Musica e numero da Ippaso ad Archita

SZZA.A, ¡tay MUSICA E NUMERO DA IPPASO AD ARCHITA di Assunta Izzo È noto che al « multisciente » Pitagora si era soliti attribuire il merito di ogni scoperta scientifica fatta nella sua scuola, anche se esse erano il frutto dell’oscuro e intelligente lavoro dei suoi immediati seguaci. Anche nel campo musicale, di un’arte che ben presto venne concettualizzata e spiegata da un punto di vista matematico ', al filosofo samio venne attribuita la prima ed importante scoperta scientifica sulla possibilità di misurare numericamente i principali intervalli musicali. Tra le tante testimonianze sul modo in cui Pitagora è giunto a rappresentare gli intervalli musicali con rapporti numerici, la più famosa è certo quella trasmessa da Giamblico *. Costui ci narra che Pitagora, passeggiando per le vie di Crotone, passò per un caso provvidenziale (ek tinds daimoniou syntychias) dinanzi alla bottega di un fabbro e udì i suoni prodotti dai martelli, con cui, in quel momento, si batteva il ferro. Poiché in quel tempo Pitagora era impegnato nella costruzione di uno strumento che aiutasse a perfezionare Pudito umano, ringraziò gli dèi per avergli inviato questo straordinario messaggio. Il filosofo aveva infatti riconosciuto ! Le più moderne teorie sull'intreccio tra musica e matematica sono riportate e commentate da R. Mondolfo in E. Zeller, R. Mondolfo, La filosofia dei Greci nel suo sviluppo storico, P.I, vol. Il (lonici e Pitagorici), a cura di R. Mondolfo, Firenze 1950, pp. 667-669. 2 Jambl. V.P. 115-119. Per altre restimonianze sulle teorie musicali attribuite a Pitagora, cfr. la raccolta di testo in C. von Jan, Musici scriptores Graeci, Leipzig 1895. IN FORME DEL SAPERT sag; NE PRESOCRATICA

in quei suoni gli accordi musicali di ottava, quinta, quarta, nonché l’intervallo dissonante tra quinta e quarta. Compì esperimenti che dimostrarono come la differenza dell’altezza dei suoni dipendesse dalla massa dei martelli e come una corda tesa da un peso di 12 unità producesse, vibrando, l'ottava, rispetto ad una corda tesa da un peso di 6 unità. Scoprì quindi, come narra il neoplatonico, che l’intervallo musicale dell’ottava è esprimibile in termini numerici tramite il rapporto 2: 1, che l'intervallo di quinta è basato sul rapporto 3 : 2, che l'intervallo di quarta si fonda sul rapporto numerico 4: 3 e che infine l’intervallo dissonante tra quinta e quarta è espresso dal rapporto 9 : 8. L'ottava risultante dal prodotto di quinta e quarta (3:2-4:3= 139 babilità, la scoperta di queste semplici operazioni di composizione e scomposizione dell'ottava e si possono considerare invece gli esperimenti riportati da Giamblico, che sono del tutto errati rispetto alle leggi della scienza acustica *, come degli arricchimenti leggendari, elaborati in età posteriore e mai verificati da un punto di vista sperimentale. Non si può però dimenticare che l’antica tradizione* preferisce presentarci Pitagora come il filosofo che per primo ha visto nella musica uno strumento di purificazione dell’animo, un’arte incantatrice che permette non solo di guarire da certe malattie, ma anche di disciplinare ed emendare le passioni smodate dell'anima umana. La musica, inoltre, serve Questa scoperta « meravigliosa » ma non frutto del caso, a richiamare alla memoria la « precedente vita » che l’anima aveva vissuto prima di essere legata al corpo’. Ma, tra i successivi pitagorici, prevalse l'interesse verso la musica intesa come dottrina scientifica, come la scienza dell'armonia che stabilisce i rapporti numerici dei toni musicome tiene a sottolineare Giamblico, ha permesso quindi a Pitagora di fondare la scienza della harmonía e di elaborare, cali. Essa si intrecciò sempre più alla matematica. Ippaso di Metaponto, il più noto rappresentante della anche sulla base di questa parafrasi dei suoni in numeri, una scuola antica dopo Pitagora, il « rinnegato », è da conside- 2: 1) appare nell’ordine 12: 8 : 6; l’ottava risultante dal prodotto di quarta e quinta (4:3-3:2=2:1) appare nell’ordine 12: 9: 6. matematica universale. E’ la musica, infatti, che estende il concetto del valore del numero grazie all'applicazione dei rapporti numerici alle note *. Il racconto di Giamblico presenta delle grosse assurdita: giustamente Zeller * ha notato che le altezze dei toni musicali sono proporzionali alla radice quadrata delle forze di tensione e non direttamente proporzionali alla tensione dei pesi o delle corde. Ma non per questo si deve giudicare l’intero racconto come una fandonia e negare a Pitagora la paternità della scoperta. Si può attribuire al filosofo samio, con molta pro- 3 Zeller-Mondolfo, op. cit., p. 685. + Zeller-Mondolfo, op. cit., p. 505, n. 2. Di parere contrario si mostra V. Capparelli, La sapienza di Pitagora, Padova 1944, vol. II, pp. 626627, che, pur essendo consapevole dell'enorme errore, crede che le ricerche con i pesi tensori siano state realmente effettuate nella cerchia pitagorica. 5 Cfr. GS. Kirk, JE. Raven, The Presocratics Philosophers, Cambridge 1957, p. 230, n. 1; W. Burkert, Weisheit und Wissenschaft: Studien zu Pythagoras Philolaos, und Platon, Nürnberg 1962, translated by EL. Minar, Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, Harvard 1972, p. 375. 6 Jambl. V.P. 63-64; quest'ultimo passo è stato considerato da A. Rostagni, Scritti minori, Torino 1956, p. 135, come abbastanza degno di fede e dunque riconducibile a Pitagora. Cfr. ancora Iambl. V.P. 163-166 (58 D.K. BI). 7 La concezione mistica della musica tra i pitagorici è affermata da P.M. Schuhl, Essai sur la formation de la pensée grecque, Paris 1934, pp. 251-252, il quale si mostra convinto che la musica facilita il ricordo delle vite anteriori e serve per attirare nuovi adepti; lo studioso afferma inoltre che questa concezione risente della forte influenza orfica. Sugli scopi educativi della musica cfr. H.I. Marrou, Storia dell'educazione nell'antichità, Roma 1950 (trad. it. U. Massi), p. 39 ss.; Jaeger, Paideia (La formazione dell'uomo greco), trad. it. L. Emery, Firenze 1950, vol. I, p. 193, Sulla musica intesa come Katharsis e pharmakon, cfr. anche W. Tatarkiewicz, Storia dell’estetica, Torino, 1979, (trad. it. G. Fubini), vol. I, pp. 111-114.

rarsi come l’eterodosso discepolo che contribuì a fare ulteriormente progredire, attraverso prove empiriche, le ricerche scientifiche in campo musicale. Ad Ippaso viene infatti attribuito il progetto e la costruzione di quattro dischi di bronzo con uguale diametro ma con spessore diverso. Lo spessore del primo disco era una volta e un terzo quello del secondo, una volta e mezzo quello del terzo, due volte quello del quarto. Percuotendo questi dischi si otteneva una sorta di sinfonia musicale (symphonían tind), I dischi furono poi utilizzati da Glauco di Reggio, il quale aveva notato che essi producevano suoni melodici (phthdngous) *. Si sarebbe dunque giunti a scoprire empiricamente che le vibrazioni sonore potevano essere misurate matematicamente e che i valori numerici dei rapporti stabiliti tra i differenti spessori sono i valori dei rapporti fondamentali che attuano la traduzione dei suoni in numeri. 1 rapporti scoperti sono il rapporto epitrito (4: 3 ovvero | + 1/3), il rapporto emiolio (3 : 2 ovvero 1 + 1/2) e il rapporto doppio, che esprime il rapporto numerico dell'ottava (2: 1). Questa chiara testimonianza, che per altro conferma l'uso di strumenti musicali originari dell'Oriente in Grecia ?, attribuisce dunque ad Ippaso un corretto esperimento da un punto di vista fisico", e non si comprende perché Van der Waerden " affermi che questo esperimento è « completamente assurdo ». Non si comprende neanche perché Philip ” $ 18 DK. B12. Y C. Sachs, Storia degli strumenti musicali, Milano 1980, (tit. or. The History of Musical Instruments), trad. it. M. Papini, pp. 142-172, dove ci viene detto anche che nessuno strumento musicale nacque in Grecia e in particolar modo si deve parlare di origine asiatica per i dischi metallici che vengono ancor oggi utilizzati nei templi indiani, Burkert, op. cit, p. 377, " B.L, van der Waerden, ‘ Die Harmonielchre der Pythagoreer ’, Hermes, (78), 1943, p. 173, JA, Philip, Pythagoras and Early Pythagoreanism, Toronto 1966 pp. 131-132, | Musica e numero da Ippaso ad Archita 141 dichiari che questa narrazione deve essere considerata come una presentazione degli esperimenti del solo Glauco di Reggio, studioso di musica, tra l’altro contemporaneo più giovane di Democrito *. La tradizione che riporta ad Ippaso è certamente derivante da Aristosseno, ma non si può affermare, come fa questo studioso, che vuole solo essere un ulteriore contributo alla formazione e diffusione di leggende pitagoriche, perché Aristosseno, sebbene molto parziale in qualità di biografo di Pitagora, era certamente molto informato sulle dottrine pitagoriche ed in modo particolare sulle dottrine musicali “. La testimonianza è molto chiara e precisa, e inoltre possediamo ancora un’altra testimonianza che ci riporta un diverso esperimento di Ippaso. Teone di Smirne ci narra infatti che Laso di Ermione e la scuola di Ippaso condussero ricerche scientifiche per ottenere le consonanze musicali. Il passo di Teone è purtroppo giunto lacunoso, per cui è meglio considerarlo testualmente: « Laso d’Ermione, come si racconta, e la scuola di Ippaso Metapontino, uomo pitagorico, seguirono il criterio della varia velocità e lentezza delle vibrazioni, da cui risultano le consonanze [....]. Ritenendo (heghotimenos) che tali rapporti si trovino nei numeri, prese dei vasi. Presili uguali di capacità e di forma, ne lasciava uno vuoto, un altro lo riempiva d’acqua per metà, e percotendoli ambedue, otteneva l’accordo di ottava; poi di nuovo, lasciatone uno vuoto, riempiva dell’altro la quarta parte, e percotendoli otteneva l'accordo di quarta; infine otteneva quello di quinta quando di uno riempiva la terza parte. Così il vuoto del primo vaso stava al vuoto del secondo 13 Su Glauco di Reggio, si veda E. Hiller, ‘ Die Fragmente des Glaukos von Rhegion', Rheinisches Museum, (41), 1886, pp. 398-436, 4 Per Aristosseno si veda L. Laloy, Aristoxéne de Tarente, disciple d’Aristote, et la musique de l'antiquité, Paris 1904; Aristoxeni Elementa harmonica, ed, R. Da Rios, Roma 1954; cfr. S. Mazzarino, Il pensiero storico classico, Bari 1966, pp. 96-99; A. Momigliano, Lo sviluppo della biografia greca, (trad. it. G. Donini), Torino 1974, pp. 77-80.

