Il teorema di Pitagora nell'antica Grecia

& Sale LD are Il teorema di Pitagora nell’ antica Grecia PARTE PRIMA I più antichi, testi sul teorema di PıraGora, nella letteratura dell antien Grecia, sono i segnenti: 1, Un passo del « Menone » platonieo che eontiene la dimostrazione del teorema nel caso particolarmente semplice ed intuitivo del triangolo rettangolo isoscele. 2. Le proposizioni degli Elementi d’ Eveuipr: I, 47 è 48, e VI, 31, che danno rispettivamente, la dimostrazione generale del teorema e del sno inverso, e poi la generalizzazione al caso di figure poligonali simili costruite sui lati di un triangolo rettangolo. 3. Un frammento sulla qnadratnra delle lunnle di IppoCRATE di Chio — che deve risalire a circa il 450 a. C. — quale ci è stato tramandato da Simplicio nel Commento alla fisica di ArISTOTILE. Riferiamo anzitutto il contenuto di questi testi; ragioneremo poi sulle origini delle conoscenze e dei metodi che in essi appaiono. I. Nel dialogo platonico intitolato a « Menone ». Il dialogo si svolge fra Socrate e MENOXE, in casa di quest? ultimo, MEXONE chiede a Socrare se la virtù si pud insegnare, © se non insegnandosi, si può praticare; oppure se, non potendosi nè insegnare, nè praticare, venga agli nomini dalla natura, 0 in qual altro modo (!), ° Cfr. A. Pavano: Sull ipotesi geometrica nel « Monone » di PLATONE, Padova, Tipografia d-| Seminario, 1875. Periodico di Matematiche IN

SocRATE risponde affermando che « ricercare ed apprendere è solo un ricordarsi ». MexoxE chiede una dimostrazione di questo asserto, ed allora Socrars, chiamato uno dei servi di Menone, lungamente lo interroga, e fa vedere che esso è a conoscenza di alcune proprietà geometriche, delle quali, a priori, poteva ritenersi completamente ignorante. Noi, per brevità, faremo iniziare il dialogo da quando prineipia la parte che più direttamente c’ interessa. In ciò che precede, SOCRATE ha portato il servo a ricoM 0 Lo noscere che un quadrato ABCD (fig. 1), costruito su un lato di due piedi, misura quattro piedi quadrati. Socr, - L'area À BCD è dunque 7 / D © A B Fig. 1. N ji Serv. - Si. di quattro piedi? Serv. - Si. Soer. - Ora ad essa aggiungiamo l’altra BINC ad essa nguale. Serv. - Si, Soer. - Ed a esse due l’altra uguale CALO, pure ugnale. Soer. - Per far piena la figura, non potremo aggiungere anche l’altra DCOM, nell’ angolo ? Serv. - Sieuro. Soer. - Ora tutta la figura AIZM, non comprende quattro aree, ABCD, BINC, CNLO, DCOM, uguali fra loro? Serv. - Si. Soer. - E dunque?-tutta l’area AILM, quanto è più grande dell’ altra ABCD? Serv. - È il quadrnplo. Soer. - Ma a noi occorre fare il doppio; non te ne ricordi? Serv. - Appunto. Soer. - Ma ciascuna delle linee DB, BN, NO, OD, che va da un angolo all’altro delle proposte figure ABCD, BINC, CNLO, DCOM, non le taglia esse in due? Serv. - Si. Il teorema di Pitagora nell'antica Grecta 195 Soer. - E le linee DB, BN, NO, OD, non sono quattro lati uguali che comprendono l’area DBNO? Serv. - E ei son bene. Soer. - Or guarda; quant'è l'area DBNO! Serv. - Io non so dirlo. Soer. - Delle quattro aree ABCD, BINC, CNLO. DCOM, non wha tagliato metà di ciaseuno, endauna delle linee DB, BN, NO, OD, al dentro, come DCB, CBN, NCO, OCD? Non ti pare che sia così? Serv. - Di certo. Soer. - Quante dunque delle aree BCD sono nella figura ; DBNO? Serv. - Quattro. Soer. - E quante delle aree BCD, in ABCD? Serv. - Due. Soer. - Come sta il quattro al dne? Serv. - B il doppio. Soer. - Waren BNOD, adunque di quanti piedi è? Serv. - Di otto. Soer. - E da che lato & formata? Serv. - Da BD. Soer. - Dalla linea che si tende da un angolo all’ altro del quadrato ABCD? Serv. - Si. Soer. - Orbene, i dotti chiamano questa linea, dingonale, tanto che chiamandola eon questo nome anche noi, secondo che tu dici, o servo, dalla diagonale si formerebbe l’area doppia. Serv. - Per l'appunto, o Socrate, Come si vede nelle ultime battnte del dialogo è contenuto il teorema di Prragora, relativo al triangolo rettangolo isoscele. >. Negli “ Elementi ,, d’ Euclide. Libro I. Prop. 47°. Sia ABC nn triangolo rettangolo avente Pangolo retto BAC

