Pythagoreische Zahlentriaden

SINDEL,E. (S3XE2UaNp5S1KQ-cUN4rEeT87o) stehung einer übergeordneten einheitlichen Schôpferkrai \ql die auf der einen Seite im Stofflichen in musikalischen Knytnmen ge staltet, auf der anderen Seite aber ein Bild dieses Geschehens im Materiellen des Ohres aufbaut, das nun durch seine Verwandtschaft hiermit in Resonanz kommen kann mit allem Musikalischen, das von der Materie losgelöst ist. Zum Abschluf noch etwas über die Art und Weise, wie der Abbau der Stoffe vor sich geht. Er erfolgt bei Kohlenhydraten, Fetten und Eiweißstoffen gleichartig, nachdem sie in die „aktivierte Essigsäure“ überführt worden sind, so daß der Organismus nur für den Abbau der letzteren zu sorgen hat. Auch hier handelt es sich um ein KreislaufGeschehen, das nach seinem Entdecker Krebs-Zyklus (ZitronensäureZyklus) genannt wird (Abb. 5). Wiederum treten neun Stufen auf, die in der Pflanzenwelt als Säuren weit verbreitet sind, dort allerdings als Zwischenstufen für den Aufbau. Wir sehen, daß der Mensch Wesentliches seiner Umwelt in sich trägt, ohne sich dessen bewußt zu werden. Die Leber bringt es fertig, Kohlendioxyd und Wasser bei diesem Zyklus frei zu setzen, ohne daß weitere Stoffe übrig werden; denn das Endprodukt, die Oxalessigsäure, verbindet sich wieder mit der „aktivierten Essigsäure“ und es entsteht wieder Zitronensäure, der Neuanfang des Zyklus. | Wir sind am Ende dieser Betrachtungen angekommen, die im Rahmen der Vorbereitungen des Verfassers für den Chemie-Unterricht der 11. Abb.5 Cifronensäure — CiyKlus , n AKbivierle Essigsäure” “e, Citronensáure lso-Cifronensaure ee ee Apfelsä ure | | und 12. Klasse entstanden sind. Selbstverstándlich besteht nicht die - Meinung, daß dieser Inhalt in ähnlicher Form an den Schüler herangebracht werden könnte. Aber es ist förderlich für eine Unterrichtsepoche, wenn der Lehrer über Gesichtspunkte verfügt, aus denen heraus er mit einer gewissen Souveränität seinen Unterricht gestalten kann. Er ist dann in der Lage, je nach der gegebenen Situation, auf dieses oder jenes Teilgebiet zuriickzugreifen, das ihm aus einer solchen Zusammenschau leichter zugänglich ist. Denn der Schüler der Oberstufe erwartet, daß ihm der Lehrer auf Fragen so zu antworten vermag, daß für ihn tiefere Hintergründe sichtbar werden, selbst wenn er in diese noch nicht ganz einzudringen vermag. Rainer Dilloo LITERATUR: Rudolf Steiner: ! „Entsprechungen zwischen Mikrokosmos und Makrokosmos“, 8. Vortrag. - ? „Landwirtschaftlicher Kurs“, 3. Vortrag. Cio PYTHAGOREISCHE ZAHLENTRIADEN Pädagogische Gestaltung einer mathematischen Unterrichtsepoche im neunten Schuljahr einer Waldorfschule, 1. Teil Schon gegen Ende des Mathematikunterrichtes eines 7. Schuljahres soll eine Epoche dazu verwendet werden, den Schülern den pythagoreischen Lehrsatz nahezubringen. Am besten wird man sich dabei eines oder mehrerer der zahlreichen Zerlegungsbeweise bedienen, also noch im Geometrischen verbleiben. Das 13. Kapitel meines Pythagorasbuches liefert dafür neben dem, was von Rudolf Steiner stammt, genügend Anregung und Stoff für den Hauptufterrichtsiehrer, auch wenn er kein Fachlehrer ist. Der Unterrichtsstoff des 8. Schuljahrs kann dazu verwendet werden, das sogenannte ägyptische Dreieck, wie es auf den ersten Seiten meines 9. Kapitels dargestellt ist, zu behandeln. Im 9. Schuljahr, wenn der Hauptunterricht in der Mathematik den Händen eines Fachlehrers anvertraut wird, besitzen die Schüler die nötige Reife, den eventuellen Nutzen aus den beiden vorhergehenden Schul- Oxalbernsfeinsäure Fumarsäure Kefoglufarsäure — > Bernsfeinsdure 324 jahren zu ziehen. Zwei Erntewagen sind erforderlich: der erste fährt die pythagoreischen Zahlentriaden in die Scheuer, der zweite hat sich mit neu entdeckten Zahlen, die man irrationale Zahlen nennt, beladen und

