Les sophistes et la geometrie

ANA >a WA Bev LES SOPHISTES ET LA GEOMETRIE Les mathématiques ne tenaient pas dans l’enseignement des sophistes une place prépondérante. Néanmoins elles n’en étaient pas absentes, ne serait-ce que parce que la plupart d’entre eux se faisaient forts de pouvoir parler de toutes les matières spécialisées sans s’enfermer dans aucune. Platon, dans le Protagoras (318d - 319a), établit à cet égard une nette différence entre le sophiste d’ Abdère et les autres, lorsqu'il lui fait dire: “Les autres sophistes en effet font du mal à la jeunesse; car alors que celle-ci s’est éloignée des disciplines spéciales (téyvac), ils l'y ramènent contre son gré et la précipitent dans l'étude des spécialités en leur enseignant le calcul, l'astronomie, la géométrie, la musique (ce disant il tourna les yeux du côté d’Hippias), tandis que s’il vient auprès de moi, il n’apprendra rien d’autre que ce qu'il vient pour apprendre. Or l’objet de mon enseignement, c'est le bon conseil touchant les affaires qui le concernent proprement: savoir comment administrer au mieux les affaires de sa maison à lui, et, pour ce qui est des affaires de l'État, savoir comment y avoir plus de puissance, et par l’action et par la parole” (trad. Robin). Les informations qui nous ont été transmises par les auteurs anciens sur les contributions des sophistes au développement des mathématiques et de la pensée mathématique sont peu nombreuses. Il n’y a que deux sophistes auxquels sont attribués des travaux proprement techniques dans ce domaine: Hippias et Antiphon (nous écartons Bryson, qui n’est pas un sophiste, mais un philosophe de l'école de Mégare). On a d’autre part dans Aristote l’écho d'une “réfutation” des géomètres par Protagoras. Ces contributions ont fait l’objet d’études séparées de la part des historiens des mathématiques et de la philosophie grecques, mais il nous a paru intéressant de leur consacrer une étude d'ensemble, OPHIEANCIENNE,

et de chercher quel lien elles peuvent avoir entre elles et quelle core une fois sur les disciplines mathématiques. Le fait que Pla- 202 203 place elles occupent dans l’activité intellectuelle globale des soton soit revenu sur ce thème dans plusieurs de ses dialogues, touphistes. Nous étudierons, sur exemple de Théodore de Cyrène, jours à propos du même sophiste, ne s'explique que si celui-ci tel que nous le décrit Platon, les relations entre sophistes et maavait vraiment la réputation d'un expert en sciences mathémathématiciens. Nous essaierons d’autre part de montrer en partitiques, et était connu pour leur avoir donné une place non négliculier que la fausse quadrature d’ Antiphon peut se relier à la crigeable dans son enseignement. tique de la géométrie par Protagoras, et se comprendre comme A ces données de Platon s'ajoute un passage du commentaire un argument philosophique plutôt que comme une mauvaise sode Proclus sur le premier livre des Eléments d’Euclide '. A prolution d’un problème technique. pos de |’énignatique Mamercos ou Ameristos (le nom varie selon les manuscrits) qui serait un des premiers géomètres grecs et aurait vécu peu après Thalès, Proclus écrit que “de ce que dit I. Une contribution technique à la géométrie: la quadratrice d’Hippias Hippias d’Elis il ressort qu'il se fit une réputation en géométrie”. | Malheureusement nous ignorons le caractère précis de l’ou- Le fait que Protagoras, dans le passage de Platon cité plus haut, vise particulièrement Hippias, suggère que celui-ci donnait vrage où Hippias (qui avait écrit sur de nombreux sujets) parlait de ce personnage. dans son enseignement une place plus importante aux mathéma- Pour revenir à Platon, il faut observer que s’il paraît avoir tiques que les autres sophistes. De fait, nous possédons un enconsidéré Hippias comme un médiocre mathématicien, il faut se semble de données convergentes qui désignent Hippias comme méfier, ici comme toujours, de la malveillance du philosophe enun sophiste qui s’occupait de mathématiques. Dans le Petit Hipvers les sophistes. Cette malveillance générale peut d'ailleurs pias (366c - 368a), Platon fait de I’Eléen un expert en matière de calculs et d’art du calcul, de géométrie, d’astronomie. A vrai diavoir été renforcée dans le cas d’Hippias par le fait que celui-ci, re l'éloge qu'il fait de la science d’Hippias sur ces matières ne quadratrice, pratiquait un style de mathématiques qui avait peu va pas sans une forte dose d’ironie. Le contentement de soi du de chances de recevoir l'approbation de Platon. s’il est vraiment l’inventeur de la ligne connue sous le nom de sophiste est souligné, tandis que l’exemple choisi pour illustrer Rappelons que la quadratrice est la ligne engendrée de la mason expertise en calcul est parfaitement trivial. Plus loin Platon nière suivante (fig. 1). Une droite se meut d'un mouvement de énumère les compétences encyclopédiques dont le sophiste se rotation uniforme autour du sommet A d’un carré ABCD, sa potarguait, y compris dans les techniques artisanales, ce qui sous sa sition initiale étant AB et sa position finale AD. Dans le même plume est un compliment pour le moins ambigu, car se consacrer temps, une autre droite se meut d’un mouvement de translation aux techniques artisanales est indigne d’un homme libre. Indéuniforme en restant parallèle au côté AD, sa position initiale pendamment de l'intention de rabaisser ainsi Hippias, cette énuétant BC et sa position finale AD. La quadratrice BME est enmération vise manifestement à laisser entendre que notre sophigendrée par le point d’intersection M de ces deux droites. Cette ste, qui se flatte de tout savoir et de tout enseigner, est un touche-à-tout qui n’est réellement compétent en rien. Néanmoins, le Grand Hippias aussi parle de ses compétences en insistant en- 1. PROCLUS, In Euclidem, ed. Friedlein, p. 65.

