L'evolution de la pensee mathematique dans la Grece ancienne

\Sunr0 J. Dieuponnt, L'évolution de la pensée mathématique dans la Grèce ancienne : BAGB 3° Sér, N° 2 1951 6-18. | En face de la mathématique préhellénique, purement utllitaire, trols éléments nouveaux caractérisent Ja mathématique grecque : généralité, abstraction, méthode déductive. Évolution de ce travail d'analyse et de synthèse dans l'école pythagorleienne, chez Platon et Eudoxe de Cnide. 3 L’évolution de la pensée mathématique dans la Grèce ancienne ! «On imagine aisément », dit G. Milhaud dans son excellent petit livre sur la Pensée scientifique, «ce qu'il faudrait penser d'un homme qui prétendrait connaître l'esprit grec dans ses traits essentiels et qui n'aurait lu Homère ni Platon, ou qui ignorerait l’existence des chefs-d’œuvre de Phidias, Par quelle étrange inconséquence croit-on généralement pouvoir laisser de côté, lorsqu'on étudie les Grecs, une des œuvres où ils ont le plus fortement marqué leur empreinte, œuvre sinon éternelle, du moins aussi solide et durable que peut l'être une création humaine : œuvre achevée au point que les travaux de deux mille ans apparaissent comme le développement normal des germes qu'elle contenait? Nous voulons parler de leur géométrie» , J'irai plus loin même que Milhaud et le terme de « miracle grec» ne me paraît nulle part plus justifié que lorsqu'il s’applique à l'apport des Grecs dans le domaime de la pensée scientifique : car les civilisations qui les ont précédés, ou qui ont évolué parallèlement (comme celles de l’Inde et de la Chine) nous ont laissé d’admirables témoignages de leur an, de leur littérature, voire de leur philosophie, qui peuvent à plus d'un titre rivaliser avec ceux que nous devons aux Grecs. Au contraire, c'est à ces derniers seuls qu'il revient d’avoir dégagé l'esprit scientifique de ce qui n’était avant eux qu'un amas de recettes pratiques ou magiques, et d'avoir créé de toutes pièces le moteur essentiel de la science: la pensée déductive, Quoi de plus attachant, pour l'humanisme tel que nous l'entendons, que d'assister à cette naissance de la science, pour autant que nous puissions le faire à travers les textes qui nous sont parvenus. C'est ce moment capital de la pensée humaine que je voudrais tenter de vous retracer dans ses grandes lignes. Dans toutes les civilisations qui méritent ce nom, on observe de bonne heure la formation de notions d’ordre mathématique qui sont indissolublement liées aux nécessités de la vie sociale : qu'il s'agisse de construire des maisons ou des temples, de mesurer des champs ou de dénombrer des trou1. Conférence donnée & la section de Nancy de l'Association Guillaume Budé, le 25 février 1950, par M. Jean DIEUDONNÉ, professeur à la Faculté des Sciences de Nancy. Dieudonsne, di» e 9 Lal rver les retours des phénomènes célestes liens qu r des notions de nombre, d'espace, de temps et desnotio ns de) ces er degag de fait seul Le ont entre elles. é ome sûret de abstraites, et de les manier avec assez e Sr ic déja gne répondre aux exigences pratiques témoi mes co la dont , ectuel d'un très grand progrès intell esse = au commerce, il faut constamment faire nt y nt la a avec les peuplades primitives (chez qui souve ues uni ) de nombre ne s'étend pas au dela de quelq peu on s, xcè l'e à fiant peut nous donner une idée, En simpli = atif qualit Je re rédui à déjà te dire que cet effort consis p conce le e mond du idée notre dans duire intro quantitatif, à développé, ‘ansmillé€ le trouvons, et fortnne, praia nousienne plusieurs et babylonnie civilisations égypt po naires avant les Grecs. Grâce aux efforts des rer enant et des assyriologues, nous pouvons maintre mathédéchi ue, matiq d'ord ces des manuels étendus de connaissan très comparables en substance avec ce qui est e er 1 = méme nément enseigné dans nos écoles primaires, et des cata cag au delä. Ces ouvrages Se presentent commee sous at o de problémes, dont la solution est donné à e see a recette