Le son est nombre. : variations sur la légende des marteaux de Pythagore

Le son est nombre : variations sur la légende des marteaux de Pythagore François Baskevitch Table Le son est nombre : variations sur la légende des marteaux de Pythagore 1 La légende des marteaux de Pythagore : une représentation des intervalles musicaux par des nombres 2 La version académique : Boèce 2 Le texte fondateur : Nicomaque de Gérase 5 Les trois expériences décrites par Nicomaque 10 Les autres textes 11 Un contradicteur de Pythagore : Vincenzo Galilei 15 Lʹanalyse des expériences 18 Les nombres de Pythagore 20 La première expérience : les poids sonnants 21 La deuxième expérience : les poids tenseurs 25 La troisième expérience : le monocorde 26 Les savants et les musiciens Variation sur les marteaux de Pythagore : légende ou réalité

La légende des marteaux de Pythagore : une représentation des intervalles musicaux par des nombres Nous ne disposons pas de trace écrite des théories construites et enseignées par Pythagore au VIème siècle avant notre ère. Pourtant quelques anecdotes ont traversé les siècles et ont été transmises comme autant dʹillustrations des principes mathématiques développés par le savant de Samos. Parmi celles-ci, il en est une qui concerne la musique, ou plus exactement la théorie des consonances. Il s’agit de la légende des marteaux de Pythagore, rapportée notamment dans le De institutione Musica par Boèce qui lʹaurait lui-même découverte lors de sa traduction des textes de Gaudence, de Jamblique et de Nicomaque de Gerase. Cette histoire a tellement accompagné lʹenseignement de lʹharmonie quʹil était nécessaire de sʹy attarder pour en éprouver la validité. La version académique : Boèce Pythagore, dit Boèce, se méfie du jugement des sens pour faire une description objective des consonances, et il cherche une méthode fiable, à la fois indépendante de notre subjectivité, et de la variabilité de lʹenvironnement. Laissons Boèce raconter lʹhistoire des marteaux de Pythagore1 : X. Voilà la principale raison pour laquelle Pythagore, après avoir abandonné le jugement des oreilles, se tourna vers lʹinstance des règles. Nʹaccordant aucune confiance aux oreilles des hommes, lesquelles varient sous lʹeffet tantôt de la nature, tantôt de circonstances externes, tantôt avec lʹâge, il ne se soucia pas davantage des instruments, sources de grande variabilité et dʹinconstance. Ainsi, considérons par exemple les cordes : lʹair, selon quʹil est plus humide ou plus sec, étouffe ou aiguise la vibration; la corde, selon son épaisseur rend un son plus grave, ou plus aigu selon sa finesse, ou de quelque autre façon, lʹétat de stabilité antérieur se modifie. Or, comme il en allait de même sur tous les autres instruments, Pythagore, qui jugeait quʹils étaient tous sans intérêt et très peu dignes de foi, et sʹen préoccupait depuis longtemps, recherchait par quelle opération il parviendrait, de manière ferme et constante, à une pleine connaissance des éléments dʹappréciation des consonances. Sur ces entrefaites, tandis quʹil longeait, comme poussé par une inspiration divine, des ateliers dʹartisans, il entendit des coups de marteaux dont les divers sons produisaient en quelque sorte Boèce, Institutione musica, lib.I, cap.X, trad. Christian Meyer, Brepols, Turnout, 2004, p.47-48.

un accord harmonieux. Cʹest ainsi quʹen présence de ce quʹil cherchait depuis longtemps, il sʹapprocha, tout étonné, de lʹouvrage. Après mûre réflexion, il fut dʹavis que la diversité des sons dépendait de la force des ouvriers et pour que cela apparût plus clairement, il leur ordonna dʹéchanger les marteaux. Or la propriété des sons ne tenait pas à la vigueur des hommes : elle était inhérente aux marteaux que lʹon venait dʹéchanger. Lorsquʹil sʹen aperçut, il examina le poids des marteaux. Or il se trouvait quʹils étaient au nombre de cinq. Il en trouva un qui pesait le double dʹun autre : ils se répondaient à la consonance dʹoctave. Celui qui faisait le double de lʹautre était en rapport sesquitierce à lʹégard dʹun autre avec lequel il résonnait à la quarte2. Il découvrit ensuite que ce même marteau - celui qui était le double de lʹautre - était en rapport sesquialtère à lʹégard dʹun autre avec lequel il formait une consonance de quinte. En revanche, il découvrit que les deux dont il fut prouvé que le premier - le double était en rapport sesquitierce et sesquialtère à leur égard, observaient mutuellement un rapport sesquioctave. Le cinquième marteau fut laissé de côté, étant dissonant à lʹégard de tous. Donc, comme avant Pythagore déjà, les consonances de musique étaient appelées les unes «octave», dʹautres «quinte» et dʹautres «quarte» - qui est la plus petite consonance - Pythagore fut le premier à découvrir de cette façon-là la proportionnalité qui fonde cette concorde de sons. Pour la clarté du propos, prenons à titre dʹexemple quatre poids de marteaux représentés ci-dessous par les chiffres 12, 9, 8, 6. Les marteaux qui étaient en rapport de poids 12 à 6, faisaient entendre lʹoctave selon un rapport double. Le marteau de poids 12 par rapport à celui de poids 9 et le marteau de poids 8 par rapport à celui de poids 6 formaient une consonance de quarte selon un rapport épitrite. En revanche, les marteaux de poids 12 à celui de poids 8 et de poids 9 à celui de poids 6 réalisaient une consonance de quinte. Mais les marteaux de poids 8 à 9 faisaient entendre un ton selon un rapport sesquioctave. XI. De retour en sa demeure, il se livra à de multiples évaluations pour savoir si toute la théorie des symphonies se résumait à ces rapports. Tantôt il adaptait aux cordes des poids équivalents et appréciait à lʹoreille leurs consonances, tantôt il reportait le double sur la longueur des roseaux, rajoutait une moitié et réalisait tous les autres rapports : par ses multiples expériences il 2 . Pour une plus grande clarté, le rapport sesquitierce (ou épitrite) signifie 4/3 et représente l'intervalle diatessaron ou quarte, et le rapport sesquialtère (ou hémiole) signifie 3/2 et représente l'intervalle diapente ou quinte. Le rapport double ou diapason représente l'octave. Le rapport 9/8 est dit sesquioctave et correspond au ton (fa-sol par exemple). Ces rapports s'entendent, pour Pythagore, entre des nombres sans grandeur (ce sont les rapports de fréquences d'aujourd'hui), et correspondent aux rapports inverses des longueurs de cordes du monocorde. Sachant que la longueur totale de la corde est 1, l'octave est 1/2, la quinte c'est 2/3, la quarte 3/4.

atteignit une totale certitude. Parfois même, à titre de mesure, il versait dans des récipients un nombre de cyathes dʹun poids équivalent ; dʹautres fois il frappait à lʹaide de baguettes dʹairain ou de fer des récipients de poids divers. Il put se réjouir de ne trouver aucune fluctuation. De là, il passa à lʹexamen de la longueur et de lʹépaisseur des cordes. Cʹest ainsi quʹil trouva la règle dont il sera question plus loin. Elle est ainsi nommée, non parce que la règle, à lʹaide de laquelle nous mesurons le son et les dimensions des cordes, est en bois, mais parce que cette sorte de règle est un instrument de contrôle si stable et sûr quʹil ne saurait induire en erreur aucun chercheur par une indication trompeuse. Boèce (vers 470-525) occupe une place importante dans lʹélaboration de la science occidentale chrétienne. Il est considéré comme un Père de lʹEglise, et ce statut confère à son œuvre théologique une autorité tout au long de lʹhistoire de lʹEglise. Il nʹest donc pas étonnant que ses écrits scientifiques aient été largement utilisés par les premiers docteurs et savants occidentaux, puis par la suite par les doctrinaires de la science ecclésiastique de la Renaissance, et notamment par les jésuites. Ces écrits sont Instititutio arithmetica, suivis par De Institutione geometrica et Institutio astronomica, et celui qui nous intéresse, De institutione Musica. On retrouve Boèce pendant tout le Moyen Âge, dans les premières universités, chez tous les théoriciens de la musique et dans nombre dʹouvrages scientifiques, jusquʹau XVIIème siècle. Contemporain et probablement ami de Cassiodore, il influence les premiers encyclopédistes comme Isidore de Séville, puis plus tard Barthelemy lʹAnglais, Gossuin de Metz et Vincent de Beauvais. Les théoriciens de la musique qui tentent dʹélaborer un langage et une écriture à partir du chant grégorien sʹappuient sur le travail de Boèce concernant les intervalles, les gammes et les modes. Guido dʹArezzo, lʹinventeur de la nomenclature des notes, ou encore Fronchino Gaffurio, pour ne citer que ceux-là, fondent leur théorie de la musique à partir de Boèce. Boèce, quoique romain, connaît parfaitement le grec, ce qui nʹétait plus tellement fréquent en cette époque de déclin de lʹépopée scientifique dʹAthènes et dʹAlexandrie. Il lit et traduit les textes de logique dʹAristote, mais reste influencé par le courant néo-platonicien qui était apparu quelques siècles auparavant, notamment avec Plotin. Ayant poursuivi ses études à Athènes, cʹest sans doute au cours de cette période quʹil conçoit le De Intitutione Musica. Ici, son inspiration se fait très nettement néo-pythagoricienne, et sa théorie se construit sur les écrits de Nicomaque de Gerase, important représentant de ce courant de pensée, qui lui fournira par ailleurs la matière de ses œuvres mathématiques. Nicomaque de Gerase, vit au IIème siècle et fait partie du mouvement intellectuel qui se développe autour dʹAlexandrie. Nicomaque avait sans doute lu les écrits de Ptolémée et de Théon de Smyrne qui vivaient peu de temps auparavant. Cʹest un pédagogue, auteur notamment dʹun Manuel dʹarithmétique dont sʹinspirera Boèce, et dʹun Manuel dʹharmonique, qui aurait dû faire partie dʹun ouvrage plus

général concernant la musique, mais dont on nʹa pas dʹautres traces. Ses successeurs sont Porphyre, auteur dʹun long commentaire des Harmonices que Ptolémée avait écrit au siècle précédent à partir des travaux dʹEuclide, La division du canon3, et Jamblique, qui, outre sa Vie de Pythagore, écrit un commentaire du traité dʹarithmétique de Nicomaque. Tous ces auteurs sʹappuient sur la théorie musicale de Pythagore, élaborée quelque sept siècles auparavant, et transmise par ses disciples, Philolaus et Archytas, puis par Aristoxène qui sʹoppose à sa théorie. Les premiers siècles de notre ère voient réapparaître des courants de pensées inspirés des anciens, comme Platon ou Pythagore, et faute dʹémergence dʹune nouvelle pensée, on assistait alors dans les écoles grecques, à une fascination renaissante pour les nombres et leur rapport à la perfection de la nature. Ce courant de pensée néo-platonicien apparaîtra à nouveau vers le milieu du XVème siècle, en Italie puis en France, autour notamment de Marcile Ficin puis de Pic de la Mirandole. On assiste également à un retour de ces idées pythagoriciennes, avec Jean Reuchlin. DʹAlembert, dans lʹEncyclopédie, qualifie en le fustigeant ce courant de ‘philosophie pythagoreo-platonico-cabalistique’, qui perdure jusquʹà la fin du XVIème siècle, surtout en Italie, en opposition à la science scolastique officielle. Le texte fondateur : Nicomaque de Gérase La légende des marteaux de Pythagore apparaît pour la première fois, en lʹétat actuel des connaissances, chez Nicomaque de Gerase, dans Harmonices manuale. Ce manuscrit a été découvert à la fin du XVème et édité en grec à Leyde en 1616 par Meursius. Il a été traduit en latin par Marcus Meibom dans un ouvrage regroupant plusieurs textes grecs relatifs à la musique, Antiquae musicae auctores, paru en 16524, puis à nouveau édité en grec et en latin par Carl von Jan à la fin du XIXème siècle5. 3 Au début du XXème siècle, on a contesté l'authenticité du traité d'Euclide, La division du Canon, qui aurait été écrit peu avant par un autre auteur, peut-être Eudoxe. Voir Paul Tannery, ‘Inauthenticité de la Division du canon’ in Mémoires Scientifiques, t III, 81, p 213-219. Cependant Ch. Em. Ruelle semble maintenir la paternité du traité à Euclide (C.E. Ruelle, Sur l'authenticité probable de la division du canon musical attribué à Euclide, Leroux, Paris, 1906). Il semble qu'on l'attribue de nos jours à Cléonide. 4 Cette compilation regroupe les textes suivants : Aristoxene de Tarente "Harmonicorum elementorum libri 3"; Euclide "Introductio harmonica"; Nicomaque de Gerase le pythagoricien, "Harmonices manuale" ; Alypius, "Introductio musica" ; Gaudence le philosophe, "Introductio harmonica"; Bacchius senior, "Introductio artis musicae"; Aristide Quintilien, "de Musica libri 3"; Martianus Capella, "de Musica liber 9". Marcus Meibom, Antiquae musicae auctores, Elzevir, Amsterdam, 1652, 2 tomes. Une partie de ces textes ont été traduits en Français par Charles Emile Ruelle : Collection des auteurs grecs relatifs à la musique, Impr. Nationale, Paris, 1895. Carl von Jan, Musici scriptores graeci, Leipzig, B. G. Teubneri, 1895.