205 ligne nous est principalement connue par Pappus, qui aprés avoir diverses lignes, il dit: “Ainsi Apollonius donne le caractère de décrit sa génération, montre comment elle peut être employée chacune des coniques; Nicomède a fait de même pour les conpour résoudre le problème de la quadrature du cercle (d’où son choïdes, Hippias pour les quadratrices, Persée pour les spirinom) et celui de diviser un angle dans un rapport donné :. ques”. La question de savoir si cet Hippias est bien le sophiste du V* D E siècle a été depuis longtemps débattue *. Il est impossible d’arriver à une conclusion absolument certaine sur ce point. A priori, l’Hippias mentionné dans ces deux passages pourrait être un auteur plus récent que notre sophiste, qui aurait nettement dégagé la définition de la quadratrice dans un ouvrage accessible direri ctement ou indirectement à Proclus, sans nécessairement en être l’inventeur, tout comme Apollonius est cité comme celui qui a dégagé la propriété caractéristique des coniques, alors qu'il n’a pas inventé ces courbes. Mais le seul Hippias dont Proclus parle par ailleurs est bien “Hippias d’Elis”, comme on l’a vu, et c’est en relation avec la géométrie qu'il en parle, même si dans cet autre passage il ne le cite qu’à titre d'autorité historique, et non à titre de géomètre. D’autre part il est certain que la quadratrice était connue dans la deuxième moitié du IV* siècle puisque dès A E D Fig. 1. La quadratrice. cette époque Dinostrate s’en était servi pour quarrer le cercle °. Mais ce n’est certainement pas à cette occasion que cette ligne a été introduite pour la première fois, quoique ce soit à cela qu’elle L'attribution de l'invention de cette ligne à Hippias repose doit le nom sous lequel elle a été connue depuis. La propriété par sur deux passages du commentaire de Proclus sur Euclide. L'un laquelle elle permet de quarrer le cercle n’est en effet pas du tout de ces passages ? dit que divers auteurs ont résolu le problème de évidente, L'occasion première de son introduction n’a pu être la trisection de l’angle “par les quadratrices d’Hippias et de Nique le problème de la trisection de l’angle, ou plutôt le problème comede”. L'autre * est plus précis. Enumérant divers mathématiplus général de la division d'un angle dans un rapport donné, ciens qui ont donné la propriété caractéristique (ovprtwpa) de 5. Voir un résumé de la question au XIX“ siècle dans P. ‘TANNERY, 2. PAPPUS, Collection mathématique, IV, 30 - 32 pour la définition de Pour l'histoire des lignes et surfaces courbes dans l'Antiquité (1884), t. la quadratrice et son application à la quadrature du cercle; IV, 45 pour II de ses Mémoires Scientifiques, spécialement pp. 2 - 5, Depuis, la son application au problème de la division de l'angle dans un rapport question n’a pas progressé vers une solution définitive. On trouvera une donné. 3, PROCLUS, op. cit., p. 272, 4, Ibid., p. 356. discussion récente dans W. KNORR, The ancient tradition of geometric problems (1986), pp. 80 - 85. 6. PAPPUS, Collection mathématique, KV, 30.

207 problème pour lequel elle est manifestement faite. Bien entendu, Il faut aussi noter que le pluriel employé par Proclus dans les rien n’oblige à penser qu'il a dû s'écouler beaucoup de temps deux passages cités n'implique pas qu'il y ait eu d'autres lignes entre cette première apparition de la quadratrice et le moment où appelées quadratrices que celle que nous connaissons, et notamment (comme le premier passage pourrait le donner à penser) qu'il y en aurait eu une due à Hippias et une autre due à Nicomè- Dinostrate s'est aperçu qu'elle pouvait aussi servir à quarrer le cercle. Mais d’un autre côté, rien ne s’oppose non plus à ce qu’ elle remonte au V* siècle. La solution du problème de la duplication du cube par Archytas, au début du 1V* siècle, montre que la résolution de problèmes géométriques au moyen de lignes ou de surfaces engendrées cinématiquement était familière aux mathématiciens de cette époque. En l'absence de tout autre candidat, comme d’objections vraiment sérieuses, il paraît raisonnable de maintenir que la première introduction de la quadratrice est due au sophiste d’Elis ?. 7. C'est la conclusion, fort sage, de TANNERY (op. cit., p. 5). Malheureusement, dans ce travail, TANNERY croit devoir attribuer à Hippias d’ Elis l’utilisation de la courbe pour quarrer le cercle, revenant sur un premier jugement qu'il résume ainsi: ‘‘J'avais (...) été amené à interpréter le passage de Pappus (...) en admettant que le travail d’Hippias s'était borné A la division d'un angle donné, que Dinostrate avait le premier fait l'application de la courbe à la quadrature du cercle, et que la dénomination qui lui a été donnée correspondait à ce travail postérieur”. Les arguments qu'il donne pour justifier son changement d'opinion sont peu convaincants, et ses premières conclusions nous paraissent être celles qui de. Ce pluriel, comme le dit P. Tannery *, est un hellénisme: Proclus parle “des” quadratrices, bien qu’il n’y en ait essentiellement qu’une puisque toutes sont semblables entre elles, comme Archimède parle “des” spirales, bien que toutes les spirales soient semblables. Si dans le premier passage il cite aussi Nicomède à propos de la quadratrice, c'est parce que celui-ci était, comme nous le savons par Pappus, un des auteurs qui avaient appliqué cette ligne à la quadrature du cercle. Peut-être Nicomède est-il le premier qui lui ait donné ce nom. Cela expliquerait que Proclus le mentionne après avoir nommé Hippias qui, lui, serait alors mentionné à titre de premier inventeur. Le style de mathématiques auquel appartient la quadratrice peut aider, comme on l'a suggéré plus haut, à rendre compte du mépris de Platon pour Hippias mathématicien. On sait en effet que le philosophe était hostile aux solutions mécaniques en géométrie, puisque même à ses amis Archytas et Eudoxe il reprochait d’avoir usé de telles méthodes pour résoudre le problème de la duplication du cube ?. On pourrait objecter à cela que ce à ont le plus de chances d'être justes. témoignage de Pappus, dénie même à Dinostrate cet emploi de la courbe. de résoudre