Dico che il quadrato costruito su BCè ngnale alla somma dei quadrati costruiti sn BA, AC ('). Si deseriva, infatti, su BC il quadrato BDEC; su BA, AC si deserivano GB, HC; per A si conduca la parallela AL ad ogw una delle BD, CE, e si congiunga A con D; F con € H Poichè ognuno degli angoli BAC, BAG, è retto, su una retta BA ed in un suo punto A, le rette AC, AG, non giacenti dalla stessa parte, fanno E poichè Vangolo DBC è angoli adiacenti uguali a dne retti, per la stessa ragione BA è per diritto alla AH, uguale ad FBA, perchè ogn’uno uguale a BC, ed FB a BA, le mune. Oos, tutto DBA è uguale a tutto FBC. E poichè BD è ' E & retto, si aggiunga ABO, coi not Fig. 2. due DB, BA sono rispettivamente ugnali alle due, FB, BC, e l'angolo DBA è ugnale all'angolo FBC. Dunque la base AD trianvolo FBC. è uguale alla base FC, ed il triangolo ABD è uguale al Ma il parallelogramma BL è doppio del triangolo ABD: infatti, essi hanno la stessa buse, e sono tra le stesse parallele BD, AL. Inoltre, il quadrato GB è doppio del triangolo FC; infatti, essi hanno la stessa base FB, e sono fra le stesse parallele FB, GC. Danque il parallelogramma BL è nguale al quadrato GB. Similmente condotte le AZ, BA, si dimostrerà anche che il parallelogramma CL è ugnale al quadrato HC. Dunque tutto il quadrato BDEC è ngnale alla somma dei quadrati GB, HC. Ma il quadrato BDEC è deseritto su BC, e GB, HC, su AB, AC. su uno dei lati Il teorema di Pitagora nell’ antica Grecia Libro I. Prop. 48°. Se in un triangolo il quadrato costruito © . . n . . dai dune rimanenti lati costruiti sul rimanenti due è uguale alla somma dei quadrati Infatti. nel costruito triangolo ABC (fig. 3), il quadrato lati del triangolo, l'angolo compreso del triangolo è retto (1. “ ni € „AN i | | N dI x pi2. A x somma dei quadrati cosn nno dei lati, BC, sia ugnale alla o che atrniti sui lali BA, AC. Dic Pangolo BAC è retto. Si conduea infatti per il pun- BA,e si conginnga Deon ©. Poiche to À la AD, ad angolo retto con la retta AC, si faccia AD uguale a ma dei quadrati costenito su AC, comnne. Così, Ia som Fie. 3. DA è uguale ad AB, anche il qua| drato costruito su DA è uguale aggiunga il | quadrato eoal quadrato eostruito su AB. Si quella dei quadrati costruiti struiti sn DA, AC sarà uguale a ruito su DC è ugnale su BA. AC. Ma anche il quadrato cost DA, AC, perché DAC è alla somma di quelli costruiti su o su BC sie supposto retto (prop. 47%; e il quadrato costruit i sn BA, CA: dunque i nguale alla somma di quelli costruit lo costrnito su BC; quadrato eostenito su DC è uguale a quel ora poichè DA è quindi, anche il lato DC è uguale a BC: DA, AC sono uenali ugnale a AB, ed AC è comune, le due le alla base BC; alle due BA, AC, è la base DC è ugua DAC è retto, perciò quindi DAC è ngnale all’angolo BAC. Ma I anche BAC è retto. cd, a Dunque, se in un triangolo eee... Il triangolo A BC sia rettangolo, avendo retto l'angolo BAC Libro VI. Prop. 31". uito sul lato Nei triangoli rettangoli, ogni poligono costr a dei poligoni, opposto all'angolo retto, è nguale alla somm altri due lati (È). simili e similmente posti, costruiti su gli Danque il quadrato del lato BG è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui lati BA, AC. e.d. d. Dunque, nei triangoli rettangoli eee... Cfr. FP. ENRIQUES, Op. cit. vol. 2°. (1) Cfr. F. Exniques, Op. cit. (4) Cfr. Gli Elementi di Euclide e la critica antica e moderna. Vol. 1°, col concorso di diversi collaboratori, editi da F. Exkiques. Zanichelli, Bologna,

