El pitagorismo y el descubrimiento de lo irracional

Methexis I (1988) p. 17-32 = © ex erh LAN y“ ” \ 29 EL PITAGORISMO Y EL DESCUBRIMIENTO DE LO IRRACIONAL CONRADO EGGERS LAN La hipôtesis del escandalo Entre las abundantes leyendas que atin circulan respecto del antiguo pitagorismo, la más significativa y a la vez la más pintoresca es probablemente la que le adjudica el descubrimiento de la irracionalidad, como comprobación de la imposibilidad de hallar una medida común a la diagonal y al lado del cuadrado (o, lo que es lo mismo, a la hipotenusa y los catetos del triángulo rectángulo isósceles), con consecuencias tilosóficas y sociales ciertamente muy extrañas. Así Paul Tannery declaraba que el “descubrimiento de la inconmensurabilidad por Pitágoras debió .. .de causar, en geometría, un verdadero escándalo lógico”, que sólo pudo superarse con la teoría de las proporciones de Eudoxo, ya a mediados del siglo V a.C.' Por cierto que el único texto concreto en que podía apoyarse Tannery para la atribución a Pitágoras era un párrafo del llamado “catálogo de los geómetras” de Proclo, en el cual (/n pr. Eucl. 65, 15-21 Friedlein) se dice que “Pitágoras .. .descubrió el tratamiento de los irracionales y la construcción de las figuras cósmicas”. Pero el valor de esta información dependía en buena medida de la presunta autoría del peripatético Eudemo, que hace rato está muy cuestionada;? y al margen de ello, las dificultades que dicha atribución provocaba en la reconstrucción de la historia de las matemáticas condujeron a Thomas Heath? y a Helmut Hasse y Heinrich Scholz,* entre otros, a pensar más bien en pitagóricos del siglo V que en Pitágoras mismo, aun admitiendo la posibilidad de que se hubiese desatado un escándalo. La razón de éste habría sido que 1, P. Tannery, La Géometrie Grecque, París 1887, p. 98. 2. Hemos resumido la más reciente discusión de este tema en nuestro trabajo “Eudemo y el “catálogo de geómetras' de Proclo” (Emerita $3, 1985, p. 127-157, especialmente p. 139142), donde arribamos a la conclusión provisional de que la fuente de este pasaje deben ser enseñanzas de un neoplatonismo pitagorizante (o de un neopitagorismo platonizante). 3. T. Heath,A History of Greek Mathematics, Oxford 1921, vol. I, p. 154-157. 4. H. Hasse-H. Scholz, Die Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik, Charlottenburg 1928.

la matemätica pitagérica tenia como principio que “todo es nümero” o sea, que “el nümero es la esencia de todas las cosas que existen” 5 donde numero” es sólo un número entero, por lo cual la imposibilidad de mediciön numérica venia a hacer estremecer los cimientos filosöficos de la doctrina. En el caso de Hasse-Scholz la superaciön de la encrucijada no debia esperar hasta Eudoxo, sino que se producia ya en el siglo V, con Zenön de Elea y su tratamiento de lo infinitesimal.® Estos autores, al igual que Heath, toman en cuenta —para fechar el descubrimiento de lo irracional a mediados del siglo V— un controvertido pasaje del Teeteto (147d), en donde se nos informa que Teodoro (considerado “pitagérico” por Hasse-Scholz) “demostró” “la irraciona- Need de V3, V5", etc. hasta “VW 17”.? Pero si Teodoro comenzó por górica.1% En lo que hace a la crisis. sin embargo. Kurt Reidemeyister hizo notar que en ninguno de los múltiples pasajes platónicos aristotélicos que se ocupan de lo irracional puede rastrearse el menor indicio de un escándalo;'! y por lo demás se sospecha actualmente que la doctrina de que “todo el universo es armonía y número”, que Aristóteles atribuye a “los llamados pitagóricos” (Met. 1 5, 985b-986b; cf. De Caelo 1 1, 268a) corresponde a Filolao, ya a fin del siglo Vo comienzos del 1V.!? De todas maneras, y con la sola excepción de Burkert, todos los autores a que acabamos de aludir consideran que el descubrimiento de lo irracional fue cosa de los pita Óricos, y citan como ación de la irracionalidad devi que tenemos como prueba la demostr Euclides X. apéndice a Va afirman. esto supone la demostraciön previa de la irracionalidad de di que ha sido obra pitagórica: y aquí reina casi total unanimidad en el sentido de que esta antigua prueba es la que Heiberg ha conservado como apéndice 27 al libro X de los Elementa de Euclides.® Por cierto que, ya en un artículo de 1940, Bartel L. van der Waerden rechazó la tesis de Hasse-Scholz sobre la indole filosófica de la crisis provocada por el descubrimiento en cuestión, y sobre todo lo de la presunta solución que Zenón habría aportado, pero siempre aceptando que hubo una crisis,? y que la prueba mencionada es pita- 5. Hasse-Scholz p. 5 y Heath p. 155, respectivamente 6. Hasse-Scholz p. 10 y ss 5 . Ib. p. 7, Heath p. 155. El texto platónico dice:> "en lo concerniente a imei Teodynämeis, doro nos égraphe esto: tanto respecto del de tres pies (de superficie) cuanto del de nee Pa pe de manifiesto que no son conmensurables en longitud con el pie (como unidad de media), y tomó así separadamente cada uno hasta llegar al de diecisiete pies (de superficie)”, Hasse- Scholz y Heath traducen égraphe por “demostró”. En cambio, A. Szabò (Anfänge der griea È ratics, È ur: Zen. 1969, p. 40 = The Beginnings of Greek Marlıtr, À. M. Ungar, Dordrecht-Boston 1978, p. 40) vierte “dibujó” O sone! s »P» Y, en fo la ei a W. R. Knorr (The Evolution of the Euclidean Elements, DordieditBasten 1975. p. = ) bg a I st probò mediante diagramas”, lo cual nos parece mejor. En cuanto a