Le teorie acustiche dei Greci,:Quantificazione numerica e calcolo nello studio degli intervalli musicali

Rend. Men Acc banger Noa A le CASCA GU USI n 5 C.A: DÍ VEAN — Le teorie acustiche dei Greci, II: Quantificazione numerica e calcolo nello studio degli intervalli musicali: RAL 9 ser. 2 1991 147-177. | Examen des relations existant dans la pensée pythagoricienne entre la théorie musicale et les présupposés mathématiques. [4096 | LE TEORIE ACUSTICHE DEI GRECI Il, Quantificazione numerica e calcolo nello studio degli intervalli musicali Nota di CLAUDIA A. CIANCAGLINI, presentata”? dal Socio Corrispondente W. BELARDI Resta. — Dans le cadre des conceptions acoustiques grecques, auxquelles était dédiée aussi Notre première Note, nous cherchons ici d’examiner de plus près la liaison existante dans la pensée pythagoricicane entre la theorie musicale ct les présuppositions mathématiques. Cette liaison semble ttre bien étroite, ci on verra qu'elle justifie un nombre considérable de données que les Pythagoriciens ne pouvaient pas atteindre seulement d'une façon empirique. Dés la naissance, donc, la science acoustique est Jiéc indissolublement soit à la musique, soit à la spéculation mathémarique. PREMESSA. In una Nota precedente (Rend. Mor. Acc. Lincei, s. 9, v. 2: 47-77 [1991]), relativa alle esperienze e alle prime riflessioni dei Pitagorici su alcuni aspetti fisicomatematici dell’acustica musicale, avevamo annunciato la nostra intenzione di approfondire ulteriormente lo studio delle conoscenze teorico-matematiche tenute presenti dai primi Pitagorici nel concepire e nel determinare i rapporti numerici che descrivono matematicamente gli intervalli principali. Nella presente Nota intendiamo appunto indagare alcune di tali conascenze, nel contesto di uno studio più ampio, il cui fine non é di ridisegnare le prime fasi della storia delle teorie musicologiche occidentali, bensi quello di rintracciare i presupposti generali acustico-musicali dell'analisi fonetico-acustica che i Greci condussero successivamente sui “suoni” di lingua. Nella nostra attuale epoca, dopo il progresso scientifico-tecnologico avutosi intorno alla metà del presente secolo, sappiamo quale importanza abbiano i rapporti tra le frequenze (o sia note) generate nelle cavità epilaringec durante l'articolazione dei suoni di lingua, soprattutto vocalici e più genericamente di “risonanza” (“sonanti”, “sonoranti”, etc). Oggi ci è dato “descrivere” 1°) Nell'adunanza del 20 aprile un qualsiasi suono

vocalico mediante almeno una coppia di valori numerici (Formante prima, Formante seconda). Tale coppia funziona come un insieme di valori non assoluti ma relativi, donde discende il rilievo fondamentale, e decisivo per la percezione, anche dell interrallo che separa i due detti valori numerici. Tale intervallo è un vero e proprio “indice acustico-sensoriale” che determinate strutture neuronali corticali QUANTIFICAZIONE NUMERICA 1 CALCOLO. 149 6) dello studio matematico delle medie proporzionali, sulla base delle quali furono stabiliti i rapporti numerici corrispondenti agli intervalli (paragr. 2); e) dei tentativi condotti da Filolao per suddividere matematicamente il tono in semitoni (paragr. 3); d) della concezione pitagorica degli intervalli come risultati di operazioni di somma e sottrazione di entità lineari (paragr. 4); interpretano. L’importanza dell'intervallo emerge anche nel caso del confronto tra le sostanze acustiche di due distinte articolazioni, come ad esempio tra articolazioni e) della suddivisione del tetracordo e dell’ottocordo nel genere diatonico (paragr. 5); D di Archita e dei tre generi di scale musicali (paragr. 6). vocaliche in tutto uguali tranne che per la presenza in una della ortocheilia e nell'altra della procheilia. Ad esempio, la differenza acustica tra |i] ortocheilo e [y] procheilo (tipo # francese) è data dall’intervallo tra i valori rispettivi della Formante seconda, rispettivamente per [i] circa 2300 cps. e per [y] circa 1800 cps. I) principio del rapporto numerico si impone alla nostra attenzione anche sul piano anatomo-fisiologico dell’articolazione: il rapporto caratterizzante gli anzidetti tipi vocalici [i] e [y], rispettivamente ortocheilo e procheilo, è infatti quantificabile. $ 1. Intervalli musicali e speculazioni matematiche Per trattare questo argomento occorre riepilogate brevemente alcuni dati già esposti € commentati nella Nota precedente sopra menzionata. Posto ad esempio un valore lineare di 2,5 cm della “lunghezza” della cavità orale La teoria musicale del primo pitagorismo è particolarmente interessata alla anteriore, c un valore lincare aggiunto di 1 cm nel caso di procheilia, il rapporto riduzione delle consonanze in termini matematici. Tale ricerca approda — verosimilmente già con Pitagora v comunque nella sua epoca — alla individuazione dei anaromo-fisiologico tra [i] e [y] sarà descritto da 2, 5:3, 5. In pratica la fonctica linguistica è oggi in grado di meglio esplorare la seguenti rapporti numerici: fenomenologia di sua competenza, tanto fisiologica quanto acustica, attraverso ait procedure di quantificazione numerica ¢ di rilevamento di rapporti numerici. Sul 3:2 intervallo di quinta; piano acustico ciò è stato possibile dopo che la fisica acustica dell'Ottocento aveva 4:3 potuto definire numericamente le frequenze dei suoni o note. Agli albori del intervallo di ottava; intervallo di quarta; 9:8 intervallo di un tono, pensiero scientifico greco non esisteva alcun metodo per indagare la struttura fisica del suono singolo. L'ambiente pitagorico, tuttavia, fu in grado di individuare I numeri delle relazioni sopra menzionate rappresentano da prima lunghezze di percettivamente € di descrivere numericamente certe coppie di suoni dal punto di sorgenti sonore (all’inizio corde musicali, ma in seguito anche canne di strumenti a vista del loto reciproco rapporto. È pertanto legittimo considerare le riflessioni strada che condurrà da un lato agli studi di acustica musicologica e dall’altro agli fiato e colonne d’aria all’interno di vasi), Nella forma inversa, cioè 1:2, 2:3 etc., tali relazioni vengono più tardi interpretate come relazioni tra valori di frequenza, essendo ia lunghezza della sorgente sonora inversamente proporzionale alla studi cli acustica fonetica linguistica!’ frequenza da essa generata. teoriche piragoriche sugli intervalli tra suoni come il primo passo compiuto lungo la Conformemente all’attitudine mentale del pensiero greco tali riflessioni antiche Per quanto riguarda le consonanze di ottava, quarta e quinta, i numeri assunti superano d'un balzo il piano empirico per esplorare il piano metempirico dei valori nei rapporti che le rappresentano costituiscono una serie naturale (1, 2, 3, 4) € compongono inoltre la ferraktys, figura sacra ai Pitagorici già in epoca precedente matematici, Pertanto la nostra indagine circa le connessioni tra matematica e acustica alla scissione della scuola in acusmatici e matematici. In una nota testimonianza riferita da Giamblico e da Nicomaco (Giamblico, musicale nel pensiero pitagorico antico sarà articolata nei seguenti paragrafi, che vita Pythag, 26 e Nicomaco, harmon. enchir. 6, in JAN, Mus, Script. Graeci, 1895, p. 115 tratteranno: a) degli intervalli musicali e delle speculazioni matematiche intorno ai seg. € p. 245 sgg.), nella quale si narra come Pitagora sarebbe giunto alla quantificazione matematica delle consonanze e dell’intervallo di un tono, i rapporti numeri assunti nei rapporti ad essi corrispondenti (paragr. 1); numerici sono costituiti mediante i numeri 12, 9, 8 e 6, e cioè: 12:6 ottava; 12:9 oppure La {hi La prima netta distinzione. iccretica tra suomi musicali e suomi hnguisucr risale ad Avestemsean, tl grane teorico del IV seculo a.C ct. Blementa armranéca, cd. Da Rus, 4944, piro sgg. è Rainer Zamnea, Mask dos ldtertim, 1989, De 241. 8:6 quarta; 12:8 oppure 9:6 quinta; y:8 semplificazione di rispettivamente, 2:1 tono. tali rapporti riconduce a quelli ottava, 4:3 quarta; 3:2 quinta (il all’intervallo di un tono resta ovviamente invariato). sopra detti, ossia tapporto corrispondente

Ci occuperemo ora di chiarire per quali motivi matematici e teoretici vengano assunti dai Pitagorici i numeri coinvolti nei rapporti che rappresentano gli intervalli,i cioè le due serie 1, 2, 3, 4 € 6, 8, 9, 12, € sulla base di quali criteri vengano stabiliti relativi rapporti numerici. Per i Pitagorici la teoria musicale è strettamente connessa con quella aritmogeometrica e con i valori mistici € simbolici da essi attribuiti ai numeri. Se pure i Pitagorici non trascurarono l'analisi di dati empirici, questi ultimi vengono sempre costretti all’interno di una dottrina teorica precostituita. Il mondo dei suoni musicali per i Pitagorici consta essenzialmente dei numeri assunti nei rapporti numerici esprimenti gli intervalli, e lo studio della teoria musicale fornisce attraverso la loro ottica di analisi una conferma delle interrelazioni che connettono le cose e i numeri. Abbiamo accennato in precedenza anche all'importanza della tetraktys per spiegare il motivo per cui le consonanze riconosciute dal pitagorismo più antico fossero espresse da relazioni numeriche nelle quali erano implicati soltanto i primi quattro numeri naturali, la cui somma è il dieci, considerato il numero perfetto®. Tra le consonanze principali, poi, i Pitagorici consideravano l’ottava come la consonanza perfetta, come ci testimonia Tolomeo (barmon. 5, p. 11 Düring) nel passo seguente: LL.) tOv te ouupondv $ da Traci tote xaddioty nal sav Adywv 6 irhdaioc Kpuorng. À pèv Bue wh Eyyuráro elvan tod lourévou, 6 SE tH pévoc Thy brepoyhy tony naiv Th Snepeqopeven |...] «Tra le consonanze l’otrava è la più bella, e tra i rapporti numerici quello del doppio è il migliore, la prima perché si avvicina il più possibile all’uguaglianza di altezza, il secondo perché in esso soltanto l'eccedenza è pari a ciò che è ecceduto»; vale a dire, nel rapporto del doppio (2:1), che è quello che si ritrova nell’ottava, la quantità per cui il primo rermine del rapporto supera il secondo termine è uguale al secondo termine stesso, che nella fattispecie 2:1 è uguale a 1. A proposito dei motivi per i quali i Pitagorici, ritenendo che alle diverse consonanze inerisse un diverso grado di perfezione, sostenevano l'eccellenza dell’ottava, si può considerare anche la seguente testimonianza di Porfirio, in Ptol. barm. 1, 6 p. 107 Düring (= DK 47 A pa: iv Inlayıpurav rives, dog *Apyózas xal Aídugos intrigado. UETR TH ARTAOTÍOAaor tube héryuus Tay mapeo ayyxplvovtez adtod: mesg XAAHAGUG Kal Todc QUANTIFICAZIONE, NUMERICA E CALCOLO, iz suupovouc udirhov Eriderzvövon fiovAbpevor rouobrév = Erclouv mpdmtuuc Außövreg kplavc, ode Er&Auuv rufiuévac, thy Tndg Abyoug Tv cuugwvidy krorekoóvroy [...] tobrovc adv toba kpiOuode Arndövreg tails cunpwviats toxórovy xall'ixzotov Adyov ran toba boue mepleyoviwy Apr &pehévres ap’Exattpwy ray Spwv dvd puede, vede Xroherropévouc douate perà Thy hpalpeorw nities elev’ olov téiv 2,1, oinep Faav Tie Sid radio, Kperhvres dvd novada Eaxdrouv To narakeınäevov Ay dé dv. -Gv 88 4 nal 3 oltives haav TAG dk teaakpev, Lpeddvres ave povdda elyav Ex pév obv tó i Srodeirmóp.evov toy vola, Ex SÈ tiv teidiv tov Sou" Mat dant ouvauporépos tiv Bpwv Hera THy Zpalpeaiy To Snodetmiuevov Av révre. av dè 3 val 2, oftives haa rie dà mévte, &peñbvrec dvd puvkda elyov Ex wev thy toro broderdueva Sho, Ex BE Toy dbo Une keueöpenev Ev, Gore Tb auvalgotepov Aeutopevuv elvat tole. EraAnuv dé tag dy Xpopouuévaz povadac Go, tk SE Acınöpeva peta THY apaipeotv dvépora, dix dbo xiriag, Gt: E dupuîv riv ¿por Spor A dpatpects éylvers xal lon: lon yae à povdc ty uovadı av dpatpuvpéveny 26 dvds ck Smoreimöpeva dvépoux xat dvioa. Ev yao dai dvicwy tox Aparpclh, rà hour Eotat Eux. of BE moAdaridsıo. Adyou xal Embpuópror, &v nig Oempobvror al auupaviaı, Ev avicorg Spots SpeaThnaaty, dp dv law alt i tà hound mévroc divina. ylveraı obv tà Avira Tv culpa cuuuryévra oupulayery Sé neynvow of Mufaybperor 1% Eva El &pepotepwy &puuôv Anßelv, Esto ody Tk Avbpora auvrellevra xal xl ndo raw tiv avpepuviéiv toraita* THs Ev dud raros Ev. the Sé dà TEOTARWY mevte, TTS DE Sa wévte tela. Ep dv S'kv, pani, tk Avopora tidacuva ES ¿nelva av on slat auppuvérepax miupevoy pèv gativ I Stk rro, Ste Tabtne TÀ dvópora en oh àSee ha woe pin" resodpev, dt Ev pelis dà mevre, Ate tasty ns TK dvépora tole: tedeutaia utata dtSe YY dradia reood ò «Alcuni tra i Piragorici, come riferiscono Archita e Didimo, dopo aver fissato i rapporti numerici delle consonanze, li confrontavano tra loro e, volendo mostrare quali fossero più consonanti, procedevano così: dopo aver preso i numeri primi [scil. i più bassi], che essi chiamano ‘pitmeni’, tra quelli che formano i rapporti delle consonanze, toglievano un’unità da ognuno dei numeri che costituiscono i termini dei singoli rapporti, c poi consideravano quali numeri risultassero dalla sottrazione: per esempio, sottratta un'unità sia da 2 che da 1, numeri che corrispondono alla consonanza di ottava, consideravano il residuo, che era 1. Poi, togliendo un'unità sia da 4 che da 3, numeri che corrispondono alla consonanza di quarta, ottenevano come resti, da 4, 3 €, da 3, 2; cosicché da entrambi i termini dopo la sottrazione avevano il residuo di 5. Infine, togliendo un'unità da 3 e da 2, numeri che corrispondono alla consonanza di quinta, avevano come resti, da 3, 2 e, da 2, (2) A proposito dei valort geometrict, simbolici e magici attribuiti dat Pitagarici alla decade e as numeri che la compongono, cf. in particolare Filolac, DK 44 A 13, e il commento a tale passo in *Traranaro Carini, Pitagorici, 1962, 11, p. 126 € Seg. Note al testo. {3) Sail, all'unisono. Nolla terminologia musicale tecnica, almeno dopo Aristosseno (IV secolo a) termine rae¢ — letteralmente ‘tensione’ — designa l'altezza del suono, in quanto risultato della particolare tensione conterna alla corda che la produce. Ch Rurriivuiia- Zar, Die Musik des „Mertens, 1980, pi 272 SB (4) Per ovviare ad uventuali difficoltà tipografiche (assenza di sugma, ete.) «bbíamo sustituito le cifre greche con numeri arabi. 151 1; cosicché il residuo complessivo era 3. Inoltre, chiamavano ‘simili’ le unità BORA, c ‘dissimili’ le unità risultanti dopo le singole sottrazioni, per due motivi: perché la parte sottratta da ambedue i termini del rapporto era uguale ed equivalente, e infatti l’unità è uguale all'unità; e poi perché, sottratte queste unità, i residui erano necessariamente dissimili e disuguali; infatti, qualora si sottraggano parti uguali da termini disuguali, i residui saranno disuguali. E invero i rapporti multipli ed epimori, nei quali si individuano le consonanze, constano di termini disuguali, per cui se ne rogliamo parti uguali, i valori risultanti saranno senz'altro disagi.