143 come 2: 1 nella consonanza di ottava, come 3: 2 nella connato di musica: era un accostamento diffuso nell’ambiente sonanza di quinta, come 4 : 3 nella consonanza di quarta » *, La testimonianza di Teone prosegue dunque con un verbo al singolare, e cid ha suscitato innumerevoli discussioni riguardo all’autore dell'esperimento che ha permesso di miperipatetico, ideato da Aristosseno, il quale aveva notato anasurare numericamente i rapporti armonici *. di fondamentale importanza per comprendere le Prime teorie Non deve meravigliarci il fatto che Laso d’ Ermion e, visuto intorno al 500 a.C. e che soggiornò a lungo presso logie notevoli tra le teorie acustiche di Laso e quelle propugnate dagli allievi di Ippaso ”. | Sulla base del solo passo di Teone, che risulta essere pitagoriche e i procedimenti sperimentali relativi alla scienza acustica, non si pud, a mio parere, ritenere Ippaso un puro teorico e attribuire al solo Laso la paternitä di questo espela corte dei Pisistratidi, dove smascherd Onomacrito che forgiava falsi « oracoli di Museo » ”, sia citato qui assieme ad Ippaso. Sebbene Laso sia stato uno dei primi autori di storia della musica, non fu mai detto pitagorico ®, e l’acco- Tannery, probabilmente ad Atene si usassero, nei teatri, dei stamento tra Laso e il più importante pitagorico del tempo vasi risonanti *. si spiega chiaramente, come afferma Privitera nel suo Non si può categoricamente affermare che Ippaso non abbia mai effettuato esperimenti acustici. Infatti questo pitagorico ribelle che venne espulso dalla comunità >, questo pregevole studio su questo spregiudicato intellettuale appassio- 15 18 DK. B13. Trad. it. M. Timpanaro Cardini. Pitagorici, testimonianze € frammenti, Firenze 1958-1964. 16 E. Frank (Plato und die sogenannten Pythagoreer, Halle 1923, p. 160), basandosi sul fatto che a Laso si attribuisce la teoria secondo la quale l'altezza del tono non è determinabile numericamente perché possiede estensione, sbrigativamente dichiara che Laso è un puro empirico che non ha mai elaborato una teoria matematica relativa alla musica; Van der Waerden, art. cit., p. 165, afferma che i primi pitagorici non hanno mai effettuato esperimenti, ma a p. 180 attribuisce ad Ippaso la prova con i vasi sinfoni; F. Lasserre (Plutarque, De la musique, texte, traduction, commentaire, précédés d'une étude sur Veducation musicale dans la Grèce antique, Lausanne 1954, pp. 35-36) si dichiara convinto che l'esperimento con i vasi risonanti è stato condotto da Ippaso, e che a Laso si può invece attribuire un diverso esperimento non rramandatoci perché contenuto nella lacuna; G.A. Privitera (Laso d’Ermione nella cultura ateniese e nella tradizione del suo tempo, Roma 1965, pp. 71-73) ritiene che l'esperienza narrataci da Teone sia stata effettuata da Laso, in base al fatto che altre testimonianze in cui si ritrova questo esperimento lo attribuiscono al solo Laso. 17 Cfr. Privitera, ap. cit., p. 45ss. Sul famoso episodio narratoci da Herodot, VII, 6 riguardante Onomacrito che falsifica oracoli per fini politici, si veda Mazzarino, op. cit., vol. I, pp. 33-37. 18 Philip, op. cit., p. 131, n. 1. rimento empirico. Forse anche Laso ha compiuto questo esperimento e ciò potrebbe farci supporre che, come afferma dissidente, io credo, non poteva accettare senza discutere i dogmi imposti dal maestro. Egli fu molto probabilmente, un ricercatore sperimentale, non solo perché ciò è suggerito dalle testimonianze prese in esame, ma anche perché forse avvertiva l’esigenza di sperimentare e verificare praticamente ciò che Pitagora poneva come principi teorici, e se si ritiene Pitagora colui che per primo ha scoperto la legge per cui le consonanze si possono esprimere tramite rapporti numerici, io credo che bisogna ritenere Ippaso come il pitagorico che intraprese la verifica sperimentale di questa legge. Si può comprendere che Ippaso si è allontanato dalle rigide imposizioni dottrinali di Pitagora anche grazie ad un’altra testimonianza che concerne l’ordine di disposizione degli intervalli musicali. Infatti si legge nella tarda testimo19 Privitera, op. cit., p. 45, n. 2. 2 P, Tannery, | | ‘A propos des fragments philolaiques sur la musique”, Revue de pbilologie, (28), 1904, p. 248. un 21 18 DK. A4. Che Ippaso fosse un matematico dissidente, e non già il capo della setta degli « acusmatici », & un'ipotesi di B.L. van der Waerden, art. cit., p. 180ss., che condivido pienamente.

nianza di Boezio”? che Eubulide ed Ippaso stabilirono un diverso ordine delle consonanze rispetto ad altri pitagorici. Essi affermarono che gli aumenti del rapporto multiplo rispondono, secondo un ordine costante, ad una diminuzione che è il seguente: ottava, ottava e quinta, doppia ottava, quinta, quarta *. Ma in questa disputa teorica ciò che è importante notare è il riconoscimento e conseguente accoglimento della teoria concernente questi intervalli come sinfoni, ovvero con+1 del rapporto epimorio o superparticularis (= 145 ). n Cosi non ci puö essere il doppio senza metä, né il triplo senza la terza parte. Se c’è il doppio si ottiene l’accordo di diapason o di ottava (2: 1), se c'è la metà si ortiene l'accordo di diapente o di quinta (3 : 2). Mescolati i rapporti di ottava e di quinta si ottiene il rapporto triplo che contiene entrambe le consonanze (2/1 - 3/2 = 3/1). me consonanze ottenute da due suoni che echeggiano insieme e che insieme giungono armonicamente all'orecchio ~. u La passione per la matematica applicata alla musica ci è rivelata, per Ippaso, da una tarda testimonianza di Giamblico ®. Si narra infatti che Ippaso è stato il primo pitagorico a designare come harmonica quella medietà proporzionale prima chiamata « subcontraria » perché inversa alla media proporzionale aritmetica. Probabilmente fu detta harmonica affinché fosse più chiaro il suo valore e significato per le Invertendo i termini del rapporto triplo si ottiene la terza parte da cui risulta, come rapporto epimorio, l'accordo teorie musicali. Inoltre il termine Aarmonia è fondamentale di diatessaron o di quarta (4 : 3). Uniti il rapporto triplo e la quartasi , ottiene il rapporto quadruplo (3/1 - 4/3 = 4/1); frammenti di Filolao. Harmonia è una parola che ha subìto una notevole evoluzione semantica. Il primordiale significato di « adattamento, connessione, giusta rispondenza delle parti così avviene che dal congiungimento di ottava e quinta con la Quarta scaturisce un solo accordo, che, essendo un rapporto quadruplo, prende il nome di bis diapason o di doppia ottava. L’ordine delle consonanze sarà dunque: ottava, quinta, ottava e quinta, quarta, doppia ottava. Lo stesso Boezio ci ha tramandato il diverso ordine seguito da altri pitagorici, nel lessico delle filosofie pitagoriche, come si vede anche nei al tutto » si ritrova in Omero (Od. V, 248; V, 361) e in Erodoto (11,96) ed è utilizzato per significare il saldare le connessure tra i tronchi di una zattera o di una imbarcazione. Il termine ha poi acquistato una significazione più ampia, al punto di assurgere, nelle filosofie pitagoriche, al ruolo di key word *. Filolao, nella metà del V secolo, la 2 18 DK. B14. Questa testimonianza è stata giudicata da P. Tannery ( Un traité grec d'arithmétique ', Bibliotheca Mathematica [s. III, 6], 1905, 3 Boeth. De inst. mus., 11, 18. % BL. van der Waerden, art. cit., p. 166. p. 225) come del tutto priva d'interesse. Eubulide pitagorico, qui menzionato, fa parte di un gruppo dì scrittori che sono considerati in 14 DK. 8 come coloro che conservarono la tradizione secondo la quale le reincarnazioni di Pitagora avvenivano ogni 216 anni, Il fatto che Questo gruppo di scrittori sin stato considerato con sospetto anche da I. Lévy, Recherches sur les sources de la légende de Pythagore, Paris 1926, p. 68, indurebbe a ritenere che Tannery abbia espresso un giudizio imparziale ed esatto, Ma Boezio attinge a fonti disparatissime, per cui non possiamo sottovalutare l'importanza ed il valore storico di questa diversa disposizi musicali. Si veda Capparelli, op. cit., pp. 679-683. one degli accordi 3 18 DK. B15. Sul valore di questa testimonianza, sebbene tarda, si veda P. Tannery, ‘Un traité” cit., p. 225; Timpanaro Cardini, op. cit., Greek Philosophy, vol. 1, The 7 a VKC. Guthrie, A History ,ofCambridge 1962, p. 220. Sul conl. i 10 Earliest Presocratics and Pythagoreans cetto di harmonia, sulla evoluzione linguistica del termine, si veda ZellerMondolfo, op. cit., pp. 664-669; A. Maddalena, I Pitagorici, Bari 1954, p. 20, n. 28, che si contrappone alle tesi di Zeller; ancora cfr. Philip, op. cit.,

