"Die Muse der Pythagoreer" zur Fruhgeschichte der Geometrie

“Dre Muse per PyTHAGOPEER’ SZAPO+ APPAD Hıstorıa MATH.» 1974, Le ANGUAGES: GERMAN Document Tree: Pevrewerp: H. Summapy Zur FPUHGESCHICHTE è ¿31 - LANGUAGES: DEP GEDMETPRIE 316. ENGLISH AND HUNGARIAN JOURNAL L. L. Busaro ‘Vento? when rm qreas (|Caglish fraah hungarian.) Yen F9 WAS pa sz ara, Vaya SUMMARIES Den Ausgargspunkt der Arbeit bildet der Kommentar des Proklos zum Satz Euklid Elemente I 44 liber die sog. parabolischen, elliptischen, und hyperbolischen Flächeanlegungen, als Uber Pythagoreischen Muse." "Entdeckungen der alten Der vorliegende Aufsatz behandelt vor allem die Sätze II 5, €, 11 und lé, und weist ihren Ursprunc aus der puthagoreischen Proportionenlehre nach. Die genannten Sätze haben in voreudoxischer Zeit die geometrische Lösung solcher Probleme ermöslicht, die mit den früherer Methoden der bloss arithmetischen Proportionenlehre nicht zu lösen waren. The pessage from Proclus' commentary to Euclid's Elements I ¢¢ mentions the parabolic, ellipzical and huperbolie applications of areas as “oid discoveries of the Muse of the Futhagorsans.” In that connection the present article deals with the propositions: Elemente ZI 5, €, Zi, and lé, pcinting out their origin in the Pythagorean theory of proportions. Provided in pre-Eudsxian times that could not be sclvec by These propositions the solution of problems the earlier methods of the theory of proportions for numbers onlu. Proklos az euxlidészi "Elemek" I 44 tételéhez irt megjeguzésében beszél a pythagoreusok muzsäjänak találmányáról: az un. parabolikus, elliptikus és hyperbolikus felület-hozzäillesztösekröl. A dolgozat ezzel kapcsolatban foként az Elemek II 5, 6, il és 14 tételeit térgyalja és kimutatja, hogy ezeknek a tételeknek a fUlállitására a régi arányelméletnek olyan problémái adtak alkalmat, amelyeket pusztán aritmetikai mödszerekkel az Eudoxost megelözö korban megoldani nem tudtak.

HISTORId MATHEMATICA 291-316 "DIE MUSEDERPYTHAGOREER" [II ZUR FRtiHGESCHICHTE BY ARPAD SZAB~, DER GEOMETRIE BUDAPEST SUMMARIES Den Ausgangspunkt der Arbsit bildet der Kommentar des Proklos zum Satz. Euklid EZemente I44 iiber die sog. parabolischen, eZZiptischen, und hyperboZischen FXicheanlegungen, als Uber "Entdeckungen der alten pythagoreischen Muse." Der vorliegende dufsatz behandelt vor allem die S;itze II 5, 6, 22 und 24, und weist ihren Ursprung aus der pythagoreischen Proportionenlehre nach. Die genannten S3tze haben in voreudoxischer Zeit die geometrische L&sung solcher Probleme ertiglicht, die mit den friiheren Methoden der bloss arithmetischen Proportionenlehre nicht zu l&en waren. The passage from Proclus' commentary to Euclid's the parabolic, eZZipticaZ and applications of areas as "old discoveries of the Muse of the Pythagoreans." In that connection the present article deals with the propositions: Elements II 5, 6, IZ, and 24, pointing out their origin in the Pythagorean theory of proportions. These propositions provided in pre-Eudoxian times the solution of problems that could not be solved by the earlier methods of the theory of proportions for numbers only. Elements hyperbolic 1 44 mentions Proklos az euklideszi "Elemek" I 44 tktelGhez irt megjegyz&gben beszdl a pythagoreusok muzsdjdnak taldlmdnydr61: az un. par&o Zikus, e 2 Ziptikus 6s hyperbolikus felUlet-hozz6illeszt&sek&. A dolgozat ezzel kapcsolatban fijkdnt az Elemek II 5, 6, 11 6s 24 teteleit ttirgyalja 6s kimutatja, hogy ezeknek a tdteleknek a fLWillit&dra a r6gi ardnyelm&etnek olyan problhmdi adtak alkalmat, amelyeket pusztdn aritmetikai mddszerekkel az Eudoxost megelaz8 korban megoldani nem tudtak. Man liest im trefflichen Kommentar des Proklos, anlZisslich des Euklidischen Satzes Elem. I 44, den folgenden interessanten Bericht : [ 21 “Einer Tradition zufolge, die auf Eudemos zurlickgeht, [3] sind das uralte Entdeckungen der pythagoreischen Muse, die

'FlZichenparabel ceinfache Flachenanlegung>, die 'Hyperbel' <FlUchenanlegung mit Uberschuss>, und die 'Ellipse' < FlPchenanlegung mit Fehlen>. Von diesen entlehnten die Neueren die Namen und Ubertrugen sie such auf die sogenannten konischen Linien < Kegelschnitte> und nannten such von diesen die eine Parabel, die andere Hyperbel und die dritte Ellipse, wlhrend jene alten ehrwtirdigen Manner die mit diesen Namen bezeichneten Gebilde in der Anlage ebener Flachen an eine Strecke erblickten. Wenn nBmlich eine Gerade gegeben ist, und man die gegebene FlPche der ganzen Geraden antlang sich erstrecken lasst, dann nennt man das 'die Flache anlegen' (napa86hhe~u); macht man aber die 'Lange' der Flache grosser als die der Geraden selbst, dann spricht man von einem 'Hinausgehen' darliber (bn~pf36Xhc\u); und macht man sie kleiner, so dass ein Teil der Geraden Uber die gezeichnete Flache hinausragt, von einer 'Verklirzung' (~~XE(~EXU). In diesem Sinne spricht Euklid im VI. Buch von der 'Hyperbel' (VI 29) und von der 'Ellipse' (VI 28!, hier aber benCrtigte er die 'Parabel,' wo er an eine Strecke ein, einem gegebenen Dreieck gleiches Parallelogramm anlegen wollte...." Es haben zahlreiche Historiker die aussergewbhnliche Bedeutung dieser Worte fur die Rekonstruktion der altpythagoreischen Wissenschaft, und schon 1Ungst erkannt. Es w&-e such leicht, aus der bekannten und heute in Fachkreisen Uberall gelesenen modernen Literatur hier sogleich zweifellos richtige Feststellungen im Zusammenhang mit dem angefuhrten Bericht namhaft zu machen. Ich denke an solche Beobachtungen, die nicht nur als communis opinio gelten, sondern die such ich selber nur lebhaft bejahen und unterstreichen ktlnnte. Aber soviel ich Weiss, hat doch bisher noch neimand versucht, die im Bericht erwahnten Euklidischen Sltze geometrisch eingehender zu interpretieren und ihren Ursprung bloss auf Grund der 'Elemente' selbst zu rekonstruieren. - Darum will ich hier zunachst das bisher Verslumte nachholen. Ich interpretiere also vor allem die im obigen Bericht erwahnten Euklidischen Satze. [4] In der Interpretation folge ich Uberall treu und genau dem antiken Gedankengang. Nur die Bezeichnungsart werde ich etwas vereinfachen, urn das Lesen such fur diejenigen, die an mathematische Texte weniger gewohnt sind, zu erleichtern. Das heisst: ich werde zwar, wo es nlltig ist, jene geometrische Symbolsprache, die in den Gymnasien Ublich ist, keineswegs ausser acht lassen. Aber in der Benutzung von Buchstaben, urn geometrische Figuren zu bezeichnen, werde ich sparsamer als Euklid umgehen. Denn ich will vor allem die Gedankenfihrung selbst so klar und pragnant, wie nur mbglich, herausstellen. Und ich Weiss aus Erfahrung, wie in der Elementargeometrie eben das allzu hzufige BenUtzen von Buchstaben die Aufmerksamkeit dessen, der nicht daran gewUhnt ist, ermlidet. - Dann will ich versuchen, auf jene Probleme hinzuweisen, die zur Aufstellung der fraglichen Satze geflihrt haben mi%gen. Dabei verzichte ich einstweilen vbllig auf die Auseinandersetzung mit der parallelen Forschung.

der Geometrie 293 I. Der Satz Elem. I 44 stellt die Aufgabe: "An eine gegebene Strecke ein einem gegebenen Dreieck gleiches Parallelogramm in einem gegebenen geradlinigen Winkel anzulegen." Nachdem an einer Figur (hier Abb. 1) die drei Data: die Strecke a, das Dreieck C und der geradlinige Winkel D gezeigt, sowie die Aufgabe erklart wurde, besteht die Losung aus einem vorbereitenden und einem Hauptteil. Als vorbereitender Teil wird ein dem Dreieck c flachengleiches Parallelogramm mit dem Winkel D konstruiert. Euklid beniitzt dazu einen vorangehenden Satz: I 42: "Ein einem gegebenen Dreieck gleiches Parallelogramm in einem gegebenen geradlinigen Winkel zu errichten," der seinerseits den ihm vorangehenden Satz zur Anwendung gebracht hatte: ABP. 4 I 41: "Wenn ein Parallelogramm mit einem Dreieck dieselbe Grundlinie hat und zwischen denselben Parallelen liegt, ist das Parallelogramm doppelt so gross, wie das Dreieck." (Man erseiht daraus such, wie bei Euklid die SItze sorgfaltig aufeinander gebaut werden.) Der Kauptteil der Ltfsung besteht aus den folgenden vier Schritten: Parallelogramm (waagerecht a> 1st das dem Dreieck c gleiche schraffiert in unserer Abb. 1 hergestellt, dann wird es zunPchst so angebracht, dass seine langere Seite die Fortsetzung der gegebenen Strecke a (in der Richtung nach oben hinauf) bilde. b) Danach konstruiert man mit der kUrzeren Seite des waagerecht schraffierten Parallelogramms und mit der gegebenen Strecke a das kleine Rhomboid (links von a). c) Die Diagonale dieses kleinen Rhomboids wird verlgngert und sie schneidet in Punkt K die Verlxngerung der anderen kurzen Seite des schraffierten Parallelogramms. d) Hat man den Punkt K gewonnen, dann kann man -- unter BenLitzung dieses Punktes -- mit noch drei Parallelen (von denen die zwei waagerechten bloss 'Verlangerungen' sind) schon die ganze Abb. 1 fertigkriegen.

