Sulle origini del metodo assiomatico-deduttivo nela matematica greca

à SA ERANCLOS. € LA Y A Filippo Franciosi SULLE ORIGINI DEL METODO ASSIOMATICO..DEDUTTIVO NELLA MATEMATICA GRECA Dopo quanto è stato scritto da v, penso che Fritz e da Szabó, tranquillamente possiamo attribuire ai Greci la orsazione del metodo assiomatico-deduttivo nella scienza, ? Del resto, se esso avesse avuto origine presso qualche altro popo» lo, il problema di come esso sia nato sarebbe soltanto spostato. Ritengo dunque di aver giustamente limitato ai Greci questa indagine, Le difficoltà di essa sono ben note, perché se ammettiamo che il metodo assiomatico-deduttivo si venne 003tituondo in un tempo piu o weno lungo, sono perdute le opere da cui noi potremmo vedere il evoluzione; se invece, cone esso in seguito a un’ nessuno ci nacque ponsiero antico, opera chi di E? questa noto sia che tratto a me iniziale sembra improvvisa dice vero, e di una simile riteniamo rapida esplicitamente che svolta quando del e per avvenuta. 11 primo autore che ebbe un interesse atorico per il pensiero scientifico a lui precedente % Aristotele. Due sono i suoi testi che potrebboro dirci qualohe cosa, L’ uno è 11 primo libro della Metafisica, dove abbiamo in certo

- senso il primo saggio di una storia della filosofia, Ma, 39 - come è noto = e si potrebbe illustrarlo con esempi - la filosofia a vuol Per comodità premettiamo che scienza assiomatic e la scienza precedenti vengono visite da Aristotele attraverSe so le categorie del suo stesso sistema filosofioo, e il pensiero dei varf autori viene olassificato e descritto de lui in base alla oorrispondenza con questa o quella di tali oatego- . rie,” Più vioine al nostro tema sembrano le osservazioni che Aristotele fa negli Apglitici Posteriori, studia 1 fondawenti di ogni soienza dimostrativa e quindi elenoa i requisiti che i relativi assiomi devono avere, Ma Y ‘atato giustamente osservato da diversi studios1? che Aristotele nel fare questo non tanto considera il modo con oui le scienze furono elaborate prima di lui o anche ai tempi sudi, quanto le presenta come apprivano attraverso i princìpi della sua filosofia, e in particolare della sua logica. Così, per esempio, quando egli dice che gli assiomi da cui auove un ragionamento soientifioo devono essere "veri" /71 b 21 ss./, questa affermazione si spiega benissimo nel quadro del pen.siero di Aristotele, so ienza fondata su prinol pi non dimostrati e propo al I libro da dimostrare, come dice Proolo nel suo Comento un passo che a degli Elementi diEuclide /pag. 75 Fried./, in occuplamo sua volta riecheggia Aristotele;” o per lo meno ci ma non sappiamo se alcuno degli scienziati precedenti, nel fissare un "principio" /assioma, postulato, eoo./, avesse in mente di dargli un tale requisito. cid riduce, anche se non annulla certo = 1? utilità di Aristotele per la nostra indagine, e pone ulteriori difficili problemi, come per esempio quello dei rapporti tra diwostrazione sillogistica e dimostrazione matematica. tale senso. del problema di come nacque la matematica intesa in Nessuno ci dioe come nagque la dimostrazione, né precisamente nel secondo capitolo del primo libro /71 b 20 - 72 a 25/, dove egli sizioni dire in filosofia né in matematica. Per quanto riguarda quest’ ultima, noto come già il matematico e storico Kurt Reid emeister aves i è ben nota la ricerca di Szabó su Se (xvupi „e ed è pariment se. a oonoodlto 11 passaggio da uno stadio visivo-empirioo dell nel quale nacque acenze matematiche a uno purauente teoretioo, potrà la dimostrazione nel senso scientifico della parole.’avveSinuto ; discutere su quando e su oome un tale passaggio sia non oi possono ma sul fatto che esso sia realmente avvenuto matematica come essere dubbi, altrimente non oi sarebbe la soienza. Prima tuttavia di parlare dell’ aspetto storico, natematioa % un insiewe organico di proposizioni, ognuna noipi", voglio soffermarmi sui rapporti tra dimostrazione 6 “pri ia cioë premesse nou dimostrate. E’ stato detto® cbe una teordelle i logiche da quali viene dimostrata sulla base di deduzion cosa si altre già assodato, Non si vede, del resto, che pure seuplice potrebbe inteudere per teoria matematica, sia Pitagorici, s® e priwitiva, senza dimostrazione. Gli stessi