directement le problème de la quadrature du cercle, mais seulement celui de sa rectification. L'équivalence des deux problèmes n'étant assurée que par la proposition I du traité de la Mesure du cercle d'Archimède, l'emploi de la courbe pour quarrer le-cercle ne saurait être antérieur à cet ouvrage du Syracusain. Mais même en admettant qu’ Archiméde ait bien été le premier à découvrir la démonstration qu'il donne dans ce traité (ce sur quoi nous avons quelques doutes), il est peu vraisemblable qu'il ait découvert la propriété elle-même, car sa démonstration n'est qu'une version rigoureuse d'un argument heuristique très simp- Il fait de Dinostrate celui qui l’a introduite pour résoudre le problème de le qui a dû être vu bien avant lui. Dans son réexamen récent de la question (cf. n. 5), W. Knorr conclut que l'Hippias mentionné par Proclus en relation avec cette ligne ne saurait être le sophiste d'Élis, mais un géomètre postérieur à Nicomède qui n'aurait fait que réunir les travaux de ses prédécesseurs. Son argumentation nous paraît viciée par le fait qu'il fait porter l'essentiel de la discussion sur la question de savoir si Hippias a pu utiliser la courbe pour quarrer (ou pour rectifier) le cercle, ce qui comme on vient de le dire n’a certainement pas été son premier usage. D'autre part Knorr, rejetant le la division de l'angle, et attribue à Nicomède la découverte de son usage 8. Op. cit., p. 1, n. 3. pour quarrer le cercle. Son argument est que la quadratrice ne permet pas 9. Vie de Marcellus, 14, 11; voir aussi Propos de table, 718e - f.

quoi Platon était hostile, c’est à l’usage de dispositifs mécaniques plutôt qu'à l'usage théorique du mouvement en géométrie. C'est bien un tel usage de dispositifs mécaniques que vise Plutarque, tandis que la génération cinématique de la quadratrice est purement théorique. Elle se prête très mal à une traduction en un instrument mécanique qui permettrait de tracer la courbe d’un trait continu comme on peut par exemple tracer la conchoïde. Mais on peut en dire autant de la solution d’Archytas, et aussi, semble-t-il, de la solution d’Eudoxe, qui est perdue ". Ce doit donc bien être le caractère cinématique de ces solutions que Platon désapprouvait. Nous avons d’ailleurs des passages de Platon lui-même qui confirment qu'à ses yeux le mouvement devait être exclu, même à titre d’outil théorique, de la géométrie. En Rep. VII, 526e, il demande si la géométrie “force à contempler la réalité (...) ou la génération”, et la réponse qu'il donne à cette question ne fait pas de doute, étant explicitée un peu plus loin 209 mais intelligible, est exclu, et l'astronomie qui prend en compte le mouvement intelligible. Archytas et Eudoxe pouvaient trouver grâce à ses yeux en raison d’autres aspects de leurs travaux, mals si la quadratrice était Ja principale contribution d'Hippias a la géométrie, on conçoit que Platon ait eu de lui une piètre opinion. Pour l’autre contribution technique à la géométrie attribuée à un sophiste, la fausse quadrature d’Antiphon, nous pensons, comme nous l'avons dit, qu'elle peut plutôt se comprendre comme un argument philosophique, et nous en renvoyons l'étude a un chapitre ultérieur de cet article. Quant à la fausse quadrature de Bryson, nous avons déja dit pourquoi nous l'écartions de notre propos ". Mais en relation directe avec la question des contributions techniques des sophistes à la géométrie, nous voudrions montrer, sur l'exemple de Théodore de Cyrène, qu'entre le mo de des sophistes et celui des véritables mathématiciens il n'y avait pas une séparation étanche, et qu’un même personnage (527b): “la géométrie est connaissance de ce qui toujours exispouvait avoir, à la frontière des deux, une position assez ambite”, En 528a, il oppose l'astronomie, science du solide en mouguë. vement, à la géométrie qui étudie le solide en soi (adró xa’ avt6). Qui plus est, le mouvement dont il est question dans une astronomie vraiment scientifique est un mouvement intelligible, non le mouvement visible, comme Platon prend soin de le préciser en 529 d. Pour lui, donc, il y a une séparation rigoureuse entre la géométrie d’où le mouvement, non seulement sensible, 10. La solution d’Archytas est rapportée en détail par Eutocius dans son commentaire sur le traité De la sphère et du cylindre d’ Archimède 2. Théodore de Cyrène, sophiste spécialisé en mathématiques? Platon, dans le Théétète (178a), nous apprend que Théodore de Cyrène avait été l'élève de Protagoras. Cette information est loin de n'avoir qu’un intérêt anecdotique. Plusieurs fois (16la, 162b, 168c, 171c, 183b - c) Platon insiste sur la fidélité du mathématicien A la mémoire de son ancien maitre, et sur l’amitié qui les avait liés. De plus, en 164e - 165a, Théodore admet im- (commentaire sur la synthèse de la proposition 1 du livre II). Eutocius donne comme source Eudème de Rhodes, Quant à celle d’Eudoxe, il déclare n'en avoir trouvé qu'une version fautive, qu'il rejette comme inauthentique, Ces deux solutions sont mentionnées par Eratosthène dans sa lettre à Prolémée Evergète, intégralement citée par Eutocius; lettre que 11. Sur Bryson, voir MULLER R., Les Mégariques, fragments et témoignages, Paris, Vrin, 1985, pp. 66 - 69 et 174 - 179. Sa "fausse quadrature’’ du cercle est en fait un argument non-constructif pour établir mais dont W. Knorr a eu raison, pensons-nous, de défendre l'authenticité carré plus l'existence d'un carré égal au cercle à partir de l'existence d'un de l'arguexacte nature La cercle. le que grand et d'un carré plus petit (KNORR, op. cit., pp. 18 - 20). ment reste discutée. la plupart des auteurs depuis von Wilamowitz ont tenue pour apocryphe,