A. Szab6 Fasse man nun dbb. 1 ins Auge. Man hat ein grosses Rhomboid vor sich, das durch seine Diagonale halbiert wird. [7] Urn diesclbe Diagonale liegen jedoch such zwei kleinere Rhomboide Diese (leere Flgchen in Abb. I>, die ebenso halbiert werden. letzteren heissen nach der Euklidischen Terminologie: ‘die um die Diagonale liegenden Parallelogramme.' [8] Aus der Tatsache jedoch, dass durch dieselbe Diagonale sowohl das grosse Rhomboid, wie such die beiden kleineren Rhomboide halbiert werden, folgt, das die beiden schraffierten Parallelogramme der Figur (die sag. Eben diese 'Erganzungen') untereinander gleich sein miissen. Tatsache wird bei Euklid im vorangehenden Satz ausgesprochen: I 43: "In jedem (napankqp6paTa) Parallelogramme Parallelogramm sind der urn die Diagonale einander gleich." die Erganzungen liegenden 1st jedoch das (dem Dreieck c gleiche) waagerecht schraffierte Parallelogramm in dbb. 1 dem anderen (mit Wellenlinien schraffierten) gleich, so wurde -- im Sinne der gestellten Aufgabe -- die gegebene Flliche (C) an die gegebene Strecke (a) angelegt. Fragt man sich nun, wie die eben zusammengefasste geistreiche Konstruktion einst gefunden wurde, so liegt die Vermutung nahe: wohl eben auf umgekehrten Wege, und nicht so, wie die einzelnen Schritte der Konstruktion in der obigen zusammenfassung nacheinander kamen. Nachdem man wusste, dass jedes Parallelogramm durch seine Diagonale halbiert wird, erkannte man zunachst wohl, dass jene Linien, die beiden, zu den Seiten des Parallelogramms parallelen sich in einem beliebigen Punkt der Diagonale schneiden, [lo] urn die Diagonale' nicht nur die kleineren, sog. 'Parallelogramme erzeugen, sondern dass dabei such die ‘Erganzungen’ der letzteren (die napashr$uaTa) untereinander gleich sein mifssen. Eben diese Tatsache ermbglichte die gewllnschte Konstruktion. Jene FlPche (=ein Parallelogramm), die man in ihr Gleiches (doch mit anderen Seiten) verwandeln wollte, wurde als die eine ‘Erganzung’ (waagerecht schraffiertes Parallelogramm auf Abb. 1) aufgefasst; und die gegebene Strecke a (an die man das vorige Parallelogramm anlegen sollte) wurde die eine Seite des anderen gesuchten Parallelogramms (des mit Wellenlinien schraffierten). Versucht man nun den vermutlichen historischen Ursprung derselben Konstruktion noch weiter wiederzugewinnen, so fallen zunachst die folgenden drei Tatsachen auf: 1. Die Flache, die man an eine gegebene Strecke anlegen ~011, ist als ein Dreieck (Cl gegeben; wohl nur deswegen, weil jede geradlinige Figur sich in Dreiecke auflbsen 1Psst. Kann man also die gestellte Aufgabe im Falle eines Dreiecks lasen, so

der Geometrie 295 llsst sich auf demselben Wege such die Flschenanlegung jeder geradlinigen Figur ausfiihren. 2. Die Figur, die man bekommen ~011, ist doch ein Parallelogranan; und dazu noch 3. ein Parallelogramm mit einem 'gegebenen geradlinigen Winkel.' Diese auffallenden Einzelheiten sind wohl nur darauf zurUckzufUhren, dass der Verfasser der ‘Elemente’ die grijsstm6gliche Allgemeingliltigkeit erstrebt hatte. Gewijhnlich stellt man sich eine ‘FlKche’ nicht als ein Dreieck, sondern eher als ein Rechteck (=rechtwinkliges Parallelogramm) vor. (Auch im alltzglichen Leben bekommt man ein Fllchenmass eben dadurch, dass und ‘Breite’ miteinander multipliziert; und diese Regel man ‘LPnge’ gilt eigentlich nur fUr Rechtecke.) -- Ich vermute also, dass ursprunglich der Satz I 44 hiess: [ll] “Wie verwandelt man ein Rechteck mit b und c in ein anderes flachengleiches eine Seite a ebenfalls gegeben ist?” Man hat gel&t, diese Aufgabe im Sinne jener die eben behandelt wurde. den gegebenen Seiten Rechteck, dessen allgemeingUltigen Konstruktion * * * Es wgre nun durchaus mbglich, das Verwandeln eines gegebenen Rechtecks in ein anderes, ihm fl?ichengleiches, von dem nur die eine Seite bekannt ist, fur eine Aufgabe rein praktisch-geometrischen Ursprungs zu halten. Aber ich glaube nicht, dass man das geschickte LUsen einer bloss praktischen Aufgabe in der Antike jemals als ‘Erfindung der Muse’ bezeichnet hgtte. Man wird die eben behandelte Flgchenanlegung eher von irgendeinem theoretischen Gesichtspunkt aus fur wichtig gehalten haben. Man kann such diese theoretische Bedeutung der fraglichen LUsung leicht einsehen, wenn man einige Tatsachen der antiken Mathematikgeschichte nicht aus dem Auge verliert. Wie bekannt, hat einen sehr wesentlichen Kern der voreuklidischen Mathematik der Griechen die Proportionenlehre gebildet. Wie 0. Toeplitz einst schrieb: “Der Begriff der Proportion spielt in der griechischen Mathematik eine weit grossere Rolle als in der heutigen, such wie die Schule sie lehrt; denn der Grieche kleidet vieles in die Sprache der Proportionen, was wir durch den Formalismus der Rechenregeln ausdrllcken. Etc.” [12] Ich glaube such schon nachgewiesen zu haben, wie sich diese Proportionenlehre -- mindestens in grossen ZUgen -- entfaltet hatte. [13] Die wissenschaftliche Terminologie spricht eindeutig dafUr, dass die Proportionenlehre, die bei Euklid vorliegt, ursprunglich einen Teil der Musiktheorie gebildet hatte. Erst spster wurde die musikalische Proportionenlehre in der Arithmetik und nachher in der Geometrie weiterentwickelt. -- Ich vermute nun, dass such das Problem der pythagoreischen Fltichenanlegung (Elem. I44)

A. Szab6 historisch aus der arithmetischen Proportionenlehre war. Man fasse nBmlich den folgenden Euklidischen entstanden Satz ins Auge: "Bei drei qeqebenen Zahlen zu priifen, ob es IX 13: moqlich ist, zu ihnen eine vierte proportionale Zahl zu finden." Zum GlUck brauchen wir auf die Euklidische Behandlung dieses Satzes nicht n'dher einzugehen. [14] FUr uns wichtig ist aus diesem Theorem nur folgendes: Sind a, b, und c natiirliche Zahlen, dann gibt es eine (ganze) Zahl x flir die Proportion a:b = c:x nur dann, wenn das Produkt bc durch a teilbar ist; sonst ist es eben nicht tiqlich, zu den drei gegebenen Zahlen eine 'vierte proportionale Zahl' zu finden. Einen Spezialfall zu diesem Theorem bildet der vorangehende Satz: Ix 18: moqlich finden." "Bei ist, zwei qeqebenen Zahlen zu p&fen, ob es zu ihnen eine dritte proportionale Zahl zu Auch an diesem Theorem ist for uns nur das folgende wesentlich: [l!i] Sind a und b natilrliche Zahlen, dann gibt es eine ganze Zahl y ftlr die Proportion a:b = b:y nur dann, wenn b2 durch a teilbar ist. (An einem numerischen Beispiel illustriert: es gibt eine 'dritte proportionale Zahl' fir die Proportion 9:6 = 6:y, weil 6.6/9 = y = 4 ist.) Es geht also aus den eben zitierten arithmetischen Sltzen hervor, dass eine 'vierte proportionale Zahl' zu drei gegebenen Zahlen (bzw. eine 'dritte proportionale Zahl' zu zwei gegebenen Zahlen) nur unter qewissen Bedinqunqen existiert. (Sind die notwendigen Bedingungen nicht vorhanden, dann kUnnte man nur irgenwelche arithmetischen iiquivalente der betreffenden Aufgaben losen, indem man z.B. die gegebenen Zahlen durch ihre geeigneten Mehrfachen ersetzt.) Aber es gibt gar keine solchen einschrankenden Bedingungen, wenn man anstatt 'Zahlen' mit 'Strecken' arbeitet, und wenn die Aufgabe nicht arithmetisch sondern qeometrisch behandelt wird. Eben das Konstruieren der 'Vierten Proportionale' bzw. dasjenige der 'Dritten Proportionale' wird in den folgenden Satzen der 'Elemente' verlangt: VI 12: "Zu drei zu finden," qeqebenen Strecken die Vierte Proportionale VI 11: "Zu zwei qeqebenen Strecken zu finden." die Dritte Proportionale und Die Lbsung dieser Aufgaben ist bei Euklid beinahe dieselbe, die such heute noch in der Schule gelehrt wird. Man bekommt n%mlich die ‘Vierte Proportionale’ zu drei gegebenen Strecken folgendermassen (s. Abb. 2): Man zieht zwei gerade Linien,