indiquant la succession des opérations une sorte d'a | partir des données, ce qui prouve d ailleurs qu développer, € gèbre rudimentaire avait certainement dû sefait jour — anadéjà t s'étai qu'une classification des problèmes ym roam logue à celle qui reste en honneur dans snotre Jes méthodes typ élémentaire, quand on apprend aux enfant en pour résoudre des problemes de mélanges ou decomm e = aussi nte prése Quant à la géométrie , elle se qu : t visan ne , iques empir t lemen recueil de formules visib peut on et une évaluation approchée des mesures cherchées; N lléniques, ee commun a ces mathématiques préheRT a ì tant de l’astronomie. c’est leur absence totale de tout cote théorique; consi se vue de fins utilitaires, elles paraissentqu être elles pers mn comme pleinement satisfaisantes dès c ue uoi d'y parvenir ; de réflexions sur le pourq s,des ne “sa on caché rts rappo leur nature profonde et leurs *8 est s s chose de état cet que songe aucune trace. Si on isations fort dira me durant des millénaires et dans des civil lution gini mis l'évo rien n'empêche de concevoir que dans ce se (mei : eùt pu se poursuivre indéfiniment empiriquement connaissances Sur pe opérer plus qu'un tri superficiel. Dans une telle

vence le mot de mathématicien serait resté synonyme de celui de calculateur, ce qu'il est peut-être encore d'ailleurs chez plus de contemporains qu'on ne croil, et même chez beaucoup de gens dits cultivés, C'est le point où éclate l'originalité des Grecs: à eux revient l'honneur d'avoir su les premiers détacher leur pensée de la fin utilitaire immédiate, de s'être posé des questions pour le seul plaisir de satisfaire leur curiosité, et d’avoir tenté de démonter les rouages de l'univers sans autre désir que de mieux admirer leur beauté, Dédain des contingences, de maticien grec que la figure de géométrie sur laquelle il raisonne soit réalisée sur le sable ou sur une tablette, sur la cire ou le parchemin; ce qu'il étudie, c’est la droite indéfinie, le cercle idéal, le triangle abstrait. On parle souvent à ce propos, et Euclide tout le premier, de «lignes sans épaisseur », de « points sans étendue», expressions qui prises à la lettre n'ont guère de sens, et ne sont sans doute que l'écho de querelles d'ordre métaphysique, En réalité, ce qu'elles cherchent à exprimer, de cette façon paradoxale pour le sens civilisations; c'est un principe commun, c'est l'essence même de la méthode déductive : le concept sur lequel on raisonne n'est plus que le reflet de l'être géométrique de l'intuition : pour mieux dire, c'est Je support abstrait d'un faisceau de propriétés en petit nombre, admises comme prémisses, et dont il s'agit de déduire toutes les autres par le secours de la seule logique. Par exemple, le « cercle » du géomètre est tout autre chose que le « rond » abstrait à peu près entièrement intellectualisé et dégagé de caractères affectifs; enfin et surtout, tout doit s'en déduire par le secours de la seule raison, au moyen d’un enchaînement rigoureux de propositions ne laissant pas de prise au doute. Généralité, abstraction, méthode déductive, ce sont les caractores essentiels qui differencient les Grecs de leurs devande l'intuition : il est caractérisé par l'unique propriété qu'ont tous ses points d’être à Ja même distance d'un point fixe; el c'est uniquement à cette propriété qu'il faudra faire appel pour démontrer les théorèmes concernant le cercle, tel que, par exemple, l'égalité des angles inscrits à un même arc. Tous ceux qui ont pénétré tant soit peu dans ce domaine de ciers, et netteté dans la raison souveraine savent quelle émotion esthétique peut leur mathématique. | Ces trois caractères sont d'ailleurs étroitement liés, Si le mathématicien grec (et à sa suite les modernes) ne s'intéresse qu'aux propositions générales, c'est qu'il cherche la raison profonde cachée sous l'incohérence des contingences particulières, C'est ainsi que, dans toutes les civilisations anciennes, on avait remarqué très