Die vier Wissenschaften der Pythagoreer

WAERDEN B.L. VAN DER, Die vier Wissenschaften der Pythagoreer in Rheinisch-westfälische Akademie der Wissenschaften Vorträge No. 268: Opladen Westdeutscher Verlag 1977 46p. : 7-16. A 3 A Z Dic vier Wissenschaften der Pythagoreer 9 456° rr u € pa C2 Von Bartel Leendert van der Waerden, Zürich Einleitung Neulich passierte es mir, als ich einen Vortrag über die Pythagoreer hielt, daß nach dem Vortrag einer der Hörer mir sagte: „Ihr Vortrag über Pythagoras war so interessant!“ Ich möchi£ daher betonen, daß ich nicht über Pythagoras sprechen werde, sondern nur über die Pythagoreer. Von Pyıhagoras als Forscher im Gebiete der exakten Wissenschaften weiß ich gar nichts, und ich möchte Ihnen keine Märchen erzählen. Pythagoras ist für mich, wie für seine Zeitgenossen, vor allem ein religiöser Prophet, ein Ermahner zu einer sittlichen, frommen Lebenshaltung und der Gründer einer religiösen Gemeinschaft: eben der Bruderschaft der Pythagoreer. Pythagoras und die Pythagoreer glaubten an die Seclenwanderung und an die Unsterblichkeit der Seele. Unsere Aufgabe auf dieser Erde ist, die Seele durch reines Leben zu läutern, sie von irdischen Schlacken zu befreien und sie so auf ihren Aufstieg in den Himmel nach dem Tode vorzubereiten. Wenn dieser Aufstieg nicht gelingt, so ist die Secle verdammt, den Kreislauf der Wiedergeburten von neuem zu durchlaufen, womöglich nicht als Mensch, sondern als stummer Fisch oder als Schwein. Die Pythagoreer lebten in Süditalien so zwischen 520 und 450 vor Chr. in einer Art Klostergemeinschaft, mit gemeinsamem Besitz und gemeinsamen Mahlzeiten. Unter ihnen gab es eine Gruppe, die sich Mathematikoi nannten. Sie waren nach Aristoteles die ersten. die sich mit den mathematischen Wissenschaften befaBten und diese weiter entwickelten. Vier Wissenschaften oder „Mathemata“ haben sie entwickelt: Arithmetik, Geometrie, Harmonik, Astronomie. Wie kam es, daß gerade in dieser religiösen Gemeinschaft die mathematischen Wissenschaften so intensiv betrieben wurden? Was haben Religion und Mathematik miteinander zu tun? Für uns fası nichts. aber für die Pythagoreer sehr viel!

Erstens: Nach der Ansicht der Phythagoreer waren die Sterne Götter. Die Astronomie ist also gleichzeitig Theologie. Zweitens: Die Pythagoreer glaubten, daß die Planetengötter unser Schicksal entscheidend beeinflussen. Sie glaubten an Voraussagen, insbesondere astrologische Prognosen. Dieser Glaube war für sie ein zusätzliches Motiv, die Bewegungen der Planeten zu erforschen. Die Astro- 9 Die vier Wissenschaften der Pythagoreer E A D logic braucht die Astronomie als Hilfswissenschaft, und die Astronomie braucht wiederum die Mathematik. Drittens: Der Weltenschöpfer hat die Welt, wie die Pythagoreer meinten, nach Zahlen geordnet und nach einem geometrischen Muster. Wer also Zahlentheorie und Geometrie betreibt, nähert sich im Geiste dem göttlichen Schöpfer. Dies ist vielleicht der tiefste Grund, warum die gläubigen Pythagoreer soviel Wert auf die Mathematik legten. Auch die Musik spielte im Leben der Pythagoreer eine wichtige Rolle. Durch Musik konnte man, wie sie meinten, die Leidenschaften besänftigen und den Geist ins Gleichgewicht bringen. Die Musik war nach ihrer Überzeugung göttlichen Ursprungs: Die irdische Musik war nur eine Imitation der göttlichen Musik: der Harmonie der Sphären. Die Pythagoreer wußten, daß die symphonen Zusammenklänge der Musik durch einfache Zahlenverhältnisse bestimmt sind: die Oktave durch das Verhältnis 2:1, die Quinte durch 3:2, die Quarte durch 4:3. Auch das war ein Grund für sie, die Arithmetik zu studieren, insbesondere die Lehre von den Zahlenverhältnissen. Manche religiösen Lehren wurden- von den Pythagoreern geheim gehalten, aber die mathematischen Wissenschaften waren nicht geheim. Wir kennen ihre Musiktheorie aus einem ausführlichen Bericht des Astronomen Ptolemaios. Wir wissen genau, wie sie den Satz von der Winkelsumme im. Dreieck bewiesen haben, wie sie das Verhältnis der Diagonale eines Quadrates zur Seite durch Zahlenverhältnisse immer besser angenähert haben, und vieles mehr. B C Da BC und Dee k. Ziche durch A eine Geradee DE parallellell zu BC.BC. Da ein Dreiec PA ABC an i C ABC gleich DAB Winkel der also DE peraitel dod,“sind die Wechselwinkel gleich, BAC hinzu. Also werden die drei und EAC gleich ACB. Füge beiderseits den Winkelbilden, gleich der Summe der drei Winkel Winkel bei:A, die zusammen zwei rechte der Pythagoreer. Winkel des Dreiecks sein. So ist der Beweis Die pythagoreischen Mathematiker lebten rund hundert Jahre vor Eudemos: Dieser hatte keinen mündlichen Kontakt mit ihnen. Auch die ganze Form des Beweises, in dem Winkel mit je 3 Buchstaben bezeichnet werden, deutet auf eine schriftliche Überlieferung hin. Eudemos hatte also ein Buch vor sich: ein Lehrbuch der Elementargeometrie aus der Ich verBuches nennt Eudemos nicht. .