Sur les origines lointaines du theoreme de Pythagore

1442. HEUCHAMPS E., Sur les origines lointaines du théorème de “ythagore: LEC 5 1936 61-72. La découverte, en 1900, de deux tablettes de la 1°° dynastie babylo- 115 nienne démontre que les Chaldéens connaissaient déjà « deux recettes opératoires pour le calcul de l'hypothénuse d’un triangle rectangle dontREUCA AMES$ on connaît les cathètes ». L'étude recherche les caractéristiques de ces \q> 6 recettes el le degré d’approximation atteint par chacune d’elles. SUR LES ORIGINES LOINTAINES DU THÉORÈME DE PYTHAGORE Résumé. — Deux mille ans avant nutre ère, soit environ quinze siècles avant Pythagore, les Chaldéens proposèrent, pour le calcul de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont on connaît les cathétes, deux recettes opératoires. La présente étude a pour objet de rechercher les caractérisques de ces recettes ainsi que l’approximation atteinte par chacune d'elles. Elle débute par un exposé sommaire de ce que nous connaissons au sujet de la double tentative chaldéenne (nos 1, 2, 3). Suivent quelques considérations générales sur ces dernières (no 4), dont on pourra trouver plus ample développement dans un excellent ouvrage de M, Abel Rer fréquemment cité et qui s'intitule La science orientale avant les (irecs (La Renaissance du livre, 78, Boulevard Saint-Michel, Paris, 35 frs). La seconde partie de cette étude est technique. Les mathématiques auxquelles il est fait appel sont strictement élémentaires, les notations utilisées étant, évidemment, nos notations actuelles, La seconde recette chaldéenne, la meilleure, fournit toujours une valeur de l’hypoténuse par excès, mais une valeur assez satisfaisante (nos 5 à 7); plus exactement, et ceci est très curieux, elle fournit la valeur vraie en première approximation (nes 8 et 9). La première recette, sans doute plus ancienne, est plus souple mais nettement moins bonne que la seconde. Elle peut donner la valeur exacte de I’hypoténuse, mais, dans la presque totalité des cas, la seconde recette fournit une valeur beaucoup plus approchée que Ja première (nos 10 à 15). I 1. L'examen, même très superficiel, d’un triangle rectangle monire que l’hypoténuse a est une fonction croissante des deux autres côtés b et c. Laissez b fixe et faites croître c; a augmente. Fixez d'autre part c; a croit avec b. Environ cinq siècles avant notre ère, Pythagore fixa la relation exacte qui unit ces trois variables, la fonction, très simple, qui exprime cette dépendance étant, comme chacun sait, ae = b? + c'i, % Ce théorème fondamental et justament célébre l'est, chez beaucoup, pour une mauvalse ralson, Pour len ¿leves d'bumanitea, c'est a le pont aux ânes s. Pour les mathématíciens qui en apprécien? toute l'importance, c'est moins un épouvantail que l'uu des

THAGORE LES ORIGINES DU THÉORÈME DE PY LES ETUDES CLASSIQUES Comme de coutume, la vérité n’a pas jailli sans que, préalablement, quelques tentatives partielles ou malhabiles n’eussent été faites. ll sera question, dans ce qui va suivre, de deux essais tentés par les Chaldéens deux mille ans avant notre ére, soit quinze cents ans avant la réussite pythagoricienne. Les renseignements qui nous en sont parvenus sont très brefs, mais l’intérét présenté par les documents chaldéens est considérable. a En 1916, écrit M. Abel Rey, à qui nous empruntons ces lignes !, M. Weidener a attiré l'attention sur deux tablettes découvertes par Pinches, en 1900, qui remontent à la 1"° dynastie babylonienne (vers 2000 av. J.