Die Pythagoreer

MESCHKOWSKL A L Die Pythagoreer In der Tat hat ja alles, was man erkennen kann, Zahl. Denn es ist nicht möglich, irgend etwas mit dem Gedanken zu erfassen oder zu erkennen ohne diese. Philolaos aus Kroton') 1. Der Orden Die Ursprünge der Mathematik liegen im Dunkeln. Der Historiker, der etwa die Geschichte der Mathematik im alten Ägypten erforschen will, muß seine Einsichten aus dem Studium von nur drei größeren Dokumenten (und einigen Fragmenten) herleiten ([I 6], 8. 15). Diese Papyri waren Rechenanleitungen für den praktischen Gebrauch: Die Beamten des Pharao sollten daraus lernen, wie man Lohnsummen berechnet oder den Bedarf an Getreide für das Backen einer bestimmten Menge Brot. Der auf sehr praktische Ziele gerichtete ,,Papyrus Rhind“ beginnt aber trotzdem mit gewagten Versprechungen. Er kündigt „kunstgerechtes Eindringen in alle Dinge, Erkenntnis alles Seienden, aller Geheimnisse“ an. Tatsächlich werden aber nur die ,,Geheimnisse des Multiplizierens und Dividierens enthüllt. Hinter diesem anspruchsvollen Satz steht offenbar die in den alten Kulturen allgemein verbreitete Auffassung, daß die Gesetze der Zahl nicht nur eine praktische, sondern auch eine mystische oder religiöse Bedeutung haben. Diese Denkweise werden wir später auch noch bei den Pythagoreern vorfinden. Erst bei den Griechen ist aus der praktischen Meß- und Rechenkunst und dem mystischen Zahlenspiel jene axiomatisch fundierte und streng beweisende Wissenschaft gewachsen, die wir heute als Mathematik bezeichnen. Die Epoche der Pythagoreer ist dabei für den an kulturgeschichtlichen Zusammenhängen interessierten Historiker der Mathematik besonders wichtig, weil hier uralte mystische Bezüge neben zahlentheoretischen oder geometrischen Aussagen stehen, die auch dem Anspruch des modernen Forschers genügen. Uns Heutigen gilt Pythagoras (etwa 580 —500 v.Chr.) als Mathematiker. Seine Zeitgenossen charakterisierten ihn meist anders: Herodotos sah 1) Aus [I 8), 8, 77. Meechkowskl, Denkwelson

in ihm einen „bedeutenden Sophisten*, Andere kennen ihn als den Gründer eines religiösen Ordens, von dem mancherlei Wundergeschichten erzählt wurden. Die Komödiendichter schließlich stellten die Jünger des Pythagoras als arme und schmutzige Vegetarier dar und erwähnen nichts von ihren mathematischen Leistungen. Über das Leben des Pythagoras ist wenig bekannt. Tatsache ist wohl, daß er in jungen Jahren eine Studienreise nach Ägypten unternahm. Vielleicht war er auch in Babylon; der Zusummenhang der pythagoriischen Arithmetik mit der babylonischen legt jedenfalls eine solche Vermutung nahe. Um 530 floh er vor dem Diktator Polykrates nach Kroton in Oberitalien. Dort soll er einen Kreis begeisterter Jünger um sich gesammelt haben. Er predigte ihnen die Unsterblichkeit der Seele, forderte eine Lebensführung der Enthaltsamkeit und Müßigung und lehrte Astronomie, Mathematik, Musik wissenschaft und Philosophie. 