- ra des Autors dieses gar nicht kannte. Eudemos war, wie wir aus le der Pythagoreer. mute, daß er den Namen seinen Fragmenten wissen, immer sehr daran interessiert, wer zuerst ein e. Theorem oder einen Beweis gefunden hat. Das Buch, aus dem er schöpftt: war offenbar nur als Sammelwerk der pythagoreischen Schule bekann es trug keinen Autorennamen. | eine logisch aufgebaute, schriftlich niedergelegte Elementargeometrie vergehabt. Ihr Beweis des Satzes von der Winkelsumme ist übrigens schieden von dem Beweis, den man bei Euklid findet. Geometrie Fangen wir mit der Geometrie an, weil wir davon am meisten wissen. Eudemos, ein Schüler des Aristoteles, hat nämlich eine „Geschichte der Geometrie‘ geschrieben. Diese ist verloren, aber Proklos hat in seinem Euklidkommentar bedeutende Fragmente aus der Schrift des Eudemos erhalten. Eines von diesen Fragmenten ist der Beweis des Satzes, daß die Summe der Winkel in einem Dreieck gleich zwei rechten Winkeln ist. | h Der Beweis, den Eudemos hier wiedergegeben hat, ist streng logisc orcer Pythag aufgebaut, im Stil der Elemente von Euklid. Also haben die eibt, Eine weitere Erfindung, die Eudemos den Pythagoreern zuschrForm hsten einfac der In n‘. Fläche ist die sogenannte ,,Anlegung von lautet das Problem so: Gegeben eine Strecke a und eine Fläche F, z. B. als Rechtdic Fläche eines Dreiecks oder Vierecks. Man soll diese Fläche der Basis a eck an die Strecke a anlegen, d. h., man soll ein Rechteckist.auf- Dann gibt konstruieren, das flachengleich der gegebenen Fläche F t oder Exzeß . Defck mit es noch zwei schwierigere Flächenanlegungen oreerTM. Alle diese sind nach Eudemos „Erfindungen der Muse der Pythag

Die vier Wissenschaften der Pythagoreer Bartel Leendert van der Waerden Die einfache Flachenanlegung ohne Defekt oder ExzeB wird bei Euklid am Ende des ersten Buches der ,,Elemente* behandelt und die von Blasinstrumenten tatsachlichtnissosevorfürt hinzu. daß die Erbauersten aus gchen. So also konnten dic älte Pythagoreer ihre Zahlenverhal . . > «iba Anlegungen mit Exzef oder Defekt im zweiten Buch. Aus diesem und aus anderen bekannten Fakten kann man schlieBen, daB der letzte Teil des ersten Buches von den Pythagoreern stammt und ebenso das ganze a zweite Buch der „Elemente“. Ein Scholion, das heißt eine Randbemerkung beim vierten Buch der Ei Elemente, besagt, daß alle Theoreme dieses Buches von den Pythagoreern si n en die Griechen eine Zusammenklang verse tand igen einz m eine im Ohr zu e gewonnen haben. solchen Zweiklang, bei dem die beiden Ton , hat Mathematiko)Qua g der ersteve,derQuin Uberlieferun s. nach der Zus E itinpascsym re un te phonen ammenklangen Okta : verschmelzen. den drei und die zwei weitere hinzugefügt, nämlich die Doppeloktave (4:1) | gebenen Kreis konstruiert. Bei der Konstruktion des Fünfecks wird die Flächenanlegung mit Exzeß benutzt. Das zweite und vierte Buch hängen s Experimente Musiker Laso men mit dem ocnhatundsam henden Bronzescheiben gemacht, um diese ZahlenVase also logisch miteinander zusammen. Im Archive for History of Science, Band 9, hat Erwin Neuenschwander die logischen Beziehungen zwischen den ersten vier Büchern der .,Ele- Dicke 3/, des ersten war, und erhie gefunden wurden. In diesem vierten Buch werden das reguläre Dreieck. Viereck, Fünfeck, Sechseck, Zehneck und Fünfzehneck in einem gemente‘ von Euklid untersucht und nachgewiesen, daß nicht nur das zweite und vierte Buch, sondern auch der größte Teil des dritten Buches den Pythagoreern zugeschrieben werden müssen. Das dritte Buch handelt vom Kreis und von den Winkeln und Sehnen im Kreis. Die wichtigsten Beweismittel im dritten Buch sind erstens der ‚Satz des Pythagoras“, der bei Euklid ziemlich am Ende des ersten Buches steht, und die Sätze des zweiten Buches. uinte (3:1). mit töne n ‚bronzenen Diskus durch verhältnisse zu verifizieren. Er mbracdanhten eine einen zweiten Diskus, desen Anschlagen zum Tönen, nah lt so die Konsonanz der Quarte, un ähnlich für die Quinte und Oktave. | . ration, so um 450 vor Chr. Die „Mathematikoi“ der nächstenfikaGene tion der Zahlenverhälnisse der waren mit dieser empirischen Verit zufrieden. Sie stellten cine axtosymphonen Zusammenklänge nich tnisse matische Theorie auf, in der bewiesen wird, daB die Zahlenverhäl Harmonik des Prole matische Theorieagorauseerder— also aie kennen dieseemaiaxio e nym ano wieder os gingen die Pyth ammenklange i so sein müssen. Euklid maios. Nach Ptol Bewcis an Pythagoreer - von drei Voraussetzungen ans, die sie ohne “ Ich komme nun zu der Harmonik, zur Musiktheorie der Pythagoreer, und zwar gleich hohen Tönen 1) Den Tönen entsprechen Zahlen, en aber verschiedene Zahlen. | gleiche Zahlen, ungleich hohen Tön gen entsprechen Zahlenpaare, diet 2) Den symphonen Zusammenkläniges ein vielfaches oder ein. überteil Verhältnis haben. Was heiß In dieser Weise kann man große, logisch zusammenhängende Teile des .Geometrie-Lehrbuches der Pythagoreer rekonstruieren. kannte dieses Lehrbuch und hat es ausgiebig benutzt. Harmonik on und ich frage: Wie kamen sie dazu, der Oktave das Verhältnis 2:1 zuzuordnen, der Quinte das Verhältnis 3:2 und der Quarte 4:3? ‘Ursprünglich haben die Pythagoreer diese Verhältnisse wahrscheinlich aus der Erfahrung entnommen. Wenn man eine gespannte Saite die Spitze stellten, nämlich: eine ältnis wie n zu 1. won ältnis ist ein Verhältn En „vielfaches‘‘ Verh wie s ltni erhä Ein „überteiliges““ Verh is ist ein V ? ganze Zahl ist. (n + 1) zu n, wobei der Überschu | ein Teiler von n ist. erhält man wieder den Zweiklang der Oktave. Diese Erfahrungstatden symphonen Losana Die Pythagoreer postulierten nun, daBaltn n. ige Verh isse entsprechen ms klängen vielfache oder überteildaß die symphonen Zusammen ange Sie begriindeten das dadurch, isse die die schénsten und die vielfachen und überteiligen Verhältn sachen stehen bei Aristoteles in den „Musikproblemen“, und Aristoteles einfachsten sind. zum Tönen bringt und dann auf die Hälfte verkürzt, so wird der Ton eine Oktave höher. Verkürzt man die Saite auf ?/, oder auf °/, ihrer Länge, so wird der’Ton eine Quinte oder Quarte höher. Ebenso: Macht man eine Flöte halb so lang wie eine andere sonst gleich gebaute, so