shwankt unter ihrer Last bedenklich hin und her. Hier, wo der junge Mensch im Alter zwischen 14 und 15 Jahren steht und die Geschlechtsreife hinter sich gebracht hat, ist die Angabe des Lehrplans der Freien Waldorfschulen streng zu beachten: ,,Die voll erwachte Denkkraft und Urteilsfähigkeit des jungen Menschen fordert Nahrung und Betitigungsmöglichkeit in Aufgaben, die durch die Anwendung von Vernunft und Logik zu lösen sind.“ Wehe dem Lehrer, der dieses Gebot nicht beachtet, indem er vor der Klasse als Dozierender steht, alles oder fast alles selbst vorträgt und die Schüler nicht zum Denken, sondern bloß zum Nachdenken erzieht! Diese Gefahr besteht besonders für denjenigen Unterrichter, der in sein Fachgebiet besonders tief eingedrungen ist. Er wird bald dahin geraten, nur für den begabteren Teil der Klasse verständlich zu werden und über die Köpfe des Restes hinweg zu dozieren, der daraufhin einfach abschaltet. Es kann sich also nur darum handeln, daß der Unterrichtende soweit wie möglich zurücktritt und das meiste die Schüler selber finden läßt, wobei er darauf achten muß, daß nicht immer dieselben Schüler sich zum Wort melden. Ein hervorragendes Beispiel eines schlechten Lehrers war — Johannes Keppler. Als er, erst 22jährig, seinen Dienst an der evangelischen Stiftsschule im Österreichischen Graz antrat, liefen ihm schon nach einem Jahr Unterricht die Schüler davon, so daß er an Stelle des Mathematikunterrichts auf andere Fächer ausweichen mußte. Er setzte bei seinen Schülern zuviel voraus und glaubte, bei ihnen die gleiche geistige Beweglichkeit und Aufnahmefähigkeit, die gleiche Begeisterung für seinen Lehrgegenstand annehmen zu können. Er war sich dessen auch bewußt und redete von seiner übermächtigen „cupiditas speculandi“. Es falle ihm immer etwas zu sagen ein, ehe es möglich ist zu überlegen, ob das auch passe. Ein Lehrer dieser Art eignete sich nur für hervorragende Schüler. An einer Waldorfschule wäre er wahrscheinlich gescheitert. Wenn im folgenden Unterrichtsanregungen gegeben werden, seien sie von dem Lehrer nur im Geiste einer recht verstandenen Pädagogik entgegengenommen. Im 10. Schuljahr, wenn die Logarithmenrechnung fällig ist, geht man mit Vorteil von der Reihe aus: æ 2! 2 2 2¢ 25 Im 9. Schuljahr kehre man gleichsam den Spieß um und betrachte die Reihe 0? 326 12 22 32 42 52 d.h. die Aufeinanderfolge der Quadratzahlen. Solche Zahlen können als Flächenzahlefi über den Längenzahlen 0, 1, 2,3,4,5,..... verwendet werden. Von Interesse ist, wie diese Flächenzahlen wachsen. Das sieht man sofort, indem man die Unterschieds- oder Differenzenreihe bilder: Quadratzahlen Unterschiedsreihe 9 7 5 3 1 ssa or... 2 16 9 4 1 0 Bei den Schülern erzeugt es große Überraschung, daß die Unterschiedsreihe in Gestalt der Reihe ungerader Zahlen vor ihnen steht. Schon dem Pythagoreer war bekannt, daß die Reihe der Quadratzahlen einfach durch Addition der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen gebildet wird. Als Augenmensch wollte er es auch sichtbar vor sich haben und brachte die Reihe der Quadratzahlen und ihre Unterschiedsreihe in eine bedeutsame geometrische Figur (siehe unten). Am oberen und linken seitlichen Rande gewahrt man als Wiedergabe der Längenzahlen die natürliche Zahlenreihe 0, 1, 2, 3, 4, Bas È deren Quadrate nicht nebeneinander, sondern ineinander gezeichnet sind und zu den Flächenzahlen 0, 1, 4, 9, 16, 25,..... fiihren; letztere sind nicht sichtbar gemacht, wohl aber die Zahlen 1, 3, 5,7, 9,..... als Flächenzahlen von saumartig umeinander gelegten flächig breiten rechten Winkeln gleicher Schenkellinge. Das kleinste Eckquadrat von der Länge 1 hat auch die Flächenzahl 1. Das nächste Eckquadrat von der Länge 2 hat die Fláchenzahl 4. Es entsteht, indem sich um das kleinste Eckquadrat ein flächenhafter Saum von der Flächenzahl 3 herumlegt: 4—1 = 3. Um dieses legt sich wieder ein flächenhafter Sum von der Flächenzahl 5 cd Dfal pu] Gas tw. { on n in N ~ » Ù <Qle" 1 10 11 & mdoxsS»poiIse OAW©Nwo e>PrsSecal -4-|-]-]-l-l-[e “leOJoiS-s eAorsP-) mit , y ms to |m; «a ~ = ‘ 1 1 72727, ' , 14222 7 1 y be OIUaEDANsONNMSdDoEaI ! 3 at 4 A 3 IESNMIoEdyN:e herum und erzeugt das