Dunque, i dissimili nelle consonanze derivano da una mescolanza: partire a. u Pitagorici definiscono ‘mescolare’ il formare un ME: solo a i: per numeri; e per ciascuna delle consonanze i dissimili composti saranno i seguent una l'ottava 1, per la quarta 5, per la quinta 3. Essi dicono inoltre che formano piccoli: pertanto consonanza migliore quei rapporti nei quali i dissimili siano piùdopo questa € oC consonante in sommo grado è l'ottava, perché il suo dissimile et i quinta, perche il suo dissimile è 3; infine c’è la quarta. perché il suo posata è di a ps di iel Pitagor Questo passo ci testimonia l'esigenza avverta dai attri su diversa gradevolezza delle consonanze in base ai valori simboliiaci dida essi olezza gradev gerarch la tra ai numeri, cioè di trovare un parallelismo ca percettiva soggettiva e comune € la gerarchia di eleganza di economia numeri astratta. Ora, il brano di Porfirio appena esaminato ci dice che la consonanza di arci i ottava era considerata perferta per il fatto che sottraendo una unità ad ottava), si termini del rapporto 2:1 (vale a dire il rapporto corrispondente all una unità ottiene il più piccolo numero razionale, cioè l’unità; sottraendo invece ad entrambi i numeri costituenti il rapporto della quarta (vale a dire 4:3), si ottiene il numero 5 dalla somma dei resti 3 € 2, etc. Ma Porfirio avverte anche che peri osottrazi Pitagorici tanto minore era questo risultato complessivo ottenuto dalla la perfezione ne di un'unità ad entrambi i termini del rapporto, tanto maggiore era risultante della consonanza, per cui l’ottava, dal cui rapporto si otteneva il valore rispetto minore mediante questo processo di sottrazione, cra considerata perfetta alle altre consonanze. A ciò si aggiunga il fatro che i Pitagorici coglierne una ae importanza al numero 1, in quanto generatore di tutti gli altri numeri, e quindi anche delle due serie dei numeri pari e dispari; per tale motivo, casi ritenevano anche che l’unità partecipasse della natura di entrambe le serie, € percio il numero 1 veniva talvolia chiamato ‘parimpari’, come ci riferisce Teone di Smirne p. 22, 5 (= DK 47 QUANTIFICAZIONE NUMERICA È CALCOLO. 153 La ricerca musicale dei Pitagorici si era volta alla individuazione e determinazione numerica di tutti i possibili intervalli compresi in quello d’ottava; la prima fase di tale ricerca aveva condotto alla individuazione degli intervalli di quarta e di quinta, dal cui prodotto si poteva ottenere nuovamente Pottava [(3:2) - (4:3) = 2:1], secondo quanto ci riferisce Tolomeo, barmon. 5, p. 11 Düring, stando al quale per i Pitagorici la peculiarità delPorrava di comprendere gli intervalli di quarta e di quinta costituiva un ulteriore motivo per affermarne l’eccellenza: |...] xal Ete Thy pèv Su nachy ovyxsioUar cuuféBnxev En So tev Epebc xal rpoToy cuugpevidy, The TE Bed mévte xat tHe Bix tecckpwv |...) «inoltre Pottava è composta da due consonanze semplici e contigue, la quinta e la quarta». Inoltre, le relazioni numeriche esprimenti gli intervalli (2:1 ottava; 4:3 quarta; 3:2 quinta; 9:8 tono) presentano anche la peculiarità di essere epimorie. Il rapporto epimorio è quello in cui vengono a trovarsi due numeri quando il maggiore supera il minore di un'unità; esso si può sintetizzare nella formula [(n + 1): n]. Tale rapporto per i Pitagorici € uno dei due possibili requisiti ai quali deve rispondere una relazione numerica per esprimere un intervallo consonante. Secondo le informazioni che si possono desumere da Tolomeo, barmon. 5, p. 11 Düring, tali rapporti numerici dovevano essere infatti epimori (Eruuöptor) o multipli (noAAaAdmae vale a dire quelli in cui il numero maggiore è un multiplo del minore): questa condizione non era però sufficiente, in quanto ad esempio un rapporto del tipo 5:4 (cioè il rapporto corrispondente all'intervallo di terza maggiore, riconosciuto come tale solo a partire da Archità) non è considerato corrispondente a una consonanza da parte dei Pitagorici antichi®, Questo il testo di Tolomeo: apyny yap olxetorärnv movgadpevor |scil. ci lInbayspetor] ris pedódon, xa0'5v ni piv loo r@v Apiluov rapafinbicovra. tote taotévats pIibyyoig, of Sì divicor roîc dvecotavots, Tobvreßlev Erkyouaıv, dtt xabanep tav dudotéva piéyytov dbo tot eidr, tpic Xana th para, TS TE THY GULPaveV xd Tv Stapeviv, ual Aloy TÙ TOV Tippever, citac al tó dvicwy xpOpav die vivovta: posta: Stagapal Adyar, pia pèv A 21) ‘Agustoréane SE ds za Moda yopixo [fr. 199 Rose] 16 Ev qua Auparkpens FEU ox 2 A vie qpuocoe dpriw uèv yao npoatelès reprrróv pae meperrió de pie zo Ev. Fôbvare st un Apo Tulv quoto petetzye Sts xal APTIGTÉPLTTOV nxarsioNar ovupéperos SÈ tortotg xal “Apyitas natura «Aristotele nel suo libro ‘Sui Piragorici” dice che Puno è partecipe della s _ pari numero un a to aggiun perché , di entrambi [scil. del pari e del dispari] rsi dispari, mentre aggiunto a un dispari forma un pari, ena ats non sarebbe = se non partecipasse di entrambe le nature. Perciò l’uno è chiamato anche ‘parimpari’. Concorda su questo anche Archita». à so Aeyupivav Exiucpdy nal Ge ipo rpôc Kpıduöv, Erépa Se $ rev Émpoplov te nai nahkanıaalav, Apelvav nal ality Tie Exelvov xatà Thy aThGTyTs Tig MapafloAie, Ste (6) Diversi studiosi hanno cercato di motivare in vario modo la ragione per la quale i Pitagorici antichi non hanno considerato consonante l'intervallo di terza; cf., ad esempio, LOHMANN, Die griechische Musik, 1957, p- 153: «[...] die Terz-Intervalle hier schon deswegen nicht als simphónoj auftreten können, weil «las cine der Terz-Einteilung der Quint analoge Teilung der Quart zur Voraussetzung haben würde, die die Gliederung des Systems sprengen mussten; Rırrımürtse-Zaniner, Die Musik des «Mtertums, 1989, p. 299: «liner der Grande, warum die harmonische Teilung der Oktave in Quinte und Quarte nicht weiter für Konsenanzen in Anspruch genommen wurde, lag offenkundig darin, dass sich im Falle der Quinte zwar grosse und kleine Terz ergeben hätten ([s:4] x [6:5] = 4:2) sie erscheinen nirgends im Kreis der Konsonanzen —, aber im Falle der Quarte, die analog hatte behandelt werden = 4 = PA IL, p. 424, note“al (1) A proposito di tale testimonianza, la Timpanaro Carnini, Pitagoricii , 1962, ¿o n nen sone : sa addorte ioristiiche in essa artifici e ed apriorist oni artiticios ivazioni testo, osserva giustamente che le motivazi ritenuto. hanno studiosi alcuni quanto i d ifferenza di quanto *antichità, a differenza pet negarne Pantichitä fici ragione sufficiente müssen, die numinose Zahl 7 unvermeidlich gewesen wäre ((8:7] x [7:6] = 4:3)». A nostro avviso, turtavia, 1) motivo principale della esclusione delle due terze dal novero delle consonanze riconosciute das primi Pitagorici consiste nel fatto che 1 rapporti numerici che le rappresentano, cioè 4:4 e 6:5, contengono numeri non compresi nella terraktyr.

