I numeri e le cose: le radici di un antico enigma culturele

ver Bs NN PST ENGE Lewes Indice Prefazione Introduzione del G.M. Armando Corona … ……nnnnneneneneneneenenenenenenenenenen eenen eenen: Pag. Prolusione del G.M. degli Architetti Virgilio Gatto … iii > Le relazioni A. BAUSANI - Pitagora e l'Islam ee(use, M. BIANCA- Ordine e disordine come-strutture dell'essere e come categorie della . CONOSCENZA ...... ’ 27% nm NS Le 984... zen oa D.A. CONCI - I numeri e le cose: le radıci di un antico enigma culturale \*¥-0°4)}...... F. FRANCIOSI - Risultati scentifici e intuizioni nell'astronomia di Pitagora e det Tuor » » discepoli LME » M. GUALTIERI - Riflessi del pensiero di Pitagora sulle arti figurative in Magna Grecia \:'" 5» R. HAASE - L’armonia pitagorica tert, oggi € domani Livi Last» » » P. IMPARA - u Neopitagorismo e la rifondazione dell'immateriale … … A: 16 » V. LAZZERONI - L'escatologia pitagorica nella tradizione occidentale … Val» T. LIPPARINI - Geometria simbolica e insegnamento esoterico. Influssi pitagorici nella 23 33 43 57 61 71 83 87 97 109 Massoneria … nennen Lab. » 116 M. MORAMARCO - Pitagora, la Massoneria e l'India … nnn LAAN B. PARODI - If modello mitico di Pitagora reni varta. » > H. REINALTER- Utopia...| . }| eu | Li > 119 127 133 P. ROBERTI - Approccio alla convergenza tra Pitagorismo e Buddismo » A. SZABO- U Pitagorismo e la matematica deduttiva TT"... a Ra > 139 145 C. TÖROK- Nuove ricerche sul verbo di Pitagora … neen!AMD > 151 A. COCCHI - Vitto pitagorico per uso della medicina nenn el SA > 159 C. GENTILE- Az Liberi Muratori del Mezzogiorno (per un avvenire cheè di tutti MELE: Lev » C. GENTILE- L'avventre pitagorico nel Rito di Memphis e Misraim … …\ DATI.Lee I RESTI - Tavola pitagorica e quadrati magici … nnee KEN C. VITALI - U numero e i posseso della natura... » > » 178 184 Le comunicazioni

Interventi e dibattito C. PELLEGRINO - GA incommensurabili ..................... iii B. PARODI - Risposta a C. Pellegrino … nnen nennen eenen eenen F. GAETANO - Domanda a M. Moramarco .…....................................... eveneens M. MORAMARCO - Risposta a F. Gaetano ............ nennen N. ARIANO - Domanda a M. Bianca … nennen eeens eeens eneen: M. BIANCA - Risposta a N. Ariano ......... ennen nennen senden vennen S. HÖBEL - Rapport: della Tradizione Pitagorica con la dottrina dei cicli cosmici ............ M. MACALE - La rivoluzione interiore del Pitagorismo e l'educazione ............................... U. BARTOCCI - Pensiero pitagorico e visione dualista della matematica ............................. A. SZABO - Risposta a U. Bartocci ...............iii D.A. CONCI - Risposta a U. Bartocci .............. sereen eneen eenen M. BIANCA - Risposta a U. Bartocci e a D. A. Conci P. BOLDRIN - Tradizione e Neoplatonismo … … nnen G. PUCCI - Ricordo che fa rivivere ue F. FRANCIOSI - Consideraziont finali » » » » » » » » » » » » » » » 213 214 216 217 218 218 220 222 226 229 230 232 233 235 237 Chiusura del convegno A. SZABO - Saluto … V. GAITO - Saluto … nennen ennen ennen neren A. CORONA - Saluto … ere rennes nennen en » » » 241 242 243 Le manifestazioni culturali M. MONALDI - Arti visive 0.00 lee en bn Concerto nnee e Mal A. COLOMBO - ‘‘Tonzhalen’’ VOD N TAGEN » » » ERST cy

I NUMERI E LE COSE: LE RADICI DI UN ANTICO ENIGMA CULTURALE Nato a Reggio Calabria nel 1936 Nominato nel 1968 assistente ordinarıo alla prima Cattedra di Stori della filosofia nella Facoltà di Magistero dell'Università di Roma, ha assunto nel 1971 l'incarico di insegnamento di Filosofia della scienza presso la Facoltà di Lettere e Filosofia dell'Università di Macerata. Nel 1976, vinto il concorso a cattedre di Fılosofia, è stato chiamato a svolgere tale insegna mento nella Facoltà di Magistero dell'Università di Siena, Attualmente ricopre anche l'incarico di Filosofia della scienza nella Scuola diperfeziona mento in psicologia presso la Facoltà di Medicima e Chirurgia dell'Università di Siena. Vivamente interesssato alla problematica fenomenologica e E Husserl per le profonde istamze di radicalizzazione del discorso filosofico im essa presenti, D.A, Conci è stato indotto a ralevare l'intrinseca inadeguatezza del fondamento intuitivo della metodologia husserliana eda temtare, quindi, una correzione che lo avrebbe comdotto ad una revisione radicale del metodo femomenologico da lui concepito come una singolare analitica della componente vissuta dei segni culturali. Opere principali: “Lg conclusione della filosofia categorsale. Contributi ad una fenomenologia del metodo fenomenologico’’. Roma — 1967. “Prolegomeni ad una fenomenologia del profondo''. Roma — 1970. damenti'’. Milano - 1974. ‘L'universo artificiale. Per una epistemologia fenomenologica’’. Roma - 1978. * + * In alcuni celebri luoghi della sua Metafisica, Aristotele ci offre del pensiero pitagorico arcaico una importante testimonianza, sulla cui parziale affidabilità non sembra si possano nutrire seri dubbi. I filosofi chiamati Pitagorici’’ - dice Aristotele - ““essendosi applicato allo studio delle matematiche, per primi le fecero progredire; e approfonditisi in esse, si formarono l’opinione che i loro principi fossero i principi di tutte le cose esistenti. E poichè, dei principi matematici, i primi sono per natura i numeri, e nei numeri essi credevano di scorgere molte somiglianze (oùorbuarta roàià) con ciò che esiste o diviene” (...), e poichè vedevano poi ‘‘infine che in ogni cosa tutta la natura (tiv pùow naoav) sembrava assimilarsi (dpapoı@odaı) ai numeri ¢ i numeri apparivano primi fra tutte le cose della natura, furono indotti a supporre che gli elementi dei numeri fossero elementi di tutte le cose esistenti”. Per Aristotele tale concezione è assurda perchè i Pitagorici non hanno acquisito tali elementi “dal mondo sensibile giacché gli enti matematici, tranne quelli che hanno a che fare con l'astronomia, sono privi di movimento, ma non le loro discussioni e tutto il loro