-C.). Elles sont relatives à un calcul d’arpentage ou d'architecture. Elles nous présentent un rectangle divisé par une diagonale en deux triangles rectangles. Un des côtés est coté 10 et l’autre 40. Le calcul nous donne la longueur de la diagonale, Il y a là, comme on voit, une mesure de l'ordre de celle que permettra le théuréme de Pythagore. Cette diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, dont on connaît les deux côtés de l’angle droit : 10 et 40 |...]». Les deux «recettes» chaldéennes, ainsi que les appelle M. Rey, procèdent toutes deux du même esprit. L'idée chaldéenne, idee primitive et, au reste, très naturelle, a été d'ajouter à l’un des côtés de l’angle droit, le plus grand, dans le cas présent, question {est(b,bec)auétacontupdélpluicas tecomàpledétxe, ment, lainc er Quantitative le qua Le ln forme de la fonction onnue | q miner. t atemen es, voyons immédia Rien mieux. Nous,s'emodngaern ai tion dei p O les t geaien vait voie dans laquelle p eurquer sprit quirése -ce l’enon s bien est nes:parAu pequitenou s aît importer ici et le ultat brut » eux, primitifs, il ne pou ' native atteignirent. ns à les appelen”r — Nous hésito » Les receitdicesatichaonldéd'oennpéres. sie des graeve ons à effectuer formules ticVinulières ne pouvanati Une oe e, t porter pariiabnom deurs par i el var les le cas Fe ntiit tés suppose essentiellemen t des qua it áa desdes données particulieres. sita tablettes chaldéennes a tra n rectangle d’u ale et nous l'avons vu, de calculer la diagon detonter 10coudées. commande dont les côtés mesurentett10esetcha ée ine La premiere des rec ale cherchée le 2699 ?e, la diai gonale au plus long côté e la quantisé Nu vaut alors (3) =c + able, remarquable. En langage moderne, nous exprimerions cette conclusion au moyen de la relation a =cC + f (hb, c), (2) piliers de la géométrie euclidienne. J'avoue personnellement n'avoir jamais compris la raison du sinistre renom dont il jouit, l'éléphantesque démonstration des aires qui sévitdana les traités classiques étant, dans l'immense majorité des cas, parfaitement assimilée par les élèves. On peut, d’ailleurs, sans nuire au souci d'être complet, omettre alraplement cette démonstration « énorme», qui a pour elle la seule force de l'habitude, borner à enselgner celle qui exige l'addition membre) à membre des } C formules sidéré ad Pen; encore, 60 étaitintonnaloellrsecon lougueur); oula qua en unités simples. ntité add d'exprimer La seconde recette, tout en étant du mémb e ._. diagonale b’ et e’ étant les projections sur a de b et c. A la condition toutefols, condition passée généralement sous silence, de remarquer expressément que la relation ainsi obtenuo intéresse les mesures des carrés des côtés du triangle et non les carrés construits sur ces côtés. En est-il autrement des théorèmes qui fixent les relations métriques entre côtés des type, en . sensiblement; la quantité à ajouter est ICI 57.5 de sorte qu c=a.c', È Abel Rex, La science orientale avant les Grecs, p. 135. ’ e rectiondimauxense uire lace cor t ‘but dent,réddan Si arrlonesiguepou t ai io les s cas, ur (60 aya b=a,p?, triangies rectangles ou quelconques? tion chal‚On sait que la num108éradim ensione Ladequa360nti0 téonBic60°ayaaunt denominateu ia o , la présence i i d’une résultat capital du point de vue qualitatif. et se 3600 u une quantité calculée. Cette quantité, les documents découverts en font foi, était, selon les Chaldéens, fonction de la longueur de chacune des deux-cathètes. Et ceci, on en conviendra, est ter- | a=c+ D. 2 e la (4) n'est rquer que la quantité A ajouter sabigund je feral rematte on icati l'ind nt leme sinp t contenan eo edieenr d'une sonado, ta table pas exp des calcule a effectuer.