QUANTIFICAZIONE NUMERICA fi CALCOLO uépos loviv dmdolv Ey abrí, tiv uèv Emuoplo h Grepoyh, sav SE roMharAagiwy tó Martav to pellovnc. tpapuboavteg Ih Sik tolto tobe empoploug nal RoAAamAnatousg Abyoug tals coppevions, Thy piv did rasdw rposérroust To Srdaaiw Aya, Thy DE Sid congiunti, formano il rapporto quadruplo: e così avviene che dall’union quinta, che già formano una sola consonanza [scil. quella rappore quadruplo, prende il nome di doppia ottava. E cosi anche secondo «I Pitagorici, dopo aver posto come principio fondante del loro metodo il fatto 3:2], alla quarta il rapporto epitrito [scil. 4:3)». Riguardo ai calcoli matematici tramite i quali si ottenevano i rapporti numerici designanti le consonanze, ¢ sul rapporto di derivazione logica che i Pitagorici antichi avrebbero posto tra le consonanze stesse, ci informa anche un brano di Boezio, inst. mus. I 19 (= DK 18 À 14), la cui fonte in questo caso è Nicomaco; il duplum, ex eo diapason consonantiam reddi, quoniam vero sit dimidium, ex eo quasi contrarinm divisionem sesquialteram, id est diapente, effici proportionem. quibus mixtis, scilicet diapason ue diapente, triplicem procreari, quae utramque contineal symphoniam. sed rursus triplici partem tertiam contraria divisione partiri, ex qua rursus diatessaron symphonia nascetur. triplicem vero atque sesquitertinm innctos quadrupiam comparationem proportionis efficere. unde fit, at ex diapason ac diapente, quae est una consonantia, et diatessaron una concinentia coniungatur, quae in quadruplo consistens bis diapason nomen accepit. secundum hos quoque bic arde est: diapason. diapente, diapason ac diapente, diatessaron, bis diapason. «Ma Eubulide ed Ippaso stabiliscono le consonanze in un altro ordine. Dicono infatii che ogni aumento del rapporto multiplo corrisponde a una diminuzione del rapporto cpimorio secondo una legge costante, per cui non vi può essere doppio senza meta, né triplo senza terza parte. E se il rapporto è del doppio si ottiene la consonanza di ottava, se invece è della metà, cioè il suo contrario, si ottiene il rapporto di quinta. Unendo questi due rapporti, cioè l'ottava e la quinta, si crea il rapporto triplo, che li contiene entrambi. I triplo a sua volta, inversamente, diventa un terzo, da cui a sua volta risulterà la consonanza di quarta. Il triplo poi e la quarta, costoro Pordine è questo: ottava, quinta, ottava e quinta, quarta, doppia ottava» Il significato di questa testimonianza è il seguentel”: nel rapporte Nr [(n + 1): n], all'aumento dell'unità (1, 2, 3, 4 etc.) corrispond e la diminuzione del rapporio inverso (cioè 1:2, 173, 1:4 etc.); da qui ha origine la serie dei rapporti epimori (cioè 3:2, 413, 5:4 etc.), ottenuta aggiungendo all’unità le serie inverse: così ! + (1:2) = 331 + (1:3) = 4:3, etc. Dato 2:1, che è il rapporto dell’ottava, il suo Inverso, cioè 1:2, aggiunto all’unità, crea il rapporto della quinta, in guanto 1+ (1:2) = 3:2. L'unione delPotrava e della quinta dà il rapporto triplo, poiché (2:1) - (3:2) = 3:1. Linverso del rapporto triplo, cioè 1:3, aggiunto ater peri il rapporto della quarta, poiché ı + (1:3) = 4:3. L'unione del triplo e della quara crea il rapporto quadruplo, in quanto (3:1) + corrisponde alla doppia ottava. | Abbiamo visto che per i (43) = 4:15 quest'ultimo rapporto i Pitagorici l’intervallo di ottava comprende gli intervalli di quinta e di quarta, poiché si ottiene dal prodotto dei rapporti numerici de due intervalli minori. Mediante il procedimento inverso, ovvero dividendo tra Lisa i due rapporti numerici della quinta e della quarta, i Pitagorici individuano la differenza” di tali intervalli nel tono, espresso dal rapporto 9:8 detto “epogdoo”: infatti, (3:2) : (4:3) = 9:8. ww Come si può notare, anche il rapporto numerico che esprime il tono è un brano riguarda il pitagorico Ippaso: sed Kubulides atque Elippasus alium consonantiarum ordinem ponunt. aiunt enim multiplicitatis angmenta superparticularitatis deminutioni rato ordine respondere. itaque non posse esse duplum praster dimidium nec triplum praeter tertiam partem. quoniam igitur sit e di ottava e di dodicesima espressa dal rapporto 3:1], con la quarta, risulta un’unica consonanza che, estando in un névee -@ hundo, thy SÈ dà tenodpav TO émitpite che numeri uguali corrispondono a suoni di altezza uguale, mentre numeri disuguali corrispondono a suoni di altezza diversa, affermano che allo stesso modo in cui vi sono due tipi principali di suoni di diversa altezza, vale a dire consonanti ¢ dissonanti, tra i quali i consonanti sono più gradevoli, così vi sono anche tra | numeri disuguali due tipi principali di rapporti: il primo è quello dei cosiddetti cpimeri, vale a dire numero con numero [scil. nin; ad cs., 3:8]; il secondo tipo è quello dei numeri epimori e multipli. Questo secondo tipo è da preferire per la semplicità del rapporto, poiché da un lato nei numeri epimori l’eccedenza è una parte dell’intero; dall’altro, nei multipli il numero minore è contenuto nel maggiore. Essi comparano perciò i rapporti epimori e multipli con le consonanze: all’ottava fanno corrispondere il rapporto del doppio, alla quinta il rapporto emiolio [scil. 155 rapporto epimorio; in esso, come in tutti gli altri rapporti cpimori, non è possibile trovare un medio proporzionale! Abbiamo detto che la fase più antica della teoria musicale pitagorica presenta come acquisite soltanto le relazioni numeriche degli intervalli principali foto quis è quarta) € del tono: questo sistema corrisponde alla scala Denia Successivamente, in conseguenza anche del parallelo sviluppo della matematica e, in particolare, dello studio delle medie proporzionali, i Pitagorici tentarono altertori e diverse suddivisioni degli intervalli. Prima di illustrare questi tentativi, è opportuna chiarire brevemente cosa si intenda per studio delle mecliera. $ 2. eli Le medie proporzionali Gia anticamente i Pitagorici conoscevano tre tipi di metlie proporzionali che p otevano ortenersi nersi ya partire ire dadi duey numerii razionali, razionali vale a dire i la media i aritmelica, ir) CI, l'intpanaio CARDISE, l'itagorivi, 0948, À, Pe 104 sg, note al cesto chi (8) CH la tesumomisnza di Boezio, aust. mus. 4, 01 (= DK 47a 19), Archita. CT. anche re ita. Ch : Braker, Sit oft Früheriechiiche Waweknes, Hornonidrbre, 1943, Pp. 1Bs sp. Cale i Mathematik und Musiklehre, : che riferisce il pensiero 1959, Po i 159 SER ine cani

la geometrica € Parmonica; si veda quanto ci testimonia il seguente passo di Giamblico, ir Nicom. arithm. 100, 19 (= DK 18 A 15): pivar SE th mahabv tpeic Íoav pesorytes ërt Hludaryógos nal av xar' abróv palermo, dont te nal Y yeopuerpied nai + more pèv ómevavria Acyoutvy TH ráber soir, bro dè sv rept ‘Apystav xblle al Trracov dpuovxn petaxdnieice |...) kanayéveo: Sè tod dvéparog ol petk tata mepi Ebsobov pxOnpasixol Aa Tpeis measaveupivtss neabrnrag Thy veteptyy llos Srevavriav txkheony, |...] tag SE Aurèc QUANTIFICAZIONE NUMERICA & CALCOLO,. esprimono gli intervalli consonanti, in quanto 12:6 è equivalente a 2:1, vale a dire all'ottava; e sesta», Riguardo alla medietà armonica siamo informati dal seguente brano di Nicomaco, aritbm. 11 26, 2 (= DK 44 A 24), nel quale è sottolineata la relazione intercorrente tra lo studio dell’aritmetica e della geometria, e quello delle medie proporzionali: sè: Sè xbchy [scil. thy entente] dpucuxñv xareiollac vouibouaiv 3,202 IEG Modi ari tai napéncablon nkoy Yewperpuxi dppovia, Yewpetpuchy de Apuuoviav pact sty ao Arc zn mara tk pla dranth lata hopdaar bodas tow ladxis” Ev yap mavti wibe de i peobras Ivomrplferar. mheupal pév yàp mavrèc Kou sioty 12, yaviaı dè 8, inimeda Se 6 peaitye dpa 5 8 thy 6 nal ran 12 zard Thy Apu vor y «Alcuni, seguendo Filolao, ritengono che la media armonica si chiami così perché accompagna ogni armonia geometrica; ed essi chiamano armonia geometrica il cubo, per il fatto che è composto da un numero che si ripete identico tante volte e poi altrettante, secondo le tre dimensioni. Ora, in ogni cubo si rispecchia questa medietà: infatti, gli spigoli di ogni cubo sono 12, i vertici 8 e le facce 6; € appunto 3:2) alla quinta e 8:6 (= 4:3) alla quarta. mo più estesamente altrove, approfondi in modo sostanziale lo studio delle medieta, sia nel campo strettamente matematico, sia nell’applicazione alla teoria musicale, come si legge nel frammento tramandato da Porfirio, in Prol. harm. p. 92 Düring (= DK 47 B 2), il cui testo è il seguente: n uéoai SE Evrı tptg TE nova, pla pèv apibuntinà, Seurépa dì à yewuerpixd, tolva 8 Srevavtia, dv xx dove: Kpuovixdv. «pil uni ev, Damen Ewvte tpeic Spor xarà tiv vola ÚTERO L%v ava Ayov: @ rpäros Deutépou Úrepéxer, routes Sebrepos rptrou Snepéyet. uni ev tabre <rE > dvadoyla ouurirre fuev tò av pelóvov dowy Bkornux uelov, Th SÈ Toy petóvev pelo. d yempetpinc SE, broca Ewvte clog 6 mpätos tort tov Debrepov, xal % Seútepos morì tov tpituv. robrwv Vol peltoveg lov matodvrar To Bidornua nat of pelouc. & d'irevavila, div zarnüpev dpuovindy, Broca Emvrı < toto > 6 mpáros Apos onepeye ro Beutépuu abrazos péper, tobta 6 péoos tol teltov bmepéyet rob salva péper. yiveraı Sev rasta Ta dvahoyla th tiv pelóveo Ego dikommua sil, cò SÌ Tüv peróvos uetov «Ci sono geometrica, tre medie la terza la prima è l’aritmetica, che chiamano armonica. Si la seconda ha la la media supera il terzo. In questa proporzione l’intervallo dei termini maggiori è minore, quello dei minori è maggiore. La media geometrica si ha quandoi tre termini sono tali che il primo sta al secondo come il secondo sta al terzo. In questa proporzione l'intervalle dei termini maggiori è uguale a quello dei minori. La media subcontraria, che chiamiamo armonica, si ha quando i termini stanno tra loro così: di quanta parte di sé il primo supera il secondo, di altrettanta parte del terzo il medio supera il terzo. In questa proporzione l’intervallo dei rermini maggiori è maggiore, quello dei minor € minore». Riassumendo, dunque, dati due numeri razionali A e B, dei quali A sia il doppio di B, e designate con le lettere M, G e H rispettivamente fa media aritmetica, la geometrica e Parmonica, si possono definire le suddette medieta con l'ausilio delle seguenti formule di uguaglianza: A—M=M-— Il = (A — H): (9) Seconds una tradizione riferita da Giamblico, Pitagora stessi sarebbe stato il prim» ad l'avreble introdorti in Greci». musica: aritmetica quando tre termini stanno tra loro in rapporto secondo una certa AiG wierodurse m Grecia la media armonica; vf. Giamblico, i Nicom. aritbm. 118, 24 (= DK 44 À 24} ¿pra Paru [scil. la media armonici] pao: elo BaBuawviey zat à Midayspou aperta, cig 1Adnvrc ¿ie |...) «Dicono che la media armonica sia una seuperta des Babilonesi e che per prim» Pitagora nella la subcontraria, eccedenza: vale a dire, di quanto il primo supera il secondo, di tanto il secondo nella medietà armonica 8 è medio tra 6 e 12»). I numeri 12, 8 e 6, dunque, rappresentano rispettivamente gli spigoli, i vertici e le facce di un cubo; nella testimonianza di Nicomaco e di Giamblico (cf. supra, paragr. 1) relativa al moda in cui Pitagora avrebbe fissato i rapporti degli intervalli principali, tali numeri possono costituire, opportunamente combinati, i rapporti che 12:8 (= Archita, un pitagorico — contemporaneo di Platone — del quale ci occupere- Bou ms xará thy tek mpnonyöpeuaxv néuntav ve mol ExTNV «Nell’antichità erano solo tre le medietà presso Pitagora e i matematici della sua scuola: Paritmetica, la geometrica e, terza per ordine, quella che allora era chiamata subcontraria, ma che poi fu chiamata armonica dalle scuole di Archita e di Ippaso [...] Cambiato così questo nome, in seguito i matematici della scuola di Hudosso trovarono altre tre medietà, e chiamarono propriamente subcontraria la quarta |...] e le altre due le chiamarono semplicemente, secondo l’ordine, quinta 157 B = A = (H - Se si sostituiscono le lettere B B): A e B con i numeri 12 € 6, si ottiene che la media aritmetica tra 12 e 6 è y (poiché 12 — y = 9 — 6), e la media armonica è 8 [poiché 8): 12 = (8 — 6): 6]. Sulla base di queste sole due medie proporzionali, tra