plicitement qu'il eût pu devenir à son tour un sophiste, à l’imitaqu'il ait derrière lui une longue carrière de professeur itinérant, tion de son maître: “En fait, Socrate, ce n’est pas moi qui en suis le tuteur [de la doctrine de Protagoras, comparée par Socrate à exactement comme l’étaient les sophistes. De plus, comme eux, une orpheline], c'est bien plutôt Callias, le fils d’Hippon icos. te — en matière d’argent, d'une extrême libéralité” (144d). Ainsi, Quant 4 nous, nous nous sommes un peu trop vite détourné des il n’y a pas de doute: professionnellement, Théodore est un soraisonnements abstraits pour nous tourner vers la géométr ie ?”, phiste, si l’on définit le sophiste comme un homme qui fait mé- Théodore a donc choisi de se spécialiser, de se consacre r à ces téxvar que Protagoras considérait comme plus nuisibles qu utiles à la formation des jeunes gens, En enseignant les mathéma tiques, il fait exactement ce que son maitre reprochait 4 Hippias. En fait, Théodore a plus d’un trait commun avec les sophitier de donner aux jeunes gens de bonne famille un enseignestes. D'abord le public auquel ses cours s'adressent, qui est celui 211 il vit de son enseignement: “il est — nous dit-il encore de Théétèment intellectuel de niveau élevé. Ce qui le distingue des autres sophistes, du moins de ceux que nous connaissons quelque peu, c'est le caractère spécialisé de son enseignement, volontairement limité aux mathématiques. C'est sans doute à cette spécialisation qu'il doit de trouver des jeunes gens de bonne famille, tel Théétète. Manifes tement grâce aux yeux de Platon pour l’aspect mercantile de son activinotre géomètre a une longue expérience de cet enseigne ment, té. Une des choses, en effet, que Platon reproche aux sophistes acquise à Athènes et ailleurs: “De tous les jeunes gens, sache-le, ordinaires, comme on le voit au début du Protagoras, c'est de se que j'aie jamais rencontrés (et ils sont fort nombreux, ceux avec faire payer un salaire pour ne donner aucune compétence en rien qui j'ai été en relation!) jusqu’à présent mon expérie nce ne m'en a fait connaître aucun qui fût si merveilleusement doué de sa de déterminé: “Tu projettes à cette heure de te rendre auprès de nature etc.” (144a). les, un salaire en argent: sais-tu ce qu'est celui auprès duquel tu Théodore a ouvert depuis peu un cours de mathématiques à Athènes. Il arrivait de Cyréne, sa patrie (143c), mais ce qu'il dit dans le passage qu’on vient de citer ne permet pas de douter Protagoras, dans l'intention de lui payer, pour tes fins personnelvas aller et ce que toi, ainsi, tu deviendras? C'est comme si (...) on te demandait: à quel titre (...) veux-tu, à Hippocrate [de Cos] payer un salaire? Que répondrais-tu? — Je répondrais que c'est à titre de médecin. — Et en vue de devenir quoi? — De devenir mé- 12. La manière dont Théodore parle de sa ‘‘conversion’’ à la géomédecin etc.” (Prot, 311b - c). Si Théodore est une sorte de sophitrie est intéressante. Il déclare s'être détourné des WiA@v Aöywv, expression qu'à la suite de plusieurs traducteurs nous avons rendue par ‘‘raisonste, du moins sait-on quelle marchandise intellectuelle il vend! nements abstraits”*. Le sens premier de puég est ““chauve”” , d'où ‘‘démathématiciens ont pu vivre et travailler à la manière des sophipouillé, dénudé"’, L. Robin, qui traduit par “purs raisonnements’’, nous semble interpréter assez correctement l'expression, tout en la forçant peut-être un peu, en disant qu'il s'agit des ‘‘raisonnements tout formels et, par conséquent, dans la pensée de Théodore, vides de substance, qui En définitive, le cas de Théodore nous montre que certains stes, après avoir été formés à leur école. Et il nous suggère cette réflexion qu’au fond, il n’y a peut-être pas autant de différence entre un Hippias et un Théodore qu'on peut en avoir l’impressont ceux des dialecticiens’’. ‘‘Raisonnements abstraits’ ’, avec la nuance un peu péjorative que le mot peut avoir, nous paraît mieux rendre cette idée que ‘‘purs raisonnements””. Il est certain que Théodore ne se sent pas à Paise dans les discussions qui sortent de son domaine technique. Il se lectique (146b, 162b), et s’il finit par s'y résigner par fidélité à la mémontre très réticent à se laisser entraîner par Socrate dans un qu'il estime avoir rempli ce devoir (183c). débat diamoire de son ami Protagoras (169c), il s'en retire avec empressement dès

sion à une lecture superficielle de Platon qui, visiblement, avait souvenir d’une “réfutation” (EAeyyog) de la géométrie par le soplus de sympathie pour celui-ci que pour celui-là *. phiste d’ Abdére: ba to Bien entendu il resterait à savoir de qui Théodore avait reçu sa formation proprement mathématique. Ce ne peut pas être de Protagoras lui-même puisque celui-ci se refusait à enseigner les texvar. Au tournant du IV: siècle, un jeune homme doué comme Théétète pouvait apprendre les mathématiques d’un quasi-sophiste comme Théodore. Mais qu'en était-il lorsque Théodore avait l’âge de Théétète et suivait les cours de Protagoras (ce qui ne doit pas se situer beaucoup plus tard que 450 ou 440, car dans le Théététe Théodore apparaît déjà comme un homme âgé en 399, et il dit lui-même que sa spécialisation a été précoce)? En fait, on bute ici sur le problème de la transmission du savoir mathématique au V* siècle, sur laquelle il faut avouer qu’on ne sait pas grand chose. Il est douteux en tout cas que la réponse soit dans le rattachement à une école mathématique constituée, si tant est qu’ il en ait existé alors (on pense évidemment à l’école pythagoricienne, mais que sait-on réellemment de l’activité mathématique des Pythagoriciens dans le troisième quart du V* siècle?). “Et les lignes sensibles ne sont pas davantage le genre de lignes dont parle le géomètre, car aucune des choses sensibles n'est droite ou circulaire de la manière qu'il suppose; le cercle, en effet, ne touche pas la règle en un point, mais de la manière que Protagoras disait qu'il la touche, lorsqu'il réfutait (Aéyxwv) les géométres”’ (Met B 2, 997b35 - 99844), Protagoras s'était donc livré à une critique de la géométrie. La façon dont Aristote s'exprime ne suggère pas que ce soit dans un ouvrage spécialement consacré à cela, et nous verrons que cette critique pouvait fort bien trouver place dans le fameux traité De la vérité. Le sens de cette critique est assez clair à travers ce qu'en dit le Stagirite, si peu que ce soit. Ce que le sophiste reprochait aux géomètres, c’est de prêter aux objets des propriétés qu’ils n'ont pas en réalité. Dans l'exemple cité c'est, pour un cercle et une droite — entendez un corps