Kritische Berechnungen der musikalischen Tone und der diatonische Tonleitern

KRITISCHE BERSCHNUNGEN MUSIKALISCHEN TUNEZ und der DIATCNISCHE TCNLEITERN von Professer Dr. Wilhelm Matzka K.K. Regierungsrath u. ordentl. Mitglied der Kön.Böhm. Gesellschaft der Wissenschaften. (Abhandlungen der Königl.Böhm. VI. Folge. 11 Band.) Gesellschaft der Wissenschaften, (Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe Nrc. 7) Verlag der königl. Druck von Dr. Ed. PRAG böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften- Gregr. 1882, Während meiner Lehrtli&tigkeit als ordentl. Prcfesscr der Mathematik an der philcs, Fakultät der Prager Universität, pflegte ich seit dem Cktober 1856 über mathematische Partien der wissenschaft- VV KNMAWTA,Z‚82 lichen Physik Vorlesungen abzuhalten. Natürlich kam hierbei in manchen Semestern die Lehre vom Schall - die Akustik - und in dieser die Lehre von den Tönen zum Gegenstand solcher Vorträge. Bei dieser letzteren, insofern die in der gewöhnlichen Musik verwendbaren Töne in Betracht zu ziehen waren, vermochte die in den Lehrbüchern der Physik vorkommende Bildung oder Zusammenstellung der, der Musik zur Grundlage dienenden, diatonischen Tonleitern mich niemals volls tändig zu befriedigen. Denn Chladni's des berühmten Akustikers Princip, dass die als unechte Brüche dargestellten Zahlwerthe der musikalischen Töne in ihren Nennern und Zählern keine andere Primzahl denn 2, 3, 5 als Faktoren cder Theiler enthalten dürfen, wenn anders die Töne das Gehör nicht schrill klingend beleidigen sollen, möchte sich wohl kaum empirisch begründen lassen. Auch das Princip, dass die Zahlwerthe der Töne der Tonleitern durch die möglich kleinsten Nenner und Zähler dargestellt werden müssen, kann über die Wahl zweier nur äusserst wenig von einander verschiedenen Tcnwerthe keineswegs entscheiden; wie z.B. ob - O. 5 die Secund, = O. = die Septim sein sclle. Endlich kann über diese Wahl auch nicht die Empirie, die Praxis der Musik oder das Gehör des Musikers vollgiltig entscheiden, weil ein äusserst fein gebildetes Gehör schon dazu gehört, um 2 Töne, deren Intervall nicht grösser als ein syntcnisches Komma = ist, deren Zahlwerthe cder Schwingungszahlen nemlich im Verhältniss 80:81 stehen, strengstens unterscheiden zu können. Sc oft auch seither die Reihe meiner anderweitigen Gedanken zufällig von der Erinnerung an diese Mangelhafte Begründung der Tonleitern erfolglcs durchkreuzt wurde, so scheint es mir doch endlich vor einiger Zeit gelungen zu sein, die richtigen und festen Anhaltspunkte für die streng wissenschaftliche Ausmittlung der musikalisch Töne überhaupt und ihre scharf bewiesene aufsteigende Ancrdnung in Tonleitern ausgedacht zu haben,

Für jene Ausmittlung benütze ich vornehmlich zuvörderst die Verkürzung gleichtönender Saiten um je einenaliquoten Theil, wie um ihre Hälfte, ihr Drittel, ihr Viertel u.s.f., und danach die Zusammenstellung jedes Paares so gefundener Töne in Ihr aufsteigendes Verhältniss, und endlich die Theilung beider Glieder d des Verhältnisses durch sein erstes Glied, damit das entstehende zweite Verhältnissglied den Zahlwerth eines neuen Tones angibt. Die Auswahl und Reihung der in eine Tonleiter aufzunehmenden Töne knüpfe ich danach schliesslich an die unnachsichtliche Forderung, dass sie sc oft als möglich paarweis consoniren oder harmoniren, d.h., dass ihr Zusammenklang im menschlichen Gemüthe ein angenehmes, bald freudiges, bald ernstes Gefühl erwecke, dass demnach in jeder Tonleiter möglichst viele eigentliche wohltönige Zweiklänge, nemlich Quinten, Durterzen und Mollterzen sich vorfinden; denn die Musik als Sprache des menschlichen Gemüthes erheischt doch unnachsichtlich Harmonie und Melodie ihrer Töne. Möge der sachkundige Leser dieses kleinen Aufsatzes die von mir dargelegten Gedanken freundlich, und nicht ohne Befriedigung entgegehnehmen. I. Eine einfache rechnende Zusammenstellung in die Bestimmung musikalischer Töne und diatonischen Tonleitern. deren Par.l. Bekanntlich gibt es viele Körper, welche unter gewissen Umständen schallen, klingen oder tönen, also einen Schall, Klang oder Ton hervorbringen. An solchen bestimmten Tönen unterscheiden wir nebst Anderem ihre Höhe oder Tiefe, indem wir von zwei gleichzeitig oder rasch nacheinander folgenden Tönen, den einen den höheren, den anderen den tieferen Ton nennen. Als Ursache dieser mannigfaltigen Höhen der Töne erklärt die in der Naturlehre (Physik) vorkommende Lehre vom Schall (Akustik) den Umstand, dass derartige Körper in kurzen Zeiten sehr viele Schwingungen (Cscillationen) oder Erzitterungen (Vibraticnen) zu machen veranlasst sind. Um zugleich die Höhen der Töne messen, ihre Verhältnisse aufzustellen und hiernach sie selbst durch Zahlen darzustellen, nimmt die Akustik an, dass die Höhen der Töne klingender Körper sich wie die Anzahlen der von ihnen in einer gewissen kurzen Zeit (z.B. einer Secunde) hervergebrachten Schwingungen verhalten, nemlich dass ein Ton 2 Mal, 3 Mal, 4 Mal u.s.w. so hoch als ein anderer bestimmter Ton ist, wenn der ihn erzeugenden Schwingungen 2 Mal, 3 Mal, 4 Mal u.s.f. so viele sind, als die diesen letzteren Ton hervorbringenden. Ist demnach die, diesen letzteren zur Vergleichung festgestellten Ton hervcrbringende, Anzahl Schwingungen eine gewisse, bestimmte, so darf man sie für die Erforschung der Verhältnisse der Tonhöhen kurz äurch die Zahl 1 darstellen, daher jene zweifache Anzahl durch 2, jene dreifache durch 3, jene vierfache durch 4 u.s.f. Der cben erwähnten Propörtionalität (Verhältnissmässigkeit) der Tenhbhen zu den Schwingungszahlen entsprechend, kann man demnach die Höhe des zu Grund gelegten Vergleichungstones durch die Zahl 1 und die Höhen der mit ihm verglichenen TËne durch 2, 3, 4 u.s.f. ausdrücken, ja sogar zur Kürzung der Rede sich erlauben, diese Tonhéhen cder Tcnwerthe und auch die Töne selbst 1, 2, 3, 4 u.s.f. zu nennen.

Noch mehr, wenn die einen Ton hervorbringende Zahl von Schwingungen, z.B. ftinf Dritttheile der den Vergleichungston 1 erzeugenden Anzahl Schwingungen beträgt, d.h. wenn der jenen Ton gebende Körper so oft 5 Schwingungen macht, als der den Vergleichungston erzeugende nur 3 Mal schwingt; sc stellt man kurzweg die Hthe oder den Werth jenes Tones, oder auch ihn selbst durch den Bruch 5 dar. 3 Par.2. Die den Menschen interessantesten (anziehendsten) und für ihr Gefiihlsleben nützlichsten Töne sind diemusikal is che n, Ihr Hauptvorzug liegt darin, dass sie von Sachkundigen mittelst geeigneter Werkzeuge (Musik-Instrumente) und ihrer angenessenen Behandlung mit solcher Bestimmtheit vervorgerufen werden können, dass jeder Ton wann und wie oft auch er gehört werden möge, doch jedesmal als genau derselbe anerkannt wird; wodurch es möglich wird, die musikalischen Töne durch besondere Namen und Schriftzeichen zu fixiren (festzumachen). Da die Musik als Sprache der menschlicher Gemüther auf diese theils erfreuend, aufmunterns, theil; betrübend, herabstimmend einwirken soll; sc können ihre Töne nicht willkürlich zusammengegriffen und zu Gehör gebracht werden, scndern dieselben sind dermassen zu wählen, dass in jedem Musikstück sc viel als möglich Paare, dem menschlichen Gehöre und Gemüthe angenehm zusammenklingender Töne miteinander verbunden werden. Par.3. Zur sicheren Auswahl von derartigen consonirenden Tcunpaaren lassen sich am vortheilhaftesten ge s pennte Sa i t e n verwenden. Wir setzen hier stets vcraus, dass dieselben aus einem und demselben Stoffe - Messing, Stahl, Silber oder Darm - und durchaus gleich dick erzeugt und durch Gewichte oder sonstige Mittel gleich stark gespannt seien, so dass sis sich nur in ihrer Länge ven einander unterscheiden, und höher cder tiefer klingen, je nachdem sie kürzer oder länger sind. Derartige Saiten bieten uns nemlich für die bevorstehende Untersuchung hichst wichtige Vortheile in dem von der Akustik erwiesenen Satze: Dass die Schwingungszahlen solcher gleichartiger, (gleich dicker und gleich gespannter) Saiten sich zu einander verhalten wie umgekehrt deren Längen. Denn da (gemäss Par.1) die Höhen zweier Töne sich so wie die Schwingungszahlen der si erzeugenden Körper verhalten, so müssen auch die Höhen der Töne zweier soeben beschtiebenen Saiten ebenfalls sich verhalten, wie umgekehrt die Längen dieser Saiten. Z.B. Wenn die Längen zweier Saiten sich zu einander verhalten wie 15 : 8, so verhalten sich die Schwingungszahlen sowohl als auch die HChen der Töne dieser Saiten umgekehrt wie 8 : 15, d.h. wenn man dem tieferen Tone der längeren Saite die Hthenstufe 8 anwiese, müsste man dem höheren Tone der kürzeren Saite die Stufe 15 anweisen. Derlei Tonhöhen-Verhältnisse, wie 8 : 15, werden wir im Folgenden jedesmal steigend, vom tieferen Tone zum höheren sich erhebend, mordnen, und indem wir ihre beiden Glieder durch das erste theilen, auf die Form 1: = bringen. Dadurch stellen wir nemlich die Höhe des tieferen der beiden verglichenen Töne, bestimmte Stufe einnehmend durch die Zahl 1 Höhenstufe des htheren Tones alse ine & e w is (Zins), dagegen die durch den unechten Bruch 15 dar; 8 welche Darstellung sur Vergleichung mehrerer Tône unter sich vortheilhaft verwendbar ist, indem wir zur Abkürzung der Rede die Töne und ihre Höhen mit den die ersteren darstellenden unecht gebrcchenen Zahlen selbst, wie hier mit 2 und 15 bezeichnen und benennen. Auf Saiten der obigen Art bezogen,wofern wir die länge der den