loro combinate, si ottengono i rapporti di quarta e di quinta, a partite da quello di ottava, utilizzando le seguenti proporzioni: QUANTIFICAZIONE. NUMERICA E CALCOLO) 159 corrente pitagorica precedente almeno il Y secolo a.C. L'arcaicità della terminologia presente nei frammenti rappresenta comunque una restimonianza fondamentale sulla terminologia in uso nella scuola pitagorica più antica. A:H=M:B A:M=H:B lisiste in Boezio un passo (inst. mus. 111 5 = DK 44 A 26) nel quale il filosofo di 6, ea H ed Dal momento che abbiamo dato ad A il valore di 12, a Bil valore i numeri, si avril: M rispettivamente | valori di 8 € 9, sostituendo le lettere con 9:6 = 3: 2 (intervallo di quinta), € 12: 8 riferisce quale sarebbe stato il procedimento adottato da Filolao per suddividere il tono. Tale passo, peraltro, suscita notevoli perplessità a causa delle confusioni e degli errori matematici in esso presenti, e ai quali accenneremo in seguito, dopo aver riportato il testo, che è il seguente: 12:91 =8:6=4:3 (intervallo di quarta). Philolaus vero Pythagoricus alio modo tonum dividere temptavit, statuens scilicet primordinm toni ab eo numero, qui primus cybum a primo impari, quod maxime apud Pythagoricos bonorabile fuit, efficeret. nam cum ternarins numerns primus sit impar, tres tertio i $ 3. Vilolao e la suddivisione matematica del tono în semiton atque id ter st duxeris, XX V/I1 necessario exurgerent, qui ad XXIII numerum tono distal, di Ripresa ora il caso particolare del tono — a cui corrisponde nella scali primo n genere diatonico il rapporto epogdoo, vale a dire 9:8 — voFiale iduazio l’indiv fu tentati vale di pitagorico a tentarne la suddivisione; il risultato '”, minorel del semitono maggiore e del semitono pitagorica, si rifugiò in Grecia dope la Filolao di Crotonc o di Taranto, seguace della dottrina a utto ' P del k V sec. fui attivo sopratt fine la i Verso 4). À ta, A 44 DK (cf. volta democratica del 454 ac. : che i Cebete, e Simmia mi: furono i i discepoli suvi mia; mate iciac astrono + didi matemat i in particolare Tak necupi nPole SiSì necupo nal did conosciamer dal Prdane platemico. nianze indirette € alcuni Di Eilolas restano numerose testimo A proposito della questione fesmmenti, la cui genuinità € stata però talvolra messa in dise ussiong, filolatca, si veda il fondamentale favore del Bonn Philolios, 183 y. | espressi . fortemente acritici brani giudizi und die sogenannten Pythagoreer, iio pu ,E dal Yassin (Mez, Nat. UI, p. 223) dal Frank (Plato sua opera,e per quanto riguarda co niguiardo all'esistenza uffettiva di tale Filolao e della stati Circa la sua presunta rotale dipende nza dal pensiero platonico, sono ammettaas l'esistenza det Corect, 1964, M, p. 367- puntualmente: ribarruu da Ro Monnier (in Zei tr MED Hai, ¿82 € passion). La tendenza ad ammentere l'esistenza di Fılälae ca si rile La; filosofia riv endicarne l'originalitá del pensiero Bunker, Weisheir che nel commento di 'Pinranaro Canina, Pitagorici, 1962, II, p. 82 sgg. cin und Wietenschaft, 1902, pi 366 SER: In Imea di massima, ritengo che Ro Mandolto sia nel giusto circa Pattribuzione dei frammenti à non sa questione filolaica, in quanto Filalac. Ma non affronterà nelle pagine successive la comples un i èdm l'usistenza del nostro Filolao, negare voler a strettamente rilevante ni fini del nostro lavoro: anche autore nspecchtane dottrine della questo en n sradizio dalla i attribuit ti frammen i dato sicuro ehe tandem ternarii differentiam servans. ternarius enim XXIII] summae octava pars est, quae visdem addita primum a ternario cybum XX ac WU reddit. ex hoc igitur Philolaus duas efficit partes, unam quae dimidio sit maior, eamque a potomen vocat, reliquam quae dimidio sit minor eamque rursus diesin dicit, quam posteri semitonium minus appellavere; barum vero differentiam co m ma. ac primum diesin in NUT unitatibus constare arbitratur eo, quod haec inter CCL et CCXLII perrisa sit differentia, quodque idem numerus, id est XII, ex novenario, fernario atque unitate consistat, quae unitas puncti obtineat locum, ternarius vero primae inparis linear, novenarins primi inparis quadrati. ex bis igitur causis cum XIII diesin ponat, quod semitoninm nuncupatar, reliquam NX VI numeri partem, quae XU unitatibus continetur, apotomen esse constituit, sed quoniam inter NII et XIII unitas differentiam facit, unitatem loco commatis censet esse ponendam. totum vero tonum in NNT] unitatibus locat eo quod inter CCNIV® ab CCXNLIHI qui inter se distant tono, XXIII sit differentia «ll pitagorico Filolao rent di dividere il tono in un altro modo, stabilendo cioè come generatore del tono il primo numero che è cubo del primo numero dispari, proprietà che cra tenuta in gran conto dai Pitagorici. Dato che il primo numero dispari è il 3, se lo si moltiplica per 3 e poi ancora per 3, si avrà necessariamente il 27, numero che forma con il 24 l'intervallo di un tono, conservando la medesima differenza di 3. Infatti, il 3 è l'ottava parte del 24, che aggiunta al 24 riproduce il primo cuba di 3, cinè 27. Di questo numero poi Filolao fa due parti, la prima che è più grande della mera, e che chiama ‘apotome’, la seconda che è minore della metà, e che chiama ‘diesis’, ma che in seguito chiamarono ‘semitono minore’; chiamò q Ñ ale èè quelle: o epimorio quale i i e in parti ugualii didi un rapport py CI pre, nota 8. La division azione di ae L'osserv . Pitagorici Pitagorie dai dai le sihile impassibi >] camente matemati ritenuta € Ù gif alone, e dente sabr vormspen una entità fisica, 1976, fi 18, secondo la quale il tono, in realtà, essendo della nostra attuale concezione potrebbe essere di fatto divise| in para uguali, € valida dal punto di vista' pensieri a commento delAr Righim la come > pane si la se d'essere i musicale, ma non ha ragion Ruine. Le mire green, fisica del tono e la sun conseguente divisibitità scale pilage rien all'interno del quale la realtà 3 alcuni nza importa hanno non uguali effectue in parte o l'essenza invamante di tali mittematiche: da questo punto di vista, 1 rapporti epimar ch e esprimon ot elle. me je , Per ı Pitagorici, gli intervalli sono entità licando intervalli nun possono essere divisi m parti uguali, se en vien non sono comemplati dall'antico pensiero matematico PIERBOTI EH. 1 numen irrazionali, i quali però ‘comma’ la differenza di queste due parti, figli ritenne inoltre che il diesis consti di 13 unità, in primo luogo perché è cale la differenza tra 256 ¢ 243, € poi perché questo stesso numero, vale a dire il 13, € formato dal 9, dal 3 e dall’ı, tra i quali Pi rappresenta il punto, il 3 la prima linea di valore dispari, il 9 il primo quadrato di valore dispari. Dopo aver posto per questi motivi il 13 come diesis -— ora detto semitono — pose come apotome la parte rimanente del numero 27, che è composta da 14 unità. Li poiché la differenza tra 13 e 14 È 1, egli ritenne che l’unità costituisca il comma. L'intero tono poi lo fa consistere in 27 unità, per il fatto che tra 216€ 243, che distano tra loro di un tono, la differenza è 27».

Per riepilogare i dati offerti da questa testimonianza, può essere utile un passo del Tímeo platonico (35a-36b), nel quale si tratta delle partizioni dell’anima -- diesis, o semitono minore: 13, CIO 256 — 243 del mondo secondo il principio delle medie proporzionali e nel quale compare — 13 appunto tale relazione numerica. comma: 1, cioè 14 — 13 tono: 243 — 216 = 27, poiché 243:216 = g:8 Ad agni modo, il rapporto 256:243 indicante il diesis non è una innovazione platonica, ; tuttavia, il Questi sono i risultati cui sarebbe pervenuta Pindagine ditePilolau procedimenti non i median brano di Boczio presenta d ei valori numerici ottenut detto subito, però, che le Va . assurdi e nt ticame solo oscuri, ma spesso matema i misura da attribuire a assurdità matematiche di cui il passo abbonda so no in larga dagli studiosi Boezio o alle sue fonti, o all'uno e alle altre, come del resto è ammesso l che si sono occupati dell'argomento!” per Ad ogni modo, il rapporto 27:24, che Fappprosenta il tono, è Lapo noi comprensibile solo in quanto fa sua semplificazione da luogo al rapporto Le on son« dire il rapporto epogdoo usuale presso | Pitagorici, ma i due numeri 27 mistico° bensi he a e at à i matemat ne mus ne icali y SONO non N cl FAZIO € MIVAZ iv azi mi1 ct Y atiÈ P erÈ mot é ISSU a dal 27 di 3 ntiche: il 27 è il primo cubo del primo numero dispari, il 24 dist etc. matema il 27, nuovo 24 ¢ aggiunto al 24 dà di ra parte di ica, il 3 € Porta rapporto 27:24, per Filolao il tono sarebbe nr che dal espresso bn anche dal a nella parte conclusiva de brano di tra i numeri 245 € 216, i quali enza Boezio, perché tale numero risulta d alla differ che la Ora, se è ben vero pt tone. un insieme danno luogo al rapporto di solo numero intero 27, secondo quanto si afferm della frazione 243:216 riconduce al rapporto 9:8, dal punto di vista o id e strettamente matematico non è possibile sottrarre il risoluz la per ottenere un numero intero € razionale che rappresenti denominatore dal numeratore ee _ frazione siessa. : modo fissati inina” mit ni sono pres ssociati alai duee semito Anche i numerii che vengono associa 256243, | arbitrario: al diesis, o semitono minore, € associato sia il rapporto inatore na Te della denomi il re € tore numera il numero 13 che cor msisponde alla diif ferenza tra 13, 3 N atr e, 1 . tono il per to adotta ento e edim Ü Qu secondo lo stesso proc ca.2 56: 243,5 ‘ frazione neri da ed Wi ‚nunBen ¢ daal 3eda er “Sssert compossto dal alg, “ teristic ui Caratter isticoa di essere è scelto anche per|A+ SUA linea prima la , dispari to quadra primo il te ivamen assunti a rappresentare rispett dispari, e il punto. | ì onde al numero 27 (ovver: o 243 — 21 216)) vaposto che il tone corrisp ace ato: inadegu diesis corrisponde al 13 (ovvero 256- -- 243), sottraendo dal tono MORI poiché cumpare anche nella dottrina musicale di Archita (DK 47 A 16), dove designa propriamente il rapporto tra il Sol enarmonico e la nota corrispondente nel genere cromatico, che è di fatto un Fa diesis (di ciò parleremo più avanti, trattando dei diversi generi di scala musicale), È certo, però, che dalle testimonianze relative ad Archita emerge che la sua teoria musicale presuppone la conoscenza di un taracordo diatanico composto da due toni e un diesis, 1 cui intervalli corrispondono nell'ordine rispettivamente a 9:B, 9:8 u 256:243, € che questa suddivisione del tetracordo risale a Pitagorici a lui precedenti. Platone, quindi, costruisce la sua scala nel meo su basi aprioristiche e metafisiche, ma utilizza altresi relazioni numeriche fissate precedentemente dai Pitagorici. A proposito delle diverse interpretazioni offerte dagli studiosi con riguardo alla scala platonica ¢ ai suoi rapporti con le dottrine pitagoriche, si veda in particolare il Frank, Plato und die sogenannten Vythagoreer, 1923, p. 264 spp. e Burxent, Weisheit und Wissenschaft, 1962, p. 365 sp. Quanto al calcolo matematico mediante il quale si ottiene 256:243, lo si può individuare sulla base della seguente notizia di Boezio, ¿nst. mus, II 8 (= DK 44 B 6). Philolaus igitur haec atque bis minora spatia talibus definitionibus includit: ‘diesis’, inquit, ‘est spatium quo maior est sesquitertia proportio duobus tonis Vas] «Filolao definisce questi intervalli e i minori di questi nel modo seguente: ‘il diesis”, egli dice, ‘è quell’intervallo per cui la quarta è superiore di due toni [EN ES Il diesis, dunque, rappresenta Pintervallo in ragione del quale la quarta è maggiore di due toni interi; il rapporto numerico che corrisponde al diesis, cioè 256:243, sarà quindi statu ottenuto “togliendo” due toni dalla quarta nel modo seguente: (4:03): [9 : 8): (9:8)] = 256 : 243 Cid che vi é di matematicamente incongruo nel brano di Boezio concernente Filolao (éas/. us. VI 5), oltre a quanto abbiamo già segnalato e di cui dovrebbero essere responsabili Boezio o le sue fonti, è soprattutto il fatto che il tono, il diesis e Papotome vengano definiti non solo da frazioni, ma anche da numeri interi | o o re paa ome,4 16) semitono l’apot i erebbe 14, che esprim Quanto al numero intero nà) FT) “chi Y ‘ra = a ¡ ip A e, esso è ricavato mediante lo stesso procedimento maggior si otterrà il semitone maggiore, ovvero 27 161 Nel brano di Boezio non si spiega il motivo per cui viene assunta la frazione -— tono: (27:24), (= 9:8), oppure solo 27 - E CALCULO 246:243 per indicare il dicsis, ma € probabile che la ragione per la quale viene assunto tale rapporto consista nel fatto che Boezio c/o le sue fonti avevano presente seguente schema: - apotome: 14, Cioè 27 QUANTIFICAZIONE NUMERICA echei il semitono minore — 13 = Id A Wrisheit und Wissenschaft, Va, p. 30 4 D. S Mem. Sont2] A «Mem. NI y Cd. E Vanina, ! resto, spe. note ial 140 Il, pi 126 «ge aa Visione © i vines, Pafagorzezi, 1462, (02) CE Plutarco, de an. proer. in Tim. i 17 po to20 Li qth dk mine peón dan vo did tescapen. ins 88 Stxatypaton È è uao uevuc thus, inci ni uè: Sppoved Mya teprópevos otavrar Ain Buarípara meto, dee Exkvepey Ques xxdoliov., ni dè Uubayagizni thy pèv ele toa ted» antyvna: wurd, Toy AE tL quate dedo Bivio help th Barra Évouhbouov, bs, rod huloens Imorelner «Uno degtt intervalli è quello chiamato tono, fa cui misura esprime di quanto la quinta è maggiore della quiera, Lili Armonie pensano di poterlo dividere a metà e di farne due intervalli, che chiamano ambedu: semitoni. Mas Pitagorici ric noblero impossibile la divisione in due parti uguali, e delle due parti disuguali chiamarono la minore ‘letmma* [seil. reste], perchè resta al di sotte della metà».