i——_n—_—Ém I mal ol fu un tempo in cui soltanto contemplarono 1 loro numeri _uH- Finché 4 numeri furono usati come mezzi per esprifigurati senza fare dimostrazioni, non si può dire ohe in quel more quantitativamente misure di oggetti o di distanze per le tempo facessero della matematica. E’ anche evidente che una osigenzo della vita pratica quotidiana, non o’ era bisogno di oatena di proposizioni ognuna delle quali viene dimostrata in dimostrazioni! bastava seguire procedimenti più © meno antibase alle precedenti già dimostrate, deve avere un anello fisso chi, piu o meno ingegnosi, senza dimostrarli, Lo stesso vala 9 iniziale, oche può essere la definizione più o meno felice por le figure geometriche: ® chiaro che per gli scopi pratici degli enti su cui vertono le proposizioni da dimonstrare e la /misurare un campo, un pozzo di stoffa/ l'unità di misura copreodsazione delie loro proprieta, o/e proposizioni preliminamine al lato e alla diagonale del quadrato si può sempre trori non dimostrate, E* d'altra parte una pura astrazione pensavare, 12 e forse finché si rimane su quel livello nemmeno viene re a definizioni, postulati o assiomi senza che questi siano il sospetto che essa non esista. stabiliti per dedurre dimonstrazioni di proposizioni sucoessostanza falliti i tentativi di alouni studiosi anche recenti sive. Chiedersi dunque se siano nate priua le proposizioni /v. iniziali indimostrate o le dimostrazioni © questione non solo surabilita supponendo che gli scopritori fossero stati mossi diffioile, ma probabilmente oziosa e irrilevante. 1° Tuttavia, poiohé solo con la presenza di: entrambe la matematica si venne da suggerimenti provenienti dalla vita pratica /squadra ad angolo retto, metodo dell’ dysugalpearg dugli in qualche modo sia possibile illuminare la fase iniziale di ronododeosedri di pirite/. 13 artigiani, osservazione usato empiricamente in natura dei cristalli peuta.. Se la dimostrazione non pots venire dalla vita pra» prooesso. Una volta accettato che la matematica come scienza anzi noto cone siano in Fritz, Heller/ di spiegare la scoperta dell’ incommena oostituire oome solenza deduttiva, 11 oerchiamo di vedore 3e questo E’ tion, anche perohé in effetti essa non aiuta a facilitare il deduttiva ebbe origine presso i Greci, bisogna cercare se essa soddlsfacimento di nessuna delle esigenze di quest” ultima, sia stata frutto di un processo graduale che oocupè una certa nommono nacque per aiutare la trasmissione - cios 1’ epoca, o se sia apparsa all’ improvviso per opera di qualcuno monto - dogli accorgimenti pratioi di questo insegnao quel mestiere, /oome tanto volte © accaduto nella storia nei riguardi di tanjeroh4 a ciò basta mostrare una o più volte come si fa; e te teorie matematiche/, a seguito di una repentina trasformawhlirdttura zione nella visione degli enti matematici, se non addirittura nontri, fino a una certa eta ci si limita per 1’ aritmetica al. delle cose in senso generale, cioè nel quadro di una nuova 1° "Weltanachauung". ln diverso oporazioni/, nell’ insegnamento soolastico, ancora ai giorni Insormamento dei procedimenti pratici di calcolo /esoguire mentre per la geometria si rimane al