circulaire et un corps pas suposer qu'il ait reçu sa première formation mathématique droit, comme le marque le mot “règle” (xavwv) — la propriété de se toucher en un seul point. Aristote ne précise pas explicitement comment Protagoras décrivait le contact du cercle et de la droite. On comprend bien néanmoins que ce que devait dire le sophiste, ailleurs que dans le milieu intellectuel qui entourait Protagoras, c'est que ce contact se fait suivant une zone de quelque étendue. sans qu’ on puisse avancer aucun nom. Cette critique peut paraître triviale aujourd'hui, mais il faut Penvisager dans le contexte du V° siècle. Il n'existait pas alors, autant que nous puissions en juger, d'épistémologie des mathématiques. Les mathématiciens avaient l'habitude de manipuler des objets idéalisés. Mais c'était là une pratique qui n'avait pas encore fait l’objet d'une réflexion philosophique. Ou du moins cet- Platon ne suggère rien qui aille dans ce sens, et la manière dont Théodore parle de son orientation vers la géométrie ne laisse 3. La critique de la géométrie par Protagoras Si Protagoras faisait profession de ne pas enseigner les mathématiques, il ne les ignorait pas, et Aristote nous a conservé le 13. En fait, la manière dont Platon parle de Théodore n’est pas exempte d'une légère ironie, mais c'est une ironie bonhomme , on peut même dire affectueuse, qui teinte le souvenir que le philosoph e avait gardé de son premier maître en mathematiques. te réflexion, si elle existait, n'avait pas abouti à des réponses nettes quant au statut des objets mathématiques et à leur rapport aux objets sensibles. L’attitude que Platon prête à Théodore de Cyrène (cf. note 12 ci-dessus) témoigne du fait que les mathématiciens, ou du moins certains d’entre eux, étaient peu enclins à quitter le terrain solide, à leur sentiment, de leur spécialité pour

se laisser entraîner sur le terrain mouva nt des débats dialectiques. En fait, c'est cette situation philosophiqu e que nous révèle la critique du sophiste d'Abdère. Lui, du moins, apportait à la axiome à peu près équivalent, comme le montre le fameux fragment sur l’existence des dieux: “Des dieux je ne puis savoir ni qu'ils existent, ni qu'ils n'existent pas, ni quelle est leur forme; bien des circonstances empèchent de le savoir: l'absence de données sensibles et la brièveté de la vie” (fragment B4). On voit aisément que d’un tel axiome Protagoras pouvait très naturellement tirer sa réfutation de la géométrie. Le cas de la géométrie question du statut des objets mathématiques negative et radicale: les géomètres une réponse nette, parlent d'objets qui n'existent pas. | Cette attitude s’accorde-t-elle avec ce que nous savons par ailleurs de la doctrine de Protagoras en ce qui concerne la théorie de la connaissance? Rappelons comm ent Platon, dans le Théétète, nous présente cetle-ci. Selon lui, Protagoras tient que la science d’identifie à la sensation. Quand Socrate interroge Théétète Sur la définition de la science, la première que propose le jeune homme est celle-ci: “la science n’est pas autre chose que la sensation” (151e). Immédiatem ent, Socrate identifie cette conception de la science à une thèse de Protag oras: “Il se peut bien, en vérité, que, sur la nature de la scienc e, elle ne soit pas méprisable, la thèse que tu viens d’éno ncer! Bien au contraire, c'est la thèse même de Protagoras; mais il a dit ces mêmes choses d'une autre façon: L'homme, déclare-t-il en effet à peu près, est la mesure de toutes choses, pour celles qui sont, mesure de leur être, et pour celles qui ne sont pas, mesure de leur nonêtre”. Cette maxime fameuse du sophis te d’Abdére avait fortement frappé Platon. Il la cite deux fois, dans le Cratyle (386a) et dans le présent passage su Théétète. Dans les deux cas, il l’interprète de la même manière: “Tels m’appa raissent à moi les obJets, tels ils sont pour moi, tels ils t'appa raissent à toi, tels ils sont pour toi”. Dans le Théétete, il appuie cette interpétation d’ un exemple, celui du courant d'air qui, de deux hommes, fait frissonner l’un et pas l’autre. Pour le premi froid, pour le second il ne l’est pas, Il n'y a er ce courant d'air est que la alors Platon n’aurait pas eu à alléguer qu'il l'avait dit “d'une autre est assez particulier: si un courant d'air peut être perçu comme froid par un homme et comme tiède par un autre, aucun homme ne perçoit les objets tels que les géomètres les supposent, donc les objets dont ils parlent sont absolument inexistants *, On peut ainsi parfaitement concevoir, comme nous le disions plus haut, que la réfutation de la géométrie par Protagoras ait fait partie de son traité De la vérité. Cette critique de Protagoras réduisait la géométrie à néant, pour autant qu’on admettait son axiome fondamental. Elle ne laissait subsister aucune place, aucun statut possible pour les objets idéaux sur lesquels raisonne le géomètre. Mais en même temps elle traduisait, chez le sophiste d’Abdere, une nette prise de conscience de ce caractère idéal. C’est bien ainsi que l'entend Aristote, puisque c’est précisément à propos — et à l'appui — de la différence de statut entre lignes sensibles et lignes géométriques qu'il la cite. Par là, cette critique, pour destructrice qu'elle se soit voulue, a pu contribuer efficacement à la formation d’une philosophie des mathématiques, en invitant certains esprits à assumer V’idéalité des objets mathématiques qu’elle mettait en lumière. C’est précisément ce qu'a fait Platon. Il n'est évidemment pas question de dire que le statut de l’objet mathématique chez Platon a été déterminé uniquement par la nécessité de répondre a aucune réalité à chercher au delà de nos perceptions sensi bles. Protagoras n’a certainement jamais écrit noir sur blanc science est identique à la sensation, car 215 façon”. Il n’en est pas moins vrai que son relativisme se fonde très largement sur un 14. Cf. GuTHRIE W.K.C., A History of Greek Philosophy, t. 14, p. 267: ‘*Consistent with this was his attack on mathematicians for dealing in abstractions, describing straight lines, circles and so forth as no man perceives them, and as, therefore, they do not exist”.

