Euclide e Pitagora; proporzioni armoniche e rapporti musicali

Dalla tradizione pitagorica INDICE al futuro della cultura e della scienza in Calabria Simposio Internazionale di Studio (Tropea-Palmi, 12-14 giugno 1997) - a cura di Pietro De Leo Pietro De Leo, Presentazione Gaetano-Vallene; Saluti del Sindaco di Tropea ‘y Vincenze-Cappelletti, Introduzione 1 Vincenzo Cappelletti, Pescatori di teoremi e promotori di cultura / \) [by B\re 2 Roshi Rashed, Les échanges en Méditerranée: l’exemple de l'optique 3 Saverio Avveduto, La tradizione pitagorica 17 — Wr 2315 e12Z & Sandro Petruccioli, Un permanente tema pitagorico: 25 —> 8 it} la matematizzazione del mondo Gabriele Giannantoni, Aristotele e i Pitagorici Enrico Berti, L'origine pitagorica dell’analisi geometrica “+ Luigi Pepe, Il Pitagorismo e la matematica Marco Somalvico, Dai numeri ai simboli e dai simboli ai numeri 31 ——>» $ ‘24 49— 125 5. Jırb 63, À Vittorio Emanuele Esposito, Nel labirinto delle complessita: le coordinate pitagoriche 3127 TL DIS \> Saverio Ricci, Filosofia e vita della città: il pitagorismo di Nicola Antonio Stigliola 99 —> DA 154, 9, 40 \ Vittorio Mathieu, Pitagorismo \ Giuseppe Lo Cane, Il senso di una tradizione metodologico-scientifica: Pasquale Galluppi, Rubbettin 127 7 SE filosofo della matematica \2 Simonetta Valtieri, Euclide e Pitagora: proporzioni armoniche e rapporti musicali UM Giuseppe Frega, Il ruolo delle Universita Regionali \S Giuseppe Borgia, La Calabria: per un ponte culturale e scientifico tra Europa e Paesi del Mediterraneo 6 Giuseppe Caglioti, Il numero e il bello nel trasferimento della conoscenza Dan V. Segre, Convergenza e conflittualità mediterranea | LU ı 8 Mario Giancotti, L'agorà Telematica: «Nuova» Scuola Italica \ 151 d'u 153 8135 165 A! L 171 SX 15 Ees 4 Vineonzo.Cappellett o Adf VNT 9137 149 —? Qi 39% ° della Sapienza Ds LA

Giuseppe Lo Cane lita. Questa distinzione «é della più alta importanza». Non essersi accorti di cid, si pud aggiungere, ha fatto ritenere possibile la ricerca della radice quadrata del 2, come se il risultato di una semplice addizione sia concettualmente equivalente al prodotto d’una potenza. «Rettifichiamo dunque le nostre espressioni — dice Galluppi — ed osserviamo la classificazione delle nostre idee. Ogni quantita moltiplicata per un’altra è un prodotto; ogni quantita moltiplicata una o più volte per se stessa, è una potenza. La nozione di prodotto é dunque una nozione generica, la nozione di potenza & una nozione specifica : nella seconda v’ha una determinazione di pit che nella prima» (S.F, Vol. 1° cit., p. 148). Una migliore conoscenza del pensiero galluppiano potrebbe riservare notevoli sorprese. La sua filosofia della scienza potrebbe tuttora favorire il progresso scientifico. Si pensi soltanto che l’uso dell’analogia, teorizzato e praticato dal Galluppi, ha condotto con Galileo Ferraris, alla «scoperta da riflessione» del principio che sta alla base dei moderni motori elettrici. Inoltre la filosofia della scoperta scientifica del Galluppi ed il metodo analitico da lui adottato, posseggono un’attualissima valenza didattica. La sua filosofia dell’esperienza, nonché il metodo analitico da lui preposto al sintetico, sono espressione di quel senso del concreto e della storicita che ancorati alla dimensione metafisica del pensiero costituiscono carattere specifico della tradizione culturale calabrese. E cio va preso in considerazione nella nostra eta «calcolante», pluriculturale e alla ricerca delle ragioni di un’znita che non vorremmo venisse fatta a caso. Simonetta Valtieri Euclide e Pitagora: proporzioni armoniche e rapporti musicali La Scuola d’Atene di Raffaello, considerata il «manifesto» dell’ Umanesimo maturo, ci offre una dimostrazione della dipendenza del Rinascimento dalla cultura della Magna Grecia, e in particolare proprio dalla scuola pitagorica. Lopera, affrescata nelle Stanze dei Palazzi Vaticani raffigurai filosofi e i sapienti dell’antichita. In posizione centrale sono effigiati Platone e Aristotele. Tra gli altri, compaiono raffigurati personaggi appartenenti a secoli diversi: il persiano Zoroastro,i greci Empedocle, Epicuro, Eraclito, Socrate, Euclide, Pitagora, l’egiziano Tolomeo, l’arabo Averroé; ad indicare il loro contributo nello