A la fin du IIIème siècle, soit environ 150 ans après Nicomaque, le philosophe néo-pythagoricien Jamblique, dans sa Vie de Pythagore6, reprend la description de lʹanecdote, sans ajouter dʹéléments exploitables. Une autre filière nous indique un texte de Gaudence, Introductio harmonica, qui fait également partie du recueil édité par Meibom en 1652, mais sous le nom de Gaudentius philosophicus, ce qui laisse supposer quʹil ne sʹagit pas de Gaudence, évêque de Brescia à la fin du IVème siècle, dont on ne connaît que des sermons. Il semble que notre Gaudence ait vécu au Ier siècle, selon Fétis, peut-être avant Ptolémée. Une traduction du texte de Gaudence par Charles Emile Ruelle7 est disponible dans quelques bibliothèques. On peut également citer Macrobe (Vème siècle), qui écrit une adaptation du livre 6 du De republica de Cicéron, intitulé Summa Scipionis. Jusquʹau XIXème siècle, on ne connaissait lʹouvrage de Cicéron que par cette adaptation de Macrobe, mais on a depuis retrouvé un manuscrit qui en diffère nettement. En particulier, concernant lʹextrait qui nous intéresse, qui correspond au livre II, chapitres 1 à 4 de Macrobe, Cicéron, au livre VI, chapitre 13, ne fait aucune allusion à Pythagore et à ses marteaux. Macrobe a lu les auteurs néo-pythagoriciens des siècles précédents. A la suite de ceux-ci, on retiendra également Cassiodore, contemporain et ami de Boèce, qui écrit aussi un texte citant lʹanecdote, et sʹinspirant cette fois de Gaudence dont il fait lʹéloge. Nous ne rencontrons, parmi les textes des auteurs antérieurs qui ont traité de lʹharmonie et de la théorie musicale, aucune allusion à cette histoire attribuée à Pythagore. Ni Cléonide dans son Introduction harmonique, ni dans La division du Canon, ni Ptolémée dans ses Harmoniques, ni Aristoxène par ailleurs opposé à Pythagore dans sa conception de lʹharmonie, ni Aristote, ni Platon ne parlent de cette anecdote qui apparaît donc bien apocryphe et qui pourrait avoir été forgée par Nicomaque pour illustrer son exposé. On peut sʹinterroger avec justesse sur lʹintérêt que présente de rechercher la paternité de cette histoire. Cʹest quʹelle nous renseigne sur la façon dont on représente les intervalles de hauteur de son aux premiers siècles de notre ère et comment on justifie la relation entre nombres et intervalles consonants, et en particulier sur la curieuse suite 6, 8, 9, 12 qui génère les intervalles de quarte, de quinte, dʹoctave et de ton. Pythagore nʹa pas créé un système pour les musiciens, les consonances de quarte et de quinte (qui sont en fait le même intervalle, mais renversé) sont des consonances naturelles qui sʹappuient sur la présence de lʹharmoniques 3, qui est consonant. Pythagore a cherché à mathématiser les intervalles, et a trouvé quʹils étaient analogues à la série 6, 8, 9, 12. Ces intervalles 6 Jamblique, Vie de Pythagore, trad. L. Brisson, A.P. Segonds, Paris, Les Belles Lettres, 1996, p.66-68. Alypius et Gaudence, trad. Ch. Em. Ruelle, Paris, Firmin-Didot et Cie,1897.

constituent le socle de lʹharmonie pendant deux millénaires, et on les retrouve dans toutes les civilisations, parce quʹils sʹappuient sur des rapports naturels, physiques. Lʹambition probable des auteurs qui reprennent cette parabole est dʹillustrer lʹintroduction de lʹétude des consonances, et cette histoire remplit tout dʹabord une fonction pédagogique. Elle permet, après lʹintroduction de la perception de la réalité physique par les sens, avec Aristote, et en musique avec Aristoxène, de constituer une espèce de caution expérimentale à une théorie mathématique abstraite. La version de Nicomaque, la première dont nous disposons, est un peu plus détaillée que celle de Boèce, mais un peu moins anecdotique. Boèce se sert de cette histoire pour introduire sa théorie des intervalles, il ne sʹencombre pas de littérature et ne conserve que ce qui est utile à son illustration. Nicomaque construit son système dʹintervalles à partir de cette légende. Là où Boèce cite la suite 6, 8, 9, 12 comme un exemple, Nicomaque se fonde sur ces nombres nullement pris au hasard puisquʹils sont les seuls entiers simples à répondre aux rapports qui déterminent les intervalles. Lʹensemble de lʹIntroduction harmonique est un texte pédagogique destiné à expliquer le système des intervalles de façon simple, et sur ce plan, cʹest assez réussi. Voici le texte de Nicomaque8 : CHAPITRE VI 26. Quant à la quantité numérique qui représente la distance des cordes sonnant la quarte, celle de la quinte, celle qui par leur réunion devient ce quʹon nomme diapason (octave), enfin le ton additionnel placé entre les deux tétracordes, voici comment Pythagore, à ce quʹon affirme, sʹy est pris pour sʹen rendre compte. 27. Un jour quʹil se promenait tout en sʹabandonnant aux réflexions et aux pensées que lui suggéraient ses combinaisons, cherchant sʹil ne pourrait pas imaginer un secours pour lʹoreille, sûr et exempt dʹerreur, tel que la vue en possède un dans le compas et dans la règle ou même, disons-le, dans la dioptra, le toucher dans la balance, ou dans lʹinvention des mesures, il vint à passer, par une coïncidence providentielle, devant un atelier de forgeron, et entendit très distinctement des marteaux de fer frappant sur lʹenclume et donnant pêle-mêle des sons parfaitement consonants entre eux, à 8 Il s'agit ici de la traduction du grec au français réalisée par Charles Emile Ruelle éminent helléniste de la fin du XIXème siècle. Ruelle est parti du texte grec retrouvé en 1616 et édité par Meibom en 1652. Cette traduction est parue sous le titre : 'Manuel d'harmonique et autres textes relatifs à la musique ', dans la ‘Collection des auteurs grecs relatifs à la musique', Baur, Paris, 1881.

lʹexception dʹun seul couple. Il reconnut, parmi ces sons, les consonances de diapason (octave), de diapente (quinte) et de diatessaron (quarte). Quant à lʹintervalle intermédiaire entre la quarte et la quinte, il sʹaperçut quʹil était inconsonant en lui-même ; mais, dʹautre part, complémentaire de la plus grande de ces deux consonances. 28. Rempli de joie, il entra dans lʹatelier comme si un dieu secondait son dessein, et, au moyen dʹexpériences variées, après avoir reconnu que cʹétait la différence de poids qui causait la différence de son, et non pas lʹeffort des forgerons ni la forme des marteaux, ni le déplacement du fer laminé, il releva avec un grand soin le poids des marteaux et leur force impulsive quʹil trouva parfaitement identique, puis il rentra chez lui. 29. Il fixa un clou unique dans lʹangle formé par deux murailles, pour éviter quʹil y eût même de ce côté la moindre différence ou que, dʹune manière quelconque, la pluralité des clous ayant chacun leur matière propre rendît lʹépreuve suspecte. Il suspendit à ce clou quatre cordes semblables par la substance, le nombre des fils, la grosseur, la torsion, et fit supporter à chacune dʹelles un poids quʹil fixa à son extrémité inférieure. De plus, il rendit les longueurs des cordes de tout point égales, puis frappant ensemble les cordes deux à deux, il reconnut respectivement les consonances précitées qui variaient avec chaque couple de cordes. 30. La corde tendue par la suspension du plus grand poids, comparée avec celle qui supportait le plus petit, lui fit constater une résonance à lʹoctave ; or celle-ci représentait 12 des poids donnés, et celle-là 6. Il établit ainsi que lʹoctave est dans le rapport double, ce que les poids eux-mêmes lui avaient fait entrevoir. La plus grande corde, comparée avec celle qui venait après la plus petite et qui représentait 8 poids, sonnait la quinte, et il établit quʹelles étaient dans le rapport sesquitiers, ce qui était aussi le rapport des poids entre eux ; puis il la compara avec celle qui la suivait, par rapport au poids supporté. La plus grande des autres cordes se trouvant avoir 9 poids sonnait la quarte, proportionnellement aux poids ; or il constata, quʹelle était dans le rapport inversement sesquitiers et que cette même corde se trouvait par nature sesquialtère de la plus petite, car 9 est à 6 dans le même rapport, de même que la corde proche de la petite et supportant 8 poids était à la corde qui en supporte 6 dans le rapport sesquitiers et à la corde de 12 poids dans le rapport sesquialtère. 34. Par conséquent, lʹintervalle compris entre la quinte et la quarte, cʹest-à-dire celui dont la quinte surpasse la quarte était confirmé comme se trouvant dans le rapport sesquioctave qui est

celui de 9 à 8. Le diapason (octave) était le système formé par la réunion de lʹune et de lʹautre, autrement dit de la quinte et de la quarte placées en conjonction ; de même que le rapport double se compose du sesquialtère et du sesquitiers, soit 12, 8, 6 ; ou inversement, par la réunion de la quarte et de la quinte, de même que le double se compose du sesquitiers et du sesquialtère, soit 12, 9, 6, placés dans cet ordre. 32. Après avoir exercé sa main et son oreille à lʹétude des poids suspendus et bien établi dʹaprès ces poids le rapport des proportions constatées, il transporta ingénieusement les résultats généraux obtenus par les cordes, (lesquels provenaient du clou placé dans lʹangle des deux murailles), sur la batère (la tablette inférieure) dʹun instrument quʹil nomma cordotone, et la tension, portée à un point proportionnel à celles que produisaient les poids, passa dans le mouvement des chevilles placées à la partie supérieure. Une fois installé sur ce terrain et comme qui dirait en possession de ce gnomon infaillible, il étendit lʹexpérience en la faisant sur divers instruments, par exemple au moyen de la percussion des vases, sur les flûtes, les syrinx ; les monocordes, les trigones et autres semblables ; toujours il trouva consonante et invariablement sûre la détermination indiquée par les nombres. 33. Il nomma hypate le son correspondant au nombre 6, mèse, le son 8, qui se trouve être son sesquitiers ; paramèse, le son 9, plus aigu dʹun ton que le son moyen et par conséquent son sesquioctave ; enfin nète, le son 12. Ensuite il suppléa les points intermédiaires, suivant le genre diatonique, au moyen de sons proportionnels et subordonna ainsi la (lyre) octacorde aux nombres consonants, savoir le double, le sesquialtère, le sesquitiers, et à la différence de ces deux derniers, le sesquioctave. Sans aucun doute le résumé de Boèce est beaucoup plus compréhensible, et encore davantage par lʹélégante traduction de Christian Meyer. On relève quelques différences avec la version de Boèce, peut être dues à des copies ou à des approximations de traduction. On notera lʹanalogie très moderne, expérimentalisante presque, entre la vue et le compas, dʹune part, et lʹouïe et ce nouvel instrument de mesure que Pythagore invente : « […] cherchant sʹil ne pourrait pas imaginer un secours pour lʹoreille, sûr et exempt dʹerreur, tel que la vue en possède un dans le compas et dans la règle ou même, disons-le, dans la dioptra, le toucher dans la balance, ou dans lʹinvention des mesures ». Si cette comparaison nʹest pas un ajout des copistes ou des traducteurs, on constate un réel souci de quantification de la sensation quʹon pensait plus tardif. Cette préoccupation de vérification, de mesure et de réalisation est une préoccupation de physicien, et on peut trouver ici encore un argument contre lʹauthenticité de cette histoire. Son auteur semble plus aristotélicien, se fondant sur les sens, sur le réel, sur la mesure, que pythagoricien, constructeur

dʹun édifice géométrique parfait dont les briques sont les nombres, et les mathématiques la règle. Cette période des premiers siècles est emprunte à la fois dʹun néo-platonisme (et néo-pythagorisme) très mathématique, et dʹun aristotélisme beaucoup plus physique et expérimental. Les trois expériences décrites par Nicomaque Cependant le texte de Nicomaque laisse bien apparaître la succession des expériences, qui nous fait comprendre à quel point elles ne sont pas forcément liées. La distinction entre ces trois expériences explique les deux erreurs que nous allons développer. La première expérience est celle des marteaux : Pythagore entend les consonances des sons produits par les chocs des quatre marteaux pris deux à deux. Il procède avec justesse à des vérifications (échange des manipulateurs, constance de la force), et conclut à la relation entre les poids et les hauteurs de son. Mais, et cʹest important, il ne dit pas dans quel sens. Il est tout à fait probable que le marteau le plus lourd rende le son le plus grave. Nicomaque parle de ‘différence de poids qui causait la différence de son’, et Boèce nous dit : ‘Il en trouva un qui pesait le double dʹun autre: ils se répondaient à la consonance dʹoctave’. On ne sait pourquoi Boèce introduit un cinquième marteau, sans doute à cause dʹune mauvaise interprétation de ‘Quant à lʹintervalle intermédiaire entre la quarte et la quinte, il sʹaperçut quʹil était inconsonant en lui-même’, il sʹagit de lʹintervalle nommé sesquioctave, qui correspond à un ton, ou si lʹon veut entre les poids 8 et 9. La détermination de cet intervalle est essentielle, et Boèce semble lʹignorer, ou plutôt il minimise lʹimportance de cette détermination, qui pour Boèce allait de soi. En effet, la démarche de Pythagore consiste ici à créer un nouveau système dʹintervalles dans lequel ce rapport a une fonction centrale, on le verra. Une fois rentré chez lui, Pythagore suspend les poids équivalents à quatre cordes égales, et cʹest la seconde expérience. Cette fois les poids ne sont plus des résonateurs, comme dans lʹéchoppe du forgeron, mais des tenseurs. Les cordes devraient donc sonner dans les proportions inverses de celles des marteaux. En effet, si on convient bien que des corps sonores produisent un son grave lorsquʹils sont pesants, les cordes tendues par un poids important produisent un son aigu. Il nʹy a donc aucune raison de rapprocher ces deux expériences, il est clair que la hauteur des sons est déterminée par des facteurs différents dans les deux cas : les accroissements respectifs de poids dʹun corps sonore rend un son grave, et de la tension dʹune corde un son aigu. Cʹest la première erreur, évidente, et qui pourtant nʹest jamais relevée par les commentateurs de cette histoire, même par nos contemporains… La seconde erreur, plus théorique, cʹest bien entendu que la hauteur de son est proportionnelle au carré des poids tenseurs, et cʹest le père de Galilée, Vincenzo qui en est le découvreur, vers 1585. On doit à Claude Palisca dʹavoir découvert et traduit le texte de Vincenzo dans lequel ce dernier explique,

avec un certain courage il faut le dire, lʹerreur de Pythagore. Galilée reprendra cette théorie dans les Discorsi parus en 1638, on y reviendra plus loin. Enfin, la troisième expérience, celle que lʹhistoire de lʹacoustique musicale a retenue avec raison, cʹest celle du monocorde, au cours de laquelle Pythagore associe aux longueurs dʹune corde tendue les sons de différentes hauteurs quʹelle produit lorsquʹelle vibre. Cette expérience fonde la théorie des intervalles et des consonances. Dans son texte, Boèce est nettement évasif, il nous raconte que Pythagore, de retour chez lui, pratiquait de nombreuses expériences : ‘Tantôt il adaptait aux cordes des poids équivalents et appréciait à lʹoreille leurs consonances, tantôt il reportait le double sur la longueur des roseaux, rajoutait une moitié et réalisait tous les autres rapports: par ses multiples expériences il atteignit une totale certitudeʹ. Boèce est nettement plus imprécis que Nicomaque sur la distinction entre ces trois expériences, ne prenant aucun risque car sans doute peu confiant dans la perfection de lʹanalogie entre les marteaux et les cordes. Les autres textes Jamblique, dans la Vie de Pythagore, nous offre la relation de lʹhistoire des marteaux, relativement fidèle à celle de Nicomaque. Jamblique est soucieux de la vraisemblance de lʹhistoire, et il précise quelques détails pratiques. A propos des marteaux de poids 8 et 9 il dit : « Il constata que lʹintervalle entre la quarte et la quinte était en soi dissonant, mais quʹil pouvait combler la différence de grandeur qui pouvait subsister entre elles». En effet, si lʹintervalle de seconde nʹest pas agréable à lʹoreille, il est essentiel pour la construction du système à deux tétracordes disjoints séparés par un ton représenté par le rapport 9/8, et qui est lʹobjet même de cette expérience. Cʹest peut-être ici lʹexplication du cinquième rapport, dissonant, relevé par Boèce dans sa narration. Par ailleurs, Jamblique, esprit pratique, suggère que Pythagore, quittant lʹéchoppe du forgeron, rentre chez lui, « Ayant pris des morceaux de métal dʹun poids rigoureusement égal à celui des marteau ». Par contre on peut supposer quʹil nʹa pas réalisé lʹexpérience (mais doit-on vérifier les affirmations du maître vénéré ?), puisquʹil affirme et confirme que les cordes étaient rigoureusement de longueur égale. Il est important de noter que les écrits de Jamblique ont été largement diffusés par la suite, sans doute beaucoup plus que ceux de Nicomaque. Peu avant Boèce, Macrobe nous fait une tout autre relation de cette histoire, légèrement plus romancée, dans son adaptation du livre VI du De republica de Cicéron, le Songe de Scipion. Macrobe, Somnium scipionis, Livre II, cap 1 […] Pythagore est le premier des Grecs qui ait attribué aux

