Zur pythagoreischen Algebra: Quadratwurzel und Kubikwurzel

Zur pythagoreischen Algebra: B. L. van der Waerden, Zur pythagoreischen Algebra. 287 teiligen Intervalle im logischen Aufbau der Sectio Canonis eine Rolle spielt. . ,SL sa Dieser Aufbau stellt aber cine Endstufe der Theorie dar. die erst auf Grund Quadratwurzel und Kubikwurzel. \WAGRDEN Von \QAL + B. L. van der Waerden in Leipzig. In der axiomatischen Begriindung der pythagoreischen Musiklehre, über die Ptolemäus?) kurz referiert und die in Euklids Sectio Canonis*) ausführlich dargestellt wird. spielt die Frage nach der Möglichkeit der Teilung eines Intervalles in zwei oder mehrere gleiche Teilintervalle eine große Rolle. Arithmetisch kommt sie auf die Frage hinaus. ob sich zwischen zwei Zahlen, die in einem gegebenen Verhältnis a: 5 stehen, eine oder mehrere mittlere Proportionale einschieben lassen’). Archytas von Taras. der hervorragendste unter den pythagoreischen Musiktheoretikern. hat bewiesen #), daß eine solche Einschiebung unmöglich ist. wenn das Verhältnis a:b ein ..überteiliges“, d.h. wenn a:b = n:(n- 1) ist. Der Beweis des Archytas beruht, ebenso wie der in der Sectio Canonis dargestellte, auf folgendem Hilfssatz: Sind a’ und 5’ die kleinsten Zahlen im : Verhältnis a : è, so lassen sich ebenso viele mittlere Proportionale wie zwischen a und è auch zwischen a’ und è’ einschieben. Dieser ist ein Spezialfall des einer ausgebildeten Arithmetik môglich war. Weit eher kénnte das geometrische Mittel aus der Geometrie stammen. Zum ersten Male kommt die Konstruktion des geumetrischen Mittels bei Euklid 1114 vor, wo es sich darum handelt, zu einem gegebenen Polygon ein flächengleiches Quadrat zu errichten. Diese Konstruktion ist ein unentbehrliches Hilfsmittel bei der Flachenanpassung (Euklid VI 28 und 29), die nach Eudem?) eine Erfindung der Pythagoreer ist. Die Konstruktion von zwei geometrischen Mitteln zwischen zwei vorgegebenen Strecken ist äquivalent dem Problem, einen Würfel von gegebenem Rauminhalt zu konstruieren, und diese Äquivalenz bildet die Grundlage der stereonietrischen Lösung des Problems der Würfelverdopplung von Archytas®). Die geometrischen Mittel spielen also in der pythagoreischen Geometrie eine wichtige Rolle. Trotzdem glaube ich nicht. daß die Wurzel der arithmetischen Problemstellung in der Geometrie zu suchen ist. Denn für die Pythagoreer sind die Zahlen immer das primäre: sie trieben Arithmetik. längst bevor es eine Geometrie gab, die sich an so schwere Probleme wie die Würfelverdopplung heranwagen konnte. Von der Geometrie aus gibt es auch keine plausible Erklärung, warum so ausgefallene Probleme wie die Flächenanpassung und die Würfel- Satzes VIII 8 der Elemente von Euklid. Im gleichen VIII. Buch findet sich verdopplung eine so zentrale Rolle spielen. auch die vollständige Antwort auf die gestellte Frage: Die Einschiebung einer diese Probleme nur yeometrische Verkleidungen von ulgebraischen Frugestellungen sind. Vielmehr sieht es so aus. als ob Die einfachsten nichtlinesren Gleichungen in einer oder zwei Unbemittleren Proportionalen ist nur möglich, wenn a’ und 6’ Quadratzahlen, von zwei mittleren Proportionalen, wenn sie Kubikzahlen sind (VIII 9 in Verbindung mit IX 8). Die Umkehrung {VIII 11 und 12) wird von Plato dem Pythagoreer Timaios in den Mund gelegt5), wodurch bestätigt wird, daß es sich hier um pythagoreische Arithmetik handelt 6). Wie sind nun die Pythagoreer zu der Frage nach den mittleren Pround die geometrische Fonnalierang dieser Gleichungsaufgaben führt gerade ? portionalen gekommen auf die obenerwähnten Probleme. kannten heißen nämlich (3) m 2=a bw. B=a bzw. (2) ty=a, zy=b, Ich glaube nicht, daß diese Frage aus der Musiktheorie erwachsen ist. Eine nähere Betrachtung der Arithmetik selbst führt zum gleichen Er- Denn für diese sind zwar das arithmetische und das harmonische Mittel direkt gebnis. Bekanntlich hat es neben der offiziellen Arithmetik. die nur ganze ‚wichtig (nämlich für die Teilung der Oktave in Quinte und Quarte), das Zahlen betrachtete, eine Logistik gegeben, die auch mit Brüchen rechnete. Die Arithmetik ersetzte diese Brüche durch Zahlenverhältnisse. So kann man ‚geometrische aber nur indirekt. insofern die Nichthalbierbarkeit der über1) Klaudios Ptolemaios, Harmonielehre (ed. Düring). Buch I, Kap. 5. 2) Euclidis Opera Omnia (ed Heiberg u. Menge, Leipzig 1916), Bd. VIII. 3) „Zahl‘‘ bedeutet hier nach griechischem Sprachgebrauch „ganze Zahl“; die gesuchten mittleren Proportionalen sollen ebenfalls ganze Zahlen sein. 4) Archytas bei Boetius, De institutione musica (ed. Friedlein, Leipzig 1867), — 286. S. 285 5) Timäus 31 B 4 und 32 A 7. 8) Vgl. dazu P. Tannery, Mém. soient. 111, Nr. 83, und K. Reidemeister. Die Arithmetik der Griechen (Leipzig 1939). die im VII. Buch Euklids entwickelte Theorie der auf ihre kleinsten Glieder reduzierten Zahlenverhältnisse als eine Theorie der gekürzten Brüche betrachten. Die Zusammensetzung von Verhältnissen entspricht der Multiplikation von Briichen. die - Verdopplung eines Verhältnisses dem Quadricren, Der Bildung der libheren Potenzen entspricht die arithmetische Theorie der geometrischen Reihen im VIII. ‚und IX. Buch. So gesehen, ist 5) Proklos in Euklid (ed. Friedlein), S. 419. *) Eudemos im Eutokioskommentar zu Archimedis Opera (Heiberg) VI, S. 99.