dritte Eckquadrat von der Fläche 9, usw. Das obige Reihen breiten . Diendengleichungera h erklärt unddiezugleic verbildlicht damit geometrisch den man Gnomone und zu ihnen gehöre Säume nannte Zahlen Gnomonzahlen oder Gnomotes; Gnomon heißt in wörtlicheo Benrteiler. Übersetzung Erkenner,nzahl en sind jedoch zugleich auch Quadratzahlen | Manche der Gnomo Ihre Streifen sind durch Schräffierung in der Figur 9 = 3* und 25 = 5°.Fortse tzung der Figur würden solde besonders hervorgehoben. Bei Gnomon-Quadratzahlen immer wieder auftreten, die ungeraden Quachend. Die dratzahlen 49 = 7%, 81 = 9, 121 = 115... veranschauliigen Unter- Frage entsteht, von welchen Quadratzahlen sie den jeweil schied bilden. Sie beantwortet sich durch ein näheres Eingehen auf die beiden in der Figur hervorgehobenen Gnomonstreifen: 1) Der erste von ihnen verdeutlicht die Rechenbeziehung st 4=9= 7, n ORNE VRML ES Quadraten ist n Dreiecks. Nun hat 3? = 9 die also die Gesetzmäßigkeit des ägyptunische i d und bei den ungleichen „Hälften“ 4 d 5, 3* = 9 der Viateradied. in dem zweiten hervorgehobenen Streifei n, : lbe Gesetz4 waltet 2) Dasse der die Rechenbeziehung 13° — 122 = 25 = 5? verbildlicht. Denn st = 25 hat die beiden ungleichen Hälften 12 und 13, und von deren Quadraten ist 5* = 25 der Unterschied. nächste, nicht mehr sichtbare Streifen idieser Art wi:re 49 = 7°. 3) Der us : Da die beiden Hälften von 49 die Zahlen 24 und 25 sind, muß gelten 25% — 24! = 72. = 15, Will man von irgendeiner ungeraden Quadratzahl, etwasie225 feststellen, von welchen beiden anderen Quadratzahlen den Unter schied bildet, so suche man von 225 die beiden ungleichen Hälften 112 und 113 auf, und man gewinnt die richtige Bezichung: È en un; re beid ih en ut la so l, Quadratzah 113? — 112? = 15° Ist allgemein n° eine ungerade gleichen Hälften Quad «hi e nd tI 2 328 2 i und man erhält dieBeziehung: .ist. 7.. ,5, 1,3 = n ei wob nt, = ) E — + 2 2 24 1 2 2— 1 3 triaden r eine Fülle vonefüZahhrtlenwer mon-Quadratfigu So quillt aus der Gno den: ang ks iec Dre en sch pti ägy des n ige jen der n vo die hervor, z= 5? — 4? st = 132 — 12° 7e = 25? — 24° gt = 41° — 40° 112 = 61% — 60° dern auchTriade, son ht bloß dietunershabte en. stehen, obhtenic ge mußmitentde Die Fragen dur Das ist ch ent den m rec n Winkel zu alle fol e die Partner-t all gen zei r Nu . llt ste tge fes l nel sch ung chn Zei e end sprech ümlichkeid en Dreiecmek rdielanEigggeent zum ägyptin sch dreiecke nnim maGegnensso atz eckter un str oder, we eine praktisagschenedarErzf,eugdeungManeingeles,recimhten Winkels immer undamit für werden, unterscheiden sich doch Hypotenuse und lange geeigneter zu um die gleiche Lange 1 voneinander: Kathete immer unsS$wOn 07 12 2 2 te pytha-heu h noc n ma nt nen gen obi die e wi n ade tri len Zah Solche len. Sie sind beileibe nicht die einzig méglichen. Wenn bei Zah goreische bilden, gilt..dieAns aucderh voFonrmallderen e solche Triader 9,1 spielsweise 3,che4n,unalsd 5o ein 5.. h dadurch nicht 10 ode iec2,1 von 6, 8, lig ihren Vielfasprechenden rec sic cke wird ke ändert tne ink eneDre ihnen ent te; der soebenhtw rdreie das minhdesnicht behoben. MafesntgekastennlltdieMaVerngvieellfaderchuParngen als abgeleitete dadurc Gegensatz zur Grundtriade, aus der sie alle hervorgehen, Triaden im Die obengenannten Triaden sind nämlich sämtlich Grundbezeichnen.