- uatematici divenissero oggetto di scionza, mentre prima livello intuitivo, facendo vedere sulle figure como atanno le in erano. E' noto infatti che Pitagora non fu il primo soien- 00se, esattamente come nel Menons platonico /82 b - 85 e/ Socrate fa con lo schiavo. 14 Poiohé dunque riesoe diffioile pensare che la dimonon cui ziato. Ci furono prima di lui 1 "fisiologi" ionici, tra 17 rattutto Anassimandro, di cui Pitagora conosceva 1’ opera. Essi rivolsero la lore indagine /lotop(n / alla natura, al i sup strazione abbia avuto origine dal campo o da quello I che ad essa’ I ei arrivò per via teoretica, cioè che essa provenne dalla fii didattioo, losofia. o dall’ osservazione, pratico, bisogna pensare nascero /oüvüt / delle cose dal principio che le genera Fort /. Questo principio, come scrive Carlo Diano, 2° *primo anobe nel tumpo, abbraccia senza lasciare nulla fuori di se tutte le cose, Ciò sembra a prima vista confermato dalla tradizione, che pone agli inizi della metale quali invece nascono e mioiono". Ma contro la tendeuza dall! entata rappres fisioa che esso riflette, o’ e 1’ altra, scienza watematioa 41 nome di Pita. gora, 15 anche se, come vedremo, la sua opera ‘non dovette essere sufficiente a spiegare la nascita di essa come cose ¿cropín , ojos dail’ indagine positiva, "per la quale le oni diwensi due uelle sono quelle che appaiono, +... dispiegate scienza deduttiva. Due altri fatti messi in rilievo da Szabé confermano questa dulle aree fisiohe e geografiche, e la causalità che le detertesi: molti termini indicanti i procedimenti e 1 princìpi della matematica provengono dalla dialettica; inoltre dalla suowino, uscendo dall’ unità indistinta del divino, diventa cessione e meccanicismo", Di qui il carattere di questi filosofilosofia vennero i prinol pi logici che stanno alia base del ragiona~ mento matematico /identità, non contraddizione, e00,/,19 Rimane fi, ohe appaiono sì come mistici, ma anche come razionalisti% con loro nascono la storiografia, nella direzione cho culminera in Erodoto, la geografia, e ricevo grande impulso 1’ astronowia, in dipendenza della quale si usano gli strumenti della però da vedere come tutto ciò contribuì alla nascita della matematica come soionza assiomatico-deduttiva. Dalle fonti, che pure sul suo costo sono in gran parte confuso e favolose, ricaviamo questo con certezza: Pita* gora non uoometria e della trigonometria, 1 Ma si tratta di scienze in oui si prende atto di quanto si "vede" /totop(n dalla radios considerazione degli enti Fiô-/, o in cui, come nel caso dell' astronomia, si pub anche quale si ha nella vita pratica, ma prevedere che 0088 succederà perché ci si b resi conto che le solo seppe sollevarsi da una matematici, numeri e figure, | anche seppe vedere numeri e figure non più come simboli di orbite dei corpi celesti li portano a rioccupare periodicamente qualohe cosa d' altro, ma come cose in se da studiare in quanto lo stesse posizioni. Manca anoora 1a capacita di "vedere" fuori numeri e figure; dollo spazio fisico-geografico e del tempo scandito dalla reanzi, in tutte le cose vide il nuwero perché esso ne era l'essenza. In tal modo egli fece sì che gli enti A) - .

golarità .dei movimenti degli astri o rotto dall’ irregolarità nascita della matematica, ?? Le terza à gia una teoria cos) degli accadimenti umani, solida, da resistere all’ urto della scoperta dell’ irrazio= tica non si Quindi presso gli Ionici la matemacostituisce ancora come scienza astratta e scono e si usano, ma - nalel fornisce anzi lo strumento per dimostrare che 1’ irrade. zionale & e non può non essere, altrimenti lo stesso numero duttiva! le proprietà - e si tratta di proprietà geometriche più che aritmetiche, 45 per la ragioni or ora dette — si riconosarebbe pari e dispari, 9 e meriterà di essere conservata da non Fuolido nel libro IX degli Elementi. si dimostrano ancora in modo generale Essa, attestata per la e rigoroso. Cid e stato ben chiarito sia nel caso di Talete, prima volta da Epicarmo, 7? è essenzialmente pitagorioa, fonsia in quello di Anassimandro, 19 dandosi sui punti fermi di carattere ontologico di: uno, due, . . Con Pitagora 1! opposizione sopra aocennata presente pari, nella filosofia ionica viene avvertita per la prima volta ‘ coscientemente, wutano Diano, 20 ma, cowe dice ancora ©. segno, perohé 1’ infinito, "i termini infatti e scoperta e dimostrazione dell’ irrazionale /in matematica i il numero /finito/, passi, diventare oggetto del pensiero riflesso”, primitivo ogni figura e cosa. Il numero e figura più semplice à la diade, dove però tra le due monadi o’ è ¿1 vuoto, "1* Si tratta