LES ORIGINES DU THEOREME DE PYTHAGORE tinctes qu'il existe deux recjouettrsesbedisseg D'un autre côté, leldéfait = ont du, — ceci tou do ior aDa montre que les Chae, —ens s’efforcer de trouver une LES ÉTUDES CLASSIQUES 3. Application au cas particulier des tablettes. — D'après en langage Modern p , à proprementparler, > p a, b et c. Si cette relation ne peut m u cependant a, 3 fo formule, elle s'en rapproche nne n qu’un essal po sür, les tablettes ne mentio nts-n a co cas ce von ous pas, dans données uniques. Mais ne pou Te tres s que épo aux t trai dans tous ceux qui ont ci art des circa Le ra supposer legitimement queencoInreplup n nl ne seront sans ou la question ne sont pas sembellanc o n e, la tentative cb connus. Si, contre toute vrai ue, celu une i-ci acquiert DES uniq n'a porté que sur un cas l’étai actue S ND m importance hors pair, | hm le théorème de Pythagore, la diagonale cherchée vaut VITO = 41,23 ... La première recetie nous invite — et ici, nous respectons vraiment la façon de procéder chaldéenne, la question de la numération sexagésimale mise à part, — à ajouter à 40 la quantité obtenue en io elevant au carré b : 10* = 100; 2° multipliant b* par c : 100 x 40 = 4000; : Loe réduisant le résultat obtenu 4 exprimer des unités simples : 3600 = LIT u 4 multipliant le résultat és de calcul gar da la coexistence de deux prot.céd De la, a sas précédent par 2 : 1,11 ... x 2 issances, ne = 2,22 ... parait justilier - u roche, non exac montre que ce dernier était app cte que les Chaldéens a t exa à l'existence d'une relation Ontcru l'avoir BaehLz, etan cherchée, il n’y a qu’un pas.ation ils | de la seconde recette - D'où Phypoténuse = 42,22 ..., résultat fort peut exact, pour ne pas dire sans valeur. La deuxième recette nous fournit une approximation beaudonné l'excellente approxim ttes pour un même cas concre La coexistence de deux rece imations peut cependant paraitre étrange, car l'une des approx comme coup plus satisfaisante. La quantité à ajouter s’obtient ici en 10 elevant au carré b : 10° = 100; 20 divisant b° par le double de c : = = 1,25. sa voisine. Se trouve-t-on, tes À est nettement meilleure quedeva deux recettes découver le fait remarquer M. Rey, nsntbon ne étant la plus mereLi des époques distinctes, la moi « La secon et la seconde venant déjà corriger la précédente?», écri t M. Rey L'hypoténuse vaut alors 41,25, résultat excellent, la valeur exacte étant 41,23 ... à la premiere recette est nettement supérieure ié, certes. Mais, comme nous étud ier (p. 140). Pour le cas particul osée ancienne, es le montrerons plus loin, la recettegransupp de. Et ceci, qui marque 4. L’existence des recettes chaldéennes et surtout le fait de leur dualité appellent immédiatement quelques remarques. Cela suppose d’abord, de la part des calculateurs babyloniens, un effort désintéressé. Ils auraient pu mesurer directement la diagonale dont ils cherchaient la longueur sans se préoccuper cependant d’une souplesse bien plus rt suppose, mérite d’être une certaine incohérence dans effo d'en fournir expression en fonction de ce que nous appellerons les données du probleme. A moins, comme le fait remarquer souligné. e, bici pu servir, a non en surface le calcul chaldéenlia s’arrét e (p. 165) que uction 1 3. te) elgual _n in deux à e projette ». pour une constr ces M. Rey *, que la recherche chaldéenne ne portät sur des grandeurs inaccessibles. Dans lequel cas, ajouterons-nous, la mesure effectuée sur des données accessibles eût supposé implicitement --- e plan vertical, , qu'il = ee premiere, le calcul serali d'origine astrologique; selon la seconde endre fort mal, hypo enna t compr probahlı, male Que MOYA aAvoUCKA modestemen A dans ten palais, les tours et Jen El mernil e lu petite dra faces deb gros mura varie, pour l'angle à la hie de 87° 4 a a la connaisance autrement délicate de la notion de rapport de similitude. en En yr. ujoute M. Hey, cette pente esa volnines, e ath ptice pons qui souligaun«) dann les monuments d'époqu à Abu Gurab, de 85548", » 2 È esterne du mur d'encrinie du temple du Kolol} 10 et 40 ne sont pas, comme ind mn mula les wogles du \riangie reclanyir de"!rôtés "". L'erreur est sf grosslére que 14:2'10 et 752720 mais , 14210 et 7 1" 915 M. fes, vaut alors la mocon e 1 Comment les Chaldéens n'’ont-ils pas vu que la correction 3 È ou ne » l’une des plus simples auxquelles on puisse penser, plus simple certes que sane donne le méme résulpense d'abord « une almple faute typographique. Main que hypotbesr, Mani dauners len pentes relevées plus haut? tat? Comment aussi expliquer la présence au numérateur du facteur 2 qui rend la correction sl mauvalse? BL. Ces p. 145. 65