147 utilizza spesso per indicare la conciliazione e la mescolanza degli opposti. Indicativi sono a riguardo l’autorevole testimonianza di Aristotele ”, in cui l’anima è definita harmonia perché & mescolanza di contrari, e il famoso frammento 10 di Filolao in cui ci viene detto che: « harmonia nasce esclusivamente da contrari; perché harmonia à unificazione di plurimescolati elementi e consenso di dissenzienti » *. La tradizione inoltre ci narra che, seguendo le considerazioni di Filolao, la medieta harmonica è così appellata perché accompagna l’armonia geometrica ”. Ancora, harmonia di’oxeiän); la quinta & maggiore della quarta di un tono (epogdóoi). Infatti dalla corda pit alta (apd hypätas) alla si ritrova nel frammento D.K. 44 B 1, intesa, stavolta, come composizione di contrari, accordo di limitato e illimitato. Ma mitono minore » ?. il frammento che ci presenta interamente il variegato significato del termine è il discusso frammento B 6, che è opportuno citare qui interamente: « Intorno a natura e ad armonia le cose stanno così: la sostanza delle cose, che è eterna, e la natura stessa, richiedono una conoscenza divina, non umana; oltre che poi sarebbe impossibile che alcuna delle cose esistenti diventasse da noi conosciuta, se non avesse a fondamento la sostanza delle cose che formano il cosmo, cioè delle interminanti e delle terminate. Ma poiché i princìpi erano essenzialmente non simili fra loro né omogenei, sarebbe stato impossibile creare con essi un cosmo, se non fosse intervenuta armonia, comunque ella abbia avuto origine. E certo, le cose simili ed omogenee non avrebbero avuto alcun bisogno di armonia; bensì le dissimili e le eterogence o di serie diversa hanno bisogno di essere collegate da un tal genere di armonia per la quale possono restare nel cosmo. — La grandezza armonica è formata dagli intervalli di quarta e di quinta (harmonias de méghethds esti syllabà kai | 7 44 DK. A 23. Sul concetto dell'anima come armonia nella filosofia pitagorica si legga il celebre passo di Platone, Phaed. 61 de. 2 44 D.K. B10. Trad. it. Timpanaro Cardini, op. cit., vol. II, p. 216. 3 44 DK. A 24. media (ep? méssan) c'è una quarta; dalla media alPultima (epi nedtan) c'è una quinta; poi dall’ultima alla terza (es tritan) c'è una quarta e dalla terza alla più alta, una quinta. L'intervallo tra media e terza è di un tono. La quarta è espressa dal rapporto epitrito (4 : 3), la quinta dall’emiolio (3 : 2), l'ottava dal doppio (2: 1). Così la scala armonica comprende cinque toni e due semitoni minori; la quinta, tre toni e un semitono minore; la quarta, due toni e un se- Qui, armonia presenta diversi significati, alcuni tipici delle dottrine pitagoriche, altri specifici delle teorie musicali. Ma questa diversificazione del significato nell’ambito del testo, tramandatoci da Stobeo, non è un elemento tale da farci ritenere inautentico tutto il frammento. Piuttosto, si può pensare che il passo in questione non è pervenuto integralmente *. Questo frammento è stato infatti ritenuto non sospetto, considerato isolatamente rispetto ad altre testimonianze vertenti sulla musica attribuite a Filolao, anche dal pit acuto sostenitore della tesi che propende per l’inautenticità complessiva dei frammenti filolaici, Paul Tannery *, il quale nota la mancanza di legame tra la prima e la seconda parte del 3% 44 DK. B6. Trad. it. Timpanaro Cardini, op. cit., vol. II, p. 202-212. 3 Timpanaro Cardini, op. cit., vol. II, p. 207. 2 Tannery, ‘A’ propös” cit., pp. 233-249. L'inautenticitá del frammento 6 è stata sostenuta anche da Frank, op. cit., pp. 264-278, il quale è convinto di poter scorgere nella terminologia qui utilizzata chiari indizi che fanno presumere una evidente falsificazione claborata in ambienti accademici; ma questa tesi è stata brillantemente confutata da R. Mondolfo, in Zeller-Mondolfo, op. cit., pp. 372-382. Di questa chiara confutazione si vuole ricordare l’analisi del termine syllabé, che Frank considera creato da Democrito: Mondolfo invece afferma che a questa teoria «contrasta, se non altro, il fatto che in Metapb. 1093a [...] la similitudine pare attribuita ai Pitagorici e che già in Hipp. maior 285b lo studio abbinato di lettere-sillabe e ritmi-armonie è messo da Socrate in gruppo con quelli

testo, e anche l’uso ambiguo del termine aritmetico epogdoon che qui invece designa la differenza tra quinta e quarta, il tono. Anzi per questo studioso è possibile riconoscere in questo frammento una teoria musicale in auge ai tempi di Filolao. Nella seconda parte, che è quella che più ci interessa, viene usata una particolare terminologia musicale: l'accordo di quarta è detto syllabá, che significa l’afferrare insieme. La quarta, infatti, è l'accordo che scaturisce da due corde insieme pizzicate e fatte insieme vibrare; la quinta è detta oxeia perché è l'accordo che deriva dal prolungarsi della quarta verso le note più acute. Infine l’ottava è detta barmonia perché è l'accordo risultante dalla mescolanza di quinta e quarta *. Successivamente si preferì seguire una diversa terminologia tecnica: lo pseudo-Aristotele ci informa che i termini primitivi furono sostituiti con altri che ponevano l’accento sul numero delle corde utilizzate per produrre gli accordi *. Ci viene poi presentato un particolare schema armonico in cui le corde vengono designate con un proprio nome: l’bypate che è la corda più lunga e che produce il suono più basso; la mese così detta perché era l’antica corda media nella scala eptacorda; la mete è il nome della corda nuova, l’ultima corda che produceva il suono più alto; la frite è la terza corda in ordine discendente Y. Secondo Tannery *, qui trite è usata nel senso di parazzese. Vi manca una corda mobile tra paramese e mete. Se conoscessimo il posto da assegnare alla paranete, come d’altronde fa Nicomaco, potrem- Musica e numero da Ippaso ad Archita 149 mo parlare di scala diatonica o scala enarmonica. Ma la questione rimane irrisolta, per cui lo studioso afferma che la paranete o corda mobile pud assumere diverse posizioni; inoltre, l’uso di un tetracordo appartenente alla scala eptacorda è un fatto singolare ai tempi di Filolao, in cui Pottocordo aveva raggiunto la massima diffusione. Il falsario ha voluto un po’ troppo arcaicizzare sostituendo /rife a paramese: ma io credo che abbia ragione Burkert ” quando afferma che un abile falsificatore non avrebbe mai usato un termine che suscitasse tanta diffidenza. E’ probabile invece che l’uso del termine trite stia ad indicare l’esistenza di una antica, dimenticata scala eptacorda difettiva, che aveva l’estensione di un’ottava a cui mancasse una corda. Il tetracordo presentatoci da Stobeo non è rappresentato, come solitamente avviene, da numeri. Ma Filolao si dedicò con particolare interesse allo studio delle teorie matematiche sulla musica. Si può citare la controversa testimonianza di Boezio * dove ci viene esposta (o perlomeno si tenta) una dimostrazione del modo in cui ha operato Filolao per giungere alla definizione aritmetica che fissa il valore numerico del diesis, dell’apotome, del comma. E” però stato giustamente affermato da Tannery” che l'assurdità matematica presente in questa testimonianza è talmente evidente che non ha bisogno di essere messa in luce. Il passo è frutto di 37 Burkert, op. cit., pp. 391-393. Sui sistemi musicali greci, in particolar modo sui tetracordi, figura base della musica greca, cfr. Del Grande, op. cit., pp. 404-409, in cui ci viene presentato uno schema completo dei tetracordi congiunti e disgiunti e dei sistemi musicali con le relative definizioni. Si veda anche Storia della musica, vol. I, Musica antica ed orientale, dell'astronomia, della geometria e dell’aritmetica, particolarmente caratteristici del pitagorismo » (ivi, p. 373). 3 Cfr. tra gli altri Burkert, op. cit., p. 390, H Ps, Aristot. Problemata, XIX, 32. 35 €, Del Grande, Lu metrica greca, Enciclopedia Classica, vol. V, Tomo Il, Torino 1960, p. 406. Sulla differenza tra scala musicale eptacorda e scala ottocorda, si veda C. von Jan, op. eit., p. 81, n, 14, % Tannery, * Á propos‘ cit., pp. 246-247. cap. IX, L'antica musica greca, di 1. Henderson, Milano 1962, (trad. it. G. Tintori), pp. 377-448. Sull’accordatura della lira si veda Sachs, op. cit., pp. 147-151; e per contro R.P. Winnington-Ingram, ‘ The Pentatonic Tuning of the Greek Lyre’, Classical Quarterly, ns. IV, 1956, pp. 169-186, che non accetta la teoria avanzata da Sachs, il quale proponeva l’ipotesi di una accordatura fissa pentatonica. 3 44 DK. À 26. 39 Tannery, art. cit., p. 235.