I relatori Paolo Impars, Domenico A. Conci. Virgilio Lazzeroni

RELAZIONE impegno hanno per oggetto la natura’’*. Essi — continua Aristotele — non dicono nulla sul modo in cui possa prodursi il movimento, una volta che hanno posto come sostrato il limite e l’illimicruciali dell’opera aristotelica hanno, come è noora, e che, d’altra parte, non esista alcun altro sa, quello della chiara differenziazione semantica dei termini pipnoic e uédeE1ic®, desidero, a questo punto, riprendere brevemente alcune correnti formulazioni relative alle caratteristiche salienti della speculazione pitagorica antica, utili tato, il dispari e il pari‘. ‘*Come mai’’ — si domanda Aristotele — ‘‘si potrebbe pensare che le affezioni (ná@n) del numeroe lo stesso numero siano cause di tutto ciò che esiste e si genera al di sotto del cielo e non solo dapprincipio, ma anche numero al di fuori di quello di cui è composto il mondo?””, insoluta?. Indipendentemente, ora, dai molti e non facili problemi di interpretazione che questi passi to, suscitato, tra i quali, per quel che qui interesai fini esclusivamente epistemologici della presente relazione. E ‘‘questo determinato numero” — conclude L'intera gùoic, come ordine, corrispondenza Aristotele — ‘‘che bisogna considerare identico ed armonia, per i Pitagorici va pensata, quindi, con ciascuna di tali determinazioni, è lo stesso numero che è nel mondo sensibile oppure è un altro al di fuori di esso? Platone afferma che è un altro: sebbene, infatti, ritenga che le grandezze materiali e le loro cause sono numeri, egli intende precisare che i numeri intelligibili sono cause, mentre gli altri sono solamente sensibili”. Così, secondo Aristotele, mentre 1 Pitagonici, per i quali i numeri sono i modelli — alle cose, usano il termine ‘imitazione per a per esprimere la natura di questo rapporto, ei tone, immaginando 1 numefi come mode esterni ¢ trascendenti rispetto alle cose. “shoe vd per il medesimo fine del termine diverso “ partedalle cose può eliminare, a prima vista, alcune in termini di numero e di rapporti (Adyou) che uniscono i numeri tra di loro". I celebri primi principi, il Limite (népac) e l'Iimitato (Gxe1pov), costituiscono l’Universo, i numeri e tutte le cose. I numeri sono, allora, intesi come collezioni di unità', gruppi di punti estesi o corpuscoli, disposti secondo un’approssimativa configurazione geometrica in maniera tale che le cose non sono altro che náên, cioè manifestazioni della quantità e dell'ordine compositivo di sifpartice unitarie. po il sco è una combinazione di punti, allora esso va assunto come linea, superficie, volume, perché, appunto, tali figure, material mente © percettivamente, non sono altro che punti estesi in relazione fra loro secondo varie e determinate modalità". Ma, se operare sui nuincongruenze, tuttavia per Aristotele è impossibile che una grandezza sia composta di unità inmeri significa operare sulle cose, è allora evidendivisibili. ‘‘In realtà, il numero aritmetico consta di unità inestese. Essi invece chiamano numero ziate precisazioni semantiche può intendere questa unitaria fisico-aritmo-geometria, questa le cose esistenti, cioè applicano le loro astrazioni (Bewpriata) ai corpi, quasi che dai corpi prendessero consistenza i numeri’’*. Ma, comunque stiano le cose, ‘‘di qual natura fosse mai l'imitzzione o la partecipazione’’ — commenta Aristotele - ‘‘è una questione che essi hanno lasciata te che il termine piunoic soltanto con circostanrealissima mathesis universalis in cui le unità del numero pitagorico sono unità concrete, visuali, Ritengo, ora, di interpretare correttamente, forse, lo stato d'animo di chi mi ascolta, se affermo che le mie parole hanno contribuito in una

misura molto limitata al chiarimento di questa scomoda identità che, per altro, sembra costituire la base salda del pensiero pitagorico. Gia Ariassunti come proprietà e come determinazioni, come qualità e come pertinenze degli enti qualsivoglia, astratti o empirici che essi siano, costistotele, stando alle obiezioni che muove, e Platuenti i loro diretti referenti. tone, stando alla riforma che intraprende, non sembrano cogliere più il senso originario di essa. C’é da chiedersi, addirittura, fino a che punto i Pitagorici stessi possano aderire consapevolmente agli arcaici presupposti culturali che l’identità tra numeri e cose implica, se si pensa che tali estranee componenti non avrebbero contribuito in alcun modo a quell’imponente sviluppo matematico e scientifico, all’interno della cultura occidentale, che dai primi pensatori greci avrebbe preso le mosse. Per comprendere le ragioni di quanto affermo, mi sia concesso, solo di sfuggita, di accennare a quella fondamentale concezione secondo la quale nè i riti nè i culti, nè le credenze nè le pratiche, nè il linguaggio nè i gesti, costituenti le componenti della esistenza quotidiana, mitica, magica e religiosa dei popoli cosiddetti primitivi sarebbero mai nati. Alludo precisamente al realssmo segnico. Con tale termine penso, anzitutto, a quella concezione, riscontrabile anche in alcune fasi della preadolescenza, secondo la quale i nomi sono proprietà e determinazioni delle cose e delle persone stesse (realismo nominale). Tuttavia, poiché in tale concezione è implicita anche o è ad essa associata l’indistinzione tra lo spirituale ed il materiale, il corporeo e lo psi- Non inganni il termine ‘‘realismo’’ in questa accezione più ampia. Esso esprime, in maniera pregnante, la fiducia spontanea, tipica di quelle culture, che tutto ciò che comunque si manifesta, nei limiti in cui si manifesta e finché si manifesta, sia realmente, cioè in sè e per sè, tale quale si manifesta. Poiché la relazione di identità che qui si scopre non è simbolica, ma reale, dato che i segni si annullano negli enti (e viceversa) al punto da dare gli uni come l'immediata e concreta manifestazione degli altri, si deve concludere che non è concepibile un realismo più integrale e più autentico di questo. Il concetto di verifä, completamente stravolto nella nostra cultura, nasce da questa fiducia originaria, riposa su questa fiducia originaria ed è, a mio avviso, impossibile e incomprensibile senza di essa. Ed è proprio in relazione ad una tale concezione che può cogliersi / radicale distinzione esistente tra il realismo vero e proprio ed il cosiddetto naturalismo. Mentre il primo nasce nella cultura dell'identità tipica del pensiero primitivo che, privo di coscienza metalinguistica, non è in grado di intendere e di padroneggiare pienamente il linguaggio che usa!” e vede l’ambiente circostante come un complicato intreccio di vissuti impersonali secondo leggi sociali, morali e rituali, il secondo nasce invece in Occidente con la chico, il pensiero (anche sedimentato nell'azione, nel rituale e nel simbolismo) e l’ente cui esso si riferisce (realismo concettuale), V essere e l'apcultura della divaricazione tra i segni e le cose rale realismo segnico quella convinzione secondo to dei segni matematici, sf costruisce il mondo patire, il soggetto e l'oggetto, l’espressione ed il significato dell'espressione, il sogno ed il contenuto del sogno (realismo onirico), ecc., ritengo opportuno intendere con la locuzione più genela quale tutti i segni ampiamente intesi vengono ove, accanto ed insieme al crescente isolamento analitico del linguaggio nel suo valore espressivo, comunicativo e creativo, simbolico ed ideale, culminante nel controllo e nell'impiego raffinanaturale oggettivo dell’arte, della filosofia, e