Geometrie 297 einen beliebigen Winkel umfassen, und es werden auf der einen Linie die beiden gegebenen Strecken a und b hintereinander ia + b = AC), wghrend auf der anderen die Strecke c abgetragen. Dann verbindet man die Punkte B und D, und man zieht zur Strecke BD vom Punkt C ab die Parallele CE. So bekommt man die Strecke DE = x, die ‘Vierte Proportionale’ zu den gegebenen Strecken, so dass a:b = c:x wird. Denn im Dreieck AEC is ja die Strecke BD parallel zu CE und nach einem’ Satz des Buches VI: VI 2: parallel Linie, seiten "Zieht man in einem Dreieck zu einer Seite eine gerade so teilt diese die Dreiecksproportional." Die Konstruktion der ‘Dritten Proportionale’ unterscheidet sich von der vorigen nur darin, dass anstatt der Strecke c in diesem Fall noch einmal die Strecke b auf der anderen Linie abgetragen wird (s. Abb. 3), und so bekommt man mit denselben Schritten, wie bei der vorigen Konstruktion, diesmal y, wobei a:b = b:y ist. Man darf jedoch bei diesen KonstrukABB. 3 tionen folgendes nicht aus dem Auge verlieren. Werden zwei oder drei beliebige Strecken bloss in sich selbst gegeben, so wird man von vornherein nicht entscheiden kijnnen, ob diese untereinander iiberhaupt kommensurabel sind. Streng beweisbar ist also die eben skizzierte Konstruktion nur dann, wenn der Begriff ‘Proportion’ such fiir inkommensurable Grijssen definiert ist. Auf Grund einer solchen Definition, wie im Buch VII der ‘Elemente.’ VII def. 20: "Zahlen stehen in Proportion, wenn die erste von der zweiten Gleichvielfaches oder derselbe Teil oder dieselbe Menge von Teilen ist , wie die dritte von der vierten," kbnnte man die Konstruktionen VI 12 und VI 11 nie beweisen. Eben deswegen wurden diese erst im Buch VI der ‘Elemente’ behandelt, nachdem nzmlich ihnen die allgemeingllltige Definition der ‘Proportion’ am Anfang des Buches V schon vorausgeschickt wurde: V def. 5: "Man sagt, dass Grijssen in demselben Verhaltnis stehen, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger VervielfXltigung die Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten und vierten gegenuber, paarweise

A. Szab6 entsprechend genonunen, entweder zugleich grosser zugleich gleich oder zugleich kleiner sind." oder Nachdem nun -- im Sinne eines Scholions [16] -- das Buch V der Euklidischen ‘Elemente’ mindestens im wesentlichen als das Werk des Eudoxos gilt, [17] schreibt man gewijhnlich such die eben zitierte Definition dem Eudoxos zu, da gerade diese den wichtigsten Grundpfeiler der allgemeinen Proportionenlehre im Buch V bildet. Mit anderen Worten heisst dies such soviel: selbst wenn man die geometrische Konstruktion der ‘Vierten und Dritten Proportionale’ (VI 12 und,ll) auf naiv-intuitivem Wege frilher gefunden hatte -- was nach dem Vorbild der einfachen Proportionenlehre filr Zahlen (im VII. und VIII. Buch der ‘Elemente’) wohl mijglich ware --, such dann wurde der exakte Beweis der gennanten Konstruktionen erst nach Eudoxos, eben auf Grund der angefilhrten Definition maglich.Man hat also zun;ichst den Eindruck, dass die Griechen jene arithmetischen Aufgaben, die im Sinne der Satze IX 18 und 19 nicht l&bar waren, such geometrisch -- mindestens tadellos -- erst nach Eudoxos zu li3sen gelernt hltten. Aber dennoch hat man das Problem der ‘Vierten und Dritten Proportionale’ -- iiber die rein arithmetischen Satze IX 19 und 18 hinausgehend (also: allgemeingiiltig) -- such vor Eudoxos schon vollkommen exakt zu lijsen vermocht. Die vorhin behandelte (parabolische) Flachenanlegung ermiSglicht ja eben die allgemeine L&sung dieser arithmetisch nicht immer lijsbaren Aufgabe.Man denke n;imlich an den folgenden, sehr einfachen Satz der Proportionenlehre (fiir Zahlen): "S&hen vier Zahlen in Proportion, dann muss das VII 19: Produkt aus der ersten und vierten dem Produkt aus der zweiten und dritten gleich sein; und wenn das Produkt aus der ersten und vierten Zahl dem aus der zweiten und dritten gleich ist, dann miissen die vier Zahlen in Proportion stehen." Wenn also a:b = c:d ist, dann such ad = bc, und umgekehrt. Nachdem jedoch das Produkt zweier Zahlen geometrisch immer ein [18] kann man eine viergliedrige Proportion Rechteck bedeutet, such als die Gleichheit von zweien Rechtecken auffassen. [lg] Und eben darum: sucht man zu drei gegebenen Zahlen (a, b, c) die ‘Vierte Proportionale’ (arb = c:x), so kann man diese Gegeben ist ein Rechteck mit Aufgabe geometrisch so auffassen: den Seiten b und c, und dieses Rechteck sol1 man an die gegebene Strecke a (parabolisch) anlegen, damit man zu bc ein anderes, [Oder wenn man zu zwei ihm flachengleiches Rechteck axbekomme. gegebenen Zahlen, a und b, die ‘Dritte Proportionale’ sucht -a:b = b:y --, dann sagt man: Gegeben ist ein Quadrat, b2, und dieses Quadrat sol1 man an die gegebene Strecke a als flachengleiches Rechteck (ay) anlegen.]

Geometrie 299 Ich fasse also die einfachste und gewzhnlichste FlZchenanlegung der Pythagoreer -- den Satz Elem. I 44 -- als die allgemeine (geometrische) Losung der ‘Vierten und Dritten Proportionale,’ bzw. genauer: als die L&sung des iquivalentes einer solchen dufgabe auf, die man in der Arithmetik nur unter gewissen Bedingungen zu l&en vermocht hatte (vgl. IX 19 und 18). Die geometrischeTransformationeiner arithmetischen Aufgabe war -- im Falle der einfachen (parabolischen) Flgchenanlegung -geistreich undinteressant; aber wirklich bedeutend wurde dieselbe Transformation erst im Falle der elliptischen und hyperbolischen Fl%ichenanlegung. II. Der eingangs zitierte Euklid von der ‘Ellipse’ In der Tat wird dort die Aufgabe in der folgenden Bericht des Proklos erwlhnt, dass und der ‘Hyperbel’ im VI. Buch redet. ‘elliptische Fl%chenanlegung’ als Form gestellt: VI 28: "An eine gegebene Strecke ein einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches Parallelogramm so anzulegen, dass ein einem gegebenen ;ihnliches Parallelogramm fehlt, etc." Dagegen heisst die Aufgabe der ‘hyperbolischen Flgchenanlegung’: VI 29: "An eine gegebene Strecke ein einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches Parallelogramm so anzulegen, dass ein einem gegebenen shnliches Parallelogranzn Uberschiesst." Anstatt diese %tze sogleich eingehender zu behandeln, mochte hier zunlchst auf die folgenden Tatsachen aufmerksam machen. Die ‘elliptische FlPchenanlegung’ wird insgesamt vierzehnmal als Hilfssatz in den ‘Elementen’ benlitzt. Und man findet alle diese vierzehn Fxlle im Buch X. [20] Man hat also zunBchts den Eindruck, dass man die wahre Bedeutung dieses Satzes (VI 28) such gar nicht richtig ermessen ktlnnte, ohne dabei gleichzeitig such das allerschwerste (und vielleicht such das allerschanste!) Buch der gesamten Euklidischen ‘Elemente,’ ngmlich das Buch X zu berUcksichtigen.Es steht dagagen vtlllig anders um die ‘hyperbolische Flachenanlegung’ (VI 29); diese wird nur ein einziges Ma1 in den ‘Elementen,’ namlich als Hilfssatz zur Lbsung der Aufgabt VI 30 angewendet. Und das Theorem VI 30 (diestetigeTeilung) ist doch nur eine Variante zwn Satz 11 ll.Eben diese letztere Beobachtung ermoglicht die folgende VereinfachungmeinerAufgabe -- vallig im Einklang mit der gesamten einschMgigen modernen Literatur. T. L. Heath bemerkte anlPsslich der ‘elliptischen FlBchenanlegung’ (VI 28), dass ein Spezialfall dieser Aufgabe hiesse:

A. Szab6 “An eine gegebene Strecke ein einer geradlinigen Figur gleiches Rechteck dabei ein Quadrat fehlt," HMl gegebenen so anzulegen, dass und dass man diese spezielle Form der Aufgabe mit Hilfe des Satzes 11 5 16sen kbnnte. [21] Ebenso bemerkte er anlzsslich der ‘hyperbolischen Fllchenanlegung’ (VI 29), dass eine Spezialform dieser anderen Aufgabe wire: “An eine gegebene Strecke ein einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches Rechteck so anzulegen, dass dabei ein Quadrat iiberschiesst," und dass man diese andere Aufgabe mit Hilfe des Satzes II 6 l&en konnte. [22] Es w&e selbstverstandlich mtSglich, zahlreiche Belege daftir namhaft zu machen, dass heute in der Fachliteratur die beiden Sltze II 5 und II 6 einstimmig als einfachere Varianten, oder als Spezialfllle zu den Stitzen VI 28 und VI 29 gelten. [23]Man darf dabei die wesentlichen Unterschiede zwischen den SBtzen im Buch II einerseits, und denjenigen im Buch VI andrerseits nattirlich nicht verwischen. Es handelt sich nicht bloss darum, dass die Siltze im Buch VI allgemeingtiltiger sind und mit Proportionen arbeiten, wBhrend die ihnen entsprechenden SPtze im Buch II begrenztere Spezialfzlle darstellen, und sich des Begriffes ‘Proportion’ gar nicht bedienen. Ausserdem sind II 5 und II 6 einfache bewiesene Theoreme, wahrend man es in den ihnen entsprechenden VI 28 und JI 29 mit. Konstruktionsaufgaben zu tun hat.Aber ich glaube dennoch das Problem der ‘elliptischen Flgchenanlegung’ anstatt VI 28 an Hand des Satzes II 5 und das jenige der ‘hyperbolischen Flachenanlegung’ anstatt VI 29 an Hand des anderen Satzes, II 6 erlirtern zu dUrfen, obwohl es zugegeben werden muss: es gibt kein Wort in den Satzen II 5 und II 6, das auf die ‘Ellipse’ bzw. auf die ‘Hyperbel’ hinweisen wtirde . * * * Bevor ich nun den Euklidischen Wortlaut der ‘elliptischen’ und der ‘hyperbolischen Fllchenanlegung’ (II 5 und II 6) zitierte, mochte ich hier zunlchst an den vermutlichen Ursprung dieser Satze erinnern, wie ich diesen in den letzten Jahren such schon in zwei verschiedenen Arbeiten zu rekonstruieren versucht hatte. [24] (Man fasse zum folgenden noch einmal die obige Abb. 1 ins Auge.) Die pythagoreischen Flgchenanlegungen gehen von den folgenden Tatsachen aus: a) Jedes Parallelogramm wird durch seine Diagonale halbiert (I 34). b) Zieht man durch einen beliebigen Punkt der Diagonale -auf unserer Abb. 1 durch jenen Punkt, in dem die beiden