dell’ 6eiEar idea stessa di dimostrazione, che da un ben illustrato da Szabé anche sulla base doglt atudi del Becker , > ers passata ad un procedimento innumero e di ogni figura è la "monade", 1’ unità-punto? un insieme di unità-punto in una determinata disposizione & numero, che aggiunto al pari duo momenti si implicano a vicenda/, erano stati necessari altri ohe si rivela in tutte le cose come loro essenza, ® così può Principio di uno, Ma per giungere al punto in cui siamo, quello della oche per Anassiluandro era il s con predominio dell’ pari. positivo, per Pitagora e il negativo, e la positività passa al limitato e al finito. L? px dispari, lo fa diventare dispari, aggiunto al dispari lo fa diventare omem>.m infinito che si diretto per assurdo, quale ci è conservato in Elem. X, App. 27 Hoiberg, 2° Vi è poi l' insieme dei prinoipi logici che tale dimostrazione richiede /identità, non contraddizione e00., insinua nel mondo. "2? Per tale ragione in ogni cosa o? % 1? procedimento della *Fallunterscheidung"/”?, 1 quali non possoopposizione ns tra finito oipi. di tutto il reale, dispari, a cui tissimo. Con le e infinito; monade e diade sono i prine da esse discendono il pari e il si riporta tutta una osservazioni serie di opposizioni nosui numeri figurati, la ¿npogop la vonire fisica usati se non si fondano su una base ontologico-meta— adeguata. Il pitagorismo primitivo non era sufficiente a /"Arithmetik der Rechensteine” del Becker/, e la dottrina del {nsinuava il vuoto, ohe non era il nulla, 28 wa 1’ pari e non-numoro, del dispari i Pitagorioi posero ie prime basi per la procurare tutto questo, perché tra un? unita-punto e 1’ altra si sede di tutte le contraddizioni infinito, inerenti

oetti di spazio, di tovimento, contro le quali ebbe buon giuoco la ferrea logica di Zenone, Egli voleva sostenere 11 suo va maestro Parmenide contro i Pitagorici no aocogliere le sue innovazioni. togliere , l’esiste nza perché $ è goein, mal elvar e al non-essere, pogin $ 3/70 che 47 - ancora non carattere astratto expuramente teoretico della matematica greca delle origini, volee solo tenendo presenti queste radici Queste partono da wa: parmenidee possiamo capire il posto che la watewatioa avrà che non nel pensiero yap abro e nemmeno pensabile, voetv éctly platonico. Solo dopo te Vorg. 28 B 3/279 Ma l'essere e costretto dalla che il Pitagorismo fece propri risultati de Parwonide ora esposti la watematica pote veramente prendere Necessità nel pores /upatepn yap "Avdyun nelpatos tv Seguoigiv i il volo, sollevandosi dalle osservazioni sui nuweri figurati Exe 28 B 8, 30-31/, per cui l’apelron che Pitagora manteneva | o sgglungendo alla dottrina del pari e del dispari altre costx non esiste. Ben contenuti LI invece nel népas e quindi nell’ ¿dy ruzioni teoriche. Il momento in cui 1’ apporto parmenideo si sono gli enti matematici, che sono perciò vontol e quindi innesta sul pitagorismo è probabilmente quello già ricordato cggetto di soienza secondo la prima via di Parmenide, Le mate. dolla dimostrazione dell’ esistenza di segmenti incommensuramatioa diventa così per ecoellenza soienza dell” essere,fondata bilik dimostrazione che non ha niente dls | sul prinoipio di identità, che è 1’awanazione logica del prin + x di empirico; niente di visivo, al punto che resterà per il futuro come esempio di x À oiplo ontologico di Parmenide, e sulla dimostrazione indiretta, certezza logica incontrovertibile, e Aristotele se ne serve la quale non fa che applicare l’altra proposizione di Parmonide almeno 25 volte’ in tale senso. N x Ron 2 non e, e deye non essere /28 B 2, 5/, quindi se alle fine d n Da tutto ciò risulta che la nascita della matematica 4 un ragionamento si trova nou è, o è e pon 2 insieme /la famosa bp come scienza assiomatica non poteva avvenire per lenta emana- - . terza via"/, vuol dire ohe era sbagliata la premessa di partenza, P eroio la . matematica si trova in pieno nella sfera dell! à Ae 1a zioni zione dalla vita pratica e da conoscenze empiriche più o meno la