216 " > de Protagoras. Les sources de la pensée de Platon sont ucoup plus complexes. Il est indéniable que Protagoras est parmi ses prédécesseurs, un de ceux qui ont le plus influencá, = reaction, la genèse de sa philosophie, mais ce n'est pas seun nen = = relativement étroit que constitue sa critique vela rie. Néanmoins la conception platonicienne de |’ oba mathématique repose bien, en quelque sorte, sur un retourne— oe du sophiste: il est bien vrai que les objets i : n Junals les propriétés que suppose le géométre, sont les objets sensibles qui en un certain sens n’existent pas; les objets mathématiques, eux, sont réels précisément que ce sont des objets idéaux. ssi 217 Aristote est de cette erreur, restent matière à discussion à5,luimais buée — était net sur un point: l'erreur d’ Hippocrate — ou faux attri ment à onne rais celle d'un géomètre, elle consistait en un ses les faus quapartir des vrais principes de la géométrie. Pour qu'elles se dratures d’Antiphon et de Bryson, il dit au contraire qui consituaient en dehors des principes de la géométrie. En13ceci-de ssus. cerne celle de Bryson, nous renvoyons à la notes I, 2, 185a 14 Voici ce qu’Aristote dit de celle d'Antiphon (Phy 17): cultés qui peuvent “On n'est pas obligé de réfuter toutes les diffi tes faussemertt dédui sont qui s celle t être soulevées, mais seulemen pas, on n'y est pas des principes; quant à celles qui ne le sont étri quatenu. Par exemple, il convient de réfuter géom quement la 4, La “quadrature” d'Antiphon A n fait partie de plusieurs fausses solutions du probléme de q adrature du cercle dont Aristote parle en divers endroits. Il i ia euer a qui il en attribue: Hippocrate de Chio, rm si ryson. Les allusions d’Aristote à ces fausses quaes Sont toujours très brèves et peu explicites, mais ses costales (Alexandre d'Aphrodise, Simplicius " Themistius, Philopon) se sont appliqués à les éclairer. Néanmoins les explications qu'ils donnent laissent elles-mémes place A di interprétations. PP ) sie 27 br: ene cités, Hippocrate de Chio est le seul me un mathématicien professionnel, et ses traaux sont assez bien connus. S’if n’a pas résolu fe problème de la quadrature du cercle, il a été le premier à quarrer géométrique a figures curvilignes, et il a attaqué la ca Fig. 2. La quadrature d'Antiphon. ia pe elle-méme par une méthode tout-à-fait rationnelle et ntiln était nullement déraisonnable a priori de penser qu’elle pouvait aboutir. Il passait pour avoir prétendu, ou cru à tort avoir résolu le problème, et Aristote s'est fait l'écho de eats ei i mon (Soph. El. 11, 171b 12 - 18). La nature, et la réalité sia, 15. Cf. LLoYD D. The alleged fallacy of Hippocrates of Chios Apeiron 20 (1987) pp. 103 - 127.