LES ORIGINES DU THEOREME DE PYTHAGORE uver ne chaldéenne de tro D'autre part, la manièrefon dément. Nous faisons ne 4° 66 LES ETUDES CLASSIQUES Enfin, et cette dernière remarque nous parait fondamentale — nous aurons plus loin l’occasion d'en montrer l'intérêt, — M. Rey signale, sans y insister beaucoup, l’analogie entre notre manière actuelle d’atteindre Jes lois empiriques ct la manière chaldéenne (p. 140). « Aujourd’hui encore, écrit-il (pp. 189 et 140), prenons garde que la physique nous présente en grand nombre des formules du même genre : une équation établie à l’aide de nombres trouvés expérimentalement, mais que rien ne justifie rationnellement, sinon sa réussite en un certain intervalle de mesures expérimentales. Seulement, la théorie physique cherche à la justifier, à l'expliquerihypothétiquement, Chez les Sumériens, aucune trace d'un effort pareil. Nous sommes bien en présence de la recette pure et simple.» et la nôtre diffèrent pro e étendu et nous nous € =iat vations dans un domain observations au moyen ica on résenter l'ensemble des un Cas partic jeer , des essais sur tout Les Chaldéens fontern, eux le moins rici paraitra à qui, A NOUS, mod es, nousrés k oudre est de haute impo sauf le cas où le problème à Il <e.la quantité 5, Soit un triangle ABC rectangle en A,b qu'il faut ajouter à e pour former @ est Y= VB + e — ce Jl y a plus. Lorsqu'une loi physique est complexe, nous sérions la difficulté, nous en simplifions l'étude grace au procédé du développement en série, autrement dit, nous en faisons le siège par approximations successives obtenues par voie d’addition. Bref, nous utilisons là un procédé général, le plus général peut-être qui commande le développement des sciences physiques. Comme nous le verrons plus loin, les origines lointaines du théorème de Pythagore marquent la présence du même procédé. Sans doute est-ce inconsciemment que les Chaldéens en ont usé. Mais ceci n’illustre-t-il pas alors parfaitement combien il se présente naturellement à esprit humain 1? Il y a cependant deux différences profondes entre le procédé chaldeen et le notre. D'abord, nous, modernes, nous soucions de Perreur commise, en ce sens que nous recherchons avant tout son ordre de grandeur. Nulle trace de pareil souci chez les Chaldéens, du moins pour autant que nous puissions en juger par les documents que nous possédons. Alors que l’existence de deux formules semble indiquer nettement la recherche d’une meilleure approximation, 1 Les anciens éléves de M. Alliaume qui Ilront ces lignes se souviennent certainement encore de l'importance qu'accordalt le maître au principe fondamenta] qui, selon lui, avait dirigé suivant une voie simple et naturelle l'évolution de l'astronomie, L'homme rapporte d'abord À lul les phénomènes (coordonnées locales); puis, une meilleure appreclation des résultats fournis par l'observation lui montre la nécessité de rapporter les phénomènes au centre de la Terre (coordonnées géocentriques). Une connaissance meilleure et surtout mieux raisonnée des mouvements planétaires déplace à nouveau le centre de référence au centre de gravité du système solaire, pratiquement, celui du Soleil lui-même: d'où galactiques ... les coordonnées héllocentriques. De la, passage aux conrdonnées = ec (sec 13 — 1) (5) =c ty Big 3B. La seconde correction chaldeenne, que nou examinerons d'abord, est enne On voit immédiatement que l'approximation chaldé confond y lg B et tg3 B. - ne est untà approximation par imation chaldéen 6. L'approximat quasi-évidente exchn. Cela résulte de Pinégalité algébrique c+ iz > VR Fe (7) on encore, de l'identité trigonométrique ia itgB=ig;iva X TT gi (8) étriquement la même I est d'ailleurs aisé de prouver géom leme géométrique que conclusion, Aussi bien est-ce un prob | Soit encore le triangle ABC rectangle en A, h < c. Soit | | BA;CD = y. BD ie pee à ire cula endi perp une C Si l'on mène de cè le up e AE, intersection avec BA prolongé et si Hentre onne Cc elÀ # y, Wr ell entre AH = y, car b est moyen proportiionn l'angle as = HE; = AH CE, < Dans le triangle ACE, AC donc supérieur a HCE, c'eat-à dire que ACH est supérieu etudione ici.

