Der pythagoreische Lehrsatz in der altesten Geometrie der Inder

Jahresbericht der Schles. Gesellschaft far vaterl. Cultur. VOGT, A. Sechste Sitzung am 11. Dezember 1906, Herr Direktor der Kónigl. Maschinenbauschule Kosch: Konstruktion und Bedentung des Kerns von Querschnitten ACTE Ve AVICNULE. MAWICIUGLSLUG wumsusn. - Dieser Fehler wird zwar in manchen Beweisen des Jacobischen Satzes | vermieden — sei es dadurch. daß über die Auflösbarkeit der Gleichung II (f fisc + fn) =. oder über die der Gleichungen f = fir, x, » ++ Tn), prismatischer Stäbe. Referate über einige der gehaltenen Vorträge sind unten abgedruckt. Die Sitzungen waren von 15 bis 30 Personen besuchl. Zum Präsidialdelegierten für die Jahre 1907 und 1908 wurde in der letzten Sitzung Herr Geh. Rat Prof. Dr. Sturm wiedergewählt. fy HAG Bee ho gen gemacht werden; aber es wird auch, selbst bis auf die neueste Zeit, =falZ Tp» +» Tn) gewisse Voraussetzunder Jacobische Beweis unverändert wiedergegeben; auch in den Anmerkungen der Ostialdschen Ausgabe ist keine Bemerkung hierüber zu finden. Deshalb glaubte der Vortragende einmal darauf hinweisen zu sollen. Über einen Beweis in C. G. J. Jacobis Abhandlung De determinantibus Der Pythagoreische Lehrsatz in der ältesten Geometrie der Inder functionalibus. von Von Professor Dr. H. Vogt. Prof. Dr. E. Toeplitz. Der Vortragende macht darauf aufmerksam, daß der Beweis, den Jacobi im art. 6 der genannten Abhandlung*) für den Fundamentalsatz: die Determinante von Funktionen. die nicht von einander unabhängig sind, verschwindet gibt, einen Fehler enthält, was noch nirgends ausdrücklich hervorgehoben worden zu sein scheint. Aus dem identischen Bestehen der Gleichung zwischen den n + 1 Funktionen f, fi, . ., fn der Veränderlichen x, x,..., Tn folgt nämlich nur, daß das durch Differentiation hervorgeliende lineare homogene Gleichungssystem _ ram | or am am ar, af, au fa an (=p 900 Die Geometrie der Inder hat unter dem Einllusse von M. Cantor bisher als abhängig von der der Griechen gegollen. Durch die Veröffentlichungen von Birk (Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft Bd. 55. 56) 1901 und 1902 ist ein Umschwung der Auffassung eingetreten: es wird jetzt allgemein anerkannt, daß die Inder anschauliche geometrische Walırheiten zur Ausführung ihres Opferkults, hesonders zum Bau von gesetzmäßig gestalteten Allären in der Zeit von 2000 bis 1200 v. Chr. aufgefunden und angewendet haben, daß ein Fall des Pylhagoreischen Lehrsatzes (das rechtwinklige Dreieck 15, 36, 39) sich bei ihnen um 800 findet, und daß ein Kodex geometrischer Wahrheiten und Vorschriften in den Sulba-Sutren von 600—400 v..Chr. niedergelegt worden ist. Die Unabhängigkeit dieser Geometrie ist außer durch ihr hohes Alter auch durch ihre Eigenartigkeit gewährleistet. Oh 7 beo tast Zur Zeit der Sulba-Sutren sind die Inder im Besitz des Pythagoreischen Lehrsatzes gewesen, sie wissen Quadrate zu addieren und subtrahieren, Rechtecke in Quadrate zu verwandeln, den Kreis annähernd zu quadrieren, komplizierte Gestalten z. B. einen in Gestalt eines Falken aus Quadraten 4 mau _ ya, MA, und Rechtecken zusammengesetzten Altar um eine gegebene Fläche zu verru An ER /, fi, - ., fn die Ausdrücke in den dann identisch besteht, „wenn man für Veränderlichen