2. Der Weg zu den „pythagoreischen Zahlen‘ Nikomachos von Gerasa hat in seiner Einleitung in die Zahlenlehre das Wissen der Pythagoreer über dio Gesetze der ganzen Zahlen zusammengestellt. Es ist anzunehmen, daß in dieser um das Jahr 100 n, Chr. verfaßten Schrift solche Sätze zusammengefaßt sind, die tatsächlich auf Pythagoras selbst und seinen Kreis zurückgehen, Die Pythagoreer veranschaulichten sich die Zahlen an Gruppen von Punkten, die man mit Sternbildern vergleichen könnte. An solchen »Punktrastern' kann man bemerkenswerte zahlentheoretische Gesetze ablesen. So zeigt uns das in Abb.1 dargestellte Punktschema die Vielen modernen Menschen wird die im Orden der Pythagorcer gelebte enge Verbindung religiös-sittlicher Postulate mit Aussagen der exakten Forschung befremdlich erscheinen. Für die Pythagoreer war diese Einheit Grundlage ihrer Weltsicht, in der die Mathematik ein Teil der Religion " war. Nach ihrer Lehre ist Gott der Eine, und die Vielheit der Welt wird durchschaubar durch die Gesetze der Zuhl. Das war die große Entdeckung der Pythagoreer: Daß die Bahnen der Sterne, aber auch die Gesetze der musikalischen Harmonie und der architektonischen Schönheit bestimmt waren durch einfache Verhältnisse ganzer?) Zahlen: Abb. 1 „Dreieckszahlen‘: In den „Zeilen“ des Dreiecks befinden sich 1, 2, 3, 4, ... Punkte, und die Anzahl der Punkte in einem n-zeiligen Dreieck stellt die Summe der ersten n natürlichen Zahlen dar. So ist z, B. „Die ganze Welt ist Harmonie und Zahl‘, Wir müssen uns versagen, auf diese philosophischen Konzeptionen der Pythagoreer ausführlicher einzugehen. Uns soll ihre mathematische Leistung beschäftigen, Es ist freilich für den modernen Historiker der Mathematik nicht leicht, zuverlüssige Aussagen über den Ursprung spezieller mathematischer Sütze und Methoden aus jener Zeit zu machen. Von Pythagoras selbst ist keine Zeile überliefert. Man kann daher nicht. 1+2=<=3,1+2+3=6,1+2-+-3-++4=10, ..., usf. Auf diese Weise gowinnen die Pythagoreer dio bekannte Folge der Dreicckszahlen : 1, 3, 6, 10, 16, 21, 28, ... mit Sicherheit feststellen, welche Erkenntnis vom ‚Meister‘ selbst, welche von seinen Schülern stammt. Bei der großen Verehrung für den » Wundertiter Pythagoras ist es durchaus möglich, daß ihm spätere Generationen auch solche Leistungen zuschrieben, die tatsächlich Erfolge seiner Schüler oder Epigonen sind. Wir wollen uns darauf beschränken, von zwei Entdeckungen aus dem Kreis der Pythagoreer ausführlicher zu berichten. 2) Es ist zu beachten, daß in der griechischen Mathematik div Irrationalzahlen unbekannt waren. „Zahlverhältnisse‘ sind immer Verhältnisse ganzer Zahlen. Noch bemerkenswerter sind die Gesetze, die man an vinem quadratischen Raster ablesen kann (Abb. 2):