tôt que le triangle de côtés 3,4 et 5 est rectangle, et on avait utilisé cette observation procurer la contemplation de cet échafaudage aérien de déductions ingénieusement agencées. Comment s'étonner que les Grecs, si sensibles à la beauté sous toutes ses formes, se soient particulièrement enthousiasmés pour la pureté immatérielle de la mathématique, et que cette dernière ait si profondément influencé toute une partie de leur philosophie? Il est visible en effet que la nature même de la mathématique grecque nous amène tout près, entre autres, des Idées platoniciennes. A vrai dire, il est à peu près impossible, pendant les deux premiers siècles du dévelopment de la pensée scientifique grecque, de dissocier les mathépassion de l'absolu, n'est-ce pas sous ces traits fondamentaux qu'il faut grouper, aussi bien l'admirable sens esthétique des Grecs que leur incomparable dialectique, leur quête inlassable du Beau et du Vrai ? Mais l'absolu que poursuivent les Grecs n’est pas un absolu mystique et plus ou moins anthropomorphique comme dans tant d'autres qui apparaissent avec le plus de pour l'arpentage ou l'architecture, Mais il faut attendre les Grecs pour « donner raison » de cette propriété, en la faisant rentrer dans le théorème général dit « théorème de Pythagore » d'après lequel les triangles rectangles sont caractérisés par le fait que le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des côtés de l'angle droit. De même, les Babyloniens savaient inscrire un hexagone régulier dans un cercle en reportant le rayon sur la circonférence; les Grecs chercheront à obtenir des constructions analogues pour les polygones réguliers d'un nombre quelconque de côtés. Il serait facile de multiplier ces exemples. A plus forte raison l'abstraction mathématique est inséparable du raisonnement déductif. Il importe peu au mathématiques de la philosophie: cosmogonie, morale, logique, mathématiques proprement dites, sont abordées à la fois, souvent par les mêmes hommes, et ne cessent de réagir les unes sur Jes autres. Le temps et la compétence me manquent pour essayer de vous retracer, dans la mesure du possible, cet enchevétrement de systèmes rivaux ou complémentaires qui fleurissent sans interruption du vi1® au 1v* siècle avant notre ère; je m'en tiendrai essentiellement à l'évolution de la pensée mathématique proprement dite, en indiquant çà et là les influences qu'elle a subies ou exercées. Les premières tentatives de réflexion philosophique appa-

raissent au vit siècle en Ionie, avec Thalès, Anaximandre et Anaximene, Leurs systèmes sont avant tout des cosmogonies: avec la hardiesse que peut seule procurer l'ignorance de la complexité des problémes abordés, ils s'attaquent d'emblée à l'explication de tout l'univers par un principe unique, C'est cette volonté d'explication rationnelle qui paraît spécialement intéressante, surtout quand, chez Anaximandre, le plus remarquable sans doute de ces penseurs, le principe explicatif invoqué est déjà particulièrement abstrait, Malgré quelques traditions douteuses sur Thalès, il ne semble pas qu'on puisse leur attribuer encore de mathématique à proprement parler; mais il est hors de doute que leurs efforts philosophiques créaient le climat intellectuel propice à l'éclosion qui se produisit au siècle suivant. C'est cette éclosion que nous aimerions pouvoir suivre dans le détail ; nous voudrions voir s'effectuer peu à peu le double travail d'analyse et de synthèse consistant à ranger en une chaîne logique irréprochable les propriétés des nombres et des figures géométriques. Malheureusement, il s'agit là de la période la plus mal connue peut-être de toute l'histoire de la pensée, La seule chose que nous sachions de façon certaine, c'est que les mathématiques prennent naissance aux vit et ve siècles, dans la Grande Grèce, au sein de l'école pythagoricienne. Mais cette école est surtout une secte, pratiquant une sorte de religion de salut fortement teintée d'influences orientales, où