B.L. van der Waerden, Zur pythagoreischen Algebra. die Frage nach den mittleren Proportionalen zwischen Zallen nur die arithmetische Fassung der logistischen Frage nach der Quadratwurzel oder Kubik- . ‘ wurzel aus einer rationalen Zahl. | Nun wissen wir aber auch aus anderer Quelle, daß die Pythagoreer sich für die Berechnung von Quadratwurzeln interessierten. Theon v. Smyrna’) und Proklos!%) geben uns das Bildungsgesetz der ,,Seiten- und Diagonalzahlen‘, die der Pellschen Gleichung 2r%2--yg= — |] | genügen und deren Verhältnisse Näherungen für 2 ergeben. Das Paar (5, 7 kommt bereits im Platonischen Staat (546 C) vor. Zusammenfassend können wir die Genesis all dieser — auch in der Epinomis2) stark hervorgehobenen — Probleme so darstellen: | A. Algebraischer (logistischer) Ausgangspunkt: 1. Berechnung von Quadratwurzeln. 2. Berechnung von Kubikwurzeln. B. Geometrische Einkleidung: | 1. Quadratur des Rechtecks. 2. Kubatur eines Balkens (Wiirfelver- . dopplung). C. Arithmetische Einkleidung: 1. Eine mittlere Proportionale. 2. Zwei mittlere Proportionale. | D. Musiktheoretisches Korrolar: | 1. Halbierung eines Intervalles. Zur vollen Gewißheit, daß die hier betrachteten geometrischen und | arithmetischen Probleme letzten Endes aus der Algebra stammen. gelangt man, wenn man auch noch die Keilschrifttexte heranzieht. Zahlreiche Quadratwurzel- und Kubikwurzeltabellen aus der Zeit von Isis I. bis Darius!!) beweisen, wie wichtig diese Operationen den Babyloniern waren. Zahlreich | sind auch die Probleme, die durch algebraische Umformung auf die Grund- | typen (1) und (2) zurückgeführt wurden12). Auch die Naherung + für 12 "findet man hier wieder. Daß die Pythagoree? bei ihren notorischen Beziehungen zum Orient das alles nicht gekannt, es aber in kaum mehr als einem Jahr| hundert "nebst ,,Pythagoreischem Lehrsatz“ und so vielem anderen keil| schriftlich Überlieferten neu erfunden haben sollten, ist kaum glaublich. | 9) Theonis Smyrnaei Expos. rer. math. (ed. Hiller, Leipzig 1878), S. 43— 44. 10) Proklos, Komm. zum Staate Platos (ed. Kroll, 1901), S. 24—29. . 11) Siehe O. Neugebauer, Mathematische Keilschrifttexte I (Quellen u. Studien z. Gesch. d. Math., Abt. A, Bd. 3, 1935), Kap. 1, $ 4. | 12) Siehe unter"), für die Kubikwurzeln bes. S. 216 und 460- 461. 13) Siehe O. Toeplitz, Quellen und Studien B 2, S. 334. | |B. L. van der Waerden, Zur pythagoreischen Algebra: | Quadratwurzel und Kubikwurzel, Math. Ann. 118, 1941, 286—288. | Die logistischen Probleme der Babylonier: Quadrat- und Kubik- | wurzelziehung, Bestimmung zweier Unbekannten aus Summe und | Produkt, haben die Pythagoreer übernommen; jünger sind die geo, metrischen Einkleidungen: Flächen. und Volumenverwandlungen, ' Einschaltung mittlerer Proportionalen, sowie musiktheoretische Anwendungen.