301 Geometrie Scheitelwinkel D sich bertlhren -- zwei Parallelen zu den beiden nebeneinanderliegenden Seiten des Parallelogramms, so entstehen ingesamt vier neue Parallelogramme, von denen c) die beiden ‘um die Diagonale liegenden Parallelogramme’ sowohl untereinander, wie such dem ursprijnglichen Parallelogramm ahnlich sind; d) dagegen sind die beiden ‘ErgZnzungen’ (=parapleromata; die schraffierten FlHchen in Abb. 1) gewtihnlich nicht ahiilich, aber immer fllchengleich untereinander. Versuche man nun diese Erkenntnisse auf ein beliebiges Quadrat, x2 anzuwenden (s. Abb. 4). Die beiden zu den nebeneinanderliegenden Seiten des Quadrats parallelen Linien schneiden sich jetzt im Punkt 0 der Diagonale. Die ‘urn die Diagonale liegenden sind diesmal zwei Quadrate, von denen das eine Parallelogramme’ hier als y2 bezeichnetwurde, wghrenddas andere (das kleine Y Quadrat rechts oben auf Abb. Die 4) unbezeichnet blieb. R beiden ‘Erglnzungen’ (=paraX pleromata) habe ich mit p1 und p2 kenntlich gemacht.PZ Es se1 ausserdemnocherwlhnt, dass jene Figur, die aus den \, beiden ‘Erglnzungen’ (pl und AfiB -4 ABB. 5 p2) sowie aus dem kleihen Quadrat rechts oben besteht, nach der pythagoreischen Terminologie einen besonderen Namen flihrte; sie hiess: 'Gnomon.' Man liest bei Euklid selbst: .T II def. 2: "In jedem Parallelogramrn sol1 ein beliebiges der um die Diagonale liegenden Parallelogramme zusammen mit den beiden Erganziingen (=parapleromata) Gnomon heissen." [=I Der griisseren cbersichtlichkeit zuliebe zeige ich den fiir uns wichtigen ‘Gnomon’ der Abb. 4 such als eine besondere Skizze: Abb. 5. Es geniigt nun ein Blick auf Abb. 4, um einzusehen, dass die Differenz der beiden Quadrate -- x2 - y2 -- gerade der ‘Gnomon’ wird. Man kann jedoch denselben ‘Gnomon’ -- wie die beiden Figuren, Abb. 6 und Abb. 7, zeigen -- auf zwei verschiedene Weisen in je ein Rechteck verwandeln. Entweder wghlt man namlich jene Msglichkeit, die die Abb. 6 zeigt: die ganzeFl&he, die aus dem kleinen Quadrat rechts oben und aus der mit p2 bezeichneten ‘Erg$inzung’ besteht, wird verlegt und sie wird als eine Art ‘Verlzngerung nach links zu der 'Erg&zung' pl hinzugeftigt; oder: die andere MBglichkeit wird durch Abb. 7 veranschaulicht: man verlegt nur die mit p2 bezeichnete nach links ‘Erggnzung’ und man ftigt diese als ‘VerlXngerung

A. Szab6 In beiden Flllen erreicht man -- mit der 'Erg%zung' p1 hinzu. der Umwandlung des ‘Gnomons’ in ein Rechteck --, dass die Differenz der beiden Quadrate (x2 - y2 -- der urspriingliche ‘Gnomonl auf Abb. 2 und 5) als ein Rechteck erscheint. (Ubrigens habe ich in beiden Fsllen, Abb. 6 und Abb. 7, mit der Schraffierung zeigen wollen, dass die Summe der schraffierten Flgchen -- je eines Quadrats [26] und eines Rechtecks -- gerade das urspriingliche Quadrat ausmacht.) Der Vergleich der beiden ABB. 6 Figuren (Abb. 6 und Abb. 7) zeigt sogleich such den wesentlichen Unterschied der beiden Fl;ichenanlegungen. Man sieht besonders an Abb. 7, dass das kleine ‘Quadrat um die Diagonale’ (rechts oben) -- das auf Abb. 4 unbezeichnet geblieben war -- nach rechts iiberschiesst. (Das ist die ABb.7 ‘hyperbolische Flachenanlegung,’ die wir sp;iter als Satz II 6 der ‘Elemente’ behandeln wollen.) Dagegen fehlt dasselbe kleine Quadrat (rechts oben) in jener Flachenanlegung, die die Abb. 6 Form, die wir demnachst zeigt. Das ist die sog. 'elliptische' als Satz II 5 bei Euklid ertSrtern werden. *** Und nun fasse man den Euklidischen Wortlaut der ‘elliptischen Flachenanlegung’ ins Auge. (Man kann diesen Satz sogleich an Abb. 6 illustrieren. Darum unterbreche ich Euklids Text mehrmals in eckigen Klammern mit Hinweisen auf Abb. 6.) II 5: "Teilt man eine Strecke [AB] sowohl in gleiche [AC = CB = x] als such in ungleiche Abschnitte [AD = x+y, bzw. DB = x-y], so ist das Rechteck aus den ungleichen zusammen mit dem Quadrat tiber Abschnitten [(x+y) . (x-y)] der Strecke zwischen den Teilpunkten [CD2 = y2] dem Quadrat iiber der Halfte [AC* = CB2 = x2] gleich.” Der Satz besagt also, dass auf Abb. 6 die Summe des schraffierten Rechtecks -- (xiy) . (x-y) -- und des schraffierten Quadrats (y2) gleich dem Quadrat x2 ist: (x+y) . (x-y) + y2 = x2. Oder man kann such eine andere -- flir unsere spPteren Zwecke giinstigere -- Bezeichnungsart einfilhren. Man gehe n&nlich vom Rechteck der Abb. 6 aus, und es seien die Seiten des Rechtecks: AD = x+y = a, bzw. DB = x-y = b. In diesem Fall wird

der Geometrie = (F)2 und ~2 = (y)2s y2 Und derselbe Satz II 5 besagt dann in unserer ab + (y)' = (y)2s Es kzme nun als nKchster Schritt Untersuchen dessen, wozu eigentlich anlegung' bei Euklid benutzt wird? 303 Formelsprache: in meiner Erbrterung das die 'elliptische FlgchenZu welchem Zweck hat man Bevor ich jedoch auf diese, zweifellos einginge, mbchte ich hier noch einen interessanten Zug jener Strategie hervorheben, mit der Euklid seinen Satz II 5 aufgebaut hatte. (Man beachte zum folgenden noch einmal die drei Figuren: Abb. 4, 5, und 6.)Meiner Vermutung nach entstand der gepriifte Satz (II 5) in den folgenden zwei Schritten: 1. Man subtrahierte zunachst von einem grbsseren Quadrat (x2) aus ein kleineres (y2), und man sah, dass dabei ein 'Gnomon' iibrigblieb. (Von vornherein gegeben waren nattirli,ch x und y, die Seiten der beiden Quadrate.) 'Gnomon' in ein 2. Erst als man den iibriggebliebenen Rechteck verwandelte -- indem man n&nlich die Flgche, die aus dem kleinsten Quadrat (rechts oben) und aus der mit p2 bezeichneten 'Ergsnzung' besteht, verlegte, und als eine Art 'Verlgngerung nach links zu' der anderen 'Erganzung' pI hunzufllgte --, entstand auf Abb. 6 die Strecke AB, die Vedoppelung eigentlich der diesen urspriinglichen Satz ausqearbeitet? wichtigere Frage Quadratseite, x. Euklids Strategie ist nun gerade die umkehrung dieses ganzen Prozesses. Er geht von der Strecke AB selbst aus. Diese Strecke muss halbiert werden, damit man die Seite jenes grllsseren Quadrats (x2) bekomme, von dem aus das kleinere subtrahiert wird. Die Seite des kleineren Quadrats (y2) kann Euklid such gar nicht anders umschreiben, als: 'die Strecke zwischen den Teilpunkten' -- nachdem nBmlich die ursprtingliche Strecke (AB) 'in gleiche und Ja, der Verfasser der in ungleiche Abschnitte geteilt wurde.' 'Elemente' geht so weit in der Umkehrung jenes Prozesses, der von mir als ziemlich einfaches Schema rekonstruiert wurde, dass er such nicht von einer Subtraktion (eines kleineren Quadrates von einem gr&sseren aus) redet; er sagt lieber: die Summe des betreffenden Rechtecks (AD.DB) und des Quadrats (CD2) macht das Quadrat CB2 aus.Zweifellos steht diese Euklidische Strategie im Dienste einer Vorbereitung. Der Satz II 5, die 'elliptische Flachenanlegung' ist n&nlich nur ein Rilfssatz, zu einem vie1 wichtigeren und bedeutenderen Theorem. Die wichtigste Rolle der 'elliptischen Fllchenanlegung' besteht in den 'Elementen' darin, dass sie als ifilfssatz zur folgenden Konstruktion herangezogen wird: [27] II 14: Quadrat "Ein einer gegebenen zu errichten." geradlinigen Figur gleiches