la pratique des mathématiques n'était peutêtre pour les adeptes qu'un genre d'ascése ; secte dont, au surplus, les dogmes et les mystères sont jalousement préservés par le secret le plus absolu imposé aux fidèles. Le résultat, infaillible en de telles circonstances, c'est que le peu qui a filtré dans la littérature contemporaine ou postérieure, concernant les premiers Pythagoriciens, se présente le plus souvent comme un fatras de racontars où les faits légendaires ou miraculeux se mélent inextricablement à l'écho des événements réels. L'existence même du fondateur et éponyme de l'école, le Samien Pythagore, n'est nullement certaine, et sa soi-disant biographie n'est qu'un tissu de légendes, incontrôlables ou invraisemblables. On n'est guére mieux renseigné sur le développement historique de la secte, mélée, semble-t-il, aux troubles sociaux qui agitent la Grande Gréce vers la fin du vie siècle, et qui amènent son expulsion et sa dispersion vers cette époque. C'est sans doute alors que l'essentiel] de la mathématique pythagoricienne commence à être divulgué, et ce premier corpus mathématique, dont l'ensemble a été restitué par les érudits modernes à partir de ET es sima documents légèrement postérieurs, peut être considéré comme délimité. bien »z à la forme on s'impose quant es constatatipytha oS realmathé goricienne telle que pon la matique prise par la nous avons Te “an connaissons : les caractères essentiels queonne en rais n, ci-dessus —généralité, abstractio particulier,ment déjà fait est il En ge. parta y règnent déjà sans ré fondamental grand usage d'un mode de raisonnement demeu PRES », où par « en mathématiques, la démonstration ition +. propos la de ion on prend pour hypothèse la négat on en tire; qu es quenc consé des rdité l'absu ver, et on prouve Il est à nt. insta nous en verrons un bel échantillon dans un raisonnepeine besoin de rappeler avec quelle prédilection ce mpora ins, sophes conte ment devait être employé par les philo beaucoup moins justint souve eurs dans des conditions d'aill d'être codifié par Aristote au fiées qu'en mathématiques, avant | excite notre e avis implacablement rigoureux, s'il admir ablement j suivant. ue et est admiration pour sa perfection logiqes mathématiques, nous adapté à l'exposition des théori méthodes par laisse malheureusement dans l'ignorance des leurs découà enus parv t étaien iens lesquelles les Pythagoric toutefois isent condu tions tradi es reus nomb ez vertes. D'ass On peut idées. à des reconstitutions assez plausibles de leurs l de la centra ème sans doute les grouper autour du probl gr nt employée pour était, bien entendu, couramme Egyptiens. Si les et randeurs. des fins pratiques par les Babyloniens , par exemple deux on a deux grandeurs de méme espéce diviser À en un longueurs A, A’, trouver leur rapport c'est soit exactement nombre de parties égales telles queesÀ: par exemp le si A égale à un nombre entier de ces parti 7 de ces de e formé est A’ que est divisée en 5 parties égales, et urs toujo soit Qu'il 7/5. est A a A’ parties, le rapport de A de e exact vision possible de faire cette opération de subdi lpréhe iens matic et A’ en parties égales, c'est ce dont les mathéles Pythagoriciens , léniques, et aussi, au début sans doutedouté , tant la chose avoir pas eux-mémes, ne semblent caleul pratique. le que isage n'env qu'on tant tombe sous le sens et postulat, poussés par Admettant donc implicitement ce ience ustique, ils ailleurs par leurs premières expér èmes ded'Aco mesuré des la probl Je auraient ainsi ramené tout leurs rapports ; grandeurs à l'étude des nombres entiers et dedevis e attribuée e et c'est là sans doute le sens desontla célèbr ». nomb à Pythagore: «toutes choses