QUANTIFICAZIONE NUMERICA li CALCOLO... 163 (rispettivamente 27, 13 e 14), € che tali numeri interi siano ricavati tramite secondo il quale il tono consterebbe della somma di due semitoni minori e di un rapporti numerici: assunto che il tono corrisponda al numero 27 = sven ; comma, € il semitono maggiore sarebbe ottenibile con la sottrazione del semitono minore dal tono intero. Tale concezione compare, infatti, oltre che nei due passi di sottrazioni ed addizioni, laddove gli intervalli non possono che essere associati î modalità sopra esaminate — e il diesis al 13, Papotome si ricaverebbe sea o : 13 al 27 €, quindi, avrebbe il valore di 14. Analogamente, il comme corrispondere be al numero 1, poiché esprimerebbe di quanto l’apotome sia maggiore del diesis, e u dunque si otterrebbe sottraendo il 13 dal 4e | | Dal punto di vista matematico, tale modo di procedere é inadeguato, in Ta Boezio sopra esaminati (inst. mus. INI $ e MI 8), anche nel seguente frammento di Filolao (= DK 44 B 6): repi BE picts xal ápuovias ide Eyer: [...] ápuovias dè néyedós toni uud xat dr 'oberàive rh dè Be GE erty weiCov tic ovdhaBas troydéw. gori yao and bmdtas Eri pécoay mark, ant Se pésoas ri vektav dı'ökeiäv, and SE vertrag be vpirav au Bd, ira SE non solo gli intervalli devono corrispondere a rapporti numerici ¢ non a singoli tpitag Es inktay SOEeGv cò Dev pto péooas nal toltae énbySoov: à Sì cui fa intervallo maggiore in intervalli minori si ottiene sempre mediante la divisione, e Exitpitov, + BE Se'dEerdiv huródoo, vé Sk raodv Sè Arbo. 05700 &punvix nevre éxtydoa soi din Suess, M'ÉÉertv de tpla Enéyôox xat Sears, mula Ba Se Su’ Enbydoa numeri, ma soprattutto perché dal punto di vista razionale la seomposiaoas di un non la sottrazione: ad esempio, come abbiamo visto nelle pagine precedenti, il tono si ottiene dividendo il rapporto di quinta per quello di quarta [(3 : 2) : (4 : 3) = : : 8); analogamente, l’intervallo di ottava risulta dal prodotto, e non dalla somma, dei a rapporti di quinta e di quarta [(3 : 2) + (4 : 3) = 2) 1}, etc. differenze come intervalli gli tra rapporti i ‘l'uttavia, questo modo di concepire e somme non compare solo nella testimonianza di Boezio: cesso riaffiora anche in altre testimonianze, nelle quali si riferisce che i Pitagorici in generale, e anche Platone, ritenevano che il numero 13 corrispondesse al diesis, il ion minore che i platonici chiamano “limma” (Aetupa), e il nae 27 a tono: si verla I ne de an. procr. in Tim. 14, 1018 sg.: ol Mubayopueoi toy ne tv miro tH a [sci 29| sérrouor [...] ote [scil. con il 13 e il 27] tà a sn asie ie een n valbinuaroari diaothpata, ti piv diem, th SE Tovey nahodvreg ui ice fissano i tono in questo numero (cioè il 27); per mezzo del 13 e del 27 i matematici Sun evidentemente gli intervalli armonici, e chiamano il primo diesis, il pr tono», e wat denia «Riguardo alla natura e all’armonia le cose stanno così: [...] la grandezza armonica comprende gli intervalli di quarta e di quinta: la quinta è maggiore della quarta di un tono, Infatti, dalla corda più alta (hypa/e) alla media (mese) c'è una quarta; dalla media alPultima corda (ne/e) c'è una quinta; dall'ultima alla terza (trite) c'è una quarta; dalla terza alla più alta, c'è una quinta. L'intervallo tra la media e la terza è di un rono. La quarta corrisponde al rapporto epitrito, la quinta al rapporto emiolio, Potrava al rapporto del doppio. Così la scala armonica si compone di 5 toni € 2 semitoni minori, la quinta di 3 toni e 1 semitono minore, la quarta di 2 toni e ı semitono minore», Filolao, dunque, intende gli intervalli come “differenze” o “somme” di altri intervalli; ciò è confermato anche dalla seguente testimonianza di Porfirio, in Ptol, harm. 5, p. 91 Düring (= DK 44 A 25): an’, 3% vobtou rivmbévteg twig tOv uer'abtòv [scil. Eratostene] Stéorrua Plutarco, did. 12, 1017 su: tà SE tproxaldena Asiupa. xallàrep Mary [sci at Hntxyrnowai Ex] «i Pitagorici chiamavano il 13 limma, come Platone». Teone 7 Smirne, dopo aver riferito un rapporto diverso per il semitono minore, prende e distanze dal metodo con cui veniva ricavato il numero 13 soctraendo il denominato» Extheoav Evan Smepayhy, dog Atkavèc 6 Ilaatmvinie: xat Dihódaos Seri weve sv Sanrautreov caicyy elmpe thw apuanyoplay spiedo thy yap Srepoyty [...] wh yiventiai 13, doa Mazrev elpnue deiv Eyew TO asiuus, vale a dire che, se si utilizzano numeri diversi, che pure stiano tra loro nello stesso rapporte in cui si trovano il 256 e il 243, la differenza non sarà più 13, € quindi questo numero non può da solo esprimere il diesis o lima, in quanto un gi dera di numeri non eguivale alla loro differenza; poco dopo, però, Tennis sembra ricad na Il termine greco úrepoy%. che in ambito pitagorico significa propriamente ‘differenza (aritmetica)’ (cf. DK 46 A 4; DK 47 B 2; etc.), viene investito da Filolao anche del significato di ‘intervallo’, il quale invece è usualmente denominato Son. re dal numeratore nella frazione 24561243: vives Se poo. wh pls eel ne nals nellequivoco (69, 12): 76 Aıkarnta Th ray 256 mpeg 243, routéart TÀ 13 «l’intervallo tra 256 € 243, vale a dire 13». «Alcuni della scuola di Eratostene, partendo di qui, chiamarono l’intervallo ‘eccedenza’, come Eliano il Platonico. Filolao applicò tale denominazione a tutti gli intervalli». Il modo insoddisfacente di concepire gli intervalli come le differenze tra numeratore e denominatore delle frazioni che li esprimono deriva probabilmente a Filolao dal fatro che egli, come del resto tutti i Pitagorici antichi, aveva presente il modello delle corde musicali. $ 4. "Somme" è “sottragioni” di intervalli Per quanto riguarda Filolao, a prescindere dalle responsabilità di Boezio ejo delle sue fonti, non si può negare che a lui stesso debba attribuirsi il concetto di base Abbiamo visto nella Nota precedente, analizzando una testimonia nza relativa a Pitagora, che i numeri 12, 9, 8 e 6, con i quali venivano composti i rapporti numerici (13) Per il significato dei nomi bypate, nette e mese, cf. altre, paragr,

QUANTIFICAZIONE NUMERICA E CALCOL4., esprimenti gli intervalli principali (12:6 per l'ottava, etc.), sebbene vengano assunti 165 intervalli di quinta e di quarta, poiché 3 toni e ı semitono minore — 2 toni ci 1 tono. per motivi di ordine geometrico-matematico (si veda il paragr. 2), si spiegano soltanto se supponiamo che essi, în sede di esperimenti musicali, corrispondano alla semitono minore = Ma le consonanze, invece, derivano dalla composizione di suoni di altezza misura di lunghezze diverse. Le lunghezze, in quanto misure lineari, erano passibili differente, le cui frequenze rispettive, quindi, si compongono di essere sottratte le une dalle altre. Dal momento che nelle indagini condotte dai Pitagorici i numeri vengono associati ai nomi delle corde in modo rale che non = ca, mediante divisioni e moltiplicazioni. I Pitagorici ovviamen può presumere altro se non che indichino lunghezze diverse, è molto probabile che Vessenza dell'intervallo fosse individuata da Filolao nella distanza House che costituisce la differenza di lunghezza tra le due corde interessate, 0 — che è lo stesso - Peccedenza (5regogi) della corda più lunga rispetto 2 quella più cortal'‘®), l'inadeguatezza di questo ragionamento consiste principalmente nel fatto che ciò che è determinante per la produzione delle consonanze non è la misura della LA in maniera geometrite non conoscono il concetto di frequenza, né quello di armoniche di un suono fondamentale: solo a partire da Archita — come vedremo in altra sede — si comincerà ad immettere nella prospettiva teoretica l’aspetto numerico delle oscillazion i compiute dalle corde musicali sollecitate, in quanto si scopre il nesso tra numero delle oscillazioni e altezza del suono. Ad ogni modo, questo continuo trapasso dal piano geometrico a quello aritmetico non stupisce affatto nei Pitagorici, dato lo stretto legame per essi esistente tra le due discipline, tra i numeri e le figure geometrich e, tra le medie proporzionali e i solidi, etc. lunghezza delle corde che le generano, bensi il rapporto che viene istituito tra le corde stesse (2:1 per Ponava, 4:3 per la quarta, etc.); rale rapporto è ciò che deve rimanere costante a prescindere dalla lunghezza delle corde, che può anche variare. La confusione di questi due fattori -- lunghezza delle corde e rapporti numerici —, unita a considerazioni sui numeri di tipo simbolico e mistico, è la causa principale degli errori matematici presenti nelle testimonianze relative a Filolao. . dai numeri che indicano le lunghezze delle corde; come abbiamo ricordato sopra (paragr. 1), nella testimonianza relativa a Pitagora dai rapporti formati con i numeri gli intervalli armonici possano essere rappresentati da un unico numero, ottenuto semplificazione i consueti mediante i procedimenti matematicamente inaccertabili che abbiamo illustrato, la concezione degli intervalli come somme o differenze non € certo presente solranto in Filolao, bensì in tutta la scuola pitagorica, nella quale usualmente si intende l’ottava come risultato della somma degli intervalli di quarta e di quinta, il tono Un'ultima osservazione da fare riguardo alla presunta “confusio ne” che i Pitagorici avrebbero operato tra il piano aritmetico (somme e sottrazioni) e quello geometrico (moltiplicazioni e divisioni) è che in realtà esiste un rapporto preciso tra | Tuttavia, se Filolao è l’unico Pitagorico al quale le fonti atrdbuiscago l’idea che come differenza tra la quinta c la quarta, etc. | nn Cid dipende ancora una volta dal fatto che in tutti i Pitagorici ngginec. fl modello degli strumenti a corda. La lunghezza delle corde, infatti, € una quancita near, sulla quale si opera aritmeticamente mediante somme e sonegzioni. Lo stesso termine che usualmente indica l’intervallo, cioè dizarqua, il cui significato è propriamente “distanza” in senso lineare, è una conferma di questo modo di vedere. A rafforzare questo modo di intendere deve aver contribuito anche on altro genere di considerazioni, che compaiono anche nel frammento di Filolao DK 44 B 6: dato il tono come unità di misura, l'intervallo di quarta comprende due toni e un semitono minore, l'intervallo di quinta comprende tre toni e un semitono minore, € l’intervallo di ottava cinque toni e due semitoni minori; pertanto, la relazione intercorrente tra la quarta e la quinta da un lato, e Potrava dall'altro, viene intesa come un rapporto additivo di tipo aritmetico, cioè quarta + quinta = ottava, poiché 2 toni e 1 semitono minore + 3 toni e ı semitono minore = 5 toni € 2 semitoni minori; analogamente, il tono è inteso come differenza aritmetica tra gli Ciò che però è importante notare, è il fatto che i Pitagorici giungono comunque a determinare esattamente i rapporti numerici esprimenti gli intervalli principali, mediante la semplificazione delle relazioni numeriche ottenute a partire 12, 9, 8 e 6 — che rappresentano lunghezze di corde — si ottengono mediante rapporti numerici 2:1, 4:3, 3:2 € 9:8. questi due ordini di operazioni, ed è il logaritmo. Certo i Pitagorici non potevano conoscere i logaritmi neperiani, però è interessante notare zugehörigen Zahlenverhálmisse», Infatti, i logaritmi soddisfan o le seguenti relazioni fondamentali: log, (x) = log, (xfs) = log,x" log,x + log, y log,x — log, y = alog,x. In base a tali proprietà, Puso dei logaritmi consente di ridurre prodotti, quozienti ed elevazioni a potenza ad operazioni di somma, differenza e prodotto. Se si considerano due progressioni numeriche, una geometrica crescente di ragione 4° (cioè 4, a", a”, af, ...) € una aritmetica, crescente di ragione r (cioè r, zr, 3, 4%), i termini della progressione aritmetic a sono i logaritmi in base 4 dei corrispondenti termini della progressione geometri ca. Pertanto, il logaritmo di x in base 4 si indica nel modo seguente: log, x = y; il valore di equazione esponenziale: x = {14} A proposito del termine repos, cl. Timeanaro Campini, Pitagorict, 1962, 1, p. 181, nota al testo; Rares Lea Za minor, Die Musik des Altertum., 1989, p. 184 € p. 291 che secondo la terminologia matematica moderna — come osserva il BuRKERT, Weisheit und Wissenschaft, 1962, p. 248 — «|...] entsprechen die Intervalle als Strecken den Logarithmen der y si ottiene con la seguente a, Per passare al rapporto che esprime l’ottava, ossia 2:1, se moltiplic hiamo per 2 tale rapporto avremo una serie del tipo: 2:1, 4:2, 8:4, 16:8, 32:16, etc. Dal momento