dynámeis tra luce “raíces cuadradas” (o más precisamente “surds"*), en tanto que Knorr y M. { The philosophical sense of Theaetetus’ Mathematics”, en Isis 69, 1978, p. 493 5.) Es: eres”, Szabó | cuadrados”, y por su parte B, L. van der Waerden (“Die Arithmetik der . pen , artículo de 1947/49 reproducido en la recopilación de O. Becker Zur Geschichte “ griechischen Mathematik, Darmstadt 1965, p. 249, aunque en el Apéndice 1963” para esc vo na p. 254, se manifiesta convencido por la traducción de Szabo) y M. E. Paiow (“Die da ngi Theaetetsstelle”, en Archiv for History of Exact Sciences 27, 1982, p. 89) vr en “‘lados de cuadrados”, que hasta el momento es la interpretación que nosotros adophos 1" * jon e ras a DER 4 ga q eath y E, ls se está hablando de líneas. De todos modos, esto no Hasse-Scholz parafrasean la linea al hablar de la irracionali- 8. Cf. entre otros O, Becker, Das mathematische 1 i Denken der Antike, Góttingen 1957, 9. B. L. van der Waerden, “Zenon und die Grun nkrise tik”, en Mathematische Annalen 117 (1940/41), p. 115. e 18 iechi ns La “antigua” demostración de la irracionalidad Veamos, pues, la prueba.!? Dado el cuadrado ABCD, cuya diagonal es AC, se dice que CA es inconmensurable en longitud con el lado AB, y esto se demuestra por reducción al absurdo, sobre la base de que. si “CA es conmensurable con AB, la ratio entre CA y AB será la de un número con otro número”, relación ésta comparable a su vez con la de otros dos números entre sí. EZ y H. A partir de aquí se muestra, deductivamente, que EZ es par y a la vez impar, lo cual es absurdo. Por cierto que en el texto —no comentado en escolio alguno— no hay ninguna indicación de la filiación de la prueba ni de su data. A veces esto es resuelto mediante la conexión con la doctrina de lo par y lo impar, rotulada a su turno como pitagörica en base a un testimonio del comediógrafo Epicarmo, pero en este caso con fundamentos aun más precarios.!* Con mayor frecuencia, en cambio, se aduce la palabra de Aristóteles para avalar la filiación pitagórica de la prueba y su antigua data. Así Arpad Szabó, cuando habla de “la antigua proposición última obra, en 10. Cf. Die Pythagoreer, Zürich-München 1979, p. 198-199; en esta sustituido (p. 69-71) por una cambio, parece haber abandonado la tesis de la crisis, y haberla versión crítica de la leyenda de Hipaso, a la que nos referimos más abajo. 1949 (reprod. Darm11. K. Reidemeister, Das exakte Denken der Griechen, Hamburg stadt 1974), p. 30. i und Platon, 12. W. Burkert, Weisheit und Wissenschaft, Studien zu Pythagoras, Philolaos tr. E. L. Minar jr., in Ancient Pythagoreanism, Nürnberg 1962, p. 242 ss. = Lore and Science en R, E. Supplementband XIII Cambridge Mass. 1972, p. 261 ss., K. v. Fritz, “Philolaos”, pitagörico s” en Los filösofos prellamados los y “Filolao capítulo nuestro y (1973), col. 463, socräticos Ill, Madrid 1980, esp. p. 99 ss. 13. Euclides, £fementa Ul, p. 408-410 Heiberg = 231-233 Stamatis. esta tesis en nuestro artículo “Epicarmo y la aritmética 14. Creemos haber refutado Nuño, editado por el Inspitagórica”, incluido en un volumen de homenaje a Rubén BonifazAutónoma de México (en Nacional Universidad la de Filológicas ones Investigaci de tituto prensa).

pitagörica sobre la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado con el lado de éste (Elem. X ap. 27). Aristöteles es nuestro testigo de que esta proposiciôn fue verificada desde antiguo, en lo esencial, por la prueba indirecta que leemos también en Euclides”, y remite, en nota al pie de página, a “Analytica Priora I 23, 41a26 y 144, 50a37”.15 Del mismo modo, entre nosotros, Rodolfo Mondolfo: “También la demostración de la irracionalidad de la Y2 que nos ha números.!? Cabe agregar que puede haber pocas dudas de que con dicha prueba no se descubrió la irracionalidad, sino que ella misma está suponiendo un descubrimiento anterior por otra vía; y en ese sentido, como ha sugerido Burkert, dicho descubrimiento ha de haberse producido en el ámbito de la geometría y no en el de una teoría aritmética como la de lo par y lo impar.!* conservado Euclides y atribuida por Aristóteles al antiguo pitagorismo”,!% Aquí falta la referencia a textos aristotélicos, pero han de ser los mismos. El segundo texto es sumamente breve: está hablando de la reducción al absurdo como silogismo hipotético, y ejemplifica: “por ejemplo, cuando se supone que la diagonal es conmensurable, los números impares son iguales a los pares” (50a37-38). Pasemos ahora al pasaje más extenso: “todos los que razonan por reducción a lo imposible deducen silogisticamente lo falso, pero demuestran la proposición original a partir de una hipótesis, cuando algo imposible resulta al suponer la proposición contradictoria. Por ejemplo, demuestran que la diagonal es inconmensurable, en razón de que, si se la supone conmensurable, los números impares se vuelven iguales a los pares. Por lo tanto, se deduce silogísticamente que los números impares se vuelven iguales a los pares, pero que la diagonal es inconmensu- La hipótesis de Hípaso como descubridor En este punto un importante trabajo del gran helenista alemán Kurt von Fritz viene a atar muchos de los cabos hasta aquí sueltos, y a hacer frente a las objeciones formuladas, con un planteo por añadidura original.'