sviluppo del pensiero e della scienza. Per mettere in risalto l’attualità e influenza di questi personaggi, Raffaello li mischia ai suoi contemporanei o li raffigura, per affinita, nelle loro sembianze: Platone ha l’effigie di Leonardo, Euclide quella di Bramante, Eraclito ha l’aspetto del tormentato Michelangelo. Ma nella Scuola d’Atene, oltre a questo tipo di lettura facilmente comprensibile, & nascosta una seconda chiave di lettura, decifrabile solo da chi è iniziato ai «segreti». Siamo infatti in presenza di una cultura ricca di implicazioni e di teoremi, che ci riporta al mondo pitagorico e neoplatonico. Le indicazioni per «iniziati» sono ostentate ed esposte da Raffaello in maniera sistematica. Se si & in grado di individuare il punto di partenza giusto, e si comprendonoi simboli, si pud leggere anche un significato nascosto nella composizione. I personaggi si muovono all’interno di un tempio. Il tempio rimanda a uno spazio a pianta centrale particolarmente interessante perché correlato al dibattito architettonico del momento, che coinvolge tutti i maggiori architetti, attorno alle idee per la ricostruzione del nuovo San Pietro. La Scuola d’Atene & del 1509 e Raffaello era giunto a Roma solo la fine dell’anno precedente, quando erano gia fondati i piloni della cupola secondo il progetto prescelto, quello di Bramante. Bramante, ha un ruolo di primo piano tra i personaggi, ed é raffigurato come Euclide (fig. 1b).

Euclide e Pitagora: proporzioni armoniche e rapporti musical 141 Particolare della «Scuola di Atene», con Euclide nelle sembianze di Bramante che punta il compasso sulla tavoletta «geometrica». Bramante rappresenta, come vedremo, l’architetto moderno in grado di avvalersi delle leggi scoperte e codificate dagli antichi sapienti. Trattandosi di un’architettura dipinta la prospettiva deve assumere un significato importante. Bramante si era formato nell’ambiente urbinate di Piero della Francesca, che aveva eliminato i residui dell’ottica antica in favore di una nuova prospettiva «artificiale» (segnando una congiunzione tra arte e matematica neoplatonica-soprattutto pitagorica); successivamente era stato a contatto con l’ambiente milanese di Leonardo, ricco di implicazioni teoriche, non tanto astratte quanto scientifiche, tese a diffondere l’interpretazione matematica nel cosmo materiale. La prospettiva della composizione ha il punto di fuga e quindi converge simbolicamente sul libro tenuto in mano da Platone, il Timeo. Il nome del libro conduce al personaggio calabrese di Locri, maestro di Platone e autore di una vita di Pitagora. Quale posto occupa Pitagora nella composizione? Una posizione di primo piano, a sinistra, e accanto ha una tavoletta (#g. 1a). Se per Platone il libro ha un significato simbolico, anche per Pitagora la tavoletta deve avere un suo significato. Pitagora è considerato l’inventore della musica e infatti la tavoletta rappresenta le armonie musicali. Particolare della «Scuola d’Atene», con Pitagora e la tavoletta «armonica». Essendoci un simbolo al centro e uno a sinistra, la simmetria rinascimentale espressa nella composizione induce a cercare un simbolo a destra. Ecco infatti accanto ad Euclide-Bramante, in primo piano, una tavoletta con dei segni geometrici. (fig. 1b) . Lintento di voler unire le due tavolette in un unico discorso appare evidente. Euclide ci pone un problema: data una tavoletta armonica accanto a Pitagora e un libro di chiaro legame con essa (il Timeo), trovare come il terzo elemento (la tavoletta geometrica di Euclide-Bramante) si relaziona alle due cose. Un noto teorema dice che in un qualsiasi triangolo se conosciamo il valore di due angoli il valore del terzo sarà noto. Cosi collegando il significato della tavoletta armonicae il Timeo alla tavoletta geometrica, si & chiarito il ruolo di quest’ultima ed & stato individuato il significato nascosto nella correlazione dei tre elementi, cioé: quello della relazione esistente tra le proporzioni dell’architettura dipinta nelPaffresco e i rapporti musicali codificati da Pitagora. La tavoletta armonica era stata decifrata per la prima volta dallo Hettner alla fine dell’800 (Italienische Studien, Brunswick 1879, p. 198 ss.), la seconda era rimasta per gli storici di significato oscuro.