Die vier Wissenschaften der Pythagoreer Die dritte Grundvoraussetzung der Pythagorcer lautete: 3} Der Oktave, der schönsten Konsonanz, die dem Gleichkl ane am nächsten kommt, entspricht das Verhältnis 2 zu 1, das der Gleichheit am nächsten kommt. In diesen drei Axiomen der Musiktheorie ist jede Berufu ng auf die Erfahrung sorglaluig vermieden. Der Autor dieser Axiome, ein anonymer Pythagoreer, beruft sich nur auf die Schönheit der Zusammenklän e und die Einfachheit von Zahlenverhältnissen. Die Zahlen, von denen er spricht, sind nicht etwa Frequenzen von Schwingungen oder Längen von Saiten, sondern reine Zahlen. Die Pythagoreer meinten, der Kos mos sei nach Zahlen geordnet und alles Seiende sei durch Nachalenin der Zahlen. Jeder musikalische Zusammenklang ist für sie die hörkare Verwirklichung eines Zahlenverhältnisses; daher muß die Schönheit des Zusammenklanges in irgendeiner mysteriösen Weise durch die Schönheit und Einfachheit des Zahlenverhältnisses bedingt sein. Aus den drei eben formulierten Axiomen wird nun rein logisch bewiesen, daß der Oktave, Quinte und Quarte die Verhältnisse 2:1. 3:2 und 4:3 zugeordnet sein müssen. Der Beweis ist bei Ptolemaios nr skizziert. In meinem demnächst erscheinenden Buch wird der Beweis vollständig ausgeführt werden. Ñ „Die Pvthagoreer** = Die Musiktheorie der anonymen Pythagoreer war also eine logisch aufgebaute axiomatische Wissenschaft. Am Anfang standen praizis formulierte Axiome;; d daraus wurde alles andere rein logisch he LA -. E S wie in der Geometrie. i i ió 13 ständlich auseinanderzusetzen. So erzählt er denn in einer unterhaltsamen Art über Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Rechteckszahlen und Kubikzahlen, über vielfache und überteilige Verhältnisse, über Primzahlen und vollkommene Zahlen, erläutert durch viele Beispiele, aber immer ohne Beweise. Er kannte sein Publikum: Er wußte, daß seine Leser wohl in das Mysterium der Zahlen eingeweiht werden wollten, daß aber nüchterne Beweise ihnen zu langweilig wären. Außerdem würde viel von dem geheimnisvollen Zauber der Zahlenlehre beim Beweis verloren gehen. Ganz anders ist der Stil der arithmetischen Bücher 7, 8 und 9 der „Elemente“. Diese sind streng wissenschaftlich. Vom Mysterium ist nichts mehr übrig, die Worte „göttlich“ und „wunderbar“ kommen 3 nicht vor, alles wird genau bewiesen. Euklid lebte, macht er nach erte Obwohl Nikomachos vier Jahrhund einen viel primitiveren Eindruck. Er steht bestimmt der Zahlenmystik der ältesten Pythagoreer viel näher. Ich stelle mir vor, daß Pythagoras, der Prophet, seine Weisheit in geheimnisvolle Orakelsprüche kleidete, und daB die Mathematikoi unter den Pythagoreern erst später die Zahlenlchre zu einer exakten Wissenschaft mit strengen Beweisen gemacht haben. Nikomachos aber knüpft wieder an die ältere Zahlenmysuk an. Exakte Beweise finden wir vor allem im Buch 7 der „Elemente“. Dieses Buch enthält einen bewundernswerten, streng logischen Aufbau der Lehre von den ganzen Zahlen. Es fängt an mit dem „Euklidischen Algorithmus“ zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen. Darauf fuBend, wird eine Lehre von den Zahlenverhältnissen entwickelt. Es wird bewiesen, daß ab gleich ba ist. Dann kommen Sätze über die Teilbarkeit von ganzen Zahlen. Viel mangelhafter ist der logische Aufbau des darauffolgenden Buches 8. Das Buch enthält unvollständige Beweise, unnötige Wiederholungen, Arithmetik + * sogar Fehlschlüsse. In der Zahlentheorie der Pythagoreer können wir zwei Richtu ngen unterscheiden: die populäre und die wissenschaftliche Arithmetik. Die wissenschaftliche Arithmetik ist in den zahlentheore tischen Büchern 7, 8 und 9 der „Elemente“ von Euklid dargestellt. Unsere Hauptquelle populäre Arithmetik ist die „Arithmetische Einführung“ or rman Dieser neupythagoreische Autor lebte für die des Nikomachos im ersten oder zweiten Jm rhundert nach Chr., aber er hat sehr viele altpyt hagoreische Lehren r uns erhalten. Der Zweck seiner sehr populä ren Einführung ist, wunderbaren und göttlichen Eigenschaften der Zahlen für jeden die pesi In der Musiktheorie des Pythagoreers Archytas von Tarent (der mit Platon befreundet war) werden Sätze aus dem Buch 8 als bekannt vorausgesetzt. Wahrscheinlich ist das ganze Buch 8 in der Schule des Archytas entstanden. Nun werden aber im achten Buch Sätze aus dem siebenten Buch wörtlich zitiert. Das siebente Buch muß also zur Zeit des Archytas, um 400 vor Chr., schon vorhanden gewesen sein. Sehr wahrscheinlich ist es im Kreis derselben anonymen Pythagoreer entstanden, denen wir auch den axiomatischen Aufbau der Geometrie und der Harmonielchre verdanken. Sie waren es, die nach Aristoteles als erste die vier Wissenschaften systematisch begründeten.

