Die pythagoreische Mathematik

Sol pak ZELLEN AG: Inhaltsübersicht Beite Einleitung. 1. Vorgeschichte der Mathematik .....,..............,.., 1 2. Ägypter und Babylonier...........,.........,......,. 8 Die griechlache Mathematik. 4. Historischer Überblick ............... ........,,.. coo 14 "=> 2. Die pythagoreische Mathematik ....................... 8- 8. Die geometrische Arithmetik........ as sierra Giara sue GALA 4. Die geometrische Algebra............................ 6. Numerische quadratische Gleichungen; Ausziehen der Quadratwurzel ...........,,...........sesesss. 6. Das Unendliche .... .......,......................., 7. Die Quadratur des Kreises............... è vana sure e .. 8. Dreiteilung des Winkels; Einschiebungen........... cues 9. Verdoppelung des Würfels..........,..,.,...,..,.,,,, 10. Probleme und Theoreme; Bedeutung der geometrischen 40 44 . Konatrukljan..........,..,.........4. esse 88 11. 54 64 70 79 82 Die analytische Methode; die analytisch-synthetische Darstellungsform.........,.....,.... Ge veni an CUS ESS 92 12.- «Elemente»; analytische Húlfamittel .,................. 105 18. Überblick über Euklids Elemente; synthetisches Lehr- 14. gebäude ss se sw i ses Hewes sie en A à 108 Euklids geometrische Voraussetzungen ................. 116 15. Anmerkung über die Voraussetzungen der Geometrie.... 182 Die allgemeine Lehre von den Proportionen; Euklids btes und 6tes Buch...... .......ooconcnoconenororoacoosa 199 Kommensurable Grössen und ihre Behandlung durch Zahlen; Euklids 7.—9, Buch ...... PETTO bb waeBawa

indirekt durch Reihen von Hülfssätzen über jetzt verlor Me Werke der grossen griechischen Mathematiker gebra<> Hit haben. In einem einzelnen Zweige der Mathematik ist jedoch noch zu Pappus Zeit etwas Neues hervor gebracht wor den, nämlich in der Arithmetik. Aus der Zeit zwischen den grossen Mathematikern und Pappus besitzen wil Arbeiten von mehreren arithmetischen Schriftsteller; unter denen namentlich Nikomachus (etwa 100 n. Chr-) grossen Ansehen genoss. Er hat eine erhaltene Eirnführung in die Arithmetik geschrieben. Dass er umd einige andere arithmetische Schriftsteller uns etwas Neues haben bringen können, hat seinen Grund zunächst wohl darin, dass weitergehende arithmetische Untersuchunger nicht in den Rahmen der Arbeiten hineinpassten, die u22® aus der besten Zeit aufbewahrt sind. Dagegen nehme” die Arbeiten, welche wir von Pappus’ Zeitgenossen Di o phant besitzen, eine derartige Sonderstellung ein, dass wit darin eine wirkliche Erweiterung der griechischen Mathes <2” matik erblicken müssen. Von seiner Hand ist uns das Meis “© von einem grossen Werke über arithmetische Dinge © erhalten; ob eine kleine Schrift über Polygonalzahlen einer = Teil dieser grösseren ausgemacht hat, wissen wir nicht. 2. Die pythagoreische Mathematik. Wenn wir uns nun dem mathematischen Inhalt der griechischen Geometrie zuwenden und mit der ältesten Zeit beginnen, so erfahren wir über das 6te Jahrhundert nur ausserordentlich wenig. Allerdings schreibt Eudemus dem Thales verschiedene Sätze zu. Unter diesen kann er recht wohl den gekannt haben, dass der Peripheriewinkel auf dem Halbkreise ein Rechter ist, einerlei ob