conoscenza che forniscono . esempi e nept N di verita ° raffinate, né per graduale evoluzione dall’ indagine preceden» td dv ‚2 e le sue dimostrache per la prima volta te, 0108 dall’ totopín tonica. . Fu per opera di tre uomini, . sono 7 Pitagora, Parmenide, e secondariamente Zenone, sul quale al di fuori e al di sopra dello spazio e del tempo. Di questi, tornerò nel paragrafo seguente, che si ebbe un salto, una che insiowe nuova visione della realta, ai nostri costituiscono di conoscenza, ora dette x ciò bsula la che sensi e alla ohiamiamo 66Ea, dalla completamente, "¿1 quale problematicissima mondo", la o? è 1’ matematica Riusciamo così a . "materia" altra per le forma della soienza /Enıotfun, la quale determinò il nascere paSfpata/. ragioni spiegarci il ; Ora voglio considerare quel particolare sistema assiowatico-deduttivo che troviamo negli Elementi di Fuolide e

che si fonda 48 lug. . sulle proposizioni premesse al libro I, Che ques- ‘athto te proposizioni siano definizioni, postulati o assiomi è secondario, sicché bene fecero gli antichi a chiamarle tutto la insieme "princìpi", Apxaf.3? Tale sistema e stato sottoposto all’ esame non solo in della critica questi, e, soprattutto nei per secoli XIX e XX, quanto riguarda alcuni punti, postulato, sembrano tutti hanno superflue, e osservato che talune ma anche proposizioni non vengono utilizzate nel seguito della quando dicono nie in exsn spazio estendersi fin culminerà "positivo" dove 1’ in di Enopide ed Anassimandro occhio senza che fosse avvertita 1' nel scorse v'*rnvorso i la mondo rapporto ai "po dopo, la anche il antico, numero, musica, x Spingeva la esigenza di non si wisurano rette, ma ane questo nello suoni che scoperta attraverso avvenne studiare le indubbiamente iunghezze delle corde si volvano ottenere. 35 Ma non molto dell’ la irrazionale, constatazione alla dell! quale si impossibilità i Wividere l' ottava in parti uguali ,26 rendeva del tutto 14.3 Ma dopo quanto abbiamo detto nel precedente paragrafo i nircrato possiamo ben capire come Szabé risalga ancora più indietro, los »fla liv filosofia eleatica insieme alla dimonstrazione indiretta, oplo fara “11! concezioni olontica, pitagoriche fornendo, accottare come Lerazionalita, come più si à primitive: visto, gli affatto ragionevole 1! toglieva nei solo la fi. strumenti esistenza matematici ogni diffidenza Lou confronti della retta, e rendeva definitivanente possipure siano stati formulati in qualche caso come reazione e posizioni eleatiche. rly. Prima di espriwere un parere più approfondito su questo argomento, poteva Nello che «:11/. Il pitagorismo potè accettare la retta solo dopo che che altri prima di lui scrissero Elemen= difesa nei confronti di certe Chio. lotor(n, jetunan affermando che almeno parte del "prinolpi" discendano dalla di ionica, ‘biilorno la lunghezza in un numero /è noto che in astronomia, sistewazioni della materia precedenti a Fuclide, la cui esistenza le confermata dalle fonti, provenienza a;eelalmonte . . tn trattazione. Cid non si spiega se non ammettendo che quelle proposizioni fossero contenute in rettn 211 nell' antichità.33 A parte le famose questioni sollevate dal V di Iipsorate ln goometria tnt tagliate premetto alcune osservazioni. Alle origini “istrato la e come scienza. precise Non è argomentazioni derivazione dalla 11 caso con cui filosofia di riassumere Szabé eleatica ha di buona la geometria dovette essere ancora più lontana dall’ arit- "te matica di quanto "Ink con cui sono formilati,37 Solo a proposit o di Zenone concezione appaia a noi oggi. stesse Abbiamo detto prima quale alla baso dei numeri figurati pitagorici e quale vuoto metafisico separasse due unità-punto. Il concetto e doi "princìpi" promessi “le parere è un po’ ‘iano formulato alcuni al diverso. doi libro Szabé I degli ritiene "princìpi" per Elementi n= di vista enemplo del tutto diverso da quello pitagorico, e senza centro 11 doll’ discepolo assioma di Parmenide VIII, "il /sarabbe tutto è dei che matematici prendero t stesso della linea /sia retta che circolo/ riflette un punto e il caso posizia maggiore della