Die vier Wissenschaften der Pythagoreer Astronomie E Ich komme eur vi nun zur vierten Wisssenschait: der Astronomie. Die pi mid ca pythagoreischen Astronomie ist schwieriger als de de Rek pipe issenschaften, weil wir nicht so viele gute Zeugnisse habe È Ein wichtiges Zeugnis steht bei Geminos in der „Einfül Phänomene“. Es lautet: in di iin à A net námlich der gesamten Astronomie die Annahme zu Grunde dal ie me der Mond und die fiinf Planeten sich erstens mit gleichmi iger Gesc windigkeit, zweitens in kreisförmigen Bahnen und dritte wee Die in span des Weltalls entgegengesetzten Richtung be. . Pythagoreer waren die ersten, welche an derartige Unte si ungen herantraten und fiir die Sonne, den Mond und die fù P a Srelformige und gleichmäßige Bewegungen annahmen Konn ren |sten fiir a gen ichen und ewigen Himmelskörper nicht cine nregelmäßigkeit annehmen, ’ vermögege welcher w ' sich diesel dala pacs na langsamer bewegen, bald gar stillstehen sen, ns Ser aay tlic A ei den fünf Planeten von ‚stationär werden‘ spricht richLa selbst bei einem gebildeten und gesetzten Menschen Ta seinem vor Gange cine derarúee pp zen. werden r fiir nca der Bewegung nicht die Menschen n didie Bedürfnisse ürfni d pe he Häufig Ursache zu langsamerer oder schnellerer Bewegung; a ne unverganglichen Beschaffenheit der Gestirne ist zu schnelleren ra pr Bewegung keinerlei Ursache denkbar. Aus diesem Grun de ste cenSie die Frage in dieser Form, wie sich wohl bei Annahme kreislöruge Ù nes Inne gp die Himmelserscheinungen erklàren a sen.” (Ge os, » 15 e, ediert Isagoge, und von Maniti e id übersetzt übers von Manitius, S. 11. anne uen Fe gie 1 = Hypothese, die für te eter Kreisbewegung aller Himmelskörper site usche £ ie grundlegend war, nämlich di - sagen Es +egriindet. Die Himmelskörper sind göttlich und ewig, so pu panda am na Können sie sich nicht unregelmäßig la enschein lehrt, daB sie sich bald schnell e A y, nppewegen, bad gar stillstehen, so kann das nur ch ne en versuchen, durch Annahmen üb ichmäßige” Kırei ungen die Erscheinungen zu erklären in „are in . - mel pieLee We : . i rom ni He theologisch begriindet! ischung von fissenschaft und Religion. Em bs am die Pythagoreer ihr Programm durchgeführt? Welche aben sie zur Erklärung der scheinbar unregelmäßigen | 15 ter Zeuge ist Platon. enommen? Unser wichr tigs Planetenbewegungen ang mos es ,.De Staat“ wirdbalderlenKos Schluß des Dialogeste In einem Mythos am ach sich tel Wir teln darg llt. Die die Nord-Süd-Achse,in als cine Spindel mitSpindetl Wir herum. Die Spindernel nisttäglich dreht. Die acht der Mitte um dieganze Himmel mit allen Ste Fixsternsphäre. Diese um die sich der en Planetens ren und die Wirtel sind die neb ton sagt, inephä isse Spielrgeschachtelt wie gewtell ina Sphären sind, wie Plan muß sich das nde e ch «so vors en: Jed zeugschachteln. Ma zwei Oberflächen,wahdiersceinheienli andere konvex, die l, hoh hat re phä ens net Pla egt sich den konzentrischenEpiKugzykelfel.läcSohenwenbew und zwischen diesenem bei tens erigs Kreis, einem der Planet auf ein kletikineern Kom des. Piaton selbst mentator, Derkylli tan klärt es uns ein spädeu so tlich aus. aber sein Text ist in Ubereinstimmung drückt sich nicht ung mit dieser Erklär . Kreis, der auf einem Epizykel ist ein Kleiner Aufk Was ist ein Epizykel? Ein os, reis). Der groEpißeher das Wort epi-kykldies großen Kreis aufsitztdie{daErd Bewegung den und nimmt bei umer den Kreis dreht sich umem drehtesich eigenen Mittclder Epizykel zykel mit. Außerdbei dieser Bewegu neten mit. punkt und nimmt des Mythos imng„StdenaatPla muß man sich die SacheIm Sphärenmodell Epizykel bewegt sich“ zwi schen je zwei konzen wohl so vorstellen: Derum die Erde herum, und der zykel trägt den trischen Kugelflächenes einfache Modell kann man inEpider Tat die Erdies Planeten. Durch Mon kur net Pla n der Sonne und der untereSaturn istenes Mer scheinungen des des,ären ieschw . Bei Mars, Jupiter t.und und Venus recht gut erkl selbst hervorheb riger, wie Platon im „Timai, os‘ hos, sitzt je eine so erzählt Platon im Myt Auf jedem Sternenkreis. Jed zigen Ton ine e dieser Sirenen gibh.t-eeinenwoheinlge ene Sir e end ing chw ums mit ordnete Vey e Harmonie,d. von sich, und diese Töne bilden einAns pielung auf die Sphärenharmonie WmAaIiA m>er A DaMyNe eine deutliche farbenreich geschilderte Weltbild Tonleiter. Dies istDas Platon so der Pythagoreer. nocvon der Pythaist nämlich, wie ich h näher erläutern werde, das Weltbild _ gorecr. Die „Timaios“ zugrunde. t auch dem Dialogl und Dasselbe Weltbild lieg Sch im n tel ngen von der Spindes zwardenabgeWirstreift, aber oße märchenhaften VortstehatlluPla dic Timaio der Notwendigkei netenbahntonenimist dies elbe wie im Mythos der Politeia, Anordnung der Pla ige Erde. Weltalls sitzt, unbeweengliundch,diedieFixkugsteclirneérmmit In der Mitte desege gleichUm sie herum bew n sich die Planet nämlich so:

mäßigen Kreisbewegungen. Dic Fixsterne haben nur ihre tägliche Be. wegung. Jeder Planet aber hat zwei Bewegungen: eine tägliche völlig gleichmäßige Drehung um die Nord-Süd-Achse, die allen Himmelskörpern gemeinsam ist, und eine entgegengesetzte langsamere Bewegung der einzelnen Planeten, jeder in seiner eigenen Kreisbahn. Diese Kreis- C.R.: NTM 16 1979,1 128 Schreiber. Les Pythagoriciens ont nettement contribué à l'élaboration des quatre sciences mathématiques que sont l’arithmétique, la géométrie, l’« harmonique » et l'astronomie. Van der Waerden cherche à expliquer la cohérence de leur système qui accordait autant d’importance aux sciences qu'aux questions religieuses. Les positions de l’auteur sont soumises à discussion dans les pages qui suivent (17-24). Diskussion bahnen liegen schief zur Ebene des Äquators. Sie liegen alle sieben ungefähr in der Ebene der Ekliptik, aber sie können etwas davon abweichen. Soweit ich das Weltbild des ,,Timaios** bisher beschrieben habe, reicht es aus, um die mittleren Bewegungen der sieben Planeten zu erklären. Man braucht aber einen zusätzlichen Mechanismus, wenn man z.B. erklären will, warum Venus einmal links von der Sonne als Abendstern erscheint und dann wieder rechts von der Sonne als Morgenstern. Das hat Platon sehr wohl gewußt. Der Hauptredner des Dialoges, der Pythagoreer Timaios, sagt nämlich selbst, daß Venus und Merkur abwechselnd die Sonne überholen und von ihr überholt werden. Zur Erklärung dieser Erscheinung hat die Dialogperson Timaios eine Theorie, die er aber nur in ganz dunklen Worten andeutet. Er sagt, daß die Kreise von Venus und Merkur „einen der Sonne entgegengesetzten Bewegungsantrieb (enantion dynamin) erhalten haben“. Einige antike Erklärer deuten das so: Die Sonne und Venus und Merkur haben je eine Epizykelbewegung, wobei die Epizykel von Venus und Merkur sich nach links drehen, der Epizykel der Sonne aber nach rechts. Diese Deutung AMRSEKTSGI Herr Hirzebruch: Bitte, schildern Sie das Verfahren zur Berechnung von //2. wunderbares Verfahren. Es ist ein orithmus zur Bestimmung des orithmus wie der euklidische Alg Herr van der Waerden: Dass ist ein r ADLNCLR, UGEteo angenäherten 2, :$ Alg ößten gemeinsamen Teilers. | ae _ dem erung, namlich von einer ganz grobent alsNahDia À Man echt ausMavon Ein e heit gonale und einen: mt eine Einhei die Dia Verhältnis 1:1. reinbenim gonalen unt die Seiten oben und als Seite. Ich sch sel 2 5 12 | : 1 + 1 = 9. Soisterhaealtramaien n die beiden nEin2hei+ tenl und ‘ Jetzt addiere.t ma erhält 3. Das Dann addiert ma | = 1 3 7 17 usw. | die zweite Seit sos SE von 3:2 ist schon 5ad Diagonale. Das Verhwieältdernissen krecht 2+3= unc an=e co n nomy, Band 5 (1974). Jetzt addiert ma s I È alga Bu . 7:9 s tni häl Ver das alt erh n Ma 7. 5= 2+ 2. Man fährt fort: > = | = 15; | Näherung für die Wurzel aus | = 17 usw. en erfülZahlen s und d, die die Bedings ung i zwe er So erhält man imm 1, minus 1, Es scheint mir ganz klar, daß das. astronomische System, das den Dialogen .,,Politeia“ und ,,Timaios'* zugrunde liegt, den Pythagoreern plus 1, minus ars haroreer ergibt astronomisch einen guten Sinn, und sie ist mit dem Platontext in Übereinstimmung. Ich habe das näher ausgeführt in einem Aufsatz „The Earliest Form of the Epicycle Theory“ im Journal for History of Astros abwechselnd plu 1, len: d ist gleich 25° plus-oder minu Theorem 10 des bewiesen, wobei sie das wie Proklos uns eben erwähnten Arbeit im Journal for History of Astronomy auseinanderanBaches der Elemente von Euklid benutzten, gesetzt. Taylor, der hervorragende englische Kommentator des ,, Timaimitteilt. zu verdanken ist. Die Argumente, die dafür sprechen, habe ich in der os' meint ebenfalls, daB dieser Dialog in allen Hauptsachen auf den Gedanken der Pythagoreer beruht. Die antiken Kommentatoren waren derselben Meinung, und Platon selbst deutet es dadurch an, daß er seine Kosmologie dem Pythagoreer Timaios in den Mund legt. Dazu kommen noch einige spätantike Zeugnisse, die die Erfindung der Epizykel und Exzenter den Pythagoreern zuschreiben. Damit bin ich am Ende meiner Beschreibung der vier Wissenschaften der Pythagoreer angelangt. n die Py auch sagen, daß es sich um einen, Herr Hirzebruch: Heute könnten wir Gleichung handelt. bruch zur Lösung der Pellschen Ketten Kannten die Pythagoreer auc es für y3? eratur, zum Beispiel, entsprechend Gibt es in der alien Lit : h andere Kettenbruchentwicklungen kehrung Um die ist Es en: sag ber lie de wür Ich n: rde Wae der Herr van thmus. des euklidischen Algori