RELAZIONE della scienza e l’universo degli oggetti tecnologici. In realtà, quando un occidentale afferma che i numeri sono identici alle cose, ovvero, — generalizzando — che dei segni sono identici agli enti che essi designano, beninteso in un senso autenticamente letterale e non metaforico, egli, in ultima analisi, parla solo equivocamente, perché cerca di esprimere nei termini e con i concetti mati nella cultura di appartenenza dei valori sorti in aree antropologico-culturali profondamente diverse dalla propria: nessuna scienza, infatti, sarebbe stata possibile nelle culture che presuppongono l’identità tra segni ed enti, tra soggetto 47 le figure che gli oggetti, stando insieme, hanno assunto. È un conteggio in modo figurativo”. Ma, se ciò che così si esprime non sono numeri veri ¢ propri, ma sempre concreti insieminumeri (emsembles-mombres), per usare il noto termine di Lévy-Bruhl, è comprensibile, allora, che vi siano parole-numero diverse per ciascuna delle classi di oggetti rilevanti, cioè si daranno nomi differenti ad insiemi composti di oggetti differenti benché aventi lo stesso numero, cioè equinumerosi. La denominazione, ad esempio, che gli oggetti siano indefiniti ed a seconda var ia amorfi, rotondi, piatti o lunghi, ovvero si tratti di esseri umani, barche, misure, ecc., come era ed oggetto, tra pensiero e mondo. Noi possiamo, certo, intendere in qualsivoglia maniera l’espressione ‘‘i numeri sono identici alle cose’’, variando in tutti i modi e fin dove consuetudine presso alcuni Indiani del Nord è possibile le intenzioni che costituiscono il senso di tali termini. Ma non riusciremo mai a fare azzerare, pet così dire, il linguaggio nelle cose e le cose nel linguaggio, almeno fino a quando non intenderemo che tale coincidenza senza resto almatematica primitiva. La visione fisico-aritmogeometrica, che i Pitagorici ebbero, sembra soggiacere ancora al principio generale della identificazione tra i segni e gli enti, cioè al realismo segnico. Anche qui ci imbattiamo in ensemblescuno è possibile e comprensibile solo se i termini ‘‘segni’’ e ‘‘cose’’ non significano più im alcun sombres perché il numero come collezione di modo quelle entità che vengono normalmente assunte come loro ovvi referenti nell’ambito della nostra cultura occidentale. America”. E indubbio, ora, che l’antica dottrina pitagorica presenta alcuni tratti decisi della mentalità punti estesi o corpuscoli è una concreta figura visibile, non separato nè separabile come segno convenzionale, come cifra, costituendo l'essenza intima delle cose che si manifestano, appunto, Nelle culture del realismo segnico il numero non viene mai concepito astratto, per così dise, Tuttavia, benché non astratto, il numero dei da quella concreta configurazione vista che costi- Piragorici non si esaurisce nella semplice nozione primitiva degli insiemi-numeri reali”. Malgrado tuisce nello spazio e nel tempo una collezione di enti, divenuta familiare e interessante o per la qualità o per la quantitä'®. Appaiono, in definitiva, come forme analoghe al concetto astratto di numero quelle particolari configurazioni che possono costituirsi anche intenzionalmente la sua esplicita concretezza, noi non riscontriamo più. infatti, in sede di denominazione, tante went gli insiemi equinumerosi (cioè un nome per dite “cento barche””, un altro per dire ‘‘cenquando l’uomo ‘‘primitivo’’ vuole contare uma collezione di oggetti o presentarla nella sua consistenza quantitativa, perché, in questo caso, a to moci di cocco”, un altro, ancora, per dire numero si esibisce nello stesso aspetto ottico del tura compositiva concreta di una collezione di “cento uomini” ecc.), perché l’insieme pitagodi unitä-punti non è semplicemente la struttico

cose (ad es. cinque mele), bensì la struttura essenziale e concreta di ciascuna di esse (cioè di czascuna mela). Inoltre le collezioni pitagoriche di unità estetali discipline, che comporta la rigorosa definizione degli enti matematici, l’analisi delle proprieta di cui godono, delle relazioni che tra di essi intercorrono, delle operazioni e delle funzioni tutto all’addizione e, poi, alla moltiplicazione definibili su di essi, verso quella immagine che noi contemporanei abbiamo della matematica come scienza generale delle relazioni, non sarebbe stato possibile senza la grande scoperta, in- (si parla, così, di numeri prodotti: lineari, piani, solidi e di numeri somma: i numeri poligoni, della struttura della dimostrazione. se, che si costituiscono in configurazioni componendosi anche in unità-campo (quadrati uguali), obbediscono a regole operative precise, soprateeey. L’antico numero pitagorico, quindi, @ gia certamente almeno un singolare insieme figurato che tendenzialmente si muove verso quell’estremo confine oltre il quale ogni concreta prensione si eclissa. Sono evidenti, a mio avviso, le componenti regressive di una dottrina intesa nello stesso tempo come iotopin (termine empirico-descrittivo) e pa@fpata (termine puramente mentale), neldubbiamente greca (non di Pitagora, forse)”, Già, proprio quella corrispondenza tra numero e figura doveva progressivamente diventare problematica, senza tuttavia metterla in crisi, con la scoperta, avvenuta in area pitagorica, dell’ incommensurabile (500 av.Cr. circa)”. L'incommensurabilità, un tema originato dallo studio delle proporzioni musicali, secondo Szabo”, si riferisce, com'è noto, alla non esistenza di una misura comune, di una unità di segmento che sia contenuto esattamente un numero intero di volte, ad esempio, tanto nel lato quanto nella diagonale del quadrato, quando ci si pone il problema della duplicazione di questo. Altrettanto incommensurabili sono tra di loro il la quale la confusione tra il vontév (intelligibile) e l'ôpatóv (sensibile), implicando la convinzione prescientifica che le cose possano conoscersi lavorando semplicemente con i numeri, conduce inevitabilmente ad una concezione metafisica dell’universo, quando non, addirittura, madel cubo duplicato, ecc. Una luce diversa, ingica, mistica e numerologica. dubbiamente, cade ora sulla biunivocità della Tuttavia, per quanto difettosa possa essere questa concezione, sembra che la rappresentazione dei numeri per unità-punti e lo studio dell’accrescimento gnomonico delle figure hanno permesso dei progressi nelle scienze matematiche antiche. Nella geometria, infatti, essa ha raggio ed il cerchio, lo spigolo del cubo e quello rappresentazione pitagorica: se tutti i numeri sono rappresentabili attraverso una figura, non è detto che ogni figura può essere rappresentata da un numero”. Poiché, ora, gli enti estesi che cadono sotto i nostri sensi sono sempre commensurabili tra di mostrato i rapporti (AÓyor)“reciproci costanti loro, è ovvio che la scoperta dell’ incommensura- (proporzioni, analogie, medietà) per via di somiglianze e di differenze tra certi gruppi di numeri pura e non dell’esperienza. E così nel mondo e certe forme determinate, mentre nell’aritmetidell’intelligibile il punto cessa di avere dimenbile è il frutto di una intuizione dell’intelligenza ca essa ha reso visibili alcune proprietà dei nusione per diventare segno puro (onueiov), la limeri ed ha aperto la via alle ricerche delle sommazioni delle serie?>. nea è lunghezza priva di larghezza, la superficie è piano privo di spessore, mentre si schiude il fe- D Boni € ne LA be si