drature par les segments '*, mais il n'y a pas lieu de réfuter ainsi celle d’Antiphon’’. Ce qu’ était l'argument d’Antiphon a été exposé à peu près de la même manière par Simplicius et par Themistius ". Partant d'un polygone inscrit, un carré par exemple, on divise les arcs de cercle en deux, et on ajoute sur les côtés du carré quatre triangles isocèles, de manière à obtenir un octogone inscrit (cf. fig. 2). LES SOPHISTES ET LA GÉOMÉTRIE 219 maticien plus considérable qu’Antiphon, à savoir Démocrite, pour résoudre des problémes analogues. Considérons la proposition selon laquelle une pyramide est le tiers du prisme ayant méme base et même hauteur qu’elle, et la proposition analogue relative au cône et au cylindre. Au témoignage d’Archimöde, ces L' argument essentiel est alors le suivant: “On fait cela continuellement (det), jusqu’au moment où, la figure plane [i.e. le cercle] étant épuisée, on aura de cette manière inscrit dans le cercle un polygone dont les côtés, à cause de leur petitesse, coincideront avec la circonférence du cercle””, Puisqu’on sait quarrer tout polygone, on pourra quarrer le cercle en quarrant le polygone qui coincide avec lui. Les commentateurs, anciens et modernes, ont généralement considéré que l’argument d’Antiphon était fondé sur une conception atomiste de la ligne. C’est ainsi qu'au dire de Simplicius l’entendait Eudème, le disciple d’Aristote historien de la géométrie. Ce que disait Eudème, c'est qu'en faisant coincider un certain polygone avec la circonférence, Antiphon supprimait le principe géométrique “qui dit que les grandeurs sont indéfiniment divisibles”. Invoquer ce principe est bien aristotélicien, et permet de comprendre pourquoi, selon le Stagirite, la quadrature d’Antiphon n'est pas ‘‘déduite faussement des principes” de la géométrie. De fait, des arguments relevant d'un atomisme mathématique Fig. 3. propositions ont été démontrées pour la première fois par Eudoxe, mais le mérite en revient pourtant en partie à Démocrite “qui le premier a fait apparaître sans démonstration (ywpic dsrodeí- Eews Anopevanivp) cette propriété de ladite figure”, L’argument de Démocrite, qui n’avait donc, au dire d’Archiméde, qu’une valeur heuristique, était certainement le suivant. semblent avoir été employés vers la même époque par un mathé18. Archimède, De la sphère et du cylindre, préambule, pour l'attribution à Eudoxe; De la méthode, préambule, pour l’attribution à Eudoxe (cf. l'article cité dans la note précédente). et la reconnaissance du rôle de Démocrite. Remarquons que celui-ci avait certainement donné un argument persuasif, sinon démonstratif, comme le 17. SIMPLICIUS, In Aristotelis physicorum librorum quattuor priores commentaria, ed. DIELS, pp. 54 sq. — THEMISTIUS, /n Aristotelis physica qu'on n'ait pas de témoignage sur la mathématique pratique en Grèce au paraphrasis, ed, SCHENKL, pp. 3 - 4. V* siècle, il est peu probable que les propriétés en question n’aient pas été 16. Il semble que cette quadrature ne soit autre que celle d'Hippocrate marque le verbe ünogpalveıvy employé par Archimède. Au reste, bien

221 On commence par remarquer qu'un prisme triangulaire se proposition relative au cône se faisait vraisemblablement par un divise en trois pyramides comme suit (cf. fig. 3 ci-contre et prop. argument qui était essentiellement celui qu'on attribue à Anti- XII, 7 des Éléments). On montre que les trois pyramides ABCD, phon. BCDE, CDEF sont égales, de sorte que chacune d'elles est le L’argument employé pour “faire apparaître” l'égalité des pytiers du prisme. L'égalité de ces trois pyramides résulte de ce ramides des bases égales et des hauteurs égales peut a priori se qu’elles ont des bases égales et des hauteurs égales (par exemple comprendre de deux manières, soit dans le cadre d'un d'un ato- ABCD et BCDE ont les bases ABD et BDE égales comme moimisme mathématique qu'il ne serait pas très étonnant de trouver tiés du parallélogramme ABDE, et la même hauteur). On utilise chez Démocrite, théoricien par ailleurs de l’atomisme en physidonc ici une proposition qui dit que des pyramides à bases que, soit dans le cadre d'une méthode d'indivisibles telle que celle qu’emploie Archimède dans le traité De la méthode où, précisément, il cite 1'Abdéritain comme utilisateur, avant lui, d'un argument heuristique. Qu’en fait il se soit bien agi d’atomisme mathématique, c'est ce qu'implique le fragment B CLV de Démocrite, dès qu'on veut bien admettre qu'il n'est pas sans rapport avec la question. Ce fragment, qui nous a été transmis par Plutarque *, citant Chrysippe, est une interrogation au sujet 19, L'interprétation de ce passage a généralement été obscurcie par le fait que le mot tuñua a été compris comme signifiant ‘‘section'”, alors Fig. 4. L'argument de Démocrite. qu'il a son sens normal de **segment””. GUTHRIE (op. cit., L II, p. 487, n. 2) note que ‘‘the word tuñpara at its first occurence evidently means the triangulaires qui ont des bases égales et des hauteurs égales sont two pieces into which the cone is cut’’, Mais il ne paraît pas avoir vu que égales, et c’est cette proposition qui fait difficulté, Elle ne peut se démontrer rigoureusement que par la méthode d’exhaustion inventée par Eudoxe. C’est ici sans doute qu’en l'absence de cette méthode se plaçait l'argument heuristique de Démocrite, qu’on peut reconstituer ainsi (cf. fig. 4). On coupe les deux pyradans sa deuxiéme occurrence il désigne tous les segments découpés par mides par des plans parallèles au plan des bases. Par un arguconstitution du type mathématique de l’idéalité dans la pensée grecque, ment de similitude, les triangles correspondants sont alors égaux, et Démocrite en “déduisait” l'égalité des pyramides en considérant celles-ci comme composées d'un empilement ou d'un agrégat de triangles. Le passage de la proposition relative à la pyramide à la tous les plans paralléles, ces segments ayant bien droit 4 ce nom car ce sont des solides d'épaisseur microscopique. Et les cercles dont il est question ensuite sont la méme chose. La reconstitution que nous avons donnée de l’argument de Démocrite est celle qui est adoptée par la plupart des auteurs. M. CAVEING (La thèse, 1977, t. 3, pp. 1459 - 1450), en a proposé une autre qui, telle qu'il la présente (comme une méthode de calcul approché), n'implique ni atomisme mathématique, ni indivisibles. Le témoignage d’Archimède nous semble viser autre chose qu’ une simple méthode de calcul approchée, mais en modifiant un peu l’idée de CAVEING, on peut sans invraisemblance attribuer à Démocrite une sorte d'*‘arithmétique des infinis’’ à la déjà connues sous forme de formules pour le caleul des volumes, comme Wallis, qui aurait plus d'affinité avec l’atomisme mathématique qu'avec elles l’étaient des Égyptiens du Moyen-Empire. une méthode d’indivisibles continus.