Die Pythagorcer bildeten, um imme r höhere Zahlen zu bekomn sas d und d’ = 2s d. So erhält man aus s und d zwei Wenn Sie aber den euklidischen Algor ithmus auf Die griechischen Musiker haben aber auch die Téne gleichzeitig erklingen lassen. Haufig kam es vor, daB die Begleitung einer Melodie ser. Zahlen, die eine bessere Näherung ergeben. eine Oktave höher erfolgte als die Melodie selbst. In der Definition des ST s’ und d' anw Begriffs ,,symphoner Zusammenklang“, wie sie, glaube ich, bei Ptolemaios d dann erhalten Sie s und d. Der Algorithmus der Seite n- und Di ir el steht, wird verlangt, daB die Téne sich, wenn man sie gleichzcitig ertönen läßt, im Ohr zu einem einzigen Klang vereinigen. Es gibt diese Unterscheidung zwischen symphonem und emmelischem Zusammenklang. Die symphonen Zusammenklange beziehen sich nach Definition hauptsächlich auf das gleichzeitige Erklingen - man kann sie aber auch nacheinander erklingen lassen -, während der Begriff ,,emmelisch“ vor allem auf Töne angewendet wurde, die nacheinander erklangen. zahlen ist also eine Umkehrung des euklidischen Algo rithmus Und‘a i cukiidische Algorithmus wurde nach meiner Theo rie von den > sha. gorcern erfunden, denn das ganze 7. Buch stammt von den Pytha oreem. Beide Algorithmen sind groBartige pythagoreische Erfi ndungen 5 o - Herr J Niemöller: Mein Interesse kom m t von der Seite i der Musiktheorie: ber der von Ihnen genannte Ausdruck ,,sy mphoner metia“ a pia au E me daß ein simultaner Zusammenklang sti ser entstand dann auch spàter noch. Sie Antike keine Mehrstimmigkeit gab. wi j i Herr Cl. Müller: 1. Bilden die Pythagoreer in der Geschichte der Kultur die erste Schule des Denkens, die den Grundgedanken der exakwien Ja, daß es in der | | ten Naturwissenschaften so klar herausgestellt hat? Bund der den die 2. Was weiß man über das Leben der Männer, ‚auch später im Mittelalter wird conso nanti a immer auf aufeinanderin Cap Töne bezogen, die im Intervallschritt eben konsonant oder En t One hintereinander zupfen, um die Abstände im Verhältnis eS n, son wollte :nur deshalb darau a f hinweisen , weil weil a di en a soweit man ihr folgen darf, natürlich m ittelalter bis zu Johannes Kepler geht, die ganze hagoee womit wieder die Zusammen- Fia mit den späteren quadrivialen Wisse nschaften erwiesen sind Das a also auch für einzelne Fachdiszip linen, wie für die MusikwissenE NEperg so etwa von der Akustik her, wo Zahlen eine c ae e . : s | A . o e spielen, aber auch von der Philosophie seit der Antike ar ae geht das vielleicht bis heute agenforschung von Hans Kaise r, musikali sammenhänge mit stehen, & H hin zur harmonikalen Grundwo eben auch kosmologische Zu; : usikalischen Phänomenen im Zusammenhang a pendant lion Die dcp habe si | ige . n beides betrachtet, sowohl Zusammenklingen als auch i Erklingen. ‘ Eine Aufeinanderfolge erhäält man das aufei zum Beis Beisp piel , wont auf dem verkürzt,» Herr van der Waerden: Die erste Frage war, ob die Pythagorcer als erste die exakten Wissenschaften in dieser Breite aufgebaut haben. Das bejaht Aristoteles ausdrücklich. Er sagt: Die in Italien, die sogenannten Pythagoreer, waren die ersten, die sich mit Mathemata befaßt und diese Wissenschaften weitergebracht haben. Das steht im Text. 1:2 zu die Töne den Zahlen entspreche as Zahlenproportionen sind ch Pythagoreer gebildet haben? TE sind. Man kann gegenüber dem Monochor d nur zwei messen, so daß also auch nicht Nur ist daran eine Korrektur anzubringen. Aristoteles hat, als er diesen Text schrieb, nicht so sehr an die Geometrie, sondern in erster Linie an die Arithmetik, an die Harmonik und an die Astronomie gedacht; denn er sagt ausdrücklich einen Satz später, daß in diesen Wissenschaften die Zahlen das erste seien. Und das stimmt für die Geometrie nicht, Für siToaAmEnt)»eE r waren, die ersten die Geometrie stimmt auch nicht, daß die Pythagoree auf Antwort die war Das schon Thales hat gute Geometrie betrieben. die erste Frage. Entschuldigen Sie, wie lautete die zweite Frage? Herr Cl. Müller: Ich würde gern etwas mehr über die Lebensbedingungen dieses Kreises wissen, was es für Männer waren und wie sie Ryce gelebt haben. Monochord einen Ton spielt und dann die Sait e auf dieHalle wie wi es Pythagoras e nach der Überlief Wahrscheinlich ist diese Überlieferung richtig. PT S SPAS, dal 19 lsaerio Herr van der Waerden: Es gab zwei Gruppen von Pythagoreern, die akusmatikoi und die mathematikoi. Die akusmatikoi legten hauptsächlich den Nachdruck auf die akusmata, das heißt auf das Gchörte. Das,