Dés lors, dans le triangle BCH, langle BCH est supérieur à C + !B, BHC est inférieur a C + j B, BC < BH; d’où, enfin, DC < AH. 7. Le tableau suivant, établi pour des valeurs de B variant de 5° en 5°, montre l’approximation que permet d’atteindre la recette chaldéenne. L’approximation lue dans la colonne rv est celle que l’on obtient pour b = 1; elle est proportionnelle à b. Celle lue dans la colonne v est indépendante de b et c. B | 1 | f=tg3B| 1 |a=ztgB| 2 © i pe _ Db (vi zu Y) levels PIRLA 5 | 0,04975 | 0,0466 ' 0,00009 1,002 100 1,008 | 1” approximation, FU (41) D 1 gta ac w= se La correction exacte et la correctionn.chaldéenne sont donc équivalentes en premiére approximatio 9. L'erreur tolérée par ln deuxième recette chaldéenne est donc Or, a—$ 1 3 | A f(k) =e la ke —(1+ E+ i (12) ru = ek[1— 4 + Ky) (13) | est toujours positive, (1 + kr)" étant < 1. : D'où L'erreur tolérée croit avec le rapport o comme l’indiquait nettement le tableau du § 7. recettes chaldéennes 40. Examinons à présent la première des quantité à ajouter la re -à-di et rappelons que la correction, c'est 0,08817 0,08749 : 0,00068 150 200 250 0,13398 0,18199 0,23316 0,13165 0,17633 0,22169 , 0,26795 | 0,00233 0,00566 0,01147 0,02073 1,077 Lorsqu’on compare y, et y,, on remarque que si 350 400 450 0,35011 0,41955 0,50000 0,31530 0,36397 0,41421 | 0,03481 0,05558 0,08579 1,110 1,152 1,207 c= 390, Y= Ni c > 30. Ye > N 300 | 0,28868 | : | : 69 LES ORIGINES DU THEOREME DE PYTHAGORE LBS ETUDES CLASSIQUES : | 1,018 1,032 1,052 ; à cest ici b e < 30, Ye < Ni et réciproquement. 8. Expression de y en fonction du rapport 2 = k. Supposons donné, non pas la mesure de chacune des cathètes (9) k étant < 1, (1 + k*)* peut être développé en série convergente suivant la formule du binóme de Newton. La série étant | alternée, l’erreur commise est, on le sait, inférieure au premier terme négligé. On trouve ainsi 1,1 y=o (1433 1 1 1 corrections Quelle que soit la valeur donnée à b, les deuxvaleu r de c toute pour sont équivalentes lorsque c = 30; apro a de valeur supérieure à 30, la correction y, fournit une Yi; chée par excés, moins approchée que celle fournie pariate b et c, mais seulement leur rapport = = k. y =c(V1 +k — 1). lorsque c est inférieur a 30, aucune conclusion imméd se manifeste la plus n'est possible. En effet, et c'est ici que recett es chaldéennes, grande souplesse de la première des 30, être exacte, à eur la correction y, peut, lorsque c est inféri approchée par défaut ou par excès. 11. Pour que la correction y, fournisse la valeur exacte de a, c étant < 390, il faut et il auflit que +.) 5 | Trois conclusions s'imposent aussitôt. ou VEct ac + aan’ be + 3600 ct — 3240000 = 0.

