiv aristoxenisch konzipiert war (vgl. 1.6.). Seine Oktave hätte sich danach nicht aus sieben Leimmas plus fünf Apotomes zusammengesetzt, sondern aus zwölf quasi-temperierten Halbtönen. Somit hätte Kindi — bewusst oder unbewusst — ein natürliches Tonsystem temperiert behandelt, während wir — wenigstens in der tonalen Musik — genau umgekehrt ein temperiertes Tonsystem natürlich interpretieren. 3.7. Aus dem bisher Gesagten dürfte hervorgegangen sein, dass die klassische arabische Musik weder in der autochthonen noch in der griechisch beeinflussten arabischen Musiktheorie das Problem des pythagoräischen Kommas aufgeworfen hat. Dennoch scheint wenigstens dessen empirische Version (vgl. 1.1.) im Gesamtrahmen der arabischen Musik nicht unbekannt gewesen zu sein, allerdings nicht in der klassischen, sondern in der volkstümlichen oder “modernen’”'°. Färäbi erwähnt nämlich eine Stimmung der zweisaitigen choräsänischen Langhalslaute (tunbür), bei der die Oktave in siebzehn Stufen eingeteilt wurde und der Abstand zwischen den Bünden 2 und 3, 5 und 6, 8 und 9,.11 und 12 jeweils ein pythagoräisches Komma markierte!$. Es handelt sich um ein pythagoräisches Tonsystem, das die Toncharaktere von zwanzig übereinandergeschichteten Quinten wiedergibt. Die Kleinintervalle Leimma (L) und Komma (K) folgen sich dabei in folgender Ordnung 12 Explizit sagt dies Kindi im erhaltenen Teil des Werkes nur von h und ges (Al. 74,2 da ,5), immerhin also von je einem Vertreter der beiden Teile des Doppelbundes. ib. 110,5. 14 Es wäre zu untersuchen, ob in dem mir augenblicklich nicht zugänglichen, von Zakariya Yusuf herausgegebenen Lautenbiichlein Kindis weitere Beispiele dieser Art zu finden sind (Agdam watiga musigiya li-lahn mudawwan ‘inda l-‘Arab, Tamrin lid-darb ‘ala I-‘ud, Baghdad 1962). Zum Problem selbst vgl. 4.6. 15 Vgl. hierzu Farmer, History 149f. 16 K. al-Mus. al-kab. 710,-3ff.

KLL K LL K LL K LUK LU L L+K L L+K Mit unseren Tonsymbolen exemplifiziert wäre dies g as bes a b ces h c des cis d es dis e f eis fis g gis a ais Der gesamte Tonraum umfasst eine grosse Duodezime (die Biinde umschliessen den Tonumfang einer None und die Saiten sind im Ganztonverhältnis gestimmt). Der ‘“philolaische” Charakter dieser Kommata wird von Färäbi treffend im Begriff “Überschuss des Ganztons über zwei Leimmata” aufgefangen!”. Auffallend ist der Umstand, dass nach fünf Ganztönen die Einarbeitung eines toncharakterbildenden Kommas zwischen die Leimmata aufhört. Das choräsänische Tunbür war offenbar für kleine Melodieräume gedacht. Innerhalb des zur Verfügung stehenden Tonraums aber liessen sich die verschiedensten modalen Varianten und Transpositionen realisieren. Sollte hierin tatsächlich der Grund für den Reichtum der auf dem Tunbür erzeugten Toncharaktere liegen, so hätten wir es mit einer Art von ptolemäischer Lösung des praktischen KommaProblems zu tun, deren aristoxenische Variante wir bei Kindi kennen lernten. Auf eine andere Deutungsmöglichkeit werden wir im nächsten Kapitel zu sprechen kommen (vgl. 4.4.f.). 4. Das pythagoräische Komma als konstruktives Element des Tonsystems 4.1. Der unter den Chalifen Harun ar-Rasid (786-809) bis Watiq (842—47) blühende Lautenist Zalzal! hat bekanntlich ein neues, systemfremdes Element in das arabische Tonsystem eingeführt, nämlich eine Variante zum pythagoräischen Mittelfingerbund, die das Intervall zwischen Zeigefinger- und Kleinfingerbund ungefähr halbiert, d.h. in zwei Dreivierteltöne unterteilt. Dass Zalzal eine derartige Halbierung bezweckte, wird zwar nicht ausdrücklich gesagt, darf aber wohl aus der Tatsache geschlossen werden, dass die beiden ältesten Angaben über die Lage dieses Bundes, die von Färäbi (st. 950) und Avicenna (st. 1037), 354,6, resp. 17 ib. 717,3f.; 7183. Vgl. Neubauer, Musiker 192, Nr. 48.