? Von Fritz parte del pasaje del Teeteto ya citado y de la misma conclusión de que el descubrimiento de la irracionalidad de Y2 ha debido preceder al tratamiento de los irracionales —alli descrito— por Teodoro; y en vista de las posibles fechas de la actividad de este último, sostiene que aquello debería haber tenido lugar ‘a más tardar a comienzos del último cuarto del siglo V’’; pero incluso, si se acepta la conexión de dicho descubrimiento con los argumentos de Zenón contra el movimiento, ha de haber sido ‘‘no después de mediados del siglo V"’.2° “Y la tradición es unánime en la atribución del descubrimiento al filósofo pitagórico Hípaso de Metaponto”, a quien ubica rable se demuestra a partir de una hipótesis, puesto que por la proposición contradictoria resulta (lo) falso” (41a23-30). Como se echa de ver, es sumamente probable que la demostración a que alude Aristóteles sea la misma que se conserva en los Elementa. pero no se menciona a su autor o autores, así que es difícil saber de 17. Evolution p. 25 s. Por cierto que Knorr propone una alternativa respecto de “qué aspecto podía haber tenido una prueba pitagórica, purificada de estos rasgos anacrónicos” (p. 26 s.), en el estilo del pasaje del Menón 82b-85b, al cual aludimos más abajo. Sin entrar en el análisis de la propuesta de Knorr, diremos que nos parece efectivamente más simple que la otra y podría por ende ser más antigua, aunque sin duda corre con la desventaja de no estar dónde ha sacado Mondolfo que Aristóteles la atribuye a los pitagóricos, documentada como la otra. De tudos modos, Knorr no aduce ningún elemento de su presunta filiación pitagórica (en las páginas anteriores -esp. p. 22, donde hace notar que Aristóteles, * como no sea de la communis opinio antes mencionada. Por lo demás, quien habla de los pitagóricos a menudo, jamás los conecta con la inconmensurabilidad, de la que también a menudo habla— más bien la refuta), de modo que la frase respecto de la forma Aristóteles habla en presente, no en pasado, y aunque esto, por supuesto, no autoriza a inferir que la prueba es contemporánea de él, no hay que podría tener la prueba pitagórica suena hipotética, algo así como si dijera: “si los pitagóricos hubiesen demostrado la inconmensurabilidad con una prueba como la que refiere Aristóel menor indicio que permita ponerlo como testigo. como hace Szabó, de la antigúedad de la misma. Wilbur Knorr ha advertido que el estilo de la prueba se atiene a la práctica de Euclides de distinguir cuidadosateles, no lo habrían hecho del modo que leemos en Euclides, sino más bien de esta otra manera posible”, 18. Burkert, Weisheit p. 412 = Lore p. 436. mente entre números y magnitudes, práctica cuya base se halla precisapublicado por vez primera en los Annals of Mathematics 46 (1945) p. 242-264, reproducido en D. J, Furley-R.E. Allen (edd.), Studies in Presocratic Philosophy vol. 1 (London 1970) p. 382-412; más tarde, en versión alemana (“Die Entdeckung der Inkommensurabilität durch mente en el reconocimiento de magnitudes inconmensurables, por lo que no es concebible que los primeros matemáticos hayan separado —en el intento de reconocer la inconmensurabilidad— magnitudes y 19. K. v. Fritz, “The discovery of insommensurability by Hippasus of Metapontum”, Hippasos von Metapont"), incluida primeramente en la recopilación de O, Becker (citada en nota 7), p. 271-307, y luego en el libro del propio von Fritz, Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft (Berlin-New York 1971), p. 545-571, siempre sin modificaciones. Nosotros citaremos el trabajo según la segunda publicación de la versión en inglés y la primera en 15. Szabo, Anfänge p. 332 y nota 115 = Beginnings p. 247 y n. 115. 16. Mondolfo, El infinito en la antigúedad clásica, trad. F. González Ríos, Buenos Aires, 2a. ed. 1971, p. 241. 20 "alemán (cuya compaginación se reitera en la segunda, marginalmente, lo mismo que en el caso de la inglesa). 20. Von Fritz, “Discovery” p. 385 = ‘‘Entdeckung” p. 274-275,

(en base a Jämblico y al catálogo de Proclo) “en la generación anterior a la de Teodoro”?! Aun cuando von Fritz no precisa las fuentes que constituirian la “tradición” que considera “unánime”, es dable inferir Que el primer caso de irracionalidad haya sido advertido no en la diagonal del cuadrado sino en la del pentägono, dice van der Waerden, que piensa bäsicamente en dos pasajes del De tenemos que señalar que, en todos los casos en que Aristöteles se refiere a la perplejidad que suscita la inconmensurabilidad de la diagonal respecto del lado, no tenemos duda alguna de que está hablando del cuadrado o de un paralelogramo en general? Por su parte, Knorr hace notar que la propuesta de von Fritz es la de que el descubrimiento Vita Pythagorica de Jámblico (final del capitulo 88 —reproducido en De communi mathematica scientia— y parte de los capitulos 246 y 247), incluidos en DielsKranz I 108, como grupo 4 de testimonios sobre Hípaso.?? Dado que alli se habla de la construcción de la “esfera de doce pentagonos” —que se interpreta como una referencia al dodecaedro regular—, von Fritz conjetura que es en esta figura donde se ha producido el descubrimiento, o, más concretamente, en cualquiera de los pentágonos regulares que son sus caras: “había un antiguo método, conocido por Jos artesanos como regla empírica muchos siglos antes del comienzo de la filosofía y de la ciencia en Grecia, a saber, el método de sustracción recíproca, por el cual se halla la mayor medida común”. Por cierto que, en la forma como lo practicaban los artesanos, no era posible descubrir la inconmensurabilidad, pero sí trazando todas las diagonales dentro del pentágono, con lo que se forma un nuevo y más pequeño pentágono regular en el centro, con el cual cabe practicar la misma operación, y así hasta el infinito (cosa que, señala von Fritz, podrían haber hecho los pitagóricos —que “estaban interesados en diagonales” inclusive por medio del pentagrama o estrella de cinco puntas que usaban como contraseña),? por lo cual “es patente casi a primera vista” que “la relación entre la diagonal y el lado no puede ser expresada en números enteros. por grandes que sean”,?4 _ 21. “Discovery” p. 386 = “Entdeckung” p. 275. 