una mescolanza di enormi errori e di assurdi matematici. È dunque, a mio parere, impresa ardua il cercare di afferrare il senso logico ad esso sotteso, perché immediatamente si nota una sovrapposizione di svariate spiegazioni. Boezio, infatti, afferma che Filolao sceglie come generatore di tono il numero 27 perché è il cubo del primo numero dispari, considerato honorabile. Vi è dunque un accenno alle teorie mistiche sul valore e significato del numero, teorie certo molto antiche, ma che maggiormente si diffusero negli ambienti neopitagorici caratterizzati da ideali misticheggianti *. Boezio poi ci dice che il rapporto 27: 24 forma l'intervallo di un tono, perché da esso scaturisce il rapporto 9 : 8 che è quello canonico, e questa scelta può essere ritenuta, a mio parere, una scelta propria di Filolao. Segue poi un’altra spiegazione che rende la testimonianza incomprensibile: egli usa dapprima il verbo disto che sta ad indicare l'intervallo espresso da un 151 mente, ad un rapporto numerico espresso per quoziente; si conosce inoltre una tradizione * che attribuisce alla scuola di Eratostene e a Filolao l’uso del termine hyperoché, che designava gli intervalli musicali perché intesi come eccedenza aritmetica. La confusione appare evidente. Segue poi una terza chiarificazione che confonde ancor più le cose: Boezio fa dividere a Filolao il numero 27 in due parti, in apotome, che qui ha il significato di semitono maggiore, e in diesis, semitono minore. La differenza numerica tra essi è espressa dal comma, che in realtà è la misura di quanto il tono supera due semitoni maggiori *. Il « disordine numerico » appare ancora più evidente quando ci viene detto che il diesis è espresso dal numero 13, che non solo è il risultato della divisione in due parti di 27, ma è anche il risultato della sottrazione avvenuta tra 256 e 243 e dell’addizione 9+3+-1, numeri che possiedono quoziente, poi utilizza il termine differentia che sta ad indicare l’intervallo risultante da una sottrazione. Qui Boezio, un particolare significato aritmogeometrico. Anche la scelta del 27 possiede un’altra spiegazione: questo numero è anche io credo, ha mal tradotto la fonte, o la fonte stessa era estremamente confusa. Bisogna infatti ricordare che tra i primi la differentia tra 216 e 243, numeri che, posti in rapporto pitagorici si utilizzava il termine didstema, che nella sua tra loro, distano un tono ( lunga storia semantica * aveva anche acquistato il significato di intervallo musicale tra due toni, dovuto, aritmetica- 243 9 : — in base a 243 — 216 = 216 8 | 27). Il valore storico di questa testimonianza, nelle dottrine musicali, ci & dato solo dall’accenno alla teoria della divisione # Sul misticismo dei numeri e in particolar modo sull'idealizzazione della Tetractys, perfetta e sacra combinazione numerica, si veda A. Delatte, Etudes sur la littérature pythagoricienne, Paris 1915; P. Kucharski, Etudes 2 44 D.K. A 25. Giustamente, M. Timpanaro Cardini, op. cit., p. 185, afferma che: «non è improbabile l’uso promiscuo di byperoche» e risur la doctrine pythagoricienne de la Tétrade, Paris 1952; sul ritorno e difchiama l'attenzione su un passo di Atenagora (46 D.K. A4), che segue fusione della mistica numerica tra i neopitagorici: E. Enriques, Les matequello ben più famoso, attribuito a Filolao, dove è affermato che Filolao credeva che tutte le cose sono state racchiuse da Dio en phrourd (44 DK. B15). Nel frammento sopra menzionato ci sono date, attribuite a due oscuri matiche nella storia e nella cultura, Bologna 1938, pp. 18-20. # Sul significato originale del termine diástema, si veda A. Szabò, 1969, pitagorici, Liside ed Opsimo, le seguenti definizioni di Dio: «uno definisce dio come numero inesprimibile, l’altro come intervallo (byperoché) Passato, XXVI, pp. 119-140; Id., "La teoria pitagorica delle proporzioni ', La Parola del 1971, pp. 81-93, dove l’autore insiste sulla necessità di » (trad. it. tra numero massimo e quello che gli è immediatamente vicino Timpanaro Cardini), Dunque tra i pitagorici del tempo era diffuso l’uso indagare filologicamente nell’ambito della terminologia matematica, indagine che conduce al riconoscimento di una stretta connessione tra matematica di hyperoché per esprimere il concetto di differenza aritmetica. 43 Sui significati esatti di apotome, diesis, comma, si veda Del Grande, e musica, come nel caso del termine diástema. ap. cit., p. 402; Da Rios, op. cit., p. 22, n. 2. Les débuts des mathématiques grecques, (trad. fr. M. Federspiel), Paris 1977, (tit. or. Anfänge der griechischen Mathematik, Budapest

del tono in apotome, diesis, comma, e anche dalla presenza del rapporto numerico 256 : 243, rapporto che ritroveremo in Archita *. Gli errori matematici possono essere attribuiti Timeo, afferma che i pitagorici rinunciarono alla divisione del tono in parti uguali e dichiara che questo fu sempre tentato senza alcun dubbio alla fonte neopitagorica a cui probabilmente ha attinto Boezio. Infatti è impossibile attribuire a tanti contro cui si scagliava Platone *, rappresentati con dagli armonici”, i quali si possono identificare in quei diletrie sui numeri irrazionali, dato che bisognava applicare il teol'orecchio alla cetra, speranzosi (ma vanamente) di percepire intervalli piccolissimi da ridurre a termini numerici comuni *. Se in questa testimonianza di Boezio è possibile dunque scorgere un qualche valore storico, un altro passo dello rema della divisione reciproca, il cui risultato dimostra come stesso Boezio non possiede alcun significato. Quest'ultimo, numeri primi i termini minimi avendo sempre come resto di solito, è letto in connessione con il frammento tramandatoci da Stobeo, sulla divisione e definizione degli intervalli, privo, però, di ogni valore numerico *. Secondo Boezio, Filolao avrebbe definito il diesis come l’intervallo per cui la quarta è superiore a due toni; il comma Filolao il tentativo di dividere il tono in due numeri interi, perché egli doveva essere a conoscenza di avanzatissime teol’unità *. Plutarco, nel commentare la scala musicale del # E il giusto convincimento di P. Tannery, art, cit, p. 246. A pro: posito di questa op. cit., pp. testimonianza, si 58-63, essa è un non vuole ricordare che anche senso, ma la confusione per Laloy, numerica è attribuita allo stesso Filolao, il quale non avrebbe compreso l'impossibilità di applicare esatti ragionamenti matematici alla scienza acustica. La confusione è, a suo parere, dovuta al voler applicare procedimenti aritmetici di misurazione, in luogo di procedimenti di costruzione numerica. Inoltre Frank, op. cit., p. 269, ritiene spuria la testimonianza perché vi nota una strettissima somiglianza con una teoria riportatatici nel fr. 4 Lang di Speusippo, con la spiegazione della scelta del numero 13. Ma Boezio ci dice che essa nasce dal fatto che 13 è il risultato dell'addizione tra 1 che sta ad indicare il punto, 3 che rappresenta Ja prima linea dispari e 9 che rappresenta il primo quadrato dispari; Speusippo invece parla della decade dove il numero 1 è identificato con il punto, il 2 con la linca, il 3 con il triangolo, il 4 con la piramide: lo scolarca, successore immediato di Platone, dunque, pur subendo l'influenza di dottrine filolaiche, non può essere considerato come colui al quale si rifà il «falso» presentatoci da Boezio. Sulla rielaborazione della antica dottrina pitagorica della Tetraktys negli ambienti accademici cfr. Speusippo, Frammenti, Edizioni, traduzione e commento a cura di M. Isnardi Parente, 45 Cfr. Burkert, op. cit., p. 389, % Procl. in Tim, 11 p. 189, 18 Diehl: come l'intervallo per cui il tono è superiore a due diesis; lo schisma è definito la meta del comma; mentre il diaschisma è la definizione della metà del diesis. Ma tutti questi termini presuppongono che Filolao conoscesse le seguenti formule, come giustamente nota Maddalena”: metà del tono: V9/8; meta del comma: V 9/8 : 256/ 243; metà del diesis: \ 256/243. Inoltre la terminologia musicale usata presupderivano manifestamente da Filolao; la scala musicale di Platone è più estesa, ma non dà l'intervallo dell’apotome » (Trad. it. M. Timpanaro 4 Pos de an. procr. in Tim. c. 17, p. 1020 E: «Uno degli intervalli & quello chiamato tono, la cui misura esprime di quanto il diapente è maggiore del diatessaron. Gli Armonici ritengono di riuscire 368-377; a dividerlo a metà e di farne due intervalli che chiamano ambedue semitoni. «Come abbiamo detto, dopo e delle due parti disuguali chiamarono la minore «leimma» (« resto »), perché resta al disotto della metá» (trad. it. M. Timpanaro Cardini). Napoli 1980, pp. P. Kucharski, op. cit., p. 22. il leimma per arrivare al tono resta l’apotome [...] che il rapporto dell’apotome espresso in quei numeri (2187, 2048) sia radicale, è evidente; si dimostra infatti che il 2187 e il 2048 sono primi fra loro, risultando primi i 153 termini minimi (28: 9) ottenuti applicando il teorema della divisione reciproca. La maggior parte dei termini (degli intervalli) scritti nel Timeo Ma i Pitagorici riconobbero impossibile la divisione in due parti uguali 48 Plat. Resp. 530 E-531 D. # Sugli armonici e le loro teorie musicali cfr. Henderson, op. ct, pp. 383-384. 5 44 DK. B6a. 51 Maddalena, op. cit., p.