Euclide e Pitagora: proporzioni armoniche e rapporti musicali 143 Ben 5 lustri fa, sulle «Mitteilungen des Kunsthistorischen Institutesfin Florenz», (XVI, 1972, 1, pp. 63-72) ho pubblicato un mio studio che decifra il significato della tavoletta geometrica. Platone nel Timeo, rifacendosi a Pitagora, crede l’armonia e l’ordine del cosmo contenuti nei primi quattro numeri e nei loro quadrati e cubi. Ho avuto piacere a riprendere questo tema per darne conoscenza in un sendo generati dai primi 4 numeri, stanno in rapporto tra di loro tramite le stesse proporzioni semplici: 1:2, 2:3, 3:4. Il Timeo asserisce che tutti gli intervalli della scala musicale sono determinati da tre medi proporzionali corrispondenti a tre proporzioni: la geocircuito scientifico diverso da quello degli storici dell’architettura. Partiamo dalla tavoletta armonica a sinistra accanto a Pitagora (fig. 1a). La fede nell’integrazione tra rapporti armonici e mondo materiale, risalente a Pitagora e riaffermata nel Timeo platonico (di qui il rapporto tra i due primi simboli), si offriva all’ ideologia rinascimentale come nodo risolutivo alla corrispondenza tra micro e macrocosmo. Sembra che il primo tramite per l’avviamento dei pitagorici verso la scienza dei numeri sia stata la musica, che ad una nascente curiosita speculativa additava accordi e proporzioni definite, espresse numericamente. Per la tradizione fu Pitagora a scoprire che il suono di una corda vibrante varia con la lunghezza della corda stessa. Se due corde, una doppia dell’altra, vibrano (nelle stesse condizioni) il suono della più corta sara di un’ottava (diapson) più alto della più lunga Se le lunghezze delle due corde sono in relazione di 2:3, la differenza delPaltezza del suono é di una quinta (diapente), se la relazione delle lunghezze é di 3:4, la differenza dell’altezza del suono é di una guarta (diatessaron). La ricorrenza costante di questi numeri ha portato ad assegnare loro un valore mistico e simbolico. I numeri base sono 1, 2, 3 e 4, lasomma dei quali & 10, considerato sacro e madre dell’universo. Sono presi in considerazione i 7 numeri: 1, 2, 4, 8 (1), 3, 9, 27, che esmetrica (le ottave), |’aritmetica (le guinte), ’armonica (le quarte). Nella nostra tavoletta compaiono segnati i numeri VI, VIII, IX, XII (6, 8, 9, 12) (fig. 2a). ENOTAONN vı npe AIATE AIATE SSAP EE AP E le proporzioni fondamentali sono sempre determinate dai rapporti di questi piccoli numeri interi. Il numero viene elevato a principio universale d’interpretazione, via via esteso dall’ordine aritmetico a quello geometrico e finalmente all’ordine fisico. Cosi l’espressione spaziale dell’1 é il punto; del 2 la linea (limitata tra due punti), del 3 la superficie, del 4 il solido. Quindi il numero & il principio delle cose. Però non sono importanti i numeri in se stessi quanto i loro rapporti. I rapporti dei primi quattro numeri interi costituiscono la progressione aritmetica tra 1:2:3:4 che esprime le consonanze dell’ottava, della quinta e della guarta, sulle quali é fondato il sistema musicale greco. Essa oltre a contenere gli intervalli semplici dell’ o¢tava (rapporto tra 1:2, diapson), della quinta (tra 2:3, diapente) e della quarta (tra 3:4, diatessaron), contiene anche due accordi compositi, dati dai rapporti 1:2:3 (ottava + quinta) e 1:2:4 (due ottave). L’armonia si raggiunge tramite consonanze ineguali: la guznta e la quarta (2:3 e 3:4) che insieme danno un’oftava, ottenuta eliminando il medio proporzionale 3, cioé 2:3:3:4=2:4=1:2. XI AIAHADAN if ; Br = rr pi Le armonie musicali raffigurate sulla tavoletta “armonica”. Vi compaiono segnati i numeri VI, VII, VIII, XII. L'ottava VI:XI (6:12) & quella presa in considerazione (in alto è scritto epogloon = tono maggiore). Il rapporto tra due medi geometrici collegati con un arco costituisce il diapson 6:12 (=1:2); il rapporto tra un medio geometrico 6 e il medio aritmetico 9 costituisce il diapente 6:9=2:3), dal rapporto tra il medio geometrico 6 e il medio armonico 8 avremo un diatessaron (6:8=3:4). Lo stesso avviene dal lato sinistro per 8:12 (=2:3) e 9:12 (=3:4). In basso i primi quattro numeri, costituenti la progressione aritmetica 1:2:3:4 che esprime le consonanze delPottava (diapson), quinta (diapente) e quarta (diatessaron) sulle quali si fonda il sistema musicale greco. La loro somma é 10 (X), numero cosmico. Lottava VI-XII (6:12) é quella presa in considerazione (in alto alla tavoletta é scritto epogloon=tono maggiore). Il rapporto tra due medi geometrici collegati con un arco costituisce il diapson 6:12 (=1:2); il rapporto tra un medio geometrico 6 e il medio aritmetico 9 costituisce il diapente (6:9=2:3), dal rapporto tra il medio geometrico 6 e il medio armonico 8 avremo un diatessaron (6:8=3:4). Lo stesso avviene dal lato sinistro per 8:12 (=2:3) e 9:12 (=3:4).

Questo il significato della tavoletta armonica. Passiamo alla tavoletta geometrica (fig. 1b). Per rappresentare lo spazio prendiamo tre assi cartesiani, le cui lunghezze siano tra loro in rapporto di un’ottava (1:2) = diapson (fig. 2b) 2: 4. Questo semplice punto di partenza lega lo spazio (l’architettura) con la musica nelle tre dimensioni. Per la bidimensionalitä della pittura proiettiamo i tre assi su un piano frontale. Lasse lungo 1 proiettato sull’asse 4 lo spezza in due segmenti lunghi 1 e 3. La frazione 1/3, unica scritta sulla tavoletta e ribaltata, suggerisce di ribaltare gli assi cartesiani. Unendo tutti i punti della croce che ne deriva, si individuano due triangoli intersecati, iscrivibili in un rettangolo 5:8. La distanza tra il centro e le due punte & 4. I numeri 8, 5 e 4 rimandano all’ottava, alla quinta e alla quarta, cioé al diapson, il diapente e il diatessaron della tavoletta armonica. Euclide e Pitagora: proporzioni armoniche e rapporti musicali 145 Tramite i punti caratteristici dei due triangoli e tenendo d’occhio la tavoletta geometrica & possibile costruire l’intero edificio della Scuola d’Atene. Sull’asse verticale della «stella» sono dati per costruzione dei punti; le linee orizzontali passanti per essi scandiscono in profondita le lunghezze fondamentali dell’edificio. Lindividuazione di due rette parallele oblique consente di determinare due punti importanti per la scenografia d’insieme, cioé il punto d’imposta dell’arco dipinto e il piano del fronte dell’edificio. Anche queste due rette parallele sono suggerite dal disegno della tavoletta geometrica. Ho reputato importante il fatto che l’Euclide-Bramante che ha in mano il compasso, & in procinto di adoperarlo solo dopo aver tracciato sia i triangoli che le due rette trasversali parallele. Attraverso il compasso é possibile determinare i punti fondamentali per la costruzione del fronte dell’edificio, gli archi delle botti, l’inquadratura, Pinizio e la fine del pavimento, la delimitazione della gradinata, il tutto modulato tramite lunghezze in rapporto armonico tra di loro (fig. 3). z IN RL 144 v Genesi della “stella” disegnata sulla tavoletta “geometrica” che consente di costruire in prospettiva un’architettura “armonica”. La «Scuola d’Atene» di Raffaello (1509) affrescata nelle Stanze Vaticane. La sua architettura, che rimanda al progetto per il nuovo S. Pietro di Bramante, é disegnata attraverso proporzioni “armoniche” collegate alle consonanze del sistema musicale greco.