22. Por cierto que esa sección 18.4 de D-K incluye también un texto de Clemente de Alejandría (Stromata V 58), que dice: “cuentan que, habiéndose acusado al pitagórico Hiparco (sic) de publicar las (doctrinas) de Pitágoras, fue abiertamente expulsado de la escuela y se le erigió un monumento fúnebre, como si hubiera muerto”. . 23. “Discovery” p. 402-403 = “Entdeckung” p. 295-296, donde von Fritz ilustra con un grafico cl procedimiento que sugiere. Ein la misma recopilaciôn de Becker citada en nota 7 se incluye una ponencia de 1958 de Siegfried Heller (“Die Entdeckung der stetigen Teilung durch die Pythagorcer”, p. 319-354), en la cual desarrolla el mismo procedimiento. Para el testimonio del pentagrama como contraseña, von Fritz remite al retórico del siglo Il d.C., Luciano (De lapsu in salutando 5) y a un escoliasta de las Nubes de Aristófanes. | 24. En el curso de esta “sustracción recíproca”, dice von Fritz, podemos ver que “la diferencia entre la diagonal y el lado del pentágono más grande es igual a la diagonal del pentágono más pequeño, y la diferencia entre el lado del pentágono más grande y la diagonal del pentagono más pequeño es igual al lado del pentágono más pequeño, y a su vez la diferencia entre la diagonal del pentágono más pequeño y su lado es igual a la diagonal del siguiente pentágono más pequeño, y así sucesivamente hasta el infinito” (loc. cit.). Sin duda von Fritz tiene aquí presente la proposición X 2 de Euclides: “si cuando, de dos magnitudes desiguales, se sustrae continuamente (aeí) la menor de la mayor, la restante nunca mide a la precedente, las magnitudes seran inconmensurables” (en X 3, en cambio, se muestra el caso de las magnitudes conmensurables, donde la última restante mide exactamente a la anterior, y se denomina "'mäxima medida comun”: al no suceder esto en X 2, el proceso es infinito). 22 “es muy bien posible, pero no seguro’’.25 De todos modos, nosotros de la inconmensurabilidad tuvo lugar al advertirse que la “sustracción recíproca” o anthyphatresis “de dos líneas en razón media y extrema continuaba necesariamente hasta el infinito”.?? Y en ese sentido, afirma Knorr, hay que decir que no se conoce en la literatura griega uso alguno de anthyphatresis para demostrar la inconmensurabilidad. de líneas en razón media y extrema, y aparentemente los editores y escoliastas de los Elementos no encontraron en sus fuentes ejemplos de tal procedimiento. ?8 Ahora bien. más allá de la posibilidad de que Hípaso haya operado sobre la diagonal de un cuadrado o de un pentágono, y con un procedimiento de “sustracción recíproca” o cualquier otro, debemos considerar la historicidad del hecho mismo del descubrimiento de la irracionalidad por Hipaso, respecto de la cual vimos que von Fritz asevera que “la tradición es unánime”. Por el contrario, en efecto, se ha alegado que “la tradición es inexistente'.?? Pero dejemos que hablen los textos por sí mismos; para su mejor análisis los dividiremos en párrafos, señalizándolos con letras. El primero dice así: “(a) Acerca de Hipaso se cuenta que era de los pitagóricos, pero que, por haber publicado y construido por vez primera la esfera de los doce pentágonos, (b) a causa del sacrilegio cometido 25. Die Pythagoreer p. 399. 26. Cf. la lista -completa, según el autor— de pasajes aristotélicos concernientes a la inconmensurabilidad, recopilados por Silvio Maracchia, al final de su trabajo ‘Aristotele e Pincommensurabilità" (en Archiv for History of Exact Sciences 21, 1979, p. 201-228), donde (p. 221-226) registra veintinueve pasajes. Por cierto que en ninguno de ellos aparecen las palabras “cuadrado” o “paralelogramo”, pero no cabe la menor duda al respecto: desde Platón hasta por lo menos Euclides, diámetros significa o bien ‘‘diagonal” del cuadrado o de cualquier paralelo» gramo (o del cubo, en Euclides), o bien “diámetro” del círculo (o de la esfera, en Euclides). Ni siquiera cuando Euclides construye el pentägono (IV 11 y XIII 11) y el dodecaedro (X11 17) emplea el término diámetros para referirse a líneas del pentagono. 27. Knorr, Evolution p. 29. Cf. Euclides V1 def. 3: “se dice que una recta está dividida en razón extrema y medía cuando el segmento mayor es respecto del menor tal como el todo de la recta respecto del mayor” (o sca, lo que desde el Renacimiento se ha llamado “sección áurea” y que ya los griegos denominaban “sección”, tomé): ésa es la relación que von Fritz plantea entre la diagonal y el lado del pentágono (ver nota 24). 28. Op. cit. p. 31. 29. A. Wasserstein, '“Theaetetus and the history of the theory of numbers”, en Classical Quarterly 59 (1958), p. 165 n. 3; Burkert, Weisheit p. 433 = Lore p. 457, B. L. van der Waerden, “Pythagoreische Wissenschaft", en R.E. 47 (1963) col. 286, cf. Die Pythagoreer p. 71-72.