was P was Pythagor as gelchri hatte, y wurde mosli glichst ä unverändert weiterüberliefert. Es war gewissermaßen das heilige Wort. Daran durhe kei Jota geändert werden. Einer der Kommentatoren sagt: Wer am meisten akusmata auswendig gelernt hat, galt am höchsten. Diese Lehre wurde zu einem großen Teil als religiöse Lehre geheimgehalten. i > Dagegen haben die mathematikoi zwar auch er respektiert, sie trieben aber Si ielten ihre Dann gab es ein groBes Schisma. . Dabei Dabei wurde der schon genannt 1 „Ppasos vom Pythagoreer-Orden ausgeschlossen und ist dann, wie dic ' = e ee zur Strafe für seine Indiskretion oder für die Offen Geheimnissen mit ei nem Schiff i untergegangen. Die ie Götter Götter rn Fo os | Was weiß mann über über |ihr Leben? ? M Man mere iB ziemli F al a Traktate darüber, wie sich die Me ‘erhalteni haben. weiß ziemlich viel über i daB diese di aber doch im Grunde wie wie d die - genommen ae zum Beispiel ihren Familienbesitz in den maf- Orden einbringen, enn sie hatten einen gemeinsamen Besitz. Das führte natürlich mu großen ‚Schwierigkeiten, da die Eltern es nicht gern sahen, wenn [aci der Sohn seinen Familienbesitz in den Orden einkrschte, ”.nifatten auch cinen groBen politischen Einfluß. Es gab Gemein - pa De Pythagoreern in allen süditalienis i chen Städten, so in Krooa cus, in Tarent usw. Sie hielten alle miteinander zusari men nt en einen großen Einfluß auf das politische Leben der Städte. Poth nat sogar zweimal zu Revolten geführt; man hat sich gegen die venp Als sie einmal in Kroton im Vereinshaus verom stri. wurde dieses von ihren Feinden angezi indet, wobei sehr mind a: cet ge sind. Die anderen haben sich re sind nach Tarent gegangen und andere nach mel si ee Die Klostergemeinschaft hôrte auf ae dann Theben zu existieren, aber a aben sie doch ihre Lebensgemeinschaft weitergeführt. Sie en aber keinen politischen Einfluß mehr. nligana went c metrie problematisch ist? Herr van der Waerden: Man muß verschiedene Gruppen von Pythagoreern unterscheiden, und zwar muß man nicht nur Akusmatiker und Mathematiker in Betracht ziehen, sondern auch diejenigen, die Metaphysik betrieben und nachgedacht haben über den ersten Ursprung der | ye. Dinge. DBceMtA selbst, vielleicht auch von der Gruppe, die unter religiösen Gesichtspunkten Metaphysik betrieb und über den Ursprung aller Dinge nach- Der Ausspruch „Alles ist Zahl‘ stammt vielleicht von Pythagoras dachte, während die mathematikoi mehr daran interessiert waren, logisch ur> die mathematischen Wissenschaften aufzubauen. RPEO <ARNdOSIRseEH,p, \; Herr Peschl: Hat Pythagoras irgendwelche Kontakte mit dem Orient. mit Ägypten oder Babylon gehabt? e Man kann annehmen, | daß sie sich h Pr nern nicht immer genau an diese hohen Pipmies a chalten e haben, wendung des pythagoreischen Grundsatzes „Alles ist Zahl“ aul die Geodie religiöse Lehre von daneben auch Mathematik und mathemataa nicht ni gehei j m. Das haben ihnen i i die anderen g von VA+S] 21 Diskussion nach ist die griechische Geometrie andere Disziplinen von geprägt worden. Hängt dies vielleicht damit zusammen, daß “die An. den Pyth Herr van der Waerden: Das ist eine sehr umstrittene Sache. Die Überlieferung sagt, daß Pythagoras nach Ägypten gereist ist, sich dort in alle Mysterien hat einweihen lassen und alle religiösen Lehren gierig aufgenommen hat. Er ging dann nach Babylon, wo er von den dortigen Magiern in der Astronomie, Arithmetik usw. unterwiesen wurde. Er soll übrigen auch schon in Ägypten exakte Wissenschaften gelernt haben. Es gibt Gelehrte, die kein Wort von diesen Legenden glauben. Ich gehöre nicht dazu. Ich meine, daß in diesen Legenden zwar einige sachliche Fehler nachzuweisen sind, daß aber dennoch ein Einfluß vom Orient her, insbesondere von Babylon, nicht geleugnet werden kann. Herr Dörrie: Ich danke Ihnen .sehr dafür, daß Sie das Nebeneinander und das Miteinander in der pythagoreischen Bewegung hervorgehoben haben, nämlich auf der einen Seite etwas religiös Lebensreformerisches und auf der anderen Seite sicher Ansätze zur exakten Wissenschaft. Herrn Cl. Müller würde ich erwidern, daß dort sicher ein Ansatz zur exakten Mathematik gefunden wurde, aber man ist nur zufällig darauf gestoßen, so wie Kolumbus auf Amerika. Man suchte eigentlich etwas anderes. Man hat sicher die Ganzheitlichkeit eines Weltbildes und darin eingeschlossen des Überweltlichen gesucht. Man hat sich, was heute kein Gelehrter wagen würde, mit Ansätzen zufricdengegeben und das Weitere, wie Sie es vorhin angedeutet haben, späterer Untersuchung überlassen.