sphères cette propriété harmonique et obligée, dʹaprès lʹinvariable régularité du mouvement des choses célestes ; mais il ne lui était pas facile de découvrir la nature des accords et les rapports des sons entre eux. De longues et profondes méditations sur un sujet aussi abstrait ne lui avaient encore rien appris, quand une heureuse occurrence lui offrit ce qui sʹétait refusé jusquʹalors à ses opiniâtres recherches. Il passait par hasard devant une forge dont les ouvriers étaient occupés à battre un fer chaud, lorsque ses oreilles furent tout à coup frappées par des sons proportionnels, et dans lesquels la succession du grave à lʹaigu était si bien observée, que chacun des deux tons revenait ébranler le nerf auditif à des temps toujours égaux, en sorte quʹil résultait de ces diverses consonances un tout harmonique. Saisissant une occasion qui lui semblait propre à confirmer sa théorie par le sens de lʹouïe et par celui du toucher, il entre dans lʹatelier, suit attentivement tous les procédés de lʹopération, et note les sons produits par les coups de chaque ouvrier. Persuadé dʹabord que la différence dʹintensité de ces sons était lʹeffet de la différence des forces individuelles, il veut que les forgerons fassent un échange de leurs marteaux ; lʹéchange fait, les mêmes sons se font entendre sous les coups des mêmes marteaux, mus par des bras différents. Alors toutes ses observations se dirigent sur la pesanteur relative des marteaux; il prend le poids de ces instruments, et en fait faire dʹautres qui diffèrent des premiers, soit en plus, soit en moins mais les sons rendus par les coups des derniers marteaux nʹétaient plus semblables à ceux qui sʹétaient fait entendre sous le choc des premiers, et ne donnaient que des accords imparfaits. Pythagore en conclut que les consonances parfaites suivent la loi des poids; en conséquence, il rassembla les nombreux rapports que peuvent donner des poids inégaux, mais proportionnels, et passa des marteaux. aux cordes sonores. Il tendit une corde sonore avec des poids différents, et dont le nombre égalait celui des divers marteaux; lʹaccord de ces sons répondit à lʹespoir que lui avaient donné ses précédentes observations, et offrit de plus cette douceur qui est le propre des corps sonores. Possesseur dʹune aussi belle découverte, il put dès lors saisir les rapports des intervalles musicaux, et déterminer, dʹaprès eux, les différents degrés de grosseur, de longueur et de tension de ses cordes, de manière à ce que le mouvement de vibration imprimé à lʹune dʹelles pût se communiquer à telle autre éloignée de la première, mais en rapport de consonance avec elle. Chez Macrobe, on ne parle plus de nombres et de rapports. Le style littéraire lʹemporte, et on frise lʹinvraisemblance. Macrobe raconte ainsi que Pythagore, non

content de procéder à lʹéchange des marteaux, en fait confectionner dʹautres, différents et donc dissonants. La transition entre les trois expériences et les explications des phénomènes sont très succinctes : « Pythagore en conclut que les consonances parfaites suivent la loi des poids; en conséquence, il rassembla les nombreux rapports que peuvent donner des poids inégaux, mais proportionnels, et passa des marteaux aux cordes sonores ». Cette version du Songe de Scipion, adaptée par Macrobe dʹun texte de Cicéron, a été lue et commentée pendant des siècles, eu égard à la réputation du grand orateur. Les références à cette histoire des marteaux de Pythagore sont très nombreuses, en particulier dans la littérature dʹacoustique musicale, plus préoccupée de lʹesthétique des intervalles, des gammes et des tempéraments que des lois physiques de production des sons. Citons par exemple Guido dʹArezzo, célèbre théoricien de la musique du XIème siècle, à qui lʹon doit la nomenclature des notes de la gamme, dans son ouvrage le plus célèbre, Micrologus : Un certain Pythagore, grand philosophe, voyageait dʹaventure ; on arriva à un atelier où lʹon frappait sur une enclume à lʹaide de cinq marteaux. Etonné de lʹagréable harmonie quʹils produisaient, notre philosophe sʹapprocha et, croyant tout dʹabord que la qualité du son et de lʹharmonie résidait dans les différentes mains, il interchangea les marteaux. Cela fait, chaque marteau conservait le son qui lui était propre. Après en avoir retiré un qui était dissonant, il pesa les autres et, chose admirable, par la grâce de Dieu, le premier pesait douze, le second neuf, le troisième huit, le quatrième six de je ne sais quelle unité de poids. Cʹest un résumé bref et concis, mais qui au moins ne commet pas lʹerreur de la transposition de lʹexpérience aux cordes tendues… Voici un exemple de ce quʹon pouvait trouver dans un ouvrage dʹharmonie du début du XVIIème siècle (Salomon de Caus, Institution Harmonique, 1615 ) : Celuy qui a essayé premièrement à donner quelques proportions aux intervalles, entre les sons graves et aigus, fut (comme dit Macrobe, et après luy Boèce) Pitagoras lequel passant par une rue, où il y avoit une boutique de forgerons qui travailloyent avec leurs marteaux, trouva que lesdits marteaux donnoient en frappant chacun un son différent suivant leur pesanteur; de là trouva les proportions des consonances par le poids desdits marteaux, et après rechercha (comme dit le même Boèce) sur un instrument dʹune corde (nommé des grecs monochorde) les intervalles qui estoyent entre les consonances, et trouva que lesdites consonances estoyent formées dʹintervalles proportionnés ensemble.

On n’est plus du tout dans la description dʹune expérience, mais bien dans lʹanecdote destinée à soutenir un discours plutôt dogmatique. Il sʹagit ici dʹun ouvrage dʹenseignement de la théorie musicale. Plus près de nous, il nʹest pas inutile de considérer comment Huygens abordait cette légende. On sait que le grand savant hollandais était également musicien, et quʹil a inventé un clavier de 31 parties par octave afin de résoudre le problème du tempérament idéal, c’est-à-dire respectant la justesse et la contrainte des notes fixes. Dans une pièce manuscrite non datée, il commente lʹhistoire de Pythagore9 : Je veux bien croire que ce fut Pythagore qui sʹavisa le premier de faire cette recherche, car il avait lʹesprit porté à la recherche des choses naturelles et très beau, non pas toutefois que les marteaux du maréchal lui en aient donné lʹoccasion car des pièces de fer de la forme qui sert à cela ne sont nullement sonores. Il se peut quʹil ait rencontré des pièces de quelque métal mieux formées pour sonner que les marteaux et quʹil ait remarqué que, de celles qui étaient semblables, les plus grosses sonnaient plus bas. Et il pouvait déterminer par leurs différents poids la proportion des consonances, parce quʹil est vrai que de deux pièces de métal semblables celle qui est double de poids de lʹautre lui consonne de lʹoctave plus bas et celle qui est sesquialtère en poids fait la quinte en bas et ainsi de suite. Quelques anciens auteurs de même racontent quʹaprès cela il attacha des poids suivant ces proportions trouvées à des cordes pour les tendres, et quʹil trouva que le poids double tendait la corde à lʹoctave plus haut, et la sesquialtère à la quinte, ce qui est faux : et si ces auteurs sʹétaient donné la peine de faire lʹexpérience ils auraient trouvé quʹil faut le poids quadruple du premier pour faire monter une corde à lʹoctave; quʹil faut quʹil soit comme 9 à 4 pour faire la quinte, et quʹuniversellement la raison des poids doit être double de celle qui détermine les consonances par les parties dʹune corde tendue. Si Pythagore a donc aussi examiné les consonances par des cordes tendues par des poids différents, il a trouvé la chose comme je viens de dire, mais ce nʹest pas dʹici quʹil a établi les proportions des consonances, mais par la division de la corde ou du canon comme ils appelaient cela anciennement. Comme on le remarque, Huygens sépare bien les deux expériences, il rejoint Pythagore sur les rapports inversement proportionnels entre les poids frappés et les hauteurs de son, il relève bien quʹil nʹen est pas de même pour les poids tenseurs qui suivent une loi proportionnelle à leur carré. Huygens avait lu le passage des Discorsi de Galilée dans lequel il puise presque mot pour mot. Christiaan Huygens, Portefeuille 27 (Musica),f. 56, Œuvres complètes, Société Hollandaise des Sciences, Nijhoff, La Haye, 1937, tome 19, p 362-363.

Un contradicteur de Pythagore : Vincenzo Galilei Venons-en donc aux Galilei, père et fils, Vincenzo, le père qui, luthiste, a fait lʹexpérience de la tension des cordes, et Galileo, le fils qui a écrit ce remarquable ouvrage de physique, paru en 1638, les Discorsi, mais dont les pages concernant lʹacoustique datent probablement dʹavant 1610, et qui rendent un hommage posthume aux théories développées par son père. Vincenzo Galilei (1520-1592) était avant tout musicien, luthiste, et théoricien de la musique. Formé par Zarlino, il entre en conflit avec lui sur la méthode de détermination des degrés de la gamme. Vincenzo fréquente les assemblées de la Camerata Fiorentina du comte Bardi qui regroupe alors des poètes, des savants et des amateurs de curiosités intellectuelles. Il est lʹauteur de trois ouvrages de théorie musicale. Dans un traité non publié, et découvert dans les années 1960 par Claude Palisca,10 probablement écrit vers 1586, Vincenzo Galilei s’intéresse aux différentes façon de produire le diapason (l’octave). Il relate une expérience qu’il a effectuée et qui contredit la théorie de Pythagore sur la définition du rapport de proportionnalité simple entre la hauteur de la note et le poids tenseur. Vincenzo n’est pas seulement un théoricien, il est également musicien. Lorsquʹil accorde son luth, il sent, physiquement, la tension exercée sur la corde. Il n’est pas étonnant qu’il ait cherché à vérifier la fable du forgeron, ce qu’aucun savant n’avait pensé à faire auparavant. Il suspend des poids aux cordes à l’extrémité dʹun luth, là où elles sont fixées sur les chevilles qui permettent lʹaccord. Et il constate que pour produire l’octave, il faut non pas doubler le poids, mais le quadrupler. De même, pour produire la quinte (rapport de longueurs de cordes de 2/3), il faut multiplier le poids par 9/4, ce qui exprime bien le carré de l’inverse du rapport de longueur de corde11. Ce que fait Vincenzo Galilei ici, c’est réellement une expérience de physique. Il observe la différence de tension qui lui paraît anormalement forte lorsquʹil accorde son luth. Il fait l’expérience des cordes tendues, mesure les poids tenseurs, et conclut à la formulation mathématique de la loi du carré. Vincenzo Galilei est un praticien, un technicien, un artiste disait-on à l’époque. Il est devenu théoricien au contact des savants qu’ils rencontrait, et a pu développer, auprès de ces influences multiples, ce savoir faire et ce savoir penser qui permet à la science de se construire, sur la base à la fois de l’observation, de la quantification, de la théorie et de l’expérience. Dès le début de son Dialogo de 1581, 10 Vincenzo Galilei, Discorso intorno alla diversita delle forme del Diapason, Trad. De C. Palisca : A special discourse concerning the diversity of the ratios of the diapason, in The Florentine Camerata, Yale University Press, New Haven, 1988 Vincenzo Galilei, Discorso…, Trad. De C. Palisca : A special discourse concerning the diapason, in The Florentine Camerata, Yale University Press, New Haven, 1988, p 184-185.

contre les aristotéliciens, Vincenzo affirme sa préférence pour la connaissance issue d’expérience des sens plutôt que du dogme12 : je désire, à propos des choses que la sensation peut atteindre, que soit écartée (comme le dit Aristote dans le huitième livre de sa Physique), non seulement l’autorité, mais aussi, la raison biaisée qui récuse comme lui étant contraire ce qu’on voudrait que ce ne soit qu’une vérité apparente, parce qu’il me semble qu’ils se comportent de façon ridicule (pour ne pas dire, comme le philosophe, de façon idiote) les gens qui pour prouver quelque conclusion qui est la leur veulent tout bonnement qu’on y croit sur la simple foi de l’autorité, sans produire les raisons qui la rendraient valides. Bien sûr nous ne sommes pas encore en présence d’une méthode expérimentale achevée, mais cʹest bien chez un musicien que la prééminence de l’expérience des sens sur le dogme sʹest manifestée, et ce nʹest pas anodin. Vincenzo Galilei commente ainsi son expérience13 : Il existe peu de choses qui ne peuvent être pesées, comptées ou mesurées. Nous sommes bien ici en présence des principes fondateurs de la méthode expérimentale, la mesure et la quantification. Vincenzo ne refuse pas les mathématiques, mais au lieu de les considérer comme un langage qui permet l’expression de la beauté des nombres et de leurs relations, il les utilise pour traiter des grandeurs préalablement mesurées. Vincenzo reprendra sa thèse dans son Discorso contre Zarlino de 1589, mais ses ouvrages nʹont pas eu un grand retentissement auprès de la communauté scientifique de lʹépoque, tout au plus intéressaient-ils les théoriciens de la musique alors en pleine élaboration dʹun nouveau langage. Cʹest le fils de Vincenzo, Galileo Galilei, qui reprendra la théorie du carré des poids tenseurs, contre lʹopinion courante scolastique teintée de pythagorisme. Au cours des dernières années de la vie de son père, Galileo, âgé dʹune vingtaine dʹannées, sʹest attelé aux problèmes des phénomènes périodiques, tant pour les cordes vibrantes que pour les pendules. La légende des lustres de la cathédrale de Pise se situe vers 1583, mais cʹest sans doute lors de son retour à Florence, entre 1585 et 1589, quʹil commence sa réflexion sur le mouvement périodique. Nous nʹavons aucune donnée sur le rôle joué par son père et ses expériences musicologiques dans lʹélaboration des réflexions de Galilée sur les mouvements périodiques. Raymond Fredette, éminent traducteur et spécialiste du 12 Vincenzo Galilei, Dialogo della musica antica e della moderna, Florence, 1581, trad. R. Fredette. Vincenzo Galilei, Discorso intorno alla diversita delle forme del Diapason, trad. Palisca, p. 181.