LES ORIGINES DU THÉORÈME DE PYTHAGORE Soit donc b = 10 el c variant dans l'intervalle (10 + €, + 00). LES ÉTUDES CLASSIQUES n“aia Si Von fixe une valeur pour c, celle correspondante de b est donnée par la relation | br = 3240000 — 3600 c* e o (17) en d’autres termes, la valeur du rapport >, tel que y, = y, est Les formules (3) et (4) deviennent, dans ce cas, CTsEeRtoERàIa a=c+3 La relation (23) fournira pour a une valeur approchée par E ta] kr Pour des valeurs de 2 inférieures (supérieures) au second membre deí18), la formule (3) fournit a par défaut (par exces). AaF5(E5R exces, exacte ou approchée par défaut suivant que c'est-à-dire, toutes transformations effectuces suivant que Si, au contraire, on se fixe b, la valeur correspondante de c est alors . b ou f = 50 (26) c = 20,591 ... 1 800 °° Vaso Fri (23) (19) En particulier, la formule (23) est exack: lorsque B = 18040" = 30(1 + py environ. 15. Existe-t-il des valeurs de c pour lesquelles les valeurs de a approchées par défaut fournies par (23) sont plus approchées que celles approchées par excès fournies par (21)? (b = 10, Pour des valeurs de c inférieures (supérieures) au second membre de (19), la formule (3) fournit a par défaut (par excès). comme précédemment). 12. Si, dans (18), on suppose variables b et c, soit y = o et Dans ce cas, C =x, NE) 20 sati “est, a oes L’étude de y; montre que y est une fonction décroissante, c'est-à-dire, que le rapport o croit lorsque c décroit. TMyia„ceZelt ow memTtiReaE n limite 1 du rapport à telle que y, = y, sera atteinte lorsque N (27) a, 2a < de a TAN Mn 2 RS sSAtufyTS sE 13. Si Pon exige toujours que ) soit inférieur à c, la valeur 50 19c aq sets ct < 370% + MW, +0 36c V10 1 298c? (100 + c?) < 1369c* + 66600c + 810000, (28) — 73c* + 630000? — 810000 < 0, r Les racines en c® sont ct + 3600c* — 3210000 = 0, (21) ce équation obtenue en faisant dans (16) b= c. ou On tire de (21) bec = 27,3 .. (22) 14. Nous nous proposons, dans ce qui va suivre, d'étudier approximation fournie par la correction Ye, dans le cas particulier où b == 10 correspondant à l’une des données des tablettes chaldéennes. 31500 + 30547,1766... 73 = (c*)" = 13,0523...; et ... (c*Y = 849,9613 c étant > 10, l'inéquation (28) est satisfaite pour c > 29,15... En resume, {o Lorsque c < 29,15 ..., la formule (24) fournit un résultat plus approché que (24);

I Me te Logue Bis. ee < 30, inverse a lien, io .a, «la correction 7, étant approchée par défaut lorsque | 29,15... < ¢ < 29,59 .. ‘ + 6) la correction y, étant approchée par excès lorsque 29,59... < ¢ < 30. 16. Conclusions. En résumé, 1° Celle que nous appelons la seconde recette chaldéenne (4) confond 3 tg B et tg F B. Elle fournit toujours une valeur de a approchée par excès, mais approximation est très satisfaisante {voir tableau 97). La correction chaldéenne et la correction exacte sont équivalentes en premiére approximation, la correction exacte étant supposée fonction du rapport o 2. L’erreur tolérée croît avec ce dernier rapport. 2° La première recette chaldéenne, nettement inférieure à la précédente dans le cas particulier des tablettes chaldéennes, s’en distingue cependant par ce que l’on pourrait appeler une élasticité beaucoup plus considérable. Elle peut, en effet, être approchée par défaut ou par excès et même être exacte. Ceci, à condition que c soit inférieur à 80. Toutefois, l’intervalle des valeurs de c pour lesquelles l’approximation qu’elle fournit est meilleure que celle donnée par la recette précédente est fort restreint. N’était la présence du facteur 2 au numérateur de la première correction, celle-ci serait beaucoup meilleure. La suppression de ce facteur n’augmente cependant pas sérieusement P « élasticité » de la recette. 3 Les deux recettes sont équivalentes, quel que soit di, pensa a DI, Edgard HrucHamrs, professeur à VAthénée royal de Dinant. CU Heuchemps, E. Pr © à : az Sur Fark(Gave loratarnes de [he o ram IT, ? SE Puedes ed. ST+ : 5A i lrn TA olasSG eres Ma meno