der áen Ton 1 gebenden Saite durch 1 derstellen, wird demnach der durch den Bruch 15 dargestellte Ton von derjenigen Saite gegeben 8 werden, deren Länge den umgekehrten (echten) Bruch 35 (acht fiinfzehnte Theile) jener Linge 1 beträgt; woraus erhellet, wie aus der Länge der Saite die Höhe ihres Tones, und umgekehrt, wie aus der Höhe eines Tones die Länge der ihn hervorbringenden Saite durch blosse Umkehrung jenes echten oder dieses unechten Bruches sogleich gefunden werden kann. Par.4. Zur Aufsuchung von geeigneten musikalischen Tönen denken wir uns über einem Resonanzboden beliebig viele (zunähst etwa 12) gleich lange Saiten obiger Art gleich stark gespannt, deren Länge als mit eine gewisse bestimmte, übrigens wie immer grosse, wir insofern 1 bezeichnen, als wir sie zum Längenmass oder zur Einheit der Längen überhaupt annehmen dürfen. Sämmtliche diese Saiten müssen nun einen und denselben Ton geben, die Zahl 1 darstellen dürfen. den wir gleichfalls als durch Par.5. Mehrere dieser Saiten, und zwar von der letzten gegen die erste hin, denken wir uns je um einen aliauoten (irgend vielten) Theil ihrer gemeinsamen Länge 1, namentlich der Reihe nach um > (die Hälfte oder ein Zweitel) um L À 3? 7’ 3 E, Us 3. Wo», also auf die Längen d: + i DI 3? = 5’ E u.8.W verkürzt, so dass sie ets Par.3) beziehungsweise die Töne 2, à, =, 3» 5 UueSeWe hervorbringen. Par.6. Bei der Vergleichung der Höhen der Töne dieser Saiten können wir den von der längsten Saite 1 sich ergebenden Bezug auf die von den kürzeren Saiten erfolgenden Töne, Grund ton nennen. Vergleiche wir n mit diesem Tone nächst kürzeren Saite 5 Saiten, wie umgekehrt Ton 1, in den den der so verhalten sich die Höhen der Töne dieser ihre Längen, daher wie Il S.1=1:2 = . 3 + folglich gibt uns die Saite 5 den Ton 2 Zu diesen 2 Tönen 1 und 2 der Saiten 1 und + nehmen wir nun den Ton der nächst längeren Saite 5 d.i. den Ton die ven den 3 Saiten Ls o y À una haben scnach 4 may hervergebrachten aufsteigend gecrdneten 3 Töne 1, $, 2. Den soeben gefundenen dritten Ton stellen wir nächst höheren Tcne 2 in's Verhältniss, > seali > sogleich mit dem erhalten sonach für dieses

5 und somit ergibt sich uns zum Grundtone 1 der neue vierte Ton 5 = 5 = 1.333, den die Saite 7 hervorbringen muss, und der in Absicht auf Höhe zwischen den Tönen 1 und 2 = 15 liegt. Wir haben demnach von den 4 Saiten 1.22.4 27 59 > die 4 Töne 1, $ 8, 2 und vergleichen (suchen die Aufsteigungsverhältnisse) des neuen Tones 4 zu den schon gefundenen höheren 2, und 2° So erhalten wir = 2 =1% b) mithin den schon bekanntnen Ton 2 zum Zeichen, dass der Ton È der Saite - auch ohne diese gefunden worden ist, folglich diese Saite fiir uneeren Zweck wegbleiben konnte und schon die 3 Saiten e I i, 3?’ 7 und die vier Töne 1,3 gr 2 kennen lehren. Par.7. Vergleichen wir noch den neuen Ton 5 mit dem höheren 2, so finden wir das Verhältniss B : 2 = 1 : à a) und mit ihm vom Grundtone 1 aus den neuen Ton - = 15 = 1,125, welcher zwischen den Tönen 1 und = liegt, Sonach haben wir die fünf Töne 1, És 3, 3» 2. Stellen wir auch diesen eben gefundenen Tong mit den 3 höheren Tönen 2, 2, > so erhalten wir die Propcrtionen (Verhältnissgleichheiten) ds 2 = 1 « 8 ‘Zeina ed 23 hei + Le B:3-=1:3 und daher wieder zwei neue Töne, nemlich — + 1.778 und = - 15% = 1,385, welche mit den friiheren 5 Tónen in aufsteigender Crdnung die gliedrige sieben- Reihe 1, 2 37 +, 5 £, 2 geben,

Rückblick. Uberschaut men den Gang und die Ergebnisse unserer bisherigen Rechnungen, so ersieht man, dass wir zur Bestimmung neuer Töne aus und zu beliebig viel bereits ermittelten Tönen, ein bisher wahrscheinlich noch nicht bekanntes Verfahren angewendet haben, Diesem gemäss stellen wir jeden zuletzt gefundenen Ton mit jedem schen bekannten Tone in das steigende Verhältniss beider Töne, theilen die zwei Verhältnissglieder durch den Zahlwerth des ersten Gliedes, betrachten die an dessen Stelle tretende Zahl 1 als den Tonwerth eines beliebigen Grundtones und daher den als Quotienten les zweiten Verhältnissgliedes sich ergebenden unechten Bruch als den auf diesen Grundwerth 1 sich stützenden Tonwerth des verwendeten bekannten höheren Tones, mithin auch als den Tonwerth eines neuen Tones. - Cffenbar erhält man dasselbe Ergebnisse wenn man den höheren jener zwei Tonwerthe durch den niedrigeren dividirt, oder mit dem umgekehrten niedrigeren Tonwerthe"multiplicirt. . Wir setzen dabei voraus, Werth habe, dass jeder der bekannten Tóne der zwischen 1 und 2 liegt, nicht grésser als 2 ist; dann muss, wie einen d.h. grösser als 1, leicht zu ersehen, jedoch auch der neu berechnete Ton eben diese Eigenschaft besitzen, Zugleich erhellet entschieden, Vorganges dass wir duzch Wiederholung des beschriebmen jede beliebige Menge von Tönen oder vielmehr von ihren Zahlwerthen zu berechnen verméchten. Par.9. Betrachtung. Aus dem bisher Gelehrten ersehen wir sicher leicht das Verfahren, wie wir zu jedem neu gefundenen Tone und zu den bereits bekannten Tönen abermals neue Töne und die sie gebenden Anzahl der Töne Allein nicht S a i t beliebig zu alle so e n bestimmen können, vermehren im folglich die Stande sind. auffindbaren Töne vermögen der Musik, als einer Sprache menschlichen Gemüthern zu dienen, sondem man überzeugte sich im Laufe der Zeiten, bei dem Gebrauche der sclche Töne erzeugenden musikalischen Instrumente Instrumente wisse ausgewählte acht welche zwischen den Tönen 1 enthalten sind. Zur - vornehmlich der Sai ten- (Harfe, Zither, Claviere), dass hauptsächlich blos geTöne für die Musik verwendbar sind, und 2 als dem tiefsten und höchsten beliebten lateinischen Nummerirung derselben nannte man den tiefsten 1, als den Grndton und den. ersten, die Prim, und den höchsten 2, als denachten, die Ckt av; von ihren 6 Zwischentönen hiess man den 2. die Secund, den 3. die Terz, den 4, die Quart, den 5, die Quint, den 6. die Sex und den 7. die Sep tim. Hier werden wir diese 8 Töne am angemessensten ihrer Crdnung nach mit römisch I, IV, V, VI, VII, VIII bezeichnen. II, III, Für die Auswahl der noch erforderlichen 6 Zwischentöne, liess man sich von dem Grundsatz e leiten, dass man 80 viele als möglich Paare angenehm zusammen oder rasch nach einander klingender (consonirender, harmonischer) Tüne erhalte, - Lässt man nemlich 2 Tône mit einander oder bringen (ertönen, erklingen) liehe Gehör, Gemüth oder sr unmittelbar nach einander hervorund wirkt dies angenehm auf das mensch nennt man sie einconsonirena es (wohlklingendes)Paar von Tönen, im Gegentheil ein di ssonirende s (misstôniges); dort het mn Consonanz (Harmonie, Wohlklang), hier Dissona nz (Disharmonie, Hissklang). Par.10. Zwei ganz gleiche Saiten der Art geben völlig gleiche Töne, (in Par.3) beschriebenen eigentlich denselben oder einerlei Ton, wesshalb das Tonpaar (1, 1) oder das Tonverhältniss 1 : 1 der Einerleiklang oder der Einklang (der Unisono) heissen kann,