sZahlenipndy.thZaugholreinigasnczhea(l4s)o(B3e)zineBhruüncgheddieseunlgierfeardte,.m.*9,da7b,b6e,ac3,ht=s,MmanFür2) dieaufsahen,gewniürgewni:e(2f)ühGrlte,icZhauhnlgendernadtiüerlailscoh,enZadhelrenAgdadnizteiocn,6,Diav, bderSummierungfortgesetstedienunliefertZahlenfolgeeinefürWasa1d(sazg1)1iuouae?e)ffhk-kem+alfoi#ne2i,mn)ntna(md.=nAhedebmnnIob1niu,r.dtrfee+goPterQ(blihyno,vuga2stfgbaecnaldhtnh.eea,drnngZeiZabloahrasstnhrocsrhlahDfel1woüelsie)mrnicnf#’y,hraB)wueven+auSwomdrneeüngitnbb(hDsezzneGirre„rke=nanuSiezudceiaPupdeclnmhty1fiksen)attzüeonechgr-dhabngG-edeinogeclal(rc,ho(nrt1ßthre2.ü)wPiDAenhaiucdaeRznbmhb+drkeunutelkrilneeiattQ,gdsncgsntieiuio‘heioeanzdonhd1,„uneaapr+snbdiymhadeinttaüaneadlh2brunstaeWfeDWgHranirahkoU=Ü.enrlShrbismfarzäneec+tmsuihrczcsemknlPzghcisDe(ueenhiz1tgnlee)au(iüsnnkha-1ncegllAt)u+hrgdieuc-ecnish1*nr.h,) sprechung daraus?)folgt Zahl“.ist A> Ab.3 unbeschränkt.—isgte,rabdheängignNummerdervoncba|m diZgnnFEhb„SzaUDSFunaiAcenopena+1cl-hgrtegübrnß)1„la,-ksehk:mtd)Rün,un-peB-eWss.gl+reciVndciaSTerdu1si=hnt)echesn(lvrdt,inhregäao+oewcz(susdacnSsFihirkausnekoc(gaftßZillnzhgnhzb:I,Adeatclsra+i!Pndehmcehfaeynudnl,ritvmtnune)esetddohbghirinlnasteeci4,ib“trassgdchrneR.ägriucohaoAgemelEectGh,wv4rtdecahginsnad.htGeegdruätighirhbeenüSstantgenkh.rrpiceddbnssmetltgoknaiipecurae4bknhbcsnhmtedsunrakeh-gtrdialzmsnteBiedäc2Prgiatsnsanhcycep4etkFsfkdhnhmrigrüocl3tdtFsaaeiroihdholcbsflrn—em.roua2hgtesuläsi,r(anWdJelizo1couhr‘teäwgniSknearrihih=Deteg„bzcggawTQarnetheEesloudrsm+rtuseiünafo,nvaggDAamßZ2ndvtedeidiuuSSabeslrzenn„ipsrdegttuaSGdad,qZl.er+Hlcen)k1nRait3iu.hU,mueggsin4.ealdhecvelt)sfamnmrgehdvmoe.cotaauesnrnl?+Zhi.urt8eiwdgernöogi.a8ccnuieaprshnkeehsirnc6od.stregukw)i+lnhog.e,resmc6ndmkpurine(sghiseäwaaännd[uzhcit+uAnnlgewmhrrlueZcäi4nadlricmrerifwhsnäMhhlacoctmis2WDedladhhidecinsEcuaenhi.rnthfs,t“gre((34))n?.,2=.|4|.1P)14l3l(—änc"h(e521421n0vnea+=r|gl115)ei4;c3mhu4inngM6]60N.4(d=n.usrc.hQuurasdprraütnzgalhilcehnn;icdhite B 345 7254 g(eDSiswvu1b3uontrnt)ucertiho (+abq2=?) uFQnulMaogdZkierbalehfitzngldarhenl.n quamoRnMePdzfruaiutsaeik*ntsbecßnahmer

zuweilen ein recht langes Leben: Sie sind nicht so eindeutig zu widerlegen. Die Entdeckung von inkommensurablen Strecken ist wohl dus erste Beispiel für ein solches Veto der Mathematik gegen allzu allgemeine ‘Thesen®), Bald nach dem Tode des Meisters entdeckten die Pythagoreer in gewissen Figuren inkommensurable Strecken, Strecken also, deren Längen nicht in einem durch ganze Zahlen ausdrückbaren Verhältnis stohen. Das einfachste Beispiel eines solchen Paares inkommensurabler Strecken liefern die Seite a und die Diagonale d eines Quadrats, Gábo es eine Relation d:a = p:q mit ganzen Zahlen p und q, so wäre wegen de == 24 die Quadratwurzel aus 2 rational: Y2 = Si: Man kann leicht zeigen, daß das nicht richtig ist®). Bei wissenschaftlichen Entdeckungen ist häufig der erste Zugang zu neuen Bereichen der Forschung nicht der, der sich später