Zur Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik

CS Zur Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik Zur Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik 1 volle Ausbildung des der hellenistisohen Periode spezifischen e Typs der Mat matik zu erläutern. 2. Die griechische Mathematik am Beginn natorli hochentwickollon Mathomatik Mesopotan reich der Elementargeometrie, wie im Bereich der elementaren Proportionenlel wie schließlich im Bereich der Gleichungslehre liegt in der babylonischen Mat analysiert worden; zusammenfassend kommt er zu dem Schluß: „Sowohl im auf die Behandlung derselben Typen von Aufgaben, sondern sogar auf Beispi in denen dieselben Zahlen als Koeffizienten auftreten. Diese historischen Zus: menhänge sind insbesondere von O. Neugebauer ausführlich und überzeug ns verbunden, Hans Wussina Ihrem Crsprungo nach ist die grischisoho Mathomantile auf dan engste 1. Einführung “engen wintsnhaftl kulturellen Be in, politin mungen eel stauten an der ionischen Küste Kleinasiens Zum Osten. Die inhaltliche Übereinstimmung der babylonischen Mathematik mit grieehischen Mathematik ist sehr weitreiehend; sie erstreckt sich z. 13, nicht Für die griechisch-hellenistische Mathematik kann man nach Methode, Inhalt und Umfang der wissenschaftlichen Aktivitäten vier ziemlich deutlich getrennte Perioden unterscheiden. Einer Früh- oder Vorbereitungsperiode, die wegen ihres engen inneren Zusammenhanges zur ionischen Naturphilosophie als ionische Periode bezeichnet wird, folgte eine zweite, die etwa auf die Zeit von 450 bis matik das gesamte inhaltliche Material geschlossen vor, auf dem die g 320— 300 v. u. Z. zu datieren ist und nach dem Hauptzentrum der mathematischen Tätigkeiten als athenische Periode benannt wird. Die dritte, hellenistische Periode, ist bis ungefähr 150 u. Z. zu datieren und sah die antike Mathematik in ihrer Hochblüte. Schließlich mündete auch die Mathematik in den allgemeinen Ausklang und Verfall der antiken Gesellschaft ein. Chronologisch fällt demnach die athenische Periode weitgehend mit der Krisen- Bereits in ihrer ersten Periode, der ionischen, fand ein erster durchgreifen chische Mathematik aufbaut. Der Anschluß ist in allen Punkten praktisch lück los herzustellen“!, Der Methode nach ging allerdings die griechische Mathematik weit über babylonische Mathematik hinaus — und sogar in doppelter Weise. 338, der in der hier vorgelegten vergleichenden Untersuchung eines vielschichtigen zeit der griechischen Polis zusammen, also mit jenem Zeitraum zwischen 421 und historischen Prozesses im Vordergrund des Interesses steht. Geographisch-politisch betrachtet verlagerte sich vom fünften zum dritten Jahrhundert das Schwergewicht der mathematischen Aktivitäten von Kleinasien und Süditalien über Athen nach der ägyptischen Alexanderstadt, au das Museion in Alexandria. Wandel statt. (Eine zweite Transformation, die sozusagen den ganzen Typ Mathematik umgestaltete, wird weiter unten zu besprechen sein.) Eingebettet in den umfassenden, philosophiegeschichtlich hochbedeutsar Prozeß der Herausbildung der ionischen Naturphilosophie, in einer Atmosph der Besinnung aul das Wesen der Natur und ihres inneren Zusammenhanges, Uberganges vom Sammeln und Beschreiben von Tatsachen zum Verstehenwol vollzog sich auch der Umschlag von einer inhaltlich ausgedehnten, aber d rezeptartig betriebenen Mathematik zu einer Wissenschaft Mathematik, die al meine Sätze aufstellt, wesentlich Beweise heranzieht und klar zwischen Def tionen, Voraussetzungen und Lehrsätzen zu unterscheiden weiß. So war beispielsweise weit vor dem 6, Jahrhundert v. u. Z. davon Gebra Sachlich-methodisch haben die erste und die dritte Periode der antiken Mathematik das vorwiegende historische Interesse bei der Erschließung des überkommenen Quellenmaterials auf sich gezogen; bei der athenischen Periode kommt noch gemacht. worden, daß der Durchmesser den Flächeninhalt eines Kreises halbi besteht weitgehendes, nahezu allgemeines Einverständnis Heute ein weiteres und sogar wesentliches historiographisches Element hinzu, die Untersuchung des Umschwunges in den grundsätzlichen Methoden und Zielstellungen. bewiesen. Anaxagoras von Klazomenai (5007-428?) und Hippokrates von CI aber Thales von Milet (624¢—548?) hat diese Tatsache als Satz formuliert : Mathematiker lagen in ihrer engen Bindung an die materialistische und spon! (um 440) gehören in diese Eintwicklungslinie wie noch Demokrit von Abc (460? —370?) am Ausgang der ionischen Periode. Die bedeutenden Erfolge di krisis der Mathematik zu werten ist. darüber, daß jener Umschwung als die Überwindung einer echten GrundlagenDie chronologische, geographisch-politische und sachlich-methodische Parallelität. der Krisis der griechischen Polis mit einer Grundlagenkrisis der Mathematik in Süditalien und gründete dort einen religiösen Bruderbund, der politisch Wahrscheinlich zwischen 530 und 520 kam Pythagoras von Samos nach Krc diese Gruppe vorwiegend der Sklavenhalterdemokratie an. dialektische Grundhaltung der ionischen Naturphilosophie; soziologisch geh. wirft natürlich die tiefliegende Frage nach der kausalen Verknüpfung beider Die Antwort wird schwer zu finden sein; sie erfordert es jedoch, das Wesen der Erscheinungen auf. mathematischen Grundlagenkrisis am Detail zu verdeutlichen sowie deren Überwindung zu schildern und in ihrer inhaltlichen Tragweite für die nachfolgende

Zur Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik 187 Sklavenhalteraristokratie nahestand. Vor anderen religiösen Vercinigungen zeich3. Die arithmetica universalis der Pythagorcer nete sich der Bund der Pythagoreer dadurch aus, daß Mathematik zu einem immanenten Bestandteil ihrer Weltanschauung wurde. Die Harmonie der Welt ist göttlichen Ursprunges, sie besteht in Zahlen und in Zahlenverhältnissen. Die Vereinigung mit dem Göttlichen erfolgt darum durch das Studium der Zahlen. Mit der Übernahme von Zahlenmystik und Mysteriendiensten aus dem Osten — Pythagoras selbst wurden langdauernde Aufenthalte in Mesopotemien und Agypten zugeschrieben — wurde auch die ausgeprägt arithmetisch-algebraische ‘Tradition der babylonischen Mathematik weitergeführt, wenn auch anfangs ausschließlich unter religiösen Vorzeichen. Und doch wuchsen, sozusagen inplizit und unbeabsichtigt, bereits in der ionischen Periode aus Spekulation und Mystizismus Ansätze einer wissenschaftlichen Zahlenlehre. Die Anfänge waren bescheiden: Schält man aus der mystischen Hülle den rationalen, wissenschaftlichen Kern heraus, dann handelt es sich für die Pythagoreische Zahlentheorie um das folgende: Die (ganzen positiven) Zahlen werden in gerade und ungerade Zahlen Man kann mit großer Sicherheit annehmen, dal schon zwischen 500 und 45 der Bund der Pythagoreer in zwei Gruppierungen zu zerfallen begann. Wühren die sogenannten akousmalikoi das Mauptgewicht auf die Bewahrung der noe auf Pythagoras zurückgehenden heiligen Riten und Gebote, der akousmati legten, rückte in der zweiten Gruppierung neben aller Bindung an die Forderunge der Pythagoreischen Lebensweise ein echt wissenschaftliches Interesse an de Mathematik in den Vordergrund. Diese zweite Gruppe, die der mathematikoi, wurde um die Mitte des 5. Jahr hunderts zum hauptsächlichen Träger des Fortschrittes der Mathematik; auf si wird daher das weitere Interesse des hier gegebenen Berichteszunächst zu richten seir Die Gründe des Zerfalls lagen teils im Gesellschaftlichen, teils im Innerwissen schaftlichen. eingeteilt; Teilbarkeitslehre; man experimentiert mit figurierten Zahlen (Drei- Der Bund der Pythagorcer war politisch mit den Interessen der Sklavenhalteı eckszahlen, quadratischen Zahlen, rechteckigen Zahlen, fünfeckigen Zahlen); aristokratie verbunden und besaß in seiner Anfangszeit in den süditalische Städten zeitweise eine beträchtliche politische Macht. Als sich aber auch dort di allgemeine Umschichtung zugunsten der Sklavenhalterdemokratie innerhalb de und anderes mehr?. Für das Ende der ionischen Periode der Mathematik kann man zusammenfassend feststellen: Im Methodischen bestand der Fortschritt darin, daß ein Sklavenhalter vollzog, und zwar unter dem Binfluß des Attischen Seebundes, d insbesondere von den Babyloniern übernommener reicher mathematischer Erfahrungsschatz eine logische Struktur erhalten hatte. Von nun an existiert eine deduktiv dargelegte Wissenschaft Mathematik mit einem System