CLAUDIA A. che per i Pitagorici tali numeri rappresentano lunghezze, sottraendo sull2, rapporto la lunghezza minore da quella maggiore oueniame la serie seguente: |, 4, 8, 16, etc, Questa serie costituisce una progressione geomentiza (ovvero am successione di numeri tali che il rapporto tra un termine qualsiasi e il suo QUANTIFICAZIONE NUMERICA E CALCOLO. Per quanto riguarda, invece, la suddivisione dell’ottava, argomento centrale del frammento filolaico DK 44 B 6, si possono sintetizzare i dati offerti dal frammento per mezzo dello schema seguente: o antecedente risulta costante). 167 bypate Mi 256 —e Tale serie geometrica corrisponde alla serie aritmetica O, 1, 2, 3, 4, etc., I CUI termini rappresentano le potenze alle quali deve essere elevata la base 2 per ottenere 4 3 i termini della serie geometrica precedente. Infatti, log, 1 = 0; log, 2 = 1; log,4 = 3. | 16 = 5; ete. 2; log,8 = 4; log, Premesso ciò, Paffermazione pitagorica secondo la quale ah (2:1) corrimest La 192 PREIS ar sponde alla somma di quinta (3:2) e quarta (4:3). può essere rivisitata da 9 2 s | )ı logaritmico mediante la formula seguente: log, (21) = log. (312) + log. ri Questa formula di uguaglianza si risolve applicando al logaritara di ogni rapporto la paramese relazione sopra citata, ossia: log, (x7) = log, x—log,y. Ciò significa appunto che Si TCT (=frite per Filolao) 3 gli intervalli intesi come lunghezze sono i logaritmi dei corrispondenti rapporti 2 numerici. La soluzione di log.(2:1) = log,(3:2) + log,(4:3) è dunque; i G = 1 + n y low,2 -- logi = log,3 -- log,2 + log,4 — log,3 mete Mi 128 AYUDE 2 Il primo schema rappresenta i] sistema del tetracordo diatonico, composto da due toni interi (9:8) e da un semitono minore (256:243), i quali insieme formano § 5. Suddivisione del tetracordo è dell ottocordo secondo il genere diatonico Sc riprendiamo il frammento di Filolao sopra citato (DK 44 B 6) c il passo di Boezio, inst. mus. MÍ 5, si può tracciare il seguente schema! l'estensione di un intervallo di quarta giusta. Il tetracordo costituisce la scala più piccola del sistema musicale greco. Delle quattro note di cui esso è composto, le due estreme (Aypate e mese) sono dette “fisse”, in quanto non murano nei vari generi (diaronico, enarmonico e cromatico; cf. oltre, paragr. Mi 256 256 parhypate Fa 243 245 Aypate 6), mentre le due intermedie sono derte “mobili”, poiché variano nel passaggio da un genere all’altro. wus Nel secondo schema, invece, è rappresentata la suddivisione dell’intervallo di otiava, formato dall’unione di due cetracordi. Tale congiunzione poteva avvenire in due modi diversi: nel primo modo, detto synapbe, \ due tetracordi venivano uniti mediante una nota in comune e, quindi, con l'esclusione di un suono; il sistema 9 ottenuto era del tipo seguente: 4 lithanos Sol 216 3 detracorndo — 1" tetracnrdo g à o 1) ‘= o mese La 192 oO sona | Pythagore, 1923, po 26%. con afcune madifiche A — — O — > ist Questa schema della divisione dell'intervallo di quarta, così come il successivo, rappresen rante te divisione dell'ottava, è trato se da Frank, Plato und die cage nannten LA SOL FA MI MI RE o O Nel secondo modo, detto diazensis, i due terracordi venivano congiunti, invece,

mantenendo tra loro Pintervallo di un tono intero; il sistema ottenuto era del tipo seguente: QUANTIFICAZIONE NUMERICA E CALCULO. Quanto al termine mese (pésca in Filolao), esso alluderebbe alla posizione che la corda corrispondente a tale nota avrebbe avuto nell’antica lira eptacorda. Secondo la tradizione letteraria, w" tetracordo __ __ = —- o - — 0 + —— - — DO SI LA SOL lira a sette corde sarebbe stata introdotta da 4); in seguito questo strumento si sarebbe trasformato nella lira Pitagora (cf. Nicomaco, barmon. enchir. 6 = JAN, Mus. Script. Graeci, 1895, p. 244, 22: | ——- 4 o Les RE la ortocorda mediante l’aggiunta di una corda, aggiunta che sarebbe stata effettuara da -0 —- MI 32 e — infatti, os pei pr Le 5 ae cf. _ Geogr. 13, 2, 4 P. 618 e Aristotele, problemata — hs = r Ì — | = _ __2° tetracordo 169 FA lbolayópas moapevélnues SydSodv twa plidyyov (...|)0®, Riguardo alla successione cronologica di questi stadi evolutivi della lira è lecito MI nutrire dei dubbi, soprattutto per il fatto che i dati archeologici non la confermano Nel primo caso, il tetracordo aggiunto era detto syrezzzzenoni; nel secondo caso, diezengmenon, Nel frammento B 6 di Filolao è evidente che si fa riferimento al secondo tipo di congiunzione dei tetracordi. I nomi delle note o corde (il termine 40p8h ‘corda’ nel lessico musicale greco è sinonimo di ‘nota, suono’; cf, Platone, Fileba 562) si spiegano, secondo il Gevaert, in relazione alla posizione che veniva ad assumere lo strumento rispetto al suonatore: «L'exécutant tenait l'instrument sur le genou vu entre ses bras, les cordes les plus graves tournées vers le dehors, selon Pusage des violinistes ct des harpistes modernes. Une semblable position explique d’une façon plausible la dénomination minimamente: già nelle raffigurazioni vascolari di epoca geometrica la phorminx, strumento assai simile alla lira, è rappresentata con un numero variabile di corde, da un minimo di tre a un anteriormente all’epoca di massimo di orto, Terpandro, si Nella ceramica hanno già, dell’VIII secolo, inoltre, raffigurazioni strumenti a sette corde), di i Se, in generale, il numero delle corde della lira nella pittura vascolare è prevalentemente il sette, ci sembra azzardata l’ipotesi avanzata da Maas-Snyder, secondo le quali la lira avrebbe avuto sempre e soltanto sette corde, dal tempo della guerra di Troia a quello di Alessandro Magno), Ci sembra più probabile ritenere de supréme ou supérieure (bypate), donnée à la corde la plus grave, et, par contreche i Greci abbiano proceduto per rentativi successivi, aumentando e diminuendo il basata sulla con l'estensione di un’ottava, dei quali il primo era l'eptacordo, o scala di sette note, coup, celle d'énfime, dernière (me) dont on qualifiaic la plus aiguënt®, Una diversa interpretazione del significato dei nomi delle note é stata offerta recentemente da Zaminer, il quale rifiuta l'ipotesi del Gevaert posizione dello strumento rispetto all’esecutore — e propone di intendere i termini bypate e nete in relazione alla concezione cosmologica pitagorica circa l’“armonia delle sfere” (cf. Aristotele, de carlo 2go"12 = DK 58 B 36): «Man hat sich immer darüber gewundert, dass ‘Hypate” zwar ‘höchste? heisst, aber den tiefsten Ton des (Stamm-)Systems bezeichnet, und umgekehrt dass ‘Nere’ eigentlich ‘unterste’ bedeutet, aben den höchsten Ton meint. Schliessen die Benennungen doch die Vorstellung einer räumlichvertikalen Ordnung ta sich, derzufolge das gesamte Tonsystem gleichsam auf dem Kopf steht. Dass die Griechen so nicht empfunden haben, unterliegt heute keinem Zweifel, Vergleichbare sprachliche Bestätigungen sind nieht zu finden. [...] Es bleibt als Volgerung, dass wir es auch hier mit kosmologischen Benennungen von Pythagoras zu tun haben, die auf das harmonische Planctensystem gemünzt waren. Der ‘hüchste’ Planet (Saturn) ist am weitesten von der Erde entfernt und entsprichi daher dem längsten Abschnitt auf der senkrecht ausgespannten Saite, d.h. eben dem tiefsten Ton. Und der ‘unterste’ Planet (Mond) entspricht dem kürzesten Saitenabschnitt, nämlich dem höchsten Toms", numero delle corde: ciò sarebbe più in linea con le testimonianze archeologiche. Ciò che è cerro, è che nella musica greca antica si conoscevano due tipi di scale nella quale dunque era assente una nota, e il secondo era Pottocordo, o scala di otta note. Il sistema dell’epracordo corrisponde a due tetracordi uniti per synaphe, l'ottocordo a due tetracordi uniti per diagensis. | Sulla base del sistema dell’eptacordo è possibile spiegare il termine tpérn usato da Filolao: esso indica, infatri, nell’eptacordo la terza nota della serie discendente dei suoni, Nell'ottocordo, invece, che è probabilmente il sistema più recente tra i due, la (rite venne chiamata paramese, e venne ad occupare il quarto posto nella serie discendente dei suoni; cf. Nicomaco, harmon. enchir. 1895, p. g = JAN, Mus. Script. Graeci, 253, fi: splrmv vou xadet thy Ev cH énrayépôo rapaptony, (18) Sui problemi relativi a quale fosse la nota aggiunta nell'ottocordo, cf. Gevauet, La musique de l'antiquité, 11, 1881, po 243 sgga e Buukier, Weisheit und Wissenschaft, 1962, p. 369 sgg., con ulteriore bibliografia. CE anche Divino, Nöndien in musccal Verminology, 1944, p. 191,0 Zammur, Hypate, Mese und Nete, 1989, p. 18 spp. (ty) CE Proviene, i L'trument de musique, 1984, Pp. BG sp, © p. 140. (20) CE Maas-Snvoër, S¢ringed Instruments, 1989, p. 203: «The number of strings of the lyre-type instruments, from Minoan lyres before che eleventh century B.C. down to the kithara, chelys-lyra, and 116) Givi, Pur conique de Cuntiqurté, 1881, Ul, posta. tity Raro Zavante, Dir Musik des Alerts, 1989, pe 185 sg cf. anche ZAMINER, Hypate, Mose und Neto, 1984, po barbitos of the ftth and fourth centuries B.C., probably remained constant. [...| in essence the sevenstringed [yes remained seven stringed from before the days of the ‘Trojan War to che time of Alexander the Great aml probably bevond».