als der einfachste herausstellt. Und so haben auch die Pythagoreer nicht zuerst am Quadrat, sondern am regulären Fünfeck inkommensurable Strecken entdeckt. Strecken die pythagoräische Grundlehre in Frage gestellt, und er hatte sich offenbar nicht gescheut, diese Erkenntnis „Unwürdigen‘ (d.h. nicht dem Orden angehörenden Leuten) weiterzugeben, Jamblichos berichtet uns ferner, daß es nach dem Tode des Meisters zu einer Spaltung unter den Jüngern des Pythagoras gekommen sei: Dio nAkusmatiker' («xovouarıxol) waren die Anhänger der „reinen Lehre", die nuf dus Wort des Meisters schwuren. Dio ,,Mathematiker' dagegen, die mit Hippasos von der Existenz inkommensurabler Strecken überzeugt waren, bemiiliten sich um weitere PFortschritte in der mathematischen Wissenschaft. Es ist einleuchtend, daß sie an dem Nachweis weiterer Paare inkommensurabler Strecken interessiert waren, und tatsächlich fanden sie bald heraus, daß auclı die Seite eines Quadrats und seine Diagonale kein gemeinsames Maß haben können, Die Historiker der Mathematik weisen uns heute nach ([{I 9], 8. 9), daß die stetige Teilung (der „Goldene Schnitt‘) zur Zeit des Hippasos noch gar nicht bekannt war. Es ist also zu fragen, wie er überhaupt ein 3. Die Entdeckung dor stetigen Teilung Jamblichos aus Chalkis (etwa 283 — 330) berichtet im ersten Buch seines Werkes „Über die pythagoräische Philosophie’), das der PythagorasSchüler Hippasos als orster „die aus 12 Fünfecken zusammongesetzte Kugel beschrieben und deshalb als ein Gottloser im Meere umgekommen“ sei, Ferner habe er ‚als erster das Wesen der MeBbarkeit und Unmeßbarkeit an Unwürdige verraten". Deshalb sei er nicht nur aus dem pythagoräischen Bunde ausgestoßen worden, sondern ihm sei auch ein Grab bereitet worden wie einem, der gänzlich aus dem Kreise seiner früheren Geführten verschwinden soll®). Der Zorn der am Buchstaben der pythagoräischen Lehre Hüngenden war verständlich: Hippasos hatte mit dem Nachweis inkommensurabler 2) Über weitere Beispiele dieser Art siche z. B. [A 12]! ®) Der Beweis steht u. a. in [A 12], 8. 10 £. Diese Gegenbeispiele zur pythagoreischen These stammen aus dem Bereich der A Abb, 4 abstrakten Mathematik, Wir wollen nicht verhehlen, daß dagegen die moderno Physik immer wieder auf ganzzuhlige Gesetze im Bereich der Atomforschung stößt, Darin liegt eine gowisse Rechtfertigung fur die Schlußweise der Pythagoreer. 1) Ausführliche Literaturangaben zu den Ausführungen dieses Abschnitts finden sich bei 8, Heller [1 9]. #) Eine ähnliche Notiz findet sich in einem Scholion zum 10. Buch des Euklid, vgl. [A 12] 5. 8. roguläres Fünfeck zeichnen und daran die Inkommensurabilitàt von Seite und Diagonale nachweisen konnte. Die Antwort?) auf die erste Frage können wir an Abb. 4 ablesen, Mit Hilfe des Satzes über die Winkelsumme im Dreieck und über die *) Wir folgen dabei im wesentlichen Y, Heller [1 9).

Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck kann man alle Winkel dieser Figur als Vielfache von 36° berechnen. Man erkennt dann (aus der Umkehrung des Satzes über die Basiswinkel!), daß die Dreiecke EFD und C BG gleichschenklig sind. Wir haben also Fünfecks macht. In Abb. 5 sind Gi, Ga (BOHCF), Gy (GKLHJ) und t 0), F4 (KNOLM) eingezeichne An der Abbildung liest man nun sofort die folgenden Beziehungen zwischen den Seiten s, und den Diagonalen d, der Fünfecke ab: FD=ED=C0=CB=s, Damit ist aber die Möglichkeit einer Konstruktion der Figur durch „Einschiebung‘“ gegeben: Man zeichnet zuerst AB, das Mittellot dieser Strecke und den Kreis um 8 mit dem Radius AB. Jetzt schiebt man ein „Einschiebelineal“, auf dem die Strecke a markiert ist, zwischen dem Mittellot und dem Kreis um B so ein, daß auch A auf dem Lineal liegt. Liegt der (von A aus gezählte) erste Markierungspunkt auf dem Kreis (in F), so liefert uns der zweite auf dem Mittellot liegende Markierungspunkt die Ecke D. Entsprechend gewinnt man C (und GQ). E ist dann durch die Kreise um A und D mit s bestimmt. Nun ist eine Konstruktion mit dem Einschiebelineal etwas anderes als eine mit Zirkel und Lineal, und man darf annehmen, daß auch die Pythagoreer diesen Unterschied sahen. Immerhin: Dieses Verfahren lieferte ihnen die Existenz eines regulären Fünfecks, und daraus ist nun 8n = dy) — 80-1, dn =8n1- (5) Hätten nun 3, und d, ein gemeinsames Maß e, so wäre etwa 8, = M,-e,d,=N,-€ mit positiven ganzen Zahlen M, und N,. Daraus folgt nach (5) 8, =(N, —M,)-e = M,-e, dg=M,-e=Ny-e. (6) ist aber Dabei M,< M,, N¿<N,. Die Fortsetzung dieses Verfahrens führt auf Mar < Mn, Now < Nn. Dies Verfahren muß aber nach endlich vielen Schritten abbrechen, weil die M, und N, positive ganze Zahlen sind. Da man aber den AnlagerungsprozeB ad infinitum fortsetzen kann, ist die Annahme eines gemeinsamen Maßes e für die Seite und die Diagonale des regulären Fünfecks falsch. Es entsteht nun die interessante Frage, wie die „Mathematiker" unter den Epigonen des Pythagoras von diesen Einsichten weiterfanden zu der einfachen Beziehung d (d — s) = 8* (7) zwischen der Diagonale d und der Seite s des regulären Fünfecks. Diese Beziehung (7) ist ja die Grundlage fiir die Konstruktion nach dem „Goldenen Schnitt‘, die heute jedem Schüler bekannt ist. Von S. Heller [1 9] stammt eine recht plausible Hypothese über den Weg, der von den Einsichten des Hippasos zu der Gleichung (7) geführt hat. der Nachweis inkommensurabler Strecken nicht schwer. Dazu braucht man nur darauf hinzuweisen, daß man an ein beliebiges reguläres Fünfeck G, eine unendliche Folge immer kleinerer Fiinfecke $, anlagern kann (Abb. 5). Das geschieht so, daß man jeweils den kleineren Diagonalenabschnitt (CF beim ersten Fiinfeok %,) zur Seite des folgenden 10) Man erhält eine andere brauchbare Folge von Fúnfecken (,*, wenn man in Fi =G, alle fünf Diagonalen einzeichnet und damit ein neues, kleineres Fünfeck (%,* gewiant. Die Wiederholung dieses Verfahrens liefert dann eine Folge von Fünfecken, die zu den Fünfecken ungerader Nummer unseres ersten Verfahrens kongruent sind; nt = Gann