Des Tonpaar (1 und 2), die Prim (I) und die Oktav (VIII) erscheint beim Zusammentönen wie ein Paar gleicher Töne, nur (wie man sich auszudrücken pflegt) der Grundton in tieferer, die Cktave dagegen in höherer Lage; man kann es daher den G lei c hk lana (Aequisono) nennen. 3 Zwischen diesen 2 Tönen (1 und 2) liegt der Ton $ (arithmetisch) mitten inne, insofern sein Zahlwerth 3 eben so viel grösser als 1, als kleiner denn 2 ist; er bildet mit dem Grundtone 1 einen ausgezeichneten Wohlklang. Hierwegen hatte man ihn unter Sen aufzustellenden 8 Töne entweder den 4. oder den 5, sein zu lassen; da jedoch das Verhältniss 1 : den Grundtones zum Tone grösser ist, als das Verhältniss 5 ı 2 = 411: >> des Tones 2 zur Oktav, A daher in Bezug auf Höhe der Ton e näher an der Oktav als am Grundtone liegt, so mechte man ihn ganz angemessen zum 5. Tone - zur Quint (TV). Par.11. Sonach sind folgende drei Töne festgestellt worden: a) der 1. Ton = 1, der Grundton, die Prim (I), b) der 5, Ton = #, die Quint (V), und c) der 8. Ton = 2, die Cktav (VIII). Diese 3 Töne geben paarweise zusammenklingend folgende Consonanzen (angenehme Zweiklänge) mit nachstehenden Tonverhältnissen: 1:2 = I : VIII, E 3 7 = Lt % Grunäton zur Cktav, Grunäten zur Quint, und 3 12 =V : VIII, Quint zur Oktav. Das letztere Verhältniss ist auch = 1 : 4 und da beim Zusammenklingen aller drei Töne dieses Tonpaar den &ngenehmen Eindruck der beiden anderen nicht stört, musste der von der Saite 3 gegebene Ton = gleichfalls in die fragliche Tcnreihe mit aufgenommen werden, und zwar, weil er tiefer als die Quint ist, als 4. Ton, d.i. als Quart (IV). Eine weitere Begründung der Stellung dieses Tones = liegt in seinem Verhältnisse zur Quint %, da sich verhält 4,2. 1:1: 82-1:: E8 s Woraus erhellt, dass die Anzahi der den 3 23 Ton 5 hervorbringenden Schwingungen eines tönenden Xórpers blos un à (ein Achttheil) grösser als die Änzahl der den Ton $ erzeugenden Schwingungen desselben ist. Par.12, Diese Erwägungen und der Inhalt des Par.7, der uns auf den Ton = = 15 führte, berechtigen uns diesen, insofern er über dem Grundtone 1 in demselben Masse so hoch steht, als die Quint über der Quart, unmittelbar nach der Prim (I), also als den 2.Ton, nemlich als die Secund (II) in die Tonreihe einzustellen.

Es ist leicht ersichtlich, dass die Quint à die achtgliedrige Tonreihe gliedrige in eine tiefere zerlegt; und fünfgliedrige, sonach bleibt und in eine höhere dreiin jener ersteren nur noch uns der dritte Ton die Terz und in dieser letzteren nur nec! der sechste und siebente Ton, die Sext und die Septim, zu bestimmten übrig. Natürlich muss jeder dieser noch einzureihenden Töne mit den bisher bestimmten 5 Tönen möglichst viel Baare ben consonirender angenehm Töne bilden, oder mit möglichst vielen derselzusammenklingen. Par.13. Zu diesem Zweck ziehen wir die Saite à mit ihrem Tone 7 = 14 = 1,25 in Betracht, welcher in der zu Ende des Par.7 mfgestellten siebengliedrigen Tonreihe zwischen 3 = 1.125 und 55 1.185 einzureihen ist; folglich haben wir jetzt im Ganzen die Reihe der 8 aufsteigend geordneten Töne: 2 16 1, 3» 3 25 4, à 9 2. Dieser neue nun in Betracht zu ziehende Ton + ist offenbar höher als die Secudd ER und tiefer als die Quart 4, mithin ist er völlig geeignet (III) als der in Frage stehende 3. Ton d.i. als Terz in die aufzustellende Tonreihe aufgenommen zu werden. diesen beiden eingrenzenden Tönen bildet er 2:3-1:3 a) und g:$-1:48 b); Mit die Verhältnisse daher liegt er der Quart 4 näher als der Secund CA Uberdies klingt er mit dem Grundtone Stelle auch von diesem Höchst 1 sehr angenehm zusammen, Gesichtspunkte bemerkenswerth stellten Terz 5 zu der ist sie das aus Verhältniss überhöhenden uns auf den auch er seine 3, so ist. festgenemlich 2 2:3 e1:$ Ton 6 führt, dass dieser Quint 4 da es so einzunehmen berufen c) durch sehr kleine Zahlen dargestellten welcher gleichfalls zwischen der Secund 9 und der 5 8 Quart 4 enthalten ist, und zwar mit ihnen die Verhältnisse bildet: denen zufolge 2:: 62 2-1:1: 16 $ a) £ 3 + = Li È e) er néher an der verdient auch dieser Ton 6 Tonreihe zeichnet Secund als an der Quart steht; so in der aufzustellenden achtgliedrigen den 3. Platz einzunehmen und als eine zweite Terz bezu werden. Hierfiir spricht zugleich der Grund, dass diese andere Terz 6 mit dem Grundtone 1 ebenfalls rechtz angenehm zusammenklingt.

Diese beiden Terzen 3 und È; von denen die letztere die tiefere Tonverhéltniss d as ist, haben zu einander 6,32 25 5377 1:5 E) und liegen daher einander sehr nahe. Höchst merkwürdig ist die Verschiedenheit der Wirkungen ihres Zusammenklingens mit dem Grundtome 1 auf das menschlich Gemüth. Während nemlich das Zusammenklingen der höheren Terz 5 mit dem 42 Grundtone 1 das Gemüth heiterer und fröhlicher stimmt, weckt dagegen das Zusammentënen der tieferen Terz 6 mit dem Grundtone 1 5 im Gemüth eine ernste diehöhe re und traurige Terz 3 hart, tiefere Terz ¿ dagegen Stimmung. Deshalb nennt man dur oder we ich, gross, die moll oderklein. Par.14. Interessante Bemerkung. Da wir diesen Ton È, den doch schon die Saite 2 gibt, aus den friiheren drei Saiten 5 5» 4, oder aus den drei TUnen 2, È, ; abgeleitet haben, so leuchtet ein, dass die Saite 2 &benso wie früher die Saite 3 für die Ermittlung der musikalischen Töne dass in den, entbehrlich ist. Hierzu mag ncch bemerkt werden, einerseits die Saitenlängen, anderseits die ihnen entsprechenden Töne ausdrückenden Brüchen, keine oder Primzahlen als Faktoren vorkommen können, anderen einfachen als die 3 kleinsten 2, 3, 5, und dass dieselben Primfaktoren auch in allen nicht nur bereits abgeleiteten, sondern auch in den noch weiterhin abzuleitenden, Werthe von Tönen darstellenden, unechten Brüchen, wowohl in den Zählern als auch in den Nennern einzig und allein vorkommen müssen; weil zur Herstellung neuer Tonwerthe nur Multiplikationen und Divisionen unechter Brüche in Anwendung kommen. Par.15. Was in der Musiklehre zwischen 2 Tönen genannt schied der Höhen wozu der oder Tonwerthe scnstige Intervall zu werden pflegt, Gebrauch dieser jenes Wortes zweier Töne darf Töne oder ja nicht als Unterangesehen werden, berechtigen würde; denn beim Raume heisst Intervall zweier (rte oder Punkte der Zwischenraum, die Zwischenweite, die Lücke oder der Abstand zwischen ihnen,. bei der Zeit ähnlich das Intervall zwischen zwei Ereignissen oder Zeitpunkten, die Zwischenzeit von Dagegen bezeichnet das Intervall dem frükren zweier Töne bis zum späteren. eigentlich und allein richtig das Mass der Aufsteigung, Erhöhung eines stetig sich erhöhenden vom tieferen jener zwei Töne aus bis zum höheren. Es gibt nemlich an, wie viel mal oder wie oft und wie der Höhe des höheren Tones den Quotienten des feren oder Werthe der mittels reducirt die (Werthes des) das steigend bezeichneten des tieferen (quoties) enthalten ist, in daher höheren Tones durch den des tieangeoränete Verhältniss der Höhen oder zwei Töne, nachdem man sein erstes Glied übereinstimmiger Theilung auf 1 (zurückgeleitet), den Werth des folglich sein zweites Grundtones Glied zu eben diesem Juctienten gemacht hat. - Desshalb dürfte es angemessen sein, das Wort "Intervall" geradehin durch "Quotient" zu ersetzen, nemlich anstatt "das Intervall zweier Töne" lieber "der Quotient des höheren Tones durch den tieferen" zu sagen.