pone, da parte di Filolao, la perfetta conoscenza dei generi musicali ideati posteriormente da Archita *. tre Le testimonianze e i frammenti relativi alle dottrine musicali sono, come si è visto, poco chiari e sono stati oggetto di controversia; ma si può affermare con relativa sicurezza che in Filolao gli interessi musicali siano stati preminenti e sempre collegati alle ricerche matematiche. Il nesso tra musica e numero ci viene testimoniato da uno stupendo passo citato da Stobeo *, che ci permette di comprendere come Filolao credesse che solo con l’applicazione delle operazioni matematiche la musica può diventare veramente scienza: « Né solo nei fatti demonici e divini tu puoi vedere la natura del numero e la sua potenza dominatrice, ma anche in tutte, e sempre, le opere e parole umane, sia che riguardino le attività tecniche in generale, sia propriamente la musica. Nes- 155 da Porfirio, in cui Archita mostra di essere stato, come ben dice De Santillana, «uno di quei geni dall’incedere lento [...] inabili ad esporre il proprio pensiero, ma dal passo infallibilmente sicuro nel progredire verso la meta prefissa >”. E infatti Archita esordisce elogiando i precedenti studiosi di scienze matematiche, i quali hanno elaborato chiare nozioni riguardo l’astronomia, la geometria, l’aritmetica, la musica. Queste quattro scienze, egli ci dice, sono simili a sorelle (dokoünti émen adelpheá) perché tutte studiano le due forme prime dell'essere, che sono anch'esse sorelle *. Dopo tale preludio laudatorio, Archita inizia ad esporre una teoria concernente l'origine del suono: egli accetta come presupposto veritiero l’antica, ovvia osservazione secondo la quale il rumore è generato da un urto di corpi tra loro, urti che sono prodotti quando si incontrano corpi in movimento. Archita monia; il falso nulla ha in comune con esse ». chiarisce che gli urti di corpi in movimento avvengono in due modi, e cioè sia quando si incontrano corpi provenienti da Le teorie musicali pitagoriche furono però arricchite e sviluppate, nel corso del IV secolo, da Archita. Il saggio ed provenendo dalla medesima direzione, hanno velocità diversa, suna menzogna accoglie in sé la natura del numero, né Paropposte direzioni, sia quando si incontrano corpi che, pur umanitario signore di Taranto, il generoso ospite di Platone, per cui si produce il rumore solo quando il corpo più veloce tenta infatti di porre un solido fondamento matematico alle raggiunge quello meno veloce ”. dottrine musicali e concepisce inoltre, sulla scia dei risultati raggiunti da precedenti teorici, nuove ed originali reorie. Lo speciale interesse da lui dimostrato verso la musica lo induce ad elaborare, per primo, la teoria acustica sull’origine del | Il Tarantino mostra poi di conoscere il fatto che l’apparato uditivo ha una sensibilità diversa per le diverse frequenze dei suoni; egli conosce dunque l’esistenza di una « soglia di udibilità », oltrepassata la quale non si percepisuono, inteso come movimento *. Di fondamentale importanza risulta essere, per lo sviluppo della scienza acustica, il frammento B1 tramandatoci u trad. it. G. De Angelis, p. 83. $ Le due forme originarie dell'essere sono identificate da Iambl. In Nicom. p. 6, 20 Pist., nel numero e nella grandezza. Cfr. Burkert, op. cit., p. 380, n. 46, che tra l’altro crede sospetto il frammento a causa del ter- 2 Cfr. Tannery, art. cit., p. 235. 3 44 DK. B11, La traduzione è di M. Timpanaro Cardini, 4 Che Archita sia stato il primo teorico del suono inteso come movimento, è ammesso dalla maggior parte degli studiosi. Cfr. tra le tante opinioni quella di Burkert, op. cit., p. 386. Lasserre, op. cit., pp. 35-36, afferma invece che Archita è debitore di una più antica concezione sulla propagazione del suono, che riunisce in 35 G. De Santillana, Le origini del pensiero scientifico, Firenze 1966, sé le piezza, concezione risalente a Laso d'Ermione. nozioni di velocità e ammine mathemata. In senso contrario M. Timpanaro Cardini, op. cit., vol. Il, p. 361, in cui si afferma che esso si riferisce alle quattro scienze citate da Archita. Guthrie, op. cit., p. 335, n. 3, dopo aver citato le diverse opinioni non si pronuncia a riguardo. 57 A. Olivieri, Civiltà greca nell'Italia Meridionale, Napoli 1931, p. 74, ci offre una graziosa riproduzione grafica dei due diversi urti che provocano rumore.

scono più suoni, Vi è, in Archita, l’intuizione delle condizioni fisiche e fisiologiche che consentono di ricevere la percezione sonora. Archita infatti afferma che la natura umana non riesce a percepire alcuni particolari suoni, e ciò a causa della debolezza dell'urto (dia tán asthéneian tas plagäs), della grande distanza che li separa da noi (dia to mäkos tas aph'amôn apostásios) e a causa dell'eccessiva intensità (dia tán hyperbolán toti meghétheos). Per quest'ultimo caso si è parlato di una relazione con la teoria dell'armonia delle sfere $, ma qui, probabilmente, Archita si è semplicemente posto il problema della distanza della sorgente sonora. Si afferma poi che non riescono i suoni troppo grandi a penetrare nell’orecchio, così come non cola nulla in una vaso dal collo molto stretto quando si tenta di versare in esso una gran massa di liquido. Questa brillante e poetica comparazione non chiarisce però quale sia il concetto di intensità di Archita. Nel frammento segue un passaggio altamente teorico, molto interessante, in cui Archita dichiara che i suoni prodotti da urti rapidi e vigorosi pervengono acuti alla nostra percezione, mentre quelli che giungono gravi sono prodotti da urti lenti e deboli. Viene dunque ripreso il concetto dell’intensità del suono, che stavolta è fatta dipendere dall’energia di emissione. Ma non si distingue il carattere dell'intensità, che determina i suoni deboli e i suoni forti, dall’altezza del suono, da quel carattere cioè per cui i suoni bassi o gravi si distinguono dai suoni alti o acuti. Questa mancata distinzione è evidente negli esempi che Archita porta a riprova della sua teoria. Egli infatti asserisce che, se si agita una verga con un movimento lento e debole, otterremo, con l’urto, un Musica e numero da Ippaso ad Archita 157 brevissima distanza dall'organo ricevente: egli non conosce con precisione quali siano i caratteri che differenziano la percezione del suono. Archita torna poi sul concetto riguardante la distanza della sorgente sonora, perché paragona l’impeto di un lancio di giavellotto con la forza di emissione dell’aria. Egli pensa giustamente che l’aria cede di più rispetto ad una maggiore forza propulsiva, che non assorbe la forza d’urto iniziale che imprime la velocità al giavellotto o alla voce. L’aria dunque è considerata un mezzo elastico di propagazione del suono. Archita ci porta altri esempi: afferma infatti che, se una persona parla con voce forte, essa è udita da lontano, mentre se parla piano non è udita neanche da un ascoltatore vicino. Lo stesso fenomeno avviene anche per i suoni prodotti dagli auloi e dai rbomboi: quando si soffia in un aulos il fiato emesso dai primi fori fuoriesce in maniera più acuta, mentre il fiato emesso dai fori ultimi produce un suono più grave. E’ il movimento più rapido che rende il suono più acuto, mentre il movimento lento produce un suono più grave. Questa affermazione è genialmente innovativa: Archita non crede più che Ja causa del suono sia la distanza delle corde nella lira o la distanza dei fori negli auloi, come si credeva anteriormente. A questa nuova legge obbedisce anche il suono prodotto dai rbomboi, particolari strumenti musicali impiegati nelle cerimonie misteriche. Il rhombos scosso in modo lento produce un suono grave, scosso con forza produce un suono acuto. Inoltre, ci dice ancora Archita, se si soffia in una canna ostruendone la parte inferiore verrà emesso un suono suono grave; se la verga è agitata da un movimento veloce grave, se la canna verrà ostruita nel mezzo il fiato emesso e violento, otterremo un suono acuto. Così accade anche quando si parla o si canta con voce forte ed acuta, perché ne fuoriuscirà in maniera acuta. si emette il fiato con forza. E’ sintomatico che qui Archita non specifica affatto che il suono percepito è prodotto a indebolisce; e questa osservazione ci rivela ancora una volta l’« incapacità » di Archita di distinguere tra intensità e fre- Il soffio che percorre il tratto più lungo facilmente si quenza. La nuova teoria acustica non elimina però la neces38 Olivieri, op. cit., p. 75.

chita è infatti convinto che il movimento del suono deve essere distinto da intervalli (diastematikén einai). Indagando dunque sulla natura del suono, effetto del movimento e del conseguente urto tra corpi, il pitagorico tarantino è naturalmente condotto ad occuparsi delle consonanze musicali, che erano state, in tempi anteriori, definite come prodotti di due suoni che fondendosi giungono contemporaneamente all’orecchio. L’antica teoria dei suoni sinfoni pare confermata anche per Archita, secondo quanto afferma Porfirio ”, che ci dice che Archita dichiarava che nelle consonanze i due suoni sono percepiti dall'orecchio umano come un unico suono. Ma Archita sa bene che i suoni si distinguono in base alla velocità di movimento, e che inoltre le consonanze musicali sono state misurate con i seguenti rapporti numerici: 2: 1 per l’ottava; 3: 2 per la quinta; 4: 3 per la quarta. Se dunque affermasse l'omofonia dei suoni, si contraddirebbe. Alcuni studiosi , per evitare questo problema, credono che Archita sia ricorso ad una teoria fisica che considera il suono sinfono come prodotto da due suoni nati insieme, e che il suono acuto riesca a diminuire la sua velocità sino a divenire simile al più grave e quindi più lento. In questa teoria si presuppone il principio per cui la velocità iniziale del suono più acuto deve diminuire # 47 DK. A 18. Questa particolare interpretazione è stata elaborata da Laloy, op. cit. p. 73-74, sulla base di Plat. Tim. 80 a, e successivamente ripresa da R. Da Rios, op. cit., p. 106-107, che è anche convinta che «questa spiegazione 159 secondo determinati rapporti che sono, in definitiva, quei rapporti che rappresentano i tre principali intervalli. Si percepisce la consonanza come un solo suono, ma la combinazione dei due suoni ci è rivelata dal rapporto numerico che la rappresenta. Senonché questi studiosi non solo attribuiscono ad Archita una teoria chiaramente erronea, come essi stessi sottolineano, ma non tengono in alcun conto una fondamentale testimonianza di Aristotele “ riguardante il fenomeno delle consonanze. Lo Stagirita afferma che coloro che studiano le consonanze sono convinti che i suoni sinfoni sembrano (phainontai) giungere simultaneamente all’orecchio perché l’uomo non è in grado di percepire il brevissimo intervallo di tempo che separa i suoni consonanti. Archita, probabilmente, ha accettato questa teoria (non possediamo dati sicuri per attribuirla a lui personalmente) e quindi può spiegare l’effetto di completa fusione senza ricorrere all’ipotesi di contemporanea produzione del suono, ma ponendo in luce ancora una volta l’aspetto fisiologico della percezione sonora. Sulle consonanze possediamo anche un’altra testimonianza, quella di Teone, che recita testualmente: « Eudosso e Archita ritenevano che le consonanze consistono in rapporti numerici, e anche concordavano nel pensare che tali rapporti sono tra movimenti, e che il movimento veloce dà il suono più acuto in quanto vibra ininterrottamente (pléttousan synechés) e più celermente urta l’aria (okÿteron kentotisan tòn aéra), il lento dà il suono grave in quanto è più tardo » ©. mostra quasi una oscura intuizione della reoria di Helmholtz basata sugli armonici [...] di rapidità di vibrazione doppia, tripla, ecc., che accompagnano i suoni fondamentali e giustamente considera la sensazione della consonanza non coesistente con la percezione distinta dei suoni che la costituiscono; solo questi suoni non si percepiscono prima della consonanza [...] él Aristot. De sensu, 448 A 19: « Quanto a quello che affermano coloro che studiano le consonanze, che cioè i suoni non giungono proprio simultaneamente, ma sembrano, perché ci sfugge l'intervallo di tempo quando sia insensibile, è cosa giusta o no? ». (trad. it. M. Timpanaro Cardini). Che qui vi sia un implicito riferimento alle teorie acustiche di Archita è ma dopo aver percepito questa, la sentiamo composta di essi », Con molta più coerenza e maggior senso storico, Laloy (p. 75) aveva notato che tra Ja teoria proposta da Archita e la teoria elaborata dal fisico ottocentesco vi è ammesso da I. Cherniss, Aristotle's Criticism of Presocratic Philosophy, Baltimore 1935, p. 217, n. 280, e da M. Timpanaro Cardini, op. cit., una sorta di affinità: in entrambi il ragionamento astratto sostituisce i fatti vol. II, p. 330. osservati. 6 47 DK. A 19a (trad. it. M. Timpanaro Cardini).