RELAZIONE Come giustamente ha osservato Szabo, sebbene possa essere intellettualmente intravisto, non è possibile rendete pienamente conto dell’incommensurabile senza l'impiego di adeguate tecniche dimostrative, non essendo esso affrontabile lungo una via meramente intuitiva, empirica e pratica”. L'elemento decisivo lungo questa direzione è costituito dalla elaborazione del metodo dimostrativo indiretto o per assurdo”. 4 Se ora ci domandiamo dove e quando i Greci giunsero ad escogitare tale strumento scientifico 49 di una deduzione, particolarmente significative nella prova indiretta, presenti negli scritti dialete, più tardi, di di Zenone e tici di Parmenid Platone”, diventerà subito un metodo specifico della più antica matematica che andrebbe, così, a configurarsi come un settore specialistico della Alla luce di questa interpretazione, quindi, la sistemazione deduttiva della geometria che, iniziata, come sembra, proprio nel V secolo con Ippocrate di Chio chiudendo definitivamente il periodo della matematica rapsodica, raggiunge il fondamentale, ci vediamo costretti, in assenza di anteriori documentazioni inoppugnabili, ad individuare non già nella riflessione matematica, bensì nei testi mutili a noi pervenuti della scuola italica filosofico-dialettica di Elea (attiva nella prima metà del V secolo), di Parmenide e di Zesuo culmine con la gigantesca opera di Euclide, non sarebbe che un tardo lascito della scuola di Zenone, in ultima anaElea: senza Parmeenide none, la manifestazione originaria della struttupotranno essere accettate daimatematici: la definizione di mumero, ad es., implicherà inevitabilra dimostrativa e il preludio alla fissazione defimente la presenza della molteplicità, mentre per nitiva del carattere astratto e intelligibile dell’ente matematico®. Parmenide, com’é noto, avrebbe per primo celebrato il divorzio tra il mondo intelligibile (Adyoc) e il mondo del sensibile (aïo@norc) nell'intento di liquidare ogni equivoca comtemsnatio del concetto con la sensazione, della verità con l’opinione*. La sua celebre proposizione ‘‘identico è il pensare e l’Essere’’, ivi compresi tutti gli attributi che a tale essere competono (unicità, atemporalità, indivisibilità, immobilità) egli li dimostra, contro i dati stessi dell’ esperienza quotidiana, non direttamente, ma con un procedimento per assurdo, provando, cioè, che dalla proposizione degli avversari (secondo Szabo il cosmologo Anassimene e non i Pitagorici)® ‘‘l’Essere è e non è'' contemporaneamente, si deducono conseguenze contraddittorie®. L'esplicito uso di ipotesi, intese semplice=)? mente come proposizioni iniziali non dimostrate Ovviamente non tutte le tesi dell’eleatismo le proposizioni fondamentali della geometria l'ammissione dello spazio, del movimentoe il rifiuto dei rapporti di uguaglianza degli insiemi Così Platone non avrebbe contribuito in alcun modo alla strutturazione deduttiva della matematca“. Il merito di Platone, in riferimento al tema che tratto, risiede certamente nell'aver ribadito, con il peso della sua indiscussa autorità, la distinzione eleatica tra il mondo dell’ intelligibile (voög) e il mondo del sensibile (56&a) e di averla ulteriormente approfondita introducendo, in particolare, all’interno dell’intelligibile stesso due articolazioni interessanti, cioè il piano inferiore della Suvora riferita al dominio degli enti matematici e il piano superiore della vôno riferita al mondo delle idee pure. L'importanza della ripresa eleatica, coniugata con clementi pitagorici reinterpretati platonicamente, risiede anche, a mio avviso, nel fatto che le profonde analisi costruttive dei temi rela-

tivi alla dottrina della separazione-connessione, ipotetico-deduttiva è esclusa dal dominio della ad esempio, tra i numeri e le cose, secondo la loepisteme, dalla conoscenza scientifica salda, imgica di una differenza ontologica tra le loro ‘‘nature’, sollevano alla superficie problemi che erano rimasti nascosti, per così dire, tra le righe dei testi eleatici. Certamente non bisogna vedere Platone atmobile, non oscillante‘. I ‘‘geometri’’, infatti, assumendo le ipotesi come principi, senza rendere conto di ciò nè a se traverso la critica aristotelica. Quando Aristotele si chiedeva a cosa servissero mai i numeri come sostanza delle cose, una volta separati da esse, indubbiamente pensava al Platone del Fedone e della Repubblica, non certo al Platone senile del libro X delle Legg: passato attraverso le meditazioni del Fi/ebo e del Timeo*. Ma, evidentemente, non si tratta di scegliere tra il termine pipnoic e il termine pr@nérc. Una volta liberato lo strumento matematico dalla cruda promiscuità tra il sensibile e l’intelligibile, ecco presentarsi inevitabilmente i gravi quesiti relativi all’imporsi di una mutata concezione del numero e della relazione tra il linguaggio della matematica e il linguaggio delle cose, ai quali, a mio avviso, nè Platone, nè gli altri pensatori greci hanno risposto adeguatamente. . Del resto, nonostante l'opinione di uno dei padri della fisica quantistica W. Heisenberg”, la lezione che Platone ci offre del metodo matematico come metodo ipotetico-deduttivo (è vroBéoeng)“ non ha nulla a che vedere con lo spirito di quella fondamentale concezione che si affermerà solo alla fine del secolo scorso, ove la struttura ipotetico-deduttiva si costituisce come la sintassi logica di tutte le scienze astratte ed empiriche‘. Collocata al di sopra del mondo della opiniopio che ignora, una fine ed un procedimento concatenati con ciò che ignora?’’*. In realtà le ipotesi svolgono per Platone la funzione fondamentale di costituire la base per acendere dialetticamente da esse ai veri principi della scienza, quelli non più ipotetici che stanno al di là degli enti matematici, nel mondo noetico puro delle idee“. Se ora mi domando quali sono, da un punto di vista epistemologico, le limitazioni generali della scienza greca, malgrado il ruolo svolto da menti scientificamente eccelse — si pensi solo alla fondazione della statica e della idrostatica da parte di Archimede o alla sistemazione euclidea o alla teoria astronomica di Aristarco di Samo —, ritengo di rispondere affermando che esse risiedono tutte nelle ambiguità con cui i Greci concepirono ed affrontarono il grande tema della distinzione e del rapporto tra i numeri e le cose. L'ambiguità su di un argomento così cruciale per la cultura occidentale è dovuta al fatto che i Greci non riuscirono a liberare adeguatamente il loro pensiero dagli influssi regressivi dei relitti dell’arcaico realismo segnico. ne ($6ta), ma al di sotto della vera intelligenza (voös, vénoic), l’unica capace di attingere i veri l’ho riferito, come si è visto, a quella antichisssiprincipi, le vere àpxai mediante il metodo diama convinzione secondo la quale i segni culturali lettico che ascende al mondo delle idee e ne disono proprietà e determinazioni dirette di tutto ciò che comunque si manifesta. Tale logica è alla scende, la &iévoia platonica che contempla di| stessi nè agli altri, quasi fossero evidenti, procedono poi a dedurre da esse a fil di logica le relative conseguenze‘: ‘‘qual mezzo può esservi’ — si chiede Platone — ‘‘perché diventi scienza una tale convenzione (ôuoAoyia) che ha un princi- Riformando il significato di tale termine,