che e rapport musicali Simonetta Valtieri 146 l'ésettura € sottolineano it ch ar all ca si mu la egano Le due tavolette coll nto. nica del tempio dipi nia del mondo in tutte le mo ar ra tu et it ch ar di a mo nz ar se che determinano l’ e imporJ rapporti matematici Pitagora, avevano acquisito particolar da coli preti se i ela ne riv e se sue espressioni a fine del 400, anch ll da ve si vi i art e ll de tanza nel campo enuto il loro valore. te da Pitacedenti avevano mant la storia delle armonie musicali scoper o dottrina dei nu(Boezio aveva scritt de importanza per la an gr o ut av a ev av o gora e il suo test to). i artisti rioevo e il Rinascimen meri in tutto il Medi i udibili e proporzioni visibili serviva agl pittura, a rd ll co de ac i a L'analogia tr a dare dignitä alle art un altro scopo: ssificaziogascimentali anche ad , considerate manuali ed escluse dalla cla atti aptura ia € musica inf scultura ed architet ometria, astronom ge , ca ti me it ar lo ne di scienze. So . vium trodotta da partenevano al quadri era avvenuto attraverso la prospettiva, in lle scienze to de or o pp nel camp ca Un primo ra si mu la n co a» fi ni di filoso pporto con enciclopedie e «sezio inizio la prospettiva non era messa in ra ’ all ma (dopo XII sec.), Harmonia musicole arti visive. chino Gafurio (De an Fr 00 ’5 l de le ca del pitagorico FiTl teorico musi dendo la definizione en pr ri com) 18 15 , um nificazione della rum instrumentor Varmonia come «u a er o arid pi ns ci co in e pr ch questo lolao di Crotone, discorde», estende l de o rd co ac e ta posita molteplici all’architettura. nsione disposti a monico alla pittura € getti di uguale dime og e ch to ta no an a rmonica progressio Leonardo avev mpiccoliscono in «a ri i n nt co ce o es an cr um te o en un corp distanze regolarm rpreta l’armonia di te il in , e te ch et o rf pe gn ù se pi di e ne». Il suo noto lle figure geometrich lla nostra tane to rit isc e, at rg la al llo schema de gambe e braccia corda le proporzioni de ri , to ra ad qu il e o hi cerc oporzioni musicali voletta geometrica. evano studiato le pr av i rt be Al e ch hi Sia Brunellesc de Pasti durante antiche. dell’Alberti a Matteo zione dei pilaa itt scr ne io iz on E famosa ’amm terando la propor io Malatestiano: al mp Te l de e on zi ru st la co a quella musica». o di Platone constri «si discorda tutt € codificate nel Time e proporziont ra go ta Pi da te er op Le armonie sc tali di pervenire all architetti rinascimen i agl di in qu o on nt se edifici reali. lla progettazione di ne e ch ra dipinta, le proan e, ch ni mo ar tandosi di architettu at tr e, en At d’ la uo Sc ospettiva lineare. Nel caso della agli intervalli della pr te ta or pp ra no so e porzioni armonich terno ato raffigurati all’in ss pa l de e! ag on rs pe esco j portan Nell’affresco raffaell — con chiari riferimenti all’ opera più im amano» Br ic di on ro rm il S. Piet ta, zia ini di un edificio ga na pe ap ta, lla cristiani te del momento € de porziont armoni Euclide e Pitagora: pro entiva di conoscere € nata la scienza che cons a er li qua dai lli que te — sono diversi, ma hanno un relazionare le cose. appartengono à secoli fi oso fil i e ti ien sap ti nei paesi intorno Questi i e si sono mossi tut : essi sono nat elemento in comune rraneo. ssivo risalta la figura alle sponde del Medite a e nel discorso comple tur cul in mata es qu di ici Alle rad e riappare nel Timeo ch , ca si mu la del e or vent di Pitagora, mitico in tore, il e. no a Platon ante. [artista innova am Br eid cl Eu di ura nDi contrappunto la fig riprodotte nei trattati a stampa dai suoi co e oper ita. solo che vede le sue andi opere dell’ antich gr e all sa serte na mu co ac temporanei e conosce € quindi si ch o rn de mo o om Pu Bramante rappresenta i. ich o di vire della scienza degli antpossiamo cosi desumere anche un terzo livell Dalla Scuola d’Atene mondo lettura. passato al servizio del del a nz ie sc la del e Quello della cultura contemporaneo. ta «disegna» la prospe la tavoletta geometric ntando il compasso sul Euclide-Bramante pu con proporzioni armoni tiva di un’architettura