Il concetto di numero secundo la dottrina dei pitagorici

GAL GARS D. Cw IL CONCETTO DI NUMERO SECONDO LA DOTTRINA DEI PITAGORICI La scuola pitagorica, quel movimento matematica-filosofica che sorse agit inizi del sesto secolo nella Magna Grecia e si diffuse, per opera di Pitagora di Sumo, sulle coste della Calabria e della Sicilia durante l'intero secolo quinto e gran parte del quarto secolo av. Cr., si occupò a lungo di questioni aritmetiche e geometriche, Nel suo fiorire, durato ben più di due secoli, questa scuola compì la evohuzionel propria di tutto il pensiero greco antico e la dottrina professata si sviluppò secondo le più diverse concezioni. Purtroppo i documenti pervenutici sono scarsi e per lo più frammentari, però, grazie alle numerose testimonianze soprattutto di Aristotele, nel suol libri di Fisica e Metafisica, è ormai accertato che il termine pinalnmarixà (la matematica), nel senso di scienza raziona'e, trova la sua prima applicazione proprio nella dottrina pitagorica. . Questa scienza razionale, precisa e rigorosa, sl fonda sul concetto di dodo (numero), Inteso come elemento generatore di tutte le cose esistenti, principio fondamentale di tutto l'universo, anzi l'universo intero è dai wal dppuovia (numero e armonia), ed essi Pitagora considerato golds cose stesse, Tali numeri concreti vennero rappresentati mediante pietruzze da calcolo, allineate, o sasso'ini, (Apo, meoool ), non fissati nella loro posizione, disposti in modo ordinato, tale da costituire delle figure geometriche. Questo procedimento di figurazione, mediante sassolini a cui saranno poi sostituiti dei punti, cioè unità fissate nella loro posizione (gryyjyh > ciascuno dei quali indicava una monade, una unità, fu tratto dalla esperienza sensibile, giacchè tutto il sapere pitagorico proviene dalla esperienza sensibile, Esso diede origine a una aritmetica visiva, molto semplice ed elementare, detta aritmo-geometria, che però non ha ancora nulla a che fare con la gecmetria intesa in senso moderno. Da questa rappresentazione empirica dei numeri mediante punti, che impicava la considerazione dei soli numeri interi e per di più molto piccoli, i Pitagorici ricavarono le prime elementari proprietà numeriche, Furono infatti queste rappresentazioni aritmo-geometriche a suggerire i concetti elementari di pari e dispari, (mepoodo” úprtico) » ? cul poi si coltegherá Vantitesi termine-interminato, finito-infimto (répag- üneıpov) Abbir mo infatti delle testimonianze ben precise che ci inducono a sostenere che mediante questo procedimento operativo con sassolini, detto Umpopía Pitagora e i suol discepoli elaborarono tutta una teoria aritmetica del pari e dispari. Infatti dalla osservazione che 1 numeri pari soho quelli che sì dividono in parti uguali (roy dewudy &ptio uèv elguv ol Elo loa Srarpovpevot)» mentre 1 dispari sono quelli che si dividono in parti disuguali ed hanno un termine medio, (xepuocol dt of elo Avıoa xal puioov Exovteo) nacque subito il concetto di dicotomia di un numero dispari in cui sl oppone l'ostacolo di un termine medio, cioè di un lécov- Per accorciare le distanze tra questi due concetti opposti, i Pitagorici stabistessi compongono il cielo con i numeri, come ci tramanda Aristotele in un lirono tutta una serie di concetti intermedi, quali numeri parimenti pari, parimfamoso passo della Metafisica. pari, imparipari, e numeri disparimenti dispari, numeri dispari primi e numeri Queste affermazioni possono sembrare strane, qualora si pensi al numero pitagorico, intendendolo nel significato moderno, Il concetto primitivo di numero deve essere inteso, invece, come un aggregato di corpuscoli, uguali tra loro, come una plura'itá di unità (7000 povddwy), come una riunione di nomadi, in senso concreto, come cose reali. I primi Pitagorici, infatti, identidispari composti. Chiamarono infatti numeri parimenti pari (eric apro) quel numeri divisibili per due fino al'unità, come ad esempio il 16 (8,4,2, sono i suoi divisori) sivi di sassolini. e ricavarono questa proprietà mediante dimezzamenti succes- | Cesi definirono parimpari (&prromépureroy) quel numero che non è più dificarono l'uno e la monade, chiamando indifferentemente «l'uno anche movisibile per due subito dopo la prima dicotomia, come ad esempio 11 10 che si nade e la monade anche uno». divide in 5 e 5, e imparipari (reptocaptiov) quello che puö essere diviso per quando si affermò il concetto di numero-idea e di numero-ente matematico, divisori). La distinzione tra monade e uno è successiva e risale all'epoca platonica, entrambi astratti e separati dalle cose sensibili, mentre i Pitagorici, ammettendo i numeri come principio delle cose, affermarono l'esistenza di una sola specie di numen, non già separati dalle cose, ma insiti e connaturati con le 30 due > volte, ma non fino all'unitá, come ad esempio il 24 (12,6,3, sono 1 suoi I numeri dispari vennero distinti in disparimenti dispari —(repuocaxio quando divisi da un numero dispari danno ancora un numero di- Teprosdo)