De motu antiquioria, recueil de manuscrits du jeune Galilée sur le mouvement local, est persuadé de cette influence14 : Le père prouve, expériences contrôlées à l’appui, qu’on ne peut pas se fier à la théorie si belle et vénérablement appuyée sur les idées des autorités anciennes les plus prestigieuses, Pythagore, Platon. Que s’est-il passé, nous ne le savons pas vraiment. On pourrait même imaginer de façon tout à fait vraisemblable que c’est le fils, à l’occasion de sa découverte en 1583 de l’isochronisme des petites oscillations du pendule, qui aurait rapporté des résultats d’expériences à la maison et qui aurait influé sur les expérimentations dont on vient de parler. Une chose paraît certaine, cependant, la musique, la sensibilité rythmique acquise auprès du père, ont joué un rôle décisif dans cette découverte du fils. Galilée nʹa rien écrit à cette époque sur le son. On sait quʹil avait lʹintention dʹentreprendre un De sono et voce, par une allusion dans une lettre à Belisario Vinta de 1610. Dans les Discorsi, son dernier ouvrage paru en 1638, Galilée consacre une dizaine de pages remarquables sur lʹacoustique et les vibrations des cordes. Il est probable quʹil se soit servi de notes, aujourdʹhui encore introuvables, rédigées au cours de ces années florentines, avant son départ pour Padoue. Ce long délai, au cours duquel Galilée sʹintéresse à tout autre chose, explique sans doute certaines inexactitudes dans la description dʹexpériences, inexactitudes qui ont conduit certains commentateurs à douter de lʹauthenticité de ces expériences. A partir du début du XVIIème siècle, on ne se sert presque plus de cette histoire des marteaux de Pythagore pour illustrer la loi des rapports dʹintervalles, parce que la notion du ‘nombre de vibrations dans le même temps’ commence à se substituer à la mystique des nombres chère aux pythagoriciens. Galilée cite à de nombreuses reprises lʹexpresion ‘numero di vibrazione in medesimo tempo’ dans les Discorsi, ce qui signifie bien le ‘nombre de vibrations dans le même temps’. On ne parle pas encore de fréquence, mais le concept se précise, et Mersenne utilise le mot ‘période’ pour expliquer comment, lui, a pu compter ces mouvements en utilisant une corde très longue et peu tendue, à lʹinverse de Galilée qui peine à trouver un moyen de représenter ces vibrations. Il y parviendra dans une expérience dont nous parlerons ailleurs, celle des traces laissées par un couteau sur une plaque de laiton. La référence à la légende de Pythagore ne sera plus invoquée que dans les textes à caractère historique, à lʹoccasion de lʹexposé des différentes théories sur les 14 Raymond Fredette, D'où vient l'antiaristotélisme de Galileo Galilei, Note de recherche, CRIST, Univ. Du Québec, Montréal, 2002, p 28. Cette intuition que Galilée a pu élaborer sa théorie des mouvements périodiques auprès de son père Vincenzo, en travaillant sur les cordes vibrantes est partagée également par Thomas B. Settle, ami de R. Fredette, dans 'A Reflection on Galileo's Early Emperical Sense’, Paper presented at the XXth International Congress of History of Science, Liège, 20-26 July 1997. Ces commentaires sont extraits d'une correspondance que j'ai eue avec Raymond Fredette au cours de l'année 2005-2006.

intervalles. On notera que pendant longtemps, en particulier au XIXème siècle, on attribue à Montucla la découverte de lʹerreur de Pythagore concernant le rapport de poids proportionnel au lieu de quadratique15. On sait maintenant quʹil faut rendre à Vincenzo Galilei cette correction, reprise par son fils, puis par Huygens. Après avoir présenté cette approche numérique de la ‘division du canon’, par les différentes versions de la légende des marteaux de Pythagore, passons maintenant à lʹinterprétation de la démarche des pythagoriciens. Lʹanalyse des expériences Pour une meilleure compréhension, on considèrera à présent dans cette étude cette anecdote comme authentique et on nommera donc lʹexpérimentateur ʹPythagoreʹ, même si, on le verra, il est probable que cette expérience ait été effectuée bien après lui. On sait combien Pythagore était mathématicien avant tout, et que son approche de la description et de la compréhension de la nature est dʹabord numérique. La description du son est rendue délicate par sa fugacité, et les phénomènes observables sont limités. Le terrain dʹobservation est constitué : de la voix humaine, mais tellement changeante dʹun individu à lʹautre et tellement inconstante ; des sons de la nature ensuite, le bruit du vent, des ruissellements, et surtout le tonnerre, le plus grand bruit sans doute jamais entendu ; enfin des sons artificiels, produits par lʹactivité humaine, mais difficiles à observer et à reproduire. Alors Pythagore utilise un instrument de musique à cordes, la lyre, sans doute. Les sons sont reproductibles, suffisamment durables et leur hauteur correspond à des longueurs mesurables avec une règle, ainsi quʹà des tensions, également mesurables par les poids. Il a également utilisé des flutes et des aulos (genre de hautbois), mais les intervalles sont déterminés par les trous et sont difficilement modifiables. Pythagore nʹa pas inventé le principe de réglage de la hauteur des sons par modification de la longueur de cordes et de la tension. Les instruments de musique existaient bien avant lui et les luthiers et les musiciens savaient parfaitement comment les accorder en jouant sur la tension, et comment, en appliquant ses doigts on raccourcit la corde et on élève le son. Le système alors en vigueur est lʹheptacorde, c’est-à-dire deux tétracordes joints qui forment chacun une quarte, et dont les deux cordes intermédiaires sont laissées à lʹappréciation du musicien. On accorde les quarte au moyen des battements, tout comme sur une guitare de nos jours, également accordée par quartes. Tout ceci est largement connu, mais ce savoir empirique ne repose pas sur une connaissance de la relation de cause à effet, elle est intuitive. Pythagore va introduire le nombre dans ce savoir-faire, par une méthode de mesure systématique. Montucla, Histoire des Mathématiques, Agasse, Paris, 1799, t 1, p.126.

Le son est un phénomène difficile à étudier, essentiellement parce quʹil ne laisse pas de trace. Lʹapproche mathématique des objets sonores, telle que Pythagore lʹenvisage, nécessite un certain nombre de préalables. Une telle approche repose sur la mesure de paramètres, et concernant le son, la hauteur, lʹintensité, la durée, le timbre. La problématique de lʹétude des sons repose donc sur la définition de grandeurs mesurables affectées à ces différentes caractéristiques. Pour définir des grandeurs caractéristiques dans le but de les mesurer, il est nécessaire dʹétablir des classes dʹobjets, c’est-à-dire de comparer, et de réunir des sons, identiques en tout point à lʹexception de la caractéristique à observer. Cette démarche, décrite ici avec un langage du XXème siècle, Pythagore lʹadopte, même si elle nʹest pas explicitée. Lʹhistoire de la physique est une succession de tentatives de définir ces classes dʹobjets qui permettent de mesurer les grandeurs à observer. Lorsquʹil sʹagit de phénomènes visibles et durables, telles que la caractérisation dʹobjets par la forme, la couleur ou les dimensions, il est aisé de procéder aux observations, de façon visuelle ou tactile. Le travail du mathématicien consiste alors à définir des formes et des méthodes de mesure par comparaison avec des références constituées par la nomenclature des formes (rond, carré, triangle, puis rectangle, coniques, etc.), et la définition dʹune longueur étalon. Cʹest lʹobjet de la géométrie, aidée par lʹarithmétique lorsquʹil est nécessaire de composer ces grandeurs, après leur mesure. Dans le cas de lʹétude des sons, la première démarche consiste donc à établir des classes de sons, selon leurs caractéristiques, et cʹest ici que la difficulté apparaît. La première grandeur à définir, et sans doute la plus accessible, serait lʹintensité. Mais elle est difficilement mesurable. En effet, lʹintensité sonore est une grandeur trop variable, dans lʹespace et dans le temps, et sa perception est sujette à la subjectivité. Le timbre, quʹon appelle parfois la couleur du son, peut être défini par comparaison avec des sons connus, comme ceux des instruments de musique, ou plus simplement par les éléments simples du langage. Mais cette grandeur échappe à toute méthode de mesure fiable. Reste donc la hauteur. Parce quʹelle peut être rendue constante et indépendante des autres caractéristiques, elle constitue une grandeur mesurable. Pour cela il est nécessaire de construire une méthode fiable et un instrument propre à produire des sons de hauteurs différentes mais stables, dʹune durée suffisamment longue pour en permettre lʹobservation, et comparable avec un son de hauteur constante, qui sert de référence. La seconde condition est que cet instrument établisse une relation bijective entre dʹune part lʹensemble des hauteurs de notes et dʹautre part un ensemble de grandeurs mesurables. Voyons maintenant comment Pythagore a élaboré une méthode et un instrument pour parvenir à cette mesure. Pythagore est frappé par la perfection naturelle des consonances qui reposent sur des rapports de nombres entiers. Ces nombres entiers sont 1 pour lʹunisson, 2 pour lʹoctave (1/2 pour la longueur de corde), 3 pour la quinte (qui, ramenée dans une octave, correspond à 3/2, et donc à 2/3 pour la longueur de la corde correspondant à cette note), 3 encore pour la quarte, mais en rapport inverse (4/3

donc 3/4 pour la longueur de corde), enfin 4 pour la double octave et bien entendu les multiples de ces grandeurs, qui correspondent aux octaves successives. Le nombre 5 qui détermine le rapport de tierce naturelle (4/5) nʹest pas utilisé par Pythagore, ni le 7 qui semble-t-il est un chiffre magique et sacré. La méthode est celle des épimores, c’est-à-dire dʹétablir des rapports constitués dʹun tout plus une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur augmenté de 1 (nous dirions 1 + 1/n). Lʹutilisation conjointe de la série de la tetractys (1, 2, 3, 4, dont la somme fait 10) et des rapports épimores, produits les rapports dʹintervalles qui constituent le système pythagoricien : 1, 1/2 (octave), 2/3 (quinte), 3/4 (quarte). Cette démarche de construction des éléments de base de la musique par la détermination des intervalles puis par la construction des gammes, se poursuivra pendant plus de vingt siècles, avec ses ruptures, ses dogmes et ses variantes culturelles16. Encore une fois, ces rapports ne sont pas choisis parce quʹils sont ʹbeauxʹ, mais parce quʹils correspondent aux consonances naturelles, produites par la présence des harmoniques 2 et 3 dans un son quelconque, et qui donc ʹrésonnent’agréablement à lʹoreille. Les nombres de Pythagore Avant Pythagore, la musique ne se préoccupe pas de nombres. Lʹintervalle de base est constitué par le tétracorde qui couvre un intervalle de quarte, quʹon nomme à lʹépoque épitrite. Une quarte, le diatessaron, cʹest lʹintervalle do-fa de notre notation, cʹest le rapport sesquitierce tel quʹon le définit, c’est-à-dire une unité plus son tiers, ou encore le rapport 4/3. Le système pré-pythagoricien, cʹest lʹassemblage de deux quartes successives avec une corde commune (un heptacorde, donc), c’est-àdire do-fa-sib, ou encore un rapport total de 4/3 x 4/3 = 16/9. Ce système, fondé sur le plus petit intervalle consonant, convient à lʹesthétique de lʹépoque, mais pas à la perfection mathématique exigée par les pythagoriciens. Ceux-ci veulent que la note la plus grave (hypate) soit en consonance dʹoctave avec la note la plus aiguë (nète), donc correspondant à un rapport total de 2, tout en conservant des intervalles consonants de quarte. Or, il faut bien comprendre quʹune quarte, cʹest également une quinte. Mathématiquement, une quarte, 4/3, est équivalente à 2/3, puisque les rapports des deux sons étant à lʹoctave, ils produisent la même note. Or, une quinte, cʹest 3/2, c’est-à-dire lʹinverse dʹune quarte 4/3. Et en effet, do1-fa1, cʹest une quarte, et fa1-do2, cʹest une quinte. Une octave, do1-do2, cʹest donc un assemblage dʹune quarte et dʹune quinte, ou dʹune quinte et dʹune quarte. Un tel assemblage, dans notre langage mathématique, cʹest un produit de rapports. Lʹassemblage dʹune quarte et dʹune quinte, cʹest 4/3 x 3/2 égal à 2, donc à une octave, et cʹest commutatif. Mais une quinte, cʹest une quarte ‘plus’ un petit intervalle tel que deux quartes assemblées 16 On attribue souvent à Pythagore la construction du système de 12 quintes successives qui construisent la gamme occidentale moderne. C'est beaucoup plus tard, d'abord avec Platon (Timée), puis avec la division du canon (attribuée à Euclide), et surtout avec Ptolémée (Harmoniques) au Ier siècle, que s'élabore lentement cette construction, en rapport avec la construction des différents genres (diatonique, chromatique, enharmonique…).

‘plus’ cet intervalle fasse une octave. Si l’on cherche le rapport p/q, tel que 4/3 × 4/3 × p/q = 2, la solution est p/q = 9/8. La révélation des pythagoriciens, cʹest de promouvoir un assemblage de deux quartes séparées par un intervalle de 9/8, dont la ‘somme’ fait 2, et dont les ‘sommes’ imbriquées font des quintes de rapport 3/2. Le tout doit être réalisé avec des nombres entiers… Les quatre nombres les plus simples qui répondent à ces conditions sont la combinaison 6, 8, 9, 12. En effet, 6 et 8 dʹune part, et 9 et 12 dʹautre part, sont en rapport sesquitierce (4/3, épitrite ou diatessaron) et forment des quartes ; 6 et 9, dʹune part, et 8 et 12 dʹautre part, sont en rapport sesquialtère (3/2, hémiole ou diapente) et forment des quintes ; et 6 et 12 sont en rapport double (2/1, octave ou diapason). Le rapport restant est dit sesquioctave (9/8, qui forme le ‘ton’). Ces arrangements de rapports constituent la véritable invention de Pythagore. Dès lors, lʹheptacorde fait place à lʹoctacorde composé de deux tétracordes séparés par un ton égal à un intervalle de 9/8. La détermination des intervalles contenus dans la quarte va occuper pendant plusieurs siècles la communauté des mathématiciens et des musiciens, et susciter de nombreuses polémiques17. La légende des marteaux consiste à établir la légitimité de lʹoctacorde : une succession de nombres qui construisent cette nouvelle combinaison, pythagoricienne, dʹune octave composée dʹun assemblage de deux quartes et dʹun ton, ou dʹune quarte et dʹune quinte. Cette succession est caractérisée par les nombres 6, 8, 9, 12, associés soit à des poids sonnants, soit à des poids tenseurs, soit à des longueurs de cordes, ou encore aux longueurs de tuyaux18. La première expérience : les poids sonnants Revenons alors au texte de Boèce, référence dans la littérature musicologique, relatant les expériences de Pythagore. Il observe les sons produits par les marteaux et constate quʹils rendent des sons de hauteurs différentes. Dans un premier temps il élimine la composante humaine entachée de subjectivité, c’est-à-dire la force de frappe, et pour cela procède à lʹéchange des manipulateurs. Il constate alors que les différences sont exclusivement causées par les différences des marteaux. Ils ne diffèrent que par leurs masses, cʹest donc la grandeur caractéristique, qui induit la différence de hauteur de sons. Pythagore ne cherche pas à comprendre pourquoi la 17 On classe les différentes méthodes de détermination des intervalles contenus dans la quarte en genres : diatonique, chromatique et enharmonique. On comptera plus d'une vingtaine de façons d'organiser ces sons à l'époque de Ptolémée (Ier siècle). Ces modes, et les controverses qu’ils suscitent, ont alimenté une littérature abondante jusqu'à nos jours. 18 Les spécialistes de la théorie musicale de l'Antiquité pensent aujourd'hui que l'heptacorde a subsisté longtemps et que ce serait Philolaos, disciple de Pythagore, qui serait en fait l'inventeur des deux tétracordes disjoints et de l'intervalle 9/8 (le ton). Paul Tannery qui conteste l'authenticité des 'fragments philolaïques', suggère qu'il s'agit plutôt d'Archytas, disciple de Philolaos et théoricien de l'acoustique, contemporain de Platon.