(prop. 8°). E poichè ABC è simile ad ABD, il lato CB staa AB come AB a BD. Ma se tre rette sono in proporzione, la prima sta alla terza come un poligono costruito sulla prima sta al poligono simile e similmente posto, costruito sulla seconda (prop. 19", corol.), cioè CB sta a BD come un poligono costruito su CB sta al poligono, simile e similmente posto, costruito su AB. Per la stessa ragione BC sta a CD come un po- „sono costruito sn BC sta a quello ica Greca N teorema di Pitagora nell'ant loro come i . da NIMPLICIO rema (I, 47) a Piracora, € che fanno risalire questo teo bove in onore di tale sco‘accontano che egli sacrificò un tre ammiro quelli che per perta. Ma per mio conto, men questo teorema, ammiro ancor primi osservarono la verità di che non soltanto ci ha dato più lo scrittore degli Elementi, razione più lucida, si anche di tale affermazione una dimost più generale, mediante gli inla dimostrazione del teorema del VI libro ». frangibili argomenti di scienza ammettere che di questo Ma, in verità, riesce difficile avesse conoscenza prima di teorema più generale non si prima ttamen to delle proporzioni, BucLips (sia pure che il tra o è non rigoroso); giacchè lo di Euposso, riuscisse incomplet offre i di I PPOGRATE di Chio, ci seritto sulle Innule quadrabit ne affatto analoga. esempio di una considerazio imento: 3. Le lunule di Ippocrate fra v | | 5 > / a 2 Fia. 5. Va: LS isoscele ABC. e si deseri- ATE tramandatoci Nel frammento di IPPOCR si espone il seguente proced Si abbia il triangolo rettangolo stanno B, rano i tre semicerchi Am aBpC, An BoC, aventi rispettiv AB, mente per diametri i lati BC, AC (fig. 5). Siccome le superficie dei circoli Sisis= : circoli AmB, BpC, avremo (1) ovvero (3) dunque (2) ” S= 1 Ss. S=8-4-8 AC — AB + BO o rettangolo, si ha: Ma per la proprietà del triangol AC: AB": BC. indica semi8 le superficie uguali dei del semicircolo An BoC, e con ri, quadrati dei rispettivi diamet ndo con S la superficie / (fig. 4). Dico che ogni poligono costruito su BC è uguale alla somma dei poligoni simili e similment e posti costruiti su AB, ed AC. a Si conduca la perpendicolare AD. Poichè nel triangolo rebtanigolo ABC è stata condotta la perpendicolare AD ‘del- Fig. 4. d.d. simile e similmente ito eostrui su CA. Ed allora BC sta alla somma di BD con DO, come un poligono costruito su BC sta alla somma dei poligoni simili e similmente posti costruiti su AC ed A D. Ma BC é uguale alla somma di BD eon DC. Pereiö anche un poli ‘ono costruito su BC è ugnale alla somma dei poligoni simili : e similmente posti costruiti su BA, AC. i | ° Dunque nei triangoli rettangoli cec.... Nei passi riferiti d’ EucLIDE troviamo dunque due dimostrazioni generali del teorema di PrraGora, una basata sui criteri del? ugnaglianza delle superficie, Valtra sulle pro sor. zioni, e quest’ultima anzi ci vien porta per stabilire un Leo. rema più generale della relazione pitagorica. ProeLo nel sunt storico del suo Commento all’ Euclide, riferisce la tradizione che fa risalire a PiraGora la scoperta del teorema I, 47, ma attriba ce in proprio ad EuoLIDE il metodo della dimo. strazione adoperata, e sembra pure dargli tutto il merito dell: prop. VI, 31. Dice: < Fra gli serittori d’antiche storie (ETDEMO). vi sono alenni