QUANTIFICAZIONE NUMERICA Lo CALCOLO... 171 Anche la terminología vistosamente arcaicizzante presente nel frammento B 6 di Filolao e, in particolare, il termine rpità, hanno costituito una prova a favore della tesi degli studiosi che sostengono l'inautenticirà dei frammenti di Filolao; cf. Tannery, Mém. Scient. UL, p. 240 € sgg-: «...] il semble GoULÉTpOS tev Snepoy dv [...] tela pv totvey aùtac Splatatat yévy, tó te Evappdvoy supposé, il est à craindre que l'auteur n’ait trop archaisé en substituant le terme /rité à celui de paraméses; il Frank, Plato und die sogenannten l'hytagoreer, 1923, p. 274 Sg, in opposizione al Boeckh (Philolaos, 1819, soy dè pésov Eni udy tod évapuoviou eri 35 | 38), Ext SÈ tot Scarovixoù ext 7 | 3, ote singulier qu'au temps de Philolaos Vheptacorde dorien fit encore en usage courant, et, si son écrit est p. 70), I quale riguardo alla tpit, = rapantor di Filolao, osservava che si trattava di un punto «der so diet gelehrt ist, dass er keinem lérdichter von gewöhnlichem Schlage zugetraut werden kann», ribatte che si vratta invece di un luogo comune: «Denn dass die Oktave des Pythagoras und der Pythagorcer cin Heptachord war, das i ein Gemeinplatz, der fast bei keinem populären Musikschriftsteller der späteren Zeit fehle [...J9. AT contrario, it Berkrer, Weisheit und Wissenschaft, 1962, p- 372, dopo un xal tats av tetpxydpdev Stapécesw, Oe nixelou tH queer tav Eupeddy Svtog rod Kai TO ypwpatixey ai zo Statovxdv’ Exdaton BE abréiv moretrae Thy Sralpeow oÍtos" tov pev yap Exduevov Abyov ext thy TPL@V yevav tov abtov dplaratar xat Ext 27 (341. nal tov Hyobwevoy Tod wey Évappoviau yévouc cuvayenta: ext 4 BI. Toi de darovicod Eni # 3. thy BE iv TG porno yéver debtepov and tad GEuratnu pléyyou Axuféver 31% 105 thy adrav Maw Eyovtag Ev tH Statonxd’ pnol yap Adyov Eye tov dv tH jpauarızd Sevtepov ins tod dbut&tov node tov Guotov thy ev th Statownd Tov tary particolareggiato e dotto escursus sulla evoluzione del sistema musicale greco, conclude nel segucate 256 mps te 243. auviotata: Si tk totobra TETPÀYUPÎA xará tobe Éxxetgévouc Abynug modo: «Ako hat, im Zusammenhang mit der sicher altertimlichen übrigen Terminologie, das Ev npdtats kpilpots coûter dav yap tobe pèv dEuTatouc thy tezpayópioo bro- Philotaosfragment B 6 als eines der ältesten Zeugnisse griechischer Musik zu gelten»; analogamente, la Tinpanaro Carnini, Pitagoreci, 1962, II, p. 209 sg., nota al testo, rivaluta la testimonianza di Filolio: «A atgo@mpela, 1512, tobe 82 Bapurérouc xata tov Enirpirov Aóyov tay aitay, 2016, part: la questione se l'epiacordo potesse ancora + no essere in uso, non è strana la permanenza di un termine antico [scil. pira] accanto al neologismo. Del resto, si sa che la lira eptacorda, anche dopo Vistitazione dell'octocordo, rimase in us. nelle cerimonie religiose, e ne sono prova anche le numerose raffiguiaziom vascolari». tadta pev moufoe Eri 27 rpùs tà 1944° mai rocoúrww Écovrar ré lv voi Tpit yéveawy of Seúzepor [scil. Adyot] And thy Papurárov: Tav S'xrd rod GEutetou Seurépav 5 Es tail Evappınvlou yévoos ¿orar 1890. tata yap mpdc pèv tà 1944 noted tov ¿mi 35 Abyow, mods Se tà 1512 vóv ext 4° 6 SE tod Fiatovixod yévooe Tv adrov Eaton 1701: val tata yap mete utv tà 1944 rèv Ent 7 novel Adyov’ pos Se tk 1512 viv ext B 4 dì 70% yompatixed xxl altos farai vv adri 1792: tara yap Adyov Eyer rpdc cà 1701, § 6. Archita e i tre generi di scale musicali Sv tx 256 zes te 243 «Archita di Taranto, che più tra i Pitagorici si è occupato di musica, si Con Archita di Taranto, filosofo contemporaneo di Platone e vissuto tra il V e il IV secolo a. Crt, le acquisizioni in campo musicale ed acustico si incrementano notevolmente. Archita, sulla base degli studi relativi alle medietà, distinse infatti altri due generi di scale musicali (l’enarmonica e la cromatica), che si aggiungono a propone di mantenere la continuità secondo un criterio di proporzionalità non solo nelle consonanze, ma anche nelle divisioni dei tetracordi, poiché riteneva che connaturata alla natura della musica fosse la commensurabilità degli intervalli [...). Stabilisce pertanto tre generi, l’enarmonico, il cromatico, quella già in uso presso i Pitagorici, ovvero la scala diatonica. Inoltre, Archita ciascuno di essi fa la divisione in in tutti e tre i generi suppone perviene alla individuazione di due nuovi intervalli, la terza maggiore ¢ la terza l'intervallo uguale minore, i cui rapporti numerici sono rispettivamente 5:4 € 6:5. nell’enarmonico lo fa di 36:35, nel diatonico di 8:7, di conseguenza, l’intervallo ultimo nel tal modo: rapporto cpimorio 28:27; il diatonico, e di l’intervallo medio, La fonte principale per le innovazioni di Archita nel campo della teoria iniziale, nel genere enarmonico è di 5:4, nel diatonico di 9:8, Nel genere cromatico musicale è un brano di Tolomeo, herwon. | 13, p. 30 Düring (= DK 47 A 16), il cui poi, Archita forma il secondo suono a partire dal più acuto, mediante il suono che testo è il seguente: occupa la stessa posizione nel genere diatonico; dice infatti che il secondo suono “Agyitaz SE 4 Tapaviives porrota thy Moblayopeiwv imednficic uovauxis mapas tiv wh nord thy or al Sia ler uba Ev Tale tuppeviaes uivov AAA diatonico nel rapporto di 256:243. Compone pertanto tali tetracordi secondo i nel genere cromatico, partendo dal più acuto, sta al suo corrispondente nel rapporti esistenti tra questi numeri primi: quindi, se rappresenteremoi suoni più acuti dei tetracordi con il numero 1512, ai più gravi, che stanno con quelli nel rapporto di 4:3, daremo il numero 2016; quest’ultimo numero, diviso per 28:27, (20) Peri rapporti tra Archita e Plarone + le rispettive doterme musicali, cf. Frank, Plato und die sgraamsten Pythagoreer, 13923, pe 161-167. Ciò che Platone non condivide dell'approccio musicale di Archita, e dei Pitagorici in genere, è l'interesse per aspetto empirici e fenomenico della musica (ef. Resp. sg il 5311). Plarone nel Times (35 a sg.) ha elaborato una scala musicale del tucto aprioristica, Basata sullo studio dei numeri come esprimenti per se stessi le consonanze. Nei passi dei dialoghi platonici in cm sı polemizza con lo studio pitagorico dell'armonia musicale, Archira non viene espressamente nominate, nia alcuni riferimenti melo precisi, contenuti in cali passi, non lasciano dubbi sul fatto che spesso Pane intende proprio riferirsi ad Archita e alla sua cerchia. La principale fonte a proposito dei rapporti personali tra Archita e Platone è la famosa scerima lettera di Platone (Ep. VIL = DK 47 A sp darà il numero 1944. A sua volta tale numero rappresenterà in tutti e tre i generi il secondo suono a partire dal suono più grave. Quanto poi ai secondi suoni a partire dai più acuti, quello nel genere enarmonico sarà dato dal numero 1890, che con il numero 1944 sta nel rapporto di 46:35, e con il 1512 nel rapporto di 5:4; quello nel genere diatonico sarà il numero 1701, che con il 1944 è nel rapporto di 8:7, e con il 1512 nel rapporto di y:8; infine, quello del genere cromatico sarà dato da 1792, che sta a 1701 come 256 sta a 243». Ticco la tabella di questi numeri, secondo un modo vulgato di rappresentarla:

Évappô os [sol] 32 3 A 27 S 1800 [ta] 1792 rapporto 28:27 tra il Mi e il Fa. Pertanto i tre generi, per ciascuno dei quali il prodotto degli intervalli deve 1701 253 8 sempre essere pari a un intervallo di quarta e, quindi, deve sempre comprendere da 224 4 toni e un semitono, vengono caratterizzati secondo Archita dalle seguenti ripartizio- 11144 28 28 27 a) diatonico: tono (maggiore), tono (massimo), semitono; 27 2016 2016 ovvero: La Sol 1 4 A 35 due nit 1944 38 17 2016 ES 173 Mi 1944 [mi] 1512 4) de ALC. tre generi, mentre l’unico numero che varia è quello associato alla nota Sol. Al variare di questo valore numerico mutano conseguentemente i rapporti tra il Sol e il La iniziale da un lato, ¢ quelli tra il Sol e il Fa dall’altro, mentre rimane costante il Frazovady 1512 1.12 la] LOLA TREY QUANTIBITAZIONI NUMERICA 4132 243 28 27 7 4) a7 2% 277 4/0 3|8 28 7 Fa ‚Mi I VA 1 b) cromatico: un tono e mezzo, semitono, semitono; 2 7 à ovvero: tono, e che più tardi verrà denominato meson; esso ha l'estensione di un intervallo di ¿Fayos 1e La tabella di Tolomeo appena riportata rappresenta un tetracordo singolo, quello già considerato nel frammento di Filolao concernente la suddivisione del La e) enarmonico: ovvero: La Y Fa Mi va doppio Fa Ya tono, quarto di (=Sol bb) tono, quarto di Mit tono; Mi quarta. Dal confronto tra questa tabella e quella da noi offerta precedentemente per Filolao, si può notare che già per quanto riguarda la scala diaronica la suddivisione di Archita differisce da quella filolaica: Per quanto riguarda i rapporti numerici stabiliti da Archita per i tre generi, FILOLAO A 26 (= mese La ss 9:8 lichanos n 9:8 parbypate hypate x% ARCHITA A 16 Timeo 36 a-b) 256:243 > > occorre affrontare la questione relativa a quale sia stato il metodo adottato per individuarli. Ciò è tanto più interessante in quanto tale metodo ha condotto Archita a riconoscere nuovi intervalli, primo fra tutti quello di terza maggiore, espresso dal 9:8 rapporto numerico §:4 € corrispondente al primo intervallo a partire dalla nota più 8:7 acuta nel genere enarmonico, intervallo che non era stato riconosciuto come tale dai >28:2 Mi Pitagorici precedenti, e che in seguito verrà escluso anche dalla dottrina musicale esposta nel Times platonico (36 a-b)@* Sempre nell'ambito del genere diatonico, esistono intatti differenti tipi di suddivisione, come ci riferisce Tolomeo, barmen. 16, p. 36 sgg. Diiring. Il tipo che compare in Filolao e nel ‘izzee |(9:8) - (9:8) - (256:243) = 4:3] è chiamato diatonon ditonaion; quello che compare nel passo relativo ad Archita [(9:8) + (8:7) - (28:27) = 4:3] © denominato, invece, diatonon fonaion. La differenza principale di quest'ultimo (22) Pur senza impiegare il pentagramma, per comodità espositiva utilizziamo i seguenti simboli convenzionali: 1 = diesis; Ÿ = doppio bemolle; * = nota incrementata di un quarto di tono. I numeri settostanú de note indicano: ı = un tono intera; 4 = mezzo tone; re A = un tono e mezzo; 4 = un quarto dt tone; 2 = due toni, Benché sia noto, ricordiamo che nella scala musicale consueta Do Re MI Fa Sol La St De, le note sono separate dalPintervallo di un tono, tranne che nel caso di Mi... Fa e di Si tipo rispetto al primo consiste nel fatto che in esso compaiono due diversi generi di w Do, in cut l'intervallo è soltanto di mezzo tono. Si ricorda, inoltre, che il bemolle corrisponde tono intero, espressi rispettivamente dai rapporti numerici 9:8 e 8:7, dei quali il diminuzione di mezzo tone, contrariamente al diesis, che rappresenta l'incremento di mezzo tono. primo è il già noto rapporto epogdoo che designa il tono maggiore, mentre I (23) CE DK 47 À 16, Ci. Fannuev, Mémoires Scientifiques, 1889-1913, UL, p. tos sgg. € p. 110; Frann, laits and die sogenannten Pythagoreer, 1923, pi 173; T'imPanare Carving, Pitagorivi, 1962, II, p. 317 Sue, Neda al resto, L'intervallo di terza non era stato riconosciuto dai Pitagorici precedenti, ¢ sarà esclaso in seguir anche dalla dottrina musicale esposta nel Timeo platonico, in quanto tale intervallo secondo rappresenta un nuovo intervallo, introdotto da Archita stesso, e che verrà successivamente individuato come “tono massimo”. alla Se torniamo ad esaminare lo schema relativo ai tre generi teorizzati da Archita, era considerati dissonante; cf. Gaar, „Akustik im griech. Altertum, 1894, P- 8 sgg., il quale però a torre vale a dire l’enarmonico, il cromatico e il diatonico, si può notare che i numeri interi nega che Archita abbia potuto determinare gli intervalli di terza maggiore e di terza minore, basandosi soltanto sub fauc che tali intervalli soncrassenti nella «cala platonica esposta nel Timen. Questo non è Punters caso in cui la detrina di Archita viene considerara in relazione a quella platonica: anche per 1412, 1944 € 2016, esprimenti come di consueto le lunghezze delle corde e corrispondenti rispettivamente alle note La, Fa e Mi, rimangono sempre costanti nei quanto mguerda la confusione tra la velocità di propagazione e la velocità di vibrazione come