triaden und daran erkennbar, daß ihre drei Zahlen keinen gemeinsamen Faktor aufweisen. Die Figur enthielt bisher als durch Schraffierung ausgezeichnete Gnomonquadratzahlen nur die Quatrate 9 und 25 der ungeraden Zahlen aber nicht die Quadrate gerader Zahlen wie 4 = 22, 16 = 42, 36 = 6?,. Ñ Aber das liegt keineswegs an der Figur als solcher, sondern vielmehr an ihrer eingeschränkten -#** Betrachtungsweise. Man — 2 3 « L 6 15 16 17 Schraffierung hervorgeà aly PL 4 BE hobenen ,17,7,'.71-% A |e" Li Bildausdruk A a e. zu gelangen, immer zwei 0% ei . Nachbargnomoneà zu à einem Ganzen vereinigen, à ne a ar 4 zeigt. Diese enthält mitA 13] 2° e 0. 4 e ¢ 22 0 # ¢ ¢ e * ‘ er ¢ e“#14 I/ it 7 wie es die dritte Figur | 7| | FE ¢ Padra. Ed a elo” y @# ote ay rl 7 + 7 La #1 * 2 2 ve è ae 0 n rie 21 + hin alle Quadratzahlen . in Gestalt von Gnomox 2) | LL’ * de . Pi nen, die ungeraden in 2) le ö # einfacher Breite, die ge- = orf ttt tte TER raden 7 SEA ¿2 gf y A Pd sf e Fi pe 2° È a ut 2° 3) in doppelter Breite: | Ist mit den doppelt so breiten Gnomonen etwas gewonnen? Die letzte Figur weist vier derselben auf, von denen die drei ersten bei näherer Priifung nichts Neues liefern, nämlich 1+ 3= 7+ 9=16=4%= 4=2= 2%— 0° Selbstverständlichkeit 5°— 32 erste alte Grundtriade 17 + 19 = 36 = 6? = 10°— 8? erste alte abgeleitete Triade Wohl aber ergibt der vierte Doppelstreifen eine neue Grundtr iade: 31 + 33 = 64 = 8! = 17? — 152 Der Weiteren Auswertung der fortgesetzt gedachten doppelstreifigen Figur sind nun keine Schranken gesetzt. Wie weit da der Lehrer gehen will, muß ihm je nach der vorliegenden Reife seiner Schülerschaft überlassen bleiben. Auch hier könnte man es für den Falln = 2,4,6,8..... zu einer in Buchstaben ausgedrückten Formel bringen, die dann lauten 330 Man könnte so fortfahren und es mit lauter schraffierten nebeneinanderliegenden Gnomonen von dreifacher Breite versuchen. Aber das mag der Fachmathematiker nicht mit der Klasse, sondern für sich pro| bieren. Zum Abschluß werde die gleiche Untersuchung, welche den Quadratzahlen zuteil wurde, auch mit den Kubikzahlen vorgenommen. Mit ihnen ist ein modernes Problem angeklungen, das die Betrachtungen abschließen kann. Man stelle genauso wie bei den Quadratzahlen die Reihe der Kubikzahlen vor die Schüler: 1 8 27 64 125 216 343 512 TAI un Wie bei den Quadratzahlen bilde man deren Unterschiedsreihe: 7 19 37 61 91 127 169 217 was en Nach Art der ineinander geschobenen Gnomonquadrate miifte man ineinandergeschobene Gnomonwiirfel bilden und versuchen, ob es solche Wiirfelpaare gibt, bei denen der Unterschied zweier Kubikzahlen wieder eine Kubikzahl sein kann. Der im 17. Jahrhundert lebende französische Mathematiker Fermat behauptete, daf es solche ausgezeichneten Gnomonwiirfel nicht gebe. Den Beweis fiir diesen Tatbestand vermochte er nicht zu erbringen. Seit dem nennt man denselben den Fermatschen Unmöglichkeitssatz oder das Fermatsche Problem. Der Darmstädter Mathematiker Wolfskehl