Ora, abbassando la perpendicolare BD, si vede che DAnB è la metà del semicireolu S, e perciò, DAub = AmB lunula AmBud = triang. DAB. e sottraendo da queste due figure uguali, lo spazio AnB, comune ad entrambe, da una parte rimane Ja lunula, Am Bu A, e dall’altra il triangolo DAB, dunque: (4) L’ interesse di questa proposizione sta per noi in eid: che essa contiene e suppone una dimostrazione del teorema di PrraGora mediante le proporzioni, nonchè una veduta della generalizzazione offerta in Eccupe VI, 31. 4. Supposizioni sulla dimostrazione originale di Pitagora. I} teorema che «il quadrato dell’ ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati dei cateti » è attribuito a PiraGora, non solo — come abbiamo visto nella tradizione raccolta da PROCLO — sì anche da PLUTARCO, ATENEO, DIOGENE LAERZIO. Questa tradizione concorde, cui risponde il nome dato al teorema stesso nei secoli (teorema di PiraGoRA) deve avere un fondamento di verità: ma conviene esaminare in qual senso possa essere accettata. Intorno al 530 o 540 a. Or. PrraGora abbandonò la nativa Samo e prese dimora a Crotone, ove fondò Ja Scuola italica. Bra questa una scuola o setta di tipo religios o, che inculeava la stretta sorveglianza di certe regole di vita, assumendo idee e credenze di altre più antiche tradizioni, sia ortiche, sia egiziane. Ma al loro misticismo si associa la tendenza scientifica razionale, che si esprime massimamente nel culto delle matematiche. La più antica concezione dei Pitagorici assimila la materia al numero, giusta la formul a «le cose sono numeri», che è stata spiegata da P. TANNER Y, nel senso di ammettere una teoria monadica della materi a: ogni materia sarebbe formata da corpuscoli unitarii o monadi , e ritrarrebbe le sue proprietà o qualità semplicemente dal n + ‘ ° mY « ” «tr d rrect Grecia ] Il teorema di Pitagora nell’ antica d . CI : strasano aver raggiunto una dimo . en . i OF . . er . 2 01 ‘O | . ai Prvauotea In eoli eledi coruns . . ti corpuseoli € umero e dal’ ordine geometrico di codes qualità o tutti nguali fra loro) mentari (essi stessi privi di o msenso solo un nonuse Questa ste| x concezione doveva avere scoperta deg j anche geometrico, almeno sino alla isi o n ngol in tria eh Er bil , cui dett| e occasione 1il caso del esurabili nm ineommen provocare UD Crh reti angolo isoscele, e che dovette ooren en | u scienza pilagorica. mo fucilmenie compr Sulla base di queste notizie possia re KETO nge RINN prestosto gru ero pre pi essero ichi pot dere come i| Pitagoriei più antichi te re fig e simili, di cui infatti vier teorta delle» figur a teori ad una di naturale fatto credito da PROCLO. Sorge quin B possulla base di questa teoria ess dalle limitazioni con cui le propor- o zione del teorema sul quadrato dello: Pinotenusa del triangolo rettango dimostrazione generale nel loro contta A cetto, che tuttavia restava affe appena si iR en all potent tide un riconosea il teorema \ on na zioni stesse erano trattate. Invero . dimostrato triangolo rettangolo, relativa riesce orale ug * a i due “ vett (I > op \ tribuita yure al pltagor Ik CT i golo in due altri simili aur intero We vn neu ang riconoscere EF eguaglianza degli NA H à degli che à una conseguenza della somma > œ gola , ‘1 cs rt} te rg ude al concl o i ngoli la proporzionalità dei lati dei tria sui an ‘ | i » ; dalla proporzionalità dei segmenti staccati Vide ee cheche sembra ra risris: ne d'id dine | onli da due re te parallele, in nn | ioni su gli angoli dei piu antichi geolire alle prime speculaz o), metri greci (forse già di Tacwrr di Milet 5. Un’ estensione di Pappo. , RC A BED, : BCFG in A nque, , e siano | j g lo qualu ango ig ABC} un trian Sia À ‘ uugue,i, €costrniti rt mmii qual due parallelogra AG ineontro dei Mari DE le (fig. 7). Sia H il punto di hi al ve ‘ \ a ! ie unisea IT con B. Si prolunghi la 7 Per j pun ar di una lunghezza PK, ugnale ad IB, , ti A e Csi tir la parallela al lato AC, e dai pun CM. evtrambe parallele a PK.