von Postuluten, Definitionen und zwingend bewiesenen Sätzen. Doch wurde dieser ungeheure geriet der Orden der Pythagoreer in die politische Isolierung, wurde bekämpft aus einigen Städten durch Rebellion vertrieben und schließlich verboten. E erlosch® um die Mitte des 4. Jahrhunderts, Über die innerwissenschaftlichen Gründe des Zerfalls wird ausführlich z berichten sein; sie gehören in das Zentrum des Berichtes. Aus der zweiten Gruppe der Pythagoreer — und auf diese allein kann man sie für diesen Bericht beschränken — sind uns zwei Personen namentlich bekannt. Fortschritt unter den Bedingungen der Sklavenhaltergesellschaft durch eine Entfremdung von der Praxis erkauft und er enthält starke gnoseologische Wurzeln für den Aufschwung des philosophischen Idealismus in der Mathematik während der folgenden Periode. Dem Inhaltlichen nach ist die Entwicklung in vier Richtungen vorangeschritten: Die babylonische algebraisch-arithmetische Tradition wurde — insbesondere in der Pythagoreischen Schule — weitergeführt. Am Ende der Periode lagen Anfänge einer Lehre von Gerade und Ungerade, von der Teilbarkeit und von den Verhält- Der erste unter den mathematikoi, Hippasos von Metapont (um 450), ist ein Zentralfigur der Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik und steht ursict lich und chronologisch am Beginn der zweiten, der athenischen Periode de griechisch-hellenistischen Mathematik. Der zweite, Archytas von Tarent (428-365), war einer der bedeutendste nissen der (natürlichen) Zahlen systematisiert vor. Mathematiker der Antike; er wurde zum Lehrer und Freund Platons und reich Die ebene Geometrie hatte insbesondere durch Hippokrates eine erste Systematisierung erhalten. Zu ihrem festen Bestand gehörten die Lehre von den Paralnach seiner Lebenszeit bereits weit in die athenische Periode hinein, Nach allgemeiner, insbesondere auch von Platon im „Staat“ vermittelte Überlieferung unterschieden die Pythagoreer vier mathemata, das sind Lehrgebiet lelen, der Satz von der Winkelsumme im Dreieck, der Flächeninhalt von Polygonen, der Pythagoreische Lehrsatz, die (rationalen) Verhältnisse von Strecken. In der Stereometrie waren neue Erkenntnisse über Pyramide, Kegel und reguläre Körper sowie über die Lehre von der Perspektive hinzugekommen. Und schließlich: Es waren innermathematische Fragen aufgeworfen worden, deren weiterer Verfolg in enge Beziehung zur Grundlagenkrisis während der nachfolgenden Zeit führen wird: Die scheinbar harmlosen und naheliegenden Probleme der Würfelverdoppelung, der Dreiteilung des Winkels und der Verwandlung der Kreisfläche in ein flächengleiches Quadrat hatten ihre Tücken offenbart. oder Wissensgebiete: Arithmetik, Geometrie, mathematische Musiktheorie un Astronomie. Alle vier Bereiche beruhten auf der Vorstellung! von einer nac Zahl und Maß harmonisch geordneten Welt, oder wie Aristoteles (Metaph. A 5) « ausdrückte: „... und da sie weiter sahen, daß die Eigenschaften und Verhältnis: der Harmonie durch Zahlen bestimmt sind, und da esihnen schien, daß auch al. anderen Dinge ihrer ganzen Natur nach den Zahlen nachgebildet und die Zahle in der ganzen Natur das erste sind, so meinten sie, die Elemente der Zahlen scie die Elemente aller Dinge und der ganze Himmel sei Harmonie und Zahl.“

Zur Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik 4. Der Zusammenbruch der arithmetica universalis 1877 Man kann heute* mit größter Sicherheit annehmen, daß die Entdeckung von Dabei — und das ist der springende Punkt — ist der Zahlbegriff der Pythagorcor eng: Er umfaßt ausschließlich — wenn man sich modern ausdrückt: — die ganzen „positiven Zahlen größer als 1, also die Zahlen 2,3,4,... Die 1 selbst galt den der löxistenz gegenseitig sich nicht messender Strecken noch innerhalb der pythagoreischen Schule gemacht worden ist, und zwar jedenfalls nicht später als 420, Im ullgemeinen wird heute die Entdeckung der Inkommensurabilität mit griechischen Mathematik ausgelöst, von der P. Tannery bemerkenswerterweise bereits 1887 spricht?. Skandal“ (scandale logique) heraufbeschworen, wurde jene Grundlagenkrise der Damit wurde die arithmetica universalis zerbrochen und jener „wirkliche logische Pythagoreern nicht als Zahl, sondern als Quelle und Ursprung aller Zahlen. Lrotz des Umstandes, daB keine direkten Quellen zum ursprünglichen, Pythagoreeischen Zahlbegriff existieren, ist der historische Sachverhalt jedoch eindeutig: Kritische Analyse und historischer Rückvergleich haben mit Sicherheit erwiesen, daß die Lehre von Gerade und Ungerade, welche den Schluß des Buches 9 der „Hlemente“ des Eukleides bildet, Pythagoreischen Ursprungs ist. Als Grundlage Hippasos von Metapont in Verbindung gebracht. Dies — und es kommen noch werden dabei folgende Definitionen verwendet: „Einheit ist das, wonach jedes „Gerade ist die Zahl, die sich halbieren läßt“, und „ungerade die, die sich nicht Ding eines genannt wird. Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge" ... oder doch die bereits bestehenden Spannungen wesentlich verschärft. Die verweitere mathematische Entdeekungen und echte naturwissenschaftliche Kixperimente hinzu — hat zur endgültigen Spaltung des Pythagoreischen Bundes geführt Hippasos hat sich den besonderen Zorn der Akusmatiker zugezogen, teils, weil schiedenen Richtungen der Pythagoreer haben sich dann erbittert bekämpft. teils, weil er überhaupt dem von Pythagoras stammenden Bestand an Lehren er mit dem Volk während der Rebellion gegen die Tyrannis sympathisiert habe, halbieren läßt, oder die sich um die Einheit von einer geraden Zahl unterscheidet. Im übrigen wird auf die Pythagoreische Lehre von Gerade und Ungerade noch zurückzukommen sein, Nach Pythagoreischer Auffassung ist also die 1 unteilbar; noch Platon mokiert sich (Plat. Pol. 525e): „Die Meister der Rechenkunst“ (die Pythagoreer) „würden und Unmeßbarkeit an Unwürdige verraten“!® habe — so berichtet der Neupythagorcer lamblichos (ca. 283 -330 u. Z.) in seinem umfassenden Werk „Über die pythagoreische Philosophie“. Während also heute weitgehende Kinigkeit darüber besteht, daß die Entdeekung der Existenz gegenseitig inkommensurabler Strecken im zweiten Drittel später bei einem Schiffbruch ums Leben; dies wurde von seinen Geguern als gerechte Strafe dafür hingestellt, daß er „als erster das Wesen der Meßbarkeit neue Elemente hinzugefügt hat, vor allem aber deswegen, weil or nicht nur die katastrophale Entdeckung von der Kxistenz inkommensurabler Strecken genacht, sondern dies auch noch publik bekannt gemacht habe, Hippasos kam jeden auslachen, der versuchen würde, die Mins zu teilen“. Selbstverständlich aber besaß die griechische Mathematik die Fähigkeit, eine Bruchrechnung® aufzubauen; allerdings rechnete man nicht mit Brüchen, sondern mit Verhältnissen von Zahlen. Der entscheidende Zentralbegriff ist hier der der Pro„Zahlen“ sind im folgenden stets natürliche Zahlen größer als Eins. portion; auch darauf wird noch ausführlich einzugehen sein. Halten wir also fest: Ganzzahligkeit der Welt im Kreise der unteritalischen Pythagoreer eine meta- Auf diesem Zahlbegriff beruhte die mathematische Grundlage aller vier Pythagoreischen Wissensgebiete?. Im Zusammenhang mit der — zu großen Teilen ebenfalls aus dem babylonischen Bereich übernommenen — Lehre vom arithmetischen, geometrischen und harmonischen Mittel wurde im ruhigen Bewußtsein von der Nach allgemeinem historiographischen Gebrauch soll sie auch hier als „ariththeoretische Auffassung ausgebildet, die die Funktion einer Ideologie ausübte. metica universalis“ bezeichnet werden. Demnach war die Existenz der Pythagoreischen Gruppe der mathematikot innerwissenschaftlich gesehen eng an die ausschließliche Existenz ausschließlich ganzzahlig oder in ganzzahligen Verhältnissen beschreibbarer Dinge gebunden. universalis zerstört und der Existenzgrundlage der Pythagoreischen Schule ein mensurabel sind. Der Beweis!? steht merkwürdigerweise — wiederum isoliert — die Diagonale eines Quadrates kein gemeinsames MaB haben, zueinander inkom Die Pythagoreische Lehre von Gerade und Ungerade am Ende des Buches £ Sollten Dinge oder Größen gefunden werden, die sich nicht mit Hilfe dieses Zahlbegriffes erfassen lassen, die also — nach Pythagoreischem Sprachgebrauch — eine einzige Anwendung, die nämlich zum Beweis des Satzes, daß die Seite unc der „Elemente“ steht dort ganz isoliert und besitzt bemerkenswerterweise nu des fünften Jahrhunderts bereits erfolgte und mit der Person von Hippasos in Verbindung gebracht werden kann, lassen sich nur starke Vermutungen darüber angeben, wie die Inkommensurabilität entdeckt und bewiesen worden sein könnte. Hier gehen die Meinungen noch auseinander. Für den Zweck dieses Berichter reicht es allerdings aus, sich in dieser Frage auf einige weitgehend gesicherte Analysen zu beschränken!!. nicht (ganzzahlig) meßbar, inkommensurabel, sind, dann ist die arithmetiea schwerer Schlag versetzt. am Ende von Buch 10; er wird (Abb. 1) indirekt geführt und verläuft, in heutige. Formulierung, kurz folgendermaßen: Sei AB die Seite und AC die Diagonal des Quadrates AC BD. Haben AC und AB gemeinsames Maß, dann stehen si kann. Aus AC:A B= min folgt ACt:A 8? = m?:n?; aus dem Pythagorvische: im Verhältnis m:n, wo man m und n als teilerfremde (natürliche!) Zahlen annehmeı