RELAZIONE magici e religiosi ed ha condizionato molteplici modelli di cultura e millenni di vita umana_ Essa implica molte cose: l’indistinzione tra il pensiero e l’esperienza, tra \'io e il mondo, l'osservanza scrupolosa dei culti, dei riti, delle formule magiche, delle preghiere fissate una volta per nume € conservate dalla tradizione, la fede religiosa nei 51 combinino giocando tra di loro secondo precise modalità nel rispetto della coerenza logica: in realtà le sue definizioni sono per lo più descrizioni, individuazioni di enti preesistenti. GE assiomi ed i postulati di Euclide, come è noto, non sono delle proposizioni primitive ipoteuiche da collaudare, poi, mediante le prove di libri sacri, il misoneismo e, soprattutto, la fida cia ingenua e spontanea che tutto ciò che si manifesta sia tale quale si manifesta. Questa salda fedeè /a base originaria della verità del discorso. coerenza, di indipendenza e di completezza, ma La disattivazione, ora, del realismo nominane che garantisce l’esistenza degli enti di cui essi le, comunque esso incida nel linguaggio, non sì può raggiungere pienamente se non decade questa fiducia su cui esso saldamente poggia. Distinguere semplicemente il pensiero dall’esperienza è certamente un significativo inizio, ma non può essere nè autentico nè radicale se la più profonda vengono enunciati sul fondamento di una intuizione intellettuale comune, ovvero, nel caso dei primi quattro postulati, attraverso una costruzioparlano”. Tali proposizioni sono quindi evidenti, cioè di per sè vere. Ovviamente questo valore di verità non va perduto poi, ma si trasmette, per così dire, ereditariamente lungo la catena deduttiva e le profiducia realistico-segnica non viene scossa dalle posizioni derivate dagli assiomi (i teoremi, appunto) sono esse stesse proposizioni vere, sebbefondamenta. È vero, piuttosto, il contrario: sole ne solo mediatamente. se questa fiducia scompare, l’identificazione di segno e di ente (astratto o empirico) si eclissa automaticamente. Non solo la filosofia razionalistica, ma anche realistico-segnici infiltratisi, per così dire, nella cima ¢ tra le maglie della catena logica che è culla stessa matematica, dall’ente degli antichi Pira gorici a quello di Platone, da quello di Platone a Tutto ciò lo si deve alla presenza di residui turalmente estranea ad essi. Si genera, così una quello di Euclide, testimoniano una fiducia ferinevitabile confusione tra l’esistenza ontologica © la coerenza logica. tra il concetto di verità e il concetto di dimostrazione, tra la semantica del ma che ciò che si manifesta nel mondo dell’indiscorso ¢ la sua sintassi. telligibile sia tale quale si manifesta”. St tratta, Not moderni mteniamo che dimostrare una proposizione mon significa provare cheè vera, non significa dedurre a fil di logica la verità di in sostanza, dell’assunzione della evidenza intel lettuale come criterio di scientificità. Se per gli antichi Pitagorici il numero esisteuna proposizione da proposizioni evidenti, cioè va in una ambigua dimensione empiricowere di per sì. Una proposizione f si dice dimostrata quando si individuano dei nessi logici che razionale, l’ente geometrico di Platone esiste ‘‘realmente’’ perché non viene creato dalla mente, bensì scoperto dall’occhio incorporeo della didvora”. Euclide, poi, non definisce formalmente gli enti geometrici primitivi, ad esempio il punto e la retta, presentandoli semplicemente fin dall'inizio e lasciando, poi, che tali termini st legano p ad altre proposizioni precedentemente ammesse in manicta tale che, avendo ammesso tali proposizioni e sussistendo i nessi logici, non s può negare La coerenza o l’incoerenza della dimostraziome, come si nota, non dipende dalla verità o dalla falsità delle proposizioni in essa coinvolte,

bensi dalla sussistenza o meno di relazioni logico-formali plausibili, cioé dalla corretta sintassi del discorso. Dimostrare, quindi, non significa ridurre all’evidenza proposizioni che evidenti non sono. sara possibile l’instaurarsi di quei reciproci colle- Solo la nascita delle geometrie non euclidee bile ruolo che esso ha assunto a partire dalla rivonella prima metà del secolo scorso — se si prescinde dall’opera settecentesca dell’ italiano padre Saccheri — e la più tarda scoperta delle antinomie logiche all’interno della intuitiva teoria degli insiemi (1902), la base dell’intera matematica, hanno permesso la definitiva eliminazione del principio dell’evidenza come criterio necessario e sufficiente della scientificità matematica. I relitti del realismo segnico, pertanto, tendono a sostanzializzare e ad ontologizzare qualunque tipo di linguaggio su cui nascostamente agiscono, penetrando perfino all’interno della stessa struttura deduttiva e ritardando la nascita gamenti funzionali e metodologici che contrassegnano l’attivitä mediatrice della scienza. La lezione ontologica (metafisica) dell’ente matematico non gli consente di svolgere quell’ insostituiluzione metodologica galileiana, quello, cioè, di essere l’unico strumento linguistico duttile, perché tecnicamente oltremodo sofisticato, per esprimere, relazionandoli, la razionalità dei fenomeni empirici in tutta la loro indefinita ricchezza. L'immagine stessa che, stando ai testi filosofico-epistemologici e fisici, i Greci, generalmente, hanno del mondo della esperienza, si rivela tributaria della loro concezione ontologica e metafisica. Cos'altro, infatti, se non elementi residui di quella arcaica fiducia tipica del realismo segnico del metodo scientifico vero e proprio. Se, infatti, ispirano la polemica contro il razionalismo dogtra i segni e gli enti qualsiasi (con le proprietà e le relazioni di cui questi godono) non esiste una chiara differenziazione funzionale, è allora ovvio che derivando conseguenze da premesse ontologiche non si deducono semplicemente delle mere proposizioni, bensì addirittura ulteriori enti matico da parte della scuola empirico-medica greca e della grande filosofia scettica o inducono i Greci, per esempio, a ritenere che i fenomeni celesti con le loro ritmiche cadenze periodiche fossero per essenza numero ed armonia (cioè matematici in sè), perché divini, eterni, incorrutticon il loro corredo di proprietà e di relazioni perbili, ed a bandire l'ente matematico, come calché questi sono, appunto, incorporati, per così colo applicato, quasi dall'intero mondo terrestre, sublunare, perché dominio delle cose inferiori e mortali, delle genesi e delle corruzioni?™, dire, direttamente nel linguaggio medesimo. Questo singolare procedimento logico, che non è ipotetico-deduttivo, ma categoricodeduttivo, confina inevitabilmente il momento della sperimentazione ad un ruolo quasi sempre Un esilio, questo, che, per la prima volta, doveva essere revocato, molto più tardi, solo da Galilei. secondario e marginale. L'intera storia dell’occi- È questo, in ultima analisi, il motivo per cui i dente può pure essere interpretata come la storia del progressivo distacco della nostra cultura da questa arcaica identificazione”. Così fino a quando la matematica e le cose sono tra di loro distinte o collegate in base a presunte o reali diversità o somiglianze attribuite ad Greci, pur avendo realizzato delle isolate speri- . . mentazioni — si pensi solo ad Archita, a Stratone e ad Archimede —, non hanno avuto mai una ‘‘metodologia’’ dell'esperimento che fondasse consapevolmente una tecnica ragionata delle variazioni artificiali degli stati di cose € del-