Die pythagoreische Mathematik. er ihn selbst gefunden oder von den Ägyptern: erhalten hat; denn der Satz ergiebt sich ohne weiteres aus der leicht erkennbaren Thatsache, dass sich um ein Rechteck ein Kreis beschreiben lässt. Dagegen ist es schwierig irgend welchen Sinn darin zu finden, wenn Eudemus dem Thales den Satz zuschreibt, dass ein Kreis von einem Durchmesser halbiert wird, denn man kann kaum damit begonnen haben etwas so in die Augen fallendes ZU beweisen. Eudemus kann jedoch gemeint haben, dass Thales notwendigerweise denselben Satz gekannt haben müsse, der zu Eudemus’ eigenen Zeiten für notwendig angesehen wurde, um den Satz über Peripheriewinkel im Halbkreise zu beweisen. Auf ähnliche Weise kann es sich mit den gleichfalls von Eudemus genannten. Sätzen verhalten, dass Scheitelwinkel oder Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkeligen Dreiecks gleich gross sind, oder dass ein Dreieck durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt ist. Der letzte Satz Namentlich erhält erst seine Bedeutung als theoretischer Satz, wenn er in seiner natürlichen Verbindung mit ande- Ten ähnlichen erscheint. Da über Thales’ Bekanntschaft Mit solchen nichts mitgeteilt wird, so hängt die Sache Vielleicht damit zusammen, dass die Tradition dem Tha- SB gewisse praktische Operationen beigelegt hat, zu deren t Soretischer Begründung dieser Satz notwendig ist. Hier©i kann man denken an die dem Thales zugeschriebene ®Stimmung des Abstandes von unzugänglichen Punkten Oder Höhenmessung durch Schatten. Der Satz würde zuNächst darauf hindeuten, dass diese Messungen mit Hülfe Ongruenter Dreiecke ausgeführt worden sind. Die von en Ägyptern vorgenommene Bestimmung der Neigung Siner Pyramidenkante deutet darauf hin, dass sie dazu ähnliche Dreiecke zu benutzen verstanden, also weiter Waren als Thales; diesem fällt aber doch die Ehre zu,

zuerst unter den Griechen mathematische Untersuchung aufgenommen zu haben. Wieweit man ausserdem i 6ten Jahrhundert gekommen war, das sieht man a besten aus dem, worauf man im nathsten Jahrhunde weiter bauen konnte. Wenn die Pythagoreer beispielswei die 5 regulären Polyeder entdeckten, so hat das jede falls mehr als unbedeutende, von ihren Vorgängern en wickelte, geometrische Voraussetzungen erfordert. Weit mehr befriedigende Mitteilungen liegen vor tk die Mathematik der Pythagoreer. Sind diese auch nic nur unzuverlässig mit Bezug auf das, was dem Meister = gehört und was den Schülern, sondern auch vielleic geneigt den Pythagoreern vieles zuzuerkennen, was nur ihrer Zeit bekannt wurde, so geben sie doch demjenige der mit der späteren griechischen Mathematik vertra ist, ein so zusammenhängendes, deutliches und verstän liches Bild von ihrer ersten Entwicklungsstufe, von de Bestrebungen, die früh rege waren und später so deutlicl Spuren in der griechischen, ja in der spätern Mathemäti überhaupt, hinterlassen haben, dass sie es verdienen 2! sammengestellt zu werden. Dadurch wird man die Grun' lage für die folgenden Arbeiten am Schlusse desselbe Jahrhunderts erhalten und zugleich erreichen, deren Zwet richtig zu verstehen, und dabei wird auch die Gestal die man, namentlich im folgenden Jahrhundert, der Math matik gab, ihre Erklärung finden. Nach dem Bericht des Eudemus haben die Pyth goreer zunächst «die Geometrie zu einer wirkliche Wissenschaft erhoben, indem Pythagoras ihre Grum lage von einem höheren Gesichtspunkte aus betrachte und ihre Lehrsätze mehr immateriell und intellektuell € forschte. Er hat ferner die irrationalen Grössen entdecl und die Konstruktion der kosmischen Figuren (der reg! lären Polyeder.» Zu den specielleren Nachrichten, d