sechm-ez s pa t en em ll re tu na ns ro te ré ue ar sq US ju NO riblabcileenss; ennofausntneillages, qui se pours suquive enpot,urhémolants,rer combien, Plenatdéonpi, tetdequesenos paussn'deavgéonans citstéredastnse enjacoforermpratociohen ,depal'resceprr-it scientifique, le Pythagorisme res. — — 13 atiique La mathwm agor Mais son en evdé ejàttout argei rpy4tha > se tsemunaleAn sa dérebuge àtr est eurs ori ieè nne est ouonls ; x ti au es at nt qu ul ie s or lc de ca rs e s e d eu ti un al es x; qu cetntsaranslesinautérétour de laaqquele lee s's’ ordonnent to gara ation es pport ma00nenepoquurotleiecantlcdeul prdeatuxiquenticherastthei=pethtiéotsrèqumees podraisuibieHa,,as + ne nous disons aujourvial ee blconsémone an(santss etdoutraeppsoortssire«splim«spai usplr essile»)smprelecolansnstiexisisoprnsteesi sienenontreasoking pacmmcoePrdroasÀ,trouA”ver:]; lale plprusocédgréan- ide me: sure COMmuU ne de deuxua r le t s à nous ap, onpelorenses x, eu ni gé i cl Eu d' i p r pa «trl analgchoritehmedei ;desi A aussi pred < A’ s » e id cl Ev d' ! A e e ur de an gr ie mecosummreuncoe mmde t"asàe Eestet alA’oress tOmmauousseni<cela Aalplorusets paenla rpebrannnsiegrcianSenede deobtiAenlet aiplnsusi sogrntandh1aanlteeipreledèscoenD. tieiercoD dsmmCe e} less # reFrstesi qu'ox n n se S g E I dus nQmuoe commfiunei d'à opAéreratioA!, Tele pre é desiladeseplusR éd oc re prn écUisn e,seseàcocolanaprcaeemreièFreagsrnofoe ismbdequR 'ocentteobtiarenitthmunetinsTea,s=et nudel.façon ellQue ciestenencne orees,t qudadanens i5seags mé2thodabstesesradeite déda, consuv =, expoSli30séen,96e,etroe it en , È : l e d de u e d ri s éo de th la re où su d' ec elavle est Ri ni laprraatmediitionC'sest ains7. i Squeee AmPRoer OsA 2 » L se entiers ~~ I i ' 1 les ae a produit de deux une ealeeurs quDei seenemontForeretrsès afénconde Aeay i se ainsi que la somme, ienedéPEcom-ils entr s: par exemple, priemontrent airesmaimin pairs est n° s nomb de cótén e g r aont : le carré n «gn Fia, 1. | g p es siv ces suc a r le p ; rs ie em ca£. 1)ion. No«usfigavononss e s pr ir n s pa pmbar releuses allusionsnoàmbcetresteimrepréno de sentat urée » des nombres, o core it en s’ il ; » e ri ét tarsmberes,da sal fi r ‘a ue iq st no my é ISS lur dal E R B te i S qu a in , e es ik iv it o: im ti pr sa traavnooimbitram li ns vi io été cultiv: é aveces falesveucir dasnsat certains cercles ia cettere«usareitl pytnagotérieu tains côttés,à ladesgétromadétitriioenspranoprement ditele, sil Pyestht asagseorzicvrieainsQuan qu'elle soit, elle aussi, chez joniens), derivee se(etmbsalansbldoe ute déjà chez leursmeprsuédreécesdeses grurans deurs, et notam-, dementnotiàonlas sisemiralitttuacdehadents àfilagureicsul(ntéottaiontn inqutu'oitnivademmeenttt aiclait rela etcommquenisun'raofbifrliaittépades sdegrandicoffdensurids)ér.atTlionssembqule'é,taenit todéusmontCAréntS, me es ne lj ig te se en de e r tr pa no t es ns c' da ne re co en t es l' i] e ipélitémiaenletameirnte) (cleom{hmeéorèmed'cehuntirasolusdele lanomthéoderi«e,théoqurèmenoesusdee coPynnthaiagssorones».enTocoutreeaudéjomournstrtoatuteionundee secerittee denatuprreoposSuitppiodenss d'géaiomlléteurirsqul'esexisanteténcrieeuredes, tenondtau,mmd'enunte sesurire dela pothstéoulriate s dude paparasellèlclesai,reetmeauntssfoi,rmbiulenésen; ilecesqute ceavrtaiaitnatquteeindét scele nimiveliaueu, flceivequisiesèctlepa, rtlaieugéliomerétemrienet grrecemattrge lmiabsele tnsi onordrsoengloegiàqulae did'unde euécltheevequau'adedípropprosésiteniotensr iqd'ueun. e ycoympalexiplusté, biCaenr: plpausrtangrtanSuducqutheéorècellmees dede Pyl'tharitaghmoréte,ielents réPysothudagreoricdeiesnsprobet lèlemeurss mpdiffasicecilessseuders coimnsmétrdiucattisonsagévapeomntétriagquonee parérgulilaerrègldaenset UNle coceccrcèsle),, (tquel'ilels l'coinnsscidriérptaiioenn t ducommonseinungénideeuseleurs d's aiplreuss, becouraubex ssucomme ouleseflufenuctleuesrd'deHis ppévocalrauateti. développement aussi brillant, leisse Arrivéatesiqàueces pogrinectqud'esunvont cependsoairyttirosuntbirqu'aunpre èscr un mathtrémèmement sérieuse, d'où ellerbs eneédifice logique monte par execle d'efforts. C'est que le supe ntradiction interne, que siles Pythagoriciens recélaitrounnteatiocon de leur geometric et de valeurfairareitaphmpaétraiqituere, ja cotnfque toute la Mathématique pyitthemageno-t fe ef en imsplicde mème Vu e s ut on do av s us an No —s at ul st po le r Su ur de se an po gr re riadcimiensne— de la commendesus rarabippliortàts sidemples entre deux telles espèce; la recherche