x, 2,, - -, Y, einselzt, denen sie gleich sind“. Man kann also auf das Verschwinden der Funktionaldeterminante = + z a sa = ‘ of à CII OU of, oH auch nur dann schließen, wenn feststeht, daß nicht alle Größen EA Tr of, bei dieser Einsetzung gleichzeitig verschwinden, aber nicht, wie Jacobi schließt, an sich nicht verschwinden; denn dies erst würde bedeuten, daß JT von allen f, fi, - ., fn frei wäre. *) Journ. f. d. r. u. a. Math, Bd, 22, 1841 S. 328 f., Jacobis Gesammelte Werke Bd. Ill, 1884 S. 404 £., Ausgabe von P. Stäckel in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften Nr. 78, 1896 S. 16 f. größern, ohne die Gestalt zu verändern; auch haben sie einen sehr guten Annäherungswert für die Diagonale eines Quadrats. Die Erkenntnisgründe dieses Wissens aber sind entweder die Anschauung oder das Messen mit sehr beschränkter Genauigkeit. Geometrische Abstraktion und deduktives. Beweisverfahren ist ihnen unzugänglich; sie bleiben durchaus im Bereiche des ungewissen Suchens und des praktischen Ausfübrens, So ist zwar der besondere Fall des Pythagoreischen Lehrsatzes (für das Quadrat) adäquat aus der Anschauung erkannt, der allgemeine Satz aber hat zur Begründung nur die Gültigkeit des besonderen Falles und das Ausprobieren an 8 Fällen von ganzzahligen Pythagoreischen Dreiecken. (Die Inder verwenden die Rechtecksfiguren.) Haben die Inder also auch den Pythagoreischen Lehrsatz als allgemein gültig ausgesprochen, so ist er bei ihnen doch keine mit dem Kennzeichen

Jautesbelichl Uci Semics. Urocsiscdaie dul saitis Lana. Es ist nun leicht einzusehen, daß das Erzeugnis irgend einer dieser der Notwendigkeit behaftete geometrische Wahrheit, sondern ein glückliches Ergebnis von Intuition und Ausmessung in Einzelfällen. Ebenso ist sicher, Zuordnungen eine Kurve 4. Ordnung ist, die in A, B, O je einen Doppelpunkt hat und die 4 Punkte F zu einfachen Punkten, so daß also die oo’ daß die alten Inder das Irrationale, dessen Kenntnis man ihnen zugeschrieben Zuordnungen ein Büschel 4. Ordnung mit den festen Doppelpunkten A, hat, nicht gekannt haben. B, O und den einfachen Punkten F,, F,’, Fy, Fa erzeugen. So bleibt nach wie vor die Schöpfung der wissenschaftlichen Geometrie insbesondere die Feststellung des Pythagoreischen Lehrsatzes ais einer wissenschaftlichen Tatsache und die Entdeckung des Irrationalen das Werk der Griechen. Was sie von den Völkern des Orients, zu denen jetzt auch die Inder treten, erhalten haben können, das kann höchstens ein gewisses Rohmaterial von anschaulich und messend gewonnenen empirischen Tatsachen gewesen sein. Insbesondere können wir irgend einem Strahlenpaar o der Involution der die AB in denselben [0] den Kegelschnitt des Büschels [F] zuordnen, Punkten schneidet wie a; dann gilt dies von jedem Paar entsprechender Elemente, und die Involution und das Kegelschnitthüschel liegen perspektiv inbezug auf die Punktinvolution auf AB. 3. Ordnung, die in O einen Doppelpunkt hat und außer durch die Punkte F durch die Punkte A und B geht. Über eine Verallgemeinerung der Alhazenschen Aufgabe Lassen wir irgend einem Kegelschnitt des Büschels ein Strahlenpaar von der Involution enisprechen, Dr. Pyrkosch. Demnach bestimmen von Kurven 4, Ordnung. so zähll er 13 Punkte im im allgemeinen allgemeinen