RELAZIONE In definitiva il distacco dal realismo segnico tale, sebbene non sufficiente. Ho già precisato residuo matura in Occidente soltanto alla luce della rigida distinzione tra il reale e l'oggetto e l'affermazione progressiva della superiorità scientifica del secondo sul primo. Se per un pensiero ancora prescientifico è la realt@ a fondare l’oggetività intesa come verità salda del discorso, che la forma deduttiva non ha, di per sè, nulla a che vedere con la verità o con la falsità del discorso, se non equmocamente. Tale struttura è, in un senso molto diverso da quello immaginato da Platone, spotefico-dedutitea, cioè un nudo scheletro sintattico, un vuoto calcolo, che nonsigniper la scienza, invece, è l’oggettività a fondare la realtà, cioè a definire ciò che di vero in senso Ma, proprio perché non è che un’ossatura scientifico c’è in essa, smaturando, così. [ante spoglia, tale struttura può essere rivestita, per chissimo concetto di verità. La realtà, da sola, quasta non la può dare. I Greci si erano già mossi risolutamente in questa direzione fin da Parmenide. Platone, ad esempio, in alcuni luoghi del Teeteto precisa che la verità non sta solo nel mondo della vémens. cioè della intelligenza pura, ma la si trova anche nel mondo della 56€a, dell'opinione”. In un altro noto dialogo, il Timeo,*, Platone afferma che alla $6ta manca, precisamente, dl così dire, se esistono precise condizioni — ecco il senso moderno della sua ipoteticita — di contetopologica, analitica, fisica, chimica, biologica, ex). Vale a dire, se noi troviamo un universo di enti, astratti o empirici, tale da soddisfare gli asssomi di questo calcolo, cioè tale che le proprietà di questi enti e le relazioni tra di essi sono analocioè il sapere saldo, poiché esso elargisce alla coghe o corrispondenti a quelle ipotizzate astrattamente dagli assiomi del calcolo deduttivo, allora è possibile applicare tale calcolo sull'universo danoscenza umana ciò che nemmeno una cognizione semplicemente vera, ma senza Aöyog, può to, trasformando, così, il calcolo in una teoria (arinmetica, geometrica, analitica, topologica, fihóyos. Solo il Aóyog, infatti, dà l'epasteme, possedere: la mecessità, cioè 1’ impossibilità logico- ontologica che la cosa conosciuta nom sta© guaggio che intende parlare scientificamente di sia diversa da come è, e l'universalità, cioè la walidita eterna ed in ogni luogo di tale enti. Tutte le scienze che noi conosciamo nascoconoscenza”. Indipendentemente, ora, da queste due specifiche connotazioni che, certamente, non sono godute più dalle attuali teorie scientifiche, mi sembra chei passi platonici rivelano quella fondamentale linea di tendenza del pensiero con dentale di sostituire il discorso sul reale e sulla verità intuitiva con il discorso sull'oggetto, sulla scien‘‘verità oggettiva’’, quella autenticamente tifica. il Il A6yoe, ora, è diventato per antonomasia discorso deduttivo, una componente, questa . necessaria per la costruzione del sapere oecidenno in tal modo, anche se occorre precisare che le particolari teorie matematiche impiegate nella costruzione delle scienze empiriche contengono già. ovviamente, un calcolo logico. L'universo di enti come presenza elementare può esserci dato soltanto dalla intuizione, perché essa è quell’arto fondamentale che ci informa della esistenza di qualcosa, astratta o empirica che essa sia In quanto tale l'intuizione è “‘realistica” ancora, mus com uns portata estremamente debole: V intuizione, infatti, non attesta più nulla di vero di per sè, di evidente, bensì sempre di intrinsecamente problematico che solo portato alla luce del AGyos può, in una cer-