L’uso dei verbi plésso e kentéo costituisce per la Timpanaro Cardini“ un probabile indizio per attribuire ad Archita un’altra teoria, oltre a quella dataci da Aristotele. Per questa studiosa è probabile che Archita sia giunto a distin- 161 dunque enunciate le definizioni delle tre medietà proporzionali con una terminologia caratteristica dell’antica musica pitagorica ®. In campo musicale le medietà aritmetica e armonica sono facilmente spiegabili se si utilizza, come suggerisce Van guere la velocità di vibrazione da quella di propagazione del suono. Ma è la stessa Cardini a riconoscere che si tratta di una sua ipotesi e non fondata su dati certi; e, per quanto der Waerden *, il classico esempio dell'ottava, indicato d’altronde dalla maggior parte degli autori antichi. Infatti la suggestiva possa essere, io credo che sia alquanto audace: medietà aritmetica applicata all’ottava risulta essere 12-9= pur tenendo conto delle distinzioni poste dalla Timpanaro 9-6=12:6=2:1; il medio aritmetico che ne risulta è il numero 9. La medietà armonica, nell’ottava, risulta essere (12-8) : (8-6) = (12: 6) = 2: 1; il medio armonico è dun- Cardini tra acustica antica e acustica moderna, non si può, sulla base di indizi vaghi, attribuire ad Archita un concetto fisico elaborato in età moderna. La testimonianza di Teone non deve essere però considerata un sostegno della tesi proposta da Van der Waerden *, il quale attribuisce ad Archita la teoria secondo la quale i que il numero 8. Il medio aritmetico e il medio armonico permettono, inoltre, la divisione dell’ottava, nel primo caso in quarta e gravi, ma deve essere letta e dunque interpretata correttaquinta, nel secondo in quinta e quarta. E’ simpatico visualizzare lo stupendo intrecciarsi delle corrispondenze numeriche, se disponiamo i termini delle proposizioni ottenute in mente ponendola in stretta relazione con il frammento B.1, quest'ordine: suoni più acuti arrivano prima all’orecchio rispetto ai suoni per cui essa risulta una più chiara e limpida spiegazione della 12:9=8:6=4: 12: 3 &= 9:6 =3: 2. Per quanto riguarda la medietà geometrica, che gia Fiteoria sull’origine del suono. Abbiamo già notato l’esigenza di Archita di regolare lolao aveva chiamato armonia geometrica, essa è a buon digli intervalli musicali con leggi matematiche, e questa esigenza si ripresenta nel frammento 47 D.K. B2 che tratta delle ritto elencata tra le medietà musicali, anche se ad essa non è applicabile l'esempio dell'ottava. Infatti, se lo facessimo, medietà proporzionali. Archita dà inizio al discorso affermanotterremo come risultato la seguente proposizione: 12: x = do che nella musica vi sono tre medie: la prima che è la media aritmetica, e che si ha quando il primo termine supera il x: 6. E x è un numero introvabile, perché è noto che l’ottava non può essere divisa in parti uguali “. secondo tanto quanto il secondo supera il terzo; la seconda che è la media geometrica, e che si ha quando il primo termine supera il medio di tanto quanto il medio supera il terzo termine; la terza che è la medietà armonica, un tempo detta subcontraria, che si ha quando i tre termini stanno tra loro in modo che di quanta parte di sé il primo supera il secondo, di altrettanto del terzo il secondo supera il terzo stesso. Sono #5 Cfr. Szabò, op. cit., pp. 177-179. 6 BL. van der Waerden, art. cit., pp. 182-183. 67 Sulla base del frammento B2 Szabò, op. cit., p. 187, pensa che sia possibile attribuire ai pitagorici tutti, dapprima, la ricerca infruttuosa, in campo musicale, del medio proporzionale geometrico, e che poi solo successivamente essi abbiano elaborato, in campo matematico, le caratteristiche proprie della medietà geometrica. Solo così si chiarisce, a suo parere, 6 M. Timpanaro Cardini, op. cit., vol. II, pp. 326-335. 6 BL. van der Waerden, art. cit., p. 193-197. perché Archita, nonostante l'impossibilità di trovare il medio proporzionale geometrico con l'otrava, ha considerato come musicale la medieta geometrica.

Ma la medietà geometrica è una medietà musicale perché, grazie ad essa, i pitagorici, e in particolar modo Archita, sono riusciti a chiarire il valore ed il significato del rapporto epimorio o superparziale nel campo della musica. Una tarda testimonianza di Boezio * ci fornisce la dimostrazione di Archita, secondo la quale un intervallo epimorio non è divisibile in due parti uguali, dimostrazione che lo stesso Boezio definisce, a sua dire, nimium fluxa. Archita, qui, pone come rapporto epimorio i termini A, B, che riduce al rapporto, ridotto in termini minimi, C, DE secondo la formula n+1/n. La dimostrazione sarà più chiara, se consideriamo, come fa giustamente Maddalena Y, il termine DE come una somma. Infatti, in tale rapporto C ed E sono uguali perché D è il divisore sia di D + E, sia di E, sia di C. Di conseguenza, D è l’unità, perché, se si suppone che D sia il numero divisore di D + E, sarà anche il divisore di E e quindi di C, e poiché D+ Ee C, che sono i termini del rapporto epimorio, sono numeri primi tra loro e dunque differiscono solo dell’unità, è impossibile che D divida i numeri rappresentati da D + E e C. Dunque, in un rapporto epimorio, anche se non ridotto ai minimi termini, non si potrà mai inserire un medio proporzionale. Questa testimonianza di Boezio è stata considerata da Tannery ” come un'antica e autentica dimostrazione sul rapporto superparziale, e presuppone dunque come già sviluppati una serie di teoremi simili a quelli esposti nel libro VII degli Elementi di Euclide. Ma sembra più giusta la spiegazione fornitaci dalla Timpanaro Cardini ”, la quale accetta, molto più prudentemente, le conclusioni dello studioso francese, riprese del resto da altri”, ma arricchendole e completandole, po$ 47 DK. A 19. 62 Maddalena, op. cit, p. 221, n. 9. 79 P. Tannery, ‘Un traité grec d'arithmétique antérieur à Euclide”, Musica e numero da Ippaso ad Archita nendo in stretta relazione la dimostrazione dataci per Archita con un’altra fornitaci dallo stesso Boezio (De inst. mus. III 1) che riguarda sempre l’impossibilità di dividere il tono. La dimostrazione, purtroppo genericamente attribuita ad anonimi pitagorici, permette di comprendere che « essa si fermava di fronte all’irrazionale, non perché ne ignorasse l’esistenza, ma perché non sapeva esprimerlo aritmeticamente » ”. Il passo di Boezio, illustrato dalla studiosa, permette di comprendere il vero scopo della ricerca di Archita sul medio proporzionale: la dimostrazione matematica della non divisibilita dell’ottava e del tono in parti uguali. Sulla base del criterio della proporzionalità, Archita ha formulato una nuova divisione dei generi musicali. Questa innovativa teoria ci è pervenuta grazie alla mediazione delle parole del grande Tolomeo, vissuto nel II secolo dopo Cristo, che la presenta così come segue: * « Archita di Taranto, che tra i Pitagorici più si occupò di musica, si propone di conservare la continuità secondo un criterio di proporzionalità non solo nelle consonanze, ma anche nelle divisioni dei tetracordi, ponendo come principio che carattere peculiare della musica è la commensurabilità degli intervalli. [...] Stabilisce pertanto tre generi, enarmonico, cromatico, diatonico, e (del tetracordo) di ciascuno di essi fa la divisione in tal modo: in tutti e tre i generi suppone l’intervallo ultimo uguale nel rapporto epimorio di 28/27; l'intervallo medio, nell’enarmonico lo fa di 36/35, nel diatonico di 8/7; e di conseguenza l’intervallo iniziale, nel genere enarmonico è di 5/4, nel diatonico di 9/8. Nel genere cromatico, poi, Archita forma il secondo suono a partire dal più acuto, mediante il suono che occupa lo stesso posto nel genere diatonico (cioè 8/7); dice infatti che il secondo suono nel genere cromatico, partendo dal più acuto, sta al suo corrispondente nel diatonico nel rapporto di 256/243. Compone pertanto tre tali tetracordi secondo i rap- Bibliotheca Mathematica, s. INI, 6, 1905, pp. 225-229. 7 M. Timpanaro Cardini, op. cit., vol. II, pp. 336-341. © Cfr. tra gli altri, B.L. van der Waerden, art. cit., p. 169. 3 M. Timpanaro Cardini, op. cit., vol. II, p. 341. 7 47 DK. A 16 (Trad. it. M. Timpanaro Cardini).