A. Szab6 Euklids vorbereitender Schritt zur Liisung dieser Aufgabe besteht darin, dass die gegebene geradlinige Figur in ein Rechteck verwandelt wird. (Jede geradlinige Figur wird iiber das Rechteck hindurch in ein flfchengleiches Quadrat verwandelt.) Den wesentlichsten Kern der Konstruktion (II 14) bildet -- wie man gleich sehen wird -- die Quadrierung des Rechtecks. Man erreicht dies durch eine geistreiche Verbindung der eben behandelten ‘elliptischen FlCzhenanlegung’ mit dem sog. ‘Pythagoreischen Lehrsatz’ (I 47). Subtrahiert man n’%nlich -nach dem Pythagoreischen Lehrsatz -- vom Quadrat auf der Hypotenuse aus das Quadrat auf der einen Kathete, so bekommt man das Quadrat auf der anderen Kathete. Darum konstruiert man jetzt -- wie Abb. 8 zeigt -- von den ----1 Seiten des gegebenen Rechtecks i (a und b) aus ein grasseres 1 Quadrat: [ (a+b)/212; dies wird 1 das Quadrat auf der Hypotenuse: j wahrend das kleinere Quadrat, -konstruiert von den Seiten desselben Rechtecks aus: als das Quadrat auf [ (a-bIDI* a . 2 der einen Kathete aufgefasst g$ wird. Die Differenz dieser beiden ( > Quadrate wird -- im Sinne der I ‘elliptischen Flachenanlegung’ -- das Rechteck ab (links auf Abb.8 Abb. 8); wPhrend dieselbe Differenz im Sinne des Pythagoreischen Lehrsatzes als das Quadrat auf der anderen Kathete (d* auf Abb. 8) erscheint. Darum ist nun im Sinne der Konstruktion ab = d2. Ich vermute nun, dass die Methode der ‘elliptischen Flachenanlegungl (II 5) urspriinglich eben zum Zwecke des Verwandelns eines beliebigen Rechtecks in ein fl;ichengleiches Quadrat Denn diese Art Flgchenverwandlung war doch ausgearbeitet wurde. ein bedeutender Vorstoss der friihgriechischen Mathematik, wie man dies aus dem folgenden ersieht. a) Der terminus technicus der griechischen Mathematik fiir das Verwandeln eines Rechtecks in flgchengleiches Quadrat hiess: Faber den ‘tetragonismos’ schreibt einmal TETpciyWViSEIV. Aristoteles -- in einer Erijrterung iiber die verschiedenen Arten von ‘Definitionen’: [28] “Gewtfhnlich sind die Definitionen SchlussSXtzen Phnlich, wie z.B.: ‘Was ist der tetragonismos?' -- ‘Die Konstruktion eines dem Rechteck (ETEP~JJQKES) flgchengleichen Quadrates.' Eine solche Definition ist ein Schlusssatz. Derjenige aber, der behauptet, dass der 'tetragonismos' das Auffinden der Mittleren Proportionale ist, der macht such den Grund der Sache namhaft .‘IMan ersieht aus diesen Worten des Aristoteles, dass man sich -- selbst zu seiner Zeit noch -die geometrische Konstruktion, dessen vollkommen bewusst

wie man ein Rechteck quadriert, der Proportionenlehre. b) Das Problem der Mittleren der Arithmetik auf. Man denke der Geometrie war ursprtinglich Proportionale an die beiden VIII 18: "Zwischen zwei Ihnlichen es eine Mittlere Proportionalzahl," ebenen 305 ein Problem tauchte folgenden zuerst Satze: Zahlen in gibt und VIII 20: "L;isst sich zwischen Proportionalzahl einschalten, ;ihnliche ebene Zahlen sein." zwei Zahlen eine Mittlere so mlissen die Zahlen Man muss zum Verstandnis dieser beiden SPtze wissen, dass nach der Euklidischen Terminologie a und b dann “dhnliche ebene Zahlen’ sind, wenn fur sie die folgende Faktorenzerlegung a = cd, und b = ef mbglich ist -- wobei noch c:e = d:f sein mu'ss.1st ein solche Faktorenzerlegung (und eine solche Proportion der betreffenden Faktoren) fur zwei beliebige nattirliche Zahlen, a und b, nicht moglich -- sind also a und b keine ‘Wnliche ebene Zahlenl --, dann gibt es fur sie such gar keine Mittlere Proportionalzahl. Darum hat man nun mit der ‘elliptischen Flachenanlegung’ (II 5) und mit der Methode, wie man ein beliebiges Rechteck in ein fl&hengleiches Quadrat verwandelt (II 14), das geometrische Equivalent einer arithmetisch nitiht immer llisbaren Aufgabe gefunden. [29] Man ging such in diesem Fall, wie bei der einfachen (parabolischen) FlXchenanlegung, von dem oben einmal schon zitierten Satz VII 19 aus: "Stehen vier Zahlen in Proportion, dann muss das Produkt aus der ersten und vierten dem Produkt aus der zweiten und dritten gleich sein." Dieser Satz heisst ja fur den Fall der Mittleren Proportionale soviel: sucht man eine Zahl x fur die Proportion a:x = x:b, so ist diese arithmetische Aufgabe dem geometrischen Problem aquivalent: x2 = ab. Man sol1 ein dem Rechteck ab fllchengleiches Quadrat (x2) konstruieren. c) Man war sich such splter noch vbllig im klaren dartlber, dass die altpythagoreische Flachenanlegung (und darunter die Verwandlung eines beliebigen Rechtecks in ein flachengleiches Quadrat) eine hervorragende beistung der theoretischen Mathematik ermuglicht hatte. Darum bezeichnet der oben zitierte Text des Proklos diese Entdeckungen als ‘Erfindungen der Muse der Pythagoreer’ (TIJs riiv IIu~ayopeiwv Mo&~ns Ebpiiuara), und er redet von ‘jenen alten und ehrwUrdigen (gbttlichen!j Mlnnern’ (EKE~VWV -cijv aaAal3v Kai e&&v &~bpGv), die diese Konstruktionen erfunden hatten.Gerade in diesem Sinne erblickt such Platon [30] das Wesen der Geometrie ‘in dem Ahnlich-Machen (SpoCwa~s) der der Natur nach nichtahnlichen Zahlen -.- dank gewissen EigentUmlichkeiten der FlPchen (np;s riv T&J la1a6bwv poioav).Sinnvoll

A. Szab6 wird diese sonderbare Ausdrucksweise nur dann, wenn man sich Es gibt eine Mittlere Proportionalzahl nur folgendes iiberlegt: zu zwei 'ghnlichen ebenen Zahlen.' Sind also die Seiten irgendeines Rechtecks keine 'ghnliche ebene Zahlen,' so kann man dieses Rechteck arithmetisch such nicht in ein flgchengleiches Quadrat verwandeln, da es zu seinen Seiten keine Mittlere Proportionalzahl gibt. Verwandelt man ein solches Rechteck dennoch in ein flgchengleiches Quadrat, so hat die Geometrie sozusagen 'Wunder gewirkt': als ob die der Natur nach nicht-ghnlichen Zahlen (die Seiten des betreffenden Rechtecks) shnlich geworden Und dies ist, wie Platon betont, 'in der Tat kein waren. menschliches, sondern Augen derjenigen,'die ein gijttliches Wunder -des VerstZndnisses fihig mindestens in sind. ' [31] den d) Die Entdeckung dessen, wie man ein beliebiges Rechteck in ein flichengleiches Quadrat verwandelt, hat such das Einfiihren eines vollkommen neuen und grundlegenden Begriffes der griechischen Geometrie veranlasst. Man iiberlege sich namlich Man Weiss aus zahlreichen (such arithmetisch mEglichen) folgendes. Fallen, dass die Seite eines einem gegebenen Rechteck fllchengleichen Quadrats die Mittlere Proportionale ist. Aber man Weiss auf der anderen Seite zu den Rechteckseiten aus der Arithmetik, dass es nur zu zwei '8hnlichen ebenen Zahlen' eine Mittlere Proportionalzahl gibt. Verwandelt man also ein solches Rechteck in ein flachengleiches Quadrat, dessen Seiten -- a und b nicht 'Phnliche ebene Zahlen' sind, so bekommt man ein recht merkwlirdiges Quadrat; dessen Seitenlange n'%nlich sich zahlenm%sig gar nicht ausdriicken 1Psst; ja, die Lange dieser Seite 1Psst sich linear (Es gibt gar keine Langeneinheit, deren gar nicht messen. verschiedene Mehrfachen sowohl die Rechteckseiten -- die 'nicht ahnlichen ebenen Zahlen' a und b --, wie such die entsprechende Aber man kennt auf der anderen Seite Quadratseite sein kijnnten.) das Fllchenmass des betreffenden Quadrats doch ganz genau: es ist dem Flachenmass des verwandelten Rechtecks gleich. Darum fiihrt man nun einen neuen Begriff fiir die derartigen Quadrate ein; sie werden als Guv&u~ls = 'Quadratwerte von Rechtecken' bezeichnet. [32] Man misst also anstatt der Lange der betreffenden linear inkommensurablen Strecken das auf sie errichtete Quadrat. Der Begriff 66vapIs (= 'Quadratwert eines Rechtecks') ist also unserem Begriff 'Quadratwurzel' ziemlich nahe verwandt, ohne damit identisch zu sein.Ich vermute nun, dass die Schtipfung dieses Begriffes ('dynamis') und damit die Entdeckung jener 'linear inkommensurablen Strecken' ( EU '8 cial &aii~~~~pot ~~KEI; vgl. Elem. X def. 3), die 'quadratisch kommensurabel' (6~v6l.1~1 U6uusTpoI) sind, auf dieselbe altpythagoreische Zeit fallt, die such die 'elliptische Flgchenanlegung' bzw. das 'Quadrieren des Rechtecks' erfunden hatte. Fl%zhenanlegung' (II 5) Man sieht such, dass die 'elliptische und die davon untrennbare 'Quadrierung eines beliebigen Rechtecks' (II 14) ebenso die geometrische b&sung einer arithmetisch nicht