ta misura, diventare chiaro. Ma, attraverso questa operazione di traslazione che, per a ee sempre tiesce, i dati cessano di essere reali per diventare qualcosa di altro, per trasformarsi, cioè, in verità scientifiche, cioè ‘‘oggettive . Solo nella cultura avanzata della differenza, cioè della matura divaricazione dei segni dalle cose, le scienze logiche e matematiche, intese modernamente come scienze generali delle relazioni, diventano una inesauribile matrice di modelli teorici la cui funzione è quella di essere applicata solo per via analogica e metaforica e quindi sempre problematicamente ad un dominio estraneo di entità empirico-reali che devono essere preparati artificialmente e tradotti matematicamente e che possono in qualunque momento smentire le conclusioni che dalle ipotesi a fil di logica sono state tratte. Così il linguaggio della matematica e quello dell'esperienza sono talmente diversi che essi possono interagire solo metaforicamente, in virtù di corrispondenze, di analogie attuali e potenziali, per cui entrambi, in virtù di corrispondenze, di analogie attuali e potenziali, per cui entrambi, mutando le loro diverse nature, traslano l’uno nell’altro raggiungendo, quando l’operazione riesce, una sintesi mai definitiva, la costruzione di un referente oggettivo inevitabilmente complesso (universo naturale-oggettivo) che sarà paradossalmente vero per le corrispondenze soddisfatte, falso per quelle deluse e probabile per quelle ancora solo ne rapsodica su contenuti specifici? Non credo sia possibile rispondere a queste domande senza penetrare nella logica collettiva dell’ etnia, cioè all’interno del modello culturale del gruppo umano al quale i pensatori greci appartengono. 3: B A mio avviso, tutti i presocratici sono deduttivi, alcuni senza saperlo, oscuramente. Certamente non posseggo la documentazione storica diretta di ciò che dico e, forse, non l’avtö mai. Ma quando affermo che tutti i presocratici sono deduttivi, ritengo di asserirlo perché se un’etnia per pensare il mondo circostante si allontana dal realismo segnico, abbandonando in una certa misura il culto della tradizione, |’ osservanza delle opinioni popolari e, soprattutto, la fede ingenua che ciò che si manifesta sia tale quale si manifesta, tale atteggiamento critico può attuarsi ad una sola condizione e cioè mediante l’escogitazione di nuove formulazioni cognitive, cioè di spotesi. Tutti i presocratici formulano ipotesi, sovente temerarie. Ma queste ipotesi, che esprimono necessariamente, sia pure a volte solo in parte, dei contenuti remoti, lontane come sono dalle fonti della esperienza quotidiana e della tradizione dottrinaria, devono essere controllate, altrimenti non hanno valore alcuno. Come si controlla una ipotesi? Ovviamente riuscendo a spiegare mediante essa ciò per cui quella ipotesi era nata, cioè derivando, deducensupposte. Il concetto di verità, pertanto, resta do, sia pure molto approssimativamente, gli rio. sizioni che parlano di essi. Quando l'impresa ha nel discorso scientifico in una condizione di completo stadicamento dal suo fondamento originaLa struttura dimostrativa si è così rivelata il cuore teoretico dell’intera cultura occidentale), Ma com’é nata la tecnica della dimostrazione? Perché la critica che Parmenide ha rivolto ai suoi avversari ha assunto la configurazione della prova deduttiva, invece di esaurirsi in una discussioeventi del mondo che ci circonda, cioè le proposuccesso, allora i fatti quotidiani diventano spiegati e chiari da problematici ed oscuri che erano. Ma se tutti i presocratici sono deduttivi, allora il mio pensiero corre subito ai ‘cosiddetti Pitagorici’’*, perché, lo si voglia o no, malgrado le sue radici filosofico-dialettiche, la struttura dimostrativa trova solo nel lineuaeeio

RELAZIONE quell’ambiente ideale in cui essa può raggiungere la prima esemplare e consapevole manifestazione. Queste note hanno, cosi, rivelato i singolari risultati di una lettura fenomenologica delle origini e dello sviluppo della matematica e, più ampiamente, del pensiero greco che, mostrando la nascita traumatica dell’ Occidente con la crisi progressiva dell’arcaica cultura del realismo segnico, si discosta in maniera nitida da quella lezione usuale e generica ispirata ad cosiddetto spirito antipratico ed antiempirico della cultura greca. Fasc IL op. at, pp. Mes; JE RAVEN, Pythagoreans and Elestxs, Amster 1966, pp. 51 € ss., p. 57. dam 11 STOB. 1 pré, p. 20. 1 W. 12 Cè una tradizione che attribuisce a Talete l’idea lazioni egiziane (cfr. A. REY, La jeunesse de la science grecque, Parigi 1933, p. 51; PH. MICHEL, De Pythagore à Euchde — Contribution è l'historie des mathématiques préeuclsdiennes, Parigi 1950, p. 227). 13 J-ERAVEN, op. af., p. 62. 14 A REY, op. cit, pp. 275-276. Non seguo la tesi di W. Burkert secondo la quale lo schema corpo-superficieline2-punt sia o platonico (W. BURKERT, op. cit., p. 43). 15 A REY. op. af, p. 275, pp. 299-300, pp. 365- 366, p. 397; W. BURKERT, op. cit, p. 32, p. 48, p. 222; cfr, però, K. REIDEMEIST Das exakte Denken der ER, Griechen, Darmstadt 1972, pp. 29-31 e E. FRANK, op. at, pp. 219-222. NOTE 1 Cfr. W. BURKERT, Lore and Science im Ancient Pythagoreanism (tr. inglese), Cambridge, Massachusetts 1972, p. 28; J.A. PHILIP, Pythagoras and Barly Pythagoreanism, Toronto 1966, p. 19, p. 34 e ss., p. 53, pp. 69-70, Pp. 79, p. 88, pp. 93 e ss., p. 172 e ss.; cfr. le tesicontrarie di E. FRANK, Plato und sogennanter Pythagoreer, Tubinga 1962 (ripr. ediz. 1923), pp. 260-261, p. 335. 2 ARISTOT. Methaph. I(A), 5,985 — 9862 (segue la trad. it. di M. TIMPANARO CARDINI, Pitagoncs, Fasc.III, Firenze 1964, pp. 57-59); cfr. anche Merspb., A 5,986 a 15;A 5,987 a 9. 3 ARISTOT., Metaph., I(A),8,989b ( seguo lar è di A. Russo in ARISTOTELE, Opere, Vol.VI, Bari 1973, pp. 34-35; cfr. Metaph., Z2, 1028 b 16. 4 ARISTOT., Metaph., I(A),8,990a (tr. x di À Russo, Jbi4., p. 35). 5 ARISTOT., Metaph., I(A),8,9902 (tr. ir. dA Russo, Ibid, pp. 35-36). 6 ARISTOT,, Metaph., I(A),8,9902 (tr.it. di A Rus so, lbid., p. 36). 7 ARISTOT., Metaph., KA),6,987b. 8 ARISTOT., Metaph., M8,1083b8; M6, 1080616. 9 ARISTOT., Metapb., I(A),6,987b (tr. it. dA Russo, op. cit., pp. 26-27). 16 Cf, ad es, E CASSIRER, Filosofia delle forme sembolsche, Vol. Il, Il pensiero mitico, Firenze 1964 (tr. it. di E. Arnaud), p. 330; E. CASSIRER, Linguaggio e mito, Milano 1961 (tr. it. di VE. Alfieri), p.94, pp. 96-97, p. 98, p- 102, pp. 102-103 e ss., p. 105; S. GIEDION, L'eterno presente: le origini dell’arte, Vol. 1, (tr. it. di F. Jesi), Milano 1965 pp. 18-19, p. 231. 17 Cf, ad es, G. CALAME-GRIAULE, U mondo dele parols - Esmologis e linguaggio dei Dogon, (tr. it. di 18 C&.R CANTONI, I pensiero dei primitivi - Predado 2 sn'astropologis, Milano 1963, p. 142; H. WERNER, Puvologis comparsts dello sviluppo mentale. (u. it. di B. Garau), Firenze 1970, p. 281; L. LEVY-BRUHL, Les fomcisons mentale: dans les sociétés inférieures, Parigi 1951, p. 220, p. 232; E. CASSIRER, Filosofia delle forme simboliche, op. cit.. pp. 200-201. 19 H WERNER, op. ai, p. 282. 20 C&L LEVY-BRUHL, op. ai., p. 209, pp. 219221; cfr. contro questa tesi O. LER OY, La raison primitive, Parigi 1927, pp. 115 ¢ ss.: dr. R. CANTONI, op. cit., pp. 143 ess H_ WERNER, op. cit., pp. 283. 21 PH MICHEL, op. cit, p. 296; H. DIELS e W. 1964. PHILOL 44 (32), B4, B11. Si noti che Bpotoc per i Geen significa simile © uguale nello stesso tempo (cir K. JOEL. Geschichte der antiken Philosophie, Vol. 1921, p. 366 A 1, Tubinga U Ver boTorino di Pitagora, 1924, pp. es. p 91 nota 1; A. REY, op. cit., p. 46; JA PHILIP. op. at. p. 45. pp. 54-55, nota 3); W. BUR-