So fanden wir (in Par.6(a)), das Intervall zwischen der Quint + und der Cktav 2 gleich 3, also eine Quart, folglich auch umgekehrt (nach Par.6 (b)), das Intervall zwischen der Quart 5 und der Cktav 2, eine Quint 3; das Intervall der grossen Terz = und der Quint 3 gleich - (nach Par.13 (c)), daher eine kleine Terz, und umgekehrt das Intervall der kleinen Terz = und der Quint 5 eine grosse Terz 2. Überhaupt ist demnach das richtig begriffene Intervall zweier Töne, als Quotient des höheren Tonwerthes durch den niederen, grösser als 1, und desto näher an 1 je weniger beide Töne in der Höhe sich unterscheiden, Zu solchen kleinen Intervallen gehören die des Grunitones 1 und der Secund E» dann der Quart und der ¿uint, nemlich À = È 3 (vermöge Par.7 (a)); ferner das (in Par.13 (a)) gefundene Intervall der Secund 2 und der grossen Terz 2 doi. = = 5. Diese beiden Intervalle oder Quotienten nennt man je einen genzen Ton oder Ganzton, jedoch unterscheidend 2 einen grossen ganzen Ton, dagesen +5 einen kleinen ganzen Ton. Weiter hat das Intervall der grossen Terz = und der Quart = den Betrag = = 15 (nach Par.13 (B)); dann das Intervall zwischen der kleinen und der grossen Terz die Grésse = = 157 (gem.Par.13 (£)); diese Intervalle heissen beziehungsweise ein grosser und ein kleiner halber Ton. Endlich besteht zwischen dem kleinen und grossen ganzen Ton, d.i. a Le und 2° das sehr kleine Intervall — = 17» welches ein syntonisches Komma genannt wird, und nur von feinen, werden kann. Par.16. Die musikalisch gebildeten Gehörorganen wahrgenommen | Zweikl&nge. Man pflegt in der neueren Musiklehre sich zu erlauben, zwei angenehm zusammenklingende verschiedene Töne hervcrhebend oder vorzugsweise einen 2 we ik 1 ang zu nennen. Diese einschränkende Benennung kommt dem nach mit vollem Rechte nur den drei Verbindungen des Grundtones 1 erstlich mit der Quint 3, dann mit der Dur-Terz 7 und endlich mit der Moll-Ters = cder den drei Tcnverhaltnissen 1 $ 7 = 2 Ye À’: + = à 15, : + - = 5 : 6. zu, welche man auch in dem beschriebenen Sinne kurz die Quiht, die D u r-T e r z und die Mo 1 1-T e r z zu nennen gewohnt ist. Im weiteren Sinne erlaubt man sich auch die Grundtcnes 1 mit der Quart 4, obschon sie beide Vereinigung des nur ziemlich angenehm zusammenklingen, das Tonverhältniss 1 : > = 3 + 4 einen Zweiklang und zwar kurzweg die u a r t zu nennen; indem

man von der Verschiedenheit der gepaarten Töne absieht, nennt man auch die Verbindung des Grundtones 1 und der mit ihm wesentlich gleich klingenden Cktav 2 oder das Tonverhältniss 1 : 2, das wir sonst auch den Gleichklang nu nennen berechtigt sind, als einen fünften Zweiklang, die C kt a v. Von den hier angeführten 5 Zweiklängen sind demnach die Quint, die Dur-Terz und die Koll-Terz die alleinigen eigentlichen Zweiklänge, dagegen sind es die Quart und die Cktav nur im erweiterten Sinne dieser Benennung. Alle diese 5 Zweiklänge oder vielmehr ihre Tonverhaltnisse kann man aus der leicht im Gedähhtniss zu behaltenden Reihe von Verhältnissen 1:32:33 aufstellen, 3:34:53:6 wenn man diese sechs einfachen Zahlen nacheinander paar und paar in's Verhältniss stellt. Par.17. Die tiefsten Dreikl&nge. Verbindet man den Grundton und die 2uint mit einer Terz, so macht diese mit dem einen jener beiden Töne eine grosse Terz, mit dem anderen eine kleine, mithin gibt jedes Paar dieser 3 Töne einen eigentlichen puits (gem. Par.16). Natürlich müssen diese 3 Töne, wenn sie gleichzeitig miteinander oder sogleich in steigender Crdnung nacheinander erttnen, als Verein der 3 Zweiklänge noch angenehmer (einschmeichelnder) als diese einzeln auf das menschliche Gehör einwirkenl unë so erhält man einen Dreiklang oder Akkord im engsten eigentlichen Sinne und zwar den tiefsten derartigen Dreiklang. Je nachdem der Mittelton, die Terz, dur oder moll ist, nennt man den Dreiklang (Akkcrd) auch selbst dur oder moll. Sonach ist, wenn wir Kürze halber die Dur-Terz mit d- III, und die Moll-Terz mit m III bezeichnen, der Dur-Dreiklang (DurAkkord) und der 3 I3dIII :V=1:7:g=4:51:6=20: 25 + 30 Mol 1-D re ik lane (Moll-Akkord) TimiIl:Val: 8: §=41 (5-8) : 6= 20 : 24 : 30. Es wird hierbeileicht in die Augen fallen, dass der erheiternde Dur-Dreiklang und der herabstimmende Moll-Dreiklang nur in einer Einheit der mittleren Verhältnisszahlen 25 und 24, sich unterscheiden. Par.18. Bestimmung der Sext und Septim. Wenden wir uns nun zur Ermittlung der zur Ausfüllung der 8gliedrigen Tonreihe ncch erfcrderlichen 2 Töne, der Sext (VI) und der Septim (VII), sc müssen wir uns von der Anfcrderung leiten lassen, dass sie mit den tieferen Tönen gepaart, eigentliche Zweiklänge bilden sollen; sie müssen demnach beziehungsweise entweder juinten der Secund und der Terz, oder Terzen der Quart und der Quint sein, Hier nun treten wir zur Au f g a be einer neuen Bestimmung von Tönen mit gewissen Eigenschaften. Ein angewiesener Ton neten Ton erhöht werden, soll nemlich d.h. wie um einen anderen vergezeichsich der Grundton 1 zu diesem letzteren Tone, als dem Masse der Erhöhung verhält, ebenso soll sich jener gegebene zu erhöhende Ton zu dem zu suchenden verhalten. Soll z.B. der Tontz (eine verminderte Secund) um eine Quart = erhöht werden, so muss gleich wie der Grundton 1 sich verhält zum Tone > auch der Ton *3 zu dem verlangten Tone sich verhalten.

Da nun jedes Verhältniss seine Glieder mit einerlei Zahl, Geltung behält, wenn seine hier das Verhältnis 1 beiden : 5 mit Lo multiplicirt werden; sc muss das zweite Glied des entstehenden gleichgeltenden Verhältnisses der ferlangte Tonwerth sein; er wird demnach erhalten, wenn man mit dem Erhöhungsmasse 5 den angewiesenen Ton —. multiplicirt; es verhält sich nemlich 10 10 Le 5 Ag 132 9 daher ist der fragliche Ton 80 4 © IL _ e _ 10 È a "pie P Se BI also eine verminderte Quint. Von einer anderen Seite betrachtet, soll das Intervall des zu erhöhenden Tones — und des gesuchten höheren, d.i. der Quotient dieses letzteren Tones, durch jenen ersteren das vorgeschriebene Erhöhungsmass i sein; folglich ist a" ses Ton als Divident gleich dem Produkte aus jenem Theiler “9 in diesen Quotienten, also in dieses ErhGhungsmass #; folglich findet man ihn ebenfalls, wenn man den angewiesenen Ton 5 mit dem vorgezeichneten Erhöhungs masse > multiplicirt; er ist demnach wieder gleich 4 Ss 10 _ 40 Y 37° In gleicher Weise hat man offenbar in jedem ähnlichen Falle vorzugehen. Ist nemlich allgemein irgend ein Ton um einen anderen zu erhöhen, so multiplicirt man ihre Tonwerthe mit einander und das entstehende Produkt gibt den Werth des gesuchten höheren Tones. Fiele hierbei dieses Produckt grösser als 2 aus, und läge demnach der ihm entsprechende höhere Ton in der näbhst höheren Cktav von 2 bis 4, sc hätte man, um diesen Ton in die stets vorausgesetzte Cktav 1 bis 2 herab zu bringen, selbstverständlich das Prcduckt durch 2 zu theilen, folglich entweder seinen Zähler zu halbiren, oder seinen Nenner zu + So z.B. ist die Sext der Quart =}. 3=%=2 . À, als: die verminderte Secund I der nächst höheren Cktav. Soll man nun die Sext zur Quint der Secund, Quint einer der Terzen machen, sc hat man: und die Septim zur die VI =3. g= Th die VII =-2.2-= 72, oder die VII= 2.8 = 8 Will man hingegen die Sext zur Terz der ¿uart, und die Septim zur Terz der Guint machen, so erhält man, entweder wenn die Terz dur sein soll sila