La spiegazione più convincente è quella proposta dal TANNERY, Mémoires Scientifiques, \ll, p. 68 e sgg., che viene accolta tra gli altri anche da VAN DER WAERDEN, Harmonielehre, 1943, p. 184 sgg. e da TIMPANARO CARDINI, Pifagorici, 1962, 1, p. 317 sgg. Secondo il Tannery è da supporre che al di sotto dell’ultima nota del tetracordo ne fosse aggiunta un'altra, la nota Re, che con il Mi forma l'intervallo di un tono maggiore, e con il La iniziale l'intervallo di una quinta; tale nota Re era prodotta dalla corda detta yperbypate. Archita, dunque, avrebbe fissato per primo l'intervallo 28:27, che rimane costante nei tre generi, a partire dal genere diatonico, dopo aver stabilito tra il La e il Sol l’usuale rapporto epogdoo (9:8) del tono maggiore; in seguito, avrebbe suddiviso la quarta Re... Sol secondo la formula 4:3 = (7:6) « (8:7), ottenendo i due nuovi intervalli del cono massimo (8:7) e della terza minima (7:6), Il rapporto 8:7 costituisce infatti l’intervallo medio, nel genere diatonico, ura la lichanos e la parbypate, cioè tra le note Sol e Fa. La differenza tra la icrza minima Re... Fa (7:6) e il tono inferiore aggiunto Re... Mi costituisce l'intervalle di base tra la parbypate e la hypate, ovvero tra le note Fa e Mi, in quanto 28:27. (7:6) : (9:8) = Dati i due intervalli 28:27 e 8:7, nonché i numeri corrispondenti alle lunghezze delle due corde fisse, vale a dire 1512 per il La e 2016 per il Mi, potevano a questo punto essere ricavati i numeri esprimenti la lunghezza delle due corde mobili, applicando successivamente una proporzione aritmetica del tipo a: 6 = x: ¢, dove a è la lunghezza di una corda, 6 e ¢ i due termini del rapporto numerico; quindi, sempre per quanto riguarda il genere diatonico, dato 1512 come lunghezza del La, x come lunghezza del Sol e 9:8 come rapporto tra il La e il Sol, si otterrà il valore di x QUANTIMIGAZIONE NUMERICA E CALCOLI. ? In tal modo Archita avrebbe ottenuto non proprio il Sol, ma il Fa diesis; tuttavia, secondo la spiegazione data da Tolomeo, il procedimento impiegato da Archita per fissare la /edazos, ovvero la prima corda mobile, sarebbe consistito nello stabilire prima Pintervallo medio 243:224 tra la licbanos e la parbypate in funzione dell'intervallo corrispondente nel genere diatonico, vale a dire 8:7, in modo che il primo intervallo si trovasse con quest’ultimo nel rapporto di un semitono minore (cioè 256:243); quindi, (8:7) : (256:243) = 243 : 224. Secondo la testimonianza di Tolomeo, Archita in seguito avrebbe sottratto dalla quarta Mi... La i due intervalli medio ed inferiore, ovvero 243:224 € 28:27, ottenendo così l'intervallo più alto, cioè 32:27, secondo l’operazione seguente: (4:3) : [(243:224) © (28:27)] = 32 : 27 Dati gli intervalli 32:27 tra wese e /ichanos e 243:224 tra lichanos e parbypate, mediante l'applicazione delle proporzioni aritmetiche sopra menzionate, si otterranno quindi i valori delle lunghezze delle corde, cioè 1792 per la lichanos e 1944 per la parbypate. Per quanto riguarda il genere cnarmonico, il Tannery ritiene che l'intervallo di $:4 (terza maggiore) sia stato ricavato da Archita mediante la divisione della quinta Re... La, ovvero il tetracordo più la nota Re aggiunta, nei due intervalli di terza maggiore e minore, secondo la formula 3:2 = (5:4) + (6:5); in tal modo Archita sarebbe giunto anche alla individuazione di due nuovi intervalli. Di questi, quello di terza maggiore (5:4) sarebbe stato assunto come intervallo tra la mese e la Zichanos e, di conseguenza, secondo la proporzione 1512 : 4 = x: 5, si sarebbe fissata la lunghezza nel modo seguente: 175 1890 per la prima corda mobile. Il secondo intervallo del genere enarmonico, tra la fichanos e la parbypate, ovvero 36:35, sarebbe stato ricavato = wiz: 8 = 1701. x Nig Analogamente, dopo aver attribuito il numero 1701 alla lichanos, si otterrà il valore numerico della parbypate, ovvero del Fa, sulla base del loro rapporto reciproco di 8:7, nel modo seguente: 1701 N = sottraendo dalla quarta La... Mi i due intervalli 5:4 e 28:27, secondo la formula seguente: x (453) : [(5:4) + (28:27) w= 36:38, :7= Xx:38 1944. ‘Tale procedimento è applicato anche ai restanti due generi, cromatico ed enarmonico. Per quanto riguarda i) genere cromatico, infatti, Tannery iporizza che Archita abbia fissaro la seconda nota, ovvero quella prodotta dalla Achanos, togliendo un tono dalla quarta Re... La, nel modo seguente: 32: 27 (433) : (9:8) = Riepilago canclusivo A conclusione di questa Nota, riassumiamo brevemente i risultati salienti dell'indagine fin qui condotta. La “perfezione” della consonanza di ottava - in quanto capace di ingenerare una sensazione uditiva vicina a quella dell’unisono — è motivata per i Pitagorici dalla perfezione intrinseca che essi attribuiscono tanto al rapporto numerico che rappresenta tale consonanza, quanto ai numeri stessi che entrano in tale rapporto (cioë 2:1). al fatti che essa Fosse presente nella dottrina platonica ha indotto molti studiosi a vedremicalitore ritenere che pure Archita, in quanto ispiratore ili Platone in campo acustico-musicale, confondesse le dus velociá. La determinazione numerica degli intervalli principali si sviluppa parallelamente allo studio delle medie proporzionali; tale studio rende ragione del perché siano stati prescelti determinati numeri per costituire | rapporti intervallati. In altri

QUANTIFICAZIONE NUMERICA E CALCOLO. 177 termini, i Pitagorici stabiliscono corrispondenze tra il piano della geometria, il piano dell’aritmetica, ¢ il piano della teoria musicale: i numeri assunti nei rapporti esprimenti gli intervalli principali sono — nelle fonti pitagoriche — o i numeri 12, 9, 8 € 6, cioë i numeri che descrivono le quantità degli elementi costitutivi di alcune figure gcometriche solide, oppure i numeri 1, 2, 3 € 4, cioè i numeri che compongono la tefraktys. | rapporti impostabili sulla prima serie numerica sono riconducibili a quelli impostabili sulla seconda serie, per semplificazione. ¿merge così chiaramente come per i Pitagorici i numeri rappresentino il trait d’union che congiunge tutti gli aspetti del reale — musica compresa — attraverso un’unica ratio. Sulla base dei ragionamenti matematici appena ricordati, € tenuto conto dell'esclusione dogmatica da parte della scuola pitagorica dei numeri irrazionali, Filolao si inserisce negli studi musicali che mirano a quantificare intervalli più piccoli del tono; tali intervalli venivano già utilizzati empiricamente nella prassi musicale, ma non erano divisibili in due parti uguali se non incorrendo appunto nei numeri irrazionali, che Filolao comunque evita, adottando procedimenti di calcolo che si rivelano però inadeguati. La grande importanza che i presupposti teorico-matematici dei Pitagorici hanno avuto nella cultura musicale greca è ravvisabile ancora in fonti tarde (Boezio), nelle quali i procedimenti matematici di stampo pitagorico sono descritti minuziosamente, anche se spesso in modo oscuro e con fraintendimenti. La teoria musicale pitagorica si è evoluta nel tempo, giungendo alla suddivisione dell’otrava non più soltanto secondo il genere diatonico, ma anche secondo i generi enarmonico e cromatico; con ció è pervenuta a definire la ratio matematica dei tre generi, più utilizzati da tempo nella prassi musicale greca. Conseguenza di tale operazione è stata l’individuazione e la quantificazione di nuovi intervalli. Il metodo matematico pitagorico, largamente impiegato per analizzare in prima istanza le relazioni tra i suoni musicali, ha posto i primi fondamenti per gli studi ulteriori condotti dall'antichità ad oggi sulle caratteristiche sia percettive sia fisico-acustiche sia obiettive del suono in generale e quindi, in particolare, anche degli aspetti sonori del linguaggio umano. BIBLIOGRAFIA O, Brexer, l'riîbgricchische Matbematik und Masiklebre, «Archiv für Musikwissensc hafts 14 (1957), pp. 156-163. A. Burwckn, Philolios des Pythagorcers Lehren nebst den Brüchstücken seines Werkes, Berlin 1819. W. Bunker, Weisheit und Wissenschaft: Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon, Nürnberg 1962. H. Duss W. Kranz, Dir Fragmente der Vorsokratiker, Hildesheim 1y85°, 3 voll. IL Deane, Prolemaios und l'orphyrias über die Musik, Göteborgs Hógskolas Ärsskrift, 40, 1934. IL Dering, ésdien in musical Terminology in sth Century Literature, «tiranos» 43 (1945), PP- 176-197. E. Frank, Plato und die sogenannten Pythaporeer, Halle 1923. j R von Ferrz, Der Ursprung der Wissenschaft bei den Griechen, Berlin-New York 1471; trad. it. Bologna 1988. FA. Guvaras, Histoire et théorie de la musique de Pantiquité, Gand 1875-1881, 2 voll. 13. Gear, Die Theorie der Akustik im griechischen Altertum, Prugramm Gumbinnen 1894. KR. von Jan, Mari Seriptores Graeci, Lipsiac 1895; rist. Hildesheim 1962 (trad. ir. L. Zanoncenst, mannalistica musicale greca, Milano 1990). Le j J. Lonasa, D grechische Musik att mathematische Form, «Archiv für Musikwissenscha ft» 14 (1957), pp. 147-155. M. Maas - J. Mitte Snyper, Vtringed Instruments of Ancient Greece, New Haven and M. Mumon, “Indiquer mnsicwe auctores septem, Amstelodami London 1989. 1652. D. Paquerie, L'énstrament de musique dans ta céramique de la Grèce antique, Paris 1984. A. Riermsciane- E. Zasunen, Die Musik des Alterturis, in Neues Handbuch der Masikwissenschaft, Band I, Laaber 1989. Y. | Riosa, La musica greca, Vadeva 1976. Sauna, tafánge der grieebishon Mathematik, München 1969. P. Tran, Alémoires scientifiques, Voulouse-Paris 1912-1929, M. Tie Carpını, Pitagarisi, 3 voll. Testimonianze e frammenti, Firenze 1958-1964, 3 voll. sax nex Warapen, Die Hurmonielebre der Pythagoreer, «Hermes» 78 (1943), pp. 163-199. E. Zauxer, Hyper, Mese und Note im früheri chischen Denken, «Atchiv für Musik wissenschaft» 41 (1984), BA. pp. 3-26. E Zero -R. Monnet, La filosofia dei Greci nel ina sviluppo storico, cd. it., vol. | 2, Firenze 19641.