Erandeurs étant un de inc} était nature] qu'on Epa objectifs de l'école il port entre Ja decupät ent ation du rap di ve autres de l'éva]u- Par exemple par le procédé de Ti ala Carré et son côté Or celui-ci | impossibilité Ui-c i ay ake“(ha B i rectangles ARR : commun, ga i cond a ae Fes c d'où BE — rectangl ; autrem ent trancher de e CDE dit, s ED — De étant is oune fois fait AC ] i de AB, ici AD Lanes pi o qui n consiste à retranch ata gr an aussi d multip à er de pr le de DC retranch er de E r i pie le faire si AC et à un triangle re AB étaj a ; ct ' mGE use seraient denti orem E 6 de l'angio outirait ble n BEIN l'absurde +: trati on de cette impossibiliilleurs de donner bus forme irréductipe Port de AC 4 AB hoe ee réduction á P = 2p' est donc pl ri relation AC?— 9 Aaa Dposé mis sous it, d'où q 2 gp aD donne p*= 2g, pair, ce qui est ct parsuite ja kn à aussi 2Dsurde,. puisque 2 A peut diviser q kin 7 et q d'a Pres l'hypothèse Ce te deco uverte Ve sièc se ] Elle va faire Poe est attribuée au au moins deux mathématiciens de premier ordre : son contemporain et ami Théétète (auquel Platon a dédié un dialogue), et Eudoxe de Cnide, un peu plus jeune. Tous deux s'attaquent au grand problème de l'heure, posé par la découverte de ces rapports « inexprimables » (äAoyos) que nous nommons maintenant les irrationnelles. Tandis que Théététe donne une classification très poussée des plus élémentaires d’entre elles (si, comme il paraît probable, il faut lui attribuer la substance du Livre X d’Euclide, consacré 4 cette classification), Eudoxe, par un rare tour de force, parvient à donner de nouveau un fondement solide à la géométrie pythagoricienne, ébranlée de fond en comble par l'existence des rapports incommensurables. Les conceptions géniales d'Eudoxe n'ont vraiment été appréciées à leur juste valeur que dans Ja seconde moitié du xıxe siècle, au moment de la grande révision critique des mathématiques modernes: elles s'apparentent en effet aux méthodes les plus hardies de l'axiomatique contemporaine. Pour les Pythagoriciens, le rapport de deux grandeurs est défini a priori comme rapport de deux entiers, les mesures des grandeurs considérées à l'aide d'une commune unité ; cette dernière n'existant pas en général, cette voie se trouve fermée. L'idée essentielle d'Eudoxe consiste à renoncer à définir le rapport de deux grandeurs, en le ramenant à des notions déjà connues (en espèce, les entiers chez les Pythagoriciens), et à remarquer que malgré cela, toute la géométrie demeure pratiquement inchangée. Comment cela peut-il se faire ?. C'est que, si on examine les démonstrations où intervient la notion de rapport de deux grandeurs, on constate qu'il est inutile de se servir de la définition des Pythagoriciens, mais qu'il suffit de savoir: 1° ce que veut dire l'égalité et l'inégalité de deux rapports A/A”, B/B’ ; 29 ce que signifient les opérations fondamentales sur de tels rapports(essentiellement leur addition et leur multiplication). Le second point est facile à traiter par voie géométrique une fois le premier élucidé (par exemple, le produit de A/A’ et de A’/A” est A/A”) Quant à celui-ci, ce que fait Eudoxe revient à introduire par une voie détournée la comparaison des rapports incommensurables (non définis) aux rapports d'entiers, Un rapport A/A” de 2 grandeurs’ de même espèce sera considéré comme plus grand que le rapport m/m’ de 2 entierssi m’A> mA’, inégalité qui ne faitintervenir que des additions de grandeurs, opération toujours possible d'après les postulats de la géométrie ; un rapport A/A’ sera plus grand qu'un autre B/B’ s'il existe un rapport d'entiers m/m’ tel que A/A'>m/m'> B/B’ ; A/A" et ~<a Gant. ott se uses sat Di