TS MEEL Gitte Grecia ALMC è usnale alla s ! es Si prolmmghino i lati AL CM, sino ad ineontrare in D' ed PF, rispettivamente DE ed FG. Si ha che: ABED = ABHD’ perché hanno la stessa bas e e sono compresi fra due parallele. Similmente: L (2) K "M BCFG = BCF'H. Inoltre DF, FGCB, CE, in modo che siano uguali DF e CE (tig. 10) Fig. 7. (3) ABHD = ALKT ste persse chè par anc all h’ele . Mu essi hanno 0 o 3° Lemma. Se un parallelogramma 4 B è diviso in quattro parallelogrammi, ADGL, basicho € sono compresi fra le il vertice in comune, G, starà sulla diagonale AB. Dopo ciò, segue la dimo(4) strazione del primo asserto: e cioè che: se AKL è perpendicolare a BC (fig. 8), incontra BCF H = PKMC ; dalle (1) e (2) si dednee che (5) EC in M, e se si tirano le rette BM ed MG, esse sono per ABED +- BOFG = ABHD’ dalle (3) e (4) : (6) \ + BCF'H i 4 2 Al (6) si ricava che ALMG. ! »* = \ F ae | I 7 [2 WV reide 6 Pig. 10. - e siccome ABC = CAK | | \ diritto. Infatti, si completi il parallelogramma OA. Si tirino le diagonali OA ed FH.1 triangoli BAC e FAH sono nguali, e sì ha: no in uno stesso punto; e per giungere a questo risul- 0, stabilisce prima i seguenti tre lemmi (3): B Pig. 9. di 4 A e.d. dl contrary | dimostra che < le rette AL, BE, CG, (fie. 8) s'in tate I7 E 17 IN N 6. Una proprietà del la figura 47°-1 d’ Euclide, dimostra ta da Erone, * ,! Gi 5 + PKMC = ALMC ABED + BCFG -= ERONE , SD | ABHD' + BCF'H = ALKP e dal confronto delle (5) e & \ sopra del punto A (fig. 9). 5 a (1) (4) Pappi _ manne, 1876. ALEXANDRINI : Co Zus 1° Lemma. In un triangolo ABC, se si tira la parallela DE n BC (fig. 9) e dal vertice A si tira la AF, che bisechi la BC, anche Ja DE sarà bisecata dalla AF. 2° Lemma. È costituito dall’ estensione del 1° lemma al caso in eni la retta ED incontra i lati AB, AC, al di ber dei parallelogrammi ABED, BCFG. Infatti (1): oO | Dico cheà il paral 1 lelo,gramma éclionts, e (*) Cfr. T. L. Hearn:: TYLhe thirt ir en F rs CH. ] It 'LTS \ 1 °, Pp. books of Enclid's Elements . Vol. 1° perchè Alf è perpendicolare a BC, sarà anche HTA=CAK.