342,5 Cents ergeben — der Wert des “temperierten” Dreivierteltons läge bei 350 Cents. Das genaue Schwingungsverhältnis ware im ersten Fall 27 : 22, im zweiten 39 : 322. 4.2. Die Geschichte dieses Bundes interessiert uns hier nur im Hinblick auf die Frage seiner Integrierung in das pythagoräische System der klassischen arabischen Musik. Eine solche liegt weder bei Farabi noch bei Avicenna vor. Beide erwähnen den Bund als Gegebenheit der Praxis, ohne sich um sein genetisches Verhältnis zu den anderen Bünden zu kümmern. Von Ishaq al-Mausili und Kindi dagegen wird er ignoriert. Bei Ishaq mag dies ästhetisch begründet gewesen sein*, bei Kindi vielleicht eher musiktheoretisch: der Zalzal-Bund hatte in seinem zwölfstufigen pythagoräischen Tonsystem keinen Platz. Wenn sich Farabi nicht bemühte, die vom Zalzal-Bund erzeugten Töne mit den pythagoräischen auf einen systematischen Nenner zu bringen, so dürfte dies daran liegen, dass die Heterogenität der beiden Tongruppen für ihn gar nicht derart ins Gewicht fiel. Erörtert er doch in seiner Genus-Lehre die verschiedensten Quartteilungen, von denen die meisten aus “unpythagoräischen”, d.h. nicht durch Quintschritte erzeugbaren Intervalle wie 5:4, 6:5, 7:6, 8:7, 10:9 bestehen* und daher in der arabischen Musik gar nicht gebraucht wurden‘. Wie wenig Kopfzerbrechen ihm dies verursachte, zeigt der Umstand, dass er auch für die unpythagoräischen Intervalle angibt, wie die sie erzeugenden Bünde auf der Laute zu legen seien‘. Bei Avicenna, der in diesen Dingen ohnehin einen weniger profilierteren Standpunkt einnimmt als Farabi, dürften die Gründe ähnlich gewesen sein. 4.3. Da die Lage des Zalzal-Bundes in beiden Varianten einen Näherungswert darzustellen scheint, kann man die Frage stellen, ob es vielleicht möglich ist, durch weitere Quintfortschreitungen innerhalb eines pythagoräischen Systems auch die Zalzal-Töne annähernd hervorzubringen. Dieses Ziel lässt sich in der Tat mit einem System verwirklichen, das ? 3 Vgl. Farmer, Lute Scale 249 und 256. Jedenfalls vertrat Ishaq auch gegenüber anderen Neuerungen einen streng konservativen Standpunkt (vgl. Farmer, History 149). % K. al-Müs. al-kab. 282-284, 288-291, 294, 298. 5 Noch Safiyaddin al-Urmawi (st. 1294) betrachtet die kleine und die grosse Naturterz als wenig konsonant (d’Erlanger, Musique arabe 3, 30,—13ff.) und charakterisiert sie als melodisch unbrauchbar (ib. 61, 12f.). 6 K. al-Mus. al-kab. 757ff.