sero due Tout e — 16 égaux enfin si aucun des deux s Gracce e à cette etteingeni g ingénieuse se défi définiti nos classes élémentaires: n’ deux n'est plus géométriques des PythagoriSen na val oe rpour ables - les 5 gra grandeurss qu'ils qu'ils cons consi idèr der e ta © ans le cas général, en se r si = ee ae cas qui le eas a es le restent commensur able usage €, de Joue la le rôle « E pour démont rer passage à ae de Thalès » OA/ la et définition zen vi ple, d démonstrations gummed a gran de notre limite », le Par « théo- OA’ = OB/OB’ sur suffit de prouver que si on jan (00 > > M/M, m/m', et on a aussi la même position avec > remplacé PP” or Si m’, OA > m. OA’ eu =, + ds OD =m’. OA ‘OD ’ di | 224, Rome, ee ie a (Iheor eme de Thales c. q. £. d. par > y” OE f mathématiques grec que s ont attein qui DE = e dans en le les lue dl > a inilive, livre menant ‚Un = m’. OB et OE’ = m. : OP’ , et OE Pe, a en détail “all t leur sera codifiée 50 ans plus tard dan s d'Euclide. Le tem pS me manque pour la la périod période iy suivante, développant considera cee m La mme rn ee = ie leme nt les connaissances pr E b encore plus enden! dloMe Ce emploi eels van a ee un vocabulaire tech e don ic re je pourrai e que trop abusé. Je neniqu co is ge Fi y bem I “nes algébriques de la duplicatio à c agi mp x u cercle, ni de la théorie des sect È intérêt et leur beauté, J je Hu pei gr einlea er De peut-être de ja poi a, ni pl au XVIIe sié j pria iy aaa a ne voudr ais cependant pas i e rava eux eng disparusa, p i = | ena n How aie lets ae a e est étroitement liée à sa définÈ ai Pports : elle consiste esse ntiellem des valeurs connues de shiven eh Spprochantnd6fniment pr methode est le caleul du ole M r e, Là a tel qu' 2 on l'enseigne encore auj ourd’ hui dansx empilements de prismes de entre deu différence des volumes on insère la pyramivol dont on connait le ume et dont la (fig. 4). La est arbitrairement petite l'ég alité des r pou xe udo d’E définition uver rapports permet alors de etroBh/ siqu clas aussitôt la formule la plus ing3. Appliquée de la facon à une foulé-e nieuse par Archiméde ues, cette d'autres problèmes analog sence méthode est naturellement l'es Fic, 4. , et gral inté cul Cal re même de not ion not repose de façon implicite sur Ja modernes. atiques de limite, base des mathém avant J-C., le grand courant de la A partir du n° sièclegrecque semble se tarir brutalement. pensée mathématiqueptions de second plan, il n'y aura plus A part quelques exce res classiques, plus commentateurs des Œuv désormais que desent causes lleurs. On a cherché lledess'in ou moins compét saded'ai qu’e ble nce ; il me sem la civilisationscridet diverses à cette déc ral de s le déclin géné naturellement dan que les mathématiques dire e mêm langue grecque : on peut érature ou plus grande que la litt manifestent une vitalité ec Archi(av e situ se apogée e, puisque leur l'art, par exempl trouver peu on Si ère. re siècle avant not on pourra tdire méde) en plein merose que spécifiques, des causes de sclé eur plus eud es hod traction des mét ps et parao-la minutie, la rigu -êtrete enPabsava leur tem xiennes étaient peut quête dencedomsur nouveaux ; carôt ain lysaient l'effort tedeestconle plus souvent dueesà l'in tuition plut une telle conquê que, et s'accompagne toujours début qu'à la stricte logi ude sur les principes. D'autre aupart, les de quelque incertit des e, ce langage si souple Grecs n'ont pas connu l'algèbr s leur de en résultait dans l'exposé ernes ; il mathématiques mod se en plus pénible à mesureiodque théories une lourdeur de ;plus de e pér en t tou ltats cela aussi,devsur raffinaient les résullec contribuer à la ait ral, géné tuel inte relâchement plet de ie suiv , mathématique ffondremel'arntrêtducom stagnation de leur de mon de toute pensée scientifique après l'e antique. he que j'ai entrebien inférieur à la tâc Je crains d’avoir étévou e idée de ce qui, pâl une qu' voir pu s donner prise, et de n'amat plus extraorciens, constitue un descert à nos yeux de hémati de ain. Il est achesemeaisé nts du génie hum dinaires monume au railler les mathématiciens grecs pour leur