die VI die VII=7. $= +2, oder wenn die Terz moll die VI sein soll =2.%=3, die VII =2. 3 = 32, Par.19, Die Tonleitern. Eine auf die eben beschriebene Weise vervollständigte achtgliedrige Reihe aufsteigend geordneter musikalischen Töne, pflegt man ein Tonleiter und zwar eine d ia t on i sche zu nennen, inscfern man sie von einer ausgedehnteren unterscheidet, welche man eine c hr ocnma t i sche zu nennen gewohnt ist. Unseren Ergebnissen gemäss haben wir 2 Dur-Tonleitern und 2 Moll-Tonleitern, je nachdem ihre Terz dur oder moll ist. Wir stellen sie im Nachfolgenden mit Berücksichtigung der Bestimmungsweisen ihrer Sexten und Septimen gecränet zusammen, fügen ihnen die theils ganze, theils halbe Töne betragenden, Intervalle einander folgender Töne und Dreiklánge. I. (Quotienten) der Paare unmittelbar nachbei und bemerken die Anzahlen ihrer Zwei- Durtonleiter, deren Sert und Septim die Quinten der Secund und Terz sind: Ly Bs 7, 1 Dr Shr “By 2, lt 16 9 4, "975 1 8 2, 1C Sie 16 enth3lt: 4 Quinten 1 : 5 = : H m2; i = : 2; 2 Durterzen 1: = = 3 : 2, 1 Mollterz > $ 5, 2 vermind. Nollterzen = : 5 = 1: 57 = 1]: 2. Br 27 , A - 1: 8 , 80 1 Molldreiklang 2 : 3 i 22 II, Durtonleiter, deren Sext und Septim Durterzen der Quart und Quint sind: % 5 5. 35 l, 8’ 4? 3? 2% 5’ "8? 2, 2 8 10162 9 15 10 2 16 9

Dieselbe enthält: 3 Quinten1 :3=7.13=4 12 unà eine um ein Komma =A verminderte Quint AEREA g°3= i E DT PET = x À 5 E . 37) = 1 2 80 5 + BI! zt 3 Durterzen 1 set : 47 3'¢= = : 2, 2 Mollterzen = $ é = 3 ı 2 und eine um ein Komma = 32 SE aw verminderte Mollterz >. 853 =]: 57 = = 1 : 65 (2. 57)= 1 .: 56 * 80 51’ 2 Durdreiklänge 1 TY FEA TLIT : 45-33" 2; 1 Molldreiklang A 1:15: 3% und einen angenäherten Molldreiklang 3 : E 2. III, Molltonleiter, deren Sext und Septim Quinten der Secund und Mollterz sind: “art 2 Ibs 5 si. 363888 5% Sie enthält: 4 Quintenl:3=g:f=3:#=$1:2, 1 Durterz > : 5 und 3 2 Mollterzen 1 ¿Es 4 : + . , 1: 2 verminderte Mollterzen 9, 4:74 = 32 > 1 Durdreiklang - > LL] 5No] und mn I > 1 angenäherten Durdreiklang sing: ° 1 Mclldreiklang 1 : - : DA

Molltonleiter, deren Sext Quart und Quint sind: 1 ' 9 9 6 4 35639 B? 5? 3 2? 16109 8 Dieselbe und Septim Mcliterzen 5 98 5’ der > 5’ , 169 10 158 9 enthält: 3 Quinten 1: 3 = = : = = 3: e 2 Durterzen È: 5 = = $ ls 3 Mollterzen 1 : 2 = = : = = = $ l verminderte Mollterz 1 Durdreiklang - : 5 : ucno i 2 Molldreiklánge 1:0, i NES =, 2 dl4,8 deli Nm . Par.20, Die üb lichen Tonle i tern. In den zur Erheiterung der Gemiither bestimmten Musikstiicken wird als Grundlage von den im vorigen Paragraph unter I. und II. aufgestellten 2 Durtonleitern gegenwärtig durchwegs die zweite verwendet, weil sie, die wir hier rechnend aufgefunden haben, eigentlich von nachäenkenden Musikern nach um nach empirisch auf dem Wege der Anwendung, Erfahrung und Verbesserung zusammengestellt worden ist und weil sie, im Vergleich mit der ersten Durtonleiter, zwar gleich viel (4) Quinten, dagegen um 1 Durterz und um 1 Moilterz, sowie um 1 Durdreiklang und um 1 Molldreiklang mehr als diese enthält. In der Lehre von der angewandten Musik werden die Töne in Abtheilungen oder Fächer von je 8, eine diatonische Tonleiter bildenden Tönen, abgesondert; weil jeder Ton an seiner Cktav einen dem Wesen nach gleichen und ihn bloss verstärkenden Klang hat. Jede solche 8tónige Abtheilung heisst selbst eine C ktavy und diese Cktaven unterscheidet man nach der Höhe ihrer Töne in folgender Weise: Die tiefste heisst die Ccntra-Cktev, die nähhst höhere die grosse, die ihr unmittelbar fclgende die kleine, und die weiteren höheren die eingestrichene, zweigestrichene Cktav u.s.w. In der angewandten Musik müssen sämmtliche gebrauchte Töne bestimmte festgestellte sein, damit nicht nur alle gleichartigen Instrumente, sondern anders construirten, auch die mit ihnen zugleich spielenden jeden vorkommenden Ton in völlig gleicher Höhsertönen lassen. Hierzu ist erforderlichm dass gewisse leitende oder zum Anhalt cder zur Stütze &ienende Töne in dem Gehör jedes genügend gebildeten Musikers für das Stimmen seines Instrumentes vollständig ausgeprägt seien, wofern er nicht etwa mittels entsprechender Stimmgabeln diese fixen Töne hervorzurufen vermöchte. Die Töne der Cktaven werden entweder durch besondere Silben oder durch Buchstaben des lateinischen Alphabetes und zwar so bezeichnet und benannt, dass alle im Verhältniss der Cktav stehenden Töne, deren Tonwerthe nemlich in den Verhältnissen der Potenzen der Zahl 2 stehen, durch einerlei Silben oder Buchstaben bezeichnet, aber nach Verschiedenheit der Cktavenfächer anderweitig unterschieden werden. Zur näheren Erkäuterung legen wir die Töne der grossen Cktav, welche nemlict durch grosse Buchstaben des lateinischen Alphabets indian:

werden, zu Grunde, nehmen den tiefsten dieser Töns als Grundton cder Prim an, theilen ihnen die Tonwerthe nach der soeben hervcrgehobenen 2. Durtonleiter zu, und fügen diesen letzteren auch nach die obige Reihe der Intervalle bei: I LI IL LÉ 5 7 C V VI VII 3383 & 3 8 D E F G VIII 1 A 2 16 15° 9 8 10 u 9 8 16 IS 10 Y 9 5 IV H Ca Par.21. Die Molltonleitern. Von denbeiden in Par, 19 III und IV zusammengestellten Molltonleitern dürfte der letzteren wenigstens in Bezug auf Harmonie einiger Verzug vor der ersteren einzuräumen sein, Cbschon diese letztere um eine Quint weniger und der Durterzen und Duräreiklänge mit jener gleichviel enthält, besitzt sie doch um eine Mollterz und um einen Molldreiklang mehr als jene Tcnleiter, Zur Benennung und Bezeichnung der Töne dieser zweiten Molltonleiter müssen wir in Bezug auf die, zur Bildung neuer Tonleitern für beliebige Grundtöne nothwendigen, Erhöhung und Erniedrigung der musikalischen Töne um je einen kleinen halben Ton =, und deren sprachliche Ändeutung kurz Folgendes voranschicken. Dass ein Ton um einen kleinen halben Ton erhöht, folglich sein Tonwerth mit st multiplicirt worden ist, wird dadurch angedeutet, dass man dem ihn bezeichnenden Buchstaben die Silbe is anhängt; dagegen wenn er um einen kleinen halben Ton erniedrigt, daher sein Tonwerth durch 25 24 getheilt worden ist, dem ihn bezeichnenden Buchstaben die Silbe es beigefügt wird. So z.B., wenn D und E in diesem Masse erhöht werden, übergeben sie in Dis und Eis, dagegen wenn sie erniedrigt werden, in Des und Eës (Es). Auf diese Weise finden wir insbescndere: 2 ade ue, = Egg = E 3 — = 7. se = = = kleine Terz, Ms =A: §2=2. 5% = 2 = kleine Sext, Hes =H: = = —: . = = 2 = grössere kleine Septin. Bei Benützung dieser Ergebnisse (in Par.19 IV) leiter; I II ID IV 9 6 4 18 5 Dn 3 3 15 8 C erhalten wir aus der oben gefundenen die eigentliche und richtige Mollton- D Es KL “y 5 V VI VII 3 B El £ 5 elUOVN 3 8 FT G As VIII 5 2 8 Hes Hi =) LOI