der Geometrie 307 immer 16sbaren Aufgabe (d.h. in diesem Fall des Auffindens der 'Mittleren Proportionale') darstellen, wie such die einfache (parabolische) Flgchenanlegung (I 44) ein solches Problem der Vierten und Dritten Proportionale geometrisch (ohne Proportionen, mit FlXchentransformation) geltist hatte, das sich arithmetisch nicht immer l&en liess.NatUrlich hat man sp;iter -- nachdem Eudoxos den Begriff der 'Grbsse' (~~YEBos) eingefuhrt und seine allgemeine Proportionenlehre ausgearbeitet hatte (man vgl. dazu besonders das Buch V der Elemente) -- das Problem der Mittleren Proportionale such unmittelbar, ohne FGchentransformation (siehe den Satz VI 13 bei Euklid) ltisen kbnnen. Die historische Bedeutung der 'elliptischen Flgchenanlegung' (II 5) und der 'Quadrierung der Rechtecks' (II 14) besteht eben darin, dass diese SPtze schon in der Zeit vor Eudoxos eine geometrisch zquivalente Ltlsung fiir eine mit den alten Mitteln nicht-losbare Aufgabe der Proportionenlehre boten. III. Und jetzt wollen wir den anderen, noch interessanteren Fall, die sog. 'hyperbolische Flachenanlegung' der Pythagoreer (II 6) nPher ins Auge fassen. Wie ich oben schon darauf hingewiesen hatte, bildete den Ausgangspunkt sowohl fUr die 'elliptische' wie such flir die eines kleineren 'hyperbolische' Flzchenanlegung -- die Subtraktion Quadrates (y2) von einem grbsseren aus (x2; vgl. Abb. 4). Der Unterschied der beiden FXlle -- ob 'Ellipse' oder 'Hyperbel' -besteht bloss darin, wie die Differenz der Subtraktion, der Wie Ubriggebliebene 'Gnomon' in ein Rechteck verwandelt wird. die Abb. 7 zeigt, wird bei der 'hyperbolischen Flichenanlegung' nur die mit p2 bezeichnete 'Erganzung' (= parapleroma) als eine Art 'Verlangerung nach links zu' oben der 'Erggnzung' p1 hinzugeftigt. Ausserdem wird diesmal -- im Interesse der splteren Anwendung des Satzes II 6 -- such noch eine andere, vom 'elliptischen' Fall abweichende Bezeichnungsart eingeflihrt. (Man vgl. zum folgenden die Abb. 9, eine Wiederholung der vorigen Abb. 7 -- doch mit neuen Im Falle der Bezeichnungen.)'elliptischen Fl%ichenanlegung' bezeichnete man nBmlich das grossere Quadrat -- von dem aus ein kleineres subtrahiert wurde -- als x2 = [(a+b)/212. Diesmal wird dasselbe grassere Quadrat als: Das kleinere [(a/2) + xl 2 bezeichnet.Quadrat, das subtrahiert wurde, war im AM.9 frtiheren Fall, bei der 'elliptischen' Form: y2 = (a-b)/212; dagegen wird dasselbe beim 'hyperbolischen' ermoglicht diese andere Fall: (a/2) 1 . (Wie mansieht, Bezeichnungsart sogleichauch, dass das 'Uberschiessende kleine

A. Szab6 ' -- die sog. fmpBoh~, rechts oben auf Abb. 7 und 9 -als x2 bezeichnet werde. [33] Man wird den Vorteil dieser anderen Bezeichnungsart spBter, bei der Anwendung des Satzes II 6 sogleich einsehen.) Und jetzt fassen wir noch den Euklidischen Wortlaut des Satzes ins Auge. (Den Text unterbreche ich mehrmals in eckigen Klammern mit Hinweisen auf Abb. 9.) Qua&t II 6: "Halbiert man eine Strecke [a/2 = a/2] und setzt man ihr irgendeine Strecke gerade an [xl, so ist das Rechteck aus der ganzen Strecke mit Verlangerung und der Verlangerung [(a+x) xl zusammen mit dem Quadrat Uber der iialfte [(a/2)2J dem Quadrat iiber der aus der Halfte und der Verlgngerung zusammengesetzten Strecke [({a/2)+ x)~] gleich." l Der ganze Satz besagt also dasselbe -- nur mit anderen Bezeichnungen --, was such der Satz der ‘elliptischen Fl&henanlegung’ (II 5) besagt hatte: die Summejenes Rechtecks, das aus dem ‘Gnomon’ entstand -- (a+x) . x -- und des Quadrats (a/2)2 [das subtrahiert wurde] macht das rossere Quadrat [(a/2) + x] 2 aus: + x12; oder was damit gleichiiedeutend (a+xl - x + (a/2)q = [(a/2) ist: Subtrahiert man von einem grosseren Quadrat aus [(a/2) + xl2 ein kleineres: (a/2)2, so bleibt ein Rechteck: (a+x) * x itbrig. Warum dieser ‘hyperbolische’ Fall (II 6) -- als eine Variante zum Satz II 5 -- formuliert und noch einmal bewiesen wurde, das versteht man nur dann, wenn man die Anwendung dieses Satzes naher ins Auge fasst. Die ‘hyperbolische Fl%chenanlegung’ wird -- wenn man jetzt ihre spPteren Anwendungen im Buch X ausser acht lasst [34] -- nur zweimal in den ‘Elementen’ als Hilfssatz benutzt, namlich zur Konstruktion II 11 und zum Beweis des Satzes III 36. (Der letztere ist Ubrigens nur ein Spezialfall der erstgenannten Konstruktion!) Und was die Konstruktion II 11 betrifft, sie ist die ‘flachengeometrische Variante der sog. ‘stetigen Teilung’: VI 30: teilen." "Eine [35] gegebene begrenzte gerade Linie stetig zu Mit anderen Worten heisst dies soviel: die Strecke a sol1 so geteilt werfen, dass ihre beiden Teile -- x und (a-x) -- die Proportion ergeben: a:x = x:(a-x). (Ein interessanter Spezialfall der Mittleren Proportionale!)Offenbar dieselbe Proportion wird im Buch II ‘fllchengeometrisch ’ folgendermassen formuliert : II 11: "Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat iiber dem anderen Abschnitt gleich ist." Strecke a sol1 also mit ihren beiden Teilen -- x und (a-x) -die Gleichung eines Rechtecks und eines Quadrats befriedigen: a(a-x) = x2. Die Lbsung dieser Aufgabe wird durch eine ahnliche geistreiche Verbindung der ‘hyperbolischen Fllchenanlegung’ (II 6) mit dem

Geometrie 309 Pythagoreischen Lehrsatz erreicht, wie such das Quadrieren des Rechtecks (II 14: die fl%chengeometrische Variante des Suchens der gewijhnlichen Mittleren Proportionale zu zwei Grsssen) aus einer Verbindung der ‘elliptischen Fl’achenanlegung’ (II 5) mit dem Pythagoreischen Lehrsatz bestand. Nachdem man aus dem Satz II 6 Weiss, dass die Differenz der b&I;lcuadrate [(a/Z) + xl2 - (a/2)2 dem ‘hyperbolischen : (a+x) * x gleich ist (s. Abb. 91, konstruiert man jetzteinsolches rechtwinkliges X Dreieck (s. Abb. lo), dessen beide Katheten a und a/2 sind, und dessen Hypotenuse (a/2) + x Darum wird nun im Sinne wird. der ‘hyperbolischen Flachenanlegung’ die Differenz der beidenvorhingenanntenQuadrate, . das Rechteck : [(a/2) +x12 - (a/2)2 = (a+x) . x, wahrend im Sinne des Pythagoreischen Lehrsatzes die Differenz derselben beiden Quadrate (auf der Hypotenuse, bzw. auf der einen Kathete) das Quadrat auf der anderen Kathete wird: [(a/2) + xl2 - (a/2)2 = a2. Darum darf man aufschreiben: * x = a 2 . . . . . . . . . . . . (11 (a+x) Doch fasse man jetzt -- indem man such diese wichtige Gleichung (1) nicht vergisst -die Abb. 11 (eine Wiederholung I der Abb. 10) noch einmal ins Auge. Wie diese Abb. 11 zeigt, ABB. 43 ist das schraffierte Rechteck, a-x, ein gemeinsamer Bestandteil sowohl des grosseren Rechtecks -- (a+x) s x --, wie such des Quadrats LBsst man diesen a2. gemeinsamen Bestandteil weg, so mllssen die Ub-riggebliebenen Teile -- das leergelassene Rechteck a . (a-x) auf der einen, und das ‘hyperbolische’ x2 auf der anderen Seite -- untereinander gleich bleiben: a * (a-x) = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) [36] Und das ist gerade die L&sung der fltichengeometrisch formulierten ‘stetigen Teilung,’ der Aufgabe li'I 6. * * * Zum Schluss wollen wir die gemeinsamen Ztige der pythagoreischen Flachenanlegungen noch einmal ins Auge fassen. ES wurde oben darauf hingewiesen, dass die einfache Fllchenanlegung (I 44) ein nicht immer losbares Problem der