Die pythagoreische Mathematik. 35 anderen Schriftstellern verdanken, gehört — ausser einigen mehr philosophischen als mathematischen Definitionen von Punkt, Linie, Fläche und Körper — auch die, dass die Pythagoreer die Winkelsumme des Dreiecks kannten und die Einteilung der Ebene in (wahrscheinlich reguläre) Polygone, von denen um einen Punkt herum 6 Dreiecke oder 4 Vierecke oder 3 Sechsecke liegen konnten. Sie sollen die sogenannte Flächenanlegung erfunden haben, worunter man, wie wir sehen werden, die Auflösung quadratischer Gleichungen in geometrischer Form verstand, und die bekannte Konstruktion eines Polygons, das einem gegebenen gleich und einem anderen ähnlich ist. Von einem Pythagoreer wird erzählt, dass er Sich des Verbrechens gegen die Schule schuldig machte, «den Satz von 12 Fünfecken in einer Kugel» zu verraten. Endlich kann angeführt werden, dass als pythagoreisches Zeichen das sogenannte Pentagramm angegeben wird, ein tegelmässiges Sternfünfeck, dessen Seiten in dem umbeSchriebenen Kreise Sehnen zu Bogen von der Grösse = Sind. Während einzelne Fälle des Satzes, der noch heutigen Tages der pythagoreische genannt wird, gewiss schon früher bekannt gewesen sind, wird der allgemeine Satz den Pythagoreern zugeschrieben; ferner eine von den Regeln, nach denen man rationale Zahlen für die Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks bilden kann, nämlich die 2_ 2 Zahlen a, a 2 1 und £ EL worin a eine ungerade Zahl 2 2 bedeutet, während die Zahlen a, 6) —1 und (3) + 1, worin a eine gerade Zahl bedeutet, dem Plato zugeschrieben werden. Es wird berichtet, dass die Pythagoreer die drei Proportionen kannten, nämlieh die arithmetische, die geometrische und die harmonische, ferner die Dreiecks3*

zahlen, d. h. die Summen der ersten Zahlen der nat lichen Zahlenreihe, und dass sie sich überhaupt mit Dil renzreihen beschäftigten. Endlich wird berichtet, d4 Pythagoras die Zahl zum Princip aller Dinge gemaC habe, und dass die Pythagoreer sich mit Untersuchung: über gewisse ganze Zahlen beschäftigt haben, wie «k freundete Zahlen», von denen die eine gleich der Sumr der Faktoren der anderen ist, und «vollkommene Zahlen die gleich der Summe ihrer eigenen Faktoren sind (¥ 6=1-+2+3). Endlich soll Pythagoras Arithmet und Musik mit der Geometrie in Verbindung gebrac haben. Wir werden ausführlicher über mehrere von dief Gegenständen und ihre Bedeutung für die griechisc Mathematik sprechen, wollen aber erst kurz den Zusa menhang zwischen ihnen nachweisen und die gute Üb einstimmung zwischen den Angaben, die aus Quellen v verschiedenem Werte stammen. Zunächst sei auf das Bestreben hingewiesen, die E griffe Punkt, Linie u. s. w. klar von einander zu sch: den. Es ergiebt sich auch, dass man bereits im Besit des Winkelbegriffs war. Hiervon hat man Anwendut gemacht sowohl bei der Teilung der Ebene als bei d Untersuchung darüber, welche regulären Polyeder übe haupt möglich wären. Sicherlich war viel Arbeit zu le sten, bevor man zu einer so vollkommenen Bestimmur und Konstruktion auch vom Dodekaeder und Ikosaed' gelangte wie die ist, die wir bei Euklid finden; aber d' erste Schritt hierzu, die Konstruktion des regelmässige Fünfecks, war gemacht, und man war sichtlich stolz da auf, soweit gekommen zu sein. In der Konstruktion d Fünfecks- oder Zehnecksseite haben wir bereits dasjenis Beispiel für die geometrische Auflösung einer Gle ng zweiten Grades, welches die grösste Rolle b

nur der Beweis durch Einteilung in Quadrate unbraue—hbar, sondern der Satz selbst wird sinnlos, da es de? beim gewöhnlichen Rechnen gebildeten Begriffe eines P #0 duktes widerstreitet, wenn die Faktoren irrationale Zus) len sind. Diese Schwierigkeit war es, die die Pythagoreer wed mit ihnen die folgenden griechischen Mathematiker be wanden durch geometrische Darstellung der ame gemeinen Grösse. Im ersten Augenblick kann es alle " dings so aussehen, als ob hiermit nur wenig gewonne="" sei, da eine beliebig gezeichnete Strecke ebensowohl eins=-° bestimmte Grösse hat wie eine beliebig gewählte Zah. Die gezeichnete Figur dient jedoch nur dazu die Figu- * festzuhalten, die beschrieben wird, und in dieser könne * die Grössen alle die Werte annehmen, die zu der Beschrei bung stimmen. Die Darstellung einer Grösse durch die Länge einer Strecke kann dadurch, ebenso wie die in der Algebra gebräuchliche Darstellung durch einen Buchstaben auf kontinuierlich variierende Grössen angewandt werden. Die Griechen wussten allerdings ebensowenig etwas von negativen wie von imaginären Grössen; aber das Bedürfnis nach den ersteren wird dadurch etwas verringert, dass die Variationen der Figur teilweise dieselben Verallgemeinerungen darbieten können, die wir nun durch Benutzung negativer Grössen erreichen. Aus diesen Bemerkungen lässt sich erkennen, dass die Operationen mit den geometrisch dargestellten Grössen eine ähnliche Rolle spielen wie unsere algebraischen Operationen. Wir wollen deshalb die Lehre von diesen geometrischen Operationen die geometrische Algebra nennen. Diese soll hier so dargestellt werden, wie wir sie kennen teils aus dem zweiten Buche von Euklids Elementen, teils aus der Anwendung, die überall von ihr in der griechischen Mathematik gemacht wird, namentlich