pereciö en el mar, (c) y recogiö la fama de ser el descubridor, aunque todo era (obra) de “aquel varón”: así, en efecto, llamaban a Pitágoras, y no por su nombre” (V.P. cap. 88, p. 52, 2-8 Deubner = Comm. Math. Sc. p. 77, 18-24 Festa-Klein). Como se echa de ver, lo que aqui se atribuye a Hipaso es la construcciôn del dodecaedro, y no se habla para nada de irracionalidad. Leamos ahora el segundo texto: “(d) Dicen que el primero que revelé la naturaleza de la conmensurabilidad y de la inconmensurabilidad a quienes no eran dignos de participar en tales doctrinas fue abominado a punto tal, atribuya a Hipaso el descubrimiento de la irracionalidad. La figura de Hipaso (ignorada por Aristóteles y Teofrasto, como no fuera para alinearlo extrañamente con Heráclito en la postulación del fuego como arché de todas las cosas; cf. D-K 18.7-9 y 22 A 5) parecería haberse convertido, dentro de la literatura de anecdotarios y biografías de fines de la antigúedad, en el chivo emisario de cuanta acusación ha circulado de herejía o deslealtad hacia el pitagorismo, ya fuera como acusmatico” (Comm. Math. Sc. p. 76, 19-24), o, al revés, como * matemático (V.P. cap. 81, p. 46, 25-47, 4), o bien en cualquier otro carácter (D.L. VII 7, V.P. cap. 257). que no sólo lo excluyeron del aprendizaje en común y de la convivencia, (e) sino que también le construyeron una tumba, como si aquel que alguna vez había sido su compañero hubiese abandonado efectivamente la vida humana. (f) Otros afirman que la divinidad se disgustó con los que divulgaron las doctrinas de Pitágoras. (g) Como consecuencia del sacrilegio cometido, en efecto, pereció en el mar aquel que reveló el dodecaedro, esto es, cómo se inscribía en una esfera la construcción del icoságono, una de las cinco figuras dichas sólidas. (h) Pero algunos han dicho que esto sucedió al que difundió lo relativo a la irracionalidad y a la inconmensurabilidad” (V.P. cap. 246-247, p. 132, 11-23). En este segundo texto no se menciona en absoluto el nombre de Hipaso; de todas maneras, la similitud de los párrafos (a) y (b) con el (g) permite conjeturar que también en este último el aludido puede ser Hípaso, pero siempre en relación con el dodecaedro: en este complejo texto queda, en efecto, claramente discernido el caso de quien descubrió o difundió la inconmensurabilidad, (d) y (h), del que difundió la construcción del dodecaedro, (f) y (g). De este modo, si bien la relación que vimos establece von Fritz entre el dodecaedro y la inconmensurabilidad no es imposible,” no hay ningún testimonio antiguo que 30 Por cierto que la construcción matemática del dodecaedro no se puede practicar sin conocer previamente la del octaedro, efectuada por Teeteto en el segundo cuarto del siglo IV, cosa que von Fritz no ignora (cf. ‘“Theaitetos”, en R.E. V A 1934, gol. 1364), pero arguye (“Discovery” p. 401 = “Entdeckung” p. 295) que el verbo grápsasthai, que en nuestro párrafo (a) tradujimos “construyó”, puede significar también meramente “dibujó”, y que es probable que ésa haya sido la tradición original. Y para dibujar un dodecaedro regular no necesitaba Hípaso conocer el octaedro; le ha bastado observar bien alguno de los cristales de pirita con forma natural de dodecaedro regular que F. Lindemann halló en Padua, y que pueden datar de los años 900 a 500 a.C. Este argumento (en el que Kurt von Fritz puso especial énfasis en una conversación personal que sostuvimos en marzo de 1977 en su casa de Munich, cuyo cálido recuerdo me acompaña al escribir estas líneas, por lo que deseo que la crítica que aquí hago valga de homenaje al gran maestro), que ya fuera esgrimido con menor solidez por Eva Sachs (Die fiinf platonischen Kórper, Berlín 1917, p. 84 ss.), constituye sin duda una hipótesis posible, pero nada más que eso, ya que implica conjeturar demasiadas cosas acerca de alguien de quien sabemos tan poco y en forma tan confusa como de Hípaso. 24 Del lucro con el saber Vale la pena comparar con los textos precedentes, de todas maneras, un pasaje de Diögenes Laercio (VIII 42), en que menciona el nombre de Hipaso como destinatario de una carta de Lisis de Tarento, pitagérico que huyò a Tebas y que fue maestro de Epaminondas (D.L. VIII 7; hay que situarlo, por tanto, a fines del siglo V o comienzos del IV), aunque sabemos que la carta es apocrifa, y escrita unos dos siglos después.3! Pues bien, un texto similar se halla preservado en los Epistolographi Graeci de R. Hercher y también parcialmente en Jamblico (V.P. cap. 75, esp. p. 43, 1-6), pero en estos dos casos figura el nombre de Hiparco, en lugar de Hipaso, lo cual ha sido a veces tomado como un error de Jámblico,?? pero naturalmente también podría tratarse de un error de Diógenes o de su fuente.”” Veamos unas pocas frases de la carta: “(j) También dicen muchos que has filosofado en público, lo tenido como indigno por Pitágoras, quien, al confiar sus era cual memorias a su hija Damo, le prescribió que no las diera a conocer fuera de la casa. (j) Y aun pudiendo vender los discursos por mucho dinero, no quiso, sino que tuvo a la pobreza y lo prescripto cambias en esto, Si 34 por su padre por más: valiosos que el oro... (k) 5 pero; si no, habräs muerto para mi . me regocijaré | . ” 16 Pi . . 31. W. Burkert, ‘‘Hellenistische Pseudopythagorica”, en Philologus 105 (1961), Pp. Period, Abo 1961, ss.; H. Thesleff, Introduction to the Pythagorean Writings of the Hellenistic p. 15 y 115 (cf. “Doric pseudopythagorica”, en Pseudepigrapha 1, Entretiens XVIII F. Hardt, af Vandoeuvres-Genève 1972, p. mt 96. 32. Knorr, Evolution p.61 n. 33. Véase supra nota 22; cf. Burkert, Weisheit p. 435 n. 86 = Lore p. 459 n. 63. | Hellenistic Period, 34. Tomo cl texto de H. Thesleff (The Pythagorean Texts of the p. 603). En Didgenes Abo 1965, p. 114, 4-12), quien reproduce el de Hercher (Epistol. Gr. no esta el pärrafo (k), mientras en Jamblico falta todo lo referente a Damo, y (k) concluye: “habrás muerto”, sin el “para mí”.