suchte der Wissenschaft einen Dienst zu leisten, indern er eine Summe von 100 000 Mark für denjenigen stiftete, welcher das Fermatsche Problem beweise. Der Preis wurde i. J. 1907 ausgesetzt und sollte i. J. 2007 erlöschen. Natürlich ist heute durch doppelte Geldentwertung nichts mehr davon vorhanden. Die Folgen dieser Preisaussetzung waren fürchterlich. Nicht so sehr traten die eigentlichen Mathematiker als Bewerber mit Lösungen hervor, sondern Ingenieure, Pastoren, Lehrer, Gymnasiasten, Studierende, Bankiers, Offiziere usw. Alle diese Beweise mußten gedruckt erscheinen und waren natürlich im Selbstverlag veröffentlicht. Ihre Zahl hatte bald die Tausend überschritten. Manche Bewerber haben sogar mit Klagen auf die Auszahlung „ihrer“ 100 000 Mark gedroht. Belehrungen über die Falschheit des Gedankenganges seitens einer eingesetzten Kommission, der auch der bekannte Professor Lietzmann angehörte, wurden mit Hohn zurückgewiesen oder mit überlegenem Lächeln oder Zeichen des

Weltschmerzes entgegengenommen. Ganz selten zeigte jemand Einsicht „in die Unzulánglichkeit seiner Bemühungen. Einer dieser weißen Raben schrieb an Lietzmann: Nicht zähl’ ich zu den geistig Starren, zu jenen unbedingten Narren -. Ich hab’s gewagt, ich geb’s verloren; zu andrem ist man noch geboren -, und sie verzeihen einem Toren. Das Fermatsche Problem in seiner Allgemeinheit ist noch heute unbewiesen. Ernst Bindel BIOGRAPHIEN IM 7. UND 8. SCHULJAHR Rudolf Steiner hatte fiir das ausgehende siebente und fiir das achte Schuljahr den Rat gegeben, den Kindern Biographien zu erzählen. In diesem Alter beginnt auf der einen Seite die Pubertät: das kindliche Seelenleben fangt an, in schwere Erschiitterungen zu kommen, das Verhältnis zu Vater und Mutter unterliegt starken Schwankungen, immer mehr gerät das Kind in Gegensatz zur Welt der Erwachsenen und empfindet seine persönliche Eigenartigkeit und Einsamkeit. Hin und wieder taucht die Frage nach dem Sinn des Lebens auf. All das ist vielleicht noch gar nicht klar bewußt, aber es rumort im Empfinden und Lebensgefühl der Kinder dieses Alters. - Auf der anderen Seite erleben sie noch immer Zeiten sonniger Unbekiimmertheit und gnadenvoller Vertrauensseligkeit und Zukunftshoffnung. Noch empfangen sie von geliebter Autoritat Gebotenes ohne Skeptizismus. Schon melden sich Ideale und Ziele und ein leises Erahnen der eigenen Individualität und Aufgabe. Es ist die Zeit, in der der junge Johann Gottlieb Fichte in alle Bücher das Motto schrieb: „Und wenn geborsten die Welt zusammenbricht, werden den Furchtlosen selbst die Trümmer noch tragen!“ (Das ist schon die Stimme des gleichen Geistes, der durch die „Reden an die Deutsche Nation“ tönt.) Hier kann es nun kaum eine bessere Hilfe geben, als richtig gewählte Biographien, die, vom Lehrer innerlich warm und in deutlichen Bildern durchlebt, dem Kinde erzählt werden. Aber richtig gewählt müssen die Biographien sein. Sie müssen Menschen zeigen, die mit ihrem Schicksal