masse détermine la hauteur du son, il constate seulement la relation. Rentré chez lui, il ne poursuit pas dans cette voie, celle des poids des corps sonnants, mais transpose lʹexpérience sur les cordes tendues, dans un premier temps avec des poids équivalents à ceux du forgeron, et ensuite avec un poids tenseur unique et constant et des longueurs de cordes différentes. Si on se réfère à la cohérence de lʹhistoire, on peut penser que manipuler des poids différents est peu pratique, et que la pesée est une opération complexe (dʹailleurs on nʹen parle pas dans la légende). Si on considère que cette histoire nʹest quʹune illustration destinée à faire sentir la différence physique par des poids censés être plus accessibles à la sensation que les longueurs de cordes, alors pourquoi pas. Sauf que lʹexpérience sensible de tout musicien montre que lʹhistoire des poids ne peut pas fonctionner, puisque intuitivement on sent bien que les poids les plus grands doivent sonner plus grave, alors que lorsquʹils tendent la corde, ils la font sonner plus aigu. Cette incohérence aurait dû sauter aux yeux de tous, y compris de Galilée père, avant même de mesurer les rapports de poids qui, en effet, ne suivent pas la proportionnalité simple mais quadratique. Car si on observe seulement les sons produits par les marteaux — on ne sait pas bien ce qui les rend sonores — rien nʹindique que la légende soit fausse, sur le plan des rapports de poids et Huygens lʹavait bien relevé. Cependant Huygens nous dit que les marteaux ne sonnent pas : […] des pièces de fer de la forme qui sert à cela [les marteaux] ne sont nullement sonores. Il se peut quʹil ait rencontré des pièces de quelque métal mieux formées pour sonner que les marteaux et quʹil ait remarqué que, de celles qui étaient semblables, les plus grosses sonnaient plus bas. Les recherches quʹon a pu faire sur les marteaux en usage dans lʹantiquité montrent quʹils étaient de formes très diverses, et pas du tout comme les outils modernes. Au XIXème siècle, Fétis reprend cet argument avec autorité (il est coutumier de la méthode..) dans sa biographie des musiciens. Selon lui ce nʹest pas le marteau qui sonne, mais lʹenclume. Ce qui est faux car les deux entrent en vibration et produisent un son. Par ailleurs lʹenclume est plus massive, donc plus inerte. Les marteaux sont des masses de métal moulées. Il est probable que le moule servant à fabriquer ces marteaux soit unique, de forme oblongue, et que le poids est déterminé par la longueur du métal coulé dans ce moule. Alors, si ces marteaux sont de forme parallélépipédiques ou cylindrique, de forme allongée, on les considère comme des barreaux, et les lois de lʹacoustique qui sʹappliquent sont celles de la vibration des tiges, c’est-à-dire quʹils vibrent selon plusieurs modes (transversal, de flexion, de torsion et longitudinal) à des fréquences propres différentes. Lorsque la forme est allongée, le mode longitudinal est prédominant et la fréquence des

vibrations selon ce mode est déterminée de façon analogue à celle des tubes19, c’est-àdire que la fréquence est inversement proportionnelle à la longueur, à masse spécifique constante, et pour une raideur (grandeur analogue à la tension des cordes) constante. On observe très bien ce phénomène dans les instruments de musique à percussion composés de lames ou de tiges métalliques, tels que les métallophones, vibraphones, xylophones ou autres instruments orientaux. Parmi les disciples de Pythagore, Hippase aurait confectionné une série de quatre disques de bronze de diamètre égal et dʹépaisseur variable qui sonnaient lorsquʹon les frappait dans les rapports consonants de quarte, de quinte et dʹoctave. Cette expérience aurait fourni à Glaucos de Rhegium lʹidée dʹen faire un instrument de musique20. On peut noter par ailleurs une remarque de A.-J.-H. Vincent, en 1847, à propos de ces fameux marteaux21 : [.., lʹoutil] quʹil désigne, non par le mot σφύρα, marteau, comme on lʹa voulu dʹabord et comme ensuite on lʹa dit et répété dans toutes les langues, mais par σφαίρα, corps sphérique, ce qui ne saurait plus signifier autre chose que le corps forgé, soit globe, soit vase sphérique. Et alors il devient parfaitement exact dʹattribuer les différentes intonations des sons rendus à la différence des dimensions de ce vase qui est ici le véritable corps vibrant et par conséquent sonore. [..] Dʹaprès Raoul Rochette, certains vases portent le nom de σφίρα au lieu de σφαίρα, ce qui vient encore confirmer cette manière de voir. Quoi quʹil en soit, il nʹest donc pas interdit de penser que Pythagore ne sʹest pas trompé sur la proportionnalité entre les hauteurs de notes et les poids des marteaux (eux-mêmes proportionnels à la longueur), ou des corps sphériques de M. Vincent. Mais, et cʹest essentiel, dans le sens où le marteau le plus lourd produit bien lʹoctave, mais en dessous du marteau le plus léger. Alors en effet, les deux intermédiaires produisent bien la quarte et la quinte, et entre eux le ton. Par contre lʹeffet est inverse lorsque les poids sont tenseurs : alors le poids le plus grand détermine la note la plus aiguë. La première ‘erreur’ de Pythagore nʹest donc pas dans la relation entre poids et hauteur, mais dans le sens de la relation. Cette ‘erreur’ 19 Les vibrations selon le mode longitudinal sont analogues aux vibrations produites dans les tubes, c’est-à-dire qu'elles provoquent l'apparition d'ondes stationnaires dont la disposition dépend des ouvertures des extrémités. Et la loi de Taylor applicable aux cordes vibrantes est analogue à celle de Bernoulli pour les tubes. La tension des cordes est l'équivalent de la raideur. La fréquence est inversement proportionnelle à la longueur, comme pour les cordes. Dans le cas des tiges, lorsque la fixation est au centre, les ondes stationnaires se forment avec un nœud au centre. et il n'y a pas d'harmoniques pairs. 20 H. Diels, Fragmente der Vorsokratiker, Berlin, 1903, trad. Daniel Delattre, Gallimard, Paris, 1988, p 79. 21 A.J.H Vincent, Notices et extraits des manuscrits de la Bibliothèque du roi et autres bibliothèques t XVI, 1847, p 267, cité par C.E. Ruelle, Etude sur Aristoxène et son école, Revue d'Archéologie, vol. XIV,

prend forme lors de la transposition de cette expérience à la tension des cordes. Dans son Etude sur le Timée de Platon, parue en 1844, Thomas Henri Martin relève cette inversion dʹéchelle et tente dʹen trouver la raison. Dans la plupart des cas les nombres représentant les sons sont grands pour les sons graves, que ce soit dans les cordes tendues, les flûtes ou les marteaux. Ces nombres sont en effet associés à des grandeurs qui sont proportionnelles à la période (ou inversement à la fréquence). Cependant, à partir de Platon, et sans doute antérieurement, on associe les nombres à la hauteur, par analogie avec la vitesse du ‘phénomène’, grandeur qui détermine la hauteur du son selon les théories de lʹépoque22 : De quelle nature étaient, suivant eux [les pythagoriciens] et Platon, ces quantités représentées en musique par les nombres ? Dʹaprès les témoignages de Porphyre, de Théon de Smyrne, de Plutarque et du platonicien Elien, commentateur du Timée, dont Porphyre cite un fragment, et dʹaprès le Timée même, ces quantités, dʹautant plus fortes que le son était plus aigu, étaient considérées par eux comme étant les vitesses des impulsions de lʹair transmises à travers ce fluide depuis lʹinstrument musical jusquʹà lʹoreille. Même si T.-H. Martin anticipe un peu lorsquʹil parle de ‘vitesse des impulsions de lʹair’ (les Anciens nʹévoquent que la ‘vitesse’ dʹon ne sait pas bien quoi), on voit bien la contradiction devant laquelle se trouvaient nos auteurs. Les lois naturelles associaient les grandeurs aux sons graves, et la loi quʹils élaboraient sur la propagation des sons impliquait le contraire. En effet, on définit le rapport de quarte comme 4/3, et lʹoctave supérieure comme rapport double. Double de quoi ? pas des cordes ni des flûtes, en tout cas, qui ne mesurent que la moitié. Cette représentation de la hauteur des sons, grandeur des nombres associée à lʹacuité, va sʹétendre à la spatialité de lʹéchelle des sons, le haut pour lʹaigu, le bas pour le grave. Cette représentation, toute arbitraire, trouve peut être son inspiration dans lʹidée que les sons aigus viennent de la tête, et les sons graves du corps. On comprend la tentation de choisir la tension des cordes comme paramètre, ce qui permet de se conformer au modèle intuitif et de légitimer le rapport direct entre hauteur de son et grandeur numérique. Cette préoccupation de hiérarchisation des hauteurs de son, avec l’aigu en haut, est probablement tardive, ce qui corrobore la théorie dʹune écriture récente (Ier siècle) du texte sur les marteaux de Pythagore. Il était donc important pour nos auteurs de réaliser deux expériences aux résultats inversés, mais dont les lois sont conservées. Il y a une cohérence dans cette obstination apparente de trouver une loi qui associe des quantités aux hauteurs de son de façon directe, et lʹexpérience des poids tenseurs le permet. Néanmoins lʹabsence de transition explicative entre les deux expériences introduit une confusion qui a permis aux hauteurs modernes de reléguer cette théorie au rang des anecdotes Thomas-Henri Martin, Etudes sur le Timée de Platon, Paris 1844, p 391-392.

sans fondement. Cette transition est plus ou moins évasive selon les auteurs et nous allons lʹétudier à présent. Boèce conclut lʹexposé sur les poids par « Pythagore fut le premier à découvrir de cette façon-là la proportionnalité qui fonde cette concorde de sons ». Si on sʹen tient là, cʹest exact. Boèce passe alors à un autre paragraphe pour décrire lʹexpérience du monocorde. Et là, il nʹest pas très clair, il évoque les tentatives avec des poids suspendus ainsi quʹavec des récipients remplis dʹeau, mais il ne détaille que celle des longueurs de cordes. A-t-il remarqué la contradiction entre les marteaux sonnants et ceux qui tendent les cordes ? Il nʹen dit mot. Par contre il établit bien la proportionnalité des hauteurs de sons avec les nombres 6, 8, 9, 12, qui représentent le fondement de la théorie de Pythagore concernant la constitution de lʹoctave par un système dʹune quarte et dʹune quinte elle-même formée dʹune quarte et dʹun intervalle de 9/8. Boèce cite cette combinaison de nombres comme un exemple, alors quʹelle est unique (avec leurs multiples), si on exige que les nombres soient des entiers. La deuxième expérience : les poids tenseurs Nicomaque est beaucoup plus clair quant à la démarche de Pythagore construisant son nouveau système basé sur lʹoctacorde, à partir de lʹheptacorde ancien, manifestement imparfait. Cʹest dʹailleurs lʹobjet de sa démarche d’illustration avec lʹhistoire des marteaux. Par contre sa relation de lʹexpérience des cordes tendues à un clou par des poids équivalents à ceux de la forge est apparemment fantaisiste. On ne sait pas quels sont les poids lourds et ceux qui font les notes élevées. La parfaite symétrie du système, et sa commutativité, font quʹil fonctionne sans quʹon ait besoin de spécifier le sens. Dʹun point de vue mathématique cela fonctionne, mais dʹun point de vue physique cʹest très fâcheux, puisquʹon ne sait toujours pas si les poids de 12 font un son aigu ou grave, certes on le suppose…Mais quʹimporte, lʹessentiel est que la démonstration est faite : on peut associer des nombres à des hauteurs de sons (Nicomaque est pythagoricien...), même si on ne sait pas à quoi ces nombres correspondent, et une méthode de mesure est établie, rigoureuse et exacte. Par ailleurs, on peut se demander si le texte nʹa pas été manipulé au cours de sa transmission. En effet, Nicomaque nous explique, à propos de la seconde expérience : « Il suspendit à ce clou quatre cordes semblables par la substance, le nombre des fils, la grosseur, la torsion, et fit supporter à chacune dʹelles un poids quʹil fixa à son extrémité inférieure. De plus, il rendit les longueurs des cordes de tout point égales, […] »23. Ces cordes sont identiques, mais ce ‘de tout point égales’ laisse perplexe. On ne sait pas bien à quoi elles sont égales, et si elles sont égales entre elles. Les commentateurs le Nicomaque de Gerase, Manuel d'harmonique et autres textes relatifs à la musique, Trad. C.-E. Ruelle, in ‘Collection des auteurs grecs relatifs à la musique', Baur, Paris, 1881.

supposent, mais il y a peut-être là un problème d’interprétation. En effet, en supposant les cordes de longueurs inégales, dans un rapport de 1/√k pour k qui représente le rapport des poids tenseurs, on retrouve la proportionnalité entre les poids et les hauteurs de notes, et cʹest essentiel car cʹest peut être là que Pythagore va chercher la cohérence de son système. Car par la suite, au paragraphe suivant, Nicomaque nous dit : « La plus grande corde, comparée avec celle qui venait après la plus petite et qui représentait 8 poids, sonnait la quinte, et il établit quʹelles étaient dans le rapport sesquitiers, ce qui était aussi le rapport des poids entre eux ». Outre lʹerreur sur la nature du rapport qui nʹest pas sesquitiers (4/3), mais sesquialtère (3/2) entre 8 et 12, Nicomaque nous parle bien de cordes plus grande et plus petite, expression quʹil reprend plus loin. Le traducteur C.-E. Ruelle nous dit en note quʹil sʹagit là dʹune forme elliptique, et que Nicomaque voulait en fait dire ‘la corde tendue par le poids le plus grand’. Mais si les cordes étaient réellement inégales, et dans une proportion déterminée ? Nous tenterons, dans un autre chapitre, dʹévaluer cette hypothèse inédite. La troisième expérience : le monocorde Pythagore tente donc, à son retour chez lui, plusieurs expériences, avec des poids suspendus, des vases remplis dʹeau, et des cordes tendues. Lʹexpérience la plus efficace, parce quʹelle permet une mesure immédiate par comparaison avec un roseau de longueur déterminée, cʹest lʹexpérience de la corde, tendue par un poids constant, et dont la longueur est variable. Pour cela, Pythagore invente un instrument. Sur une planchette, une corde est tendue entre un point fixe et un arrêt. A cette corde est attaché un poids. Entre la corde et la surface du support, on place un chevalet mobile, qui tend la corde et crée deux segments tendus par le même poids. Si on pince la corde, elle vibre et émet un son dʹune certaine hauteur. On mesure la distance entre le point fixe et le chevalet pour chaque hauteur de son considérée, et on compare, dʹune part cette longueur avec celle de la corde entière, dʹautre part le son émis avec celui de la corde entière. Cet instrument, le monocorde, sera utilisé dans les mesures de hauteur du son jusquʹau XIXème siècle. Nous assistons donc ici à la conception de la première représentation dʹun paramètre du phénomène sonore, lʹanalogie entre la hauteur du son et la longueur dʹun segment de droite. Il sʹagit dʹune construction analogique simple entre deux ensembles qui nʹont a priori rien de commun, dʹune part les sons envisagés selon leur hauteur, et dʹautre part un segment de droite mesurable, quʹon va diviser en intervalles. Mesurer un segment de droite est une pratique courante au VIème siècle av. J.-C., en usage dans de nombreux actes de commerce ou dʹarpentage. Diviser ce segment en intervalles est également une pratique courante. Mais composer ces intervalles constitue une difficulté qui demande une certaine abstraction. La composition des intervalles ou, si lʹon veut, la détermination de la quinte dʹune quinte, suppose une opération de multiplication de rapports, processus qui ne fait pas partie des opérations arithmétiques simples à lʹépoque de Pythagore.