grazie anche alla scoperta dell’ irrazionale avvenuta primad la concezione della sieme numerabile di punti, retta come inionico, anche a e ciò fu un grande passo innazi, causa della distanza soso /che fu dimostrata, anzi, rimase colpiti dall’ aspetto eristico dei ragionamenti di | assiomatico di rigore che deve essere imitato nella dialettitico-deduttivo non fosse già stato completamente costituito. Assai recentemente Knorr, pur ammettendo 1’ iwpronsistema siano apparsi priwa. sog questo non sarebbe stato possibile se il wetodo assiomaenunciando i princìpi di cui Szabé parla. nel sono che lialoghi della prima maturità, ai ragionamenti dei matematici some osempio e probabilmente contro questo i geowetri reagirono eleatica ce ne Lo stesso Platone si richiama più volte, anche in si ta del resto solo nello scorso secolo/, »i sono prove che alcuno di tali princìpi sia apparso così tordi, geografica, Zenone, tutte di includere come non 1’ aveva capita priwa Aristotele, 59 Ma, ripeto, non | Non venne però inteso nel suo senso: forse, specialmente in ambiente per coso postulato e non come teorema, e molti non capirono la essi vengano intesi, aveva rivelato nella retta la continuità,; contraddittoria - Y postulato che egli decise una volta te"/.38 Secondo we, Zenone con i suoi argomenti, comunque riusoiva 51 50 - euclideo, attribuisce Ma so esso già c’ era, i princìpi su cui si reggeva dovevano la formazione di esso a un eleatismo secondario, espressosi nell’ ambito dell’ Accademia, durante la vecchiaia di Platone e dopo la sua scomparsa . 77 L' elemento eleatico in Platone è presente 1ssoro gli stessi che son abbiamo notizia, troviamo in o Fuclide, addirittura sono, perché di altri per quei tempi, difficilmente pensabili. Ma allora, se nei "princi pi" dei matoaatici o’ è la presenza eleatica, questa non può essere venuta ‘in tutte le fasi del suo pensiero, wa che esso si faccia più da un eleatismo posteriore. rilevante nella fase tarda è innegabile. Ma è lecito pensare Non | che sia questo eleatismo a determinare la costituzione del wontali sistema assiomatico euclideo? To non trovo prove che alcuno dei princìpi di esso sia stato pensato ed espresso tanto weno la dimostrazione indiretta. Ci sono certo negli Elementi parti più recenti di altre, ci sono dimostrazioni che la scelta la distribuzione della materia in parte e opera probabilmente sua, anche la sono scelta opera delle di Euclide sono Parmenide inoltre non dimenticare passano invariate che in le tesi funda- Platone: esse convincenti “i così tardi, di si deve stesso; sicuramente proposizioni inizisli non dimostrate, tant’ è vero che egli per ragioni storiche incluse proposizioni che avrebbe potuto tralasciare; c’ è 11 subiscono anzi rilevanti modificazioni, loscritto con molta chiarezza. corto senso, che R. Falus ha 11 non-essere viene, in un ad avere esistenza nell’ idea di alterità, e la cigida è reciproca esclusione parwenidea tra essere e non-: -essere viene ad ammorbidirsi con il riconoscimento, “ssore’ delle sue "Erscheinungsformen"” di movimento per e 1’ quiete. le enti matematici e concetto di movimento sono incompatibili, cone osserva Proclo nel più volte ricordato Commento . 3 Non è

- quindi possibile pensare che 1 prinolpi del sistema assioma= a molto chiaro M, GENTILE, tico-deduttivo suclideo siano potuti derivare dalle tesi atorie della filosofia, Padova 1966, p. 26 ss. parmeuidea così transformate.. Solo della tendenza alla sistemazione si può dire che sia propria dell’ stà di Euclide, ma la sistemazione preguppone qualche cosa che ci sia già: quando, Se e come 2 possibile la Por esempio E. v. FRITZ, Die APXAT, p, 21. 