ba sumido en una gran y apremiante pobreza” (V.P. p. 109, 816).35 Si hacemos un paralelo de estas palabras con los pasajes que antes citamos de Jämblico, podremos hallar similitudes entre los pärrafos (a), (d), (h) e (i), por un lado, en cuanto en todos ellos se trata de una divulgaciôn prohibida (aunque ahora no se especifique el contenido en cuestiôn), y, por otro, entre (e) y (k). en los que la represalia consiste en darlo por muerto en vida, y a su vez correlativos de (b) y (g), donde el castigo era una muerte efectiva en un naufragio. Pero a esto se añade ahora un elemento nuevo, en (j). a saber, la posibilidad de lucro con la doctrina pitagörica. No se informa abiertamente que Hipaso-Hiparco cjemplar en venta, llegamos de todas maneras a fin del siglo V o comienzos del IV. haya obtenido dinero por su “filosofar en público”, pero queda sugerido que si. Comparemos esto con dos parrafos que vienen inmediatahablaban de la muerte en el mar como castigo. Por algunos textos como mente a continuaciôn del (c) en Jamblico: un discurso apologético de Andócides, resulta patente que a fines del “(D Las disciplinas matemáticas progresaron después de que publicaron (sus obras) los dos que más las impulsaron, Teodoro de Cirene e Hipócrates de Quíos. (m) Los pitagóricos dicen que la geometría se divulgó de este modo: uno de los pitagóricos perdió su fortuna, y, a raíz de este suceso, se le permitió lucrar con la geometría”. (Comm. Math. Sc. p. 77, 24-78, 4). Dejando de lado si la compra fue directa y era o no el primer De naufragios y secretos Volvamos ahora a las versiones más terroríficas de Jámblico, que siglo V se establecía una suerte de interdependencia recíproca entre sacrilegios y naufragios: si había un naufragio, era castigo de los dioses por la falta cometida, y si se pensaba en una falta cometida por alguien que emprendia un viaje, el castigo divino lógico era un naufragio.?® Hay al respecto un interesante escolio al libro X de Euclides, que dice: tálogo de pitagóricos”” de Jámblico (V.P. cap. 267, p. 146, 8), lo cual. *(o) (Cuenta) un relato de Jos pitagóricos que el primero que dio a publicidad el estudio de éstos (sc. de los irracionales) sucumbió en un naufragio; (p) y (con ello) tal vez se quería dar a entender (éinittonto) que todo lo irracional que hay en el universo —no sólo irracional sino también amorfo— gusta ocultarse, y que, si algún alma se arrojara a semejante clase de vida y la hiciera accesible y manifiesta, sería arrojada al mar de la generación y sumergida en las inestables corrientes de ésta. (r) Tal veneración tenían estos por cierto, no garantiza en nada su filiación pitagórica; Hipócrates en varones por el estudio de los irracionales”.?” Como ese libro de Jámblico es un verdadero collage de pasajes de diversas fuentes, no resulta claro si (m) está conectado con (1), y si por ende el pitagórico de quien se dice que lucró divulgando la geometría es uno de los dos matemáticos mencionados. Teodoro figura en el ‘‘cacambio no figura; auque precisamente respecto de éste se conectan geometría y lucro en una anécdota que cuenta Filópono, en el sentido de que era un mercader cuya nave fue asaltada cerca de Atenas, por lo Como puede verse, en (p) se pasa a interpretar la versión del naufragio como un mito. Pues bien, el mismo verbo ainíttomai (“dar que se quedó allí para enjuiciar a sus asaltantes, y, para distraerse durante el largo proceso, se dedicó a la geometría, tratando de cuadrar lación con el Pseudo-Timeo Locro- cf. nuestro capítulo sobre Filolao (mencionado en nota el círculo (In Phys. p. 31, 3 Vitelli). En todo caso, tanto Teodoro como Hipócrates pertenecen al último tercio del siglo V, lo cual, como en el caso de Hipaso-Hiparco. acerca más en el tiempo el episodio de la divulgación de escritos matemáticos, Y esta cronología. en lo que hace a escritos pitagóricos en general, es reforzada por otro pasaje de Jámblico, donde leemos: ‘‘(n) En el curso de tantas generaciones anteriores a la de Filolao, no apareció ninguna de las memorias pitagóricas, sino que éste fue el primero que publicó los tres libros de los que tanto se ha hablado, (fi) y de los que se cuenta que Dion de Siracusa, por encargo de Platón, compró en cien minas a Filolao, quien se halla- 26 35. Sobre otros textos referentes a esta presunta compra de Platón —y también en re12), esp. p. 87 y 91-94. 36. Andócides, De Mysteriis 137. 37, Euclides V 2, Scholia in libros VI-XIII p. 417 Heiberg = 85, 22-86, 4 Stamatis. (Las palabras “gusta ocultarse”, kryptesthai phileí, son una evidente cita del fr. 123 de Heráclito.) Sin duda se trata de la misma versión que leemos en el comentario de Papo al mismo - W. Thomson, The Commentary libro X, que conservamos en su traducción al árabe (G. Junge of Pappus on Book X of Euclid's Elements, Arabic Text and translation by W. Thomson, Cambridge Mass. 1930). El pasaje dice, en la versión inglesa: “The sect (or school) of Pythagoras was so affected by its reverence for these things that a saying became current in it, namely, that he who first disclosed the knowledge of surds or irrationals and spread it abroad among the common herd, perished by drowning; which is most probably a parable by which they sought to express their conviction that firstly, it is better to conceal (or veil) every surd, or irrational, or inconceivable in the universe, and, secondly, that the soul which by error or heedlessness discovers or reveals anything of this nature which is in it or in this world, wanders (thereafter) hither and thither on the sea of non-identity . . . where there is no standard of measurement” (p. 64; subrayado mio).