Lʹanalogie avec les sons permet à la fois une représentation du phénomène sonore de façon visuelle, mais également une représentation perceptible, par lʹaudition, de lʹopération abstraite de composition de rapports. Pour cette raison, la division du monocorde aura un grand succès auprès des mathématiciens grecs, et la musique, étude des proportions arithmétiques selon la définition des anciens, fera son entrée dans lʹunivers des mathématiques, grâce notamment à Euclide. On dit que Pythagore, sur son lit de mort, aurait enjoint ses disciples dʹutiliser le monocorde24. Il semble quʹune controverse agitait la secte à ce sujet. On a vu que le problème de la représentation de la hauteur des sons consistait dans lʹimpossibilité pratique de trouver une loi directe entre dimensions des corps sonores et nombres correspondants. En effet, les pythagoriciens voulaient que les nombres élevés correspondent aux sons aigus, et inversement pour les graves. Le système musical de Pythagore repose dʹune part sur lʹutilisation des 4 nombres de la tetractys (1, 2, 3, 4), et dʹautre part sur des rapports épimores de la forme n + 1 / n. Les degrés qui délimitent ces rapports sont donc représentés par des nombres plus grand que lʹunité pour des sons plus aigus. Les lois naturelles sont inverses, que ce soit pour les flûtes, les vases ou les longueurs de cordes qui sonnent dʹautant plus graves que leurs dimensions sʹaccroissent. Lorsque les successeurs de Pythagore, et notamment Archytas, ont cherché une représentation des nombres en relation avec les degrés, ils ont tenté d’utiliser une méthode qui conserve le caractère direct de la représentation. Par ailleurs Archytas associait la hauteur des sons à la vitesse du mouvement, les sons aigus sont rapides, les sons graves lents. Cʹest à cette époque que, selon Théon de Smyrne, Lasos et Hippase ont fait des expériences avec des vases25 : On raconte que Lasus dʹHermione et les disciples dʹHippase de Métamonte, ce dernier de la secte de Pythagore, ont observé sur des vases la rapidité et la lenteur des mouvements à lʹaide desquels les consonances se calculent en nombres. Prenant plusieurs vases de même capacité et semblables, on a laissé lʹun vide et lʹon a rempli lʹautre à moitié dʹun liquide, puis on a frappé chacun dʹeux, on a obtenu la consonance dʹoctave. Laissant de nouveau un vase vide et remplissant lʹautre au quart, on a obtenu, en les frappant, la consonance de quarte : pour lʹaccord de quinte, on remplissait le tiers dʹun vase : le rapport des espaces vides était, pour lʹoctave celui de 2 à 1, pour la quinte celui de 3 à 2, pour la quarte celui de 4 à 3. 24 Aristide Quintilien, La musique, trad. François Duysinx, Ed. Bibl. Fac. Philo et lettres, Université de Liège, 1999, p 181. Il est probable que le terme utilisé n'est pas 'monocorde’puisqu'il en comprenait deux. Environ six siècles séparent Pythagore de Quintilien. Theon de Smyrne, Exposition des connaissances mathématiques utiles pour la lecture de Platon, traduction du grec au français J. Dupuis, Paris, Hachette, 1892, p 97.

Il existe au moins deux façons dʹobtenir des sons avec des vases plus ou moins remplis. La première est celle qui est décrite, on frappe sur le verre. Dans ce cas, le vase rempli sonne plus grave, et sʹil est rempli à moitié, on obtient un intervalle faible, de lʹordre du ton, et pas une octave. Le texte relate donc une inexactitude sur ce point. Par contre, si on souffle sur le bord, comme sur le goulot dʹune bouteille, alors on obtient le résultat proposé. Dans le premier cas cʹest la structure qui vibre, avec une élasticité variable, dans le second, cʹest la colonne dʹair qui produit le son, comme dans une flûte, et on observe bien la relation décrite. On peut également frotter son doigt mouillé sur le bord, mais il sʹagit dʹune autre expérience.. Quoi quʹil en soit, cette méthode avait lʹavantage de conserver, du moins apparemment, la relation directe entre nombre et hauteur de son. On peut disposer les différentes colonnes dʹeau côte à côte et ainsi représenter les intervalles. Cependant les rapports sont différents de ceux recherchés (1/4 pour la quarte, 1/3 pour la quinte), et le but recherché nʹest pas atteint. Alors on comprend pourquoi ces pythagoriciens ont tenté lʹexpérience des poids tenseurs sur des cordes. Cette méthode conserve le sens direct de lʹassociation, et de plus elle reproduit la relation entre rapports de poids et rapports dʹintervalles. De plus, la notion de poids associé à un mouvement convient bien aux théories de la mécanique alors en usage, les corps tombent dʹautant plus vite quʹils sont lourds, ce qui permet une analogie supplémentaire avec la vitesse du mouvement sonore. Malheureusement, on lʹa vu, dans ce cas les longueurs de cordes ne peuvent pas être égales..Ce qui a forcément induit une tentative de trouver une loi de longueur qui satisfasse à cette condition. Il semble que le choix de cette représentation associant nombre et hauteur de son ait été lʹobjet dʹune controverse, et Platon y a sans doute pris parti, comme lʹévoque Théon de Smyrne. La tentative dʹassocier directement la tension, et donc les poids, avec la hauteur de note était problématique et la raison platonicienne lʹa emporté sur lʹintuition physique. Il fallait donc se résoudre à utiliser la longueur des cordes, au prix dʹune opération mathématique inélégante, lʹinversion du rapport. Cʹest donc ce procédé que préconisait Pythagore à la fin de sa vie, et ce nʹest sans doute pas lui, encore une fois, qui lʹexpérimenta, comme le raconte Théon de Smyrne, qui relate26: Par la division des cordes, on obtient les mêmes rapports, comme nous lʹavons vu. Toutefois on ne se servait pas dʹune seule corde, comme dans le canon harmonique, mais de deux cordes à lʹunisson également tendues. On interceptait la moitié dʹune de ces cordes en pressant le milieu avec le doigt, on obtenait avec la moitié et lʹautre corde entière la consonance dʹoctave ; quand on interceptait Idem, p.99.

seulement un tiers, les deux autres tiers et la corde entière donnaient lʹaccord de quinte. De même pour obtenir la consonance de quarte, on interceptait le quart dʹune des deux cordes, en laissant lʹautre entière. Le monocorde pythagoricien est donc lʹancêtre du canon, à une seule corde, quʹon attribue souvent à Euclide. La Division du canon est probablement le premier traité qui indique précisément lʹutilisation de lʹinstrument, donc sans doute le texte fondateur du monocorde. Attribué à Euclide, mais sans doute dʹun auteur antérieur, peut-être Eudoxe (selon Paul Tannery), ou Cléonide (selon des auteurs plus récents). Le texte est pédagogique et se comprend en liaison avec les ouvrages traitant des rapports, et notament le chapitre V des Elements dʹEuclide27. Il est essentiellement théorique et présente la construction des différents intervalles ainsi que les définitions des notions qui lui sont nécessaires. Avec Ptolémée, qui commente longuement la Division du Canon, on assiste à lʹélaboration de lʹinstrument qui permet dʹétablir les rapports recherchés sans risque dʹerreur. Dans les Harmoniques, Ptolémée décrit lʹHélikon, sorte de gabarit permettant la construction, au moyen de triangles rectangles homothétiques, des longueurs correspondant aux intervalles de quarte, de quinte dʹoctave et de ton. Et on retrouve ici les nombres 6, 8, 9, 12 qui ont tant fasciné les pythagorociens et leurs successeurs. On trouvera, page suivante, lʹextrait du Dictionnaire des Antiquités Grecques et Romaines de Daremberg et Saglio qui reproduit le dessin de lʹhélikon de Ptolémée, dʹaprès lʹouvrage de Georges Pachymère, Quadrivium, datant du XIVème siècle28, avec la traduction du commentaire par Ruelle. Lʹhélikon aurait également pu avoir été inventé par Quintilien, peu avant Ptolémée, ce que suggère Charles-Emile Ruelle29. 27 Au sujet de la Division du canon, voir : Patrice Bailhache, Science et musique : quelques grandes étapes en théorie musicale, in Littérature, médecine et société, 13, Université de Nantes. Patrice Bailhache, Une histoire de l’acoustique musicale, éd. CNRS, Paris, 2001, chap. I. 28 Georges Pachymère, Quadrivium, ed. A.J.H. Vincent, in Notices et extraits des manuscrits, t XVI, partie 2, p 476 et suiv. Ch. Em. Ruelle, article 'Hélikon’in Dictionnaire des Antiquités Grecques et Romaines de Daremberg et Saglio, t III, partie 1, p 60.

On voit ici que ces mathématiciens dʹinfluence pythagoricienne du début de notre ère nʹhésitaient pas à construire des instruments propres à montrer leurs théories, dans un grand souci de pédagogie. Cependant, Ptolémée, dans les Harmoniques, parle de lʹhélikon comme dʹun instrument en usage à son époque, mais non comme dʹune invention de sa part. Il y avait sans doute des homme de lʹart, plus pratiques que nos savants, et qui savaient bien cacher leurs connaissances sous une certaine rusticité. Ceux là nʹont pas laissé dʹécrits, et on ne saura jamais vraiment comment Nicomaque avait suspendu ses poids aux cordes soi-disant de longueurs égales.. Les savants et les musiciens Cʹest justement ce point qui pose problème. Les savants écrivent, les ‘artistes’, non. Par ‘artistes’, il faut entendre, les musiciens, les luthiers et les différents corps de métier qui participent à lʹélaboration des outils utilisés par nos savants. On a vu comment Pythagore était à la remorque des usages pratiqués par les musiciens de son époque, et comment il a cherché à trouver des lois mathématiques pour réglementer les dimensions de la lyre de Terpandre. Pythagore nʹa pas inventé les quartes ni les quintes, ce sont des rapports naturels fondés sur la présence des harmoniques 3 dans les sons des cordes graves, et ce sont également les intervalles consonants les plus simples à produire. On accorde les instruments en tendant plus ou moins les cordes, jusquʹà ce que les battements disparaissent. Comme de nos jours, on accorde les guitares par quartes ou les violons par quintes. Alors pourquoi la dénomination de quarte ? Sans doute en raison des quatre cordes, et là, nous nʹavons pas dʹexplication. Ce qui est sûr, en revanche, cʹest que les intervalles internes sont mobiles, et laissés à lʹappréciation des musiciens. Cʹest alors que les mathématiciens interviennent, en créant les genres. Pythagore ne connaissait que le genre diatonique, c’est-à-dire une succession (de lʹaigu au grave) : un ton - un ton un ʹresteʹ. Pourquoi cette succession ? Parce que pour accorder une lyre heptacorde, on part du milieu (la mèse), on monte dʹune quarte (on obtient la nète), on baisse dʹune quinte (lichanos), on remonte dʹune quarte (paranète), on rebaisse dʹune quinte (parhypate), et on monte à nouveau dʹune quarte (paramèse). Les deux intervalles restant, mèse-paramèse et hypate-parhypate sont nommés ʹrestesʹ, en grec limma. Par la suite, Philolaos nommera ce reste diesis, nom que reprendra Aristoxène plus tard pour définir le quart de ton. Pendant tous ces siècles de science resplendissante, les mathématiciens ont voulu coller à la mode des musiciens qui ont utilisé à foison ces petits intervalles, dissonants mais tellement sensuels, en leur donnant des valeurs différentes selon les époques. On a, de même, augmenté les tons, pour mettre en valeur ces intervalles et ainsi créé les genres enharmoniques puis chromatiques, composés parfois de ditons encore inédits (tierces majeures ou mineures, qui plaisaient bien aux musiciens parce quʹelles comportent lʹharmonique 5), au détriment des petits intervalles (restes) qui devenaient des ornements dans la mélodie. Cʹest ainsi que des controverses byzantines sur la valeur de ces intervalles,

sur la non-divisibilité du demi-ton et autres intervalles ont jalonné ces siècles, supervisées par nos grands philosophes, et sous le regard sans doute amusé des musiciens que seul Aristoxène avait su comprendre. Il est en effet le seul à avoir affirmé que le quart de ton était le plus petit intervalle audible, et quʹun demi-ton se divisait en deux quarts de tons égaux (deux diesis), ce qui bien entendu a fait rugir ses détracteurs. Les puristes divisent le ton (9/8) en un limma (256/243) et un apotome (2187/2048) plus grand que le limma dʹun comma (531441/524288). Les musiciens savent bien à quel point il est difficile de garder lʹaccord tout au long de lʹexécution dʹune oeuvre, compte tenu de la température, de la constitution des cordes, de leur élasticité, de lʹhumidité sur les doigts, du glissement au niveau des fixations. Que dire alors du comma (environ 1/9 de ton), qui est semble-t-il le plus petit intervalle perceptible? Le comma trouve sa justification lors de l’accord de plusieurs instruments ensemble, mais il ne joue pas un rôle d’intervalle absolu dans une mélodie, et il faut bien admettre qu’Aristoxène ne manifestait finalement qu’un certain bon sens. Il convient de préciser que les petits intervalles (diesis, limma et apotome) ne sʹemploient que pour passer au degré inférieur du tétracorde, et ne sont jamais utilisés isolément ou successivement (« On ne peut chanter successivement plus de deux diesis enharmoniques ou quarts de ton, sans sʹécarter du chant régulier et mélodique »30). Au début de notre ère, le mouvement de pensée qui sʹappuyait sur le retour des idées de Pythagore et de Platon est à lʹorigine dʹune réaffirmation des fondamentaux de la théorie harmonique. On retrouve les vertus du cadre immuable des tétracordes, on fait lʹhistorique des multiples genres (Ptolémée, Aristide Quintilien), et on choisit de façon presque définitive pour lʹoccident, le genre diatonique platonicien (2 tons 9/8 et un limma 256/243). Ptolémée propose une légère modification pour agrandir lʹintervalle de limma par la différentiation des tons mineurs (10/9) et majeurs (9/8) et la création du demi-ton (16/15). Le système occidental31 est alors presque complet, il sera confirmé à la fin de la Renaissance par Zarlino qui introduira définitivement les tierces justes majeure (5/4) et mineure (6/5) à la place des ditons. La place est alors nette pour une nouvelle controverse, celle des tempéraments, qui sʹattellera à la difficulté dʹaccorder les instruments à notes fixes selon ces intervalles. Toute cette problématique embrasse donc les siècles qui nous séparent de Pythagore, et constitue ce quʹon peut appeler lʹacoustique musicale, matière largement traitée par les musiciens, les facteurs dʹinstruments, les physiciens, les musicologues et quelques historiens des sciences. 30 31 C.-E. Ruelle, Etude sur Aristoxène et son école, in Revue d'Archéologie, t XIV, 1857, p 541. Dans la tradition arabo-islamique on continue d'utiliser les petits intervalles (limma et apotome) et on multiplie les intervalles à l'intérieur de la quarte (jusqu'à 10 intervalles pour certains théoriciens de la musique du XIème siècle).