PUREE KESTER HFA = OAF FY=YA IF CC Ma le diagonali del rettangolo FH si tagliano in Y, quindi e per la (1) OAF = CAR. FM=HM. EM = MN e.d.d. Dunque OA ed AK stanno per diritto. Ora, OM è diagonale di SQ, e quindi i paral lelogrammi AS ed AQ sono uguali. Se si aggiunge ad entrambi il parallelogramma AM, si ha: Ma pereio MH=MN y= È così chiamata } espressione ‘. L’ equazione pitagorica PARTE SECONDA BM ed M@ stanno per diritto e per il 3° Jemma (1) essendo stata studiata dai Pitagorici, per trov are quelle terne di numeri interi che potessero "appresentar e i lati di un triangolo rettangolo. ProoLo (Op. eit), ci ha trasmesse due solnzioni della (1), che, a sno dire sarebbero dovute, una a PITA GORA. e l’altra a PLATONE. Quella pitagoriea parte dei numer i dispar i, e dice; < Si assuma un numero dispari come misura del più corto dei lati intorno all'angolo retto. Dal quadrato di questo numero si sottragga l’unità, e si assuma la metà di questa differenza, come misura dell'altro lato intorno all’angolo retto. Si sommi invece Punità al quadrato del Jato più corto, e si ii teurema di F!GGUOFU NE ANE LUI COME te MT prenda la metà di questa somma come misura del lato op- Mm; mi + = 5} 9 an? — | . 5 4 mt — 1\F me + 1 n2 5 , , fu A N . N in | yosto all’anwolo retto >. Dunque,+ per m dispari, i lati del triangolo rettangolo sa i ranno dati da: si ha infatti: - | Oe En »}] } a " sa Q 1 La soluzione platonica prende invece le mosse dei nume jari, e dice: CI 41 Essendo dunque 22 un numero pari, i lati del triango « Si assuma un numero pari come misura di uno dei lati } . af. yey 1% intorn o lato, second del all’ angolo retto; per misura intorno an N età didi qn esto retti si assuma il quadrato dellai metà lo retto, all'angolo allo nt, se i numeroo, meno l'unità; e come misura del terzo lato, que opposto all’ angolo retto, il quadrato della metà dello stes cote | u unità > >. più l P upità ‘0, più numero, > Mag nl; | 2 (220)? + ini — i. == (4 : + 1°, rettangolo saranno: (3) infatti torn azioni, intorno argomentazioni, argoment ‘apie le varie i È interessante seguire alla genesi di queste due formule, che sono state racco vn sueeinte note dal’ HEATH, nel suo commento alla 1-4 On | | Op. cit). Evli incomincia eon Pesporre i procedimenti proposti dal a=e IA Die ie —b). | | tzt + BF conCantor (4) e dal Röra (?), che possono ent ambi così densarsi: Se segue che (4) Ora, affinchè la (4) sia soddisfatta per numeri interi, per € oe ° . è . . . b, devono verificarsi le seguenti condizioni: eeb, Lo i ) Cantor: T,, pp. 185-6> (2) Ror: Geschiethe der abeudlündischen Philosophie, II,

Il teorema di Pitagora nell’ antica Grecia prodotto (e -+ b).(e —b) sin uguale ad u > ae er di e ¢ — b, risultino entrambi pari o dispari. ie il numero quadrato. x ° La 1° condizione è necessaria, infatti, se a? è dispari. tali devono essere c +d e ¢—b, vicever sa, se a? è pari, devon | pure essere pari c + b e c— db, | ae condizione è soddisfatta se i due numeri e + b ce , sono «quelli che furono chiamati numeri simili », mere i umeri quadrati (formati da due fattori uguali), o meri rettangolari (formati da due fattori disugna li) i cui fat. tori siano fra loro proporzionali. ° Lo dar Es.: 6 è um numero rettangolare, avente larghe zza 3 ed altezza 2; 24 & un numero rettangolare, avente ‘largh 7 6 ed altezza 4; 6 e 24 sono