KERT, op. cit., pp. 265-267. 22 =Cfr. F. ENRIQUES, Le matematiche nella storia della cultura, Bologna 1982 (ris. an. della ed. del 1938), ai à 23 P.H. MICHEL, op. cit., p. 297 1 24 Rimando qui agli studi di A. Szabo sull’orgine e sul significato del termine Aöyog e di termini ad esso connessi (A. SZABO, Anfänge der griechischen Mathematik, 42 ARISTOT., Metaph., 1 (A) 9,99 1a-b; cfr. F. ADORNO, Studi sul pensiero greco, Firenze ,1966, pp. 180-181.; cfr., però, E. FRANK, op. cit., pp. 163-167. 43 W. HEISENBERG, Tradition in der Wissenschaft, Monaco 1977, p. 85, p. 87; Quantentheorie und Philosophie, Stoccarda 1979, p. 97, Wandlungen in den Grundlagen der Naturwissenschaft, Stoccarda 1980, pp. 9 e s., pp. 81-84, p. 153. II, Firenze 1962, p.32, pp. 89 e ss. 44 PLATO, Resp., VI, 510b, 510d; Meno, 86d-87b. 45 M. PIERI, Della geometria elementare come sistema ipotetico-deduttivo (Acc. reale delle scienze di Torino), 26 Cfr. contro questa tesi PROCL. in Eucl. 65.11 FRIED. (Da Eudemo fr. 84) (DIELS FRANZ, PYTH., 14 Torino 1899. 46 PLATO, Resp., VII, 533b. 47 PLATO, Resp., VI, 509d-511e; VII, 533c. Monaco, Vienna 1969, p.193, p. 205, pp. 221 e ss., pp. 223-224); cfr. M. TIMPANARO CARDINI, Pisagorici, Vol. 25 Cfr. P.H. MICHEL, op. cit., p. 325, p. 410. (4), 6a); G. MILHAUD, Les philosophes-geométres de la Grèce - Platon et ses prédécesseurs, Parigi 1900, p. 86: A. REY, op. cit., p. 201, p. 224. 27 P.H. MICHEL, op. cit., p. 486; J.A PHILIP, op. cif., pp. 31 e ss., p. 200. 28 A. SZABO, op. cit., pp. 125-126, pp. 129-130, pp.137-138. 29 P.H. MICHEL, op. cit., p. 512. 30 G. MILHAUD, op. cit., p. 137 e ss. 31 A. SZABO, op. cit., pp. 112-113, pp.238 e ss. p. 263, p. 271, p. 277, p. 283; W. BURKERT, op. at., p. 423. 32 A. SZABO, op. cit., pp. 285-287. 33 Ibid., p. 23, p. 33, pp. 288-291, pp. 355 e ss; W. BURKERT, op. cit., pp. 424-427. 34 A. REY, op. cit., p. 198;J. E. RAVEN, op. cit., pp. 36 e ss., pp. 40 e ss, p. 176. 35 A. SZABO, op. cit., p. 292; cfr. le tesi differenti di A. REY, op. cit., p. 204 e di J.A. PHILIP, op. cit., pp. 89 e ss., pp. 206 e ss. il quale, comunque, non ritiene che i Pitagorici siano i destinatari della nota polemica zenoniana; P.H. MICHEL, op. cit., p. 181, pp. 663 e ss. crede al contributo di Zenone alla elaborazione della nozione di continuo; J.E. RAVEN, op. cit., passim. 48 PLATO, Resp., VII, 533b. cfr. K. VON FRITZ, op. cit., pp. 101 ess. 49 PLATO, Resp., VII, 531d. 50 Cfr. A SZABO, Aefkvou als mathematischer Terminus für “Beweisen”, in ‘‘Maia’’, N.S.X, 1958, pp. 106-107, pp. 122 e ss.; A. SZABO, Amfange..., op, cit., p. 247, pp. 251-252, pp. 259-262. 51 Plato, Euthy., 209b-c; P.H. MICHEL, op. cit., Pp. 53 e ss. 52 Cfr. O. BECKER, Das mathematische Denken der Antike, Gottinga 1966, p. 18; K. VON FRITZ, op. cit, Pp. 68 e ss., p. 95 e ss.; cfr. l’interessante lavoro di E. NIE- BEL, Untersuchungen über die Bedeutung der geometri: schen Konstruktion in der Antike, Colonia 1959. 53 Cfr. K. REIDEMEISTER, op. cit., pp. 51-55. 54 Cfr. per i temi dell’antidogmatismo e del realismo nominale K. DEICHGRAEBER, Die griechische Empirikerschule, Berlino, Zurigo 1965 (rist. an. dell’ed. 1930), p. 253, pp. 256-258, p. 261, pp. 263-264, pp. 269- 270. p. 277, pp. 280-287, pp. 291-292, p. 294, p. 296, pp. 300-311, p. 314; cfr. anche B. FARRINGTON, Storia della scienza greca, Milano 1964 (tr. it. di G. Gnoli), pp. 89-90; cfr. per la teoria del ciele DIELS KRANZ, PHILOL., 44 (32) A16 (AET. II, 7, 7); ARISTOT. Metaph., 1 (A), 5, 986a; I 36 A. SZABO, op. cit., p. 434. 37 Ibid., pp. 303 e ss., pp. 313 e ss., pp. 326 e ss., pp. 335-339. 38 Ibid. p. 328, p. 332, p. 341. (A), 8, 989b; XIV, N. 3, 10902; cfr., anche B. FARRINGTON, op. cit., p. 116. 55 Si tratta della &óEa àAndés (Plato, Theaet., 200 ess). secondo J.A. PHILIP, op. cit., p. 30, la presenza di una struttura deduttiva articolata in assiomi e teoremi non può datarsi prima della fine del V secolo. 56 PLATO, Tim., Sie. 57 Cfr. G. MILHAUD, op. cit., pp. 222 e ss. 58 Cfr. P.H. MICHEL, op. cit., pp. 191 e ss., pp. 206-209. 40 A. SZABO, op. cit., p. 378, p. 417: 41 ibid, pp. 448-449; cfr. K. VON FRITZ, Platon, Theaetet und die antike Mathematik, Darmstadt 1969. Fasc. III, op. cit., pp. 27-36 e le riserve espresse in proposito 39 Ibid., p. 291-294, p. 353, pp. 416-417, p. 452; Cft. M. TIMPANARO CARDINI, Pitagorici, da W. BURKERT, op. cit., pp. 433-434.