Lʹacoustique physique sʹattache quant à elle à décrire et à comprendre la production des sons, sa propagation et ses caractéristiques et cʹest lʹhistoire de celle là que nous allons à présent aborder. Lorsque Pythagore établit les règles de mesure de la hauteur des sons, il construit une représentation dʹun seul des aspects du phénomène sonore, la hauteur (ou la fréquence pour employer un terme actuel). Cette représentation est, bien entendu, insuffisante pour décrire entièrement le phénomène sonore, puisquʹil nʹest pas tenu compte de lʹintensité ni du timbre, et encore moins de la variabilité de ces paramètres dans le temps. Dans un premier temps, Pythagore associe des nombres à ces hauteurs, faibles pour les sons graves, élevés pour les sons aigus. Dans les versions postérieures à Boèce, lʹexpérience des poids tenseurs différents est une pollution dans le raisonnement, elle nʹintervient que comme transition entre les deux expériences, et comme elle est fausse, elle est parfaitement inutile au raisonnement. Lʹanalyse de cette parabole ne doit donc retenir que la première expérience, celle des marteaux de Pythagore, dont la loi est présumée juste, et passer directement à celle de la corde tendue de longueur variable, et qui suit la même loi : au grand est associé le grave, au petit est associé lʹaigu. On retiendra également que les pythagoriciens ont établi la notion de degrés dans la mélodie, c’est-à-dire lʹidée de notes fixes, discrètes dirions-nous, qui font de la musique ce quʹAristoxène appelle le ‘mouvement discontinu’ des sons musicaux, par rapport au ‘mouvement continu’ de la parole32. Par ailleurs, la représentation spatiale de la hauteur des sons prend forme avec les pythagoriciens, les sons aigus sont représentés par les grands nombres, alors que les lois physiques induisent le contraire. A la même époque on assiste aux débuts de la codification symbolique des sons, et, alors quʹIsidore de Séville avait affirmé que la musique ne pouvait pas sʹécrire, il sera bientôt contredit avec lʹapparition des neumes, vers le VIIIème siècle33. Par la suite, la représentation graphique des hauteurs de sons sera une pratique courante dans lʹécriture musicale. En dépit de toutes les imprécisions qui jalonnent la transmission de cette légende des marteaux, le rôle des pythagoriciens dans lʹhistoire de lʹacoustique est dʹavoir associé des nombres aux hauteurs de son, et dʹavoir proposé une construction de ces nombres pour définir des intervalles consonants. 32 33 Aristoxène, Eléments harmoniques, liv. I, chap. 3, trad. C.-E. Ruelle, P. Haffner, Paris, 1870. Voir à ce sujet l'étude de Marie-Elisabeth Duchez 'La représentation spatio-verticale du caractère musical grave-aigu et l'élaboration de la notion de hauteur de son dans la conscience musicale occidentale’in Acta Musicologica, Vol. 51, Fasc. 1 (Jan.- Jun., 1979), pp. 54-73

Variation sur les marteaux de Pythagore : légende ou réalité La légende des marteaux de Pythagore comprend trois parties. La dernière est restée dans lʹHistoire comme lʹexpérience du monocorde. La première concerne les marteaux consonants entendus dans lʹéchoppe du forgeron. On a vu quʹelle pouvait paraître vraisemblable. La seconde pose problème, parce que Pythagore tend quatre cordes identiques avec des poids dans les rapports de quarte, de quinte et dʹoctave (6, 8, 9, 12) et obtient, lorsquʹil joue les cordes, les mêmes rapports dʹintervalles. On sait que la loi des tensions des cordes vibrantes ne peut pas accepter cette expérience, puisque les rapports de poids devraient être quadratiques (4 pour lʹoctave, 9/4 pour la quinte et 16/9 pour la quarte). Sur l’authenticité et la validité de cette expérience, on peut émettre plusieurs hypothèses : • • • Soit Pythagore n’a pas fait l’expérience, et la légende a été forgée lors du renouveau des idées pythagoriciennes, vers le Ier siècle. Soit Pyhtagore a fait l’expérience, mais il s’est trompé. C’est la position généralement adoptée depuis le XVIIème siècle. Soit Pythagore a fait l’expérience, il ne s’est pas trompé, mais elle a mal été transmise. En explorant cette dernière hypothèse, il est possible d’imaginer une configuration qui convient aux exigences de la physique, et c’est l’objet de cette recherche. Il s’agit d’une spéculation qui ne s’appuie sur aucun texte, mais sur une interprétation des textes disponibles, et qui malgré tout est cohérente. Il est légitime de se poser la question de lʹauthenticité et de la validité de lʹexpérience. Partons de lʹhypothèse quʹelle a eu lieu. Dans ce cas, un des paramètres a mal été transmis au premier auteur connu, Nicomaque de Gerase, au IIème siècle. Rappelons quʹaucun auteur antérieur ne fait état de cette expérience. Mais est-ce un argument, l’absence de texte, pour en conclure quoi que ce soit, compte tenu du faible nombre de textes qui nous sont parvenus. N’oublions pas que les idées pythagoriciennes ont été longtemps et vigoureusement combattues. La légende est donc peut-être l’œuvre de Nicomaque, ou alors il a assisté à cette démonstration effectuée par un homme de lʹart qui nʹa pas laissé dʹécrits retrouvés à ce jour. On peut conjecturer que cʹest soit Nicomaque qui a mal compris les éléments de lʹexpérience, soit les copistes, entre Nicomaque et Jamblique (qui vient après) qui ont mal transmis.

Reprenons lʹexpérience telle quʹelle est décrite au livre VI de lʹIntroduction harmonique de Nicomaque de Gérase. Il suspendit à ce clou quatre cordes semblables par la substance, le nombre des fils, la grosseur, la torsion, et fit supporter à chacune dʹelles un poids quʹil fixa à son extrémité inférieure. De plus, il rendit les longueurs des cordes de tout point égales, […]34. Prenons l’hypothèse que les cordes sont égales, et tentons de nous représenter les gestes de lʹexpérimentateur. Il fait sonner les cordes par paires, elles ne produisent pas de consonances. Par exemple, lʹaccord entre les deux cordes égales correspondant aux poids 6 et 12 ne sonnent pas lʹoctave. Pire, le rapport de fréquence est de 1,414, ce qui donne un intervalle de triton (do-fa#), extrêmement désagréable à lʹoreille. Nous pouvons déterminer les rapports de fréquence pour chaque paire, grâce à la formule de Taylor, qui établit la fréquence dʹune corde vibrante en fonction de la tension et de la longueur, sans tenir compte de la masse : F = k(√ T) / L F est la fréquence, T la tension, L la longueur et k une constante liée à la masse par unité de volume de la corde, supposée constante ici. Par ailleurs, Les longueurs L sont donc ici supposées égales. Entre les cordes de poids 6, 8, 9 et 12, qui déterminent les tensions T, nous aurons les rapports de fréquence: 8 et 6, F/F’= 2 / √3 9 et 6, F/F’= 3 / √6 12 et 6, F/F’= √2 12 et 8, F/F’= √6 / 2 12 et 9, F/F’= 2√3 / 3 9 et 8, F/F’= 3 / 2√2 Aucun de ces rapports nʹest consonant, ils sont incommensurables. Cʹest contrariant pour Pythagore. Il veut dʹabord établir un rapport dʹoctave entre les cordes de poids 6 et 12, cʹest le rapport le plus simple, car il est facile de confectionner deux poids de rapport 2. Comment est-il possible qu’il ne se soit pas aperçu de l’erreur ? Cela paraît difficilement concevable. Alors, il fait ce que nʹimporte qui ferait : comme la corde de poids 6 est trop aiguë, il la rend plus grave en lʹallongeant. Mais comment sont disposées les cordes ? Nicomaque nous dit : Il fixa un clou unique dans lʹangle formé par deux murailles. Si elles sont verticales, cela semblerait assez peu pratique, dʹautant qu’elles sont, dʹaprès le texte, de longueurs égales. On imagine les cordes qui sʹenchevêtrent, les poids qui se bousculent… Pourquoi donc ce clou dans Nicomaque de Gerase, Manuel d'harmonique et autres textes relatifs à la musique, Trad. C.-E. Ruelle, in ‘Collection des auteurs grecs relatifs à la musique', Baur, Paris, 1881.

lʹangle? Ne doit-on pas y voir une disposition dans laquelle les cordes seraient horizontales? Mais alors, elles devraient former un angle avec le mur, et Nicomaque semble délaisser ce point pourtant essentiel. Supposons que la corde de poids 12 soit le long du mur, tendue à la verticale. Pythagore constate lʹabsence de consonance à lʹoctave, il allonge une des deux cordes, ce que ferait nʹimporte quel expérimentateur, pour atteindre la note désirée. Il construit une structure rigide constituée d’une barre horizontale, donc perpendiculaire au mur. Lorsquʹà lʹoreille il atteint lʹoctave inférieure, il la fixe avec un arrêt (une poulie fixée à la structure) qui laisse pendre le poids, et procède aux mesures. Surprise pour Pythagore, la distance de ce point au mur est égale à la longueur de la corde de poids 12 (celle qui est le long du mur). Donnons à la longueur de corde la valeur 6.Si on appelle F12 la fréquence de la corde dont le poids est 12, et F6 celle de la corde de poids 6, alors en effet, on a alors pour les fréquences : F12 = √12 / 6 pour le poids de 12 et la longueur de corde correspondant, et F6 = √6 / 6√2 = √12 / 12 pour le poids de 6 et la longueur de corde diagonale (en effet la diagonale dʹun carré 6 est 6√2). Nous avons donc bien F12 = 2 F6, et le rapport double des fréquences détermine lʹoctave. Soyons clair, il ne sʹagit pas dʹune affabulation, tout au plus dʹune hypothèse possible. Si on accepte lʹidée que Pythagore a expérimentée, il a forcément fait cela. Pythagore ne se serait pas contenté dʹune erreur aussi manifeste, il aurait cherché la solution, par la pratique. Les poids sont en rapport double, il faut donc produire lʹoctave en compensant l’erreur par lʹallongement de la corde. Il est clair que sa surprise a dû être grande en constatant lʹégalité de la distance au mur et de la longueur de corde de poids 12. On sait que Pythagore a bien expérimenté sur les rapports consonants à partir de différentes techniques, comme lʹatteste Théon de

Smyrne, dans un texte un peu antérieur à celui de Nicomaque, et qui se fonde sur les Harmoniques, traité perdu, écrit par Archytas35 : [..] Cʹest Pythagore, disons-nous, qui parait avoir découvert ces rapports, par la longueur et la grosseur des cordes, ainsi que par la tension à laquelle il les soumettait en tournant les chevilles, ou par une méthode plus connue, en y suspendant des poids [..]. Quelle que soit la méthode choisie parmi celles que nous venons de citer, on aura la consonance suivant le rapport indiqué, toutes choses égales par ailleurs. Théon de Smyrne évoque également les vases remplis de plus ou moins dʹeau ainsi que les flûtes. Le texte indique bien que Pythagore joue à la fois sur la longueur, la grosseur et la tension des cordes. Nous sommes loin de la légende de Nicomaque et de ses marteaux de forgeron, on fait maintenant ici appel à la grosseur des cordes qui intervient également dans le calcul de la fréquence. Et plus loin, en conclusion36 : Ceux qui ont mesuré les consonances avec des poids, ont suspendu à deux cordes des poids dans les rapports que nous avons dits et quʹon avait obtenus par la longueur des cordes, en déterminant les consonances de ces cordes. Reconstituons la démarche de Pythagore. Il cherche à établir un rapport de proportionnalité entre la tension, la fréquence et la longueur de corde, ou une fonction simple de cette longueur. Reprenons la formule de Taylor qui détermine la fréquence : F = k(√ T) / L. Si nous voulons, avec Pythagore, établir cette proportionnalité, nous aurons alors : pF = k(√ p) / f(p), p étant le poids tenseur, et f(p) une fonction à trouver qui détermine la longueur de corde en fonction du poids tenseur. La recherche de Pythagore, en langage moderne, consiste à trouver cette fonction. Parmi les fonctions possibles, il en est une que nous allons développer qui aurait pu être découverte empiriquement par Pythagore, considérant sa connaissance des triangles rectangles auxquels cette hypothèse fait appel. Cette fonction remplit presque parfaitement les conditions requises de proportionnalité simple entre fréquence et tension, donc entre intervalles et poids tenseurs, moyennant une relation faisant intervenir la distance au mur qui détermine la longueur de corde. Alors partons de lʹidée que Pythagore a expérimentée, et quʹil a tendu une corde de poids moitié selon la diagonale dʹun carré, corrigeant ainsi lʹinsuffisance du rapport de poids. Pythagore est, on le sait, un fin connaisseur de la géométrie des 35 Theon de Smyrne, Exposition des connaissances mathématiques utiles pour la lecture de Platon, traduction du grec au français J. Dupuis, Paris, Hachette, 1892, p 93. Theon de Smyrne, idem, p 99.

triangles rectangles. Il a produit le rapport dʹoctave grâce à la diagonale du carré, il cherche donc à produire les rapports de quarte et de quinte suivant le même procédé, c’est-à-dire en allongeant les deux cordes selon les accords désirés, formant ainsi deux triangles rectangles de côté horizontal plus petits. Pythagore mesure alors les distances au mur entre les différents points qui produisent les intervalles intermédiaires (8 et 9), et constate quʹelles sont égales respectivement à 12 - p, p étant le poids fixé à la corde, et lʹunité de longueur étant le sixième de la longueur produisant lʹoctave, et également le sixième de la longueur de la corde la plus courte, celle de poids 12. Le ‘tétracorde triangulaire rectangle’ fonctionne, il y a bien proportionnalité entre les rapports de poids et les intervalles. Et cʹest ici que le mathématicien conventionnel ne comprend plus, parce quʹil nʹy a aucune raison mathématique simple pour que cela fonctionne. On a en effet une relation avec p comme coefficient dʹun membre de lʹégalité, √p au numérateur de lʹautre membre, et une fonction en p² au dénominateur..Nous avons ici une conjonction particulière de ces quatre nombres qui permet de respecter cette harmonie, et nous allons lʹétudier attentivement. Cette série, 6, 8, 9, 12 a fasciné les Pythagoriciens, notamment Aristée de Crotone, Philolaus, Archytas de Tarente, puis plus tard Theon de Smyrne, Nicomaque de Gérase et Jamblique. Dans son Histoire de la science Hellène, Paul Tannery parle de cette série37 : 37 Paul Tannery, Pour une histoire de la science hellène, Paris, Gauthier Villars, 1930, p 391. Tannery fait référence à un ensemble de textes réunis sous le nom de Fragments philoaïques sur la musique, cités dans les Mémoires Scientifiques III, p. 220-243.