auf 29 Quintschritten beruht. Die Zalzal-Tône wiirden dann durch eine dreimalige chromatische Erhöhung der leeren Saite erreicht. Man kommt damit auf einen Ton, der um 341,1 (d.h. 3 x 113,7) Cents höher als der Grundton der leeren Saite ist, also fast gleich hoch wie die Zalzal-Variante Avicennas (342,5 Cts.)?. Anders ausgedrückt, liegt der gesuchte Ton um zwei pythagoräische Kommata höher als der pythagoräische Mittelfinger. bund (294,1 + 2 - 23,5 = 341,1). Nennen wir dessen Ton z.B. B, so heisst der pythagoräische Zalzal-Ton Gisisis. In den mir zugänglichen Quellen und sonstigen Studien finde ich jedoch keinen Hinweis darauf, dass die arabische Theorie jemals versucht hätte, die Zalzal-Töne in ein 29-stufiges pythagoräisches System zu integrieren. 4.4. Hingegen wird die mittelalterliche arabische Musiktheorie seit dem 13. Jahrhundert von einer Lösung beherrscht, die den angedeuteten Weg beschritten hat, aber nicht zu Ende gegangen ist. Ihr Vater ist Safıyaddin ‘Abdalmu’min al-Urmawi (st. 1294). Er greift — bewusst oder unbewusst — das System der choräsänischen Langhalslaute wieder auf, das ihm von Färäbi her bekannt gewesen sein dürfte® , gleicht es jedoch in dem Sinne aus, dass es 17 durch Quintverwandtschaft auseinander ableitbare Toncharaktere aufweist. Die Ordnung der Leimmata und Kommata innerhalb einer Oktave ist folgende L LK LL K LL L K L L K L L L K 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Das, worauf es uns hier jedoch ankommt, ist die Interpretation, die Safiyaddin dem 5. Bund (Nr. 6 und 13) gibt: er identifiziert ihn mit dem Zalzalschen Mittelfingerbund. Die beiden auch bei Farabi und Avicenna nicht genau gleich grossen Dreivierteltône werden bei diesem Vorgehen zu Apotome (113,7 Cents) und Doppelleimma (180,4 Cents) deformiert (zusammen 294,1 Cents = kleine pythagoräische Terz). Die Zalzalschen Töne dürften damit eher einen Verfremdungseffekt ausüben als den Eindruck von Dreivierteltônen hervorrufen, aber vielleicht lag hierin auch die urspriingliche Absicht Zalzals. Wie dem auch sei, der Deformations- 7 Die Differenz von ca. 1,4 Cents begegnet, nebenbei bemerkt, auch in anderem Zusammenhang: sie entspricht bei einer Einteilung der Oktave in 53 Kommata dem Unterschied zwischen grosser Naturterz und 17 Kommata (vgl. Altwein, Arabisches Komma 433, 15ff.). Zur Abhängigkeit Safiyaddins von Farabi vgl. d’Erlanger, Musique arabe, 3, Einl., S. VI, 2. Abs.

oder Verfremdungseffekt und damit die Integration der ursprünglich systemfremden Töne geschieht dadurch, dass die beiden melodischen Grundintervalle des heptatonischen pythagoräischen Tonsystems, Halbton (Leimma) und Ganzton (Quinte minus Quarte), um ein pythagoräisches Komma verändert und einander angenähert werden, im ersten Fall durch Vergrösserung, im zweiten durch Verkleinerung. Damit wird das Komma zu einem konstruktiven, wenn auch unselbständigen, d.h. nur in Verbindung mit den Basiselementen gebrauchten Intervallelement des Tonsystems gemacht. 