Lehrsatz folgt AC? = 24 8°, also m? =2n?, also mt gerade. Dann ist auch m gerade; die Hälfte von m sei A. Da m und » teilerfremd vorausgesetzt waren und m gerade ist, muß » ungerade sein. Aber aus mn = 2h folgt in? =4h?, also n° = 248. Also wäre hiernach n gerade. Es ist aber unmöglich, daß » zugleich gerade und ungerade ist. Der Beweis erfordert offenbar eine gereifte mathematische Denkweise, einen hohen Abstraktionsgrad, insbesondere den Umgang mit dem indirekten mathematischen Beweis. Daraus und aus dem Umstand, daß die in Buch 9 enthaltene Lehre von Gerade und Ungerade erwiesenermaßen ein frühpythagoreisches Stück Mathematik darstellt, hat man geschlossen, daß die Inkommensurabilität von Strecken gar nicht am Quadrat entdeekt worden ist. „Denn man kann kaum glauben, daß die frühen griechischen Mathematiker die Inkommensurabilität der Diagonale und der Seite eines Quadrats durch einen Prozeß der Schlußfolgerung entdeckten, der für sie offenkundig so mühsam war, wenn sie nicht schon vorher vermuteten, daß cs überhaupt so etwas wie Inkommensurabilität gab. Wenn sie dagegen den Sachverhalt bereits auf einem einfacheren Weg entdeckt hatten, steht es in vollem Einklang mit dem, was wir über ihre Methoden wissen, wenn wir annehmen, daß sie sich sofort alle Mühe gaben herauszufinden, ob es noch andere Beispiele von Inkommensurabilität gebe. In diesem Fall war das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck natürlicherweise das erste Objekt. ihrer Mit anderen Worten: Vermutlich erfolgte die Entdeckung gegenseitig inkommenweiteren Untersuchungen.“ surabler Streeken nicht am Quadrat; diese Figur diente vielmehr im nachhinein Bei der Suche nach demjenigen mathematischen Gegenstand, an dem die als Objekt zur Konstatierung eines bereits anderswo erkannten Sachverhaltes. Existenz gegenseitig inkommensurabler Strecken zutage trat und auf der Grundkonnte, deuten die Quellen auf das regelmäßige Fünfeck hin. lage damaliger mathematischer Kenntnisse zwingend nachgewiesen werden Bekanntlich diente den Pythagoreern als Erkennungszeichen des Geheimbundes das Pentagramm, das heißt ein regelmäßiges Fünfeck, dessen Seiten bis zum Schnittpunkt verlängert sind. famblichos berichtet zudem, Hippasos habe „zuerst die aus zwölf Fünfecken zusammengesetzte Kugel öffentlich beschrieben und sei deshalb als ein Gottloser im Meere umgekommen"!, Demnach wird die — nach Ansicht der akusmatikoi verbrecherische — Entdeckung inkommensurabler Strecken mit dem Studium des Dodekacders!® in Verbindung gebracht, also mit demjenigen regulären Polyeder, dessen Flächen aus regelmäßigen Fünfecken bestehen. Innermathematisch ist das regelmäßige Fünfeck wohl diejenige geometrische Figur, an der sich die Inkommensurabilität am leichtesten beweisen läßt, und zwar mit der altbekannten Methode der „Wechselwegnahme“. Nur das Prinzip dieses Beweises (Abb. 2) sei hier skizziert: Die Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks bilden wieder ein regelmäßiges Fünfeck und so fort. Dann ist sehr leicht einzusehen, daß in den durch Schachtelung entstandenen = AB’ und B'D= B'E und deshalb AD — AB Fünfecken die Beziehungen AZ = B'K und ferner analog AE = ED’ = HA‘ und B'E = B'D = BE und des- A Ity —J Abb. I r+y 6 Abb. 5 ud Abb. 3 Ll —— » Abb. 2 WwW HY

Zur Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik gleich der Seite des kleineren Fünfecks: die Differenz zwischen der Diagonale BA" gelten und so fort, ohne dal ein Made eintritt. Mit BE halb AM anderen Worten: Die Differenz zwischen der Diagonale und der Seite des größeren Künfecks ist gleich der Dingonalo des kleineren Wünfocks; die Differenz zwischen der Seite des größeren Fünfecks und dor Diagonale des kleineren lanfook ist des kleineren Künfecks und dessen Soito ist wiederum gleich der Diagonale des nächst kleineren Fünfecks — und so fort bis ins Unendliche. Und da durch zwingend ein, dal der Prozeß der Wechselwegnahme sich immer weiter fortdie Diagonalen immer neue regelmäßige Wünfecke entstehen, leuchtet es setzen wird und daß deshalb kein größtes gemeinsames Maß der Diagonale und der Seite des regelmäßigen Fünfecks gefunden werden kann: Es existieren gegenseitig inkommensurable Strecken. K. von Fritz hat die Entdeckungsgeschichte der Inkommensurabilität in der hier skizzierten Form im Jahre 1954! durch sorgfältige Analyse sehr wahrscheinlich gemacht. Er kommt zusammenfassend zu dem Schluß: „Es besteht also nicht der geringste Anlaß, zu bezweifeln, daß Hippasos imstande war, die Inkommensurabilität der Seite und der Diagonale eines regelmäßigen Fünfecks zu beweisen. Denn für den vorgeschlagenen Beweis sind nur zwei fundamentale geometrische Sätze notwendig, die das gleichschenklige Dreieck und die Winkelsumme im Dreieck betreffen, und dann die altehrwürdige Methode, durch Wechselwegnahme das größte gemeinsame Maß zu finden. Alles übrige ist lediglich einfachste Addition, Subtraktion und Division”. Darüber hinaus hat S. Heller in einer an K. von Fritz anschlieBenden Arbeit im Jahre (958!8 wahrscheinlich gemacht, daß und wie Hippasos und die mathematikoi seiner Zeit im Anschluß an die Entdeckung der Inkommensurabilität zur Entdeckung der stetigen Teilung und zur Kennzeichnung des „Goldenen Schrittes“ gekommen sind, die ihrerseits eine zentrale Stellung im System der Pythago- WIOHON, reischen Mathematik innehatten. Für Einzelheiten sei auf S. Heller direkt ver- 5. Ansätze zur Überwindung der Grundlagenkrisis Auf die Konsequenzen der Entdeckung gegenseitig inkommensurabler Strecken Unter dem Druck der den Zusammenbruch der arithmetica universalis bedeutenmuß ausführlich eingegangen werden; auch dies gehört in das Zentrum dieses Berichtes. den und eine Grundlagenkrisis auslösenden Entdeckung des Inkommensurablen bildeten sich innerhalb der Mathematik während der athenischen Periode vier Tendenzen aus. Diese liefen weitgehend zeitlich parallel, durchdrangen sich und streekten sich hin bis zur Mathematikergeneration der Pythagoreer von Archytas von Tarent und liefen weiter bis zu der sich aus dem Pythagoreischen emanzipiedos (408?--355?) renden Mathematikergruppe um Theaitetos (415?—368) und Eudoxos von Kni- Welskopf, Bd. 4 Es gibt eine Menge von direkten und indirekten Zeugnissen dafür, daß als erste spontane Reaktion auf die Entdeckung des Hippasos umfangreiche Bemühungen