Du pythagoricien Aristée de Crotone, successeur immédiat de Pythagore, suivant la tradition, Iamblique (p 168) rapporte quʹil avait parlé de la proportion 6 : 8 :: 9 : 12 , enseignée à Pythagore par les Babyloniens, et les Théologumène (VI) disent quʹil avait montré que, dans la décade, il nʹest pas possible de trouver un autre nombre que 6 susceptible de tous les rapports de lʹharmonie psychique, c’est-àdire, sans doute, pouvant servir de point de départ à une telle proportion. Cette citation ne pourrait avoir de valeur que si elle sʹappuyait sur un témoignage traditionnel de Philolaus, auquel la connaissance de cette proportion et la désignation de lʹâme comme harmonie sont au reste attribuées. Une attribution de ce genre ne peut être contestée, puisquʹelle se référait à un ouvrage célèbre dans lʹantiquité et qui existait certainement encore au temps de Iamblique. On a de cet ouvrage de nombreux fragments dont lʹauthenticité est généralement reconnue et dont plusieurs ont un caractère mystique très accusé. Pour quelle raison cette suite de nombres prend-elle ce caractère mystique et unique, on ne le sait que par lʹapplication qui en est faite à la musique, comme lʹatteste Jamblique. Il est probable cependant que, venant des Babyloniens, elle ait été utilisée pour établir une grille de partage, à lʹusage du commerce ou des successions. Lʹhypothèse proposée, par la construction de triangles rectangles respectant ces proportions et auxquelles on applique des poids est une suggestion. Néanmoins elle fonctionne et donne une explication à la fascination exercée par cette suite de nombres sur les théoriciens de la musique pythagoricienne. Pour calculer les longueurs de cordes, on applique : L = √ [62 + (12 – p)2 ], le carré mesure 6, et on reporte les nombres de Pythagore nommés p, soit 6, 8, 9, 12. La fréquence F est déterminée comme suit : F = k(√ T )/ L Poids (tension T) Coefficient de Racine des poids Longueur de la proportionnalité (√ T ) corde de la fréquence (√ T )/ L 6 2,449 8,485 0,288 8 2,828 7,2115 0,392 9 3 6,708 0,447 12

Le rapport des coefficients de proportionnalité des fréquences nous donne le rapport dʹintervalles : Intervalle et rapport théorique Rapport des poids Rapports des coefficients de fréquence Erreur 2 : octave 12 / 6 2 0 4 / 3 = 1,33 : quarte 8/6 1,36 0,98 4 / 3 = 1,33 : quarte 12 / 9 1,29 1,03 3 / 2 = 1,5 : quinte 12 / 8 1,47 1,02 3 / 2 = 1,5 : quinte 9/6 1,55 0,97 9 / 8 = 1,125 : ton 9/8 1,14 0,99 Lʹerreur est calculée comme le rapport des valeurs théoriques aux coefficients de fréquence. Si cette erreur atteint 1,06, elle est dʹun demi-ton. On voit que les erreurs sont toutes inférieures au quart de ton, limite de perception tonale selon Aristoxène, on les considère donc insignifiantes, compte tenu de la précision des mesures de longueurs, de poids et de hauteur de son à cette époque. La conjonction de la série de nombres ayant entre eux les rapports harmoniques, avec celle des poids tenseurs, puis des longueurs des hypoténuses est tout à fait fortuite. Il nʹy a aucune loi apparente qui les lie et qui permettrait de généraliser. En effet, nous avons la formule de Taylor qui détermine la fréquence F dʹune corde vibrante, F = k(√ T )/ L, avec k supposée constante, liée à la masse de la corde. La longueur de corde L est déterminée par le calcul de lʹhypoténuse, soit L = √ [62 + (12 – p)2 ], avec p entier compris entre 6 et 12. Si on donne à T les valeurs différentes de p, et quʹon veut que la fréquence suive la même proportionnalité de facteur p, on doit avoir, suivant la formule de Taylor : F = k(√ T) / L : pF = k(√p) / L, et donc L = kʹ(√p/p), mais on a aussi L = √ [62 + (12 – p)2 ] Sur le graphe ci-dessous, on représente : en rose la courbe de L = √ [62 + (12 – p)2 ] avec kʹ=k/F

en bleu la courbe de L = kʹ(√p/p), avec k’= 20 On voit que les deux courbes coïncident presque parfaitement entre les valeurs 4 et 12, et donc bien sûr pour les valeurs qui nous intéressent, 6, 8, 9, 12. Ce qui signifie que pour ces valeurs, la longueur de corde est égale, à un facteur près (kʹ=20), dʹune part à celle qui est calculée selon lʹhypoténuse, en fonction de la distance au mur, et dʹautre part à celle qui est fonction de la tension. Ce qui veut dire que pour ces valeurs, on respecte les proportions entre fréquence, tension et distance. On peut formaliser cette égalité par une équation en faisant le rapport des deux expressions : pF = k(√p) / √ [62 + (12 – p)2 ], dʹoù p[√ [62 + (12 – p)2 ]/ √p = constante. On a donc lʹéquation [√ p[62 + (12 – p)2 ]] – k’= 0, avec k’= k/F. Cʹest une équation du troisième degré qui présente, à un endroit de sa courbe, une portion presque constante, et cʹest là que les nombres de Pythagore prennent place. En effet, si on fait le rapport des deux membres de lʹégalité de façon séparée, on obtient approximativement une constante entre 6 et 12 : Poids = p √p √ [62 + (12 – p)2] √ p[62 + (12 – p)2] 6 2,449 8,48528137 20,7846097 8 2,828 7,21110255 20,3960781 9 3 6,70820393 20,1246118 12 3,464 Voici le graphe de la courbe, pour une valeur de p entre 1 et 15 :

La portion de courbe entre 6 est 12 est quasiment constante, ce qui permet de vérifier la relation dʹégalité à un facteur près, et donc dʹattribuer aux fréquences les rapports harmoniques identiques à ceux des poids et des distances qui déterminent les longueurs de cordes. La valeur 20 du rapport nʹa aucune influence sur le résultat, on est dans le domaine des rapports, et ce qui compte cʹest que celui-ci soit constant pour toutes les valeurs de p considérées. Il est donc tout à fait plausible que lʹexpérimentateur ait procédé de cette façon, selon une démarche empirique, bien entendu. Néanmoins on objectera que cʹest une hypothèse qui nʹest corroborée par aucun texte. Mais justement les différentes versions sont très peu claires dans la description du protocole utilisé. Cette confusion permet lʹélaboration dʹhypothèses, et celle-ci fonctionne. Par ailleurs, il est vrai que les pythagoriciens de la première heure sont fascinés par lʹexactitude et la perfection des opérations sur les nombres (voir la tétractys). Néanmoins, plus tard, Aristoxène de Tarente, successseur dʹArchytas lui-même pythagoricien fidèle, se rebelle contre le dogme du nombre et introduit lʹempirisme dans la musique, avec sa nécessaire imprécision. Il est probable que cette expérience ait été effectuée, à la suite de celle dʹHippase et de ses disques de bronze, par Archytas, et transmise par Aristoxène38, tous deux de Tarente, ainsi que le rapporte Théon de Smyrne. Les pythagoriciens ont effectué des expériences, cʹest attesté par de nombreux textes, certes de sources secondaires, comme celui de Théon de Smyrne, mais quʹil nʹy a aucune raison de suspecter. Par contre, il est vrai que, au cours des siècles suivants, cʹest un savoir dogmatique qui se transmet, et en effet, chez Nicomaque comme chez Boèce, et comme pour la plupart des relais de transmission jusquʹà la Renaissance, on est bien en présence dʹun recopiage, sans vérification, dʹune confiance abusive dans la vérité du dogme. En 1892, Théodore Reinach écrit un article dans la Revue des Etudes Grecques sur les ‘Problèmes musicaux’ dʹAristote (d’authenticité douteuse, probablement du IIIème siècle). A la fin de son article, il sollicite Paul Tannery et son érudition pour Aristoxène fait allusion à l'Art de Glaucos et aux disques d'Hippase dans un traité perdu, De la musique (Diels, les présocratiques, trad franc, p 79).

élucider ce point de la légende de Pythagore. Voici ce que conclut lʹéminent historien39 : [...] En résumé, il ne me parait pas douteux que la relation des poids tenseurs nʹait été étudiée par les anciens, et si la proportionnalité à la racine carrée nʹest nullement énoncée dans les documents qui nous restent, il me semble incontestable quʹelle a dû être reconnue; car la question était simplement de reconnaître si lʹaccord dʹoctave sʹobtenait avec les poids 1 et 2, ou 1 et 4, et lʹaccord de quinte avec les poids 1 et 3/2, ou 1 et 9/4. Ces expériences ont dû en fait être poursuivies par lʹécole pythagoricienne avant Aristote (en dehors de Lasos, on cite Hippasos, mais on doit surtout penser aux écrits dʹArchytas et dʹEudoxe). Après Aristote, les recherches expérimentales furent abandonnées et on se contenta de notions vagues et inexactes en admettant en principe lʹexistence de relations numériques simples. Nous ne pouvons que nous ranger à cette analyse : les pythagoriciens ont expérimenté, ils ont forcément observé la proportionnalité des carrés des poids tenseurs avec les rapports dʹintervalles. Si ces expériences ont donné lieu à des écrits, ils ont forcément relaté cette proportionnalité quadratique. Mais la notion de carré étant encore peu familière et surtout délicate à formaliser, les successeurs (ceux de Philolaus et dʹArchytas, peut-être..) ont simplifié maladroitement la relation en énonçant la simple proportionnalité. Cet exemple est édifiant : Lorsque Porphyre (IIIème siècle) dans sa Vie de Pythagore, relate lʹhistoire du fameux théorème, il parle de lʹégalité de la somme des côtés du triangle avec lʹhypoténuse40, sans même mentionner le terme de ʹcarréʹ. Enfin, corroborant cette hypothèse des longueurs de cordes inégales, Thomas-Henri Martin, dans ses Etudes sur le Timée de Platon, se range à cet avis, suivant ainsi la suggestion de Gaudence dans son récit de lʹexpérience des poids de Pythagore41 : Il est donc probable que Pythagore, comme Gaudentius le rapporte, sʹavisa de tendre les cordes de même grosseur et de même nature, mais de longueurs différentes […] Résumons les éléments qui tendent à défendre cette installation audacieuse en regard du texte de Nicomaque : 39 Paul Tannery, in Th. Reinach 'Notes sur les problèmes musicaux', Revue des études grecques, 1892, 17-2, p 52, post scriptum de P. Tannery. 40 Porphyre, Vie de Pythagore, trad. E. Des Places, Ed. Les belles lettres, Paris, 1982, p 53. Le traducteur relève l'omission. Thomas-Hanri Martin, Etudes sur le Timée de Platon, Paris, 1844, p 391.

- Selon Nicomaque, les cordes sont maintenues au même clou. Quel serait lʹintérêt, si elles sont dʹégale longueur? Cette disposition présente une gêne inutile à la démonstration. Par contre cette disposition permet de tendre les cordes de façon oblique, en créant autant de triangles rectangles avec un des murs. - Nicomaque nous dit comment les cordes portant les poids sont tendues : Il fixa un clou unique dans lʹangle formé par deux murailles. Pourquoi donc ce clou dans lʹangle, si ce nʹest pour former des triangles? - Or on sait lʹimportance chez Pythagore de la géométrie du triangle rectangle quʹil maîtrise parfaitement. - Nicomaque parle bien de cordes plus longues et plus courtes, alors quʹil dissocie bien dans le texte les cordes tendues par les différents poids. - Par ailleurs les différentes versions qui nous sont parvenues sont soit évasives, soit muettes sur lʹexplication de cette proportion supposée entre les poids tenseurs et les hauteurs de notes. Il y a quelque part une erreur qui a été mal transmise et recopiée, car il est très probable que lʹexpérience ait été correctement réalisée, sans doute pas par Pythagore lui-même, mais au moins par Archytas. - Enfin il nʹy a aucune raison de faire lʹexposé dʹune manipulation dont les résultats sont faux de façon évidente et spectaculaire, au moins concernant les premiers expérimentateurs qui sont à lʹorigine de lʹhistoire, Pythagore lui-même, Philolaus, Archytas ou dʹautres… La question se pose de la nécessité de faire une telle expérience qui présentait tant de difficultés de manipulation. A la fin de la période pythagoricienne, une controverse existe entre ceux qui associent les grands nombres à lʹacuité des sons, et ceux qui proposent lʹinverse, selon les lois physiques qui associent les grandes dimensions aux sons graves. On le sait, les deux méthodes seront utilisées conjointement avec le monocorde, au prix de lʹinversion des rapports, gymnastique constante des théoriciens de lʹharmonie. La première formule sʹinspire de lʹanalogie supposée entre la hauteur des sons et leur ʹvitesseʹ. Le monocorde, comme les flûtes, ne permet pas cette première représentation. Alors que la méthode des poids tenseurs permet de rendre compatible lʹéchelle mathématique avec les contraintes de la physique. De plus, lʹutilisation de poids induit une autre analogie, celle du poids et de la vitesse, qui est compatible avec la physique de lʹépoque. Peu importe de savoir si cʹest Pythagore lui-même, ou ses successeurs qui ont réalisé cette expérience. Cette histoire a forcément un fondement pratique et expérimental. En effet, il est inconcevable que cet ensemble de conjonctions, tout à fait fortuites, ait pu germer uniquement de façon mentale. Par la suite, les différentes transcriptions, et notamment celle de Boèce, très insuffisante, nʹont pas permis de

transmettre la complexité de la manipulation qui apparaît donc comme fortement dégradée dans la littérature future. Le texte de Nicomaque, ou peut-être celui de Gaudence, est apparemment fondateur, vers le Ier siècle, de la légende des marteaux de Pythagore puisque Theon de Smyrne, son inspirateur, nʹen parle pas. Théon luimême sʹinspire dʹAdraste dont nous nʹavons aucun texte. Est-ce Théon qui a occulté le texte? Est-ce un de ses prédecesseurs? On peut admettre quʹEuclide ou Ptolémée refusent de raconter une anecdote qui ternirait le sérieux de leur propos. Mais Platon ne rechigne pas à orner ses écrits de telles métaphores, et lorsquʹil traite des rapports et des intervalles musicaux, dans le Timée, il nʹen dit mot. En revanche la période des premiers siècles de notre ère est nettement favorable à une présentation romanesque de la science, et cʹest sans doute à cette époque que fut élaborée cette légende. Quoi quʹil en soit, le texte de Nicomaque est imprécis, mais porte en lui la solution proposée ici. La principale objection à lʹhypothèse proposée, cʹest ce texte de Nicomaque, dont la traduction de Ruelle nous dit que les cordes étaient de tout point rendues égales. Mais dans une phrase distincte de la précédente on nous donne les autres qualités de ces cordes (semblables par la substance, le nombre des fils, la grosseur, la torsion). Plus loin Nicomaque nous parle de la plus grande corde, puis de la plus petite. Charles Emile Ruelle a la réputation dʹun excellent helléniste, et sa traduction est fiable. Pourtant lui-même est contraint dʹajouter une note pour suggérer une ellipse à propos de cette plus grande corde. Alors en effet Nicomaque ne parle pas de la disposition triangulaire des cordes. Theon de Smyrne non plus, et nous ne disposons pas des écrits dʹArchytas et de Philolaus. Et pourtant on a cette précision concernant le clou dans lʹangle de deux murs. Est-il légitime de suspecter une mauvaise transmission du texte ? Deux périodes sont en cause pour lesquelles nous nʹavons pas de trace : la première, entre les pythagoriciens de la première heure et Nicomaque, la seconde entre Nicomaque et le XVIème siècle, époque de copie du manuscrit du Manuel dʹharmonique utilisé par Meursius en 1617. La plus ancienne copie recensée est un manuscrit du XIVème siècle42. Pendant tout le Moyen Âge et la Renaissance, seul le texte de Boèce semble avoir une quelconque influence, et on a vu la légèreté avec laquelle il rapporte lʹexpérience. La suggestion proposée ici de la disposition triangulaire est peut-être inexacte, mais la coïncidence de la courbe de lʹéquation qui présente une portion constante entre 6 et 12 est suffisamment troublante pour échafauder cette hypothèse. Il est donc possible de rendre les intervalles proportionnels aux rapports des poids tenseurs en jouant sur une construction à base de triangles rectangles, qui détermine les longueurs de cordes en fonction des nombres mis en jeu, soit la suite 6, 8, 9, 12. BNF, Fonds grec, Ms 2450.

Il semble donc quʹon puisse bien affirmer que Pythagore, ou son successeur, ne sʹest trompé dans aucune des trois expériences. Dans la première expérience, celle des poids sonores, sʹils se présentent sous la forme de parallélépipèdes de métal, ils se comportent comme des lames de vibraphone et donc produisent des sons dont les hauteurs sont proportionnelles aux longueurs. Dans la seconde expérience, nous venons de le voir, grâce à un dispositif particulier des cordes tendues qui forment les hypoténuses de différents triangles rectangles. Et bien entendu dans la troisième, celle du monocorde, dans laquelle les rapports de longueur dʹune seule corde sont bien équivalents aux rapports inverses qui déterminent les intervalles consonants.