a entender”, “significar”), lo hallamos en otro naufragio aludido por Como ha hecho notar Burkert, la palabra drrhéta significa —tal Eurípides, según el historiador Filócoro: como antes apórrhéta— no sólo “secreto” o “indecible”, en el sentido de “inefable” y a la vez “prohibido”, sino también “irracional”, porque se consideraba irracional a lo que era indecible en números enteros; y lo que en geometría era drrhéton tenía un aire misterioso para el lego, | As) Dice Filócoro que, cuando Protágoras navegaba hacia Sicilia, la nave naufragó, y que esto lo da a entender (ainittest hai) Eurípides en su (tragedia) Ixiön”.?® y desde allí había un solo paso hasta unir los dos sentidos de la palabra al seguirse transmitiendo la leyenda.*° De esta suerte queda completamente desinflada la versión de que los pitagóricos descubrieron lo irracional: los únicos motivos constantes en la tradición antigua son: 1) los que conciernen al carácter secreto de todas o algunas de sus doctrinas, 2) el hecho de su divulgación en algún momento, no anterior al último tercio del siglo V a.C., y 3) sin que esto sea ya unánime, la consideración de que tal difusión Complementaria de ésta es la versión de Sexto Empirico: | ‘‘(1) Protágoras escribió explícitamente: ‘con respecto a los dioses, no soy capaz de decir si existen ni de qué modo son, pues muchas son las cosas que me lo impiden”. (u) Por esta causa los atenienses lo condenaron a muerte, y, habiendo escapado, pereció al naufragar en el mar”. 3? | fue sacrílega y conllevó algún castigo. Si tenemos en cuenta que Filócoro vivió hacia fines del siglo IV a.C. (tal como las fuentes más antiguas de Jamblico), y Euripides Hipótesis de un sofista como descubridor hasta fin del V, podremos observar que la versión más temprana de un naufragio simbólico corresponde a Protágoras, y no a un pitagórico. Pero regre- Ahora bien, si no fue un pitagórico. ¿quién descubrió la inconmensurabilidad? Al recopilar anécdotas de naufragios, hemos visto que semos al pitagorismo a través de la leyenda del secreto divulgado, en las más antiguas —al menos en cuanto podemos fecharlas con certeza— su versión más antigua, la de Plutarco (fin del siglo I d.C., comienzos del II), quien cuenta que el rey Numa hizo aprender a los sacerdotes el contenido de sus libros religiosos, y luego les ordenó que, cuando muriera, los sepultaran con su cadáver, por pensar que no convenía dejar por escrito “cosas secretas” (apörrheta). Y añade: “(v) Con el mismo razonamiento —se dice— tampoco los pitagóricos pusieron por escrito sus doctrinas, sino que inculcaban en los discípulos dignos el aprendizaje y recuerdo oral de aquéllas. (w) Y habiéndose divulgado a alguien indigno el tratamiento de procedimientos considerados difíciles y secretos (ärrheta), afirmaron que la divinidad les habia hecho señal (episématnein) de que castigaria con una gran desgracia común esta infracción y sacrilegio” (Numa XXII 2). si 38. i D. L, IX 55 = Filöcoro fr. 217 Jacoby = Euripides fr. 490 Nauck 39. S.E., Adversus Mathematicos IX 56 = D-K 80 A 12. cf. B € = D-K 80 A 1, aludido el acusador parece haber sido Pitodoro, uno de los cuatrocientos tiranos = ‚cf. F. Jacoby (Fragmente der griechischen Historiker INI b Supplement B 4. Como en el ce (D.L. x 54), , vol. 1 p. 584) fecha el evento entre el 412 y el 411. R. S. Bluck (Plato’s Meno, Cambridge 1964, p. 359) y W. K. C. Guthrie (4 History of Greek Philosophy antes la muerte de Protägoras, V. 28 Ill. Cambri iti en el 420; de todos modos, siempre en el ültimo tercio Mep i del siglo ei rs ra ieeE conciernen a Protágoras, sofista a quien Aristóteles presenta ocupándose de refutar a los geómetras (Mer. III 2, 998 al -4). Por cierto que a partir de ese solo dato no pretendemos inferir nada aproximadamente cierto, pero nos sugiere una pista: el problema de la inconmensurabilidad de la diagonal respecto del lado parece un problema propio de sofistas, análogamente al de la cuadratura del círculo, del cual, además de Hipócrates de Quíos —a quien hemos visto como comerciante o con alguna otra conexión aparente, entre (1) y (m), con el lucro en el saber (algo que Platón tomó como rasgo peculiar de los sofistas)—, sabemos por Aristóteles que se ocuparon sofistas como Antifonte y Brisön.®! Y en el fondo se trata de problemas de la misma orientación, ya que en ambos casos se trata de medir algo que parece difícil o imposible de medir. También al sofista Hipias de Elis una tradición —poco confiable, ciertamente— le atribuye un intento de cuadratura, y en el 40. Burkert, Weisheit p. 436-437 = Lore p. 461-462; cf. también L. Brisson, “Usages et fonctions du secret dans le pythagorisme ancien” (en Le secrer, éd. Ph. Dujardin, Lyon 1987), p. 97. Ambos remiten además a Jámblico, V.P. cap. 252 (= Porfirio, V.P. cap. 57), cuya fuente es Nicómaco de Gerasa; Burkert cita también una interpolación en el texto de Elías, Jn Ar. Categ. p. 125, 12-13 Busse, donde se habla de las “líneas irracionales” (en ese caso, un descubrimiento de Teeteto, cf. nota siguiente) como un secreto traicionado. Para “irracional” Platón emplea árrhéton en Rep. VIII 546c (Euclides prefiere álogon, pero para “racional” usa rhétón). 41. Fis. 12, 185a y Ref. Sof. X1171b-172a, y los comentarios de Temistio y Simplicio, en el primer caso, y el de Alejandro, en el segundo. 42. Proclo, /n pr. Eucl. p. 356, 10-12; cf, Heath, A History 1 p. 226-230.