unternommen wurden, dieses sein katastrophales Ergebnis zu widerlegen oder Dieser ersten Tendenz gehört dio Absicht un, für Seite und Diagonale einen doch als völlige und darum nicht ins Gewicht fallende Ausnahme zu erweisen. . 12 Quadrates ein gemeinsames Maß zu finden. Ws glückte — wenn wir uns modern 2 konvergiert!®. Die Folge der Brüche —, rationale Näherungen für 72 anzugeben, und zwar die Folge —, —, ausdrücken | © 11 ..., die von beiden Seiten gegen 5’ 12 4 . G —, v= 1,2,... erhält man aus den Rekursionsformeln Z, = 2N,_, + 4,1; LA v 23, bei den Anfangsgliedern Z, = 1, Z,=3, N, = 1, N=N_,+Z_-, r 2. Die Rekursionsformeln ergeben sich aus der Identität 2a? — y = (2x + y) — 2x + y)°, 7 Sachverhalt die Aussage, zwei Paare von dAoyor besäßen denselben Aöycs, nicht minologischen Schwierigkeiten. Aly man nach fortschreitender Einsicht in den begreifbare, aber eben nur scheinbare Widerspruch führte zu bedeutenden terauf die Bedeutung von Verhältnis (ganzer Zahlen). Wurde der Begriff &oyas gebraucht, so meinte man, daß kein Aóyog oder Verhältnis vorhanden war; hierhin gehört also die Beziehung zweier gegenseitig inkommensurabler Strecken. Nun ist aber — nach der Entdeckung der Inkommensurabilität — eine echte mathematische Frage die, ob zwei Paare gegenseitig inkommensurabler Strecken (die also jedes für sich keinen Aöyog haben) doch einen Aöyog haben. Dieser schwer salis. Dann verdichtete sich dieses Wort als fachspezifischer Terminus technicus?® ganze Zahlen, also die Einbettung in das Systemdenken der arithmatica univer- Grundlagen mit den neuen Ergebnissen verträglich zu machen. Ursprünglich bedeutete Aéyos den Ausdruck des Wesens einer Sache durch schen Lehre von Gerade und Ungerade beruht. Eine zweite Tendenz war darauf gerichtet, bei der Konfrontation der erwiesenen Existenz des Irrationalen mit der arithmetica universalis zu versuchen, die alten Beweis für die Inkommensurabilität hervorgegangen, der auf der frühpythagoreilich — wir wissen nicht wann —, vermutlich durch gedankliche Umkehrung, der gonale und Seite des Quadrates anzugeben und damit einen weiteren Fall des Auftretens gegenseitig inkommensurabler Strecken zu widerlegen. Hieraus ist schlieB- Es glückte — natürlich — nicht, das wahre Verhältnis derStreckenlänge von Diatenuse: V2 ist irrational. er nie Null wird, existiert kein gemeinsames MaB zwischen Kathete und Hypo- Mit wachsendem » wird der Unterschied zwischen ihnen immer kleiner, aber da die geometrisch, also innerhalb der Pythagoreischen Schule, leicht zu beweisen | a gewesen wäre (Abb. 3). Die angegebenen Näherungen bedeuten geometrisch die Konstruktion von rechtwinkligen Dreiecken, in denen stets eine Kathete gleich 1 ist und entweder in der Länge der Hypotenuse oder der größeren Kathete als Faktor /2 enthalten ist und dann die grôBere Kathete beziehungsweise die Hypotenuse ganzzuhlig ist. = I bezeichnet. Zur Grundlagenkrisis der griect en Mathematik 188 mehr als widersinni g empfand, kehrte man etwa zur Zeit des Theaitetos zu ursprünglichen "Per logie zurück: Alle irrationalen Größen wurden als &hoyo Mor die Übergangszeit der Konfrontation des Alten mit dem Neuen aber, al der Begriff A6yog nach Inhalt und Umfang schwankend geworden war, erfordert der vorhandene Aufbau der auf dem Rationalen beruhenden Proportionentehr cine neue Auffassung von Verhältnis und Proportion. Insbesondere King os um ein neues Kriterium dafür, ob zwei Paare von inkommensurablen Grölden den selben Adyog haben, Für diese Übergangszeit suchte man aus dem Prozeß der Wechselwegnahme der zur Aufdeckung der Inkommensurabilität geführt hatte, direkt das gesucht Kriterium herzuleiten und so, daß es sich sowohl auf kommensurable wie auch au inkommensurable Größen bezieht: Größen haben denselben. A6yos, wenn si dieselbe Wechselwegnahme besitzen. Mit anderen Worten: Zwei Gruppen voi Größen sind proportional und bilden eine Proportion a:b = c:d, wenn sich be weisen läßt, daß der Prozeß der Wechselwegnahme, obgleich er sich ins Unendlich fortsetzt, trotzdem immer in derselben Richtung fortschreitet. Vertauschung der Mittelglieder erhebliche Schwierigkeiten bereitet. Man mußt O. Becker hat gezeigt?!, daß man mit dieser Definition der Proportion seh leicht eine Reihe von grundlegenden Kigenschaften über Proportionen beweiser kann, daß aber der für den Aufbau der Proportionenlehre zentrale Satz über die daher — und so berichtet auch Aristoteles — diesen Satz getrennt beweisen fü Zahlen, Strecken, Zeiten und andere Größen. Wie man also sieht, ist die Lösung des Problems dem bestehenden Schwebe. zustand entsprechend ausgefallen: äußerst scharfsinnig, aber doch so, daß die Beendigung der Krise noch von einem anderen tieferliegenden Ansatzpunkt uu: gefunden werden mußte. Diese Lösung wurde wenig später durch den genialer Eudoxos von Knidos gegeben. Darüber wird noch ausführlich zu berichten sein. Und noch eine weitere, die dritte Tendenz, entsprang ebenfalls der Obergangs teln gegeben. phase der offenen Konfrontation des Alten mit dem Neuen, also dem Versuch einer bestchenden innerwissenschaftlichen Krisensituation Rechnung zu tragen Während die Aneignung der aus dem Babylonischen überlieferten Mathematil im ersten Drittel des 4. Jahrhunderts rasche Fortschritte machte, vollzog sief eine Umgestaltung der Mathematik zu einem neuen Typ, der nach dem Vor gange von H. G. Zeuthen™ als „geometrische Algebra“ bezeiehnet?? wird: In de Zielstellung algebraisch, wurde die Lösung der Probleme mit geometrischen Mit In der Tat: Wenn die Länge der Diagonale im Einheitsquadrat nicht meßba ist mit der Einheit, also kein Verhältnis hat, also keine Zahl darstellt, dann is doch diese Strecke ohne weiteres konstruierbar. Wo also — modern ausgedrückt — y2 als Zahl nicht existierte, war doch wenigstens eine existierende geometrisch. Repräsentation äquivalent herzustellen. Mit geometrischen Mitteln war dahe der Aufbau einer strengen mathematischen Wissenschaft auch dann möglich wenn die Existenz der Lrrationalen aufgedeckt war21: Die Verwendung einer neue:

mathematischen Methode machte dic Existenz einer wissenschaftlichen Mathematik auch bei weiterbestehender Grundlagenkrisis möglich. Für den Zweck der hier angestellten Untersuchung ist es nicht notwendig, die weitgehenden Konsequenzen aus dieser Entwicklung der Mathematik so darzulegen, daß der gesamte Umfang der auf dieser Grundlage errichteten griechischhellenistischen Mathematik abgesteckt wird. Es reicht durchaus, das Wesen der Schon ein Blick auf das Buch 2 der „Elemente“ des Eukleides weist entscheigeometrischen Algebra zu verdeutlichen und einige zentrale Probleme zu erörtern, die zum Verständnis der weiteren Entwicklung notwendig sind. dende Grundelemente der geometrischen Algebra auf. Es rührt inhaltlich von den Pythagoreern her und entstammt der Periode der Aneignung der babylonischen Mathematik unter den neu gewonnenen methodischen Aspekten der Konfrontation mit den Trrationalen. Beispielsweise bedeutet der Satz „Hat man zwei Strecken und teilt die eine von ihnen in beliebig viele Abschnitte, so ist das Rechteck aus den beiden Strecken zusammen gleich“25, die algebraische Formel a 3° è, = 2° ad,. Die binomische den Rechtecken aus der ungeteilten Strecke und allen einzelnen Abschnitten Formel (a + 5)? = u? + 2ab + 6? erscheint in der Form „Teilt man eine Strecke, Zur Grundiagenkrisis der griechischen Mathematik (1) ax = b 186 demonstriert wird. Kine systematische Behandlung und Zusammenfassung di Klächenanlogung erfolgte schließlich in den Büchern 2 und 6 der „Klement durch Bukleides, der sich dabei eng an die in der athenisehen Periode geschaffen Vorlage gehalten hat. Im Babylonischen wurden Gleichungen in einer Variablen - wann wir u moderner Formulierung und Terminologie bedienen — nach den folgenden suc Typen (2) = a (3) x +ax=D (4) 2? —axr=b Baa (5) (6) cx + 1) = 4 behandelt. Der Typ (1) bedeutet also die Auflösung einer linearen Gleichung ur wird behandelt mit dem einfachsten Fall der Flächenanlegung, der (parabolische Flächenanlegung. Man hat an eine gegebene Strecke c in Form eines Rechteck eine Fläche anzutragen, die flächengleich ist mit einem vorgegebenen Rechte der Fläche a - b. Die Konstruktion (vgl. Abb. 5) geschieht mit Hilfe des Satz über die Ergänzung des Parallelogramms. Wenn man danach das Rechteck 6. konstruiert, über è das Rechteck a . 6 aufträgt, dann schneidet die Diagonale d gleich.“2# wie es gerade trifft, so ist das Quadrat über der ganzen Strecke den Quadraten über den Abschnitten und zweimal dem Rechteck aus den Abschnitten zusammen Der Beweis wird mit Hilfe der Figur der Abbildung 4 geführt. Das Ziel der so geeignete begriffliche Bewältigung an den übernommenen Zablbegiff und an € des (ganzzahligen) Verhältnisses anzuschließen. Der Weg dahin verdient e. eigene, gesonderte Betrachtung. das Irrationale zu bewältigen, das heißt, logisch-sachlich das Irrationale duı Eine vierte Tendenz innerhalb der athenischen Periode war darauf gericht mit der Methode der geometrischen Algebra nicht vollbracht. Die Bewältigung der Grundlagenkrise der griechischen Mathematik war al fahren der Flächenanlegung (perabolé) bezeichnen, gingen übrigens bei Apolloni von Perge (262?