Sehr bald fanden die ‚Mathematiker‘ heraus, daß auch die Seite und die Diagonale eines Quadrats kein gemeinsames Maß haben. Der Nachweis wird auch in diesem Falle so geführt, daß man eine geeignete Folge von immer kleineren Quadraten herstellt. Hat das Quadrat Q, die Seite s, und die Diagonale d,, 80 ist Qu, definiert als das Quadrat mit der Seite d, — sn. Zwischen den beiden Quadraten bestehen nun, wie man sofort einsieht!!), die Relationen 8nt1= dn — Sn, dntr = 8n — Snti- Abb. 6 zeigt die Rauten R, und NR, dieser Folge. Man kann leicht zeigen, daB der Quotient da gegen |/2 konvergiert. n (8) ds Aus (8) kann man unschwer die Inkommensurabilität von Diagonale und Seite nachweisen. Sil Wichtig ist uns aber jetzt, daB man diese Ordnung der Konstruktion auch umkehren kann, Vertauscht man in (8) n mit n + 1, so gewinnt man damit dati = 28n + dn; 8n+1 = da + 8n. (9) Auf diese Weise hat man die Möglichkeit, eine Folge immer größer werdender Quadrate zu definieren. Man geht aus von einem willkürlich gewählten Quadrat Q,* als , Einheit'* mit der Seite s, und der Diagonale d, und konstruiert dann nach (9) die größeren Quadrate Q,”, o DD Der Sinn dieses Verfahrens ist nicht sofort ersichtlich. Aber hier hilft die ins Mythische zurückgreifende Philosophie der Pythagoreer weiter. Nach Theon von Smyrna trägt die , Einheit” (uovas) wie ein Samenkorn alle Eigenschaften des künftigen Lebewesens in sich. Sie ist in unserem Fall auch fähig, das Verhältnis von Durchmesser und Seite des Quadrata zu erzeugen. „Wie die Einheit bei allen Dingen gemäß dem obersten und dem einem Samenkorn ähnlichen Verhältnis am Anfang steht, so wird auch das Verhältnis von Durchmesser zur Seite in der Einheit gefunden.“ Das heißt praktisch: Man kann sich auch eine Folge von Vierecken herstellen, bei der in der „Einheit“, also im ersten Viereck, die Seite gleich der Diagonalen ist. Dieses „Samenkorn“ ist also kein Quadrat, sondern eine Raute. Mit Hilfe von (9) kann man nun aus dieser ‚Einheit‘ neue Rauten gewinnen, die nun allerdings einem Quadrat immer „ähnlicher“ werden. Nach (9) gewinnt man für die Maßzahlen dieser Rauten Ra: dn, Sn 2 5 12 3 7 17 R, | 29 41 Ra Ri Ri u) Vgl, [A 12] 8. 10. 10 R, Abb. 6 Aus (9) folgt niimlich 28,3 — dit = (— It, (10) also (in moderner Terminologie) de* = 2, n—+co Sn Wir wollen den Beweis fir die Beziehung (10) hier nicht bringen, um Wiederholungen zu vermeiden. Für Fünfecke soll nämlich gleich eine ähnliche Aussage abgeleitet werden 13), Nach einer durchaus einleuchtenden Vermutung von 3, Heller [19] dürften die Pythagoreer auf eine ähnliche Weise über eine Folge von Fünfecken zur Entdeckung des „Goldenen Sohnittes'* gekommen sein. Beim Nachweis der Inkommensurabilität von Diagonale und Seite des Fünfecks hatten wir eine Folge von immer kleiner werdenden Fünfecken benutzt. Kehren wir — ähnlich wie im Falle des Quadrats — die Ordnung in der Erzeugung der Fünfecke um! Vertauscht man in (5) n mitn — 1, so hat man in dy = 8n-1 + dan; 8n = dan (11) das Bildungsgesetz einer Folge von Fünfecken mit wachsender Größe der Seiten und Diagonalen. Auch hier kann man sich nun als „Samen“ oder ‚Einheit‘ ein Fünfeck denken, bei dem s =d= 1 gilt. Dann gewinnt man aus (11) für die 12) Den schon bei T'heon von Smyrna verzeichneten Beweis von (10) findet man 2. B. bei vun der Wuerden [1 6] 8. 207.