4 Ritengo con Szabé che la matewatica si sia costituita , : come | scienza assionatico-deduttiva dipendente da Aristotele, in modo del tutto < ma che piu tardi 1’ ininfluenza , dello Stagirita sia divenuta molto forte: v. il capitolo Aristotele nella Poetica dá la sua “sistemazione” della tra- | DioGrundlagen und Aristoteles in SZABO, Anfänge p. 302- gedia, questa o! era gis stata da un pezzo. E’ vero che nel ; x per esempio, 1 3 10, ! x 5 caso della matematica e piu difficile distinguere tra creazione e sistemazione, Lancs ma proprio per questo ci fu chi scrisse 1* Elementi anche molto tempo prima di Fuclide, 7 NOTE A Entraubì polemizzano con il Neugebauer, il grande studioso delle scienze presso i popoli orientali /Egizî, Babilonasi/, incline ad attribuire ad essi la fondazione di parti della , matewatica, in particolar modo 1’ algebra geometrica. : Sorive il v. FRITZ, Die APXAI in der griechischen Mathema- 1969, 2 Dello stesso Anfänge der griechischen Mathematik, parere Y e Budapest p . 243 3 as. "Maia” K. REIDEMEISTER, avessero individuato fondamentali altre che egli distingue. oltre 19 grecques e au temps Sta , Su questo aspetto della . p. 106-131. Das exakte : Denken der Griechen; on Hamburg || 10-11. D E er My v Wi3- Quosti argomenti vengono trattati sul piano generale neil! libro di E, asaiomatica, quasto ' 11 AGAZZI, Introduzions ai problemi Milano 1961. Il problema e forse un po’ diverso al momento della gis. tomazione di un alle quattro trattazione aristotelica nel I libro della Metafisica ‚ Pe 1958, MITTELSTRASS, ıloll’ se i filosofi precedenti "cause" J. 10, occallente | { Precisamente Aristotele cerca mathématiques Sütze aufweist" /i corsivi sono dell’ autore/, macht hätten, alle mathematischen Sätze streng logisch Prinzipien abzuleiten". pris als logische Folgerungen anderer bereits gesicherter Babylonier oder gar die Agypter jemals den Versuch ge- . ersten des solchen Satzsystews in der Regel, indem wan gewisse Sätze "Nirgends hat sich ein Zolchen dafür gefunden, dass die SZABÓ, a sonschaft, Arch, for Hist. of Exact Se. 2, 1962-66, p. bil: si può intendere per teoria matematica "eine Roihe von Sätzen, die z.B, in bestimmter geordneter Weise voneinander logisch abhängig sind und auf diese Weise.... cin Satzsystem darstellen. Bewissen werden Sätze eines | tik, Archiv für Begriffegeschichte 1, 1955, p. 13-14: A, e In 1949 von fondamentaux Aristote /"proprint"/ p. 9-10, & ı Su questo passo di Proclo vedi A, SZABO, Quelques prob= parlerò complesso assiomatico-deduttivo, ma di Vedi la trattazione di À. SZABO, Wie {st die Mathematik

zu ainsr deduktiven 1956, p. Wissenschaft gawordan? AAHung. SZABÓ, Anfänge, 13 Ka ve p. 281-282. Pie Entdeckung, der Hippasos von Metapont, XXXITI/, 5, Pyth 14 Die er, p. stetigen Teilupz durch Zur Geschichte, p. 325 die 24 ss. Su questo oelebre passo, oltre all’ articolo gis oitato in nota /6/, vedi SZABO, Anfünge, p. 122-123, e W. R. KNORR, .The evolu ~ Boston 1975, Comm, f the euclidea p. Elements, a L? a 2 a a A a, Doll. Ist, Fil. Gr., suppl. 2, Roma 1977, p. 19 88. Por esempio ARIST. An, Pr, 41 a 26-28; An, Pra 50 a ne in EUCL. 36-38, oltre, naturalmente, alla dimostrazio , AAHung, riferiwento ad 1968, pe 139-148, vede piuttosto un Eraclito e, indirettamente, proprio si Pitagorici. , yom Geraden und Ungeraden, in Zur Gesch, d. er. Math. ultima parte; p. 190. 18 C. DIANO, Pe 1-2, 19 Per 25 sul secondo fatto tornerò più avanti. Pythagoras, Studi e saggi XXIV, di col. 26 180 e 186, filosofia antica, Padova 1973, | Talete e 11 zioni” vedi A, matioa, Fr, 52486, Anfänge, p- 254 ss.; O. HECKER, Dasmatiheuatische Sul primo fatto v. SZABÓ, Zur Geschichte der Dialektik deg Denkens, AAHung 2, 1954, pe 17-57, in particolare 1” 8.9, 65 tesi di Reinhardt, ritiene che il person FALUS, carwo scherzi sul pensiero degli Eleati. invece R. 16, 16 E., librum p. seguendo la SZABÓ, Eleatica, AAHung. 3, 1955, p+ 79: aggio di Epi- PROCL. R, elem, CIOSI, A; Dordrecht 26-27. I Eucl. drrazionale, v. il wio lavoro! F. FRAN. 15 17 in per la sooperta dell’ 10, App. 27 sotto menzionata. 294 ss. Entdeokung der in 23 y Backer, /Wege der Forschung Darmstadt 1965, HELLER, Inkommonsurabiji tit durch | in Zur Geschichte der griechischen : Mathewatik hrsg. von 0. - e ia teoria della proporzioni/ siavo stati la bese 4, 109-151. 