— 190%) die Bezeichnungen für die entsprechenden Kegelschnit Parabel, Ellipse und Hyperbel hervor. Dieser Einblick in das Wesen der Flichenanlegung wird genügen, um « Methode der geometrischen Algebra als einen erfolgreichen KompromiB im U: gang mit dem aufgeworfenen Problem des Trrationalen zu charukterisieren. Flächeninhalt besitzt, die um eine gegebene Fläche kleiner (Defekt) oder größ (ExzeB) als eine vorgegebene Fläche ist®!. Aus den Worten élleipais und hyperb: für Defekt (Mangel) und ExzeB (Überschuß), welche das entsprechende Ve den Flächenanlegungen benötigt, bei denen die zu konstruierende Fläche ein Rechteckes b-c die Verlängerung von AB in C. Die Ergänzung zum Rechte entwickelten „geometrischen Formeln“ besteht darin, die Hilfsmittel bereitzuliefert das Rechteck FEGH, dessen Fläche c : x mit a - b flächengleich ist. Der nächste Schritt besteht in der Konstruktion der Lösungen der nicht me linearen Gleichungen, das heißt der Behandlung der Typen (2), (3), (4). Dazu we stellen, um quadratische Gleichungen auflösen zu können, das heißt solche Gleichungstypen auflösen zu können, die nicht stets ganzzahlig?? oder in ganzzahligen Verhältnissen auflösbar sind. Beispielsweise ist die Aufgabe, „eine und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich gegebene Strecke so zu teilen, daß das Rechteck aus der ganzen Strecke ist“® …— das heißt die Aufgabe, eine Strecke a nach dem Goldenen Schnitt zu teilen —, der Auflösung der quadratischen Gleichung 2?= ala — x), das heißt 2? + ax = a® äquivalent. Das Kernstück der Behandlung quadratischer Gleichungen nach der Methode der geometrischen Algebra ist das Verfahren der Flächenanlegung (griechisch parabolé). Mit ihm werden die aus dem Babylonischen übernommenen Typen von Gleichungen direkt sozusagen ins Geometrische „übersetzt“; die enge Anlehnung der griechischen Mathematik an die babylonische Vorlage ist genauestens erwiesen®, „Es ist also ein vollgültiger Beweis für die Beziehungen zwischen der babylonischen und der griechischen Mathematik, daß wir sämtliche Probleme ...“ (der Auflösung von Gleichungen mit einer oder mit zwei Variablen) „in geometrischer Formulierung bei den Griechen wiederfinden ... Und auch die Lösungen dieser Probleme sind nicht etwa geometrisch gedacht, sondern sie sind wörtliche Übersetzungen der algebraischen Lösungen, wie die Keilschrifttexte sie Es wird genügen, wenn hier das Wesen der Flächenánlegung an einem Beispiel geben, ins Geometrische“,

6. Klassifizierung der quadratischen Irrationalitäten Der Umschwung auf dem Wege zur Bewältigung des [rrationalen zeichnet sich bereits in der vielzitierten und unterschiedlich interpretierten®® berühmten mathematischen Stelle des Platonischen Dialoges Theaitetos ab (Plat. ‘Pheait. 147c— 148d), Der Dialog ist dem Andenken des höchstwahrscheinlich im Jahre 368 auf dem Schlachtfeld umgekommen, glänzend begabten Mathematikers Theaitetos gewidmet. Platon läßt den Mathematiker Theodoros von Kyrene (470? bis 329), der aller Wahrscheinlichkeit nach der Pythagoreischen Schule angehört und Platon selbst in Mathematik unterwiesen haben dürfte, als Greis auftreten und mathematische Demonstrationen geben, die das höchste Interesse zweier athenischer Jünglinge, Sokrates und Theaitetos, finden. Theaitetos berichtet rückblickend darüber, um dann vorzutragen, was er selbst durch Nachdenken aus diesem Problem gemacht hat. Zunächst läßt also Platon Theaitetos über die Demonstrationen von Theodoros berichten: „Theodoros hier zeichnete uns etwas aus der Lehre von den Quadraten und bewies für die Quadrate von drei und fünf Fuß Inhalt, daB die der Seitenlänge nach dem Quadrate von einem Fuß Inhalt nicht kommensurabel seien, und so zog er jedes einzelne heran bis zum siebzehnfüßigen Quadrat. Bei diesem hielt er zufällig inne“33, Trotz aller Unterschiede?! in den Lesarten dieser Stelle ist jedoch so viel klar: Theodoros demonstrierte, daB die Seitenlängen der Quadrate mit den Flächeninhalten 3,5,..., 17 nicht (linear) kommensurabel sind mit denen des Einheitsquadrates. In moderner Formulierung läuft dies darauf hinaus, daß f3, V5, ..., vir irrationale Zahlen sind. In dem hier beabsichtigten Zusammenhang ist jedoch die nicht mehr eindeutig rekonstruierbare Antwort auf die Frage, wie Theodoros jene Strecken konstruiert hat, relativ unwesentlich. Man kann entweder annchmen, daß Theodoros Reelitecke mit den Flächeninhalten 1.3, 1-5, … 1 - 17 in flächengleiche Quadrate verwandelt oder aber nacheinander den Satz von Pythagoras angewendet hat, gemäß einer geistreichen Konstruktion (Abb. 6) von H.J. Anderhub#®, die auch anschaulich erklärt, warum Theodoros bei Y17 endete. Bezüglich der Beweisführung durch Theodoros ist mit groBer Wahrscheinlichkeit ein Verfahren anzunehmen, das auf dem Prinzip der Wechselwegnahme beruht; auch hier gibt es zwingende mathematische Griinde®*, warum das Verfahren bei ¥17 aufhörte. Wesentlicher für den hier untersuchten Zusammenhang ist indes die Fortsetzung der obigen mathematischen Stelle aus Platons Dialog ,,Theaitetos"; hier läßt Platon Theaitetos berichten, wie durch Klassifizierung der gegenseitig inkommensurablen Größen eine Klassifizierung der quadratischen Irrationalitäten eingeleitet und damit die eine historische Wurzel der Überwindung der Grundlagenkrise der antiken Mathematik ausgebildet wird. Nachdem also Theaitetos rückblickend über die Demonstrationen von Theo- Zur Erundlagenkrisin der griochischen Mathematik 188 doros berichtet hatte, führt Theaitetos fort: „Nun fiel es uns” (ihm und eine: anderen athenischen Jüngling) „bei, da ja die Quadrate in ihrer Menge unendlic schienen, zu versuchen, sic in einem gemeinsamen Begriffe zusammenzufasse um mit ihm alle diese Quadrate bezeichnen zu können ... Alle Zahlen schiede wir in zwei Klassen: in solehe, dio dem Produkt aus gleichen Zahlen ontapreobe sic verglichen wie nach ihrer Gestalt mit dem Quadrat und nannten sie quadratisc und gleiehseitig … Die Zuhlen dazwischen aber, zu denen die Drei und die Für und jede gehört, die dem Produkt aus gleichen Zahlen nicht entsprechen kan sondern dem Vielfachen einer größeren Zahl und einer kleineren oder einer kle neren und einer größeren, so duß in ihrer Darstellung immer eine größere un eine kleinere Seite sie umschließt, verglichen wir der länglichen Gestalt des Rech ecks und nannten sie oblonge Zahlen ... Alle Linien, die ein nach Seiten un Flächen kommensurables Quadrat bilden, bestimmten wir als Längen; die abe ein ungleichseitiges Vieleck bilden, als sofche Quadrate, die an Länge mit jene nicht kommensurabel sind, jedoch der Flache nach, deren Quadrat sie bilder Und mit den Kubikzahlen ist es auch ähnlich “27. Damit ist eine prinzipielle, über die Angabe spezieller Fälle durch ‘Theodore hinausgehende Winteilung getroffen, die zwei ganze Klassen von [rrationalitäte erfaßt: Diejenigen Strecken, die ein Quadrat erzeugen, dessen Flächeninhalt zwa eine ganze Zahl, jedoch keine Quadratzahl ist, haben kein gemeinsames Ma mit der Längeneinheit; sie sind inkommensurabel mit 1. Und: Diejenigen Strecker die einen Würfel erzeugen, dessen Rauminhalt zwar eine ganze Zahl, jedoch kein Kubikzahl ist, sind inkommensurabel mit der Längeneinheit. Dieser Teil des Dialoges ist zugleich ein Programm zum umfassenden Studiur der Irrationalitäten. Es findet sich durchgeführt im Buch 10 der „llemente des Eukleides (365?—300?). Demnach erfolgte die Niederschrift der uns über lieferten Form cer Theorie der Irrationalitäten bereits am Beginn der hellenist. sehen Periode; es steht jedoch kaum außer Zweifel, daß die Vorlage zum Buch It dem Inhalte nach, wesentlich auf Thoaitetos zurückgeht®®, En ist für den hier verfolgten Zwock nicht notwendig, das Buch 10 in alle Binzelheiten zu analysieren. Doch sind einige Bemerkungen notwendig, um desse Charakter zu verdeutlichen. Das Buch 10 beginnt mit den Definitionen der Kommensurabilität, der lineare und quadratischen: „Kommensurabel heißen Größen, die von demselben Ma gemessen werden, und inkommensurabel solche, für die es kein gemeinsames Ma gibt.“ „Strecken sind quadriert kommensurabel, wenn die Quadrate über ihne von derselben Fläche gemessen werden, und quadriert inkommensurabel, wen es zu den Quadraten über ihnen keine Fläche gibt, die gemeinsames Maß würde.“ Unter Anknüpfung an entsprechende Definitionen in Buch 5 der „Elemente wird dann, im Lehrsatz 2, mit Hilfe des Begriffes der Wechselwegnahme ein hir reichendes Kriterium für Inkommensurabilität abgeleitet: „Mißt, wenn man unte zwei ungleichen Größen abwechselnd immer die kleinere von der gröBeren wegnimmi der Rest niemals genau die vorhergehende Größe, so müssen die Größen inkom: mensurabel sein.‘ Der Beweis dieses Satzes erfolgt indirekt.