Eine andere rechnende Ermittlung der musikalischen Töne und Tonleitern. Par.22. Diese Ermittlung stützt sich auf folgende zwei Grundsätze: I. Da alle in der Musik verwendbaren Töne bezüglich ihrer Höhe zwischen dem Grundtone und seiner Cktav liegen, ihre Werthe insgesammt m i t t 1 e re w er the oder Mit te 1 2 dieser beiden @renztòne. oder so sind Hittelzwischen den Tonwerthen 1 und II. Wenn die Werthe der Téne als regelmässige. Brüche wie gewöhnlich - dargestellt werden, sc dürfen ihre ganzzahligen Nenner und Zähler (gemäss Par.14) durch keine andere Primzahl als 2, 3, 5 (ohne Rest) theilbar sein, weil scnst ein solcher Ton sich von den anderen mittönenden schrill und missklingend unterscheiden würde. 18C2, nachgewiesen hat.). (Wie Chladni in seiner Akustik, Zur Befolgung des ersten Grundsatzes ist zuvórderst erforderlich zu erforschen, welche Ar t Bestimmung von Mitteln zwischen tieferen und höheren Tönen leicht andere brauchbare Töne zu liefern vermöge; wobei wir uns hier jedesmal blcss auf je z we i gegebene Töne beschränken und alle Tonwerthe in der Gestalt gewöhnlicher raticnaler Brüche vcraussetzen. 1, Das einfachste M i t t e 1 zweier raticnalen Zahlen ist ihr arithme tische s, nemlich ihre halbe Summe; dasselbe wird zwar raticnal ausfallen, allein der zweiten Forderung selten genügen, wie folgende Fälte zeigen: 3 +2) -3, bg + 12) - 2, ,6 9 31 (e+ 2) =, >+ ($+ 2) 2, des Zahlen, d.i. = 2, geometrische Mi t t e 1 zweier die zweite Wurzel aus derem Produkte, wird, weil derlei Wurzelziehungen aus Briichen nur selten genau ausftihrbar sind, bloss wenige derartige Mitteltöne rati nal geben, wie 2.B. a. 3. -% Vi. 2-2 \E.%-2 \?.3-3 Dieselben Mängel finden wir auch bei dem, von alten griechischen Philosophen wegen seiner Beziehung auf die musikalischen Tonverhältnisse sogenannten harmonischeh Mit te 1 zweier Zahlen, nemlich wenn diese a und b heissen bei dem Quotienten _ ab — è ab 5(a + b) = a + Db 9 der demnach als die dritte geometrische Proportionale zum arithmetischen und geometrischen Mittel beider Zahlen erscheir Derlei seltenere Mittelbrüche sind: 3.113£ Crus 6 3 1 + 2 3? Fe "5 2,1.% 70 1+ 2 ~ "5 2.738: 5 1

Par.23. Ganz anders steht es dagegen mit dem &411 ge Hittel zweier gleich meinen arithmetischen artigen Grössen, insbesrndere zweiere ganzen oder gebrcchenen rationalen Zahlen, dessen Ausdruck wir hier kurz abzuleiten Ver anlassung nehmen. Zur begriindehden Ableitung der hierfür verwendbaren Berechnungs-Weise von Mitteln, wenn auch - da es hier genügt - nur z we i e r Grössen, betrachten wir zuerst überhaupt zwei glej artige Grössen, gewöhnlich zwei Zahlen, D und E, von denen D die kleinere sein soll. Da nun bestehen offenbar die Vergleich gen D=D—E DEL E = È daher, wenn wir die ersteren mit irgend einer absoluten ganzen oder gebrochenen Zahl h, die anderen mit einer eben sclchen Zahl k multipliciren und die Paare unter einander stehender Predukte addiren, erhalten wir < (h + k) E, (h +k) D< HD + kB folglich wenn wir durch h + k theilen, die Ungleichungen hD + kB. D< h+k Si Ihnen gemäss muss der Quotient hD + KE + 9 dagegen kleiner als die weil er grösser als die kleinere, &rôssere der zwei Grössen D und È ist, ein Mittel (medium) dieser beiden sein. Man nennt dasselbe ein arithmet i sc hes &4llgemein Mittel und berechnet es, indem man die beiden vergelegten Grössen mit je einer beliebiger at scluten Zahl multiplicirt und die Summe der Produkte durch di Summe der Mulpiplikatoren theilt. - Seine Grüsse hängt demac bei demselben Grössen- oder Zahlenpaare von den gewählten Mul tiplikatcren h, k, oder vielmehr nur von ihrem Quctienten h : ab, sc dass bei einer regelmässigen Änderung dieses Quctiente beliebig viele arithmetische Mittel derselben zwei Zahlen erhalten werden. Wird in dem soeben aufgestellten ¿uctienten zunächst das erste Glied des Dividents durch das erste des Diviscrs, und nachher das zweite Glied des Dividents durch das zweite des Diviscrs getheilt, sc nimmt er folgende Gestalten an: hD + kE _ E-D = E - D Ihnen zufolge verhalten sich die Unterschiede (Abstände) dieses Mittelwerthes von beiden es einschränkenden Grössen D+E wie k : h cder È : = d.h. wie umgekehrt die ihnen zugewiesenen Multiplikatcren; mithin unterscheidet es sich vor derjenigen Grenzgrösse weniger (als von der anderen), welche den grösseren Multiplikatcr hat, Die Wéhlbarkeit der Multiplikatáren h, k hat zur erwünsel Folge, dass ede zwischen zwei bestimmten Zahle: D und E «mt So liegende Zahl F, dass E F D ist, (zu 1: F kleiner als E dagegen grösser als D), als einallgemein arithmetisches Mittel dieser Zahlen dargestellt, also

E=TFE gemacht werden kann; wofern h und k passend bestimmt werden. Multipliciren wir hierzu den Nenner weg und dukte mit h von denen mit k, so finden wir h(F - D) und scheiden die Pro- = k(E - P) sonach die Proportion h:k=E-F:F-D, deren beide Unterschiede positiv sind, Multiplikatoren h, k wie erforderlich daher auch die fraglichen p os i t i v sein müssen, Par.24, Die in unserer Betrachtung der musikalischen Tône vorkommenden Félle bedingen, dass die Mittel rationaler und regelmissiger Brüche mit absoluten ganzzahligen Nennern und Zählern wie A a? B gesucht werden scllen, b Ersetzen wir demnach im Cbigen D durch È und E durch È, so wie auch ihr Mittel F durch =, so wird obiger Ausdruck des allgemeinen arithmetischen Mittels C _ „A By . <= (b+ ke) : (h + k) und umgekehrt das Verhältniss der su seiner Darstellung nothwendigen Multiplikatoren h und k B_c.c A hsk=p-g*g- g = 4 Hier drängt (Be - dc) : b (Ca - cA). sich nun entschieden die Untersuchung des wichtigen einfachen S onde r f a 1 le s auf, wo man absichtlich die Multiplikatoren h, k der vorliegenden Brüche be z i e h u n g swe i s e entweder deren Nenner ax, b selbst, oder Überhauptggewisse Vielfache ma, nb derselben sein lässt, Das Mittel = der Brüche = und = ist demnach für jene ganz Besondere Wahl C _A +B c a+ bd? d.i. gleich der Summe ihrer Zähler, gebrochen durch die Summe ihrer Nenner; für diese letztere allgemeinere Wahl dagegen ct am + bn’ daher gilt hiefür dieselbe Berechnungsweise, wenn man früher die 2 Brüche mittels tibereinstimmiger Multiplikationen ihrer Bestandstücke umgestaltet hat. - Dieses Mittel liegt demjenigen der beiden Brüche (gem. Par.23) näher, der ven den zwei addirten Nennern, 2, b, oder ma, nb, den grúSseren besitzt. Dieses Mittel zweier Brüche kann wegen der gleichstimmigen Summirung der Bestandstiicke der 2 Brüche fürlich ein s umm at ives (Nachgebildet dem Worte "Summation", die "additiv" dem Worte "Addition".) Mi t t e 1 jener Brüche genannt und hier einfech bloss durch