(npérrou} { suol divisori), in prim! puri come ad esempio il 15 (5 e 3 sono derou (aUv ostl comp il 70 dl 3, e in unità, come ay 5 Eend sono divist solo dall' 1 oltre all'uni ammettono altri divisori a en sen) vag ungere la pecullare propriet aggi deve si an punto hé aggiun : a a ambi, pari e dispar, perc artecipa della natura di entr cosa che a un dispar! forma un pari, eins un disparl € agglunta se dolle due nature. | trebbe fare se non partecipas ov: i (dpruonepurr di l'uno viene definito parimpar n e il dispar! mediante le e part il tra, + ie queste gradazioni u delle rte scope e collegate alle prim termedie ora dette, vanno Len ru contemporaneamente la N re ette 'amm d nall Infattt da!l sa tearema, giunse Pitagora co\ suo famo yosta, e i risultati a cui della nn eg della incommensurabilità ses "anime dimostrazione edimento orici proprio con un proc Pitag dai drato, che fu ricavata dia le con la diagonale, si avrebbe del quadrato fosse commensurabi esi m 1 doppio ntabile mediante (Fou D, un outils intero rapprese zioni: S: si avrebbero allora le rela di un altro quadrato intero | = 65 -= 2,5, ossia dd = 2s 5.5, | gees PAR le regl successivi dovrebbero sussistere es m u; i finchè si può continuare il di = 2sisì, per tutti gli indici ne dividendo a, possibilita. Si perviene prim si veriticano solo queste due e vi iore di pr numero dispari di = u, magg sivumente per due oa un gn iore di uno; allora nel primo caso u un numero dispar si + v, magg ET ero dispari en diventa un cioé un num numero disparimenti dispari, sinistra un he ne sori dispari, Si ha allora t le, stra un numero pari, Il che € impossib 5 un numero che ha una tore cicé 2v.v, ra dest a ha, si caso aia pe , dispari, mentre a sinistra cé un qui dispari e quindi v.v. à disparimenti ar che & impossibile, un numero parimenti part, 41 | e configurazioni del ei: Queste semplict considerazioni, ricuvate dall e dam _ ca, seccndo lu quale era possibil misero in erisı la filosofia pitagori a, una dotaprirono la strada a'la geometri con I numeri tutta la realtà, ma ica, tmet iù generale e potente dell'ari », che culmina nella ae in stadio dell'artimetica «diadica a ie rn o ancora i numer! figurati, cloè quel stragione sopra citata, si collegan ll a ad simi più gid mi resentati con sche dell'antica aritmetica pitagorica rapp la = or) ywv vpd (re rati 1 numer! quad nostre figure geometriche. Sono cioë = 5 143 in (oss ari disp r! nume vamente } sene sl ottiene sommando successi e CO rato quad ero num ndo seco il é 9 & il primo numero quadrato, 1+345= mundo successivamente { termini pari (es, 2+4=6 3.2; 2+446=12=—34), I numer! trlangolarl risultant! dalla somma di successivi numert Interi (es, 14+2=3; 14-24-3=0), gli esagonall, gli ottagonall e in genere tutti I pollgonali, Quest! numeri furono rappresentati graficamente dal primi Pitagorici. Mediante questa elementare artimetica monadica si potevano rappresentare tutti I numeri interi; se Infatti dopo Il primo punto o monade, che rappresenta l'unità, vengono collocati opportunamente altri sassollni o gnomonl, clob allinenmenti di punt! contigul, a forma di squadra, sl ottengono tutti quanti | numeri interl, Le loro proprietà furono pol ricavate proprio da queste composizionl spaziall. Dall'osservazione di queste figure geometriche i Pitagorici infatti avevano ricavato la proprietà secondo la quale un numero ouadrato non può Scomporsi che in due numeri triangolnri diversi, mentre un numero rettangolare può scompors! solo in numeri triangolarl uguall. Infine anche Il concetto di numero piano (Er{re6og) ; ottenuto da! prodotto di due fattori deriva dalla rappresentazicne monadica del numero ottenuto mediante un allineamento di punti secondo file (clascuna avente tante unità quante costituiscono il primo fattore) e secondo colonne (ciascuna avente tante unità quante quelle de! secondo fattore), E' implicito in questa definizione che la moltiplicazione nen é altro che una notazione più pratica per indicare molte aggiunte successive di termini tutti uguall; é cioé una addizione abbreviata ccme la intendiamo ancora oggi. A seconda delle diverse grandezze del fattori, venivano fatte dele distinzioni ben precise, Se per esempio, nel numero solido ottenuto numero inferiore di volte (come, ad esempio il prodotto 33.2), oppure altrettante volte uguale, diverso un numero magglore di volte (come il prodotto 3.3.7), a seconda della grandezza dell'ultimo fattore, Questo insistere così minuziosamente sulle differenze dei singoh fattori & un'altra conferma del fatto che i Pitagorici ricavarono le proprieta dei numeri esclusivamente da una aritmetica visiva, Da tutte queste considerazioni risulta evidente che, accanto alle rappresentaziont del numeri mediante puntl, si andavano delineando quelle mediante semp'lel flgure geometriche, e quind! dalla aritmo-geometria st passava allu reometria vera e propria, quella che sl fonda sul famoso teoremn di Pitagora, per Il quale, egli stesso, scoprendo la celebre regola per la determinazione det lati del triangolo rettango'o, avrebbe, secondo quanto el tramandano gli storief grecl, «sacrificato un buen, DORIANA GALIGARIS ottengono someteromechi (kepoutaor) che si via); ji numeri rettangolari o 32 (ovepebg) dal prodotto di tre fattori, | tre numeri erano diversi tra loro il prodotto veniva definito come numero due volte diversamente diverso (kvirdxıo avion Evrrog) mentre se il terzo fattore era diverso dag'i altri due uguali fra loro, il numero veniva definito altrettante volte uguale, diverso un : tA 3\ Gaat : atoa