porti esistenti tra questi numeri primi (fra loro, cioé con frazioni irriducibili); e così, se rappresenteremo i suoni più acuti dei tetracordi col numero 1512, ai più gravi, che stanno con quelli nel rapporto di 4/3, daremo il numero 2016; e questo, nel rapporto di 28/27, darà il numero 1944. A sua volta tale numero rappresenterà in tutti e tre i generi il secondo suono a partire dal suono più grave. Quanto poi ai secondi suoni a partire dai più acuti, nel genere enarmonico sarà dato dal numero 1890, che col numero 1944 sta nel rapporto di 36/35, e col 1512 nel rapporto 5/4; nel genere diatonico sarà il numero 1701, che col 1944 è nel rapporto di 8/7, e col 1512 nel rapporto di 9/8; infine quello del genere cromatico sarà dato da 1792, che sta a 1701 come 256 sta a 243 ». Ecco la tabella di questi numeri: Enarmonico Cromatico la | 1512| 5 Va sol | 1890 | 36 Diatonico 35 1224 | 1944 — 28 | 1944 | 28 , mi | 2016 2016 | delle corde mobili”; infine il genere diatonico, che maggiormente si diffuse in età ellenistica, in cui si procede attraverso due o tre toni successivi *. Un modo corretto di interpretare questa testimonianza è stato dato da Tannery”, che afferma che le scale musicali qui date si spiegano solo se si aggiunge un tono maggiore (re-mi) ad un tetracordo che egli esemplifica in mi-la. Archita, per meglio determinare le 3 2 6 5 5 4 in terza minore e terza maggiore. Ottiene, in questo modo, nel genere enarmonico la nota fa. Nel genere cromatico, Archita prende un tono maggiore a partire da mi e ottiene la 1701 | nota fa. Per il genere diatonico, discende di un tono a partire da la e ottiene il sol. Per determinare una corda mobile co- 1944 | 28 lar dal 7 monico, a volte considerato come il più recente, a volte come il più antico *, genere che accoglie gli intervalli semplici più piccoli e più grandi; il genere cromatico, il cui nome deriva da chroma = « colore », che indica le gradazioni più piccole ne, diviso la quinta secondo la formula — = — - —; cioé | fa La prima cosa da notare è la profonda esigenza di Archita di conservare la continuità” per gli intervalli musicali che si succedono nei vari tetracordi e di regolarne la grandezza proporzionale. Archita dunque ha determinato i tre generi musicali fondamentali per l’armonia: il genere enarcorde superiori intermedie, ha, secondo questa interpretazioni 32 | 1512| 9 27 | 8 | 1792) 243 | 165 73 Che cosa sia la continuità musicale ci viene detto da Aristosseno 2016 in Da Rios, op. cit., p. 40. Cfr. anche p. 8, n. 3. % Cfr. Del Grande, op. cit., p. 401. 5 36 28 4 32 243 28 4 4 35 27 a 27 224 27 3 7 Cfr. Henderson, op. cit., p. 432. # Cfr. Da Rios, op. cit., p. 28. 9 P, Tannery, ‘Du rôle de la musique dans le developpement de la 9 8° 28 4 mathématique pure’, Bibliotheca Mathematica, s. III, 3, 1902, pp. 161-174. Questa spiegazione è interamente condivisa anche da B.L. van der Waerden, art. cit., pp. 185-187. Cfr. per contro A. Maddalena, op. cit., pp. 218-219, 8 7

mune ai tre generi, ha diviso la quarta re-sol con la formula 7 8 —-=-—-— , Ovvero in una terza minima e un tono mas3 6 7 simo. Lo studioso francese afferma che quindi Archita si & avvalso sia di considerazioni apriori, sia della pratica allora in auge. Il procedimento matematico utilizzato da Archita è una generalizzazione della divisione dell'ottava usata anteriorn+1 mente da Pitagora: 2n+2 = n 2n+1 . 2n+1 ; e se, 2n n + 1 come ancora suggerisce Tannery, ad — si sostituisce la n 2+ 1 5 6 quinta ———, si ottiene la divisione della quinta in — e — 2 4 5 ovvero in terza maggiore € in terza minore; se poi si sostituisce con la quarta, otterremo la divisione di questo in8 7 tervallo in — e —, ovvero in tono massimo e terza minima. 7 167 Musica e numero da Ippaso ad Archita Assunta Izzo 6 Come ultima testimonianza sulle teorie musicali di Archita, si vuole ricordare quella di Porfirio”, testimonianza fraintesa da Maddalena *, il quale crede di poter scorgere Dai frammenti musicali presi in esame risulta che per i pitagorici tutti era preminente la ricerca di una stretta connessione tra arte musicale e scienza matematica. Non si può dunque affermare che non esiste alcun significato musicale nei concetti matematici *, né si può affermare che le più importanti teorie matematiche sono state elaborate autonomamente rispetto alle dottrine musicali *, poiché le ricerche empiriche di Ippaso mostrano l’esigenza di verificare praticamente l’esistenza dei rapporti matematici che dominano la scala musicale; né si possono negare gli apporti teorici di Filolao, nonostante la vaghezza delle testimonianze a riguardo (consapevolezza dell’impossibilità di dividere il tono in parti uguali; costante tentativo di ricercare nuovi intervalli; la divisione del primordium toni 27 in apotome, diesis, comma; tentativi di sistemazione della scala diatonica). Bisogna infine ricordare l’analisi del fenomeno acustico condotta da Archita, svolta sempre in termini matematici e altamente razionali, l’innovazione apportata con il comporre le tre nuove gamme musicali, e la ferma volonta di salvaguardare le leggi matematiche che permettono di comprendere la « più diversa tra le arti » con le semplici forme del ragionamento scientifico. in essa un procedimento matematicamente privo di senso, attribuibile ai ncopitagorici. Ma la testimonianza afferma esplicitamente che la teoria, che chiarisce perché sono da preferire gli accordi musicali rappresentabili numericamente con termini più piccoli, è solamente riferita da Archita, che la riporta come una teoria non propria. Solo in questo senso Pingegnosa e stravagante spiegazione può essere considerata autentica ®. 8 47 DK. A 17. 5! A. Maddalena, op. cit, p. 220, n. 8. & Cfr. Zeller-Mondolfo, op. cit., p. 506; M. Timpanaro Cardini, op. cit., vol. II, pp. 322-325. 83 I. Henderson, op. cit., p. 400. # PH. Michel, De Pythagore è Euclide. Contribuition è l'histoire des mathématiques préeuclidennes, Paris 1950, pp. 373-395.

Index locorum Fr, 2la: 22, 237 Fr, 21b: 245 Index locorum ARISTOTELES ANAXIMANDER (Fragm. ed. DK) 69a 100a ANONYMUS FLORENTINUS P. 538 Landi: 226, 242 APOLLONIUS PARADOXOGRAPHUS Arcuitocus (Fragm. ed. Dichl) 108 108 10 Phys. 184a 20: 206 a 1 sgg.: 147 1093 Fr. 5: 179 b 4: 60 Eth.Nic. 1155 Fr. 6: 179 Fr. 1: 154, 284 Fr. 2: 160-1 Meteor. 357a 27-28: 14 530; 259 229 228 Nuh. 320: 273 352 seg.: 230 b 8: 191 404 407 b 27: 146 190 658 sgg.: 257 415b 11: 235, 240 771 sgg.: 228 429 a 18: 235 889 sgp.: 277 Hist.anim. 492a 13: 961: 277 533a 13: 125 1068-82: 268 816b 16: 233 816b 26: 233 121 581a 12: 129 1078: 268 Part.anim. 687a 7: 245 1081; 268 Gen.anim. 752b 22: 763b 30: 241 129 1082: 269 Pax 147 sgg.: 229 229 Metaph. 983 a 15: 286 983b 27: 84 1043 sgg.: 229 984b 15: 232, 233 1050 sgg.: 229 985 a 21: 207 1063 sgg.: 229 986b 19: 30 1070: 229 986a 22: 115, 117 Thesm. 544-7: 229 986b 29: 15 Probl. XIX, 32: 148 914b 9 sgg.: 13, 236 De M.X.G. 976b 23: 212 De plant. 815a 15: 233 429b 24: 235 937: 277 Fr. 1: 107 | ['ARISTOTELES 405a 29: 118, 132, 133 408 a 13: CaLLinus (Fragm. ed. Diehl) 191: 109 405a 13: 235 Lys. 368 sgg.: Ran. 842-6: 1460b 33: 229 Fragm. (ed Rose) 70: 404b 1: 233 Acharn. 412 spg.: III, 11: 162 b 6: 257 1407 Poet. 1447b 17-19: 14 1456b 15: 257 b 13: 190 1457 De an. 404 a 25: 232, 240 ARISTOPHANES II, 19: 144 III, 1: 163 III, 5: 149 1402a 23: 256 1405b 23-28: 180 236 817a 23: 233, 240 ASCLEPIUS TRALLIANUS Metaph. 28, 7: 232, 233 53, 6: 232 54, 4: 232 55, 7: 232 ATHENAEUS IV, 158 E: 228 V, 178 F: 41 V, 218 B: 277 X 413 F: 32 XIII, 561 a: 228 XIV, 632 C: 219 30 20 BorTuius De inst. mus. TI, 18: 145 1373b 6: 218 a 24 sgg.: 10 1393 84 De sens. 48a 19: 159 Fr. 3: 284 Fr. 7: 179 b 36: 10 Rbet. 1356a 35 - 1357 333b 19: 212 2654 26 sgg.: Fr. 4: 179 1176a 7: 41 187a 20: 245 298 b 24: 30 Gen. et corr. 325a 13 sgg.: 30 Arcuytas (Fragm. ed. DK) BaccuyLipes (Fragm. ed. Snell.) 1001 a 33: 30 294b 13: 236 Fr. 6: 108 Ep. 118, 4, 23: 232, 233 b 3-5: 210 1000 b 12: 206, 217 1000 Soph.el. 173b 17: 257 De coel. 94a 28: 108 AUGUSTINUS 989a 30: 235 10 213a 22 sgg.: 13, 236 Fr. 2: 108 Fr. 64: 987a 9-10: 215 126 Top. 157 a 14-17: 5, p. 6, 15 Schwartz: 151 b 32: 30 986 10 203 a 19: 239 Fr. 1: 107 Fr. 61: 1-5: 10 186a 8: 30 Mirah. 6: 109 Fr. 3: 16-19: Anal.post. 71a 9-10: Fr. 1: 21 ATHENAGORAS 986b 31: 30 Anal.pr. 69 a 13 sgg.: 305 CENSORINUS 5, 2: 129, 130, 131, 241 6, 1: 234 6, 2: 233 6, 4: 131 CHALCIDIUS In Tim. p. 279 Wrob: 124 CICERO Brut. 44: 227 De fat. 17, 39: 216 De nat. d. I, 11, 27: 118, 132 1, 26: 233 De orat. III, 138: 227 Tuscul. III, 14, 30: 227 III, 29: 230 CLEMENS ALEXANDRINUS Protr. (= Cobort.) 5; 232 5, 64: 144 5, 66: 118, 132 22: 109 Strom. 1, 2: 41