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chen Eudoxos hat als Dreiundzwanzigjähriger für zwei Monate der Platonis mathematiAkademie angehört, aber dort trotz schon erworbener bedeutender im Kyzikos scher Kenntnisse nicht recht Fuß fassen können. Er hat dann später et. am Marmara-Meer eine eigene blühende Mathematiker-Schule begründ Platon abIn erkenntnistheoretischer Hinsicht vertrat Wudoxon gegenüber aber auch in weichende Ansichten. Auf mathematischem Gebiet — sie existierten (Würfelbei Archytas der Astronomie — fanden sie ihren Ausdruck darin, daß er, der verlorenes) mechavon Tarent Mathematik erlernt hatte, ein neues (allerdings nisches Verfahren zur Konstruktion zweier mittlerer Proportionalen verdopplung!) angegeben hat?”. stand dabei vor der doppelten Aufgabe, einerseits die bewährte Pythagoreische Die von Eudoxos geschaffene Größenlehre unter Einbeziehung und Berücks sichtigung des Irrationalen ist als Buch 5 in die „Blemente“ eingegangen; Eudoxo erste von der Buch 7, Definition 20: „Zahlen stehen in Proportion, wenn die Proportionenlehre (Buch 7) bestehen zu lassen, andererseits aber der zutage getretenen Existenz gegenseitig inkommensurabler Strecken gerecht zu werden. zeigt Ein Vergleich zwischen dem (älteren) Buch 7 und Buch 6 der „Elemente” den erzielten Fortschritt; er wird schon deutlich bei der Definition der Proportion. zweiten Gleichvielfaches oder derselbe Teil oder dieselbe Menge von Teilen ist wie die dritte von der vierten."#8 die Diese Definition ist an den Pythagoreischen Zahlbegriff und wesentlich an Maß Voraussetzung gebunden, dab die erste und zweite Zahl ein gemeinsames e besitzen: sie ist also aus doppeltem Grunde für gegenseitig inkommensurabl und löst Größen unbrauchbar. Demgegenüber definiert Eudoxos folgendermaßen ng der damit die oben bezeichnete doppelte Aufgabe der begrifflichen Fixieru Neuen unter Anschluß an das Alte. is stehen, Buch 5, Definition 5: „Man sagt, daß Größen in demselben Verhältn ältidie erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielf gung die Gleichvielfaches der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten zugleich und vierten gegenüber, paarweise entsprechend genommen, entweder on 6: „... die Zur Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik des Buches 5 bilden die Opera ‚ulent der Mul 1889 men mit zusiinmeongescizion kation von bekannten Sätze über Proportionen — darunter den zentralen Satz über die Ver - beweisen zu können. tauschung der Mittelyl Den Abschluß Verhiiltnissen; algebraisch geschen ist dies die erfolgt jedoch erst in Buch 6: en. Der Boweis für die „Promluktgeleie Bi ihnen dha. „Stehen vier Steecken in Proportion, so müssen auch ähnliche über st. lich gezeichnete geradlinige Figuren in Proportion stehen (und umgekehrt)" Mit diesem Satz wird die Verbindung zwischen der gemoetrischen Algebra von das Buch 2 und der Lehre von den Proportionen aus Buch 5 einerseits und einer Inkommensurable, Irrationale umfassenden Größenlehre andererseits in mathematisch korrekter Weise hergestellt: Der Kreis ist geschlossen, die Grundlagenkrisis der antiken Mathematik ist der Erscheinungsform nach behoben. Doch wird die Tragweite der solcherart aufgehobenen Krise zu analysieren sein, sowohl nach dem innermathematisch-historischen Aspekt wie nach ihrer historischkausalen Wirkung. 8. Konsequenzen für die Mathematik der hellenistischen Periode Für den historisch unbefangenen heutigen Leser könnte die von Eudoxos Vom heutigen Standpunkt ist es selbstverständlich, daß der Zahlbegriff weil gegebene Größenlehre beinahe trivial wirken und kaum den Gebrauch von Superlativen rechtfertigen. Doch wird eine Besinnung auf den historischen Standort und die durch sie erreichte neue Ausgangsposition weiterhelfen. mehr umfaßt als natürliche Zahlen und deren Verhältnisse. e Eudoxos aber fand diesen engen Zahlbegriff vor, und zwar als festgefügt mit der Mathematisierung des Größenbegriffes über den zu eng gewordenen Py daß e lastende Tradition. Es ist daher eine höchst bemerkenswerte Leistung, thagoreischen Zahlbegriff hinausgegangen ist. Dies ist bereits von Aristoteles ir aus na > mb stets nc > md sogenannten geometrische Analysis bezeichnet werden könnten und auf die Anwendung matik zum expliziten Begriff der Irrationulzahl vorgestoßen. Dazu waren de di voller Tragweite erkannt und gewürdigt worden®. Dennoch sind weder Eudoxos noch die spätere griechisch-hellenistische Mathe aus na — mb stets ne = md größer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner sind“; und: Definiti entweder aus na < mb stets ne < md, Wenn a:b = c:d, dann folgt bei beliebigen natürlichen Zahlen m und n *®. dasselbe Verhältnis habenden Größen sollen in Proportion stehend heißen“ Verwendet man die uns vertraute Formelschreibweise, so heißt das: oder hinausliefen, hat sich wiederum Eudoxo hervorgetan. Seine Ergebnisse, die bei der Berechnung von Pyramide, Kegel unc de Kugel verwendet wurden, sind eingegangen in Buch 12 der „Elemente“. In hellenistischen Periode wurden diese Ansätze — zusammen mit dem bewußteı e Rückgriff auf die materialistische Tradition von Demokritos — durch Archimed von Syrakus (287?— 212) zur formalen Meisterschaft geführt, die erst am Ausgan, der Renaissance in Europa übertroffen werden konnte. Exhaustionsmethode Schwierigkeiten des Umganges mit dem mathematischen Unendlichen® viel zı groß; in irgendeiner Weise erfordert aber jede strenge Definition der Irrational zahlen®! die Beherrschung von Grenzwertprozessen. Bei den Ansätzen einer Beherrschung des Infinitesimalen, welche etwa al oder Diese Definition des Verhältnisses beruht auf einer Art „Axiom des Messens“ (Buch 5, Definition 3 u. 4). „Verhältnis ist das gewisse Verhalten zweier gleichartiger Größen der Abmessung nach.“ „Daß sie ein Verhältnis zueinander haben, sagt man von Größen, die vervielfältigt einander übertreffen können“6 Diese von Eudoxos gegebene Definition benutzt absichtlich keinerlei Voraussetzung über Kommensurabilität der Größen. Sie ist andererseits geeignet, alle

Zur Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik Hans WuBing Insgesamt bietet sich dem historischen Betrachter die unter einem doppelten Aspekt zu verstehende Überwindung der Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik als eine bedeutende geistige Leistung dar; sie legte Fundamente für einen neuen, großartigen Aufschwung der Mathematik während der hellenistischen Periode: Dem Anschluß an den in der davorliegenden Periode bereits entwickelten streng logischen Charakter der Mathematik mittels der Mudoxischen Größenlchre sowie der Entfaltung der in der Methode der geometrischen Algebra liegenden weitreichenden Möglichkeiten — freilich eingeschränkt in Spielraum und Anwendungsbereich auf Grund der den Platonischen Auffassungen anzulastenden Entfremdung zwischen Theorie und Praxis — verdankt die Mathematik in der hellenistischen Periode ihre noch heute beeindruckende Leistungsstärke. Wir stehen am Ende des Berichtes. Er soll ausklingen in den Versuch einer 1891 dessen Überwindung nur durch Übergang zu oiner prinzipiell höheren Gesellschaftsordnung möglich werden sollte, so führte die Aufdeckung tiefgreifender logischer Schwierigkeiten im System der Mathematik der ionischen Periode nicht zur Aufhebung der Mathematik als Wissenschaft, sondern im Gegenteil zur Herausbildung einer weitreichenden neuen Methode, die den Zugang in ein weites fruchtbares Feld mathematischer Forschung erschloß, zugleich aber die weitere Entwicklung im wesentlichen auf einen einzigen Typ der Mathematik einengte. Der Potenz nach war durum — trotz aller glanzvollen tiatfaltung — der Höhepunkt der antiken Mathematik während der hellenistischen Periode bereits überschritten; ein Neubeginn mußte daher — und zwar anfangs sogar auf niederem Niveau — mit der Überwindung des durch die geometrische Algebra geprägten Typs der Mathematik gesetzt werden. Die Vollstreckung dieses historischen Auftrages sollte jedoch erst den Mathematikern der Periode des Feudalismus zufallen. Besinnung auf das Faktologische. Die mit der Entdeckung des Irrationalen ausgelöste Krisis der griechischen Mathematik wurde aufgehoben im mehrfachen, dialektischen Sinne dieses Wortes. Sie wurde insofern beseitigt, als der Anschluß an den in der Frühzeit gewonnenen systematischen Aufbau dieser Wissenschaft logisch einwandfrei mit Hilfe der Eudoxischen Größenlehre und der Methode der geometrischen Algebra gefunden werden konnte. Diese Überwindung der Krise war jedoch insofern logisch zu Anmerkungen 1 O. Neugebauer, Zur geometrischen Algebra (Studien zur Geschichte der antiken Algebra 3), in: Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Bd. 3, Berlin 1930, 258. 