Die pythagoreische Mathematik. da, wo man jetzt Gleichungen zweiten Grades benutzt. Sowohl bei Euklid als auch bei anderen liegt die geometrische Algebra so vielen Dingen zu Grunde, dass sich auch hieraus ein Beweis ergiebt für das hohe Alter, das Wir ihr in Übereinstimmung mit dem Bericht über die Bekanntschaft der Pythagoreer mit der Flächenanlegung beilegen. Ihre Anwendbarkeit auf beliebige Grössen, irrationale sowohl wie rationale, und ihre hieraus folgende abstrakte Natur stimmt gut zu der Äusserung des Eudemus über Pythagoras’ immaterielle Behandlung der Geometrie. Es ist jedoch wohl möglich, dass diese abstrakte Natur nicht von vornherein so bewusst und ausgeprägt &e wesen ist, wie sie es zu Eudemus’ Zeit geworden war und bei Euklid:ist. Im Gegenteil ist es natürlich und wohl übereinstimmend mit den Berichten über die Verknüpfung von Geometrie und Arithmetik durch die Pyagoreer, wenn man annimmt, dass die entsprechende 8SOmetrische Behandlung ganzer Zahlen, die bei Euklid zum Teil als eine Anwendung der allgemeineren geometrischen Algebra auftritt, vorangegangen ist. In den naheliegenden geometrischen Darstellungen von Eigenschaften ganzer Zahlen, mit denen man begonnen hat, hat man n eine Darstellungsform gehabt, die von selbst ebenso leicht auf allgemeine kontinuierliche Grössen anwendbar War, Dessen ist man sich jedoch nur erst ganz allmählich bewusst geworden. Aus diesem Grunde wollen wir werst reden über die geometrische Arithmetik der Griechen als Einleitung zu ihrer geometrischen Algebra.

3. Die geometrische Arithmetik. In unseren Lehrbüchern findet man durchgehen einen geometrischen Beweis für den Satz, dass in eine Produkte von ganzen Zahlen die Reihenfolge der Faktor beliebig ist. Dieser besteht darin, dass man die Einheit oder die Punkte, die diese darstellen, in Form eir Rechtecks hinschreibt. Jede horizontale Reihe enth. die Einheiten des Multiplikanden, und die Anzahl c Reihen ist der Multiplikator. Die Vertauschung der hc zontalen Reihen mit den vertikalen ergiebt dann die V tauschbarkeit der Faktoren. Benutzt man statt der E heiten kleine Quadrate mit der Seite 1, so hat man glei: zeitig den geometrischen Satz bewiesen, dass die Grö eines Rechtecks durch das Produkt der Seiten ausgedrü: wird. Unterlässt man dagegen eine bestimmte Eink zu wählen, so erhält man, wenn die Seiten kommen rabel sind, den Satz, dass zwei Rechtecke sich wie Produkte ihrer’ Seiten verhalten. Von dieser Darstellung rührt die bei den Grieck allgemein gebräuchliche Benennung ebene Zahlen : für solehe, die aus zwei Faktoren zusammengesetzt si: also eine rechteckige Fläche bilden, und die noch je gebräuchliche Quadratzahl. Ebene Zahlen heissen äl lich, wenn ihre Faktoren proportional sind; sie verhal sich dann wie zwei Quadratzahlen. Aus dem Quadrat, das eine gewisse Quadratzahl ( darstellt, erhält man die nächste (n + 1)?, indem nm längs den beiden Seiten 2n neue kleine Quadrate 1 und noch eins in den dadurch entstehenden einspring den Winkel. Diese ganze Ergänzungsfigur, sowie im : gemeinen eine Figur, die die Differenz zwischen zwei [ grebtivienh ähnlichen Figuren mit einem Eckpunkt,