A. Szab6 Proportionenlehre -- die Vierte Proportionale zu drei gegebenen, bzw. die Dritte Proportionale zu zwei gegebenen Zahlen -- geliist hatte. Aber diese geistreiche Konstruktion hat noch zu keiner grundlegend neuen Errungenschaft der Mathematik gefiihrt. (Man hitte ngmlich das Problem der Vierten und Dritten Proportionale such arithmetisch immer l&en kijnnen; entweder so, dass man ausser den ganzen Zahlen such die Briiche als ‘Zahlen’ [37] gelten lgsst, oder -- was damit gleichbedeutend ist: man hgtte anstatt der ungiinstigen gegebenen Zahlen mit ihren geeigneten Mehrfachen die arithmetisch lquivalente Aufgabe l&en kBnnen.) Die ‘elliptische FlPchenanlegung’ (II 5) und das Quadrieren des Rechtecks (II 14) haben schon zu einer grundlegend neuen Errungenschaft gefiihrt. Es gibt zu zwei beliebigen Zahlen nicht immer, nur unter gewissen Bedingungen eine Mittlere Proportionalzahl. Die flBchengeometrische Losung des Problems der Mittleren Proportionale war suzusagen gleichbedeutend mit jener Erkenntnis, dass es such Strecken gibt, die linear Darum inkommensurabel und nur quadratisch kommensurabel sind. hat diese Erkenntnis such das Einfiihren des neuen mathematischen Begriffes ‘dynamis’ (=‘Quadratwert eines Rechtecks’) veranlasst. Noch eindeutiger verlgsst man den Bereich der ‘Zahlen’ -- die Einheiten bestehend’ gedacht wurden bis dahin als ‘aus diskreten -- mit der ‘stetigen Teilung.’ Wie der Scholiast betont: man kann dieses Problem (II 11 -- wozu die ‘hyperbolische Flachenanlegung,’ II 8, der unentbehrliche Hilfssatz ist) mit Rechensteinen (d.h. also mit ‘Zahlen,’ die aus irgendwelchen ‘Einheiten’ bestehen) nie l&en: [38] 06 GE<KVUTC(I 612 $ij#n~. Es gibt keine drei ganzen Zahlen (und such keine drei Brijche) a, x, und (a-x), die die Proportion a:x = x: (a-x) befriedigten. [39] Die ‘stetige Teilung’ ist also ein beachtenswerter Spezialfall der ‘Mittleren Proportionale, I der sich nie mit Zahlen ausdriicken Umso interessanter wire es zu wissen, wie die Alten llsst. Pythagoreer auf den Gedanken dieser Proportion gekommen sein miigen. Da die Quellen nichts dariiber verraten, kann man diese Frage nur mit Vermutungen beantworten. Aber ich glaube, ziemlich naheliegend ist doch die folgende Vermutung. Man Weiss, dass das Pentagramm (Abb. 12), das man aus den Diagonalen eines regelmgssigen Fiinfecks bekommt, ein heiliges Symbol der Pythagoreer war. [40] Es geniigt nun ein Blick auf die Abb. 13, urn einzusehen, dass die Diagonale a (= AC) des regelmgssigen FUnfecks durch die andere Diagonale (BD) in +k Punkt F in zwei ungleiche Abschnitte geteilt wird, von denen der langere (x) der Seite des Flinfecks gleich ist. Man fasse nun Alb. 42 zunschst das gleichschenklige Dreieck ABC ins Auge, dessen grUsster Winkel bei B (ein Winkel des regelmassigen FUnfecks) 108” betr8gt. Folglich konnen die beiden Basiswinkel

der Geometrie 311 dieses Dreiecks nur je 36' sein. Doch hat man daselbst such ein anderes, kleineres gleichschenkliges Dreieck BCF, dessen Basiswinkel bei C und B gleichfalls je D 36O sind; folglich muss der grasste Winkelauch diesesletzteren Dreiecks (BCF) bei F 108' sein. Dei beiden gleichschenkligen Dreiecke -- ABC und C E BCF -- sind also 2ihnlich. Die entspreschenden Seiten der Phnlichen geradlinigen Figuren sind jedoch verh;iltnisgleich. [41] Das Verh'ziltnis der Basis-Strecken der beiden gleichschenkligen Dreiecke --a:~ -- muss dem A x b Verh'rlltnis der beiden Schenkel -- x:(+x) -- gleich sein. Bezeichnet man also die AU. 48 Seite des regelmsssigen Fiinfecks mit x und mit a seine Diagonale, a:x = x:(a-x). so gilt die Proportion: Die Diagonalen des regelmassigen Ftinfecks schneiden sich nach der stetigen Teilung. Darum glaube ich, dass wohl eben ihr heiliges Symbol, das Pentagramm die Alten Pythagoreer zur Untersuchung der stetigen Teilung veranlasst haben mag. In der Tat wird diese Art von 'Schnitt' (VI 30, bzw. seine flachengeometrische Ltisung: II 11) bei Euklid eben zur Konstruktion des regelmassigen Flinfecks benutzt. ANMERKUNGEN 1. 2. 3. Dieser Aufsatz bildet den Teil einer grbsseren Untersuchung -- der Fortsetzung meines Buches Anfdnge der griechischen Mathematik (1969 R. Oldenbourg Verlag, Mi.inchen-Wien, 494) --, die ich unter einem shnlichen Titel in den nachsten Jahren zu verbffentlichen gedenke. Proclus Diadochus, In Euclidis Elementorum librum primum comm., ed. G. Friedlein, Lips. 1873, 419, 15 - 420, 12. Im griechischen Original liest man: $Kiaiv oi mpi T3V Eb&npov. Ich verstehe diese Wendung in dem Sinne, dass Proklos das Werk des Eudemos zwar nicht unmittelbar in der Hand hatte, aber er vermutete doch, dass die in seinen Quellen vorgefundene Ansicht letzten Endes auf Eudemos zurtickgeht.Es ist irrefiihrend, wenn dieselbe griechische Wendung deutsch (M. Steck 1945 Proklus Diadochus, Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen, Ubers. von P. L. Schonberger, Halle, S. 458) als "der Schule des Eudemos zufolge" wiedergegeben wird. Man Weiss ja von einer "Schule" -- oder sogar von einer "mathematikhistorischen Schule des Eudemos" Ciberhaupt nichts.Freilich, ist es noch schlimmer, wenn man das ganze Problem verschweigt, und wie der englische Text (T.L. Heath, Euclid's Elements, vol. 1, Dover Publications,

6. 7. a. 9. 10. A. Szabd HMl 343) schlicht ** iibersetzt”: "says Eudemus.'Ich folge Ubrigens such P. Tannery nicht, der (1887 La qgometrie qrecque, Paris, S. 18 ff.) Geminos als “Zwischenquelle” -- zwischen Eudemos und Proklos -- “erschliessen’ wollte.Selbstverstlndlich kann dabei auf Eudemos nur der Bericht Uber die dreierlei Arten der Flzchenanlegung, sowie Uber den altpythaqoreischen Ursprunq dieser zuriickgehen. Dennvon einer Anwendung derselben Namen auf die Kegelschnitte (durch Apollonios von Perge) wird Eudemos wohl noch nicht gewusst haben. Wohl wird man spBter auf Grund derselben Interpretation such jenen qanzen Komplex von wissenschaftlichen Erkenntnissen zusammenstellen ktlnnen, der im Bericht des Proklos als ‘Erfindungen der pythagoreischen Muse’ angedeutet wird. Diesmal beschrHnke ich mich jedoch bloss auf die ErklXrung von drei Euklidischen Sztzen. Ich kann auf die Auseinandersetzung mit der modernen Forschung einstweilen umso mehr verzichten, da meine Auffassung sich qrundsltzlich von den hier einschlggigen und heute noch gUltigen historischen Ansichten unterscheidet. Der Fachmann wird sogleich sehen, womit ich in der modernen Literatur FUr diejenigen, die die iiberhaupt nicht einverstanden bin. Unterschiede zwischen meiner Auffassung und der communis opinio schon jetzt filr sich prxzisieren mochten, empfehle ich zur Orientierung die folgenden Werke: T. L. Heath Euclid's Elements, I-II-III (Dover Publications). T. L. Heath 1921 Greek Mathematics, I-II, Oxford. C. Thaer 1943 “Antike Bursians Jahresbericht iiber die Mathematik 1906-1930” Fortschritte der klass. Altertumswiss, 283-284. B.L. v.d. Waerden 1956 Erwachende Wissenschaft Basel-Stuttgart. 0. Becker 1957 Das mathematische Denken der Antike GUttingen. (Man kann auf Grund dieser Werke die gesamte wesentliche moderne Literatur liber die hier behandelten mathematikhistorischen Probleme zusammenstellen.) In den vier Punkten habe ich nattlrlich nur das,Skelett der In Wirklichkeit ist die Gedankenflihrung skizziert. Konstruktion (bzw. der Beweis) ausfuhrlicher. Euklid vergisst z.B. such das nicht, dass man selbst die Existenz des Schnittpunktes K beweisen muss. Heute wBre man geneigt, diese Existenz -- bloss auf Grund einer naiv-intuitiven Anschaulichkeit -- fur t’selbstverstzndlichl’ zu halten. “die Diagonale halbiert das Parallelogramm” -- heisst es im Satz I 34. Man findet einen wichtigen Satz Uber die “urn die Diagonale liegenden Parallelogramme” im Buch VI der Elemente: VI 24: "In jedem Paralleloqramm sind die Paralleloqramme urn die Diaqonale sowohl dem qanzen als such einander ahnlich." Auf diesen wichtigen terminus technicus der pythagoreischzn Geometrie mache ich schon hier nachdrticklich aufmerksam. Auch diese Erkenntnis war fur die pythagoreischen

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. FrUhgeschichte der Geometrie 313 Flachenanlegungen entscheidend wichtig, wie ich darauf splter noch zuriickverweisen werde. Die Rekonstruktion dieser einfacheren und darum vermutlich urspriinglicheren Form des Satzes I 44 ist so naheliegend, dass man sie wohl such nicht n’aiher zu begriinden brauchte. Aber es sei hier doch erwahnt, dass such Proklos and der oben angeflihrten Stelle (s. oben Anm. 2) unseren Satz in demselben Sinne erklart: “Wenn z. B. ein Dreieck von 12 Quadratfuss gegeben ist und eine 4 Fuss lange Gerade, so legen wir das dem Dreieck gleiche Parallelogramm and die Gerade an, wenn wir die Lange der insgesamt 4 Fuss nehmen und dann herausbekommen, wieviel Fuss die Breite betragen muss, damit das Parallelogramm dem Dreieck gleich ist. Finden wir nun glticklich die Breite zu 3 Fuss und multiplizieren die L2nge mit der Breite, dann erhalten wir also damit die erforderliche Fl’ziche, wenn der gegebene Winkel ein Rechter ist. So etwa ist es urn das Flachenanlegen, das wir vor alters her von den Pythagoreern Uberkommen haben.” 0. Toeplitz 1929 “Das Verh’riltnis von Mathematik und Ideenlehre bei Plato” Quellen und Studien z. Gesch. d. Math. (B)l; wieder abgedruckt 1965 in Zur Gesch. d. greich. red. von 0. Becker, Darmstadt, S. 45-75, S. 48 f. yath., A. Szabd 1969 Anfdnge der griechischen Mathematik, HiinchenWien, 131-242. Ich will diesen Satz hier nicht ausfuhrlicher behandeln. Ich verweise nur auf die folgende Literatur: T.L. Heath Euclid's Elements II, S. 411; C. Thaer 1935 Die Elemente von Buklid, Teil III (Ostwald's Klassiker der Bxakten Wiss. 240, Leipzig), S. 80; A. Frajese-L. Maccioni 1970 Gli Elementi di Euclide, Torino, s. 545. Euklid behandelt den Satz ausftihrlicher, aber such -umstSndlicher. Vgl. Euclides (ed. J. Heiberg) 1888) S. 280. II, S. 112. Vgl . z.B. T. L. Heath, op. cit. Man vgl. dazu VII def. 16: “Wenn zwei Zahlen bei gegenseitiger Vervielfzltigung eine Zahl bilden, wird die entstehende eine ebene Zahl genannt, und die einander Griechisch heisst vervielfaltigenden Zahlen ihre Seiten."aber derselbe Terminus "ebene Zahl": blilrE6os &ptep&; kUnnte (dem Sinne nach genauer!) such als "Rechteckszahl" verdeutscht werden. NatUrlich lasst das naiv-intuitive Denken sogleich such die Umkehrung dieser These gelten, also: “Sind zwei verschiedene Rechtecke untereinander fllchengleich, so miissen ihre Seiten in umgekehrtem VerhSltnis zueinander stehen." Man liest diese Statistik in der italienischen Ubersetzung von A. Frajese-L. Maccioni, op. cit. 411. Eines der grbssten Verdienste dieser sehr grundlichen und sorgfaltigen Arbeit besteht eben darin, dass sie nach jedem Satz sorgfaltig