des segments découpés dans un cône par un plan parallèle à la base. Démocrite se demandait, “lorsqu’un cône est coupé par un plan parallèle à la base, ce qu’on doit penser des surfaces des segments, si elles sont égales ou inégales; si elles sont inégales, sentation idéale que le géomètre se fait du cône que cela est cho- 222 elles rendront le cône irrégulier, avec de nombreuses indentations en forme de marches d'escalier et des aspérités; et si elles sont égales, les segments seront égaux, et le cône, étant composé de cercles égaux et non inégaux, aura manifestement acquis le caractère du cylindre”. Cette question montre comment Démocrite conçoit le découpage d’un solide en deux segments par un plan: ce dernier ne détermine pas une surface commune aux deux segments, mais deux surfaces contiguës dont chacune limite un des segments. Lorsqu'on passe de la considération d'un seul plan à celle de tous les plans parallèles à la base, comme Démocrite le fait dans la suite du passage, cette conception aboutit à considérer le cône comme composé d’un empilement de cercles ayant chacun un précédent et d’un suivant, et non comme un agrégat continu d'indivisibles ”. Un tel atomisme mathématique prêtait à contestation, et c'est peut-être ce genre de conception que vise Platon quand il écrit dans la République (VII, 528d), à propos de la stéréométrie, qu'en ce domaine “l’état de la recherche est risible”. Mais il semble bien que Démocrite lui-même était conscient des difficultés inhérentes à son argument, et à l’atomisme mathématique. Le fragment B CLV, en même temps qu'il nous révèle cet atomisme, nous montre que 1'Abdéritain se rendait compte des difficultés 223 quant. Et nous voyons par là que Démocrite bute, comme son compatriote Protagoras, quoique par une voie différente, sur le problème du statut de l'objet mathématique comparé à l'objet physique. D'après ce qu’on vient de dire, il est peu vraisemblable que Démocrite ait présenté son argument comme une véritable démonstration. Le fait qu’Aristote ne le mentionne jamais comme auteur de fausses démonstrations géométriques tendrait même à montrer qu'il s’en était expliqué: à défaut de voir clairement que son argument était heuristique, il avait dû admettre qu'il n'était pas parfaitement démonstratif. Démocrite pouvait, dans le cadre du même atomisme mathématique, justifier l'identification du cercle et du polygone inscrit, qui lui permettait de passer du théorème sur la pyramide au théorème sur le cône. Mais là aussi, il ne pouvait pas considérer la démonstration comme entièrement satisfaisante, dès l'instant qu'il était conscient des difficultés inhérentes à l'atomisme mathématique. Il n’en va pas de même avec Antiphon. Selon Aristote, le sophiste prétendait que son argument résolvait réellement la quadrature du cercle, et cela dans le but de briller aux yeux d’un public ignorant: “[sa démonstration] s’adresse à la foule, qui ne sait pas ce qui est possible et ce qui est impossible dans chaque science” (à vrai dire, Aristote dit cela à propos de Bryson, mais il ajoute aussitôt qu'il en est de même pour Antiphon; Soph. EL, que soulevait la conception d'un solide comme un empilement 172a). Assurément, si Antiphon avait quelque originalité, cellede couches minces. Nous voyons aussi que ces difficultés, telles qu'il les formule, sont propres à l’atomisme mathématique; car du point de vue de l’atomisme physique, il n’y a rien de choci résidait plutôt dans l'affirmation sans réserves de la validité quant à ce que le cône présente, à l'échelle atomique, des indentations et des aspérités. C’est seulement par rapport à la reprérencie de Démocrite. Et c'est là qu’une autre interprétation de sa de l'identité du cercle avec le polygone plutôt que dans cette identification elle-même: c'est cela, en définitive, qui le diffémotivation autre que celle, peu flatteuse, que donne Aristote est possible. L’assertion selon laquelle il vient un moment où le polygone coïncide avec le cercle peut ce comprendre dans la ligne 20. De communis notitiis adversus Stoicos, 1079, de la critique de la géométrie par Protagoras. Le rapprochement

avec Protagoras est d’ailleurs suggéré par un passage du commentaire d' Alexandre d’Aphrodise sur la Physique, cité par Simplicius dans son propre commentaire (p. 55). Là où Eudéme disait qu’Antiphon supprimait le principe de la divisibilité indéfinie des grandeurs, Alexandre, de son côté, écrivait: “Le géomètre pose en principe que le cercle touche la droite en un point, mais Antiphon supprime ce principe”. Cela ne se comprend guère dans la présentation du raisonnement d’ Antiphon en termes de polygones inscrits, tels que la donnent Simplicius et Themistius, et on peut penser qu'Antiphon avait aussi présenté sa quadrature en termes de polygones circonscrits: le lien avec la critique de Protagoras se fait alors tout naturellement. Au demeurant, que I’ on raisonne en termes de polygones inscrits ou de polygones circonscrits, la conclusion, du point de vue de Protagoras, sera la même: il viendra un moment où le polygone coïncidera avec la circonférence parce qu'il ne s'en distinguera plus pour la sensation, et que la sensation est toujours adéquate à la réalité. Alors la quadrature du cercle sera effectivement résolue. Le problème tel que le posent les géomètres, et qui ainsi posé paraît insoluble, est un problème vide puisque le cercle tel que le congoivent les géomètres, qui ne cof ncide jamais avec le polygone, n'existe pas. Bien entendu, cette interprétation est incompatible avec celle qui consiste à voir dans l’argument d’Antiphon un recours à l’atomisme mathématique, puisque l’atomisme est une doctrine qui prétend atteindre une réalité non sensible sous-jacente à la sensation, et qu'ainsi il tombe sous la critique de Protagoras autant que Je continu idéal de la géométrie classique. Edmond MAZET MAZET. Edmond. - Les sophistes et la géométrie. RPhA 1994 12: 201-224, ° Etude de la contribution apportée par les sophistes au développement de la géométrie. Est notamment examiné le cas de Théodore de Cyréne, à travers le Théététe de Platon.