2 Aus der allgemeinen Gepflogenheit, die Zahlen mit Eigenschaften wie Haß, Liebe, schwach, als das tiefer liegende Problem des mathematischen Unendlich zwar männlich, weiblich und ähnlichem auszustatten, sind auch dio Begriffsbildungen „vollkommeue Zahlen“ und „befreundete Zahlen“ hervorgegangen. Fine Zahl, wie z. B. 6, angerührt worden war, aber gerade wegen des Kompromißcharakters der geoheißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist: 1 + 2 + 3 = 6. metrischen Algebra nicht ausdiskutiert zu werden brauchte; in diesem Sinne Zwei Zahlen heißen befreundet, wenn jodo gleich der Summe der echten Feiler dor anderen ist; 2. B. sind 220 und 284 befreundet. wurde die Krise aufgehoben und bewahrt. Untersuchung, was problemgeschichtlich uus der Grundlagenkrisis hervorgegangen sein könnte, wenn sich nicht die geometrischo Algobra als wirksamer Boholf vor eine Herausbildung des Begriffes der Irrationalzahl und die Bewältigung des Zu den sogenannten Neupythagorcern, etwa zwischen 100 v. u, Z. und 200 1. 2. besteht, keine zusammenhängende Bntwicklungslinme. 4 Dor Pythagoreer Philolaon (gestorben um 390 vou, 2.) drückt dies unter anderem in = Geschichtsschreibung, die nach dem Prinzip „was wäre geschehen, wenn“ angesetzt wird, ist und bleibt verdächtig. Und doch: Vom Standpunkt einer diesen Worten uns (Mr. LI Diels-Kranz): „Denn dio Natur der Zuhl int konntnisspendond, führend und lehrend für jeglichen in jeglichem Dinge, das ihm zweifelhaft oder unbekannt ist.“ Und an anderer Stelle: „Und in der Tat hat ja alles, was man erkennen kann, eine Zahl. Denn ohne sie läßt sich nichts erfahren oder erkennen.“ (Fr. 4 Diels-Kranz). mathematischen Unendlich geschoben hätte, wäre tatsächlich diese Form der Aufhebung der Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik ein Irrweg, ein lichen Disziplin ist ihrerseits eben nicht linear-logisch zu messen; geometrische Algebra und Eudoxische Größenlehre repräsentieren den dialektischen Gang der Entwicklung. Auf Grund einer Reihe direkter und indirekter Indizien, die die Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik chronologisch, geographisch-politisch und sachlich-methodisch in die Krisenzeit der griechischen Polis einbetten, drängt sich dem Berichterstatter eine Parallele auf; allerdings wird sie nicht individuellkausal, sondern nur gesellschaftlich-strukturell zu verstehen sein: Wie die Erschöpfung der historischen Möglichkeiten der griechischen Polis nicht zum Untergang der Antike schlechthin, sondern vielmehr zur Herausbildung eines spezifischen 'Fyps des antiken GroBreiches führte, der sich seinerseits nur als historisch ausschöpfbar, nicht aber als strukturell höher entwickelbar herausstellte und 5 Eukl. Stoich. 7 or. 6-7. Eukleides von Alexandria, Die Elemente, Teil 3 (Buch 7—9), nach Heibergs Text übersetzt. u. hrsg. von Cl. Thaer, Leipzig 1935, 1. 6 Zumindest aus hellenistischer Zeit ist die Kenntnis der altàgyptischen Bruchrechnung verbürgt. Archimedes z. B. rechnete mit gemischten Brüchen. Für aufwendiges nuınerisches Rechnen, z. B. in der Astronomie, wurde in hellenistischer Zeit das babylonische Sexagesimal-System verwendet. So verfuhr z. B. Ptolemaios. Vgl. dazu auch K. Vogel, Beiträge zur griechischen Logistik, München 1936. 7 Auf die Wechselbeziehungen zwischen der Herausbildung des Pythagoreeischen Zahlbegriffes mit der Entwicklung der Musiklehre und Astronomie kann hier indes — so interessant es an sich auch wäre — nicht eingegangen werden, vgl. dazu u.a. B.L. van der Waerden, Harmonielehre der Pythagoreer, Amsterdam 1951. (e «] folgenschwerer Rückschritt gewesen. Aber die Geschichte einer wissenschaft- Der exakte Nachweis der Nichtkommensurabilität zweier Strecken setzt eine bedeutende Höhe abstrakten mathematischen Denkens voraus. Daher wurde — während der zwanziger und dreißiger Jahre — der Einwand vorgebracht (z. B. E. Frank, Platon und die

Hana Wubing sogenannten Pythagoreer, Halle 1923), daB auf dem Boden der relativ unentwickelten früh pythagoreischen Mathematik ein solcher Beweis nicht habo geführt werden können und daher später zu datieren sei. Heute, nach ErschlieBung der babylonischen Mathematik, entfällt dieses indirekte, von „abendländischem" Denken noch immer konsermatik nicht am Anfang, sondern etwa in der Mitte einer reichlich viereinhalbtausendvierte „Argument“: Man muß sich darüber im klaren sein, duB die griechische Mathe- Berlin 1958, 321. jährigen Geschichte wirklicher Mathematik steht. — Dazu kommen neu erschloasone bzw. sicher interpretierte direkte Zeugnisse, die dic frühe Datierung belegen. 9 T. Tannery, La géometrie grecque, Paris 1887, 98. 10 Zitiert nach 8. Heller, Die Entdeckung der stetigen Teilung durch die Pythagoreer, in: Abh. Deutsche Akademie Wiss. Berlin, Kl. für Mathematik, Physik und Technik 6, Indirekte Zeugnisse könnten sogar darauf hindeuten, daß Aristoteles diesen Beweis 11 Für Einzelheiten sei z. B. auf S. Heller, ebenda; K. v. Fritz, Die Entdeckung der Inkommensurabilität durch Hippasos von Metapont, deutsche Ubersetzung aus englischer Sprache 1954, verwiesen. Der Beweis war Aristoteles bekannt, also bekannt vor der Niederschrift der „Elemente“, selbst gefunden hat. K. v. Fritz, Die Entdeckung der Inkommensurabilität durch Hippasos von Metapont, 2036. dies damit zusammen, daß in Italien das Dodekacder natürlich in Form von Pyrit- Zitiert nach S. Heller, Die Entdeckung der stetigen Teilung durch die Pythagoreer, 320f. Die erstaunlich frühe Kenntnis des Dodekaeders ist verbürgt. Möglicherweise hängt kristallen auftritt. 16 K. v. Fritz, Die Entdeckung der Inkommensurabilität durch Hippasos von Metapont. 17 Ebenda 298. Weiter unten fährt K. v. Fritz (ebenda 299f.) fort: „Vielleicht ist also die Behauptung gerechtfertigt, daß die bisherige Untersuchung bewiesen hat, was in der Einleitung zu diesem Aufsatz versprochen wurde, nämlich daß die Inkommensurabilitat dieser Entdeekung führte, daß die antike Überlieferung deutliche Hinweise darüber um die Mitte des 5. Jh. v.Chr. entdeckt worden sein kann, daß die Entwicklung der pythagoreischen Lehre von den Zahlen uls den Wesen aller Dinge ganz natürlich zu enthält, auf welchem Weg die Entdeckung tatsächlich gemacht wurde, und nicht zuletzt, daß die griechische Mathematik in jener frühen Periode vielleicht sehr elementar, aber gewiß nicht trivia) war.“ 18 8. Heller, Die Entdeckung der stetigen Teilung durch die Pythagoreer. 19 3. E. Hofmann, Geschichte der Mathematik, Teil 1, Berlin 196%, 33; H. Wubing, Mathematik in der Antike, Leipzig 19652, 98. O. Becker, Eudoxos-Studien 1, in: Quellen und Studien der Geschichte der Mathematik, surabilitàt durch Hippasos von Metapont, 283—285 u. 301~303; A. Szabò, Anfänge der griechischen Mathematik, München —Wien 1969. hier nicht eingegangen zu werden, Vgl. dazu K. v. Fritz, Die Entdeckung der Inkommen- 20 Auf die sehr verwickelten Entwickhingsziige im Terminologischen kann und braucht 22 Bd. 2, Berlin 1933, 311—333. H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, Nachdruck Hildesheim 1965, 23 Damit hat Zeuthen bereits im Jahre 1886 einen außerordentlichen bedeutsamen Schritt zum Verständnis des Wesens der griechisch-helleuistischen Mathematik getan. Er schrieb damals (ebenda 7) „Diese Entdeckung“ (die Entdeckung irrationaler Größen) Zur Grundiagenkrsi der griechischen Muthemnatuk sou besonders günstig für die Entwicklung jenes geometrischen Hülfsmittels werden. In „welche die Benutzung der arithinetischen Hülfsinittel hemunte, mußte eben dadurch dieser Weise entwickelte sich eine geometrische Algebra, wie man sie nennen kann, da dieselbe als Algebra teils allgemeine Größen, irrationale sowohl wie rationale, B. L. van der Waerden stellte 1947 fest: „Der Grund, warum die Griechen die algebehandelt, teils andere Mittel als die geometrische Sprache benutzt, um ihr Vorfahren anschaulich zu machen und dem Gediehtnisse cinzupràgen.