ein Biischel Soll ein Punkt ein Doppelpunkt der Kurve sein, eine Kurve 4. Ordnung vom Geschlecht 0 ist also durch ihre 3 Doppelpunkte und 5 einfache Punkte bestimmt. für 3 einfache Punkte, und das entweder dem Doppelstralll OA oder dem Doppelstrahl OB unendlich benachbart ist, so gelangen wir zu 2 anderen Eine Kurve 4. Ordnung ist durch 14 ihrer Punkte bestimmt. Dann löst sich von der erzeugien Kurve 4. Ordnung die Gerade AB ab, und die Restkurve ist eine Kurve Demnach ist ein Büschel solcher Kurven im allgemeinen festzerfallenden Kurven des Büschels. Die eine besteht aus der Doppelgeraden OA und dem von B ausgehenden Geradenpaar F, F,, F,’F, und die andere aus der Doppelgeraden OB und dem von A ausgelienden (ieradenpaar F, F,”, F, Fr. Schließlich ist durch die 5 Punkte A, B, O. F,, Fs und ebenso durch A, B, O, F,', F, je ein Kegelschnitt bestimmt, und diese beiden Kegelgelegt, wenn 3 Punkte als Doppelpunkte und außerdem 4 einfache Punkte schnitte bilden zusammen auch eine zerfallende Kurve des Biischels, indem gegeben sind. auf ihnen beiden durch die Strahleninvolution und das Kegelschnittbiische! Diese 5 Doppelpunkte können nun sämtlich oder z. T. in die Diagonalpunkte des von den 4 einfachen Punkten gebildeten Vierecks fallen, und dieselbe Involution eingeschnitten wird. Wir wenden uns nunmehr zu folgender Aufgabe. die mit einem im folgenden wollen wir den Fall näher ins Auge fassen, wo 2 Doppel- Kurvenbiischel der beschriebenen Art in einem gewissen Zusammenhang punkte mit 2 Diagonalpunkten zusammenfallen, während der dritte beliebig steht: bleibt. Ein solches Büschel,läßt sich auf folgende Weise erzeugen: Wenn ein Kreis x gegeben und in Wir betrachten ein Kegelschnittbüschel mit den Grundpunkten F,, F,’, F,, F,’. Der Schnittpunkt von F,F,’ und F,F,’ sei A, der von F,F, und F,’F,’ sei BB Dann wird durch das Büschel auf AB eine Involution mit den Doppelpunkten A und B festgelegt. festen Punkte O aus Strahleninvolution. und wir Von einem beliebig diese Punktinvolution gewählten durch eine Wir können dann die Kegelschnitte des Büschels [F] die Strahlenpaare auf 00° projizieren der Involution [O] als lineare Mannigfaltigkeiten Arten projektiv auf einander beziehen, der einen 3 Elementen der anderen zuordnen. indem wir 3 Elemente Wir setzen nunmehr fest, daß dem Geradenpaar des Kegelschnittbüschels, das seinen Doppelpunkt in A hat, der Doppelstrahl OA der Stralileninvolution entsprechen soll und dem Geradenpaar des Büschels mit dem Doppelpunkt B der Doppelstrahl OB. Dann sind noch oo! projektive des Büschels möglich. Zuordnungen der Involution und derselben Ebene 2 feste Punkte A und B, die Punkte X auf x zu ermitteln, nach denen ein von A ausgehender Lichtstrahl zielen muß, um nach der Brechung an dem Kreise, der 2 optisch verschiedene Medien trennt, nach B zu gelangen. Es sei O der Mittelpunkt des Kreises x, X ein Punkt der gesuchien Art, also OX das Einfalislot, a der Einfallswinkel, $ der Brechungswinkel, n der Brechungsexponenl, Dann ist n = n. Stehen AM und BN senkrecht aufOX, a AM BX — = n. Mn. Ist er! so ist sin a =" = AMx sin B = BX” N folglich BN AX Ist RR der dSchnitt AX _ AM _ AR ., punkt von OX und AB, so ist BN — = BR’ folglich 8x5" AX AR . A = nf, wenn EX = À, ER =? gesetzi wird. ER oder