caractére idéal de leu cheveux en quatre et sence ; de r science, de les acc user de couper des de les trai ter d'abstrac teurs de quintes- Schopenhauer pentane Hogben, on ne au biolog is e gist aggio ou de l'utilitarisme. A ce ; in . ia en systématiquemen t si ‘ae > anglais i s'en est pas fait late négligé oe que lent ces ee i rep les applications pe subtilites,en app aindispensables développement de l'Analyse pou - erne, dontpela ia i le rôle d'outil essentiel das mod les théories È mécn ani t que a cone Siques contemporaines, ‘se Mais le débat mathématique grecque est i sophie antique — un des — au i das haut is cena ee moins autant que la philoplus beaux tém ‘moignages mas de ce tere ee“Sane dans son aspiration désiutérensée vers a ance, dans ee Sa AL =»3 er et recherche toujours = inassouvie de o refusent à com prendre la nobles se ettort spécifiqueme nt humain ne sau raient > a sens, mériter ple inement le nom auquel nous sa chs Icl une si haute vale ur, Je beau nom d’h umaniste, J. DIEUDONNE, lution de la pensée mathémalique — J. Dietpoxni,deL'évo Eudoxus Cnidius. ] ; cf. Sciences. Cnide oxe Eud ancienne [chez $/ dans la Grèce | s la Grèce ancienne : de mathématique dan atique préhellénique, . DIEUDONNÉ, y mathémisent li mathématique face deuxlacara . Y| Esnou 1 6-18men 2 195y N° r RAGE 8°nt Sér. ctér O ion de ce |!traval] vea ts élé s troi pureme utilita ire, e. Evolut ctiv dédu e hod mét ion, grecque : généralité, , chez Platon et Eudoxe nne cie ori hag pyt ole l'éc d’analyse et de syn rege , de Cnide. “ M EPL E nell Bade y yv. %o/ Socrate: son milieu historique, son actualité *. L'un de mes plus grands sujets de tristesse intellectuelle — et Dieu sait s'il n'en manque point en ce temps de grande pitié au royaume de l'intelligence — c'est le divorce que l'on peut constater de nos jours entre la philosophie et les humanités. Sans doute, les philosophes n'ont-ils jamais autant qu'aujourd'hui parlé d’humanisme ; mais ce qu'ils entendent par là n'a rien de commun, Ja plupart du temps, avec ce qu’appellent de ce nom les humanistes au sens traditionnel, ceux de l’Association Guillaume Budé, je veux dire ceux qui conservent le culte des lettres antiques, et plus généralement des grandes œuvres du passé, à quelque époque qu'elles remontent, de quelque contrée qu'elles proviennent, ceux pour qui demeurent vivantes les ceuvres immortelles qui témoignent de la communauté de la nature humaine et de la pérennité du genie humain. L'humanisme dont se targuent nos philosophes n'a rien de commun avec célui-là; il en serait plutôt la négation. Il revendique ce nom parce qu'il fait de l'homme la mesure de toutes choses : il n'est point, selon cette philosophie, de valeurs absolues, éternelles, transcendantes mais seuleument humaines, relatives et historiques. Il n’y a pas même de nature humaine permanente : chaque époque, chaque genération, libre de toute attache avec le passé, de toute responsabilité envers l'avenir, se crée à elle-même son propre idéal; il lui appartient de réaliser un exemplaire nouveau d’humanité; elle ne reconnaît d'autre juge de son activité et de son genre de vie qu'elle-même. En même temps que cet humanisme abolit la nature humaine, cet historisme exclut le jugement de l'histoire ; tout le prix d'une production humaine se mesure au bruit qu'elle fait dans le présent. De là l'indécente publicité que font autour de leurs ouvrages et de leur personne les philosophes en vogue, et le débordement inoui de la philosophie dans la littérature. Elle anvahit tout les genres, submerge le roman, escalade la scène, voudrait trouer l'écran: elle subornerait même la poésie, si celle-ci était encore un genre à succès. C'est en contraste avec cette È y tte «es sorts 1. Conférence donnée,a Ja section bordelaise de l'Association Guillaume Budé, le 18 février 1950, PL ONE]