Yolge") (nicht reguliirer!) Finfecke #, die folgenden Zuhlen für dio Seiten bzw. Diagonalen: PEL 4! eis 2 di | 1 | 2] 38 | 5 } 5 | 1.106 8 a 8 | 13 | 2 Der Boweis kann leicht durch vollständige Induktion geführt werden. (12) ist offenbar richtig für n = 1: Hier ist ja d, = 4, = 1. Nehmen wir an, daß (12) richtig sei für n = & — 1: | 34 | ... des (dea — 82) — Pr.1 = (— 1, (13) Nach (11) folgt daraus: 8x3 — sk (dy — 8x) — (de — a)? = (— 1) oder dy (dx — 8x) — sx? = (— 1}. Also gilt (12) für alle natürlichen Zahlen n. h Wir haben hier!*) das Prinzip der vollständigen Induktion benutzt. Kann man annehmen, daß das schon den Pythagoreern bekannt war1 Es wird oft behauptet, daß Pascal!®) als erster dieses Beweismittel benutzt habe. Nach van der Waerden ([I 6], 8. 207) haben aber tatsiichlich schon die Pythagoreer die Beziehung (10) durch einen Schluß begründet, den man als „Induktion“ bezeichnen darf. Danach ist es auch denkbar, daß auch auf dem Wege zur stetigen Teilung ein solches Verfahren benutzt wurde, Aus der Gleichung (10) kann ınan auf die für das Quadrat gültige Relation d* = 2 a* schließen. Es liegt deshalb nahe, wegen (12) die Gültigkeit von (7) für das reguläre Fünfeck zu verf, muten. Diese Formel läßt sich geometrisch so interpretieren: Abb. 7 zeigt die Fünfecke #,, Fa und #,. Auch hier lehrt die Anschauung, duf die Fiinfecke mit wachsender Nummer n dem regulären immer „ühnlicher‘‘ worden. Um diese vage Formulierung durch eine präzise Aussage zu ersetzen, wollen wir aus (11) die Relation PR NES EP ableiten : pesa \ > 12 vai Durch das Abtragen der Seite 8n auf der Diagonalen d, eines Fünjecks der Folge Fn wird die Diagonale so geteilt, daß dus Rechteck aus der Diagonalen und ihrem kleineren Abschnitt abwechselnd um die Binheit yrößer oder kleiner ist als dus Quadrat über dem größeren Abschnitt sn. 14) Dio Folge an ist die bekannte Fibonaoci-Folge Fib (n), die durch die Differonzengleich = Fib (n + 1) = Vib (n) + Fib (n — 1) Trägt man im regulären Fünfeck die Seite auf der Diagonale ab, so wird die Diagonale so geteilt, daß das Rechteck aus der Diagonalen und der Differenz gleich dem Quadrat über der Seite iat. Es dürfte den ,,Mathematikern' unter den Jüngern des Pythagoras nicht schwergefallen sein, die Durchführung dieser heute unter der Bezeichnung „Goldener Schnitt“ jedem Gymnasiasten bekannten Teilung mit Zirkel und Lineal korrekt auszuführen. S. Heller weist darauf hin, daß die Durchführung ähnlicher Konstruktionen damals schon geläufig war. Es kam also nur darauf an, die Gültigkeit von (7) herauszufinden, Vorlüufig haben wir aber nur die Vermutung plausibel gemacht, daß (7) richtig sei. Der vollständige Beweis macht aber jetzt keine Schwierigkeiten. Man kann ntimlioh leicht zeigen (das steht schon im ,,Euklid" IV 10), daB ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis gleich dem und die Anfangsbedingungen Fib (1) = Fib (2) = 1 charakterisiert ist. Vúr du gilt: da == Vib (n + 1). Das folgt sofort aus (11). Über die Eigenschaft dieser Folge siehe en z. B. [I 10], 8. 17. 12 14) 9. Heller verzichtet auf den Induktionsschluß. 14) Siehe dazu Kap. IVI

größeren Abschnitt des stetig geteilten Schenkels ist, eben jene Winkeleigenschaft hat, die für das Dreieck ACD (Abb. 4) im regulären Fünfeck charakteristisch ist: Die Basiswinkel dieses Dreiecks sind doppelt so groß wie der Winkel an der Spitze, Archimedes hat einmal gesagt, daß derjenige, der einen Lehrsatz als erster ohne Beweis ausspricht, kein geringeres Verdienst hat ala derjenige, der als erster den Satz beweist. Diese These wird durch die Geschichte der stetigen Teilung bestätigt. In unserem Fall bestand in der Tat die wesentliche Schwierigkeit darin, die Relation (7) erst einmal herauszufinden. War sio als Vermutung ausgesprochen, so fiel os nicht mehr schwer, sie zu beweisen. Cf. H. Meschkowski: Denkweisen großer Mathematiker. Braunschweig 1963, 4: Hinsichtlich der Frage, ob der pythagoreische Lehrsarz auf geometrischem “ oder auf zahlentheoretischem Wege gefunden wurde, fällt auf, daß diejenigen, die die griechische Mathematik als autochthone Leistung ansehen, für dic erstere, diejenigen, sie auf orientalische Einflüsse bezieben, fur die letztere Auffassung eintreten.