numeri simili perchè, 6:3—4:°, aa più semplice caso di due numeri simili, è quello 2 \ ¢ ae en1 len: | B se SiH vuole che essi soddisfino la (4) x al invece n= 2m + | e-b=1 | . C+b— (2m + Dt = n° Mt DP a = Lin + 1 p_ 2 > analogo ede „mtl b iù risul tato € i | 9 L Si e verificare, per essi, la 1* condizi one; perciò essend o 1 ispari, deve pure essere dispari n°, ossia n | Facendo dunque | si può porre nes ha € un e si ricavano facilmente i. valori: Si Li PLATONE se Si pone, in Inogo dib —e= I;, b— ‘7 = be i ~ a Grecia e=W+l. Il teorema di Pitagora nell’ antic ? (2m) 7 b=n—1; c+b= on (Qa? Posto quindi : oppure ——. *) si ricavano i valori: + = n, asi 207 ere che PITAGO facilmente ad enDunque lo stesso metodo può portare trambe le soluzioni. RA L'HuatH è pesò più propenso ad ammett tre F ighe successive: Esso consiste nello serivere su quello seguito poi da abbia adoperato un metodo diverso da e che la soluzione pitàPLatone. E siccome ritiene probabil che diretta osservagoriea possa essere stati ispirata da qual isfacente, a questa conzione, riconosce come abbastanza sodd scHNEIDER. dizione, un metodo progettato dal Brer i nne le differenze fra i quameri naturali, i quadrati di questi, 4 5 9 1298 7 16 4 9 25 5B 11 36 6 18 49 7 15 Gt 8 IT st 9 19 100 10 1 121 ll ©? 144 12 drati successivi (fig. 11): 1 3 Fig. tt. 1 porre atfenzione alla Prracora avrebbe dovuto soltanto i Pitagoriei usavano i nella terza riga, relazione che collega i quadrati contenut amente sopra, con i qum Irati della seconda (quello immediat lire la sna formula ed il precedente = es.: 9, 16, 25) per stabi di risoluzione. quello proposto dal Ma nn procedimento più semplice è che TREUTLEIN (1). È noto, egli dice, ste di puuti. rappresentare i| numeri mediante figure compo golari, rettangolari, assi consideravano, perciò, numeri trian quadrati, e così via. k und Physik >. XXVIII (1 PREUULEIN, « Zeitschrift für Mathemathi

. Il teorema dii Pitagora Pi nell’ autica Grecia e 0 « eo e e (i 0 e 0 e e Ld 0 e m — | risulta che Za +1 =m? + di nn quadrato, lo guomone in. ; torno ad esso contie ne 2a + 1] punti. Si faceia orn (fig. 12}; e che se a è il Jato ponendo nna sempliee linea di puuti, su due lati adiacenti del ei i primo, in forma dii gnomone er ora che un numero quadrato pu essere traato nel numero quadrato immediatamente superiore + le. ole e è cle. ole . Fig. 12. a= 2 > aam? t +. ] ~ - D / fat : 4-1 > a E siccome, come abbiamo detto, lo gnomone più il quarato di lato a, dà il quadrato di lato «+ 1. si ha: | i mt + m? — WV IP 2 ieper “span appresenta la soluzione pitago rica. | st sì le probabili vie seguit e da Prrag ora per giuugere alla soluzione generale della (1), ! Heavy si viv ee a considerare la solnzione platonien. | | Pre S'è visto come dalla soluzione pitagorica si pnd passar a quella platonica, raddoppiando semplicemente | lati del quadrati; cid secondo il metodo proposto dal Bier ’H n un Ma anche questa volta, PHrarH, dà In prefer enza ad una soluzione dovuta al TrREUTUBIN, che si basa su u 2 sione isione dell’ idea di gnomone, ste pi agorica della (1), agginngendo una sola linea di ao del TREUTLPIN, già esaminato, si ottene va la owe n Me N forma di gnomone, ai lati adiacenti di nn quadrato. à Fe nge ora, pure in forma di gnomone, una doppia fila punti (fig. 13): si vede, in questo caso che dal quadra