4.5. tion Ob dies der eigentliche Grund war, der Safıyaddin zur Konstrukseines siebzehnstufigen Tonsystems bewogen hatte, wissen wir allerdings nicht. Safiyaddin schweigt sich darüber aus. Theoretisch käme das Motiv auch für die Bundeinteilung der chorasanischen Langhalslaute in Frage. Wie dort mag aber auch bei Safiyaddin neben dem Motiv der Integration “unpythagoräischer” Töne noch ein zweiter Beweggrund eine Rolle gespielt haben (vgl. 3.7. Ende): Safiyaddin erstrebte eine möglichst uneingeschränkte Freiheit im Transponieren seiner Modi. Dies zeigt schon die Tatsache seiner Transpositionstabellen, in denen er die zwölf wichtigsten Modi auf allen siebzehn Tonstufen aufbaut”. Man überzeugt sich leicht anhand der in Abschnitt 4.4. angegebenen Leimma/Komma-Ordnung, dass alle Modi bei gewissen Transpositionen Probleme aufwerfen. Die rein diatonischen bereiten Schwierigkeiten, wenn ein Halbton auf einen Bund fällt, der vom nächsten um den Abstand eines pythagoräischen Kommas entfernt ist!°. Werden Zalzal-Töne verwendet, so erfordern einzelne Transpositionen eine Vertauschung der beiden ungleichen Dreivierteltöne!!, also die Missachtung des Unterschieds zwischen Apotome und Doppelleimma. Das Vorhandensein eines chromatischen Schritts wiederum bedingt bei gewissen Transpositionen eine Gleichwertung von Apotome und Leimma, d.h. eine Vernachlässigung des pythagoräischen Kommas, nämlich dann, wenn kraft der Versetzung der chromatische Schritt in den Bereich der drei aufeinanderfolgenden Leimmata fállt!?. 9 ib. 138-149. 10 Man erkennt dies z.B. in der 12. Transposition des Modus ‘UKaäq beim zweiten und dritten Intervall (ib. 138, Fig. 91). 11 Man vergleiche etwa das vierte und fünfte Intervall des Husaini-Modus bei der zweiten und der dritten Transposition (ib. Fig. 95). 12 Denn die Apotome ist nur durch die Varianten LK und KL darstellbar.

Wir kommen somit zu der bemerkenswerten Feststellung, dass Safiyaddin das pythagoräische Komma einerseits als konstruktives Element seines Tonsystems behandelt, es aber andererseits gelegentlich im Sinne einer Intonationsschwankung vernachlassigt!?. Solche Formen von Intonationstoleranz bilden an und für sich nichts Neues. Wir sind ihnen schon bei Kindi begegnet (vgl. 3.6.). Farabi erklart sie als unbedenklich für unser Ohr'* und Avicenna weiss zu berichten, dass die Musiker seiner Zeit Intervalle wie Leimma und Viertelton verwechselten!*. Offenbar hat man den Ursprung von Safiyaddins Intonationsdifferenzen im Bereich der musikalischen Praxis zu suchen; jedenfalls fanden sie dort ein Alibi, während sein Tonsystem der Praxis gegenüber zunächst den Stand einer reinen Theorie innegehabt zu haben scheint. Es ist daher bemerkenswert, dass sich sein System über Jahrhunderte hin bei den Theoretikern halten konnte und erst im 19. Jahrhundert einer zweckmässigeren Tonordnung weichen musste'®. Literaturverzeichnis Altwein, Erich: Versuch über das “arabische Komma”. “Musikforschung” 1971, 432-437. Aristoxenos: Elementa harmonica, ed. Rosetta da Rios, Rom 1954; ed. und übers. Paul Marquard, Berlin 1868. Ates, Ahmed: Färäbinin eserlerinin bibliografyası. “Belleten” 15, Nr.57, 1951, 175-192. Boéthius: De institutione musica, ed. Friedlein, 1867. Burkert, Walter: Weisheit und Wissenschaft, Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon, Nürnberg 1962. d’Erlanger, Rodolphe: La musique arabe, Bd. 1-6, Paris 1930—57. Euklid: Sectio canonis, siehe C. Jan, Musici scriptores Graeci. Farabi: Kitab al-Musiqi al-kabir, ed. HaSaba, Kairo 1967. 13 Vgl. zu diesem Problem auch Wright, Modal system 34 ,2ff. 14 K. al-Müs. al-kab. 627,—2ff. © Sifa’, Übers. d’Erlanger, Musique arabe 2, 150,—13ff.; vgl. hiezu auch Farabi, K. al-Mus. al-kab. 580,—1ff.; ferner Wright, 1.1. 39. 16 Dass diese Tonordnung in der Praxis älter ist (vgl. Farmer, Art. Musiki, El’ 3, 814), ändert nichts an dieser Feststellung.

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