bezeichnet werden, tiplikatoren m, n, gelten, ncch Damit der By _ Am + Bn I = am + bn Dasselbe ändert sich natürlich mit den Mulund muss, um als musikalischer Tonwerth su Forderung des ungekehr t II. Grundsatzes genügen, irgend ein zwischen 4, 2 liegender Bruch £, wobei B C - A ea bedungen gemäss wird, ein summatives Mittel beider obiger Proportion wegen h = am, mina Be - DO : Ca sein kGnne, k = bn, = muss sich verhalten cA, Die letzteren Unterschiede ven Predukten absoluter (positiver) ganzen Zahlen sind als positiven Unterschiede allmäliche Umstaltungen der allerersten E — F und F -D, eben so wie diese positiv und überdies ganze Zahlen, und müssen endlich, nachdem sie von allen gemeinschaftlichen Theilern befreit sind, in dem vorhin gegebenen Ausdrucke des 4 anstatt der ihnen proporticnirten Multiplikatoren m, n eingestellt werden. Par.25. Zur Grundlage der Darstellung der musikalischen Tone werthe als summatives Mittel anderer bereits sc dargestellten Tonwerthe dient der Nachweis, dass jeder Tonwerth, C als ein e derartiges Mittel des Grundtones 1 =} und seiner Cktav 2 = £ d.i. poli sich darstellen lässt. Machen wir nemlich in der letzten Proportion A = a = 1 = b und B = 2, so übergeht die in m:n=2c-C:tC-c, folglich da c und C, also auch die letzteren Unterschiede Theiler gemeinschaftlich haben, müssen diese Unterschiede für m und n oben eingestellt werden. ZB. ist um keinen selbst 32 als M E, D darzustellen, haben wir (o; 3 = 55 = 54-32 = 22, n= 32 - 27=5 und in der Tat ist _ 32 22 + 10 Bo +5 27 Nachdem dieser Hauptfall erwiesen ist, muss auch jeder, zwischen 2 bereits gefundenen sclchen Mitteln A und B enthaltene a Bruch £, als summatives wae | derselben pen darstellen lassen; wie z.B. der zwischen 13 = 1 3 und 3 = 1 3 enthaltene Bruch 32 12 27 27" Denn hier ist A = 10, a = 9, B=5, b= 3, C = 32, € = 27, also m:n = (5.27 - 3.32) : (32.9 - 27.10) =(135 - 96):(288-270) = 39 und wirklich : 18 = 13 : 6

32 a (359° 3)= “9:15 + 36= 135 — 57. Par.26. Diese nunmehr abgeschlcssene allgemeine Lehre von den summativen Mitteln zwischen Paaren regelmassiger Brüche, benütze wir jetzt zur georäneten wirklichen Berechnung der Zahlwerthe musikalischer Töne. Zunächst bestimmen wir zwischen dem Grundton oder der Prim 1 und der Cktav 2 den vec Mittelton M (4, $) = dann zwischen dieser und schrittweise = 4, die Quint; dem tieferen Grundtone dadurch sich nähernden Mittel; 1 die diesem indem wir 1 nach È und nach mit 3, 3, = U.8.W. Tai nemlich: M (+, 5E) = M (5, È) = 3, die Quart, M ei =È È) = = 2 -3, die grosse Terz, M (+ = È) = E — -È = 2, die kleine Terz, u.s.w. Wie bereits Aa: (Par.25) angedeutet wurde, muss ein Mittel zwischen einer von 2 Grenzahlen und einem Mittel beider wieder ein Mittel zwischen den Grenzzahlen selbst sein. Demzufolge können wir die Grundzahl 1als untere Grenze festhalten, dagegen 1 die cbere Grenze schrittweise durch die ihr sich mehr und mehr náhernden Mittel ersetzen, indem wir mit der bereits gefundenen Quint # beginnen. Auf diese Weise finden wir nach und nach M (4, 3) = -— = + die Quart, M E, 2) = = = = = 2, die grosse Terz, eine T erz. È, die e kleine L+3 == 5? mM (1,T> Z2) == TF4 Bei Fortsetzung dieser leicht begreiflichen Rechnungsweise stossen wir scgleich auf die summativen Mittel 7, 8, spáter auf 7 15 le, 55 u.2.m., deren Nenner oder Zähler Primzahlen grösser als 5 sind und dem obigen zweiten Grundsatze gemäss keine Werthe musikalischer Töne darstellen können. Dagegen finden wir nach und nach folgende für unseren Zweck dienliche summative Mittel: M SE (t= 4 "52) = 34-2 +5 8? die Secund und auch der grosse ug Ton, 1 2D u(t, eine verminderte allerdings 143== - Secund und ein kleiner ganzer ziemlich gektinstelt, Ton; ferner, die Mittelwerthe: M (+ "È El = A ==, ein grosser halber Ton, M (1 = 56 = sé Sio = Sl das Komma ie : _9+1 = 25 57, ein kleiner halber Ton, fi 56? 24/ 5 + 24

Auf diese Weise haben wir uns in den Besitz der unterhalb der Quint 5 liegenden tieferen Töne der diatonischen Tenleitern gesetzt und wollen nun noch die Werthe der h*heren oberhalb der Quint 3 bis zur Cktav 2 hinauf reichenden Töne berechnen, Hierfür ertheilen wir dem zu suchenden Mitteltone T als summativem Mittel dieser zwei Grenztône 3 und 2 die allgemeine Form X 1 T = jm + en ; indem wir m, n absclute ganze Zahlen ven 1 an alimËlich aufsteigend und von gemeinsamen Theilern frei uns vorstellen. Gehen wir dabei nicht weiter, als dass der Nenner in T die Zahl 3C ncch nicht erreiche, und beschränken wir uns stets auf musikalische Töne T, sc finden wir nach und nach, dass bloss folgende Ternen der Zahlen m, n, T zusammengehören: ~_5 3? 92, 15 +2, 85? 16 >» 25 + 27 Te Par.28. Aus den hier ausgerechneten Tonwerthen vermögen wir jetzt schon die üblichen Dur- und Molltonleitern wohlbegründet zusammenzustellen. Da nemlich deren unecht gebrcchene Tonwerthe zur unerlässlichen Harmonie der Túne durch die möglichst kleinsten Nenner un Zähler dargestellt werden scllen; so können nur f-lgende nech aufsteigenden Nennern gecrdnete Töne in diese Tcnleitern aufgenommen werden, als: 1,2431002 3 un 13 1 2 I In beiden Tonleitern stehen als Grenzstufen fest: Der Grundton oder die Prim 1 als die unterste Stufe, und die achte Stufe die Oktav 2 als die höchste. Von den Zwischentönen ist der Haupt- oder abtheilende Ton 3 nicht nur ein summatives, söndern auch d as arithmetische Mittel des Grundtones + und der Cktav £ (Par. 22,1)» Steigt man nun von der Prim 1 zum Tone 5 auf, so betrágt der Quotient der Aufsteigung 3 sla 3 erhett man sich von zur Aktav 2 hinauf, so ist der Quotient der Steigung 2 : ze i, 2 , 4 daher verhalten sich diese zwei Quotienten wie 5: 3 oder wie 9 : 8; folglich muss ter Ton 2 in der oberen Abtheilung der Tcnleitern, die unterste alsc in der Tonleiter selbst die fünfte Stufe einnehmen, d.i. die Quint ebenfalls unverriickbar sein, Als Aächster Ton der obigen Reihe mit dem nächst höheren Nenner 3 ist der Ton 4; er ist das einfache summative Mittel zwischen dem Grundtcn + und der ¿uint 3, nenlich

3 zn liegt dem Tone 3 näher als der Prim, daher ist dieser Ton 5 zunächst unter die fünfte Tcnstufe also auf die vierte, als seinen unverrückbaren Platz, zu setzen und wird somit zur Quart.Der nach 4 in der cbigen Reihe kcmmende Ton 5 hat bei demselben Nenner 3 den höheren Zähler 5, er ist das summative Mittel der Quint 5 und der Cktav 25 nemlich se G 2+173 und liegt daher náher an der Quint, als an der Cktav und sechste Tonstufe einnehmen , daher die Sext sein. kann die Nach diesem Ton 3 kommt in der vcranstehenden Reihe mit dem nächst höheren Nenner 4 und dem vorhergehenden Zähler 5 der Ton 2; er ist nicht allein des summative Mittel zwischen der Quint % und dem Grundtone 2 _ + 2 2” + 2° sondern auch das arithmetische Mittel dieser beiden Töne = % (1+ 4), ja auch das summative Nittel zwischen dem Grundtcne 1 und der Quart +, nemlich L +4 _5. er liegt demnach nicht allein unterhalb der Quint, sondern auch noch unterhalb der Quart und nimmt daher die dritte Tcnstufe ein und gilt als grosse cder Durterz. Zwischen diesem dritten Tcne 7 und dem Grundtone 1 liegt ihr arithmetisches Nittel 3(1+7)=% welches auch das summative Mittel zwischen = und der Prim = ist, da a € 4 8 +54 ist, Diessd dn der cbigen Tonreihe als verletzter aufgezählte Ton darf demnach auf der zweiten Tonstufe seinen ständigen Platz einnehmen und die Secund heissen.- Damit stimt die Wahrnehmung überein, dass die Quint als Secund der Quart angesehen, die Aufsteigung von dieser zu jener, den Quctienten o Es € 9 daher denselben Tonwerth der Secund gibt.