to e Il icorema di Pitagora nell'antica Grecia 209 e e e e . e e e [2 @ e e . . ee . e e ® @ . I n ee e e A e rato primitivo, e che primitivo, si perviene pure ad un quad , il doppio gnomone se a è il lato del quadrato di partenza contiene 4a + 4 puuti. Pongasi ora: da + 4 = Au? se ne ricava ole L2 ° . e L2 e e a+2= u +1 es e e a= n? — | e si ha subito Ja formula di L2 e PLATONE, data da e (n\t + (n° — 1)? = (n° + 1)’. Pie. 13 11 procedimento è ritennto a soddisfacente dal’ HEATH; ma hé pensare egli considera più probabile che Praroxs, anzic considerato un all'applicazione del doppio gnomone, abbia a gnomone quadrato più una semplice linea di punti, disposta ice linea di punti, disposta una sempl sul lati di esso, e lo stesso quadrato, meno nti. pure a guomone, SU gli stessi lati adiace 8. La soluzione d’ Euclide. ne del X libro Nel 1° lemma precedente la 28" proposizio nte il problema degli Elementi, EUCLIDE risolve geometricame anche la loro di « trovare dne numeri quadrati tali che somma sia un quadrato >. Ii procedimento è il seguente (5: o enSi pongano due numeri AB, BC, 0 entrambi pari uguali in D. è pari (fig. 14). Si divida AC in due parti uu numero pari, trambi dispari. Poichè, tanto se si sottrae numero dispari da un numero pari, quanto se si sottrae un differenza AC da un numero dispari, i risultati sono pari. la 16 6] -I {I , o quadrati ano inoltre AB. BC, due numeri piani simili che pure sono due numeri piani simili. Così AB. BC + CD° = BL". (N Cfr. F. ENRIQUES. Op. eit, Vol. HI. Periodico di Matematiche

numeri a Il teorema dii Pitag Pi ora nell antica Greci si » ili i Fig. 14. e . TA > ty Stat} € Ma 48. BC Ò un quadrato perché abbi amo dimostrato due A 1 ag: bg € si . i che tro SONO Ald, sol e.d. d. alla rovi: piani pian i similFEi. Se See s non Mi vati vue « numerii quadratii AB. BCe CD! la cui quadr ‘ atimani fes De , ; che sono stati; anche sa mama è BD trovati som due n qua BI e CD’ in modo che la loro diffe renza A BC , ap , vor „umen interi qualunque, soggetti bp; u quadrato, se AB, 7 BC,20; Sono s numerii be condiza,ion con ok 2 _ (er + de) DT). ene facilmente tr e ne bi pari o disp ari. che abp® ed abg’, siano entram pari, x= abpq i ju = = or è E LATONE, perché, co me euc i lea a 2 ora per la 6°-IL, si ha: Allor ed way +s abp? - abg? + (e) TAGORA La soluzi AIDE EN i seguenti valorii F (2) a . può ve i valori sl. a queste rificarsi, soluzioni alo ri deidei lati, relativi santi | I soluzioni, sono casi ste particolari delle (2). antica Grecia Tl teorema di Pitagora nell' to. 9. Nell’ Aritmetica di Diofan 52° = 16% 16 256 € 55: 16 — 2° + 1=6 — 16% 4a? schlägt 144 211 Libro II. - Prop. 8". i quadrati » « Dividere un quadrato in due altr uno dei quadrati riIi numer o quadrato sia 16; 2° sia o quadr ato, Si prenda un chiesti. Sarà 16 — a? uguale all’altr — 4), essendo m intero qualunque, quadrato della forma (ma si uguagli a 16— 2°. Così: e 4 la radice quadrata di 16, e e quindi da cui © I quadrati richiesti sono dunque 3 ne ad nno degli ulA questa proposizione, che appartie a, si rannodano, in epoche timi luminari della matematica grec superiore del FERMAT, Evpiù recenti, gli sviluppi d’ ordine LERO, DIRICHLET, KUMMER Eee. risuliati, aventi origine E si può dire che la eatena dei unga fino tiai nostri giorni. dal teorema di PITAGORA, Si prol ALFONSO LIDONNICI