Hipias Mayor (303b7-c1) se lo muestra en una conversaciôn en la que se toca el tema de las magnitudes irracionales.*? Retornemos ahora al pasaje del Teeteto 147d y a la pregunta de por qué Teodoro comenzé con la dynamis de 3, y leamos la explicación que daba un comentarista del siglo 1 o II d.C.: “También el cuadrado de dos pies es inconmensurable respecto del de un pie en cuanto al lado, pero lo omitió, dicen, por haber mostrado en el Menón que el cuadrado (construido) a partir de la diagonal es el doble del cuadrado (construido) a partir del lado”. Como se sabe, en el Menón 82b-85b Sócrates propone a un esclavo que construya un cuadrado que duplique a otro de dos pies de Jado y cuatro de superficie, o sea, que construya un cuadrado de ocho pies. y la pregunta por cuánto debe medir su lado no es respondida bien hasta que se abandona el terreno aritmético y se entra en el puramente 92b5, d2, eS, 95b9, cS y 96b6), la del pasaje geométrico fuera el Gnico caso en que se lo usara en esa Otra acepciön. No; esta bien claro que pa habla de lo que él llama “sofistas”. Y puesto que éstos son los que lo con lado, el con e bautizado “diagonal” a esa línea inconmensurabl cos se han cual queda testimoniado que más bien ellos que los pitagóri interesado en diagonales, nada más lógico que hayan sido ellos los queo descubrieron dicha inconmensurabilidad (aunque esto por el moment no pueda pasar de ser otra hipótesis de trabajo). Pero no por eso + provocado escändalos ni sufrido procesos, sin duda alguna, en cam 10, han contribuido grandemente al avance de las matemäticas y suscitado la admiraciön que describe Aristöteles y que ya experimentara Platön. Sölo que ni Platön ni Aristöteles iban a ser quienes les fap tan importante servicio (aunque Platon, como vimos, no ha podido evitar dejamos un indicio). Universidad de Buenos Aires geométrico: “si no quieres hacer cuentas, muéstrame a partir de cuál (línea se construye el área de ocho pies)” (84a1). Y en seguida se ve que esa línea que hará de lado del nuevo cuadrado es la que, de ángulo a ángulo, atraviesa el cuadrado inicial: “y esa linea es precisamente la los sofistas llaman ‘diagonal’’’ (85b3-4). Desde Schleiermacher que hasta la fecha se ha acostumbrado a traducir aquí sophistal por ‘‘sabios”, “profesores” o “intelectuales”, Pero el diálogo tiene permanende lo irracional : onrado, El itagorísmo y el descubrimiento ERS | ed dams le domaine de la géométrie que la Ego iat Ia PRA découvert l’irrationnel, Examen des découvertes mat Damn ns ciens ont d'abord men Sr a e dl attribuées par la tradition à Hippase de Métaponte et des mr et sociales de entraînées sur l’ensemble des conceptions philosophiques ici pythagoricienne. [14785 temente en vista a aquellos a los que Platón caracteriza (en 91b2-8) como individuos que se ofrecen “como maestros de virtud . . | mediante un salario que han estipulado ...y sin duda sabes que son los que los hombres llaman ‘sofistas’’’. Ante semejante definición, se haría bien extraño que, de las ocho veces que emplea Platón en el Menón el vocablo sophistai (siempre en plural; además de las instancias ya vistas, 43. Por cierto que, aparte de que las palabras en cuestión (‘cuando cada una de dos cosas es irracional, pero en conjunto son o bien racionales o bien irracionales”) son puestas en boca de Sócrates, ni Hipias ni Sócrates ni el joven Platón podrían haber manejado tal noción de irracionalidad. Dorothy Tarrant (The Hippias Major attributed to Plato, 1928, reprod. New York 1976, p. 83-84) cree que se trata de una equivocación, “porque dos drrhéta no pueden convertirse en rhétá mediante su suma. . . Hipias es matemático, pero deja pasar inadvertido este error de Sócrates”, Pero en realidad no hay error alguno, ya que, como muestra Heath (op. cit. 1 p. 304), en Euclides XIII 6 se establece que, en una recta racional dividida en ratio media y extrema, cada uno de los segmentos así formados es una recta irracional llamada “apotome”, lo cual demuestra que la suma de dos irracionales puede dar una racional. Claro que esto implica el tratamiento de las líneas irracionales (medial, binomial y apotome) det libro X de Euclides, que sabemos por Eudemo (apud Comm. of Pappus citado en nota 37, p. 63) que se deben a Teeteto, lo cual supone una fecha bastante posterior a la que corresponderia al Hipias Mayor (cuyo maximo terminus ante quem ha de ser el 388). De modo que allf Tarrant habría podido tener otro argumento para declarar apócrifo el diálogo, o al menos este pasaje. A 44, Anonymi Commentarius in Platonis Theaetetum p. 20, col. 28, 37-29, 1 Dielshubart,