Der noch zu bestimmer übrige als Secund der Sext 2.8 Ton, die Septim, oder umgekehrt als kànn entweder Sext der Secund - è 3, daher = 12, oder auch als grosse Terz der Quint È è + auch - 2 dargestellt werden; scdass der letzte Ton = in der cbigen Tcnreihe als die Septim die achtttnige Tonleiter ausfüllt, Sonach haben wir so wie früher in Tar. 2C die nachstehende Durtcnleiter: 1,9 7, 5, 3, 8, 2. Par.29. Der Ton, welcher in der zu Anfang des Par.28 aufgeführten Tcnreihe nach dem Tone 2 den nábhst höheren Nenner und Zähler hat, nemlich g, ist das summative Mittel sowchl zwischen der Quart 3 und der Prim 5, nemlich als auch 4 summatives Mittel zwischen der unterhalb der Quart 7 liegenden grossen Terz = und der Prim + d.i. + 1 _ 6, +1 5” er liegt demnach nur wenig unterhalb der grossen Terz aber doch noch cberhalb der Secund 9 und wird demnach als Stellvertreter 8 der grossen Terz auf die dritte Tonstufe unter dem Namen die kleine oder Holi-Terz gestellt, die Holltonleiter begründen, In dieser Tonleiter ist die Sext die kleine Terz der Quart, ı nemlich 4 6 8 >°* 5 5 cder umgekehrt die Quart 6 der kleinen Terz, 4 _8 5* > Endlich ist nemlich d.i. 5 die Septim wieder anzusehen als Secund der Sexty Sca >) 8 cder umgekehrt als Sext y” der Secynd d.i, 9_8_9 dl oder auch noch die kleine Terz der Quint, nemlich 2 £= . (2), scnach sind auch die vorhin ausgelassenen einfachen Töne 2, 2,2 der in Par. 28 aufgestellten llgliederigen Reihe von Tonen als kleine Terz, kleine Sext und kleine Septim in die Tcnreihe aufgencmmen worden und wir besitzen demnach sowie in Par. 21 die richtige Molltonleiter: 1, À 2, $s 5 5 23 26

Eine dritte Ausmittlung der musikalischen Tonwerthe diatonischmTonleitern. Par.3C. Diese Ausmittlung fusst auf folgende drei und der Grundsätze: I, Der Zähler des als regelmässiger Bruch dargestellten Werthes jedes Tcnes unterhalb der Cktav muss grösser als sein Nenner, jedoch kleiner als das Dcppelte des Nenners sein; weil jeder solche Tcnwerth selbst grösser als 1, dagegen kleiner als 2 ist. II. Nenner und Zähler eines anderen Primzahlen als 2, 3, jeden Tonwerthes dürfen keine 5 zu Faktcren cder Theilern haben, weil man scnst nach Chladni schrille Tone erhielte III. für die Musik ungeeignete (vergl. Par. 14). In keinem gebrochenen Tonwerthe können Nenner und Zähler einen gemeinschaftlichen Theiler besitze, da dessen Beseitigung durch Theilung den Tonwerth durch kleinere Zahlen darstellen, also auf einen bereits bekannten zurückleiten würde. Desswegen dürfen weder die Nenner noch die Zähler solcher Brüche alle drei Primzahlen 2, 3 und 5 zugleich zu Faktoren haben} scndern sie können bloss entweder Potenzen je einer einzigen, cder Produkte von Potenzen zweier dieser Primzahlen sein. Ist demnach der zur Bildung einer derartigen Bruches gewählte Nenner durch eine, ode durch zwei derselben drei Primzahlen theilbar, so darf es sein Zähler nicht auch sein, Par.31. Unsere näbhste Aufgabe ist es nun, die Reihe aller derjenigen Zahlen, welche diesen dreierlei Anforderung genügen, bis zu einer gewissen höchsten Zahl auszuforschen, wofür wir hier die Zahl 2CC wählen. Zu diesem Zwecke sehpriben wir in eine Zeile die Zahl 2 und ihre nacheinander folgenden Potenzen, indem wir diese Zahl wiederholt und sc weit nöthig mit sich selbst mul tipliciren; dams tellen wir in eine zweite Zeile die Zahl 3, un hinter sie ihre durch öfterr Multiplikation mit sich selbst sich ergebenden Potenzen; ebenso schreiben wir in einer dritten Zeile die dritte Primzahl 5 und hinter sie ihre leicht zu berechnenden Potenzen. Hierauf multipliciren wir sämmtliche Zahlen der ersten Reihe, d.i. alle Potenzen von 2, der Cränung nach, ohne jedoch jene gewählte höchste Zahl 2CC zu überschreiten, mit sämmtlichen Potenzen erst von 3, damn von 5, und endlich noch die Potenzen der Zahl 3 mit denen von 5 und schreiben die beziehlich gleichartigen Produkte in eine vierte, fünfte Zeile u.s.f. Bei diesem Vorgang finden Zusammenstellung der in Frage wir den nachstehenden Anfang der stehenden Zahlen: om) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ... 5) 3, 9, 27, By vas 5°) 5, 25, 125, ov oF 3") 6, 12, 24, 48, 96, 192, «2.3 18, 36, 72, 144... GA, Tibi? Min 22 5P) 1c, 2C, 40, 80, 160,...3 5C, 100, 2C0,... 3259) 15, 45, BSS pened Ye

Crdnen wir nun die hier aufsteigend, 2, 3, 4, 5, 40, 45, 48, 144, 16C, Par. 192, ihrer Höhe Zahlenreiheñ 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 2C, 24, 5C, 54, 64, 72, 75, 8C, 81, 96, 1C0, 162, 32. gefundenen Zahlen nach so erhalten wir folgende 25, 27, 32, 36, 108, 125, 135, 2CC. Da wir aus diesen Zahlen die unecht gebrochenen musi. kalischen Tonwerthe aufzustellen haben, so müssen wir sie paarweise, eine als Nenner, eine andere gr"ssere als Zähler in je einen Bruch verbinden, daher die ganze Reihe dieser Zahlen als eine Elementenreihe zu Paaren, zu zweien, zur zweiten Klasse com biniren} demnach diese Zahlen (Elemente) in ihrer Crdnung nach und nach zu Nennern wählen, und:dem I. Grunäsatze gemäss zu jedem Nenner seinen Zähler aus der Reihe der ihm fclgende XBlemente, also grösser als er, jedoch ncch kleiner als sein Deppeltes, dem III, Grundsatze entsprechend sc wählen, dass beide Elemente des aufzustellenden Bruches keinen gemeinsamen Theiler besitzen. Dieses Verfahren ist demnach ein eigenthümlich beschränktes Verbindung (Combiniren) der gegebenen Elementenreihe in Paare un könnte ebensc wie diese Reihe beliebig weit Dem Gesagten zufolge gehört ausgedehnt werden. zu 2 als Nenner nur 3 als Zähler und gibt den Bruch = zu 3 als Nenner passen 4 und zu 4 als Nenner taugt nur 5, daher geben sie die Brüche 5 als Zähler und gibt den Bruch: und aus diesen Beispielen wird wohl Jedermann leicht ersehen, die zunächst sich ergebenden Brüche nachstehende sind: da 6 8 9 9 15 5? 5? 5» 8? 8° Die so gefundenen gebrochenen neuen Tonwerthe, deren Nenner die Zahl 8 noch nicht übersteigen, können nur zwischen dem Grund tone 1 und seiner Cktav 92 entweder nach den Grundsätzen der Par.16-21, oder nach den Vorgängen der Par.28 und 29 in aufsteigender Reihenfolge einerseits in die Durtonleiter, andererseits in die Molltonleiter wissenschaftlich zusammengéstellt werden, Par.33. Setzen wir dieses combinatorische Verfahren fort, so finden wir, dass den Nennern 6, 10, 12, 36, 40, 48, 54, 100, 144, u.a.m., kein Zähler, alsc auch kein Bruch entspricht, und wir erhalten sonach folgende Reihe von Tcnwerthen: 10 16 2 er 25 27 25 2 32 36 48 32 40 50 45 64 "9 81 50’ 15’ 16°’ 16? 18° 0? 24? 25? 25? 25? 25? 27? 27? 27° 32? 45? bi 2 125 128 81 1CC 125 128 160 125 12 128 4? 64? =, 772? 775? BC’ "87T 81? 81?’ 81’ 7 06? —. 125 1 5? —., 232, =, u.m. dgl. Par.34. Zum Schlusse möge noch angedeutet werden, wie die dun sclchen Vorgang gefundenen Brüche in die bestehenden diatbnische únd chrcmatischen Tonleitern eingefügt werden können. Nachdem ma nemlich die Zahlwerthe der Töne dieser Tonleitern in Decimalhrüche von drei oder vier Decimalen verwandelt hat, macht man dasselbe auch mit den combinatcrisch ermittelten Brüchen; dann wird man leicht ersehen, wie jeder der letzteren Brüche mit eine gewissen der ersteren entweder genau, oder wenigstens angenähert und wie nahe er übereinstimme, daher auch der jenem Bruche entsprechende Ton seine Benennung und Bezeichnung erhalten kann.