12 55 senso che bisogna FRAJESE, Firenze 1969, p. ayers dare alle suo oria “diwostra-, ate, 35-41. Sulla natura delle ricerche 27 20 C. DIANO, 21 Ibidem, 22 0. Studi p. 26. BECKER, Die Buch e saggi, Lehre der Euklidichen Math., p. 125-145, vom p. 29 25-26. in . p. 125-126 e FRANCOSI, L’ irrazionalità, p. 24-25 BECKER, Die Lehre, p. 137-138; SZABÔ, Eleatica, p. 81. nidea wi rife Tra i wolti commenti a questa frase parme di due illustri storici della risco soltanto a quelli Ci] QUS NOEIN a matematica greca. K, va Gerade und Ungerade Elemente, ut, in 4 K. v. FRITZ, Die £ diquesta che e ritien 293, pe Math-, gr, d, Gesoh, Zur nella ta uizza moder mostrazione sis più recente, o almeno Die Lehre forma. Nou sono di questo “paróres vedi BECKER, C. DIANO, Studi e gaged, P- 26 e 36. ‚soientifiche di Anassimandro vedi SZABO, Der Schattenzeiger, Budapest 1977 /preprint/. Denken der Antike, Göttingen 1957, p. 40 ss.; e Die Lebré im Neunten Zur Geschichte der er, Su come questi tre elementi della primitiva scienza pitagorica /gli altri saranno la geometria , Class. Phil. 40, Q re-S De a the sentence is-.., of ng meani “The e? scriv 1945, p. 237, t, tbe that | there can be no vogiv without its objec gbi si in which it ee itself”. In termini analo éév g- 2, esprine SZABÓ, Zum Verstëänduis der Eleateg, AAHun e Di atiou rpret -Inte nides Parme 1954, p. 278. Ma R. FALUS,

AAHung. 8, senso 1960, della p, frase 277-278, non si 1. giustamente pensa che il riduce ad affermare che non pub essere pensiero senza un oggetto, e aggiunge: Denken lässt ist ihu eingeschlossen in das Denken dadurcht sich con dem richtet über Existenz, dass "Seienden" .... durro, "Das trennen, cael. 557. riguardo alle parallele /Ay, Pr. 66 a 11-15/; Euclide invece capì che il postulato era od ebbe il coraggio di introdurlo 41 Por es. 12 R, FALUS, es ein sich jedes senz’ inevitabile, altro. denken 20 = Vors. lässt", 28 B1, PLAT. fhaidon 100 a; Resp. 510 and. Ding bekommt tratta d, una petitio prineipti /cioë, in sostanza un pose tulato/, Auf der anderen Seite: alles, es nicht | ci -57- 30 SIMPL. 31 H. 32 Vedi 11 secondo capitolo, già citatà all’ inizio, del Parmenides~Interpretationen, del terzo paragrafo dell’ Pp. articolo, 292 ss.: si intitolato 15. appunto Die Modifizieruns der parwenideischen Grundthese BONITZ, Index aristotelicus, libro I degli Analitici p. Poateriori 185. Platon. di Aristotele e 43 PROCL. In Euci, I p. 179 Fr. 33 I, TÓTH, Wiesbaden in Prismata, 1977, p. Festschrift 395-515. PROCL. In I Evol. p. 66-67 Fr. 35 P, TANNERY, Du rôle de la musique grecque dans le dévefioves, de Ja mathématique 111, p. 68-69, pure, in Mémoires sclanti- 37 Vedi, oltre ai lavori dello studioso ungherese già citati p. 231 e alla des p. ss., ma parte degli Anféuge, anche-p, 129-130 della III parte degli Anfänse, euklidischen Axiomensystems, partic. I parte. anche in in 1’ articolo Anfänge Zur Gesch, d. gr, Math, 354 ss. 38 SZABO, Anfänge, p. 394 ss. 39 Y, R. KNORR, buto alla On th a stor a tics, contri- "II Conference of the International Union of the History and Philosophy of settembre 1978, p. Science" 17 e passim, tenutasi in "preprint", /citaz. Pisa, consentita dall’ Autore/. Te] Aristotele rimprovera ai geometri dei suoi un movimento fittizio, fondamentayxz, p. afvncic Quelques problè- 15. La méthode axiomatico-déductive, que les Grecs sont les premiers | à utiliser, n’est pas issue de la mathématique empirique: comme | particulièrement celle qui caractérise le Pythagorisme, i.e. le Pythagorisme , plus récent qui s’est inspiré de Parménide et de Zénon. Vedi tutta seconda di su questo punto vedi SZABO, d’autres notions mathématiques, elle trouve son origine dans la dialectique, Toulouse - Paris 1915. 36 la nes parlare 1092. FRANCIOSI F., Sulle origini del metodo assiomatico-deduttivo | nella matematica greca: Homonoia ! 1979 37-57. 34 loppement potrebbe Taviactınf; Geometria more ethico, für Willy Hartner, PROCL. In I Euol. p. 185 Fr, Tutt’ al più, secondo lui, tempi di intro-