equal to a given area and falling 24. short by a it can be solved, without the aid of Book VI, as shown above under II 5." Ibid. 267: "Again there is an important particular case which can be solved by means of Book II only, as shown under II 6.. .applying to a given straight line to a given area exceeding by a square." 23. HMI aufzlhlt: welche friiheren S'-dtze im Beweis benutzt wurden, und in welchen sp;iteren S;itzen der betreffende Satz selber zur Anwendung kommt. Man wundert sich nur dariiber, wie man -- ohne eine solche sorfPltige Vorbereitung -- bisher iiberhaupt an das Problem der inneren Chronologie des Euklidischen Werkes heranzutreten gewagt hatte! T. L. Heath, op. cit. II, S. 265: "A particular case is... the problem of applying to a given straight line a rectangle square... 22. Szabd a rectangle equal In demselben Sinne, wie T. L. Heath such B. L. v.d.Waerden 1956 Erwachende Wiss., S. 199; oder Ivor Thomas 1967 Greek Mathematics, I. From Thales to Euclid, London-Cambridge, Mass., S. 186; oder such 0. Becker 1957 Das math. Denken der Antike, Gottingen, S. 60-63. Man vgl. dazu den 'Anhang' meines oben,in Anm. 13 genannten Buches (455-488), sowie den Aufsatz: A. SzabB 1970 "Ein Lob auf die altpythagoreische Geometrie" Hermes 98, S. 405421. 25. 26. 27. 28. 29. NatCirlich ktlnnte man im Sinne dieser Definition einen anderen "Gnomon" (Abb. 4) aus y2und den beiden "parapleromata" Wir brauchen jedoch diese andere Muglichkeit im bilden. vorliegenden Zusammenhang nicht zu berticksightigen. Es handelt sich in beiden FBllen urn jenes Quadrat, das auf Abb. 4 als y2 erscheint. Nach der oben in Anm. 14 genannten ebersetzung von A. Frajese und L. Maccioni wird der Satz II 5 in den "Elementen" ausserdem noch zu den'sztzen III 35; x 17 und Lemmata 41, 59 als Hilfssatz herangezogen. Nur der Einfachheit halber beschrlnke ich mich diesmal auf die Untersuchung des wichtigsten Falles, ngmlich des Satzes II 14. De anima II 2, 413 a 13-20; bgl. Met. 996 b 18-21. Ich muss hier such einen friiheren Irrtum von mir korrigieren, den ich meiner Leichtglsubigkeit zu verdanken habe. J. L. Abhandlungen Heiberg 1904 "Mathematisches bei Aristotles" z. Gesch. d. math. Wiss. 18 war n'rlmlich der Ansicht, dass das Verwandeln eines Rechtecks in ein flachengleiches Quadrat ursprtinglich mit jener Konstruktion der Mittleren Proportionale gelust worden wPre, die man jetzt bei Euklid als Satz Elem. VI 13 liest. Diesem Satz gegenliber wrre die BeweisfUhrung des Theorems II 14 nur eine "nachtragliche Tarnung" der ursprtinglichen Lbsung.Derselben Ansicht schloss sich such T. L. Heath (1949 Mathematics in Aristotle, Oxford, S. 191-193) an. Und ich habe diese Ansicht von

der Geometrie 315 Heiberg & Heath in meinem Buch (1969 Anfange der griech. S. 61) kritiklos ilbernommen. Aber diese historische Konstruktion kommt mir jetzt recht unwahrscheinlich vor. Denn erstens: zum exakten Beweis des Satzes VI 13 braucht V def. 5. man doch schon die Eudoxische Definition: (Einerlei, wann man den Satz VI 13 zum ersten Ma1 aufgestellt sein Beweis, den wir heute bei Euklid lesen, ist hatte: nach-eudoxisch.) Und zweitens: h5lt man den eingangs zitierten Bericht des Proklos iiber den altpythagoreischen Hi-sprung der Flgchenanlegungen fiir glaubwiirdig -- und ich sehe nichts, was dagegen sprechen sollte --, so liegt such kein Grund und Anlass vor, zu bezweifeln, dass das Verwandeln eines beliebigen Rechtecks in ein flPchengleiches Quadrat Math., urspriinglich 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. ist 38. 39. 40. unter Anwendung des Satzes II 5 ausgefiihrt wurde. Epinomis 990 D l-6. Vgl. dazu A. Szab6 1970 "Ein Lob auf die altpythagoreische Geometric" Hermes 98, S. 405-421. Vgl. A. Szab6 1963 "Der math. Begriff dynamis" Maia (NS) 5, S. 219-256 und A. Szab6 1969 "AnfPnge der griech. Math., S. 38-130. Ich liess dasselbe kleine Quadrat rechts oben in den Abbildungen 4, 5, und 6 unbezeichnet, nachdem es in jener Konstruktion, die diese Art Flgchenanlegung anwendet, gar keine Rolle spielt. Nach der Statistik von A. Frajese und L. Maccioni (s. oben Anm. 14) wird das Theorem II 6 such zu X 28, Lemmata I II herangezogen. Ich habe oben -- am Anfang meines Teils II. -- schon darauf hingewiesen, dass die allgemeinere Form des Satzes II 6, die Aufgabe VI 29 in den 'Elementen' nur zur Lijsung der stetigen Teilung (VI 30) bentitz wird. Wie man sieht, wird die Mittlere Proportionale zwischen a und (a-x) gerade die Seite des 'Dberschiessenden Quadrats' Man beachte dabei such, dass die (x2), der 'Hyperbel.'beiden Gleichungen (1) und (2) such folgendermassen auseinman schreibt zunlchts (2) in der Form ander ableitbar sind: auf: (a-x):x = x:a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) x:a = a:(a+x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4) und (1) in der Form: In einer sp;iteren Arbeit werde ich auf die hier als (3) und (4) bezeichneten Gleichungen zuriickkomen miissen. VII def. 2: "Zahl Man denke an die Euklidische Definition: die aus Einheiten zusammengesetzte Menge." Vgl. Euclidis Elementa (J. L. Heibert, Leipzig 1888) V. S. 248, 22 - 249, 3. A. a. 0. 251, 2-4: '<~Bx uct? TO~)TO hs 6;&18pijv 06 &E<KVUTal. tiXoyos y&p Zmxv +-j ro1a&n cuBeia uai ap1Bpois oux Snonin-fc1. Man vgl. dazu K. Reidemeister 1949 Das exakte Denken der S. Griechen, Hamburg, S. 19; B. L. V.d. Waerden, op. cit., 166; die AufsPtze von K. v.Fritz und S. Heller im Sammelband

A. Szab6 HMl Zur Gesch. d. gr. Math. (red. 0. Becker 1965 Darmstandt) sowie die bei diesen Verfassern aufgesghlte Literatur. Dies wird man intuitiv wohl such schon in der Zeit vor der Entdeckung der linearen Inkommensurabilitat gewusst haben. ************ LECTURE SERIES AT THE UNIVERSITY OF CHICAGO Beginning in the autumn of 1968, Professor Felix Browder has organized a series of lectures each year sponsored by the Department of Mathematics under the title “Contemporary Mathematics from an Historical Viewpoint.” In the announcements, these were described as follows: “The lectures will be expository in character, and will deal with the background and aims of presentday research in the mathematical sciences, both pure and applied.’ About two dozen lectures have been given in each academic year. The speakers and topics for the series in 1972-73 were as follows : John W. Milnor (Milgram’s Gauss sum formula), Daniel Zelinsky (Galois theory), Walter Rudin (Some classical interpolation problems), Richard S. Paiais (Real algebraic differential topology), Lipman Bers (Moduli of Riemann surfaces and Kleinian groups), Donald C. Spencer (Overdetermined systems of partial differential equations: some results and problems), Paul Erdiis (Combinatorial analysis), Raoul Bott (Exotic characteristic classes), Charles L. Fefferman (Psudodifferential operators and partial differential equations), John Tate (On the arithmetic of elliptic curves), Fritz John (Nonlinear elasticity), Mark Kac (Eigenvalues of the Laplacian: past and pressent), Shreeman Abhyankar (From Isaac-Newton to Max Noether), William H. Reid (Asymptotic analysis), Hans Freudenthal (Geometry and lie group methods in finite groups), Heinz Bauer (Recent developments in the theory of harmonic spaces), Phillip Griffiths (Holomorphic curves), Herve Jacquet (Euler products and automorphic. forms), Michael Shub (Dynamical systems), George D. Mostow (Lie groups), James B. Serrin (Liouville theorems for elliptic partial differential equations), R. H. Bing (The monotone mapping problem), Charles B. Morrey (Differentialbility of solutions of partial differential equations), Gerald E. Sacks (Algebraically closed division rings), Tosio Kato (Essential self-adjointness).