* nur genäherten Lösung haben die Griechen sich nicht begnügen wollen. Die geometribraischen Probleme und Lösungen der Babylonier ins Geometrische übersetzen mußten, liegt in der Erkenntnis des Irrationalen. Die Lösung der Gleichungen in Zahlen, d.h. nach griechischen Begriffen in rationalen Zahlen, ist nicht immer möglich, und mit einer Kukl. Stoich. 2, 2. sche Lösung aber ist exakt und allgemein, und die geometrische Algebra läßt sich auf beliebige, auch irrationale Strecken anwenden.“ (Die Arithmetik der Pythagoreer, in: Mathematische Annalen 120, 1947/1948, Wiedernbdruck in: Zur Geschichte der griechischen Mathematik, Sammelbd., hrsg. von O. Becker, Darmstadt 1965, 207). Eukl. Stoich. 2, 1. Kukleides von Alexandria, Die Elemente, Teil i (Buch 1-3} nach Heibergs Text übersetzt u. hrag. von CI, Thaer (Ostwalds Klussiker 235) Leipzig 1933, 34, Negative Lösungen scheiden von vornherein «us, da dor Begriff der negativen Zahl in der griechischen Mathematik völlig unbekannt war. Eukl. Stoich. 2, 11. Eukleides von Alexandria, Die Elemente, Teil 1 (Buch 1-3), übersetzt u. hrag. von Cl. Thaer, 41. 29 O. Neugebauer, Vorgriechische Mathematik, Berlin 1934. 30 B. L. van der Waerden, Die Arithmetik der Pythagoreer, 207. 31 So heißt die Aufgabe 9 von Buch 6: „An eine gegebene Strecke ein einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches Parallelogramm ao anzulegen, daß ein einem gegebenen Die Elemente, Teil 2 (Buch 4—6), übersetzt u. hrag. von CI. Thaer (Ostwulds Klassiker ähnliches Parallelogramm überschießt.“ Eukl. Stoich. 6, 29. Eukleides von Alexandria, 236) 62. H. J. Anderhub, Joco-Seria, Aus den Papieren eines reisenden Kaufmannes, Ausgabe 32 Hier sei insbesondere auch auf die interessanten, temperamentvoll vorgetragenen Ansichten von A. Szabó zu den Leistungen von Theodoros von Kyrene und Theaitetos verwiesen, die in einigen Punkten jedoch von weitgehend anerkannten Ansichten ab— weichen. Eine zusammenfassende Darstellung gab A. Szabó in seinem 1969 (München Wien) erschienenen Buch „Anfänge der griechischen Mathematik“. Plat. Theait. 177d, übersetzt von K. Preisendanz. Das kritische Wort des Originaltextes, das zu verschiedenen Interpretationen führte, ist das Wort Sivautg. Heute kann, nach der zwingenden Beweisführung von A. Szabó, als gesichert gelten, daß die Übersetzung durch Quadrat, statt. durch Quadratsätze, dem gegebenen Sachverhalt entspricht. tetos.” B. L. v. d. Waerden, Erwuchende Wissenschaft, 282. der Kalle-Werke, Wiesbaden 1941. 36 B. L. v. d. Waerden, Erwachende Wissenschaft, Basel— Stuttgart 19667, 238— 240. 37 Plat. Theait. 147d— 148b, übersetzt v. K. Preisendunz. 38 Van der Waerden schreibt sogar: „Dus ganze zehnte Buch ist also das Werk des Theai- 39 Eukt. Stoich. 10 or. t—2. Eukleides von Alexandria, Die Elemente 10, übersetzt u. hrsg. von Cl. Thaer (Ostwalds Klassiker 241) Leipzig 1936, 1. 40 Eukl. Stoich. 10, 2.

41 Eukl. Stoich. 10, 5. 42 Eukl. Stoich. 10, 6. 43 Hier lautete der Hauptsatz und seine Umkehrung folgendermaßen: „Die Quadrate über linear kommensurablen Strecken haben zueinander ein Verhältnis wie eine Quadratzuhl zu einer Quadratzahl; und von Quadraten, die zueinander ein Verhältnis haben wie eine Quodratzahl zu einer Quadratzah], müssen auch die Seiten linour kommensurabel hältnis zueinander wie eine Quadratzuhl zu einer Quadratzahl; und von Quadraten, die sein; dio Quadrate über linear inkommensurablen Strecken hingegen haben kein Verkein Verhältnis wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl zueinander haben, können und è rational, aber untereinander inkommensurabel sind. Modern: eine Fläche yr. auch die Seiten nicht linear kommensurabel sein.“ Kukl. Stoich. 10, 9. Kukl. Stoich, 10 or. 3. Cl. Thaer, Eukleides von Alexandria, 105. Beispielsweise: Eine mediale Fläche ist die Fläche eines Rechteckes ab, dessen Seiten a wo r eine rationale Zahl ist. Eine Strecke, deren Quadrat cino mediale Fläche ist, heißt 4 mediale Strecke. Modern: eine Strecke yr. 47 Plutarch berichtet im ersten Jahrhundert u. Z.: „Eudoxos und Archytas waren dic ersten gewesen, welche diese eben so beliebt, als berühmt gewordene Mechanik aufbrachten, indem sie dadurch ihrer abstrakten Mathematik eine niedliche Ornamentierung gaben. Problemen, bei denen sich nicht leicht eine Nachweisung durch Wissenschaft oder Zeichnung geben lieB, wurde von ihnen durch mechanische Versinnlichung nachgeholfen … Aber Platon eiferte nun mit großem Unwillen gegen sie, weil sie den Vorzug der Mathematik vernichteten und verderbten, sofern diege jetzt aus dem Gebiete des Unkérperlichen, Geistigen in das der Sinnenwelt entlaufe, und sich leider aufs neue mit Körpern abgeben müsse, die an sich schon so viele lästige Handwerksarbeit erforderten. So fiel denn die Mechanik aufs entschiedenste wieder von der Mathematik aus.“ Plout. Mark. 14, 9—11. 48 Eukl. Stoich. 7 or. 21. 49 Eukl. Stoich. 5 or. 5. 50 Eukt. Stoich. 5 or. 3—4. Genaugenommen liegt diesem Axiom und den von Eudoxos medes (der von einem Postulat spricht) in seiner Abhandlung [lepl tig opalpas nal aufgestellten Definitionen ein anderes Axiom zugrunde, das in späterer Zeit von ArchixuAlvôpou i, 5 unter Berufung auf Eudoxos explizite so formuliert wurde: „Die größere deutlich hervor. So schreibt er (Anal. hyst. 75b 4): „Ein arithmetischer Beweis ist nicht von zwei gegebenen Größen, sei es Linie, Fläche oder Körper, überragt die kleinere um eine Differenz, die, genügend oft vervielfacht, jede der beiden gegebenen Größen übertrifft. (Übersetzung von A. Czwalina) — Dies ist, allerdings in geometrischer Gestalt, genau das heute der Begründung der Theorie der irrationalen Zahlen zugrunde gelegte Axiom von Archimedes-Eudoxos, 51 Eukl. Stoich. 6, 22. 52 Bei Aristoteles erhält allerdings der Größenbegriff noch eine ganz andere, nicht ausschließlich mathematische Interpretation. Aus mehreren Aristoteles-Stellen geht dien anwendbar auf Größen, sofern diese Größen nicht Zahlen sind.“ Der Satz (Eukl. Stoich. 7, 13) über die Vertauschung der Mittelglieder einer Proportion wurde nach Aristoteles (Anal. hyst. 74a 17) früher, d. h. vor Eudoxos, getrennt bewiesen für Zahlen, Strecken, Körper und Zeiten; nach der Aufstellung des allgemeinen Größenbegriffes aber hätte der Satz allgemein bewiesen werden können. Offenbar ist damit Eukl. Stoich. 5, 16 gemeint. Dieser Behauptung widerspricht die auf den ersten Blick gegenteilig wirkende Zur Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik 1895 Tataache nicht, daß die Sätze Kukl. Stoieh. 7, 11-14 Für Zuhlen neu bewiesen worden obwohl die entaprechenden Sätze in Eakl Stoich. 5 für Größen allgemein bewiesen werden. Die Erklärung ist einfach: Kukleides hat in Buch 7 die ältere Definition der Proportion beibehalten, um den ihm überlieferten geschlossenen Aufbau derZahlentheorie nicht zu zerstören, Vgl. dazu auch B. L. v. d. Waerden, Die Arithmetik der Pythagoroer, 218, Welskopf, Bd. 4 INN ELLE Wy Der POLENS \x/ Auf die philosophische Diskussion über das Unendliche — von Zenon bis Aristoteles — braucht im hier untersuchten Zusammenhang nicht eingegangen zu werden, da sie nur indirokt zur Bewältigung der mathematischen Grundlagenkrise beigotragen hat. 54 Eine strenge Theorie der Irrationulzahlen ist eng mit der Bewältigung des mathomatischen Unendlich durch die entstehende Mengealehre verbunden und konnte daher erst am Ausgang des 19. Jh, aufgestellt werden; sie knüpft sich an die Namen U. Cantor (1845— 1918), R. Dedekind (1831 — 1916), Ch. Méray (1835— 1911).