Index locorum Index locorum 179, 9: 233 Supa 300, 27: 233, 235 Xexopitanes (Fragm. ed. DK) THUCYDIDES sv. Anaximandros: 88 I, 13, 1: Fr. 1: 47, 111 181 331, 10: 192 Empedoklés: 169 I, 139, 4: 259 Fr. 1, 13: 20 465, 5: 233 Euripides: 226 Il, 3446: 258 Fr. 2: 52, 111 495, 29: 239 Orphetis: II, 35-41: 225 Fr. 2 1: 19 647, 20: 236 Parmenides: 169 11, 40, 1: 258 Fr. 2, 21: 19 652, 28: 236 Pherekÿdes: II, 40, 2: 258 654, 34: 236 Thalés: 83 655, 16: 236 117 79 656, 17: 236 Fr. 78: 109 Metaph. 70, 38: 239 Fr. 92: TERTULLIANUS 1184, 2: 207 De an. 12, 1: 1227, 34: 235 43, 2: 1361, 33; 233 In Erıcr. Enchir., 16: 229 233, 235, 240 240 Epist. 129 B: 108 10, 7: 232, 233 Fr. 671 Nauck: Phys. 123, 7: 236 Fr. 4: 152 STOBAEUS Ecl. 8, 2: 46, 50 10, 11: 211 10, 12: 232 24: 241 178: 36 179: 62 STRABO I, 1, 11: 93 I, 7: 89 VI, 1, 1: 183, 184 XIV, 1, 36: 226 Memor. V, 10, ext. 3: De re rust. 1, 40, 1: 240 Vitruvius 142 Praef. 8, 1: 226, 228, 238, 240 Volumina THEOPHRASTUS De caus, plant, 1, 5, 2: 240 De sens. 1: 120 123, 126 26: 125 28: 121, 233 38: 232 40: 121 Hist.plant. 11,1, 4: 240 Phys.opin. fr. 3 Diels: 169 21 XENOPHON Anab. IV, 8, 25: 201 Memor, IV, 2, 10: 283 Varro Tneon Smyrnaeus (Pag. ed. Hill) 120, 121, 122, Fr. 38, l: 19 VIII, 11, ext. 1: 227 V, 18: 240 25: Fr. 35: 45, 50 229 VIII, 9, ext. 2: 227 IV, 26: 241 61, 11: 159 Flor. 174: 63 VaLertus MAXIMUS 57 IV, 15: 241 49-53: 191 560: 242 Fr. 34, 1: 50 Fr. 34, 3: 19 Fr. 36: 45, 50 Gr. af. cur. 11, 22: 232 59, 4: Fr. 25: 47 Fr. 34: 45, 50, 56, 118 112 TZETZES THEODORETUS 25: 241 49, 1: 235, 240 Fr, 22, 5: 19 35, 9: 233 Or. 5, p. 69: Fr. 22, 1: 20 Fr, 23: 47, 64 Schol. in exeg. p. 126: 60 14, 10; 235 Speusippus (Fragm. ed. Lang) Fr.:8: 13, 14: 232, 235 SOPHOCLES Oecd tyr, 987: 237 237 adespota TyrrAEUS (Fragm. ed. Diehl) De an. 9, 35; 232 SINESIUS Fr. 18: 46, 50, 51 Fr. 470: 246 THEMISTIUS Fr. 14: 48 Fr. 16: 49 182 Tragicorum fragmenta (ed. Nauck) Fr. 11: 48 Fr. 15: 49 Fr. 81: 169 1153, 24: 233 1183, 28: 207 Fr. 7: 119 Timaeus (Fragm. ed. Müller FHG) SYRIANUS 321 IV, 7: 241 Zeno Errates (Fragm. ed. DK) Fr . E Y Herculanensia N. 1012, col. 18: 220

Index locorum Index locorum Fr. tv , 7-8: 26 Fr. 8, 32: 29 Fr. = 22) 68 Fr. 8, 33: 22 V. Apoll. I, 2: 242 68 Fr. 8, 34: 68 V. Soph. I, 10, 4: 278 Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr: Fr. Pr. Fr, Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. Fr, Fr. Fr. Fr. cC9OdD0NtAwonFeaÙI0A ”.- .- 2 WPeeft |2:R-amtotyN Fr. 8, 36-7: 27 I » 22, 24 Fr. 8, 36: 22 4-5: 31 Fr. 8, 42-7: 27 N*N Fr. 8, 37-8: 336 B: 273 PINDARUS Resp. 530 E - 531 D: Isthm. 1, 6: 179 VIII, 68: 603 B: 179 Fr. 8, 43: 12, 14 Fr. 8, 45-7: 21 5-6: 23 Fr. 8, 45-6: 22 V, 1-4: 172 172, 181 31 Fr. 8, 50-1: 66 VII, 12-15: Fr. 8, 52: 66 IX, 32-4: 181 2-9: 25, 26 Fr. 12, 1: 22 Ol. I, 108: 180 2-6: 26 Fr. 12, 4: 22 VI, 22-7: 180 Fr. 16, 1-2: Fr. 16, 2: 22 Pytb. 22 6: 26 PHILODEMUS Vol. rbet. Sudhaus: Te 23 8-9: 22 8: 25, 26 9-13: 25 9: 25 12: 25 13-15: 25, 26 À; 65: fr. 1, à pi 23 227 242 CD: 15 Theaet, 143 E.: 283 180 179 XI, 50 sgg.: XII, 2: Puttotaus (Fragm. ed. DK) 181 189 Fr. 169, 1-4: Fr. 6a: 153 Fr. 197: 38 Fr. 10: 146 Fr. 205: 181 Fr. 11: 154 Fr. 15: 151 Apol. 26 D: 218-9 De op. mun. 2, 13: 15-16: 25 In Aristor. De an. 72, 9: 233 239 145 C: 283 147 D - 148 B: 281, 286 147 D: 299 151 E: 252 152 E: 251 158 A: 252 160 D: 252 241 Crat. 385 E - 386 A: 253 14: 25, 29 145 A: 284 152 A: 252 PLato PHILOPONUS 144 AB: 298 151 E: - 152 A: 253 Fr. 133: 197 Fr. 6: 146-7 237 A: 169 239 C: 251 241 A: 250 241 D: 250, 251 III, 29-30: 220 4: 26 6-8: IX, 82: 179 11, 63-7: 12 160 E: 252 161 B: 284 161 C - 162 A: 272 400 A: 232 413 C: 235 161 C: 252, 253, 255 278 15: 29 85, 17: 232, 233, 235 Gorg. 465 D: 246 161 D - 162 A: 16-21: 25 85, 32: 235 16-18: 26 522, 29: 235 498 E: 209 Hipp, mai. 285 B: 147 161 D: 250 16: 20, 25, 26 19: 26 tN oO + 19, 22; 25, 26 Fr. 8, 21: 26, 29 526, 22: 235 16: 232 In Aristor. Phys, 87, 8: 232 Leg. 865 DE: 201 197 162 A: 283 146 162 D: 252 Men. 81 BC: Phaed. 61 DE: Fr. 8, 26: 28 96,3: 232 Fr. 8, 29-30: 27, 28 229, 8: 232 72 C: 259 96 AB: 126 Fr. 8, 30-1: 396, 21: 239 97 B: 232, 236 Fr. 8, 30: 22, 29, 208 397, 23: 239 Fr. 8, 31-2: 174 607, 12: 236 Fr. 8, 31: 28, 29 833, 1: 235 97 C sg: 232 Phaedr. 245 C: 272 266 D seg.: 257 178 161 DE: 256 161 E - 162 A: 278 289 B: 41 In Asıstor. Gen. et corr. 117, 153 174 Soph. 236 E - 239 A: 250 Nem. IV, 1 sgg.: 181 1-21; 24 3: 26 272 315 AB: 273 328 E - 329 A: 273 184 3: 22 IE 25;.26 - Bibl. 249: de 31 2: 25, 26 Prot. 312 C: 319 BE: 278 Puorius Fr. 8, 37: 29 . 269 E: 227 PHALOSTRATUS 178 317 162 D - 163 A: 252 162 E: 285 165 A: 285 166 A - 168 C: 252 166 C: 252, 273 166 D sgg.: 256 166 D: 252, 254, 255