22 enz zu Herr Dörrie: Ich habe dies nur anführen wollen, um dieenTend . Sie haben gezog sich illustrieren, daß die Pythagoreer sehr vieles an verdaß so mußten ja darauf zielen, das gesamte Wissen zu vertreten, Ich môchte aber bei einer Skizzicrung dicser pythagoreischen Bewegung noch mehr dies unterstreichen, daß die Pythagoreer alles mögliche denen die Zeit mutlich nicht wenige mathematische Entdeckungen, an hineingezogen ie lopäd damals reich war, in die pythagoreische Enzyk eiten oder bestr worden sind, was wir nicht immer von den Quellen her Wissen, das in Griechenland und vermutlich auch im Orient erreichbar war, an sich zogen. Dafür ist ein Beispiel dieses: Sicher kannten dic Pythagoreer von den fünf regelmäßigen Körpern drei, und zwar die drei einfachen. | 23 Ñ beweisen können. Dafür sollte das Gesagte nur ein Beispiel sein. Herr van der Waerden: Zu den Archytas-Fragmenten möchte ich noch Wahrend der Zeit, über die Sie uns berichtet haben, ist vermutlich von er der Zwüliflächer und der Zwanzigflächer hinzugefunden En ‘singeführt word en, daß es weitere als diese füni und der wichtige Beweis i i etwas bemerken. Archytas Die Information über Archytas und die Musiktheoriedievon der Echth stammt nicht aus den Fragmenten von Archytas. Über Informatioeit über n , Die Fragmente von Archytas habe ich gar kein Urteil maios, und zwar aus Ptole von mt die Musiktheorie von Archytas stam Zahlenverhaltnisse die der Harmonik von Ptolemaios. Ptolemaios gibt hat. von drei Tonleitern wieder, die Archytas berechnetFragmente gar nichts Das hat also mit der Echtheit der ethischen zu tun, sondern stammt aus einer fachmathematischen, das heißt musik- È Das haben sich die Pythagoreer sogleich zu eigen gemacht, und es ist alsbald eine Uberlieferung entstanden, als wenn alles dieses Aion im pythagoreischen Kreise erörtert worden wäre. Man muß also vielleicht doch etwas miBtrauisch gegen globale Zuordnungen sein. Freilich haben wir kaum die Môglichkeit, den Pythagoreern in der Mitte des 5. Jahrhunderts ein bestimmtes Diktum abzusprechen. Die Uberlieferungen sind dazu zu ungeniigend. ° Fachkollegen die Schriften, die unter dem Namen dee dona ir Ich möchte nun noch dies erwähnen, daß wohl die i theoretischen Quelle. rem von AuBerdem gibt es bei Boethius ein mathematisches Theo gibt es einen laufen, nicht der vor-platonischen Antike, sondern vermutlich dem 1. Jahrhundert, vielleicht sogar dem 2. Jahrhundert nach Christus zu ordnen wiirden. j Da müßte man, glaube ich, die Frage nach der Möglichkeit spät Fälschung sehr. sorgfältig prüfen; denn daran hängt es ja nun, ‘ob das 8. Buch des Euklid von Archytas abhángt oder etwa eine Harmonik des Archytas aus dem 8, Buch abgeleitet sein-kónnte. Diese kleine Unsicherheit wollte ich zu bedenken geben. Herr van der Waerden: Ich danke sehr für dieses Votum. Die Gesichtspunkte, die Sie hervorgehoben haben, sind sicher sehr richtig. | Hinsichtlich der regelmäßigen Körper muß ich jedoch etwas berich- Pagers ebimgp ne . tigen. Die Pythagoreer haben drei dieser Körper gekannt, während die beiden anderen erst von Theaitetos sind. Aber es sind nicht die drei einfachsten. Das Merkwürdige ist, daß sie das Tetraeder, den Würfel und das Dodekaeder gekannt haben, nicht aber das Oktaeder. Das Oktaeder, das mühelos zu konstruieren ist, hatten die Pythagoreer nicht. Neulich ist als Erklärung von einem amerikanischen Autor vorgeschlagen worden, sie hätten gar nicht danach gesucht, alle regelmäßigen Körper zu konstruieren. Das sei nicht ihre Problemstellung gewesen. DABOSnPEiaTNygeE rem Archytas, das samt Beweis überliefert ist. Für das Theo d, aber Archytas Eukli des ganz anderen Beweis in der „sectio canonis‘‘ tas brauchte diesen hat den Satz anders bewiesen als Euklid. Archy Musiktheorie zahlentheoretischen Satz in seiner Musiktheorie.vonDiese der Echtheit der müssen wir Archytas zuschreiben, unabhängig Fragmente. von Pontos : schon Herakleides Herr Schmitz: Soweit mir bekannt ist, hat zentrische System vertreten. War etwa um das Jahr 300 v. Chr. das helio diese Tatsache den Pythagoreern nicht bekannt? chen System von Herr van der Waerden: Die Frage nach dem astronomis neuesten Buch von Herakleides von Pontos ist sehr umstritten. In dem wird eine Interpretation Neugebauer über die Geschichte der Astronomtzievon Salzer cine andere. vertreten, in einem neu erschienenen Aufsa e vertr Die Sache Ich habe in meinen Arbeiten wieder eine andertieren eten. kann. ist so schwierig, daß ich darüber jetzt nicht disku Herr Hamm: Inwieweit haben sich die pythagoreischen Mathematiker um die Philosophie gekümmert?

Herr van der Waerden: Ich will einmal drei traditionelle Teile der Philo. sophie unterscheiden: Erkenntnistheorie, Ethik und Metaphysik. Eine Erkenntnistheorie haben die pythagoreischen Mathematiker gchabt. Sie haben nicht nur einzelne Wissenschaften entwickelt, sondern sie haben auch die Zusammenhange zwischen beiden Wissenschaften untersucht, Sie haben die Frage nach der Methode und dem Objekt der Wissenschaft gestellt. Sie haben also richtige erkenntnistheoretische Untersuchungen angestellt. Dariiber habe ich eine Arbeit geschrieben, die „Erkenntnistheorie der Pythagoreer“ heißt und in dem einzigen Band der Zeitschrift Rete, der erschien, veröffentlicht wurde. Metaphysik haben die Pythagoreer, insbesondere Philolaos, sehr intensiv betrieben, aber diese Metaphysiker haben nach der Meinung von Aristoteles sehr viel Unsinn gemacht. Hier bin auch ich ganz der Meinung von Aristoteles, denn was Philolaos macht, ist zum größten Teil Unsinn. Diese Gruppe von Pythagoreern, die schlechte Metaphysik gemacht haben, möchte ich sehr deutlich unterscheiden von den Pythagoreern, die gute Wissenschaft betrieben haben. Was die Ethik betrifft, so kann ich sagen, daß es eine ausgedehnte Literatur gibt, die aber mit den exakten Wissenschaften wenig zu tun